Связанная задача термоупругости для тонких пластин из изотропных разносопротивляющихся материалов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

005019422

На правах рукописи

Чигинский Дмитрий Сергеевич

СВЯЗАННАЯ ЗАДАЧА ТЕРМОУПРУГОСТИ ДЛЯ ТОНКИХ ПЛАСТИН ИЗ ИЗОТРОПНЫХ РАЗНОСОПРОТИВЛЯЮЩИХСЯ МАТЕРИАЛОВ

Специальность 01.02.04 — Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

2 6 ДПР 2012

Тверь 2012

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Тульский государственный университет».

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор Трещев Александр Анатольевич

Официальные оппоненты:

Гараников Валерий Владимирович доктор технических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «ТвГТУ», зав. каф. «Техническая механика»

Гордон Владимир Александрович доктор технических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Госуниверситет - УНПК», зав. каф. «Высшая математика»

Ведущая организация: ФГУП «ГНПП «Сплав» (г. Тула)

Защита состоится « 31 » мая 2012 г. в_:_часов на заседании диссертационного совета Д 212.262.02 при ФГБОУ ВПО «Тверской государственный технический университет» по адресу: 170026, г. Тверь; наб. Афанасия Никитина, 22, ауд. Ш_•

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Тверской государственный технический университет».

Автореферат разослан «_»_2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Гультяев Вадим Иванович

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Инженерная практика постоянно требует повышения точности расчета элементов строительных конструкций, деталей машин и аппаратов. Очевидно, что решение данной задачи невозможно без совершенствования определяющих соотношений, достаточно надежно описывающих деформирование конструкционных материалов, а также без совершенствования методик расчета элементов конструкций с использованием этих соотношений.

В настоящее время многие конструкции и детали изготавливаются как из новых, так и из традиционных материалов, которые не подчиняются классическим законам деформирования. Эти материалы оказываются чувствительными к виду напряженного состояния, в них проявляются такие эффекты как дилагация и разносопротивляемость, обнаруживается влияние температуры на механические характеристики материалов. К ним относятся бетоны, керамики, серые и ковкие чугуны, конструкционные графиты, ряд полимеров и большинство композитов. Зависимость деформационных характеристик от вида напряженного состояния для рассматриваемых материалов достаточно сложна и не сводится к неодинаковому их поведению при одноосном растяжении и сжатии, но и плавно меняется в широком диапазоне изменения видов напряженного состояния. Экспериментально установлено, что жёсткость большинства разносопрогивляющихся материалов может зависеть не только от знаков возникающих напряжений, но и от их количественных соотношений механических и температурных факторов влияющих на напряженное состояния. Естественно, что наиболее чувствительны к виду напряженного состояния характеристики прочности, а также характеристики, отвечающие за теплопроводность материала. Наиболее существенные эффекты, возникающие в работе элементов конструкций, связанные с явлением разно-сопротивляемости материалов в условиях термомеханического нагружения, обнаруживаются при сложном напряженно-деформированном состоянии.

Кроме того, совершенно недостаточно внимания уделено зависимости от вида напряженного состояния коэффициента линейного температурного расширения и в целом теории термоупругости разносопротивляющихся материалов. Между тем как, опубликованы результаты экспериментальных исследований П.Е. Харта по влиянию вида предварительного нагружения на модуль упругости и коэффициенты линейного температурного расширения графитов. В котором показано, что для некоторых марок графитов коэффициенты линейного температурного расширения могут различаться на десятки процентов, в зависимости от вида напряженного состояния реализованного при испытании образцов.

Таким образом, можно констатировать, что учет явления разносопротивляемосги материалов, а также исследование влияния температуры на механические характеристики материалов и напряженного состояния на распределение температуры в элементах конструкций, таких как тонкие пластины, является актуальной задачей, как в научном, так и в прикладном плане.

Целью диссертационной работы является построение модели связанной термоупругости для расчёта напряженно-деформированного состояния (НДС) тонких прямоугольных и круглых пластин из изотропных разносопротивляющихся материалов, находящихся под действием механических нагрузок и температурных полей.

Для иллюстрации работы разрабатываемого подхода выполнено решение ряда прикладных задач о деформировании тонких пластин из изотропных разносопротивляющихся материалов различной геометрической конфигурации.

Задачи исследования. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

• выбрать модель, наиболее точно описывающую напряженно-деформированное состояние изотропных разносопротивляющихся материалов в условиях термомеханического воздействия.

• используя термодинамический потенциал Гиббса и потенциальные уравнения состояния для изотропных материалов, чувствительных к виду напряжённого состояния, предложенные в работах Матченко Н.М., Толоконникова JI.A. и Трещева A.A., получить феноменологические соотношения термоупругости для изотропных разносопротивляющихся материалов;

• сформулировать полную систему дифференциальных уравнений термоупругости, учитывающих влияние вида напряженного состояния на поведение среды в декартовой и цилиндрической системе координат;

• выбрать и обосновать принятый метод решения прикладных задач, разработать алгоритм решения поставленных термомеханических задач об определении НДС тонких пластин из изотропных материалов с усложненными свойствами и программную реализацию на ЭВМ;

• используя разработанную математическую модель и программную реализацию алгоритма расчета решить серию задач деформирования прямоугольных и круглых пластин из изотропных материалов с усложненными свойствами в условиях термомеханического нагружения;

• сравнить полученные результаты решения задач по деформированию пластин, где возможно, с аналогичными данными, полученными на основе наиболее апробированных и применяемых моделей.

Объект исследования — прямоугольные и круглые тонкие пластины, выполненные из изотропных разносопротивляющихся материалов, жестко защемленные, либо свободно опертые по контуру, работающие в условиях воздействия поперечной равномерно распределенной механической нагрузки и поля температуры при малых перемещениях.

Предмет исследования - новые оценки напряженно-деформированного состояния прямоугольных и круглых тонких пластин, выполненных из изотропных разносопротивляющихся материалов.

Методы исследования, использованные в диссертационной работе: общепринятые, строго обоснованные допущения и гипотезы теории расчета тонких пластин, базирующиеся на фундаментальных законах механики деформируемого твердого тела;

• итерационный метод «упругих решений», разработанный A.A. Ильюшиным, для решения нелинейных уравнений деформирования изотропных материалов, метод конечных разностей для построения дискретной модели прямоугольных и круглых пластин и проведения деформационного расчета;

Научная новизна работы заключается в следующем:

• уравнения теории термоупругости для решения связанных задач по расчёту НДС тонких пластин в условиях термомеханического нагружения, изготовленных из разносопротивляющихся материалов, зависящими от вида напряженного состояния, с учетом влияния температуры на механические характеристики

материала и напряженного (»стояния на распределение температуры в элементах конструкций;

• математическая модель, вариант алгоритма и программная реализация итерационного метода решения задач по расчёту НДС тонких пластин, изготовленных из материалов с «усложненными» свойствами, находящихся в условиях термомеханического нагружения;

• результаты расчетов, показывающие новые эффекты деформирования тонких пластин из разносопротивляющихся материалов, с учетом влияния температуры на механические характеристики материала и напряженного состояния на распределение температуры в элементах конструкций.

Достоверность представленных научных положений и выводов подтверждается получением теоретических результатов строгими математическими методами, основанными на фундаментальных положениях механики деформируемого твердого тела, хорошим соответствием полученных результатов, имеющимся по деформированию разносопротивляющихся материалов экспериментальным данным, сравнением расчетных данных с результатами исследований на основе иных уравнений состояния, которые имеют более существенные погрешности в описании экспериментальных диаграмм деформирования

по сравнению с принятыми.

Математическая модель решения задачи термомеханического изгиба прямоугольных и круглых тонких пластин из изотропных материалов, обладающих чувствительностью к виду напряженного состояния, построена на основе традиционных зависимостей сгатико-геометрической природы. Данная модель реализована численно методом конечных разностей, все численные расчеты выполнены на ЭВМ с оценкой точности решения, при этом полученные результаты апробированы сравнением с ранее известными моделями. __

Практическая значимость работы, выполненной в рамках госбюджетной НИР № 27.06 «Актуальные проблемы технологии строительных материалов и проектирования конструкций», заключается в следующих результатах:

• разработана математическая модель, позволяющая исследовать напряженно-деформированное состояние элементов конструкций, типа прямоугольных и круглых тонких пластин из изотропных материалов чувствительных к виду напряженного состояния, при термомеханических воздействиях;

• разработан программное обеспечение, предоставляющее возможность моделирования и исследования напряженно-деформированного состояния тонких пластин из изотропных материалов, обладающих чувствительностью к виду напряженного состояния, в широком диапазоне изменения характеристик материалов и температурных факторов воздействия; .

• результаты данной работы могут быть использованы для проектных расчетов и для экспертизы остаточного ресурса элементов конструкций, выполненных из изотропных разносопротивляющихся материалов;

• материалы диссертационной работы могут использоваться в теоретических курсах для студентов, обучающихся по направлению «Строительство». Работа выполнена частично за счет средств гранта губернатора Тульской области в

сфере науки и технологии 2008 года. Свидетельство №13-2008 от 16.01.2009.

Внедрение результатов работы осуществлено в расчетную практику ООО «Строительное проектирование» (г. Тула), ООО «Инженерный центр промыш-

ленного проектирования» (г. Тула). Программный продукт используется указанными предприятиями для экспертизы ресурса прочности конструкций при проведении проектных работ, НИР и ОКР.

Использование результатов работы подтверждено актами о внедрении. Апробация работы. Основные результаты диссертации неоднократно докладывались и обсуждались на международных и всероссийских конференциях:

• на 3-й; 7-й Международной конференции по проблемам горной промышленности, строительства и энергетики «Социально-экономические и экологические проблемы горной промышленности, строительства и энергетики» (г. Тула, ТулГУ, 2007; 2011 г.);

на Международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (г. Тула, ТулГУ, 2007; 2011 г.);

• на П-й; V-й Молодёжной научно-практической конференции студентов «Молодёжные инновации» (г. Тула, ТулГУ, 2008; 2011 г.);

на VII-й Международной научно-технической конференции, посвященной 50-летию Пензенского государственного университета архитектуры и строительства (г. Пенза, ПДЗ, 2008 г.);

• на Ш-й Магистерской НТК (г. Тула, ТулГУ, 2008 г.);

на 9-й; 10-й; 12-й Международной конференции «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии» (г. Тула, ТулГУ, 2008; 2009; 2011 г.); на V-й Международной конференции «Надёжность и долговечность строительных материалов, конструкций и оснований фундаментов» (г. Волгоград, Волг-ГАСУ, 2009 г.);

на УП-й Международном научном симпозиуме «Проблемы прочности, пластичности и устойчивости в механике деформируемого твёрдого тела», посвя-щённом 80-летию со дня рождения заслуженного деятеля науки и техники РФ профессора В. Г. Зубчанинова (г. Тверь, ТГТУ, 2010 г.);

• на VII-й Всероссийской научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых, посвященной 50-летию первого полета человека в космос «Молодёжь и наука» (г. Красноярск, Сиб. федер. ун-т., 2011 г.);

По результатам перечисленных конференций опубликованы тезисы и доклады. В полном объеме диссертация докладывалась 14 марта 2012 года на научном семинаре по МДТТ им. JI.A. Толоконникова при ФГБОУ ВПО «Тульский государственный университет», под руководством доктора физ.-мат. наук, профессора A.A. Маркина, на расширенном заседании кафедры «ССМиК» Тульского государственного университета 2 апреля 2012 года, а также 4 апреля 2012 года на научном семинаре по МДТТ при ФГБОУ ВПО «Тверской государственный технический университет», под руководством доктора техн. наук, профессора В.Г. Зубчанинова.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 20 печатных работы. Основное содержание диссертации отражено в 13 статьях, в том числе 3 работы в изданиях рекомендуемых ВАК РФ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения, списка литературы, включающего 154 наименования, приложений. Диссертация содержит 142 страницы основного текста, в том числе 20 рисунков, 3 таблицы и приложения на 40 страницах, включающие результаты, текст программы расчёта тонких пластин и документы о внедрении. Общий объём работы —182 страницы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность диссертационной работы, приводится описание отдельных её гнав, дается характеристика ночной новизны, достоверности и

практической ценности.

В первом разделе диссертации дается обзор экспериментальных исследований по упругому деформированию изотропных разносопротивляющихся материалов различной структуры, проведен анализ основных направлений в моделировании нелинейных свойств материалов с усложненными свойствами, проявляющиеся в зависимости от напряженного состояния. По общим признакам выделены три группы моделей определяющих соотношений.

Первую группу составляют модели, в основу которых положена зависимость механических характеристик материала от знаков возникающих напряжений или развивающихся деформаций. В рамках данной группы рассмотрены определяющие соотношения, предложенные СЛ. Амбарцумяном, P.M. Джонсом, П.Н. Ельчаниновым, М.И. Климовым,

A.Ф. Макеевым, ДА.Р. Нельсоном, И.Г. Овчинниковым, В.В. Петровым, Б.В. Пономаревым, Г.С. Шапиро, Г.В. Бригадирова, Н.М. Магченко, J.N. Reddy, F. Tabaddor, C.W. Bert и другими.

Вторая группа моделей определяет жесткость материалов непрерывными функциями, зависящими от вида напряженного состояния и базируется на работах В.Н. Барабано-ва, A.B. Березина, Д.А. Гаврилова, АЛ. Золочевсного, Б.В. Ломакина, В А. Ляховсюго,

B.П. Мясниюва, АЛ. Олейникова, В.М. Панферова, Ю.Ю. Подладчикова, Ю.Н. Работно-вым, В.И. Строкова, Н.Г. Тамурова, Г.В. Туровцева, ЛА. Толоконниюва, Н.М. Магченко, АЛ. Трещёва, Ю.И. Цвелодуба и других. В качестве таких функций авторы использовали в основном фазовые инварианты, отношения средних напряжений к интенсивности напряжений или различные отношения инвариантов напряжений или деформаций.

Модели соотношений третьей группы строятся посредством учета взаимного влияния изменения объема и формоизменения при помощи специфического представления деформаций разрыхления как части полных деформаций или формулировкой дилагацион-ных зависимостей. Уравнения этой группы получены в теоретических и экспериментальных исследованиях К.А. Агахи, ДЛ. Быкова, С.С. Вялова, А.И. Козачевского, В.И. Куда-шова, В.Н. Кузнецова, В.П. Устинова и других.

Исследования деформационной анизотропии материалов в условиях сложного на-гружения в работах A.B. Березина, ПЛ. Пономарева, В.И. Строкова, В.Н. Барабанова, Е.В. Ломакина, ЛА. Толоюнникова, Г.С. Писаренко, М.Я. Леонова, В.А. Паняева, К.Н. Русинко, В.Г. Зубчанинова, Н.Л. Охлопкова, В.В. Гараникова, R.M. Jones, D.A.R. Nelson и других.

Математические методы и решение задач механики элементов конструкций, в том числе пластин, исследуются в работах С.А. Амбарцумяна, АЛ. Гольденвейзера, В.А. Гордона, Г .В. Бригадирова, В.В. Петрова, А.Ф. Макеева, И.Г. Овчинников, Б.В. Пономарева, В.В. Пикуля, С.П. Ти-мошенко, АА. Хачатряна, Х.М. Мупггари, С.А. Кузнецова, К.З. Галимова, М.С. Корнишина и других.

Рассмотрены известные теории разномодульной термоупругости для различных материалов. В этом направлении особо подчеркнута роль работ CA. Амбарцумяна, Н.Г. Тамурова, Г.В. Туровцева, Н. Камийи, В.М. Панферова, Н.М. Магченко, АА. Трещева, А.Е. Жидкова, P.E. Hart, J.N. Reddy, C.W. Bert, Y.S. Hsu и других. Приведены материалы по ее развитию, дана классификация различных теорий, отмечены их достоинства и недостатки.

Показано что большинство рассмотренных способов построения определяющих соотношений не позволяет создать законченной теории термоупругосги разносопротивляю-щихся материалов и следовательно, не дает возможности учесть обсуждаемые усложненные эффекты в связанных динамических и квазистатических задачах.

Анализ особенностей каждого подхода для сформулированной цели исследования показал, что особенный интерес, с этой точки зрения, представляет использование теории термоупругости для изотропных материалов, рассмотренной в работах Н.М. Магченю и A.A. Трещева. Эта теория лишена большинства недостатков обнаружившихся в рассмотренных моделях. В рамках закона теплопроводности Фурье и условий динамического равновесия, с использованием термодинамического потенциала Гиббса, в ней получены основные дифференциальные уравнения разномодульной теории термоупругости: уравнение теплопроводности, включающее в связанном случае учет влияния вида напряженного состояния и уравнения динамического равновесия. Обобщение указанной теории на случай тонких пластин позволяет получить необходимые соотношения для решения задач термоупругости для пластин из разносопротивляющихся материалов.

Во втором разделе рассматривается вариант определения напряженно-деформированного состояния разносопротивляющихся материалов, вызванного термомеханическим воздействием, в двух нормированных пространствах, предложенных Н.М. Матченко и A.A. Трещевым. В рамках этих пространств анализируются возможные варианты построения потенциальных соотношений между деформациями и напряжениями для изотропных разносопротивляющихся материалов, находящихся в поле действия температуры.

Потенциал деформаций W принимается как функция характеристик нормированного пространства №2:

W=W(nf,v,S0), (1)

где ц/, (р — угол и фаза напряжений; S0 — модуль вектора полного напряжения на

октаэдрической площадке S0 = Vсг2 + т2 , а = — средние нормальные напря-

жения; г = — касательные напряжения на октаэдрической площадке;

Sy = er у -Sytr — компоненты девиатора напряжений, Sy — символ Кронекера.

В работе Н.М. Матченко и A.A. Трещева получен потенциал деформаций в квазилинейной форме. Компоненты выражения (1) определены в виде степенного полинома от нормированных нормального и касательного напряжений, учитывая при этом влияние фазы напряжений на состояние тела. При этом в разложении отброшены члены, лишенные механического смысла, так как их сохранение приводит к построению нефизичных соотношений. Используются определяющие соотношения теории упругости, ограничившись в разложении (1) линейными, квадратичными и кубическими членами. В системе универсальных инвариантов потенциал (1) принимает следующую форму:

W = (bl+ Щ а2 + (¿2 + + bsj) cos3<z>) г2, (2)

где ¿1=1,5(А + 2С); ¿5 = 1,5(Л - С); = 1,5(В + 4D + 2Е) / VJ; Ь4 = 4,5(В b5 = Q,15{B-2D + 2E)42 / 7з ; ¿; = <t/S0 и rj = r/S0 —нормированные нормальные и касательные напряжения на октаэдрической площадке; cos3$? — фазовый инвариант.

Потенциал деформаций W как функции характеристик нормированного пространства № 1 принимается в виде:

W = fV(Ia,ma,S). (3)

Выражение (3) в рамках квазилинейной теории, представленное в виде степенного полинома от нормированных напряжений, до третьей степени включительно, после простых преобразований, может быть использовано в виде:

W = 0,5 [( А + Ваг) ст\ + (.А + Ваг >aj + (.А+Ва3 )а\ ] ■+ [С+Есс3 +

+й{щ +«2)>+[C + Eal + D{a2+a3)\ar2a3 +[С + Еа2 +D(al +а3)>1°з-

В дальнейшем для описания эффектов разносопротивляемости конкретных материалов в работе ограничимся степенью точности представлений (4) и (2).

Физические соотношения термоупругости для изотропных разносопротив-ляющихся материалов. Считается, что рассматриваемое тело при любом напряженном состоянии и при любых значениях изменения температуры претерпевает лишь малые деформации и подчиняется общим закономерностям сплошной среды, механические характеристики которой зависят от вида напряженного состояния. При этом будем исходить из более общего случая и учтем влияние вида напряженного состояния не только на механические характеристики, но и на коэффициенты теплового

расширения материалов.

Воспользовавшись теорией Магченко Н.М. и Трещёва A.A. задачу построения общей теории термоупругих разносопротивляющихся материалов, необходимо отказаться от подхода, основанного на принципе суперпозиции, и использовать понятия неравновесной термодинамики. Рассматриваются малые изменения температуры, такие, что 0°/Т0 «1. В этом случае зависимостью механических и теплофизических характеристик материала от температуры можно пренебречь. В качестве независимых параметров состояния выбраны компоненты тензора напряжений а у и температуры

Т В этом случае удобно воспользоваться термодинамическим потенциалом Гиббса:

Г = Г(а9,Т); <5>

dr = -ejjdOy — LdT, (6>

где L — плотность энтропии.

В силу потенциальности соотношений (5) справедливы выражения, соответствующие формулам Кастильяно:

е.. = -ЗГ/дсТу ; L = -дГ/дТ . (7)

Рассмотрим представление термодинамического потенциала Гиббса (5) в виде:

r = r{v,<p,Sü,T) (g)

Представим функцию (8) в виде степенного полинома от нормы второго пространства S0 с коэффициентами разложения, зависящими от качественных инвариантов цг ,<р и от температуры. Тогда, используя методику нормированного пространства №2 и считая, что все чисто температурные слагаемые представлены одной функцией получим: -Г = (Ä, + bg) a1+{b1+b^ + b5V cos 3?>) г2 + Г, (ö° )+[(£„£ + ¿>,2 ) + ЪлП г] ÖQ. (9)

Используя характеристики нормированного пространства №1, потенциал Гиб-бса для разносопротивляющегося материала можно записать следующим образом:

Г=гуа,1Па,Б,Т), (10)

Окончательно для плотности энергии Гиббса применительно к характеристикам нормированного пространства напряжений №1 получим:

-Г = Г,(<?°)+[(4 +В,а1)а1+(А, + В1а2)с-2 + (А, + В1аъ)аг]в0 + +0.5[(Л + Вах)<т1 + (А + Ва2)а\ + (А + Вссъ )<г32]+[С + Еаъ + (11)

+0(а1 + а2)]<т1ст2 + [с+ Еах +П(а2+ а3 )]сг2сг3 + [С+Еа2 +аъ)]<т1аг, где А,, В, — температурные константы потенциала нормированного пространства №1, вычисляемые по результатам обработки опытов, связанных с нагреванием и охлаждением одноосно растягиваемых и одноосно сжимаемых образцов из разносопротивляющегося материала.

Для полного совпадения двух форм (9) и (11) необходимо чтобы между константами этих форм имелись следующие связи:

Ьл 6,2=34. (12)

Выражение ддя функции при относительно малых изменениях темпе-

ратуры 7*0, как и в классической теории термоупругости имеет вид:

г,{е°) = са(в0"{ ¡гт0. (В)

где Са — теплоемкость материала.

Уравнения состояния для термоупругого материала наряду с зависимостями между компонентами тензоров деформаций еу и напряжений <Ту должны содержать выражения для плотности энтропии Ь. Указанные уравнения можно получить, применив к потенциалу Гиббса (9) операцию дифференцирования (7). Очевидно, что уравнения связи между компонентами тензоров напряжений и деформаций представляют собой тензорно-нелинейную зависимость и если в этих уравнениях отделить линейную от нелинейной части, то получим:

еу =2^/3+2^ -¿2)аду/з+Ь,2був° йу, (14)

где Яу 0,<9°) —нелинейные слагаемые (представлены в диссертации).

Ь = (Ъп% + Ь12)ст + ЬЛ7]т + <1Г11с1Т. (15)

Используя формулы Кастильяно применительно к потенциалу в форме (11), придем к соотношениям, связывающим главные напряжения и деформации [77]:

ек = Л<з* + С(о-п+<7т) + Я*; (к->п->т)\ (16)

где Як =Як(1а,Ша,3,в°) —нелинейные слагаемые (представлены в диссертации).

£ = (А, + В,щ )о-1 + (А, + В,а2)сг2 + (А, + В,аъ )сг3 + аГ, /с/Г, (17)

В соотношениях (14) и (16) линейные члены отделены от нелинейных (я Я,)

V V' */'

¿десь следует иметь в виду, что характер квазилинейных функций не позволяет непо-

средственно перейти от уравнений вида е^-е^(аы) к зависимостям cjy = <jij{ehn), так как Ец = аы). Поэтому обращая линейные члены уравнений (14), получим тензора напряжений:

ау = (А + D2)ey -3D2eS,j - D3e% - Ну, (18)

где e = e0S,y/3; Н0-= Ho(y/,p,So,00} —нелинейные функции компонентов тензора

напряжений, Dx, D2, D2 — механические константы материала.

Теория термоупругости для изотропных материалов, механические характеристики которых не зависят от вида напряженного состояния, устанавливает законы изменения объема, формы и соотношения, описывающие фазовую характеристику. Эти законы выводят зависимости между инвариантами тензоров напряжений и деформаций. Причем, для материалов, подчиняющихся обобщенному закону Гука, постулируется пропорциональность шаровых тензоров напряжений и деформаций, а также их девиаторов. Это обстоятельство приводит к совпадению направляющих тензоров и независимости изменения объема от формоизменения.

В описанной выше модели связанной термоупругости общие законы деформирования разносопротивляющихся материалов при изотермическом нагружении преимущественно могут быть совместны. Совместность законов изменения объема и формы может возникать как при совпадении направляющих тензоров напряжений и деформаций, так и без него. Указанные выше законы в представлении Матченко Н.М. и Трещёва A.A. имеют вид:

а) закон изменения объема

e = crßK0 + T/3DQ + (b^ + bl2)e°; (19)

б) закон изменения формы

Э = y}l + /g2a>(T/2G0 + ег/ЗЦ) + V/Ö0).

в) уравнение, определяющее фазовую характеристику

tgeo = 3b57isin3<p/(3T}/2G0+z/D0 + bn0°/so)^

г) закон изменения плотности энтропии

1 = {Ъл1;+Ъа)о+Ълчт+Сае*¡Тъ,

Анализируя выражения законов (19)—(22), приходим к выводу о том, что полученные определяющие соотношения для квазилинейных термоупругих материалов учитывают дилатационные свойства. С другой стороны, как следует из уравнений (20) и (21), изменение формы зависит от средних напряжений. Однако, если касательные напряжения г = 0, то формоизменения не происходит Э = 0, т. е. при гидростатическом и температурном напряжении не возникает деформаций сдвига. Наличие подобных свойств у разносопротивляющихся материалов подтверждается в ряде теоретических и экспериментальных исследований.

Задачи расчета элементов конструкций требуют адекватного представления предлагаемых определяющих соотношений применительно к конкретным разносо-противляющимся материалам. Эта проблема решается путем вычисления на основе имеющихся экспериментальных данных констант потенциалов деформаций.

(20)

(21) (22)

Для вычисления констант потенциалов деформаций (9) и (11) используются результатами опытов на одноосное растяжение и одноосное сжатие. В работах Матчен-ко Н.М. и Трещёва А.А. были аппроксимированы экспериментальные зависимости линейными диаграммами по способу наименьших квадратов на весь диапазон деформирования образцов до разрушения и вычислены константы потенциалов деформаций (9) и (11) с учетом трех вариантов априорных предпосылок. Для используемых при апробации материалов — графита марки АР В механические константы материала представлены в табл. 1. Причем для констант Е, ¿3, А4, ¿5 приведены значения, соответствующие второму варианту априорных предпосылок, применяемые к условиям одноосных или плоских напряженных состояний при изгибе тонких пластин.

Таблица 1. Механические константы материала

Материал Технические, МПа Потенциала (11), МПа-' Потенциала (9), МПа"1

Г Г V А-1<Г' В/О'6 СЮ'' D-I0'7 ЕЮ'' ВгЮ'1 Б210'! В, КГ* bsI0'e

Графит АРВ 3750 6130 0,200 0,35 21,490 51,767 -55,215 18,815 0 15,670 40,517 51,349 13,449 29,397

Параметром, характеризующим реакцию тела на связанные механические и температурные воздействия можно назвать коэффициент температурного расширения, значение которого изменяется по всему объёму пластинки и в процессе установления температуры, в зависимости от времени. Искомый параметр является переменным коэффициентом при функции температуры в0 в уравнениях состояния (14):

«у = ЬЛ&у/Зст + Ьа8у/3. (23)

В отличие от традиционного представления постоянного коэффициента температурного расширения, выражение (23) включает слагаемое, учитывающее влияние напряжённого состояния на температурные деформации.

Уравнение теплопроводности получено используя закон теплопроводности Фурье, при предположении, что скорость распространения тепла бесконечно велика:

<7,=-¿'А,, (24)

где <7,- —компоненты вектора теплового потока; Я —коэффициент теплопроводности.

Для построения уравнений притока тепла используется аналогичная работам Матченко Н.М. и Трещёва А.А. методика. Локальная формула приращения энтропии:

7"Д, = -<?,„-+¿7, (25)

где II —удельная мощность источников тепла.

Подставим уравнение (24) в (25) получим зависимости приращения энтропии от температуры:

ТЬ,, = ХГ,ц +и. (26)

Дифференциальное уравнение теплопроводности получено при рассмотрении совместно с (26) выражения (15), продифференцированного по времени и умноженного на температуру.

(ЗА,сг„ + СаТ„ -ХТ,и -С/ = 0. (27)

Считая изменения температуры малыми, в выражении температуры можно пренебречь членом ¿>°/г0 «1. После линеаризации и замены переменных получим уравнение притока тепла:

10°,, -Сав\,-(34<T,t ЩБ„)Т0 + и = 0. (28)

Выражение (28) в отличие от классического уравнения теплопроводности остается нелинейным, несмотря на проведенную линеаризацию по температуре. Кроме традиционного слагаемого, определяющего связанность полей деформаций и температуры, в уравнение (28) входит нелинейная компонента, учитывающая влияние вида напряженного состояния вида напряженного состояния на процесс теплопроводности.

Перепишем уравнение (28) в перемещениях. Для этого воспользуемся уравнениями состояния (18) и связью компонентов вектора перемещений и тензора малых деформаций Коши. Тогда после преобразований получим:

= (29)

где ц = Са- 3A,T0D3; % = А,Т0[Dx - 2£>3); N ^[-А^Ну^+В.Б,,].

Очевидно, что в уравнении теплопроводности (29) фигурируют дополнительные слагаемые, учитывающие связность задачи и юшяние чувствительности вида напряженного состояния на теплофизические характеристики материалов.

В третьем разделе исходя из общих положений теории деформирования упругих изотропных разносопротивляющихся материалов, гипотез теории термоупругости, общей методики решения задач для тел, находящихся в поле действия температуры, рассматривается построение систем разрешающих уравнений для тонких прямоугольных и круглых пластин в условиях термомеханического нагружения.

Используя методику, аналогичную изложенной в работе Н.М. Матченко и A.A. Трещёва, получены разрешающие уравнения для решения связанных задач о расчете напряженно-деформированного состояния прямоугольных и круглых пластин из изотропных разносопротивляющихся материалов в условиях термомеханического нагружения, в рамках квазилинейной аппроксимации физических зависимостей и геометрически линейной постановке.

Рассматривается упругое равновесие тонкой пластины толщиной h из разносо-противляющегося материала под действием поперечной равномерно распределенной нагрузки с интенсивностью q. Положение любой точки определено в ортогональной системе координат хк (к = 1,2,3). При этом плоскость, образованную осями х, и х2 совмещается со срединной поверхностью пластинки в недеформированном состоянии, а ось х3 ориентируется перпендикулярно этой поверхности в направлении прогиба.

Рассматриваются достаточно тонкие пластины, такие, чтобы применение гипотез Кирхгофа-Лява не вызывало возражений. Деформированное состояние пластин определяется компонентами перемещений точек срединной поверхности uuu2,w. Компоненты тензора деформаций выражаются через параметры деформации £,-, и кривизны Хц срединной поверхности (i, j = 1,2):

Рассматриваются геометрически линейные задачи изгиба тонких пластан в декартовой и цилиндрической системе координат. Применительно к конкретным условиям задачи деформации и кривизны срединной поверхности запишем следующим образом, для декартовой системы координат:

У +">,/)/2> (31)

Для цилиндрической системы координат выражения (30) примут вид:

ег=ег+гХг,еч,=£ч> + 2Х1р. (32)

где ХГ'Х<р — кривизны в радиальном и окружном направлениях; £г, е^ — деформации

срединной поверхности.

В цилиндрической системе координат деформации и кривизны срединной поверхности записываются следующим образом:

*г=",г> Еч> = к/г' Х<р=--и>г/г, (33)

где м> г — угол поворота нормали к срединной поверхности пластины; и, ус — радиальные перемещения и прогибы срединной плоскости.

Усилия в срединной поверхности пластин определяются в виде:

ки = \-ш(Тис1хз> мч = 1-ш{аухгахг > (34>

где Ыу —продольныеусилия; Му - изгибающие и крутящие моменты.

Для этих усилий имеем уравнения статики (с учетом продольных усилий в срединной плоскости):

+ ЛГ12>2 =0, Дг12,1 + Щхг = 0, (35)

Л/11Д1 + 2ми п +Мп,22 = 1^,11 -^22^22

Подставляя (34) в (35), а также учитывая (18), (30) и (31), можно получить систему уравнений равновесия пластины в перемещениях. Полученные уравнения равновесия и уравнение притока тепла (29) образуют систему дифференциальных уравнений описывающих напряженное состояние прямоугольных пластин в условиях термомеханического нагружения. После выполнения преобразований, разрешающая система дифференциальных уравнений в частных производных приобретает вид:

h[DluЫl^,5{Dl-D2)u2>n^,5{Dl + D2)uЬ22Уgl■ . (36)

Л[А"2,22 +0,5(А -В2)иы2 +0,5(А + А>)и2,и]- (37)

(н>,Ш1 +2 ч>,п22 2222) А^3/12 = 1 + 8Ъ' (38)

Яв0,ъз-(Ca~ЗAtT0D3)в0,l-AiT0(Dl-2D2)(ul,u+u2,2t) = g4. (39)

где g¡ = g¡ —нелинейные функции (1 = 1,2,3), в развернутом виде представ-

лены в диссертации.

В работе рассматриваются граничные условия в виде жёсткого защемления и шарнирного опирания по контуру пластин. В силу неразделимости задач изгиба и плоского напряженного состояния для пластин из разносопротивляющихся материалов граничные условия задаются и для прогибов, и для перемещений. Кроме контурных, граничные условия для круглых пластин назначаются в центре пластины (г=0). Начальные и граничные условия для температуры, заключаются в том, что в началь-

ный момент времени пластина имеет температуру Т0, и нагревается с двух сторон с некоторым перепадом температуры ЛТ=(ГГТ^, на верхней и на нижней поверхностях пластин поддерживается постоянная температура Т1 и Т2, соответственно.

Разрешающие уравнения (36)—(39) вместе с начальными и граничными условиями образуют замкнутую систему, описывающую связанную задачу термоупругости для тонких прямоугольных пластин, выполненных из изотропных разносопротивляющих-ся материалов.

Для формулировки разрешающей системы дифференциальных уравнении круглой пластины целесообразно применить цилиндрическую систему координат. Усилия в срединной поверхности пластин определяются аналогично (34). Условия равновесия принимаются с учетом влияния продольных усилий:

°> Мг,г+(Мг-М9)/г = дг (40)

где —продольные усилия в радиальном и окружном направлениях; Мг,

изгибающие моменты.

Величина поперечной силы <2Г в случае равномерно распределенной нагрузки

определяется следующим образом:

где д —интенсивность поперечной равномерно распределенной нагрузки.

Подставляя выражения (34), записанные для цилиндрической системы координат в (40), а также учитывая (18), (32) и (33), можно получить систему уравнений равновесия пластины формы в перемещениях (2 уравнения). Полученные уравнения равновесия и уравнение притока тепла (29) образуют полную систему дифференциальных уравнений описывающих напряженное состояние круглых пластин в условиях термомеханического нагружения. После выполнения преобразований, разрешающая система дифференциальных уравнений в частных производных приобретает вид:

кгЕ\(и,п+и,г1г-и1гг) = £1; (42)

(*,,„+»,„!г - м>,г/г2)п^/\2 = Яг/2 + (43)

Х0°~{Са-ЪЛ,Т002)0°„-4Г0(А ~2Д2)и,г, = &, (44)

где д, —нелинейные функции (/= 1,2,3), в развернутом виде пред-

ставлены в диссертации.

Разрешающие уравнения (42)—(44) с начальными и граничными условиями образуют замкнутую систему, описывающую связанную задачу термоупругости для тонких круглых пластин, выполненных из изотропных разносопротивляющихся материалов. В процессе решения прослеживается процесс влияния температуры на механические характеристики материалов и напряженного состояния на распределение температуры по толщине пластинки. Рассчитываются характеристики её напряженно-деформированного состояния, с учетом -температурного воздействия.

В четвертом разделе рассмотрено решение задач об определении напряженно-деформированного состояния прямоугольных (квадратных) и крутых пластин в условиях термомеханичесюго нагружения. В представленной работе указанная задача рассмат-

ривается в связанной постановке. Начальные условия принимались однородными. Ограничимся рассмотрением пластин в линейной геометрической постановке.

С целью сравнения, получаемых решений проводилось сравнение результатов расчета по рассмотренной выше модели (обозначение на рисунках — PC) с результатами расчета на основе физических соотношений Дюгамеля-Неймана, а именно не связанная термоупругость без учёта разносопротивляемости с усреднёнными деформационными характеристиками при растяжении и сжатии (КН), с деформационными характеристиками принятыми как при растяжении (П+) и при сжатии (П-), а также с результатами расчетов, полученными по моделям Толоконникова-Матченко и СЛ. Амбарцумяна в связанной постановке. Проведен анализ полученных результатов, оценены эффекты, вносимые учетом вида напряженного состояния на механические характеристики.

Разбиение пластины, для использования метода конечных разностей, проводилось с постоянным шагом по трём направлениям с постоянным шагом ht (i=l,2,3) на N-1 участков. Дискретизация по времени также проводилась с постоянным шагом, равным h4. Разностные аналоги разрешающих дифференциальных уравнений получены путем замены производных конечными разностями: первого порядка «правыми», «левыми», «центральными»; «центральными» второго порядка и бигармоническими четвёртого порядка. Для аппроксимации производных по времени применяется неявная конечно-разностная схема. Значения функций в законтурных и граничных точках определяются из граничных и начальных условий. Численные исследования показали устойчивость принятой разностной схемы для различных сеток. Исследование сходимости показали достаточную точность принятого шага разбиения сетки.

Уравнения (36)—(39) для прямоугольных и (42)—(44) для круглых пластин представлены в форме (все нелинейные члены выписаны в правых частях), которая удобна для применения метода «упругих решений». В процессе, прослеживается влияние температуры на механические характеристики материалов и напряженного состояния на распределение температуры по толщине и в плане пластинки. Решение системы дифференциальных уравнений на каждой итерации по методу «упругих решений» находится частное решение системы разрешающих уравнений. Алгоритм решения рассмотренной задачи реализован в интерактивной среде для инженерных расчетов MATLAB (MalhWorks Inc., США).

Для демонстрации возможностей предлагаемой теории решалась задача со следующими исходными данными: толщина пластины h=200 мм, размеры квадратной пластины а=6=20О0 мм, размеры круглой пластины г=1000 мм, материал графит АРВ, жестко защемлена (шарнирно опёрта) по контуру; пластина нагружалась равномерно распределенной нагрузкой q=0...13 кПа; также осуществлялся нагрев поверхности пластины. Постоянная температура на нижней поверхности пластины Т2=50 °С, на верхней — Т,=10 "С. Начальная температура пластины Т0=20 "С. Механические характеристики материала: модуль упругости ¿' =3750 МПа; ЕГ=6130 МПа; коэффициент Пуассона v+=0,2, v~=0,35; плотность р=1700 кг/м3; коэффициенты линейного теплового расширения a,+==4.0-J0'6 К; a,'J а,*=1,5; коэффициент теплопроводности 1=150 Вт/(м-К); теплоемкость материала С„=500Дж/(кг К).

На рис. 1—4 представлены некоторые полученные результаты расчёта круглой шарнирно опёртой и жёстко защемлённой пластин.

100 200 300 400 500 Радиус пластины, мм

Рис. 1. Распределение напряжений а, в шарнирно опёртой пластине сверху

------- 1 ! ^

1 4 1 1 vV

- Г+ — г-кн .. —1-

Напряжения аг, МПа

Рис. 2. Распределение напряжений аг в центре шарнирно опёртой пластины

100

500

200 300 Радиус пластины, мм

Рис. 3. Распределение напряжений сг, в жёстко защемлённой пластине снизу

200 300 Радиус пластины, мм

Рис. 4. Распределение прогиба w

в жёстко зашемлённой пластине

Аналогичные и другие результаты, полученные для прямоугольных (квадратных) и круглых жёстко защемлённых и шарнирно опёртых пластин, представлены в диссертации.

В заключении приведены основные результаты и выводы по работе.

В приложениях представлен графический материал как результат выполненных расчетов, текст программы, а также докуметы о внедрения.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Впервые получено решение связанной термомеханической задачи изгиба тонких пластин из изотропных разносопротивляющихся материалов. Получено новое решение научно-технической задачи механики деформированного твёрдого тела, учитывающее влияния текущего состояния НДС на величины температурных характеристик материалов и влияние температуры на напряжённое состояние. Подтверждено наличие известных фактов и обнаружены новые эффекты деформирования. Показано, что совместный учет влияния НДС на величины коэффициентов температурного расширения и эффекта разносопротивляемости, позволяют получить уточнение расчетных результатов по сравнению с существующими моделями.

2 В рамках нормированных пространств напряжений, предложенных в работах Л А Толоконникова, Н.М. Мэтченко и A.A. Трещева, проведены аналогичные исследования для модификации термоупругого потенциала Гиббса Получены разрешаю-

щие уравнения термоупругости для тонких пластин из изотропных разносопротив-ляющихся материалов в декартовой и цилиндрической системах координат при малых перемещениях. Разработана математическая модель решения задачи.

3. На базе модифицированной итерационной процедуры решения физически нелинейных задач разработан и запрограммирован алгоритм определения характеристик НДС прямоугольных (квадратных) и круглых пластин. С использованием разработанного программного обеспечения решены задачи по определению характеристик НДС пластин из разносопротивляющихся материалов под действием равномерно распределенной нагрузки в условиях температурного воздействия.

4. Прогибы для прямоугольных (квадратных) и круглых пластины из графита в связанной постановке меньше до 10 %, нормальные напряжения в связанной постановке больше до 20 %, по сравнению с прогибами и нормальными напряжениями, полученными для несвязанной задачи термоупругости с усреднёнными деформационными характеристиками при растяжении и сжатии.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В РАБОТАХ

(публикации в изданиях, включенных в перечень ВАК российских рецензируемых научных журналов, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук):

1. Читинский Д. С. Решение задачи об изгибе тонкой прямоугольной пластины из разносопротивляющихся материалов в условиях термомеханического на-гружения / Д. С. Чигинский, В. Г. Теличко, А. А. Петров // Известия ТулГУ. Технические науки. Вып. I. В 2 ч. Ч. 2. — Тула: Изд-во ТулГУ, 2009. — с. 114—120.

2. Чигинский Д. С. Связанная задача термомеханического изгиба тонких прямоугольных пластин из изотропных разносопротивляющихся материалов / Д. С. Чигинский, А. А. Трещёв, В. Г. Теличко // Известия ТулГУ. Технические науки. Вып. 2. Проблемы специального машиностроения. — Тула: Изд-во ТулГУ, 2011. — с. 494—502.

3. Чигинский Д. С. Анализ определяющих соотношений для нелинейных изотропных разносопротивляющихся материалов в задачах термоупругости / Д. С. Чигинский, А. А. Трещёв, В. Г. Теличко, // Известия ТулГУ. Технические науки. Вып. 2. Проблемы специального машиностроения. — Тула: Изд-во ТулГУ, 2011.—с. 547—555.

(публикации в остальных изданиях):

4. Чигинский, Д. С. Вывод системы разрешающих уравнений связанной задачи термоупругости для тонких прямоугольных пластин из разносопротивляющихся материалов / Д. С. Чигинский, В. Г. Теличко, А. А. Петров // 3-я Международная конференция по проблемам горной промышленности, строительства и энергетики - Тула* Изд-во ТулГУ, 2007. - с. 288-294.

5. Чигинский, Д. С. Расчёт напряжённо-деформированного состояния круглых пластин из материалов с усложнёнными свойствами в условиях термомеханического на-гружения / Д. С. Чигинский, А. А. Петров, В. Г. Теличко // Материалы МНК «Современные проблемы математики, механики, информатики». - Тула: ТулГУ, 2007. - с. 196-197.

6. Чигинский, Д. С. Решение связанной задачи термоупругости для тонких прямоугольных пластин из графита / Д. С. Чигинский, А. А. Петров, В. Г. Теличко // Материалы международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики». - Тула: Изд-во ТулГУ, 2007. - с. 198-199.

7. Чигинский, Д. С. К решению задачи об изгибе тонкой круглой пластины из разносопротивляющихся материалов в условиях термомеханического нагружения / Д. С. Чигинский, А. А. Петров, В. Г. Теличко И Сб. статей VII Международной НТК, посвященной 50-летию ПГУАС. - Пенза: ПДЗ, 2008. - с. 153-156.

8. Чигинский, Д. С. Характерные результаты расчета НДС тонкой прямоугольной пластины из разносопротивляющегося материала в условиях термомеханического нагружения / Д. С. Чигинский, В. Г. Теличко // Надёжность и долговечность строительных материалов, конструкций и оснований фундаментов. Материалы V Международной конференции, г. Волгоград, 23-24 апреля 2009 г. В 3-х ч. Ч. III. - Волгоград: ВолгГАСУ, 2009. - с. 242-247.

9. Чигинский, Д. С. Решение связанной задачи о поперечном изгибе тонкой прямоугольной пластины из графита в условиях термомеханического нагружения / Д. С. Чигинский, А. А. Трещёв, В. Г. Теличко // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики. - Воронеж: ВГУ, 2009. - Ч. 2. - с. 204-209.

10. Чигинский, Д. С. Термомеханический изгиб прямоугольных пластин из разносо-противляющихся материалов с учетом связанности задачи / Д. С. Чигинский, А. А. Трещёв, В. Г. Теличко // Исследования и инновационные разработки РААСН. - Москва-Иваново: РААСН-ИГАСУ, 2010. - Т. 2. - с. 216-221.

11. Чигинский, Д. С. Связанная термомеханическая задача изгиба тонких прямоугольных пластин из изотропных материалов с усложнёнными свойствами / Д. С. Чигинский // Молодёжь и наука: сборник материалов VII Всероссийской НТК студентов, аспирантов и молодых ученых, посвященной 50-летию первого полета человека в космос / отв. ред. О. А. Краев. - Красноярск: Сиб. федер. ун-т., 2011. - с. 37-40.

12. Чигинский, Д. С. Связанные термомеханические задачи изгиба тонких прямоугольных пластин из изотропных разносопротивляющихся материалов / Д. С. Чигинский, В. Г. Теличко, А. А. Трещёв // Материалы международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики». - Тула: Изд-во ТулГУ, 2011. - с. 230-235.

13. Чигинский, Д. С. Связанные задачи термомеханического изгиба тонких прямоугольных пластин из изотропных разносопротивляющихся материалов / Д. С. Читинский // 7-я Международная конференция по проблемам горной промышленности, строительства и энергетики. Материалы конференции. Т. 2. - Тула: Изд-во ТулГУ, 2011.-с. 103-111.

Изд.лиц.ЛР № 020300 от 12.02.97. Подписано в печать 10.04.2012 г. Формат бумаги 60x84 Vi6. Бумага офсетная. Усп.печ. л. 1,1 Уч.изд. л. 1,0 Тираж 120 экз. Заказ 015 Тульский государственный университет. 300012, г. Тула, просп.Ленина, 92. Отпечатано в Издательстве ТулГУ. 300012, г. Тула, просп.Ленина, 95.

61 12-5/2504

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тульский государственный университет»

На правах рукописи

Чигинский Дмитрий Сергеевич

СВЯЗАННАЯ ЗАДАЧА ТЕРМОУПРУГОСТИ ДЛЯ ТОНКИХ ПЛАСТИН ИЗ ИЗОТРОПНЫХ РАЗН0С0ПР0ТИВЛЯЮЩИХСЯ МАТЕРИАЛОВ

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого

твердого тела

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель

д-р техн. наук, проф. Трещёв А. А.

Тула - 2012

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

ВВЕДЕНИЕ ............................................... 4

1. ОБЗОР СОВРЕМЕННЫХ ТЕОРИЙ ДЕФОРМИРОВАНИЯ МАТЕРИАЛОВ С УСЛОЖЕННЫМИ СВОЙСТВАМИ. ОБЗОР РАБОТ ПО РАЗНОМОДУЛЬНОЙ ТЕРМОУПРУГОСТИ........................................13

1.1. Особенности моделей определяющих соотношений первой группы ...................................... 13

1.2. Особенности моделей определяющих соотношений второй группы ...................................... 21

1.3. Особенности моделей определяющих соотношений третьей группы ..................................... 30

1.4. Обзор работ по разномодульной теории термоупругости ..................................... 34

2. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ИЗОТРОПНЫХ РАЗН0С0ПР0ТИВЛЯЮЩИХСЯ МАТЕРИАЛОВ, НАХОДЯЩИХСЯ В ПОЛЕ ДЕЙСТВИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ ...4 0

2.1. Пространства нормируемых напряжений ........... 4 0

2.1.1. Пространство №1 ........................ 4 0

2.1.2. Пространство №2 ........................ 42

2.2. Определяющие соотношения для структурно изотропных сред. Потенциал деформаций .............. 4 4

2.3. Физические соотношения термоупругости для изотропных разносопротивляющихся материалов ........ 4 6

2.3.1. Термодинамический потенциал Гиббса для разносопротивляющегося материала .............. 4 6

2.3.2. Уравнения состояния термоупругого изотропного разносопротивляющегося материала . . 50

2.3.3. Закон изменения объема, формы, соотношение связи и фазовых характеристик изотропного разносопротивляющегося материала, находящегося в поле действия температуры ...... 53

2.3.4. Механические константы

термодинамического потенциала Гиббса .......... 5 6

2.3.5. Температурные константы

термодинамического потенциала Гиббса ..........73

2.4. Основные дифференциальные уравнения термоупругости, учитывающие влияние вида напряженного состояния на поведение среды .......... 75

2.4.1. Общая постановка краевых задач ......... 75

2.4.2. Дифференциальные уравнения притока тепла7б

2.4.3. Общая система дифференциальных уравнений термоупругости разносопротивляющихся материалов7 8

2.5. Коэффициент температурного расширения .........83

3. СИСТЕМА РАЗРЕШАЮЩИХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ТОНКИХ ПЛАСТИН В

УСЛОВИЯХ ТЕРМОМЕХАНИЧЕСКОГО НАГРУЖЕНИЯ ................84

3.1. Основные гипотезы для расчета пластин ......... 8 4

3.2. Разрешающая система уравнений для прямоугольной

пластины...........................................8 6

3.3. Разрешающая система уравнений для круглой

пластины...........................................8 8

3.4. Граничные условия ............................. 90

4. РАСЧЕТ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ТОНКИХ ПЛАСТИН В УСЛОВИЯХ ТЕРМОМЕХАНИЧЕСКОГО НАГРУЖЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ С УСЛОЖНЕННЫМИ СВОЙСТВАМИ .................. 92

4.1. Численная реализация и особенности расчета .... 93

4.2. Прямоугольная пластина ........................ 96

4.2.1. Общая постановка задачи ................ 96

4.2.2. Полученные результаты и их анализ ..... 101

4.3. Круглая пластина ............................. 108

4.3.1. Общая постановка задачи ............... 108

4.3.2. Полученные результаты и их анализ ..... 112

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ...........................................118

ЛИТЕРАТУРА ...........................................121

Приложение 1 .........................................143

Приложение 2 .........................................153

Приложение 3 .........................................162

Приложение 4 Текст программы ......................... 167

Приложение 5 Акты внедрения ..........................179

ВВЕДЕНИЕ

Инженерная практика постоянно требует повышения точности расчета элементов строительных конструкций, деталей машин и аппаратов. Очевидно, что решение данной задачи невозможно без совершенствования определяющих соотношений, достаточно надежно описывающих процессы деформирования конструкционных материалов, а также без совершенствования методик расчета конструкций с использованием этих соотношений. В настоящее время многие конструкции и детали изготавливаются как из новых, так и из традиционных материалов, которые не подчиняются классическим законам деформирования. Эти материалы оказываются чувствительными к виду напряженного состояния, в них проявляются такие эффекты как дилатация и разно-сопротивляемость, обнаруживается влияние температуры на механические характеристики материалов и напряженного состояния на распределение температуры. К материалам, обладающим подобными свойствами, относят бетоны, керамику, серые и ковкие чугуны, некоторые марки конструкционных графитов, ряд полимеров и большинство композитов. Следует заметить, что дилатация и разносопротив-ляемость проявляются не только в мгновенных характеристиках, в скоростях деформаций, но и в длительностях до разрушения при ползучести и в пределах прочности. В общем случае, эти материалы можно рассматривать как материалы с «усложненными» механическими свойствами.

Зависимость деформационных характеристик от вида напряженного состояния для рассматриваемых материалов достаточно сложна и не сводится только к неодинаковому их поведению при одноосных растяжение и сжатии. Так,

экспериментально установлено, что жесткость большинства разносопротивляющихся материалов может зависеть не только от знаков возникающих напряжений, но и от их количественных соотношений механических и температурных факторов влияющих на напряженное состояния.

Указанные свойства вступают в противоречие с классическими представлениями механики деформируемого твердого тела, основанными на гипотезе единой кривой деформирования. В связи с этим естественными представляются усилия ученых-механиков, стремящихся к разработке непротиворечивой теории деформирования разносопротивляющихся материалов, адекватной экспериментальным данным.

Систематические экспериментальные исследования [9, 10, 42, 73, 70, 78, 82, 85, 86, 107, 108, 114, 115, 137] показали, что механические свойства разносопротивляющихся материалов не только различны при растяжении и сжатии, но и плавно меняются в самом широком диапазоне изменения видов напряженного состояния. В частности установлено, что большинство дилатирующих материалов оказались разносопротивляющимися. В общем случае, механической разносопротивляемостью могут обладать изотропные и анизотропные материалы.

Классические теории, базирующиеся на гипотезах существовании однозначной зависимости между напряжениями и деформациями, и пропорциональности девиаторов двух соосных тензоров, очевидно, не могут правильно оценить напряженно-деформированные состояния сплошных сред, обладающих указанными особенностями.

Анализ экспериментальных данных показывает, что зависимость механических характеристик многих материалов

от вида напряженного состояния в условиях термомеханического нагружения в большей мере проявляется при достаточно высоком уровне напряжений. Естественно, что наиболее чувствительны к виду напряженного состояния характеристики прочности, а также характеристики, отвечающие за теплопроводность материала.

Отметим, что существенные эффекты, возникающие в работе конструкций, связанные с явлением разносопротив-ляемости материалов в условиях термомеханического нагружения, обнаруживаются при сложном напряженно-деформированном состоянии, которое отличается от простого растяжения или сжатия.

Теория деформирования материалов с усложненными свойствами относительно молодая ветвь механики деформируемого твердого тела. Ее становление можно отнеси к началу 50—60-х годов двадцатого столетия. За этот период был предложен ряд моделей определяющих соотношений для разносопротивляющихся и дилатирующих материалов. Однако большинство этих моделей обладают существенными недостатками, базируются на отдельных грубых гипотезах и могут иметь ограниченное применение к реальным материалам.

За период интенсивного развития механики материалов, учитывающей чувствительность их механических характеристик к виду напряженного состояния, было предложено достаточно большое количество уравнений состояния разносопротивляющихся сред, базирующихся на различных технических гипотезах. Но, несмотря на всю глубину теоретических проработок моделей теории деформирования разносопротивляющихся сред, совершенно недостаточно

внимания уделено зависимости от вида напряженного состояния такой характеристики материала, как коэффициент линейного температурного расширения и в целом разномо-дульной теории термоупругости. Между тем как, например, в 1972 году были опубликованы результаты экспериментальных исследований P.E. Hart по влиянию вида предварительного нагружения на модуль Юнга и коэффициенты линейного температурного расширения графитов [14 0]. Было показано, что для некоторых марок графитов коэффициенты линейного температурного расширения могут различаться на 100 % и более, в зависимости от того, какой вид напряженного состояния был реализован при испытании образцов.

Таким образом, можно констатировать, что учет явления разносопротивляемости материалов, а также исследование влияния температуры на механические характеристики материалов и напряженного состояния на распределение температуры в элементах конструкций, таких как тонкие пластины, является актуальной задачей, как в научном, так и в прикладном плане.

Целью диссертационной работы является построение модели связанной термоупругости для расчёта напряженно-деформированного состояния (НДС) тонких прямоугольных и круглых пластин из изотропных разносопротивляющихся материалов, находящихся под действием механических нагрузок и температурных полей.

Для иллюстрации работы разрабатываемого подхода выполнено решение ряда прикладных задач о деформировании тонких пластин из изотропных разносопротивляющихся материалов различной геометрической конфигурации.

Для этой цели необходимо:

— выбрать модель, наиболее точно описывающую напряженно-деформированное состояние изотропных разносопротивляющихся материалов в условиях термомеханического воздействия.

— используя термодинамический потенциал Гиббса и потенциальные уравнения состояния для изотропных материалов, чувствительных к виду напряжённого состояния, предложенные в работах Матченко Н.М., Толоконникова JI.A. и Трещёва A.A., получить феноменологические соотношения термоупругости для изотропных разносопротивляющихся материалов;

— сформулировать полную систему дифференциальных уравнений термоупругости, учитывающих влияние вида напряженного состояния на поведение среды в декартовой и цилиндрической системе координат;

— выбрать и обосновать принятый метод решения прикладных задач, разработать алгоритм решения поставленных термомеханических задач об определении НДС тонких пластин из изотропных материалов с усложненными свойствами и программную реализацию на ЭВМ;

— используя разработанную математическую модель и программную реализацию алгоритма расчета решить серию задач деформирования прямоугольных и круглых пластин из изотропных материалов с усложненными свойствами в условиях термомеханического нагружения;

— сравнить полученные результаты решения задач по деформированию пластин, где возможно, с анало-

гичными данными, полученными на основе наиболее апробированных и применяемых моделей.

Новыми научными результатами, которые выносятся на защиту, являются:

1. уравнения теории термоупругости для решения связанных задач по расчёту НДС тонких пластин в условиях термомеханического нагружения, изготовленных из разносопротивляющихся материалов, зависящими от вида напряженного состояния, с учетом влияния температуры на механические характеристики материала и напряженного состояния на распределение температуры в элементах конструкций;

2. математическая модель, вариант алгоритма и программная реализация итерационного метода решения задач по расчёту НДС тонких пластин, изготовленных из материалов с «усложненными» свойствами, находящихся в условиях термомеханического нагружения;

3. результаты расчетов, показывающие новые эффекты деформирования тонких пластин из разносопротивляющихся материалов, с учетом влияния температуры на механические характеристики материала и напряженного состояния на распределение температуры в элементах конструкций.

Достоверность представленных в работе положений и выводов подтверждается получением теоретических результатов строгими математическими методами, основанными на фундаментальных положениях механики деформируемого твердого тела, хорошим соответствием полученных резуль-

татов, имеющимся по деформированию разносопротивляющих-ся материалов экспериментальным данным, сравнением расчетных данных с результатами исследований на основе иных уравнений состояния, которые имеют более существенные погрешности в описании экспериментальных диаграмм деформирования по сравнению с принятыми.

Математическая модель решения задачи термомеханического изгиба прямоугольных и круглых тонких пластин из изотропных материалов, обладающих чувствительностью к виду напряженного состояния, построена на основе традиционных зависимостей статико-геометрической природы. Данная модель реализована численно методом конечных разностей, все численные расчеты выполнены на ЭВМ с оценкой точности решения, при этом полученные результаты апробированы сравнением с ранее известными моделями.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех разделов, заключения, списка литературы и приложений.

В первом разделе дается обзор моделей определяющих соотношений и экспериментальных исследований по деформированию разносопротивляющихся материалов различной структуры, проведен анализ основных направлений в моделировании материалов с усложненными свойствами, проявляющиеся в зависимости от напряженного состояния. Приводится обзор современного состояния исследований термоупругости разносопротивляющихся материалов, а также влияния напряженного состояния материала на его температурные характеристики, в частности коэффициент линейного температурного расширения.

Во втором разделе рассматриваются пространства нормированных напряжений, связанные с октаэдрическими пло-

щадками и с главными осями тензора. В рамках теории Н.М. Матченко и A.A. Трещёва, рассмотрены подходы к построению определяющих соотношений для изотропных материалов с усложненными свойствами при термомеханических воздействиях, анализируются модифицированный потенциал Гиббса в различных нормированных пространствах. Приводятся определяющие соотношения изотропных разносопротивляющихся материалов, чувствительных к виду напряженного состояния, описывающие их деформирование при термомеханическом нагружении. Рассмотрены принципы определения констант термодинамического потенциала Гиббса для разносопротивляющихся материалов, законы изменения объема и формы, приведено сравнение определяющих соотношений с результатами экспериментальных исследований, которое показывает адекватность предложенных теоретических зависимостей реальным напряженно-деформированным состояниям ряда конструкционных материалов, что подтверждает их достоверность. В рамках общих положений теории деформирования упругих изотропных разносопротивляющихся материалов и основных гипотез теории термоупругости приводится построение общей методики решения задач для тел, находящихся в поле действия температуры. Освещаются специфические особенности напряженно-деформированного состояния разносопротивляющихся материалов, вызванные температурным воздействием. Приводятся основные дифференциальные уравнения: уравнения динамического равновесия и уравнение теплопроводности, а также выражение для коэффициента температурного расширения, учитывающее влияние напряжённого состояния.

В третьем разделе в рамках рассмотренной теории деформирования для изотропных разносопротивляющихся материалов, на основе выбранных определяющих соотношений строится полная система разрешающих дифференциальных уравнений, которая позволяет определять напряженное и деформирование состояния прямоугольных (квадратных) и круглых пластин при различных вариантах нагружения.

В четвертом разделе используя полученные уравнения, строится математическая модель для определения НДС прямоугольных и круглых пластин с учетом разносопротивляе-мости материала, влияния напряженного состояния на коэффициенты температурного расширения. На основе метода «упругих решений» и метода конечных разностей, строится итерационный алгоритм для программной реализации на ЭВМ, для решения п