Метод каскадного интегрирования Лапласа и нелинейные гиперболические системы уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

\

ГУРЬЕВА АДЕЛЬ МИНИВАСИМОВНА

МЕТОД КАСКАДНОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ ЛАПЛАСА И НЕЛИНЕЙНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Уфа -2005

Работа выполнена на кафедре математики естественно - научного факультета Уфимского государственного авиационного технического университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Жибер Анатолий Васильевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Соколов Владимир Вячеславович

доктор физико-математических наук, профессор Хабибуллин Исмагил Талгатович

Ведущая организация: Институт механики УНЦ РАН

Защита состоится« 20 » января 2006 г. в 15 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д. 002. 057. 01 при Институте математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН по адресу: 450077, Уфа, ул. Чернышевского, 112.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики с ВЦ УНЦ РАН.

Автореферат разослан «-/€? » ^/б/Ы^^РоУ 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук, доцент

С.В. Попёнов

ZotM ï 2. G2>\ 7P

ZilJO

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Различные математические модели во многих случаях приводят к дифференциальным уравнениям гиперболического типа. Поиск точных решений гиперболических уравнений второго порядка -задача сложная Взяв наугад какое-нибудь даже линейное дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка, трудно сказать имеет ли это уравнение хотя бы одно решение. Потому что гиперболические уравнения имеют точные решения только в редких случаях.

Поэтому для теории уравнений с частными производными естественным является введение понятия интегрируемости уравнений.

По-видимому, Ж. Дарбу был первым, кто дал определение точно интегрируемых гиперболических уравнений.1 Их еще называют уравнениями, интегрируемыми по Дарбу.

Наряду с Ж. Дарбу первые примеры нелинейных интегрируемых уравнений были также построены и в работах Л. Бианки, Ж. Лиувилля, А. Беклунда. Потом эти работы были ненадолго забыты. И лишь в конце XX века исследования в этом направлении были возобновлены в связи с многочисленными приложениями гиперболических уравнений к физическим задачам и образовали один из разделов теории интегрируемых нелинейных уравнений в частных производных. Огромное количество публикаций, посвященных гиперболическим интегрируемым уравнениям, указывает на важность данных исследований. При этом само понятие интегрируемости математиками понимается по-разному.

На сегодняшний день существуют различные трактовки понятия интегрируемости уравнения. В частности, в некоторых работах в понятие интегрируемости уравнения вкладывается наличие у него бесконечного набора высших симметрий или полного набора интегралов. С точки зрения таких определений интегрируемости, возможно, провести классификацию некоторого класса уравнений, то есть решить одну из основных задач теории интегрируемых нелинейных уравнений. Эти подходы позволили произвести полную или частичную классификацию интегрируемых уравнений как эволюционного, так и гиперболического типов.

'Darboux G. Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitesimal. - Paris- Gauthier-Villars - 1896. - V. 1 - 4.

Goursat E Leçons sur l'intégration des équations aux dérivées partielles du second order â deux variables indépendantes. - Paris: Herman. - 1896,1898. - Tome I, E.

V V Sokolov, A V Zhiber On the Darboux mtegrable hyperbolic equations // Phys. Lett A. - 1995 -V. 208 - P. 303 - 308.

Vessiot E. Sur les equations aux derivees partialles du second order, F(x,y,p,q,r,s,t) = 0, mteqrables par la methode de Darboux // J Math Pure Appl - 1939 - V. 18 - № 9f

- F '1-01---

РОС. НАЦИОНАЛА' I БИБЛИОТЕКА {

¿гт^М

Однако при классификации гиперболических систем уравнений, с применением этих критериев, даже в простейшей ситуации возникают серьезные технические трудности. Поэтому является актуальным применение альтернативных методов для исследования интегрируемости гиперболических систем. Одним из таких подходов, основанный на изучение характеристических алгебр гиперболических уравнений и систем уравнений, был предложен в работах2 и успешно применяется при исследовании интегрируемости специальных классов гиперболических уравнений и систем уравнений. Другим перспективным методом исследования интегрируемости уравнений является подход, опирающийся на применении классического метода каскадного интегрирования Лапласа к линеаризованному уравнению, представленный в статьях В.Э. Адлера, A.B. Жибера,

B.В. Соколова, С.Я. Старцева, Е.В. Ферапонтова, С.П. Царева, J.M. Anderson, N. Kamran и др. В работах A.B. Жибера, В.В. Соколова, С.Я. Старцева в качестве определения класса точно интегрируемых гиперболических уравнений лиувиллевского типа было выбрано свойство конечности цепочки инвариантов Лапласа для его линеаризованного уравнения. В этом смысле понятие интегрируемости оказалось удачным и позволило провести полную классификацию скалярных гиперболических уравнений лиувиллевского типа.3 Поэтому задача распространения этого подхода на случай систем гиперболических уравнений является важной для настоящего момента. В работе3 для нелинейных гиперболических систем уравнений были предложены определения и инвариантов Лапласа, и систем лиувиллевского типа. Ряд примеров уравнений лиувиллевского типа можно найти, например, в статьях Д.К. Демского, A.B. Жибера, М.Ю. Звягина, Н.Х. Ибрагимова, А.Н. Лезнова, А.Г. Мешкова, В.Г. Смирнова, В.В. Соколова, С.Я. Старцева, A.B. Шабата, Р.И. Ямилова и других.

Цель и задачи исследования. Работа посвящена исследованию интегралов нелинейных гиперболических систем уравнений, а также развитию нового подхода к решению задач классификации интегрируемых дифференциальных систем уравнений, основанного на обрыве цепочки ббобщенных инвариантов Лапласа, и построения общих решений интегрируемых систем уравнений.

2Лезнов А.Н., Смирнов В.Г., Шабат А.Б Группа внутренних симметрии и условия интегрируемости двумерных динамических систем // Теоретическая и математическая физика - 1982. - Т. 51. -

C. 10 - 22.

Шабат A.B., Ямилов РИ Экспоненциальные системы типа I и матрицы Картано // Предпринт БФАН СССР, Уфа. - 1981. - 23 с

3Жибер A.B., Соколов В В. Точно интегрируемые гиперболические уравнения лиувиллевского типа // Успехи математических наук. - 2001. - Т. 56, вып. 1(337). - С- 63 - 106.

Основные методы исследования. Полученные автором результаты базируются на применении классических методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, теории интегрируемых нелинейных дифференциальных уравнений, а также был использован математический пакет Maple 5 Release 4.

Научная новизна. Инварианты, преобразования Лапласа и основанный на них метод каскадного интегрирования Лапласа для скалярных гиперболических уравнений известны более, чем двести лет, а аналоги инвариантов Лапласа и каскадного метода Лапласа для систем гиперболических уравнений начали изучаться совсем недавно в работах А.В. Жибера, В.В. Соколова, С.Я. Старцева и других. Как говорилось раннее, А.В. Жибером и В.В. Соколовым было введено новое понятие интегрируемости систем уравнений, основанного на обрыве цепочки обобщенных инвариантов Лапласа. С применением этого критерия интегрируемости в диссертации была проведена классификация некоторого класса нелинейных гиперболических систем уравнений второго порядка, в результате которой был получен список систем уравнений, в котором содержатся и новые системы уравнений. Для некоторых систем уравнений из списка построены общие решения с использованием интегралов.

Наряду с введенным понятием интегрируемости существует и классическое определение, основанное на наличии полного набора интегралов. Известно, что для скалярного гиперболического уравнения базис состоит из одного интеграла В диссертации это результат обобщается на случай нелинейных гиперболических систем уравнений.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Методики исследований диссертации могут быть использованы при решении задач классификации и построения общих решений интегрируемых систем дифференциальных уравнений.

Апробация работы. Основные результаты, представленные в диссертационной работе, докладывались и обсуждались: / на международной конференции «Математические модели и методы их исследования» (Красноярск, 2001 г.);

S на международной конференции «Solitons, collapses and turbulence» (Черноголовка, 2002 г.);

/ на научном семинаре института математики с ВЦ УНЦ РАН под руководством профессоров Л.А. Калякина и В.Ю. Новокшенова (Уфа, 2003 г., 2005 г.);

на региональной школе-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике (Уфа, 2003 г., 2004 г.);

/ на научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений Башкирского государственного университета под руководством профессоров

A.B. Жибера и И.Т. Хабибуллина (Уфа, 2004г., 2005 г.);

У на научном семинаре кафедры математики Уфимского государственного авиационного технического университета под руководством профессора

B.А. Байкова (Уфа, 2005 г.).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 11 работ, список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и двух приложений. Все теоремы, леммы, замечания и формулы занумерованы двумя цифрами, первая из которых означает номер параграфа, а вторая - номер по порядку Полный объем диссертации - 172 страницы. Библиография содержит 48 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение подразделяется на три параграфа. В первом параграфе приведен краткий обзор литературы по теме диссертации, дана общая характеристика работы и сформулированы основные результаты. Второй параграф носит реферативный характер и включен для полноты изложения материала. В нем излагается классический метод точного интегрирования линейных гиперболических уравнений второго порядка (каскадный метод Лапласа),4 а также приводятся основные результаты из работы,3 касающихся систем дифференциальных уравнений.

Далее приведем основные результаты из последней работы. Линеаризованная система уравнений для системы

и1ху - i = l,2,...,p, (1)

и = (и1, и2,..ир) имеет вид

(.DD + aD + bD + c)v = 0, (2)

где D и D - операторы полного дифференцирования по г и у соответственно,

. / дР\ . (dF'\ (дР\

а а, о и с - матрицы: а = — | —- , о = - —- , с — — 1 —— .

WJ \di4J' \ди>;

Обобщение понятия инвариантов на матричный случай состоит в следующем. Главные инварианты Лапласа определяются формулами

Н\ = D(a) + ba — с и Кх = D{b) + ab - с. (3)

4Трикоии Ф Лекции по уравнениям в части»« производных. - М.' Ил - 1957. - 443 с.

Далее пусть матрицы Н\, Щ, ■ ■ -, Нт известны и уравнение

Н(Хт) + атХт - Хта = 0, Хт = Нт • #т-1 • ■ • Яь (4)

имеет решение От, тогда положим

Нт+1 = В{ат) + [Ь,ат]-ЩЬ) + Нт> т = 1,2,..., (5)

аналогично, если уже найдены элементы Ки - - -, Кт и существует решение Ьт уравнения

0{Ут) + ЬтУт - УтЬ = 0, ¥п = Кт-Кт^-Кг, (6)

то Кт+1 определим по формуле

Кт+1=Т}(Ьт) + [а,Ьт]-В(а) + Кт, то = 1,2... . (7)

Матрицы Нт и Кт, определенные формулами (3), (4) - (7), по аналогии со скалярным случаем будем называть инвариантами Лапласа, а Хт и Ут, т — 1,2,...- обобщенными инвариантами Лапласа линеаризованной системы уравнений (2).

Условия существования решений Ощ и Ът систем уравнений (4) и (6) приводятся в следующем предложении:

Лемма 2.1. Система уравнений (4) имеет решение, если и только если выполнено условие

(5 +а) (КегХт) С КегХт, (8)

а система (6) - при условии

(£> + Ъ) (КегУт) С КегУт. (9)

Условия корректного определения последовательностей {X,} и {К} даются в предложении:

Теорема 2.1. Пусть справедливы условия

(И - ЬТ) (СокегХ,) С СокегХг, г = 1,2,..., тп, , ^

СокегХх С СокегХ2 С • • ■ С СокегХт.

Тогда обобщенный инвариант Хт^\ не зависит от выбора матриц а\, а2,... ,ат. Если

(О ~ аТ) (СокегУх) С СокегУ{, г = 1,2,...,ш, СокегУг с СокегУ2 С • • • С СокегУт, [

то обобщенный инвариант Ут+х не зависит от выбора матриц

61,62,- ••,6т-

Определение 2.1. Назовем систему уравнений (1) системой лиувиллевского типа, если выполнены условия (8) - (11) и существуют г > 1 и в > 1 такие, что ХГ = Уа = 0.

Первая глава диссертации посвящена интегралам нелинейных гиперболических систем уравнений. Введем следующие обозначения

и\ = и\ = и1хх, и\ = и"я, ... , й\ - и'у, Ц, = и'уу, й*3 = .... (12)

Тогда нелинейную гиперболическую систему уравнений (1) с двумя независимыми переменными будем записывать в виде

ЦОиг = ЕЧх,у,и,щ,Щ), г — 1,2,..., р,

где £> и Г> - операторы полного дифференцирования по х и у соответственно. Обозначим через пространство локально аналитических функций, каждая их которых зависит от конечного числа переменных х, у, и и (12). Уравнения

= о и = и^еЗ; (13)

называются характеристическими уравнениями системы (1)

Нетрудно показать, что решения уравнений (13) имеют следующую

структуру: _ _

= \\г(х,у,и,и1,и2,...,и„-1,ип) и W = \¥(х,у,и,щ,Щ,...,йт-1,ит). В параграфе 3 исследуются характеристические уравнения (13) для систем уравнений (1) лиувиллевского типа.

Р íдW\2

Определение 3.1. Решение IV = МУ(х,у,и,и\,и2,... ,ип), £ ( -х~г- ) ф 0

характеристического уравнения (13) называется х- интегралом системы уравнений (1), а число п— его порядком. Аналогично определяется у- интеграл.

Как говорилось раннее, понятие интегрируемости понимается по-разному. В этой главе было принято следующее определение:

Определение 3.2. Система уравнений (1) называется системой лиувиллевского типа, если существуют х- и у- интегралы

к — 1,2,... ,р порядка гит соответственно такие, что

«

Пусть система уравнений (1) является системой лиувиллевского типа. Тогда ясно, что она имеет набор х- интегралов ги\ г = 1,2,...,р минимальных порядков щ < П2 < • • • < пр. Последнее означает, что

1. Оги(х, у, и, т, щ, ■ ■ ., щ) = 0, к < щ тогда и только тогда, когда ъи = ш(х);

2 Ою(х,у,и,щ,и2,...,щ) = 0, к € [тг^щ), I Е [2,р] тогда и только тогда, когда ш - функция переменных х, го1, Оги1,..., Ок~п,т1, го2, Оии2,£>*-п'И)2,..., ы1'1, Виз1'1, Х?2«/'"1,...,

Основным результатом параграфа 8 является доказательство наличия у уравнений лиувиллевского типа полного базиса интегралов. Теорема 3.1. Если система уравнений (1) имеет р х- интегралов и>г, г — 1,2,... ,р минимальных порядков П\ < пг < ... < пр , независимых в главном, тогда любой другой х- интеграл есть функция переменных

х, «/\ ю2,..., у?, Ли}1, £>ги2,..., Вы", ¿»V, Г>2и>2,..., Р2«;",....

1

Отметим, что теорема 3.1. является обобщением соответствующего утверждения для скалярного уравнения типа (1) (р = 1). 5

Для скалярного уравнения типа (1) (р = 1) базис х- интегралов состоит из одного элемента и)(х, у, и, щ, щ,..., ип), при этом в случае п > 2 х- интеграл ю можно выбрать линейным по старшей переменной ип.

Результатом четвертого параграфа первой главы является следующее утверждение.

Теорема 4.1. Пусть система уравнений (1) лиувиллевского типа имеет базис х- интегралов и/1, го2,..., изр порядка п. Тогда при п > 2 элементы базиса можно выбрать линейными по старшим переменным:

V

V/1 ~ ^а1к{х,у,и,и1,... + Р'(х,у,и,иь... ,ип х),

к= 1

г = 1,2 ,...,р.

Вторая глава диссертации посвящена экспоненциальным системам уравнений

п

ищ/ = Л ву «Ф^)» г = 1,2,..., п (14)

с матрицами Картана Ап, В„, Сп, Т>п, £е — £& простых алгебр Ли.

Известно, что эти системы уравнений обладают х- и у- интегралами.2 Отметим, что В.В. Соколовым была высказана гипотеза- индексы к, при которых происходит падение ранга обобщенных инвариантов Лапласа Хк,

5Жибер А В Квазилинейные гиперболические уравнения с бесконечной алгеброй симметрий // Изв РАН Сер матем - 1994. - Т 58 ЛМ С 33-54

совпадают с показателями соответствующей простой алгебры Ли, а номер к, для которого АТ/, = 0, равен числу Кокстера.6

Это предположение было проверено для экспоненциальных систем уравнений (14) с матрицами Картана. Эти экспоненциальные системы уравнений являются системами лиувиллевского типа (см. определение 2.1), а именно- доказано, что существуют инварианты и обобщенные инварианты Лапласа; получены явные формулы для инвариантов и обобщенных инвариантов Лапласа; показано, что происходит обрыв цепочки обобщенных инвариантов Лапласа.

В параграфе 5 приведены утверждения, касающиеся экспоненциальных систем уравнений (14) с матрицами Картана Ап и С„.

В параграфах 6, 7 главы 2 исследуются системы уравнений с матрицами Картана Вп и £>„.

Систему уравнений (14) с матрицей Картана Вп, переименованием неизвестных функций и' —► ип~,+1, i = 1,2, ...,п, удобно записать в матричной форме

ЦПи = Вис, В = ЬВпЬ, (15)

линеаризация которой имеет вид

= ь = (ь1У,...,1Г)т. (16)

Ь = — матрица, у которой /1>п_!+1 = 1, % = 1,2,... ,п, а остальные

элементы нулевые, с = (1,1,..., 1)г, V — сКа^ехр^1), ехр(и2),..., ехр(«")).

Для определения инвариантов Лапласа уравнений (16) введем следующие матрицы: диагональные матрицы 5т, тп = 1,2,..., 2п задаются так: 5х-с11ае{1 1,1,...д}. С/,

Зт — {0,0,..., 0, ехр > ехР , ■ ■ -, ехР (С)}-

т = 2,3,..., 2п — 1, = 0, где элементы в^1 вычисляются по формулам

т-] ]

£ и1 + 1п4

»=1 «=т-7+1

ПРИ = + 1, [2] + 2, ... ,771 - 2,771 - 1, ТО = 3,4,...,71 И

при > = ] + 1, [и] + 2,..., п, ТП = 71 + 1,71 + 2,..., 2п - 1,

т

А£ = ХУ + 1п2, т = 2,3,... ,71, з

9™ = £ ; =то+1,т + 2,...,п, т = 2,3,...,п;

"Бурбаки Н Группы и алгебры Ли - М Мир - 1972 - 334 с.

я™ = <Ьщ {о, 0,..., О, И (0[|]+1) , Б (0|]+2) ,...,£> (0™)} .

т = 2,3,..., 2п - 1, Д1 , Я2п = 0;

ненулевые элементы матриц 2т = {г™) , тп = 2,3,.. -, 2п — 1 определяются по формулам:

где / = п, если т>п+2и/ = т- 2в случае т < п + 2,

*£-1,т-1 = 2ехр(и1), т = 3,4,..., п + 1, 2™т = 2ехр(«1), т = 2,3,...,п,

г" = ехр(и1_т+1), ¿ = т + 1,т + 2,...,п, т = 2,3,..., п - 1,

2г+1,г = ~ ехр(и,+1), г" = 2,3,..., п - 1, г\х = -2 ехр(и2), = - ехр(и*+1), I = [а] + гт, [|] + тп + 1,..., п - 1,

т = 2,3,..., 2п — 2, где гт = 0, если т ~ четное и гт = 1, если тп - нечетное, 2\ = и, ~ 0;

Зк - верхняя треугольная матрица порядка к, все элементы которой на главной диагонали и выше ее равны единице; ~ единичная матрица порядка М* и N¡1 блочные матрицы порядка п :

первые [~] столбцов матриц Вт, тп ~ 2,3,..., 2п — 1 состоят из произвольных элементов, а остальные столбцы нулевые; В\ = 0;

матрица Зп отличается от Зп лишь элементом стоящим на пересечении первой строки и первого столбца, который равен 2; матрица Ьк, к = 2,3,...,п, содержит лишь один ненулевой элемент 1%к_2 = — ехр(и*), к = 2,3,....п, 1л = 0; Р2к = Еп, Р2М = к = 1,2,...,п - 1,

£>2А = о, Л = 1,2,...,п, В2к-Х = Ьк, к = 2,3,. ,,п.

Основным результатом параграфа 6 является утверждение: Теорема 6.1. Система уравнений (15) является системой лиувиллевского типа Обобщенные инварианты Хт и инварианты Нт линеаризованной системы (16), определяемые формулами (3), (4) и (5), вычисляются следующим образом:

:р(ит-% <= [у] +1,[у] +2,--.,1, т. ~ 5,6,... ,2п — 1

Хт = в7;1Ат8тАтт{3~1)Т, тп = 1,2,...,2п-1, Х2п = 0,

1\т

тп — 1,2,..., 2п,

где матрицы Ат и <Эт_ 1 вычисляются с помощью рекуррентных соотношений

Ат = Ат^З-1Р~\ то = 3,4,...,2п-1,

Ао = УпВ~\ Аг = /„, Л2 = Л2п =

= В%1Ат0т + 0{Вт-1) + С}п-гА£.2Ат.1, то = 2,3,... ,2п, С?о - 0. При этом решения ат уравнений (4) даются формулами

ат = + Вт] ^ЛВ-1, то = 1,2,..., 2п - 1.

Систему уравнений (14) с матрицей Картана Т>„, переименованием неизвестных ик —> ип~к+1, к — 1,2,... ,п, удобно записать в виде

ОЪи = Же, V = 1ЗД. (17)

Линеаризация уравнений (17) записывается следующим образом:

ТЮу = VI] V. (18)

Введем матрицы порядка п: через 5т, тп = 2,3,..., 2п — 3 обозначим диагональные матрицы

5т = сКа5 {о, 0,..., 0, ехр (%+,) , ехр (вЦ1+2) ,..., ехр (С)} ,

элементы которых вычисляются так: т+1 «

0% = и1и 0? = ик, г" = т + 1,т + 2,...,п,

к=3 к=г-т+1

«+1

т = 2,3,... ,п — 1, ^ = + "* + 1п4-

к—т-»+2

г = [ш] +1, [и] +2,....то- 1, то = 3,4,...,п - 1 и »=[?]+ 1, то — п,п+1,..., 2п —3, А? = 0, то = п,тг +1,..., 2п-3,

где А™ = 0, если т-г < 3 и А? = 2 £ и* при то-г >2; 51 = и, 52п_2 = 0;

*=з

Я™ - сНаЕ {0,0,... ,0, Б (0Ц]+1) , О (щ]+2) ,..., Ъ (0™)} , та = 2,3,..., 2п - 3, = «^{«¿.и*.Д2п_2 = 0;

ненулевые элементы матриц 2т = (г™) , то = 1,2,..., 2тг - 3 определяются следующим образом:

2% = ехр(ит-'+1), г = [у] + 1> [у] + 2,..., то — 2, то = 5,6,..., п и

г= [у] +1,[^]+2,...,п-1, то = п + 1,п + 2,...,2га-3, г™ = ехр(и'~т+1), г — т + 1,т + 2,... ,п, то = 1,2,... ,п - 1, гт-1,т-1 = 2ехр(и2), то = 3,4,..., п, = - ехр(и,+2),

» = [?]+»■«, [7] + Гт + 1,...,т - 1, т = 2,3,... ,п — 1 и

* = [?] + г™'[?1 + гто + 1,...,п - 2, га = п,п + 1,...,2п - 4, где гт = 0, если т - четное и гт = 1 при нечетном то,

2™х; = — ехр(и,+1), г = то,то + 1,... ,п - 1, то = 1,2,... ,п - 1, гт-1,т = 2ехр(ы1), тп — 3,4,... ,п,

гт т+1 = ехр(и1)> то = 1,2,..., п - 1; ~ нулевая матрица.

/ 1 0\ ( 1 ° Положим Q2 = ^ j ^ j , <53 = | 1 0 j и через Фк - обозначим

2

матрицы п- го порядка

( 2 0 0 \ / Я П \

Ф*= О О3 0 , к = 2,3,... ,п — 1, Ф„ = п~2 "а , \ 0 0 ^-х/

Ф* = £п, * = п + 1,п + 2,...,2п-2; С2* = к = 1,2,...,п - 2,

<?2к+1 = ^ ^ к^) ' к = 1,2,...,п-3, бгп-З — <?2п-2 = Еп.

Первые [у] столбцов матриц Вт, то = 2,3,..., п - 1 состоят из произвольных элементов, а остальные столбцы нулевые, а при т — п, п + 1,..., 2тг - 3 у матрицы Вт, помимо первых [??] столбцов, произвольным является и последний; В\ - нулевая матрица. Ненулевые элементы матриц Вт = и Рт = (/™),

то = 1,2,..., 2п — 2 определяются следующим образом:

= - ехр(и*+2), А = 1,2,..., п - 2, /„"-!,„ = 2ехр(и1) - 2ехр(и2), = - ехр(г/"-"+2),

то = га + 2, п + 3,..., 2п — 3.

Теорема 7.1. Система уравнений (17) является системой лиувиллевского типа. Обобщенные инварианты Хт и инварианты Нт системы уравнений (18) определяются следующим образом:

Хт = то = 1,2,..., 2п - 3, Х2п-2 - О,

Нт = [ЛАтгп + Фт_х] А^Ъ-1, т = 1,2,..., 2п - 2,

где матрицы Ат и Фт_1 задаются рекуррентными соотношениями Ат = Ат-1С~1 Ф~\ = А0 = ХГ1Мг(ЯУ1,

Фт-1 = 2>Д„_1 Д» + £>(Вт_1) + РАп-А + Фт-г^и^т-ь т = 2,3,..., 2тг - 2, Ф0 = 0.

В параграфе 8 этой же главы рассмотрены системы уравнений (14) с исключительными матрицами Картана.

Для системы уравнений (14) с матрицей д2 проиллюстировано описание инвариантов и обобщенных инвариантов Лапласа. Система уравнений (14) с матрицей Картана <?2 имеет вид

и\у = 2ехр(иг) -ехр(и2), и% = -Зехр^1) + 2ехр(и2). (19)

Инварианты Нт и обобщенные инварианты ХГГ1. определяемые соотношениями (3), (4) и (5), для линеаризации уравнений (19) вычисляются по следующим формулам:

Х1 = Н1=д2Б1, Хт = д2 Р-^Я, т — 2,3,4,5, Х6 = О,

я2-д2р-1г2д2\ нт = {д2р~1гт + дт)т = з,4,5,б,

Ят = Ят-1 + 0(Вт,1) + д2Р-1От, т = 3,4,5,6, = о,

Щл и ^21— произвольные элементы, т — 2,3,4,5,

51 = (^(ехр^1), ехр(и2)), 52 = <^(0, ехр(мг + и2)),

5з = с11а§(0,4ехр(2и1 + и2)), 54 = с!^(0,12ехр(3и1 + и2)), 55 - сПак(0,12 ехр(3и1 + 2и2)), = Ла8(0,4 ехр^1)),

= <Ца§(0,3 ехр^1)), = diag(0, ехр(и2)), 2Ь = 0.

При этом решения От уравнений (4) даются формулами

= -&ВД-1, ^ = [-^Р"1^ + Вт] Р^1, т = 2,3,4,5,

где

= и2у), П2 = с11ая(0, игу 4 и2), Я3 = <Наб(0,2и\ + и2у),

= сНаё(0,Ы] + и2), Я5 = <Иае(0,3 и} + 2и2).

'у

А для систем уравнений (14) с матрицами Картана JF4; £6 - £8 написана программа под названием «Invariant», предназначенная для среды Maple V Release 4. При помощи этого пакета посчитаны инварианты Лапласа и показано, что цепочки обобщенных инвариантов Лапласа обрываются. Алгоритм этой программы содержится в приложении 2 Все матрицы, которые использовались при вычислении инвариантов Лапласа для систем уравнений (14) с исключительными матрицами Картана Т\ и £б — £&, находятся в приложении 1. Эти результаты занимают много места (порядка 40 страниц), поэтому они не приводятся.

В третьей главе диссертационной работы развивается новый подход к решению задачи классификации дифференциальных систем уравнений второго порядка, основанный на конечности цепочки обобщенных инвариантов Лапласа. Перечислим основные результаты третьей главы.

В девятом параграфе третьей главы рассматривается система уравнений

д2и А ди В ди _ 0 ,2(),

дхду (х + у) дх (х + у)ду~

где А и В - постоянные матрицы второго порядка, а и = (и1,«2)7 -столбец неизвестных. Система уравнений (20) представляет собой обобщение скалярного уравнения Эйлера - Пуассона.4 В этом параграфе описаны все системы уравнений (20), у которых цепочки обобщенных инвариантов Лапласа обрываются, выведены формулы для инвариантов и обобщенных инвариантов Лапласа, в частности доказано следующее утверждение: Теорема 9.1. Пусть для уравнений (20) инварианты //], #2,..., Нп и К\, К2,..., Кт - невырожденные матрицы, а определители инвариантов Нп+1 и Km+i обращаются в нуль. Кроме этого обобщенные инварианты Xp+n+i = 0 и Уд+т+1 = 0. Тогда р = q и любая такая невырожденная система уравнений (20) заменой и = Cw, detC ф 0 приводится к системе

d2w 1 / тп +1 0 \dw 1 / -m 1 \dw _

дхду {х + у)\{т + п + 1+р)2 -п ) дх + (х~+у)\ 0 n + l)dy~

(21)

Целью параграфа 10 является описание всех систем вида

ищ, - <р(и, v), Vxy^ ф(и, v) (22)

лиувиллевского типа (см. определение 2.1).

Доказано следующие утверждение-

Теорема 10.1 Пусть инварианты Ях,Яг, ...,#„ - невырожденные матрицы, определитель матрицы Яя+х обращается в нуль и огс!(Я,) = О, г = 1,2,... ,п, п+1, то есть матрицы Н, - зависят только от переменных и и V. Тогда любая невырожденная система уравнений (22) сводится к одной из следующих

иху = 2еи - е", Уху = аеи + 2е", а = -1, -2, -3.

Системы, полученные в теореме 10.1, являются экспоненциальными системами с матрицами Картана Вг (Сг) и 02- В работе7 проведена классификация уравнений (22) по полному набору независимых интегралов. Списки интегрируемых уравнений, полученные в теореме 10.1 и в этой работе совпадают.

В параграфе 11 рассматривается классификация систем уравнений вида

иху = р(и, V, их, иу), иху = ф(и, V, ух, уу) (23)

типа Лиувилля (см. определение 2.1), а именно ставится задача описать все системы уравнений вида (23), для которых обобщенные инварианты Лапласа ^2 = ^2 = 0. Справедливо следующее утверждение:

Теорема 11.1. Пусть для системы уравнений (23) ве^Ях - К\) = 0, огё (Ях, К\) = 1 и обобщенные инварианты Лапласа Хг — Уг — 0. Тогда любая такая система уравнений точенными преобразованиями приводится к одной из следующих:

вырожденная система Полмейера - Лунда - Редже

_ уихиу __ иУхУу

иху — , Уху--- ,

иу + с ии + с где с— ненулевая постоянная;

ихиу

(24)

ч* = ч, = (25)

и+у и+у

- ьТ„ = -еи+и

<*ху — с "у! "ху — ~с "Уу- (26)

В четвертой главе изучается вопрос построения общего решения для системы уравнений Эйлера - Пуассона, вырожденной системы Полмейера -Лунда Редже (24), а также для систем уравнений вида (25) и (26).

В параграфе 12 главы 4 указан механизм нахождения общего решения систем уравнений типа Эйлера - Пуассона (21) путем сведения его к

7Жибер А В. О полной интегрируемости двумерных динамических систем // Проблемы механики и управления Сб статей УНЦ РАН, Уфа - 1994 - 192 с

скалярному уравнению, у которого цепочка инвариантов Лапласа обрывается в одну сторону.

Системы уравнений (24), (25) и (26) обладают полным набором х- и у-интегралов. Построение интегралов задача не из легких, так как порядок интеграла заранее неизвестен. Решением этой проблемы может служить интересная гипотеза, высказанная A.B. Жибером: порядки интегралов и индексы, при которых происходит падение ранга обобщенных инвариантов Лапласа для систем уравнений, совпадают.

В параграфе 13 автор воспользовался этой идеей при построении полного набора интегралов для специальных систем уравнений (24), (25) и (26) лиувиллевского типа.

Полный базис х- и у- интегралов для систем уравнений (24), (25) и (26) состоит из следующих элементов

, Ч _, Ч ЩЩ U2 UV\ т щ

w(x) —-, w(y) =-, W(х) ----, W(y) = —

v UV + с v uv + c w Ui uv + c Щ

, ч ЩУ1 _ üiiii u2 Vi ш, . Щ

w(xj ~-, w[y) =-, W{x) =---, W(y) = —

w u + v' K ' u + v K ' Щ U + V K ' Ul

w(x) = ui—vi~eu+v, w(y)=üiüi, W(x) — u2-uivi~eu+vu\, W(y) = zr+vi-щ

Щ

соответственно.

В параграфе Ц этой главы с использованием х- и у- интегралов были выписаны решения этих специальных систем уравнений лиувиллевского типа. Решения систем уравнений (24), (25) и (26) вычисляются по формулам

UVl uv + c

vi

u + v'

F{x)T{y)

Ф'(х)Ф (у)

[Ф(х)Ф(у) +1],

fF>

V =—с < -

^ф'

(®)Ф {у) (Ф(х)Ф{у) +1)

Vjxfiiy)

+

F>(x)T(y)

Ф"(х) ф"(»)

1

Fn(x) 1

Ф'(х)

F*(x) F"(x)

■ФЫ

F'3(x).

Р{х)¥(у)

Лу) ^Ы*»

Ф'{х)?{у) Ф '(х)Т{у)

Ф(а:)+

Ф (У)

и = у Ф'(х)Л(х)<й: + (y)A{y)dy + Ф{х)Щу), v = J 9(x)A'{x)dx + J^{y)Ä'{y)dy + A(x)Ä{y); и = Ф(я) -I- Ф(у) - In |Ф(х)Ф(у) + l|,

и =

соответственно.

В заключении сформулированы основные резельтаты диссертации.

В приложении приводятся матрицы, используемые при вычислении инвариантов Лапласа для систем уравнений с исключительными матрицами и £% - £S) а также содержится алгоритм программы под названием «Invariant», предназначенная для среды Maple V Release 4.

Благодарности. Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Анатолию Васильевичу Жиберу за предложенную тему исследований, ценные советы, постоянное внимание к работе и поддержку.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Гиззаткулова А.М , Жибер A.B. Системы уравнений Эйлера - Пуассона с нулевыми обобщенными инвариантами Лапласа // Математические модели и методы их исследования. Труды международной конференции. ИВМ СО РАН. Красноярск. - 16 - 21 августа 2001. - С. 169 - 175.

[2] Гурьева AM. Об интегралах нелинейной гиперболической системы уравнений второго порядка // Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике. Тезисы докладов 30 - 31 октября 2003 г. - Уфа- БашГУ. - С. 9 - 10.

[3] Гурьева А.М Об интегралах нелинейной гиперболической системы уравнений второго порядка // Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике: Том 1 - Математика / Уфа: БашГУ. - 2003. - С. 44 - 53.

[4] Жибер A.B., Гурьева А.М Инварианты Лапласа классических серий экспоненциальных систем типа I // Вестник УГАТУ. - 2003. - Т.4. -

№ 2. - С. 33 - 45

[5] Гурьева A.M. Классификация двухкомпонентных систем гиперболических уравнений //IV Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике, посвященная 95-летию БашГУ: Тезисы докладов. - Уфа: БашГУ. - 2004.

- С. 13 - 13.

[6] Гурьева A.M. Классификация двухкомпонентных систем гиперболических уравнений // IV Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике, посвященная 95-летию БашГУ: Том 1 - Математика / Уфа: БашГУ. -

2004. - С. 76 - 82.

[7] Гурьева A.M., Жибер A.B. Инварианты Лапласа двумеризованных открытых цепочек Тоды // Теоретическая и математическая физика.

- 2004. - Т. 138. - № 3. - С. 401 - 421.

[8] Гурьева A.M. Системы уравнений иху = a(u,v),vxy = b(u,v) с нулевыми обобщенными инвариантами Лапласа // Межвузовский научный сборник, УГАТУ. - 2004. - С. 122 - 133.

[9] Жибер A.B., Гурьева A.M. О характеристическом уравнении квазилинейной гиперболической системы уравнений // Вестник УГАТУ.

- 2005. - Т. 6. - № 2(13). - С. 26 - 34.

[10] Гурьева A.M. Системы уравнений иху = ip(u,v,ux,uу), vxy — ф(и, V, vx, vy) с нулевыми обобщенными инвариантами Лапласа второго порядка [ / Международная Уфимская зимняя школа-конференция по математике и физике для студентов, аспирантов и молодых ученых: Том 1 - Математика / Уфа: БашГУ. - 2005. -С. 195 - 205.

[И] Guryeva A.M., Zhiber A.V. Laplace invariants of Toda lattices with the exceptional Carian matrices [Электронный ресурс]. - Электрон, дан. -

2005. - 30 с. - Режим доступа // http: // www. arxiv org. - заглавие с экрана в разделе Nonlinear Sciences.

ГУРЬЕВА АДЕЛЬ МИНИВАСИМОВНА

МЕТОД КАСКАДНОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ ЛАПЛАСА И НЕЛИНЕЙНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 14.12.05. Формат 60 х 84 1/16. Бумага офсетная. Печать плоская. Гарнитура Times New Roman. Усл. печ. л. 1.0. Усл. кр. - отт. 1.0. Уч. - изд. л. 0.9. Тираж 100 экз. Заказ № 556.

ГОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический университет Центр оперативной полиграфии 450000, Уфа - центр, ул. К. Маркса, 12

№2622 0

РНБ Русский фонд

2006-4 21210

Введение

§1. Общая характеристика работы.

§2. Метод каскадного интегрирования Лапласа линейных дифференциальных уравнений.

Глава 1. Интегралы нелинейных гиперболических систем уравнений

§3. Полный базис интегралов.

§4. Линейное представление интегралов.

Глава 2. Инварианты и обобщенные инварианты Лапласа открытых цепочек Тоды

§5. Цепочки Тоды серии Лп и Сп.

§6. Цепочка Тоды серии Вп.

§7. Цепочка Тоды серии Т>п.

§8. Исключительные матрицы Картана.

Глава 3. Классификация интегрируемых гиперболических систем уравнений

§9. Уравнения Эйлера - Пуассона.

§10. Уравнения вида иху = ip(u,v), vxy = ф(и, v).

§11. Уравнения вида иху = cp(u,v,ux,uy), vxy = (f)(u,v,vx,vy).

Глава 4. Построение решений гиперболических систем уравнений

§12. Общее решение уравнений Эйлера - Пуассона.

§13. Построение х- и у- интегралов для систем уравнений с нулевыми обобщенными инвариантами Лапласа второго порядка.

§14. Построение общего решения для систем уравнений с нулевыми обобщенными инвариантами Лапласа второго порядка.

§1. Общая характеристика работы

Различные математические модели во многих случаях приводят к дифференциальным уравнениям гиперболического типа.

Известно, что гиперболические уравнения иху = F(x, у, и, их, иу) (1.1) являлись объектом классических исследований. Так, например, в 1773 году Пьер Симон Лаплас предложил "каскадный метод", дающий общее решение для специальных линейных гиперболических уравнений второго порядка с переменными коэффициентами.

Поиск точных решений гиперболических уравнений второго порядка - задача сложная. Взяв наугад какое-нибудь даже линейное дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка, трудно сказать имеет ли это уравнение хотя бы одно решение. Потому что гиперболические уравнения имеют точные решения только в редких случаях.

Поэтому для теории уравнений с частными производными естественным является введение понятия интегрируемости уравнений.

По-видимому, Жан Гастон Дарбу был первым, кто дал определение точно интегрируемых гиперболических уравнений (1.1) [43, 44, 46, 47, 48].

Их еще называют уравнениями, интегрируемыми по Дарбу.

Определение 1.1. Уравнение (1.1) называется интегрируемым по Дарбу, если у него существуют нетривиальные х- и у- интегралы.

Наряду с Ж. Дарбу первые примеры нелинейных интегрируемых уравнений были также построены и в работах JI. Бианки, Ж. Лиувилля, А. Беклунда. Потом эти работы были ненадолго забыты. И лишь в конце XX века исследования в этом направлении были возобновлены в связи с многочисленными приложениями гиперболических уравнений к физическим задачам и образовали один из разделов теории интегрируемых нелинейных уравнений в частных производных. Огромное количество публикаций, посвященных гиперболическим интегрируемым уравнениям, указывает на важность данных исследований. При этом само понятие интегрируемости математиками понимается по-разному.

На сегодняшний день существуют различные трактовки понятия интегрируемости уравнения. В частности, в некоторых работах в понятие интегрируемости уравнения вкладывается наличие у него бесконечного набора высших симметрий или полного набора интегралов. С точки зрения таких определений интегрируемости, возможно, провести классификацию некоторого класса уравнений, то есть решить одну из основных задач теории интегрируемых нелинейных уравнений. Эти подходы позволили произвести полную или частичную классификацию интегрируемых уравнений как эволюционного, так и гиперболического типов (см. [2, 14, 18, 26, 32, 33, 34]).

Однако при классификации гиперболических систем уравнений, с применением этих критериев, даже в простейшей ситуации возникают серьезные технические трудности (см., например, работы [21, 24]).

Поэтому является актуальным применение альтернативных методов для исследования интегрируемости гиперболических систем. Одним из таких подходов, основанный на изучение характеристических алгебр гиперболических уравнений и систем уравнений, был предложен в работах [29, 40] и применен к исследованию интегрируемости специальных классов гиперболических уравнений и систем уравнений (см. [3, 4, 17, 19]). Другим перспективным методом исследования интегрируемости уравнений является подход, опирающийся на применении классического метода каскадного интегрирования Лапласа к линеаризованному уравнению, представленный в статьях [1, 20, 23, 36, 38, 39, 41, 42]. В работах [20, 42, 46] в качестве определения класса точно интегрируемых уравнений (1.1) лиувиллевского типа было выбрано свойство конечности цепочки инвариантов Лапласа для его линеаризованного уравнения. В этом смысле понятие интегрируемости оказалось удачным и позволило провести полную классификацию скалярных гиперболических уравнений лиувиллевского типа (см. [25]). Поэтому задача распространения этого подхода на случай систем гиперболических уравнений является важной для настоящего момента. Некоторые попытки в этом направлении были предприняты в работах [6, 7, 13, 15, 16, 25, 35]. В частности, в работе А.В. Жибера и В.В. Соколова [25] для нелинейных гиперболических систем уравнений вида и1 У = ^г(х,у,и,их,иу), г = 1,2,.,р, (1.2) и = (и1, и2,., ир) были предложены определения и инвариантов Лапласа, и систем лиувиллевского типа. Ряд примеров уравнений лиувиллевского типа можно найти, например, в статьях [12, 27, 28, 29, 31, 40].

Таким образом, существуют, по-крайней мере, четыре независимых определения интегрируемости уравнений и систем уравнений.

В диссертационной работе рассматриваются следующие определения интегрируемости систем уравнений: первое определение - основывается на наличие у систем уравнений (1.2) полного набора интегралов (их называют системами интегрируемыми по Дарбу), а второе - опирается на обрыв цепочки обобщенных инвариантов Лапласа для линеаризации системы уравнений (1.2) (такие системы уравнений будем называть системами лиувиллевского типа). Для скалярных уравнений (1-1) доказана эквивалентность этих определений интегрируемости [46], поэтому в литературе уравнения интегрируемые по Дарбу называют еще уравнениями типа Лиувилля. В дальнейшем, по аналогии со скалярным случаем, системы уравнений интегрируемые по Дарбу также будем называть системами лиувиллевского типа. Как говорилось раньше некоторые классы систем дифференциальных уравнений могут быть проклассифицированы по этим признакам интегрируемости. А также мы упоминули, что исследователь сталкивается со значительными вычислительными трудностями при классификации дифференциальных систем уравнений интегрируемых по Дарбу. Поэтому целью диссертации было выбрано развитие иного подхода к решению задач классификации специальных интегрируемых дифференциальных систем уравнений (1.2) лиувиллевского типа. В результате был получен список систем уравнений, в котором содержатся и новые системы уравнений. Для некоторых систем уравнений из списка построены общие решения с использованием интегралов. В связи с этим настоящая работа также посвящена исследованию интегралов нелинейных гиперболических систем уравнений (1.2).

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и двух приложений. Все теоремы, леммы, замечания и формулы занумерованы двумя цифрами, первая из которых означает номер параграфа, а вторая - номер по порядку.

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

Доказана теорема о наличии полного базиса интегралов у систем уравнений вида (1.2) лиувиллевского типа. А также проведено обоснование того факта, что если у системы уравнений (1.2) имеется базис интегралов в одном порядке больше или равному двум, тогда элементы базиса можно выбрать линейными по старшим переменным.

Показано, что системы уравнений (1.3) с матрицами Картана Вп, Т>п и являются системами лиувиллевского типа в смысле определения 2.1. Для этих систем получены явные формулы для инвариантов и обобщенных инвариантов Лапласа. А для систем уравнений с исключительными матрицами Т\ и Eq - Е% написана программа под названием «Invariant», предназначенная для среды Maple V Release 4. С помощью этого пакета посчитаны инварианты и обобщенные инварианты Лапласа и показано, что цепочки обощениых инвариантов Лапласа обрываются.

Описаны все системы уравнений Эйлера - Пуассона (1.4), у которых цепочки инвариантов Лапласа обрываются. Выведены формулы для инвариантов и обобщенных инвариантов Лапласа и показано, что данная система (1.4) при некоторой замене сводится к системе (9.31). А также построено общее решение для систем уравнений (9.31).

Решена классификационная задача для дифференциальных систем уравнений второго порядка специального класса лиувиллевского типа. Кроме известных примеров список систем лиувиллевского типа содержит новые точно интегрируемые системы.

Найдены х- и у- интегралы для систем уравнений (1.7) - (1.9). С помощью интегралов построены общие решения систем уравнений (1.7) - (1.9).

Заключение

1. Адлер В.Э., Старцев С.Я. О дискретных аналогах уравнения Лиувилля // Теоретическая и математическая физика. - 1999. - Т. 121.- № 2. С. 271 - 284.

2. Адлер В.Э., Шабат А.В., Ямилов Р.И. Симметрийный подход к проблеме интегрируемости // Теоретическая и математическая физика. 2000. - Т. 125. - № 3. - С. 355 - 424.

3. Бормисов А.А., Гудкова Е.С., Мукминов Ф.Х. Об интегрируемости гиперболических систем типа уравнения Риккати // Теоретическая и математическая физика. 1997. - Т. 113. - № 2. - С. 261 - 276.

4. Бормисов А.А., Мукминов Ф.Х. Симметрии гиперболических систем типа уравнения Риккати // Теоретическая и математическая физика.- 2001. Т. 127. - № 1. - С. 448 - 459.

5. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. М.: Мир. - 1972. - 334 с.

6. Гурьева A.M., Жибер А.В. Инварианты Лапласа двумеризованных открытых цепочек Тоды // Теоретическая и математическая физика.- 2004. Т. 138. - № 3. - С. 401 - 421.

7. Гурьева A.M. Классификация двухкомпонентных систем гиперболических уравнений // Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике: Том 1 Математика / Уфа: БашГУ. - 2004. - С. 76 - 82.

8. Гурьева A.M. Об интегралах нелинейной гиперболической системы уравнений второго порядка // Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике: Том 1 Математика / Уфа: БашГУ. - 2003. - С. 44 - 53.

9. Гурьева A.M. Системы уравнений иху = a(u,v),vxy = 6(11,1;) с нулевыми обобщенными инвариантами Лапласа // Межвузовский научный сборник, УГАТУ. 2004. - С. 122 - 133.

10. Демской Д.К., Мешков А.Г. Представление Лакса для триплета скалярных полей // Теоретическая и математическая физика. 2003.- Т. 134. № 3. - С. 351 - 364.

11. Демской Д.К., Старцев С.Я. О построении симлгетрий по интегралам гиперболических систем уравнений // Фундаментальная и прикладаная математика. 2004. - Т. 10. - № 1. - С. 29 - 37.

12. Дринфельд В.Г., Свинолупов С.И., Соколов В.В. Классификация эволюционных уравнений пятого порядка, обладающих бесконечной серией законов сохранения // Доклады АН УССР. Сер. А., Физ.-мат. и техн. науки. 1985. - № 10. - С. 8 - 10.

13. Жибер А.В., Гурьева A.M. Инварианты Лапласа классических серий экспоненциальных систем типа I // Вестник УГАТУ. 2003. - Т.4. -№ 2. - С. 33 - 45.

14. Жибер А.В., Старцев С.Я. Интегралы, решения и существование преобразований Лапласа линейной гиперболической системы уравнений // Математические заметки. 2003. - Т. 74. - N2 6. -С. 849 - 858.

15. Жибер А.В., Мукминов Ф.Х. Квадратичные системы, симметрии, характеристические и полные алгебры // Задачи математической физики и асимптотики их решений. Уфа: БНЦ УрО АН СССР. 1991.- С. 14 32.

16. Жибер А.В. Квазилинейные гиперболические уравнения с бесконечной алгеброй симметрии // Изв. РАН. Сер. матем. 1994. - Т. 58. - № 4.- С. 33 54.

17. Жибер А.В., Муртазина Р.Д. О векторных полях интегрируемых уравнений Клейна Гордона // Межвузовский научный сборник, УГАТУ. - 2004. - С. 131 - 144.

18. Жибер А.В., Соколов В.В., Старцев С.Я. О нелинейных гиперболических уравнениях, интегрируемых по Дарбу // Доклады РАН. 1995. - Т. 343. - № 6. - С. 746 - 748.

19. Жибер А.В. О полной интегрируемости двумерных динамических систем // Проблемы механики и управления: Сб. статей УНЦ РАН, Уфа. 1994. - 192 с.

20. Жибер А.В., Гурьева A.M. О характеристическом уравнении квазилинейной гиперболической системы уравнений // Вестник УГАТУ. 2005. - Т. 6. - № 2(13). - С. 26 - 34.

21. Жибер А.В., Соколов В.В. Преобразования Лапласа в классификации интегрируемых квазилинейных уравнений // Проблемы механики и управления. Уфа: Уфимский научный центр РАН. - 1995. - № 2. -С. 51 - 65.

22. Жибер А.В., Шабат А.Б. Системы уравнений их = p(u,v), vy = q(u, v) обладающие симмегприями // Доклады АН СССР. 1984. - Т. 277. - № 1. - С. 29 - 33.

23. Жибер А.В., Соколов В.В. Точно интегрируемые гиперболические уравнения лиувиллевского типа // Успехи математических наук. -2001. Т. 56, вып. 1(337). - С. 63 - 106.

24. Жибер А.В., Шабат А.В. Уравнения Клейна Гордона с нетривиальной группой // Доклады АН СССР. - 1979. - Т. 247.5. С. 1103 - 1107.

25. Жибер А.В., Ибрагимов Н.Х., Шабат А.В. Уравнения типа Лиувилля // Доклады АН СССР. 1979. - Т. 249. - № 1. -С. 26 - 29.

26. Звягин М.Ю. Уравнения второго порядка, приводимые преобразованием Веклунда к zxy = 0 // Доклады АН СССР. -1991. 316(1). - С. 36 - 40.

27. Лезнов А.Н., Смирнов В.Г., Шабат А.Б. Группа внутренних симметрии, и условия интегрируемости двумерных динамических систем // Теоретическая и математическая физика. 1982. - Т. 51. -№ 1. - С. 10 - 22.

28. Метод каскадного интегрирования Лапласа и уравнения, интегрируемые по Дарбу. Учебное пособие / А.В. Жибер, В.В. Соколов. Изд-е Башкирск. ун-та. - Уфа, 1996. - 56 с.

29. Мешков А.Г. Симметрии скалярных полей III. Двумерные интегрируемые модели // Теоретическая и математическая физика.- 1985. Т. 63. - № 3. - С. 323 - 332.

30. Михайлов А.В., Шабат А.Б., Соколов В.В. Симметрийный подход к классификации интегрируемых уравнений // Интегрируемость и кинетические уравнения для солитонов. Киев: Наукова думка. - 1990.- С. 213 279.

31. Михайлов А.В., Шабат А.Б., Ямилов Р.И. Симметрийный подход к классификации нелинейных уравнений. Полные списки интегрируемых систем // Успехи математических наук. 1987. -Т. 42. - N 4. - С. 3 - 53.

32. Свинолупов С.И., Соколов В.В. Классификация интегрируемых квазилинейных уравнений третьего порядка // Предпринт. Уфа.- 1986.

33. Старцев С.Я. Об инвариантах Лапласа систем гиперболических уравнений // Комплексный анализ, дифференциальные уравнения, численные методы и приложения. Том 3 / Уфа: Институт математики с ВЦ УНЦ РАН. 1996. - С. 144 - 154.

34. Старцев С.Я. О гиперболических уравнениях, допускающих дифференциальные подстановки // Теоретическая и математическая физика. 2001. - Т. 127. - № 1. - С. 63 - 74.

35. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. М.: Ил.- 1957. 443 с.

36. Ферапонтов Е.В. Преобразования Лапласа систем гидродинамического типа в инвариантах Римана ]/ Теоретическая и математическая физика. 1997. - Т. 110. - № 1. - С. 86 - 98.

37. Царев С.П. Факторизация линейных дифференциальных операторов с частными производными и метод Дарбу интегрирования нелинейных уравнений с частными производными // Теоретическая и математическая физика. 2000. - Т. 122. - № 1. - С. 144 - 160.

38. Шабат А.Б., Ямилов Р.И. Экспоненциальные системы типа I и матрицы Картана // Предпринт БФАН СССР, Уфа. 1981. - 23 с.

39. Anderson I.M., Juras М. Generalized Laplace invariants and the method of Darboux // Duke Math. J. 1997. - V. 89. - № 2. - P. 351 - 375.

40. Anderson I.M., Kamran N. The variational bicomplex for second order scalar partial differential equations in the plane // Duke Math. J. 1997.- V. 87. № 2. - P. 265 - 319.

41. Darboux G. Lecons sur la theorie generale des surfaces et les applications geometriques du calcul infinitesimal. Paris: Gauthier-Villars. - 1896. -V. 1 - 4.

42. Goursat E. Lecons sur I'integration des equations aux derivees partielles du second order a deux variables independantes. Paris: Herman. - 1896, 1898. - Tome I, II.

43. Guryeva A.M., Zhiber A.V. Laplace invariants of Toda lattices with the exceptional Cartan matrices Электронный ресурс]. Электрон, дан. -2005. - 30 с. - Режим доступа // http: // www.arxiv.org. - заглавие с экрана в разделе Nonlinear Sciences.

44. V.V. Sokolov, A.V. Zhiber. On the Darboux integrable hyperbolic equations // Phys. Lett. A. 1995. - V. 208. - P. 303 - 308.

45. Vessiot E. Sur les equations aux derivees partialles du second order, F(x, т/, p, q, r, s, t) = 0, inteqrables par la methode de Darboux // J. Math. Pure Appl. 1939 - V. 18. - № 9. - P. 1 - 61.

46. Vessiot E. Sur les equations aux derivees partialles du second order, F(x, у, p, q, r, s, t) = 0, inteqrables par la methode de Darboux // J. Math. Pure Appl. 1942. - V. 21. - № 9. - P. 1 - 68.