Симметрийный анализ некоторых уравнений теоретической физики тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Стационарные конфигурации идеальной плазмы.

§1. Инвариантные стационарные конфигурации.

§2. Инвариантные равновесные конфигурации.

§3. Произвольная равновесная конфигурация в окрестности общей точки.

§4. Потенциально - силовое магнитное поле с плоской геометрией.

§5. Специальные стационарные течения.

Глава 2. Симметрия безмассового уравнения Дирака.

§6. Дифференциальные операторы симметрии 1-го порядка.

§7. Симметрии свободного уравнения в пространстве Е]л

§8. Симметрия и законы сохранения.

§9. Симметрия уравнений в конформных пространствах.

Глава 3. Интегрирование уравнения движения свободной частицы в римановом пространстве в комплексных координатах.

§10. Обобщенные пространства штеккеля.

§11. Примеры обобщенных пространств штеккеля.

Известные законы сохранения и достаточно широкие классы частных решений основных уравнений физической теории представляют едва ли не основное ее достоинство. В основном такую информацию можно получить, изучая симметрию уравнений, что предполагает решение двух проблем: построение всех возможных основных уравнений данной теории, обладающих определенной симметрией, - это симметрийная классификация уравнений; определение симметрии и вычисление с ее помощью законов сохранения и частных решений заданного уравнения, - это симметрийный анализ уравнения. Основными понятиями здесь являются группа (полугруппа) операторов симметрии и алгебра допустимых операторов рассматриваемого уравнения. Т.к. допустимый оператор можно рассматривать как инфинитезимальный для некоторой, вообще говоря, формальной однопараметрической группы симметрии и инфинитезимальный оператор однопараметрической группы симметрии является допустимым, то исследования симметрии в их современном виде можно назвать с большим основанием алгебраическим анализом, чем групповым.

Алгебра дифференциального уравнения с областью определения - пространством бесконечно дифференцируемых отображений некоторой области из Еп в Ет может содержать подалгебру (лиевских) квазилинейных скалярных дифференциальных не выше 1-го порядка операторов вида

СТа (<р)(х) = 71а (х, (р{х))~ ^ (х, (р{х))д(ра / dxS

Группа симметрии с лиевским инфинитезимальным оператором индуцирована естественным образом группой точечных преобразований пространства независимых и зависимых переменных, каждый элемент которой переводит всякое многообразие - решение рассматриваемого уравнения в многообразие -решение этого же уравнении. На этом основании такую симметрию называют геометрической; нелиевский допустимый оператор иногда называют высшей симметрией.

Теория геометрических симметрий была создана в основном во 2-ой половине 19-го века С.Ли и приобрела законченный вид в работах Овсянникова [1, 2], Ибрагимова [3], Олвера [4]. Хотя решению конкретных задач посвящено огромное число публикаций, симметрия многих важных уравнений исследована бесспорно недостаточно.

Теория высших симметрий и законов сохранения в настоящее время далека от совершенства. Здесь основополагающей является работа Нетер [5], в которой для произвольной лагранжевой системы дифференциальных уравнений построено определяющее уравнение специальной алгебры, вообще говоря, не-лиевских допустимых дифференциальных операторов и указана явная связь таких операторов с дифференциальными законами сохранения. Для произвольного дифференциального уравнения общие свойства алгебры допустимых дифференциальных операторов и дифференциальных законов сохранения рассматривалась в работах [4, 6-9]. Симметрия линейного уравнения общего вида и алгебры уравнений в банаховых пространствах изучались в [10, 11]. Наиболее продвинут симметричный анализ эволюционных (особенно гамильтоновых) уравнений; весьма полную информацию об этом содержит работа [12]. Определенно можно утверждать, что техника вычислений допустимых дифференциальных операторов для дифференциальных уравнений вполне разработана; именно этот элемент симметрийного анализа используется в настоящей работе. Актуальность темы. В диссертации исследуются свойства симметрии уравнений магнитной гидродинамики идеальной плазмы, безмассового уравнения Дирака-Фока и уравнений движения свободной частицы в римановых пространствах; общеизвестна роль этих уравнений в теоретической и математической физике. Геометрическая симметрия системы МГД хорошо изучена и достаточно богата; групповая классификация решений пока не проведена прежде всего из-за сложности системы, хотя широкие классы частных решений необходимы для изучения лабораторной, солнечной и космической плазмы; в определенной мере мы восполним этот пробел. Исследования симметрии уравнения Дирака находятся вообще в начальной стадии: неизвестен общий вид простейших операторов симметрии и законов сохранения, только для уравнения с богатой группой геометрических симметрий проведена классификация решений, отсутствует симметрийная классификация пространств; наши результаты отвечают на некоторые вопросы теории. Построение в конечном виде закона движения свободной частицы в римановом пространстве обусловлено существованием для уравнений геодезических интегралов конечного порядка; хотя проблема классификации пространств по этому признаку имеет полуторавековую историю и важна также для интегрирования многих уравнений теоретической физики (например, методом разделения переменных), достижения здесь весьма скромные: известна метрика пространства, допускающего произвольный интеграл 1 -го порядка или интеграл 2-го порядка специального вида.

Сказанное выше делает актуальным симметрийный анализ выбранных нами задач.

Цель работы. Основные задачи можно сформулировать следующим образом. 1°. Дать максимально полное описание стационарных, в частности равновесных конфигураций сжимаемой идеальной плазмы, инвариантных относительно группы симметрии, индуцированной естественным образом произвольной (заданной) однопараметрической группой движений пространства Е3; форма представления результатов должна быть ковариантной и не зависеть от конкретного выбора группы симметрии. Такое решение задачи охватит все ранее известные частные инвариантные стационарные течения и откроет новые типы инвариантных конфигураций. 2°. Найти общий вид линейного дифференциального 1-го порядка оператора симметрии безмассового уравнения Дирака в римановом пространстве и сформулировать общие свойства таких симметрий; для произвольного линейного оператора симметрии X построить в ковариантном виде нетривиальный закон сохранения: divJ(X',4/) = Q здесь Ч7 - любое решение уравнения Дирака. Решение этой задачи позволит в дальнейшем дать алгебраическую классификацию пространств, найти в явном виде симметрию уравнения в заданном пространстве и использовать метод разделения переменных для вычисления частных решений уравнения. 3°. Определить метрику «-мерного риманова пространства, в котором система геодезических допускает интеграл 2-го порядка, обеспечивающий в уравнении Гамиль-тона-Якоби для свободной частицы частичное (полное) разделение переменных по Якоби в некоторой, вообще говоря, комплексной системе координат; построить соответствующий набор интегралов движения. В результате появляется класс обобщенных пространств Штеккеля с новой специфической симметрией, что заметно расширяет круг задач теоретической физики, интегрируемых методом разделения переменных.

Теоретические основы работы. Диссертационные исследования инвариантных конфигураций идеальной плазмы базируются на законах и понятиях магнитной гидродинамики [13-15] и теории С. Ли групповых свойств дифференциальных уравнений; симметрийный анализ уравнения Дирака - на квантовой релятивистской теории частиц со спином '/г, основы которой заложены в работах Дирака [16] и Фока [17], и алгебраической теории симметрии уравнений; исследования симметрии системы геодезических - на римановой геометрии [18] и теории пространств Штеккеля. Используются методы линейной алгебры (приведение к простейшему виду набора вещественных квадратичных форм) и теории дифференциальных уравнений с частными производными, в частности приведение системы уравнений к пассивному виду. В настоящей работе не ставятся принципиально новые вопросы, каждая из основных рассматриваемых задач имеет свою историю. Первые нетривиальные результаты группового анализа уравнений МГД содержат работы Шафранова [19] и Града [20], в которых задача о произвольных аксиально-симметричных равновесных конфигурациях свободной плазмы редуцирована к одному дифференциальному уравнению с частными производными 2-го порядка на магнитный потенциал; наиболее значимой в этом плане является работа Цинганоса [21], в которой дано полное описание произвольных трансляционно-инвариантных и аксиально-симметричных стационарных, вообще говоря, неравновесных конфигураций идеальной несжимаемой плазмы во внешнем потенциальном ноле, в частности, здесь также задача редуцирована к одному уравнению на магнитный потенциал. Первые результаты об алгебре уравнения Дирака для безмассовой и массивной частиц получил В. Н. Шаповалов в работах [22,23], где вычислены все дифференциальные 1-го порядка операторы симметрии уравнения в пространстве Е\; аналогичная задача для безмассового уравнения в римановом пространстве рассмотрена Камраном [24] при дополнительных ограничениях на операторы симметрии, эти результаты использовал А. В. Шаповалов [25] для вычисления частных решений методом разделения переменных. Конструктивное определение полного разделения переменных в уравнении Гамильтона-Якоби для свободной частицы в римановом пространстве в комплексной системе координат впервые дано в работах Багрова и Обухова [26-28]; здесь найден в привилегированных координатах общий вид метрического тензора и выявлена симметрия (специального штеккелева) пространства, в котором уравнение допускает такое разделение переменных, а также предложен определенный критерий принадлежности наперед заданного пространства классу специальных штеккелевых.

Научная новизна исследования. В диссертации получены следующие новые результаты.

1°. В ковариантной форме дано полное описание стационарных конфигураций идеальной сжимаемой плазмы, инвариантных относительно произвольной заданной однопараметрической группы движений евклидова пространства; в частности система МГД редуцирована к одному дифференциальному уравнению 2-го порядка на плотность (3-го порядка на магнитный потенциал). Множество инвариантных конфигураций состоит из трех классов эквивалентности: транс-ляционно-инвариантные, аксиально-симметричные состояния и ранее вообще не рассматривавшиеся состояния с винтовой симметрией; для последнего класса привилегированная система координат является неортогональной. Получены в конечном виде характеристики равновесной инвариантной конфигурации во внешнем поле.

2°. Условия для произвольной равновесной конфигурации во внешнем поле редуцированы к одному уравнению на магнитные потенциалы; вычислены все равновесные состояния свободной плазмы, для которых магнитными поверхностями являются плоскости параллельные заданной.

3°. Обнаружена специфическая симметрия стационарных течений несжимаемой плазмы, для которых поверхности постоянной плотности являются магнитными; равновесные конфигурации с этим свойством определяют некоторый класс стационарных течений несжимаемой плазмы.

4°. Для безмассового уравнения Дирака в римановом пространстве найден общий вид дифференциального 1-го порядка оператора симметрии и сформулированы свойства этих операторов.

5°. Для свободного безмассового уравнения Дирака в пространстве Е]4 найден недифференциальный оператор симметрии, который аналогичен оператору симметрии уравнения Лапласа в Е3, порождаемому преобразованием отражения относительно сферы; это позволило найти дополнительные свойства алгебры уравнения.

6°. Для произвольного заданного линейного оператора симметрии уравнения Дирака в римановом пространстве построен нетривиальный закон сохранения в ковариантном виде.

7°. Сформулированы в ковариантном виде условия на квадратичный интеграл системы геодезических риманова пространства, с которым уравнение Гамиль-тона-Якоби для свободной частицы допускает в некоторой комплексной системе координат частичное (полное) разделение переменных в смысле Якоби. На языке наборов квадратичных интегралов системы геодезических предложен ко-вариантный критерий принадлежности наперед заданного пространства указанному классу обобщенных штеккелевых пространств. Все утверждения доказаны.

Практическая значимость исследования. Выполненная групповая классификация стационарных конфигураций и результаты анализа произвольных равновесных конфигураций предлагают широкие новые классы состояний идеальной плазмы во внешнем поле и будут полезны при осмыслении экспериментальных данных. Результаты симметрийного анализа безмассового уравнения Дирака можно использовать в работах по космическим нейтрино для вычисления частных решений методом разделения переменных и законов сохранения, а также для симметрийной классификации римановых пространств. Симметрийная характеристика обобщенных штеккелевых пространств и конструктивные доказательства основных теорем дают эффективный способ решения главных в теории разделения переменных вопросов о принадлежности наперед заданного пространства классу обобщенных штеккелевых и построении привилегированной системы координат; полученные результаты позволяют сформулировать общую схему разделения переменных в комплексных координатах в произвольном линейном дифференциальном уравнении с частными производными 2-го порядка с помощью наборов дифференциальных операторов симметрии не выше 2-го порядка.

Апробация работы. Результаты диссертации по групповой классификации стационарных конфигураций идеальной плазмы доложены на международной конференции «MOGRAN 2000: Современный групповой анализ для нового тысячелетия», Уфа, 2000. По теме диссертации опубликовано 14 работ. На защиту выносятся: 1°. Результаты расчета стационарных и равновесных конфигураций идеальной плазмы, инвариантных относительно однопараметри-ческой группы движений евклидова пространства; структура произвольной равновесной конфигурации во внешнем потенциальном поле, общий вид равновесной конфигурации свободной плазмы в плоской геометрии. 2°. Общий вид дифференциального 1-го порядка оператора симметрии и связь произвольного линейного оператора симметрии с законом сохранения безмассового уравнения Дирака в римановом пространстве; свойства алгебры свободного безмассового уравнения в пространстве Е4. 3°. Результаты анализа симметрии риманова пространства, где система геодезических имеет квадратичный интеграл, с которым уравнение Гамильтона-Якоби для свободной частицы допускает частичное (полное) разделение переменных в некоторой, вообще говоря, комплексной системе координат.

Структура и объем работы с достаточной полнотой отражены в Содержании, так что на этом не останавливаемся. Отметим лишь, что формулы, теоремы, определения имеют двойную нумерацию; например, ссылка на формулу 4 из § 5 имеет вид (5.4).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные задачи и результаты, представляемые к защите, изложены во введении; кратко обсудим перспективы дальнейших исследований в этих направлениях.

Проведенное в диссертации полное описание инвариантных стационарных состояний идеальной плазмы, задание в конечном виде параметров инвариантных равновесных состояний и редукция системы уравнений для произвольной равновесной конфигурации во внешнем поле к одному уравнению на магнитные потенциалы выдвигают на первый план вычисление достаточно широких классов частных решений определяющих уравнений (соответственно на плотность и магнитные потенциалы) и детальный анализ общих выражений для параметров инвариантных равновесных состояний с целью построения физически значимых моделей. Вычисление в явном виде параметров всех равновесных состояний свободной плазмы в плоской геометрии предполагает дальнейший физический анализ результатов.

Полученный общий вид дифференциального 1-го порядка оператора симметрии безмассового уравнения Дирака - Фока и сформулированные свойства таких операторов позволяют перейти к решению следующих вопросов: вычислению общего вида метрики риманова пространства, в котором уравнение допускает хотя бы один нетривиальный дифференциальный оператор симметрии 1-го порядка (аналогичная задача для уравнения Дирака - Фока для массивной частицы полностью решена ); построению полных наборов операторов 1-го порядка для уравнений в пространствах, представляющих физический интерес; определению общего вида дифференциального 2-го порядка оператора симметрии, что сделает возможной более глубокую симметрийную классификацию пространств.

Сформулированные в ковариантном виде и доказанные критерии принадлежности наперед заданного риманова пространства классу штеккелевых пространств типа (щ,.,па\(т0) позволяют построить общую симметрийную теорию пространств, в которых уравнение Гамильтона - Якоби для свободной частицы допускает частичное разделение переменных в некоторой, вообще говоря комплексной, системе координат; решение такой задачи приведет к естественному обобщению существующей теории разделения переменных в различных дифференциальных уравнениях теоретической физики.

1. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983.-280 с.

2. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям.- М.: Мир, 1989.-637 с.

3. Noether Е. Invariante Variationsprobleme // Kgl. Ges. Wiss., Nachr., Gottingen, Math. Phys. KI. - 1918. - S. 235-257. Перев. с нем.: Нетер Э. Инвариантные вариационные задачи / Вариационные принципы механики. - М.:Физматгиз, 1959. - с. 611-630.

4. Johnson Н.Н. Bracket and exponential for a new type of vector field // Proc. Am. Math. Soc. 1964. - V. 15. - p. 432-437.

5. Johnson H.H. A new type of vector field and invariant differential systems // Proc. Am. Math. Soc. 1964. - V. 15.-p. 675-678.

6. Шаповалов B.H. Симметрия дифференциальных уравнений. I. // Изв. вузов. Физика. 1977. - № 6. - с. 57-64.

7. Шаповалов В.Н. Симметрия дифференциальных уравнений. II. // Изв. вузов. Физика. 1977. - № 6. - с. 64-70.

8. Ю.Шаповалов В.Н. К групповым свойствам линейных уравнений // Изв. вузов. Физика. 1968. - № 6. - с. 75-80.

9. Шаповалов В.Н. Алгебра уравнения // Изв. вузов. Физика. 1977. - № 7. - с. 4045.

10. Мешков А.Г. Алгебраические аспекты уравнений теоретической физики/ Дис. На соискание ученой степени доктора физ.-мат. наук. Томск, 1992, 209 с.

11. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982. - 623 с.

12. Электродинамика плазмы / Под ред. А.И. Ахиезера. М.: Наука, 1974. -720 с.

13. Джексон Дж. Классическая электродинамика. М.: Мир, 1965. - 583 с.

14. Дирак П.A.M. Принципы квантовой механики. М.: Физматгиз, 1960. - 434 с.

15. Фок В. А. Волновое уравнение Дирака в геометрии Римана // ЖРФХО. 1930. -62, №2.-с. 133-152.

16. Эйзенхарт Л. П. Риманова геометрия. М.: ГИИЛ, 1948. - 316 с.

17. Шафранов В. Д. Равновесие плазмы в магнитном поле // Вопросы теории плазмы. М.: Атомиздат, 1963. - В. 2. - с. 92-132.

18. Ю. Grad Н., Rubin Н. // Proc. 2d. Int. Conf. on Peaceful Uses of Atomic Energy, 1958, -V. 31.-p. 190.

19. H.Tsinganos К. C. Magnetohydrodinamic equilibrium. I. Exact Solution of equations // Astrophysical J. 1981. - 245. - p. 764-782.

20. Шаповалов В. H. Вычисление алгебры симметрии уравнения Дирака // Изв. вузов. Физика. 1968. - № 4. - с. 146-148.

21. Шаповалов В. Н. Симметрия линейных уравнений/ Дис. на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук. Томск, 1968, 97 с.

22. Kamran N., Mc Lenaghan R. C. Separation of variables and quantum numbers for Weyl neutrino fields on curved space time // Lett. Math. Phys. - 1983. - V. 7. - p. 381-386.

23. Шаповалов A.B. Проблемы симметрии основных уравнений теории поля/ Дис. на соискание ученой степени доктора физ.-мат. наук. Томск, 1990, 292 с.

24. Bagrov V.G., Obukhov V. V. Complexification of the complete variable separation method in the Hamilton Jacobi equation // 11 Int. Conference on Gen. Relat. Grav. (Stokholm): Abstracts of contr. pap. - 1986. - V. 11. - p. 531.

25. Багров В.Г., Обухов В.В. Комплексификация метода полного разделения переменных в уравнении Гамильтона Якоби // Изв. вузов. Физика. - 1988. -№ 9. - с. 23-27.

26. Обухов В.В. Разделение переменных в скалярных и спинорных уравнениях в общей теории относительности/ Дис. на соискание ученой степени доктора физ.-мат. наук. Томск, 1990, 243 с.

27. Fuchs J.C. Symmetry groups and similarity solutions of MHD equations // J. Math. Phys. 1991.-32, №7.-p. 1703- 1708.

28. Ю. Lie Group Analysis of Differential Equations. Edited by N. H. Ibragimov V. 3. New trends in theoretical developments and computational methods. CRC Handbook, 1996. p. 404 406.

29. П.Гаджиев C.A., Бадалов В.Г., Алиева Н.А. Ли симметрии уравнений магнито-акустико-гравитационных волн // Изв. вузов. Физика. 2001. - № 12. - с. 75-85.

30. Шаповалова О.В., Шаповалов В.Н. Трансляционно инвариантные и аксиально - симметричные стационарные конфигурации идеальной плазмы// Депонировано в ВИНИТИ.- 28. 05. 1999.- № 1701.- В99.- 22 с.

31. Шаповалова О.В., Шаповалов В.Н. Описание инвариантных стационарных конфигураций идеальной плазмы в ортогональных координатах// Депонировано в ВИНИТИ.- 09. 07. 1999.- № 2246.- В99.- 13 с.

32. Шаповалов В.Н., Шаповалова О.В. К групповой классификации стационарных конфигураций идеальной плазмы// Депонировано в ВИНИТИ.- 30. 07. 1999.- № 2512.- В99.-26 с.

33. Шаповалов В.Н., Шаповалова О.В. Равновесные и специальные стационарные конфигурации идеальной плазмы// Депонировано в ВИНИТИ.- 12. 11. 1999.- № 3318.- В99.- 20 с.

34. Шаповалов В.Н., Шаповалова О.В. Дополнения к работе «К групповой классификации стационарных конфигураций идеальной плазмы»// Депонировано в ВИНИТИ.- 06. 05. 2000.- № 1316.- В00,- 5 с.

35. Шаповалов В.Н., Шаповалова О.В. Групповая классификация стационарных конфигураций идеальной плазмы // Материалы Международной конференции «MOGRAN 2000: Современный групповой анализ для нового тысячелетия», Уфа, 2000, с. 62.

36. Шаповалов В.Н., Шаповалова О.В. К вопросу о стационарных инвариантных конфигурациях идеальной плазмы // Изв. вузов. Физика. 2003,- т. 46,- 2,- с. 74761.l

37. Шаповалова O.B. Специальные стационарные конфигурации плазмы // Изв. вузов. Физика. 2003,- т. 46,- 2, - с. 77-78.

38. Ю. Шаповалова О.В. Равновесные конфигурации плазмы в окрестности общей точки // Изв. вузов. Физика. 2003,- т. 46,- 3,- с. 30-33.

39. И. Chandrasekhar S. // Proc. Nat. Acad. Sci. 1956.-42. -p. 273-280.

40. Михаляев Б.Б., Соловьев A.A., Шаповалов B.H. Бессиловые магнитные поля в плоской геометрии // Солнечные данные. 1985. - № 7. - с. 73-78.1.3. Богоявленский О.И. Точные глобальные равновесия плазмы // Успехи мат. наук. 2000. - 55. № 3. - с. 63-102.

41. Шаповалов В.И. О свойствах симметрии уравнения Дирака Фока// Депонировано в ВИНИТИ,- 29. 10. 1992,- № 3138,- В92,- 47 с.

42. Шаповалов В.Н., Шаповалова О.В. Симметрия уравнения Вейля// Депонировано в ВИНИТИ,- 28. 07. 2000.- № 2094,- В00.- 33 с.

43. Шаповалов В.Н., Шаповалова О.В. О симметрии безмассового уравнения Дирака в римановом пространстве // Изв. вузов. Физика. 2002,- т. 45,- 11,- с. 27-30.

44. Шаповалова О.В. Симметрия и законы сохранения уравнения Дирака в римановом пространстве // Изв. вузов. Физика. 2003,- т. 46,- 5,- с. 25-28.

45. Фущич В.И., Никитин А.Г. Симметрия уравнений квантовой механики. М.: Наука, 1990.-400 с.

46. Никитин А.Г. Операторы симметрии уравнения Вейля // Теоретико-групповые исследования уравнений математической физики. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1985.-с. 34-39.

47. Широков И.В. Локальные симметрии безмассовых волновых уравнений // Изв. вузов. Физика. 1998. - № 5. - с. 19-25.

48. Т.Клишевич В.В., Тюменцев В.А. Об алгебре симметрии уравнения Дирака в плоском пространстве и пространстве Де Ситтера // Изв. вузов. Физика. 2001. -№ 8.-с. 52-58.

49. Клишевич В.В. Некоторые вопросы о существовании спинорных операторов симметрии для уравнения Дирака // Изв. вузов. Физика. 2000. - № 10.-с. 87-91.

50. Лисицин Я.В. О разделении переменных безмассового уравнения Дирака в пространстве Минковского // Изв. вузов. Физика. 1995. - № 1.-е. 105-110.

51. Hounkonnou M.N., Mendy J. Е. В. Exact solutions of Dirac equation for neutrinos in presence of external fields // J. math. Phys. 1999. - 40, № 9. - p. 4240-4254.

52. Вараксин О.Л., Широков И.В. Интегрирование уравнения Дирака, не допускающего полного разделения переменных, в штеккелевых пространствах // Изв. вузов. Физика, 1996. -№ 1.-е. 31-37.

53. Мешков А. Е. Законы сохранения и симметрии Ли Беклунда // Изв. вузов. Физика. - 1995. - № 7. - с. 9-14.

54. Шаповалов В.Н., Шаповалова О.В. Интегрирование уравнения движения свободной частицы в римановом пространстве в комплексных координатах// Депонировано в ВИНИТИ.- 11. 12.2001.- № 2573.- В01.- 22 с.

55. Шаповалов В. Н., Шаповалова О. В. Интегрирование уравнения движения свободной частицы в римановом пространстве в комплексных координатах // Изв. вузов. Физика. 2003,- т. 46,- 2,- с. 92-94.

56. Шаповалов В.Н. Пространства Штеккеля // Сиб. мат. ж. 1980. - 20. № 5. - с. 1125-1138.

57. Ю. Сухомлнн Н.Б., Шаповалов В. Н. Теория разделения переменных в уравнениях математической физики// Депонировано в ВИНИТИ,- 22. 11. 1994.- № 2674.-В94.-45 с.

58. П. Шаповалов В.Н. Симметрия уравнений движений свободной частицы в римано-вом пространстве // Изв. вузов. Физика. 1975. - № 12.-е. 14-19.

59. Шаповалов В.Н. О приведении к простейшему виду вещественных квадратичных форм// Депонировано в ВИНИТИ.- 13. 07. 1992.- № 2279.- В92.- 25 с.