Точные решения краевых задач для гиперболических систем уравнений с нулевыми обобщенными инвариантами Лапласа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

ВОРОНОВА Юлия Геннадьевна

ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ С НУЛЕВЫМИ ОБОБЩЕННЫМИ ИНВАРИАНТАМИ ЛАПЛАСА

01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации па соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

г 1 ноя 2013

Уфа - 2013

005538724

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Уфимский государственный авиационный технический университет"

Научный руководитель: Жибер Анатолий Васильевич, доктор физико-математических наук, профессор, ведущий научный сотрудник, отдел математической физики, Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН

Официальные оппоненты:

Голубчик Игорь Захарович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры математики и статистики, физико-математический факультет, Башкирский государственный педагогический университет им. М. Ак-муллы

Черданцев Игорь Юрьевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры и геометрии, Башкирский государственный университет

Ведущая организация:

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Челябинский государственный университет"

Защита состоится 13 декабря 2013 года в 16 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 002.057.01 при Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институт математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН по адресу: 450008, г. Уфа, ул. Чернышевского, 112.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Федерального государственною бюджетного учреждения науки Институт математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН.

Автореферат разослан_. ноября 2013 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 002.057.01, кандидат физико-математических наук

С. В. Попенов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Изучение проблемы интегрирования гиперболических уравнений вида

иху = F(x,y,u,ux,uv), (1)

восходит к классическим работам таких математиков, как П.С. Лаплас, Ж. Лиувилль, С. Ли, Ж.Г. Дарбу, Э. Гурса, К.Г. Якоби. Например, французский математик П.С. Лаплас предложил метод нахождения общего решения специальных линейных гиперболических уравнений второго порядка с переменными коэффициентами, впоследствии именуемый "каскадным методом Лапласа". Данный метод использовал Ж.Г. Дарбу для отыскания интегралов и для выяснения интегрируемости заданного уравнения. Под интегрируемостью Дарбу подразумевал наличие у уравнения (1) нетривиальных х- и у— интегралов. Метод Дарбу интегрирования гиперболических уравнений (1) состоит в отыскании интегралов по каждому характеристическому направлению и дальнейшему сведению его к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям. Но, в общем случае получение явных формул общего решения весьма затруднительно.

В более поздних исследованиях1 для нахождения интегралов стал использоваться алгебраический подход, использующий характеристические векторные поля (именно в рамках такого подхода были получены, по-видимому, первые списки уравнений, обладающих интегралами по обоим направлениям). Другой подход к интегрированию нелинейных уравнений связан с однопараметрическими группами преобразований, т.е. с симметри-ями. Понятие симметрии впервые было введено в работах С.Ли и Э.Нетер и служит фундаментом современной теории интегрируемости. Открытие в 1967 году метода обратной задачи рассеяния и появление класса солитон-ных уравнений позволило по-новому взглянуть на теорию интегрируемых систем. Стало ясно, что уравнения, интегрируемые при помощи метода обратной задачи рассеяния, обладают бесконечной иерархией высших сим-метрий. В последние три десятилетия в рамках симметрийного подхода в

IGoursat Б. Leçons tur l'intégration des équations aux dérivées partielles du second order á deux variables indépendantes. - Paris: Herman. - 1896, 1898. - Tome I, II.

Vessiot E. Sur les équations aux dérivées partielles du second order, F(x, y, z,p, <7, r, s, f) — 0, integrable par la méthode de Darbonx // Math, pure appl. - 1939. - V. 18. - P. 1 - 61.

Vessiot E. Sur les équations aux dérivées partielles du second order, F(x}y, = 0, integrable

par la méthode de Darboux // J. Math, pure appl. - 1942. - V. 21. - P. 1 - 66.

работах Адлера В.Э., Шабата А.Б., Ямилова Р.И., Жибера A.B., Михайлова A.B., Соколова В.В., Свинолупова С.И., Хабибуллина И.Т., M.Gürses, A. Karasu были созданы эффективные алгоритмы решения классификационных задач и составлены исчерпывающие списки интегрируемых представителей для очень важных классов нелинейных уравнений в частных производных и их дискретных аналогов.

На сегодняшний день перспективным является подход, использующий метод каскадного интегрирования Лапласа применительно к линеаризованному уравнению (1). В рамках данного подхода уравнение вида (1) называется интегрируемым, если для его линеаризации происходит обрыв цепочки инвариантов Лапласа. Рассмотрение такого класса уравнений позволило в работе2 получить полную классификацию гиперболических уравнений лиувиллевского.типа. Также в работах Anderson J.M., Kamran N.3, Царева С.П.4, Капцова О.В.5, Жегалова В.И., Тихоновой O.A.6 каскадный метод распространен на более общий класс гиперболических уравнений.

Настоящая диссертация посвящена обобщению каскадного метода Лапласа на системы гиперболических уравнений. Преобразования Лапласа для систем линейных уравнений, начали изучаться лишь в последнее время. Впервые идеи обобщения метода каскадного интегрирования Лапласа на системы гиперболических уравнений были изложены в работе A.B. Жибера и В.В. Соколова2. В дальнейшем развитием данного метода занимались A.B. Жибер, В.В. Соколов, С.Я. Старцев7, A.M. Гурьева8. Задача обобщения метода каскадного интегрирования на системы уравнений является очень важной на данный момент, поскольку активно использу-

2Жибер A.B., Соколов В.В. Точно интегрируемые гиперболические уравнения лиувиялевсхого типа // УМН. - 2001. - Т. 5«. - № 1. - С. 63- 106.

3Anderson Л.М., Kamran N. The variational bicomplex for second order scalar partial differential equations in the plane,// Duke. Math. J. - 1997. - V.87. - № 2. - P. 265 - 319.

4Царев С.П. Факторизация линейных дифференциальных операторов с частными производными и метод Дарбу интегрирования нелинейных уравнений с частными производными //ТМФ. - 2000. - Т. 122. - № 1. - С.144 - 160.

f Канцов О-В Методы интегрирования уравнений с частными производными // М.: ФИЗМАТЛИТ. - 2009. - 182 с.

6Жегалов В.И., Тихонова O.A. Каскадное интегрирование уравнений Бианки третьего порядка / / Препринт НИИММ им. Н.Г.Чеботарева. Казан. гос. ун-т. - 2010. - 41 с.

7Жибер A.B., Старцев С.Я. Интегралы, решения и существование преобразований Лапласа линейной гиперболической системы уравнений // Матем. заметки, - 2003. - Т. 74. - № 6. - С. 848 - 857.

Жибер A.B., Соколов В. В., Старцев С.Я. Нелинейные гиперболические системы уравнений лиувил-левского типа// Москва, МГУ. - Международная конференция Тихонов и современная математика. Тезисы докладов секции функциональный анализ и дифференциальные уравнения. - 2006. - С. 305 -306.

Старцев С. Я. О построении симметрий систем уравнений лиувиллевского типа. Труды международной конференции// 3-14 септября. ОГУ. г.Орел. - 2006. - Т. 1. - С. 117 - 122.

6Гурьева А.М., Жибер A.B. Инварианты Лапласа двумеризованных открытых цепочек Тоды // ТМФ. - 2004. - Т. 138. - № 3. - С. 401 - 421.

ется для классификации нелинейных уравнений. В данной работе также подробно рассмотрена задача определения решения по данным на характеристиках. Эту краевую задачу часто называют задачей Гурса. Задача с данными на характеристиках представляет большой интерес с точки зрения физических приложений. Она встречается, например, при изучении процессов сорбции и десорбции газов, процессов сушки и многих других задач.

Целью работы является обобщение метода каскадного интегрирования Лапласа на системы гиперболических уравнений, описание инвариантов систем линейных уравнений и построение решений краевых задач для гиперболических систем уравнений.

Методы исследования. В диссертации применяются классические методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, теории интегрируемых нелинейных дифференциальных уравнений гиперболического типа. Для построения общего решения линейных гиперболических систем уравнений используется обобщение каскадного метода Лапласа на системы уравнений. Для нахождения решения краевых задач нелинейных гиперболических уравнений используется симметрийный метод сведения к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.

Научная новизна. Представленные в диссертации результаты являются новыми и состоят в следующем:

1. Для уравнений, интегрируемых каскадным методом Лапласа, построены явные формулы решения задач Коши и Гурса.

2. Приведена схема построения решения задачи Гурса для нелинейных гиперболических уравнений с нулевыми высшими инвариантами Лапласа. Получены явные формулы решения задачи Гурса для конкретных уравнений лиувиллевского типа. Найдено решение задачи Коши для уравнения Лиувилля.

3. Приведено условие обрыва цепочки обобщенных инвариантов Лапласа. Построено общее решение линейной системы уравнений с нулевыми обобщенными инвариантами Лапласа.

4. Получен общий вид обобщенных инвариантов Лапласа для двух-компонентных линейных систем уравнений с постоянными коэффициентами. Найдены формулы для вычисления невырожденных инвариантов Лапласа и обобщенных инвариантов для п-компонентных систем уравнений Эйлера-Пуассона.

5. Приведена схема построения решения задачи Гурса для линейных

систем гиперболических уравнений с нулевыми обобщенными инвариантами Лапласа. Получены явные формулы решения задачи Гурса для линеаризованных цепочек Тоды. Найдены симметрии и построено решение задачи Гурса для одной нелинейной гиперболической системы уравнений.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Методы и результаты работы могут иметь применения в исследовании нелинейных уравнений и систем гиперболического типа. Полученные точные решения можно использовать в качестве тестовых задач для численных методов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях и семинарах:

1. Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике, физике и химии (Уфа, 2004, 2006, 2008 гг.).

2. Российская научно-техническая конференция "Мавлютовские чтения", посвященная 80-летию со дня рождения чл.-кор. РАН, профессора P.P. Мавлютова (Уфа, 2006 г.).

3. Всероссийская молодежная научная конференция, посвященная 75-летию УГАТУ (Уфа, 2007 г.).

4. Уфимская международная математическая конференция, посвященная памяти А.Ф. Леонтьева (Уфа, 2007 г.).

5. Международная конференция "Нелинейные уравнения и комплексный анализ" (оз. Банное, 2007, 2008 гг.).

6. 39-ая всероссийская молодежная школа-конференция "Проблемы теоретической и прикладной математики" (Екатеринбург, 2008 г.).

7. Международная научная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы" (Стерлитамак, 2008 г.).

8. Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2008 г.).

9. 40-ая всероссийская молодежная школа-конференция "Проблемы теоретической и прикладной математики" (Екатеринбург, 2009 г.).

10. Международная конференция "Современные проблемы математики, механики и их приложений", посвященная 70-летию ректора МГУ академика В.А. Садовничего (Москва, 2009 г.).

11. Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых "Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании" (Уфа, 2010, 2012 гг.).

12. Международная конференция MOGRAN-13 "Симметрии и точные решения дифференциальных и интегро-дифференциальных уравне-

ний" (Уфа, 2009 г.).

13. Международная научная конференция "Нелинейный анализ и спектральные задачи" (Уфа, 2013 г.).

14. Научный семинар кафедры дифференциальных уравнений Башкирского государственного университета под руководством профессоров A.B. Жибера и И.Т. Хабибуллина (Уфа, 2008, 2010 гг.).

15. Научный семинар "Интегрируемые системы" отдела математической физики Института математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН под руководством профессоров A.B. Жибера и И.Т. Хабибуллина (Уфа, 2013 г.).

Публикации. По теме диссертации имеется 17 публикаций, из них статьи [1-5] в журналах из списка ВАК.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 67 наименований. Объем диссертации составляет 161 страницу.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении проведен обзор литературы по теме диссертации, описаны постановка задачи, методы исследования и приведено краткое содержание работы.

В первой главе рассматриваются линейные скалярные гиперболические уравнения вида

иху + а(х, у)их + b(x,y)uv + с(х, у)и = 0. (2)

Одним из классических приемов построения решений уравнений (2) является каскадный метод Лапласа. Данный метод подробно описан в ряде классических и современных работ (см. например"). Основу метода каскадного интегрирования Лапласа образует рекуррентная последовательность инвариантов Лапласа

З2

hn+1 = 2hn - hn—\ - g^O11 hn), (3)

главные инварианты находятся из формул h^ = ax+ab—c, /t_i = by+ab—c, при этом ki — hi-i-

В первом параграфе главы 1 для уравнений (2) для которых ряд инвариантов Лапласа (3) обрывается с двух сторон, т.е. hn = к-т = 0, получена явная формула решения краевой задачи с данными на характеристиках:

и(х, у0) = Ф(х), и(х0, у) = ф{у), (4)

а именно:

и{х,у) = е 'о ^^...Л-В

/ 6((,у)Л-/а„(х,<)<Й 6*0 то х

I «п «а — / ЬЦ,уо)М

х/Л„_1(ип,г/о) ! ¡1п-2(ип-1,Уо)---1 Чииу0)е ■ ■ ■ ¿ип

хо 10 г0

+

- / а{х,г)л ___

+е V» . . .

хе

/ а(х,1)Л- / Ь-тЦ,у)<И У «2

е*° 10 //г-т+1(ит)'--//с(и1)х

й> г/о

Также рассмотрен случай неоднородного линейного гиперболического уравнения.

В параграфе 2 главы 1 приведены формулы решения задачи Коши

д2 , Л 5 »., ч 9 , / N

и\АВ = Р&У)'

ди дп

и = /{х,у), (5)

ф(х,у) (6)

в случае, когда цепочка инвариантов Лапласа однородного уравнения, соответствующего уравнению (5) обрывается с двух сторон.

В третьем параграфе главы 1 рассматривается задача Гурса для уравнения

иху = /{х,у,и,их,иу), (7)

и(х,0,т) = ф(х,т), и(0,у,т) = ф(у,т), (8)

где краевые условия (8) зависят от параметра т. Для построения точного решения задачи (7), (8) используется метод сведения к динамической системе, идеи данного подхода были предложены в работе9. Используя данный метод, построено решение задачи Гурса:

и(х, у) - 1п (тф(х)ф(у)) = 0 при ху = 0

9Лезыов А. Н., Шабат А. Б. Условия обрыва -рядов теории возмущений // Интегрируемые системы БФАН СССР. Уфа. - 1982. - С. 34 - 44.

для уравнений:

и — 1п

гф(х)ф(у)ФШ(0)

J,у .

и = 1п

и = 1п

{ф(х)ф(0) - ШШ ~ Ф(0))

4тф(х)ф(у)

(

2-т]ф{Ь)И]ф{Ь)<И о о

тф(х)ф(у)ф(0)

тф{0) /

\Ф{у) - (Ф(у) - ф(0))е

Также в 5 параграфе главы 1 построено решение уравнения Лиувилля

^ху - ^ 1

зависящее от двух произвольных функций, которое определяется формулой

и = 1п [Ф(ВД + У(у),т)Х'(х)У(у)],

где функция Ф удовлетворяет уравнению

Ф Ф2 1Ш _ 1Е = ф ф ф2 '

здесь р = Х{х) + У (у), а Х(х), У(у)-произвольные функции.

От переменных (х,у) перейдем к переменным (£, £) в уравнение (9), тогда задача Коши для уравнения (9) имеет вид:

где функция г>(£, = и(£ + £ — Решение данной задачи определяется по формуле

С-«

0 = / 1+ ^(ф^] ¿77 + /

о ^ -"о

2 + 2 I

- 1п { + 5(0) /'ехр [/ (Ш+Ж + У25(Л)е^) ¿л]

+ ^ / «Р [/ + ¿а] ^ + 1п2,

где 5 (С) решение задачи Коши:

'(О - ^ № -1) е5^ = \фШ0, * 1е=о = 3(0).

Во второй главе рассматриваются линейные системы уравнений вида

д2и ди ,ди „

+ а-г- + Ь— + си = 0, (10)

дхду дх ду

где а, 6, с - квадратные матрицы порядка п элементы которых суть функции переменных х и у, а и - столбец неизвестных и1,и2,... ,ип. Обобщение метода Лапласа на системы уравнений (10) состоит в следующем. Главные инварианты Лапласа определяются формулами

да Т. дЪ

— — + Ъа — с и К\ — ——Ь оо — с, дх ду

положим

Хк = Нк- Нк-1 •... • Их, Ук = Кк- Кк-1 ■... • К\.

Далее высшие инварианты определим так: пусть матрицы Ях, Но, ■ ■ ■, Нг известны и уравнение

+ а{Хг — Хга = О

ду

имеет решение а,-, тогда положим

= + М + г = 1,2,...

Аналогично, если уже найдены элементы К\, К2, ■ ■ ■, К{ и существует решение Ъ{ уравнения

+ = о,

дх

то

Элементы Х{ и г = 2,3,... будем называть обобщенными инвариантами Лапласа. Справедливо следующее утверждение (см.2,7,8): Теорема 0.1. Инвариант Лапласа Х{ системы (10) существует и определен однозначно тогда и только тогда, когда для всех к < г выполнены условия

-^ + а^(кегХк)СкетХк, (11)

+ ь) (1тпХк) С 1тпХк. (12)

Известно (см. например1), что, если скалярное уравнение (2) имеет решение

т £ и(х,у) = ^р{(х,у)—Х(х),

¿=0

где рг, г — 0,1,..., т - заданные функции, а (^-произвольная функция, то найдется целое число г (0 < г <т) такое, что инвариант кг равен нулю. В четвертом параграфе главы 2 данной работы этот факт обобщается на системы уравнений типа (10):

Теорема 4.1. Пусть для системы уравнений (10) выполнены условия (11) и (12) для к = 1,2,... ,т и существует решение вида

81

1=0

где Х{х)-столбец произвольных функций хг(х),..., хп(х) переменного х, а рй,р\, ■ ■ ■ ,рт-заданные матрицы-функции переменных х и у, причем ск^рт ф 0. Тогда обобщенный инвариант Лапласа Хт+1 = 0.

В параграфе 5 главы 2 рассматриваются двухкомпонентные системы уравнений (10) для которых найдутся г > 0 и в > 0, такие, что для всех г < г, ] < я со инварианты Лапласа X; и У^ существуют, однозначно определены и ХТ — Уя = 0. Предположим, что инварианты Х\,... ,Хк -невырожденные матрицы. Для таких систем уравнений построено общее решение, а именно:

и =

^1 + ь)хк

где

(13)

(14)

дх ^ фк+1 ) 1 фк+,

здесь Р- базис 1тХк+1, а С} - базис кегХ^ц выбраны таким образом, что

Функция г: = и>(х)ехр Справедливы соотношения

Х{Р = ^Р, { = к + 1,к + 2,...,г

и>(х), И/(а:)-произвольные функции.

Нк+1Р = НР, ХкР = Ц^Р + ¡хХкС}. Аналогично строится решение с использованием обобщенных инвариантов

В параграфе 6 главы 2 алгоритм построения общего решения обобщается на п-компонентные гиперболические системы уравнений вида (10).

В 7 параграфе главы 2 рассматриваются линейные гиперболические системы уравнений вида

г\ 2 о д

^-и + а-^-и + Ьг-и + си^О, (15)

охоу ох оу

где а, Ь и с-постоянные матрицы второго порядка, ¿/-столбец неизвестных (^(х, у), и2(х, у))Т■ Получен общий вид обобщенных инвариантов Лапласа для линейных систем уравнений (15):

Теорема 7.1. Пусть инварианты Лапласа Щ, Нг,..., Нк уравнения (15)-невырожденные матрицы, а RaxlgHk+l = 1. Тогда обобщенный инвариант порядка п вычисляется по формуле

Хп = {а,/?)п-*-%+1, п = к+1,к + 2,...

здесь а — (аь а2), /3 = (/Зь ¿32), Нк+г = аТ - 13.

Описаны системы уравнений (15), для которых обобщенные инварианты Лапласа есть нулевые матрицы и для них построено общее решение. Также проведена классификация систем уравнений третьего порядка с постоянными коэффициентами, у которых инвариант Н\ имеет ранг 2, а обобщенный инвариант Лапласа Х2 = 0.

В 8 параграфе главы 2 рассматриваются системы уравнений Эйлера-Пуассона:

д2и А ди В ди п /1С,

ЗГ5Г + + —Г- 7Г = (16)

охоу х + уох х + уоу в которой А, Д-квадратные матрицы порядка п, а и = (и1, и2,... ,ип)т-столбец неизвестных. Найдены формулы для вычисления невырожденных инвариантов Лапласа и обобщенных инвариантов для п-компонентных систем уравнений Эйлера-Пуассона. Справедливо утверждение Теорема 8.1. Невырожденные инварианты Лапласа и обобщенные инварианты для системы уравнений (16) вычисляются по формулам:

Нк = ^(В-к-1)(В-к)...(В-1)(А + к)(В-1)-К..(В-к)-\ Хк = Нк-...-Н0=^ф^(В-к-1)...(В-1)(А + к)...(А + 1)А, Хт = Т^(А-т-1)(А-гп)...(А-1)(В + тп)(А-1)-К..(А-т)-\ Уп = Кт-...-К0 = ъфъ{А-т-1)...(А-1){В + т)...(В+1)В,

при этом

ак+1 = ^(-В — к — 1) ...(В — 1)(А + 2к + 2)(В — I)-1 ...(В — к—1) Ът+1 = ^{А-т-1)...(А-1)(В + 2т + 2)(А-1)~1...(А-т-1)-1.

Получен список систем с нулевыми главными инвариантами Лапласа, найдены их решения.

В случае, когда ранг главного инварианта равен единице, преобразование вида и = Ту, где Т-невырожденная матрица, систему уравнений вида (16) приводит к аналогичной системе вида

д2ь А ди В дь

дхду х + удх х + уду

где А = Т~1АТ, В = Т~1ВТ. Выбор преобразования позволяет считать, что матрица Но имеет вид:

Я0 = т— - (18)

Справедливо следующее утверждение

Теорема 8.4. Пусть для системы уравнений (17) главный инвариант Но задается формулой (18), и выполнены условия существования и единственности обобщенных инвариантов (11) и (12). Тогда обобщенные инварианты Лапласа для системы уравнений (17) вычисляются по формуле:

Х„ — Нп ... Но —

(х + у)2("+!)

( П Wii ~ oil - 0 о\

г=1

О 0 0

V о оо/

Также выписаны системы уравнений, у которых обобщенный инвариант равен нулю, найдены их решения. Отметим, что в работе10 рассмотрены двухкомпонентные системы уравнений вида (16).

Третья глава посвящена задачам Коши и Гурса для линейных и нелинейных гиперболических систем уравнений.

В 9 параграфе приводится схема построения решения задачи Гурса (10), (4) для линейной гиперболической системы уравнений в случае двух-компонентной системы и в случае п-компонентной.

10Гиззаткулова A.M., Жибер A.B. Системы уравнений Эйлера-Пуассона с нулевыми обобщенными инвариантами Лалпаса // Математические модели и методы их исследования. Труды международной конференции / Институт вычислительного моделирования СО РАН. Красноярск. - 2001. - Т. 1. -С. 169 - 175.

В 10 параграфе приведены явные формулы решения задачи Гурса для линеаризованных цепочек Тоды серий Ап, Вп, Сп и £>„.

В 11 параграфе рассматривается обобщенная задача Коши для системы линейных гиперболических уравнений

|| + £ {^(х, + Ьф, + <*(*. У)^) = /<(*, у), (19)

г = 1,2,. ..п,

«IА} = Ф(Х>У)> ^

= ф(х,у), (20)

АВ

где и = («1, «2,..., ип)г-неизвестная вектор-функция, п- нормаль к кривой АВ, причем однородная система, соответствующая системе (19) имеет обобщенные инварианты Лапласа равные нулю, ХГ = = 0. Показано, что решение обобщенной задачи Коши (19), (20) сводится к решению задачи Гурса для системы уравнений с нулевыми обобщенными инвариантами Лапласа. В качестве примера рассматривается обобщенная задача Коши для линеаризованной цепочки Тоды серии А2-

Г {3\)ху + 2е% - ^92 = 0, , ,

I Ых2/-еид1+2е"52 = 0, 1 ;

Я

д\лв = <р(х,у), = (22)

где д = (д\,д2)Т, и, г/-заданные функции, удовлетворяющие системе

иху + 2еи - е" = 0, уху - еи + 2е" = 0. Построено точное решение задачи Коши (21), (22), а именно

фо,Уо) = + | / [у(% - («« - 2У^а)д)йу-

РЯ (23)

-{у({)дх - - 2ь®Ь)д}йх, » = 1,2, где г/*', г = 1,2, имеют следующий вид:

Уо

<й}в1 - | (ге^'йл^о.у) - у)) е2],

^(х, у) = ^-^^[е-^^е^Ч6"""'^4""" / (е»<^а(*о,

Уо

где векторы ех = (Д), &г = ({), а функции

а(г0,у) = 2их(х0,у) + ух(х0,у) - 2их(хо,уа) - Ух(х0,у0),

Р{хо,у) = 2ух(х0,у) + их{х0,у) - 2ух{х0,у0) - их(хо,уо). В параграфе 12 главы 3 рассматривается система уравнений

(24)

у которой ¿еЦНх ■ К\) = 0, огсЦДь К\) = 1 и цепочка обобщенных инвариантов Лапласа обрывается на втором шаге11, где Н\, ^-главные инварианты линеаризации системы (24). Для построения точного решения задачи Гурса системы уравнений (24) используется схема построения решения соответствующей задачи для нелинейных гиперболических уравнений, рассмотренная в 3 параграфе главы 1.

Удалось вычислить высшие симметрии системы уравнений (24), а именно:

здесь ■ф1(х, ги, IV, гих, ]УХ,...), ф2{х, т, У/, юх, ...) - произвольные х - интегралы, а ф1(у, й>, V/, й]у, №у,...), ф2(у, й>, V/, й)у, У/у,.. ,)-произвольные у -интегралы.

Используя полученные симметрии, задача интегрирования системы (24) сводится к следующей системе обыкновенных дифференциальных уравне-

11 Гурьева А. М. Метод каскадного интегрирования Лапласа и нелинейные гиперболические системы уравнений 11 Диссертация на соискаиие ученой степени кандидата физико-матсматггсеских паук. -

И

р = (£> + и^ф1 -ф2, д = ухф1 + ф2 р = йу—Йф1 + йуф2 + 2ф1, д= -щ^Вф1 + ууф2 - 2ф

■ш

1 =

2005. - 172 с.

ний

r^L = (D + их)фг -ф2 = йу^бф1 + йуф2 + 2ф\

от w

т^. = ихфх + ф2 = -Vy^Dp + йуф2 - 2ф\ дт w

дщ дт dv,

иуф1,

= еи+"йу—£>ф1 + е^иуф2, дт из .

А = е^щ-Зф1 - еи+\ф\ дт ю

здесь т-групповой параметр. Построено решение данной системы уравнений, зависящее от 4 произвольных функций, которое позволяет получить точное решение задачи Гурса для системы уравнений (24)

« 1г,=о= 1пр(гт), V |у=0= 1пд(х), и |х=0= 1пр(у), и |1=0= 1пд(у),

а именно:

и = In

p(x)p(y)q(0)

V = In

p(0)g(0) + jf/qdUl - exp{jpqdO)

q(x)q(y)p(0)exp{jpqd4} о

(pq - Jfm(exp{JpqdO - 1) +p(0)g(0) о о

Заключение содержит обзор полученных результатов.

Благодарности. Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Анатолию Васильевичу Жиберу за предложенную тему исследований, постоянное внимание, неоценимую помощь и всестороннюю поддержку в процессе работы над диссертацией.

Публикации по теме диссертации в изданиях из перечня ВАК

1. Жибер A.B., Михайлова Ю.Г. (Воронова Ю.Г.) О задаче Гурса для гиперболическиих систем уравнений с нулевыми обобщенными инвариантами Лапласа // Уфа.Вестник УГАТУ. - 2007. - Том 9. - № 3(21). - С. 136 -144.

2. A.V. Zhiber, Yu.G. Mikhailova (Yu.G. Voronova) On Hyperbolic Systems of Equations with Zero Generalized Laplace Invariants // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. Suppl.l. - 2008. - S 154 - 164.

3. Жибер A.B., Михайлова Ю.Г. (Воронова Ю.Г.) Алгоритм, построения общего решения п-компонентной гиперболической системы уравнений с нулевыми инвариантами и краевые задачи // Уфимский математический журнал. - 2009. - Том 1. - № 3. - С. 28 - 45.

4. Воронова Ю.Г. О задаче Коши для линейных гиперболических систем уравнений с нулевыми обобщенными инвариантами Лапласа // Уфимский математический журнал. - 2010. - Том 2. - № 2. - С. 20 - 26.

5. Воронова Ю.Г., Жибер A.B. Симметрии и задача Рурса для системы уравнений иху = eu+vuy, vxy = —ew+vvy // Уфимский математический журнал. - 2013. - Том 5. - № 3. - С. 20 - 27.

Публикации в других изданиях

6. Михайлова Ю.Г. (Воронова Ю.Г.) Решение задачи Гурса для линейного гиперболического уравнения интегрируемого каскадным методом Лапласа //Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике. Уфа. БГУ. 2004. Т. 1. С. 153 - 164.

7. Жибер A.B., Михайлова Ю.Г. (Воронова Ю.Г.), Цирельман Н.М. Анализ термомеханических процессов tía основе уравнения гиперболического типа // Уфа. УГАТУ. Российская научно-техническая конференция Мавлютовские чтения. Сборник трудов. - 2006. - Т.З. - С.84 - 90.

8. Михайлова Ю.Г. (Воронова Ю.Г.) Точные решения задачи Гурса для линеаризованных цепочек Тоды //Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике, физике и химии. Уфа. Уфа: РИД БашГУ. - 2006. - Т. 2. - С. 85 - 94.

9. Михайлова Ю.Г. (Воронова Ю.Г.) Взаимосвязанный тепломассопе-ренос с гиперболическими уравнениями процесса // Всероссийская молодежная научная конференция "Мавлютовские чтения". Сборник трудов. Уфа. УГАТУ. - 2007. - Т. 3. - С. 84 - 90.

10. Жибер A.B., Михайлова Ю.Г. (Воронова Ю.Г.) Точные решения задачи Гурса для гиперболических систем уравнений с конечной цепочкой инвариантов Лапласа // Международная научная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы". Стерлитамак. - 2008. - Т. 1. - С. 89 - 93.

11. Жибер А.В., Михайлова Ю.Г. (Воронова Ю.Г.) Тонные решения краевых задач для линейных гиперболических систем уравнений с нулевыми обобщенными инвариантами Лапласа // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. Абрау-Дюрсо. -2008. - С. 221 - 223.

12. Михайлова Ю.Г. (Воронова Ю.Г.) Построение решения линейной гиперболической системы уравнений // Труды XXXIX всероссийской молодежной школы-конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики". Екатеринбург: УрО РАН. - 2008. - С. 143 - 147.

13. Михайлова Ю.Г. (Воронова Ю.Г.) Задача Гурса для линеаризованной цепочки Тоды серии Ап // Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по мат-ке, физике и химии. Уфа: РИЦ БашГУ. - 2008. - Т. 1. - С. 47 - 52.

14. Михайлова Ю.Г. (Воронова Ю.Г.) Краевые задачи с данными на характеристиках для линеаризованных цепочек Тоды серий А„ и Вп // Труды Института математики с ВЦ УНЦ РАН. Уфа: РИЦ БашГУ. - 2008. - № 1. - С. 146 - 1-55.

15. Михайлова Ю.Г. (Воронова Ю.Г.) О задаче Гурса для линеаризованных цепочек Тоды серий Сп и Юп // Труды 40-й всероссийской молодежной школы-конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики". Екатеринбург. - 2009. - С. 160 - 165.

16. Воронова Ю.Г. О задаче Коши для одной линейной гиперболической системы уравнений // Известия уфимского научного центра РАН. -2012. № 2. - С. 5 - 9.

17. Воронова Ю.Г. Построение решения задачи Гурса для нелинейных гиперболических уравнений с интегралами первого и второго порядка // Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых "Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании". Уфа: РИЦ БашГУ 2012. - Т. 1 - С. 51 - 58.

ВОРОНОВА Юлия Геннадьевна

ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ С НУЛЕВЫМИ ОБОБЩЕННЫМИ ИНВАРИАНТАМИ ЛАПЛАСА

Специальность: 01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических паук

Подписано к печати 08.11.2013. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать плоская. Гарнитура Тайме. Усл. печ. л. 1.0. Уч.-изд.л. 1.0. Тираж 100 экз. Заказ № 591.

ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический

университет Центр оперативной полиграфии УГАТУ 450000, Уфа-центр, ул. К.Маркса, 12.

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования «Уфимский государственный авиационный технический университет»

На правах рукописи

04201451473

Воронова Юлия Геннадьевна

ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ С НУЛЕВЫМИ ОБОБЩЕННЫМИ ИНВАРИАНТАМИ

ЛАПЛАСА

01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и

оптимальное управление

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор А.В. Жибер

Уфа - 2013

Оглавление

Введение 4

Глава 1. Скалярные гиперболические уравнения 20

§1. Построение решения задачи Гурса для линейного гиперболического уравнения...................... 20

§2. Точное решение задачи Коши................. 27

§3. Краевые задачи для нелинейных гиперболических уравнений, интегрируемых по Дарбу ................................31

Глава 2. Метод каскадного интегрирования Лапласа для гиперболических систем уравнений 47

§4. Инварианты и обобщенные инварианты Лапласа...... 47

§5. Метод построения общего решения для двухкомпонентных систем уравнений с нулевыми обобщенными инвариантами

Лапласа............................. 53

§6. Алгоритм построения общего решения для п-

компонентной гиперболической системы уравнений .... 65 §7. Линейные гиперболические системы уравнений с постоянными коэффициентами .................... 77

§8. Системы уравнений Эйлера-Пуассона............ 87

Глава 3. Задачи Гурса и Коши для гиперболических систем уравнений 104

§9. Задача Гурса для линейной гиперболической системы

уравнений с нулевыми обобщенными инвариантами Лапласа104 §10. Линеаризованные цепочки Тоды...............112

§11. Задача Коши..........................133

§12. Задача Гурса для одной нелинейной гиперболической системы уравнений........................139

Заключение 153

Литература 154

Введение

Изучение проблемы интегрирования гиперболических уравнений

вида

иху = F(x, у, и, их, иу), (0.1)

восходит к классическим работам таких математиков, как П.С. Лаплас, Ж. Лиувилль, С. Ли, Ж.Г. Дарбу, Э. Гурса, К.Г. Якоби. Например, французский математик П.С. Лаплас предложил метод нахождения общего решения специальных линейных гиперболических уравнений второго порядка с переменными коэффициентами, впоследствии именуемый "каскадным методом Лапласа". Данный метод использовал Ж.Г. Дарбу для отыскания интегралов и для выяснения интегрируемости заданного уравнения [55, 56, 65, 66]. Под интегрируемостью Дарбу подразумевал наличие у уравнения (0.1) нетривиальных х— и у— интегралов. Метод Дарбу интегрирования гиперболических уравнений (0.1) состоит в отыскании интегралов по каждому характеристическому направлению и дальнейшему сведению его к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям. Но, в общем случае получение явных формул общего решения весьма затруднительно.

В более поздних исследованиях, в работах Гурса, Вессио (см. [60, 65, 66]) для нахождения интегралов стал использоваться алгебраический подход, использующий характеристические векторные поля (именно в рамках такого подхода были получены, по-видимому, первые списки уравнений, обладающих интегралами по обоим направлениям [60]).

Другой подход к интегрированию нелинейных уравнений связан с однопараметрическими группами преобразований, т.е. с симметри-ями. Понятие симметрии впервые было введено в работах С. Л и и

Э.Нетер и служит фундаментом современной теории интегрируемости. Открытие в 1967 году метода обратной задачи рассеяния и появление класса солитонных уравнений позволило по-новому взглянуть на теорию интегрируемых систем. Стало ясно, что уравнения, интегрируемые при помощи метода обратной задачи рассеяния, обладают бесконечной иерархией высших симметрий. В последние три десятилетия в рамках симметрийного подхода были созданы эффективные алгоритмы решения классификационных задач и составлены исчерпывающие списки интегрируемых представителей для очень важных классов нелинейных уравнений в частных производных и их дискретных аналогов (см. [1, 13, 14, 30, 31, 39, 40, 41, 42, 52, 57, 58, 59, 61, 62, 63, 64]).

На сегодняшний день перспективным является подход, использующий метод каскадного интегрирования Лапласа применительно к линеаризованному уравнению (0.1) (см. [16, 20, 44, 49]). В рамках данного подхода уравнение вида (0.1) называется интегрируемым, если для его линеаризации происходит обрыв цепочки инвариантов Лапласа. Рассмотрение такого класса уравнений позволило в работе [17] получить полную классификацию гиперболических уравнений лиувиллевского типа. Также в работах Anderson J.M. [53], Kamran N. [54], Царева С.П. [50], Капцова О.В. [27], Жегалова В.И., Тихоновой O.A. [12] каскадный метод распространен на более общий класс гиперболических уравнений.

Настоящая диссертация посвящена обобщению каскадного метода Лапласа на системы гиперболических уравнений. Преобразования Лапласа для систем линейных уравнений, начали изучаться лишь в последнее время. Впервые идеи обобщения метода каскадного интегрирования Лапласа на системы гиперболических уравнений были изложены в 2001 г. в работе A.B. Жибера и В.В. Соколова [17]. В дальнейшем развитием данного метода занимались A.B. Жибер [18], В.В. Соколов [19], С.Я. Старцев [43, 45, 46], А.М. Гурьева [9]. Задача обобщения метода каскадного интегрирования на системы уравнений является очень важной на данный момент, поскольку активно используется для классификации нелинейных уравнений.

В данной работе также подробно рассмотрена задача определения решения по данным на характеристиках. Эту краевую задачу часто называют задачей Гурса. Задача с данными на характеристиках представляет большой интерес с точки зрения физических приложений. Она встречается, например, при изучении процессов сорбции и десорбции газов, процессов сушки и многих других задач.

Перейдем к подробному изложению результатов диссертации. Введем понятия, обозначения и обговорим предположения, которыми будем пользоваться на протяжение всей работы.

Все рассмотрения ведутся в классе локально аналитических функций. В дальнейшем под буквой и будем понимать произвольное решение уравнения (0.1). Легко видеть, что всякая смешанная производная от и может быть выражена через переменные

X, у, и, Щ = их, Щ = ихх, • • ■ ) из = иххх, • • • ■> (0 2)

Я1\ — У/у, 112 ~ иру, . • • , из = иууу, ....

Данные переменные нельзя связать между собой, пользуясь уравнением (0.1) и его дифференциальными следствиями. Поэтому в дальнейшим во всех определениях и выкладках они считаются независимыми переменными. Само уравнение (0.1) будем записывать в виде

ВВи = Р{х, у, и, их, иу), (0.3)

где ^-операторы полных производных уравнения (0.1). Более формально, операторы Т) являются дифференцированиями в пространстве локально аналитических функций, каждая из которых зависит от конечного числа переменных (0.2). Эти дифференцирования задаются соотношениями

И{ик) = щ+1, 5(йк) = йк+1, и0 = щ = и, к = 0,1,2,...,

В1)и — Р(х,у, и, щ, щ), {0,Б] = 0.

Введем важные понятия симметрии и интеграла уравнения (0.3). Определение 0.1. Симметрией уравнения (0.3) порядка (п,т) называется функция / = /(х,у,и,Щ, . . . ,ип,йъ . . . ^т), ф 0, /йт ф 0,

удовлетворяющая уравнению

[ОЙ - ¿^Я - ЯьЯ -Fu)f = 0. (0.4)

Уравнение (0.4) называется определяющим уравнением. Определение 0.2. Функция и (х, у, и, щ,..., ип) называется х-интегралом для уравнения (0.3), если 5 (и) = 0. Функция Со (х,у,и,щ,... ,йт) называется у-интегралом для уравнения (0.3), если 0(й) — 0.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Все теоремы, леммы, замечания и формулы занумерованы двумя цифрами, первая из которых означает номер параграфа, а вторая - номер по порядку.

В первой главе диссертации рассматриваются линейные гиперболические уравнения второго порядка с переменными коэффициентами вида

иху + а(х, у)их + Ь(х, у)иу + с(х, у)и = 0, (0.5)

интегрируемые каскадным методом Лапласа. Данный метод был неоднократно описан в классических (см. например [48, 60]) и современных работах (см. например [17, 27]). Поэтому приведем только основные положения данного метода необходимые для целостного изложения материала диссертации. Основу метода каскадного интегрирования Лапласа образуют инварианты Лапласа

..., /1_3, к-2, /г-1, Ь> = /¿ъ Ь>2, Из,...,

которые вычисляются посредством рекуррентной формулы

д2

Нп+1 = 2кп - Нп-1 - К), пЕ Ъ, (0.6)

исходя из "начальных значений" Но = ах + аЪ — с и ко = Ъу 4- аЬ — с, при этом кп = кп-\.

В первом параграфе диссертации для линейных скалярных гиперболических уравнений (0.5), для которых ряд инвариантов Лапласа обрывается с двух сторон, т.е. Нп = к-т = 0 для некоторых целых п, т,

получена явная формула решения краевой задачи с данными на характеристиках:

и{х, у0) = ф{х), и(хо, у) = ф{у), (0.7)

а именно [21, 32]:

и(х, у) = е \Dl-D • • • т^Б

к

/ Ь(г,у)сЙ-/ ап(х^)<И уо X

и2

-¡Ъ{Ь,уо)<И

х / Ьп-1(и„, Уо) / Ь„-2(ип-1, Уо)---/ Ни 1, уо)е и1 • • • (1и

ХО Хо Хо

■п

к к-т+1

В

/ а{х$)<И— / Ь-т(г,у)сИ У и2

еУ0 х° /к-т+1(ит)---/к(и1)х

Уо Уо

их

— / ап(хо^)сИ

Уа ^ (1щ • • • (1ит

Также рассмотрен случай неоднородного линейного гиперболического уравнения.

В параграфе 2 главы 1 приведены формулы для решения задачи Коши

и = /(х,у),

ди дп

(0.8)

(0.9)

АВ

в случае когда однородное уравнение, соответствующее уравнению (0.8), имеет нулевые инварианты Лапласа.

В третьем параграфе главы 1 рассматривается задача Гурса для уравнения

иху = /(х,у,и,их,иу), (0.10)

и(х,0,т) = ф(х,т), и(0,у,т) = ф{у,т), (0.11)

где краевые условия (0.11) зависят от параметра т. Для построения точного решения задачи (0.10), (0.11) используется метод сведения к динамической системе, идеи данного подхода были предложены в работе [28].

Используя данный метод, построено решение задачи Гурса [5]: и(х,у) — 1п (тф(х)ф(у)) = 0 при ху = О

для уравнений

иху = ихиу : и = 1п

иху - в

и = 1п

тф(х)ф(у)ф(0)ф(0) \ кф(х)ф(0) - ф(у)(ф(х) - ф(0))) '

4 тф(х)ф(у)

2 -т1фЮ(1г}ф(г)(и)

о о / /

иХу = еииу : и = 1п

тф(х)ф(у)ф(0)

\

тф{0) / фЦ)сИ

Также в 3 параграфе главы 1 построено решение уравнения Лиувил-

ля

и

иХу — в ,

(0.12)

зависящее от двух произвольных функций, которое определяется формулой

и = 1п [Ф(Х{х) + У(у), т)Х'(х)У(у)},

где функция Ф удовлетворяет уравнению

Ф Ф2

^рр р = ф

ф ф2 '

здесь р = Х(х) + У (у), а Х(х), У (^-произвольные функции.

От переменных (х, у) перейдем к переменным (£, £) в уравнение (0.12), тогда задача Коши для уравнения (0.12) имеет вид:

где функция £) = u(€ + t,£ — t). Решение данной задачи определяется

по формуле

г п г 1

О Ь -1 О

-\п{ + в(0) / ежр

о

+ Щ I ехР

I ^щт +

¿77+

ю

(¿77 > +1п2,

где з(£) решение задачи Коши:

✓К) - ^ -1) е^ = 6 |е_о = .(о).

Во второй главе диссертации рассматривается обобщение каскадного метода Лапласа на линейные системы уравнений вида

д2и ди .ди ,л „

—- + а— + Ь— + си = 0, 0.13

охду ох оу

где а, Ь, с - квадратные матрицы порядка п элементы которых суть функции переменных х и у, а и - столбец неизвестных и1, и2,... ,ип, прямолинейное обобщение метода Лапласа состоит в следующем. Главные инварианты Лапласа определяются формулами

да

#1 = — + оа- с ох

„ дь

и К\ = ——Ь ло — с, оу

(0.14)

а матрицы Щ при г > 1 находятся последовательно из системы уравнений

тгЩ + щЩ — Щщ-х = 0, оу

гт л дЬ ТТ . л п

1 = ду+ г = 1,2,...,

(0.15)

(0.16)

где ао = а. В скалярном случае эти формулы совпадают с формулами (0.6), задающими инварианты скалярного уравнения.

Если Щ при г < к и щ при г < к — 1 уже известны, то из уравнения (0.15) определяется а затем из уравнения (0.16) - Нь+ь Однако, если det Н& = 0, то аи либо вообще не существует, либо определяется с точностью до ядра матрицы Я&. При этом выбор элемента из

ядра существенно влияет на факт существования и явные формулы для следующих инвариантов. Таким образом мы сталкиваемся с проблемой корректного определения цепочки инвариантов. Положим

хк = Нк ■ Нк-1 ..... #1, Ук = Кк-Кк. !•.... Кг. (0.17)

Далее высшие инварианты определим так: пусть матрицы Н\, Н2,..., Щ известны и уравнение

4-Хг + щХг - Х{а = о (Хг = ЩН... Нг) (0.18)

ду

имеет решение а,-, тогда положим

Ят = ~ Щ + + Я*' г'= 1?2' • • • (0'19)

Аналогично, если уже найдены элементы К\, К2,..., Кг и существует решение Ь{ уравнения

г\

—У{ + № - Уф = 0 (У{ = К\К{—\... Кх), (0.20)

то

= + [а'ь<] + к*' * =2' • • • (°-21)

Элементы Хг и У^ г = 2,3,... будем называть обобщенными инвариантами Лапласа. Справедливо следующее утверждение (см. [9, 17, 19]):

Теорема 0.1. Инвариант Лапласа Х{ системы (0.13) существует и определен однозначно тогда и только тогда, когда для всех к < % выполнены условия

+ (кегХ^ С кегХь (°-22)

+ (1тХк) С 1тХк. (0.23)

\дх

Таким образом мы рассматриваем уравнения (0.13) для которых происходит обрыв цепочек {Хк} и {Ук}, то есть таких для которых существуют целые п > 1 и т > 1, что Хп = 0 и Ут — 0.

Известно (см. например [60]), что, если скалярное уравнение (0.5) имеет решение

тп

аг

и

г=0

где Рг, г = 0,1,..., т - заданные функции, а X(^-произвольная функция, то найдется целое число г (0 < г < т) такое, что инвариант кг равен нулю, В четвертом параграфе главы 2 данной диссертации этот факт обобщается на системы уравнений типа (0.13) [23], [67]: Теорема 4.1. Пусть для системы уравнений (0.13) выполнены условия (0.22) и (0.23) для к = 1,2,... ,т и существует решение вида

т

дг

и

г—О

где Х(х)-столбец произвольных функций х1(х),... ,хп(х) переменного х, а ро,р\,... ,рт-заданные матрицы-функции переменных х и у, причем с1е1 рт -ф 0. Тогда обобщенный инвариант Лапласа Хт+1 = 0.

В параграфе 5 главы 2 рассматриваются двухкомпонентные системы уравнений (0.13) для которых найдутся г > 0 и 5 > 0, такие, что для всех г < г, ^ < в ее инварианты Лапласа Х{ и Yj существуют, однозначно определены и Хг = У3 = 0. Предположим, что инварианты Х\,..., Хк -невырожденные матрицы. Для таких систем уравнений построено общее решение, а именно [22]:

и =

где

х2-\1 + Ь)Х2

Ук =

У

V д ■ (д , (^--О'Л

\дх ^ фк+1 ) ' ' ' \дх ^ Фг-1 )

■фк+1 2/0

Фк+2

+ Ь)Х„

Р~

Ук, (0.24)

(0.25)

■ ■ (& + + И'З,

здесь Р- базис 1тХк+\, а ф - базис кегХк+\ выбраны таким образом,

что

(& + Ь)Р = 0' {§у+°)р = Рр + чЯ-

Функция г = т(х)ехр ( — / рсИ), т(х), И/Г(а;)-произвольные функции.

V УО )

Справедливы соотношения

ХгР = фгР, I = к + 1, к + 2, ... ,Г — 1,

Нк+1Р = НР, ХкР=Щ±Р + 11ХкЯ.

гг

Аналогично строится решение с использованием обобщенных инвариантов УьУ2,...,Ув_1.

В параграфе 6 главы 2 алгоритм построения общего решения обобщается на п-компонентные гиперболические системы уравнений вида (0.13) [26, 35].

В 7 параграфе главы 2 рассматриваются линейные гиперболические системы уравнений вида

-и + а—И + Ь—и + с1Г = 0, (0.26)

дхду дх ду

где а, Ь и с-постоянные матрицы второго порядка, [/-столбец неизвест-

т

ных (и1(х,у),и2{х,у)) . Получен общий вид обобщенных инвариантов Лапласа для линейных систем уравнений (0.26).

Теорема 7.1. Пусть инварианты Лапласа Н\, Щ,..., Нк уравнения (0.26) -невырожденные матрицы, а = 1- Тогда обобщенный

инвариант порядка п вычисляется по формуле

Хп = (а,Р)п-к~1Хк+1, п = к + 1,к + 2,...

здесь а = (аь а2), Р = (А, /?2), Нк+1 = аТ • (3.

Описаны системы уравнений (0.26), для которых обобщенные инварианты Лапласа есть нулевые матрицы и для них построено общее решение. Также проведена классификация систем уравнений третьего порядка с постоянными коэффициентами, у которых инвариант Н\ имеет ранг 2, а обобщенный инвариант Лапласа Х2 = 0.

В 8 параграфе главы 2 рассматриваются системы уравнений Эйлера-Пуассона:

д2и А ди В ди .

+ —— — + —— — = 0, (0.27)

дхду х + у дх х + у ду

в которой А, В-квадратные матрицы порядка п, а и = (и1, и2,..., ип)т-столбец неизвестных. Система уравнений (0.27) представляет собой обобщение скалярного уравнения Эйлера - Пуассона (см. например [48]). Найдены формулы для вычисления невырожденных инвариантов Лапласа и обобщенных инвариантов для п-компонентных систем уравнений Эйлера-Пуассона. Справедливо утверждение

Теорема 8.1. Невырожденные инварианты Лапласа и обобщенные инварианты для системы уравнений (0.27) вычисляются по формулам:

Нк = ^(В - к — 1 ){В - к) ...(В - 1)(А + к) (В - I)"1 ...(В - к)~\ Хк = Нк-...-Н0 = - к - 1)... (В - 1)(А + к)... (А + 1 )А,

Кт = -т- 1 )(А - т)... (А - 1 )(В + т)(А - I)"1 ...(А — т)~\

Ут = Кт-...-Ко= (х+у)2т+2 {А - т - 1)... (А - 1)(В + т)... (В + 1)В, при этом

ак+1 = ^(В - к - 1).. .(В - 1)(А + 2к + 2)(В - I)-1.. .(В - к - 1)~\ Ьгп+1 = ^-у(А-т-1)...(А-1)(В + 2т + 2)(А-1)-1...(А-т-1)-К

Получен список систем с нулевыми главными инвариантами Лапласа, найдены их решения.

В случае, когда ранг главного инварианта равен единице, преобразование вида и = Ту, где Т-невырожденная матрица, систему уравнений вида (0.27) приводит к аналогичной системе вида

д2у А ду В ду /п

+--г— +-— - 0, (0.28)

дхду х 4- удх х уду

где А — Т~1АТ, В = Т~1ВТ. Выбор преобразования позволяет считать, что матрица Но имеет вид:

/ 1 0 0 \

Я0= 1

(х + уУ

ООО

V о о о у

(0.29)

Справедливо следующее утверждение

Теорема 8.4. Пусть для системы уравнений (0.28) главный инвариант Но задается формулой (0.29), и выполнены условия существования и единственности обобщенных инвариантов (0.22) и (0.23). Тогда

обобщенные инварианты Лапласа для системы уравнений (0.28) вычисляются по формуле:

Хп = Йп .. .Но —

(;X + у)2(п+1)

( п - аи - о

г=1

О 0 0

у О О 0 у

Также выписаны системы уравнений, у которых обобщенный инвариант равен нулю, найдены их решения. Отметим, что в работах [8, 10] рассмотрены двухкомпонентные системы уравнений вида (0.27).

Третья глава посвящена задачам Коши и Гурса для линейных и нелинейных гиперболических систем уравнений.

В 9 параграфе главы 3 приводится схема построения решения задачи Гурса (0.13), (0.7) для линейной гиперболической системы уравн�