Новые решения уравнений двумерной анизотропной пластичности

Филюшина, Елена Владимировна

Новые решения уравнений двумерной анизотропной пластичности тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Филюшина, Елена Владимировна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Красноярск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2012 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Новые решения уравнений двумерной анизотропной пластичности»

Автореферат диссертации на тему "Новые решения уравнений двумерной анизотропной пластичности"

на правах рукописи

Филюшина Елена Владимировна

НОВЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДВУМЕРНОЙ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛАСТИЧНОСТИ

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

005017204

1 0 ¡¡(¡-¿»у ¿012

Красноярск — 2012

005017204

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М.Ф. Решетнева» (СибГАУ) г. Красноярск

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Сенатов Сергей Иванович Официальные оппоненты: Садовский Владимир Михайлович

доктор физико-математических наук, профессор, Институт вычислительной математики СО РАН, заместитель директора по научной работе

Хромов Александр Игоревич

доктор физико-математических наук, профессор, Самарский государственный аэрокосмический университет, заведующий кафедрой прочности летательных аппаратов

Ведущая организация Новосибирский государственный технический

университет, г. Новосибирск

Защита состоится «30» мая 2012 г. в 14 ч. на заседании диссертационного совета Д 212.249.04 при ФГБОУ ВПО «Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М.Ф. Решетнева» по адресу: 660014, г. Красноярск, проспект имени газеты «Красноярский рабочий», 31.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Сибирский государственный аэрокосмический университет имени Академика М.Ф. Решетнева»

Автореферат разослан « 5 ? » апреля 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук

О.В. Гомонова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность

В настоящее время математическая тёория пластичности является одной из хорошо разработанных частей;> механики деформируемого твердого тела. Первые работы по математической теории пластичности относятся к семидесятым годам XIX века и связаны с именами А. Треска, Б. Сен-Венана, М.Леви.

Система дифференциальных уравнений двумерной идеальной пластичности является важной основой, как для механиков, так и для инженеров, потому что служит моделью для расчета различных технологических процессов.

Систематическое исследование двумерных полей напряжений при пластическом состоянии было начато в 20-х годах XX века. В его основе лежит метод, основанный на изучении характеристик гиперболической системы пластичности. Эти характеристики, известные как линии скольжения, обладают рядом замечательных свойств и позволяют построить решения многих практических задач. Развитие фундаментальных соотношений теории идеальной пластичности связано с именами Г. Гейрингер, Г. Генки, В. Койтера, Е. Ли, А. Надаи, Е. Оната, В. Прагера, Л. Прандтля, Р. Хилла и др. Вопросам и задачам теории идеальной пластичности, упругопластичности посвящены многочисленные работы отечественных авторов: Б.Д. Аннина, Г.И. Быковцева, Ю.Н. Радаева, Д.Д. Ивлева, А.Ю. Ишлинского, Л.М. Качапова, Р.И. Непершина, В.В. Соколовского, С.А. Христиановича, А.И. Хромова, В.М. Садовского и др.

Однако до настоящего времени уравнения теории пластичности не исследованы в полной мере. Вся сложность заключается в нелинейности системы дифференциальных уравнений, как в двумерном, так и в

пространственном случаях. Точные решения в замкнутом виде приведены в работах Л. Прандтля, А. Надаи, Д.Д. Ивлева, В.В. Соколовского, Б.Д. Аннина, С.И. Сенашова и др.

Для системы двумерных уравнений пластичности известно несколько точных решений позволяющих анализировать механические процессы. Точные решения используются для тестирования численных методов; оценки надежности несущих конструкций и т.п. Поэтому каждое новое точное решение представляет несомненный теоретический и практический интерес.

Одним из современных методов поиска точных решений дифференциальных уравнений механики является групповой анализ, базой которого являются группы непрерывных преобразований (или точечные симметрии), допускаемые уравнениями. Симметрии позволяют искать различные виды решений, получать новые решения из известных и т.п. В данной работе продолжаются исследования в этом направлении, начатые Б.Д. Анниным, С.И. Сенашовым для двумерных уравнений идеальной пластичности.

Целью работы является построение новых точных решений уравнений анизотропной теории пластичности с применением методов группового анализа, а также использование законов сохранения для нахождения аналитического решения задачи о волне нагрузки в упругопластическом стержне.

Методика исследования. В основу исследования положены: методы группового анализа, а также методы уравнений в частных производных.

Научная новизна. Все результаты, полученные в диссертации, являются новыми.

Основные элементы новизны в диссертации:

• предложена методика построения решений уравнений идеальной пластичности с помощью высших симметрий;

• найдены новые точные решения уравнений анизотропной пластичности в двумерном случае с помощью - группы непрерывных преобразований;

• решена задача о распространении продольной плоской волны нагрузки в однородном полубесконечном упругопластическом стержне с помощью законов сохранения.

Теоретическое и практическое значение работы заключается в построении новых точных решений системы уравнений анизотропной пластической среды, которые найдут применение в теоретических и практических исследованиях при изучении поведения материалов при пластических деформациях, установлении законов деформирования материалов. Найденные решения могут быть использованы как тестовые при численных расчетах.

Апробация. Результаты, полученные в работе на разных этапах ее выполнения докладывались и обсуждались на:

1. ЬХУ Международной конференции «Герценовские чтения-2012» (Санкт-Петербург, 2012 г.);

2. II Всероссийской конференции "Деформирование и разрушение структурно-неоднородных сред и конструкций", посвященной 85-летию со дня рождения профессора О.В. Соснина (Новосибирск, 2011 г.);

3. XIV Международной научной конференции, имени академика М. Ф. Решетнева «Решетневские чтения» (Красноярск, 2010 г.);

Полученные результаты докладывались на научных семинарах СибГАУ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано пять печатных работ. Из них две статьи в изданиях из перечня ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, списка литературы из 67 наименований и занимает 129 страницы машинописного текста.

Для удобства ссылок, нумерация формул здесь соответствует нумерации, приводимой в диссертации.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Настоящая диссертационная работа посвящена построению новых решений нелинейных дифференциальных уравнений двумерной идеальной анизотропной пластичности методами группового анализа, а также использованию законов сохранения для нахождения аналитического решения задачи о волне нагрузки в упругопластическом стержне.

Во введении дано обоснование актуальности выбранной темы, приведен обзор работ по данной тематике и необходимые сведения о системе уравнений пластичности, дана краткая аннотация разделов диссертации.

В первой главе содержатся общие теоретические положения, необходимые для дальнейшего понимания диссертационной работы. Здесь приводятся сведения из группового анализа: формулируется понятие точечных и высших симметрий и способов их вычисления, вводятся понятия о законах сохранения, их свойствах и применении.

В § 1 второй главы приведены уравнения анизотропной теории пластичности и их свойства.

Система уравнений анизотропной теории пластичности в двумерном случае имеет вид:

дих дт

дх ду

(2.1)

(2.2)

1-е

где ах,ау)т - компоненты тензора напряжения, 1-е = а2 - параметр

анизотропии'^, к- предел текучести при сдвиге.

Во § 2 второй главы найдена группа непрерывных преобразований, допускаемых системой (2.1), (2.2) записанной виде:

дх

да ду

дв _ дв . „„ а — cos 20 +— sm 2в

дх ду

= 0,

-2

—sin 20-а—cos 2(9 1 = 0.

дх ду

(2.4)

Показано, что система (2.4) допускает алгебру Ли, порождаемую операторами:

д д д

Xl -X— + у—, Х2 =-,

дх ду да

Ö д Х+ = х0 (а, ff)— + у0 (а, в)-—, ах ду

(2.42)

где (х0, у0) — произвольное решение системы уравнений:

эй t So- да )

^ дв Уда- да J

В § 3 второй главы рассмотрены известные решения уравнений анизотропной пластичности и их свойства.

В § 4 второй главы найдены новые решения уравнений анизотропной теории пластичности.

Найдено инвариантное решение системы (2.4) вида

= -1/

а -ааsin2ö

ЬїіЬ

■ J-isr

/2' 2 y = acos20-2aO + Cg. где Сf,С g - произвольные постоянные.

sin 20 +С,,

А,

Хилл, Р. Математическая теория пластичности / Р. Хилл // М.: Госгехиздат, 1954. - 407 с.

Это решение является инвариантным решением относительно оператора Х+, построенного на основе решения (аналог решения Прандтля)

[ у = со$2в

На основе решения А) аналогично построено новое решение системы

(2.4)

х = -]/,аъ -а/.ст2 эш26> + ^ ~ ^іп2 2в + --аът2в + /6/2 2 2

„2

+ ва соб20 - -біп3 26» + — біп3 20 + С,, 6 6х

/ СС 1

= - у. а2 соъ29 - ава--с,оъ2в - ва2 5ш20 —со%2в +

/2 2 4

1 „з <•)/!., «„„ОД «„„„3,

+ —сое' 2в + —С052в--соэ 29 + С,

12 4 12 *

Из решений АГ], А,,А2 можно построить комбинированное решение вида: А0+/1А1, А1+у1А2 и так далее, где , -

произволыше постоянные. Таким образом, можно построить бесконечную серию решений уравнений системы (2.4). Этот процесс можно представить в виде «дерева» решений (рис. 28).

Bo+6iB2—Со

Во+82В1=С1

Ві+6зВ2=Сг

Сз

Рисунок 28 — Дерево решений

В § 5 второй главы построены характеристики решений уравнений анизотропной пластичности, найденных в § 4 второй главы.

Для решения А! два семейства характеристик (х', v+),(х имеют

вид:

= -lij-Ja2 cos2 2в + sin2 2ddoj - 2а sin26>J л/а2 cos2 26 + sin2 2всів +

+ ^lin220 + Q, 2 1

= 2 cos26>j"Va2 cos2 26* + sin2 Івсів - 2 ав + C2,

х~ = ■-Ja2 cos2 20 + sin2 2 0doj + 2asm2d¡Ja2 cos2 20 + sin2 20 dO +

+¿z^!}s¡n22é)+c3)

o J

у" = -2cos2é>jVa2 cos2 20 + sin2 20d0 - 2ав + С4.

где С,, С2, С'3, С4 - произвольные постоянные.

Например при а = 0,5 характеристики решения Ai будут выглядеть следующим образом:

Характеристики {х ,у ) решения Ai Характеристики {х\у') решения Ai Для решения А2 два семейства характеристик (х* ,у*\(х~ ,у) имеют

вид:

= - %(jVa2cos2 20 + sin2 20 dd) - 2asm2o{¡^a2 cos2 20 + sin2 2Ode} +

+ sin2 20 + -~asin20 + Oa cos20 -—sin3 20 + —sin3 20, 2 2 6 6

у+ = -соб2 6>([ л/а2 соб2 20 + бш2 2вйв^ - 2 ав\^а2 соб2 20 + бтп2 2вйв -

-—соб20 - 0а2 бш20 - -соб20 +—соб3 26» + -соб20 -— соб3 20. 2 4 12 4 12

Vа2 соб2 20 + БШ2 2вс1в^ - 2аБШ20([Л/«2 СОЯ2 20 + БШ2 20^0)'

+ ^-^яп2 20 + --аБт20 + васо%2в - -бш3 20 + —бш3 20, 2 2 6 6

у" =-соз20([л/а2 соб2 20 + бш2 20Л? | + 2а0| л/ а2 соб2 20 + бш2 20й?0 -

-~соб20 - во2 бщ20 - -соб20 +—соб3 20 + -соб20 - —соб3 20. 2 4 12 4 12

Решения Аь А2 можно использовать для анализа пластического состояния слоя, сжимаемого жесткой плитой.

В § 1 третьей главы рассмотрена высшая симметрия уравнений (3.1) вида:

Г У* Л <р= 1_

V I У

где дг = хсоБ0 + >'Бт0, у = —х бш 0 + у соб 0, £ = — -0, т]= — +9, -

2к 2к

инварианты Римана системы уравнений идеальной пластичности в плоском случае:

^ = — - 2^(соб 20— + БШ 20 —) = О, дх дх ду

да , . „^30 „,-,90.

;--2£(БШ20--соб20—)

ду дх ду

(3.1)

В § 2 третьей главы рассмотрено действие высшей симметрии ф на решение Прандтля, описывающее сжатие пластического слоя жесткими плитами.

Показано что на данном решении высшая симметрия ср сводится к преобразованию вида х' = jcexpí, у = у exp t, где t — непрерывный параметр.

Поэтому новых решений из решения Прандтля построить не удается.

В § 3 третьей главы рассмотрено действие высшей симметрии ср на решение Надай, описывающее пластическое течение в плоском сходящемся канале. Оно имеет вид:

сгп - -2ксЪ\г + ксоъ2ц/ - кс 1п(с - cos2у/), а - -2 кс lar - к cos 2 цг - кс 1п(с - cos 2 цг), rrtp = к sin 2ц/, аг — а = 2к cos 2ц/ > О, где ц/ - угол между первьм главным направлением тензора напряжений и полярным радиусом.

Постоянная с связана с углом канала 2а соотношением:

сс + л/.= —areteо0, 0<а<7Г/1.

74 л/Т^Т V с — 1 /2

Тогда уравнение первого семейства характеристик этого решения имеют вид

^^¿Яуы у{0,с^хТ{0).

где S{$) = л/с + сТ2 (в) + sin 26»[l - Г2 (0)J- 2T(0)cos 2в, T{e) = tg

Здесь cl - постоянная, определяющая характеристику, в є (0, а) -параметр.

e + x/4-arctg\^tg

В этом случае уравнение преобразовашіьіх характеристик первого семейства решения Надай под действием симметрий <р, будут иметь вид

1 ю

х(т, с1) = —== Г x(w, с,) ехр 2 V7ZT _ «

у(т, = —= ? с?!) ехр

2ЛІ7ГТ _„

4т 4т

dco,

da.

Аналогично выписываются преобразованные характеристики и второго семейства. Предварительные компьютерные расчеты показывают, что в этом случае высшая симметрия ср дает новое решение.

В § 1 четвертой главы рассмотрен процесс распространения пластических деформаций в полубесконечном упругопластическом стержне, вызванных приложенной к концу стержня динамической нагрузкой p(t), неубывающей во времени (т.е. dp/dt> 0); рассмотрен простейший случай распространения волн нагружения в однородном полубесконечном стержне, находившемся в начальный момент в невозмущенном состоянии.

В пластической области напряженно деформированное состояние

стержня описывается уравнением

dv да 8t~ дх'

дет _ 2/з dv 8t

дх'

(4.14)

где а = <тх1 — компонента тензора напряжений, V — скорость частиц среды вдоль оси 0х, р ~ плотность, далее полагаем что р =1, а - постоянная, а2 (сг) = <т2/г — скорость распространения продольных волн в стержне.

В § 2 четвертой главы для уравнений (4.14) построена бесконечная система законов сохранения вида:

дхА + дуВ = О, (4.15*)

где А,В произвольные решения системы уравнений:

гх'МЗ-О,

(4.16)

ЗА дв п -а— + — = 0. дт] дт]

Используя законы сохранения (4.16), найдено аналитическое решение задачи о волне нагрузки в упругопластическом стержне.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Основные результаты диссертационного исследования:

• предложен метод построения решений уравнений идеальной пластичности с помощью высших симметрии, построены новые решения;

• найдены некоторые новые точные решения, которые являются аналогами точных решений в изотропном случае, с помощью группы непрерывных преобразовать, допускаемых системой уравнений анизотропной пластичности в двумерном случае;

• с помощью законов сохранения решена задача о распространении продольной плоской волны нагрузки в однородном полубесконечном упругопластическом стержне.

Основное содержание диссертации отражено в следующих работах.

Публикации в журналах из перечня ВАК:

1. Филюшина, Е.В. Преобразование точных решений уравнений пластичности высшими симметриями / С.И. Сенатов, Е.В. Филюшина //

Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева - 2011/ - Т. 4 (37). - С.90-92.

2. Филюшина, Е.В. Некоторые точные решения уравнений анизотропной теории пластичности / С.И. Сенатов, Е.В. Филюшина // Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева - 2011/ - Т. 5 (38). - С.92-95.

Прочие публикации по теме диссертационного исследования:

3. Филюшина, Е.В. Законы сохранения и их использование для решения задач пластичности / С.И. Сенатов, Е.В. Филюшина /УРешетневские чтения: материалы XIV Междунар. науч. конф., имени академика М. Ф. Решетнева (10-12 нояб. 2010, г. Красноярск); под общ. ред. Ю.Ю. Логинова. / Сиб. гос. аэрокосм. ун-т. — Красноярск, 2010. - 4.2. -С. 649-650

4. Филюшина, Е.В. Аналитические решения задачи о волне нагрузки в упругопластическом стержне / С.И. Сенатов, Е.В. Филюшина // Динамика сплошной среды. Вып. 127 — Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО РАН, 2012.

5. Филюшина, Е.В. Новые точные решения уравнений анизотропной теории пластичности / С.И. Сенатов, Е.В. Филюшина, О.В. Гомонова // Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения-2012 г. - СПб.:БАН, 2012. - С. 103-108

Филюшина Елена Владимировна

Новые решепия уравнений двумерной анизотропной пластичности

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать Заказ № * " *

Формат 60x84/16. Усл. печ. л. £ . Тираж 100 экз. Отпечатано в отделе копировально-множительной техники СибГАУ 660014 , г. Красноярск, пр. им. газеты «Красноярский рабочий», 31

Текст научной работы диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Филюшина, Елена Владимировна, Красноярск

61 12-1/1061

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего

профессионального образования Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М.Ф. Решетнева

на правах рукописи

Филюшина Елена Владимировна

НОВЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДВУМЕРНОЙ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛАСТИЧНОСТИ

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

Доктор физико-математических наук

Профессор Сенатов Сергей Иванович

Красноярск - 2012

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ......................................................................................................................3

Глава 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГРУППОВОГО АНАЛИЗА

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ..........14

§1.1 Введение в непрерывные группы Ли..................................................................14

§ 1.2 Точечная группа, допускаемая дифференциальными уравнениями. Использование точечных групп для исследования и решения дифференциальных

уравнений........................................................................................................................29

§1.3 Высшие симметрии дифференциальных уравнений........................................35

§1.4 Законы сохранения...............................................................................................46

ГЛАВА 2 НЕКОТОРЫЕ ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ АНИЗОТРОПНОЙ

ПЛАСТИЧНОСТИ.........................................................................................................51

§2.1. Основные уравнения и их свойства...................................................................52

§ 2.2. Групповые свойства уравнений идеальной анизотропной пластичности.....57

§ 2.3. Известные решения уравнений анизотропной пластичности и их свойства 69

§ 2.4. Новые решения....................................................................................................78

§ 2.5. Анализ полученных решений.............................................................................83

ГЛАВА 3 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ

ПЛАСТИЧНОСТИ ВЫСШИМИ СИММЕТРИЯМИ................................................98

§ 3.1. Основные положения..........................................................................................98

§ 3.2. Действие высшей симметрии на решение Прандтля.....................................102

§ 3.3. Действие высшей симметрии на решения Надаи...........................................104

ГЛАВА 4. АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О ВОЛНЕ НАГРУЗКИ В

УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОМ СТЕРЖНЕ..................................................................106

§ 4.1. Вывод основных уравнений.............................................................................108

§ 4.2. Использование законов сохранения для решения уравнений, описывающих

волну нагрузки в упругопластическом стержне.......................................................114

ЗАКЛЮЧЕНИЕ............................................................................................................122

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ССЫЛКИ........................................................................123

ВВЕДЕНИЕ

Настоящая диссертационная работа посвящена построению новых решений нелинейных дифференциальных уравнений плоской (двумерной) идеальной анизотропной пластичности методами группового анализа, а также использованию законов сохранения для нахождения аналитического решения задачи о волне нагрузки в упругопластическом стержне.

Актуальность. В настоящее время математическая теория пластичности является одной из хорошо разработанных частей механики деформируемого твердого тела. Первые работы по математической теории пластичности относятся к семидесятым годам XIX века и связаны с именами А. Треска, Б. Сен-Венана, М. Ле-ви.

Систематическое исследование двумерных полей напряжений при пластическом состоянии было начато в 20-х годах XX века. В его основе лежит метод, основанный на изучении характеристик гиперболической системы пластичности. Эти характеристики, известные как линии скольжения, обладают рядом замечательных свойств и позволяют построить решения многих практических задач. Развитие фундаментальных соотношений теории идеальной пластичности связано с именами Г. Гейрингер, Г. Генки, В. Койтера, Е. Ли [24], А. Надаи [36, 37], Е. Оната [24], В. Прагера [44], Л. Прандтля [15, 24, 29], Б. Сен-Венана [24, 29], Р. Хилла [60] и др.

Вопросам и задачам теории идеальной пластичности, упругопластичности посвящены многочисленные работы отечественных авторов: Б.Д. Аннина [2], Г.И. Быковцева [6,7], Ю.Н. Радаева [24], Д.Д. Ивлева [22-24], А.Ю. Ишлинского [25,26], Л.М. Качанова [29], Р.И. Непершина [24], В.В. Соколовского [53], С.А. Христиановича [61], А.И. Хромова [62,63], В.М. Садовского [45] и др. [1, 10, 11, 20,21,32, 34,35,41,42, 43,54].

Однако до настоящего времени уравнения теории пластичности не исследованы в полной мере. Вся сложность заключается в нелинейности системы дифференциальных уравнений как в двумерном так и в пространственном случаях. Что касается получения точных решений в замкнутом виде, то здесь стоит отметить работы Л. Прандтля [24, 29], А. Надаи [36,37], Д.Д. Ивлева [22-24], В.В. Соколовского [53], Б.Д. Аннина [2], С.И. Сенашова [46-51] и др.

За всю историю изучения системы двумерных уравнений пластичности было получено лишь несколько точных решений для реальных механических задач. Кроме того, точные решения используются для тестирования численных методов; позволяют оценивать надежность несущих конструкций и т.п. Поэтому каждое новое точное решение представляет несомненный теоретический и практический интерес.

Одним из современных методов поиска точных решений дифференциальных уравнений механики является групповой анализ, базой которого являются группы непрерывных преобразований (или точечные симметрии), допускаемые уравнениями. Симметрии позволяют искать различные виды решений, получать новые решения из известных и т.п. В данной работе продолжаются исследования в этом направлении, начатые Б.Д. Анниным [2], С.И. Сенашовым [46 - 51] для двумерных уравнений идеальной пластичности.

Научная новизна. Все результаты, полученные в диссертации, являются новыми и снабжены подробными доказательствами.

Основные элементы новизны в диссертации:

• предложена методика построения решений уравнений идеальной пластичности с помощью высших симметрий, построены новые решения;

• найдены новые точные решения уравнений анизотропной пластичности в двумерном случае с помощью группы непрерывных преобразований;

Теоретическое и практическое значение работы заключается в построении новых точных решений системы уравнений анизотропной пластической среды, которые найдут применение в теоретических и практических исследованиях при изучении поведения материалов при пластических деформациях, установлении законов деформирования материалов, могут быть использованы как тестовые.

Апробация работы. Результаты, полученные в работе на разных этапах ее выполнения докладывались и обсуждались на:

1. ЬХУ Международной конференции «Герценовские чтения-2012» (Санкт-Петербург, 2012 г.);

3. XIV Международной научной конференции, имени академика М. Ф. Ре-шетнева «Решетневские чтения» (Красноярск, 2010 г.);

Полученные результаты докладывались на научных семинарах СибГАУ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано пять печатных работ [5559]. Из них две статьи [55, 56] в изданиях из перечня ВАК.

В § 1 второй главы приведены уравнения анизотропной теории пластичности и их свойства.

Система уравнений анизотропной теории пластичности в двумерном случае имеет вид:

дх ду ' ду Эх

1-е

+ 4т =4 к'

(2.1)

(2.2)

где а х,ау,т - компоненты тензора напряжения, 1-е = а2 - параметр анизотропии [60], к- предел текучести при сдвиге.

Во § 2 второй главы найдена группа непрерывных преобразований, допускаемых системой (2.1), (2.2) записанной виде:

да

дх

да

ду

д в

дв

ос—— соб 2в дх ду

вт 20

= 0,

дв .

дв

(2.4)

— БШ 20-а—СО8 20

Эх ду

= 0.

Показано что система (2.4) допускает алгебру Ли, порождаемую операторами:

v д д v д

дх ду' 2 да'

(2.42)

э э

Х+ = х0(а,в)— + у0(а,в)—, дх ду

где (х0 ,у0) - произвольное решение системы уравнений:

дУо

ъв

дхп

Эуп „ л Эхп — СОБ 29 + 0

БШ 2 в

дв

да да

= О

В § 3 второй главы рассмотрены известные решения уравнений анизотропной пластичности и их свойства.

В § 4 второй главы найдены новые решения уравнений анизотропной теории пластичности.

Найдено инвариантное решение системы (2.4) вида

х = -1/<72-<7аъш16 +

2 2 у = асо$2в-2ав + С

вт2 20 + Сп

где С/9С - произвольные постоянные.

а = ~х + 2аф-у2 у — соъ26

(2.44)

На основе решения А1 аналогично построено новое решение системы (2.4)

/6 /2 2

^ а\т22в + --сс$т2в + 2

+ 9асо$29 --ьт5 29 +—бш3 2в + С,,

С. С. ] '

а1 1

у = ~У,а2 со $29 - а9а--со820 - 9а1 &т29 —соб2 9 +

' /2 2 4

+ —сое3 29 + -со829 -—соб3 20 + С„ 4

Из решение А0,А1,А2 можно построить комбинированное решение вида: А0 + У\А-> А + У\А и так Далее» гДе У\>У2>—Уп > »-А ~ произвольные постоянные. Таким образом, можно построить бесконечную серию решений уравнений системы (2.4). Этот процесс можно представить в виде «дерева» решений (рис. 28).

Рисунок 28 - Дерево решений

В § 5 второй главы построены характеристики решений уравнений анизотропной пластичности найденных в § 4 второй главы.

Для решения А1 два семейства характеристик (х+, у+), (дГ, у~) имеют вид:

х+ = Чa2 cos2 26 + sin2 20<w) - lasm 2в ¡ja2 cos2 20 + sin2 26d6 +

+ 20+Clt

2 1

= 2 cos 2 0 У a1 cos2 20 + sin2 20d0 - 2a0+ C2, x~ = -2 (¡ja2 cos2 20 + sin2 20deJ + 2asm20¡ja2 cos2 20 + sin2 20d0 +

+ ¿Z^!)sin22 0 + r, 2 3

y~ = -2 cos 26» Ja/ c*2 cos2 20 + sin2 20d0 - 2a0 + C4.

где Cj ,C2,C3,C4 - произвольные постоянные.

Для решения А2 два семейства характеристик (х-,^) имеют вид:

х+ = ~%{¡ja2 cos2 20+sin2 20ddf -2asin20(¡ja2 cos2 20+sin2 20d0J +

+ í—^ sin2 20 + - - asín20 + 0aeos20 -—sin3 20+—sin3 20 + С, 2 2 6 6 5

y+ = -cos2^(jja2 eos2 20 + sin2 26dd) - 2a6¡ja2 eos2 26 + sin2 20d0 -

✓y 1 1 /у /у

-— cos20-6a2 sin26»—cos26 +—cos3 20 + - cos 20 - —cos3 26 + C6, 2 4 12 4 12 6

= Уъ [уос1 со§2 26+ $тг2вс1о) - 2азт2в(^а2 сое2 29 + ът2 26йб\ +

+ Й—^ш2 26 + --аьт2в + 6схсо$26 - 26 + —8Ш3 26 +С,, 2 2 6 6 7

-—СОБ 26» -6а2 вш 26 -- сое 26 +— сое3 26 +- со$26-—сое3 26 + Сх 2 4 12 4 12 8

где С5,С6,С7,С8 - произвольные постоянные.

Решения Аь А2 можно использовать для анализа пластического состояния слоя сжимаемого жесткой плитой.

В § 1 третьей главы рассмотрена высшая симметрия уравнений (3.1) вида:

<Р =

' У* Л

_ 1

гуЧ

где х = х соб 6 Л- у вш 6У у = -хвт^ + ^сов^, £ = — — 6, ?] = — + 6, - инварианты

2 к 2 к

Римана системы уравнений идеальной пластичности в плоском случае:

Эх Эх ау

(3.1)

= ^ - 2к{$т26^- - со&б^.) = 0. Эу ах ау

В § 2 третьей главы рассмотрено действие высшей симметрии ф на решение Прандтля.

Показано что на данном решении высшая симметрия ф сводится к преобразованию вида х = хехр t, у = yexpt, где t- непрерывный параметр.

Поэтому новых решений, из решения Прандтля построить не удается. В § 3 третьей главы рассмотрено действие высшей симметрии <р на решение Надаи. Рассмотрено решение Надаи, описывающее пластическое течение в плоском сходящемся канале. Оно имеет вид:

огг = -2кс In г + к cos 2у/ - кс ln(c - cos 2у/), = -2 кс In г -к cos 2 у/ — кс ln(c - cos 2 у/), тг(р = к sin 2у/, аг-а9= 2к cos 2у/ > О,

где у/ - угол между первым главным направлением тензора напряжений и полярным радиусом.

Постоянная с связана с углом канала 2а

се + — . С arctgjс>0, 0<а<К/~.

4 Ь-1 /2

Тогда уравнение первого семейства характеристик этого решения имеют вид [2]

х(б>,с1) = ехр

к с J

S-Щ у(в,сх) = хТ{в).

где S(0) = Vе + сТ2 (в) + sin ~ Т2 HJ- 2Т{в)со& 20,

T(6) = tg

в + - arctg

с +1

с2-1

Здесь Cj - постоянная, определяющая характеристику, в е. (О, а) - параметр.

В этом случае уравнение преобразованных характеристик решения Надаи под действием симметрии <р, будут иметь вид

| оо

х(т, —== \х(со, с,) ехр

2л17ГТ

1 00

4 т

4т

йсо,

йсо.

Аналогично выписываются преобразованные характеристики и второго семейства. Предварительные компьютерные расчеты показывают, что в этом случае высшая симметрия ф дает новое решение.

В § 1 четвертой главы рассмотрен процесс распространения пластических деформаций в полубесконечном упругопластическом стержне, вызванных приложенной к концу стержня динамической нагрузкой рнеубывающей во времени (т.е. ф / > 0); рассмотрен простейший случай распространения волн нагруже-ния в однородном полубесконечном стержне, находившемся в начальный момент в невозмущенном состоянии.

В пластической области напряженно деформированное состояние стержня описывается уравнением

Эу да

дх '

да

д1

а-1

ар

Эу

дх' 0<«<1.

(4.14)

где а = а^ - компонента тензора напряжений, V - скорость частиц среды вдоль

оси Ох, р - плотность, далее полагаем что р =1, ос - постоянная, а1 (а) = а2^ -скорость распространения продольных волн в стержне.

В § 2 четвертой главы для уравнений (4.14) построена бесконечная система законов сохранения вида:

дхА + дуВ = 0, (4.15*)

где А, В произвольные решения системы уравнений:

-а

дА ая

дА дВ — + —

д?] дг/

= 0,

= 0.

(4.16)

В заключении приводятся основные результаты и выводы работы.

Глава 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГРУППОВОГО АНАЛИЗА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

В этой главе будут введены основные понятия необходимые для понимания дальнейшего. Параграфы 1.1-1.4 этой главы написаны на основе монографий [14, 16, 17, 18, 19, 20,21,28, 39, 40].

§ 1.1 Введение в непрерывные группы Ли

Многообразия. Многообразием можно неформально назвать геометрический объект, имеющий локальное строение пространства Ят, в этом случае т — размерность многообразия. Точное определение этого понятия можно найти в многочисленных современных учебниках по дифференциальной геометрии [13].

Пусть поверхность М размерности к в пространстве Яп задается набором уравнений

/ = (1.1)

причем ранг матрицы 3 =

А у

равен п-к. М- многообразие размерности к.

Замечание. Почти всегда под термином многообразие будем понимать поверхность, задаваемую выражением вида (1.1).

Гладкое многообразие Мразмерности т в каждой точке хеМ имеет касательное пространство Тх(м). Это пространство является линейным и имеет размерность т .

Кривой в многообразии М, проходящей через точку хеМ, называется непрерывно дифференцируемое отображение у:1->М, где / - открытый интервал из Я, содержащий точку 0, причем /(о) = х. Говорят, что кривые У\ и У г касаются друг друга в точке х, если они имеют одинаковые производные в одной, а значит, и во всех системах координат, заданных вблизи х. Понятие касания кривых не за-

висит от выбора системы координат и задает отношение эквивалентности между кривыми, проходящими через точку х. Определим касательный вектор к кривой у в точке х как класс эквивалентных кривых. Множество касательных векторов, проведенных ко всевозможным кривым, проходящим через точку х, порождает векторное пространство ТХ(М), которое называется касательным пространством многообразия М в точке х. Если многообразие М имеет размерность т, то в каждой точке х оно имеет ш-мерное касательное пространство, которое является линейным пространством.

Группы Ли

Определение. Множество С называется группой с операцией о, если для любых двух элементов а, ЬеС=>а°Ь = сеО (алгебраическая полнота), при этом выполнены следующие условия:

1. а о (Ь о с) = (а о Ъ) о с для У а, (ассоциативность);

2. существует единственный элемент ее О такой, что а о е-е о а = а для всех а е О;

3. для каждого элемента аёС существует элемент, обозначаемый а~х, такой, что а~1 о а = а о а~1 = е.

Определение. Группой Ли О называется:

а) гладкое многообразие и одновременно;

б) группа с умножением ц.СхС —»О и взятием обратного элемента

в) //иг- гладкие отображения.

Поясним немного это определение. В силу а) С есть локально некоторая поверхность, на которой каждой точке йев можно поставить в соответствие некоторые координаты, т.е. можно считать, что аеЯт, если С - многообразие размерности т. Зная координаты точек а,ЬеС, по свойству б), мы можем определить

координаты их произведения /¿(а,Ь) = с и обратного элемента т(а) = а1 е О. Пункт

в) гарантирует достаточную гладкость этих ф