Термомеханические модели процессов конечного деформирования анизотропных тел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Соколова Марина Юрьевна

ТЕРМОМЕХАНИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ КОНЕЧНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ АНИЗОТРОПНЫХ ТЕЛ

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Тула 2003

Работа выполнена на кафедре математического моделирования в Тульском государственном университете.

Научный консультант - доктор физико-математических наук, профессор

Маркин Алексей Александрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Бровко Георгий Леонидович

доктор физико-математических наук

Роговой Анатолий Алексеевич

доктор физико-математических наук, профессор Артемов Михаил Анатольевич

Ведущая организация - Тверской государственный технический университет

Защита диссертации состоится 24 апреля 2003 г. в 1423 часов на заседании диссертационного совета Д 212.271.02 при Тульском государственном университете (300600, г. Тула, пр. Ленина, 92,9-101).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тульского государственного университета.

Автореферат разослан " марта 2003 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Л.А. Толоконников

^чГ" з

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы Большинство современных конструкционных материалов, таких как полимеры, композиты, керамика, биоматериалы, обладают анизотропией механических и термических свойств. Интерес представляет поведение изделий из этих материалов в условиях конечного деформирования и повышенных температур. Известно, что при конечных деформациях анизотропных тел происходит изменение типа симметрии и численных характеристик упругих и пластических свойств материала. Этот процесс сопровождается также изменением ориентации главных осей анизотропии, связанным не только с наложением на процесс деформирования жесткого вращения, но и с собственно "чистой" деформацией.

В поведении анизотропных и изотропных тел имеются существенные различия. Из работ П. Бриджмена, A.M. Жукова, Е.К. Ашкенази известно, что при воздействии на анизотропный материал гидростатического давления возможно появление остаточных пластических деформаций. Различно поведение анизотропных и изотропных тел под воздействием температуры. В однородном поле температур в нестесненном изотропном теле возникают только объемные деформации, а в анизотропном теле к объемным деформациям добавляется изменение формы. Механические свойства изотропных и анизотропных материалов зависят от температуры, причем эта зависимость может быть нелинейной

Поведение упругих и пластических анизотропных тел при малых деформациях рассматривается в многочисленных работах отечественных и зарубежных авторов, в том числе в классических работах П. Бехтерева, Н.Г. Ченцов;, В.В. Новожилова, С.Г. Лехницкого, Е.К. Ашкенази, Я. Рыхлевского, Р. Мизеса. Р. Хилла, Е.В. Маховера, С.П. Яковлева, И.И. Гольденблата, Б.Е. Победри, Н.М Матченко, Д.Д. Ивлева. Описанию конечных деформаций анизотропных тел посвящены монографии А. Грина и Дж. Адкинса, К.Ф. Черныха, В.И. Левитаса, статьи отечественных и зарубежных авторов, в том числе работы A.C. Кравчука, J. Mandel, Y.F. Dafalias, К. Hackl, В. Mauget и Р. Регге. Однако, в настоящее время остаются нерешенными проблемы построения конкретных форм определяющих соотношений термоупругого и термопластического поведения анизотропных материалов. Практически отсутствуют работы, посвященные построению экспериментальных программ определения входящих в уравнения состояния материальных функций и констант.

В связи с этим актуальной является разработка моделей конечного деформирования изотропных и анизотропных тел с учетом влияния термических_

I РОС. HVI . " . ' ь нд Г 6И1. I ä К А

)С ¡)гтсрб)рг 200 ^РК _

воздействий, которые позволили бы прогнозировать свойства изделий, получаемых в процессах конечного деформирования, а также производить расчеты конструкций на прочность и устойчивость в условиях эксплуатационных нагрузок под воздействием температурных полей.

Работа выполнялась в рамках гранта РФФИ "Экспериментальное исследование свойств материалов при конечных деформациях" (№ 97-01-00321), гранта Министерства образования РФ "Термомеханические модели конечного деформирования анизотропных тел" (шифр Е02-4.0-110).

Целью работы является построение вариантов термомеханических соотношений, определяющих поведение анизотропных материалов при конечном деформировании и позволяющих прогнозировать изменение их свойств, с указанием программ экспериментальной конкретизации.

Основными задачами исследования являются:

- распространение теории процессов A.A. Ильюшина на конечные деформации начально анизотропных материалов путем использования неголоном-ных мер деформаций и построения образа процесса деформирования начально анизотропных материалов;

- разработка математического аппарата для описания симметрии свойств материалов в шестимерном пространстве A.A. Ильюшина;

- построение термомеханических моделей обратимого конечного деформирования изотропных и анизотропных материалов и разработка программ экспериментального определения входящих в них материальных констант;

- построение определяющих соотношений необратимого конечного деформирования анизотропных материалов, описывающих развитие и изменение анизотропии при пластическом деформировании;

- постановка краевых задач и разработка методов их решения.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- на основе введения обобщенных канонических тензорных базисов второго и четвертого рангов получена связь между тензорами четвертого ранга, описывающими анизотропию свойств среды, и их векторными образами в шестимерном пространстве A.A. Ильюшина;

- для анизотропных материалов различных типов установлены инвариантные векторные и тензорные базисы, с учетом чего получены канонические представления тензоров, описывающих симметрию свойств материалов различных типов, и разработана программа экспериментов по идентификации типа исходной анизотропии материала;

- предложен вариант квазилинейных соотношений анизотропной термоупругости и система экспериментов по их конкретизации. Показано, что в рамках этих соотношений отражается разносопротивляемость материалов, нелинейная зависимость температурных напряжений от изменения температуры, а также зависимость упругих свойств материала от температуры;

- разработана методика обработки экспериментов по конечному деформированию сплошных цилиндрических образцов с целью определения констант, входящих в нелинейные соотношения изотропной термоупругости, учитывающие возможность отклонения свойств материалов от частного постулата изотропии A.A. Ильюшина;

- предложены варианты теории течения и деформационной теории термопластичности анизотропных материалов с выделением процессов обратимого деформирования, аналогичных процессам объемного деформирования изотропных материалов;

- разработана модель конечного деформирования композитного баллона, образованного спиральной намоткой с пропиткой связующим и последующей полимеризацией. Предложена методика расчета прочности баллона под действием внутреннего давления в заданном поле температур по заданным характеристикам свойств каждого его слоя, числу слоев и углу намотки композита в каждом слое.

Достоверность и обоснованность основных положений работы и полученных результатов подтверждается:

- использованием в качестве методологической основы исследований термомеханического подхода, введенного в механику сплошных сред Л.И. Седовым, A.A. Ильюшиным, И.И. Гольденблатом, К. Трусделлом, и теории процессов A.A. Ильюшина;

- исследованием симметрии свойств материала на основе классических работ A.B. Шубникова, Ю.И. Сиротина, Э. Спенсера, А. Грина, В.В. Лохина и Л.И. Седова, а также известных положений теории групп;

- качественным совпадением результатов решения краевой задачи конечного деформирования сплошных цилиндров с известными экспериментальными данными Пойнтинга, Ривлина, современных исследователей;

- совпадением результатов исследований в частных случаях с известными результатами других авторов;

- использованием надежных численных методов решения прикладных задач

Практическая ценность работы

Предложенные в работе варианты уравнений состояния анизотропных сррд могут быть использованы при моделировании поведения упругих и жест-копластических анизотропных материалов при механических и тепловых воздействиях.

Разработанная методика определения напряженно-деформированного состояния цилиндрических анизотропных тел и соответствующие программные средства могут быть использованы с целью проведения прочностных расчетов изделий из намотанных композитов.

На защиту выносятся следующие основные результаты работы:

- программа экспериментов по идентификации типа начальной анизотропии материала, основанная на представлении свойств материалов, обладающих симметрией, в шестимерном пространстве A.A. Ильюшина;

- термомеханические модели поведения упругих начально изотропных и анизотропных материалов без ограничений на величины деформаций;

- методика обработки экспериментов по конечному деформированию изотропных сплошных цилиндров, основанная на решении краевой задачи;

- термомеханические модели необратимого конечного деформирования начально анизотропных материалов;

- методика численного решения краевой задачи конечного деформирования осесимметричных анизотропных тел под действием силовых и термических факторов.

Апробация работы.

Основные положения и результаты диссертационной работы доложены на научном семинаре по механике деформируемого твердого тела им. Л.А. То-локонникова (науч руководитель - Маркин A.A., г. Тула, 2002 г.), на научном семинаре кафедры "Механика композитов" МГУ (науч. руководитель - Побед-ря Б.Е., г. Москва, 2002 г.), на международном научном симпозиуме "Современные проблемы прочности, пластичности и устойчивости" (г. Тверь, 2000 г.), на международной научно-технической конференции "Актуальные проблемы строи гельства и строительной индустрии" (г. Тула, 2001 г.), на международной конференции "Научно-технические проблемы прогнозирования надежности и долговечности конструкций и методы их решения" (г. Санкт-Петербург, 2001 г.), на всероссийских научных конференциях "Современные проблемы математики, механики, информатики" (г. Тула, 2001 г. и 2002 г.).

Публикации По теме диссертации опубликовано 42 работы.

Структура и объем работы Диссертационная работа состоит из введения, пяти разделов, заключения, списка литературы из 261 наименования и содержит 258 страниц, 39 рисунков и 8 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении рассматривается современное состояние исследований в области конечного деформирования упругих и пластических анизотропных материалов с учетом влияния температуры, обосновывается важность и актуальность работы, формулируются цели и задачи исследования.

В первом разделе на основе геометрически нелинейной теории деформаций и напряжений сформулированы основные положения теории процессов конечного деформирования, учитывающие возможную анизотропию свойств материалов в начальном состоянии, а также приведены основные термомеханические соотношения, позволяющие связать напряженно-деформированное i.o-стояние тела с изменениями температуры.

В качестве мер конечных деформаций используются тензор деформаций 1 2

Коши-Грина е = — (U - Е), тензор логарифмических деформаций Генки

Г = In U, неголономные меры деформаций, введенные в работах A.A. Марклъа и определяемые как решения дифференциальных уравнений Hv =Н + Н ю-ю Н = W,

Кд = K + Ki2-iiK = W, (1)

где U является симметричной составляющей полярного разложения аффинора деформаций Ф = U ■ R, тензоры W,<o,ii определяются соотношениями

W = - (и-1 -Ü + Ü-IT')-R, ю = • (и-1 • Ü - Ü • U-1)- R - R"1 ■ R , fi = R-' R = -R"' R.

Шаровая и девиаторная составляющие тензоров конечных деформаций Г, Н, К определяют независимо друг от друга процессы объемной и сдвиговой деформаций соответственно. Тензор Коши-Грина е не обладает этими свойствами в случае конечности деформаций.

Для характеристики напряжений помимо тензора истинных напряжений S используем тензоры напряжений, сопряженные с тензорами деформаций:

обобщенный тензор Коши £ = S и энергетический тензор напряжений

dV0

Т = (Ф~')т-£-Ф ' Энергетическая сопряженность тензоров напряжений и деформаций подразумевает возможность представления удельной мощности напряжений в виде сверток

дг(е> = Т £ = £ НУ =Е--Кд =Ек• Кк = £к • -Г, где обозначены = К • £ • И-1, Кк = И ■ К • К""1.

Тепловое воздействие на элементарный объем определяется притоком тепловой энергии через поверхность, ограничивающую объем. Скорость притока гепла к единице объема материала выражается через вектор теплового потока о

<70 • = - V- <у0, что с учетом закона Фурье для теплового потока принимает вид

Q

А »-Vi

ч

где V- оператор Гамильтона в исходной системе коорди-

нат, А0 - тензор теплопроводности.

Связь между напряжениями, деформациями и температурой записывается в виде постулата макроскопической определимости A.A. Ильюшина через инвариантные относительно жестких движений, энергетически сопряженные тензоры напряжений и деформаций:

где очередность смены состояний в равновесных процессах определяется законом деформирования sE (/), причем = л/е-е , или в виде

dt

где закон деформирования sK (t) определяется из уравнения

(Ьь dt

Обе формы записи постулата макроскопической определимости удовлетворяют требованию материальной объективности. Температура в этих соотношениях является независимо изменяющимся параметром.

Зависимость между напряжениями и деформациями существенно зависит от изотропии или анизотропии среды в начальном состоянии. Пусть Q - постоянный ортогональный тензор, связывающий два начальных материальных базиса е, = ё, ■ Q, тогда условие начальной изотропии материала имеет вид

Q-' Т Q = 3£{СГ1 • e(se) ■ <ф,т\ VQ е g,

где g - полная ортогональная группа.

— - т]кК "kR .

Материал является анизотропным с симметрией свойств, которая характеризуется подгруппой g\, если имеет место соотношение

Q-1-T.Q = 3e}Q-1-£(?E)-Q]^,rJ VQegA, gAczg. (2)

Условие (2) показывает, что в анизотропном материале, обладающем ча-чальной симметрией свойств, существуют направления, в которых свойства материала одинаковы. Эти направления определяются подгруппой gA, которая г- а-зывается группой симметрии материала.

Будем рассматривать образ процесса конечного деформирования в шестимерном пространстве A.A. Ильюшина, в котором устанавливается соответствие между симметричными тензорами второго ранга и шестимерными векторами. Тензору четвертого ранга в этом пространстве соответствует тензор второго ранга, между их компонентами определена связь

f-AV = ßXßßß > f "aß = ß^X,

где обозначенные латинскими буквами индексы принимают значения 1, 2, 3, а греческими буквами — значения 0, 1, 2, 3, 4, 5. Матрицы являются из-

вестными из работ A.A. Ильюшина матрицами перехода.

В рассмотрение введен канонический тензорный базис

Io + ё2ё2+ё3ё3);

cosß0 • ёхёх - sin ß0 + 7 • ёгё2 + sin ß0 - ^ • ё3ё3 ; П)

I2 = fsin ßo • ехёу + cos^ßo + • ё2ё2 - cos^ß0 - ■ ё3е3 j;

l3 =-^(ё1ё2+ё2ё1); I4 =-^(ё2ё3 +ё3ё2); I5 =-^(ё3ё, + ё,ё3),

такой, что образами тензоров I0,!1,!2,!3,!4,!5 являются базисные вектору Т0, ц, i2, ¿3, /4,15 пространства A.A. Ильюшина. На его основе построен тензорный базис четвертого ранга Образами тензоров этого бг-

зиса в шестимерном пространстве являются базисные диады iaß = ~(4\ + 'р4 )■

Тензоры базиса (3) при значении ß0 = 2л/3 с точностью до знака совпадают с тензорами тригонометрического базиса В.В. Новожилова, а при ß0 = О с базисными тензорами, использованными в работах Г.Л. Бровко.

Второй раздел посвящен описанию типов симметрии анизотропных мат ериалов в шестимерном пространстве на основе определения инвариантности введенных тензорных базисов.

Ортогональным преобразованиям базиса = ё, • (2 трехмерного пространства Е~3 соответствуют трехпараметрические ортогональные преобразования гаестимерного пространства Е6, определяемые матрицей , компоненты

которой выражены через компоненты О. Эта же матрица определяет и связь между базисными векторами и базисными диадами пространства Е6 при трех-параметрических преобразованиях:

£=2>оф^ И ('ар У = I >

(3=0 8,у=0

а также связь между тензорами канонических базисов:

Н=2>«э1р и ИУ=£'«а51 Чу

Р=0 8,7=0

По известным порождающим элементам групп симметрии gA кристаллографических систем и текстур определены соответствующие им порождающие элементы групп (яА)6 в шестимерном пространстве. Базисные

векторы /а и тензоры ¡ар инвариантны относительно преобразований из группы симметрии материала, если выполняются равенства

£ = 4 ■ <2б = 4;

(»ар ) = <3б • 'ар • <2б = 'ар 6 )б •

Инвариантные тензоры и векторы шестимерного пространства приведены в таблице 1.

Исходя из указанной выше связи между базисами шестимерного пространства и каноническими базисами пространства Еъ, данные, приведенные в таблице 1, легко обобщить на тензоры I" и 1а''.

На основе полученных результатов разработана программа экспериментов по определению типа исходной анизотропии материала. Программа включает следующие опыты: объемное деформирование э - э0/0 с тензором скорости реформации £ = 9(5,а, + а2а2 +а3а3), двухосное деформирование э = э2;2 с тензором скорости деформации £ = ¿(а{ах -ага2) и сдвиг э = э3/3 с тензором скорости деформации £ = ¿(¿¡а^ + а2а]).

Таблица 1

Инвариантные базисные векторы и тензоры в пространстве A.A. Ильюшина

Кристаллографические системы и текстуры Базисные векторы h Базисные тензоры »aß

(1) Триклинная г0' h' 12' г3 > 14 > 15 'aß

(2) Моноклинная ioA'h'h >00' '(И' >02' >03>'U» >12» 'l3> '22' '23' '33> '44' >45' >55

(3) Ромбическая H>>h>h 'oo> 'Ol' '02' 'п> '12*'22' >33' '44> '55

(4) Тетрагональная '00> >01 > >11' '22> '33' >44 + i55

(5) Тригональная '00> >01' 'll> '22 + '33> '44 + '55 > >24+'35

(6) Гексагональная со,оо/и оо:/и,оо-2 'OO' 'Ol' 'll' l22+ '33' '44+ '55

(7) Кубическая ¿0 '00> 'll+ '22 ' '33+ '44 + '55

(8) Гирогпропная (<»/<»), изотропная (<х>/аа-т) среды '00> >1I + '22 + >33 + >44 + '55

По отклику материала в эксперименте на объемное деформирование определяются главные оси анизотропии с базисом а1,а2,а3, и все материалы разделяются на три группы в соответствии с рис. 1, а. Во втором и третьем опытах проводится идентификация материалов внутри каждой группы. Например, изотропный (8) и кубический (7) материалы в ответ на двухосное деформирование и сдвиг дают соосные с деформациями напряжения (рис. 1, б), однако, для изотропного материала имеет место пропорциональность между напряжениями и

деформациями — - —, а для кубического материала напряжения и деформа-

э2 %

г.

ции непропорциональны —^ ^ —. В этих же экспериментах отклик триго-

Ь ¿з

нального материала (5) существенно отличен от откликов тетрагонального (4) и гексагонального (6) материалов, а для двух последних различия состоят в пропорциональности и непропорциональности напряжений и деформаций (рис. 1,

<т, а3

в), так как для гексагонального материала — = —, а для тетрагонального -

э2 э3

Материалы триклинной (1), моноклинной (2) и ромбической (3) сиь-

Э2 э3

гоний дают различные отклики в опыте на сдвиг (рис. 1, г), причем в триклин-ном материале возникают напряжения самого общего вида

<7(1) = су]/] + ст2г2 + + ^4*4 + •

Рис 1 Взаимное расположение векторов напряжений и деформаций в опытах по идентификации типа начальной анизотропии материала

В третьем разделе рассмотрены процессы неизотермического обратимого конечного деформирования изотропных и анизотропных материалов. Для изотропных материалов предложена общая модель нелинейной термоупругости и приведена полная программа ее конкретизации.

Для анизотропных материалов на основе термомеханического подхода к анализу процессов конечного деформирования получены тензорно-линейные соотношения между напряжениями, деформациями и температурой, записанные через тензор деформаций Коши-Грина и через неголономную меру деформаций в виде

Т = N • -е-В • (Г-Г0) и =^кГ-Кк-В(к)-(7--7Ь), (4)

где тензоры четвертого ранга 14,и тензоры второго ранга В, В(К) имеют в

главных осях анизотропии постоянные компоненты и характеризуют соответственно упругие свойства материала и температурные напряжения. При беско-

нечно малых деформациях соотношения (4) совпадают с уравнениями состояния Дюгамеля-Неймана, а в изотермических процессах - с законом Гука. Определяющие соотношения (4[) совпадают с вариантом анизотропной упругости К.Ф. Черныха в случае изотермических процессов.

Соотношения (4) были использованы для анализа процесса простого сдвига полосы из трансверсально-изотропного материала. Сравнение результатов расчета напряжений на гранях этой полосы показало, что использование в определяющих соотношениях тензора деформаций Коши-Грина приводит к результатам, не согласующимся с физическими представлениями о процессе простого сдвига.

Во введенном шестимерном пространстве вектор деформаций к является образом тензора деформаций Кк, а вектор напряжений а - образом обобщенного тензора истинных напряжений . Выражение для удельной свободной энергии записывается в виде

где тензор п зависит от вектора деформаций п = п(Л), вектор В зависит от

температуры Ъ = В(Т), а функция \|/°(Г) представляет часть свободной энергии, зависящую только от температуры.

На основе термомеханического подхода из представления (5) получен вариант квазилинейных соотношений анизотропной термоупругости в виде

т-1

■к-Ь(Х)-{Т-Т0), (6)

ст= с+ Т.са^ак + к1а +£аЕ6)

а=0

где с - постоянный тензор свойств материала, са- дополнительные константы материала,

/а и т- инвариантные базисные векторы для данного материала и их число,

Ь{Т) = р0Ь(Т) - вектор, характеризующий температурные напряжения,

возникающие в стесненном макрообъеме при изменении температуры:

<*=5_ _

а = = -Ь(Т) ■ (Т - Тй), Е6 = £га/а - единичный тензор пространства Еь.

а=0

Функция В(Т) выражается через вектор а, характеризующий температурные деформации кт = к\ = а ■ (Т - Т0), а - вектор температурных расши-

1ст=0

рений, и имеет вид

т-1

Ь = с • а + (Т - Г0) Е Са((а ■ а)Е6 + 253)- 4 . (7)

а=0

В результате анализа температурных напряжений, возникающих на гранях однородного параллелепипеда, с учетом представления (7) показана нелинейная зависимость температурных напряжений от изменения температуры.

Для функции у0 (Г) принято выражение \|/° = -съТ0

'Т.Т ^ 1п — + 1

где се

То Г0 )

- удельная теплоемкость материала, Т0 - абсолютная температура начального состояния.

Тогда энтропия имеет представление, отличающееся от представления линейной теории:

1

л = —

Ро

,

с-а + 2(Т-Т0)£са{(5- а) Е6 +2 аа)- 1а

а=О

■к+сг (8)

1 о

Соотношения (5), (6), (8) определяют всю систему термодинамических параметров для упругого анизотропного материала.

После подстановки выражения для температурных напряжений (7) в соотношения (6), определяющие соотношения нелинейной анизотропной упругости записываются в форме обобщенного закона Гука

с = п (к,кт)-(к-кт), (9)

где п(,ЁДг)= с + ¿сЦгЦл + кт)+ + р)Га + +

а=0

Конкретизация соотношений (9) для данного материала сводится к стандартной программе экспериментов по определению тензора упругости анизотропного материала по начальному участку диаграмм деформирования, когда к —> 0. Для определения вектора кт = а (Г - Г0) требуются эксперименты по нахождению коэффициентов температурного расширения материалов, известные из литературы, с последующим вычислением компонент вектора а. Константы са могут быть найдены из экспериментов по одноосному растяжению материалов вдоль осей анизотропии. Для изотропного Материала константа с0 определяется из опыта на растяжение в произвольном направлении, для транс-версально-изотропного материала достаточно двух опытов на растяжение в направлении оси анизотропии и в поперечном направлении. В случае ортотропно-го материала три константы с0,с!,с2 можно найти из трех опытов на растяжение вдоль трех главных осей анизотропии. В каждом опыте получаемые диаграммы деформирования аппроксимируются квадратными параболами.

Соотношения (9) описывают явление разносопротивляемости материалов растяжению-сжатию. На рис. 2 приведены зависимости напряжений, возникающих на гранях однородного параллелепипеда из трансверсально-изотропного материала при изотермическом одноосном деформировании его вдоль оси анизотропии (Х33 = £331С ) и в поперечном направлении (Ег1 = ¿22 / С3333), от логарифмических деформаций 1п л3 и 1п Х2 •

Из рис. 2 следует, что кривые, соответствующие деформациям растяжения и сжатия, не совпадают. В отличие от известных моделей разносопротив-ляющихся материалов, соотношения (9) обеспечивают непрерывность касательного модуля при изменении направления деформирования в окрестности точки 1пЯ3 = 0 и 1пХ2 = 0.

Квазилинейные соотношения (6) для изотропного материала записываются в виде

а0=Кд + ^+е2)-^>(Т-Т0), + (10)

где д = ст0/0 + т, к = -4= 0г0 + ё, т, ё - девиаторные составляющие векторов -УЗ

напряжений и деформаций.

кривая 1 - ¿зз , кривая 2 - Ег1 Рис. 2 Напряжения при одноосном деформировании

При использовании в качестве тензора деформаций неголономной меры П) и обобщенного тензора напряжений первое из соотношений (10) является законом изменения объема, а второе - законом формоизменения. Анализ этих законов показывает, что квазилинейные соотношения в изотропных средах описывают дилатационные явления и зависимость закона формоизменения от относительного изменения объема в рамках выполнения частного постулата изотропии А.А. Ильюшина, следствием которого в упругих изотропных телах является соосность векторов нагружения т и формоизменения ё.

Общий вариант определяющих соотношений изотропной термоупругости строится в предположении, что свойства материала могут отклоняться в процессе деформирования от частного постулата изотропии:

ст = ст0 (9, э, а, Т% +тэ(0, э, а, Т)э + т? (в, э, а, Т)д, (11)

где лекторы с, э, q являются соответственно шестимерными образами тензора

напряжений Ек, девиатора меры Генки Г = Г - ^ 0Е и тензора-девиатора

Q - Г2 - - э2Е , э^л/F-f - интенсивность формоизменения, а материальные функции ст0,тэ,т9 аппроксимируются выражениями

а„ = КО + ^G232 - В ■ (Т - Т0), тэ =2G + G,3 + G20-^jW3Cos3a, т? = т,

удовлетворяющими условиям совместности, в которых K,G,Gx,G2,m,B -константы материала.

В отличие от квазилинейных соотношений (10) соотношения (11) описывают как дилатационные эффекты в материале (за счет константы С2), так и возможные отклонения свойств материалов от частного постулата изотропии (за счет константы т). Константа В характеризует температурные напряжения

С целью разработки программы экспериментального определения констант К ,G,Gx,G2,m проведено решение краевой задачи о конечном деформировании сплошного цилиндрического образца. Поскольку в сплошном цилиндре существенной является неоднородность распределения напряжений и деформаций вдоль радиуса, требуется связать характеристики напряженно-деформированного состояния во внутренних точках цилиндра с интегральными характеристиками напряжений и деформаций, измеряемыми на наружной поверхности образца.

Решение дифференциальных уравнений равновесия совместно с определяющими соотношениями (11) проведено асимптотическим методом. В результате для задач о кручении сплошного цилиндра с зажатыми торцами и со свободными торцами получены приближения второго порядка для крутящего момента М, осевой силы Р и относительного сужения цилиндра Хя = й / при кручении с зажатыми торцами, а также относительных удлинения Х2~ Ы ¿0 и сужения А.я при кручении цилиндра со свободными торцами. Эти приближения имеют вид

К + (0,-^20)ф2, (12)

Щ 5

приА.^1 (торцы зажаты)

-?-<*Х1(К,0,т,С2) ф2, \я=~*\ + Х2(К,0,т,02) ф2, (13)

¿о

при Р=0 (торцы свободны)

Хг * 1 + Х3(К,С?, ж, б2)ф2, Я.я = ■§■« 1 + С, ш, С2)ф2, (14)

Ло

|ф - ф0|

где ф =]-1 /?0 " величина, характеризующая сдвиг на наружной поверхно-

¿0

сти цилиндра, ср - ф0 - угол закручивания образца, ¿0, Яо - начальные длина и радиус цилиндра, 50 = я/?2 - площадь поперечного сечения цилиндра, от лКЬ

0 = "4 " момент сопротивления поперечного сечеция цилиндра,

12 ЩЪК + С) 2 2 32(3^ + 0

Х2(К,0,т,02) =-к-, ХЛК,0,т,02)---

п 2 144 КО 4 288ЛГС7

Выражение для момента (12) содержит величину ф, пропорциональную углу закручивания цилиндра, в первой и второй степенях. Выражения для осевой силы (13), относительных удлинения и сужения цилиндра (14) содержат ф только во второй степени, что отражает известную зависимость, наблюдавшуюся в экспериментах Пойнтинга и Ривлина. Полученные решения (12) - (14)

позволяют определить константы материала Сг,,Сг2,от из опытов на кручение сплошных цилиндрических образцов. Константы К и определяются из стандартных опытов на растяжение.

В четвертом разделе рассмотрены термомеханические модели необратимого конечного деформирования анизотропных материалов. Основная идея здесь состоит в том, что для анизотропных материалов предложен способ выделения обратимой составляющей деформаций, являющейся аналогом объемных деформаций при пластическом течении изотропного материала.

В пространстве Е6 введен единичный вектор Т0 и определено ортогональное к нему пятимерное подпространство Ех с ортонормированным базисом ¡Г1,Г2,?3,Г4,Г5, так что Га ■ Гр = 8ар, а,р = 0,1,2,...,5. В процессе деформирования базис 70,...,75, который назван термомеханическим, не изменяет своей ориентации относительно базиса пространства Е6 /0,...,гб и связан с ним постоянной ортогональной матрицей Ьар: 7а - а,р = 0,1,2,...,5.

Векторы напряжений, деформаций и скорости деформаций представляются разложениями по введенному базису:

к = к0+кх; д = д0+а1; к = к0+к±, где обозначено о0 = ст0Г0, а0=д0-70, а± = аа7а, к0 = к01'0, к0=к0-70, к± =ка7а, а = 1,2,3,4,5.

В этом случае мощность напряжений может быть записана в виде а/с - д0к0+дх-к1= а0к0 + ах • к±, а основное термомеханическое соотношение принимает вид

у + л Т = — (а0 • к0 + дх • к± )- н>. Ро

Свободная энергия представляется в виде суммы двух функций: \|/ = 1|/0(А-0,Г) + \|/±(£х), причем составляющая свободной энергии \|/0 является функцией только составляющей деформаций к0 и температуры Т, а функция зависит только от деформаций к1. Тогда к0 рассматривается как обратимая составляющая деформаций анизотропного материала, являющаяся аналогом объемной деформации в изотропном материале.

Если функция \(/0 = у0(кй,т) имеет простейшее квадратичное представление

PoVo = \coh ■ h ~ Bh ' 'о {T- T0) + p0V°(.T),

где C0,B - константы материала, T0 ~ температура начального состояния, то выражения для составляющей напряжений а0 и энтропии г| имеют вид:

а0=Р0^- = С0к0-В70-(Т-Т0), Л = = (15)

дк0 дТ р0 аТ

При а0 = 0 из соотношения (150 следует выражение

СЛ|_ (16)

которое является определением температуры в анизотропном материале и показывает, что изменение температуры нестесненного анизотропного тела вызывает не только изменение его объема, но и изменение формы. Из соотношений (15i) и (16) следует, что температурные напряжения в рассматриваемом анизотропном материале определяются соотношением стг = = -Bt0 • (Т - Тй) и,

следовательно, являются соосными с температурными деформациями. Константа В характеризует температурные напряжения и определяется из соответствующих экспериментов.

Вектор ?0 определяется из условия

,- _ ик=о 'о ~

Для построения вектора Г0 требуется экспериментально определить вектор температурной деформации кт = _ и нормировать его. В этих целях

'ч0=0

можно использовать данные о коэффициентах температурного расширения анизотропных материалов. В частности, для изотропного материала t0 совпадает с вектором г0, для одноосных кристаллов, относящихся к тригональной, тетрагональной и гексагональной сингониям, и для трансверсально-изотропных материалов вектор í0 имеет разложение по инвариантным базисным векторам /0 = ¿o eos у + i] sin у, где угол у может быть найден через коэффициенты температурных напряжений вдоль оси анизотропии а;! и в поперечном направлении

ai- Ш ~ V2 а// ■ , По данным справочника С.И. Новиковой определены 2ах + аи

значения углов у для некоторых материалов. Для кристаллов магния у ~ 2,2°,

меди у ~ 3°. титана у ~ 12е, кадмия у = 28° и цинка у « 39°. Для двухосных кристаллов, относящихся к ромбической сингонии, и для ортотропных материалов вектор Г0 раскладывается по инвариантным базисным векторам /0, г,,

12.

Таким образом, в анизотропном материале выделяется составляющая деформаций к0, направление которой в пространстве А.А. Ильюшина в течение всего процесса деформирования совпадает с направлением температурной деформации в нестесненном анизотропном теле. В изотропном теле такая составляющая связана с изменением объема, которое происходит упруго в течение всего процесса необратимого деформирования.

Рассматриваются модели жесткопластического анизотропного материала,

когда функция - 0, а мощность напряжений —-ах • к± полностью рас-

Ро

1 - г

сеивается, то есть — а± ■ к± = и?. Ро

Для неупрочняющегося жесткопластического материала построена модель типа теории течения, в которой связь между стх и к± принимается в виде , _1 с1к,

стх = л ——, где - тензор пластической анизотропии, - длина дуги траектории деформирования к±(1), определяемая из уравнения )2 = кх ■ к±. Исходя из того, что соотношения пластичности не зависят от выбора "временного" параметра, в качестве "времени" выбирается монотонно изменяющийся параметр - длина дуги траектории деформирования 5±. Тогда условие пластического течения записывается в виде

дх.А-оА=1, (17)

где Л = (х)т • X - тензор второго ранга в шестимерном пространстве. Условие пластического течения (17) для изотропного материала сводится к условию текучести Мизеса, а для анизотропных материалов - к условию Ми-зеса-Хилла, если принять Г0 = ^. Условия Мизеса для изотропного материала и Мизеса-Хилла для анизотропного материала отражают независимость пластического течения от влияния гидростатического давления, которая имеет экспериментальное подтверждение для изотропных и слабо анизотропных материалов.

Из работ П. Бриджмена, А.М Жукова, Е.К. Ашкенази известно, что возможно вызвать пластическое течение анизотропных материалов только действием гидростатического давления. Это экспериментально наблюдаемое явление может быть описано условием (17). При действии на материал гидростатического давления тензору напряжений S = -/?I0 в пространстве A.A. Ильюшина

соответствует вектор ö = -pi0. Если материал обладает трансверсальной изотропией, то составляющие вектора напряжений равны ö0 = -р70 cos у, ä1 = ptx sin у (рис. 3). Пусть пластическое течение начинается при напряжении

xs, которое достигается при давлении р = ——. Для большинст-siny

ва металлов угол у мал, поэтому рассматриваемое явление наблюдается при высоких давлениях. В изотропных материалах у = 0°, тогда р —>оо и явление пластического течения не может бьггь вызвано действием

„оп • гидростатического давления.

Рис. 3 Разложение вектора напряжении

Для упрочняющегося жесткопластического материала предложен вариант деформационной теории пластичности, в котором для связи между векторами напряжений ах и деформаций kL использованы дифференциальные соотношения в виде

где тензор п± зависит от вектора пластической деформации кх, достигнутого в рассматриваемый момент.

Тензор пх предлагается представлять в виде

т-1

= сх + 2 £ ca(takL + kjj + 3d ■ kJcL,

а=1

где сх = сар/а/р, а,р = 1,2,3,4,5 - постоянный тензор свойств; са,с1 - константы материала;

т - число инвариантных базисных векторов из таблицы 1.

В представлении (19) для тензора пх базисные векторы 7а, а = 1,2,3,4,5, предполагаются инвариантными относительно ортогональных преобразований 0б, характеризующих симметрию свойств анизотропного материала в шести-

т-1

мерном пространстве, поэтому /а = £ ¿ар'р, 1 < а < т -1.

(3=0

В случае простых процессов деформирования, которым в пространстве 2Г6 соответствует лучевая траектория кх = , где ё - постоянный единичный вектор, соотношения (18) можно проинтегрировать и записать в начальном базисе пространства Е6 в виде

а =

т-1_______ _

с + 2 ('<А + к±'а) + Л ' к±к±

а=0

(20)

р=о

где коэффициенты с'а, В'^ линейно связаны с коэффициентами са, В при помощи матрицы Ьар, связывающей начальный и термомеханический базисы пространства

В работе показано, что вариант соотношений (20) в случае изотермических малых деформаций соответствует общему варианту деформационной теории пластичности анизотропных сред, предложенному Б.Е. Победрей.

Определяющие соотношения (20) описывают изменение свойств материала в процессе пластического деформирования и развитие деформационной анизотропии не только в начально изотропных, но и в начально анизотропных материалах. Тензором деформационной анизотропии является тензор

П* =С + П],

т-1 _ __

где I»! = X Са{1ак1 + к±1а) + ¿кхкх.

сс=0

При разгрузке жесткопластического материала изменяется только обратимая составляющая вектора деформаций к0, а составляющая к± остается неизменной. Поэтому тензор п* в процессе разгрузки также не изменяется. Поскольку в предложенной модели тензор п* является функцией деформаций кх, тип приобретаемой в процессе пластического деформирования анизотропии и количественные ее характеристики (новые "константы" материала) полностью определяются необратимыми деформациями, достигнутыми перед разгрузкой. Кроме того, оказывая на рассматриваемый класс материалов только температурное воздействие, невозможно изменить тип его анизотропии, так как тензор п* не зависит от температурных деформаций, соосных с вектором 70.

Изменение типа начальной анизотропии связано и с вращением главных осей анизотропии при конечном деформировании. При наложении на процесс деформирования жесткого вращения поворот осей анизотропии обычно связывают с тензором Я, входящим в полярное разложение аффинора деформаций. Однако, даже при "чистом" деформировании, не сопровождающемся вращением главных осей тензора деформаций, возможно изменение ориентации осей анизотропии. В работе было описано вращение главных осей анизотропии в двух процессах однородного деформирования полосы из трансверсально-изотропного материала - двухосном растяжении-сжатии и простом сдвиге. Схемы этих процессов показаны на рис. 4.

Оси анизотропии материала в начальном состоянии направлены вдоль векторов а2,аъ, их ориентация относительно неподвижного базиса ё2,ё3 определяется углом (ро: z(ë2,а2) = ,а3) = (р0. После пластического деформирования главные оси анизотропии оказываются направленными вдоль векторов а*, а*. Ориентация векторов а^, а' относительно векторов а2,аъ определяется углом относительного поворота осей анизотропии а, а относительно векторов е2,ё3 -углом ф, так что z{a2,a2)= z{a^,a3)= а и ¿\а2,ё2)= ¿(й3,ё3)= <р. Для углов а и ф в работе получены аналитические выражения и построены графики их изменения, приведенные на рис. 5 и 6

Характер изменения углов а и ф зависит от угла начальной ориентации этих осей ф0. При растяжении оси анизотропии стремятся совпасть с направлениями деформирования, а при простом сдвиге - асимптотически приближаются к направлению, в котором происходит сдвиг.

Рис. 4 Схемы процессов однородного деформирования

а

Рис. 5 Относительный угол поворота осей анизотропии при деформировании вдоль вектора ё3.

Фо=30° Фо = 45" Ф

Рис. 6 Углы поворота осей анизотропии при простом сдвиге

<21)

Пятый раздел посвящен постановке краевой задачи конечного деформирования анизотропных тел под действием внешних силовых факторов в неоднородном температурном поле.

Система уравнений данной краевой задачи включает:

1) кинематические соотношения

\у = I (уу + (Уу)т), ю = | (уу - (У у)т), 0 = У у • .Е = ^ аУ и определение меры деформаций (1),

2) условия равновесного протекания процесса в вариационной форме

/[(в*-в-П + П-Б-уУ-в + ёв) (22)

£ V

3) определяющие соотношения, устанавливающие связь между напряжениями, конечными деформациями и температурой в жесткопластическом анизотропном материале, в качестве которых использованы соотношения варианта деформационной теории, записанные в дифференциальной форме. В пространстве £3 эти соотношения имеют вид:

Ел = [с + 2^(1° К + К1а)| •\V-B7', (23)

4) эволюционные соотношения

¿(х,0 = У(Х,Г) Ухе V, V/ ¿(0 (24)

8(х,1) = 8л-Б П + Я Б Ухе К, V (25)

с начальными условиями и(х, ?0) = и0(х), Б(х, /0) = 80(х), (26) 4) граничные условия

Р'(х,0 Ух е Ер и (27)

у*(х,/) Ух е 2Г„ и Уг>*0. (28)

В соотношениях (21), (22) у = у (х, ?) - поле скоростей частиц деформируемого тела; V - набла-оператор деформированного состояния; Р, Р., п - вектор внешней нагрузки, приложенной на внешней поверхности I с вектором единичной нормали п, и скорость его изменения; Р,Р - вектор массовых сил и

скорость его изменения; 8й эЗ + Б- П- О- в - обобщенная яуманновская производная тензора истинных напряжений.

В определяющих соотношениях (23) С - постоянный (в главных осях анизотропии) тензор свойств; са - материальные константы; 1°, т - инвариантные базисные тензоры, характеризующие симметрию свойств материалов, и их число; В - тензор, определяющий термические свойства среды. При записи соотношений полагалось, что тензоры Iй построены в соответствии с (3) по базису аиа2,а3 главных осей анизотропии, которые при наложении на процесс деформирования жесткого поворота вращаются со скоростью Л, в связи с чем

Тензор К = К--В - обобщенный девиатор деформаций, представ-

В • -В

ляющий собой необратимую составляющую деформаций анизотропного материала, которая является аналогом объемных деформаций при пластическом течении изотропного материала.

Интегрирование системы уравнений (21) - (25) поставленной краевой задачи с учетом заданных граничных (27), (28) и начальных (26) условий может быть выполнено численными методами конечных элементов и пошагового на-гружения.

Построена модель поведения осесимметричных цилиндрически анизотропных тел под действием осесимметричной нагрузки в заданном осесиммет-ричном температурном поле. В случае, когда оси анизотропии повернуты относительно осей цилиндрической системы координат, как, например, в композитных оболочках, полученных спиральной намоткой, при указанных внешних воздействиях возможно закручивание цилиндрического тела. В связи с этим предложено в конечноэлементной модели использовать треугольный кольцевой элемент с девятью степенями свободы, а распределение осевых, радиальных и тангенциальных перемещений внутри элемента считать линейным.

В рамках предложенной модели рассмотрена задача об определении напряженно-деформированного состояния в композитном баллоне цилиндрической формы под действием внутреннего давления в заданном температурном * поле, вызываемом источниками, расположенными внутри цилиндра. Торцы цилиндра полагались закрепленными от осевых перемещений. В предлагаемой модели композитный баллон, образованный чередующимися слоями спиральной и кольцевой намотки, рассматривается как слоистое анизотропное тело. В каждом слое свойства материала и угол намотки известны, материал каждого слоя рассматривается как трансверсально-изотропный с осью, совпадающей с направлением волокон. Различия в свойствах слоев определяются лишь различ-

ной ориентацией главных осей анизотропии. Контакт между слоями с различными углами намотки считается идеальным: не допускается отлипание, проскальзывание и взаимное проникновение материальных точек соседних слоев Это предположение справедливо до момента разрушения связующего, когда нарушается целостность детали.

На рис. 7 и 8 приведены напряжения (отнесенные к величине внутреннего давления), возникающие в цилиндрическом баллоне, образованном четырьмя двойными слоями спиральной намотки под углом 45°, под действием внутреннего давления при температурах внутри цилиндра 0°С, 100°С и 200°С. Наибольшие напряжения при выбранной схеме нагружения баллона действуют вдоль оси цилиндра (рис. 7). На рис. 7 сплошными линиями приведены результаты расчетов, основанные на теории осреднения свойств композитов. В рамках теории осреднения баллон рассматривается как сплошное ортотропное тело с осями анизотропии, совпадающими с осями цилиндрической системы координат. Различия в расчетах связаны с тем, что при рассмотрении композитного баллона как слоистого тела удается учесть касательные напряжения, возникающие между слоями при действии внутреннего давления и при нагревании. Эти напряжения приведены на рис. 8. Их учет вносит существенные поправки в оценку прочности баллона.

¿£5 Р о

I ! I ,1 1 ; . 1 ! , I I

-5

-10

-15

-20

-25

-30

-35

-40

0,91 0,92 0,93 0,94 0,96 0,97 0,98 0,99 К/Ннар

Рис. 7 Распределение осевых напряжений по толщине стенки баллона

Рис 8 Распределение касательных напряжений по толщине стенки баллона

В заключение отметим, что в представленной работе решена крупная научная проблема, состоящая в построении экспериментально конкретизируемых моделей термомеханического поведения анизотропных тел с учетом изменения их свойств в равновесных процессах конечного деформирования, имеющая важное значение для механики деформируемого твердого тела. Для предложенных моделей дана постановка краевых задач, разработаны численные методы их решения.

Основные результаты работы:

- разработан математический аппарат описания различных типов симметрии свойств материалов на основе построения образов ортогональных преобразований и инвариантных векторных и тензорных базисов в шестимерном пространстве A.A. Ильюшина;

- предложена система экспериментов для идентификации типа начальной анизотропии материалов;

построены термомеханические модели поведения начально изотропных и анизотропных материалов в обратимых процессах без ограничений на величины деформаций, которые отражают нелинейное поведение материалов при термическом воздействии и явление разносопротивляемости. В случае изотропных материалов предложенные модели описывают дилатационные явле-

ния и возможные отклонения свойств от частного постулата изотропии, а также экспериментально наблюдаемый эффект Пойнтинга;

- разработана методика обработки экспериментов по конечному деформированию изотропных сплошных цилиндров, основанная на решении краевой задачи;

- построена термомеханическая модель типа теории течения, в основе которой лежит разбиение деформаций на обратимую, связанную с тепловым воздействием, и необратимую составляющие. Эта модель описывает пластическое течение анизотропного материала под действием гидростатического давления, что подтверждается экспериментами П. Бриджмена;

- построена термомеханическая модель деформационного типа, отражающая развитие анизотропии как в начально изотропных, так и в начально анизотропных материалах, когда в процессе пластического деформирования наблюдается изменение количественных характеристик и типа анизотропии, вращение главных осей анизотропии;

- разработана методика численного решения краевой задачи конечного деформирования осесимметричных анизотропных тел под действием силовых факторов в неоднородном температурном поле, которая использована для проведения расчетов на прочность композитных баллонов.

Содержание диссертации отражено в 42 публикациях автора, основными из которых являются:

1. Маркин A.A., Соколова М.Ю. Вариант теории конечного упругопластиче-ского деформирования// Прогрессивная технология приборостроения. - М.:Изд-во ВЗМИ. - 1987. - С. 57-62.

2. Соколова М.Ю. Исследование изменения упругих и пластических свойств толстостенного цилиндра при конечном упругопластическом деформировании// Механика и прикладная математика. Труды Всесоюзной конф. - Тула: Приокск. Книжное изд-во. - 1989. - С. 88-92.

3. Об учете изменений механических свойств металлов при моделировании процессов ОМД// Исследования в области теории, технологии и оборудования штамповочного производства. - Тула: Изд-во ТулПИ. - 1990. - С. 136-140.

4. Соколова М.Ю Вариант анализа упругой деформационной анизотропии в штампованных деталях// Исследования в области теории, технологии и оборудования штамповочного производства/ Сборник науч. трудов. - Тула, 1991. - С. 71-77.

5. Соколова М.Ю. Вариант анализа упругой деформационной анизотропии в металлах/Тул. Политехи. Ин-т. - Тула, 1991. - Деп. в ВИНИТИ 6.11.91, № 4218 -В91.-21 с.

6. Соколова М.Ю. Об одном подходе к описанию деформационной анизотропии// Механика деформируемого твердого тела/ Сб. науч. тр. - Тула, 1994. - С. 102-105.

7. Соколова М.Ю. Построение образа процесса нагружения в начально анизотропной среде// Известия ТулГУ. Математика. Механика. Информатика. -Т.1. -Вып.2. Механика. - 1995.-С. 144-150.

8. Астапов В.Ф., Соколова М.Ю. Построение образа процесса конечного деформирования по экспериментальным данным/ Тул.госуд. ун-т. -Тула, 1997. -Деп. в ВИНИТИ 01.12.97, № 3504 - В97. - 12 с.

9. Астапов В.Ф., Соколова М.Ю. Кинематические характеристики конечного формоизменения сплошного цилиндра/Тул.госуд. ун-т. - Тула, 1998. - Деп. в ВИНИТИ 29.05.98, № 1641 - В98. - 24 с.

Ю.Астапов В.Ф., Маркин A.A., Соколова М.Ю. Кручение сплошного цилиндра из изотропного упругого материала// Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. - Том 5. - Выпуск 2. Механика. - 1999. - С.43-48. П.Маркин A.A., Соколова М.Ю. Определение типа исходной анизотропии и распространение частного постулата Ильюшина на начально анизотропные ма-териалы//Устойчивость, пластичность, ползучесть при сложном нагружении/ Сборник научных трудов. - Тверь: Изд-во ТвТГУ, 2000. - Вып. 2. - С. 66 - 71.

12.Соколова М.Ю., Христич Д.В. Исследование модели поведения изотропных упругих тел// Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. -2000. - Т. 6. - Вып. 2. Механика. - С. 128-133.

13.Маркин A.A., Соколова М.Ю. Квазилинейные соотношения конечного деформирования анизотропных материалов// Научно-технические проблемы прогнозирования надежности и долговечности конструкций и методы их решения/ Труды IV междунар. конф. - СПб.: «Нестор», 2001. - С.211-213. И.Маркин A.A., Соколова М.Ю. Анализ вращения главных осей анизотропии при конечном деформировании// Современные проблемы прочности, пластичности и устойчивости/ Мат-лы V междунар. симп. - Тверь, 2001. - С. 35-39. 15.Маркин A.A., Соколова М.Ю. Термомеханика конечного деформирования анизотропных тел// Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. -Том 7. - Выпуск 2. Механика. -2001. - С. 130-137.

16.Соколова М.Ю. Квазилинейные соотношения анизотропной упругоеi и'/ Восьмой Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике/ Ли нотации докл. - Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 2001. - С. 537.

17. Соколова М.Ю. Образы процессов нагружения в начально анизотропных телах// Упругость и неупругость: Материалы международного научного симпозиума. - М.: Изд-во МГУ, 2001. - С. 448.

18.Соколова М.Ю. Конечные деформации простого сдвига в анизотропном материале// Механика деформируемого твердого тела и обработка металлов давлением. Часть 1/ Межвуз. сб.науч. тр. - Тула: Изд-во ТулГУ, 2001. - С. 36-43

19. Соколова М.Ю. Структурные тензоры анизотропии в пространстве А.А.Ильюшина// Известия ТулГУ Серия Математика. Механика. Информа и ка. - Том 7. - Выпуск 2. Механика. - 2001. - С. 173-178.

20. Соколова М.Ю., Христич Д.В. Программа экспериментальной конкретизации нелинейных определяющих соотношений изотропного упругого тела// Механика деформируемого твердого тела и обработка металлов давлением. Час п 2/ Межвуз. сб.науч. тр. - Тула: Изд-во ТулГУ, 2001. - С. 8-12.

21.Соколова МЮ., Ширшов В.П., Христич Д.В. Конечные деформации г.-е-симметричных тел из композитных материалов// Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. - 2001. - Т. 7. - Вып. 2. Механика. - С. 175183.

22.Соколова М.Ю. Простой сдвиг в анизотропном материале при конечном деформировании// Математическое моделирование и краевые задачи/ Труды XII межвузовской конф. - Самара, 2002. - С. 162-165.

23.Соколова М.Ю., Шеина У.В. Анализ температурных напряжений в анизотропных материалах// Механика деформируемого твердого тела и обработка металлов давлением. Часть 1/ Межвуз. сб.науч. тр. - Тула: Изд-во ТулГУ, 2СГ)-- С. 24-29.

24.Маркин A.A., Соколова М.Ю. Термомеханические модели необратимого конечного деформирования анизотропных тел// Проблемы прочности. - 20С №6.-С. 5-13.

25.Астапов В.Ф., Маркин A.A., Соколова М.Ю. Определение упругих свой^лв материалов из опытов на сплошных цилиндрах// Известия РАН. Механика твердого тела. - 2002. - № 1. - С. 104-111.

26.Маркин A.A., Соколова М.Ю. Вариант определяющих соотношений нелинейной термоупругости для анизотропных тел// Прикладная механика и техгч-ческая физика.-2003.-т. 44.-№ 1.-С. 170-175.

РНБ Русский фонд

2007-4 841

Подписано в печать^, £:?£>.•? Формат бумаги 60\84 1/16 ßyitiaia типографская № 2 Офсетная леча!ь. Усл. печ. л. . Усл. кр.-о rr. f, S? . Уч гад. л.

Тираж Л®5" экз. Заказ fäS"

Тутьский государственный университет. 300600. i. Гула, пр. Ленииа, 92. Рсдакционно- излдгельский iicinp Тульскою государственною университета. 300600, г. Тула, ул. Ьолдииа, 151

.4 4

ч.

ВВЕДЕНИЕ.

1 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ПРОЦЕССОВ КОНЕЧНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ.

1.1 Меры деформаций и напряжений.

1.2 Уравнения движения и законы сохранения.

1.3 Основные положения термомеханики и теории определяющих соотношений.

1.4 Построение образа процесса деформирования в начально ф анизотропной среде.

2 ОПИСАНИЕ СИММЕТРИИ СВОЙСТВ МАТЕРИАЛОВ В ПРОСТРАНСТВЕ А.А.ИЛЬЮШИНА.

2.1 Анизотропные материалы, обладающие симметрией свойств.

2.2 Трехлараметрические ортогональные преобразования шестимерного пространства А.А. Ильюшина.

2.3 Инвариантные тензорные базисы.

2.4 Канонические представления анизотропных тензоров.

2.5 Определение типа исходной анизотропии материала.

3 ОБРАТИМЫЕ ПРОЦЕССЫ КОНЕЧНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ АНИЗОТРОПНЫХ И ИЗОТРОПНЫХ ТЕЛ.

3.1 Основные соотношения обратимой термомехантси. Конечные деформации в анизотропных телах.

3.1.1 Тензорно-линейная связь между напряжениями и деформациями.

Щ: 3.1.2 Квазилинейные соотношения анизотропной термоупругости.

3.2 Обратимые процессы конечного деформирования изотропных сред.

3.2.1 Квазилинейные соотношения для изотропных материалов.

3.2.2 Нелинейные определяющие соотношения, учитывающие возможность отклонения свойств материала от частного постулата изотропии.

3.3 Методика обработки экспериментов по конечному деформированию сплошных цилиндров.

3.3.1 Описание напряженно-деформированного состояния цилиндров при нагружении их осевой силой и крутящим моментом.

3.3.2 Асимптотическое решение задачи о кручении сплошного цилиндра. $ 3.3.3 Программа экспериментов по определению констант модели.

3.3.4 Исследование проявлений нелинейных эффектов при кручении цилиндра.

4 НЕОБРАТИМЫЕ РАВНОВЕСНЫЕ ПРОЦЕССЫ КОНЕЧНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ АНИЗОТРОПНЫХ МАТЕРИАЛОВ.

4.1 Термомеханика необратимых процессов.

4.2 Вариант теории течения.

4.3 Вариант деформационной теории пластичности.

4.4 Описание деформационной анизотропии.

4.5 Изменение ориентации главных осей анизотропии при конечном однородном деформировании.

4.5.1 Изменение ориентации осей анизотропии при двухосном деформировании.

4.5.2 Изменение ориентации осей анизотропии при простом сдвиге.

5 ЗАДАЧА О КОНЕЧНОМ ДЕФОРМИРОВАНИИ АНИЗОТРОПНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ТЕЛ.

5.1 Постановка краевой задачи.

5.2 Построение конечноэлементной модели деформирования композитных осесимметричных конструкций.

5.3 Конечные деформации композитного баллона в заданном температурном поле.

Развитие новых материалов и технологий требует построения все более сложных моделей поведения деформируемых твердых тел под воздействием силовых факторов в неоднородных и нестационарных полях немеханической природы (температурных, электромагнитных и других). Такие модели могут быть построены на основе единого термомеханического подхода, введенного в механику сплошных сред Л И. Седовым [167, 168], А.А. Ильюшиным [62, 64], И.И. Гольденблатом [47], К. Трусделлом [200] и интенсивно развивающегося в настоящее время в работах В.Н. Кукуджанова и К. Сантойя [80], И.Г. Терегулова [189], В.А. Пальмова [142], А.С. Кравчука [77], В.И. Левитаса [87], А.А. Маркина [104], Н.Г. Бураго, А.И. Глушко и А Н. Ковшова [31], Е.З. Короля [73] и других авторов.

Целью работы является построение вариантов термомеханических соотношений, определяющих поведение анизотропных материалов при конечном деформировании и позволяющих прогнозировать изменение их свойств, с указанием программ их экспериментальной конкретизации.

Будем рассматривать материалы, которые в начальном состоянии обладают некоторой симметрией свойств, в том числе изотропные материалы могут рассматриваться как частный случай анизотропных, обладающих полной симметрией свойств. Описание симметрии свойств материалов в механике сплошных сред основывается на классических работах А.В. Шубникова [211, 212], Ю.И. Сиротина [169, 170], А. Грина и Дж. Адкинса [51], Э. Спенсера [186], В.В. Лохина [92, 93].

Изучению симметрии упругих свойств анизотропных материалов и структуры закона Гука посвящены труды П. Бехтерева, Н.Г. Ченцова, С.Г. ф Лехницкого [90], Яна Рыхлевского [164], К.Ф. Черныха [20л, 208], Е.К.

Ашкенази [15, 16], а также работы других авторов [96, 228, 230, 233, 235, 237,. 256, 258, 259, 260].

Интерес представляет серия работ Яна Рыхлевского с соавторами [225, 251, 252], в которых автор методом теории групп получил неприводимое линейное ортогональное разложение полусимметричных тензоров четвертого ранга на изотропную и две анизотропные составляющие. (В работе Н.И. Остросаблина [141] используется подобное разложение тензора четвертого ранга на постоянную, девиаторную и нонорную части.) Анализ полученных разложений и решение ряда простых задач позволили в статье [252] сделать некоторые выводы о характере поведения анизотропных материалов. В частности, получен вывод о том, что существуют анизотропные материалы, ведущие себя в некоторых условиях как изотропные. Поэтому имеются некоторые классы воздействий на материал, не способных выявить тип его анизотропии. В связи с этими выводами Я. Рыхлевского актуальной является проблема идентификации типа анизотропии материала, которая состоит в разработке программ экспериментов, относящихся по терминологии А. Грина и Дж. Адкинса [51] к предварительным экспериментам над материалом. Общая система предварительных экспериментов включает в себя эксперименты не только по определению изотропии или анизотропии свойств материала, но и установление его однородности или неоднородности, упругости либо неупругости. О необходимости проведения таких экспериментов, названных установочными, говорилось и в книге Б.Е. Победри [151].

Хотя число работ, в которых рассматриваются определяющие соотношения и постановки краевых задач в упругих и пластических анизотропных средах при малых деформациях, велико, имеется достаточно небольшое число работ, посвященных исследованию конечных деформаций анизотропных материалов. Это монографии А. Грина и Дж. Адкинса [51], К.Ф. Черныха [66, 207], В.И. Левитаса [85], а также статьи А С. Кравчука [76], Y.F. Dafalias [231, 232], J. Mandel [242] и других авторов [233, 243].

В монографии [51 ] особое внимание уделяется общей форме связи между напряжениями и конечными деформациями в упругих материалах. Рассмотрено влияние симметрии свойств материала на определяющие соотношения, при этом полагается, что группа симметрии материала не изменяется в процессе деформирования. Функция энергии деформации полагается инвариантной по отношению к группе симметрии, что накладывает ограничения на форму ее зависимости от тензора деформаций. Для различных кристаллических классов построены полиномиальные тензорные базисы для групп преобразований, описывающих симметрию свойств этих классов. В монографии [51] уделяется внимание и такому важному вопросу моделирования конечных деформаций, как исключение жестких поворотов, для чего предлагается использовать в определяющих соотношениях объективную производную Яуманна от тензора напряжений. Известно, что в изотропных материалах это приводит к явлению осцилляции напряжений при простом сдвиге [248], а ниже будет показано, что такое же явление возникает и в анизотропных материалах.

Монография К.Ф. Черныха [207] также посвящена проблемам нелинейной анизотропной упругости. На основании изучения групп ортогональных преобразований, характеризующих симметрию свойств кристаллических классов и текстур, автор для изотропного, трансверсально-изотропного и ортотропного материалов выписывает системы инвариантов тензора деформаций, в качестве которого используется тензор конечных деформаций Коши-Грина или метрический тензор деформированного состояния. Закон упругости является следствием представления плотности энергии деформации (упругого потенциала) как функции выписанных инвариантов. Выдвинуто важное требование перехода закона упругости при малых деформациях в закон Гука. Приведены конкретные выражения для упругого потенциала в трансверсально-изотропных и ортотропных материалах. Предложенные соотношения положены в основу теории конечных деформаций тонких анизотропных оболочек (см. также [66, 163]). Поскольку соотношения формулируются в терминах инвариантных (по отношению к жесткому движению) мер напряжений и деформаций, вопрос о методе исключения конечных поворотов не ставится. В дальнейшем будет показано, что использование в определяющих соотношениях меры деформаций Коши-Грина и сопряженного с ним энергетического тензора напряжений приводит к неадекватному описанию больших деформаций простого сдвига.

В книге В.И. Левитаса [85] с общих термомеханических позиций рассматриваются большие упругопластические деформации изотропных и анизотропных материалов. Учет анизотропии свойств производится путем включения в число аргументов функции свободной энергии тензоров четных рангов, характеризующих симметрию свойств. Важным является вывод об индифферентности этих тензоров. На основании априорного разделения деформаций на естественную меру упругих деформаций и термодинамически допустимую меру пластических деформаций автор выписывает анизотропный закон термоупругости в терминах актуальной конфигурации и закон неизотермического пластического течения анизотропного материала в скоростном виде. В книге указываются пути конкретизации предложенных законов, однако, ни один из конкретных вариантов соотношений для определенного типа анизотропного материала, кроме изотропного, не приведен. В работах А.А. Маркина [116] было показано, что существенным недостатком мер, предложенных в [85], является невозможность определить тензор скорости упругой деформации только через введенную упругую меру и при этом соблюсти условие аддитивности полной, упругой и пластической составляющих тензора деформации скорости.

Y.F. Dafalias [231, 232] считает, что в определяющих соотношениях необходимо применять объективную производную тензора напряжений, в которой используется угловая скорость вращения некоторой структуры, так называемый пластический спин. Для пластического спина предлагаются собственные эволюционные соотношения, физический смысл и методы экспериментальной конкретизации которых остаются неясными. В статье J. Mandel [242] для произвольной среды вводится направляющий трехгранник и полагается, что все^ производные нужно брать относительно этого трехгранника. Физический смысл трехгранника очевиден для монокристалла, но в поликристаллических материалах смысл его непонятен.

В настоящей работе предлагается, следуя работам А.А. Маркина [116, 117], Г.Л. Бровко [26, 28, 30], В.И. Левитаса [85, 86, 87], А.А. Рогового [137] для исключения жесткого поворота в определяющих соотношениях скоростного типа использовать обобщенную яуманновскую производную тензоров напряжений и деформаций, а в качестве тензора деформаций использовать неголономную меру, обобщенная яуманновская производная которой совпадает с тензором деформации скорости. В случае анизотропных материалов это существенно облегчает запись уравнений состояния, так как тензоры, характеризующие начальную анизотропию свойств материала, индифферентны, а объективные производные указанного типа от них обращаются в ноль при условии постоянства их компонент в главных осях анизотропии. На этот факт также указывалось в работах [85,159, 207, 243].

Конечные деформации анизотропных тел сопровождаются рядом интересных эффектов. В первую очередь это касается изменения типа и основных характеристик начальной анизотропии упругих и пластических свойств [6, 75, 83, 150, 151, 207, 214, 215], то есть развития деформационной анизотропии. Это явление связано также с тем, что главные оси анизотропии в процессе конечного деформирования изменяют свою ориентацию и не только в процессах, сопровождающихся жестким вращением, но и при "чистой" деформации [207, 232, 243]. Учет вращения главных осей анизотропии при наложении на процесс деформирования жесткого поворота производится в работах [85, 118, 207, 215, 243] путем использования соответствующих эволюционных соотношений для базисных векторов, направленных вдоль главных осей анизотропии. Модели теории течения анизотропных сред, в которых возможно описать изменение ориентации осей анизотропии при "чистой" деформации, предложены в работах Y.F. Dafalias [231, 232].

Развитие деформационной анизотропии при упругопластических деформациях присуще также и изотропным материалам, о чем говорилось в работах А.А. Ильюшина [64, 65], Р.А. Васина и А.Б. Ибрагимова [35, 37, 38], В.А. Пелешко [144]. Кроме того, конечные деформации начально изотропных материалов сопровождаются экспериментально наблюдаемыми эффектами второго порядка, к которым относят эффекты Кулона и Пойнтинга [20, 200]. Эти эффекты проявляются, в частности, при кручении цилиндрических тел и состоят в появлении дополнительной осевой силы или осевой деформации в зависимости от реализуемой схемы нагружения.

Поведение анизотропных тел под действием гидростатического давления существенно отличается от поведения изотропных тел. Экспериментально установлено, что при воздействии на анизотропный материал только гидростатического давления возможно появление остаточных пластических деформаций, а в начально изотропных материалах пластические деформации в области исследованных уровней гидростатических давлений не обнаружены [15, 55, 226, 227]. Различно поведение изотропных и анизотропных материалов под воздействием температурного поля [41, 130, 171]. В однородном поле температур в нестесненном изотропном теле возникают только объемные деформации, а в анизотропном теле к объемным деформациям добавляются сдвиговые. В случае нагревания тел при отсутствии деформаций в них возникают температурные напряжения, которые в изотропных телах являются гидростатическими, а в анизотропных телах содержат шаровую и девиаторную составляющие. Механические свойства как изотропных, так и анизотропных тел зависят от температуры, причем эта зависимость может быть и нелинейной [47].

Проявление описанных нелинейных эффектов в анизотропных и изотропных телах усиливается с ростом деформаций, поэтому актуальной является разработка моделей конечного деформирования изотропных и анизотропных тел, позволяющих описать эти явления.

В современной литературе практически отсутствуют публикации, в которых были бы предложены модели конечного термоупругого или термопластического деформирования анизотропных тел. Исключение составляет лишь монография В.И. Левитаса [85], в которой сделаны первые шаги в этом направлении. В случае малых деформаций упругого анизотропного тела напряжения, деформации и температура чаще всего связываются с помощью уравнений Дюгамеля - Неймана, вывод которых с точки зрения термомеханики приведен в книге В. Новацкого [133]. Вопросам термоупругости изотропных материалов посвящены классические работы Д А. Коваленко [67, 68], Б. Боли и П.П. Уэйнера [23], М. Био [22, 224], Э. Мелана и Г. Паркуса [125], Я.С Подстригача с соавторами [156], а в случае анизотропных материалов постановки задач термоупругости на основе уравнений Дюгамеля -Неймана приведены в книгах Б.Е. Победри [151], А.С. Кравчука, В.П. Майбороды и Ю.С. Уржумцева [77], в трехтомнике по механике композитов под редакцией А.Н. Гузя [126].

Проблемы термодинамики в анизотропных материалах и формулировка вариационных принципов термоупругости рассматривались в книгах И.И. Гольденблата с соавторами [47, 48] и работах М. Био [22, 224], в статье Б.Е. Победри [152]. Решение смешанной задачи термоупругости для трансверсально-изотропного слоя приведено в статье [143]. Связь между напряжениями, деформациями и температурой в изотропных упругопластических телах обсуждается в работах Ю.Н. Шевченко [162, 209]. Как отмечалось Б.Е. Победрей ([151], стр. 117), «.связанная задача термоупругости представляет чаще всего только академический интерес», поэтому в большинстве из перечисленных работ решалась несвязанная задача. При этом распределение температуры находилось из решения задачи теплопроводности, а затем решалась задача механики деформируемого твердого тела с измененными объемными и поверхностными силами.

Помимо разработки термомеханических моделей поведения материалов интерес представляет постановка краевых задач конечного деформирования анизотропных тел под действием силовых и температурных воздействий. Такие постановки задач в случае изотропных материалов рассматривались в работах А.А. Поздеева, П.В. Трусова и Ю.И. Няшина [159, 203], А.А. Поздеева и А.А. Рогового [158], В.И. Левитаса [85], А.А. Маркина и В.И. Адамова [2], А.А. Маркина и М.Ю. Соколовой [110].

В предложенной работе на основе классического термомеханического подхода и обобщения теории процессов А.А. Ильюшина на конечные деформации начально анизотропных материалов предложены термомеханические модели поведения изотропных и анизотропных тел при конечном деформировании под воздействием силовых факторов и температурных полей.

В первой главе с единой точки зрения рассматриваются проблемы описания кинематики конечных деформаций, основные теоремы механики сплошной среды. Определен класс процессов деформирования начально анизотропных материалов, в которых удельная механическая работа может быть представлена как свертка обобщенного тензора истинных напряжений и тензора деформаций Генки.

В рамках постулата макроскопической определимости дано определение анизотропных материалов, обладающих симметрией свойств.

Введено понятие образа процесса конечного деформирования начально анизотропных тел. Показано, что тензорам четвертого ранга, характеризующим симметрию свойств среды, в шестимерном пространстве А.А. Ильюшина Е6 соответствуют тензоры второго ранга. Получены соотношения, связывающие компоненты этих тензоров. Введены обобщенные канонические тензорные базисы второго и четвертого рангов. Главным свойством введенных базисов является возможность представления любого тензора разложением по этим базисам, коэффициенты которого совпадают с компонентами соответствующих им в пространстве Ев векторов и тензоров. Получено разложение по введенным базисам для двух изотропных тензоров четвертого ранга.

Вторая глава посвящена проблемам описания симметрии свойств анизотропных материалов в пространстве А.А. Ильюшина. С этой целью выписаны матрицы трехпараметрических ортогональных преобразований пространствам связанные с ортогональными преобразованиями декартовых координат пространства, занимаемого средой. Определены порождающие элементы групп ортогональных преобразований, характеризующих симметрию свойств материала в шестимерном пространстве. Для анизотропных материалов различных типов установлены инвариантные векторные и тензорные базисы шестимерного пространства и системы инвариантных тензоров обобщенного канонического базиса.

Получены рациональные инвариантные базисы для симметричных тензоров второго и четвертого рангов в анизотропных средах различных типов. Выписаны канонические представления тензоров, описывающих свойства анизотропных материалов различных типов, в шестимерном пространстве и в пространстве, занимаемом средой. Разработана программа экспериментов для установления типа исходной анизотропии материала и существующей симметрии его свойств.

В третьей главе диссертации рассматриваются термомеханические модели обратимого конечного деформирования изотропных и анизотропных материалов. На основе предложенных форм для функции свободной энергии анизотропного материала получены тензорно-линейные и квазилинейные соотношения между напряжениями, конечными деформациями и температурой и соответствующие им представления для энтропии. В рамках тензорно-линейной связи проведен анализ температурных напряжений и деформаций на гранях однородного параллелепипеда, рассмотрен процесс изотермического простого сдвига.

Предложена система экспериментов для конкретизации квазилинейных соотношений. Проведен анализ нелинейных температурных напряжений. Показано, что при одноосном изотермическом деформировании квазилинейные соотношения описывают явление разносопротивляемости анизотропных материалов.

Рассмотрены обратимые процессы деформирования в изотропных средах. Вариант квазилинейных соотношений получен из соотношений для анизотропных материалов путем использования тензорных базисов для изотропных материалов. Этот вариант соотношений учитывает дилатационные явления в упругих изотропных материалах в рамках выполнения частного постулата изотропии А.А. Ильюшина.

Предложен вариант нелинейных определяющих соотношений термоупругости, учитывающий возможность отклонения свойств материала от частного постулата изотропии. Разработана программа экспериментов по его конкретизации.

На основе решения краевой задачи о комбинированном нагружении сплошного цилиндра осевой силой и крутящим моментом разработана методика обработки экспериментов по конечному деформированию сплошных цилиндрических образцов.

Проведен анализ нелинейных явлений при кручении сплошных цилиндров, в том числе эффекта Пойнтинга.

В четвертой главе рассматривается необратимое деформирование анизотропных материалов. На основе термомеханического подхода к рассмотрению необратимых равновесных процессов конечного деформирования для анизотропных материалов предложен способ выделения обратимой составляющей деформаций, являющейся аналогом объемных деформаций изотропного материала. Рассмотрены модели материалов, в которых работа напряжений на составляющей вектора деформаций, ортогональной к обратимой, полностью диссипирует.

Для жесткопластического анизотропного материала без упрочнения предложен вариант теории течения, использующий в качестве предельного условия квадратичную форму относительно составляющей вектора напряжений, ортогональной к выделенному направлению обратимых деформаций. Предложенный вариант соотношений описывает явление пластического течения анизотропных материалов под действием только гидростатического давления.

Для анизотропных жесткопластических материалов с упрочнением предложен вариант деформационной теории термопластичности. Предложенные квазилинейные соотношения отражают зависимость тензора свойств материала от необратимой составляющей вектора деформаций. Они позволяют описать развитие и эволюцию анизотропии в процессе деформирования, в том числе и в начально изотропных материалах.

На основе квазилинейных соотношений проведен анализ вращения главных осей анизотропии при однородном конечном деформировании на примерах двухосного растяжения-сжатия и простого сдвига полосы из трансверсально-изотропного материала. Полученные результаты не противоречат результатам Y.F. Dafalias [232].

Пятая глава посвящена постановке краевой задачи конечного деформирования анизотропных тел под действием внешних силовых факторов в неоднородном температурном поле. Составлена система уравнений связанной краевой задачи термопластичности анизотропных тел с учетом конечности деформаций, включающая в себя предложенный вариант определяющих соотношений, условия равновесного протекания процесса в вариационной форме, уравнение теплопроводности. Разработана методика численного решения поставленной краевой задачи с использованием методов конечных элементов и пошагового нагружения.

Построена модель поведения осесимметричных цилиндрически анизотропных тел под действием осесимметричной нагрузки в заданном осесимметричном температурном поле. Обсуждаются полученные результаты исследования поведения композитных баллонов под действием внутреннего давления в заданном температурном поле. Проведенные расчеты напряжений в стенках баллона показали возможность разрушения связующего от возникающих между слоями намотанного композита касательных напряжений.

Разработанная методика и соответствующие программные средства могут быть использованы в НИИ, КБ и на промышленных предприятиях с целью проведения прочностных расчетов изделий из намотанных композитов.

Полученные результаты опубликованы в статьях [11, 12, 108-115, 172184].

Укажем основные результаты, полученные в первой главе:

1. На основе выбора различных пар энергетически сопряженных мер напряжений и конечных деформаций представлены различные удовлетворяющие принципу материальной объективности формы постулата макроскопической определимости. В рамках постулата макроскопической определимости дано определение анизотропных материалов, обладающих симметрией свойств.

2. Введено понятие образа процесса конечного деформирования начально анизотропных тел. Введены канонические тензорные базисы второго и четвертого рангов. Главным свойством этих базисов является возможность представления любого тензора второго или четвертого ранга разложением по этим базисам, коэффициенты которого совпадают с компонентами соответствующих им в пространстве А.А. Ильюшина векторов и тензоров. Получено разложение по введенным базисам для двух изотропных тензоров четвертого ранга.

2 ОПИСАНИЕ СИММЕТРИИ СВОЙСТВ МАТЕРИАЛОВ В ПРОСТРАНСТВЕ А.А. ИЛЬЮШИНА

2.1 Анизотропные материалы, обладающие симметрией свойств

Определение анизотропных материалов, свойства которых различны в различных направлениях, дано в разделе 1.3. Если материал обладает симметрией свойств, то для него можно указать группу ортогональных преобразований gA, для всех элементов Q которой справедливо равенство (1.63):

Q 1 Т Q = Зе {(Г1 • Б(*е) • <ф, Т} VQ е gA .

Группу преобразований gA, которая в общем случае является подгруппой полной ортогональной группы gAcig [200, 211], называют группой симметрии данного физического свойства материала. Изучению симметрии физических свойств материалов посвящены многочисленные работы, в том числе [41, 130, 171, 211 и др.]. Наиболее важным физическим принципом изучения симметрии свойств является принцип Неймана [41, 130, 207, 211, 212]. В соответствии с этим принципом "элементы симметрии любого физического свойства кристалла включают в себя все элементы симметрии точечной группы (кристаллографического класса) этого кристалла, или точечная группа симметрии кристалла есть подгруппа симметрии любого его физического свойства" (цитата по [41]). Тогда описание симметрии физических свойств кристаллов необходимо начать с изучения кристаллографических систем.

Анизотропная среда называется кристаллом, если может быть введена система периодических решеток Бравэ, имеющая^ такие же геометрические свойства симметрии, что и рассматриваемый кристалл. В этом случае допускаемыми являются точечные конечные группы [51, 62, 93, 207]. Известно, что имеется только 32 различных класса симметрии кристаллов, описываемых конечными точечными группами, которые объединены в семь кристаллографических систем или сингоний: триклинную, моноклинную, ромбическую, тетрагональную, тригональную, гексагональную, кубическую.

Анизотропные среды могут быть текстурами, когда в каждой точке среды свойства инвариантны относительно бесконечной ортогональной группы, содержащей повороты на произвольный угол относительно некоторой оси. Существует семь типов текстур [93, 207], для которых приняты обозначения оо,оо:/77,оо • • оо :/77,оо: 2,оо/оо,оо/со •/и . Группы симметрии текстур являются подгруппами полной ортогональной группы.

Ортотропными называют материалы, имеющие три взаимно перпендикулярные плоскости симметрии. К ортотропным материалам относят несколько классов ромбической сингонии и текстуру т • оо: т . Трансверсальная анизотропия материала характеризуется наличием поворотной оси бесконечного порядка. Трансверсальной анизотропией обладают все текстуры, а если свойства характеризуются тензорами четвертого и более высоких рангов, то и некоторые классы гексагональной сингонии. Изотропными являются среды с полной ортогональной группой симметрии (текстура оо/оо т), гиротроггной называют среду с полной собственной ортогональной группой (текстура со/оо).

В алгебре изучение групп ортогональных преобразований ведется с целью построения целых рациональных базисов полиномиальных инвариантов, образованных компонентами тензоров и векторов. Для текстур и различных классов кристаллов построение таких базисов приведено в работах Э. Спенсера [186], Ю.И. Сиротина [169, 170], А. Грина и Дж. Адкинса [51] и др.

Если некоторое физическое свойство материала имеет тензорную природу и характеризуется тензором А, то группа ортогональных преобразований gA является группой симметрии этого тензора. Это значит, что группа gA представляет собой совокупность преобразований, относительно которых тензор А инвариантен: Для тензора второго ранга А инвариантность относительно группы преобразований gA означает равенство

Q-1 • A • Q = A VQegA. (2.1)

Группа симметрии gA может состоять из одного тождественного преобразования или, для тензоров четных рангов, из тождественного преобразования и инверсии. Такой материал обладает самой общей анизотропией свойств (триклинный). Если же группа симметрии gA совпадает с полной ортогональной группой g, то, как это следует из (1.62), материал является изотропным, а если группа симметрии gA совпадает лишь с полной группой вращений, то среда - гиротропная.

Группы симметрии gA могут быть заданы перечислением образующих их ортогональных преобразований, как это сделано в работах [51, 186, 200, 207]. Группы симметрии свойств материалов, описываемых тензорами различных рангов, определяются заданием тензорного базиса, инвариантного относительно преобразований группы gA [41, 45, 92, 93, 150, 168].

В работах [93, 186, 200, 207] для различных кристаллографических систем указаны порождающие элементы групп ортогональных преобразований, характеризующих симметрию свойств среды. Порождающими элементами группы называются элементы ее некоторого подмножества, если любой элемент группы может быть представлен в виде произведения их степеней [200]. Порождающие элементы ортогональных групп для различных кристаллографических систем приведены в таблице 2.1. Эта таблица составлена по данным К. Трусделла [200], Э Спенсера [186], К.Ф. Черныха [207].

Используемое в таблице обозначениеRfозначает поворот вокруг базисного вектора е, на угол ср. В таблице 2.1 порождающие элементы ортогональных фупп унифицированы по кристаллографическим системам и представляют собой объединение порождающих элементов для кристаллических классов, входящих в эти системы. На основании приведенных в таблице 2.1 данных могут быть определены тензоры различных рангов, инвариантные относительно ортогональных преобразований, составляющих группу симметрии для каждой из кристаллографических систем (сингоний).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В представленной работе решена крупная научная проблема, состоящая в построении экспериментально конкретизируемых моделей термомеханического поведения анизотропных тел с учетом изменения их свойств в равновесных процессах конечного деформирования. При этом получены следующие наиболее важные результаты:

1. На основе выбора различных пар энергетически сопряженных мер напряжений и конечных деформаций представлены различные, удовлетворяющие принципу материальной объективности, формы постулата макроскопической определимости.

2. Введено понятие образа процесса конечного деформирования начально анизотропных материалов в шестимерном пространстве А.А. Ильюшина. Показано, что свойства анизотропных материалов, характеризующиеся тензорами четвертого ранга, в шестимерном пространстве описываются тензорами второго ранга, установлена связь между их компонентами.

3. Разработан математический аппарат описания симметрии свойств материалов в шестимерном пространстве, в основе которого лежит определение инвариантных тензорных базисов для анизотропных материалов различных типов.

4. На основе предложенных форм для функции свободной энергии упругого анизотропного материала получены тензорно-линейные и квазилинейные соотношения между напряжениями и конечными деформациями и соответствующие им представления для энтропии. Предложена система экспериментов для конкретизации квазилинейных соотношений. Показано, что при одноосном изотермическом деформировании квазилинейные соотношения описывают явление разносопротивляемости анизотропных материалов.

5. Рассмотрен вариант нелинейных определяющих соотношений изотропной термоупругости, учитывающих возможность отклонения свойств материала от частного постулата изотропии. Разработана программа экспериментов по его конкретизации, основанная на решении краевой задачи о комбинированном нагружении сплошного цилиндра осевой силой и крутящим моментом.

6. На основе термомеханического подхода к рассмотрению необратимых равновесных процессов конечного деформирования для анизотропных материалов предложен способ выделения обратимой составляющей деформаций, которая является аналогом объемных деформаций изотропного материала при пластическом течении.

7. Для анизотропных жесткопластических материалов предложены вариант теории течения (для неупрочняющихся сред) и вариант деформационной теории термопластичности (для упрочняющихся сред), позволяющий описать эволюцию анизотропии в процессе деформирования, в том числе и изменение ее типа.

8. Выполнена постановка и разработана методика численного решения краевой задачи конечного деформирования осесимметричных анизотропных тел под действием внешних силовых факторов в неоднородном температурном поле с использованием методов конечных элементов и пошагового нагружения.

Таким образом, для предложенных конкретных моделей поведения начально анизотропных тел при конечном деформировании не только указаны пути определения входящих в соотношения констант, но и проведена постановка краевой задачи, указаны численные методы ее решения, с помощью разработанных программных средств выполнены расчеты.

1. Адамов А.А. О построении образа процесса нагружения при конечных деформациях// Математические методы механики деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1986. - С. 3-5.

2. Адамов В.И., Маркин А.А. Моделирование процессов обработки давлением осесимметричных изделий// Известия вузов. Машиностроение. 1989. - № 12-С.104-108.

3. Алфутова Н.Б. Вариант связи между напряжениями и деформациями в анизотропных телах/Диссертация канд. физ-мат. Наук. Москва, 1987. - 104 с.

4. Артемов М.А., Ивлев Д.Д. О статических и кинематических соотношениях в теории идеальной пластичности при кусочно-линейных условиях текучести// Известия РАН, Механика твердого тела. 1995. - № 3. - С. 94-103.

5. Артемов М.А., Рыжков А.В. К теории течения анизотропных пластических материалов// Математическое моделирование и краевые задачи/ Труды XII межвузовской конф. Самара, 2002. - С. 23-26.

6. Арышенский Ю.М., Гречников Ф.В. Теория и расчеты пластического формоизменения анизотропных материалов. М.: Металлургия, 1990. - 304 с.

7. Астапов В.Ф. Теоретическое обоснование программ экспериментов по конечному деформированию// Проблемы пластичности в технологии. Тезисы докл. междунар. конф. Орел, 1998. - С. 37-38.

8. Астапов В.Ф., Маркин А.А., Оленич С.И. Обоснование выбора мер конечных деформаций// Известия Тульского государственного университета. Серия Математика. Механика. Информатика. Тула. ТулГУ, 1995. - Том 1. -Выпуск 2. - С. 7-11.

9. Астапов В.Ф., Маркин А.А. Программы экспериментального исследования свойств материалов при конечных деформациях// Устойчивость и пластичность в механике деформируемого твердого тела/ Тезисы докл. междунар. симп. -Тверь, 1998. С. 14-15.

10. З.Астапов В.Ф., Маркин А.А., Сотников К.Ю. Анализ влияния точности проведения экспериментов на траектории деформирования// Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. Том 1. - Выпуск 2. Механика. -1995. -С.12-17.

11. Астапов В.Ф., Соколова М.Ю. Кинематические характеристики конечного формоизменения сплошного цилиндра/Тул.госуд. ун-т. Тула, 1998. - Деп. в ВИНИТИ 29.05.98, № 1641 - В98. - 24 с.

12. Ашкенази Е.К. Анизотропия машиностроительных материалов. JI.: Машиностроение, 1969. - 112 с.

13. Ашкенази Е.К., Ганов Э.В. Анизотропия конструкционных материалов: Справочник. J1.: Машиностроение, 1980. - 247 с.

14. Бастуй В.Н., Черняк Н.И. Влияние характера напряженного состояния на модуль упругости стали// Проблемы прочности. 1971. - № 9. - С. 52-55.

15. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. М. Стройиздат. - 1982. - 384 с.

16. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука, 1984. - 352 с.

17. Белл Дж. Ф. Экспериментальные основы механики деформируемых твердых тел. Часть II. Конечные деформации. М.: Наука, 1984. - 432 с.

18. Берлин В.К., Р.М.Кашаев Об определении напряженного состояния при растяжении с кручением сплошного цилиндра// Проблемы прочности. 2001. -№ 1. - С.28-37.

19. Био М.А. Вариационные принципы в теории теплообмена. М.: Энергия, 1975.-209 с.

20. Боли Б., Уэйнер П.П. Теория температурных напряжений. М.: Мир, 1964. -518 с.

21. Болотин В.В. Разрушение композиционных материалов по типу отслоений// Расчеты на прочность. Выпуск 27. М.: Машиностроение, 1986. - С. 8-20.

22. Бриджмен П. Исследование больших пластических деформаций и разрыва. -М.-.ИЛ, 1955.-444 с.

23. Бровко Г.Л. Класс моделей упругих тел при конечных деформациях и устойчивость равновесия// Устойчивость в механике деформируемого твердого тела. Калинин: Изд-во КГУ, 1986. - С. 111-121.

24. Бровко Г.Л. Материальные и пространственные представления определяющих соотношений деформируемых сред// Прикладная математика и механика. 1990. - 54. - 5. - С. 814-824.

25. Бровко Г.Л. Некоторые подходы к построению определяющих соотношений пластичности при больших деформациях// Упругость и неупругость. М.: Изд-во МГУ, 1987.-С. 68-81.

26. Бровко Г.Л. Понятия образа процесса и пятимерной изотропии свойств материалов при конечных деформациях// Доклады АН СССР. 1989. - Том 308.-Х9 3.-С. 814-824.

27. Бровко Г.Л. Следствия постулата макроскопической определимости для различных мер деформаций и напряжений// Проблемы механики деформируемого твердого тела. Межвуз. сб. науч. тр. / Калининский политехи, ин-т. Калинин: Изд-во КГУ, - 1986. - С. 96-103.

28. ЗГБурагС?1 Н.Г., Глушко А.И., Ковшов А.Н. Термодинамический метод получения определяющих уравнений для моделей сплошных сред// Известия РАН. Механика твердого тела. 2000. - № 6. - С. 4-15.

29. Вабишевич П.Н. Численное исследование задач упругого кручения цилиндрических стержней// Математическое моделирование. 1998. - Вып. 10. -№ 1. - С.63-72.

30. Ванин Г.А. Упругость неоднородных сред с иерархией структуры// Известия РАН. Механика твердого тела. 2000. - 5. - С. 85-106.

31. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М. «Мир», 1987. - 542 с.

32. Васин Р.А. Некоторые вопросы связи напряжений и деформаций при сложном нагружении// Упругость и неупругость/ Сб. науч. тр. М.: Изд-во МГУ, 1971. - Вып. 1. - С. 59-126.

33. Васин Р.А. Об экспериментальном исследовании функционалов пластичности в теории упругопластических// Пластичность и разрушение твёрдых тел. М. Наука, 1989. - С. 40 -57.

34. Васин Р.А., Ибрагимов А.Б. О виде матрицы деформационной анизотропии // Доклады АН АзССР. 1965. - Т.21. - № 9. - С. 8-11.

35. Васин Р.А., Ибрагимов А.Б. Об исследовании деформационной анизотропии при сложном нагружении// Прочность и пластичность/ Сб. научн. тр. М.: Наука, 1971.-С. 126-129.

36. Васин Р.А., Ильюшин А.А. Об одном представлении законов упругости и пластичности в плоских задачах// Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1983. - №4. -С. 114-118.

37. Васин Р. А., Ильюшин А. А., Моссаковский П. А. Исследование определяющих соотношений и критериев разрушения на сплошных и толстостенных трубчатых цилиндрических образцах// Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1994. - № 2. - С. 177-184.

38. Вустер У. Применение тензоров и теории групп для описания физических свойств кристаллов. М.: Мир, 1977. - 383 с.

39. Гавриляченко Т.В., Карякин М.И. Об особенностях нелинейно-упругого поведения сжимаемых тел цилиндрической формы при кручении// Прикладная механика и техническая физика. 2000. - Т.41. - № 2. - С. 188-193.

40. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М.: «Мир», 1984. - 428 с.

41. Глаголева М.О., Маркин А.А., Матченко Н.М., Трещев А.А. Свойства изотропных упругих материалов// Известия Тульского государственного университета. Серия Математика. Механика. Информатика. Том 4. - Выпуск 2. Механика. - 1998. - С. 15-19.

42. Голубятников А.Н. Аффинная симметрия и релаксационные модели анизотропных сплошных сред// Упругость и неупругость/ Материалы международного научного симпозиума. М.: Изд-во МГУ, 2001. - С. 88-90.

43. Гольденблат И И. К теории малых упруго-пластических деформаций анизотропных сред// Доклады АН СССР. Т. 101. - № 4. - 1955. - С.619-622

44. Гольденблат И.И. Нелинейные проблемы теории упругости. М.: «Наука», 1969.-336 с.

45. Гольденблат И.И., Бажанов В.П., Копнов В.А. Длительная прочность в машиностроении. М.: Машиностроение, 1977. - 248 с.

46. Горбачев В.И. Осреднение линейных задач механики композитов при непериодической неоднородности// Известия РАН. Механика твердого тела. -2001.-№ 1.-С. 31-37.

47. Греков М.А. Пластичность анизотропного тела// Докл. АН СССР. 1984 - Т. 278.-№5.-С. 1082-1084

48. Грин А.Е., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М.: Мир, 1965. - 456 с.

49. Дегтярев В.П. Деформации и разрушение в высоконапряженных конструкциях. М.: Машиностроение, 1987. - 105 с.

50. Еникеев Ф.У. Кинематика процесса растяжения с кручением однородного цилиндрического стержня из сверхпластичного материала// Металлы. 1999. -№2.-С. 89-98.

51. Жуков A.M. Поведение материалов при разгрузке и повторной нагрузке// Инженерный журнал. Механика твердого тела. 1961.-№.1.-С. 124-133.;

52. Жуков A.M. Прочность и пластические свойства сплава Д16Т в сложном напряженном состоянии// Известия АН СССР. ОТН. -№6. 1954.

53. Жуков A.M. Разгрузка пластически деформированных металлов при фиксированных скоростях убывания напряжений// Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1987. - № 3. - С. 189-192.

54. Ивлев Д.Д. К теории идеальной пластической анизотропии// Прикладная математика и механика. 1959. - Т. 23. - № 5. - С. 1107-1114.

55. Ильюшин А. А. Вопросы общей теории пластичности// Прикладная математика и механика. 1960. - Т.24. - Вып. 3. - С. 399-411.

56. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во МГУ, 1990. 310 с.

57. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды: Учебник для Университетов. 2-е изд., перераб. и дополн. - М.: Изд-во МГУ, 1978. - 287 с.

58. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. М.: Изд-во АН СССР, 1963. 272 с.

59. Ильюшин А.А. Пластичность. Часть 1. Упругопластические деформации. -М., Л.: Гостехиздат, 1948. 376 с.

60. Кабриц С.А., Михайловский Е.И., Товстик П.Е., Черных К.Ф., Шамина В.А. Общая нелинейная теория упругих оболочек. СПб.: Изд-во СпбУ, 2002. - 388 с.

61. Коваленко А. Д. Методы и задачи термоупругости// Прочность и пластичность. Сборник науч. трудов. М.: Наука, 1971. - С. 354-365.

62. Коваленко А.Д. Основы термоупругости. Киев: Наукова думка, 1970. -370 с.

63. Ковальчук Б.И. К теории пластического деформирования анизотропных материалов//Проблемы прочности. -1975.-№9.-С. 8-12.

64. Ковальчук Б.И., Косарчук В.В, Лебедев А.А. Пластические деформации начально анизотропных материалов при простом и сложном нагружении// Математические методы механики деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1986.-С. 74-81.

65. Коновалов А.В. Кручение цилиндрического стержня и трубы из упругопластического материала с большими пластическими деформациями// Известия РАН. Механика твердого тела. 2001. - № 3. - С. 102-111.

66. Коробейников С.Н. Строго сопряженные тензоры напряжений и деформаций// Прикладная механика и техническая физика. 2000. - Т. 41. - № З.-С. 149-154.

67. Король Е.З. Термодинамические потенциалы и некоторые соотношения между постоянными анизотропных сплошных сред// Упругость и неупругость/ Материалы Международного научного симпозиума. М.: Изд-во МГУ, 2001. -С. 93-100.

68. Косарчук В.В., Ковальчук Б.И. К формулировке закона запаздывания векторных свойств начально анизотропных материалов// Проблемы прочности. 1986. - Ко 11 - С. 3-6.

69. Косарчук В.В., Ковальчук Б.И., Лебедев А.А. Теория пластического течения анизотропных сред. Сообщение 1. Определяющие соотношения// Проблемы прочности. 1986. - № 4 - С. 50-57.

70. Кравчук А С. О теории пластичности анизотропных материалов// Расчеты на прочность/ Сб. науч. Тр., Выпуск 27. М. Машиностроение, - 1986. - С. 21-29.

71. Кравчук А.С., Майборода В.П., Уржумцев Ю.С. Механика полимерных и композиционных материалов. М.: Наука, 1985. - 304 с.

72. Кузнецова В.Г., Роговой А.А. Эффект учета слабой сжимаемости материала в упругих задачах с конечными деформациями// Известия РАН. Механика твердого тела. 1999. - № 4. - С. 64-77.

73. Кузнецова В. Г., Роговой А.А. Эффект учета слабой сжимаемости эластомеров. Осесимметричная задача. Аналитическое решение// Известия РАН. Механика твердого тела. 2000. - № 6. - С. 25-37.

74. Кукуджанов В.Н., Сантойя К. Термодинамика вязкоупругих сред с внутренними параметрами// Известия РАН. Механика твердого тела. 1997. -№2.-С. 115-126.

75. Курош А.Г. Теория групп. -М.: Наука, 1967. -430 с.

76. Курчаков Е Е. К обоснованию тензорно-линейных определяющих уравнений для нелинейного анизотропного тела// Современные проблемы механики и прикладной математики/ Тезисы докадов школы. Воронеж, 1998. - С. 155.

77. Левитас В.И. Большие упругопластические деформации материалов при высоком давлении. Киев.: Наукова Думка, 1987. - 232 с.

78. Левитас В.И. К теории больших упругопластических деформаций// Доклады АН УССР. Киев, 1983. -№ 11.-С.48-53.

79. Левитас В.И. О механико-термодинамической аналогии и инерционности термодинамических процессов// Докл. АН УССР, Сер. А. Киев, 1981. - № 10. - С. 39-46.

80. Ленский B.C. Гипотеза локальной определенности в теории пластичности// Известия АН СССР, ОТН. 1962. - № 5. - С.154-158.

81. Ленский B.C. Экспериментальная проверка основных постулатов общей теории упруго-пластических деформаций// Сборник «Вопросы теории пластичности». -М.: Изд-во АН СССРд- 1961.

82. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: «Наука», 1977. -416 с.

83. Ломакин В. А. О теории нелинейной упругости и пластичности анизотропных сред// Известия АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. -1960. -№ 4. С. 60-64.

84. Лохин ВВ. Система определяющих параметров, характеризующих геометрические свойства анизотропной среды// Доклады АН СССР. 1963. - Т. 149. -№ 2. -С. 295-297.

85. Лохин В В., Седов Л.И. Нелинейные тензорные функции от нескольких тензорных аргументов/ В кн. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Том 1. -М.: Наука, 1973. С. 473 - 503.

86. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. - 512 с.

87. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. - 939 с.

88. Малков В.П. Анализ закона Гука. Лекции по анизотропной упругости. -Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского университета. 1992. - 74 с.

89. Мальков В.М. Нелинейный закон упругости для тензора условных напряжений и градиента деформации// Известия РАН. Механика твердого тела. 1998. -№1. -С. 91-98.

90. Мальков В.М. О формах связи тензоров напряжений и деформаций в нелинейно упругом материале/Шрикладная математика и механика. 1998. - Т. 62.-№4.-С. 643-649.

91. Маркин А.А. Нелинейная теория упругости. Тула: Изд-во ТулГУ, 2001. -64 с.

92. Маркин А.А. О различных типах тензоров и выборе их производных // Материалы Всероссийской конференции по чистой и прикладной математике. Тула: Изд-во ТулПИ, 1988. С. 15-17.

93. Маркин А.А. Об изменении упругих и пластических свойств при конечном деформировании// Известия АН СССР. Механика твердого тела. -1990. № 2. - С.120-126.

94. Маркин А.А. Определяющие соотношения конечного упругопластического деформирования / ТулПИ. Тула, 1985. - 17 е., - Рус. -Деп. в ВИНИТИ 08.04. 85, - № 2358 - 85 Деп.

95. Маркин А.А. Построение образа процесса конечного формоизменения// Вестник МГУ. Серия I. Математика, Механика. 1984. - № 12. - С.98-105.

96. Маркин А.А. Теория процессов А.А. Ильюшина и термомеханика конечного равновесного деформирования// Упругость и неупругость/ Материалы международного научного симпозиума. М.: Изд-во МГУ, 2001. -С. 51-61.

97. Маркин А.А., Астапов В.Ф., Матвеев Г.А. Возможности экспериментального решения проблемы построения образа процесса конечного деформирования. // ТулПИ. Тула, 1989. - 15 е., Деп. в ВИНИТИ 30.05.89 -№4098-В89.

98. Маркин А.А., Астапов В.Ф., Оленич С.И. Обоснование выбора мер деформаций процессов конечного неизотропного деформирования // Проблемы пластичности в технологии/ Тезисы международной научно-технической конференции. Орел: Изд-во ОрелГТУ, 1995. - с. 9.

99. Маркин А.А., Оленич С.И. О связи между процессом внешнего нагружения и его образами в пространстве Ильюшина при конечных деформациях//Проблемы прочности. 1999. - № 2. - С.85-93.

100. Маркин А.А., Соколова М.Ю. Анализ вращения главных осей анизотропии при конечном деформировании// Современные проблемы прочности, пластичности и устойчивости/ Мат-лы V междунар. симп. Тверь, 2001.-С. 35-39.

101. Маркин А.А., Соколова М.Ю. Вариант определяющих соотношений нелинейной термоупругости для анизотропных тел// Прикладная механика и техническая физика. 2003. - т. 44. - № 1. - С. 170-175.

102. Маркин А.А., Соколова М.Ю. Вариант теории конечного упругопластического деформирования// Прогрессивная технология приборостроения. /Межвуз. сб. науч. тр. М.: Изд-во ВЗМИ, 1987. - С. 57-61.

103. Маркину А.А., Соколова М.Ю. Изменение ориентации главных осей анизотропии при простом, сдвиге// Актуальные проблемы строительства истроительной индустрии/ Сборник материалов междунар. науч.-технич. конф. -Тула, 2001.-С. 60-61.

104. Маркин А.А., Соколова М.Ю. Термомеханика конечного деформирования анизотропных тел// Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. Том 7. - Выпуск 2. Механика. - 2001. - С. 130-137.

105. Маркин А.А., Соколова М.Ю. Термомеханические модели необратимого конечного деформирования анизотропных тел// Проблемы прочности. 2002. -№6.-С. 5-13.

106. Маркин А.А., Толоконников JI.A. Меры и определяющие соотношения конечного упругопластического деформирования// Прикладные проблемы прочности и пластичности. Методы решения.: Всесоюзн. межвуз. сб./ Горьк. гос. ун-т. Горький, 1987. - С.32 - 37.

107. Маркин А.А., Толоконников J1.A. Меры процессов конечного деформирования// Известия Северо-Кавказского научного центра высшей школы. Естественные науки. 1987. -№ 2. - С. 49-53.

108. Маркин А.А., Яковлев С.С. Влияние вращения главных осей ортотропии на процессы деформирования анизотропных идеально-пластических материалов// Известия РАН. Механика твердого тела. 1996. - № 1. - С.66-69.

109. Матвеенко В.П., Юрлова Н.А. Идентификация эффективных упругих постоянных композитных оболочек на основе статических и динамических экспериментов// Известия РАН. Механика твердого тела. 1998. - № 3. - С. 1220.

110. Матченко И.Н. Вариант построения теории идеальной пластичности ортотропных сред// Механика деформируемого твердого тела и обработка металлов давлением. Часть 2. Тула, 2002. - С. 12-15.

111. Матченко И.Н. Модификации квадратичного условия предельного состояния ортотропной среды// Механика деформируемого твердого тела и обработка металлов давлением. Часть 2. Тула, 2002. - С. 27-31.

112. Матченко Н.М., Толоконников J1.A. Плоская задача теории пластичности анизотропных материалов// Известия АН СССР. Механика твердого тела. -1977. -№1.-С. 56-62.

113. Матченко Н.М., Трещев А.А. Теория деформирования разносопротивляющихся материалов. Определяющие соотношения. Тула: Изд-во ТулГУ, 2000. - 149 с.

114. Маховер Е.В. Некоторые задачи теории пластичности анизотропных сред// Доклады АН СССР. 1947. - Т. 58. -№ 2. - С. 209-212.

115. Мелан Э., Паркус Г. Термоупругие напряжения, вызываемые стационарными температурными полями. М.: Физматгиз, 1958. - 167 с.

116. Механика композитных материалов и элементов конструкций. В 3-х томах. Под ред. Гузя А.Н. Киев: Наукова думка, 1982.

117. Мешков Е.В., Кулик В.И., Упитис З.Т., Рикардс Р.Б. К вопросу определения коэффициентов в тензорно-полиномиальных критериях разрушения// Проблемы прочности. 1987. - № 9. - С. 66-72.

118. Микляев П.Г., Фридман Я.Б. Анизотропия механических свойств материалов. М. «Металлургия», 1969. - 267 с.

119. Муравлев В.А., Сретенский Н.В. Обобщение формулы Бэкофена-Филдса для термовязкопластичности// Упругость и неупругость/ Материалы Международного научного симпозиума. М.: Изд-во МГУ, 2001. - С. 224-226.

120. Най Дж. Физические свойства кристаллов и их описание при помощи тензоров М.: Мир, 1967. - 386 с.

121. Нежданов P.O. Методика идентификации прочностных характеристик нелинейно-упругого волокнистого композита// Математическое моделирование и краевые задачи/ Труды XII межвузовской конф. Самара, 2002. - С. 129-133.

122. Никитин JI.B. Об анизотропии упругой среды с начальными напряжениями// Известия АН СССР. Физика Земли. 1983. - № 12. - С. 29-33.

123. Новацкий В. Теория упругости. М.: «Мир», 1975. - 872 с.

124. Новикова С И. Тепловое расширение твердых тел. М.: «Наука», 1974. -294 с.

125. Новожилов В.В. Теория упругости. JI.: «Судпромгиз», 1958, 370 с.

126. Новожилов В.В., Черных К.Ф. Об «истинных» мерах напряжений и деформаций в нелинейной механике деформируемого тела// Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1987. -№ 5. - С. 73-79.

127. Новокшанов Р.С., Роговой А.А. О построении эволюционных определяющих соотношений для конечных деформаций// Известия РАН. Механика твердого тела. 2002. - № 4. - С. 77-95.

128. Образцов И.Ф., Васильев В.В., Бунаков В.А. Оптимальное армирование оболочек вращения из композиционных материалов. М.: «Машиностроение», 1977.- 144 с.

129. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. -М.:Мир. 1976.-464 с.

130. Островский А.А. Влияние предварительной пластической деформации на величину модуля упругости// Проблемы прочности. -1975,-№4.-С. 93-94.

131. Остросаблин Н. И. Об инвариантах тензора четвертого ранга модулей упругости// Сиб. журнал индустр. мат. 1998. - Т. 1. - № 1. - С. 155-163.

132. Пелешко В. А. Деформационная теория пластичности деформационно-анизотропных тел// Известия РАН. Механика твердого тела. 1996. - № 6. -С.68-72.

133. Победря Б.Е. Деформационная теория пластичности анизотропных сред// Прикладная математика и механика. Т. 48. - Вып. 1. - 1984. - С.29-37.

134. Победря Б.Е. Задача в напряжениях для анизотропной среды// Прикладная математика и механика. 1994. - Т. 58. - Вып. 1. - С. 77-85.

135. Победря Б.Е. и др. Задача в напряжениях. Ташкент, 1988. - 200 с.

136. Победря Б.Е. К теории упругопластических процессов первоначально анизотропных средII Проблемы механики деформируемого твердого тела. Межвузов, сб. трудов/ Калинин, политех, ин-т. Калинин: Изд-во КГУ, 1986. -С. 16-24.

137. Победря Б.Е. Критерий прочности однонаправленного волокнистого композита// Проблемы прочности. 1987. - № 7. - С. 3-4.

138. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. М.: Изд-во МГУ, 1974. -206 с.

139. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во МГУ, 1984.-336 с.

140. Победря Б.Е. Модели механики сплошной среды// Известия РАН. Механика твердого тела. 2000. - № 3. - С. 47-59.

141. Победря Б.Е. Понятие простого процесса при конечных деформациях// Прочность и пластичность. М.: Машиностроение, 1971. - С. 166-170.

142. Победря Б.Е. Сложное нагружение слоистых композитов// Известия РАН. Механика твердого тела. 2001. - № 1. - С. 21-30.

143. Победря Б.Е. Эволюционная деструкция в механике композитов// Известия РАН. Механика твердого тела. 1997. -№ 2. - С.27-31

144. Подстригач Я.С., Коляно Ю.М., Громовык В.И., Лозбень В.Л. Термоупругость тел при переменнь^ коэффициентах теплоотдачи. Киев. Наукова думка, 1977. - 158 с.

145. Поздеев А.А., Няшин Ю.И., Трусов П.В. Остаточные напряжения, теория и приложения. М.: Наука, 1982. - 111 с.

146. Поздеев А.А., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упругопластические деформации, теория, алгоритмы, приложения. М.: Наука, 1986. - 231 с.

147. Прагер В. Введение в механику сплошных сред. М.: Изд-во иностр. Литературы. - 1963. - 311 с.

148. Пэжина П., Балтов А. Вариационные проблемы теории вязкопластичности при больших деформациях// Теоретическая и прикладная механика. 1973. - Т. 4. - № 4. - С. 19-28.

149. Решение осесимметричной задачи термопластичности для тонкостенных и толстостенных тел вращения на ЕС ЭВМ. Под ред. Шевченко Ю.Н. Киев: Наукова думка, 1970. - 196 с.

150. Родионова В.А., Титаев Б.Ф., Черных К.Ф. Прикладная теория анизотропных пластин и оболочек. С.-Пб.: Изд-во С.-Пб. Ун-та, 1996. - 280 с.

151. Рыхлевский Я. О законе Гука// Прикладная математика и механика. Т. 48. - Вып. 3. - 1984. - С. 420-435.

152. Сазанов Ю.А. Об изменении модулей упругости меди и никеля в процессе пластической деформации// Прочность материалов и конструкций/ ЛПИ. Л.: Машиностроение, 1967. - № 278. - С. 35-37.

153. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.:Мир, 1979 -376 с.

154. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды М.: Физматгиз. -1962.-284 с.

155. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т.1. Учебник для университетов. -М : Наука, 1970.-492 с.

156. Сиротин Ю.И. Анизотропные тензоры// Доклады АН СССР. 1960. - Т. 133. - № 2. - С. 321-324.

157. Сиротин Ю.И. Целые рациональные базисы тензорных инвариантов и кристаллографических групп// Доклады АН СССР. 1963. - Т.51.

158. Сиротин Ю.И., Шаскольская М.П. Основы кристаллофизики. М.: Наука, 1979.-640 с.

159. Соколова М.Ю. Вариант анализа упругой деформационной анизотропии в штампованных деталях// Исследования в области теории, технологии и оборудования штамповочного производства/ Сборник науч. трудов. Тула, 1991. - С. 71-77.

160. Соколова М.Ю. Вариант анализа упругой деформационной анизотропии в металлах/ Тул. Политехи. Ин-т. Тула, 1991. - Деп. в ВИНИТИ 6.11.91, № 4218-В91.

161. Соколова М.Ю. Квазилинейные соотношения анизотропной упругости// Восьмой Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике/ Аннотации докл. Екатеринбург. Изд-во УрО РАН, 2001. - С. 537.

162. Соколова М.Ю. Конечные деформации простого сдвига в анизотропном материале// Механика деформируемого твердого тела и обработка металлов давлением. Часть 1/ Межвуз. сб.науч. тр. Тула: Изд-во ТулГУ, 2001. - С. 3643.

163. Соколова М.Ю. Модели необратимого конечного деформирования анизотропных материалов// Современные проблемы математики, механики, информатики/ Тезисы докл. Всероссийской научной конф. Тула: Изд-во ТулГУ, 2001.-С. 104-105.

164. Соколова М.Ю. Об одном подходе к описанию деформационной анизотропии // Механика деформируемого твердого тела/ Сб. науч. тр. Тула, 1994.-С. 102-105.

165. Соколова М.Ю. Построение образа процесса нагружения в начально анизотропной среде// Известия ТулГУ. Математика. Механика. Информатика. -Т.1. Выпуск 2. Механика. - 1995. - С. 144 - 150.

166. Соколова М.Ю. Простой сдвиг в анизотропном материале при конечном деформировании// Математическое моделирование и краевые задачи/ Труды XII межвузовской конф. Самара, 2002. - С. 162-165.

167. Соколова М.Ю. Структурные тензоры анизотропии в пространстве А.А.Ильюшина// Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. Том 7. - Выпуск 2. Механика. - 2001. - С. 173-178.

168. Соколова М.Ю. Структурные характеристики анизотропии в пространстве А.А.Ильюшина// Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии/Сборник материалов междунар. науч.-технич. конф. -Тула, 2001.-С. 90-91.

169. Соколова М.Ю., Христич Д.В. Исследование модели поведения изотропных упругих тел // Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. 2000. - Том 6. - Выпуск 2. Механика. - С. 128-133.

170. Соколова М.Ю., Ширшов В.П., Христич Д.В. Конечные деформации осесимметричных тел из композитных материалов// Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. 2001. - Том 7. - Выпуск 2. Механика. -С. 179-183.

171. Солодовников В.Н. Определяющие уравнения изотропного гиперупругого тела// Прикладная механика и техническая физика. 2000. - Т. 41. -№ 3. - С. 178-183.

172. Спенсер Э. Теория инвариантов. -М.: Мир, 1974. 156 с.

173. Терегулов ИГ. Математическое моделирование необратимых многопараметрических процессов и определяющие соотношения для сплошных сред// Известия РАН. Механика твердого тела. 2000. - № 2. - С. 69-85.

174. Толоконников О.Л. Установка для испытаний трубчатых образцов материалов в среде высокого давления// Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1985. - № 3. - С. 185-187.

175. Толоконников О.Л., Маркин А.А., Астапов В.Ф. Исследование процесса формоизменения с учетом конечности деформаций// Прикладная механика. -1983. Т.XIX. - № 10. - С. 122-125.

176. Толоконников О.Л., Маркин А.А., Астапов В.Ф. Свойства материалов при конечном пластическом деформировании// Прочность материалов и элементов конструкций при сложном напряженном состоянии. Киев, 1986. -С. 237-239.

177. Толоконников Л.А. Вариант соотношений разномодульной теории упругости// Прочность и пластичность. М.: Наука. - 1971. - С. 102-104.

178. Толоконников Л.А. Механика деформируемого твердого тела: Учеб. пособие для втузов. М.: Высшая школа, 1979. - 318 с.

179. Толоконников Л.А. О связи между напряжениями и деформациями в нелинейной теории упругости// Прикладная математика и механика 1956. - Т. 20.

180. Толоконников Л.А., Маркин А.А. Определяющие соотношения при конечных деформациях// Проблемы механики деформируемого твердого тела. Межвузов, сб. трудов/ Калинин, политех, ин-т. Калинин: Изд-во ЮГУ, 1986. -С. 49-57.

181. Толоконников Л.А., Матченко Н.М. О представлениях предельных условий для начально анизотропных тел// Проблемы прочности. 1974. - № 3.

182. Толоконников Л.А., Яковлев С.П., Лялин В.М. Пластическое течение ортотропных тел// Прикладная механика. Т. VII. - Вып. 6 - 1971.

183. Тормахов Н.Н. Закономерности упругопластического деформирования элемента тела по траекториям малой кривизны при больших деформациях// Автореферат дис. к. т. н. Киев, 1988. - 18 с.

184. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. -М.: Мир, 1975. 592 с.

185. Трусов П.В. О коротационных производных и определяющих соотношениях теории больших пластических деформаций// Журнал прикладной механики и технической физики. 1987. -№ 2.

186. Трусов П.В. Об одном варианте обобщения теории упругопластических процессов на случай больших пластических деформаций// Журнал прикладной механики и технической физики. 1988. - № 2 - С. 153-161.

187. Трусов П.В. Постановка и алгоритмы решения технологических задач упруго пластичности при больших деформациях// Механика деформируемого твердого тела. Сб. науч. Тр. Тула, 1983. - С. 134-142.

188. Уорд И. Механические свойства твердых полимеров. М.: «Химия», 1975.-330 с.

189. Хилл Р. Математическая теория пластичности. М.:ГИТТЛ,1956. - 407 с.

190. Чанышев А.И. О пластичности анизотропных сред// Журнал прикладной механики и технической физики. -1984. -№ 2.-С. 149-151.

191. Черных К.Ф. Введение в анизотропную упругость. М.: «Наука», 1988. -192 с.

192. Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. Л.: Машиностроение, 1986. - 336с.

193. Шевченко Ю.Н. Термопластичность при переменных нагружениях. -Киев: Наукова думка, 1970. 287 с.

194. Шишмарев О.А., Кузьмин Е.Я. О зависимости упругих постоянных от пластических деформаций// Известия АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1961. -№ 3. - С. 167-169.

195. Шубников А.В. Симметрия и антисимметрия конечных фигур. М.: Изд-во АН СССР, 1951.

196. Шубников А.В., Копцик В.А. Симметрия в науке и искусстве. М.: Наука, 1972. - 339 с.

197. Яковлев С.П., Кухарь В.Д. Штамповка анизотропных заготовок. М.: Машиностроение, 1986 - 136 с.

198. Яковлев С.С., Маркин А.А. Изменение характера пластической ортотропии в процессах конечного деформирования// Механика деформируемого твердого тела/ Сб. науч. тр. Тула, 1994. - С. 112-117.

199. Bell J. F. Material objectivity in an experimentally based incremental theory of large finite plastic strain// Int. J. Plasticity. 1990. - Vol. 6. - PP. 293 - 314.

200. Bell J.F. Contemporary perspectives in finite strain plasticity// Int. J. Plasticity.- 1985. Vol. 1,-P. 3-27.

201. Bell J.F. Continuum plasticity at finite strain for stress paths of arbitrary composition and direction// Arch. Rat. Mech. Anal. 1983. - Vol. 84. - № 21. - PP. 683 -693.

202. Bell J.F. Experiments on the kinematics of large plastic strain in ordered solids // Int. J. Solids Structures. -1989. Vol. 25. -№ 3. - P. 267 -278.

203. Bell J.F. Finite plastic strain in annealed mild steel during proportional and non- proportional loading// Int. J. Solids Structures. 1983. - Vol. 19. - № 10. - PP. 857 -872.

204. Bell J.F. Large deflection, rotation, and plastic strain in cantilevered beams// Int. J. Eng. Sci. 1990. - Vol. 28. -№ 3. - PP. 231 - 239.

205. Bell J.F. Plane stress, plane strain and pure shear at large finite strain// Int. J. Plasticity. 1988. - Vol. 4. - №2. - PP. 127 - 148.

206. Bell J.F., Khan A.S. Finite plastic strain in annealed copper during non-proportional loading// Int. J. Solids Structures. 1980. - Vol. 16. - PP. 683 - 693.

207. Biot M.A. Thermoelasticity and irreversible thermodinamycs// J. Appl. Phys. -1956.-Vol. 27.-№3.

208. Blinowski A., Rychlevski J. Pure shears in the mechanics of materials// Mathematics and Mechanics of Solids. V. 4. - 1998. - PP. 471-503.

209. Bridgmen P.W.// J. Appl. Phys. 1941. - P. 461-469

210. Bridgmen P.W.// Proc. Amer. Acad. Arts. Sci. 58. - 1922. - P. 165-242

211. Bruhns O., Xiao H., Meyers A. On representations of yield functions for crystals, quasicrystals and transversely isotropic solids// Eur. J. Mech. A. 1999. -18, 1. -C. 47-67.

212. Chen M., Chen Z. Second-order effect of an elastic circular shaft during torsion// Ин'юн шусюэ хэ лисюэ. = Appl. Math. And Mech. 1991. - Vol.12. - № 9.-Pp. 769-776.

213. Chen W. Derivation of the general form of elasticity tensor of the transverse isotropic material by tensor derivate// Appl. Math. And Mech. 1999. - 20. - 3. - P. 309-314.

214. Dafalias Y. F. Lagrangian and Eulerian description of plastic anisotropy at large strain. Case Study: orthotropy and isotropy// Plast. Behav. Anisotrop. Solids/ Proc. CNRS Int. Colloq. 319. 1981, Paris. - P. 357-374.

215. Dafalias Y.F., Rashid M.M. The effect of plastic spin on anisotropic material behavior// Int. J. of plasticity. Vol. 5. - 1989. - PP. 227-246.

216. Danescu A. Material symmetry in deformed configuration// Int. J. Engng. Sci. 28 - 5 - pp. 367-374. - 1990.

217. Dogui A., Sidoroff F. Anisotropic hardening in large elasto-plastic strain// Plast. Behav. Anisotropic Solids/ Proc. CNRS Int. Colloq. 319. Villard-de-Lans, June 16-19, 1981. Paris, 1985. - P. 341-356.

218. Forte S., Vianello M. Functional bases for transversely isotropic and transversely hemitropic invariants of elasticity tensors// J. Mech. Appl. Math. -514 1998.-PP. 543-552.

219. Fu M.-F., Ding C. H.On the objective representations of kinematics in crystal plasticity// Proc. 3rd Int. Conf. Nonlinear Mech., Shanghai, Aug. 17-20, 1998: ICNM-3. Shanghai, 1998. - C. 201-207.

220. Hackl K. On the representation of anisotropic elastic materials by symmetric irreducible tensors// Continuum Mech. Thermodyn. Vol. 11.- PP. 353-369. - 1999.

221. Hausler O., Tsakmakis Ch. Thermodynamically consistent formulation of finite deformation anisotropic plasticity laws// Mitt. Inst. Mech./ Ruhr-Univ., Bochum. 1998. - 114. - P. 11-14.

222. John R., Pyttel Т., Ulbricht V. Nichtlineare Schalentheorie mit plastischer Anisotropic// Mitt. Inst. Mech./ Ruhr-Univ., Bochum. 1998. - 114. - P. 59-62.

223. Lars Delhage. Strain-rate axial effects during reversed large strain torsion of solid circular bars// Delft University of Technology. Report № 924. 1990. October.

224. Lee E.H., Mallet R.L. Stress analysis for anisotropic hardening in finite -deformation plasticity// Trans. ASME : J. Appl. Mech. 1983. - 50. - № 3. - P. 554-560.

225. Mandel J. Equations constitutives at directeurs dans les milieux plastiques et viscoplastiques// Int. J. Solids and Struct. 1973. -9.-6.

226. Mauget В., Perre P. A large displacement formulation for anisotropic constitutive laws// Eur. J. Mech. A.Solids. Vol. 18. - 1999. - PP. 859-877.

227. Millard B. F., Jiang Qing On compressible materials capable of sustaining axisymmetric shear deformations. Pt.2. Rotational shear of isotropic hyperelastic materials // Quart. J. Mech. And Appl. Math. 1997. - Vol. 50. - № 2. - P. 211-237.

228. Mises R. Mechanik der plastichen Formanderung von Kristallen// Zamm. B.8 -H.3.- 1928.-P. 161-185

229. Moon H. An experimental study of incremental response functions in the totally plastic region// Acta Mechanica . 1975. - Vol. 23. - № 1 - 2. - PP. 49 - 63.

230. Moon H. An experimental study of the outer yield surface for annealed polycrystalline aluminium// Acta Mechanica. 1976. - Vol. 24. - № 3 - 4. - PP. 191-208.

231. Nagtegaal G.C., Delong G.E. Some computational acpects of elastic plastic large strain analysis// Int. J. Num. Moth. Eng. - 1981. - Vol. 17. - P. 15.

232. Ohashy Y., Kawashima K., Nagahiko S. Precise experimental results and an analytical formulation of the subsequent plastic deformation of mild steel subjected to pre-stressing//Bull. JSME. 1975. - V. 18.-N. 125.-P. 1218-1225.

233. Paroni R., Chi-Sing Man Constitutive equations of elastic polycrystalline materials// Arch. Rational Mech. Anal. 150. - 1999. - P. 153-177.

234. Rychlevski J. A qualitative approach to Hooke's tensors. Part I// Arch. Mech.- V. 52 N 4-5 - pp. 737-759. - Warshava, 2000.

235. Rychlevski J. A qualitative approach to Hooke's tensors. Part II// Arch. Mech.- V. 53 N 1 - P. 45-63. - Warshava, 2001.

236. Rychlevski J. On the detectability of constitutive laws in solid mechanics and physics// Упругость и неупругость/ Материалы Международного научного симпозиума. М.: Изд-во МГУ, 2001. - С. 67-73.

237. Shen М., Tong J., Wang S., Li H., Priolo P., Aymerich F. 3D elastic-plastic analysis and experiment of free edge effects in angle-ply thermoplastic laminates// Proc. SPIE. 2001. -4537. - P. 135-138.

238. Timothy J., Van Dyke, Hoger A. A comparison of second-order constitutive theories for hyperelastic materials// Int. J. of Solids and Structures 37. - 2000. - P. 5873-5917.

239. Xiao H. On anisotropic functions of vectors and second order tensors all subgroups of the transverse isotropy groupC^// Arch. Mech. - 50. - 2. - PP. 281-319.-Warshava, 1998.

240. Xiao H., Bruhns О. Т., Meyers A. On objective corotational rates and their defining spin tensors // Int. J. Solids and Struct. 1998. - 35, 30. - P. 4001-4014.

241. Xiao H., Bruhns O., Meyers A. Irreducible representation for constitutive equations of anisotropic solids I: crystal and quasicrystal classes D2mh, Dlm and Clmvll Arch. Mech. 51 - 4 - PP. 559-603. - Warshava, 1999.

242. Xiao H., Bruhns О., Meyers A. Irreducible representation for constitutive equations of anisotropic solids II: crystal and quasicrystal classes D2m+ld, D2m+l and C2m+lvlf Arch. Mech. 52 - 1 - PP. 55-88. - Warshava, 2000.

243. Xiao H., Bruhns O., Meyers A. Irreducible representation for constitutive equations of anisotropic solids III: crystal and quasicrystal classes D2m+Xh and Dlmdll Arch. Mech. 52 - 3 - PP. 347-395. - Warshava, 2000.

244. Xiao H., Bruhns O.T., Meyers A. Logarithmic strain, logarithmic spin and logarithmic rate// Acta Mechanica. 1997. - 124. - P. 89-105.