Исследование и решение дифференциальных уравнений механики сплошных сред аналитическими и численными методами

Коюпченко, Ирина Николаевна

Исследование и решение дифференциальных уравнений механики сплошных сред аналитическими и численными методами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Коюпченко, Ирина Николаевна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Красноярск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2006 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Исследование и решение дифференциальных уравнений механики сплошных сред аналитическими и численными методами»

Автореферат диссертации на тему "Исследование и решение дифференциальных уравнений механики сплошных сред аналитическими и численными методами"

Кокшчешсо Ирина Николаеве«

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соисхшше ученое степени

Красноярск-2006

Работ выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Красноярский государственный торгово-экономический институт»

Научный руководитель:

профессор Сенатов С.И.

профессор Коробейников СЛ.

доцент Родионов А-А.

Ведущая организация: Институт автоматики и процессов упр&вяеяня ДВО РАН

состоится «22» декабря 2006 г. в 15°° двомрпционвого совета К 212.099.03 прн Красноярском государственном университете по адресу: 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79,

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярского государственного университета.

Авторефервт разослан «£2» ноября 2006 г.

'«»ета, 5

--------„----------О.А. Золото»

Обшая характеристика работы.

Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию дифференциальных уравнений механики сплошных сред аналитическими и численными методами.

Актуальность. До сегодняшнего времени все основные математические модели, описывающие механические процессы написаны на языке дифференциальных уравнений. Выведенные более сотни лет назад дифференциальные уравнения пластичности до сих пор не достаточно исследованы, хотя они описывают важнейшие технологические процессы: штамповку, прокат металла, ковку и т.п. Теория пластичности, которой посвящена большая часть этой работы, ие исключение. Групповой анализ дифференциальных уравнений широко применяется в исследовании систем уравнений в частных производных. Исследованию систем дифференциальных уравнений теории идеальной пластичности для плоского случая групповыми методами посвящены работы Б.Д. Аннина, С.И. Сенашова, А.Н. Яхно, П.П.Кнрякова, основанные на фундаментальных работах JI.B. Овсянникова. А.М. Виноградова и др..

Точные решения изотропной и анизотропной теории пластичности построены в работах Р. Хилла, В. Прагера, JI. Прандтяя, ДД. Ивлева, А.Ю. Ишлинского, Б.Д. Аннина, Л.А. Толокоиникова, Н.М. Матченко, С.И.Сенашова и некоторых других.

Но любой новый результат, полученный для этих уравнений, по-новому позволяет взглянуть на оценку прочности конструкций, понять природу пластичности, улучшить технологические процессы. Все это характеризует актуальность работы.

Цель работы. Аналитическое исследование и численное решение систем дифференциальных уравнений механики сплошных сред

Методика исследования. В работе применяются методы группового анализа дифференциальных уравнений, а также методы численного анализа. Для

численная реализации методов использованы пакеты прикладных программ Maple и Mathcad. ' Научная новизна.

]. Найдена группа Ли-Беклунда и законы сохранения для системы дифференциальных уравнений теории анизотропной пластичности при условии предельного сопротивления отрыву;

2. Найдена группа непрерывных преобразований и построены новые точные решения системы дифференциальных уравнений сжимаемой пластической среды;

3. Найдена группа непрерывных преобразований, допускаемых системой дифференциальных уравнений анизотропной теории пластичности;

4. С помощью группы преобразований из точного решения уравнений пластичности в анизотропном случае построены целые классы новых точных решений, описывающие сжатие пластического слоя жесткими плитами;

5. Численно решена начально - краевая задача для уравнения теплопроводности об определении теплового состояния стенок цилиндрической трубы при течении в ней высокотемпературного газа.

конференции «Решетневские чтения», посвященной памяти академика М.Ф. Решети ева. Красноярск, 2006; II Всероссийская научно-практическая конференция творческой - молодежи Красноярск, 2006; на семинарах Сибирского государственного аэрокосмического университета «Симметрии и законы сохранения дифференциальных уравнений» под руководством проф. С.И. Сенашова.

Публикации. Основное содержание диссертационной работы представлено в работах [1-8]. Из них 2 статьи опубликованы в научных изданиях из Перечня ВАК. Список публикаций приведен в конце автореферата. Структура н объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 79 наименований. Общий объем работы составляет IOS страниц.

Содержание работы.

Для удобства ссылок нумерация теорем, лемм, утверждений и формул в данной работе соответствует нумерации, приводимой в диссертации.

Во введении обосновывается актуальность темы, приводится аннотация диссертации, определяется цель проводимого исследования и структура работы.

В первой главе содержатся сведения из группового анализа необходимые для понимания дальнейшей работы. Даются определения группы и алгебры Ли, вводится понятие точечных и высших симметрий и способов их вычисления. Даются понятия о законах сохранения их свойствах и применении. Здесь же дается краткий обзор численных методов, применяемых для решения дифференциальных уравнений в частных производных.

Во второй главе изучаются групповые свойства систем дифференциальных уравнений анизотропной теории пластичности.

В параграфе 2.1, найдена группа высших симметрий, допускаемая уравнениями идеально пластической среды при предельном сопротивлении отрыву, и законы сохранения. Найденная группа позволяет описать классы

инвариантных решений пластической среды, построение которых сводится к решению систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

В качестве закона текучести для анизотропных материалов выбирается предельное сопротивление отрыву. 6 этом случае основные уравнения для плоского напряженного состояния можно записать в виде о, - 2k(eXe, cos 29+sin 29) = О,

, * * <2Л> оу - 2к(еХе. sin29-0Jcos29j= О,

где а - гидростатическое давление; 8 - угол между осью Ох и первым главным направлением тензора напряжений; вид функции к{9) устанавливается из опытов на принудительный сдвиг образцов пластической среды по различным направлениям, поэтому она считается фиксированной, но произвольной; индекс внизу означает дифференцирование по соответствующей переменной.

После замены переменных и некоторых преобразований из системы (2.1.) получаем

3,u-e,u +fv=0, 5,v-a(v+fu-O, (2J)

где u, v - новые искомые функции; функция f=f(y) полностью определяется видом функции к(е).

Далее вычисляем симметрии системы уравнений (2.5), которые потом преобразуем в симметрии системы уравнений (2.1). Для того чтобы найти симметрии уравнений (2.1) следует решить систему уравнений

íFs=Ot

где

Тр = * D* _ j - оператор универсальной линеаризации;

D,= a. +ц,д, +и,э, +....иц.|э,1 +.......;

D,= af +(-u, -fv)3. +(u, -fu)3, +...,+(-ut.,-vlf>aUi +(v,íl-utr>9,i +.......;

uk -f^; vt функция g=í!T| зависит только от переменных x, у, ц,

оХ ОХ J

V......ик,Ук,...„

Если функция б зависит только от переменных х, у, и, v,...., иь то будем писать % еЗк.

Находим классические симметрии системы уравнений (2.5), которые описываются теоремой 2.1.

В этом случае производящая функция симметрии £<=(9,1/) зависит от переменных х, у, и, v, и„ V*, и,, а % зависит от переменных х, у, и, v, и, =и,, V, = V, поэтому она принадлежит классу Д.

Теорема 2.1. Классические симметрии системы уравнений (2.5) имеют

вид:

где А' - постоянные, - произвольное решение исходной системы

уравнений вида:

Базис классической алгебры Ли, допускаемой системой (2.5) выглядит

так:

Находим высшие симметрии системы уравнений (2.5), в результате получаем теорему 2.2.

Теорема 2.2. Производящие функции симметрии второго порядка системы уравнений (2,5) имеют вид:

^А'и + АХ+ЬЧд.у). Vе А'^ + АЧ + Ь^х.у),

Таблица умножения имеет вид:

'ЭЬ^

(pcA'uj+A'uj+A'u+h1 , TjF=A1vl + Alv,+A°v+h1 . где A1 - const; (h1, h1) - произвольное решение системы (2.5).

Из теорем 2.1 и 2.2 следует Теорема 23. Алгебра высших симметрии системы уравнений (2.5) порождается элементами S„, Н, при этом имеют место коммутационные соотношения

Теорема 2.4. Алгебра симметрий для системы уравнений (2.1) состоит из точечных симметрий, которые порождаются операторами

Х = 9в, Хк = (ь1 совв—Ь'мпв^, +(ь' зтб-Ь'; а также высших симметрий, которые имеют вид

Для построения законов сохранения системы уравнений (2.5) следует решить систему уравнений

Имеет место теорема 2.5.

Теорема 2.5. Законы сохранения для системы уравнений (2.5) порождаются производящими функциями Тзо, Е.

{S„, Sm} =0, {S„, HJ =

if-О.

системы уравнений т^ т* »0, т'-ш^ -Гш'-О,

Производящей функции (ср.у) отвечает сохраняющийся ток (-фи+уу.фи+уу). В интегральной форме закон сохранения имеет вид |(~чр и+\(пг)(1у + (<ри+>с)х = О,

для всякого замкнутого контура Г в плоскости переменных (х, у). На основании вышеприведенного имеет место теорема 2.6. Теорема 2.6. Класс производящих функций, порождающих законы сохранения системы уравнений (2.1), образуется как векторное пространство элементами Ка,, N где

При этом закон сохранения в исходной системе координат в интегральной форме запишется так

где Г - замкнутый контур в области изменения переменных (х, у); о, 6 -произвольное решение системы уравнений (2.1).

В параграфе 2.2. решена задача групповой классификации для системы уравнений описывающих плоское течение сжимаемой пластической среды, построены новые инвариантные решения.

Рассмотрим систему уравнений, которая получена из системы уравнений пластичности для плоского случая, с использованием подстановок Леви:

где u, v - компоненты вектора скорости; 0- угол между первым главным направлением тензора напряжений и осью ОХ; р - давление; р - плотность; А(р) - функция состояния, вид которой заранее не определен и подлежит определению в процессе решения задачи групповой классификации; к - предел текучести при чистом сдвиге.

Имеют место теоремы 2.7 и 2.8.

Теорема 2.7. Если А(р) • произвольная функция, то система (235} допускает основную группу G0, которая порождается следующими операторами

х х _Э Э Э Э Э

л * Xl "аГ**2" э7*Хз _,ft+ хаГ+,э* *

(2.36)

э э э ээ„ээ„ээ

Z3 = х-—y~ + u-—V—+—, Y, = t—+—, Yi =t—+—.

3 Эу Эх 9v Эи 39 1 Эх Эи Эу 3v

Теорема 2.8. Система уравнений (2.35) допускает группу более широкую, чем Gd в следующих случаях:

1) если А =Се*, то дополнительный оператор имеет вид: S =—;

2) если A a const, то получим уравнения, описывающие течение

несжимаемого пластического материала.

В этом случае группа, допускаемая системой известна. Дополнительные операторы имеют вид:

Здесь gi(t), gi(t), <p(t) - произвольные функции из класса .

Для алгебры Ли (2.36) построена оптимальная система одномерных и двумерных подалгебр, которая позволяют строить инвариантные и частично

инвариантные решения этой системы..

В частности можно найти инвариантное решение в виде:

и = и(5>, V V®. 6 = в®, р = р«Х Ь =^ •

После подстановки его в исходную систему задача сводится к квадратурам. Построенное решение является автомодельным и описывает одномерное нестационарное течение сжимаемого пластического вещества.

В параграфе 23. изучаются уравнения двумерной теории идеальной анизотропной пластичности, описывающие стационарное напряженное состояние. Для исследуемых уравнений найдена группа точечных симметрий и на ее основе построены новые точные решения. Эти решения можно использовать для описания пластического состояния материала сжимаемого жесткими плитами.

Рассмотрим систему уравнений анизотропной идеальной пластичности в плоском случае следующего вида:

где о,,, сг - гидростатическое давление; 6 - угол между первым главным направлением тензора напряжений и осью ОХ; р- параметр, характеризующие состояние анизотропии; индекс внизу обозначает производную по соответствующей переменной.

Показано, что система (2.51) имеет две характеристики вида:

о, - 2(ех со$26+ре, ып 20)=О, 0У - 2(ре, «п 20 - 0, см 20) = о,

(2.51)

(2.52)

и соотношение на них

= соли,

где Е^в.^-Р1} - эллиптический интеграл второго рода. Имеет место теорема 2.9.

(2.55)

Теорема 2.9. Группа непрерывных преобразований системы уравнений (2.51), порождается следующими операторами:

X, =хЭ, + удг, Х2 -д., Х+ +т](о,в>Э)„ (2.54)

где (£, ti) - произвольное решение системы уравнений

Л» - 2(Р5„ sin 26+11. eos 29) = 0. Решение на подалгебре д± +ьэ„ является аналогом известного решения Прандтля для изотропной среды. Его следует искать в виде

o»b* + f(y), 9«е(у), где b — некоторая постоянная. т

Подставляя эти соотношения в (2-51) без труда получаем

6 = —arceos—, eos 26 = -^-, o = bx-sin29.

Теперь с помощью (2.52) находим уравнения линий скольжения í"2p_ sin^ede _.,". „

J b eos 20 ± Veos126 + р1 sin126 ~ у = .Écos26.

(2.56)

(2.57)

Это параметрические уравнения линий скольжения. Построим эти линии для случая Ь=1 и различных значениях р (см. рис. 1-2).

У(в)

-20

У(0)

*(в)

*(0)

Рисунок 1 - Линии скольжения (2.57) Рисунок 2 - Линии скольжения (2.57) при Ь=1 и р=0,5 при Ь=1 и (3=3

Приведем новые решения уравнения (2.51), построенные на основе решения (2,56). Эти новые решения строятся преобразованием симметрии, которые порождаются оператором X* и действуют на решение (2.56). Преобразование симметрии обладает следующим свойством: если (о(х.у)10{х,у)) есть некоторое решение системы уравнений (2.51), то (а{х', у'),е{л',у')), где

х'=х + а!Це.а), у'=у + ат}(е,о) (2.61)

есть также решение этого уравнения в том и только том случае, когда т|) есть некоторое решение уравнения (2.55). Здесь а - групповой параметр.

Более того, имеет место, следующее утверждение.

Утверждение 2.1. Под действием преобразований симметрии

л'

характеристики уравнения (2.51) преобразуются в характеристики этой же системы уравнений.

Для реализации вышеизложенного нам необходимо найти решения системы линейных дифференциальных уравнений (2.55). Из вида системы уравнений (2.55) следует, что решение системы уравнений (2.55) можно искать в виде, который определяется следующими леммами:

Лемма 2Л. Решение системы уравнений (2.55) имеет вид:

£=a + sin26 + pcos29, n=c + sir)29-Pcos2e. (2.68)

Лемма 2.5. Решение системы уравнений (2.55) имеет вид:

% = (J(cos9+sin ©)ехр^± ~j, л = Í-COS9+sin9)exp|± ^J. (2.69)

Под действием преобразований (2.61) решение (2.56) перейдет в следующее:

eos29=*—, o=b(* + a^)-sin29.

Параметрическая форма линий скольжения для этого решения имеет вид:

f 2В sin3 26d9 t

- I—-- - и, ■ gx + a£,

J b eos 29 ± Vcosl 20+32 si n129

Приведем некоторые линии скольжения для уравнения (2.68) при различных значениях параметров р и а. Они изображены на рис. 3-4, I 13Т

у(в)

30т

у(в)

-20

Рисунок 3 - Линии скольжения (2.68) Рисунок 4 - Линии скольжения (2.68) прир=1,5иа=5 при р=1,5 н а=10

Графики некоторых линий скольжения для решения (2.69) при р=1,5 и

различных значениях группового параметра а приведены на рис. 5-8.

4Х

10Т

~4 -ю-*"

#6) «в)

Рисунок 5 - Линии скольжения (2.69) Рисунок б - Линии скольжения (2.69)

при иа=1 при Р=1,5 и а=5

Рисунок 7- Линии скольжения (2.69) При Р=1,5 и а=50

Рисунок 8 -' Линии скольжения (2.69) при р=1,5 иа=100

Из приведенных графиков, изображенных на рис. 3-8, видно, что новые построенные решения можно использовать для анализа пластических течений слоя средней толщины, сжимаемого жесткими и шероховатыми плитами, а не только тонкого слоя, для которого пригодно решение, построенное Прандглем, лини скольжения для которого изображены на рис. 1-2. -___

В параграфе 3.1* определяется математическая постановка задачи.

Процесс воздействия тазового потока на теплозащитное покрытие может происходить без разрушения, с разрушением ТЗП и соответственно с образованием зоны деструкции, с образованием остатков горения и уносом их газовым потоком. Для практики важно выделение границ зон (участков) с различными физическими свойствами, которые обозначим через Г| , причем правый конец ¡-й зоны будет совпадать с левым концом (¡+1)-й зоны. В соответствии с обозначениями границ зон снабдим все физические параметры, отвечающие зонам с остатками горения, пиролиза и исходному ТЗП, индексами «О», «1», «2» соответственно. Остальные участки стенки (плотно контактирующие металлы и внешнее ТЗП) представляет собой материалы, физические свойства которых остаются неизменными в рассматриваемом интервале изменения температур.

Математическая постановка задачи формулируется так: найти функции Tj(r,t), удовлетворяющие уравнениям

В области П:{05 i ¿Т;г, (i = o|k);

где а( =i^+Lfpl при ь = |°Ср При 1 = Й=К<'-ГР) при ¡=^2.

' I при i = 3,k* 1 } О при ¡ = ЗД* [ ft при i=3Jt*

fcrf-rj при i = 02. j. f^O-rj при i=02 ' | Cj при i = 3,k* | Я, при i=3,k

При следующих начальных и граничных условиях:

ТДг,0)=Т® = const, р(*,0) = р2, G(t,0)=0 , (3.14)

, __<i> _ _ <1,.

(3.15)

-Ь^Н =4. (3.16)

_ а-,., ат

. > = 2,k- (3.17)

. ср.., дг

где р — плотность; с - теплоемкость; Т-температура; 1 — время; г - радиальная координата; X" - коэффициент теплопроводности; 6 - массовый расход продуктов пиролиза; О - количество тепла, поглощенное при термодеструкции

ТЗП; общий вид функции - Г, =1-—, 9 - теплофизические параметры на

4*1

участке ТЗП; Ь - эффективная теплота пиролиза; д/", потоки тепла; нцдексы «с» - конвективный, «г»- лучистый, «гг» - переизлучение, «р» -равновесный.

Определение потоков тепла ч,, ч,"1, я,"' и функции { приводятся в работе. Таким образом, задача об определении теплового состояния стенки трубы, подверженной воздействию газового потока, свелась к решению системы уравнений (3.13) при начальных и граничных условиях (3.14) - (3.17).

Имеет место, следующее утверждение

Утверждение 3.1. Уравнение (3.13) допускает алгебру Ли, порождаемую операторами

где <р(1,г) - произвольное решение уравнения (3.13).

В работе найдены инвариантные решения уравнения (3.13) на подалгебрах X], Хг. Х1+аТ. Эти решения использованы при отладке программы.

В параграфе 3.2. описывается численный алгоритм для решения поставленной задачи. Для решения задачи (3.13)^(3.17) использован метод сеток. Построена разностная сетка с шагом т по временной координате и шагами Ь, (¡ = зЛс) по координате г, т.е. сетка по пространственной координате будет неравномерной в том смысле, что на каждом участке сетка имеет свой шаг. На первом участке ТЗП Ьо=1)1=Ьг, так как явно зоны с остатками горения и разрушения ТЗП не выделяются. Далее, на участке ТЗП в целом шаги сетки по г на каждом временном шаге будут свои, так как левая расчетная граница области является подвижной.

Применим к дифференциальному уравнению (3.13) неявную разностную схему, имеющую второй порядок аппроксимации по обеим независимым переменным:

. (3.22)

где е=1,..,Н.ьГ^ - количество узлов сетки на 1 -м участке; 5=1/2.

К уравнениям (3.22) присоединяются разностные аналоги граничных условий (3.15) - (3.17). Полученная система уравнений решается методом прогонки. Приведем краткое описание численного алгоритма.

Пусть решение задачи на момент времени 1=пТ известно. Для определения искомой функции Т выполняются последовательно следующие действия:

1. вычисляется положение левой границы, строится сетка на участке ТЗП;

2. находятся границы зоны деструкции с применением линейной интерполяции;

3. методом прогонки решаются разностные уравнения.

Итерации проводятся до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность вычислений.

В параграфе 3.3. приведены результаты расчетов по описанному алгоритму в работе. Расчеты проведены применительно к трубам, стенки которых состоят:

а) только из ТЗП,

б) из ТЗП н плотно контактирующего к ТЗП металла,

в) из ТЗП, металла и ТЗП.

Все расчеты были выполнены при условии полного выгорания внутреннего ТЗП. Из расчетов следует, что проникновение тепла наиболее быстро происходит в случае «в». При наличии металлической оболочки газообразные продукты пиролиза не выходят за пределы ТЗП и свою очередь способствуют дальнейшему повышению температуры. Процесс выгорания ТЗП еще более ускоряется, если стенка имеет внешнее теплозащитное покрытие. Изменение температуры оказывает существенное влияние на распределения плотности во времени.

Для практики представляет интерес изменение массового расхода газообразных продуктов пиролиза М, изображенного на рис.9. На этом же рисунке приведены кривые, характеризующие изменения температуры на

внутренней - Те и наружных стенках -Тж трубы. Изменение энтальпии ТЗП О' в зависимости от времени представлено на рис.10.

юг ¿ев

Рисунок 9 Рисунок 10

Различие характеров процесса, протекающих в трех различных трубах («а», «б», «в»), особенно наглядно видно из графиков, представленных на рис. 11 и рис. 12. Как видно из графиков наибольшая ширина зон деструкции достигается в трубе, состоящего только из ТЗП, а наименьшая в случае «в». Координата г. при которой Т=Т. (Т. - температура перехода) в этом случае также минимальна (см. рис.12).

Рисунок 11.

Рисунок 12.

Для численной реализации методов использовались пакеты прикладных программ Maple и Mathcad.

Заключение содержит выводы и основные результаты работы.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах

1. Коюпченко H.H. Математическое моделирование д&ижения высокотемпературного газа в трубопроводах с теплозащитным покрытием / И.Н. Коюпченко И Материалы I Всеснбирского конгресса женщин-математиков. - Красноярск, 2000. - С.103.

2. Коюпченко H.H. Группа симметрий уравнений идеально пластической анизотропной среды/ И.Н. Коюпченко, С.И. Сенашов // Решетневские чтения: материалы VIII Всероссийской научной конференции с международным участием, посвященной 80-летию со дня рождения академика М.Ф. Решетнева. - Красноярск, 2004. - С. 162-163.

3. Коюпченко И.Н. Законы сохранения уравнений идеально пластической анизотропной среды/ И.Н. Коюпченко, С.И. Сенашов // Решетневские чтения: материалы VIII Всероссийской научной конференции с международным участием, посвященной 80-летию со дня рождения академика М.Ф. Решетнева. • Красноярск, 2004. — С.163-164.

4. Коюпченко H.H. Группа симметрий и законы сохранения уравнений идеально пластической анизотропной среды / И.Н.Коюпченко, С.И. Сенашов /) Вестник Томского государственного университета. Серия «Математика. Кибернетика. Информатика». • 2006. - Ks 16. - С.82-86.

5. Коюпченко И.Н. Группа Ли-Беклунда и законы сохранения уравнений идеально пластической анизотропной среды: / И.Н.Коюпченко, С.И. Сенашов '//Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М.Ф. Решетнева, 2006. — Выпуск 3(10). - С. 18-21.

6. Коюпченко И.Н. Математическое моделирование воздействия высокотемпературного газа на стенки из многослойного материала / И.Н. Коюпченко // Актуальные проблемы авиации и космонавтики: II Всероссийская науч.-практ. конференция творческой молодежи. -Красноярск, 2006. - С. 285-287.

7. Коюпченко И.Н. Групповая классификация уравнений, описывающих течение сжимаемой пластической среды/ И.Н. Коюпченко // Решетневские чтения: Материалы X Международной науч, конф., посвященной памяти академика М.Ф. Решетнева. - Красноярск, 2006. - С.245.

8. Коюпченко И.Н. Групповые свойства и точные решения уравнений двумерной анизотропной пластичности/ И.Н. Коюпченко, С.И. Сенашов // «Предельное состояние и несущая способность тел и конструкций». - 2006. -№1.-С.81-89.

Подгтнсащр в печать «¿¿L» ноября 2006 г.

Вумагвофоетяи

Ус*, п. л. 1,28

Тшршж 100 экэ. Эшая № 130

Огоечатаво а Технически! mt КТТЭИ MOOTS, г. Кресиздрск, ул.Л/|1ру1шшской. 2

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Коюпченко, Ирина Николаевна

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГРУППОВОГО АНАЛИЗА

1.1 Введение в непрерывные группы Ли

1.2 Точечная группа, допускаемая дифференциальными уравнениями. Использование точечных групп для исследования и решения дифференциальных уравнений

1.3 Высшие симметрии дифференциальных уравнений

1.4 Законы сохранения

1.5 Численные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных

Глава 2 ГРУППОВОЙ АНАЛИЗ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ ИДЕАЛЬНОЙ ПЛАСТИЧНОСТИ АНИЗОТРОПНЫХ МАТЕРИАЛОВ

2.1 Группа Ли - Беклунда и законы сохранения уравнений идеально пластической анизотропной среды

2.1.1 Основные уравнения и их линеаризация

2.1.2 Симметрии системы уравнений (2.5)

2.1.3 Классические симметрии системы уравнений (2.5)

2.1.4 Высшие симметрии системы уравнений (2.5)

2.1.5 Законы сохранения системы уравнений (2.5)

2.1.6 Симметрии исходной системы уравнений (2.1)

2.1.7 Законы сохранения для системы уравнений (2.1)

2.2 Групповая классификация уравнений, описывающих течение сжимаемой пластической среды

2.2.1. Основные уравнения, описывающие течение сжимаемой пластической среды

2.2.2 Групповая классификация системы уравнений (2.35)

2.2.3 Оптимальная система одномерных и двумерных подалгебр алгебры Ли (2.35)

2.2.4 Вид некоторых инвариантных решений системы уравнений (2.35)

2.3 Групповые свойства и точные решения уравнений двумерной анизотропной пластичности

2.3.1 Основные системы уравнений, описывающие течение анизотропной идеальной пластической среды

2.3.2 Групповые свойства системы уравнений (2.51)

2.3.3 Инвариантные решения системы уравнений (2.51)

2.3.4 Эволюция решений системы уравнений (2.51)

Глава 3 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ТЕПЛОВОГО СОСТОЯНИЯ СТЕНКИ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ

ТРУБЫ ПРИ ТЕЧЕНИИ В НЕЙ ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНОГО

3.1 Математическая постановка задачи и вывод уравнений

3.2 Численный алгоритм

3.3 Результаты расчетов 92 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 98 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

Введение диссертация по математике, на тему "Исследование и решение дифференциальных уравнений механики сплошных сред аналитическими и численными методами"

Актуальность. До сегодняшнего времени все основные математические модели, описывающие механические процессы написаны на языке дифференциальных уравнений. Выведенные более сотни лет назад дифференциальные уравнения пластичности до сих пор не достаточно исследованы, хотя они описывают важнейшие технологические процессы: штамповку, прокат металла, ковку и т.п. Теория пластичности, которой посвящена большая часть этой работы, не исключение. Групповой анализ дифференциальных уравнений широко применяется в исследовании систем уравнений в частных производных. Исследованию систем дифференциальных уравнений теории идеальной пластичности для плоского случая групповыми методами посвящены работы БД. Аннина [2, 71, 72], С.И. Сенашова [22, 52-58], А.Н. Яхно [22], П.П.Кирякова [22], основанные на фундаментальных работах JI.B. Овсянникова [40-42], A.M. Виноградова [8,79] и др.

Точные решения изотропной и анизотропной теории пластичности построены в работах Р. Хилла [65, 75], В. Прагера [47], JI. Прандтля, Д.Д. Ивлева [17, 18], А. Ю. Ипшинского [18, 19], Б. Д. Аннина, JI. А. Толоконникова [36], Н.М. Матченко [36], С.И. Сенашова и некоторых других.

Методика исследования. В работе применяются методы группового анализа дифференциальных уравнений, а также методы численного анализа. Для численной реализации методов использованы пакеты прикладных программ Maple и Mathcad.

Научная новизна.

1. Найдена группа Ли-Беклунда и законы сохранения для системы дифференциальных уравнений теории анизотропной пластичности при условии предельного сопротивления отрыву;

Теоретическое и практическое значение. В работе построены новые точные решения, которые могут найти применение, как в теоретических, так и практических исследованиях. Эти решения можно использовать как тестовые при численных расчетах и в экспериментальных работах для определения параметров анизотропии, применимости моделей и теоретических допущений. Апробация. Основные результаты диссертационной работы были представлены и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: I Всесибирский конгресс женщин-математиков, Красноярск, 2000; VIII Всероссийской научной конференции с международным участием «Решетневские чтения», посвященной памяти академика М.Ф. Решетнева. Красноярск, 2004; Всероссийская конференции «Информационные технологии и математическое моделирование-2005»; X Международной научной конференции «Решетневские чтения», посвященной памяти академика М.Ф. Решетнева. Красноярск, 2006; II Всероссийская научно-практическая конференция творческой молодежи Красноярск, 2006; на семинарах Сибирского государственного аэрокосмического университета «Симметрии и законы сохранения дифференциальных: уравнений» под руководством проф. С.И. Сенашова.

Публикации. Основное содержание диссертационной работы представлено в работах [25 - 32]. Из них 2 статьи [25, 26] опубликованы в научных изданиях из Перечня ВАК.

Краткое содержание работы.

Для удобства ссылок нумерация теорем, утверждений и формул здесь соответствует нумерации, приводимой в диссертации.

В первой главе содержатся сведения (определения, теоремы, леммы, следствия и т.д.) необходимые для понимания дальнейшей работы. Даются определения группы и алгебры Ли, вводится понятие точечных и высших симметрий и способов их вычисления. Даются понятия о законах сохранения их свойствах и применении. Здесь же дается краткий обзор численных методов, применяемых для решения дифференциальных уравнений в частных производных.

В параграфе 2.1 найдена группа высших симметрий, допускаемая уравнениями идеально пластической среды при предельном сопротивлении отрыву, и законы сохранения. Найденная группа позволяет описать классы инвариантных решений пластической среды, построение которых сводится к решению систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

В качестве закона текучести для анизотропных материалов выбирается предельное сопротивление отрыву. В этом случае основные уравнения для плоского напряженного состояния можно записать в виде: ох - 2к(е)(бх cos 20 + 0у sin 20) = 0,

Gy-2k(e)(exsin2e-eycos2e)=o, ^ ^ где а - гидростатическое давление; 0 - угол между осью Ох и первым главным направлением тензора напряжений; вид функции к(0) устанавливается из опытов на принудительный сдвиг образцов пластической среды по различным направлениям, поэтому она считается фиксированной, но произвольной; индекс внизу означает дифференцирование по соответствующей переменной.

После замены переменных и некоторых преобразований из системы (2.1.) получаем

Эхи-<? u+fv=0, dxv-d v+fu=0,

2.5) где и, V - новые искомые функции; функция f=f(y) полностью определяется видом функции к(э).

Далее вычисляем симметрии системы уравнений (2.5), которые потом преобразуем в симметрии системы уравнений (2.1). Имеет место теорема. Теорема 2.1. Классические симметрии системы уравнений (2.5) имеют вид: ф = А^д + А'и, +Ь'(х,у), у = А°ч + А\ + Ь2(х,у), где А0, А1 - постоянные, (ь1 ,Ь2) - произвольное решение исходной системы уравнений вида: ь^-ь'+а^о, Ь^-Ь^+Ш^О Базис классической алгебры Ли, допускаемой системой (2.5) выглядит так:

S,= i„ \

Уи

9 So vvy н = vh у

Таблица умножения имеет вид: s,,s0} = 0, {s0,h} = -н, {s,,h} =

Эх v Эх j

Находим высшие симметрии системы уравнений (2.5), в результате получаем теорему 2.2.

Теорема 2.2. Производящие функции симметрии второго порядка системы уравнений (2.5) имеют вид: ф =A2u2+Aiu] +A°u + h' , \j7-A2 v2 + A1 v, +А° v+ h2 . где А1 - const; (h1, h2) - произвольное решение системы (2.5). Из теорем 2.1 и 2.2 следует Теорема 2.3. Алгебра высших симметрий системы уравнений (2.5) порождается элементами Sn, Н, при этом имеют место коммутационные соотношения

Бп, Бщ} = О, {8П, Н} = ПП(Н), где 8П= Пп(8о); □ = чО

- оператор рекурсии.

Теорема 2.4. Алгебра симметрий для системы уравнений (2.1) состоит из точечных симметрий, которые порождаются операторами х = эо, хн =(ь'со8б-ь28те)эх+(ь18те-ь2со8е)эу; а также высших симметрий, которые имеют вид

§„=□" §0, О где П=Д к9у 0у)Ох +(кБх -ох)Бу

О (ке-ау)Бх+(кех-ах)П

5 уу хех + уе у У

Для построения законов сохранения системы уравнений (2.5) следует решить систему уравнений

1=0, где 1* = п. +ь„ у У

ГчП g = Ф, V

Имеет место теорема 2.5. Теорема 2.5. Законы сохранения для системы уравнений (2.5) порождаются производящими функциями Т2п, Е.

Здесь Т2п=П2п(Т0); Т0 = Л ( л и ГП е=

-v, У;

1 О (т , т ) - произвольное решение системы уравнений т'х + ту-f т2 =0, т2 -т2-f т1 =0.

Производящей функции (ср,\|/) отвечает сохраняющийся ток (-фи+\(/V,фи+\(/у). В интегральной форме закон сохранения имеет вид

-ф и+\|/у)с1у+(фи+\|/у)<Зх = 0, г для всякого замкнутого контура Г в плоскости переменных (х, у).

На основании вышеприведенного имеет место теорема 2.6. Теорема 2.6. Класс производящих функций, порождающих законы сохранения системы уравнений (2.1), образуется как векторное пространство элементами К2ш ^ где v е- зт 9 сое 9 , соэ 0 эт 0 У д

При этом закон сохранения в исходной системе координат в интегральной форме запишется так

-фа+\|/^(ах-к(0)0х)+(фа+^(ах+к(0)0х)] ёх+[(-чра+^(ау -к(0)9у)+(фа+^(оу+к(0)0у)] ёу=0, где Г - замкнутый контур в области изменения переменных (х, у); а, 0 -произвольное решение системы уравнений (2.1).

В параграфе 2.2 решена задача групповой классификации для системы уравнений описывающих плоское течение сжимаемой пластической среды, построены новые инвариантные решения.

Рассмотрим систему уравнений, которая получена из системы уравнений пластичности для плоского случая: где и, V - компоненты вектора скорости; 0- угол между первым главным направлением тензора напряжений и осью ОХ; р - давление; р - плотность; А(р) -функция состояния, вид которой заранее не определен и подлежит определению в процессе решения задачи групповой классификации; к - предел текучести при чистом сдвиге.

Имеют место теоремы 2.7 и 2.8. Теорема 2.7. Если А(р) - произвольная функция, то система (2.35) допускает основную группу во, которая порождается следующими операторами г

Эи Эи Эи и-+ V— = о1 Эх Эу

2.35)

2.36) э э э э э л ■ э э э э

Z3 =х-—у—- + U-—V— + —, Yí =t—+—, Y2 = t—+— Эу Эх Эу Эи Э9 Эх Эи Эу Эу

Теорема 2.8. Система уравнений (2.35) допускает группу более широкую, чем G0 в следующих случаях:

1) если А = Сеар, то дополнительный оператор имеет вид: S = —;

Эр

2) если А = const, то получим уравнения, описывающие течение несжимаемого пластического материала.

В этом случае группа, допускаемая системой известна. Дополнительные операторы имеют вид: y, =gl(t)f+g;(t)f-xgr.wf, y2=g2(t)f+g;2(t)f-ygr1(t) f ,s=9(t)f.

Эх Эи Эр Эу Э V Эр Эр

Здесь gj(t), g2(t), (p(t) - произвольные функции из класса Сга .

Для алгебры Ли (2.36) построена оптимальная система одномерных и двумерных подалгебр, которая позволяют строить инвариантные и частично инвариантные решения этой системы.

В частности можно найти инвариантное решение в виде:

В параграфе 2.3 изучаются уравнения двумерной теории идеальной анизотропной пластичности, описывающие стационарное напряженное состояние. Для исследуемых уравнений найдена группа точечных симметрий и на ее основе построены новые точные решения. Эти решения можно использовать для описания пластического состояния материала сжимаемого жесткими плитами.

Рассматривается система уравнений анизотропной идеальной пластичности в плоском случае следующего вида: сх - 2(0Х cos 20 + р0у sin 26) = 0,

2.51) оу-2(рех sin20-0y cos 20) = 0, где сх, оу - гидростатическое давление; 0 - угол между первым главным направлением тензора напряжений и осью ОХ; (3- параметр, характеризующие состояние анизотропии; индекс внизу обозначает производную по соответствующей переменной.

Найдены характеристики и соотношение на них.

Имеет место теорема 2.9. Теорема 2.9. Группа непрерывных преобразований системы уравнений (2.51), порождается следующими операторами:

X, = хдх + уду, Х2 =<Э0, Х+=^(а,е)ах+л(а,6)бу, (2.54) где (£,г|) есть произвольное решение системы уравнений e-2(^acos2e-PTiosin20) = O,

2.55) т|е - 2(Р^0 sin 20 + т)а cos 20) = 0.

Найдено решение на подалгебре дх+Ъда является аналогом известного решения Прандтля для изотропной среды. Его следует искать в виде o = bx+f(y), в = в(у), где b - некоторая постоянная.

Подставляя эти соотношения в (2.51) без труда получаем

1 by by

0 = —arceos—, cos 20 = —-, a = bx - sin 20. (0 56)

2 p p У }

Теперь с помощью (2.52) находим дифференциальные уравнения линий скольжения

2(3 - cos 20 ± л/cos2 26 +В2 sin2 26

6 sin 26 =-b х psm20

ИЛИ f 2В sin2 20 d0 - I—-. ===: х + С,

J b cos 20 ± -Jcos2 20 + p2 sin2 20 y (2.57) у =--cos 20. b

Приведены новые решения уравнения (2.51), построенные на основе решения (2.56). Эти новые решения строятся преобразованием симметрии:, которые порождаются оператором Х+ и действуют на решение (2.56).

Найдены решения системы линейных дифференциальных уравнений (2.55) и на их основе построены новые точные решения системы дифференциальных уравнений (2.51).

Новые построенные решения можно использовать для анализа пластических течений слоя средней толщины, сжимаемого жесткими и шероховатыми плитами, а не только тонкого слоя, для которого пригодно решение, построенное Прандтлем.

В третьей главе рассмотрена задача об определении теплового состояния стенки цилиндрической трубы при течении в ней высокотемпературного газа. Основная цель главы состоит в исследовании численным методом влияния высокотемпературного газового потока на теплозащитное покрытие внутренней стенки цилиндрической трубы на основе математической модели, описанной дифференциальными уравнениями в частных производных, а также ее численной реализации. Метод конечных разностей (метод сеток) [5, 20, 35, 49, 50] один из самых эффективных численных методов и в связи с этим, один из наиболее широко применяемых методов решения начальных или начально-краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных.

В параграфе 3.1. определяется математическая постановка задачи.

Стенка трубы в поперечном сечении состоит из к плотно контактирующих слоев металла и теплозащитного покрытия (ТЗП). Под воздействием высокотемпературного газового потока ТЗП начинает разрушаться и при этом выделяются газообразные продукты пиролиза с образованием слоя обугленного материала, уносимом вместе с потоком. Необходимо отметить, что, полученное дифференциальное уравнение в частных производных (начально-краевая задача) является математической моделью теплового состояния стенки цилиндрической трубы при течении в ней высокотемпературного газа. Эта сложная математическая модель достаточна полно и точно отражает свойства реальной системы. Но из-за сложности полученной начально - краевой задачи общее аналитическое решение уравнения получить не удается и приходится его решать с помощью численных методов.

В параграфе 3.2. описывается численный алгоритм для решения поставленной задачи. Для решения задачи использован метод конечных разностей или метод сеток. Построена разностная сетка с шагом т по временной координате и шагами (¡ = 3, к) по координате г, т.е. сетка по пространственной координате будет неравномерной в том смысле, что на каждом участке сетка имеет свой шаг. На первом участке ТЗП Ь0=Ь1=Ь2, так как явно зоны с остатками горения и разрушения ТЗП не выделяются. Далее, на участке ТЗП в целом шаги сетки по г на каждом временном шаге будут свои, так как левая расчетная граница области является подвижной.

К полученному дифференциальному уравнению применили неявную разностную схему, имеющую второй порядок аппроксимации по обеим независимым переменным. Полученная система уравнений решается методом прогонки.

В параграфе 3.3. приведены результаты расчетов по описанному алгоритму в параграфе 3.2. Расчеты проведены применительно к трубам, стенки которых состоят: а) только из ТЗП, б) из ТЗП и плотно контактирующего к ТЗП металла, в) из ТЗП, металла и ТЗП.

Все расчеты были выполнены при условии полного выгорания внутреннего ТЗП. Из расчетов следует, что проникновение тепла наиболее быстро происходит в случае, когда стенки состоят из ТЗП, металла и ТЗП (случай «в»). При наличии металлической оболочки газообразные продукты пиролиза не выходят за пределы ТЗП и свою очередь способствуют дальнейшему повышению температуры. Процесс выгорания ТЗП еще более ускоряется, если стенка имеет внешнее теплозащитное покрытие.

Заключение содержит выводы и основные результаты работы.

Заключение диссертации по теме "Дифференциальные уравнения"

Основные результаты, полученные в диссертационной работе:

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Коюпченко, Ирина Николаевна, Красноярск

1. Абдурагимов И. М. Воспламенение и горение древесины под влиянием тепловых потоков / И. М. Абдурагимов, A.C. Андросов, М. Бартак // ФГВ. -1986. -Т. 22. №1.-С. 10-15.

2. Аннин Б.Д. Групповые свойства уравнений упругости и пластичности / Б.Д. Аннин, В.О. Бытев, С.И Сенатов. Новосибирск: Наука, 1985 - 140 с.

3. Артемьев И.Т. О неединственности семейства линий скольжения при предельном сопротивлении анизотропной идеально пластической среды / И. Т. Артемьев, Е. А. Григорьев // Исследование по краевым задачам и их приложение. 1987. -№ 1.-С, 4- 14.

4. Бабкин B.C. Фильтрационное горение газов / B.C. Бабкин, В.И. Дробышевич, Ю.М. Лаевский// ФГВ. 1983. - Т. 19. № 2. - С. 17-26.

5. Бахвалов Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. М.: ЛБЗ, 2003 . - 632 с.

6. Быковцев Г. И. О плоской деформации анизотропных идеально-пластических тел / Г. И. Быковцев // Изв.АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. -1963. № 2. - С.66-75.

7. Быковцев Г. И. О сжатии пластического слоя жесткими шероховатыми плитами с учетом сил инерции / Г. И. Быковцев //Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1960. - № 6. - С. 140-142.

8. Виноградов A.M. Введение в геометрию нелинейных дифференциальных уравнений / A.M. Виноградов, И.С. Красильщик, В.В.Лычагин. М.: Наука. 1986. - 336 с.

9. Гениев Г. А. Плоская деформация анизотропной идеально пластической среды / Г.А. Гениев //Строит, мех. и расчет сооружений. 1982. - № 2. - С. 79-82.

10. Ю.Гениев Г.А. Характеристические линии и линии слабых разрывов в плоской динамической задаче пластичности / Г.А. Гениев. М. :ЦНИИСК, 1959. - 110 с.

11. П.Гришин A.M. Математическое моделирование полупрозрачных композиционных материалов / A.M. Гришин, С.П. Синицын // ФГВ. 1982. -Т.18, №4. - С.78.

12. Дородницын В. А. Групповые свойства разностных уравнений / В. А. Дородницын. М.: Физматлит, 2001. - 236 с.

13. Дубровин Б.А. Современная геометрия. Методы и приложения / Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко. Изд. 2-е, перераб. - М.: Наука, 1986. -760с. ; ' . • • ■ •• ' ' .

14. Ершов Л.В.Об обобщении;решения Л.Праидтая о:сжатии пластического слоя шероховатыми плитами / Л.В.Ершов, Д.Д. Ивлев, A.B. Романов // Современные проблемы авиации и космонавтики. 1982. - № 1. - С. 137-144.

15. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике / Н.Х. Ибрагимов. М.: Наука, 1983. - 280 с.

16. Ибрагимов Н.Х. Групповой анализ дифференциальных уравнений / Н.Х.Ибрагимов, Л. В. Овсянников // Итоги науки и техники. Общая механика. М.: ВИНИТИ, 1975. - Т. 2. - С. 5-52.

17. Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности / Д.Д. Ивлев. М.: Наука, 1966.230 с.

18. Ишлинский А. Ю. Математическая теория пластичности / А. Ю. Ишлинский, Д. Д. Ивлев. М.: Физматлит, 2001. - 704 с.

19. Ишлинский А.Ю. Осесимметрическая задача теории пластичности и проба Бринелля / А.Ю. Ишлинский //ПММ. 1944.- Т.8. В.З. - С.201-224.

20. Калиткин H.H. Численные методы / H.H. Калиткин. М.: Наука, 1978.- 508 с.

21. Качанов Л.М. Основы теории пластичности / Л.М.Качанов. М.: Наука, 1969.420 с.

22. Киряков П.П. Приложение симметрий и законов сохранения к решению дифференциальных уравнений / П.П. Киряков, С.И. Сенатов, А.Н. Яхно. -Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2001. 190 с.

23. Киселев О.В. Распространение фронта горения газовой смеси в зернистом слое катализатора / О.В.Киселев, Ю.Ш.Матрос //ФГВ. 1980. - Т. 16. №2. - С. 3 - 8.

24. Коростелев В.Г. Возникновение конвективного горения газопроницаемых топлив / В. Г. Коростелев, Ю. В. Фролов // ФГФ. 1982. - т. 18. №2. - С. 3 - 10.

25. Коюпченко И.Н. Группа симметрий и законы сохранения уравнений идеально пластической анизотропной среды / И.Н. Коюпченко, С.И. Сенатов // Вестник Томского государственного университета. Сер. Математика. Кибернетика. Информатика. 2006. - № 16. - С.82-86.

26. Коюпченко И.Н. Групповая классификация уравнений, описывающих течение сжимаемой пластической среды/ И.Н. Коюпченко // Решетневские чтения: материалы X Международной науч. конф., посвященной памяти академика М.Ф. Решетнева. Красноярск, 2006. - С.245.

27. Коюпченко И.Н. Групповые свойства и точные решения уравнений двумерной анизотропной пластичности/ И.Н. Коюпченко, С.И. Сенашов // Предельное состояние и несущая способность тел и конструкций. 2006. - № 1 - С.81-89.

28. Коюпченко И.Н. Математическое моделирование движениявысокотемпературного газа в трубопроводах с теплозащитным покрытием / И.Н. Коюпченко // Материалы I Всесибирского конгресса женщин-математиков. Красноярск, 2000. - С. 103.

29. Кузнецов А. И. Задача о неоднородном пластическом слое / А. И. Кузнецов //ПММ. 1960. - Т.2. № 2. - С.163-172.

30. Кэнери С. Численное исследование воздействия огня на конструктивные элементы зданий / С. Кэнери, Р. Холв. Теплопередача, 1982. - т. 104. №2.-С.24.

31. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики / Г.И. Марчук. М. : Наука. 1989 .- 608с.

32. Матченко Н. М. Плоская задача теории идеальной пластичности анизотропных материалов/ Н. М. Матченко, Л.А. Толоконников //Изв. АН СССР, МТТ. -1975.-№ 1.-е. 169-170.

33. Миллер У. Симметрия и разделение переменных / У. Миллер. М.: Мир, 1981.340 с.

34. Мосолов П.П. Механика жесткопластических сред / П.П. Мосолов, В.П.Мясников. М.: Наука, 1981.-208 с.

35. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел . Т. 1 / А. Надаи. М.: Изд.ИЛ, 1954. - 647 с.40.0всянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений / Л. В.

36. Овсянников. М.: Наука, 1978. - 400 с. 41.Овсянников Л. В. Групповые свойства дифференциальных уравнений / Л. В.

37. М.: Мир, 1989. 630 с. 44.0лыпак В. Современное состояние теории пластичности / В. Олыпак, З.Мруз, П.Пежина. - М.: Мир, 1964. - 243 с.

38. Панкратов Б.М. Взаимодействие материалов с газовыми потоками / Б.М.Панкратов, Ю.В.Полежаев, А.К. Рудько. М.: Машиностроение, 1976.272 с.

39. Полежаев Ю.В, Тепловая защита / Ю.В. Полежаев, Ф.Н. Юревич.- М.: Энергия, 1976. 392 с.

40. Прагер В. Трехмерное пластическое при однородном напряженном состоянии / В. Прагер //Механика. Сб. переводов и обзоров иностр. литературы. 1958. - №3. - С. 23 - 27.

41. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела / Ю.Н. Работнов. -М.: Наука, 1979.- 744 с.

42. Самарский A.A. Теория разностных схем / А. А. Самарский . М. : Наука, 1977. - 656 с.

43. Самарский A.A. Численные методы / A.A. Самарский, A.B. Гулин. М.: Наука, 1989.-430 с.

44. Седов JL И. Механика сплошных сред : в 2 т. / JI. И. Седов. М.: Наука, 1973.

45. Сенашов С.И. Антиплоское пластическое течение / С.И. Сенатов // ПМТФ. -1988.-№. 1.-С. 159-161.

46. Сенатов С.И. Об одном классе точных решений уравнений идеальной пластичности / С.И. Сенатов // ПМТФ. 1986. - № 1. - С. 139-142.

47. Сенатов С.И. Поля скоростей в задаче Прандтля о сжатии пластического слоя / С.И. Сенатов // ПМТФ. 1984. - №1. - С. 155-156.

48. Сенатов С.И. Симметрии и инвариантные решения уравнений идеальной пластичности / С. И. Сенатов //Современный групповой анализ: методы и приложения. Некоторые задачи математической физики сплошных сред. JI. : ЛИАН, 1990. - препринт № 115. - С. 4 -13.

49. Сенашов С.И. Групповой анализ уравнений анизотропной идеально пластической среды / С.И. Сенатов // Докл. АН СССР, 1991. Т. 316. № 6. - С. 1374-1377.

50. Сенатов С.И. Сжатие пластического слоя между жесткими плитами,сближающимися с постоянным ускорением / С.И. Сенатов // Динамика сплошной среды. Ин-т гидродинамики СО АН СССР. Новосибирск, 1982. -Вып.68.-С. 112-119.

51. Сенатов С.И. Об эволюции решения Прандтля под действием группы симметрий / С.И. Сенатов // Механика твердого тела. 2005. - №5. - С. 167171.

52. Соколовский В.В. Теория пластичности / В.В. Соколовский. М.: Высшая школа, 1969.-608 с.

53. Таран Э.П. Инвариантные решения одномерной динамики неупругих сред / Э.П. Таран //Динамика сплошной среды. Ин-т гидродинамики СО АН СССР. -1986. Вып.74. - С. 74-80.

54. Термодинамические и теплофизические свойства продуктов сгорания. В 10 т. Т. 1. Методы расчета / В.Е. Алемасов, А.Ф. Дрегалин, А.П. Тишин и др. М.: Наука, 1971. -266 с.

55. Толоконников Л.А.Теория плоского пластического течения ортотропных материалов / Л.А. Толоконников, Н.М. Матченко //Прикладная механика. -1973. В.9. № 6. - С. 113-115.

56. Томас Т. Пластическое течение и разрушение в твердых телах / Т. Томас. М.: Мир. 1964.-308 с.

57. Фрейденталь А. Математическая теория неупругой сплошной среды / А. Фрейденталь, X. Гейрингер. М.: Физматгиз, 1962. - 432 с.

58. Хилл Р. Математическая теория пластичности / Р. Хилл. М.; Гостехиздат. 1956,- 407 с.

59. Холв Р. Нестационарная теплопроводность при наличии пиролиза (приближенные решения задач об обугливании деревянных плит) / Р. Холв, С. Кэнери.- Теплопередача, 1982. Т.104, №2. - С.117.

60. Христианович С. А. Механика сплошных сред / С. А. Христианович. М.: Наука, 1981.- 483 с.

61. Юдаев Б. Н. Теплопередача / Б. Н. Юдаев. 2-е перераб. - М. : Высшая школа, 1981.-319 с.

62. Ямке Е. Специальные функции / Е. Ямке, Е. Ф. Эмде , Ф.Леш. М. : Наука, 1977.-342 с.

63. Ames W.F. Group properties of solids utt = (f(u)ux)x / W.F. Ames, E. Adams, R.J. Lohner // Int. J. Non-linear Mech. 1981. -V.16. № 5/6. - P.439-447.

64. Ames W.F. Group properties of the non-linear dynamic equations of elastic strings / W.F. Ames, J.E. Peters // Int. J. Non-linear Mech., 1990. V.25. № 1. - P.107-115.

65. Annin B.D. A new exact solution of equations of the plane problem of ideal plastisity with von Mises conditions / B.D. Annin //Euromesh 3 symp. const, modelin inelastisity. Czechoslovakia, 1978. - P. 6-8.

66. Annin B.D. A new partial solution of spartical problem of ideal plastisity / B.D. Annin // 17 Polish conference of mechanics of solid PAN, Abstracts. -Warsaw, 1975. P. 22-23.

67. Bluman G.W. Similary methods for differential equations/ G.W. Bluman, J.D. Cole. New York, 1974 - 322 p.

68. Hill R. A varitional principle of maximal plastic work in classical plasticity/ R. Hill // Quart.J.Mec., 1948. P. 18-48.7601 ver P. Conservation laws in elasticity /Р. Olver //Arch.Rational Mech. Anal. V. 85,1984. №2. - P. Ill -129, P. 131 -160.

69. Rogers C. Baklund transformations and their application/ C. Rogers, W.F. Shadwick. New York. 1982. - 334 p.

70. Senashov S.I. Symmetries and conservation laws of 2-dimentional ideal plasticity / S.I. Senashov, A.M. Vinogradov // Proc. Edinburgh Math. Soc., 1988. P. 415439.

71. Vinogradov A.M. Local symmetries and conservation laws / A.M. Vinogradov //Acta-Apl. Math., 1984. V.2. №1. - P.21-78.