Частично инвариантные решения уравнений магнитной гидродинамики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Головин Сергей Валерьевич

ЧАСТИЧНО ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ МАГНИТНОЙ ГИДРОДИНАМИКИ

Специальность: 01.01.02 — дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

- 3 ЛЕК 2009

Новосибирск — 2009

003486990

Работа выполнена в Институте гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН (г. Новосибирск)

доктор физико-математических наук, чл.-корр. РАН Ю. Н. Павловский, доктор физико-математических наук, профессор В. К. Андреев,

доктор физико-математических наук, профессор Ю. Н. Григорьев

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

I 2009 года в часов на заседании диссертационного совета Д 212.174.02 при Новосибирском государственном университете по адресу: ул. Пирогова, д. 2, г. Новосибирск, 630090.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного университета.

Автореферат разослан ^ I 2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.174.02 доктор физико-математических наук

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Защита состоится «

Н. И. Макаренко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследований. Модель идеальной магнитной гидродинамики описывает макроскопические движения идеально проводящего газа под действием внутреннего давления, магнитных и инерционных сил. Область применения модели идеальной магнитной гидродинамики чрезвычайно широка — от задач термоядерного синтеза до астрофизики. Популярность модели объясняется ее сравнительной простотой и вместе с тем богатством математического содержания и разнообразием описываемых физических явлений. Хорошо исследованные в настоящее время одномерные либо линейные постановки не всегда удовлетворяют предъявляемым физическим требованиям. В то же время численный анализ затруднен существенной многомерностью исследуемых процессов, наличием разнообразных типов слабых и сильных разрывов. В этой связи актуальными являются аналитические исследования, направленные на описание особенностей, связанных с нелинейным и многомерным характером движений плазмы на основе точных решений. Основным методом построения точных решений для нелинейных систем уравнений является групповой анализ дифференциальных уравнений.

Многие классические модели механики сплошных сред допускают бесконечномерную группу симметрий. Важную роль в применении этих групп к практическим задачам (построение точных решений, задачи эквивалентности и группового расслоения) играет множество их дифференциальных инвариантов. Данное бесконечномерное множество обладает определенной структурой: имеется конечный базис, из которого все инварианты получаются посредством инвариантных дифференцирований и функциональных операций. Таким образом, актуальным является описание базисов дифференциальных инвариантов для бесконечномерных групп Ли, допускаемых основными моделями динамики жидкости и газа.

Целью работы является систематическое построение и изучение частично инвариантных решений для системы уравнений идеальной магнитной гидродинамики и газовой динамики, а также развитие методов группового анализа для отыскания и использо-

вания базисов дифференциальных инвариантов бесконечномерных групп Ли.

Научная новизна работы. В работе впервые проведен систематический анализ частично инвариантных решений для нелинейной системы уравнений идеальной магнитогидродинамики. Обнаружено свойство иерархии на множестве частично инвариантных подмоделей произвольной системы уравнений. Построена иерархия частично инвариантных подмоделей для уравнений магнитной гидродинамики. Выявлены три основных вида подмоделей: вихрь Овсянникова и его обобщения, решения с линейным по части переменных полем скорости и решения с полным давлением, зависящим только от времени. Впервые дан геометрический алгоритм использования функционального произвола в решениях типа вихря Овсянникова. Исследованы подмодели вихря Овсянникова (автомодельная, стационарная, с линейным полем скорости и другие). Доказана невозможность обобщения вихря Овсянникова на решения с произвольными поверхностями уровня. Дан геометрический алгоритм построения безвихревых векторных полей, частично инвариантных относительно группы вращений и доказано, что в вихре Овсянникова ротор скорости не равен нулю. Предложен оригинальный геометрический подход, дающий исчерпывающее описание стационарных течений идеальной несжимаемой плазмы с постоянным полным давлением.

В диссертации впервые найдены базисы дифференциальных инвариантов и операторы инвариантного дифференцирования для бесконечномерных групп Ли, допускаемых уравнениями Навье — Стокса и Эйлера, стационарной газовой динамики, уравнения Кармана — Гудерлея. Для ряда перечисленных моделей впервые построены групповые расслоения относительно допускаемых бесконечномерных групп.

Впервые систематически описан важный класс инвариантных решений для уравнения Кармана — Гудерлея для пространственных околозвуковых течений газа, обнаружены режимы течения с ударной волной в виде винтовой поверхности. Построены и описаны точные решения с линейным по части переменных полем ско-

рости для уравнений газовой динамики.

Теоретическая и практическая ценность работы. Найденные в диссертации точные решения уравнений механики дают новую важную информацию о движениях сплошных сред под воздействием магнитных полей. Данные решения могут применяться для описания реальных физических процессов, а также служить тестами для разработки алгоритмов численного расчета магнито-гидродинамических течений. Найденные в работе базисы дифференциальных инвариантов дают исчерпывающее описание бесконечного множества инвариантов рассматриваемых групп Ли и могут применяться для установления (не) эквивалентности многообразий под действием рассматриваемых групп, служить для построения новых дифференциально инвариантных решений исследуемых уравнений. Диссертация является опытом успешного систематического применения теории частично инвариантных решений и дифференциальных инвариантов для нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Разработанные подходы могут быть эффективны в других задачах теории дифференциальных уравнений, математической физики и механики сплошных сред. Результаты и методы работы активно используются в научно-исследовательских работах, проводимых в ИГиЛ СО РАН в течение 2000-2009 гг., а также в курсах лекций и практических занятиях, читаемых в Новосибирском госуниверситете.

Основные результаты работы.

• Полное описание регулярных частично инвариантных решений дефекта 1 уравнений идеальной магнитной гидродинамики:

— введено понятие иерархии частично инвариантных решений произвольной системы дифференциальных уравнений;

— построена полная иерархия частично инвариантных решений для уравнений идеальной магнитной гидродинамики;

— построены и описаны решения типа вихря Овсянникова, даны геометрические алгоритмы построения движения в целом в вихре Овсянникова;

— получены новые примеры решений с линейным по части пространственных переменных полем скорости;

— полностью проанализированы стационарные течения идеально проводящей жидкости с постоянным полным давлением.

• Построение и использование базисов дифференциальных инвариантов для бесконечномерных групп Ли:

— вычислены базисы дифференциальных инвариантов для бесконечномерных групп симметрий основных моделей механики сплошных сред;

— построены новые примеры групповых расслоений уравнений механики относительно допускаемых бесконечномерных групп Ли.

• Построение и анализ подмоделей уравнений газовой динамики:

— полностью описаны инвариантные подмодели уравнения околозвукового движения газа;

— построены и проанализированы точные решения эволюционных подмоделей с двумя независимыми переменными с однородной деформацией.

Апробация работы. Основные результаты диссертации опубликованы в 13 статьях без соавторов в журналах из перечня ВАК научных изданий, рекомендованных для публикации результатов диссертаций. Кроме того, по теме диссертации имеется 3 препринта и 8 статей в трудах международных конференций. Результаты докладывались на научных семинарах под руководством академика Л.В. Овсянникова (ИГиЛ СО РАН), академика Г.Г. Черного (ИМех МГУ), академика А.Г. Куликовского, д.ф.-м.н. A.A. Бармина и

д.ф.-м.н. В.П. Карликова (ИМех МГУ), чл.-корр. РАН П.И. Плотникова (ИГиЛ СО РАН), чл.-корр. РАН И.А. Тайманова (ИМ СО РАН), чл.-корр. РАН В.М. Тешукова и д.ф.-м.н. В.Ю. Ляпидевского (ИГиЛ СО РАН), д.ф.-м.н. В.К. Андреева (ИВМ СО РАН), д.ф.-м.н. B.C. Белоносова и д.ф.-м.н. М.В. Фокина (ИМ СО РАН), д.ф.-м.н. A.M. Блохина (ИМ СО РАН), проф. В.А. Кондратьева и проф. Е.В. Радкевича (МГУ), д.ф.-м.н. Э.А. Троппа (ФТИ им. Иоффе), д.ф.-м.н. О.И. Богоявленского (Queen's University, Kingston, Canada), семинаре LEGI (J. Fourier Universite, Grenoble, France), а также на научных конференциях по математике и механике, среди которых

— Всероссийская конференция «Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа (САМГАД)» (Пермь, 2000; Снежинск, 2002; Абрау-Дюрсо, 2004; Санкт-Петербург, 2006),

— Международная конференция «Современный групповой анализ (MOGRAN)» (Уфа, 2000; Москва, 2002; Кипр, 2004; Швеция, 2007),

— Международная конференция по дифференциальным уравнениям (EquaDiff-2003) (Хассельт, Бельгия, 2003),

— VIII Всероссийский конгресс по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001),

— Всероссийская конференция «Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение» (Новосибирск, 2004, 2009),

— IV Европейский конгресс по математике (Стокгольм, Швеция, 2004),

— VI Международная конференция «Геометрия, интегрируемость и квантование» (Варна, Болгария, 2004),

— Международная конференция «Симметрии в нелинейной математической физике» (Киев, Украина, 2003, 2005, 2007, 2009),

— VI Международная конференция «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике» (Новосибирск, 2005),

— Летняя программа «Симметрии и переопределенные системы дифференциальных уравнений в частных производных» (Миннеаполис, США, 2006),

— Международная конференция «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы (Конференция Петровского)» (Москва, 2007),

— Международная конференция «Дифференциальные уравнения.

Функциональные пространства. Теория приближений», посвященная 100-летию со дня рождения С. Л. Соболева (Новосибирск, 2008), — Международная конференция «Волны и неустойчивости в геофизических и астрофизических потоках» (о. Поркероль, Франция, 2009).

Работа автора по данной тематике поддерживалась грантами российских организаций (РФФИ, Минобрнауки РФ, СО РАН, Фонда содействия отечественной науке).

Структура работы. Диссертация состоит из введения и трех частей, включающих восемь глав. Работа содержит 316 страниц, 44 рисунка, 6 таблиц и список литературы из 199 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, описывается ее структура и формулируются основные результаты. Диссертация состоит из трех частей, включающих восемь глав. Первая часть, являющаяся основной, посвящена классификации, построению и исследованию точных частично инвариантных решений для уравнений идеальной магнитогидродинамики. Здесь дается введение в теорию частично инвариантных решений, доказываются общая теорема об иерархии частично инвариантных решений произвольной системы дифференциальных уравнений, строится иерархия частично инвариантных решений для уравнений магнитной гидродинамики, подробно описываются отдельные классы решений. Большое внимание уделено описанию движений, задаваемых плоским и сферическим вихрями Овсянникова, а также построению точных решений, задающих стационарные течения несжимаемой плазмы с постоянным полным давлением.

Вторая часть диссертации посвящена построению и использованию базисов дифференциальных инвариантов для бесконечномерных групп Ли, допускаемых основными моделями механики сплошных сред. Построены базисы инвариантов для многих конкретных групп Ли, приведены примеры их использования для построения классов дифференциально инвариантных решений и группового расслоения этих систем относительно бесконечномерной части допускаемой моделями группы.

В третьей части диссертации полученные ранее результаты используются для построения и анализа точных решений уравнений газовой динамики. На основании построенного выше группового расслоения уравнения Кармана — Гудерлея проведено полное описание его инвариантных решений, а также построено решение типа двойной волны. Для инвариантных подмоделей с одной независимой переменной проанализирована возможность существования непрерывного во всем пространстве решения, а также дан пример решения с ударной волной в виде винтовой поверхности. Построены и изучены точные решения с линейной зависимостью части компонент скорости от части пространственных переменных, задаваемые эволюционными подмоделями ранга 2 уравнений газовой динамики. Показано, что такие решения описывают эволюцию плоских и цилиндрических слоев газа.

Первая глава диссертации посвящена общей теории частично инвариантных решений дифференциальных уравнений. Глава начинается с определений частично инвариантного многообразия относительно заданной группы преобразований и частично инвариантного решения системы дифференциальных уравнений относительно некоторой подгруппы допускаемой группы симметрий. С заданной системой уравнений Е для т искомых функций и и п независимых переменных х, допускающий группу преобразований (симметрий) G, рассматривается решение U : и = и(х). Решение U локально определяет многообразие U с mn(x) х rm(u) в пространстве независимых переменных х и искомых функций и. Известно, что под действием преобразований группы симметрий любое решение системы Е переходит в решение той же системы. Выбирается подгруппа Н С G и рассматривается орбита 0(U,H) точек многообразия U под действием преобразований группы Н.

Определение 1. Решение U называется инвариантным решением уравнений Е, если dim 0(U, Н) — dim U, и частично инвариантным решением уравнений Е, если dim О(U,H) — dimO(t/) = 6 > 0. Число <5 называется дефектом частично инвариантного решения; число сг, равное размерности многообразия 0(U,H) в пространстве инвариантов группы Н, называется рангом решения.

Инвариантные решения обладают следующими свойствами:

• Все искомые функции получают представления через инвариантные функции, зависящие от меньшего числа переменных.

• Для нахождения инвариантных функций имеется определенная факторсистема уравнений (подмодель исходной модели) Е/Н, содержащая а <п число независимых переменных.

К числу инвариантных относятся многие классические решения: автомодельные, осесимметричные, одномерные и пр. В отличие от инвариантных, частично инвариантные решения определяются следующими характеристиками:

• Только часть искомых функций получают представления через инвариантные функции. Имеется 5 неинвариантных функций, зависящих от всех независимых переменных.

• Подмодель частично инвариантного решения состоит из уравнений Е/Н для инвариантных функций и переопределенной системы П для неинвариантных функций, совместной на решениях системы Е/Н.

В силу того, что частично инвариантные подмодели подчинены меньшему количеству условий, они задают более широкие классы решений по сравнению с инвариантными подмоделями. Однако при их построении необходимо исследовать на совместность переопределенную и, вообще говоря, нелинейную систему дифференциальных уравнений П. Несмотря на то, что общая теория исследования переопределенных систем уравнений, начатая в работах французских математиков С. Riquier, М. Janet и Е. Cartan, в настоящий момент достаточно развита, ее формальное применение к нелинейным системам уравнений зачастую приводит к громоздким выкладкам, не дающим обозримого результата. Поэтому математическое исследование каждой частично инвариантной подмодели является нетривиальной задачей. В то же время опыт исследования подмоделей уравнений механики сплошной среды показывает, что число неподобных частично инвариантных подмоделей может быть

достаточно большим (десятки подмоделей). В этой связи требуются дополнительные признаки, позволяющие упорядочить и упростить исследование подмоделей заданной системы уравнений.

В диссертации доказывается, что для произвольной системы дифференциальных уравнений на множестве частично инвариантных решений имеется иерархическая структура. Справедлива следующая

Теорема 1. В группе Ли £?, допускаемой системой дифференциальных уравнений Е, выберем две подгруппы Н <3 N с О такие, что дефекты инвариантности Н- и N-частично инвариантных решений совпадают. Тогда факторсистема частично инвариантного решения Е/Н допускает построение инвариантного решения относительно факторгруппы N/11. При этом факторсистема инвариантного решения (Е/Н)/(Ы/Н) эквивалентна факторсисте-ме частично инвариантного решения Е/И.

(Е/Я)/(ЛГ/Я) ~ Е/И.

Данная теорема является обобщением леммы ЛОТ (Л.В. Овсянников, 1998) для инвариантных решений.

Определение 2. Частично инвариантная подмодель называется неприводимой, если ее нельзя представить в виде нетривиальной композиции частично инвариантной и инвариантной подмоделей.

Данная теорема позволяет значительно упростить исследование всего множества частично инвариантных подмоделей заданной системы дифференциальных уравнений. Действительно, в соответствии с теоремой 1 необходимо выделить и исследовать лишь множество неприводимых подмоделей. Все остальные получаются из них за счет инвариантных редукций, что значительно проще технически. Помимо упрощения процедуры построения решений, понятие иерархии подмоделей также полезно с физической точки зрения, поскольку все подмодели, являющиеся инвариантными редукциями некоторой неприводимой частично инвариантной подмодели, обладают схожими физическими свойствами описываемых ими решений системы уравнений Е.

Во второй главе диссертации построена иерархия частично инвариантных подмоделей для уравнений идеальной магнитной гидродинамики

D р + р div и = О,

Du + p-1Vp + p-1B х rot В = О,

Dp + A(p,p) divu = 0, (1)

D В + В div u - (В • V)u = О,

div В = 0, D = dt + u-V.

Здесь u = (u, v, w)T — вектор скорости, В = (Я, К, L)T — вектор напряженности магнитного поля; р и р — давление и плотность. Справедливо уравнение состояния р = F(S, р) с энтропией S. Функция А(р, р) определяется уравнением состояния А = р (dF/dp). Все функции зависят от времени t и декартовых координат х = (х, у, z).

Основная группа Ли Сц, допускаемая уравнениями (1), является расширением группы Галилея за счет преобразования гомотетии и порождается следующими инфинитезимальными операторами (J.C. Fuchs, 1991):

Х% = дх, Х2 = ду, Х3 = dz, Х4 - tdx + ди, Х5 = tdy + dv,

Хв = tdz + dw, X7 = ydz - zdy -t- vdw - wdv + Кдь - Ьдк, X% = zdx - xdz + wdu - udw + Ьдн - Ндь, Xc, — xdy - ydx + udv - vdu + Ндк ~ Кдн, .Xio = dt, Xu = tdt + хдх + уду + zdz.

Структура группы G и та же, что и для уравнений газовой динамики, поэтому для построения классов неэквивалентных точных решений уравнений (1) использовалась известная оптимальная система подгрупп 9б?и (Л.В. Овсянников, 1994). В диссертации доказана следующая

Теорема 2. Класс регулярных небарохронных ЧИР для уравнений МГД (1) исчерпывается неприводимыми подмоделями, порожда-

емыми подалгеброй {-Х-!,Х4} (ранг 3, дефект 1), подалгебрами

{Х<2, Хз, .Х», {Х5, Х7}, {.Х7, Х$, -Хд}, {Х3 + Х5, Х2-Х6, Х?}, {Хз, Х5, Х2 + Х6}

(ранг 2, дефект 1), подалгеброй {Х2, Хв} (ранг 2, дефект 2)

и подалгеброй {Х2, Хъ, Х7} (ранг 2, дефект 8).

Показано, что все частично инвариантные подмодели дефекта 1 описывают решения, которые можно условно разделить на два класса: подмодели с линейной зависимостью части компонент скорости от части пространственных переменных и подмодели типа вихря Овсянникова. Кроме того, отдельно выделяется класс ба-рохронных решений, в которых полное давление р + ^В2 зависит только от времени В диссертации полностью исследованы и приведены в инволюцию все неприводимые частично инвариантные подмодели дефекта 1.

Пример 1. Рассмотрим подмодель, порождаемую подалгеброй {Хз, Х2 + Хъ}. В представлении решения имеется линейная зависимость компонент скорости от части пространственных переменных

и = и^,х), = х)у + ь{г,х), в = в(г,х),

р = р(г,х), р = р{г,х).

Здесь V = (г,, к,)* у = (у,г)т, Ъ = (Ь2,Ь3)Т, В = - укоро-

ченные векторы; М — квадратная матрица размером 2 х 2. В результате подстановки представления решения в систему уравнений (1) и анализа условий совместности в случае плоского магнитного поля с Н = 0 получим следующие уравнения подмодели:

Ор + р(их +ЫМ) = 0, Ър + А(р, р)(их + ^ М) = О, 5и + р~1(р + в2/2)х = о, 5ф = о, 5 = ъ + идх,

М = {Е + Ш0)-1М0, В = р (Е + Шо)-1 Во/ро-

Здесь Мо, Во, ро — соответственно матрица, вектор и скаляр, произвольно зависящие от -ф. Аналогично выписываются уравнения

для случая Н ф 0. Отметим, что в момент времени t = — 1/Л (А — собственный корень матрицы Mq) плотность и магнитное поле неограниченно возрастают, а все частицы приходят на многообразие меньшей размерности: поверхность или прямую в зависимости от степени вырождения матрицы Mq.

В третьей главе диссертации подробному исследованию подвергнуты две наиболее интересных из полученных подмоделей — плоский и сферический вихри Овсянникова, порождаемые группами движений плоскости и сферы: {Х2, Х3, X?} и {Х7, .Xs, Хд}. Для сферического вихря Овсянникова решение в сферической системе координат (г,в,(р) имеет вид

ur — U(t,r), ид = rM(t, г) cos ш, и<р = rM(t,r)smw,

Н0 Mí, г) „ N(t,r) .

вг = -5-ве = -A2-L cosw> вч> = smw. (2)

r¿ COS T(í,r) r r

p = p(t,r), p = p(t,r).

Здесь Но — произвольная константа; r(í,r) — вспомогательная функция. Неинвариантная функция ui предполагается зависящей от всех переменных.

Инвариантные функции определяются из системы уравнений

D0M + -UM- ,Я° Nr = 0, D0 = dt + Udr, г r4pcosr

D0N + NUr - Mr - MNtgr = 0,

COST

D0p + A(p,p) (Ur + ^U-Mtgr^j =0, (3)

^ 1 NNr „„2 „

D0U+-pr + - rM = 0, Я0тг = N cost, p rzp

DoP + p(ur + ^U-MtgT^J=0, Dqt = M.

Функция w находится из неявного конечного соотношения

F(r¡, С)=0, (4)

где

Г] = sin 9 COS Lü COS г С = ip + arctg

cos U sin т,

sin U) COS г

cos в cos u> cos r + sin в sin r с произвольной функцией F. Справедливы следующие общие свойства движения сплошной среды, определяемого решением (2):

Теорема 3. В вихре Овсянникова траектории частиц и магнитные силовые линии являются плоскими кривыми, одинаковыми для всех частиц, лежащих в некоторый момент времени на одной сфере г — го- Положение и ориентация этих кривых в пространстве определяется функцией и> из решения неявного уравнения (4)-

Таким образом, для построения картины движения в трехмерном пространстве необходимо решить систему уравнений (3) с некоторыми начальными данными и построить шаблон траектории частицы и магнитной силовой линии, проходящих через сферу г = г0 в фиксированный момент времени t = to. Затем необходимо построить поле направлений на сфере S2, определяемое из неявного соотношения (4) с заданной функцией F. Общая картина движения получается присоединением шаблонов траектории и магнитной силовой линии к каждой точке сферы S2 в соответствии с заданным полем направлений (см. рис. 1). Важной особенностью решения является принцип суперпозиции траекторий: с одним и тем же шаблоном траекторий и магнитных силовых линий можно построить бесконечное количество различных картин движения в пространстве, варьируя поле направлений на сфере S2 путем выбора функции F в соотношении (4).

В диссертации дан геометрический алгоритм решения неявного уравнения (4) в фиксированный момент времени t — to- Для заданной функции F определим на сфере S2 кривую 7 по следующему

Рис. 1.

правилу: г] — высота точки N € 7 над экваториальной плоскостью, ( — долгота точки N. Для заданной точки М € 52 проведем на сфере 52 окружность 51 геодезического радиуса 7г/2 — г. Обозначим через N1, г = 1,..., к точки пересечения окружности 51 и кривой 7. Справедлива следующая

Теорема 4. Углы между проходящим через точку М меридианом и дугами длины тг/2 — т, идущими из точки М в каждую из точек задают все возможные решения и; = М) неявного уравнения (4).

Из теоремы 4 следуют свойства поля направлений, задаваемого на сфере Б2 функцией ш:

• Решение определено не на всей сфере, а только в полосе ширины х — 2т с кривой 7 в качестве центральной линии;

• При малых значениях т возможно появление особенностей типа "ласточкин хвост" на эквидистантах 7±(7г/2 — г), ограничивающих полосу определенности решения;

• Невозможно выбрать ветвь функции и>, непрерывную при переходе через все границы "ласточкиного хвоста".

В диссертации доказано следующее утверждение, определяющее максимальную ширину полосы определения решения без особенностей граничных эквидистант:

Лемма 1. Пусть 7 является гладкой кривой на сфере |х| = Я. Эквидистантны 7±(5) не имеют особенностей типа "ласточкин хвост" в случае выполнения следующего неравенства

tg5 < ттЯ/Цх),

х£7

где кд — геодезический радиус кривизны кривой 7.

На рисунке 2 приведены возможные картины стационарного течения из сферического источника, определяемого вихрем Овсянникова. Кривыми на сфере обозначена полоса определения начальных данных, из которой происходит истечение проводящего газа.

Рис. 2.

Кривые вне сферы иллюстрируют магнитные силовые линии течения, которые в стационарном случае совпадают с линиями тока. На бесконечности все силовые линии магнитного поля приближаются к некоторой поверхности, схематически отмеченной на рисунке.

Аналогичными свойствами обладает плоский вихрь Овсянникова, построенный на группе движений плоскости {Х2,Хз,Хч}. Все описанные выше свойства сохраняются, однако поверхностями уровня решения являются не сферы, а плоскости х = xq. Построены и исследованы отдельные подмодели плоского и сферического вихрей Овсянникова: стационарная, автомодельная, решения с линейным по части переменных полем скорости. В частности, показано, что в стационарном вихре Овсянникова поле скорости всегда коллинеарно магнитному полю; построение решения сведено к одному обыкновенному дифференциальному уравнению, не разрешенному относительно производной.

Проведенные исследования указывают на существование класса решений, обобщающего классические одномерные движения идеальной сплошной среды с плоскими и сферическими волнами и обладающего следующими свойствами:

1. Трехмерное пространство событий локально расслоено поверхностями уровня некоторой функции h(x, у, z) = const.

2. В разложении вектора скорости частиц на касательную и нормальную компоненты к поверхностям уровня и = пп + ит,

абсолютные значения компонент вектора скорости, а также термодинамические функции постоянны вдоль каждой поверхности уровня, т.е. функции [ип|, |иг|, р, р зависят только от £ и к.

3. Траектории частиц являются плоскими кривыми.

В имеющихся подмоделях к = х, либо к = \/х2 + у2 + г1 (плоский и сферический вихри Овсянникова). В диссертации исследован вопрос о возможности обобщения этих примеров на аналогичные решения уравнений газовой динамики с другими функциями к.

Для этого получены уравнения, задающие всевозможные движения газа с плоскими траекториями частиц. В полученных уравнениях выделяется класс решений, удовлетворяющих свойствам 1, 2 с неопределенной функцией к. Доказано, что такой класс решений существует если а) функция к удовлетворяет уравнению эйконала | \7Д| = 1, и б) матрица Гессе (матрица вторых производных функции к) имеет алгебраические инварианты, зависящие только от к. Вычисления показывают, что этим двум условиям удовлетворяют только функции, поверхностями уровня которых являются параллельные плоскости, соосные круговые цилиндры или сферы с фиксированным центром. Первый и последний случаи сводятся к плоскому и сферическому вихрям Овсянникова. Для движений с цилиндрическими поверхностями уровня инвариантных функций оказывается возможным два типа движений в направлениях, соответствующих главным сечениям цилиндра: вектор скорости частиц лежит либо в плоскости, проходящей через ось цилиндра, либо в плоскости, перпендикулярной оси цилиндра. Оба случая также являются хорошо известными в литературе. Таким образом, в естественном классе функций, удовлетворяющих уравнению эйконала, обобщения вихря Овсянникова не существует.

Отметим, что несмотря на сложившееся название, вихрь Овсянникова может быть и безвихревым; это означает, что векторное поле, удовлетворяющее условию частичной инвариантности относительно группы вращений, может иметь нулевой ротор. А именно, справедлива

Теорема 5. Безвихревое векторное поле, частично инвариантное относительно группы вращений 0(3), представляется в сферической системе координат в виде

Здесь U(г) и а — произвольные функция и постоянная. Функция ш(9,(р) задается неявно уравнением

г] = /(С); где ту = sin0sino», £ = ср + тг/2 + arctg(cos# tgaj) с произвольной гладкой функцией /.

В третьей главе диссертации дан геометрический алгоритм построения векторных полей, определяемых теоремой 5. Показано, что безвихревое поле типа вихря Овсянникова не может быть реализовано как поле скоростей движения сплошной среды, удовлетворяющее закону сохранения массы, т.е. применение термина «особый вихрь» или «вихрь Овсянникова», применяемый для точных SO (З)-частично инвариантных решений уравнений механики сплошной среды, является оправданным.

Четвертая глава диссертации посвящена описанию стационарных течений несжимаемой (div и = 0) бесконечно проводящей жидкости с постоянным полным давлением. Для удобства вводятся переменные Эльзассера

В них уравнения магнитной гидродинамики имеют более симметричный вид. Уравнение индукции, выражающее коммутативность векторных полей а и Ь, позволяет ввести криволинейную систему координат х = х(к) такую, что А;1- и /с2-координатные линии совпадают с интегральными кривыми векторных полей а и Ь:

ur = U(r), щ = аг 1 eos из, ич> = аг 1 sino;.

1

_ дх _ дк

a = W' ар-

В новой образом:

системе координат уравнения записываются следующим

<9х д2х + дР = о,

дк1 дкхдк2 дк1

дх д2х + дР -о,

дк2 дкгдк2 дк2

дх д2х + дР = о,

дкз дк1дк2 дк3

det = 1. (5)

Данная форма уравнений магнитной гидродинамики удобна, поскольку каждое решение х = x(k), Р = Р(к) определяет явным образом линии тока, магнитные силовые линии, а также контактные магнитные поверхности течения жидкости. Решения системы уравнений (5) с постоянным полным давлением Р = const записываются в виде

х = а{к\к3) + т{к2,к3), (6)

где векторы а и г удовлетворяют уравнению

да

дк1

(дт (да дт\\ л

Разделение переменных в уравнении (7) и его интегрирование позволяет в явном виде описать течения несжимаемой плазмы с постоянным полным давлением. Отметим, что данный класс решений обладает значительным функциональным произволом. Контактные магнитные поверхности к3 = с на решениях, определяемых зависимостью (6), являются поверхностями переноса, т.е. заметаются кривой х = а(к1, с) при параллельном переносе вдоль кривой х = т(/с2,с).

Пример 2. Рассмотрим следующее решение системы (5) вида (6): х = (V + F(т3(fc2, ^3)))е1 + ^(к1) + т2(к2, к3))е2 + т3(к2, к3) е3,

дк2 дк3 дк3 дк2 ~ ' ^

Рис. 3.

Здесь /3, F и G — произвольные функции своих аргументов; ei, ег, ез — ортонормированная тройка постоянных векторов. На рисунке 3 изображена магнитная поверхность к3 = 1 на решении (8) с /3 = sin А;1, т2 = V^sinfc2, т3 = Vw^cosk2, F = cos2r3. Непрерывными и пунктирными кривыми показаны магнитные силовые линии и линии тока течения соответственно.

Вторая часть диссертации посвящена построению и использованию базисов дифференциальных инвариантов для бесконечномерных групп, допускаемых основными моделями гидродинамики. Отметим, что бесконечномерными группами симметрий обладают многие математические модели: уравнения Навье — Стокса и Эйлера для несжимаемой жидкости, уравнения стационарной газовой динамики и другие. В то время, как общая теория конечномерных групп и алгебр Ли хорошо развита, аналогичная теория бесконечномерных групп и алгебр Ли в настоящий момент не построена. Нуждаются в осмыслении вопросы классификации бесконечномерных групп и алгебр Ли, в частности, построения оптимальных систем подгрупп произвольной размерности.

Большую информацию о группе преобразований дают ее инварианты. Для групп симметрий дифференциальных уравнений наибольший интерес представляют дифференциальные инвариан-

ты, т.е. инварианты, зависящие от производных. При рассмотрении продолжений действия группы на производные сколь угодно высокого порядка возникает бесконечное множество дифференциальных инвариантов, обладающее вполне определенной структурой. Основной в теории дифференциальных инвариантов является теорема о базисе, утверждающая существование конечного набора дифференциальных инвариантов, из которого каждый инвариант получается путем применения операторов инвариантного дифференцирования и функциональных операций. Каждая группа Ли (конечно- или бесконечномерная) полностью характеризуется своим набором операторов инвариантного дифференцирования и базисом дифференциальных инвариантов.

В пятой главе диссертации вычислены базисы дифференциальных инвариантов и операторы инвариантного дифференцирования для групп Ли, допускаемых уравнениями Навье — Стокса и Эйлера в общем и вращательно-симметричном случаях, уравнениями стационарной газовой динамики, уравнением Кармана — Гудерлея для околозвуковых течений газа.

Уравнения Навье — Стокса для вращательно-симметричных движений вязкой жидкости, записанные в цилиндрических координатах (г, в, z) в терминах функции тока -ф и функции w = гид, допускают группу точечных преобразований, порождаемую следующими операторами (Л.В. Капитанский, 1979):

Хх = dt, X-i = 2tôt + rdr + zdz + фдф

1 о <9>

х3(т) = r(t)dz - - г2 т{Ь)дф> Х4{а) = а{1)дф.

Здесь r(t) и a(t) — произвольные гладкие функции времени. Справедлива следующая

Теорема 6. Операторы инвариантного дифференцирования для группы (9) следующие:

6i=r2 Dt-riprDz, ô2 = rDr, ô3 = rDz.

Базис дифференциальных инвариантов состоит из трех инвариантов

w, фг, Г-фгг-фг.

Здесь и далее через обозначается оператор полного дифференцирования по переменной г.

Уравнения Навье — Стокса для общих пространственных движений вязкой жидкости

и4 + (и • \7)и + \7р = ¡/Ли, с!пг и = О

допускают бесконечномерную группу преобразований. Ее конечномерная часть порождается переносом по времени, вращениями вокруг трех осей и растяжением. Бесконечномерной части допускаемой группы соответствует алгебра Ли операторов

У<ы*)) = щд* + Фгдиг - х%др, (г = 1,2,3); г = <т(Щ (10)

(по г суммирования нет). Функции ¥>*(£) и ст(£) произвольны.

Теорема 7. Операторы инвариантного дифференцирования для группы Ли, порождаемой операторами (10), имеют вид

6о — Вг + иВх + уВу + тПг, 5х = Бх, §2 = Оу, = £>г.

Базис дифференциальных инвариантов следующий:

г, VII, V«, Vгy, и* + (и • + Ур.

Отметим, что этот же результат справедлив и для уравнений Эйлера, описывающих движение идеальной жидкости (и = 0).

Далее рассматриваются уравнения, описывающие трехмерные стационарные движения невязкого нетеплопроводного газа

(и • У)и + = 0, (и • У)р + рсН-уи = 0, (и-У)5 = 0. (11)

Предполагается, что уравнение состояния газа имеет разделенный вид: р = вд(р). Уравнения (И) помимо конечномерной группы допускают бесконечномерное преобразование Мунка — Прима (1947):

X = —т(х) и 5и + 2т(х) рдр + 2т(х) 5 с^, и ■ Ут(х) = 0. (12)

Справедлива следующая

Теорема 8. Операторы инвариантного дифференцирования для преобразования (12) совпадают с полными производными по независимым переменным

= Аг, ¿2 = -Оу, ¿з = Дг-

Базис дифференциальных инвариантов преобразования (12) может быть выбран в виде

_ 5 (ц-У)р

х, у, г, и -, -—.

Р у/Р

Одной из распространенных моделей, используемых при описании околозвуковых течений газа является уравнение Кармана— Гудерлея

-фхфхх + <Руу + Ргг = 0. (13)

Функция Iр(х, у, г) задает потенциал малых возмущений потока газа, движущегося равномерно с критической скоростью вдоль оси Ох. Прямым вычислением показано, что уравнение (13) допускает бесконечномерную алгебру преобразований Ь^. Ее конечная часть ¿6 порождается следующими операторами:

У1 = дх, У2 = ду, У3 = дг, У4 = гду - удг, ^^ У5 = уду + гдх - 2(рдр, Уб = хдх + 3(рд^.

Бесконечномерной части допускаемой алгебры соответствует оператор

Хоо = /{у,г)д1р, Д/(у,г) = 0. (15)

Никаких нетривиальных контактных преобразований, допускаемых уравнением (13), нет.

Теорема 9. Базис дифференциальных инвариантов для преобразования, порождаемого оператором Х^, может быть выбран следующим образом:

х, у, 1рх, <руу + 1р2г. (16)

Операторами инвариантного дифференцирования являются 'полные производные по независимым переменным х, у, г.

Глава шесть диссертации описывает приложения дифференциальных инвариантов для построения группового расслоения уравнений и конструирования их дифференциально инвариантных решений.

Задача о построении группового расслоения заданной системы уравнений была впервые поставлена С. Ли. Известно, что группа допускаемая некоторой системой уравнений Е, переводит любое решение II: и = и(х) в решение этой же системы. Таким образом, на множестве всех решений системы Е появляется отношение эквивалентности: два решения ¡7 и V эквивалентны, если они связаны преобразованием группы С: V = Т и, Т € С. Каждый класс эквивалентности описывается орбитой одного из решений под действием всевозможных преобразований группы С?. Задача группового расслоения формулируется следующим образом: для заданной системы уравнений Е и заданной группы С, допускаемой системой Е, требуется построить систему уравнений, описывающую орбиту любого решения (система АС) и систему, задающую совокупность всех орбит различных решений (система В.Е). Система Ай называется автоморфной и обладает тем свойством, что любое ее решение лежит на орбите любого фиксированного решения, т.е. получается из него действием преобразований группы С. Напротив, разрешающая система ЯЕ не допускает исходной группы и, таким образом, различает орбиты разных решений. В настоящее время имеется крайне мало примеров построения группового расслоения, особенно для систем дифференциальных уравнений.

Теорема 10. Групповое расслоение стационарных уравнений газовой динамики (11) по преобразованию Мунка — Прима (12) состоит из разрешающей системы

(V • V) IV + У^(ст) = 0, (Цу (<т"2*г) = 0 (17)

и автоморфной системы

и = 5"^, 5 = р«т2, Д = - 2^'У)<7, Бр = р1/2 Я. (18)

<т

Для любого решения разрешающей системы (17) исходные газоди-

намические функции восстанавливаются подстановкой в конечные соотношения (18) и интегрированием уравнения для р.

Теорема 11. Групповое расслоение уравнения (13) относительно бесконечномерной группы (15) состоит из автоморфной системы

Построение группового расслоения сводит задачу интегрирования исходной системы уравнений к исследованию разрешающей подсистемы. Последняя допускает лишь конечномерную группу преобразований, что позволяет систематически исследовать ее точные решения на основе алгоритмов группового анализа.

В диссертации также построено групповое расслоение относительно бесконечномерной части допускаемой группы для уравнений Эйлера во вращательно-симметричном случае. Получившаяся при этом достаточно громоздкая разрешающая система уравнений приведена в [6].

Третья часть диссертации освещает приложения развитых выше методов для построения и анализа точных решений уравнений газовой динамики. В седьмой главе дается исчерпывающая классификация инвариантных решений уравнения Крамана — Гудер-лея. Вычисление группы касательных преобразований, допускаемых уравнением (20) показало, что оно допускает лишь конечномерную группу с алгеброй Ли 1/6, изоморфной алгебре (14).

Конечномерность алгебры позволила построить ее оптимальную систему подалгебр ЭЬб, содержащую 63 представителя и дать полное описание инвариантно-групповых решений уравнения (20). Далее для известной функции а(х, у, г) исходная функция <р восстанавливалась интегрированием инволютивной системы (19). Полный перечень содержит 19 подмоделей, сводящихся к обыкновенным дифференциальным уравнениям, и 10 подмоделей с двумя

4>х = о-,

4>т) + = а ах и разрешающего уравнения для функции а(х,у,г):

2

—аахх — ах + ауу + агг - 0.

'X

(19)

(20)

независимыми переменными. Кроме того, построена частично инвариантная подмодель, задающая решения типа двойной волны.

В тех инвариантных подмоделях, где независимая переменная линейно зависит от полярного угла цилиндрической системы координат, дан ответ на вопрос о существовании периодических решений, обеспечивающих непрерывность искомой функции во всем пространстве. Показано, что в тех подмоделях, где непрерывных решений не существует, можно построить решение, содержащее ударную волну в виде винтовой поверхности.

Пример 3. В качестве примера рассмотрим решение, порожденное подалгеброй {аУ\ + 4- У5} (а — произвольный параметр). Представление решения уравнения (13) имеет вид

<р — г~2В(Х), А = х - ав - 1п г.

В терминах функции р(В) = В'(А) уравнение подмодели записывается в виде

dB = (1 + а2-р)р dp 4 (р + В) ' ^ ;

Исследование особых точек уравнения (21) показало отсутствие замкнутых интегральных кривых, соответствующих периодическим решениям (см. рис 4). Условия на инвариантной ударной волне, имеющей форму А = const, имеют следующий вид:

Р±±Р1 = 1 + аЗ, [В} = 0, [р] < 0. (22)

Решению с ударной волной на рис. 4 соответствует интегральная кривая, на которой имеется две точки и (р2, В2), связанные зацисимостями (22). Единственной такой интегральной кривой является сепаратриса седловой особой точки. На рис. 4 она показана жирной линией. Стрелками обозначено направление возрастания параметра А вдоль этой кривой. Пунктирной линией показан

ударно-волновой переход, отвечающий условиям (22). Численным счетом доказано существование периодического по времени решения, отвечающего условию непрерывности во всем пространстве.

В восьмой главе рассматриваются эволюционные подмодели с двумя независимыми переменными для уравнений газовой динамики. Все подмодели этого типа могут быть записаны в следующем каноническом виде:

Щ + иих + Ъ{€)р-Хрх = аг,Ц + иух = a2,Wt + Ц}УХ = а3>

рг + ирх + рих = ра4, рг + ирх + А{р, р)их = А(р, р)а4.

(23)

Здесь и = (и, V, \¥) — инвариантный вектор скорости; А — инвариантные независимые переменные. Правые части ах,... ,0,4 зависят от Ь, А и и. Величины Л, и, а также правые части уравнений в каждой подмодели имеют свои выражения в терминах исходных зависимых и независимых переменных (Е.В. Мамонтов, 1999). Всего имеется 9 подмоделей данного типа.

В диссертации полностью описан класс решений подмоделей (23), в которых 17 линейно зависит от переменной Л. Конструктивное описание этого класса решений возможно при выборе уравнения состояния политропного газа.

Введение лагранжевых координат и частичное интегрирование системы уравнений (23) с учетом требования линейной зависимости и(А) сводит построение решения к интегрированию обыкновенного дифференциального уравнения типа Эмдена — Фаулера. Качественное исследование множества интегральных кривых данного уравнения позволило сделать вывод о характеристиках описываемых течений газа. Полученные решения описывают как непрерывный разлет, так и неограниченное сжатие газа за конечный или бесконечный интервал времени. Вектор скорости линейно зависит от части пространственных координат. Решения содержат произвол в три функции одного переменного. Подмодели естественным образом разделяются на два типа. Первый описывает сжатие или разлет плоского слоя газа. Траектории частиц являются плоскими кривыми, наклон и положение плоскости в пространстве определяется начальным положением частицы. В движениях с коллап-

сом плотности прообразом точки на плоскости коллапса является некоторая пространственная кривая, начальную конфигурацию которой можно выбирать достаточно свободно в силу имеющегося произвола в решении. Второй тип решений описывает разлет или сжатие газа, заполняющего цилиндр, радиус которого меняется с ростом времени. Двигаясь вдоль оси цилиндра, частицы совершают конечное или бесконечное количество витков вокруг нее. В движениях с коллапсом плотности цилиндр сжимается в прямую. Показано существование колебательных режимов движения газа.

Пример 4. В качестве примера приведем решение, описывающее вращательное движение газа. Представление решения в цилиндрической системе координат имеет вид (х,г,в):

uc = V(t,X) + x/t, vc = U(t, A), wc — W(t, А), А = г.

Здесь ис, vc, wc — осевая, радиальная и окружная компоненты вектора скорости. В этой подмодели b = 1, ai = W2/X, ai = —V/t, аз = —UW/X, = —(U/X + 1/i). Интегрируя уравнения подмодели находим

t ' M(t)' 9 МЧ" Р MW Ç M(ty ( }

Функции Vo, Wo, f, Р произвольны. При определении функции M(t) возможно два случая. При 7 = 3/2 функция M определяется явно: M = ск\Д. При этом имеется ограничение на произвольные функции: Wq (£) = (£)//(£) — a:4£2/4. В случае произвольного 7 функция M удовлетворяет уравнению

ММ3 + ai1-'7M4-2'7 = ß2] a,ß = const. (25)

Кроме того, P'(f) = «£/(£), Wo = ߣ. Траектории частиц с í0 = 1 определяются формулами

х=(х0 + Vo(ro))t - Щго), г = r0M(t), в = в0 + ^^ jT щ-^.

Рис. 5.

Рис. 6.

Вдоль траектории осевая координата х линейно зависит от времени t. Следовательно, траекторию каждой частицы можно параметризовать координатой х вместо t. Тогда закон изменения радиальной координаты частицы задает в пространстве (х, г, 9) поверхность вращения с образующей М(х). Траектория частицы является спиралью, намотанной на эту поверхность в соответствии с законом изменения в. Отметим, что если M(i*) = 0 при некотором i*, то в случае такого движения все частицы в момент времени i* приходят на ось Ох.

Для описания движения частиц газа в совокупности рассмотрим газ, заключенный внутри цилиндра rp = roM(i) (см. рис. 5). Давление на поверхности цилиндра одинаково во всех точках и определяется формулами (24), где Р(£) = Р(го) = const. Если функция M(t) возрастает, то происходит разрежение газа, при M(i) —* 0, напротив, газовый цилиндр сжимается и превращается в прямую, а плотность и давление возрастают до бесконечности. Частицы газа движутся вдоль оси цилиндра и вращаются вокруг нее (рис. 6). При этом они совершают конечное число оборотов вокруг оси, если интеграл J M~2dt сходится, и бесконечное число оборотов в противном случае.

Функция Vo(£) задает прообраз точки на многообразии коллапса. Прообразом точки х = при t = t* (M(i*) = 0) является поверхность вращения

x = t-l(x* + (l-U)V0(r)), 0 < г < +оо. Функциональный произвол в решении позволяет получать различ-

ые картины движения, соответствующие трехмерным нестацио-

арным режимам движения газа.

Каждый раздел диссертации завершается перечнем основных

езультатов.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Головин С.В. Точные решения для эволюционных подмоделей газовой динамики // ПМТФ, 2002. Т. 43, №4. С. 3-14.

[2] Головин С.В . Групповое расслоение и точные решения уравнения тралсзвукового движения газа // ПМТФ, 2003. Т. 44, №3. С. 51-63.

[3] Golovin S.V. Irrotational barochronous gas motions // Nonlinear Dynamics, 2004. V. 36. No. 1. Pp. 19-28.

[4] головин С.В. Нестационарное движение газа в полосе // ПМТФ, 2004. Т. 45, №2. С. 90-98.

[5] Golovin S.V. Applications of the differential invariants of infinite dimensional groups in hydrodynamics // Comm. in Nonlin. Sci. and Num. Simul., 2004. V. 9, No. 1. Pp. 35-51.

[6] Golovin S.V. Group foliation of Euler equations in nonstationary rotationally symmetrical case // Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics / Proceedings of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine, 2004. V. 50, No 1. Pp. 110-117.

[7] Golovin S.V. Singular vortex in magnetohydrodynamics // J. Phys. A: Math. Gen., 2005. V. 38, No. 20. Pp. 4501-4516.

[8] Golovin S.V. Invariant solutions of the singular vortex in magnetohydrodynamics // J. Phys. A: Math. Gen., 2005. V. 38, No. 37. Pp. 8169-8184.

[9] Golovin S.V. Generalization of the one-dimensional ideal plasma Sow with spherical waves // J. Phys. A: Math. Gen., 2006. V. 39. Pp. 7579-7595.

[10] Golovin S.V. Partially invariant solutions to ideal magnetohydrodynamics // IMA Volumes in Mathematics and its Applications. V. 144: Symmetries and Overdetermined Systems of Partial Differential Equations. Springer, New York 2007, Pp. 367-382.

[11] Головин С.В. Плоский вихрь Овсянникова. Уравнения подмодели // ПМТФ, 2008. Т. 49, №5. С. 27-40.

[12] Головин С.В. Плоский вихрь Овсянникова. Свойства описываемого движения и точные решения // ПМТФ, 2008. Т. 49, №6. С. 55-68.

[13] Головин С.В. Безвихревые векторные поля, частично инвариантные относительно группы вращений [/ ПММ, 2008. Т. 72, № 6. С. 734-740

[14] Golovin S.V. On the hierarchy of partially invariant submodels Ц J. Phys. A: Math. Theor., 2008. V. 41, 265501.

[15] Головин С.В. Регулярные частично инвариантные решения дефекта 1 уравнений идеальной магнитогидродинамики // ПМТФ, 2009. Т. 50, № 2. С. 5-15.

Подписано в печать 14.10.2009. Формат 60 х 84 1/16. Бумага офсетная № 1. Печать офсетная. Усл. печ. л. 2. Тираж 100 экз. Зак. № 20.

Оригинал-макет подготовлен и отпечатан в Институте гидродинамики им. М. А. Лаврентьева. 630090 Новосибирск, просп. акад. Лаврентьева, 15.

Введение

I Частично инвариантные решения уравнений магнитной гидродинамики

1 Иерархия частично инвариантных решений дифференциальных уравнений

1.1 Частично инвариантные многообразия.

1.2 Частично инвариантные решения.

1.3 Иерархия частично инвариантных подмоделей.

1.4 Двухшаговое построение решений.

1.5 Уравнения мелкой воды.

2 Регулярные частично инвариантные решения для уравнений магнитной гидродинамики

2.1 Классификация частично инвариантных решений.

2.2 Подмодель типа (3,1).

2.3 Подмодели типа (2,1)

2.3.1 Подмодель {Х2,Х3,Х7}.

2.3.2 Подмодель {Х5,Хб,Х7}.

2.3.3 Подмодель {Х3 + Х5, Х2 - Х6, Х7}.

2.3.4 Подмодель {Х7, Х8, Х9}.

2.3.5 Подмодель Х5, + Х6}.

3 Вихрь Овсянникова

3.1 Плоский вихрь Овсянникова.

3.1.1 Траектории частиц и магнитные силовые линии

3.1.2 Геометрическое построение поля направлений

3.1.3 Область определения решения в трехмерном пространстве

3.1.4 Стационарное решение.

3.1.5 Решения с однородной деформацией.

3.1.6 Случай идеальной жидкости.

3.2 Сферический вихрь Овсянникова.

3.2.1 Траектории частиц и магнитные силовые линии

3.2.2 Начальное векторное поле на сфере.

3.2.3 Критерий отсутствия сингулярностей в начальном поле направлений.

3.2.4 Свойства симметрии инвариантной системы

3.2.5 Стационарное решение.

3.2.6 Автомодельное решение.

3.2.7 Логарифмическая подмодель.

3.2.8 Однородная подмодель

3.2.9 Построение решения в целом.

3.3 О безвихревом вихре Овсянникова.

3.3.1 Безвихревой плоский вихрь Овсянникова.

3.3.2 Безвихревой сферический вихрь Овсянникова

3.3.3 Геометрическая трактовка неявного соотношения

3.3.4 Алгоритм построения безвихревого особого вихря

3.3.5 Геометрические свойства полученного поля направлений

3.3.6 Совместность с уравнением неразрывности.

3.4 О возможности обобщения вихря Овсянникова на случай произвольных поверхностей уровня решения.

3.4.1 Движения газа с плоскими траекториями.

3.4.2 Специальное представление искомых функций

3.4.3 Свойства детерминанта ц>.

3.4.4 Вывод уравнений для поверхностей уровня решения

3.4.5 Классификация возможных видов поверхностей уровня решения.

3.4.6 Движение с плоскими волнами.

3.4.7 Движения с цилиндрическими волнами.

3.4.8 Движение со сферическими волнами.

4 Течения несжимаемой плазмы с постоянным полным давлением

4.1 Предварительные сведения.

4.1.1 Перезапись уравнений в криволинейных координатах

4.1.2 Геометрическая интерпретация.

4.2 Решения с постоянным полным давлением.

4.2.1 Примеры решений.

4.2.2 Интегрирование уравнения для векторного поля т.

4.2.3 Анализ полученных решений.

Основные результаты раздела

Понятие симметрии играет фундаментальную роль в естествознании. Каждая математическая модель механики обладает некоторым набором симметрий. В классической механике обычно группа симметрий является расширением группы Галилея, состоящей из переносов по времени и пространственным координатам, галилеевых переносов и вращений пространства. Этот факт является отражением основных принципов инвариантности, заложенных в формулировку моделей: изотропности пространства, независимости выбора начала системы отсчета в пространстве и принципа Галилея — неизменности законов классической механики при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую. Важно, что допускаемая группа симметрий инвариантна относительно точечных замен координат и, тем самым, является таким же инвариантным свойством системы уравнений, как ее тип, характеристики, способы постановки основных начально-краевых задач.

Симметрии дифференциальных уравнений дают алгоритм построения их точных упрощений — инвариантных или частично инвариантных решений. Под решением системы дифференциальных уравнений мы понимаем не только явное представление искомых функций через независимые переменные, но и подмодели, получаемые в результате сведения исходных систем дифференциальных уравнений к более простым, содержащим либо меньшее число независимых переменных, либо меньшее количество искомых функций. Такие точные упрощения исходной "большой" модели получаются на основе требования полной или частичной инвариантности решения относительно подгрупп допускаемой группы симметрий. Свойство системы дифференциальных уравнений обладать некоторым набором точных инвариантных и частично инвариантных решений не зависит от выбора переменных и поэтому инвариантно (в отличии от решений с линейным полем скоростей, с разделением переменных). Алгоритмы группового анализа дифференциальных уравнений позволяют на основе построения оптимальной системы подгрупп допускаемой группы находить все неэквивалентные (не сводящиеся одно в другое при помощи точечной замены переменных) инвариантно-групповые решения системы уравнений. Таким образом, полный набор инвариантно-групповых решений данной математической модели механики является одним из элементов ее "паспорта" — набора инвариантных характеристик модели, необходимых для ее применения при анализе конкретных физических процессов.

Идея полного исчерпания свойств симметрии математических моделей была выдвинута около 15 лет назад академиком Л.В. Овсянниковым на VII Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (г. Москва) под названием программы ПОДМОДЕЛИ [61, 64]. В настоящее время эта концепция успешно применена для исследования моделей гидро- и газодинамики [70, 84,109], а также механики деформируемого твердого тела [5]. Многочисленные новые результаты, полученные на этом пути группами исследователей, работающими в Москве, Новосибирске, Красноярске, Уфе, а также научных центрах Германии, Франции, Италии, Канады, США и других стран показали плодотворность данного подхода. Отметим, что групповой анализ дифференциальных уравнений во многих случаях является единственным универсальным методом, позволяющим находить точные решения нелинейных систем дифференциальных уравнений, делать выводы об их линеаризуемости, получать законы сохранения.

В настоящее время наиболее изученными являются инвариантные решения систем уравнений [60, 77]. Они выделяются требованием инвариантности многообразия, задаваемого решением, относительно некоторой подгруппы допускаемой уравнениями группы симметрий. Построение инвариантных решений опирается на известные и хорошо апробированные алгоритмы группового анализа дифференциальных уравнений. Исходная система уравнений некоторой вырожденной заменой переменных сводится к так называемой факторсистеме — более простой системе дифференциальных уравнений, содержащей меньшее число независимых переменных. В частности, факторсистема может быть системой конечных (алгебраических соотношений) для искомых функций, либо системой обыкновенных дифференциальных уравнений. В этих случаях удается получить явные формулы решения, либо свести задачу к исследованию динамических систем обыкновенных дифференциальных уравнений, качественный анализ которых в настоящее время достаточно развит. К числу инвариантных относится большинство хорошо известных решений, применяемых в механике сплошной среды: автомодельные, стационарные, одно- и двумерные, решения с осевой и радиальной симметрией.

Понятие частично инвариантного решения как естественного обобщения инвариантного решения дифференциальных уравнений было впервые предложено в работе Л. В. Овсянникова [59]. Полное изложение теории частично инвариантных решений имеется в [60]. Идея построения частично инвариантных решений состоит в ослаблении требования инвариантности решения — многообразие, задаваемое решением должно быть лишь частично инвариантным многообразием с фиксированным дефектом относительно некоторой подгруппы допускаемой группы. Имеющиеся в настоящее время многочисленные примеры частично инвариантных решений для уравнений газовой динамики (см. [48, 50, 64,67,76,95,100-102,155], а также [70] и ссылки в ней), гидродинамики [49,54,81,109,168,169,185,189,193], динамики вязкого теплопроводного газа [10,157], уравнений магнитогидродинамики [25,145,150], уравнений теории упругости и пластичности [4,5], других моделей механики и физики [32,121-123,152,153,167,190] показали содержательность данного обобщения. В отличии от инвариантных, частично инвариантные подмодели задаются переопределенной системой уравнений. Это усложняет их анализ, однако дает классы решений, обладающих большим произволом по сравнению с инвариантными решениями.

Опыт исследования подмоделей газовой динамики показывает, что число частично инвариантных подмоделей может быть достаточно большим (десятки подмоделей). Каждая частично инвариантная подмодель требует приведения в инволюцию и физической интерпретации. В этой связи особенно полезны дополнительные классификационные признаки, позволяющие минимизировать объем работы по построению и описанию решений.

Допускаемая группа ряда основных моделей механики (уравнения Навье — Стокса, Эйлера, стационарной газовой динамики и стационарной магнитогидродинамики) оказывается бесконечномерной [121-123]. Исследование бесконечномерных групп Ли является предметом многих работ, однако окончательной теории бесконечномерных групп Ли до настоящего времени не построено.'Основной сложностью здесь является отсутствие понятия абстрактной группы и алгебры "Ли, которое в конечномерном случае позволяет отвлечься от конкретного представления группы и работать только с ее структурными свойствами.

Важной характеристикой группы преобразований является набор ее инвариантов. В случае групп симметрий дифференциальных уравнений нужно рассматривать действие группы не только в основном пространстве независимых переменных и функций, но также и в продолженном пространстве производных. Действие группы при этом также продолжается по известным законам математического анализа [60,77]. Инварианты продолженной группы преобразований зависящие от производных называются дифференциальными инвариантами [60,173]. При рассмотрении продолжений пространства все более высокого порядка, количество дифференциальных инвариантов неограниченно растет. Однако в пространстве дифференциальных инвариантов имеется вполне четкая структура. Всегда имеется некоторый конечный набор дифференциальных инвариантов (базис), из которого любой дифференциальный инвариант получается применением функциональных операций и выполнением инвариантного дифференцирования. Таким образом, для описания всего бесконечного множества дифференциальных инвариантов заданной группы необходимо вычислить базис инвариантов и операторы инвариантного дифференцирования. В случае конечномерных групп построение базиса инвариантов осуществляется достаточно просто в силу имеющегося ограничения на максимальное продолжение пространства, в котором может лежать базис инвариантов. В случае бесконечномерных групп этого ограничения нет, поэтому сложность построения базиса состоит в доказательстве факта "достаточности" того набора инвариантов, который претендует быть базисом.

Целью, диссертации является систематическое построение и изучение частично инвариантных решений для системы уравнений идеальной магнитной гидродинамики и газовой динамики, а также развитие методов группового анализа для отыскания и использования дифференциальных инвариантов бесконечномерных групп Ли.

Работа состоит из трех частей, включающих восемь глав. Первая часть посвящена построению и анализу частично инвариантных решений для уравнений идеальной магнитной гидродинамики. В первой главе приводятся основные сведения, относящиеся к теории частично инвариантных решений. На множестве частично инвариантных подмоделей произвольной системы дифференциальных уравнений вводится иерархическая структура. Выделяется класс неприводимых частично инвариантных подмоделей. Доказывается теорема об иерархии частично инвариантных решений, позволяющая свести исследования всего класса частично инвариантных решений к анализу только неприводимых подмоделей.

Во второй главе введенное понятие иерархии используются для систематического построения и классификации регулярных частично инвариантных решений уравнений идеальной магнитной гидродинамики. Показано, что все множество частично инвариантных подмоделей делится на три класса: подмодели типа вихря Овсянникова, подмодели с линейным по части переменных полем скорости и подмодели барохрон-ного типа. Построены и приведены в инволюцию все подмодели с одной неинвариантной функцией.

Третья глава диссертации посвящена подробному исследованию наиболее интересных из полученных во второй главе подмоделей: плоского и сферического вихрей Овсянникова. Дается интерпретация задаваемых ими существенно трехмерных движений бесконечно проводящей плазмы, выявлены особенности, присущие описываемым движениям. Выявлены признаки появления таких особенностей в терминах инвариантных свойств произвольных функций, входящих в построенные решения. Показана невозможность обобщения вихря Овсянникова на аналогичные решения с произвольными поверхностями уровня. Дано геометрическое описание безвихревых векторных полей в трехмерном пространстве, обладающих той же симметрией, что и вихрь Овсянникова, и показано, что такие поля не могут служить полем скорости движения сплошной среды.

В четвертой главе исследуются барохронные решения, в которых полное давление зависит только от времени. В связи со сложностью исследования общего случая, основное внимание уделено стационарным несжимаемым течениям. В этом случае использование специальной криволинейной системы координат позволяет значительно упростить систему уравнений магнитной гидродинамики и описать решения с постоянным полным давлением в явном виде. Показано, что контактные магнитные поверхности для таких течений являются поверхностями переноса.

Вторая часть диссертации связана с изучением бесконечномерных групп Ли, допускаемых моделями гидро- и газодинамики. В пятой главе исследуются дифференциальные инварианты бесконечномерных групп Ли, допускаемых уравнениями Навье — Стокса и Эйлера в случае вращательной симметрии и для общих трехмерных движений жидкости; уравнений стационарной газовой динамики; уравнения Кармана — Гу-дерлея для околозвуковых течений газа. Для бесконечномерных групп преобразований, допускаемых всеми перечисленными моделями, построены базисы дифференциальных инвариантов и вычислены операторы инвариантного дифференцирования. Данная информация дает исчерпывающее описание множества дифференциальных инвариантов данных групп: произвольный дифференциальный инвариант получается путем инвариантного дифференцирования базисных инвариантов и применения функциональных операций.

Шестая глава диссертации описывает применения полученных базисов дифференциальных инвариантов для построения дифференциально инвариантных решений и группового расслоения указанных систем уравнений относительно допускаемых бесконечномерных групп.

В третьей части диссертации развитые методы применяются для построения точных решений, описывающих движения идеального газа. В седьмой главе на основании полученного ранее группового расслоения проводится полное описание точных инвариантно-групповых решений уравнения Кармана — Гудерлея, задающего околозвуковые течения газа. Исследуются вопросы существования непрерывных во всем пространстве решений, а также дан пример решения, содержащего ударную волну в виде винтовой поверхности. Построено решение типа двойной волны.

В восьмой главе диссертации исследуются инвариантные подмодели с двумя независимыми переменными для уравнений идеальной газовой динамики. Для них полностью описан класс решений, в которых одна из компонент скорости линейно зависит от независимой переменной. Показано, что такие решения задают движения газа в цилиндрическом или плоском слоях. Дана физическая интерпретация полученных решений.

На защиту выносятся следующие основные положения:

• Полное описание регулярных частично инвариантных решений дефекта 1 уравнений идеальной магнитной гидродинамики: введено понятие иерархии частично инвариантных решений произвольной системы дифференциальных уравнений; построена полная иерархия частично инвариантных решений для уравнений идеальной магнитной гидродинамики; построены и описаны решения типа вихря Овсянникова, даны геометрические алгоритмы описания движения в вихре Овсянникова; получены новые примеры решений линейным по части пространственных переменных полем скорости; полностью проанализированы стационарные течения несжимаемой идеально проводящей жидкости с постоянным полным давлением.

• Построение и использование базисов дифференциальных инвариантов для бесконечномерных групп Ли: вычислены базисы дифференциальных инвариантов для бесконечномерных групп симметрий основных моделей механики сплошных сред; построены новые примеры групповых расслоений уравнений механики относительно допускаемых бесконечномерных групп Ли.

• Построение и анализ подмоделей уравнений газовой динамики: полностью описаны инвариантные подмодели уравнения околозвукового движения газа; построены и проанализированы точные решения эволюционных подмоделей ранга 2 с однородной деформацией.

Результаты диссертации опубликованы в статьях [20-26,140,142,143, 145,146,149,150], трудах конференций [16,18,19,137-139,141,144] и препринтах [147,148,151].

Часть I

Частично инвариантные решения уравнений магнитной гидродинамики

В исследовании волновых движений сплошных сред под воздействием сильных силовых полей (задачи магнитного удержания плазмы) или в условиях сильной разреженности среды (астрофизика), необходимо учитывать эффекты ионизации и электромагнитной проводимости жидкостей и газов. Наличие магнитного поля в области движения сплошной среды порождает в нем электрический ток. Взаимодействуя с электромагнитным полем, он изменяет течение жидкости. В свою очередь, это вызывает изменение электромагнитного поля. Таким образом, в теоретическом исследовании подобных процессов является существенным взаимное влияние гидродинамических и электромагнитных эффектов. Такие движения являются существенно неодномерными, что существенно усложняет их изучение. Большую роль при этом играют точные решения, которые дают возможность построить аналитическое описание процесса, выявить характерные области параметров, при которых возможны различные те или иные эффекты. Особо ценны решения, содержащие произвольные функции.

Для уравнений идеальной магнитогидродинамики групповой анализ применялся в основном для поиска инвариантных решений [125,130, 131,135,136,154,179,191,192]. К классу нерегулярных частично инвариантных относятся решения типа кратных волн, изучавшиеся в [156]. Они являются обобщением классических простых волн [40,160]. Точные решения типа течений Бельтрами, в которых вектор скорости пропорционален вектору вихря для уравнений магнитогидродинамики с учетом диссипативных процессов были построены и исследованы в работах [9,110,112,114]. Эти решения обобщались в [113,118] на уравнения магнитогидродинамики с учетом анизотропии тензора напряжений. Решения идеальной магнитной гидродинамики с однородной деформацией исследовались в статьях [39,56].

В настоящем разделе проводится систематическое изучение регулярных частично инвариантных решений (ЧИР) для уравнений идеальной магнитогидродинамики. Доказано наличие иерархической структуры на множестве частично инвариантных подмоделей произвольной системы дифференциальных уравнений. Введено понятие неприводимый ЧИР так, что произвольное ЧИР может быть получено из некоторого неприводимого ЧИР более высокого ранга за счет только инвариантной редукции. Проклассифицированы все регулярные небарохронные неприводимые ЧИР для уравнений идеальной магнитогидродинамики. Все подмодели дефекта 1 этого класса приведены в инволюцию. Среди полученных подмоделей особо выделяются две, порождаемые группами движений плоскости и сферы. Эти подмодели (плоский и сферический вихри Овсянникова) подвергнуты тщательному исследованию. Дано описание картины движений плазмы, задаваемые этими решениями, выявлены и описаны возможные особенности решений. Исследована возможность существования безвихревого вихря Овсянникова и обобщения вихря Овсянникова на решения с произвольными поверхностями уровня. Полностью описаны решения, задающие стационарные течения с-постоянным полным давлением для несжимаемой плазмы. Показано, что магнитными поверхностями в таких решениях являются поверхности переноса.

Результаты раздела опубликованы в работах [23-26,143-151].

Основные результаты раздела

• На основании построенного группового расслоения проведен полный анализ инвариантно-групповых решений уравнения Кармана — Гудерлея найдены все инвариантные подмодели; для инвариантных подмоделей проанализирована возможность существования непрерывного решения во всем пространстве; показана возможность существования существенно трехмерных течений с ударной волной на винтовой поверхности; построено решение типа двойной волны.

• Построены точные решения с линейной зависимостью части компонент скорости от части пространственных переменных для эволюционных подмоделей газовой динамики интегрирование подмоделей сведено к одному обыкновенному дифференциальному уравнению типа Эмдена — Фаулера; показано, что все описываемые течения задают эволюцию плоского или цилиндрического слоев газа: дано описание картин движения, задаваемых полученными решениями.

1. Андреев В. К. Нестационарное движение струи газа с линейным полем скоростей // Сиб. Журн. Инд. Мат-ки.— Т. 5, № 2(10). — С. 23-35.

2. Андреев В. К., Гапоненко Ю. А. Математическое моделирование конвективных течений. — Красноярск: КрасГУ, 2006.

3. Аннин Б. Д. Об одной задаче с неизвестной границей для уравнения Пуассона в пространстве // Уравнения в частных производных и задачи со свободной границей. — Киев. Нукова думка, 1983.

4. Аннин Б. Д. Новые точные решения пространственных уравнений пластичности Треска // Докл. РАН. — 2007.— Т. 415, № 4.— С. 482-485.

5. Аннин Б. Д., Бытев В. О., Сенашев С. И. Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. — Новосибирск. Наука, 1995.

6. Аристов С. Н. Стационарный цилиндрический вихрь в вязкой жидкости // Докл. РАН. 2001. - Т. 377, № 4. - С. 477-480.

7. Арнольд В. И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — Редакция журнала "Регулярная и хаотическая динамика", МЦНМО, ВКМ НМУ, 1999.

8. Бляшке В. Дифференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна. Т. 1. Элементарная дифференциальная геометрия. М. ОНТИ НКТП СССР, 1935.

9. Богоявленский О. И. Точные глобальные равновесия плазмы // УМН. 2000. - Т. 55. - С. 63-102.

10. Бублик В. В. О регулярных частично инвариантных решениях ранга 1 дефекта 1 уравнений плоских движений вязкого теплопроводного газа // ПМТФ. 2006. - Т. 47, № 6. - С. 23-33.

11. Вытев В. О. К задаче о редукции // ДСС. 1970. — Т. 5. - С. 146148.

12. Вытев В. О. Групповые свойства уравнений Навье-Стокса // Числ. мет. МСС. Новосибирск. 1972. — Т. 3, № 3. — С. 13-17.

13. Верещагина Л. И. Групповое расслоение уравнений пространственного нестационарного пограничного слоя // Вестник Ленинградского ун-та. 1974. - Т. 3, № 13. - С. 82-86.

14. Головин С. В. Оптимальная система подалгебр для алгебры Ли операторов, допускаемых уравнениями газовой динамики в случае политропного газа // Новосибирск. (Препр. / СО РАН, Ин-т гидродинамики; ]№5-96). — 1996.

15. Головин С. В. Об одном инвариантном решении уравнений газовой динамики // ПМТФ. 1997. - Т. 38, № 1. - С. 3-10.

16. Головин С. В. Исследование одной инвариантной подмодели уравнений газовой динамики // Тр. межд. конф. "Симметрия и дифференциальные уравнения", Красноярск: ИВМ СО РАН. — 2000.

17. Головин С. В. О двумерных движениях газа со специальным показателем адиабаты // ПММ. 2000. - Т. 64, № 4. - С. 569-579.

18. Головин С. В. О стационарных инвариантно-групповых решениях уравнений навье-стокса // Тр. межд. конф. "Математические модели и методы их исследования", Красноярск: ИВМ СО РАН,.— 2001.

19. Головин С. В. Решения с линейным полем скорости для эволюционных подмоделей газовой динамики //Тр. 32-й Рег. молодежи, конф. "Проблемы теоретич. и прикл. математики". 29 янв.-2 февр. 2001г. Екатеринбург: Инст. матем. и механ. УрО РАН. — 2001.

20. Головин С. В. Точные решения для эволюционных подмоделей газовой динамики // ПМТФ. 2002. - Т. 43, № 4. - С. 3-14.

21. Головин С. В. Групповое расслоение и точные решения уравнения трансзвукового движения газа // ПМТФ.— 2003.— Т. 44, № 3. — С. 51-63.

22. Головин С. В. Нестационарное движение газа в полосе // ПМТФ. — 2004. Т. 45, № 2. - С. 90-98.

23. Головин С. В. Безвихревые векторные поля, частично инвариантные относительно группы вращений // ПММ.— 2008.— Т. 72, № 6. С. 734—740.

24. Головин С. В. Плоский вихрь Овсянникова. Свойства описываемого движения и точные решения // ПМТФ. — 2008. — Т. 49, № 6. — С. 55-68.

25. Головин С. В. Плоский вихрь Овсянникова. Уравнения подмодели // ПМТФ. 2008. - Т. 49, № 5. - С. 27-40.

26. Головин С. В. Регулярные частично инвариантные решеиня дефекта 1 уравнений идеальной магнитогидродинамики // ПМТФ. — 2009. Т. 50, № 2. - С. 5-15.

27. Головин С. В., Чесноков А. А. Групповой анализ дифференциальных уравнений. Учебное пособие. — Изд-во НГУ, 2008.

28. Гудерлей К. Г. Теория околозвуковых течений.— М.: Изд-во. иностр. лит., 1960.

29. Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по нелинейным дифференциальным уравнениям. Приложения в механике, точные решения. — М.: Физматгиз, 1993.

30. Земляков А. Н., Каток А. Б. Топологическая транзитивность биллиардов в многоугольниках // Мат. заметки.— 1975.— Т. 18, № 2. С. 291-300.

31. Ибрагимов Н. X. Классификация инвариантных решений уравнений двумерного нестационарного движения газа // ПМТФ.— 1966.-С. 19-22.

32. Ибрагимов Н. X. Группы преобразований в математической физике.— М.: Наука, 1983.

33. Каган В. Ф. Основы теории поверхностей в тензорном изложении. Часть первая. Аппарат исследования. Общие основания теории и внутренняя геометрия поверхности. — М.-Л., Гостехиздат, 1947.

34. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.— М.: Наука, 1976.

35. Капитанский Л. В. Групповой анализ уравнений Навье-Стокса и уравнений Эйлера // Докл. РАН. — 1978. Т. 243, № 4. — С. 901904.

36. Капитанский Л. В. Групповой анализ уравнений Навье-Стокса при наличии вращательной симметрии и некоторые новые точные решения // Зап. научн. сем. ЛОМИ. — 1979. — Т. 84. — С. 89-107.

37. Капцов О. В. Стационарные вихревые структуры в идеальной жидкости // ЖЭТФ. — 1990. — Т. 98, № 2(8).- С. 532-541.

38. Коул Д., Кук Л. Трансзвуковая аэродинамика. — М.: Мир, 1989.

39. Куликовский А. Г. О движениях с однородной деформацией в магнитной гидродинамике // Докл. АН СССР. — 1958. — Т. 120, № 5. — С. 984-986.

40. Куликовский А. Г., Любимов Г. А. Магнитная гидродинамика. — М.: Физматгиз, 1962.

41. Курант Р. Уравнения с частными производными. — М.: Мир, 1964.

42. Мамонтов Е. В. Инвариантные подмодели ранга два уравнений газовой динамики // ПМТФ. 1999. - Т. 40, № 2. - С. 50-55.

43. Мамонтов Е. В. Групповые свойства 2-подмоделей класса Е уравнений газовой динамики // ПМТФ. — 2001. Т. 42, № 1. — С. 33-39.

44. Меграбов А. Г. Об определеинии точных инвариантно-групповых решений с помощью метода группового расслоения // Докл. АН СССР. 1989. - Т. 308, № 1. - С. 84-87.

45. Меграбов А. Г. Групповое расслоение и представление Лакса // Докл. РАН 2003. - Т. 390, № 3. - С. 325-329.

46. Меграбов А. Г. О некоторых результатах группового подхода в кинематической задаче сейсмики (геометрической оптики) // Докл. РАН. 2003. - Т. 390, № 4. - С. 457-461.

47. Мелешко С. В. Об одном классе частично инвариантных решений плоских течений газа // Дифференциальные уравнения. — 1994. — Т. 30, № 10. С. 1825 - 1827.

48. Мелешко С. В., Пухначев В. В. Об одном классе частично инвариантных решений уравнений Навье-Стокса // ПМТФ. — 1999. — Т. 40, № 2. С. 24-33.

49. Менщиков В. М. Решения уравнений двумерной газовой динамики типа простых волн // ПМТФ. 1969. — Т. 10, № 3. - С. 129-134.

50. Менъщиков В. М. О продолжении инвариантных решени уравнений газовой динамики через ударную волну // Динамика сплошной среды. 1969. - Т. 4. - С. 163-169.

51. Мещерякова Е. Ю. Точные решения уравнений врагцательно-симметричного движения идеальной несжимаемой жидкости // ПМТФ. 2002. - Т. 43, № 3. - С. 66-75.

52. Мещерякова Е. Ю. О новых стационарных и автомодельных решениях уравнений эйлера // ПМТФ. — 2003. Т. 44, № 4. — С. 3-9.

53. Мещерякова Е. Ю., Пухначев В. В. Интегрируемые модели вращательно-симметричного движения идеальной несжимаемой жидкости // Докл. РАН. 2007. - Т. 412, № 2. - С. 188—192.

54. Мустаев А. Ф., Хабиров С. В. Винтовые движения газа, инвариантные относительно равномерного движения системы отсчета // ПММ. 2001. - Т. 65, № 5. - С. 854-861.

55. Наумов Н. Д. О неустановившихся движениях с однородной деформацией в магнитной гидродинамике // Ж ТФ.— 2001. — Т. 71.-С. 37-41.

56. Овсянников Л. В. Новое решение уравнений гидродинамики // Докл. АН СССР. 1956. - № 1. - С. 47-49.

57. Овсянников Л. В. Групповое расслоение уравнений пограничного слоя // Динамика сплошной среды. — 1969. — Т. 1. — С. 24-36.

58. Овсянников Л. В. Частичная инвариантность // Докл. АН СССР. 1969. - № 1. - С. 22-25.

59. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений,— М.: Наука, 1978.

60. Овсянников Л. В. Программа подмодели // Новосибирск. (Препр. / СО РАН, Ин-т гидродинамики; №1-92). — 1992.

61. Овсянников Л. В. Об оптимальных системах подалгебр // Докл. РАН. 1993. - Т. 333, № 6. - С. 702 - 704.

62. Овсянников Л. В. Изобарические движения газа // Дифференциальные уравнения. — 1994. — № 10. — С. 1792-1799.

63. Овсянников Л. В. Программа ПОДМОДЕЛИ. Газовая динамика // ПММ. 1994. - Т. 58, № 4. - С. 30-55.

64. Овсянников Л. В. Особый вихрь // ПМТФ. 1995. - Т. 36, № 3. -С. 45 - 52.

65. Овсянников Л. В. Регулярные и нерегулярные частично инвариантные решения // Докл. РАН. — 1995. — Т. 343, № 2. — С. 156-159.

66. Овсянников Л. В. Регулярные типа (2,1) подмодели уравнений газовой динамики // ПМТФ. — 1996. Т. 37, № 2. - С. 3-13.

67. Овсянников Л. В. Каноническая форма инвариантных подмоделей газовой динамики // Новосибирск. (Препр. / СО РАН, Ин-т гидродинамики; № 3-97). — 1997.

68. Овсянников Л. В. Об иерархии инвариантных подмоделей дифференциальных уравнений // Докл. РАН.— 1998.— Т. 361, № 6.— С. 740-742.

69. Овсянников Л. В. Некоторые итоги выполнения программы «ПОДМОДЕЛИ» для уравнений газовой динамики // ПММ.— 1999.— Т. 63, № 3. — С. 362-372.

70. Овсянников Л. В. Газовый маятник // ПМТФ. — 2000.— Т. 41.— С. 115-119.

71. Овсянников Л. В. О периодических движениях газа // ПММ. — 2001. Т. 65, № 4. - С. 567-577.

72. Овсянников Л. В. Лекции по основам газовой динамики. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.

73. Овсянников Л. В. Симметрия барохронных движений газа // СМЖ. 2003. - Т. 44, № 5.

74. Овсянников Л. В. О движениях газа с "одномерным потенциалом" // Докл. РАН. 2004. - Т. 394, № 2. - С. 200 - 202.

75. Овсянников Л. В., Чупахин А. П. Регулярные частично инвариантные подмодели уравнений газовой динамики // ПММ. — 1996. — Т. 60, №6.-С. 990-999.

76. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.: Мир, 1989.

77. Павленко А. С. Проективная подмодель вихря Овсянникова // ПМТФ. 2005. - Т. 46, № 4. - С. 3-16.

78. Павленко А. С. Симметрии и решения уравнений двумерных движений политропного газа // Сиб. электр. мат. изв. (http://semr.math.nsc.ru). — 2005. Т. 2. - С. 291-307.

79. Поммаре Ж. Системы уравнений с частными производными и псевдогруппы Ли. — М., 1983.

80. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике / В. К. Андреев, О. В. Капцов, В. В. Пухначев, А. А. Родионов.— Новосибирск. Наука, 1994.

81. Прист Э., Форбс Т. Магнитное пересоедиение: магнитогидродина-мическая теория и приложения. — М.: Физматлит, 2005.

82. Пухначев В. В. Точные решения уравнений гидродинамики, построенные на основе частично инвариантных // ПМТФ. — 2003. — Т. 44, № 3. С. 18-25.

83. Пухначев В. В. Симметрии в уравнениях Навье-Стокса // Успехи механики. — 2006. — Т. 4, № 1. — С. 6-76.

84. Радаев Ю. Н. Пространственная задача математической теории пластичности: Учебное пособие. — Самара: Издательство "Самарский университет", 2004.

85. Седов Л. И. Методы подобия и размерности.—- М.: Наука, 1965.

86. Сидоров А. Ф. О двух классах решений уравнений механики жидкости и газа и их связи с теорией бегущих волн // ПМТФ. — 1989. — Т. 30, № 2. С. 34-40.

87. Сидоров А. Ф. Избранные труды. Математика, механика.— М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.

88. Сидоров А. Ф., Шапеев В. П., Яненко Н. Н. Метод дифференциальных связей и его приложения в газовой динамике. — Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1984.

89. Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых третьего порядка. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1961.

90. Фиников С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. — М.;Л.: Гостехтеоретиздат, 1948.

91. Фущич В. И., Баранник И. Ф., Баранник А. Ф. Подгрупповой анализ групп Галилея, Пуанкаре и редукция нелинейных уравнений. — Киев: Наук, думка, 1991.

92. Фущич В. И., Жданов Р. 3., Ревенко И. В. Общие решения нелинейного волнового уравнения и уравнения эйконала // Укр. мат. журн. 2003. - Т. 43, № 11. - С. 1471-1786.

93. Хабиров С. В. Оптимальные системы подалгебр, допускаемых уравнениями газовой динамики // Препринт института механики УНЦ РАН. Уфа. 1998.

94. Хабиров С. В. Нерегулярные частично инвариантные решения ранга 2 дефекта 1 уравнений газовой динамики // СМЖ.— 2002.— Т. 43, № 5.-С. 1151-1164.

95. Хабиров С. В. Классификация дифференциально инвариантных подмоделей // СМЖ. 2004. - Т. 45, № 3. - С. 682-701.

96. Черевко А. А. Оптимальная система подалгебр для алгебры ли операторов, допускаемых системой уравнений газовой динамики с уравнением состояния р = /(з)р5/3 // Новосибирск. (Препр. / СО РАН, Ин-т гидродинамики; Щ 96). — 1996.

97. Черевко А. А., Чупахин А. П. Однородный особый вихрь // ПМТФ. 2004. - Т. 45. - С. 75-89.

98. Чупахин А. П. О барохронных движениях газа // Докл. РАН. — 1997. Т. 352, № 5. - С. 624 - 626.

99. Чупахин А. П. Барохронные движения газа, общие свойства и подмодели типов (1,2) и (1,1) // Новосибирск. (Препр. / СО РАН, Инги гидродинамики; №4~98. — 1998.

100. Чупахин А. П. Небарохронные подмодели типов (1,2) и (1,1) уравнений газовой динамики // Новосибирск. (Препр. / СО РАН, Ин-т гидродинамики; №1-99. — 1999.

101. Чупахин А. П. О регулярных подмоделях типа (1,2) и (1,1) уравнений газовой динамики // ПМТФ. — 1999. Т. 40, № 2. — С. 40-49.

102. Чупахин А. П. Базисы дифференциальных инвариантов алгебр Евклида и Галилея // Труды межд. конф. «Симметрия и дифференциальные уравнения». — Красноярск: ИВМ СО РАН, 2000.

103. Чупахин А. П. Инвариантные подмодели особого вихря // ПММ. — 2003. Т. 67, № 3. - С. 390 - 405.

104. Шанъко Ю. В., Капцов О. В. Оптимальные системы подалгебр и инвариантные решения ранга два для трехмерных уравнений Эйлера // Диф. уравнения. — Т. 30, № 10. С. 1814-1819.

105. Шутц Б. Геометрические методы математической физики. — М.: Мир, 1984.

106. Яненко Н. Н. Избранные труды. — М.: Наука, 1991.

107. Anco S., Liu S. Exact solutions of semilinear radial wave equations in n dimensions // J. Math. Anal. Appl — 2004.— Vol. 297, no. 1.— Pp. 317-342.

108. Applications of group-theoretical methods in hydrodynamics / V. K. Andreev, 0. V. Kaptsov, V. V. Pukhnachov, A. A. Rodionov. — Springer, 1998.

109. Bogoyavlenskij 0. I. Exact axially symmetric MHD equilibria // Comptes Rendus de l'Academie des Sciences Series I -Mathematics. - 2000. - Vol. 331, no. 7. - Pp. 569-574.

110. Bogoyavlenskij 0. I. Symmetry transforms for ideal magnetohydrodynamics equilibria // Phys. Rev. E. — 2002. — Vol. 66, no. 5. P. 056410.

111. Bogoyavlenskij O. I. Exact unsteady solutions to the Navier-Stokes and viscous MHD equations // Phys. Lett. A,. — 2003. — Vol. 307, no. 5-6. Pp. 281-286.

112. Bogoyavlenskij 0. /., Cheviakov A. F. Exact anisotropic MHD equilibria // J. Phys. A: Math. Gen. 2004. - Vol. 37.- Pp. 75937607.

113. Bogoyavlenskij 0. I., Fuchssteiner B. Exact MHD solutions with crystallographic symmetries and non-interacting Fourier modes // Phys. Lett A. 2004. - Vol. 331, no. 1-2. - Pp. 53-59.

114. Borisov A. V., Kilin A. A., Mamaev I. S. The hamiltonian dynamics of self-graviting liquid and gas ellipsoids // Regular and chaotic dynaics. — 2009. Vol. 14, no. 2. — Pp. 179-217.

115. Chandrasekhar S. On the stability of the simplest solution of the equations of hydromagnetics // Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. — 1956. — Vol. 42. Pp. 273-276.

116. Cheh J., Olver P. J., Pohjanpelto J. Algorithms for differential invariants of symmetry groups of differential equations // Foundations of Computational Mathematics. — 2008. — Vol. 8, no. 4. — Pp. 501-532.

117. Cheviakov A. F. Analytical 3-dimensional anisotropic plasma equilibria // Topology and its Applications. — 2005. — Vol. 152, no. 1-2.-Pp. 157-173.

118. Chupakhin A. Differential invariants: theorem of commutativity // Comm. in Nonlin. Sei. and Num. Simul— 2004.— Vol. 9, no. 1.— Pp. 25-33.

119. Continuous subgroups of the fundamental groups of physics. III. The De Sitter groups / J. Patera, R. T. Sharp, P. Winternitz, H. Zassenhaus // J. Math. Phys. 1977.- Vol. 18. - Pp. 2259-2288.

120. CRC handbook of Lie group analysis of differential equations. Vol. 1: Symmetries, exact solutions and conservation laws / Ed. by N. H. Ibragimov.- Boca Raton, FL: CRC Press. XIII, 1994.

121. CRC handbook of Lie group analysis of differential equations. Vol. 2: Applications in engineering and physical sciences / Ed. by N. H. Ibragimov. Boca Raton, FL: CRC Press. XIX, 1995.

122. CRC handbook of Lie group analysis of differential equations. Vol. 3: New trends in theoretical development and computational methods / Ed. by N. H. Ibragimov. Boca Raton, FL: CRC Press. XVI, 1996.

123. Dirichlet G. L. Untersuchungen über ein Problem der Hydrodynamik (Aus dessen Nachlass hergestellt von Herrn R. Dedekind zu Zürich) / / J. reine angew. Math. (Crelle's Journal).— 1861.— Vol. 58.— Pp. 181—216.

124. Donato A., Oliveri F. Reduction to autonomous form by group analysis and exact solutions of axisymmetric MHD equations // Mathematical and Computer Modelling. — 1993. — Vol. 18, no. 10. — Pp. 83-90.

125. Elsàsser W. M. The hydromagnetic equations // Phys. Rev. — 1950. — Vol. 79, no. l.-P. 183.

126. Elsàsser W. M. Hydromagnetic dynamo theory // Review of modem physics. 1956. - Vol. 28, no. 2. — Pp. 135-163.

127. Fels M., Olver P. J. Moving coframes: I. A practical algorithm // Acta Applicandae Mathematicae. — 1998. — Vol. 51. — Pp. 161-213.

128. Fels M., Olver P. J. Moving coframes: II. Regularization and theoretical foundations // Acta Applicandae Mathematicae. — 1999. — Vol. 55, no. 2. Pp. 127-208.

129. Fuchs J. C. Symmetry groups and similarity solutions of MHD equations // J. Math. Phys. 1991. - Vol. 32. — Pp. 1703-1708.

130. Fuchs J. C., Richter E. W. Similarity solutions for the two-dimensional non-stationary ideal MHD equations // Journal of Physics A: Mathematical and General— 1987.— Vol. 20, no. 11.— Pp. 31353157.

131. Fushchych W. I., Popovych R. O. Symmetry reduction and exact solutions of the Navier-Stokes equations. I // Journal of Nonlinear Mathematical Physics. — 1994. — Vol. 1, no. 1. — Pp. 75-113.

132. Fushchych W. I., Popovych R. O. Symmetry reduction and exact solutions of the Navier-Stokes equations. II // Journal of Nonlinear Mathematical Physics. — 1994. — Vol. 1, no. 2. — Pp. 158-188.

133. Gagnon L. Continuous subgroups of the Galilei and Galilei-similitude groups // Canad. J. Phys.— 1989.-Vol. 67. —Pp. 1-24.

134. Galas F. Generalized symmetries for the ideal MHD equations // Physica D: Nonlinear Phenomena. — 1993. — Vol. 63. — Pp. 87-98.

135. Galas F., Richter E. W. Exact similarity solutions of ideal MHD equations for plane motions // Physica D: Nonlinear Phenomena. — 1991. Vol. 50. - Pp. 297-307.

136. Golovin S. V. Two-dimensional gas motions with special symmetry properties // Proc. of the Int. Conf. MOGRAN VIII (Ufa, Russia, Sept. 27-Oct. 3, 2000), USATU Publ., Ufa. 2001. - Pp. 71-76.

137. Golovin S. V. Basis of differential invariants for certain Lie groups and its applications // Proc. of Int. Conf. "Nonlinear Acoustics at the Beginning of 21st Century". Facility of Physics, MSU, Moskow. — Vol. 1. 2002. - Pp. 539-542.

138. Golovin S. V. On the group-invariant solutions of the gas dynamics equations // EQUADIFF 2003, Proceedings of the International Conference on Differential Equations, Hasselt, Belgium 22 26 July 2003, pp. 470-472.- 2003.- Pp. 470-472.

139. Golovin S. V. Applications of the differential invariants of infinite dimensional groups in hydrodynamics // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. — 2004. — Vol. 9, no. 1.-Pp. 35-51.

140. Golovin S. V. Group foliation of Euler equations in nonstationary rotationally symmetrical case // Proceedings of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine. Vol. 50. - 2004. - Pp. 110-117.

141. Golovin S. V. Irrotational barochronous gas motions // Nonlinear Dynamics. 2004. - Vol. 36, no. 1. - Pp. 19-28.

142. Golovin S. V. Invariant solutions of the singular vortex in magnetohydrodynamics // J. Phys. A: Math. Gen.— 2005.— Vol. 38. Pp. 8169-8184.

143. Golovin S. V. Ovsyannikov vortex in magnetohydrodynamics // Proceedings of 10th International Conference in Modern Group Analysis, Larnaca, Cyprus. — 2005. — Pp. 92-99.

144. Golovin S. V. Singular vortex in magnetohydrodynamics // J. Phys. A: Math. Gen. 2005. - Vol. 38. - Pp. 4501-4516. \

145. Golovin S. V. Generalization of the one-dimensional ideal plasma flow with spherical waves //J. Phys. A: Math. Gen. — 2006.— Vol. 39.— Pp. 7579-7595.

146. Golovin S. V. Multidimensional fluid motions with planar waves // Arxiv preprint arXiv:0705.2311. 2007.

147. Golovin S. V. Exact solution describing a shallow water flow in an extending stripe // Arxiv preprint arXiv:0802.41S4. — 2008.

148. Golovin S. V. On the hierarchy of partially invariant submodels //J. Phys. A: Math. Theor. 2008. - Vol. 41. - P. 265501.

149. Golovin S. V. Partially invariant solutions to ideal magnetohydrodynamics // IMA volumes in mathematics and its aplications. — 2008. Vol. 144. - Pp. 367-381.

150. Golovin S. V. Analytical description of stationary ideal MHD flows with constant total pressure // Arxiv preprint arXiv:0906.3794. — 2009.

151. Grundland A., Tempesta P., Winternitz P. Weak transversality and partially invariant solutions //J. Math. Phys.— 2003.— Vol. 44.— Pp. 2704-2722.

152. Grundland A. M., Hariton A. J. Partially invariant solutions of models obtained from the Nambu-Goto action // Journal of Mathematical Physics. 2004. - Vol. 45. - P. 3239.

153. Grundland A. M., Lalague L. Lie subgroups of symmetry groups of fluid dynamics and magnetohydrodynamics equations // Canad. J. Phys. 1995. - Vol. 73. - Pp. 463-477.

154. Grundland A. M., Picard P. On conditionally invariant solutions of magnetohydrodynamic equations. Multiple waves //J. Nonlin. Math. Phys. 2004. - Vol. 11. - Pp. 47-74.

155. Hematulin A., Meleshko S. V. Rotationally invariant and partially invariant flows of a viscous incompressible fluid and a viscous gas // Nonlinear Dynamics. 2002. - Vol. 28, no. 2. — Pp. 105-124.

156. Ibragimov N. H. Equivalence groups and invariants of linear and nonlinear equations // Archives of ALGA. — 2004. — Vol. 1. — Pp. 969.

157. Ibragimov N. H., Meleshko S. V., Suksern S. Linearization of fourth-order ODEs // J. Phys. A: Math. Theor.— 2008,- Vol. 41.-P. 235206.

158. Jeffrey A., Taniuti T. Non-linear wave propogation with applications to physics and magnetohydrodynamics. — Academic Press: New York-London, 1964.

159. Karman T. Über laminare und turbulente Reibung // ZAMM.— 1921. Vol. 1, no. 4. - Pp. 233-252.

160. Lie S. Beitráge zur Theorie der Minimalfláchen //I. Math. Ann.— 1878. Vol. 14. - Pp. 331-416.

161. Lie S. Über differentialinvarianten // Math. Ann. — 1884. — Vol. 24, no. 1. Pp. 52-89.

162. Lie S., Hermann R. Sophus Lie's 1880 transformation group paper. — Math Science Pr, 1975.

163. Little J. Translation manifolds and the converse of Abel's theorem // Compositio Math. — 1983. Vol. 49. — Pp. 147-171.

164. Martina L., Sheftel M. B., Winternitz P. Group foliation and noninvariant solutions of the heavenly equation // J. Phys. A: Math. Gen. 2001. - Vol. 34. - Pp. 9243-9263.

165. Martina L., Soliani G., Winternitz P. Partially invariant solutions of a class of nonlinear Schroedinger equations //J. Phys. A, Math. Gen. — 1992. Vol. 25, no. 16. - Pp. 4425-4435.

166. Meleshko S. V. A particular class of partially invariant solutions of the Navier—Stokes equations // Nonlinear Dynamics. — 2004. — Vol. 36, no. 1. Pp. 47-68.

167. Meleshko S. V. Methods for constructing exact solutions of partial differential equations: mathematical and analytical techniques with applications to engineering. — Springer Verlag, 2005.

168. Morozov 0. I. Structure of symmetry groups via Cartan's method: Survey of four approaches // Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications (SIGMA). 2005. — Vol. 1.— Pp. 1-14.— math-ph/0508016.

169. Munk M., Prim R. On the multiplicity of steady gas flows having the same streamline pattern // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. — 1947. — Vol. 33.-Pp. 137-141.

170. Nutku Y., Sheftel M. B. Differential invariants and group foliation for the complex Monge—Ampère equation //J. Phys. A: Math. Gen.— 2001.- Vol. 14, no. 1. Pp. 137-156.

171. Olver P. Equivalence, Invariants, and Symmetry.— Cambridge University Press, 1995.

172. Ondich J. A differential constraints approach to partial invariance // Eur. J. Appl. Math. 1995. - Vol. 6. - Pp. 631-637.

173. Ondich J. The reducibility of partially invariant solutions of systems of partial differential equations // Eur. J. Appl. Math. — 1995. — Vol. 6. — Pp. 329-354.

174. Peradzynski Z. Geometry of Interactions of Riemann Waves // Advances in Nonlinear Waves, Vol. II, Res. Notes Math. 111. — 1985. Pp. 244-285.

175. Peradzynski Z. Isobaric flows of an ideal fluid // Arch. Mech. — 1990. — Vol. 42, no. 3.-Pp. 291-295.

176. Peradzynski Z. On double waves and wave-wave interaction in gasdynamics // Arch. Mech.— 1996.— Vol. 48, no. 6.— Pp. 10691088.

177. Picard P. Y. Some exact solutions of the ideal MHD equations through symmetry reduction method //J. Math. Anal. Appl. — 2008. — Vol. 337.-Pp. 360-385.

178. Pommaret J. F. Systems of partial differential equations and Lie pseudogroups. — Gordon and Breach Science Publishers, 1978.

179. Pommaret J. F. Differential Galois theory.— Gordon and Breach Science Publishers, 1983.

180. Pommaret J. F. Partial Differential Equations and Group Theory: New Perspectives for Applications. — Kluwer, 1994.

181. Popovych H. V. On >S'0(3)-partially invariant solutions of the Euler equations // Proceedings of the Third International Conference "Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics". — Kyiv: Institute of Mathematics of NAS of Ukraine, 2000. — Pp. 180-183.

182. Popovych R. 0., Boiko V. M. Differential invariants of a one-parameter group of local transformations: One independent variable // Nonlinear Oscillations. 2002. - Vol. 5, no. 2. — Pp. 209-214.

183. Pukhnachov V. V. An integrable model of nonstationary rotationally symmetrical motion of ideal incompressible liquid // Nonlinear Dynamics. 2000. - Vol. 22, no. 1. - Pp. 101-109.

184. Razafindralandy D., Hamdouni A. Analysis of subgrid models of heat convection by symmetry group theory // Comptes rendus-Mécanique. 2007. - Vol. 335, no. 4. - Pp. 225-230.

185. Razafindralandy D., Hamdouni A., Oberlack M. Analysis and development of subgrid turbulence models preserving the symmetry properties of the Navier-Stokes equations // European Journal of Mechanics/B Fluids. — 2007.- Vol. 26, no. 4.- Pp. 531-550.

186. Riemann B. Ein Beitrag zu den Untersuchungen über die Bewegung einer flüssigen gleichartigen Ellipsoides // Abh. d. Königl. Gesell, der Wiss. zu Göttingen. — 1861. — Vol. 58.- Pp. 181—216.

187. Siriwat P., Meleshko S. V. Applications of group analysis to the three-dimensional equations of fluids with internal inertia // Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications (SIGMA).— 2008. Vol. 4.

188. Strampp W. Partially invariant solutions of systems of differential equations in two independent variables //J. Math. Anal Appl. — 1983. Vol. 97.

189. Tassi E. V., Titov S., Hornig G. Exact solutions for magnetic annihilation in curvilinear geometry // Phys. Lett. A. — 2002.— Vol. 302, no. 5-6. Pp. 313-317.

190. Tassi E. V., Titov S., Hornig G. New classes of exact solutions for magnetic reconnective annihilation // Phys. Lett. A. — 2003. — Vol. 315, no. 5. Pp. 382-388.

191. Thailert K. One class of regular partially invariant solutions of the Navier-Stokes equations // Nonlinear Dynamics. — 2006. — Vol. 43, no. 4. Pp. 343-364.

192. Torrisi M., Tracina R., Valenti A. On the linearization of semilinear wave equations // Nonlinear Dynamics.— 2004.— Vol. 36, no. 1.— Pp. 97-106.

193. Tresse A. Sur les invariants differentieles des groupes continus de transformations // Acta Math. — 1894. — Vol. 18.

194. Vessiot E. Sur lintegration des sistem différentiels qui admittent des groupes continus de transformations // Acta Math.— 1904.— Vol. 28. Pp. 307-349.

195. Wang C. Y. Exact solutions of the steady-state Navier-Stokes equations // Annu. Rev. Fluid Mech.— 1991.— Vol. 2.— Pp. 159177.

196. Yumaguzhin V. A. Contact classification of linear ordinary differential equations: Iff Acta Applicandae Mathematicae. — 2002. — Vol. 72, no. 1-2.-Pp. 155-181.

197. Yumaguzhin V. A. On the obstruction to linearizability of second-order ordinary differential equations // Acta Applicandae Mathematicae. — 2004. Vol. 83, no. 1-2. - Pp. 133-148.