Термоупругий изгиб анизотропных пластин из разносопротивляющихся материалов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ
|
Самсоненко, Георгий Иванович
АВТОР
|
||||
|
кандидата технических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Тула
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2012
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.02.04
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
Самсоненко Георгий Иванович
ТЕРМОУПРУГИЙ ИЗГИБ АНИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН ИЗ РАЗНОСОПРОТИВЛЯЮЩИХСЯ МАТЕРИАЛОВ
Специальность 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела
Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук
2 4 МАЙ 2012
Тула-2012.
005044885
Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Тульский государственный университет».
Научный руководитель
доктор технических наук, профессор Трещев Александр Анатольевич
Официальные оппоненты - Соколова Марина Юрьевна, доктор физико-математических
наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Тульский государственный университет», профессор кафедры «Математическое моделирование»
- Божанов Павел Валерьевич, кандидат технических наук,
ООО «Инженерный Центр Промышленного Проектирования», генеральный директор
Ведущая организация
ФГБОУ ВПО «Государственный университет-учебно-научно-производственный комплекс»
Защита состоится 19 июня 2012 г. в 12-00 на заседании диссертационного совета Д 212.271.02 при ФГБОУ ВПО «Тульский государственный университет» по адресу: 300012, г. Тула, пр-т Ленина, 92 (12 корпус, 105 аудитория).
С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ФГБОУ ВПО «Тульский государственный университет».
Автореферат разослан «10» мая 2012 г.
Ученый секретарь диссертационного совета
Толоконников Лев Алексеевич
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. В настоящее время в строительстве и промышленности все больше используются новые композитные конструкционные материалы. Часто данные материалы не соответствуют классическим представлениям об упругом деформировании. Для данных материалов характерно наличие свойств анизотропии и разносопротивляемости, которая проявляется в зависимости механических характеристик материала от вида напряженно-деформированного состояния. Рассматриваемые материалы имеют большие модули упругости и прочностные характеристики, поэтому их часто используют в тонкостенных конструкциях, таких как пластины и оболочки.
За последние время интенсивного развития механики материалов, учитывающей чувствительность механических характеристик к виду напряженного состояния, было предложено достаточно большое количество моделей деформирования анизотропных разносопротив-ляющихся сред. Предложенные модели не только не связаны друг с другом, но и базируются на различных предположениях. Кроме того, практически все известные модели имеют существенные недостатки.
Несмотря на всю глубину теоретических проработок моделей теории деформирования анизотропных разносопротивляющихся материалов, совершенно недостаточно внимания уделено учету влияния температурного воздействия. Рассмотрение задач термоупругости для анизотропных разносопротивляющихся материалов в настоящее время носит хаотичный характер, а так как новые конструкции работают при все более высоких температурах, то систематическое исследование задачи термоупругости анизотропных разносопротивляющихся материалов очень важно в рамках современной механики деформируемого твердого тела и ее практических приложений.
Таким образом, можно констатировать, что учет явлений анизотропии и разносопротивляемости материалов, а также исследование влияния температуры на деформирование пластин различной конфигурации является актуальной задачей как в научном, так и в прикладном плане.
Объект и предмет исследования. Объектами исследования являются тонкие и средней толщины пластины, выполненные из анизотропных разносопротивляющихся материалов, а предметом исследования - методы учета усложненных свойств материалов и температурного воздействия.
Целью представленной работы является построение систем уравнений теории термоупругого изгиба анизотропных тонких и средней толщины пластин, выполненных из разносопротивляющихся материалов, решение прикладных задач по расчету НДС круглых и прямоугольных пластин из стеклопластика, находящихся под действием температурной и механической нагрузок.
Задачи исследования:
1) сформулировать физические соотношения термоупругости с учетом несвязанности температурных полей и полей напряжений, основываясь на модели деформирования анизотропных разносопротивляющихся материалов Трещева А.А.;
2) сформулировать полные системы дифференциальных уравнений изгиба круглых и прямоугольных тонких и средней толщины пластин из ортотропного разносопротивляюще-гося материала;
3) разработать алгоритм и его программную реализацию для решения задач по определению напряженно-деформированного состояния (НДС) рассматриваемых пластин в рамках метода конечных разностей и метода «упругих решений»;
4) решить ряд задач по определению НДС анизотропных пластин, выполненных из раз-
носопротивляющихся материалов с учетом температурного воздействия;
5) сравнить полученные результаты решения задач, где это возможно, с аналогичными данными, вытекающими из классических и наиболее апробированных и применяемых моделей деформирования;
6) определить границы применения геометрических соотношений для тонких и средней толщины пластин.
Новые научные результаты, которые выносятся на защиту:
1) полученные системы уравнений термоупругого изгиба анизотропных пластин го раз-носопротивляющихся материалов, работающих в условиях термомеханического загружения;
2) вариант алгоритма решения задачи определения НДС пластан и его программная реализация;
3) результаты расчетов, показывающие новые количественные и качественные эффекты НДС анизотропных пластин из материалов, свойства которых зависят от вида напряженного состояния;
4) определенные границы применения геометрических соотношений для тонких пластин и пластин средней толщины для рассматриваемого класса задач.
Достоверность представленных научных положений и выводов подтверждается:
1) точным соответствием полученных решений и моделей имеющимся экспериментальным данным;
2) более высокой точностью рассматриваемой модели по сравнению с другими известными моделями деформирования;
3) получением теоретических результатов строгими математическими методами, основанными на фундаментальных законах механики деформируемого твердого тела;
4) сравнением результатов расчета, полученных с применением классических моделей и наиболее известных моделей термоупругости анизотропных разносопротивляющихся материалов;
5) применением апробированных численных и приближенных методов решения.
Практическая ценность работы, проведенной в рамках госбюджетной НИР ТулГУ №
27.06 «Актуальные проблемы технологии строительных материалов и проектирования конструкций»:
1) полученные системы уравнений термоупругого изгиба анизотропных разносопротивляющихся пластин могут быть использованы для расчетов широкого круга пластинчатых конструкций, эксплуатирующихся при различных термомеханических режимах;
2) программная реализация алгоритма расчета НДС рассматриваемых пластин может быть использована в проектной и конструкторской практике для расчета конструкций в строительстве, авиастроении и машиностроении.
Внедрение результатов работы осуществлено в расчетную практику ООО «Строительное проектирование» (г. Тула) и ООО «ВВЗ» (г. Тула). Использование результатов работы подтверждено актами о внедрении.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались:
- на 7-ой Международной научно-технической конференции «Эффективные строительные конструкции: теория и практика» (г. Пенза, ПГУАС-ПДЗ, 2008 г.);
- на Международной научно-технической конференции, посвященной 50-летию Пензенского государственного университета архитектуры и строительства «Композиционные строительные материалы. Теория и практика» (г. Пенза, ПГУАС-ПДЗ, 2008 г.);
- на 4-ой, 6-ой, 7-ой Международной конференции по проблемам горной промышленности, строительства и энергетики «Социально-экономические и экологические проблемы горной промышленности, строительства и энергетики» (г. Тула, ТулГУ, 2008 г., 2010 г., 2011 г.);
- на 9-ой, 11-ой Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии» (г. Тула, ТулГУ, 2008 г., 2010 г.);
- на 4-ой Молодёжной научно-практической конференции студентов Тульского государственного университета «Молодёжные инновации» (г. Тула, ТулГУ, 2010 г.);
- на 3-ей, 4-ой магистерской научно-технической конференции Тульского государственного университета (г. Тула, ТулГУ, 2008 г., 2009 г.);
- в полном объеме диссертационная работа рассматривалась и обсуждалась на расширенном заседании кафедры «Строительство, строительные материалы и конструкции» ФГБОУ ВПО «Тульский государственный университет» в апреле 2012 г, а также на научном семинаре по МДТТ им. Л.А. Толоконникова под руководством д.ф.-м.н., проф. АЛ. Маркина (г. Тула, ТулГУ, 2012 г.).
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 15 работ, в том числе четыре статьи в журнале, определенном перечнем ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, сформировшшым Высшей аттестационной комиссией Министерства образования и науки Российской Федерации.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти разделов, заключения, списка литературы из 126 наименований и 2 приложений. Диссертация содержит 204 страницы машинописного текста, 90 рисунков и 2 таблицы.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении приводится обоснование актуальности темы диссертации, поставлены цели и задачи диссертационной работы, сформулированы основные научные положения, которые выносятся на защиту, дана аннотация содержания диссертации.
В первом разделе приводится обзор основных моделей деформирования анизотропных разносопротивляющихся материалов, также рассматриваются модели деформирования, учитывающие влияние температурной нагрузки.
Известные в настоящее время работы, посвященные деформированию анизотропных разнсюопротивляющихся материалов, основаны на различных подходах к построению определяющих соотношений. Эти подходы вытекают из тех или иных гипотез и зачастую не связаны друг с другом.
Многообразие моделей определяющих соотношений для разносопротивляющихся материалов объясняется кроме большого разнообразия свойств реальных материалов еще и сложностью поставленной задачи.
В рамках данной работы рассмотрены модели деформирования анизотропных разносопротивляющихся материалов следующих авторов: С.А. Амбарцумяна, Р.М. Джонса и Д.А.Р. Нельсона, Е.В. Ломакина, А.В. Березина и ПЛ. Понамарева, АА. Золочевского, Ф. Тобаддо-ра, КВ. Берта и Д.Н. Редди.
В рамках обзора моделей, описывающих воздействие температуры на деформирование анизотропных разносопротивляющихся материалов, рассмотрены теории С. А. Амбарцумяна, Н.Г. Тамурова и Г.В. Туровцева, В.М. Панферова, КВ. Берта и Д.Н. Редди.
При этом следует отметить, что большинству моделей указанных авторов присуши определенные недостатки:
- привлечение к расчету кусочных и непотенциальных зависимостей;
- большое количество констант, входящих в определяющие соотношения;
- наличие ограничений, накладываемых на механические константы материалов.
Показано что большинство рассмотренных способов построения определяющих соотношений не позволяет создать законченной теории термоупругости анизотропных разносопротивляющихся материалов, а следовательно, не дает возможности полностью учесть об-
суждаемые усложненные эффекты.
Во втором разделе рассматривается вариант построения определяющих соотношений анизотропных разносопротивляющихся материалов. Этот подход основан на инвариантах тензора напряжений, связанных с нормированным пространством напряжений, предложенным в работах Матченко Н.М. и Трещева A.A.
Напряженное состояние в точке тела в нормированном пространстве тензора напряжений количественно предложено определять модулем вектора полных напряжений , а качественно - косинусами направляющих углов cü^Cosu^c^/S , которые связаны условием нормировки 00^ = 1 ,где i,j=l, 2, 3 .
Для практических расчетов рекомендуется использовать определяющие соотношения, сформулированные в нормированном пространстве. В ортогональной системе координат уравнения связи деформаций и напряжений, в общем случае для анизотропных разносопротивляющихся материалов, приняты в виде, предложенном Трещевым A.A.:
eä = Qjkm (®qp К™ ; i> j» К m, q, p = 1, 2, 3 , (1)
где C!jkm - компоненты тензора податливости.
Чтобы получить уравнения, учитывающие температурное воздействие, к соотношениям
(1) следует присоединить соответствующие компоненты температурных деформаций:
e,j = C,Jta • (o^ ) • ст^ + аа • 5;j • ДТ ; i, j, k, m, q, p = i, 2,3 , (2)
где aH - коэффициенты линейного температурного расширения; ДТ - изменение температуры в теле; Sy - символ Кронекера.
Так как в работе будут рассмотрены ортгропные материалы, то закон деформирования
(2) конкретизирован для орготропного тела:
еи = (АШ1 + ВШ1со11)ст11 +[А1Ш + В1Ш(ю11 + ш22)]ст22 +[А113з + В1133(<в11 +созз)]ст33 +au - AT; е22 =04,22 + Дш(Шц +Ш22)]сги +СА2Д2+В2222ш22)ст22 + [A^ +Bm3(«h2 + ojjj)^ + 0,2 • ДТ; езз =[А,Ш+В1133(сй11 +[Am3+Bm3(co22 +®>3)]о22 +(А3333 + B3333cü,3)ct33 + a33 • ДТ;
е12 =(AI212 +В1212-Яю12)т!2; е13 =(АШЗ +B1313V2ffl,3)Tn; е23 = (A232J + В232? 72ш23)х23.
Для определения технических констант Aijkm , Bijkm достаточно проведения простейших опытов по одноосному растяжению, сжатию и по направлению главных осей анизотропии и под углом 45° к ним в плоскостях упругой симметрии. Исходя из сказанного, константы для ортотропного тела вычисляются следующим образом:
Amt=(l/E;+l/E;)/2;Btttt=(l/Ei-l/Ei)/2;
= -CvJ / ЕГ + vr / ET) / 2 ; В;щ = -(vi A„ = (1 / EJ +1 / Ep - 0,25[(1 / E; +1 / E; +1 / Er +1 / EJ) - Щ / EJ + vz / Er)]; (4)
д.-=V2(l/^-l/^)-0,125V2[(l/Et-1/E;-l/E7)-4(v;/e;-v:/ET)]; vi/E;=v;/E; ;v:/E7 = v:/E- , где , Ef , E* - модули упругости при растяжении и сжатии в направлениях соответствующих главных осей анизотропии; vi , vi — коэффициенты поперечной деформации при растяжении и сжатии в направлениях соответствующих главных осей анизотропии; Ei - модули упругости при растяжении и сжатии в направлениях под углом 45° к соответствующим главным осям анизотропии.
В работе проведена оценка единственности решения, которая для анизотропных разно-сопротивляющихся материалов связана с устойчивостью определяющих соотношений в малом по Друккеру. В рамках постулата Друккера конкретизированы выражения для коэффициентов уравнений состояния ортогропного тела.
Для оценки пригодности сформулированных модельных соотношений к описанию напряженно-деформированных состояний (НДС) анизотропных разносопротивляющихся материалов было проведено сопоставление экспериментальных диаграмм «напряжение-деформация» с теоретическими, полученными на основе моделей деформирования А.А. Трещева, СА. Амбарцумяна, Р.М. Джонса и Д.А.Р. Нельсона, а также КВ. Берта и Д.Н. Ред-ди. Анализ полученных диаграмм позволяет утверждать, что сформулированные соотношения (3) достаточно надежно отражают реальные напряженно-деформированные состояния анизотропных разносопротивляющихся материалов. Таким образом, можно утверждать, что сформулированные соотношения (3) достаточно универсальны и вполне применимы для расчета НДС конструкций, выполненных из анизотропных разносопротивляющихся материалов, а также обладают более высокой точностью, чем известные ранее модели.
В данной работе рассматривается несвязанная задача термоупругости, таким образом отдельно рассматривается задача о переносе тепла и задача механики.
Чтобы исследовать распределение температуры по телу пластины применяется закон теплопроводности, при этом принимается, что коэффициенты удельной объемной теплоемкости и коэффициенты линейного расширения являются постоянными и что в рассматриваемом теле отсутствуют источники тепла:
Т,=а-У2Т , (5)
где а - коэффициент температуропроводности, характеризирующий теплоинерционные свойства тела; V2 - оператор Лапласа.
Наиболее часто встречающиеся на практике задачи связаны со стационарным одномерным температурным полем, когда на поверхности пластин поддерживается определенная температура. В этом случае температура зависит только от одной координаты (например г) — нормали к изотермическим поверхностям.
В компактной форме для одномерного случая уравнение теплопроводности запишется:
Т„=а-Ти. (6)
Для однозначности решения приведенного уравнения теплопроводности необходимо его дополнить начальными и граничными условиями, которые приведены в тексте работы.
Рассматривая одномерный процесс теплопроводности в теле пластины, заметим, что изменение температуры будет происходить только по ее толщине. Можно отметить существенно нелинейный характер графика распределения температуры в первые моменты времени, далее ближе к моменту установившегося распределения температуры ^ график вырождается в прямую линию. В дальнейшем при решении задач будет рассматриваться момент времени когда распределение температуры установилось.
В третьем разделе для сформулированного варианта определяющих соотношений разработана общая методика решения задач термоупругого изгиба тонких и средней толщины круглых и кольцевых пластин из ортотропного разносопротиаляющегося материала в геометрически линейной постановке. Решены задачи об изгибе пластин при различных видах опирания, загруженных поперечной равномерно-распределенной нагрузкой и перепадом температур на поверхностях пластин.
Для тонких круглых пластин принимаются гипотезы Кирхгофа-Лява. В рамках принятых гипотез для отличных от нуля перемещений и деформаций в цилиндрической системе координат для осесимметричных задач можно записать:
er=u,r-z-w^I ; ee=u/r-z-wr/r . (7)
В качестве определяющих соотношений при рассмотрении изгиба пластины использованы уравнения (3). Уравнения равновесия имеют вид:
N„+(Nr -Ne)/r=0 ; Мг„ + (М,-M„)/r = -Nr-wr--fq(r)rdr , (8)
r о
где Nr, Ne - усилия в радиальном и окружном направлениях; Мг, М0 - изгибающие моменты.
Подчеркнутые слагаемые в уравнении (8) и далее представляют собой произведения мембранных усилий на соответствующие кривизны срединной поверхности и пракшчески не оказывают влияние при малых прогибах пластин. При дальнейшем рассмотрении они были опущены.
Используя уравнения (3), определяя интегральные характеристики напряженного состояния обычным образом и подставляя полученные результаты в уравнения равновесия (8), получим дифференциальные уравнения осесимметричного изгиба тонких круглых пластин при малых прогибах:
U„ + и, / Г - К^и / (К^) = Irr / К„ + (1г -1„) / (К„г) + (£гТ - сет) / (К„г);
ФА / г-РшФ/ (Р/)=Q'-(Jr-J0)/ (P^r) - J„ / Р„ -fo -х^) / (Р,/) + (9)
+Kt0u/r-£fT)w_r/Pir-Irw,/Р. , где = C^h; =CQh3/12; Q'=qr/(2PJ для круглых, а Q'=q-(r2-a2)/(2rPJ для кольцевых пластин; СУ] - коэффициенты, зависящие от механических характеристик материала;
, - нелинейные компоненты, зависящие от механических характеристик материала и вида напряженного состояния; а - радиус отверстия в кольцевой пластине; (i, j = г, 8 ).
Для круглых и кольцевых пластин средней толщины принимаются гипотезы С.П. Тимощенко. В рамках принятых гипотез для отличных от нуля перемещений и деформаций в цилиндрической системе координат при осесимметричном изгибе можно записать:
ur(r,z) = u(r) + z-y0(r); u2(r,z) = w(r); ег^Чг-1"2'^; ee=u/r + z-\)/e/r; y„=wr + \)/e, где Ye - утл, на который поворачивается нормаль к срединной плоскости после деформации относительно оси Ö.
В качестве определяющих соотношений при рассмотрении изгиба пластины также использованы уравнения (3). Уравнения равновесия имеют вид:
Nv+(Nr - Ne)/r=0 ; Mr,r + (Mr -Me)/r-Qr =0 ; Qr>r + Qr /г = -q. (i i)
Используя рассмотренные выше уравнения, а также принятые физические соотношения, получим систему дифференциальных уравнений изгиба круглых и кольцевых пластин средней толщины:
Чгг+и, / г -к«,и / (К„г2)=V к*+а - и / ад+fe
+ Ve,r + w,r / Г + / г = (-q + / г + lni) / Кп;
Ve,rr + V«, > г - (Рее / Р„ г2 + К„ / )Ve -Kraw r / Р„ = (12)
= (J,r - I.) / + (Jr - Je) / Р„г + (хгТ - Хет) / Prrr.
Решение полученных систем уравнений производилось численно с привлечением метода «конечных разностей» и метода «упругих решений» A.A. Ильюшина. В рамках работы проведена оценка сходимости применяемых численных методов.
В работе исследовано напряженно-деформированное состояние кольцевых пластин, загруженных равномерно распределенной нагрузкой. Материал пластины - ортотропкый раз-носопротивляюшийся стеклопластик. В начальный момент времени пластины имеют температуру То и нагреваются с двух сторон с некоторым перепадом температуры по поверхностям пластинок ДТЕ= Ті - Т2. На верхней и нижней поверхностях пластины поддерживается постоянная температура Т2и Ті соответственно.
Заіфепление тонких и средней толщины пластин рассматривается в двух вариантах:
— пластина жестко защемлена по внешнему контуру, по внутреннему коніуру скользящая заделка (разрешены перемещения вдоль нормали к поверхности пластины);
— пластина шарнирно оперта по внешнему контуру, по внутреннему контуру скользящая заделка (разрешены перемещения вдоль нормали к поверхности пластины).
При построении графиков здесь и далее введены следующие обозначения:
№Т - результаты расчета на основе модели АА. Трещева с учетом влияния температурного перепада; Ке - результаты на основе модели А А. Трещева без учета температурного перепада; КеТ - результаты, полученные с применением классических физических соотношений, при осредненных модулях упругости и коэффициентах поперечной деформации, с учетом влияния температурного перепада; Ке — результаты, полученные с применением классических физических соотношений, при осредненных модулях упругости и коэффициентах поперечной деформации, без учета влияния температурного перепада.
а)
в)
б)
40*
7 ОГ
0.5
4«
0,7 0,8 Г/Я
0,9 1,0
Рис. 1. Распределение величин НДС вдоль радиуса пластины: а) вертикального прогиба б) горизонтальных перемещений и; в) напряжений стг в крайних волокнах
:-ХеТ;
:---Ке;
- КеТ;
------Ке.
На примере расчета тонкой кольцевой жестко защемленной по внешнему контуру пластины, выполненной из стеклопластика, установлено, что неучет эффекта разносопротив-ляемости в термоупругой задаче при заданном температурном режиме может привести к погрешностям в определении основных параметров НДС: максимального прогиба - до 11% Чис. 1,а), максимальных напряжений - до 32% (рис. 1,в). Учет разносопротивляемости и -_т температурного перепада приводит как к качественному, так и количественному изме-
неншо графиков горизонтальных перемещений (рис. 1,6). В частности неучет явления разно-сопротивляемости при решении термомеханической задачи приводит к занижению значений максимальных горизонтальных перемещений до 35%.
На рис.2 приведены основные показатели НДС пластаны средней толщины, шарнирно опертой по внешнему контуру и выполненной из ортотропного стеклопластика. Установлено, что неучет эффекта разносопротивляемости в термоупругой задаче при заданном температурном режиме может привести к погрешностям в определении основных параметров НДС: максимального прогиба - до 15% (рис. 2,а), максимальных напряжений - до 24% (рис. 2,в). Неучет явления разносопротивляемости при решении термомеханической задачи приводит к занижению значений максимальных горизонтальных перемещений на 70%.
а)
в)
б)
-10"
3,5 3,0 г,5 2,0 1.5 10 0,5 0,0 -0,5 ■f.О
.......... -^psj.......і---------1
1 І \ і і
l/s
: І
0,5
0,1
0.9
1,0
0,7 0.Є Г/Я
Рис. 2. Распределение величин НДС вдоль радиуса пластины: а) вертикального прогиба V/; б) горизонтальных перемещений и; в) напряжений ст, в крайних волокнах
-;NeT;
---Ne;
- КеТ;
------Ке.
В работе определены границы применения гипотез Кирхгофа-Лява по отношению к гипотезам С.П. Тимошенко. Для жестко защемленной по внешнему контуру кольцевой пластины гипотезы С.П. Тимошенко следует применять при h/R > 1/14... 1/15, при шарнирно опертом внешнем контуре при h/R > 1/11... 1/8.
В четвергом разделе разработана общая методика решения задач термоупругого изгиба тонких и средней толщины прямоугольных пластин из ортотропного разносопротивляюще-гося материала в предположении малых прогибов. Решены задачи об изгибе пластин при различных видах опирания, загруженных поперечной равномерно-распределенной нагрузкой и перепадом температур на поверхностях пластин.
Для тонких пластин в рамках гипотез Кирхгофа-Лява геометрические соотношения принимаются в форме:
Для рассматриваемой геометрически линейной задачи кривизны средней поверхне
пластин можно представить в виде:
В качестве определяющих соотношений при рассмотрении изгиба пластины использованы уравнения (3). Уравнения равновесия имеют вид:
N„.,+N,„=<>,N,„+N,„=0, М„,п + 2• МШ2 + М22|22 = -д(х,,х2)-Ки -2-1Ч12 • \у|2 -К22 • ту^ . ( >
Используя принятые физические соотношения и уравнения (13)-(15), получим систему дифференциальных уравнений изгиба тонких прямоугольных пластин при малых прогибах: С,,«ц. +0,5С66и|22 + (С12 +0,5С66)и2Л = (1Щ +112,2)/Ь + еит,1 /ь> Спп2.п +0,50^2 и +(С12 +0,50^)^,2 =(122,2 +1щ)/Ь + е22тд /Ь, +2(с,2 +С66)^П22+С22™ 2222 =^/113 +12[(д,ии ч-С^ -е,1Т + (
-^ббСии +Цц)^12-КС12и1.1 +^.2 -£22Т +2112^12+1^>22)/Ь3 -
-Оду, +2^у2 + /Ь3 -12(х„т>11+Х22тда)/Ь3.
Для прямоугольных пластин средней толщины принимаются гипотезы С.П. Тимошенко. Тогда выражения для деформаций с учетом принятых гипотез представим в виде:
еп = % + х3 ■ х|/2д, е22 = и2_2 + х3 • у, _2,
У11 = ии + и2,1 + Х3 " (VI,, + У2>2) . Уп = Ч>2 + , У23 = V, + ™ 2.
Уравнения равновесия имеют вид:
N..+=о, м,и+-д,=0,ди+<з ы=. (18)
Используя приведенные выше уравнения, можно получить систему дифференциальных уравнений изгиба прямоугольных пластин средней толщины:
К11иЦ1 + (К12 + К6б)и2,12 + К(йиш = 1И,1 + +е11Т,1 .
^22и2,22 +(К12 +К6б)и1,12 + К6<5и2,П = ^22 Л + + Ё22Т,2 '
(19)
13 % 1т,1 > 13 + Х22Т.2 ■
Решение полученных систем изгиба прямоугольных пластин проводилось по аналогичной кольцевым пластинам методике. Решены задачи об термоупругом изгибе прямоугольных пластин, работающих в условиях загружения равномерно распределенной нагрузки и температурного перепада. Материал пластины — ортотропный разносопротивляющийся стеклопластик. В начальный момент времени пластины имеют температуру Т0 и нагреваются с некоторым перепадом температуры по поверхностям пластин. На верхней поверхности пластины поддерживается постоянная температура Т2, нижняя поверхность пластины надевается источником тепла, который создает тепловой градиент на нижней поверхности пластины таким образом, чтобы температура в центре пластины была Т], а по краям пластины температура равна 0. Рассматривается изгиб пластин тонких и средней толщины при жестком защемлении и шарнирном опирании по всему внешнему контуру.
На рис.3 приведены основные результаты расчета НДС тонкой жестко защемленной прямоугольной пластины. Неучег эффекта разносопротивляемости в термоупругой задаче при заданном температурном режиме может привести к погрешностям в определении основных параметров НДС: максимального прогиба - до 25% (рис. 3,а), максимальных напряжений - до 8% (рис. 3,в), такая небольшая разница объясняется видом заданного температурно-
го режима. Для промежуточных значений напряжений разница в результатах доходит до нескольких раз. Учет действия температуры и явления разносопротивпяемости достаточно сильно влияет на горизонтальные перемещения, приводя к качественным и количественным изменениям в их распределении (рис. 3,6).
а)
в)
б)
*f0
0,7 0,8 Х2Л
Рис. 3. Распределение величин НДС вдоль осей симметрии пластины: а) вертикального прогиба б) горизонтальных перемещений и2; в) напряжения о^ вдоль короткой стороны.
— NeT; •— Ne;
— КеТ;
— Ке.
На рис.4 приведены основные показатели НДС шарнирно опертой пластины средней толщины и выполненной из ортотропного разносопротивляющегося стеклопластика.
Установлено, что неучег эффекта разносопротивляемости в термоупругой задаче при заданном температурном режиме может привести к погрешностям в определении основных параметров НДС: максимального прогиба - до 12% (рис. 4,а), максимальных напряжений - до 20%, однако для промежуточных значений напряжений разница в результатах доходит до нескольких раз (рис. 4,в). Учет действия температуры для разносопротивляющихся материалов приводит к относительной погрешности в расчетах горизонтальных перемещений до 60%.
Также в работе были определены границы применимости гипотез Кирхгофа-Лява пс отношению к гипотезам С.П. Тимошенко. Установлено, что для жестко защемленной пластины гипотезы С.П. Тимошенко уместно применять при отношении более чем
h/b=l/17___1/18, так как при этом отношении разница по прогибам не превышает точности
технических расчетов в 5%. При шарнирном опирании пластины гипотезы С.П. Тимошенкс следует применять при h/b>l/12... 1/14.
В пятом разделе для того, чтобы показать преимущества и достоинства применяемой модели А.А. Трещева, проведено сравнение результатов расчета рассмотренных пластин, полученных с применением различных моделей термоупругой анизотропной разносопротивляемости. Для такого сравнения выделены наиболее известные модели разносопротивляемости следующих авторов: С.А. Амбарцумяна, P.M. Джонса и Д.А.Р. Нельсона, КВ. Берта к Д.Н. Редди. Сравнение результатом расчета выполнено доя всех рассмотренных пластин '
различными
а)
в)
б)
0.7 0,8
х2/Ь
Рис. 4. Распределение величин НДС вдоль осей симметрии пластины: а) вертикального прогиба \у; б) горизонтальных перемещений и2; в) напряжения <522 вдоль короткой стороны.
і-КеТ;
:---N6;
о,т о,в о,з 1.о КеТ; ц!Ъ '------Ке.
На рис.5 показано изменение значений прогибов и максимальных напряжений в крайних волокнах с учетом использования различных, моделей расчета для жестко защемленной по внешнему контуру кольцевой пластины.
Рис. 5. Распределение величин вдоль радиуса пластины: а) вертикального прогиба; б) максимальных напряжений.
- модель A.A. Трещева;--модель P.M. Джонса и Д.А.Р. Нельсона;
———- модель С.А. Амбарцумяна; - • •• • - модель К.В. Берта и Д.Н. Редди. Несмотря на то, что модель P.M. Джонса достаточна близка к модели A.A. Трещева по результатам, ее применение нерационально, так как модель РМ. Джонса основана на чисто техническом подходе, когда функция, отвечающая за учет свойства разносопротивляемости, была выбрана интуитивно. Данная модель не имеет четкого физико-математического обос-
нования, и поэтому нельзя точно предсказать, как будет вести себя эта теория при различных постановках задачи. Также модель P.M. Джонса не имеет широкой апробации на большом количестве задач механики деформируемого твердого тела и построена для плоского напряженного состояния.
Модель АА Трещева не имеет таких явных ограничений на механические характеристики материалов и случаев математической неопределенности, как в модели CA. Амбарцумяна или КВ. Берта. Физические соотношения, предложенные АА Трещевым, имеют хорошую апробацию в решении задач изгиба пластин и оболочек, при этом при учете новых свойств и эффектов материалов данные соотношения ведут себя устойчиво и непротиворечиво.
Из выше сказанного следует заключить, что принятая модель является наиболее применимой моделью термоупругого и упругого деформирования анизотропных разносопротив-ляющихся теп. Данная модель позволяет значительно уточнять результаты расчетов НДС пластин, по сравнению с другими существующими в настоящее время аналогичными теориями.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ
1) Проведенные исследования позволили получить новое решение научно-технической задачи механики деформируемого твердого тела, заключающееся в разработке математической модели и программного комплекса, ориентированных на решение задач по исследованию НДС кольцевых и прямоугольных пластин различной толщины, выполненных из анизотропных разносопротивляющихся материалов, работающих в условиях термомеханического загружения. Получены решения задач о термоупругом изгибе пластин, которыми подтверждено наличие известных фактов и обнаружены новые количественные и качественные эффекты деформирования.
2) В рамках работ Н.М. Матченко и А. А Трещева сформулированы физические соотношения термоупругосга, которые позволяют с достаточной точностью описывать деформирование анизотропных разносопротивляющихся материалов.
3) Получены системы разрешающих уравнений термоупругого изгиба для ортотропных тонких и средней толщины пластан из разносопротивляющихся материалов. Полученные уравнения дополнены граничными и начальными условиями для различных вариантов закрепления и нагрева пластин.
4) На базе метода конечных разностей и «упругих решений» АА. Ильюшина разработан и запрограммирован алгоритм определения характеристик НДС кольцевых и прямоугольных пластин тонких и средней толщины.
5) С использованием разработанного программного обеспечения решены задачи по определению характеристик НДС кольцевых и прямоугольных пластин тонких и средней толщины из стеклопластика под действием равномерно распределенной нагрузки и в условиях температурного воздействия. Проведено сравнение результатов расчета пластин, полученных в рамках предложенных моделей с результатами, полученными по классическим моделям и наиболее применяемым моделям, учитывающим разносопротавляемостъ. Указанные сравнения подтверждают реальность и физическую непротиворечивость предложенной в работе математической модели.
6) Определены границы применимости гипотез Кирхгофа-Лява по сравнению с гипотезами СЛ. Тимошенко для пластин из ортотропного разносопротивляющегося стеклопластика.
7) Неучет явления разносопротивляемости приводит к значительным погрешностям при вычислении основных характеристик напряженно-деформированного состояния пластин из анизотропного разносопротивляющегося стеклопластика при термомеханическом заіружении. В частности погрешность вычислений, в сравнении с
классическим решением, для кольцевых пластин по максимальным прогибам может доходить до 15%, а по максимальным напряжениям до 32%. Для прямоугольных пластин погрешность по максимальным прогибам доходит в среднем до 20%, наибольшая погрешность вычислений по максимальным напряжениям достигает 25%. Учет явления разносопротивляемости и температурного перепада качественно меняет распределение горизонтальных перемещений, продольных усилий, а также вносит изменения в распределение напряжений по толщине пластин.
8) Модель A.A. Трещева является одной из наиболее апробированных и точных моделей термоупругого и упругого деформирования анизотропных разносопротив-ляющихся тел. Данная модель позволяет значительно уточнять результаты расчетов НДС пластин по сравнению с другими существующими в настоящее время аналогичными теориями.
ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ Д ИССЕРТАЦИИ:
Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК России для кандидатских диссертаций
1) Самсоненко, Г.И. Изгиб тонких кольцевых пластин из анизотропных разносопроггив-ляющихся материалов в условиях термомеханического загружения / Г.И. Самсоненко, A.A. Трещев // Известия ТулГУ. Технические науки. - Тула: Изд-во ТулГУ, 2011. - Вып. 5. - 3 Ч. -С. 110-116.
2) Самсоненко, Г.И. Термоупругий изгиб тонких круглых пластин из ортотропных стеклопластиков / A.A. Трещев, Г.И. Самсоненко // Известия ТулГУ. Технические науки. -Тула: Изд-во ТулГУ, 2011. - Вып. 5. - 3 Ч. - С. 116-121.
3) Самсоненко, Г.И. Изгиб прямоугольных тонких пластин из анизотропных разносо-противляющихся материалов при термомеханическом загружении / Г.И. Самсоненко // Известия ТулГУ. Технические науки. - Тула: Изд-во ТулГУ, 2012. — Вып. 1. — С. 231-238.
4) Самсоненко, Г.И. Термоупругай изгиб кольцевых пластин средней толщины из ортотропных разносопротивляющихся материалов / Г.И. Самсоненко, A.A. Трещев // Известия ТулГУ. Технические науки. - Тула: Изд-во ТулГУ, 2012. - Вып. 1. - С. 238-245.
Публикации в других изданиях
5) Самсоненко, Г.И. Определяющие соотношения разномодульной теории термоупру-гости для трансверсально-изотропных материалов / F.H. Самсоненко, A.A. Трещев // Композиционные строительные материалы. Теория и практика: сборник статей Международной научно-технической конференции, посвященной 50-летию Пензенского государственного университета архитектуры и строительства. - Пенза: приволжский Дом знаний, 2008. - С. 150-153.
6) Самсоненко, Г.И. Несвязанная задача термоупругости для ортотропных разносопротивляющихся материалов / Г.И. Самсоненко, A.A. Трещев // Эффективные строительные конструкции: теория и практика: сборник статей VII Международной научно-технической конференции. - Пенза: приволжский Дом знаний, 2008. - С. 144-146.
7) Самсоненко, Г.И. Уравнения термоупругого изгиба тонких круглых пластин из анизотропных разносопротивляющихся материалов / Г.И. Самсоненко// Социально-экономические и экологические проблемы горной промышленности, строительства и энергетики: 4-я Международная конференция по проблемам горной промышленности, строительства и энергетики. - Тула: изд. ТуГУ, 2008. - С. 261-266.
8) Самсоненко, Г.И. Общая методика решения задач термоупругого изгиба тонких прямоугольных пластин из анизотропных разносопротивляющихся материалов / Г.И. Самсонен-
//
ко // Социально-экономические и экологические проблемы горной промышленности, строительства и энергетики: 6-я Международная конференция по проблемам горной промышленности, строительства и энергетики. - Тула: изд. ТулГУ, 2010. -Т2.-С. 84-88.
9) Самсоненко, Г.И. Численная реализация и особенности решения задач термоупругого изгиба круглых пластин из анизотропных разносопрошвляющихся материалов / Г.И. Самсоненко // Социально-экономические и экологические проблемы горной промышленности, строительства и энергетики: 7-я Международная конференция по проблемам горной промышленности, строительства и энергетики. - Тула: ТулГУ, 2011. - Т2. - С. 129-132.
10) Самсоненко, ГЛ. Термоупругий изгиб круглых пластин средней толщины, выполненный из анизотропных разносопротивляющихся материалов / A.A. Трещев, ГЛ. Самсоненко // Вестник отделения строительных наук РААСН. - Москва-Орел-Курск: РААСН-Госуниверситет-УНПК-ЮЗГУ.-2011.-Вып. 15.-С. 141 -144.
Тезисы докладов
11) Самсоненко, Г.И. Определяющие соотношения для решения несвязанной задачи термоупругоста для анизотропных разносопротивляющихся материалов / Г.И. Самсоненко // Ш-я магистерская научно-техническая конференция: Тезисы докладов / Под общей редакцией д-ра тех. наук, проф. Ядыкина Е.А. — Тула: изд. ТулГУ, 2008. - С. 196-197.
12) Самсоненко, Г.И. Несвязанная задача термоупругости для анизотропных разносопротивляющихся материалов / Г.И. Самсоненко, АЛ. Трещев // Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии. Сборник материалов IX международной научно-технической конференции—Тула: изд. ТулГУ, 2008. - С. 55-56.
13) Самсоненко, Г.И. Уравнения термоупругого изгиба тонких круглых пластинок из анизотропных разносопротивляющихся материалов / ГЛ. Самсоненко // IV-я магистерская научно-техническая конференция Тульского государственного университета: Сборник докладов / Под общей редакцией д-ра техн. наук, проф. Ядыкина Е.А. — Тула: Изд-во ТулГУ,
2009. —С. 193-194.
14) Самсоненко, Г.Й. Несвязанная задача термоупругости для изгиба тонких прямоугольных пластин, выполненных из анизотропных разносопротивляющихся материалов J Г.И. Самсоненко // Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии. Сборник материалов XI международной научно-технической конференции - Тула: изд. ТулГУ,
2010.-С. 76.
15) Самсоненко, Г.И. Решение несвязанной задачи термоупругого изгиба тонких прямоугольных пластинок из анизотропных разносопротивляющихся материалов / ГЛ. Самсоненко // IV-я молодёжная научно-практическая конференция студентов Тульского государственного университета «Молодёжные инновации»: сборник докладов. Часть 2 / под общей редакцией д-ра тех. наук, проф. Ядыкина Е. А. — Тула: Изд-во ТулГУ, 2010. — С. 190-191.
Изд. лиц. ЛР № 020300 от 12.02.97. Подписано в печать 04.05.12 Формат бумаги 60x84 '/is. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 0,9. Уч.-изд. л. 0,8. Тираж 150 экз. Заказ 039 Тульский государственный университет 300012, г. Тула, просп. Ленина, 92 Отпечатано в Издательстве ТулГУ 300012, г. Тула, просп. Ленина, 95
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тульский государственный университет»
ТЕРМОУПРУГИЙ ИЗГИБ АНИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН ИЗ РАЗН0С0ПР0ТИВЛЯЮЩИХСЯ МАТЕРИАЛОВ
Специальность 01.02.04 - механика деформируемого
твердого тела
Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук
61 12-5/3900
На правах рукописи
Самсоненко Георгий Иванович
Научный руководитель: д.т.н., профессор Трещев А.А.
Тула - 2012.
СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
ВВЕДЕНИЕ ......................................................................................5
1. ОБЗОР СОВРЕМЕННЫХ ТЕОРИЙ ТЕРМОУПРУГОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ АНИЗОТРОПНЫХ РАЗН0С0ПР0ТИВЛЯЮЩИХСЯ МАТЕРИАЛОВ ....................................... 15
1.1. Обзор теорий деформирования анизотропных разносопротивляющихся материалов .............. 16
1.2. Обзор моделей, описывающих воздействие температуры на деформирование
разносопротивляющихся материалов .............. 27
2. ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛИ ДЕФОРМИРОВАНИЯ АНИЗОТРОПНЫХ РАЗНОСОПРОТИВЛЯЮЩИХСЯ МАТЕРИАЛОВ С УЧЕТОМ ТЕМПЕРАТУРНОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ ...................... 33
2.1. Модель деформирования анизотропных разносопротивляющихся материалов .............. 34
2.1.1. Пространство нормируемых напряжений ......... 34
2.1.2. Потенциал деформаций ........................ 3 6
2.1.3. Уравнения связи между деформациями и напряжениями ................................ 3 9
2.1.4. Определение констант уравнений состояния .... 43
2.1.5. Сравнение экспериментальных диаграмм деформирования с теоретическими, полученными на основе различных физических соотношений ....... 4 9
2.2. Моделирование процесса теплопередачи
в пластинах ................................... 57
3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТЕРМОУПРУГОГО ИЗГИБА КРУГЛЫХ И КОЛБЦЕВЫХ ПЛАСТИН, ВЫПОЛНЕННЫХ ИЗ АНИЗОТРОПНЫХ РАЗНОСОПРОТИВЛЯЮЩИХСЯ МАТЕРИАЛОВ ................ 63
- 3 -
3.1. Вывод разрешающих систем уравнений термоупругого изгиба круглых и кольцевых
пластин ....................................... 64
3.1.1. Осесимметричный термоупругий изгиб тонких круглых и кольцевых пластин ................. 64
3.1.2. Осесимметричный термоупругий изгиб круглых
и кольцевых пластин средней толщины ......... 7 0
3.2. Общие условия и численная реализация решения
задач термоупругого изгиба кольцевых пластин .. 7 5
3.3. Результаты решения задач для кольцевых тонких пластин ....................................... 81
3.3.1. Жестко защемленная по внешнему контуру тонкая кольцевая пластина .......................... 82
3.3.2. Шарнирно закрепленная по внешнему контуру
тонкая кольцевая пластина ..................... 90
3.4. Результаты решения задач для кольцевых пластин средней толщины ............................... 97
3.4.1. Жестко защемленная по внешнему контуру кольцевая пластина средней толщины .............. 97
3.4.2. Шарнирно опертая по внешнему контуру
кольцевая пластина средней толщины .......... 104
3.5. Анализ результатов решения задач для кольцевых пластин тонких и средней толщины .............. 110
4. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТЕРМОУПРУГОГО ИЗГИБА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН, ВЫПОЛНЕННЫХ ИЗ АНИЗОТРОПНЫХ
РАЗНОСОПРОТИВЛЯЮЩИХСЯ МАТЕРИАЛОВ ................ 113
4.1. Вывод разрешающих систем уравнений
термоупругого изгиба прямоугольных пластин .... 114 4.1.1. Термоупругий изгиб прямоугольных тонких
пластин ..................................... 114
4.1.2. Термоупругий изгиб прямоугольных пластин
средней толщины ............................. 118
4.2. Общие условия и численная реализация решения задач термоупругого изгиба прямоугольных
пластин ....................................... 121
4.3. Результаты решения задач для тонких прямоугольных пластин ......................... 125
4.3.1. Жестко защемленная тонкая прямоугольная пластина .................................... 125
4.3.2. Шарнирно опертая тонкая прямоугольная
пластина .................................... 13 6
4.4. Результаты решения задач для прямоугольных
пластин средней толщины ....................... 145
4.4.1. Жестко защемленная прямоугольная пластина средней толщины ............................. 145
4.4.2. Шарнирно опертая прямоугольная пластина
средней толщины ............................. 153
4.5. Анализ результатов решения задач для прямоугольных пластин тонких и средней
толщины ....................................... 162
5. СРАВНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, ПОЛУЧЕННЫХ ПО РАЗЛИЧНЫМ МОДЕЛЯМ ТЕРМОУПРУГОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ АНИЗОТРОПНЫХ РАЗН0С0ПР0ТИВЛЯЮЩИХСЯ МАТЕРИАЛОВ ... 165
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ......................................... 172
ЛИТЕРАТУРА ......................................... 17 6
Приложение 1. Результаты оценки сходимости
применяемых численных методов ................. 192
Приложение 2. Документы о внедрении ................ 201
ВВЕДЕНИЕ
Роль расчетов на прочность и жесткость в современном строительстве и машиностроении становится все более ответственной, а сами расчеты - все более сложными. Вопросы, связанные с расчетами элементов конструкций, рассматриваются в таких традиционных дисциплинах, как «Сопротивление материалов», «Строительная механика», «Теория упругости» и т.д.
В последние двадцатилетия наблюдается возрождение теории упругости, бурное развитие ряда ее разделов. Причину этого явления следует искать в значительном прогрессе, достигнутом во многих областях техники, прежде всего в химической промышленности, авиастроительной и строительной отраслях.
Многообразие методов проектирования и расчета сложных машин и сооружений, которыми изобилует современная техника, составляет одну из весьма актуальных проблем теории упругости. Эти методы в настоящее время стремятся отразить такие особенности расчетов элементов конструкций, как учет влияния температурного режима, свойства разносопротивляемости материалов, дилатации, анизотропию слоистых или армированных материалов, пластические деформации и деформации ползучести, причем при возможно более полном учете параметров как движения, так и геометрии исследуемых объектов. В большинстве случаев это осуществляется лишь с привлечением современных численных методов с последующей реализацией их на ПК.
С развитием техники повышается интерес исследователей к рассмотрению нелинейной теории упругости и ее прикладных разделов. Во многом это объясняется изучени-
ем тонкостенных конструкций: гибких стержней, пластинок и оболочек, а также упругих тел малой жесткости. Тенденция к применению конструкционных материалов повышенной прочности, требованию минимальности собственного веса конструкций приводит к тому, что проектировщики и конструкторы все чаще идут на использование нелинейных теорий расчета конструкций.
В современных конструкциях наряду с материалами, обычно при расчетах принимаемыми за однородные и изотропные, используются для изготовления деталей и анизотропные материалы, у которых наблюдается резкое различие в упругих свойствах для разных направлений.
Анизотропными (и притом неоднородными) являются синтетические материалы, применяемые в самолетостроении: дельта-древесина, авиафанера, текстолит, стеклопластики, углепластики и др. Анизотропией упругих свойств обладают кристаллы и некоторые горные породы. Кроме деталей, изготовленных из материалов, обладающих анизотропией, зависящей от внутреннего строения («естественной» анизотропией) , в современных конструкциях используются элементы с так называемой конструктивной или искусственной анизотропией. К последним относятся пластинки и оболочки из изотропного материала, которым придана волнистость путем гофрирования или усиленные часто поставленными ребрами.
Многие новые анизотропные конструкционные материалы не подчиняются классическим законам упругого деформирования. Механические характеристики таких материалов зачастую зависят от вида напряженного состояния, в них проявляются такие эффекты, как дилатация и разносопро-
тивляемость. К материалам, обладающим подобными свойствами, относят ряд полимеров и большинство композитов.
Зависимость деформационных характеристик от вида напряженного состояния для рассматриваемых материалов достаточно сложна и не сводится только к неодинаковому их поведению при одноосных растяжении и сжатии. Экспериментально установлено, что жесткость большинства раз-носопротивляющихся материалов может зависеть не только от знаков возникающих напряжений, но и от их количественных соотношений механических и температурных факторов, влияющих на напряженное состояние.
Классические теории, базирующиеся на гипотезах существования однозначной зависимости между напряжениями и деформациями, очевидно, не могут правильно оценить напряженно-деформированные состояния сплошных сред, обладающих указанными особенностями.
Теория деформирования материалов с усложненными свойствами - относительно молодая ветвь механики деформируемого твердого тела. Ее становление можно отнеси к началу пятидесятых годов двадцатого столетия. За этот период был предложен ряд моделей, определяющих соотношений для разносопротивляющихся и дилатирующих материалов. Однако большинство этих моделей обладают существенными недостатками, базируются на отдельных грубых гипотезах и могут иметь ограниченное применение к реальным материалам.
За указанный период интенсивного развития механики материалов, учитывающей чувствительность их механических характеристик к виду напряженного состояния, было предложено достаточно большое количество определяющих
соотношений разносопротивляющихся сред, базирующихся на различных технических гипотезах.
Однако, несмотря на всю глубину теоретических проработок моделей теории деформирования разносопротивляющихся сред, совершенно недостаточно внимания уделено учету влияния температурного воздействия на деформирование материалов. Поскольку разного рода конструкции работают при все более высоких температурах, усиленное внимание исследователей должна привлечь теория температурных напряжений в совокупности с теорией упругости.
В результате подвода тепла к конструкциям от внешней среды элементы этих конструкций работают в условиях неравномерного нагрева, при котором возникают градиенты температуры, сопровождающиеся неодинаковым тепловым расширением отдельных частей конструкций.
Неравномерное тепловое расширение вообще не может происходить свободно в сплошном теле и вызывает температурные напряжения.
Знание величины и характера действия тепловых напряжений необходимо для всестороннего анализа прочности конструкции.
Температурные напряжения сами по себе и в сочетании с механическими напряжениями от внешних сил могут вызвать появление трещин и разрушение конструкций из материалов с повышенной хрупкостью.
Некоторые материалы при быстром появлении напряжений, обусловленном действием резкого градиента нестационарного температурного поля, становятся хрупкими и не выдерживают теплового удара. Повторное действие тепловых напряжений приводит к термоусталости элементов конструкций .
Из всего выше сказанного можно сделать вывод о том, что учет явления разносопротивляемости материалов, а также исследование влияния температуры на деформирование тонких пластин является актуальной задачей как в научном, так и в прикладном плане.
Целью диссертационной работы является построение систем уравнений теории термоупругого изгиба анизотропных пластин, выполненных из разносопротивляющихся материалов, а также решение прикладных задач расчета НДС круглых и прямоугольных пластин различной толщины из стеклопластика, находящихся под действием температурной и механической нагрузок.
Задачи исследования:
1) на основе полученных в работах Матченко Н.М. и Трещева A.A. форм потенциала деформаций сформулировать уравнения состояния разносопротивляющихся анизотропных материалов;
2) получить физические соотношения термоупругости для анизотропных разносопротивляющихся материалов с учетом несвязанности температурных полей и полей напряжений;
3) сформулировать полные системы дифференциальных уравнений изгиба круглых и прямоугольных анизотропных пластинок из разносопротивляющихся материалов, работающих в условиях термомеханического загружения, при этом рассмотрев тонкие пластины и пластины средней толщины;
4) разработать алгоритм решения задач по определению напряженно-деформированного состояния (НДС) рассматриваемых анизотропных пластин из разносопротивляю-
щихся материалов в рамках распространенного метода конечных разностей и метода «упругих решений»;
5) разработать программную реализацию полученного алгоритма на ПК;
6) используя разработанную математическую модель и программную реализацию алгоритма расчета, решить ряд задач по определению НДС анизотропных пластинок, выполненных из разносопротивляющихся материалов с учетом температурного воздействия;
7) сравнить полученные результаты решения задач, где это возможно, с аналогичными данными, вытекающими из классических и наиболее апробированных и применяемых моделей деформирования;
8) определить границы применения геометрических соотношений для тонких пластин и пластин средней толщины.
Новыми научными результатами, которые выносятся на защиту, являются:
1) полученные системы уравнений термоупругого изгиба анизотропных пластинок из разносопротивляющихся материалов, работающих в условиях термомеханического загруже-ния;
2) вариант алгоритма решения задачи определения НДС пластин и его программная реализация на ПК;
3) результаты расчетов, показывающие новые количественные и качественные эффекты НДС анизотропных пластин из материалов, свойства которых зависят от вида напряженного состояния;
4) определение границ применения геометрических соотношений для тонких пластин и пластин средней толщины.
Достоверность полученных результатов подтверждается :
1) точным соответствием полученных решений и моделей имеющимся экспериментальным данным;
2) получением теоретических результатов строгими математическими методами, основанными на фундаментальных законах механики деформируемого твердого тела;
3) сравнением результатов расчета, полученных с применением классических моделей и наиболее известных моделей термоупругости анизотропных разносопротивляю-щихся материалов;
4) применением апробированных численных и приближенных методов решения.
Практическая ценность диссертационной работы заключается в следующем:
1) полученные системы уравнений термоупругого изгиба анизотропных разносопротивляющихся пластин могут быть использованы для расчетов широкого круга конструктивных элементов, эксплуатирующихся при различных термомеханических режимах;
2) программная реализация алгоритма расчета НДС рассматриваемых пластин может быть использована в проектной и конструкторской практике для расчета конструкций в строительстве, авиастроении и машиностроении.
Диссертационная работа состоит из введения, пяти разделов, заключения, списка литературы и приложения.
В первом разделе дается краткий обзор существующих на данный момент основных подходов к описанию упругого деформирования анизотропных разносопротивляющихся материалов различной структуры, проведен их сравнительный анализ с определением их достоинств и недостатков. Кро-
ме того, приводится обзор моделей, описывающих воздействие температуры на материалы с усложненными механическими свойствами.
Во втором разделе в рамках теории Н.М. Матченко, A.A. Трещева [48] рассматривается пространство нормированных напряжений. Описаны подходы к построению определяющих соотношений для упругих анизотропных разносопро-тивляющихся материалов. Приводятся определяющие соотношения для анизотропных разносопротивляющихся материалов, описывающие их работу при механическом загружении. Рассмотрены принципы определения констант потенциала деформаций. Определены ограничения на механические характеристики ортотропного материала вследствие выполнения постулата Друккера. Выведены уравнения связи деформаций и напряжений для анизотропных разносопротивляющихся материалов с учетом влияния температуры.
В третьем разделе, основываясь на работах Н.М. Матченко и A.A. Трещева [48,49,88,89], а также классических законах механики и термодинамики, получены системы разрешающих дифференциальных уравнений термоупругого изгиба круглых тонких и средней толщины пластин, выполненных из анизотропного разносопротивляющегося материала, которые позволяют определять НДС пластин при различных вариантах загружения. Деформирование пластинок рассматривается в рамках статических гипотез Кирхгофа-Лява и С. П. Тимошенко. Для однозначности решения задач разрешающие системы уравнений дополнены необходимыми начальными и граничными условиями. На основе метода конечных разностей и метода «упругих решений» строится алгоритм и его программная реализация на ПК для решения прикладных задач об определении НДС пластинок, выпол-
ненных из ортотропного разносопротивлякхцегося материала, загруженных поперечной равномерно распределенной нагрузкой и работающих в условиях перепада температур. В данном разделе приводится алгоритм
