Нелинейные гиперболические системы уравнений, интегрируемые по Дарбу тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

КОСТРИГИНА Ольга Сергеевна

НЕЛИНЕЙНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ, ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ПО ДАРБУ

01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

- 1 ДЕК 2011

Уфа - 2011

005003168

Работа выполнена в

ФГБОУ ВПО " Уфимский государственный авиационный технический университет"

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Жибер Анатолий Васильевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Газизов Рафаил Кавыевич; кандидат физико-математических наук, доцент Картак Вера Валерьевна

Ведущая организация: Учреждение Российской академии наук

Институт механики Уфимского научного центра РАН

Защита состоится 23 декабря 2011 года в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 002.057.01 при Учреждении Российской академии наук Институте математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН по адресу: 450008, г. Уфа, ул. Чернышевского, 112.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Учреждения Российской академии наук Института математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН.

Автореферат разослан а . ноября 2011 г. Ученый секретарь

диссертационного совета Д 002.057.01, кандидат физико-математических наук

С.В. Попенов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Работа посвящена исследованию проблемы интегрируемости нелинейных гиперболических систем уравнений вида

= У,U,Ux,Uy), i = 1,2,...,п, и = (и\и2,...,ип). (1)

Последние описывают широкий класс нелинейных явлений в самых различных областях теоретической и математической физики.

Изучаемые системы (1) обладают нетривиальной группой внутренних симметрии, генерируемой алгеброй Ли - Беклунда, что позволяет для их классификации использовать "симметрийный" подход. Симметрийный метод классификации эффективен в случае эволюционных уравнений, однако при симметрийной классификации гиперболических уравнений возникают серьезные технические трудности даже в простейшей ситуации.

В данной работе для решения классификационной задачи используется метод, основанный на изучении структуры характеристических алгебр (колец) системы. Идеи этого алгебраического подхода были предложены в конце XIX века в классических работах Дарбу, Гурса, Вессио1 и других авторов, однако окончательное его формирование произошло сравнительно недавно.

Важный вклад в развитие этого метода внесла работа Шабата А.В., Ямилова Р.И. 2, в которой исследовалась система гиперболических уравнений вида

4ff = апеи1 + ... + aineun, i = 1,2,..., п, (2)

В этой работе было введено понятие характеристической алгебры Ли векторных полей и было показано, что характеристическая алгебра системы уравнений (2) конечномерна тогда и только тогда, когда коэффициенты ау определяют матрицу Картана простой алгебры Ли. Далее, в статье Лезнова А.Н., Смирнова В.Г., Шабата А.Б.3 для систем гиперболических уравнений более общего вида

4v = F>), ¿ = 1,2,..,,п

'Darboux G. Lecons sur la théorie générale des surfaces et les applications geometriques du caicul infinitesimal. - París: Gauthier-Villars. - 1896. V. 1 - 4.

Goursat E. Lecons sur I'integration des équations aux dérivées partidles du second order á deux variables indépendantes. - Paris: Hermán. - 1896,1898. - Tome I, II.

Vessiot E. Sur les équations aux derivees partidles du second order, F(xty,p,q,r,s,t) = 0, inleqrables par la methode de Darboux // J. Math. Puré Appl. - 1939 - V. 18. - № 9. - Р. 1 - 61.

3Щабат А. Б., Ямалов Р. И. Экспоненциальные системы типа 1 и матрицы Картана// Препринт БФ АН СССР, Уфа. - 1981. - 23 с.

3Лезнов А. Н., Смирнов В. Г., Шабат А. Б. Группа внутренних симметрии и условия интегрируемости двумерных динамических систем // Теоретическая и математическая физика. - 1982. - Т. 51. - № 1. - С. 10 - 21.

была выдвинута гипотеза о том, что условием интегрируемости в квадратурах является конечномерность ее характеристической алгебры.

В последнее время понятие характеристической алгебры (кольца) было обобщено на дифференциально-разностные и полностью дискретные уравнения и на этой основе проведена классификация некоторых классов интегрируемых цепочек4.

Целью работы является развитие и применение метода, основанного на изучении структуры характеристических алгебр (колец), для классификации интегрируемых нелинейных гиперболических систем уравнений. Доказательство критерия интегрируемости по Дарбу, выделение класса интегрируемых систем, построение х, ?/-интегралов и точных решений.

Методы исследования. В работе применяются классические методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, теории интегрируемых нелинейных дифференциальных уравнений, а также теории алгебр Ли.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Доказан критерий независимости i (у)-интегралов нелинейной гиперболической системы уравнений. Приведены необходимые и достаточные условия интегрируемости по Дарбу, установлена связь между порядками интегралов системы и размерностью характеристических колец Ли

2. Для решения задачи классификации двухкомпонентных гиперболических систем уравнений с экспоненциальной правой частью предложен подход, основанный на изучении структуры характеристических алгебр Ли линеаризованной системы.

3. Для n-компонетной системы уравнений приведены необходимые и достаточные условия существования полного набора интегралов первого порядка. Получен полный список интегрируемых двухкомпонентных систем уравнений, построены их х- и у-интегралы.

4. Проведена полная классификация систем уравнений с тремя интегралами первого порядка и одним второго. Приведены явные формулы для х— и у—интегралов этих систем.

5. Получен класс нелинейных гиперболических систем уравнений, обладающих двумя интегралами первого порядка и двумя второго. Для найденных систем уравнений построены х- и у- интегралы, общие решения, а также решения задач Гурса.

"Habibullin I., Zheltukhina N. and Pekcan A. Complete list of Darboux integrable chains of the form tlx = tx+d{t,ti) // J. Math. Phys. 50 (2009) 102710.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Методы и результаты диссертации могут быть использованы в исследовании нелинейных гиперболических систем уравнений.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях и семинарах:

1. Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2006 г.);

2. 38, 40-е региональные молодежные конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики" (Екатеринбург, 2007, 2009 гг.);

3. Уфимская международная математическая конференция, посвященная памяти А.Ф. Леонтьева (Уфа, 2007 г.);

4. Российская конференция "Математика в современном мире", посвященная 50-летию Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН (Новосибирск, 2007 г.);

5. Международная конференция МОСИ/Ш-13 "Симметрии и точные решения дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений" (Уфа, 2009 г.);

6. Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых "Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании" (Уфа, 2009, 2010 гг.);

7. Международная научная конференция "Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования" (Владикавказ, 2010 г.);

8. VII Международная конференция "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике", посвященная 110-летию академика М.А. Лаврентьева (Новосибирск, 2010 г.);

9. Всероссийская школа-конференция молодых исследователей и V Всероссийская конференция, посвященная памяти академика А.Ф.Сидорова "Актуальные проблемы прикладной математики и механики" (Абрау-Дюрсо, 2010 г.);

10. Всероссийская конференция "Нелинейные волны: теория и новые приложения", посвященная памяти чл.-корр. РАН В.М. Тешукова и приуроченная к 65-летию со дня его рождения (Новосибирск, 2011 г.);

И. Международная конференция "Спектральная теория операторов и ее приложения", посвященная памяти выдающегося ученого-математика, д.ф.-м.н., профессора Анатолия Гордеевича Костюченко (Уфа, 2011 г.);

12. VI Уфимская международная конференция "Комплексный анализ и дифференциальные уравнения" (Уфа, 2011 г.);

13. научный семинар кафедры математики Уфимского государствен-

ного авиационного технического университета под руководством профессора В.А. Байкова (Уфа, 2011 г.);

14. научный семинар кафедры дифференциальных уравнений Башкирского государственного университета под руководством профессоров A.B. Жибера и И.Т. Хабибуллина (Уфа, 2010, 2011 гг.);

15. научный семинар по дифференциальным уравнениям математической физики Института математики с ВЦ УНЦ РАН под руководством профессоров Л.А. Калякина и В.Ю. Новокшенова (Уфа, 2011 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 22 работы, из них статьи [1]-[5] в журналах из списка ВАК.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 56 наименований. Объем диссертации составляет 146 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении проведен обзор литературы по теме диссертации, описаны постановка задачи, методы исследования и приведено краткое содержание работы.

Для удобства дальнейшего изложения введем набор переменных

х, у, и, щ = их, щ = ихх, и3 = иххх,..., ÖJ = иу, й2 ~ иуу, щ = иууу,....

Легко видеть, что всякая смешанная производная от и может быть выражена через функции (3), которые нельзя связать между собой, пользуясь уравнениями (1) и их дифференциальными следствиями. Поэтому во всех определениях и выкладках они считаются независимыми переменными.

Обозначим через D[D) — оператор полного дифференцирования по переменной у (я) в пространстве локально аналитических функций, каждая из которых зависит от конечного числа переменных (3).

Определение 0.2. Функция и> = ш( х, у,и,щ,..., ит) называется х-

интегралом т~го порядка системы уравнений (1), если 0 и Du = 0. Аналогично, й = ш(х,у,и, щ,..., йр) - у-интеграл р-го

» / Qjjj\ 2

порядка системы уравнений (1), если ( —г- ) ф 0 и DQ = 0

ti \дйР)

Определение 0.3. Х-интегралы аДаД... ,шк порядков sb S2,...,Sk соответственно, называются независимыми, если D^üj1, i = 1,2,..., к, j = 0,1, • • •, s — Si, s = maxj(sj) функционально независимы.

В статье Гурьевой А. М., Жибера А. В.5 показано, что максимальное число независимых ж—интегралов равно порядку п исходной системы.

Определение 0.4. Система уравнений (1) называется интегрируемой по Дарбу, если у нее существует полный набор независимых х— и у— интегралов.

В первом параграфе приводится критерий независимости интегралов системы уравнений (1). Доказано, что интегралы независимы тогда и только тогда, когда они независимы в главном.

Для того, чтобы сформулировать основной результат второго параграфа, определим х— и у—характеристические кольца системы уравнений (!)•

Обозначим через Э пространство локально аналитических функций, каждая из которых зависит от конечного числа переменных х, у, щ, и, щ, иг,......1 ик,____Оператор Б на функциях из Э действует по правилу

£> = у?2Х1 + Хп+1,

где

Хх = г = 1,2, ...,п,

X—характеристическое кольцо Ли уравнений (1) есть кольцо А, порожденное векторными полями Х2,..., Хп+1. Аналогично определяется у— характеристическое кольцо Ли А.

Классификация нелинейных гиперболических систем уравнений, интегрируемых по Дарбу, основана на следующем критерии.

Теорема 2.1. Система уравнений (1) интегрируема по Дарбу, если и только если, характеристические кольца Ли А и А конечномерны.

Кроме того, зная порядки интегралов системы уравнений (1), можно определить размерность ее характеристических колец.

Теорема 2.2. Пусть система уравнений (1) имеет полный набор независимых х—интегралов и'(х,у,и, щ,... г — 1,2, ...,п, тогда размерность ее х—характеристического кольца Ли А определяется следующим образом:

'Гурьева А. М., Жйбер А. В. О характеристическом уравнении квазилинейной гиперболической системы уравнений // Вестник УГАТУ. - 2005. - Т. 6. - № 2 (13). - С. 26 - 33.

a) если существуют р, q, г такие, -что F? • Щ ф 0, то

п

dim A^i + n + У^ Sj\ i=i

b) если F* = О, г = 1,2,..., n и существуют р, q: Ф О, то

п

dim Л = п+

i= 1

c) если F\x = О, г = 1,2,... ,п и существуетр: F? ф О, то

п

dim А = 1 + y^Sjj

¿=i

d) если F* = = О для любого г = 1,2,..., п, то

п

dim Л = у^ Sj.

г—1

Кроме этого, в случаях bud предполагается, что х-интегралы не зависят от переменной у.

В параграфе 3 главы 1 для системы уравнений вида

Uxy = F(x, у, и, их) (<у = F\ г = 1,2,..., п) (4)

приведено необходимое условие интегрируемости по Дарбу. А именно, доказано следующее утверждение.

Теорема 3.1. Пусть х~характеристическое кольцо Ли А системы уравнений (4) имеет размерность m < оо. Тогда правые части системы (4) удовлетворяют системе линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

dniFk ' ^ . &F*

щ<т-п, i = 1,2,..., 7i, к = 1,2,...,п.

Заметим, что из теоремы 3.1. следует, что если я-характеристическое кольцо системы уравнений (4) конечномерно, то правые части Fl,F2,...,Fn являются квазиполиномами переменных и1,и2,...,ип.

Для доказательства теоремы З.1., как и большинства последующих, используется следующее утверждение.

Лемма 3.1. Пусть и—решение системы уравнений (1) и векторные поля Z и Z имеют вид

СО П q

Z = <*! =aji(x,y,ü1,u,u1,u2,...,uki), iди1

00 TI Q

z = =(x> ui¡ üi> й2> • • ■,

¿=1 j=1 dui

Тогда соотношения

[D,Z\= O, [D,Z\=0

выполняются тогда и только тогда, когда Z = 0 и Z = 0 соответственно.

Вторая глава посвящена задаче классификации интегрируемых систем уравнений вида

игху = Р\и,их,иу), г = 1,2,...,ti, и = (и1,и2,...,ип).

В параграфе 4 показано, что двухкомпонентная система уравнений

Uxy = f (и, v), уху = ф(и,ь) (5)

с интегралом первого порядка приводится к вырожденной

иху = f{u,v), vxy — 0.

А для систем уравнений (5) с интегралами второго порядка справедливы следующие утверждения.

Лемма 4.1. Если система уравнений (5) имеет интегралы второго порядка ш(и, v, ui,ui,u2,u2), W(u,v,u i,vi,u2,v2), то их можно привести к виду:

UJ = U2 + CuU¡ + Ci2UiVi + C22Vi, W ~v 2 + dnu¡ + (I12U1V1 + d22vj, где сц, ci2, c22, d\\, d\2, d22 - произвольные постоянные.

Теорема 4.1. Система уравнений (5) с интегралами (6) сводится к одному из следующих видов:

иху = аце" + a12ev, vxy = a2ieu + a22é", (7)

либо

иху - (¿i + и + 52v)e1', vxy = е". 7

Из теоремы 2.1. следует, что если система уравнений

и1^ = F'(u,ux,uy), г" = 1,2,...,п, и = (и1, и2,..., ип)

интегрируема по Дарбу, то характеристические кольца линеаризованной системы

, A fdF1 , dF1 , dFi Л конечномерны.

В параграфе 5 рассматриваются экспоненциальные системы уравнений (7). При этом для решения задачи классификации используется подход, основанный на исследовании структуры характеристической алгебры линеаризации системы уравнений:

рху = апеир + aué°q, qxy = апеир + a22evq.

Получены все уравнения для которых размерность характеристической алгебры линеаризации не превышает 9. Показано, что правые части этих систем задаются матрицами Картана простой алгебры Ли, В параграфе 6 исследуются системы уравнений

uixv = Fi{u,uuûi)i г = 1,2,..., п, и — (и1,и2,..., ип) (8)

с полным набором х— и у—интегралов первого порядка

(Ди, wi), ш\и, щ), i = 1,2,..., п. (9)

Показано, что правая часть системы уравнений (8), (9) имеет следующий вид

Fi(u,u1,ûi) = г = 1,2,...,п. (10)

Согласно теореме 2.2., размерность х- и у-характеристических колец Ли системы уравнений (8), (9) равны 2п. Это условие позволяет получить следующее утверждение.

Теорема 6.1. Система уравнений (8), (10) обладает, максимальным числом х- и у—интегралов первого порядка, если и только если, выполнены соотношения

Я о

_рР___рР i pî рР _ р? рР _ п

du' kj ы к и *

д д ^^ _рр___рр г р? рр _ pî рр _ п

du* jk dui ik ik ii ik зя~и-

Соотношения (11) позволяют полностью описать двухкомпонентные системы уравнений (8)-(10).

Теорема 6.2. Любая система уравнений

КУ = { =1,2,

обладающая полным набором х- и у-интегралов первого порядка, с точностью до точечных преобразований сводится к следующей

и1у = и\у = а^и1)«^} + (12)

Интегралы системы (12) вычисляются по формулам

ш1 ~ е~и\\ и <52 = -а^й] + й\, их = -а^1)«} + и?, а;2 = — (/(и1) + «(и1)^^1)) и\ + Л^1)^,

где

А{и1) = I е-М^аи1.

В седьмом параграфе проведена классификация двухкомпонентных систем уравнений

ихУ = щ, щ), г=1,2,и = (и1,и2), (13)

обладающих тремя интегралами первого порядка и одним второго

^{щщ), ш2(и,иьи2), ы\и,щ), ш2{и,щ). (14)

Доказано, что система уравнений (13) обладает интегралами вида (14) тогда и только тогда, когда

и1у = и\у = ф1, й\, й?)и}, где функция f является решением следующего уравнения , -2^ _дг лР'Ы1) о „

При этом

с1 = = - - ^ +

ш ¿6

а у—интегралы си1 и ш2 определяются из уравнений в частных производных первого порядка

д _2 д _ д \ _ „ д _

В третьей главе рассматриваются нелинейные гиперболические системы уравнений (13) с интегралами вида

ш1{и,и{), ш2(и,и^щ), й1(и,й{), ш2(и,й1,й2). (15)

Показано, что система уравнений (13) с интегралами (15), удовлетворяющих условию

сводится к одному из следующих видов

и1у = А(и, щЩи, щ) + Ф^-(и)^, = й&к(и)А(и, щ) + и*фк(и)А(и, Й!) + Ф^.(и)и{й{,

(16)

либо

и.

^-Г^иНЩ, г ~ 1,2. (17)

Условия (16) означают, что интегралы и1 и ш1 точечной заменой и1 = </>(р, д), и2 = ф{р, ц) не приводятся к виду ш1 = Ш{р, д.рО, й1 = q,pl).

Отметим, что при преобразовании иг —> р^и1,«2), г — 1,2 система уравнений (17) не меняет вид, при этом функции р% можно выбрать так, что ]?21 = Г22 = 0. Кроме этого будем предполагать, что Г^ = Г^ = 0. Таким образом, мы рассматриваем систему уравнений:

</ = 1ц(и)и1й{, < = (18)

с полным набором интегралов (15).

Из теоремы 2.2. следует, что размерность характеристических колец А и А для системы уравнений (18) с интегралами (15) равна 5. Изучение структуры характеристических колец позволяет получить условия на правые части системы. А именно справедливо утверждение.

Теорема 9.1. Система уравнений (18) обладает набором х-интегралов (15) тогда и только тогда, когда справедливы соотношения

д2Г?п = дГ?п дЫ? ди1ди1 ди1 ди1 ' д2Т\2 дТ\2 81пГ

ди1ди2 ди1 ди2 ' —2-

Ж\2 дЧпР

где

ди1 ди^ди2'

2 (дЬР 2\_ 5 2\

42+ 27'

р(и1 и2) = _ а

Рассматривая у—характеристическое кольцо системы уравнений (18), получаем "симметричный" вариант теоремы 9.1.

Анализ полученных условий позволяет доказать, что система уравнений (18) с полным набором интегралов (15) приводится к одной из следующих:

х +[Х+ау)и Х"1. у +

X = и1 + и2 + с, У = ~ + и2 - с,

(19)

либо

1 и2 , , (

UXy = Г^ЩЩ + (j

< = + (2°) СИ + 1

Х = и1иг+й2, У — и1«2 + С2, -¿2 = (а + 1)с2,

а

где с - произвольная постоянная, сг, ¿2, а - ненулевые постоянные.

В параграфах 10 - 12 для систем уравнений (19), (20) приводится построение х— и у—интегралов, точных решений, а также решений задач Гурса с данными на характеристиках

и1{х0,у) = фг{у), и2{х0,у) = ф2{у), и\х,уй) = ф1(х), и2(х,у0) = ф2(х).

Так, например, система уравнений (19) при а — 1 имеет интегралы

1 = 2и2 - — + 2с Inz, Q1=2u1-^~ 2 с Inz,

z z

2 Zi . -2

U — *--- Z, ш — —

Z Z

Щ - Щ n - n-

■г = IT, 2 — "i7, = zi = ^^

с

где •

Iii _ __ щ X' Z~Y

при этом общее решение дается формулами

х А(х) + В(у) 1___В\у) .

U ^У) ~ (С(х) + £Ы)2 + ОД + D(y) D'(y)(C(x) + D{y)) + 2'

а, , Л(д) + Д(р) 1___А'(х) с

и[Х,У)~ (C(x) + D(y)¥ CmC(x) + D(y) C'(x)(C(x) + D(y)) 2'

а решение задачи Гурса представимо в виде

«W) + + _ с1пЖ + d(2/) _ 1)+

г(:х) + d{y) - 1 (i/>i{x) + c\nr(x))r(x)2 - ф^хц)r(x) + (r(x)+d(y)~ l)2

(<Ш-сШ{уМуУ-ф2ЫПу) {r{x) + d{y)-lf

(lpl(x) + clnr{x))r(x)2 - lpi(xü)r(x) (r(x) + d(y) - 1)2 +

(,Mv)-chid(yMy)2- <h{vo)d(v)

+

(r(x) + d(y)-l)

2

где

V Ухо C + lpl{x) +i>2{x)

>xa

Заключение содержит обзор полученных результатов. Благодарности. Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Анатолию Васильевичу Жиберу за всестороннюю поддержку, постоянное внимание и помощь в работе.

Публикации по теме диссертации в изданиях из перечня ВАК

1. Жибер A.B., Костригина О.С. Точно интегрируемые модели волновых процессов// Вестник УГАТУ. - 2007. - Т. 9. - №- 7 (25). - С. 83 - 89.

2. Костригина О.С. Двухкомпопентные гиперболические системы уравнений экспоненциального типа с конечномерной характеристической алгеброй Ли Ц Уфимский математический журнал. - 2009. - Т. 1. -№3 - С. 57 - 64.

3. Жибер А. В., Костригина О. С. Характеристические алгебры нелинейных гиперболических систем уравнений // Журнал Сибирского федерального университета. Математика и физика. - 2010. - Т. 3. -№ 2. - С. 173 - 184.

4. О. S. Kostrigina and А. V. Zhiber Darboux-integrable two-component nonlinear hyperbolic systems of equations // J. Math. Phys. 52, 033503 (2011); (32 pages).

5. Жибер A.B., Костригина О.С. Задача Гурса для нелинейных гиперболических систем уравнений с интегралами первого и второго порядка Ц Уфимский математический журнал. - 2011. - Том 3. - № 3. - С. 67 - 79.

Публикации в других изданиях

6. Жибер A.B., Костригина О.С. Нелинейные гиперболические системы уравнений с интегралами первого порядка // Труды участников международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. Труды участников. Ростов-на-Дону: РГУ. - 2006. - С. 228 -229.

7. Костригина О.С. О нелинейных гиперболических системах уравнений с конечномерной характеристической алгеброй Ли // Проблемы теоретической и прикладной математики. Труды 38-й Региональной молодежной конференции. Екатетеринбург: ИММ УрО РАН . - 2007. -С. 164 - 168.

8. Костригина О.С. Двухкомпонентные гиперболические системы уравнений лиувиллевского типа // Материалы Уфимской международной математической конференции, посвященной памяти А.Ф. Леонтьева. Уфа: ИМ с ВЦ УНЦ РАН. - 2007. - Т. 2. - С. 24 - 25.

9. Жибер A.B., Костригина O.G. Интегрируемые двумерные динамические системы и характеристические алгебры Ли // Труды ИМ УНЦ РАН. - 2007. - вып. 5. - С. 195 - 201.

10. Жибер A.B., Костригина О.С. О нелинейных гиперболических системах уравнений, интегрируемых по Дарбу // Российская конференция "Математика в современном мире", посвященная 50-летию Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН. Новосибирск: Институт Математики им. С.Л. Соболева СО РАН. - 2007.

(http://math.nsc.ru/conference/conf50/Abstracts.pdf).

11. Жибер A.B., Костригина О.С. Нелинейные гиперболические системы уравнений и характеристические алгебры Ли // Проблемы теоретической и прикладной математики. Труды 40-й Всероссийской молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН . - 2009. - С. 131 -135.

12. Жибер A.B., Костригина О.С. Характеристические алгебры Ли и нелинейные гиперболические системы уравнений // Международная конференция MOGRAN-13 "Симметрии и точные решения дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений". Тезисы докладов. Уфа: УГАТУ, ИМ с ВЦ УНЦ РАН, ИМ УНЦ РАН. - 2009. - С. 15.

13. Костригина O.G. Двухкомпонентные гиперболические системы уравнений с интегралами первого и второго порядка // "Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании". Тезисы докладов Международной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых. Уфа: РИЦ БашГУ. - 2009. - С. 18.

14. Костригина О.С. Двухкомпонентные гиперболические системы уравнений с интегралами первого и второго порядка. //Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых "Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании". Математика. Т. 1. Уфа: РИЦ БашГУ. - 2009. - С. 209 - 215.

15. Жибер A.B., Костригина О.С. Характеристические алгебры Ли и нелинейные гиперболические системы уравнений // Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования: тезисы докладов международной научной конференции. - Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А. - 2010. - С. 190 - 191.

16. Жибер A.B., Костригина О.С. Характеристические алгебры Ли и нелинейные гиперболические системы уравнений // Итоги науки. Юг России. Математический форум. "Исследования по математическому анализу, дифференциальным уравнениям и их приложениям."- Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А. - 2010. - Т. 4. - С. 240 - 251.

17. Жибер A.B., Костригина О.С. Характеристические алгебры Ли и классификация интегрируемых нелинейных гиперболических систем уравнений // VII Международная конференция "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике", посвященная 110-летию академика М.А. Лаврентьева. Тезисы докладов. Новосибирск: Институт гидродинамики им. М.А.Лаврентьева СО РАН. - 2010. - С. 28.

18. Жибер A.B., Костригина О.С. Нелинейные интегрируемые системы уравнений с интегралами первого и второго порядка // Актуальные проблемы прикладной математики и механики. Тезисы докладов Всероссийской школы-конференции молодых исследователей и V Всероссийской конференции, посвященной памяти академика А.Ф.Сидорова (Абрау - Дюрсо, 13-18 сентября 2010 г.) - 2010. С. 39 - 40.

19. Костригина О.С. Построение общего решения одной двухкомпонент-ной нелинейной гиперболической системы уравнений // Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании: Тезисы докла-

дов Международной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых. Уфа: РИЦ БашГУ. - 2010. - С. 4.

20. Костригина О.С. Построение общего решения одной двухкомпонент-ной нелинейной гиперболической системы уравнений // Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых "Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании". Математика. Т. 1. Уфа: РИЦ БашГУ. - 2010. - С. 66 - 75.

21. Жибер A.B., Костригина О.С. Точно интегрируемые модели волновых процессов II Всероссийская конференция "Нелинейные волны: теория и новые приложения", посвященная памяти чл.-корр. РАН В.М. Тешу-кова и приуроченная к 65-летию со дня его рождения. - Новосибирск. -2011.-С. 31.

22. Жибер A.B., Костригина О.С. Задача Гурса для нелинейных гиперболических систем уравнений с интегралами первого и второго порядка II VI Уфимская международная конференция "Комплексный анализ и дифференциальные уравнения" посвященная 70-летию чл.корр.РАН В.В. Напалкова. Сборник тезисов. Уфа: ИМВЦ. - 2011. - С. 63 - 64.

КОСТРИГИНА Ольга Сергеевна

НЕЛИНЕЙНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ, ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ПО ДАРБУ

01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано к печати 15.11.2011. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать плоская. Гарнитура Тайме. Усл. печ. л. 1.0. Уч.-изд.л. 1.0. Тираж 100 экз. Заказ № 369. ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический

университет Центр оперативной полиграфии 450000, Уфа-центр, ул. К.Маркса, 12.

Введение

Глава 1. Критерий интегрируемости по Дарбу

§1. X— и у—интегралы нелинейных гиперболических систем уравнений.

§2. Условие конечномерности характеристического кольца Ли

§3. Необходимое условие интегрируемости по Дарбу

Глава 2. Классификация систем уравнений с конечномерными кольцами Ли

§4. Система уравнений иху = /(и, г>), уху = ф(и,у)

§5. Линеаризации гиперболических систем уравнений с экспоненциальной правой частью.

§6. ЛГ—компонентные системы уравнений с интегралами первого порядка.

§7. Двухкомпонентные системы уравнений с тремя интегралами первого порядка и одним второго.

Глава 3. Двухкомпонентные системы уравнений с двумя интегралами первого порядка и двумя второго

§8. Условия существования интегралов.

§9. Классификация систем уравнений.

§10. X— и у—интегралы.

§11. Построение точных решений.

§12. Задача Гурса.

Работа посвящена исследованию проблемы интегрируемости нелинейных гиперболических систем уравнений вида иху = У,и,их,иу), Ъ = 1, 2,., п, и = (и1, и2,., ип). (0.1)

Последние описывают широкий класс нелинейных явлений в самых различных областях теоретической и математической физики.

Изучаемые системы (0.1) обладают нетривиальной группой внутренних симметрий, генерируемой алгеброй Ли - Беклунда, что позволяет для их классификации использовать "симметрийный" подход (см. [2, б, 29, 30, 31, 41, 42]). Симметрийный метод классификации очень эффективен в случае эволюционных уравнений. Однако, как показано в работах [7, 28], при симметрийной классификации гиперболических уравнений возникают серьезные технические трудности даже в простейшей ситуации. Поэтому для эффективного исследования интегрируемости гиперболических систем уравнений необходимо применять иные подходы. Один из таких подходов, обсуждаемый в статьях [1, 25, 27, 43, 46, 47], связан с инвариантами Лапласа.

В данной работе для решения классификационной задачи используется метод, основанный на изучении структуры характеристических алгебр (колец) системы. Идеи этого алгебраического подхода были предложены в классических работах Дарбу, Гурса, Вессио и других авторов (см., например, [48, 49, 50, 56]), однако окончательное его формирование произошло сравнительно недавно (см. [23, 24, 39, 44, 52, 53, 54, 55]).

Важный вклад в развитие этого метода внесла работа Шабата А.Б., Ямилова Р.И. [44], в которой исследовалась система гиперболических уравнений вида ааеи1 + . + аыеиП, г = 1, 2,., п. (0.2)

В этой работе было введено понятие характеристической алгебры Ли векторных полей и было показано, что характеристическая алгебра системы уравнений (0.2) конечномерна тогда и только тогда, когда коэффициенты a,ij определяют матрицу Картана простой алгебры Ли. Далее, в статье Лез-нова А.Н., Смирнова В.Г., Шабата A.B. [39] для систем гиперболических уравнений более общего вида г =1,2,.,п была выдвинута гипотеза о том, что условием интегрируемости в квадратурах является конечномерность ее характеристической алгебры.

Отметим также работу [23], в которой показано, что гиперболические уравнения вида

4 = c)kujvk + фЛ Уу = dk-iujvl + d)u\ г = 1, 2,. ,7г, к = 1, 2,. ,п обладают не одной, а двумя характеристическими алгебрами и эти алгебры естественным образом „склеиваются" в единую алгебру на основе так называемых соотношений нулевой кривизны.

В последнее время понятие характеристической алгебры (кольца) было обобщено на дифференциально-разностные и полностью дискретные уравнения и на этой основе проведена классификация некоторых классов интегрируемых цепочек (см. [52]-[55]).

Определение 0.1. Кольцо Ли есть множество Ь с операциями сложения и умножения, удовлетворяющими условиям: а + Ь = Ъ + а, а + (6 + с) = (а + Ь) + с, а(Ь + с) = аЬ + ас, (Ь + с)а = Ьс + са, аа = 0, (аЪ)с + (6с) а + (са)Ъ = 0.

Существует элемент 0, для которого а + 0 — 0 + а = а для всех а. Существует для любого элемента а противоположный элемент —а со свойством а + (—а) = 0.

Если Ь является векторным пространством над полем К и

7а)Ъ — а^Ь) = 7(аЬ) для а, 6 е Ь, 7 Е К, то Ь называется алгеброй Ли над К.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Все теоремы, леммы и формулы занумерованы двумя цифрами, первая из которых означает номер параграфа, а вторая - номер по порядку.

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

• Доказан критерий независимости а; (у)—интегралов нелинейной гиперболической системы уравнений. Приведены необходимые и достаточные условия интегрируемости по Дарбу, установлена связь между порядками интегралов системы и размерностью характеристических колец Ли.

• Для решения задачи классификации двухкомпонентных гиперболических систем уравнений с экспоненциальной правой частью предложен подход, основанный на изучении структуры характеристических алгебр Ли линеаризованной системы.

• Для п—компонетной системы уравнений приведены необходимые и достаточные условия существования полного набора интегралов первого порядка. Получен полный список интегрируемых двухкомпонентных систем уравнений, построены их х— и у—интегралы.

• Проведена полная классификация систем уравнений с тремя интегралами первого порядка и одним второго. Приведены явные формулы для х— и у—интегралов этих систем.

• Получен класс нелинейных гиперболических систем уравнений, обладающих двумя интегралами первого порядка и двумя второго. Для найденных систем уравнений построены х— и у— интегралы, общие решения, а также решения задач Гурса.

Заключение

1.Э., Старцев С.Я. О дискретных аналогах уравнения Лиувил-ля // Теоретическая и математическая физика. - 1999. - Т. 121. - № 2.- С. 271 284.

2. Адлер В.Э., Шабат A.B., Ямилов Р.И. Симметрийный подход к проблеме интегрируемости // Теоретическая и математическая физика.- 2000. Т. 125. - № 3. - С. 355 - 424.

3. Воронова Ю. Г. О задаче Коши для линейных гиперболических си-\ стем уравнений с нулевыми обобщенными инвариантами Лапласа

4. Уфимский математический журнал. 2010. - Т. 2. - № 2. - С. 20- 26.

5. Гурьева А. М., Жибер А. В. О характеристическом уравнении ква-4 зилинейной гиперболической системы уравнений // Вестник УГАТУ.- 2005. Т. 6. - № 2 (13). - С. 26 - 33.

6. Жегалов В. И., Миронова J1. Б. Об одной системе уравнений с дву. кратными старшими частными производными // Изв. вузов. Матем. 2007. - Т. 3. - С. 12 - 21.

7. Жибер А. В. Квазилинейные гиперболические уравнения с бесконечной алгеброй симметрий // Известия РАН. Сер. матем. 1994.1. Т. 58. № 4. - С. 33 - 54.

8. Жибер A.B. О полной интегрируемости двумерных динамических систем // Проблемы механики и управления: Сб. статей УНЦ РАН, Уфа. 1994. - 192 с.

9. Жибер A.B., Костригина О.С. Нелинейные гиперболические системы уравнений с интегралами первого порядка // Труды участников международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. Ростов-на-Дону: РГУ. 2006. - С. 228 - 229.i

10. Жибер A.B., Костригина О.С. Интегрируемые двумерные динамические системы и характеристические алгебры Ли // Труды ИМ УНЦ РАН. 2007. - вып. 5. - С. 195 - 201.

11. Жибер A.B., Костригина О.С. О нелинейных гиперболических системах уравнений, интегрируемых по Дарбу // Российская конференция "Математика в современном мире", посвященная 50-летию Института математики им. C.JI. Соболева СО РАН. Новосибирск: Институт

12. Математики им. СЛ. Соболева СО РАН. 2007. (http: / / math.nsc.ru / conference/conf50/Abstracts.pdf).

13. Жибер A.B., Костригина О.С. Точно интегрируемые модели волновых процессов // Вестник УГАТУ. 2007. - Т. 9. - № 7 (25). - С. 83 -89.

14. Жибер A.B., Костригина О.С. Нелинейные гиперболические системы уравнений и характеристические алгебры Ли!/ Труды 40-й Всероссийской молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН . 2009. - С. 131 - 135.

15. Жибер A.B., Костригина О.С. Характеристические алгебры Ли и нелинейные гиперболические системы уравнений // Международная

16. J конференция MOGRAN-13 "Симметрии и точные решения дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений". Тезисы докладов. Уфа: УГАТУ, ИМ с ВЦ УНЦ РАН, ИМ УНЦ РАН. 2009. -С. 15.

17. Жибер А. В., Костригина О. С. Характеристические алгебры нелинейных гиперболических систем уравнений // Журнал Сибирского федерального университета. Математика и физика. 2010.- Т. 3. -№ 2. - С. 173 - 184.

18. Жибер A.B., Костригина О.С. Задача Гурса для нелинейных гиперболических систем уравнений с интегралами первого и второго порядка // Уфимский математический журнал. 2011 - Том 3. - № 3. - С. 67 - 79.

19. Жибер A.B., Михайлова Ю.Г. О задаче Гурса для гиперболической системы уравнений с нулевыми обобщенными инвариантами Лапласа // Вестник УГАТУ. 2007. - Т. 9. - № 3 (21). - С. 136 - 144.

20. Жибер A.B., Мукминов Ф.Х. Квадратичные системы, симметрии, характеристические и полные алгебры // Задачи математической физики и ассимптотика их решений.—Уфа: БНЦ УрО АН СССР. 1991.- С. 14 32.

21. Жибер A.B., Муртазина Р.Д. Характеристические алгебры Ли для уравнения иху = f(u,ux) //ФПМ. Гамильтоновы и лагранжевы системы. Алгебры Ли. 2006. - Т. 12. - № 7. - С. 65 - 78.

22. Жибер A.B., Соколов В.В. Преобразования Лапласа в классификации интегрируемых квазилинейных уравнений // Проблемы механики и управления. Уфа: Уфимский научный центр РАН. - 1995. -№ 2.-С. 51 - 65.

23. Жибер A.B., Соколов В.В. Точно интегрируемые гиперболические уравнения лиувиллевского типа // Успехи мат. наук. 2001. - Т. 56.1. С. 63 - 106.

24. Жибер A.B., Соколов В.В., Старцев С.Я. О нелинейных гиперболических уравнениях, интегрируемых по Дарбу // Доклады РАН. 1995.- Т. 343. № 6. - С. 746 - 748.

25. ЗОГ Звягин М.Ю. Уравнения второго порядка, приводимые преобразованием Беклунда к гху = 0 // Доклады АН СССР. 1991. - 316(1). -С. 36 - 40.

26. Ибрагимов Н.Х., Шабат А.Б. Эволюционные уравнения с нетривиальной группой Ли-Беклунда // Функциональный анализ и его приложения. 1980. - Т. 14. - С. 25 - 36.

27. Костригина О.С. Двухкомпонентные гиперболические системы уравнений лиувиллевского типа // Материалы Уфимской международной математической конференции, посвященной памяти А.Ф. Леонтьева. Уфа: ИМ с ВЦ УНЦ РАН. 2007. - Т. 2. - С. 24 - 25.

28. Костригина О.С. Двухкомпонентные гиперболические системы уравнений экспоненциального типа с конечномерной характеристической алгеброй Ли 11 Уфимский математический журнал. 2009. -Т. 1. - №3 - С. 57 - 64.

29. Лезнов А. Н., Смирнов В. Г., Шабат А. Б. Группа внутренних сим-метрий и условия интегрируемости двумерных динамических систем // Теоретическая и математическая физика. 1982. - Т. 51. -№ 1. - С. 10 - 21.

30. Лезнов А. Н., Шабат А. Б. Условия обрыва рядов теории возмуш>ений

31. Интегрируемые системы. БФАН СССР. 1982. - С. 34 - 44.

32. Михайлов A.B., Шабат A.B., Соколов В.В. Симметрийный подход к классификации интегрируемых уравнений // Интегрируемость и-кинетические уравнения для солитонов. Киев: Наукова думка. -1990. - С. 213 - 279.

33. Михайлов А.В., Шабат А.Б., Ямилов Р.И. Симметричный подход к классификации нелинейных уравнений. Полные списки интегрируемых систем // Успехи математических наук. 1987. - Т. 42. - № 4. - С. 3 - 53.

34. Старцев С.Я. О гиперболических уравнениях, допускающих дифференциальные подстановки // Теоретическая и математическая фи1 зика. 2001. - Т. 127. - № 1. - С. 63 - 74.

35. Anderson I.M., Juras M. Generalized Laplace invariants and the method J of Darboux // Duke Math. J. 1997. - V. 89. - № 2. - P. 351 - 375.

36. Anderson I.M., Kamran N. The variational bicomplex for second order scalar partial differential équations in the plane // Duke Math. J. 1997. -V. 87. - №2. -P. 265 - 319.

37. Darboux G. Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal. Paris: Gauthier-Villars. - 1896. -V. 1 - 4.

38. Goursat E. Leçons sur l'intégration des équations aux dérivées partielles du second order a deux variables indépendantes. Paris: Herman. - 1896, 1898. - Tome I, II.

39. Goursat E. Recherches sur quelques équations aux dérivées partielles du second ordre, Annales de la faculté des Sciences de l'Université de Toulouse 2e série, tome 1, n° 1 (1899) p.31-78.

40. O. S. Kostrigina and A. V. Zhiber Darboux-integrable two-component nonlinear hyperbolic systems of equations //J. Math. Phys. 52, 033503 (2011); doi:10.1063/1.3559134 (32 pages).

41. Habibullin I. Characteristic algebras of fully discrete hypersjlic tyoeequations // Symetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications, no 1, paper 023, 9 pages, (2005) //arxiv:SI/0506027

42. Habibullin I., Zheltukhina N. and Pekcan A. On the classification of -Darboux integrable chains // J. Math. Phys. 49 (2008) 102702.

43. Habibullin I., Zheltukhina N. and Pekcan A. Complete list of Darboux integrable chains of the form t\x = tx -fd(Mi) // J. Math. Phys. 50 (2009) 102710.

44. Habibullin I., Zheltukhina N. and Sakieva A. On Darboux-integrable semi-discrete chains //J. Phys. A: Math. Theor. 43 (2010) 434017.

45. Vessiot E. Sur les equations aux derivees partialles du second order, F(x, y,p, q, r, s, t) = 0, inteqrables par la methode de Darboux //J. Math. Pure Appl. 1939; 1942 - V. 18; 21. - № 9. - P. 1 - 61; 1 - 68.