Об одном классе дифференциально-инвариантных решений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение.

Глава I. Групповой анализ дифференциальных уравнений II

§ I. Предисловие.II

§ 2. Основные определения

§ 3, Вычисление основной группы

§ Групповая классификация.

§ 5. Инвариантные и частично инвариантные решения

§ 6. Групповое расслоение систем дифференциальных уравнений.

§ 7. Другие вопросы группового анализа

Глава 2. Дифференциально-инвариантные пешения класса

Ъ1"(Н). • •

§ I. Определение.

§ 2. "Размерность" системы дифференциальных уравнений

§ 3. Теорема существования дифференциально-инвариантных решений класса 2)1^ (И)

§ 4. Теорема о редукции дифференциально-инвариантных решений класса (Н)

§ 5. Связь между дифференциально-инвариантными решениями класса 2) I™ (Н) и групповым расслоением

Глава 3. Групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений.

§ I. Алгоритм понижения порядка обыкновенных дифференциальных уравнений.

§ 2. Обыкновенные дифференциальные уравнения,допускающие группу максимальной размерности

§ 3. Обыкновенные дифференциальные уравнения, допускающие группу размерности, на единицу меньше максимальной

§ 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения, допускающие группу размерности, на два меньше максимальной.£

Глава 4. Групповой анализ уравнений пограничного слоя

§ I. Уравнения стационарного пограничного слоя.

§ 2. Групповая классификация системы уравнений стационарного пограничного слоя.

§ 3. Система уравнений стационарного трехмерного пограничного слоя на произвольной поверхности

§ 4. Две вспомогательные леммы.

§ 5. Групповая классификация системы уравнений стационарного трехмерного пограничного слоя на произвольной поверхности.

§ б. Примеры группового расслоения уравнений пограничного слоя.

Глава 5. Дифференциально-инвариантные решения класса

DI*(H).%

§ I. Определение.

§ 2. Теорема существования дифференциально-инвариантных решений класса £>It (И)

§ 3. Теоремы о редукции.

§ 4. Алгоритм понижения "размерности" системы дифференциальных уравнений.

§ 5. Примеры применения алгоритма понижения "размерности" системы дифференциальных уравнений.

§ 6. О системах дифференциальных уравнений первого порядка

Предметный указатель

Актуальность темы. Теория групповых свойств дифференциальных уравнений, возникшая в конце XIX века в работах норвежского математика Софуса Ли и его учеников, переживает в настоящее время второе рождение. Она широко применяется при изучении нелинейных дифференциальных уравнений и их систем, при решении которых часто возникают определенные трудности.

Для таких систем получили распространение методы, основанные на знании классов частных решений, а групповой анализ дифференциальных уравнений и дает нам алгоритмы нахождения некоторых классов частных решений, таких, например, как инвариантные и частично инвариантные решения. Причем их отыскание основано на использовании конечных инвариантов основной группы Ли преобразований, допускаемой данной системой дифференциальных уравнений. Наряду с решениями, которые можно найти при помощи конечных инвариантов допускаемой группы, естественно поставить вопрос и об отыскании решений с использованием дифференциальных инвариантов. Такие решения называются дифференциально-инвариантными. На актуальность их изучения указывается в новой монографии Л.В.Овсянникова [29] , где впервые и определяется это понятие.

Цель работы заключается в изучении некоторых классов дифференциально-инвариантных решений, которые можно построить с помощью дифференциальных' инвариантов первого порядка основной группы Ли преобразований, допускаемой данной системой дифференциальных уравнений, в выяснении связей дифференциально-инвариантных решений с инвариантными решениями исходной системы /теоремы о редукции/ и в применении этих результатов ко многим практически важным системам дифференциальных уравнений /в основном различным модификациям уравнений пограничного слоя/.

Научная новизна и практическая ценность.В диссертации вводятся новые понятия дифференказываются теоремы существования и теоремы о редукции к инвариантным решениям. Указывается на тесную связь этих классов дифференциально-инвариантных решений с групповым расслоением, что позволяет сформулировать алгоритм понижения порядка обыкновенного дифференциального уравнения /это дает возможность излагать методы понижения порядка с единой групповой точки зрения/ и алгоритм понижения "размерности" системы дифференциальных уравнений в частных производных, для которых известна нетривиальная допускаемая группа Ли преобразований. Приведено большое количество примеров эффективного применения этих алгоритмов к различным системам уравнений, возникающим в гидродинамике. В частности, результаты, полученные при применении алгоритма понижения "размерности" к системе уравнений стационарного трехмерного пограничного слоя, позволили редуцировать вопрос о ее решении к вопросу о решении системы двух ультрапараболических уравнений, для которой естественным образом переформулируется краевая задача, аналогичная корректной краевой задаче, возникающей в двумерном случае.

Проведена групповая классификация системы уравнений стационарного пограничного слоя на поверхности любого числа измерений, что позволило свести воедино разрозненные результаты нахождения основной группы Ли преобразований, допускаемой системами уравнений двумерного и трехмерного пограничного слоя. Изучены обыкновенные дифференциальные уравнения, допускающие группу размерности, близкой к максимальной, что является одним из первых результатов групповой классификации обыкновенных дифференциальных уравнений произвольного порядка. циально-инвариантных решений класса

Результаты, полученные в диссертации, имеют не только теоретическое, но и практическое значение, т.к. могут быть применены для понижения порядка обыкновенных дифференциальных уравнений и для эквивалентного преобразования /понижения "размерности"/ систем дифференциальных уравнений в частных производных, возникающих в различных областях физики и механики, для которых известна нетривиальная допускаемая группа Ли преобразований.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на заседании семинара Института Гидродинамики G0AH СССР, на заседаниях семинара "Групповой анализ дифференциальных уравнений" под руководством Л.В.Овсянникова /Новосибирский государственный университет/, на итоговых научных конференциях /Омский государственный педагогический институт им.А.М.Горького/, на семинаре кафедры математического анализа /Омский государственный университет/.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в четырех работах[20] -[2з] .

О б ь е м работы. Диссертационная работа состоит из введения и пяти глав, разбитых на 28 параграфов. Список литературы включает 69 наименований.

1. Альфорс Л. Лекции по квазиконформным отображениям. -Ы.: Мир, 1969, - 132 с.

2. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.-304 с.

3. Березовский А.А. Лекции по нелинейным краевым задачам математической физики. 4.2. Точные методы интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными. -Киев: Ин-т мат. АН УССР, 1974. 288 с.

4. Бучнев А.А. Группа Ли, допускаемая уравнениями движения идеальной несжимаемой жидкости. В кн.: Динамика сплошной среды. Вып.7, Новосибирск, 1971, с.212-214.

5. Бытев В.О. Групповые свойства уравнений Навье-Стокса.-В кн.: Численные методы механики сплошной среды. Т.8, 1,25, Новосибирск, 1972, с.13-17.

6. Верещагина Л.И. Групповое расслоение уравнений пространственного нестационарного пограничного слоя. Вестн. ЛГУ, сер. матем.-мех.-астр., 1973, ИЗ, вып.З, с.82-86.

7. Верещагина Л.И. Групповые свойства уравнений пространственного нестационарного пограничного слоя. В кн.: Теоретико-групповые методы в механике: Тез.докл. Международного симпозиума. Новосибирск, 1978, с.80-95.

8. Елкин В.И., Павловский I0Ji., Черноплеков А.Н., Яковенко Г.Н. Задачи факторизации управляемых динамических систем и некоторые их приложения. В кн.: Теоретико-групповые методы в механике: Тез.докл. Международного симпозиума. Новосибирск, 1978,с.I08-II7.

9. Ибрагимов Н.Х. Групповые свойства некоторых дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1967. - 59 с.

10. Ибрагимов Н.Х. Группы Ли в некоторые вопросах математи-чемкой физики. Новосибирск: НГУ, 1972. - 160 с.1..Ибрагимов Н.Х. К групповой классификации дифференциальных уравнений второго порядка. Докл.АН СССР, 1968, т.183, И£, с.274-277.

11. Ибрагимов Н.Х. Об инвариантности уравнений Дирака. -Докл. АН СССР, 1969, т.185, 126, с.1226-1128.

12. Ибрагимов Н.Х. Принцип Гюйгенса. В кн.: Некоторые проблемы математики и механики. Л.: Наука, 1970, с.159-170.

13. Ибрагимов Н.Х. Принцип Гюйгенса с групповой точки зрения. К кн.: Теоретико-групповые методы в механике: Тез.докл. международного симпозиума. Новосибирск, 1978, с.145-146.

14. Ибрагимов Н.Х., Андерсон Р.Л. Группы касательных преобразований Ли-Беклунда. Докл.АН СССР, 1976, т.227, 1йЗ,с.539-542.

15. Камке Э, Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1971. - 576 с.

16. Каплан B.C. Условия существования инвариантных решений уравнений трехмерного ламинарного пограничного слоя на развертывающихся поверхностях. Учен.записки ЦАГИ, 1972, т.З, ЙЗ, с.36-44.

17. Катков В.Л., Костюкова Н.И.,' Процессор КИНО. В кн.: Динамика сплошной среды, Вып.1, Новосибирск, 1969, с.48-60.

18. Катков В.Л., Попов М.Д. Использование ЭВМ БЭСМ—6 для вычисления группы, допускаемой системой дифференциальных уравнений. В кн.: Теоретико-групповые методы в механике: Тез.докл. Международного симпозиума. Новосибирск, 1978, с.147-154.

19. Ланкерович И.Я. Групповая классификация уравнений трехмерного пограничного слоя на произвольной поверхности. -Изв. АН СССР. Мех.жидкости и газа, 1971, ГЗ, с.196.

20. Ланкерович М.Я. Групповые свойства уравнений трехмерного пограничного слоя на произвольной поверхности. В кн.: Динамика сплошной среды. Вып.7, Новосибирск, 1971, с.12-24.

21. Ланкерович М.Я. Об одном классе дифференциально-инвариантных решений. ВИНИТИ, №732-79. Деп.

22. Ланкерович М.Я. Обыкновенные дифференциальные уравнения, допускающие группу максимальной размерности. В кн.: Динамика сплошной среды. Вып. 37, Новосибирск, 1978, с.133-138.

23. Меньшиков В.М. О непрерывном сопряжении инвариантных решений. В кн.: Динамика сплошной среды. Вып.10, Новосибирск, 1972, с.70-84.

24. Меньшиков В.М. О продолжении инвариантных решений уравнений газовой динамики через ударную волну. В кн.: Динамика сплошной среды. Вып.4, Новосибирск, 1970, с.163-169.

25. Нгуен Ван Дьен. Об уравнениях пограничного слоя с мо-ментными напряжениями. ПММ, 1968, т.32, №4, с.748-753.

26. Овсянников Л.В. Аналитические группы. Новосибирск: НГУ, 1972. - 237 с.

27. Овсянников Л.В. Групповое расслоение уравнений пограничного слоя. В кн.: Динамика сплошной среды. Вып.1, Новосибирск, 1969, с.24-35.

28. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. - 399 с.

29. Овсянников Л.В. Групповые свойства дифференциальных уравнений. Новосибирск: СО АН СССР, 1962, - 239 с.

30. Овсянников Л.В. Групповые свойства уравнений механики.В кн.: Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа. М.: Наука, 1972, с.381-393.

31. Овсянников JI.B. Групповые свойства уравнений нелинейной теплопроводности. Докл. АН СССР, 1959, т.125, №3,с.492-495.

32. Овсянников Л.Б. Групповые свойства уравнений С.А.Чаплыгина. ПМТФ, I960, №3, с.126-145.

33. Овсянников Л.В. Группы и инвариантно-групповые решения дифференциальных уравнений. Докл. АН СССР, 1958, т. 118, N23, с.439-442.

34. Овсянников JI.JB. Лекции по теории групповых свойств дифференциальных уравнений. Новосибирск: НГУ, 1966. - 132 с.

35. Овсянников Л.В. Об отыскании группы линейного дифференциального уравнения второго порядка. Докл. АН СССР, I960,т.132, №1, с.44-47.

36. Овсянников Л.В. О канонической структуре бесконечных групп ЛИ. В кн.: Теретико-групповые методы в механике: Тез. докл. Международного симпозиума. Новосибирск, 1978, с.188-201.

37. Овсянников Л.В., Ибрагимов Н.Х. Групповой анализ дифференциальных уравнений механики. В кн: Общая механика. 2. /Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР/, М., 1975, с.5-52.

38. Олейник О.А. Математические задачи теории пограничного слоя. Успехи мат.наук, 1968, т.23, йЗ, с.3-65.

39. Павловский Ю.Н. Групповые свойства управляемых динамических систем и фазовые организационные структуры. ВМ1АФ, 1974, и.14, 1,24, с.862-872 и №5, с.1093-1103.

40. Павловский Ю.Н. Исследование некоторых инвариантно-групповых решений уравнений пограничного слоя. ВММФ, 1961, т.1, с.280-294.

41. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. ш.: Наука, 1970. - 279 с.

42. Помаре Ж. Системы уравнений с частными производными и псевдогруппы ЛИ. М.: Мир, 1983. - 398 с.

43. Пухначев В.Б. Аналог преобразования Крокко для уравнений трехмерного пограничного слоя. Изв. АН СССР, i.iex. жидкости и газа, 1970, ^6, с.150.

44. Пухначев В.В. Групповые свойства уравнений Навье-Стокса в плоском случае. 1ШТФ, I960, ЬЯ, с.83-90.

45. Пухначев В.В. Инвариантные решения уравнений Навье-Стокса, описывающие движения со свободной границей. докл. АН СССР, 1972, т.202, с.302-305.

46. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. -М.: Наука, 1967. 674 с.

47. Садыков И.Х. О группе преобразований Ли, допускаемой одним классом дифференциальных уравнений. Тр. КАИ, 1975, т.169, с.68-72.

48. Сегеда Ю.Н. Об инвариантных решениях нелинейного волнового уравнения. В кн.: Теоретико-алгебраические исследования в математической физике. Киев, 1981, с.54-58.

49. Субоч 10.Ф. Критерий инвариантности решения задачи Коши относительно группы преобразований Ли-Беклунда. В кн.: Динамика сплошной среды. Вып.34, Новосибирск, 1978, с.80-91.

50. Субоч Ю.Ф. Об одном групповом свойстве систем дифференциальных уравнений. В кн.: Динамика сплошной среды. Аыв.6, Новосибирск, 1971, с.201-207^

51. Сухарев М.Г. Инвариантные решения уравнений, описывающие движения жидкости и газа в длинных трубопроводах. Докл. АН СССР, т.175, Ё4, с.781-784.

52. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнении. М.: ГИТТЛ, 1953. - 468 с.

53. Таранов В.Б. Групповые свойства системы уравнений Власова-Максвелла для продольных движений бесстолкновительной плазмы. В кн.: Теоретико-групповые методы в механике: Тез. докл. Международного симпозиума. Новосибирск, 1978, с.277-284.

54. Таранов В.Б. О симметрии одномерных высококачественных движений бесстолкновительной плазмы. ЕТФ, 1976, т.46, с.1271-1277.

55. Чеботарев Н.Г. Теория групп Ли. М.: ГИТТЛ, 1940. -396 с.

56. Чиркунов Ю.А. Групповое свойство уравнений Ламе. В кн.: Динамика сплошной среды. Вып.14, Новосибирск, 1973, с.138-140.

57. Чиркунов Ю.А. Групповой анализ уравнений Ламе. В кн.: Динамика сплошной среды. Вып.23, Новосибирск, 1975, с.219-225.

58. Чиркунов Ю.А. О групповых свойствах уравнений Дарбу. -В кн.: Динамика сплошной среды. Вып.27, Новосибирск, 1976,с.101-115.

59. Эйзенхарт Л.П. Риманова геометрия. М.: ИЛ, 1948. -316 с.

60. R.L.Anderson, U.K.Ibragimov. Bianchi Lie, Backlund and Lie-Backlund transformations.В кн.: Теоретико-групповые методы в механике: Тез.докл. Международного симпозиума. Новосибирск, 1978, с.34-46.

61. G.V/.Bluraan, J.D.Cole. Similarity methods for differential equations.- New York: Springer, 1974. 332 P*

62. L.E.Dickson. Differential equations from the group standpoint. -Ann. Math., 1924, V.25, p.287-378.

63. IT.H. Ibragimov, R.L.Anderson. Lie-Backlung tangent transformations. -J.Mathom. Analysis & Appl., 1977, v. 59, IT 1, p. 145-162.

64. S. Lie, F.Engel. Theorie der Transformations gruppen.-Leipzig: Teubner, Bd.1, 1838; Bd.2, 189o; Bd.3, 1393.

65. Кухарчик П. Групповые свойства уравнений коротких волн в газовой динамике. Bull. Acad. pol. sci. ser. sci.techn., 1969, v. 13, IT 5, p.469-477.

66. Michael. Matrix and tensor calculus. ITev/ York; Springer, 1955. -236 p.

67. C.Truesdell. The physical components of vectors and tensors. Z.angew.Uath. und I,lech., 1953, v. 33, H 10/11, p.1;87-206.

68. E.Vessiot. Sur L"integration des sistems differentiels qui admettent des groupes continus de transformations. Acta math., 1904, v.28, p.307-349.