Аналитические и геометрические исследования деформации анизотропных стержней в частных случаях тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

I. ВВЕДЕНИЕ.42. ОБОСНОВАНИЕ ТЕОРИИ КИРХГОФА ДЛЯ АНИЗОТРОПНЫХ

СТЕРЖНЕЙ.

2.1. Исходные соотношения.

2.2. Преобразование уравнений теории упругости

2.3. Разложение по степеням малого параметра

2.4. Главные члены разложения

2.5. Первое приближение.

3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ДЕФОРМАЦИИ УПРУГИХ

СТЕРЖНЕЙ.

3.1. Уравнения равновесия и первые интегралы

3.2. Анализ форм равновесия стержня в решении

Гесса.

3.3. Исследование кривой П.

3.4. Меридиан 3:.

3.5. Об упругой линии криволинейного анизотропного стержня.

3.6. Проекция упругой линии на плоскость, перпендикулярную концевой силе.

3.7. Меридиан поверхности вращения.

4. ИЗГИБ И КРУЧЕНИЕ АНИЗОТРОПНОГО СТЕРЖНЯ КОНЦЕВОЙ

ПАРОЙ СИЛ.

4.1. Вывод уравнений упругой линии.

4.2. Прямолинейный стержень.

4.3. Анализ деформации криволинейного стержня.

Развитие теории упругости в последнее время происходит, в основном, в двух направлениях. В первом продолжаются поиски точных или приближенных решений основных уравнений теории упругости. Во втором направлении интенсивно развиваются такие разделы теории упругости, построение которых основано на некоторых предположениях, например, о характере деформаций. Результаты теории тонких упругих стержней занимают особое место во втором направлении математической теории упругости, так как в их основе лежат наиболее многочисленные и часто несопоставимые предположения геометрического, либо силового свойства.

Развитие эффективных методов исследования напряженно-деформированного состояния упругих анизотропных стержней представляет научный и практический интерес. В рамках стержневой модели описываются деформации широкого класса элементов современных конструкций, многие из них изготовлены из композиционных, анизотропных материалов, так как такие материалы имеют более высокие прочностные и вообще деформационные свойства. Примером стержней, которые можно и нужно рассматривать как анизотропные, могут служить витые канаты, пружины, а также деревянные стойки в шахтах, которые по своим упругим свойствам существенно анизотропны. Анализ деформированного состояния таких тел является задачей актуальной и слокной. В связи с тем, что исследования для анизотропных стеркней в этом направлении немногочисленны, создание эффективных методов анализа деформации упругих стеркней и получение информации об их поведении представляет научный и практический интерес.

Из реально существующих анизотропных тел следует отметить композиты, монокристаллы, стеклопластики. Численное значение упругих постоянных анизотропных материалов мокно найти в обзорной статье К.С.Александрова и Т.В.Рыковой [i] , в которой приведены упругие постоянные более двухсот веществ, дан большой список литературы и указаны различные методы определения упругих постоянных. В справочнике Е.К.Ашкенази и Э.В.Ганова [3]приведены численные значения упругих констант древесины для двенадцати пород дерева. Анизотропия механических свойств метал -лов достаточно подробно излокена в монографии Н.Г.Микляева и Я.Б.Фридмана [37] .

Основные соотношения теории тонких упругих стеркней получены в известных трудах Г.Кирхгофа [29,64], А.Клебша [58] и А.Лява [Зб]. С точки зрения одномерной модели Г.Кирхгоф полу -чил основные дифференциальные уравнения изгиба и кручения тонких стеркней. Система этих уравнений оказалась незамкнутой (шесть дифференциальных уравнений, девять неизвестных величин), хотя Г.Кирхгоф и записал недостающие три конечных соотношения, но он не дал им достаточно строгого вывода. А.Клебш распространил полокения Г.Кирхгофа, связанные с геометрией оси стеркня, на криволинейные стеркни. В рамках трехмерной теории упругости А.Ляв исследовал соотношения для компонент тензора деформаций и с геометрических позиций дал оценку отдельных слагаемых в этих соотношениях. Здесь Ее [36] А.Ляв указал на те предпо -ложения, при которых из его формул получаются формулы Г.Кирхгофа для компонент тензора деформаций. Однако А.Ляв не указал, как из его соотношений можно получить недостающие соотношения одномерной теории упругих стержней. Теоретическим путем замкнуть уравнения Г.Кирхгофа впервые удалось Е.Л.Николаи ^38] , но только для изотропных материалов. Кроме того, им установлено неравенство, связывающее жесткости стержня. Для однородных стержней с анизотропией общего вида А.А.Илюхин [24,25], используя в качестве основного предположения справедливость формул Г.Кирхгофа, установил, что зависимость компонент тензора напряжений от дуговой координаты и координат в плоскости попе -речного сечения можно разделить. Это позволило ему установить связь между основными переменными, входящими в уравнения Г.Кирхгофа, а также совершить редукцию от трехмерных уравнений упругих стержней к одномерной модели. Он также обобщает известное неравенство Е.Л.Николаи, которому удовлетворяют главные жесткости стержня при изгибе и жесткость при кручении, для анизотропных материалов.

Важное место в теории упругих стержней занимают исследования Г.Ю.Джанелидзе [lO,Il], А.И.Лурье и Г.Ю.Джанелидзе [35], в которых с позиций малых перемещений рассмотрены вопросы деформации упругих стержней, имеющие важное практическое значение.

При построении математических моделей упругих стержней используются разные подходы. Одним из наиболее распространенных методов исследования напряженно-деформированного состояния стержня является метод разложения в ряд по степеням малого параметра, который естественным образом входит в уравнения трехмерной задачи. Идея использования малого параметра в разной форме давно присутствовала в исследованиях по теории упругих стержней. Она наиболее успешно применялась в работах последнего времени. В.В.Понятовский [41-43] , исходя из уравнений линейной теории упругости методом асимптотического разложения по степеням малого параметра, - относительной толщине стержня,-строит рекуррентные системы уравнений для последовательного определения приближений решения задачи об изгибе плоского стержня. Построены два приближения, в которых на каждом этапе решается одна и та же система уравнений с различными правыми частями и граничными условиями. В.Б.Елисеев [12,14] рассмотрел задачу теории упругости о равновесии тонкого изотропного стержня, нагруженного концевыми и поверхностными силами. Предложена модификация асимптотического метода интегрирования уравнений теории упругости, пригодная для стержней произвольной геометрии, в том числе и неоднородных. Компоненты тензора напряже -ний в нулевом приближении имеют такой же вид, как и в задаче Сен-Венана при кручении стержня.

Во многих работах малый параметр характеризует отклонение геометриии стержня от некоторой ее формы. Так в работах

A.И.Дурье, Г.Ю.Джанелидзе [34] , Н.П.Заметалиной, В.К.Прокопо-ва [15] первоначальное кручение оси стержня выступает в качестве малого параметра. А в работах Г.М.Хатиашвили [50,5l] , Г.М.Хатиашвили, К.В.Кахая [52] методом малого параметра, ха -растеризующего первоначальную кривизну, решена задача Сен-Венана для тел, близких к цилиндрическим, и рассмотрена деформация призматических тел со слабо изогнутой осью. В рамках геометрически нелинейной теории в работах В.Л.Бердичевского [4],

B.JI.Бердичевского и С.С.Квашиной [б] путем разложения вариационного уравнения теории упругости в ряд по малому параметру диаметру поперечного сечения стержня) строится зависимость • перемещений от поперечных координат, а также излагается фор -мальный метод построения моделей сплошных сред в рамках общей теории относительности на основе вариационного принципа.

С исследованиями в этом направлении связаны имена зарубежных ученых Г.А.Нариболи [бб] и А.Риголо [67-69]. Ими рассмотрена задача линейной теории упругости о деформации изотропного цилиндра с односвязным сечением, нагруженного распределенной нагрузкой по боковой поверхности и заданными на торцах усилиями, крутящим и изгибающими моментами. Решение представлено рядом по малому параметру, являющемуся отношением диаметра поперечного сечения к длине цилиндра, и задача сведена к двумерной.

Для одномерных моделей упругих стержней асимптотический метод использовался в работах Я.Ф.Каюка [26-28] и П.Е.Товсти-ка [47] . Я.Ф.Каюк развивал этот метод применительно к задачам статики, в которых учитывалось удлинение оси стержня, а П.Е.Товстик исследовал динамику винтовых пружин.

Отличительным признаком тонких стержней является то, что они могут совершать конечные упругие перемещения при малых деформациях. Задача об исследовании возможных случаев больших упругих перемещений имеет давнюю историю,и возникла она в работах Л.Эйлера [бо] , в которой он вариационным методом изу -чал геометрию плоской упругой линии и указал на пять форм равновесия. Существенный вклад в исследование плоских форм равновесия внес Е.П.Попов [44]. Его заслуга состоит в том, что он разработал точные методы решения для определенного класса задач, которые наиболее интересны с точки зрения технических приложений. Е.П.Попов представил результаты решения рассмотренного им класса нелинейных задач в таком виде, в каком они максимально удобны в приложении к числовым расчетам. Поэтому его монография [44] служит теоретической основой в прикладных исследованиях Л.Е.Андреевой [2], С.Д.Пономарева и Л.Е.Андреевой [40] и многих других.

Начало исследованиям пространственной упругой линии положено в статье С.Д.Пуассона [65] , который получил дифференци -альное уравнение оси деформированного стержня при условии, что его главные жесткости при изгибе равны. Вопрос о точном исследовании возможных пространственных форм равновесия тонкого стержня был значительно продвинут Е.Л.Николаи [38]. Координаты точек упругой линии в неподвижном пространстве можно получить, проинтегрировав векторное уравнение d't/ds^T (где Я -радиус-вектор точек на оси, а т - единичный вектор касательной к ней), но при этом возникают определенные трудности, связанные с интегрированием кинематических соотношений Л.Эйлера. Таким путем изучалась деформация упругого стержня в работах Н.Б.Делоне [8,9]. Следует отметить, что проинтегрировать кине -матические уравнения Л.Эйлера удается лишь в простейших случаях. Е.Л.Николаи ввел цилиндрическую систему координат, в которой координаты точек упругой линии связаны конечным соотношением и двумя квадратурами, что позволило исследовать форму оси деформированного стержня, не привлекая кинематических соотношений Л.Эйлера. Исследования различных очертаний упругой линии Е.Л.Николаи относятся к однородным изотропным стержням с равными жесткостями при изгибе и прямолинейной осью в недеформированном состоянии.

Дальнейшее развитие геометрический метод получил в работах А.А.Илюхина [23-25]. Для качественного изучения всех особенностей деформированного состояния стержня упругая линия стержня представлена им как линия пересечения двух поверхностей,и последующий анализ сводится к исследованию свойств двух плоских кривых. При исследовании возможных форм равновесия на точных решениях задачи А.А.Илюхин предложил метод разделяющих множеств для свободных параметров, и описал подход к разбиению на классы возможных форм равновесия анизотропного стержня для шести точных решений пространственной задачи изгиба и кручения тонкого стержня.

Следует отметить, что геометрические исследования отличаются, в первую очередь, наглядностью в представлении полученных результатов, а, с другой стороны, они являются одним из способов в выявлении нелинейных эффектов и поэтому во многих отзывах о них признавались перспективными. Здесь изложены лишь только те из многочисленных исследований по теории упругих стержней, которые непосредственно относятся к диссертационной работе.

Диссертация состоит из четырех глав, заключения и списка литературы из 71 названия. Первая глава носит вводный характер.

Во второй главе ставится задача построить математическую модель анизотропных стержней. Решение этой задачи состоит из двух этапов. На п ер в о м этапе рассмотрена задача о равновесии анизотропного тела, размеры которого в двух измерениях малы по сравнению с третьим. Стержень деформирован концевыми нагрузками и усилиями, распределенными по боковой поверхности. Диаметр поперечного сечения считается малым по сравнению с длиной, что позволило ввести малый параметр Л, равный отношению этих величин. Решение уравнений теории упругости описывается в виде асимптотического разложения по степеням малого параметра. Получена последовательность дифференциальных уравнений в объеме и граничных условий на боковой поверхности, отвечающие двум первым разложениями установлена структура решений этих уравнений. Показано, что соотношения Г.Кирхгофа для компонент тензора деформаций мокно рассматривать, как первое прибликение в асимптотическом смысле точных уравнений теории упругих анизотропных стеркней. Перемещения точек оси стеркня связаны с приращениями кривизны формулами А.Клебша. На втором этапе совершена редукция от трехмерных уравнений к одномерной модели. Таким образом, во второй главе обоснованы основные допущения теории анизотропных стеркней [25] , которые ранее применялись как гипотезы.

В третьей главе с помощью геометрического метода исследована деформация анизотропных стеркней концевыми нагрузками для двух точных решений уравнений изгиба и кручения. Как известно, нелинейные дифференциальные уравнения равновесия упругой линии совладают с нелинейными дифференциальными уравнениями двикения тякелого твердого тела, имеющего неподвившую точку. Эта мате -матическая аналогия способствовала распространению в теорию упругих стеркней результатов, полученных в динамике твердого тела [8,9,38,44,62,63,70,71]. В работе на основе аналогии Г.Кирхгофа получены точные решения дифференциальных уравнений изгиба и кручения тонких стеркней, которым в динамике твердого тела соответствуют решения В.Гесса [63] и Л.Н.Сретенского [46]. Проведена полная классификация возмокных форм равновесия первоначально прямолинейного и криволинейного стеркня, позволившая получить наглядное представление о всех свойствах (геометрического характера) и особенностях деформированного состояния стеркня. Области изменения свободных параметров решения разбиты на подобласти, каждой из которых отвечает определенная форма равновесия. В решении В.Гесса указаны условия, при которых ось стержня в деформированном состоянии является плоской кривой. Случаю Л.Н.Сретенского соответствуют только пространственные конфигурации оси стержня.

В четвертой главе решена задача о деформации упругого стержня, когда внешние усилия сводятся только к концевому моменту. Этот случай является особым, так как при равенстве нулю равнодействующей концевых сил уравнения упругой линии имеют совершенно другой вид, не вытекающий из общих уравнений. В работе уравнения упругой линии записаны в неподвижной системе координат, третья ось которой направлена по неподвижному в абсолютном пространстве вектору М (вектор концевого момента). Координаты точек упругой линии выражены через эллиптические функции дуговой координаты. Рассмотрены два случая деформации упругого стержня концевой парой сил, которым в динамике твердого тела соответствуют общие решения Л.Эйлера и Н.Е.Дуковского. Для вычисления декартовых координат точек упругой линии составлены программы на алгоритмическом языке "Фортран". Таким образом четвертая глава полностью решает задачу о деформации упругих стержней в случае р = 0 . ( р - равнодействующая концевых сил).

В заключении сформулированы основные научные результаты исследований, полученные в диссертационной работе, и выводы из них.

На защиту выносятся следующие результаты:

- асимптотическое построение теории упругих анизотропных стержней;

- обоснование применимости теории Кирхгофа-Клебша в общем случае анизотропного материала;

- аналитическое и геометрические исследования деформации упругих стержней в некоторых частных случаях;

- анализ конечных упругих перемещений анизотропных стержней в зависимости от интегральных силовых характеристик;

- вывод уравнений изгиба и кручения в случае, когда равнодействующая концевых сил равна нулю;

- анализ деформаций однородного стержня только концевыми моментами.

По теме диссертации опубликовано семь работ 16-22 .

Результаты исследований докладывались на научном семинаре отделов прикладной механики и технической механики Института прикладной математики и механики АН УССР (1980-1984 г.г., руководитель - чл.-корр. АН УССР П.В.Харламов); на третьем Республиканском совещании по проблемам динамики твердого тела (До -нецк, 1981 г.); на Республиканском научно-техническом симпозиуме "Концентрация напряжений" (Донецк, 1983 г.); на Республиканской конференции по нелинейным задачам математической физи -ки (Донецк, 1983 г.).

Автор выражает искреннюю благодарность кандидату физико -математических наук А.А.Илюхину за постановку задачи и внимание к работе.

2. ОБОСНОВАНИЕ ТЕОРИИ КИРХГОФА ДЛЯ АНИЗОТРОПНЫХ СТЕРЖНЕЙ

Классическая теория упругих стержней, как известно, основывается на гипотезах Г.Кирхгофа [29, 64] . В разное время появлялись работы, в которых предпринимались попытки обоснования положений теории Г.Кирхгофа и их уточнения. Особенно возросло количество работ в последнее время. В большинстве этих работ результаты относятся к изотропным стержням.

Одним из методов исследования налрякенно-деформироваиного состояния тонких тел является метод разложения в ряд по малому пара -метру [7, 59, 61] . Этот метод является основным в цикле работ В.В.Понятовского [41-43] , в которых из трехмерных уравнений линейной теории упругости с помощью разложения по степеням относи -тельной толщины стержня построены рекуррентные системы уравнений для последовательного определения приближений решения при изгибе плоского стержня. В первом приближении получаются соотношения теории изгиба стержней по Кирхгофу-Клебшу, в последующих приближениях возникает необходимость решать плоскую задачу теории упругости для сечения стержня при определенных граничных условиях. Исследованию равновесия тонких упругих изотропных стержней произвольной геометрии, в том числе и неоднородных, с помощью асимптотического интегрирования уравнений теории упрутости посвящены работы

Б.В.Елисеева [12, 14] .

В основу построения соотношений теории анизотропных стержней в работах [24, 25] положено предположение о том, что в теории анизотропных стержней для компонент тензора деформаций справедливы формулы Кирхгофа. В.Л.Бердичевским [4] вариационно - асимптотическим методом в рамках трехмерной теории упругости получены основные зависимости для теории анизотропных стержней и показано, что для анизотропных стержней гипотеза плоских сечений может выполняться. Однако в этой работе использовано предположение, что поперечное сечение не поворачивается при переходе от одной точки оси стержня к другой. В работах Г.М.Хатиашвили [50, 51] , Г.М.Хатиашвили,К.В.Ка-хая [52] асимптотическим методом решены задачи о растяжении и изгибе удлиненных тел со слабо изогнутой осью.

Основная цель данной главы обоснование результатов работ [23, 25] и установление структуры дополнительных соотношений одномерной теории упругих анизотропных стержней.

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Подводя итог проведенных исследований, приходим к выводу, что решение задач теории упругости применительно к телам со слоеными физико-механическими свойствами требует анализа громоздких уравнений. Поэтому в работе поставлена задача в полной мере использовать специфику рассматриваемых упругих тел. Для тел, размеры которых в двух измерениях много меньше его третьего, введен малый параметр с последующим применением асимптотического метода. Проведенные исследования состоят из трех эта -пов. На первом этапе построена последовательность дифференциальных уравнений и граничных условий для коэффициентов разложения в ряд по малому параметру компонент тензора напряжений и вектора перемещений в трехмерной постановке, доказана разрешимость этих задач для первых двух членов разложения и установлена структура решений. На втором этапе осуществлена редукция рассматриваемой задачи к одномерной и установлена связь между характеристиками одномерной модели. Это позволило построить замкнутую гибридную систему дифференциальных уравнений. На третьем этапе изучено поведение упругих анизотропных стержней под действием концевых усилий уже в рамках одномерной модели.

Таким образом, основные результаты диссертационной работы состоят в следующем:

- построена рекуррентная последовательность дифференциальных уравнений и граничных условий в задаче о деформации анизотропных стержней в трехмерной постановке. Изучена структура решений первого и второго приближения и показано, что одномерная модель упругих стержней обобщающая теорию Г.Кирхгофа -А.Клебша на анизотропный случай, является в асимптотическом смысле теорией первого приближения. Указаны какого вида поправки необходимо внести в эту теорию при рассмотрении уравнений второго приближения;

- проведен аналитический и геометрический анализ деформаций прямолинейных и криволинейных анизотропных стержней при определенных ограничениях на их упругие свойства. Указаны воз -можные формы равновесия стержня в этих случаях и области изменения свободных параметров, при которых реализуется каждая из возможных форм. Выписаны условия, при которых упругая линия является плоской кривой.

- решена задача об изгибе и кручении упругого стержня только концевыми моментами. Получена явная зависимость перемещений точек оси стержня в абсолютном пространстве от интегральных силовых характеристик. Зависимость перемещений от дуговой координаты представлена через эллиптические функции Якоби.

1. Александров К.С., Рыжова Т.В. Упругие свойства кристаллов. Кристаллография 1961, т. 6, вып. 2, с. 289-314.

2. Андреева Л.Е. Упругие элементы приборов. М.: Машгиз, 1962, 456 с.

3. Ашкенази Е.К., Ганов Э.В. Анизотропия конструкционных материалов. Справочник "Машиностроение", I. 1972, 216 с.

4. Бердичевский В.Л. Об уравнениях теории анизотропных неоднородных стержней. Докл. АН СССР, 1976, 228, JS 3, с. 558-561.

5. Бердичевский В.Л., Квашнина С.С. Об уравнениях, описывающих поперечные колебания упругих стержней. Прикл. математика и механика, 1976, 40, вып. I, с. 120-135.

6. Виттенбург Й. Динамика систем твердых тел. М., Мир, 1980, 292 с.

7. Гольденвейзер А.Л. Построение приближенной теории изгиба пластин методом асимптотического интегрирования уравнений теории упругости. Прикл. математика и механика, 1962, т. 26, вып. 4, с. 668686.

8. Делоне Н.Б. Об упругих линиях малой двоякой кривизны. Изв. Киевск. политен. ин-та. Отдел, инж-механ., 1914, кн. I, с. 1-9.

9. Делоне Н.Б. Заметка о приложении аналогии Кирхгофа к движению волчка, открытому проф. Д.К.Бобылевым и В.А.Стекловым. Изв. Киевск. политех, ин-та. Отдел, инж.-механ., 1914, кн. I с. 1326.

10. Джанелидзе Г.Ю. Соотношения Кирхгофа для естественно скрученных стержней. Тр. Ленингр. политех, ин-та, 1939, 3, с. 37-45.

11. Джанелидзе Г.Ю. Обобщенные зависимости теории тонких стержней.-Докл. АН СССР, 1949, 66, й 4, с. 597-600.

12. Елисеев В.В. Применение асимптотического метода в задаче о равновесии криволинейного стержня. Изв. АН СССР, Механика твер- 114 дого тела, 1977, 3, с. 145-150.

13. Елисеев В.В. Конечные деформации и устойчивость равновесия упругих стержней. Труда ЛПИ, 1982, № 386, с. 56-60.

14. Елисеев В.В. 0 построении.уточненной модели упругой балки. -Труда ЛПИ, 1982, й 386, с. I06-II6.

15. Заметалина Н.П., Проколов В.К. Напряженное состояние естественно скрученных стержней типа спиральных сверл. Изв. АН Арм. ССР, Механика, 1974, 27, № 3, с. 3-9.

16. Иванов Б.П. Геометрическое исследование формы оси деформированного стержня для решения Л.Н.Сретенского. Мех. твердого тела, 1981, вып. 13, с. II8-I23.

17. Иванов Б.П. Геометрические исследования деформации упругих стержней в некоторых случаях интегрируемости. В кн.: Третье республиканское совещание по проблемам динамики твердого тела. Тез. докладов, Донецк, 1981, с. 21.

18. Иванов Б.П., Илюхин А.А. Исследование форм равновесия упругого стержня в решении Гесса. Прикл. механика, 1980, 16, В II,с. 89-94.

19. Иванов Б.П., Илюхин А.А. Деформация стержня концевыми моментами. Механика твердого тела, 1982, вып. 14, с. 124-129.

20. Иванов Б.П., Илюхин А.А. Исследование напряженно деформированного состояния анизотропного стержня. В кн.: Республиканский симпозиум " Концентрация напряжений", Тез. докладов, Донецк, 1983,с.40-41.

21. Иванов Б.П., Илюхин А.А. Асимптотическое построение нелинейной теории анизотропных стержней. В кн.: Республиканская конфе -ренция по нелинейным задачам математической физики. Тез. докладов. Донецк, 1983. с. 53.

22. Иванов Б.П., Илюхин А.А., Козлов С.В. К обоснованию теории Кирхгофа Клебша. - Мат. физика и нелинейная механика, 1984,23