Вариант подхода к построению определяющих соотношений разносопротивляющихся материалов и использование его при расчете элементов конструкций тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Р Г С л "

' ' " и п '■•„•'.

На правах рукописи

Трещев Александр Анатольевич

ВАРИАНТ ПОЛХОДА К ПОСТРОЕНИЙ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ СООТНОШЕНИЙ РАЗИОСОПРОТИВЛЯЙЩХСЯ МАТЕРИАЛОВ И ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЕГО ПРИ РАСЧЕТЕ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ

Специальность 01.02.04 - механика деформируемого . твердого тела

Автореферат диссертации на ооискание ученой степени доктора технических наук

Тверь - 1995

Работа вылощена в Тульском государственном техническом университете

научный консультант .- доктор Физ. -мат- наук, профессор

Л. А. Тождеошщков

Официальные оппоненты - доктор тезда. наук, профессор

p.a. Петров

доктор техн. наук, профессор О.В. Лужин

доцтор техн. наук, -профессор Г. В. Бригадиров

ведущая организация - (ш приборостроения (г. Тула)

Защита диссертации состоите " ^ " ^^ 1995 г. в № нааоа на заседании диссертационного оовета Д 063.22. при Тверском государственном техническом университете по адресу; г-. Тверь, уд. Набережная А. Никитина. 22, ауд. Ц-212 - зад заседаний Ученого совета.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке ТвгГТУ. '"'

Автореферат разослан " && 1995 года.

. Ваш отзыв На автореферат в двух экземплярах, заверенный печатью, просим направлять по адресу: .170026, г. Тверь, ул.' Набережная А. Никитина, 22, комната Ц-338, ученому секретарю'диссертационного совета д 063.22.02;

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат техн. наук, доцент

Гараников В.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. В настоящее время многие элементы стропильных конструкций, детали, машин к аппаратов изготавливаются как Из новых, так и из традиционных материалов, механические характеристики которых зависят от вида напряженного состояния. К таким Материалам отноойФсй бе1Ш1. керамйка, чугуна, некоторые марки конструкционных графитов, отдельные термопласты, срШеуглеродистая оталь - При .низких, температурах, композиты, упомянутая зависимость проявляется вмгновэнных упругопластичео-Ш харает^^ках. .'~§: ЪШр1ЖК:"Деф<р!ЭДИ1»! в длительностях до разрушения при ползучести й в Пределах прочности.

Классические теорий, базирующиеся на существовании однозначной зависимости между интеноивйоотями напряжений и деформаций (гипотеза "единой кривой"), очевидно, йе могут описать подобные особенности.

Причины явления разносопротивляемости во многом неясны. Для зернистых материалов э.то явление связывает о Порйотоотью ввиду того, что Поры яогут раскрываться прирасТяжении и смыкаться при сжатии. Если характер пористости', а также упругие свойства частиц наполнителя-И связующего таковы. Что при сжйтки площадь контакта частиц увеличивается, то естественно ожидать, что диаграмма сжаш расположится выше диаграммы раотяжения (чугун, графит. Фторопласт, некоторые бетоны). У волокнистых композитов зависимость деформационных характеристик от вида напряженного состояния предположительно связывают с потерей устойчивости Волокон при сжатии и натяжением при растяжений, что предполагает более доомф яШкосп Шёриши нарастяжение, чем на сжатие. (полистирол, полиэфиракрилат. полиамиды, эпоксидные смолы), Более точно установить причины разносопротивляемости, очевидно, можно будет проедания йоодедовашй комплекса микромеханических аспектов этого явления. Хотя до настоящего времени эти исследования не проводйлись. за Последние 30 Лет был Предложен ряд феноменологических Моделей разносоПротивляЬцихся сред. На первый взгляд, предложенные модели не только ив связаны друг с другом, но й обладают существенными недостаткам^, такими, как различные аналитические представления для разных видов напряженного состо-

яния над возникновение неопределенности закона упругости при некоторых из них, наличие строгих зависимостей между некоррелируемыми механическими константами материалов, неадекватность моделей реальным состояниям материалов. В связи с этим возникает проблема построения новых соотношений, свободных от указанных недостатков.

Наиболее распространенными конструкциями, для которых используются р&зносопротивляющиеся материалы, являются пластины, плиты и оболочки. В частности, к таким конструкциям относятся аелёзобетоннне цщт перекрытий зданий и сооружений. Расчет атих плит осложняется Наличием трещин в бетоне и развитием пластических деформации в арматуре. К настоящему времени проблема анализа деформирования железобетонных плит о учетом трещин получила шН роков развитие. Однако систематическое доследование в этой области проведено, по-видимому, только в работах И. И. Карпенко ^ соавторами. Исследование в этом направлении сдерживается недос^ таточиым развитием методов и сложностью проблемы.

Таким образом, можно констатировать, что учет явления рзз-носоцротивляемости материалов При определении наПряженно-деЦр-мированного состояния конструкций. в частности, пластич. и плит, является проблемой актуальной как в научном, так и в прикладном плане. ■

Иельв ПРШТШРЙНРЙ.раАаТН являются построение и анализ определяющих уравнений механики деформируемых изотропных и структурно, анизотропных тел,' свойства которых зависят от вида напряженного состояние в квазилинейном приближении и в нелинейной установке, в также Доследование на их основе с помощью специальных численных методов деформирования пластин и плит. Н(щв вауннвв результаты, шярда выносятся на задту;

• 1) выделен новый класс инвари4роВ. связанных с нормированными пространствами напряжений;

2) разработана и экспериментально обоснована феноменологическая теории деформирования упругих сред с неклассическими свойствами! . '.

3) на базе нового подхода получены основные соотношения задач теории упругости и тонких пластиц, изготовленных из анизотропных и изотропных материалов, однородных и обладающих-гладкой неоднородностью;

4) разработана и экспериментально обоснована математическая

модель изгиба армированных плит с конечной сдвиговой жесткостью в поперечном направлении, учитывающая возможность ■ образования трещин в связующем (в бзтоне) » развития пластических деформаций в армирующих волокнах;

Б) рассмотрены две модификации щагово-итерадиоиного метода решения задач изгиба тонких пластин о учетом физической и геометрической нелинейности;

• 6) апробирован вариант Модификаций гибридных конечных элементов с пятью степенями свободы в узле, специально развитый применительно к раочвту армированных плит из нелинейных разно-сопротивляющихоя материалов;

?? получен ряд новых эффёниВ Й^Язешт-деформированно го состояния пластин И ПЛИТ, связанных о явлением разносопротивляе-мости ИХ материалов,

Дястовернойть пдащаэденнн*.. .шучш положений... и, бродов подтверждается получением теоратичеоких результатов строгими математическими методами, основанными на фундаментальных положениях нвкшт деформируемого твердого тела, хороним соответствием • полученных результатов имеющимся экспериментальным данным, сравнением рассчитанных параметров о клаосичеокцми и о результатами исследований на основе иных подходов.

Практическая ценность рдботы. выполненной в рамках госбюджетных НИР 64-81, 47-86. 51-91 (roo, регистрация Н 80052117, n 01870031090, И 01,9.60 00301?) И хоздоговорной нир 86-433/7 (гос. регистрация N 01860077435), заключается в построении с единых позиций корректных Моделей анализа напрякенно-деформиро-ранкого соотояння раэнооопротивляюиихся материалов, пластин, выполненных из нйх. н железобетонных. плит. Данные модели могут быть иопользошцш как для проем-ных; тан и для проверочных расчетов конструкций о разными уровнями точности.

Внвдр$НИе редультдтрв работы осуществлено на ГНПП "Сплав", КБ Приборостроения (г. Тула) и - на предприятиях строительного комплекса Тульского региона. Использование результатов работы подтверждено актами о внедрении.

Апробация работы, Основные результаты диссертации докладывались на 1-й и 2-й Всесоюзных конференциях "Актуальные проблемы механики оболочек" . (Г.;. Казань, 1983 г. , 19SS. г.). на 2-й Всесоюзной конференции по нелинейной теории упругости (г. Фрунзе, •1985 г.. ),- на 1-й.,'2-й.и. Згй Всесоюзных конференциях "Современные

проблемы информатики, вычислительной техники и автоматизации" (г. Тула, 1988 г., 1989 г.. 1990 г.); на научноттехнических конференциях профессорско-преподавательского состава ТулПЙ (1984 -1992 г.) и ТулГТУ (1993 - 1994 г.), на семинаре по МДТТ в Куйбышевском государственном университете под руководством д-ра физ.-мат. наук. проф. Быковцева Г. И. (г. Куйбышев, 1965 г.), на семинаре по МДТТ В ТулПИ (1985 г., 1092 г.), В ТУЛГТУ (1993 г.) под руководством д-ра физ.-мат. наук, проф. Толоконникова Л.А. (г. Тула), на семинаре по МДТТ р Тверском государственном техническом университете под руководством д-ра техн. наук. проф. Зубчанчнова В. Г. (г. Тверь, 1995 г.)

Публикации.По материалам диссертации опубликовано 36 работ.

Структура и объем работы. . Диссертация состоит цз введения, пяти разделов, заключения, списка цитируемой литературу, включающего 274 названия, приложений и содержит 281 страницу машинописного текста. 259 рисунков, ?0 таблиц. Общий обьем работы 496 страниц. '

рРАТКОр СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится обоснование актуальности исследуемой проблем«, выполнен анализ экспериментальных.данных по деформированию разносопративляющихоя материалов. При этом выделены три класса материалов: а) 'материалы, обладающие существенно нелинейными диаграммами деформирования, разносолротивляемость которых проявляется только при большом уровне напряжений - -в области нелинейных деформаций (чугун, среднеуглеродастая сталь при низких температурах, фторопласт); б) материалы, диаграммы деформирования которых обладают сравнительно слабой нелинейность» и допускарт р определенных пределах кразилинейнур аппроксимацию (графиты РЛГ). АРБ. отдельный риды и классы бетонов); в) промежуточный класс материалов, которые при некоторых видах напряженного- состояния сохраняют слабую нелинейность диаграмм, а при иных ридах - проявляют существенную нелинейность (широкий класс бетонов). Кратка отмечены недостатки известных математических моделей разносопротирляющихся оред, ■ поставлены Цели и задачи диссертационной работы, сформулированы основные научные положения, которые выносятся на защиту, дана аннотация содержания дис- . -еертации.

В первом разделе приводится обзор известных моделей феноме-

---------нолагического описания напряженно-деформированного состояния

разносопротивляющихся материалов, дан "краткий' анализ -'работ-по-----------

расчету пластин, плит и оболочек из указанных материалов. В обзоре рассмотрены модели изотропных и анизотропных разносопротивляющихся сред как в квазилинейной, так и в нелинейной постановке.

Все известные. модели по общим признакам объединены в три . группы., В основу первой группы положена зависимость механических характеристик материала от знаков возникающих напряжений или развивающихся деЗйркаШШ. Вторая.группа базируется на более широком понимании разисссяротквляедоети и определяет 'жесткость на териалов в зависимости от непрерывных функций вида, напряженного состояния. Очевидно, что первая группа уравнений состояния имеет кусочную форму, а вторая - гладкую. Модели соотношений третьей группы строятся посредством учета взаимного влияния изменения объема и формоизменения либо при помощи специфического представления деформаций разрешения как части полных деформаций.

ПервУй группу составляют определяющие соотношения, предложенные в работах, авторами которых являйТСЯ' С. А. лжарцу.чян.

A.А.Хачатрян, М.С.Саркисян, Р.Е.Мкртчан, Д.З.Мкртчан, А.Е.Грин, Б. М. Пахомов, Г. В.Бригадиров. Н. М. Матченко, А. П. Авхимков, Б.Ф.Власов. Р.М.Джонс, Д.А.Нельсон, К. В. Берт, Л. И. Редди. В.В.Петров, И.Г.Овчинников. а.Ф.Макеев, П.Н.Ельчанинов, М.И.Климов, Г.С.Шапиро, Б.В.Пономарев и другие.

Вторая группа уравнений состояния базируется на работах Л. А. Толоконникова. Н. М. Матченко, И. В. Цвелодуба, Н. Г. Тамурова, г. в. Туроецева. е. в, Ломакрз, , р. н. Работнова. Д. А. Гаврилова,

B.И.Панферова. а.Б.Березина, А.А.'Золочевского, О.К.НбрачКОВско-го, В. п. Мясникова, А. и. Алейникова и других. В качестве функций вида напряженного состояния указанные авторы использовали в основной фазовые инварианты или отношения средних напряжений к интенсивности напряжений,

Третья груйпа уравнений полученз а теоретических и экспериментальных исследованиях С. С Вялова, Д.Л.'Быкова, А.Н. СтаВрогина.

A.Г.Протосеця, А.И.Казачевского, К.А.Агаки, В.Н.Кузнецова,

B. и'.Кудашовя. В.П.Устинова, В. Д. БёрТяееа, Д. А. Толоконникова, Б. и. Ковальчука, М.Я.Леонова, В. А. Паняева, Н.Н.Руеинко, Г. С.Писа-ренко, А.А.Лебедева.

- В -

Анализ известных моделей позволил выделить общие для тех или иных направлений недостатки, сдерживающие расчет и проектирование конструкций, выполненных из разносопротивлявщихоя материалов. На основе этого определены основные направления исследований представленной диссертации, подтверждена актуальность проблемы определения напряженно-Деформированного состояния элементов конструкций, выполненных из указанных Материалов.

Второй раздел посвящен развитию единого подхода к построению определяющих соотношений для изотропных и структурно анизотропных разносопротивляющихся слабо нелинейных материалов, допускающих квазилинейную аппроксимацию. Предложенный подход основан на новых инвариантах тензора напряжений, связанных с нормированными пространствами. ' При получении этих инвариантов в первой части второго раздела рассмотрены две модификации нормированных пространств, первое ' из которых связано с главными осями тензора) напряжений, а второе - о октаодрическими площадками. ,,

Напряженное состояние в точке пространства главных напряжс^ ний предложено определять модулем »эктора полного, напряжения $ и его направляющими косинусами

} НУ

где <3г - главные напряжения.

Модуль вектора ,3 . очевидно, моамо трактовать как 'норму векторного пространства N 1, а направляющие косинусы - как главные нормированные напряжения. При этом норма пространства является количественной характеристикой напряженного состояния, а нормированные напряжения - его качественными параметрами ( осеменяются при изменении вида напряженного состояния).

При переходе от' главных осей Тензора напряжений к произвольной ортогональной системе координат параметры Нормированного пространства Н 1 преобразуются к виду

¿у- (2).

Во втором пространстве напряженное состояние количественно предложено определять модулем вертора полного напряжения на ок-таэдрической Площадке 30 , представляющего собой норму данного пространства: ' •

______________Ъч^'г-г: _ (3)

Ориентация ректора

аайаЯа углом, У , который образует вектор Зв с норМальп к октаэяричэской площадке П , и углом $ - Фазой напряжений,' Переход от величин углов W н $ к их ограниченным тригонометрическим функция«

Cp$3P«/?M(Sij)/<r3i. ......

позволил трактовать последние (j, f) как нормированные напряжения пространства Ц г.

Показано, что нормированные напряжения не произвольны, а связаны уоловияии норйировкй:

Кроме того, Меаду количественная « качественная характеристиками нормированные пространств имеются простые ?ависимости

щ** {Ij^jf* щ/Ffbss^y/Т, (5}

где ^¿к^к^к,

Трехмерные инварианту .нормированный пространств упрощены для случая плоского напряденного состояния- Показано, что переход к плоскому напряженному состояний для первого пространства - лщ>. сншздйт порядок системы нормированных характеристик, а для второго - октаэлрическча площадки целесообразно заменить на пло-• щадки одинакового наклона к двум главным'осям тензора напряжений и параллельные третьей. Эти площадки условно названы площадками "максимальных" касательных напряжений, на которых

' P^/ef- : (в)

где' (В , - нормальные и касательные напряжения.на рпссмот-

ренных площадках; 3/7 = <5ц - ; 1,1=1,2. Тогда имеем "

г\Ф.

Во второй и третьей частях второго раздела на базе предложенных нормированных инвариантов в квазилинейной постановке разработаны две взаимосвязанные модификации определяющих соотношений для изотропных разносопротивляющихся материалов, которые представлены в потенциальном виде

Функции • рекомендована задарать полиномиальными' разложениями по степеням Параметров нормированных напряжений. При этом в разложении Ф( необходимо опускать возможные "паразитные" члены. На базе соотношений (8) рассмотрены различные уровни точности уравнений состояния разносопротивляющихся сред. Для практического применения предложен потенциал деформаций со строго определенным «делом параметров, свободный от явных ограничений и представленный традиционным образом 6 двух формах:

ъ/=(Мзр<524(9)

у/- О,5[(А+Ё>с1,)(5?* (А-* аи^^А+в^з!]!

+[С+Е¿г +А (¿<

где ,¿5» - константы, определяемые Из'простейших

стандартных экспериментов через модули деформаций ц коэффициенты поперечной деформации, при осевом растяжении ' , У*) и осевом .сжатии (Е ~ , Р •

Известно, что из опытов на. осевое растяжение и осевое сжатие можно установить только четыре константы. Для определения

Фо; и/= , Жи)зг

(8)

- и -

пятой константы обычно используют эксперименты на чистый сдвиг. Однако предложенные соотношения (9), (10) описывают состояния

-------разносопротишодмцихся.материалов, для которых модуль сдвига

не является независимой . характеристикой, а""должен ~вычисляться-------

через модули деформаций Е* и коэффициенты )>- согласно условию

Поэтому в диссертационной работе предложены три вполне . приемлемые варианта априорного определения пятой константы, которые не противоречат экспериментальна Данным" и общим законам Механики деформируемого творДога ТРДЗ, .В цервом рярианте предполагается равенство "что справедливо при совпадении ц,аз напряжений и деформаций. Во втором варианте принимается допущение о малости слагаемого £¿<<¿2^3 (10). которое при плоском напряженном состоянии равно нулю. Третий варка;, г основан на предположении о совпадении форм записи закона изменения объема, вытекающих из обобщенного закона Гуна и из предложенных соотношений при гидростатическом сжатии -или растяжении.

использование одного р трех вариантов априорного определения пятой константы в сочетании с результатами' одаиЬськХ йсяггя-ний материала позволяет однозначно выразить все п?:ь коэффициент тив потенциала деформаций (.9), (10) через технические параметру £ 1 . У- . Выбор того или иного априорного варианта зависит от условий технической задачи и конкретных особенностей материала.

Для плоского напряженного состояния рекомендованы упрощен -ные определяющие соотношения, представленные в виде потенциала деформаций общей плоской задачи:

6,1)^(421-2......" (Ш " "

где . As, , ^ - константы, определяемые из опытов

на осевое растяжение, осевое сдатие и на простой сдвиг.

Соответствующие потенциалу (9), (10) зависимости между деформациями и напряжениями в общем случае имеют тензорно-нели-нейный вид

где

Следствием (12) являются законы изменения объема, формы и . соотношения, описывающие фазорую характеристику:

е^/З/р+ЯУзЯе; (13)

'(<Г/2£0-кЗ/з2о)1 (и)

где <с={/[2^ Яфф-^СовЬф Ц^Аф

- разность фаз напряжений и деформаций. . • /'

Очевидно, что законы изменен^ объема (13) и формы (1.4) совместны, т- е- полученные уравнения состоедня (9), (Ю) описывают дилатацию и учитдаают влияние средних напряжений на. $ормо-изменение деформируемого тела при пропорциональном нагружещш. Влияние средних Напряжений таково, что под действием гидростатического напряжения Изцейвние формы не происходит (при имеем ).. Наличие подобных свойств у разносопротивлявдихся материалов подтрерададосэ в ряде теоретических и экспериментальных исследований.. ' ■ '

Закон упругости (12) ррр рыделэнщ! компонентов матрицы по-датливостей приводится к традиционной форме

> (16)

где Жук™ "А^^кт

В четвертой 'части рторого раздела проведено экспериментальное обоснование полу^ерух соотношений (9) - (11). Общее обоснование уравнений состояния выполнялось путем сравнения экспериментальных диаграмм щщорциональнаГР деформирования графитов, бетонов и чугуна СЧ15-32 с теоретически предсказываемыми согласно зависимостям (9) - (И). При этом данные экспериментов по одноосному растяжению и сжатию контрольных образцов использовались

для определения констант потенциалов деформаций (9) - (11). Показано, что точность предложенных соотношений-при описании сложных напряженных состояний рассмотренных материалов заметно выше, чем у большинства известных моделей разномодульной теории упругости. Кроме того, установлено, что полученный уравнений состояния обобщают ряд известных моделей. В пятой части второго раздела исследована единственность решения ё сМЫсле выполнения постулата устойчивости в Малом и установлены предельные соотношения между параметрами упругости. ......

В Шестой части второго раздала предложений Подход к построению определяющих соотношений разчосоггротнвлятертс* сред распространен на структурно анизотропные материалы. Для удобства выполнения тензорных преобразований рекомендовано отойти от общепринятых обозначений напряжений 6// И деформаций вд , представив т в'девятимерной "пространстве" о координатами:

<5$л * <3зь =4-; =Д*;

(17)

Для квазилинейного варианта определяющих соотношений структурно анизотропных разнрсоПротивляйщихся тел потенциал деформаций представлен через параметры нормированного пространства Н 1 в девятимерной интерпретации

(18)

где ¿"><¿»1=1;

При определении функции Ф(-!т) рассмотрены два уровня точности, первый из которых ограничен полиномом второй степени, а второй уровень - полиномом третьей степени. В .общем случае структурной анизотропии полином третьей степени представлен следующим образой;

Ф(и„)= ит <Ьг>„<ЛтЛя/2+ <Ъпу> А (I9)

Полиномы вида (19)' конкретизированы для ортотропных и ."рансверсально изотропных разносопротивляющихся материалов, для которых разработана методика определения констант потенциала-

(18). Данная методика базируется на простейших экспериментах по одноосным растяжению и сжатию в направлениях осей анизотропии и иод углом 45° к ним с одновременной проверкой постулата устойчивости в малом. При переходе к обычной тензорной форме представления напряжений и деформаций для ортотропннх и трансверсально изотропных материалов получен закон упругости в традиционном виде (16).

р третьем разделе рассматриваются изотропные нелинейно раз-носопротивляющиеся материалы, для которых определяющие соотношения записываются в виде суммы.квазилинейной и Нелинейной частей потенциала деформаций. При этом нелинейная часть с точностью до констант совпадает с квазилинейной (8), ■ а нелинейность деформирования учитывается показателем степени П ;

t-tn

W- <ty (l^WjS^cPpO^MjSy

(20)

Полиномиальное разложение функций , Фр по координатам нормированного пространства Nie учетом связей (б) межху пространствами N 1 и 2 позволило получить две нелинейные формы потенциала деформаций

г \П

(21)

^ШШШМ)" w=iie}M+(hM]y>.

где [Lej. {Кр} . {Lpj - константы квазилинейных и нелинейных частей потенциала;

i

-i <4^3 4 е4di

Ii-

IT

fCbiif

tteHk be Ce Ae}i [ИрН^Р &P Cp ДрЗг

¿e9 = 3/Tßei Les= nßff(ee-4ek Lps=i(/!p- tp/2); ips=VT(ßp42Ap);

(22)

1р* = №?'(&Р~Ар). (22)

--------- В разложении -ГИ/с] (22¡ опущено слагаемое .V/¿г^- Воз

можность такого упрощения подтверждена анализом экспериментальных данных, - выполненных во втором разделе. Для предложенных соотношений (21) детально разработана методика определения•констант из простейших опытов по одноосному растяжению и одноосному сжатию контрольных образцов с одновременной оценке^ точности аппроксимаций и устойчивости потенциала в малом. На основе анализа общих - законов .пропорционального деформирования, соответствующих уравнениям состояний (21), показано, что последние описывают' нелинейную "ДИлатащш разносопротивляющихся материалов, а форма записи этих законов может быть представлена в виде, аналогичном выражениям (13) - (15).

Потенциальные соотношения (21) апробированы на примере деформирования чугуна СЧ15-32, графита АРВ и некоторы) бетонов при пропорциональном нагружении. Установлено, что все указанные материалы, в той или иной степени склонны к дилйтационным проявлениям.

В четвертом рааведе исследуется напряженно-деформированное состояние тонких пластин, выполненных Из Изотропных и структурно анизотропных разносопротивляющихся материалов.допускающих квазилинейную аппроксимацию диаграмм деформирования. Для постулирования физических зависимостей теории пластин приняты предложенные во вторим разделе определяющие соотношений (9) - (11). (18). Размеры пластин принимались такими, чтобы применение гипотез Кирхгофа не вызывало сомнений.

В первых двух частях четвертого раздела рассмотрены геометрически линейные И нелинейные задачи изгиба круглых ц - прямоугольных пластин из разносопротивляющихся структурно изотропных материалов. Получены Полные системы разрешающих дифференциальных уравнений относительно Перемещений срединной, поверхности и в смешанной форме. Геометрически линейные задачй поперечного изгиба В основном решались численно Методами, упругих решений И переменных параметров упругости с уЧеТой : ёрзникающих' мембранных усилий. Для этой цели испольсовалась -Конечно-разностная аппроксимация второго порядка точности. Интегрирование по толщине пластины выполнялось по правилу СимпсоНа. Радиус круглых пластин

разбивался на 32 участка, а четвертая часть плана' прямоугольных пластин покрывалась сеткой размером 21 х 21 точку. Толщина пластин разбивалась на 13 точек. На основе полученных решений указаны возможные пути упрощения разрешающих уравнений. Для попереч- ■ ного изгиба щарнирно опертой пластины получено приближенное решение в двойных тригонометрических рядах по типу Навье. Задача чистого изгиба решена аналитически в замкнутом виде. Кроме того, получены отдельные решения для неоднородных пластин, обладающих гладкой неоднородностью.

Разработанный алгоритм расчета пластин позволил сравнить решения, полученные на основе различных моделей разномодульной теории упругости, известных -ранее (модели с.А.Амбарцумяна. Л.А.Толоконникова и другие), и модели, предложенной автором.

Геометрически нелинейные задачи рассматривались в рамках формализма Кармана и решались пошагово-итерационным методом, развитым в форме двух модификаций- Первая модификация заключается в формальном применении метода последовательных .нагружений Власова - Петрова, традиционно используемом для решения геометрически нелинейных задач, с привлечением на каждом шаге ;:ггружения итерационной процедуры а.а.Ильюшина, вторая модификация основана на методе последовательных нагружений в форке, используемой для линеаризации уравнений изгиба плаотин с г:*гом физической и геометрической нелинейности, В сочетании с процедурой А. А. Ильюшина только на первом шаге нагружений, когда практически решается геометрически линейная задача для данного класса физической нелинейности. Такое объединение двух методов позволяет повысить точность общего решения. При разработке первое модификации использовалось разложение нелинейных компонентов в ряд Маклорена с сохранением лишь величин первого порядка малости. Результаты решений, полученные по ' двум методикам, достаточно близки, их можно считать совпадающими и справедливыми при прогибах порядка толщины пластины (Ы <? Ь ) . Реализация рассмотренных модификаций выполнялась численно конечно-разностным методом повышенной точности в сочетании с традиционными способами' снижения погрешности интегрирования по параметру нагрузки.

В третьей части четвертого раздела исследуется малый изгиб ортотропных пластин из разносопротивляющихся слабо нелинейных материалов, получена полная система разрешающих дифференщальных уравнении в перемещениях, которая решалась конечно-разностным

- 17 -

методом последовательными приближениями.

При анализе полученных результатов расчета изотропных и структурно анизотропных пластин исследовались влияния граничных условий," сочетаний модулей упругости.и.коэффициентов поперечной деформации на параметры напряженно-деформированного состояния." результате обнаружен ряд количественных и качественных отличии полученных решений от данных теории пластин, разработанной для материалов, подчиняющихся обобщенному закону Гука. В частности, установлено, что свойства разносопрстивляемости материалов пластин могут привести к отклонениям максимальных напряжений от классических величин на 50Д .и более, причем на величину этой разпищ! заметное влияние оказывают граничные условия. Характер распределения напряжений по толще- пластин- - в общей случае нелинейный. Влияние изменений значений коэффициентов поперечной деформации в пределах до 0,-1 на.параметры напряженного состояния изотропных пластин ограничивается 8 - 12 %, а для ортотропных -10 - 18%, Судя по величинам прогибов, при малом изгибе жесткость изотропных пластин из разносопротивляющихся материалов независимо от граничных условий заметно выше, чем это предсказывается классической теорией с учетом осредненных характеристик упругости ' ..... -••'..

Eo^/[0,5(</t^ */£-)]; )>,= ф,5(Г/£\ Г/£-)]

как при £* > £~ , так и при £*<£ . Если за параметры упругости материала принять характеристики, соответствующие только растяжению (£*, У*) , или только сжатию (£~, У) , то жесткость пластин с учетом разносопротивляемости может быть как выше, так и ниже данных классической теории. В общем случае для ортотрои-ных пластин из разносопротивляющихся материалов, трудно заранее, без расчетов, предсказать характер изменения жесткости относительно классических параметров.

Установлено; что при малом изгибе пластин из разносопротивляющихся материалов в срединной, плоскости могут возникать растягивающие и сжимающие продольные усилия. Знак этих усилий зависит от характера разносопротивляемчсти ( £*>£~ или £*<£' ).

Для приближенного расчета изотропных пластин из разносопро-тивляющегося материала рекомендованы аппроксимационные формулы вычисления максимальных прогибов и напряжений, которыми можно

непосредственно воспользоваться, если известны аналогичные параметры из классической теории. При поперечном изгибе под действием равномерной нагрузки ЭТИ формулы имеют.вид;

ЧЛ =/>- Кы(£тах/£тш -*)ЗЧК%;

_ — (23)

где &Л/А - максимальный относительный прогиб пластины, полученный, с учетом свойств разнооопротивляемости Материала; то же, но по классической теории о осредненными характеристи камй Ее , Уо ; £так> - наибольший^ наименьший из мо

дулей Деформаций, соответственно; - максимальны!

безразмерные формальные напряжения, рассчитанные о учетом разно сопротивляемости Материала и ПО классической теории р оереднен ными характеристиками упругости; ¿ьг . г) - коэффициенты про порциойальнастц, завИсяедв от Граничных условий.. ¡;

При конечных прогибах Характер . напряженно-деформиррванног состояния пластин существенно зависит от ¡граничных условий ; степени разнооопротивляемости (£~/£*). В Частности, при измене нии условий Для перемещений В их срединной плоскости прогибы/Мо гут быть как бодЫвр, так И Меньше аналогичных величин, рассчи танных с учетом осредненйых параметров £о , Уо Повышени степени разносоЦротивляемостц может привести К изменению качест венной картины распределения изгибарщих Моментов. Например, дл круглых (иарнИрно закрепленных ПО Контуру пластин имеет мест смещение максимума йзгибарщик моментов из их центра-при и/А >0.25 и (Ж> 2,Б, а также при ЬХД > о,б и £/£*> 2,о.

В пятом' разделе диссертаций разработана теория деформирова ния железобетонных Плит с трещинами. Бетон При этом моделировал ся нелинейной разносойротивлявиеЦся средой, определяющие уравне ния длй которой постулировались на основе потенциала деформаци (21), что приемлемо При простом нагружеНЙи. Стальная арматур представлена как идеально упругопластическое тело.

В Первой- Части пятого раздела получены основные уравнения зависимости для кусочно неоднородных плит с учетом дефорМаци поперечного сдвига. Перемещения точек плиты в строго ориентиро ванной декартовой системе координат представлялись следующим об разом: •

где ¿/ , V , Ы - перемещения точек срединной плоскости плиты; ¿<з. Узз - деформации поперечного сдвига по толщине плиты..

Для определения деформаций плиты использовались их геометрически линейные выражения через соответствующие перемещения с учетом ^зз= О . В модели напряженного состояния плиты принималось, что СБ"« = V .

Во второй части пятого раздела Детально разработана конеч-но-элементйая модель изгиба "неоднородных плит о учетом пяти степеней свободы в узле и разбивки элемента по толщине на фиктивные слои. В основу этой модели были положены прямоугольные гибридные конечные элементы Р.Кука, имеющие три отепени свободы в узле. В отличие от модели Р.Кука, в которой матрица жесткости строилась суперпозицией четырех угольных элементов, в представленной работе данная матрица получена непосредственно для прямоугольного элемента. Сходимость разработанной конечно-элементНой модели подтверждена на примере раочета квадратных плит. В третьей части пятого раздела конечно-элементная модель детализирована с учетом нелинейной разносопротивляемости бетона, возникновения пластических деформаций В арматуре, образования и развития трещин в растянутой зоне бетона. Вопрос ползучести бетона не рассматривался.

Сложность поставленной задачи привела к необходимости введения системы дополнительных модельных допущений:

а) задачи изгиба железобетонных плит рассматривались в условиях активной деформации и простого нагружения, что позволило представить бетон как нелинейный материал с присущими ему упру-гопластическими свойствами, состояния которого можно- описать потенциалом деформаций (21);

б) армирование плит принималось таким, что стержни располагались строго в параллельном и перпендикулярном направлениях относительно оторон прямоугольного опорного контура;

в) рассматривались такие плиты, размеры которых в плане достаточно велики по сравнению со средним расстоянием между арматурными стержнями, что позволяет пренебречь местными напряжениями в зонах контакта арматуры и бетона, а значит "размазать" арматуру, представив ее в виде сплошного слоя, обладавшей-.

- 20 -

свойствами структурной анизотропии;

г) считалось, что арматурные стержни воспринимают только нормальные напряжения и их коэффициенты Пуассона Принимались равными нулю, а это заметно упрощает основные зависимости, тогда как погрешность данного допущения .лежит В пределах точности исходных данных;

д) срединная плоскость плиты моделировалась сетью гибридных конечных элементов размером 7x7, 8 х 8 В принятой модификации и с учетом разбиения по толщине на ряд Фиктивных слоер;

е) напряжения в пределах армированных слоев плиты определялись с:шой напряжений в бетоне И в арматуре, а за условие совместности бетона и арматуры принималось равенство деформаций этих двух сред, причем это предположение распространялось и на армированные слои с трещинами; '

ж) р качестве критерия трещинообразования бетона в каждом фиктивном слое принималось равенство наибольшего из главных растягивающих напряжений в данном слое временному сопротивлению бетона осевому растяжению;

и) предполагалось, что возникающие трещины нормальны к срединной плоскости шиты, а главные напряжения рассчитывались по формулам плоского напряженного состояния;

к) трещины в. области треснувшего фиктивного слоя считались сквозными и параллельными друг другу;

л) так как на участках между трещинами сцепление арматуры с бетоном сохраняется, то влияние растянутого бетона учитывалось при помощи коэффициента В.И.Муращева. который предстарляет собой отношение средней ИР длине между трещинами деформации к максимальной деформации арматуры в трещине;

' м) степень разрушения бетона оценивалась функцией поврек-денности: . ' '

н) при наличии тредин бетой моделировался трансверсально Изотропный телом с плоскостью изотропии, вараллельяой плоскости данного Фиктивного слоя.

В зависимости от конкретных условий яапряженно-деформиро-ванного состояния выделены следуюдае группы фиктивных слоев: а) бетонные слои без трещин; б) железобетонные слои без трешин; в) бетонные слои с пересекающимися трещщаии; е) железобетонные слои с пересекавридася трецинакц.

. В свете принятых гипотез для.бетонных, слоев без.трещин мат-

ридз упругости [в] определялась через матрицу податливостей [А] , соответствующую потенциалу деформаций (21):

:-------= [л]"'---------------------------------- ------ (25)

Для железобетонных слоев без трещин по аналогии получено

(26)

где ; = - для остальных ком -

понентов матрицы [ : модуль упругости арматуры; ,

у%- коэффициенты армирования железобетонных слоев По соответствующим 'направлениям'. Г4] \ матрица податливастеД. определяемая в соответствии с потенциалом (21). но'при замене полных напряжений ©"¿у напряжениями в бетоне <3"^- .

Для бетонных слоев после срабатывания критерия

. (£7)

считалось, что слой в пределах конечного элемента' полностью выключается из работы, т. ё. принималось

= ■ (¿8)

где (5 ц - максимальные главные растягивающие напряжение в слое; - временное сопротивление бетона осевому растяжению. Допущение (28) сохранялось и для бетонных слоев с пересеки ющимися трещинами.

Для железобетонных слоев в момент образования трещин принимался критерий (20),' где вместо полных напряжений Фигурировали напряжения в бетоне. Для треснувших слоев потенциальные соотношения (21) справедливы только в направлении вдоль трещин, в котором нё~нарушена сплошность-бетона. В этом направлении Физически нелинейные свойства бетона учитывались с помощью секущего модуля упругости £/? и секущего коэффициента Пуассона , определяемых из уравнения

=4 с**, >&*и<8%2- (<5/12 - $

(29)

где ; АЬ - компоненты повернутой мат-

рицы нодатлиэостей Э ортогональной системе координат, в которой ось У* совпадает с направление« трещин; - напряжения в

бетоне, Счисленные в Повернутой системе координат.

Компоненты матрицы [А*] рассчитывались т|к же, как и коэффициенты [4] , но при замене <3*у на ■

В направлении, перпендикулярном трещине, модуль деформаций бетона представлялся величиной & . где сО ' - параметр поврежденности батона £ 1) . В общем случае для треснувших .слоев-в иоходной системе координат получено

ДО

A« 4«

Afe Q 0

Ais 0 0

0 а

4? 0

&

(30)

где ACiJ - компоненты матрицы податливостей. опреде/"'.:;кые через коэффициенты Ау по правилам преобразования систем) координат;

&*</(№)) A%*>-$i/Eg\ Aii-1/Bsi

= 4t 4*s * 2(U . ■

В матрице упругости арматуры ДЛЯ треснувшего железобетонного слоя отличными от нуад оказывается только две компоненты: £snfl/\ где . - секущие модули де-

формации арматуры в соответствующих направлениях:

f9 ПРИ ßs КХ <

>

црц ;

(31)

G/> - предел текучести арматуры, К* 1, 2 .

Окончательно матрица упругости треснувшего железоиетонного

слоя получена в вида

[&h[Ac]^(êcs].

Параметр повреаденности ^ определялся из уравнений

(33)

где Еsn - модуль уйруГОЬТИ арматуры в направлении, перпендикулярном трещине; £~

J^ a tcfy/ÏGfy - <5fr)/rfs].

ДЛЯ вычисления коэффициента В.И.Мурашева % использовалась эмпирическая зависимость

нормальные напряжения в яелвзобётонйоМ слов и з чистом бетоне соответственно в направлении, перпендикулярном трещине.

Так как распределение напряжений зараное неизвестно, то параметр повреаденности (33) с учетом (34) рассчитывался lia каждом этапе методом последовательных приближений.

Для железобетонных слоев о трещинами после срабатывания критерия Qfz^fi* возникают вторичные трещины, пересекающие первичные. В таких слоях считалось, что работает только арматура, т. е. матрица упругости принималась в виде

. Разработанный конечно-эДементньй алгоритм с учетом детализаций модели фиктивных слоев реализован на языке ПЛ-1 для ЕС-1060 с применением системы управления базами данных "ИНЕС", заметно снижающей технические сложности расчета. Указанный алгоритм интерпретирован в рамках пошагового метода в сочетании с процедурой переменных параметров' упругости/

Результаты расчета анализировались на примере четырех плит N 711, ' N 825, N 944, Н 863,.данные.по испытаниям которых заимствованы из работ Г. Ваха, 0. Графа, В. Гелера, X. Амоса и Н. И. Кар-

(35)

■ - 24 -

пенко. Поперечная нагрузка принималась равномерно по всей площади и в виде сосредоточенной силы в центре плана Плиту, а опираг ние - свободным по' контуру и точечным'в углах. Для оценки адекватности предложенной модели реальным состояниям плит было проведено сравнение полученных решений (П).с экспериментальными данными (Э) и с результатами расчета по теории Н. И. Карпенко (К). Достоверность полученных решений (П) подтверждается графиками зависимости максимальных прогибов плит от интенсивности распределенной нагрузки и Величины сосредоточенной силы, представленных на рис. 1-4.

Детальный анализ напряженно-деформированного состояния железобетонных плит показал, что при увеличении нагрузки от нуля до разрушающей, плиты проходят последовательно три стадии работы: а) деформирование без трещин; б) работа о трещинами при упругих деформациях арматуры; в) стадия развития пластической деформации арматуры в трещинах- Кройе того, установлено, что после образования трещин интенсивность роста прогибов по мере нагруже-ния увеличивается, фактор физической нелинейности бетона перестает быть решающим, а явление разносопротивляеМости становится более, выраженным. Учет образования трещин й пластических деформаций позволил более точно определить фактические прогибы, которые в 3 - 9 раз больше, чем без цх учета. Разница в значениях моментов.при этом менее существенна и не превышает 34 %. Установлено, что трещины В армированных слоях внутри области, лока-. лизованной конечным элементом, практически параллельны, а. вторичные трещины можно считать примерно перпендикулярными первичным. '

* р заключении приведены основные результаты и выводы по' работе.

В приложениях представлен обширны^ графический и табличный материал как результат выполненных расчетов.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ й ВЫВОДУ ' ' .

1. В целом по своему теоретическому И практическому.значет • низ проведенные исследования можно квалифицировать как новое решение крупной научно-технической проблемы механики дёфо'ррруемо- • го твердого, тела,- находящейся на этапе постановки.

2. На.основе анализа общей теории напряжения в точке•сплои-

Рис. 1. Прогибы плиты Н 711

, к Па

-100 -80 -ВО-

-м -90

—- ------

у /X ✓

¡V п ! -----------

1 Г

Рис. 2. Прогибы плиты N 825

-50 -НО ~ъо -20 40

О'

-—хк

/Л

г-

-5 40 ' -(5

Рис. 3. Прогибы ПЛИТЫ И 844

-75 -60

1-¡Й8^ л

/V <0

Г в

Рис. 4. Прогибы ПЛИТЫ Н '863

ной среды выделены взаимосвязанные системы инвариантов, количественно и качественно характеризующих напряженное состояние деформируемого тела. Показано, что параметры качественных характеристик ограничены в интервале от 1 до + 1 и поэтому_ раесмат-_____

риваются как нормированные напряжения с нормой, равной количественной, характеристике, .... ...

3. В рамках методики нормированных напряяеггай предложен единый подход к построению определяющих соотношений разносолро-тивляющйхсй'сред'о различными уровнями сложности, который позволил в одном ключе получить уравнения состояния квазилинейной и

. нелинейной постановки ДЛЯ изотропных и анизотропных материалов.

4. Предложены определяющие соотношения для изотропных и СТУШРПО' аййзотролннх слабо нелинейных материалов-и мятеричлов. проявляющих существенную нелинейность при деформировании в условиях простого нагружения. Эти соотношения учитывают Непрерывную зависимость механических характеристик среды от вида напряженного состояния. На всех уровнях сложности исследована корректность предлагаемых форм связи кеаду тензорами напряжений и малых деформаций о точки зрения выполняемооти постулата устойчивости в малом,

■ ■ б. Показано,. что предлоаашшв определяющие.соотношения обладают выоокой точностью аппроксимаций реальных состояний широкого ряда разкосопротивляющихся материалов,- причем более высокой, чем многие известные подели. Показано, что полученные зависимости достаточно универсальны и позволяйт гибко подходить к описанию явлений разносопротивляемости. а также обобщают большинство известных моделей и описывают дилатацию материалов.

6. Получены разрешающие уравнения однородных тонких пластин Кирхгофа; выполненных ' из изотропных и анизотропных слабо нелинейных материалов, свойства которых описываются предложенными соотношениями, рассмотрены случаи неоднородных пластин, а также варианты малых и конечных прогибов. Разрешающие уравнения ис-. пользовались- при постановке .и.решении ряда, конкретных .задач расчета тонких пластин с учетом разносопротивляемости. Установлено, что для'разносопротивляющихся материалов изгиб пластин неразде-• лим с задачей плоского напряженного состояния не только в геометрически нелинейной постановке, но и в линейной.

• 7.-Получены новые .решения- модельных задач теории тонких, пластин,, позволяющие выяеить особенности' и степень влияния ус-

ложненных свойств материала на количественные характеристики . напряженно-деформированного состояния. Кроме того, обнаружен ряд качественных отличий этих решений от традиционных представлений классической.теории упругости.

8. Для предлагаемого варианта теории деформирования решение геометрически нелинейных'задач строилось р рамках двух модификаций пошагово-итерационного метода с использованием традиционных методов повышения точности.

9. Осуществлены постановка и решение задач изгиба железобетонных плит, обладающих конечной сдвиговой жесткостью р. Поперечном направлении и нелинейной разносопротивляемостыо основного материала. При этом учтены образование и развитие трещин В бетоне. а также возникновение пластических деформаций в арматуре. Для решения задач данного класса предложена Модифицированная форма гибридных конечных элементов с пятью степенями свободы в узле, которые достаточно быстрр сходятся.

10. На примерах сравнения экспериментальных данных по деформированию железобетонных плит с расчетными характеристиками их состояний по предложенной модели и по теории Н.И.Карпенко показана высокая точность авторской методики на всех стадиях вплоть до разрушения,

11. При расчете железобетонных плит по предложенной конечно-элементной модели подтверждено наличие известных Фактов и обнаружены качественные аффекты деформирования, связанные с разно-сопротивляемостью бетона, с развитием трещин в нем и возникновением областей пластических деформаций арматуры.

По материалам диссертации опубликованы следующие работы:

1. Трещев A.A., Матченко H.H. О соотношениях, теории упругости для изотропного раэномодульного тела / ТПЙ- - Тула, 1982. -4 с. - Деп. В 'ВИНИТИ 27.04.82, Ц 2056-82,

2. Трещев А. А., ШерещевокИЙ Д-А,. О некоторых • задачах теории оболочек, изготовлецных из разномодульного материала // Актуальные проблемы механики оболочек. - Казань: КАЧ, 1983.

- С. 211.

3. Натчецко Н.М./ Трещев A.A. .Аруцев М-В. К плоской задаче разномодульной теории упругости / ТУЛПИ. - Тула. 1984.

- 10 с. - Деп. в ВИНИТИ 07.06.84, К 3755-84. ' .

4. Матченко H.H., Трещев A.A.. Аруцев М. В. Некоторые осе-

симметричные задачи изгиба пластин, выполненных из материалов, механические характеристики которых зависят от вида напряженного состояния / ТулПИ. - Тула. 1984. - 18 0. - Деи. в ВИНИТИ 31.01.84. Н 557-64.

5. матченко Н.М., Трещеа A.A. Об изгибе кольцевой пластины, выполненной из разномодульного материала / ТулПИ. - Тула, 1984. - 9 е., - Деп, в ВИНИТИ 10.11.84, Н 7213-84.

6. Матченко Н.М.. Трещев AiA. О методе- переменных пара- . метров упругости в одномерных задачах изгиба круглых разномо-дульщи пластин / ТулПИ. - - Тула.- .1984, - б с. - Деп. в винити 10.11.04, Н 7214-84. - . .....

7. Матченко .H.H.. Трещев A.A. Об изгибе прямоугольных пластин / ТулПИ. - Тула, 1984. - 10 о. - Деп. в ВИНИТИ i0.ll.84. N 7215-84.

8. Трещев A.A. Метод' переменных параметров упругости в двумерных задачах изгиба разномодулъных пластин / ТулПИ. - Тула. 1984. - 8 с. - Деп. В ВИНИТИ 1Ма. 84. К 8168-84.

9. Трещев A.A. Большие прогибы круглой разномодульной пластинки / ТулПИ, - Тула, 1984. - б с, - Деп. В ВИНИТИ 19,12.84. Я 8167-84. ..... " " ' : -......... - - " ...............

10. Аркания з.В.. Матченко Н.М.. Трещев А. А. К построению определяющих.уравнений теории упругости изотропных сред // Механика сплошных сред. - Тбилиси: ГПИ. 1984. - N 9. - С. 88 90.

11. Трещев A.A. Большие прогибы круглой пластины из квазилинейного материала // 2-я Всесоюзная конференция по нелинейной теории упругости: Тез. докл. - Фрунзе: ИЛИМ, 1885. - С. 47.

12. Трещев A.A. Геометрически нелинейные задачи теории изгиба разномодульных пластин // Актуальные проблемы механики оболочек. -Казань: КИСИ. 1986. - С. 219. . - . ...... ,.

13. Трещев. А. А. Вариант описания деформирования упругих слабо нелинейных разносопротивляющихся сред / ТулПИ. - Тула,

. 1986. - 18 с: - деп. В ВИНИТИ 01.04.86, « 2241-В86,

14. Матченко Н. М., Трещев А. А. К решению разрешающих дифференциальных уравнений изгиба разномодульныХ пластин // Дифференциальные уравнения.« прикладное задачи; -Тула: ТулПИ. 1985. - С. 95 - 102.

15. Треиев.А.А.-. Кудинов 8.Н- Н изг'аЗу пластин из квазилинейных материалов / ТулПИ. - Тула, 1986.' -9 с. - Деп. в ВШТЙ 18.06.86, N 44S6-B86.

- 30 -

16. Трещев A.A. Конечные прогибы пластин, выполненных из материалов, механические характеристики которых зависят от вида напряженного состояния // Дифференциальные уравнения и Прикладные задачи. - Тула: ТулЛИ, 1986. -. 78 - В1.

17. Лачулия В.Ш.. Трещев A.A. Чистый изгиб прямоугольных пластин из нелинейного материала // Механика сплошных сред. -Тбилиси: П1Й, 1986. - Н 6, - С. 97 - 99.

18. Трещев A.A., Воронова С.А. О единственности решения задач теорий упругости разносопротивлявщихся сред / ТулПИ. - Тула. 1987. - 11 с. - Ден. В ВИНИТИ 23.03.87, Н 2040-В87.

10. Трещев А. А. ' Поперечный изгиб прямоугольных пластин, выполненных Из материалов. Механические характеристики которых зависят от вида напряженного состояния // Изв, вузов. Строительство и архитектуре. " 1988. г Н I, - С. 25 - 29.

20. трещев А. А. Большие прогибы пластин, выполненных из материалов, механические, характеристики которых зависят от вида напряженного состоянии // Механика и прикладная математика. Труды Всесоюзной Конференций "Современные проблемы информатики, вычислительной техники и автоматизации".. - Тула: Приокск. кн. изд-во, 1988. - С. 46 - 52.

21. Трещав А-А. . К изгибу начально неоднородных пластин из деформационно-анизотропных материалов / ТулПИ. - Тула, 1989. - 7 с. - Деп, В ВИНИТИ 10. 01.89. М.238-В89.

22. ТрещеВ А. А.Барсова С. А. Поперечщй изгиб прямоугольных пластйй из деформационно-неоднородных материалов / ТулПИ. -Тула, 1989. '8 а. - Деп. в ВИНИТИ 10.01.89, И 239-В89.

23. трещев A.A. К расчету прямоугольных пластин из Полухрупких Материалов // дифференциальные уравнения и прикладные задачи. - Тула: ТулПИ, 1989. - С, 63 - 69.

24. Треиев А. А- К раочвту Пластин из конструкционных графитов // Мёханкка и прикладная математика. Труды Всесоюзной конференции * Современные проблемы информатики, вычислительной техники и автоматизации". - Тула; Прйокок. Кн. изд-во, 1989. -С.' 93 - 98.

25. Трещер A.A. Определение, напряженно-деформированного достояния графитовых пластин // Дифференциальные уравнения и прикладные 'задачи. - Тула: ТулПИ, 1990. - С. 83 - 89.

26. Трещев A.A. Нелинейный изгиб -тонких пластин из деформационно-анизотропных материалов //. Изв/ . вузов. Строительство и

архитектура. - 1990. - И 2. - С. 29 - 33.

27. Аркания 3.6.. Матченко Н.М., Трещев A.A. Один подход к определению закона упругости для квазилинейных сред / ТулПИ. -Тула, 1992. - 5 с. - Деп. В ВИНИТИ 09.06.92. N 1886-В92.

28. Трещев А.А. О единственности решения задач теории упругости для анизотропных разносопротивляющихся сред / ТулПИ. -Тула, 1992. - 7 с. - Деп. В ВИНИТИ 09.06.92, N 1887-В92.

29. Трещев A.A., Артемов А.Е. К изгибу армированных плит из нелинейного разносопротивлякмцегося материала / ТулПИ. - Тула, 1992! - 7 С. -Деп. В ВИНИТИ 09.06.92, ДО 1888-В92.

30. Трещев A.A.. Аркания З.В. К расчету тонких пластин из материалов, обладающих структурной И деформационной анизотропией / ТулПИ, - Тула! 1992. - 6 с. - Деп. В ВИНИТИ 09.06.92, N 1889-В92.

31. Трещев A.A. О точности квазилинейной и нелинейной аппроксимации деформйроваНия разносопротивляющихся срод / ТулПИ. -Тула, 1992. - 7 с. - ДеП. В ВИНИТИ 07.07.92, Н 2i81-B92. '

32.- Артемов А.Н., Матченко Н.М., Трещев A.A. Учет образования трещин для плит из разносопротивляющихся материалов / ТулПИ. - Тула, 1992.- 9 с. - Деп. в ВИНИТИ 07.07.92. N 2182-Б92.

33. Трещев А.А. Расчет пластин с учетом начальной и наведенной неоднородности // Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. - Тула: ТулГТУ. 1993. - С. 30 - 35.

34. Аркания З.В., Трещев A.A. Изгиб пластин из материалов, обладающих анизотропией двоякого рода // Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. - Тула: ТУЛГТУ, 1994. - С. 70 - 74.

35. Артемов А.Н.,Трещев A.A. Поперечный изгиб железобетонных плит с учетом трещин // Изв. вузов. Строительство. - 1994. -Н 9 - 10. - С. 7 - 12. '

36. Матченко Н.М.. Толоконников Л.А., Трещев A.A.. Определяющие соотношения изотропных разносопротивляющихся сред. -Часть 1: Квазилинейные соотношения // Изв. РАН. МТТ. - 1995. - Н 1. -С. 73 - 78.

Автор выражает глубокую .признательность Д-ру Ф«з. -мат. наук. проф. Л.А.Толоконникову и д-ру Физ.-мат. наук,проф. Н.М.Матченко за оказанные консультации При подготовке работы.

Введение

1. Обзор известных моделей разносопротивляющихся сред.

2. Определяющие соотношения для слабо нелинейных разносопро-тивляющихся сред.

2.1. Пространство нормированных напряжений

2.1.1. Трехмерное пространство

2.1. 2. Двухмерное пространство

2.2. Определяющие соотношения для структурно изотропных

2. 2.1. Потенциал деформаций.

2.2.2. Определяющие соотношения общей плоской задачи.

2. 2. 3. Обоснование предложенных соотношений.

2.2.4. Исследование ограничений, накладываемых на механические характеристики материалов.

2.3. Определяющие соотношения для структурно анизотропных разно сопротивляющихся тел

2. 3.1. Потенциал деформаций.

2.3.2. Определение констант модельных соотношений и ограничений, накладываемых на них.

2.4. Резюме по разделу

3. Нелинейные определяющие соотношения изотропных разносопротивляющихся сред

3.1. Потенциал деформаций

3.2. Определение констант потенциала

3.3. Законы изменения объема, формы и фазовые характеристики.

3.4. Резюме по разделу

Исследование напряженно-деформированного состояния тонких пластин из квазилинейных разносопротивляющихся материалов.

4.1. Основные гипотезы и их следствия

4.2. Напряженно-деформированное состояние пластин из структурно изотропных материалов

4.2.1. Разрешающие уравнения изгиба прямоугольных пластин при малых прогибах

4.2.2. Разрешающие уравнения осесимметричного изгиба круглых пластин при малых прогибах

4.2.3. Чистый изгиб прямоугольных пластин малого прогиба.

4.2.4. Поперечный изгиб прямоугольных пластин и круглых пластин малого прогиба

4.2.5. Разрешающие уравнения изгиба пластин при конечных прогибах.

4.2.6. Линеаризация разрешающих уравнений нелинейного изгиба пластин согласно пошагово-итерационному методу

4.2.7. Поперечный изгиб пластин при конечных прогибах.

4.3. Напряженно-деформированное состояние пластин из стуктурно анизотропных материалов

4.3.1. Разрешающие уравнения изгиба прямоугольных пластин малого прогиба

4.3.2. Поперечный изгиб прямоугольных пластин из ортот-ропного материала.

4.4. Краткие выводы.

5. Исследование напряженно-деформированного состояния армированных плит из нелинейного разносопротивляющегося материала.

5.1. Основные уравнения и зависимости.

5.2. Выбор конечно-элементной модели и ее адаптация

5.2.1. Матрица жесткости конечного элемента

5. 2. 2. Определение матрицы [Н]

5. 2.3. Определение матрицы [Т]

5.2.4. Оценка сходимости конечно-элементной модели

5.3. Изгиб прямоугольных железобетонных плит.

5.3.1. Дополнительные технические гипотезы модели

5.3.2. Моделирование напряженно-деформированного состояния отдельных фиктивных слоев

5.3.3. Алгоритм решения задачи

5.3.4. Результаты расчета плит и анализ полученных результатов

5.4. Краткие выводы.

Построение математической модели состояния конструкционных материалов, универсально работающей при различных условиях наг-ружения, представляет собой одно из важнейших направлений механики деформируемого твердого тела. Центральной проблемой при этом является формулировка соотношений между напряжениями и деформациями. Напряженное состояние в точке тела определяется шестью компонентами тензора напряжений, а деформированное - шестью компонентами тензора деформаций. Требуется установить взаимно однозначные соотношения между этими параметрами напряженного и деформированного состояния с указанием системы экспериментов, достаточных для определения констант, входящих в эти соотношения и характеризующих механические свойства рассматриваемого материала. Классическим примером таких уравнений состояния является закон Гука, когда для изотропного тела две неизвестные константы упругости вычисляются по линейной аппроксимации экспериментальных данных, полученных при одноосном растяжении, либо - при одноосном сжатии стандартных образцов.

Широкое применение обобщенного закона Гука на протяжении более полутора столетий утвердило его как несомненный физический закон. Вместе с тем данные экспериментов с такими материалами, как чугуны [1 -6], графиты [7 - 14], керамика [15], бетоны [16 -20] и с другими композитными материалами [21 - 26], свидетельствуют о том, что линейная аппроксимация зависимостей между напряжениями и деформациями с определением модуля упругости Е и коэффициента Пуассона V даже в достаточно узком диапазоне изменения деформаций не может считаться удовлетворительной. Несравненно лучшим оказывается аналитическое представление опытных данных при одноосном растяжении и при одноосном сжатии различны^ ми линейными функциями с вычислением модуля деформаций £ , соответствующего одноосному растяжению, и модуля деформаций £ , отвечающего одноосному сжатию. Соответственно устанавливаются и коэффициенты поперечной деформации ))+ и V . Так приходим к представлению свойств изотропного разносопротивляющегося упругого материала, которое получило название разномодульной теории. Основные предпосылки разномодульной^теории упругости структурно анизотропных тел можно получить, формально применив приведенные рассуждения к анизотропным материалам.

Для более точного аналитического представления экспериментальных зависимостей напряжений от деформаций при выходе за пределы упругости необходимо использовать нелинейные аппроксимации. Эти аппроксимации могут учитывать как наличие общего начального модуля упругости, так и отсутствие единой кривой деформирования при растяжении и при сжатии.

В общем случае зависимость деформированных характеристик от вида напряженного состояния даже для изотропных материалов достаточно сложна и не сводится только к неодинаковому их поведению при одноосных растяжении и сжатии. Так, экспериментально установлено, что жесткость большинства разносопротивляющихся материалов может зависеть не только от знаков возникающих напряжений, но и от их количественных соотношений. В частности, диаграммы деформирования конструкционного графита АРВ [11, 12], построенные в координатах универсальных инвариантов при одноосном растяжении ( <5^: : (о3 = 1: 0: 0), двухосном растяжении одинаковой интенсивности ( S'y : (S2 ' (5з= и неодинаковой .( (5/: (Ss- = 0,325: 0) не совпадают. Это несовпадение значительно превышает экспериментальный разброс данных, характерных для какого-либо напряженного состояния, что свидетельствует о явной зависимости механических характеристик данного материала от фазовых инвариантов и уровня напряжений.

Первоначально при экспериментальном выявлении вида напряженного состояния на жесткость материалов считалось, что это -аномалия или результат низкого качества проведенных испытаний и измерений. Однако, по мере накопления экспериментальных сведений, свойство разносопротивляемости неоднократно подтверждалось для широкого класса материалов. ' Кроме того, у некоторых из них обнаружены такие сложные проявления разносопротивляемости, как разрыхление и взаимозависимость изменения объема и формы.

Таким образом, под разносопротивляемостью в общем случае следует понимать различие диаграмм деформирования для разных видов напряженного состояния, построенных в системе универсальных координат напряжений и деформаций. Упомянутые свойства наблюдаются как в мгновенных упругопластических характеристиках, так и в скоростях деформаций и в длительностях до разрушения при ползучести, а также в условиях предельных состояний.

Приоритет в обобщении классического закона Гука на случай сред, разносопротивляющихся растяжению и сжатию, принадлежит ученым России и ряда республик бывшего Союза ССР. Исследования в данном направлении, проводившиеся до 60-х годов, носили эпизодический характер и не вызывали заметного интереса. Позднее развитие систематических прикладных исследований стимулировалось широким внедрением новых материалов, что несомненно привело к появлению фундаментальных результатов в области построения определяющих соотношений, разносопротивляющихся сред. Повышение интереса к появлению разносопротивляемости, наблюдаемое в последние годы, вызвано широким внедрением композитных материалов и полимеров, наиболее характерной особенностью деформирования которых, как отмечают многие авторы, является зависимость характеристик деформирования от вида напряженного состояния [1 - 26].

Анализ известных экспериментальных данных указывает на то, что зависимость деформационных характеристик материалов от вида нагружения проявляется чаще всего при достаточно высоком уровне напряжений при нелинейной деформации. В частности, влияние вида напряженного состояния на механические характеристики чугуна СЧ15-32 [1], как это следует из рис. 0.1, в наибольшей степени сказывается в области пластических деформаций. На рис. 0.1,а приведены экспериментальные зависимости между главными напряжениями и деформациями трубчатых образцов, полученные при пропорциональном нагружении осевой силой и крутящим моментом, а на рис. 0.1,6 - зависимости коэффициентов поперечной деформации от уровня осевых деформаций. Кривая 1 на рис. 0.1 соответствует одноосному растяжению,кривая 6 - одноосному сжатию, кривые 2 и 2' -- чистому кручению (2 - деформации удлинения, 2' - деформации укорочения), кривые 3, 4, 5 получены при пропорциональных нагру-жениях с отношением главных напряжений ^з/(5/ = -2; -4,9; -9,8 соответственно. Более полный и точный характер зависимости механических характеристик материала от вида напряженного состояния можно выявить, перестроив диаграммы (рис. 0.1), следуя [27], в координатах интенсивности деформаций 6/и интенсивности напряжений (э[= - девиатор тензора деформаций, 6^'-<5^(3 - девиатор тензора напряжений) . Такие диаграммы для чугуна СЧ15-32 приведены на рис. 0.2. Однако в отличие от работы [1] кривые 4, 5 соответствуют плоским напряженным состояниям контрольных образцов при |(5з|/(оу= -1,4; 0,217

27]. Данные рис. 0.2, очевидно, подтверждают наличие свойств разносопротивляемости у чугуна марки СЧ15-32. Заметим, что при построении диаграмм (рис. 0.2) деформации в третьем главном направлении не замерялись, а вычислялись достаточно грубым способом [27], который не позволяет учесть влияние вида напряженного состояния на изменение объема, несомненно имеющего место [1]. Поэтому перестроение диаграмм (рис. 0.1) в координатах (рис. 0.2) достаточно условно.

На рис. 0.3 приведены диаграммы деформирования среднеугле-родистой стали, полученные при пропорциональном нагружении трубчатых образцов осевой силой и внутренним давлением [2, 27]. Испытания проведены при температуре -150°С. Кривая 1 соответствует одноосному растяжению, кривая 2 - одноосному сжатию, кривая 3 - чистому сдвигу, кривые 4, 5 - двухосному растяжению при в/б2= 0,577; 0,667 ^>¿¿/3).

На рис. 0.4 представлены диаграммы деформирования фтороп-ласта-4 [23, 25, 27]. Испытания проводились при пропорциональных нагружениях. Кривая 1 получена при одноосном сжатии, кривая 5 -при одноосном растяжении. Кривые 2, 3, 4 соответствуют плоским напряженным состояниям с соотношениями средних напряжений к интенсивности напряжений -0,2; -0,01; 0,17. Диаграммы 1-5 строились в предположении несжимаемости материала, хотя даже при малом уровне напряжений наблюдалось изменение объема до 0,5 %, а при больших деформациях - вплоть до 20 - 25 %. Характер зависимости диаграмм от вида напряженного состояния для фторопласта такой же, как для чугуна (рис. 0.1, 0.2) и среднеуглеро-дистой стали при низких температурах (рис. 0.3). Однако линейный участок диаграмм фторопласта заметно меньше.

Другая группа экспериментальных данных для разносопротивляа) <5/)1<5ъ1, ИПа т

320

60

1£—»з --5 4

В) У

0,2

6 е*>. %

О 0,8 2,4 ^

0,6 /,б

Рис. 0.1. Диаграммы деформирования чугуна СЧ 15-32 МПа Ш

200

ШГ1

О' /

Рис. 0.2

С, /о ш оо т у уЪ /

---!Г~

С37, М/Ь /¿>3 у

0 5/0/5 20

Рис. 0.4. Диаграммы деформирования фторопласта - 4

- и ющихся материалов характерна тем, что диаграммы деформирования обладают сравнительно слабой нелинейностью и допускают в определенных пределах линейную аппроксимацию. Типичными представителями этой группы материалов являются конструкционные графиты ВПП и АРВ.

На рис. 0.5,а представлены диаграммы деформирования трубчатых образцов графита ВПП, а на рис. 0.5,6 - графита АРВ [9 -12]. Заметим, что для графитов ВПП, АРВ начальный линейный участок практически отсутствует и расхождение диаграмм наблюдается при весьма низких напряжениях, причем коэффициенты поперечной деформации для обеих марок графита сохраняют свои значения во всем диапазоне Изменения напряжений. Экспериментальные значения коэффициентов поперечной деформации и модулей упругости, определенные при уровне продольных деформаций 0,1 % [11,12], для графита ВПП таковы: У+= 0,212, У~= 0,28, = 6600 МПа, = 8550 МПа, а для графита АРВ - 0,2, У" = 0,35, Е + = 5220 МПа, 7990 МПа. Более точного описания напряженно-деформированного состояния указанных графитов можно добиться, если модули упругости [И, 12] заменить секущими модулями (модулями деформации), вычисленными по способу наименьших квадратов во всем интервале деформирования.

Таким образом, под упругой разномодульностью следует понимать различие в значениях соответствующих модулей деформаций при линейной аппроксимации диаграмм деформирования слабо нелинейных материалов.

Ярко выраженной разносопротивляемостью обладают бетоны [16 - 20]. При этом отдельные виды бетонов имеют слабо нелинейные диаграммы деформирования, а другие бетоны при некоторых видах напряженного состояния сохраняют слабую нелинейность диаг

О)

20

5 /0

37, ИЛо У

0,2 <?,ъ

Рис. 0.5. Диаграммы деформирования конструкционных графитов при пропорциональном нагружении:

- графит ВПП; б - графит АРВ; 1 - <3>: <3>: <3^ = -1: 0: 0;

- <5: 6"з= +1: 0: 0; 3 - <3>: <3>: С53= -1: +1: 0; <32: <3з= +1: +0,325: 0; 5 - <3,: <3?: <о3 = +1: +1: О рамм, но при иных видах проявляют существенную нелинейность. К первой группе относится бетон с пределом прочности на осевое сжатие = 33, 91 МПа, данные по испытанию которого приведены в работе [17]. Ко второй группе относятся бетоны с пределами прочности на сжатие = 32,04 МПа, 28,4 МПа, 37 МПа, экспериментальные данные по деформированию которых представлены в работах [16, 18, 20] и [19] соответственно. Авторы указанных работ проводили измерения деформаций в трех главных направлениях. Для более точной оценки влияния вида напряженного состояния характеристики бетонов перестроим диаграммы деформирования [16 -20] в координатах универсальных инвариантов деформаций О , У и напряжений £Г , , где изменение объема при малых деформациях, 2-/¿¿у<5¿у/3 - октаэдрический сдвиг, (Е>-(5[^8у'/5-среднее напряжение, - октаэдрическое касательное напряжение. На рис. 0.6 кривые 1 характеризуют одноосное сжатие, кривые 2 - одноосное растяжение, кривые 3-8 построены в условиях плоского напряженного состояния при следующих соотношениях главных напряжений ((5з= 0): <5^:(Е>2= -1: -0,5; <3^- (52 = :-1; <5,: (о*=-1: 0,05; <5>: <3} = ~ 1: 0,25; <о*:<Е*=1: •'0,5; (5,: = 1: 1. На рис. 0.7 кривые 1 и 2 соответствуют одноосным сжатию и растяжению, кривые 3 - 7 - плоским напряженным состояниям (<э5= 0) при соотношениях главных напряжений: (5у: : -1: -1; <о1: = 1: 1; <э у : <5> = "°> <5<-'•(Е>£= -1:'0,103; (5*: (р]?= 1: 0,55. В работе [19] предложена оригинальная методика, разработанная в центральной лаборатории НИИЖБ под руководством А.А.Гвоздева и позволяющая достаточно надежно замерять деформации в трех главных направлениях не только при одномерных и плоских напряженных состояниях, но и при трехосном сжатии бетонных призм. На рис. 0.8 приведены диаграммы

- 14 -(о, ч\ \\ -20 2 ч

46 / г/ V) "!/ г Г 2

V \ * \ ол \ /

-0,2 -0/ 0 0,0* %02 8

Л 8)

3,5

Ш)

0^5) О

8* ^ у /// // /1 / / / • /'/• £в

• // /т

0/ 0,2 0JЪ ЦЦ

С%02) (0,05) (0,04)

Рис. 0.6. Диаграммы деформирования бетона & = 33,91 МПа при пропорциональном нагружении

-Л? /,5~ 4,0 /

5 \ ч

N к -/О / / и

V

6 \

8 0,2)

3,5 (0,0)

9 (0,6) (о,ъ)

-0,2-0/5 -0/ -6>,05 0 % М/7сг

2,005 0,О/

6>,%

Л л <' А • л »» » ^

Ч ? */ /I О

О;'

0,2 ^ ^ ^ (О,0О67) (0,МЗЗ) (0,02) (0,0267) {¿>,0ЪЪЪ)

0,3 ау Л5

Рис. 0.7. Диаграммы деформирования бетона = 32,04 МПа при пропорциональном нагружении деформирования бетона 8 = 28,4 МПа, заимствованные из работы [19] и перестроенные в осях универсальных инвариантов. Кривые 1 здесь соответствуют одноосному растяжению, кривые 2 - одноосному сжатию, кривая 3 - чистому сдвигу, кривые 4-7 построены для напряженных состояний, в которых принимались следующие соотношения главных напряжений: : б? • б"з= -1: -1-" 0; <5/: СБг'-:(5з=-1: -0,52: -0,06; 6",: <э2: (эз = -1: -1: -0,016; <5у: : <55?-: (э з = -1: -0,1: -0,1. На рис. 0.9 представлены диаграммы деформирования бетона /^"=37 МПа [19], причем кривые 1 соответствуют одноосному сжатию, а кривые 2 - 9 - двухосному и трехосному сжатию при следующих соотношениях главных напряжений: <э / •■ (32'- -1: -0,08: -0,08; <5>: (52-(э5= -1: -0,43:

-0,08; <о>: (3>: (5з=-1: -1: 0; (э/: <5г:<5"з=-1: -0,12: :-0,03; <о/.: (5>: <03 = -1: -0,03: -0,03; : <5>: (5з = -1: :-0,5: -0,07; (5^: : <5з=-1: -0,3: -0,08; <о,: (5>:(5"з = = -1: -0,15: -0,09. Звездочками на рис. 0.6 - 0.8 обозначены диаграммы, масштабная шкала которых приведена в скобках. Увеличение масштаба напряжений и деформаций выполнено в одинаковых пропорциях с тем, чтобы не потерялась корректность оценки разно-сопротивляемости.

Анализ экспериментальных данных подтверждает выводы большинства исследователей о том, что зависимость механических характеристик многих материалов от вида напряженного состояния в большей мере проявляется в нелинейной области деформирования. Естественно, что наиболее чувствительны к виду напряженного состояния характеристики пластичности, прочности и условия предельных состояний.

Из всего многообразия материалов, обладающих указанным свойством, отметим графиты, бетоны и чугун. На рис. 0.10 предео> та

X $ -25 -2Û ',0 \ 45 0,75 « * * \ и • ,и 0,5 /У

UI Av5 0,25 /

Л ж« /

25 (',25)

20 0,0)

5 (0/5)

О fa) 5

0,25) О ъ*/ У / 5

4 /¿яг

Ж у

2j6 S 5 <0,5

Ц Oû 7s) (pj O/sJ fû,û3)

У»/

Рис. 0.8. Диаграммы деформирования бетона & = 28,4 МПа при пропорциональном нагружении

-Ъ£

-30

3, то

-20

-ю о

30

У 4'* А р/

9™ <х*хх* / /А >2 * * /•> у:* гк

-0,/ -0,2 -0,Ь -0,4/

20

40

Т, та о л Л "у 4«/ / л* — 3 ■об г/ / /

0,2 0,У 0,6 0,8 ^0

0.9. Диаграммы деформирования бетона £ = 37 МПа при пропорциональном нагружении тавлены диаграммы пределов прочности для мелкозернистого графита марки МПГ-6 (сплошные линии) и среднезернистого - ВПП (штриховые линии), полученные при испытании трубчатых образцов под действием внутреннего давления и осевой силы [14]. Испытания проводились при пропорциональном нагружении. Аналогичные предельные диаграммы зависимости интенсивности напряжений от вида напряженного состояния, соответствующие пределу текучести, обнаружены при испытании чугунов различной модификации [-28]. В еще большей степени эффект разнопрочности проявляется у бетонов, общий вид предельных диаграмм которых практически не зависит от класса бетона [16 - 18, 20]. В частности, на рис. 0.11 приведены предельные диаграммы бетонов с пределом прочности на сжатие К = 30,09 МПа (сплошная кривая) и = 18,64 МПа (штриховая линия) [16], находящихся в условиях плоского напряженного состояния. Заметим, что в условиях двухосного напряженного состояния на общий предел прочности графитов оказывает влияние соотношение главных напряжений (рис. 0.10), в то время как прочность бетонов практически не зависит от этого соотношения и определяется пределом прочности на осевое растяжение (рис. 0.11).

На основе приведенных экспериментальных данных можно заключить, что вид напряженного состояния существенно влияет на связь между напряжениями и деформациями. Причем данное влияние обнаруживается даже у материалов, начальные участки диаграмм деформирования которых практически совпадают при различных видах нагру-жения.

Причины явления разносопротивляемости во многом не ясны. Для зернистых материалов это явление связывают [29] с пористостью композита так, что поры могут раскрываться при растяжении и смыкаться при сжатии. Если характер пористости, а также упругие

Ge/\n

- —• \ 1

-W -0,& -0,6 -0,4 -0,2 о 0,2 0,4

Рис. 0.10

Gi А ifi

D,S

-0,6

-0,4

0,2

0,2

-0,2

-0,4 I 0

21 1Л

-D, 6 t

-0,8

I/

4,0

-JA.

Рис. 0.11 свойства частиц наполнителя и связующего таковы, что способствуют увеличению площадки контакта частиц, то естественно ожидать, что диаграмма сжатия будет лежать выше диаграммы растяжения. У волокнистых композитов зависимость деформационных характеристик от вида напряженного состояния предположительно связывают с потерей устойчивости волокон при сжатии и натяжением при растяжении. Таким образом, причина разносопротивляемости может заключаться в наличии связей, реакция которых зависит от реализуемого в среде напряженного состояния.

Хотя до настоящего времени систематических исследований микромеханических аспектов разносопротивляемости не проводилось, за последние 30 лет был предложен ряд феноменологических моделей материалов, механические характеристики которых зависят от вида напряженного состояния. На первый взгляд, предложенные модели не только не связаны друг с другом, но и базируются на различных предположениях. Кроме того, практически все известные модели имеют существенные недостатки: различные аналитические представления для разных видов напряженного состояния или возникновение неопределенности закона упругости при некоторых из них; наличие строгих взаимообусловливающих связей между некоррелируемыми механическими константами материалов; неудовлетворительное согласование экспериментальных и рекомендуемых расчетов диаграмм деформирования конкретных материалов при некоторых видах напряженного состояния. В связи с этим возникает необходимость в анализе основ феноменологического описания разносопротивляемости.

Прикладным задачам механики разносопротивляющихся сред посвящено достаточно много работ, однако в целом анализ эффектов, вызванных учетом свойств разносопротивляемости, находится на начальных этапах. Прогресс в этом направлении заметно сдерживается существенной нелинейностью определяющих соотношений. Естественным методом решения задач рассматриваемого класса является метод итераций. Для простейших моделей реализация этого метода приводит к решению на каждом шаге линейной задачи теории упругости с кусочно-постоянными коэффициентами. Более совершенные модели не допускают подобного упрощения разрешающих уравнений. Для решения задач, базирующихся на этих моделях, необходимо развивать специальные численные методы, в полной мере использующие особенности применяемой модели.

Отметим, что существенные эффекты, возникающие в работе конструкций, связанные с явлением разносопротивляемости материалов, обнаруживаются лишь при сложном напряженно-деформированном состоянии, которое отличается от простого растяжения или сжатия. Ярким примером подобных состояний является изгиб. Так, уже в балках [30] обнаруживается несоответствие традиционных представлений фактическому распределению напряжений и деформаций. Более сложными конструкциями, с позиции теории разносопротивляющихся сред и более важными с точки зрения практического применения, являются плиты, пластины и оболочки. Интерес к исследованию подобных конструкций не случаен, так как они широко применяются в составе современных сооружений и механизмов. Кроме того, в плитах и оболочках реализуется более сложное напряженное состояние, чем в балках, а учет свойств разносопротивляемости может привести к глобальному пересмотру теории механики пластин и оболочек. Поэтому наибольшее количество прикладных исследований посвящено изучению напряженно-деформированного состояния плит, пластин и оболочек.

Отметим, что несмотря на сравнительно большое число предложенных моделей определяющих соотношений разносопротивляющихся сред, изучение эффектов, вызванных неклассическими свойствами, носят фрагментарный характер (обзор известных моделей приводится ниже). В общем случае прикладные исследования эффектов, вызванных разносопротивляемостью материалов конструкций, сдерживаются, с одной стороны, недостаточным для решения задач данного класса развитием численных методов, с другой стороны - недостаточной ориентацией известных моделей механики разносопротивляющихся сред на их дальнейшее использование в приложениях, что продемонстрировано в обзорном разделе диссертации.

В связи с изложенным целью данной работы является построение и анализ новых определяющих уравнений механики деформируемых изотропных и структурно анизотропных сред, свойства которых зависят от вида напряженного состояния в квазилинейном приближении и нелинейной постановке, а также решение на их основе с помощью специально развитых методов важной технической задачи по исследованию особенностей деформирования тонких пластин и железобетонных плит.

Для этой цели необходимо:

- выделить систему инвариантов напряженного состояния, позволяющую подходить к построению уравнений состояния структурно изотропных и анизотропных сред, деформирование которых зависит от вида напряженного состояния, без привлечения дополнительных гипотез;

- получить общие формы определяющих соотношений разносопротивляющихся сред в квазилинейном приближении и нелинейной постановке, свободные от недостатков кусочных и непотенциальных зависимостей;

- получить уравнения связи между тензорами напряжений и деформаций в общей форме для плоского напряженного состояния, а также

- 24 установить основные законы деформирования;

- указать систему простейших экспериментов для определения констант, входящих в уравнения состояния, разработать методику вычисления констант;

- оценить адекватность предлагаемых соотношений реальным состояниям конкретных материалов и показать преимущество этих соотношений перед наиболее известными моделями;

- исследовать предлагаемые зависймости с точки зрения выполнимости условия устойчивости в малом и установить возможные ограничения, накладываемые этим условием на характеристики материалов;

- построить разрешающие уравнения теории тонких пластин в геометрически линейной и нелинейной постановке с учетом свойств квазилинейной разносопротивляемости материала, его структурной изотропии и анизотропии;

- усовершенствовать пошагово-итерационную методику, применив ее для решения задач изгиба пластин с учетом геометрической и физической нелинейности рассматриваемого вида;

- решить на этой основе ряд задач теории пластин, позволяющих сопоставить результаты с аналогичными, полученными на основе других моделей;

- получить основные уравнения изгиба нетонких плит из существенно нелинейных разносопротивляющихся материалов с учетом конечной сдвиговой жесткости в поперечном направлении;

- модифицировать методику конечно-элементного анализа изгиба плит нелинейно разносопротивляющихся материалов с учетом поперечных сдвигов и деформаций в срединной плоскости;

- разработать математическую модель изгиба железобетонных плит с учетом трещин, нелинейной разносопротивляемости бетона и упругопластических свойств стальной арматуры;

- решить ряд технически важных задач по расчету изгиба железобетонных плит на различных стадиях напряженно-деформированного состояния, сравнить полученные решения с экспериментальными данными и выводами теории, разработанной в НИИЖБ.

В диссертации решена актуальная проблема обоснования расчетных схем определения напряженно-деформированных состояний элементов конструкций, выполненных из материалов, свойства которых не укладываются в рамки классической теории упругости и пластичности. В отличие от известных моделей предложенный подход прямо учитывает зависимость податливостей при упругом деформировании от системы нормированных напряжений. В целом результаты проведенных исследований можно квалифицировать как новый подход к решению малоизученных проблем механики деформированного твердого тела - моделирование состояний сред, свойства которых зависят от вида напряженного состояния, - заключающийся в методичном построении определяющих соотношений, ориентированных на применение численного анализа с развитием методов этого анализа.

Новыми научными результатами, которые выносятся на защиту, являются:

- класс инвариантов тензора напряжений, связанный с нормированными пространствами, и связь между этими инвариантами;

- разработанные и экспериментально обоснованные феноменологические теории деформирования упругих сред с неклассическими свойствами;

- основные соотношения теории упругости и теории тонких пластин, изготовленных из разносопротивляющихся изотропных, анизотропных однородных слабо нелинейных материалов и материалов, обладающих гладкой неоднородностью;

- математическая модель изгиба армированных плит с конечной сдвиговой жесткостью в поперечном направлении, учитывающая возможность образования трещин в связующем и развития пластических деформаций в армирующих волокнах;

- варианты модификаций шагово-итерационных методов решения задач изгиба пластин с учетом физической и геометрической нелинейности данного класса;

- вариант модификации метода конечных элементов с пятью степенями свободы в узле, развитые применительно к решению задач изгиба армированных плит из нелинейных разносопротивляющихся материалов;

- ряд новых эффектов напряженно-деформированного состояния пластин и плит, связанных с явлёнием разносопротивляемости их материалов.

Достоверность представленных в работе положений и выводов подтверждается получением теоретических результатов строгими математическими методами, основанными на фундаментальных положениях механики деформируемого твердого тела, хорошим соответствием полученных результатов имеющимся экспериментальным данным, сравнением расчетных данных с классическими и с результатами исследований на основе иных подходов и теорий.

Полученные в работе результы имеют важное практическое значение для построения определяющих уравнений современных конструкционных материалов, поведение которых не описывается классическими теориями, и для расчетов на их основе пластин и плит.

Рекомендации и выводы, полученные в диссертации, использованы практически при расчетах тонких пластин из слабо нелинейных структурно изотропных и анизотропных разносопротивляющихся материалов, выполненных в ГНПП "Сплав" и КБ Приборостроение (г. Тула), а также при расчетах сборных и монолитных железобетонных плит перекрытий зданий, проектируемых и возводимых предприятиями строительного комплекса Тульского региона.

Диссертационная работа состоит из пяти разделов, заключения, списка цитируемой литературы и приложений.

В первом разделе приводится наиболее полный обзор основных направлений в моделировании свойств разносопротивляемости, отмечены отдельные проблемы, связанные с расчетом пластин и оболочек разносопротивляющихся материалов.

Во втором разделе рассматриваются два варианта нормированных пространств напряжений. Первое пространство формируется в главных осях тензора напряжения, второе пространство связывается с октаэдрическими площадками. Приводится трансформация полученных пространств применительно к условиям плоского напряженного состояния, установлены взаимооднозначные связи между различными вариантами нормированных пространств напряжений. На базе предложенных нормированных пространств напряжений проводится построение определяющих соотношений структурно изотропных и анизотропных разносопротивляющихся материалов, допускающих квазилинейную аппроксимацию. При этом получен общий потенциал деформаций и потенциал деформаций общей плоской задачи, проведена оценка обобщающего характера потенциальных соотношений, которые при тех или иных ограничениях преобразуются в наиболее известные модели раз-номодульной теории упругости. Рассмотрены основные принципы определения констант потенциалов деформаций. Для анизотропных материалов, кроме общего случая, получены определяющие соотношения ортотропных и трансверсально изотропных разносопротивляющихся тел. Исследована корректность предлагаемых соотношений с точки зрения выполнимости постулата устойчивости в малом, получены законы изменения объема, формы и соотношения, связывающие фазовые характеристики. Сравнение предложенных теоретических зависимостей и наиболее известных моделей разномодульной теории упругости с результатами экспериментальных исследований позволило обосновать достоверность полученных автором определяющих соотноще--ний и их большую универсальность по сравнению с известными зависимостями.

В третьем разделе предложены две формы определяющих соотношений, описывающих состояние нелинейно разносопротивляющихся сред, справедливые в условиях простого нагружения. Эти соотношения представлены через потенциалы деформаций, введенные в нормированных пространствах. Получены законы нелинейно упругого деформирования, разработан метод определения констант потенциала с учетом выполнения постулата устойчивости в малом. Показана адекватность теоретических зависимостей реальным напряженно-деформированным состояниям ряда конструкционных материалов, деформирование которых нелинейным образом зависит от вида напряженного состояния.

В четвертом разделе для предлагаемого варианта квазилинейных соотношений разработана общая методика решения задач изгиба тонких круглых и прямоугольных пластин из структурно изотропных и ортотропных материалов. В геометрически линейной постановке задачи поперечного изгиба решены последовательными приближениями конечно-разностным методом и в тригонометрических рядах по типу способа Навье. Методика последовательных приближений рассмотрена в двух модификациях и распространена на случай неоднородных пластин. Для задачи чистого изгиба получено замкнутое аналитическое решение. Результаты расчета сравнивались с решениями, полученными на основе обобщенного закона Гука. Для решения геометрически нелинейных задач разработаны два варианта пошагово-итерационного метода.

В пятом разделе развивается численный метод решения задач изгиба .армированных плит с конечной сдвиговой жесткостью в поперечном направлении. Расчетная модель строилась в форме гибридных конечных элементов, модифицированных с учетом пяти степеней свободы в узле. На основе численных экспериментов показана адекватность предложенной конечно элементной модификации и ее сходимость. На основе данной модификации конечных элементов построена математическая модель изгиба железобетонных плит на всех стадиях деформирования с учетом образования трещин в бетоне и пластических свойств арматуры. Бетон при этом рассматривался как физически нелинейный разносопротивляющийся упругий материал, для которого применимы предложенные потенциальные соотношения. Известно, что ■бетон в процессе длительной эксплуатации проявляет свойства ползучести. Ползучесть бетона в данной работе не учитывалась. Однако предложенный в диссертации подход к построению определяющих соотношений разносопротивляющихся сред можно применить и при формулировке законов ползучести для подобных материалов. Разработанная модель апробирована на примере расчета конкретных железобетонных плит с учетом сравнения с экспериментами и с известными решениями.

Заключение содержит основные результаты и общие выводы, сформулированные на основе проведенных исследований. В приложениях представлен графический и табличный материал как результат выполненных расчетов.

- 30

Основные результаты работы состоят в следующем.

1. На основе анализа общей теории напряжений в точке сплошной среды выделены две взаимосвязанные системы инвариантов, количественно и качественно характеризующих напряженное состояние деформируемого тела. Показано, что параметры качественных характеристик ограничены в интервале от -1 до +1 и поэтому рассматриваются как нормированные напряжения, нормой которых являются количественные характеристики. Первая система инвариантов связана с пространством главных напряжений, а вторая - с октаэдрическими площадками и содержит фазовую характеристику напряжений. Методика нормированных напряжений распространена на случай плоского напряженного состояния.

2. В рамках методики нормированных напряжений предложен единый подход к построению определяющих соотношений разносопротивляющихся сред с различными уровнями сложности. Данный подход позволяет в одном ключе без привлечения дополнительных гипотез получить уравнения состояния различной степени точности в квазилинейной и существенно нелинейной постановке для изотропных и анизотропных материалов.

3. Предложены определяющие соотношения для изотропных и структурно анизотропных слабо нелинейных материалов и материа

- 335 лов, проявляющих существенную нелинейность при деформировании в условиях простого нагружения, и позволяющие учесть непрерывную зависимость характеристик упругости от вида напряженного состояния. Для квазилинейных изотропных сред дополнительно получены основные уравнения общей плоской задачи, которые, в определенном смысле, имеют самостоятельное значение. На всех уровнях сложности свойств разносопротивляющихся сред исследована корректность предлагаемых форм связи между тензорами напряжений и малых деформаций с точки зрения выполняемое™ постулата устойчивости в малом, и на этой основе определена область непротиворечивости основных уравнений.

4. На основе предложенных уравнений состояния проанализирован достаточно широкий круг разносопротивляющихся материалов. Показано, что данные уравнения обладают достаточной точностью аппроксимаций реальных состояний этих материалов, причем более высокой, чем многие известные модели. Показано, что предложенные соотношения достаточно универсальны и позволяют гибко подходить к описанию явления, разносопротивляемости. Кроме того, из этих соотношений при замене нормированных напряжений их предельными величинами как частный случай вытекает ряд наиболее известных моделей. Установлено, что полученные уравнения состояния учитывают дилатацию как в квазилинейной, так и в нелинейной постановке.

5. Построены разрешающие уравнения однородных тонких пластин Кирхгофа, выполненных как из изотропных, так и из анизотропных слабо нелинейных материалов, свойства которых описываются предложенными соотношениями. Для изотропных пластин разрешающие уравнения распространены на случай неоднородных материалов. Рассмотрены варианты малых прогибов и нелинейного изгиба пластин типа Кармана.

6. На основе полученных уравнений выполнены постановка и решение ряда конкретных задач расчета тонких пластин с учетом разносопротивляемости. Установлено, что для разномодульных материалов изгиб пластин неразделим с задачей плоского напряженного состояния не только в геометрически нелинейной постановке, но и в линейной. При этом общая задача изгиба была сформулирована без привлечения дополнительных грубых гипотез. Исследованы особенности напряженно-деформированного состояния тонких пластин с учетом разносопротивляемости и характерные отличия от классических решений и решений, полученных на основе ряда известных моделей разномодульной теории упругости.

7. В рамках рассмотренных уравнений найдены новые решения модельных задач теории тонких пластин, позволяющие выявить характерные особенности и степень влияния усложненных свойств среды на количественные характеристики напряженно-деформированного состояния. Кроме того, обнаружен ряд качественных отличий от традиционных представлений классической теории упругости.

8. Большинство задач теории разномодульных пластин решено численными методами, а в отдельных случаях решения представлены в двойных тригонометрических рядах или в замкнутом аналитическом виде. Для предлагаемого варианта теории деформирования при решении геометрически нелинейных задач разработаны две модификации пошагово-итерационного метода в сочетании с традиционными способами повышения точности.

9. Проведены постановка и решение задач изгиба армированных плит, обладающих конечной сдвиговой жесткостью в поперечном направлении и нелинейной разносопротивляемостью основного материала. При этом учтены образование и развитие трещин в основном

- 337 материале плит и возникновение пластических деформаций в армирующих волокнах. Вопрос учета ползучести оставлен открытым. Для решения задач данного класса предложена модифицированная форма метода гибридных конечных элементов с пятью степенями свободы в узле, которая обладает необходимой точностью и быстро сходится.

10. Разработанная математическая модель армированных плит апробирована при расчете изгиба железобетонных плит. На примерах сравнения с экспериментальными данными по деформированию железобетонных плит и с расчетными характеристиками их состояний по теории Н.И.Карпенко [192] показана высокая точность предложенной конечно-элементной модели на всех стадиях вплоть до разрушения.

И. При решении конкретных задач изгиба железобетонных плит на основе разработанной модели подтверждено наличие известных фактов и обнаружены новые качественные эффекты деформирования, связанные с пластической работой арматуры и развитием трещин в бетоне.

- 333 -ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Известные экспериментальные данные свидетельствуют о том, что деформационные свойства, а также характеристики пластичности, прочности и ползучести многих материалов зависят от вида напряженного состояния. Установлено, что все разновидности известных разносопротивляющихся материалов можно условно разделить на три группы. В первую группу входят материалы, для которых зависимость деформационных характеристик от вида напряженного состояния проявляется при достаточно высоком уровне напряжений в области нелинейного деформирования (чугун, стали в определенных условиях, фторопласт). Ко второй группе относятся слабо нелинейные разносопротивляющиеся материалы, допускающие квазилинейную аппроксимацию диаграмм деформирования (графиты ВПП, АРВ и некоторые бетоны). Третья группа занимает промежуточное положение между первыми двумя, когда при отдельных видах напряженного состояния материал ведет себя как слабо нелинейный, а при других проявляет существенную нелинейность (широкий класс бетонов).

Анализ прикладных исследований указывает на то, что исследование эффектов, вызванных разносопротивляемостью, сдерживается существенными недостатками известных моделей механики разносопротивляющихся сред и уровнем развития численных методов. Известные определяющие соотношения либо не учитывают важные особенности деформирования разносопротивляющихся сред либо вносят некорректные ограничения на характеристики материалов и проявляют особенности, нарушающие строгость этих соотношений, или вообще приводят к противоречивым выводам. Решение задач нелинейной теории механики сплошных сред, в том числе и теории деформирования

- 334 разносопротивляющихся тел, требует более глубокого развития и усовершенствования известных вариантов универсальных численных методов.

Полученные результаты указывают на то, что удовлетворительной основой исследования эффекта разносопротивляемости могут быть предложенные в данной работе тензорно-нелинейные определяющие соотношения и специально ориентированные на их использование универсальные методы решения задач.

1. Леонов М.Я., Паняев В.А., Русинко К.Н. Зависимости между деформациями и напряжениями для полухрупких тел // Инж. журнал МТТ. - 1967. - N 6. - С. 26 - 32.

2. Писаренко Г.С., Лебедев А.А., Ломашевский В.П. Экспериментальное исследование закономерностей деформирования углеродистой стали в условиях сложного напряженного состояния при низких температурах // Проблемы прочности. 1968. - N 5. - С. 42 -47.

3. Писаренко Г.С., Лебедев А.А. Деформирование и прочность материалов при сложном напряженном состоянии. Киев: Наукова думка, 1976. - 416 с.

4. Кузнецов В.П., Стеценко В.А. Результаты испытаний трубчатых образцов серого чугуна на растяжение и сжатие // Технология машиностроения. Тула: ТПИ, 1970,- Вып.20. - С. 43 - 45.

5. Стеценко В.А. Механические характеристики серого чугуна при растяжении и сжатии // Исследование по механике деформируемых сред. Тула: ТПИ, 1972. - С. 103 - 109.

6. Jarnroz L. Mechanizne I Wytzymalosciowe Wlasnosci Zellwa Sferoidalnegon // Prace Instytutu Odlewnictwa. 1971. - Rok. 21. - N 3. - Str. 283 - 302.

7. Jones R.M., Nelson D.A.R. Theoretical-experimental correlation of material models for non-linear deformation of graphite // AIAA Journal. 1976. - Vol. 14 - N 10. - P. 1427 -- 1435.

8. Jones R.M. Modeling Nonlinear Deformation of Carbon-Carbon Composite Materials // AIAA Journal. 1980.- 339

9. Vol. 18. N 8. - P. 995 - 1001.

10. Некоторые особенности методик исследования прочности свойств графитов при плоском напряженном состоянии / А.М.Фридман, В.Н.Барабанов, Ю.П.Ануфриев, В.И. Строков // Заводская лаборатория. 1972. - N 9. - С. 1137 - 1140.

11. Строков В.И., Барабанов В.Н. Методика исследования прочностных и деформационных свойств графита в условиях сложного напряженного состояния // Заводская лаборатория. 1974. - N 9. - С. 1141 - 1144.

12. И. Березин A.B., Строков В.И., Барабанов В.Н. Деформируемость и разрушение изотропных графитовых материалов // Конструкционные материалы на основе углерода. М.: Металлургия, 1976. -Вып. И. - С. 102 - 110.

13. Сопротивление деформированию и разрушению изотропных графитовых материалов в условиях сложного напряженного состояния / A.B. Березин, Е.В. Ломакин, В.И. Строков, В.Н.Барабанов // Проблемы прочности. 1979. - N 2. - С. 60 - 65.

14. Jones R.M., Nelson D.A.R. Further Characteristics of a Nonlinear Material Model for ATJ-S Graphite // Jounal Composit Materials. 1975. - Vol. 9. - N 7. - P. 251 - 265.

15. Фридман A.M., Ануфриев Ю.П., Барабанов В.Н. Исследование разрушения углеграфитовых материалов в условиях сложного напряженного состояния // Проблемы прочности. 1973. - N 1. -С. 52 - 55.

16. Романов В.В. Исследование зависимости модуля упругости шлакокамнелитого материала от вида нагружения // Физико-химические исследования по технологии стекла и ситалов. М.: Наука, 1984. - С. 78 - 81.

17. Kupfer H.B., Hilsdorf H.K., Rusch H. Behavior of- 340

18. Cancrete Under Biaxial Stresses // ACI Journal. Vol. 66. -1969. - N 8. - P. 656 - 666.

19. Tasuji M.E., Slate F.O., Nilson A.H. Stress-Strain Response and Fracture of Concrete in Biaxial Loading // ACI Journal. 1979. - N 7. - P. 806 - 812.

20. Kupfer H.B. Das nicht linear Verhalten des Betons bei Zweiachsinger Beanspruchung //Beton und Stahlbetonbau. - 1973. - N 11. - P. 269 - 274.

21. Касимов Р.Г. Прочность и деформативность бетона при трехосном сжатии.: Дис. . канд. техн. наук / НИИЖБ. М., 1976. - 180 с.

22. Bazant Z.P., Bhat P.D. Endochronic Theory of Inelasticity and Failure of Concrete // Journal of the Engineering Mechanics Division, ASCE. 1976. - Vol. 102. -N EM4. - C. 701 - 722.

23. Деревянко Н.И. Свойства армированного полистирола при кратковременном растяжении, сжатии и изгибе // Механика полимеров. 1968. - N 6. - С. 1059 - 1064.

24. Калинка Ю.А., Боровикова С.М. Исследование физико-механических свойств хаотически наполненных стеклопластиков // Механика полимеров. 1971. - N 3. - С. 411 - 415.

25. Гольдман А.Я., Савельев Н.Ф., Смирнова В.И. Исследование механических свойств тканевых стеклопластиков при растяжении и сжатии нормально к плоскости армирования // Механика полимеров. 1968. - N 5. - С. 803 - 809.

26. Елсуфьев С.А. Исследование деформирования фторопласта-4 при линейном и плоском напряженном состояниях // Механика полимеров. 1968. - N 4. - С. 742 - 746.

27. Елсуфьев С.А., Чебанов В.М. Изучение деформирования- 341 фторопласта в условиях плоского напряженного состояния // Исследования по упругости и пластичности. Л.: ЛГУ, 1971. - Вып. 8.-С. 209 - 213.

28. Schwartz R.T., Schwartz H.S. Characteristics of Boron Fibers and Boron Fiber - Reinforced Plastic Composites // AIAA Journal. - 1967. - Vol. 5. - N 2. - P. 119 - 126.

29. Ломакин E.B. Нелинейная деформация материалов, сопротивление которых зависит от вида напряженного состояния // Изв. АН СССР. МТТ. 1980. - N 4. - С. 92 - 99.

30. Янг Ю.М., Чаплинский И.В. О сопротивлении металлов пластическому деформированию // Доклады АН СССР. 1953. -Т. 90. -Мб. - С. 1023 - 1026.

31. Ломакин Е.В. Определяющие соотношения механики разномо-дульных тел. М., 1980. - 64 с. (Препринт ин-т пробл. механики АН СССР; - N 159).

32. Тимошенко С.П. Сопротивление материалов. М. -Л.: Гостехтеориздат, 1946. - 456 с.

33. Амбарцумян С.А. Разномодульная теория упругости. М.: Наука, 1982. - 320 с.

34. Амбарцумян С.А., Хачатрян A.A. Основные уравнения теории упругости для материалов, разносопротивляющихся растяжению и сжатию // Инж. журнал МТТ. 1966. - N 2. - С. 44-53.

35. Амбарцумян С.А., Хачатрян A.A. К разномодульной теории упругости // Инж. журнал МТТ. 1966. - N 6. - С. 64-67.

36. Амбарцумян С.А. Уравнения теории температурных напряжений разномодульных материалов // Инж. журнал МТТ. 1968. -N5. - С. 58 - 69.

37. Амбарцумян С.А. Осесимметричная задача круговой цилиндрической оболочки, изготовленной из материала, разносопротивляю- 342 щегося растяжению и сжатию // Изв. АН СССР. Механика. 1965. -N4. - С. 77 - 85.

38. Саркисян М.С. К теории упругости изотропных тел, материал которых по-разному сопротивляется растяжению и сжатию // Изв. АН СССР. МТТ. 1971. - N 5. - С. 99 - 108.

39. Мкртчан P.E. Об одной модели материала, разносопротив-ляющегося деформациям растяжения и сжатия // Изв. АН Арм. ССР. Механика. 1970. - Т. 23. - N 5. - С. 37 - 47.

40. Мкртчан P.E. О соотношениях плоской задачи изотропного материала, разносопротивляющегося деформациям растяжения и сжатия // Изв. АН Арм. ССР. Механика. 1983. - Т. 36. - N 2. -С. 26 - 36.

41. Мкртчан P.E. Большие упругие деформации несжимаемого материала, разносопротивляющегося деформациям растяжения и сжатия // Изв. АН Арм. ССР. Механика. 1972. - Т. 25. - N 1. -С. 28 - 41.

42. Green А.Е., Mkrtichian J.Z. Elastic Solids with Different Moduli in Tension and Compression // Journal of Elasticity. 1977. - Vol. 7. - N 4. - P. 369 - 368.

43. Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М.: Мир, 1965. - 456 с.

44. Tabaddor F. Constitutive Equations for Bimodulus Elastic Materials // AIAA Journal. 1972. - Vol. 10. - N 4. -P. 516 - 518.

45. Пахомов Б.М. Модель деформирования изотропных разносопротивляющихся материалов // Изв. вузов. Машиностроение. 1987.-N9. - С. 3-6.

46. Бригадиров Г.В., Матченко Н.М. Вариант построения основных соотношений разномодульной теории упругости // Изв. АН- 343

47. СССР. МТТ. 1971. - N 5. - С. 109 - 111.

48. Авхимков А.П., Власов Б.Ф. О плоской задаче теории упругости для разномодульного тела // Доклады 8-й научно-техничес-кой конференции инженерного факультета Ун-та дружбы народов им. Патриса Лумумбы. М. - 1972. - С. 34 - 36.

49. Авхимков А.П. О плоской задаче разномодульной теории упругости // Доклады 9-й научно-технической конференции инженерного факультета Университета дружбы народов им. Патриса Лумумбы. М. - 1974. - С. 39 - 43.

50. Матченко Н. М., Шерешевский Л. А. ЛегнауН. А. Вариант построения уравнений разномодульной теории упругости / ТулПИ. -Тула, 1981. 7 с. - Деп. в ВИНИТИ 20.05.81, N 2352-81.

51. Jones R.M. Stress-Strain Relations for Materials with Different Moduli in Tension and Compression // AIAA Journal. -1977. Vol. 15. - N 1. - P. 16 - 25.

52. Bert C.W., Gordaninejad F. Deflection of Thick Beams of Multimodular Materials // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1984. - Vol. 20. - P. 479 - 503.

53. Ахметов A.K. Распространение волн в полубесконечном разномодульном стержне // Вестник АН Каз. ССР. Алма-Ата, 1975. - 10 с. - деп. в ВИНИТИ 26.11.75, N 3477-75.

54. Петров В.В., Макеев А.Ф., Овчинников И.Г. Изгиб прямоугольных пластин из нелинейно-упругого разносопротивляющегося растяжению и сжатию материала // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1980. - N 8. - С. 42 - 47.

55. Макеев А.Ф., Овчинников И.Г. Изгиб пластинки из нели-нейно-упругого материала, разносопротивляющегося растяжению и сжатию // Прикладная теория упругости. Саратов: СПИ, 1979. -Вып. 2. - С. 115 - 122.- 344

56. Макеев А.Ф. Об изгибе пластинки из разносопротивляюще-гося нелинейно-упругого материала // Строительная механика пространственных конструкций. Саратов:. СПИ, 1980. - с. 79 - 86.

57. Макеев А.Ф. К расчету пластинок из нелинейно-упругого материала, разносопротивляющегося растяжению и сжатию // Механика деформируемых сред. Саратов: СГУ, 1979. - С. 50 - 57.

58. Макеев А.Ф., Овчинников И.Г. Исследование влияния раз-носопротивляемости нелинейно-упругого материала на напряженно-деформированное состояние цилиндрической оболочки // Проблемы прочности. 1982. - N 6. - С. 55 - 60.

59. Гордеев Ю.С., Овчинников И.Г. Об аппроксимации диаграмм деформирования нелинейных разномодульных композитных материалов/ СПИ. Саратов, 1982. - 15 с. - Деп. в ВИНИТИ 04.08.82,1. N 4279-82.

60. Гордеев Ю.С., Овчинников И.Г., Макеев А.Ф. Методика определения параметров кривых деформирования нелинейных разномодульных материалов / СПИ. Саратов, 1983. - 61 с. - Деп. в ВИНИТИ 29.12.83, N 447-84.

61. Ельчанинов П.Н., Климов М.И. Расчет круглых плит с учетом нелинейной разномодульности материала // Расчет строительных конструкций с учетом физической нелинейности материала на статические и динамические нагрузки. Л.: ЛИСИ, 1984. - С. 42 - 47.

62. Ельчанинов П.Н., Климов М.И. К расчету цилиндров из нелинейного разномодульного материала методом переменных парамет- 345 ров упругости // Прочность, устойчивость и колебания строительных конструкций. Л.: ЛИСИ, 1987. - С. 65 - 69.

63. Ельчанинов П.Н., Климов М.И., Альбакасов А.И. О решении некоторых задач строительной механики с учетом нелинейной разно-модульности материала // 2-я Всесоюзная конференция по нелинейной теории упругости: Тез. докл. Фрунзе: ИЛИМ, 1985. - С. 45 -46.

64. Стеценко В.А. О выборе потенциала серого чугуна // Технология машиностроения. Тула: ТПИ, 1973. - Вып. 28. - С. 128 -133.

65. Шапиро Г.С. О деформациях тел, обладающих различным сопротивлением растяжению и сжатию // Инж. журнал МТТ. 1966. -N2. - С. 123 - 125.

66. Каудерер Г. Нелинейная механика. М.: Изд-во иностр. литературы, 1961. - 779 с.

67. Макеев А.Ф., Овчинников И.Г. Петров В.В. Об изгибе прямоугольных пластинок из разносопротивляющегося деформированию и разрушению при растяжении и сжатии нелинейно-упругого материала/ СПИ. Саратов, 1982. - 20 с. - Деп. в ВИНИТИ 16.03.82, N 1280-82.

68. Пономарев Б.В. Изгиб прямоугольных пластин из нелиней-но-упругих материалов, неодинаково работающих на растяжение и сжатие // Прикладная механика. 1968. - Т. 4. - Вып. 2. -С. 20 - 27.

69. Пономарев Б.В. Средний изгиб прямоугольных пластин из материалов, не следующих закону Гука // Сборник трудов МИСИ. -М. 1967. - N 54. - С. 75 - 82.

70. Jones R.M., Nelson D.A.R. Material for nonlinear Deformation // AIAA Journal. 1976. - Vol. 14. - N 6. - P. 709

71. Амбарцумян С.А. Основные уравнения и соотношения разно-модульной теории упругости анизотропного тела // Изв. АН СССР. МТТ. N 3. - С. 51 - 61.

72. Мкртчан Р.Е. Закон упругости для слоистого материала, разносопротивляющегося деформациям растяжения и сжатия // Механика полимеров. 1978. - N 2. - с. 199 - 203.

73. Jones R.M. Buckling of Stiffened Multilayered Circular Shells wlht Different Ortotropic Moduli in Tensione and Compression // AIAA Journal. 1971. - Vol.9. - N 5. - P. 917 -923.

74. Исабекян Н.Г. Некоторые задачи безмоментной теории оболочек, изготовленных из анизотропного разномодульного материала // ИЗВ. АН СССР. МТТ. 1970. - N 3. - С. 22 - 31.

75. Исабекян Н.Г., Хачатрян А.А. К разномодульной теории упругости анизотропного тела при плоском напряженном состоянии //Изв. АН Арм. ССР. Механика. 1969. - Т. 22, N 5. - С.25 - 34.

76. Jones R.M. A Nonsystemmetric Compliance Matrix Approach to Notlinear Multimodulus Ortotropic Materials // AIAA Journal.- 1977. Vol. 15. - N 10. - P. 1436 - 1443.

77. Reddy L.N., Bert C.W. On the Behovior of Plates Laminated of Bimodulis Composite Materials // ZAMM. 1982. -Vol. 62. - N 6. - P. 213 - 219.

78. Ramana Murthy P.v., Rao K.P. Finite Element Analysis of Laminated Anisotropic Beams of Bimodulus Materials // Computers and structures. 1984. - Vol. 18. - N 5. - P. 779 - 787.

79. Schmueser D.W. Nonlinear Stress-Strain and Strength Respanse of Axisymmetric Bimodulus Composite Material Shells // AIAA Journal. 1983. - Vol. 21. - N 12. - P. 1742 - 1747.- 347

80. Bert C.W., ReddyJ.N., Sudhakar Reddy V., Chao W. C. Bending of Thick Rectanqular Plates Laminated of Bimodulus Composite Materials // AIAA Journal. 1981. - Vol. 19. - N 10. - P. 1342 - 1349.

81. Bert C.W. Models for Fibrous Composite with Différent Properties in Tension and Compression // Transaction of the ASME. 1977. - Vol. 99 H. - Ser. D. - N 4. - P. 344 - 349.

82. Новожилов В.В. Теория упругости. Л.: Судпромгиз, 1958. - 370 с.

83. Матченко Н.М., Толоконников Л.А. О связи между напряжениями и деформациями в разномодульных изотропных средах // Инж. журнал МТТ. 1968. - N 6. - С. 108 - 110.

84. Толоконников Л.А. Вариант разномодульной теории упругости // Механика полимеров. 1969. - N 2. - С. 363 - 365.

85. Толоконников Л.А. Обобщение закона упругости // Технология машиностроения. Тула: ТПИ, 1970. - Вып. 20. - С. 148 -156.

86. Толоконников Л.А. Вариант соотношений разномодульной теории упругости // Прочность и пластичность. М.: Наука, 1971. - С. 102 - 104.

87. Матченко Н.М., Толоконников Л.А. О нелинейных соотношениях разномодульной теории упругости // Сборник работ по теории упругости. Тула: ТПИ, 1968. - С. 69 - 72.

88. Цвелодуб И.Ю. К разномодульной теории упругости изотропных материалов // Динамика сплошной среды. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР, 1977. - Вып. 32. - С. 123 - 131.

89. Туровцев Г.В. О построении определяющих уравнений для изотропных упругих тел с усложненными свойствами // Динамика сплошной среды. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР, 1981. - Вып. 53. - С. 132 - 143.

90. Тамуров Н.Г., Туровцев Г.В. Основные уравнения теории разномодульных оболочек // Прочность и надежность технических устройств. Киев: Наукова думка, 1981. -С. 68-75.

91. Тамуров Н.Г., Туровцев Г.В. Закон упругости для изотропного материала с различными характеристиками при растяжении и сжатии // Динамика и прочность тяжелых машин. Днепропетровск: ДГУ, 1983. - С. 76 - 80.

92. Толоконников Л.А., Киреева Г.Б. О выборе аналитического выражения потенциала напряжений // Прикладная механика. 1971. - Т. 7. - N 4. - С. 118 - 121.

93. Ломакин Е.В., Работнов Ю.Н. Соотношения теории упругости для изотропного разномодульного тела // Изв. АН СССР. МТТ. -1978. N 6. - С. 29 - 34.

94. Ломакин Е.В. О единственности решения задач теории упругости для изотропного разномодульного тела // Изв. АН СССР. МТТ. 1979. - N 2. - С. 42 - 45.- 349

95. Ломакин E.B. Разномодульность композитных материалов // Механика композитных материалов. -1981. -N1. -С. 23-29.

96. Ломакин Е.В. Соотношения теории упругости для анизотропного тела, деформационные характеристики которых зависят от вида напряженного состояния // Изв. АН СССР. МТТ. 1983. - N 3. -С. 63 - 69.

97. Гаврилов Д.А. Определяющие уравнения для нелинейных тел неодинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию // Доклады АН УССР. Серия А. Физико-математические и технические науки. 1980. - N 3. - С. 37 - 41.

98. Гаврилов Д.А. Зависимости между напряжениями и деформациями для квазилинейного разномодульного тела // Проблемы прочности. 1979. - N 9. - С. 10 - 12.

99. Панферов В.М. Теория упругости и деформационная теория пластичности для тел с различными свойствами на сжатие, растяжение и кручение // Доклады АН СССР. 1968. - Т. 180. - N 1. -С. 41 - 44.

100. Панферов В.М. О нелинейной теории упругости огнеупорных материалов // Избранные вопросы современной механики. М.: Наука, 1982. - Ч. 2. - С. 96 - 106.

101. Ломакин Е.В., Гаспарян Г.О. Поперечный изгиб разномо-дульных пластин // Механика композитных материалов. 1984. -N 1. - С. 67 -73.

102. Березин A.B. Влияние повреждений на деформационные и прочностные характеристики твердых тел,- М.: Наука,1990,- 135 с.

103. Золочевский A.A. К тензорной связи в теориях упругости и пластичности анизотропных композитных материалов, разносопро-тивляющихся растяжению и сжатию // Механика композитных материалов. 1985. - N 1. - С. 53 - 58.- 350

104. Золочевский A.A. Напряженно-деформированное состояние в анизотропных оболочках из разномодульных композитных материалов // Механика композитных материалов. 1986. - N 1. - С. 166 - 168.

105. Золочевский A.A. Определяющие уравнения и некоторые задачи разномодульной теории упругости анизотропных материалов // ПМТФ. 1985. - N 4. - С. 131 - 138.

106. Золочевский A.A. К теории пластичности материалов различно сопротивляющихся растяжению и сжатию // Изв. вузов. Машиностроение. 1986. - N 6. - С. 13 - 16.

107. Золочевский A.A. О соотношениях теории упругости анизотропных разномодульных материалов // Динамика и прочность машин. Харьков: Вища школа. - 1981. - Вып. 34. - С. 3-8.

108. Золочевский A.A. Соотношения разномодульной теории упругости анизотропных материалов на основе трех смешанных инвариантов // Динамика и прочность машин. Харьков: Вища школа, 1987. - Вып. 46. - С. 85 - 89.

109. Золочевский A.A. Численные расчеты анизотропных оболочек из разномодульных композитных материалов // Динамика и прочность машин. Харьков: Вища школа, 1986. - Вып. 44. - С. И -17.

110. Золочевский A.A., Морачковский O.K. Направления развития моделей и методов расчета нелинейного деформирования тел и элементов машиностроительных конструкций // Динамика и прочность машин. Харьков: Вища школа, 1989. - Вып. 50. - С. 3-9.

111. Золочевский A.A., Склепус С.Н. К теории пластичности с тремя инвариантами напряженного состояния // Изв. вузов. Машиностроение, 1987. N 5. - С. 7 - 10.

112. ИЗ. Золочевский A.A. Расчет составных анизотропных оболо- 351 чек, выполненных из разномодульных материалов // Динамика и прочность тяжелых машин. Днепропетровск: ДГУ, 1987. - С. 115 -120.

113. Золочевский A.A., Кузнецов В.Н. Расчет анизотропных оболочек из разномодульных материалов при неосесимметричном наг-ружении // Динамика и прочность тяжелых машин. Днепропетровск: ДГУ, 1989. - С. 84 - 92.

114. Трещев A.A., Матченко Н.М. О соотношениях теории упругости для изотропного разномодульного тела / ТПИ. Тула, 1982.-4 с. - Деп. в ВИНИТИ 27.04.82, N 2056-82.

115. Аркания 3.В. О связи между напряжениями и деформациями в разномодульных анизотропных средах // Механика сплошных сред. -Тбилиси: ГПИ, 1984. N 9. - С. 86 - 87.

116. Мясников В.П., Ляховский В.А., Подладчиков Ю.Ю. Нелокальная модель разномодульного вязкоупругого тела // Доклады АН СССР. 1990. - Т. 312. - N 2. - С. 302 - 305.

117. Мясников В.П., Олейников А.И. Деформационная модель идеально сыпучей зернистой среды // Доклады АН СССР. 1991. -Т. 316. - N 3. - С. 565 - 568.

118. Мясников В.П., Олейников А.И. Основные общие соотношения модели изотропно-упругой разносопротивляющейся среды // Доклады АН СССР. 1992. - Т. 322. - N 1. - С. 57 - 60.

119. Свекло В.А., Чернышов O.A. Соотношения нелинейной теории упругости для сред, чувствительных к виду напряженного состояния // 2-я Всесоюзная конференция по нелинейной теории упругости: Тез. докл. Фрунзе: ИЛИМ, 1985. - С. 30-31.

120. Вялов С.С. Вопросы теории деформируемости связанных грунтов // Основания, фундаменты и механика грунтов. 1966. -N 3. - С. 1-4.- 352 ''

121. Вялов С.С. Реологические основы механики грунтов. -М.: Высшая школа, 1978. 447 с.

122. Быков Д.Л. Основные уравнения и теоремы для одной модели физически нелинейной среды // Инж. журнал МТТ. 1966. -N4. - С. 58 - 64.

123. Быков Д.Л. О некоторых соотношениях между инвариантами напряжений и деформаций в физически нелинейных средах // Упругость и неупругость. М. : МГУ, 1971. - Вып. 2. - С. 114 - 128.

124. Ставрогин А.Н., Протосеня А.Г. Пластичность горных пород. М. : Недра, 1979. - 301 с.

125. Козачевский А.И. Модификация деформационной теории пластичности бетона и плоское напряженное состояние железобетона с трещинами // Строительная механика и расчет сооружений. 1983. N 4. - С. 12 - 16.

126. Агахи К.А., Кузнецов В.Н. К теории пластичности материалов, учитывающей влияние гидростатического давления // Упру^ гость и неупругость. М.: МГУ, 1978. - Вып. 5. - С. 46 - 52.

127. Кудашов В.И., Устинов В.П. Расчет пространственных железобетонных конструкций с учетом физической нелинейности и тре-щинообразования // Строительная механика и расчет сооружений. -1981. N 4. - с. 6 - 10.

128. Кязимова P.A. О выборе аналитического потенциала напряжений // Технология машиностроения. Тула: ТПИ, 1973. - Вып. 28. - С. 80 - 83.

129. Бертяев В.Д., Толоконников Л.А. Вариант построения теории упругости разносопротивляющихся тел // Механика и прикладная математика. Тула: Приокс. кн. изд-во, 1989. - С. 4-7.

130. Новожилов В.В. О пластическом разрыхлении // Прикладная математика и механика. 1965. - Т. 29. - Вып. 4. - С. 681

131. Малинин H.H., Батанова O.A. Теория пластичности материалов, различно сопротивляющихся растяжению и сжатию // Изв. вузов. Машиностроение. 1979. - N 12. - С. 9 - 14.

132. Ковальчук Б.И. О деформировании полухрупких тел // Проблемы прочности. 1982. - N 9. - С. 51-57.

133. Салиев А.Б. О методах определения деформаций и напряжений в полухрупком диске // 2-я Всесоюзная конференция по нелинейности теории упругости: Тез. докл. Фрунзе: ИЛИМ, 1985. -С. 67 - 68.

134. Солодовская В.Г. МКЭ при реализации задачи деформирования полухрупкого тела за предел упругости // 2-я Всесоюзная конференция по нелинейной теории упругости: Тез. докл. Фрунзе: ИЛИМ, 1985. - С. 178 - 179.

135. Леонов М.Я., Русинко К.Н. О механизме деформаций полухрупкого тела // Пластичность и хрупкость. Фрунзе: ИЛИМ, 1967. - С. 86 - 102.

136. Зиборов Л.А., Логунов В.М., Матченко Н.М. Вариант соотношений деформационной теории пластичности полухрупких тел // Механика деформируемого твердого тела. ТулПИ, 1983. - С. 101 -106.

137. Кузнецов С.А., Матченко Н.М. Дилатационные зависимости для полухрупких разномодульных материалов / ТулПИ. Тула, 1989. -8с.- Деп. в ВИНИТИ 20.11.89, N 7051-В89.

138. Кузнецов С.А., Матченко Н.М. Потенциальные уравнения состояния нелинейно-упругого изотропного материала / ТулПИ. -Тула, 1989. 14 с. - Деп. в ВИНИТИ 20.11.89, N 7050-В89.

139. Кадашевич Ю.И., Помыткин С.П. Учет фазы подобия девиа-торов в теории ползучести // Изв. АН СССР. МТТ. 1992. - N 5.1. С. 129 133.

140. Амбарцумян С.А. Об одной модели наследственно-упругого тела, разносопротивляющегося растяжению и сжатию // ПММ. -1971. Т. 35. - Вып. 1. - С. 49 - 60.

141. Соснин 0.В. О ползучести материалов с разными характеристиками на растяжение и сжатие // ПМТФ. -1970. -N5.1. С. 136 139.

142. О ползучести упрочняющихся материалов с разными свойствами на растяжение и сжатие / А.Ф. Никитенко, О.В. Соснин, Н.Г.Торшнов, И.К.Шоколо //ПМТФ. 1971. - N 2. - С. 118 - 122.

143. Работнов Ю. Н., Паперник J1. X., Степанычев Е.И. Описание ползучести композиционных материалов при растяжении и сжатии // Механика полимеров. 1973. - N 5. - С. 779 - 785.

144. Гордеев Б.В., Рубанов В.В., Соснин О.В. О построении уравнений ползучести для материалов с разными свойствами на растяжение и сжатие // ПМТФ. 1979. - N 4. - С. 121 - 128.

145. Никитенко А.Ф. О влиянии третьего инварианта девиатора напряжений на ползучесть неупрочняющихся материалов // ПМТФ. -1969. N 5. - С. 102 - 103.

146. Бойков В.Н., Лазаренко Э.С. Кратковременная ползучесть материалов, неодинаково сопротивляющихся растяжению-сжатию // Изв. вузов. Машиностроение. 1976. - N И. - С. 8 - 14.

147. Бойков В.Н., Лазаренко Э.С. Кратковременная ползучесть сплава Д16Т в условиях чистого сдвига // Изв. вузов. Машиностроение. 1976. - N 10. - С. 13 - 15.

148. Розовский М.И. О деформации вязкоупругих тел, обладающих различным сопротивлением растяжению и сжатию // Изв. АН СССР. МТТ. 1975. - N 3. - С. 99 - 103.

149. Розовский М.И. Операторный метод исследования деформа- 355 ций полой сферы при разноползучести // ПММ. 1974. - Т. 38. -Вып. 1. - С. 183 - 186.

150. Долинина H.H., Розовский М.И. Изгиб пластины, изготовленной из материала, обладающего различными упруго-наследственными свойствами при растяжении и сжатии // Тр. 9-й Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. Л., 1975. - С. 20 -25.

151. Долинина H.H. Нелинейная разноползучесть сферической оболочки при разноползучести и старении // Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. Тула: ТПИ, 1985. - с. 63 - 68.

152. Горев Б.В., Рубанов В.В., Соснин О.В. О ползучести материалов с различными свойствами на растяжение и сжатие // Проблемы прочности. 1979. - N 7. - С. 62-67.

153. Туровцев Г.В. Применение принципа локального потенциала в теории установившейся ползучести // Изв. АН СССР. МТТ. 1988. N 2. - С. 101 - 106.

154. Туровцев Г.В. Принцип локального потенциала в теории установившейся ползучести сложных сред // 2-я Всесоюзная конференция "Ползучесть в конструкциях": Тез. докл. Новосибирск, 1984. - С. 87 - 88.

155. Розовский М.И., Долинина H.H. Операторы типа Ю.Н. Ра-ботнова в теории разноползучести // Механика деформируемых тел и конструкций. М.: Машиностроение, 1975. - С. 420 - 425.

156. Никитенко А.Ф., Соснин О.В. Изгиб балки из материала с разными характеристиками ползучести при растяжении и сжатии // Проблемы прочности. 1971. - N 6. - С. 67 - 70.

157. Горев Б.В., Никитенко А.Ф. К ползучести материалов с разными характеристиками на растяжение и сжатие // Динамика сплошной среды. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР,- 356 1970. Вып. 6. - С. 105 - 111.

158. Цвелодуб И.Ю. Устойчивость в малом и ее приложения к исследованию определяющих уравнений ползучести // Изв. АН СССР. МТТ. 1978. - N 2. - С. 125 - 128.

159. Никитенко А.Ф., Цвелодуб И.Ю. О ползучести анизотропных материалов с разными свойствами на растяжение и сжатие // Динамика сплошной среды. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР, 1979. - Вып. 43. - С. 69 - 78.

160. Цвелодуб И.Ю. О формах связи между тензорами напряжений и скоростей деформаций ползучести в изотропных устойчивых средах // Проблемы прочности. 1979. - N 9. - С. 27 - 30.

161. Цвелодуб И.Ю. О некоторых возможных путях построения теории установившейся ползучести сложных сред // Изв. АН СССР. МТТ. 1981. - N 2. - С. 48 - 55.

162. Малинин H.H., Хажинский Г.М. Влияние шарового тензора напряжений на ползучесть металлов // Механика деформируемых тел и конструкций. М.: Машиностроение, 1975. - С. 280 - 285.

163. Золочевский A.A. Об учете разносопротивляемости в теории ползучести изотропных и анизотропных материалов // ПМТФ. -1982. N 4. - С. 140 - 144.

164. Золочевский A.A. Об учете разносопротивляемости материалов растяжению и сжатию в задачах ползучести оболочек // Динамика и прочность машин. Харьков: Вища школа, 1980. - Вып. 32. - С. 8-13.

165. Золочевский А.А., Морачковский O.K. О разносопротивляемости и анизотропии при ползучести // Динамика и прочность машин. Харьков: Вища школа, 1984. - Вып. 39. - С. 3-9.

166. Золочевский A.A. Энергетический вариант теории ползучести и длительной прочности для материалов по-разному сопротив- 357 ляющихся растяжению и сжатию // Изв. вузов. Машиностроение, 1986. N 12. - С. 7-9.

167. Золочевскйй A.A. О влиянии вида нагружения на ползучесть изотропных упрочняющихся материалов // ПМ. 1988. - Т. 24. - N 2. - С. 94 - 101.

168. Еремичев А.Н. Определяющие уравнения материала, деформирование которого зависит от вида напряженного состояния / МВТУ им. Н.Э.Баумана. М., 1984. - 20 с. - Деп. в ВИНИТИ 21.01.84, N 2356-84.

169. Радченко В.А., Холмянский И.А. Ползучесть жаропрочных сплавов ВЖЛ-12У и ЖС6У, учет разносопротивляемости, оценка времени до разрушения / САДИ им. В,В.Куйбышева. Омск, 1986. - 17 с. - Деп. в ВИНИТИ 01.10.86, N 7496-В86.

170. Бригадиров Г.В.,Толоконников Л.А. Вариант построения разномодульной теории изгиба пластинок // Сборник работ по теории упругости. Тула: ТПИ, 1968. - С. 21 - 30.

171. Бригадиров Г.В. Большие прогибы пластин из разномо-дульного материала // Сборник работ по теории упругости. Тула: ТПИ, 1968. - С. 15 - 20.

172. Бригадиров Г.В., Логунов В.М., Толоконников Л.А. К изгибу пластин из разномодульных материалов // Технология машиностроения. Тула: ТПИ, 1969. - Вып. 14. - С. 78 - 83.

173. Бригадиров Г.В. К разномодульной теории пластин // Технология машиностроения. Тула: ТПИ, 1970. - Вып. 20. - С. 17

174. Трещев A.A. Некоторые задачи изгиба пластин из разносопротивляющихся материалов.: Дис. . канд. физ.-мат. наук/ ТулПИ. Тула, 1985. - 200 с.

175. Амбарцумян С.А. Теория симметрично нагруженных, слабо-моментных оболочек вращения, изготовленных из разномодульных материалов // Инж. журнал МТТ. 1967. - N 6. - С. 33-46.

176. Логунов В.М. Конечные прогибы тонких плит из физически нелинейного материала // Технология машиностроения. Тула: ТПИ, 1970. - ВЫП. 20. - С. 52 - 61.

177. Логунов В.М. Изгиб физически нелинейных пластин, занимающих конечную двухсвязную область // Технология машиностроения. Тула: ТПИ, 1973. - Вып. 28. - С. 183 - 191.

178. Потудин О.В. Построение теории изгиба круглых разномодульных пластин методом асимптотического интегрирования уравнений теории упругости // Технология машиностроения. Тула: ТПИ, 1970. - Вып. 20. - С. 89 - 97.

179. Потудин О.В., Толоконников Л.А. Концентрация напряжений в области отверстий в оболочках вращения, выполненных из разномодульных материалов // Технология машиностроения. Тула: ТПИ, 1969. - Вып. 14. - С. 140 - 154.

180. Усманов М.А. К разномодульной теории оболочек // Технология машиностроения. Тула: ТПИ, 1969. - Вып. 14. - С. 168 -173.

181. Хачатрян A.A. Чистый изгиб прямоугольной пластинки, изготовленной из разномодульного материала // Изв. АН Арм. ССР. Механика. 1972. - Т. 25. - N 1. - С. 1.5 - 27 .

182. Потудин О.В., Толоконников Л.А. К теории разномодульных оболочек вращения // Прикладная механика. 1970. -Т. 6.1. N 1. С. 22 - 26.

183. Толоконников Jl. А., УсмановМ.А. Осесимметричная деформация круговой цилиндрической оболочки из разномодульного материала // Технология машиностроения. Тула: ТПИ, 1970. - Вып. 20. - С. 157 - 166.

184. Кузюшин Г.А. Изгиб пластин, армированных разносопро-тивляющимся материалом // Технология машиностроения. Тула: ТПИ, 1970. - Вып. 20. - С. 46 - 52.

185. Архипов И.К., Толоконников Л.А. Волновой процесс деформации разномодульной плиты // Прикладная механика. 1970. -Т. 6. - N 2. - С. 36 - 42.

186. Туровцев Г.В. Слоистые оболочки из материалов, упругие свойства которых зависят от вида напряженного состояния // Динамика сплошной среды. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР, 1983. - N 61. - С. 118 - 131.

187. Kamiya N. A circular cylindrical shell with different elastic moduli in tension and compression // Bulletin of the ISME. 1975. - Vol. 18. - P. 1075 - 1081.

188. Kamiya N. Large deflection of a different modulus circular plate // Trans. ASME. 1975. - Vol. 97. - Ser. H. - P. 52 - 56.

189. Kamiya N. An energy method applied to large elastic deflection of a thin plate of bimodulus material // Journal Struct. Mech. 1975. - Vol. 3. - N 3. - P. 317 - 329.

190. Карпенко H.И. Теория деформирования железобетона с трещинами. М.: Стройиздат, 1976. - 208 с.

191. Трещев А.А-., Шерешевский Л.А. О некоторых задачах теории оболочек, изготовленных из разномодульного материала // Актуальные проблемы механики оболочек. Казань: КАИ, 1983.1. С. 211.

192. Матченко Н.М., Трещев A.A., Аруцев М.В. К плоской задаче разномодульной теории упругости / ТулПИ. -Тула, 1984. -10 с. Деп. в ВИНИТИ 07.06.84, N 3755-84.

193. Матченко Н.М., Трещев A.A. Об изгибе кольцевой пластины, выполненной из разномодульного материала / ТулПИ. Тула, 1984. - 9 с. - Деп. в ВИНИТИ 10.11.84, N 7213-84.

194. Матченко Н.М., Трещев A.A. О методе переменных параметров упругости в одномерных задачах изгиба круглых разномо-дульных пластин / ТулПИ. Тула, 1984. - 6 с. - Деп. в ВИНИТИ 10.11.84, N 7214-84.

195. Матченко Н.М., Трещев A.A. Об изгибе прямоугольных пластин / ТулПИ. Тула, 1984. - 10 с. - Деп. в ВИНИТИ 10.11.84, N 7215-84.

196. Трещев А. А. Метод переменных параметров упругости в двумерных задачах изгиба разномодульных пластин / ТулПИ. Тула, 1984. - 8 с. - Деп. в ВИНИТИ 19.12.84, N 8168-84.

197. Трещев A.A. Большие прогибы круглой разномодульной пластинки / ТулПИ. Тула, 1984. - 6 с. - Деп. в ВИНИТИ 19.12.84, N 8167-84.

198. Аркания З.В., Матченко Н.М., Трещев A.A. К построению определяющих уравнений теории упругости изотропных сред // Механика сплошных сред. Тбилиси: ГПИ, 1984. - N 9. - С. 88 - 90.

199. Трещев A.A. Большие прогибы круглой пластины из квази- 361 линейного материала // 2-я Всесоюзная конференция по нелинейной теории упругости: Тез. докл. Фрунзе: ИЛИМ, 1985. - С. 47.

200. Трещев A.A. Геометрически нелинейные задачи теории изгиба разномодульных пластин // Актуальные проблемы механики оболочек. Казань: КИСИ, 1985. - С. 219.

201. Трещев A.A. Вариант описания деформирования упругих слабо нелинейных разносопротивляющихся сред / ТулПИ. Тула, 1986. - 18 с. - Деп. в ВИНИТИ 01.04.86, N 2241-В86.

202. Матченко Н. М., Трещев A.A. К решению разрешающих дифференциальных уравнений изгиба разномодульных пластин // Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. Тула: ТулПИ, 1985. -С. 95 - 102.

203. Трещев A.A., Кудинов В.Н. К изгибу пластин из квазилинейных материалов / ТулПИ. Тула, 1986. - 9 с. - Деп. в ВИНИТИ 18.06.86, N 4496-В86.

204. Трещев A.A. Конечные прогибы пластин, выполненных из материалов, механические характеристики которых зависят от вида напряженного состояния // Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. Тула: ТулПИ, 1986. - 76 - 81.

205. Пачулия В.Ш., Трещев A.A. Чистый изгиб прямоугольных пластин из нелинейного материала // Механика сплошных сред. Тбилиси: ГПИ, 1986. N 6. - С. 97 - 99.

206. Трещев A.A., Воронова С.А. О единственности решения задач теории упругости разносопротивляющихся сред / ТулПИ. Тула, 1987. - И с. - Деп. в ВИНИТИ 23.03.87, N 2040-В87.

207. Трещев A.A. Поперечный изгиб прямоугольных пластин, выполненных из материалов, механические характеристики которых зависят от вида напряженного состояния // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1988. - N 1. - С. 25-29.- 362

208. Трещев A.A. К изгибу начально неоднородных пластин из деформационно-анизотропных материалов / ТулПИ. Тула, 1989. - 7 с. - Деп. в ВИНИТИ 10.01.89, N 238-В89.

209. Трещев A.A., Баркова С.А. Поперечный изгиб прямоугольных пластин из деформационно-неоднородных материалов / ТулПИ. -Тула, 1989. 8 с. - Деп. в ВИНИТИ 10.01.89, N 239-В89.

210. Трещев A.A. К расчету прямоугольных пластин из полухрупких материалов // Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. Тула: ТулПИ, 1989. - С. 63 - 69.

211. Трещев A.A. К расчету пластин из конструкционных графитов // Механика и прикладная математика. Труды Всесоюзной конференции " Современные проблемы информатики, вычислительной техники и автоматизации". Тула: Приокск. кн. изд-во, 1989. - С. 93-98.

212. Трещев A.A. Определение напряженно-деформированного состояния графитовых пластин // Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. Тула: ТулПИ, 1990. - С. 83 - 89.

213. Трещев A.A. Нелинейный изгиб тонких пластин из деформационно-анизотропных материалов // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1990. - N 2. - С. 29 - 33.

214. Аркания З.В., Матченко Н.М., Трещев A.A. Один подход к определению закона упругости для квазилинейных сред / ТулПИ. -Тула, 1992. 5 с. - Деп. в ВИНИТИ 09.06.92, N 1886-В92.- 363

215. Трещев A.A. О единственности решения задач теории упругости для анизотропных разносопротивляющихся сред / ТулПИ. -Тула, 1992. 7 с. - Деп. в ВИНИТИ 09.06.92, N 1887-В92.

216. Трещев A.A., Артемов А.Н. К изгибу армированных плит из нелинейного разносопротивляющегося материала / ТулПИ. Тула, 1992. - 7 с. -Деп. в ВИНИТИ 09.06.92, N 1888 - В92.

217. Трещев A.A., Аркания З.В. К расчету тонких пластин из материалов, обладающих структурной и деформационной анизотропией / ТулПИ. Тула. 1992. - 6 с. - Деп. в ВИНИТИ 09.06.92, N 1889-В92.

218. Трещев A.A. О точности квазилинейной и нелинейной аппроксимации деформирования разносопротивляющихся сред / ТулПИ. -Тула, 1992. 7 с. - Деп. в ВИНИТИ 07.07.92, N 2181-В92.

219. Артемов А.Н., Матченко Н.М., Трещев A.A. Учет образования трещин для плит из разносопротивляющихся материалов / ТулПИ, Тула, 1992. - 9 с. - Деп. в ВИНИТИ 07.07.92, N 2182-В92.

220. Трещев A.A. Расчет пластин с учетом начальной и наведенной неоднородности // Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. Тула: ТулГТУ, 1993. - С. 30 - 35.

221. Аркания З.В., Трещев A.A. Изгиб пластин из материалов, обладающих анизотропией двоякого рода // Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. Тула: ТулГТУ, 1994. - С. 70 - 74.

222. Артемов А.Н., Трещев A.A. Поперечный изгиб железобетонных плит с учетом трещин // Изв. вузов. Строительство. 1994. -N9-10. - С. 7 - 12.

223. Матченко Н.М., Толоконников Л.А., Трещев A.A. Определяющие соотношения изотропных разносопротивляющихся сред. Часть 1: Квазилинейные соотношения // Изв. РАН. МТТ. 1995. - N 1. -С. 73 - 78.- 364

224. Толоконников Л.А. Механика деформируемого твердого тела. М.: Высшая шкала, 1979. - 318 с.

225. Зубчанинов В.Г. Об определяющих соотношениях теории упругопластических процессов // ПМ. 1989. - Т. 25. - N 5.1. С. 3 12.

226. Зубчанинов В.Г. Определяющие соотношения теории неупругих процессов в просранстве нагружений. Сообщение 1. Теоретические основы // Проблемы прочности. 1992. - N 5. - С. 3-13.

227. Зубчанинов В.Г. Определяющие соотношения теории неупругих процессов в пространстве нагружений. Сообщение 2. Экспериментальные основы // Проблемы прочности. 1992. - N 6. - С. 3 -12.

228. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Наука, 1966. - 635 с.

229. Варвак П.М., Варвак Л.П. Метод сеток в задачах расчета строительных конструкций. М.: Стройиздат, 1977. - 160 с.

230. Петров В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластин и оболочек. Саратов: СГУ, 1975. - 119 с.

231. Петров В.В., Овчинников И.Г., Ярославский В.И. Расчет пластинок и оболочек из нелинейно-упругого материала. Саратов: СГУ, 1976. - 133 с.

232. Корнишин М.С. Нелинейные задачи теории пластинок и пологих оболочек и методы их решения. М.: Наука, 1964. - 192 с.

233. Корнишин М.С., Исанбаева Ф. С. Гибкие пластины и панели. М.: Наука, 1968. 259 с.

234. Гольденблат И.И., Копнов В.А. Критерии прочности конструкционных материалов. М.: Машиностроение, 1968. - 192 с.

235. Цурков И.С. К вопросу о построении теории равновесия нелинейно-упругих тел // Строительная механика. М.: МИСИ,1966. С. 345 - 351.

236. АМбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. М.: Наука, 1976. - 268 с.

237. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. -М.: Наука, 1974. 446 с.

238. Гвоздев А.А., Дмитриев с.А., Крылов С.М. и др. Новое о прочности железобетона. М.: Стройиздат, 1977. - 277 с.

239. Гениев Г.А., Киссюк В.Н., Тюпин Г.А. Теория пластичности бетона и железобетона. М.: Стройиздат, 1974. - 316 с.

240. Карпенко Н.И., Ярин Л.И. Исследование работы железобетонных плит на ЭЦВМ с учетом образования трещин // Исследование конструкций зданий и сооружений для сельского строительства. -М.: Стройиздат, 1978. Вып. 2-1. - С. 130 - 149.

241. Reddy J.N. A Penalty plate-bending element for the analysis of laminated anisotropic compisite plates // Int. J. num. Meth. Engng. 1980. - Vol. 15. - P. 1187 - 1206.

242. Yang P.C., Norrls C.H., Stavski Y. Elastic wave propagation In heterogeneous plates // Int. J. Sol. Struct. -1966. Vol. 2. - P. 665 - 684.

243. Зенкевич 0. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. - 541 -с.

244. Зенкевич 0., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир, 1986. - 318 с.

245. Zlenklewlcz О.С., Taylor R.L., Too J.M. Reduced integration technique in general analysis of plates and shells // Int. J. num. Meth. Engng. 1971. - Vol. 3. - P. 275 - 290.

246. Cook R.D. Two hybrid elements for analysis of thick thin and sandwich plates // Int. J. num. Meth. Engng. 1972. -Vol. 5. - P. 277 - 288.- 366

247. Cook R.D., Al-Abdulla J.К. Some plate quadrilateral "hibrid" finite elements // AIAA Journal. 1969. - Vol. 7. - N 11. - P. 2184 - 2185.

248. Pian T.H.H. Derivation of element stiffness matrices by assumed stress distribution // AIAA Journal. 1964. - Vol. 2. - N 7. - P. 1332 - 1336.

249. Tong P., Pian T.H.H. A Variational principle and convegence of finite-element method based on assumed stress distribution // Int. J. Solids Struct. 1969. - Vol. 5. -P. 463 - 472.

250. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т. 1. -М.: Наука, 1966. 632 с.

251. Фадеев Д.К., Фадеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М. -Л.: Физматгиз, 1963. - 743 с.

252. Емельянов Н.Е. Введение в СУБД ИНЕС. М.: Наука, 1988. - 255 с.

253. Вайнберг Д.В., Вайнберг Е.Д. Расчет пластин. Киев: Будивельник, 1970. -435с.

254. Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности. М.: Наука, 1966. - 231 с.

255. Ильюшин А.А. Пластичность. Ч. 1. Упругопластические деформации. М.: ОГИЗ, 1948. - 376 с.

256. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1974. - 831 с.

257. Кузьменко В.А. Новые схемы деформирования твердых тел. Киев: Наукова думка, 1973. - 200 с.

258. Огибалов П.М. Изгиб, устойчивость и колебания пластинок. М.: МГУ, 1958. - 389 с.

259. Пикуль В.В. Общая техническая теория тонких упругих- 367 пластин и пологих оболочек. М.: Наука, 1977. - 151 с.

260. Стрельбицкая А.И., Колгадин В.А., Матошко С.И. Изгиб прямоугольных пластин за пределом упругости. Киев: Наукова думка, 1971. - 244 с.

261. Толоконников Л.А. О связи между напряжениями и деформациями в нелинейной теории упругости // ПММ. 1956. - Т. 20. -Вып. 3. - С. 431 - 439.

262. Толоконников Л.А. Уравнения нелинейной теории упругости в перемещениях // ПММ. 1957. - Т. 21. - Вып. 6. - С. 815 -822.

263. Турсунов B.C. О свойствах потенциала напряжений упругих тел // ПММ. 1970. - Т. 34. - Вып. 1. - С. 15 - 22.

264. Постнов В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. Л. : Судостроение, 1974. - 342 с.

265. Сахаров A.C., Кислоокий В.Н., Киричевский В. В. и др. Метод конечных элементов в механике твердых тел. Киев: Наукова думка, 1982. - 480 с.

266. Безухов Н.И., Лужин О.В. Приложение методов теории упругости и пластичности к решению инженерных задач. М.: Высшая школа, 1974. - 200 с.

267. Лужин О.В. Расчет плит при сложном очертании края // Исследования по теории сооружений. М. : Госстройиздат, 1963. -Вып. 12.

268. Фролов Г.Д., Олюнин В.Ю. Практический курс программирования на языке ПЛ-1. М.: Наука, 1983. - 384 с.

269. Фортран ЕС ЭВМ / З.С. Брич, Д. В. Капилевич, С. Ю. Котик, В.И.Цагельский. М.: Статистика, 1978. - 264 с.

270. Биргер И.А. Некоторые математические методы решения инженерных задач. М.: Оборонгиз, 1956. - 151 с.