Понижение порядка и решение в квадратурах дифференциальных уравнений со старшими частными производными тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

0046У7641

V V

Тихонова Ольга Александровна

ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА И РЕШЕНИЕ В КВАДРАТУРАХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ СО СТАРШИМИ ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

-2 СЕН 2010

Казань - 2010

004607641

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений механико-математического факультета ФГАОУВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Жегалов Валентин Иванович Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Зайцев Валентин Федорович

доктор физико-математических наук, профессор

Хайруллин Равиль Сагитович Ведущая организация: Белгородский государственный уни-

верситет

Защита состоится « 30 » сентября 2010 года в 14 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 при КФУ, расположенном по адресу: 420008, г. Казань, ул. Профессора Нужина, 1/37, НИИММ, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им. Н. И. Лобачевского ФГАОУВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет».

Автореферат разослан « 3 » июля 2010 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических

наук, доцент

Липачев Е. К.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В работе рассматриваются уравнения вида О- и[Х1 =

дх^... дхпт» к ' к '

где М — линейный дифференциальный оператор с достаточно гладкими переменными коэффициентами, содержащий лишь производные, получаемые из первого слагаемого в левой части (1) отбрасыванием по крайней мере одного дифференцирования.

Первые исследования уравнений данного класса возникли в результате теоретического обобщения: итальянские математики Л. Бианки и О. Ник-колетти разработали вариант распространения на эти уравнения метода решения задачи Коши, предложенного в свое время Б. Риманом для хорошо известного в математической физике уравнения иху + аих + Ьиу + си = /. При этом оба указанных автора рассматривали частный случай т^ — 1, к = 1 ,п, при любом п е N.

Впоследствии уравнения (1), в том числе для Шк > 1, с различных точек зрения изучали Г. Бейтмен, Е. Лаэ, Г. Горнич, Д. Манжерон, М. Огюсторели, Д. Колтон, С. Еасваран, В. Радочова, А. Кордунеану, У. Ранделл, М. Стечер, И. Н. Векуа, М. К. Фаге, А. П. Солдатов, М. X. Шхануков, Б. А. Вондареп-ко, Г. У. Саидкаримова, В. И. Жегалов, В. А. Севастьянов, А. Н. Миронов, Е. А. Уткина, В. Ф. Волкодавов, О. М. Джохадзе и другие авторы. При этом выяснилось, что частные случаи указанных уравнений встречаются в теории упругости, при изучении фильтрации жидкости в трещиноватых породах, влагопереноса в почвогрунтах, передачи тепла в гетерогенных средах, моделировании различных биологических процессов и явлений, распространении волн в диспергирующих средах, а также в теории оптимальных процессов и обратных задачах. Имеются и чисто математические вопросы, связанные

с уравнениями (1): они играют существенную роль в теории аппроксимации и теории отображений, к задаче Коши для частных форм (1) сводится задача интегрального представления преобразований одних обыкновенных линейных дифференциальных операторов в другие.

При т,к — 1, к — 1, п обсуждаемые уравнения называются сейчас именем Л. Бианки, а в общем случае (при наличии гпк > 1) — псевдопараболическими уравнениями.

В теории дифференциальных уравнений с самого начала её возникновения значительное внимание уделялось отысканию случаев понижения порядка уравнений и построению их решений в явном виде (в квадратурах). Особенно интенсивно этот аспект развивался в области обыкновенных дифференциальных уравнений: многочисленные результаты отражены в широкоизвестных справочниках Э. Камке, В. Ф. Зайцева и А. Д. Полянина. В значительно более обширной теории уравнений с частными производными подобные вопросы разработаны менее основательно, что послужило причиной для выбора темы предлагаемого диссертационного исследования.

Цель работы и методы исследования. Мы отыскиваем условия, накладываемые на коэффициенты уравнений вида (1), достаточные для понижения порядка этих уравнений или решения их в квадратурах. Разрабатываются три подхода: изучение возможностей факторизации оператора в левой части уравнения; вывод новых вариантов условий, обеспечивающих построение функций Римана в явном виде; развитие метода каскадного интегрирования (Лапласа). В первом подходе эвристические соображения комбинируются с методом математической индукции. Во втором речь идёт об уравнениях Бианки: полученные ранее результаты для числа измерений п < 3 распространяются на случаи п ^ 4. Все рассуждения здесь тесно связаны с методом Римана, при этом используются результаты теории обобщенных гипергеометрических функций. Наконец, каскадный метод развивается с целью

распространения рассуждений Лапласа с уравнения иху -Ь аих + Ьиу 4- си = / на его трёхмерный аналог.

Научная новизна. Она содержится как в разрабатываемой методике, так и в результатах, основными из которых являются:

1. Для уравнения общего вида на основе факторизации оператора в левой его части разработаны различные варианты понижения порядка: от понижения на единицу до решения в квадратурах.

2. Для уравнения Бианки метод построения в явном виде функции Римана распространён с трёхмерного пространства в п-мерное.

3. Разработан трёхмерный вариант метода каскадного интегрирования, на основе которого выделено значительное число новых случаев интегрирования рассматриваемого уравнения в квадратурах.

4. Для общего псевдопараболического уравнения четвёртого порядка с двукратным дифференцированием старшей производной по каждой из двух независимых переменных выделены случаи построения решений задач Гурса и Коши в явном виде.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы для изучения возможностей решения в явном виде более сложных уравнений.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих семинарах и конференциях: Третья молодёжная научная школа-конференция «Лобачевские чтения — 2003» (Казань, 2003 г.); итоговая конференция по научно-исследовательской деятельности КГУ за 2005 год (Казань, 2006 г.); международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2006 г.); конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Самара, 2007 г.); Восьмая междуна-

родная Казанская летняя научная школа-конференция «Теория функций, её приложения и смежные вопросы» (Казань, 2007 г.); Шестая молодёжная научная школа-конференция «Лобачевские чтения — 2007» (Казань, 2007 г.); Седьмая молодёжная научная школа-конференция «Лобачевские чтения — 2008» (Казань, 2008 г.); Девятая международная Казанская летняя научная школа-конференция «Теория функций, её приложения и смежные вопросы» (Казань, 2009 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 12 работах, из них три статьи опубликованы в журналах из перечня ВАК. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, которые разбиты на восемь параграфов и списка использованной литературы. Объем диссертации составляет 123 страницы. Список литературы содержит 69 наименований, включая работы автора.

Краткое содержание диссертации

Во введении обоснована актуальность исследуемой проблемы, сформулированы цель и задачи диссертационной работы, перечислены полученные в диссертации новые результаты и описана структура диссертации.

В первой главе «Понижение порядка путем факторизации с применением к решению гарничных задач», состоящей из трёх параграфов, для проводимых рассуждений оказывается удобным ввести обозначения

■-■"»и

<к=0,1>£=1,п г1+...-Н„<п

(¿1) ■■.)&,... — (Чг ■ ■ ■ I к, ¿¿+1,..., гп),

ттц тп

Е-Е

.11=0 {„=0]

Е

¿к=0,шь,А=1,п «1+...+«п<Ш1+...+тп

Первый параграф этой главы посвящен уравнениям Вианки, рассматриваемым в некоторой области Б евклидова пространства М", которые в указанных обозначениях принимают вид

«(1.

..л,+ «(,..,„)=/■

(2)

Здесь изучен вариант с понижением порядка на к единиц (при этом сначала в качестве вспомогательного излагается случай к = 1). Доказаны две теоремы:

Теорема 1.1. Если при некотором ] € N (1 ^ ] ^ п) коэффициенты уравнения (2) удовлетворяют условиям д ,а'Т'"'(х), /(я) € С (О) и выпол-

дх?

няются тождества

а(й...!...<») _ + а(Х—0—1) а(Н..л...ц _ 0

Ю]

ц = 0,1, I = 1 ,п, I Ф з, ¿1 + ... + + + ... -I- г„ < п - 1, то (2) эквивалентно уравнению

•■О,,,.

«(1...0...1) + [Е] а(г1-1'"1п/ "(¿1...о...«„) = «1,

где щ = ехр

х ехр

и>(Х1,. .., 2^+1, - хп) — произвольная функция.

Теорема 1.2. Если при некотором к £ N (1 < к < п) коэффициенты уравнения (2) удовлетворяют условиям ^"''¿."'"'(ж), f(x) € С(1>) и выпол-

няются тождества

i'-tjA j=1Л

it = 0,1, I = Vn, «1 + • • ■ + ik < k, ik+1 +... + in < n - fc, mo оно равносильно системе двух уравнений

Щ1..ло...о) + [2] a{il-ihl-1) ик{к..Лко...о) = /, к

Uk = «(0...01...1) + [53] e(1",li|bt,-<n)«(a-0iM.,...<.) к

порядков k и n — k соответственно.

Получена также рекуррентная формула для определения количества вариантов наборов тождеств, выполнение которых приводит к полной факторизации уравнения.

В §2 рассматривается общее уравнение (1), принимающее в наших обозначениях вид

W(m,...m„) + [ £ ]a(il-in) u{il...in) = f, mi +... + mn = r. (3)

ij=0,mj

Изучается тоже два варианта понижения порядка: на единицу и на величину порядка дифференцирования по одной из переменных. Результатом проведенных рассуждений является

Теорема 2.1. Если при некотором j е N(1 ^ j < п), таком что тщ > 1, коэффициенты уравнения (3) удовлетворяют условиям а'а{,\"'"') (х^

<)Zj

f(x) е G(D) и выполняются тождества

mi pji як

Е( 1)^ 0(ii...«i-ifc»m...in) = О У^ ( a(m1...mj-1kmH1...mn) = q^

, „ За;,*1 ' dxjk

k=0 fc-0

i¡ — O, m¡, l - 1 ,n, l ф j, i\ + ... + ij-i + ij+i + ... + г„ < г - m,j, то (1) эквивалентно уравнению

m j-1

fc=o

mi mj—k—l m„

Е- E -E

¡1=0 ¿j=0 tn=0

Qfc

1 dx3.ka u(■>-'") -

Xj

— J / dxj + c(x\,..., Xj—i,Xj+i,..., xn),

где с(ж1,..., Xj-l, Xj+l,..., хп) — произвольная функция.

Теорема 2.2. .Ео/ш при некотором ] £ N (1 ^ ^ ^ п), таком что т^ ^ 1, коэффициенты уравнения (3) удовлетворяют условиям (ж),

ftrV

/(ж) € С(£>) и выполняются тождества

дх.

ц = 0,mi, I — 1,п, I ф j, ij = 0,raj — 1, ¿i + .. +■ ■ . + i„ < r — rrij,

то уравнение принимает вид

W(mi...0...m„) +

m i Щ-i m¡+i rrin

E-E E-E

¿1=0 Íj-1=0 ij+i=0 ¿„=0

a(h-.mj...in) o =

где функция V является решением уравнения

ТП}-1

дт> , Л д'Ч

—_v+ V а(т1-Ъ-т")_— v — f

**? h ^

(4)

Отдельно изучается уравнение (4). В частности, для него доказаны три теоремы. Приведём одну из них.

Теорема 2.5. Если коэффициенты уравнения (4) удовлетворяют усло-

виям Щ- ^ С (В), г^ = 0,то7- — 1 и выполняются тождества

то решение для (4) находится из уравнения

пу—2

.1, т, ...,хп)йт+^2 х] А,

где = А,(х1,... ¡х^-их^+х, ...,хп), в = 0,тп^ — 2 — произвольные функции.

В §3 полученные результаты применяются к решению задач Гурса и Ко-

минах коэффициентов уравнения построены 8 наборов тождеств (по 6 штук в каждом наборе). Каждый из упомянутых наборов обеспечивает разрешимость уравнения в квадратурах. Указано как можно получить ещё 8 наборов, играющих ту же роль, а также для каждого набора строится общее представление решений, позволяющее построить решение соответствующей задачи. Фактически все это есть описание процедуры получения формул этого решения. Представленное в достаточно сжатой форме это описание занимает порядка 20 страниц.

Во второй главе «Условия построения в явном виде функции Римана для уравнения Бианки в пространствах размерности п > 4» исходным моментом послужил способ построения функции Римана, предложенный В. И. Же-галовым в случае трехмерного уравнения Бианки.

В §4 этот результат распространяется в четырёхмерное пространство,

ши для общего уравнения со старшей производной и.

^1^1X2X2*

Сначала в тер-

когда уравнение имеет вид

+ аихуг + Ьихуь + сихл + йиугь + еиху + /и 12 + </ихг+

+ Ииуг + Ыуь + ви^ + тих + пиу + риг 4- диг + ги = 0. (5)

Здесь существенную роль играют конструкции

/11,4 ^ (к+ 0.(1-11, /¡2,4 = <к+ас— /,

= Ь + аЬ — е, /11,3 = ¿г + Ы — к,

/12,з = с2 + Ьс — д, = (1у + а1 —

^12,4 = ^ + аз — р, /113,4 = Ь +а к — п, ^23,4 = Л + ад ~ т, /112,3 = + ЬБ - д. Доказана следующая теорема:

Теорема 4.1. Если для уравнения (5) выполнены условия /11,4 = /12,4 = /13,4 - /11,3 = /12,3 = /11,2 = /112,4 = /113,4 = /123,4 = /112,3 — 0,

и существует непрерывно дифференцируемая по всем переменным в О функция С(х, г/, г, ¿), такая что имеют место представления

а(х,у,г,г) = Ь(х,у,г,{) = с(х,у,г,Ь) = Щ, й{х,у,г,Ь) =

то функция Римаиа для уравнения (5) строится в явном виде.

В §5 той же главы аналогичная теорема доказана для любого конечного числа измерений (теорема 5.1).

Знание функции Римана позволяет в явном виде записать решение задачи Гурса, которое при произвольных граничных значениях можно рассматривать как общее представление решений соответствующего уравнения. Таким образом, содержащиеся в теоремах 4.1 и 5.1 условия на коэффициенты уравнения фактически обеспечивают его разрешимость в квадратурах.

Третья глава «Развитие метода каскадного интегрирования» посвящена распространению рассуждений, реализуемых в каскадном методе для гиперболических уравнений второго порядка, на случай уравнений третьего порядка. Мы рассматриваем уравнение

^а^(х)щШз)(х) = !, (6)

¿4=0,1

ЫГз

где х = (х1,х2,хз), а(ш^(х) = 1. Разработанный вариант даёт увеличение числа уравнений вида (6) на каждом шаге процесса в шесть раз. Вместе с (6) множество указанных уравнений составляет каскад, называемый нами основным. При этом вместе с каждым новым уравнением третьего порядка возникает новое уравнение второго порядка (по двум переменным, выбираемым из XI, Х2, хз). Совокупность всех таких уравнений тоже рассматривается как каскад, называемый сопутствующим.

Из основного каскада выделены три последовательности уравнений, для которых удаётся построить (и это делается в работе) рекуррентные соотношения для вычисления конструкций, играющих в нашей ситуации роль инвариантов Лапласа. В терминах этих конструкций доказаны шесть теорем о теоретически возможных условиях понижения порядка какого-либо уравнения из упомянутых трёх последовательностей. Однако, как и в классическом варианте, подобные случаи носят исключительный характер: доказанные теоремы фактически лишь утверждают, что желаемое понижение порядка при определённых условиях произойдёт, но не гарантируют, что формулируемые условия обязательно возникнут в процессе построения каскада.

Попутно с вышеуказанными рассуждениями предложен алгоритм, позволяющий выделять из уравнений данного вида бесконечную цепочку уравнений, наверняка разрешимых в квадратурах. Но чтобы фактически построить такую цепочку, надо иметь хотя бы одно разрешимое в квадратурах уравне-

ние.

Более определенные возможности решения исходного уравнения в квадратурах удаётся обнаружить при исследовании сопутствующего каскада. Одна из таких возможностей связана с выполнением соотношений хз

а(101> = | (оЦ10)(11,®2,т) - ^(и,®2Ж®1,г)) dT + w(sci,®a),

£3

а(Н») = а(110) +а(1Ю) Л3 (0aio)(a!l)¡CaiT) _ ф11ХзЖхиг)) dr+

+U)(x1,x2)^j -2íp(xi,x2)rp(xi,x3), a(010)=a(llD)+o(U0)o(011)

а(001) =

("здН^ь^.т) - {v{xi,x2)ip{xUT)Xljj dT + 0JXl{xi,x2)+ ,x2,T)-tp{x 1, х2)ф(х 1, T^jdr + ш{хи x2)^j,

£3

«(110) (} («Г^ь x2i т) - фиъЩхи r)) dr+

+w(xi,x2)^ I -2((p(xi,x2)ip(xi,x3))Xi+ /

+am (aim + а(ш) (j (а(по)(2.ь Ж21 T) _ фи хШхъ r)) dT+

£3

+ы(жЬ12)) - 2<р(х1,х2)ф(х1,х3)^. (7)

Здесь <р,ф,ш — произвольные функции (из определённых классов). Непосредственно видно, что эти формулы фактически есть представления через произвольные функции <р,ф,и и коэффициенты а'110', а'011' всех остальных коэф-

13

фициентов рассматриваемого уравнения. Таким образом, задавая а^110', а^011', а, также <р,"ф,и1, мы каждый раз найдем все коэффициенты уравнения (6), для которых это уравнение разрешимо в квадратурах. Другими словами, мы получаем параметрические представления (роль параметров играют функции) для коэффициентов уравнения (6), при выполнении которых оно разрешимо в квадратурах. Мы называем соотношения типа (7) структурными формулами.

В §8 третьей главы выведены ещё 23 набора структурных формул, играющих ту же роль, что (7), то есть в совокупности получается 24 варианта наборов, каждый из которых гарантирует разрешимость в квадратурах уравнения (6).

Автор искренне благодарна своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Валентину Ивановичу Жегалову за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Публикации автора по теме диссертации

Статьи в ведущих рецензируемых научных журналах, включенных в список ВАК РФ

1. Жегалов, В.И. Понижение порядка одного класса уравнений с частными производными / В. И. Жегалов, О. А. Кощеева // Доклады РАН, 2006. -Т. 406, № 5. - С.593-597.

2. Кощеева, О. А. Об условиях понижения порядка линейных уравнений со старшими частными производным / О. А. Кощеева // Изв. вузов. Математика. - 2007. -№ 6. - С. 45-54.

3. Кощеева, О. А. О построении функции Римана для уравнения Бианки в п-мерном пространстве / О. А. Кощеева // Изв. вузов. Математика. - 2008. -№ 9. - С. 40-46.

Публикации в других изданиях

4. Кощеева, О. А. Понижение порядка одного уравнения в частных производных / О. А. Кощеева. - Тр. матем. центра им. Н. И. Лобачевского. -Казань, 2003. - Т. 21. - С. 140-142.

5. Жегалов, В. И. Понижение порядка линейный уравнений, разрешенных относительно старшей частной производной / В. И. Жегалов, О. А. Кощеева. - Сб. материалов итоговой конференции по научно-исследовательской деятельности КГУ за 2005 г. - Ч. I. Естественные науки. - Казань, 2006. -С. 86-87.

6. Кощеева, O.A. О построении функции Римана для уравнения Биан-ки в четырехмерном пространстве / О. А. Кощеева. - Труды участников международной школы-семинара по геометрии и анализу Н. В. Ефимова. -Ростов-на-Дону, 2006. - С. 236-238.

7. Кощеева, О. А. Один случай построения функции Римана для уравнения Бианки / О. А. Кощеева. - Тез. докл. конф. «Дифференциальные уравнения и их приложения». - Самара: изд-во «Универс. групп», 2007. - С. 68-71.

8. Кощеева, О. А. Решение в квадратурах задачи Гурса для псевдопараболического уравнения четвертого порядка / О. А. Кощеева. - Материалы Восьмой международной Казанской летней научной школы-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы». - Казань, 2007. -С. 138-140.

9. Тихонова, О. А. О конструктивном решении одной задачи Коши / О. А. Тихонова. - Тр. матем. центра им. Н. И. Лобачевского. - Казань, 2007. -Т. 36. - С. 50-52.

10. Жегалов, В. И. Метод каскадного интегрирования в трехмерном пространстве / В. И. Жегалов, О. А. Тихонова. - Тр. матем. центра им. Н. И. Лобачевского. - Казань, 2008. - Т. 37. - С. 50-52.

11. Тихонова, О. А. Случаи факторизации уравнения Бианки n-го поряд-

ка / О. А. Тихонова. - Материалы Девятой международной Казанской летней научной школы-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы». - Казань, 2009. - С. 280-281.

12. Жегалов, В. И. Каскадное интегрирование уравнений Бианки третьего порядка / В. И. Жегалов, О. А. Тихонова; Препринт НИИММ им. Н. Г. Чеботарева. - Казан, гос. ун-т. - 2010. - 41 с.

Публикации [1, 5, 10, 12] выполнены в соавторстве с научным руководителем, которому принадлежат постановки задачи и общие рекомендации о возможных путях их исследования.

Подписано к печати 1.07.2010 г. Тираж 100 экз. Заказ 7/3.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии ООО «Веда». 420021, г. Казань, ул.Габдуллы Тукая, 113а.

Тел. (843) 278-96-96.

Введение

Глава I. Понижение порядка путём факторизации с применением к решению граничных задач.

§1. Уравнения с некратным дифференцированием по каждой из независимых переменных (уравнения Бианки).

1.1. Понижение порядка на единицу.

1.2. Понижение порядка на к единиц (к>1).

§2. Уравнения с кратным дифференцированием.

2.1. Понижение порядка на единицу. 2.2. Понижение на величину порядка дифференцирования по одной из переменных.

2.3. Об уравнениях с дифференцированием по одной переменной

§3. Решение граничных задач на плоскости для уравнения четвёртого порядка с двукратным дифференцированием.

3.1. Условия полной факторизации рассматриваемого уравнения, достаточные для его разрешимости в квадратурах

3.2. Вывод формул решения задачи Гурса.

3.3. Решение задачи Коши.

Глава II. Условия построения в явном виде функции Римана для уравнения Бианки в пространствах размерности п >

§4. Четырёхмерное пространство

§5. Пространство любого конечного числа измерений.

Глава III. Развитие метода каскадного интегрирования

§6. Общая схема построения основного каскада и определение сопутствующего

6.1. Левосторонний способ.

6.2. Правосторонний вариант.

§7. Рекуррентные соотношения и условия понижения порядка уравнений основного каскада. Цепочки уравнений, разрешаемых в квадратурах.

7.1. JT-последовательности.

7.2. П-последовательности.

7.3. Построение бесконечной цепочки уравнений, решаемых в квадратурах.

§8. Изучение сопутствующего каскада. Разрешимость исходного уравнения в квадратурах на основе структурных формул для его коэффициентов.

8.1. Отправная точка.

8.2. Варианты достаточных условий разрешимости уравнения (3.4).

Предметом исследования в настоящей диссертации является класс уравнений вида

--—!— + Ми(х) = /(ж), (1) где х — точка некоторой области D евклидова пространства К" с координатами (ici,., хп), (mi,.,mn) — мультииндекс, длина которого больше единицы, и(х) — искомая функция, М — линейный дифференциальный оператор с достаточно гладкими переменными коэффициентами, содержащий лишь производные, получаемые из первого слагаемого в левой части (1) отбрасыванием по крайней мере одного дифференцирования.

Первыми исследователями уравнения (1) считаются JL Бианки [59] и О. Никколетти [65], предложившие ещё в 1895 г. распространение на случай любого п при rrik — 1, к = 1, п метода решения задачи Коши, разработанного Б. Риманом [67] для уравнения иху + аих + buy + си = f. ' (2)

Таким образом, первоначальный интерес к (1) возник из теоретического обобщения. После Бианки и Никколетти различные вопросы, связанные с уравнением (1), изучались многими авторами как за рубежом (Г. Бейтмен, Е. Лаэ, Г. Горнич, Д. Манжерон, М. Огюсторели, Д. Колтон, С. Еасваран, В. Радо-чова, А. Кордунеану, У. Ранделл, М. Стечер и др.), так и в нашей стране (И. Н. Векуа [4], М. К. Фаге [51-53], А. П. Солдатов, М. X. Шхануков [43, 56], Б. А. Бондаренко, Г. У. Саидкаримова [1, 2], В. И. Жегалов, В. А. Севастьянов, А. Н. Миронов, Е. А. Уткина [10, 18, 21, 22, 42, 48], В. Ф. Волкодавов с учениками [5], О. М. Джохадзе [7, 8] и др.). Большинство из перечисленных авторов развивали результаты Л. Бианки и О. Никколетти, связанные с 4 методом Римана. Выяснилось также, что частные случаи уравнений данного класса встречаются в теории упругости, при изучении фильтрации жидкости в трещиноватых породах, влагопереноса в почвогрунтах, передачи тепла в гетерогенных средах, моделировании различных биологических процессов и явлений,.распространении волн в диспергирующих средах, а также в теории оптимальных процессов и обратных задачах (см. библиографические ссылки в конце статьи [8]). Имеются и чисто математические вопросы, связанные с уравнениями вида (1): они играют существенную роль в теории аппроксимации и теории отображений, к задаче Коши для частных форм (1) сводится задача интегрального представления преобразований одних обыкновенных линейных дифференциальных операторов в другие [52, 53]. Все это в немалой степени способствовало возрастанию интереса к обсуждаемым уравнениям, которые при rrik — 1, к = 1, п называются теперь уравнениями Бианки, а при наличии кратных производных по независимым переменным (когда встречаются т,к > 1) — псевдопараболическими уравнениями. Обзору результатов, полученных до 2001 г., посвящена монография [9].

Целью нашего диссертационного исследования является отыскание условий, при которых уравнения вида (1) решаются в квадратурах или хотя бы допускают понижение порядка. Указанные вопросы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений изучены с большой основательностью: имеются солидные справочники Э. Камке [33], В. Ф. Зайцева и А. Д. Полянина [30, 31]. В значительно более обширной теории уравнений с частными производными разработка таких вопросов не менее важна, но результатов здесь получено меньше: они носят достаточно эпизодический характер, нам известны лишь два небольших обзора [5, 61], посвященных этой теме. Второй из указанных обзоров относится как раз к уравнениям вида (1). Некоторые сведения можно также найти в уже упомянутой монографии [9].

Нами избраны три подхода к проблеме: понижение порядка путём факторизации оператора в левой части уравнения, дальнейшая разработка изложенного в [9] метода построения функций Римана с целью его применения к уравнениям Бианки более высокого порядка, расширение области применения метода каскадного интегрирования Лапласа [64] путём его распространения с плоскости в трёхмерное пространство. Каждому из указанных подходов посвящена отдельная глава в том порядке, как это перечислено выше.

Диссертация состоит из введения и восьми параграфов, разбитых на три главы. Для параграфов выбрана сквозная нумерация, для формул — нумерация, согласованная с номером главы, для теорем — с номером параграфа.

Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих семинарах и конференциях: Третья молодёжная научная школа-конференция «Лобачевские чтения — 2003» (Казань, 2003 г.); итоговая конференция по научно-исследовательской деятельности КГУ за 2005 год (Казань, 2006 г.); международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2006 г.); конференция «Дифференциальные уравнения и их

1. Бондаренко, Б. А. Базисные системы полиномиальных и квазиполиномиальных решений уравнений в частных производных / Б. А. Бондаренко. — Ташкент: Фан, 1987. - 146 с.

2. Бондаренко, Б. А. Задача Гурса для уравнений Манжерона и её связь с задачей Гурса для обыкновенных дифференциальных уравнений / Б. А. Бондаренко, Г. У. Саидкаримова // Качественная теория сложных систем. Д., 1986. - С. 102—108.

3. Буллаф, Ф. Солитоны / Ф. Буллаф, Ф. Кадри. М.: Мир, 1983. - 408 с.

4. Векуа, И. Н. Новые методы решения эллиптических уравнений /f <И. Н. Векуа. M.-JL: Гостехиздат, 1948. - 296 с.

5. Волкодавов, В. Ф. Функции Римана для некоторых дифференциальных уравнений в n-мерном евклидовом пространстве и их применения /B. Ф. Волкодавов, Н. Я. Николаев, О. К. Быстрова, В. Н. Захаров. -Самара: Изд-во «Самарский ун-т», 1995. 76 с.

6. Гурьева, А. М. Инварианты Лапласа двумеризованных открытых цепочек Тоды / А. М. Гурьева, А. В. Жибер // ТМФ. 2004. - Т. 138, вып. 3.C. 401-421.

7. Джохадзе, О. М. Задача типа Дарбу для уравнения третьего порядка с доминирующими младшими членами / О. А. Джохадзе // Дифференц. уравнения. 1996. - Т. 32, №4. - С. 523-535.

8. Джохадзе, О. М. Об инвариантах Лапласа для некоторых классов линейных дифференциальных уравнений в частных производных / О. М. Джохадзе // Дифференц. уравнения. 2004. - Т. 10, №1. - С. 58—68.

9. Жегалов, В. И. Дифференциальные уравнения со старшими частными производными / В. И. Жегалов, А. Н. Миронов. Казанское математическое общество, 2001. - 226 с/

10. Жегалов, В. И. Задача Гурса в четырёхмерном пространстве / В. И. Жегалов, В. А. Севастьянов // Дифференц. уравнения. -1996. Т. 32, №10. -С. 1429-1430./

11. Жегалов, В. И. К случаям разрешимости гиперболических уравненийв терминах специальных функций / В. И. Жегалов // Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: Институт математики им. С. JI. Соболева СО РАН, 2002. - С. 73—79.

12. Жегалов, В. И. Каскадное интегрирование в трёхмерном пространстве / В. И. Жегалов, Н. В. Баринова // Тр. матем. центра им. Н. И. Лобачевского, Т. 11. Казань: Изд-во Казан, гос. университета, 2001. - С. 90—92.

13. Жегалов, В. И. Каскадное интегрирование уравнений Бианки третьего порядка / В. И. Жегалов, О. А. Тихонова; Препринт №10-01 НИИММ им. Н. Г. Чеботарева. Казан, гос. ун-т, 2010. - 41 с.

14. Жегалов, В. И. О случаях разрешимости гиперболических уравнений в квадратурах / В. И. Жегалов // Изв. вузов. Математика. 2004. - №7. -С. 47-52.

15. Жегалов, В. И. Об одной системе уравнений смешанного типа высшего порядка / В. И. Жегалов // Изв. вузов. Математика. 1975. - № 6. -С. 25-35.

16. Жегалов, В. И. Об одном уравнении в частных производных четвёртого порядка с тремя независимыми переменными / В. И. Жегалов, Е. А. Уткина // Дифференц. уравнения. 2002. - Т. 38, №1. - С. 93—97. ./

17. Жегалов, В. И. Понижение порядка одного класса уравнений с частными производными / В. И. Жегалов, О. А. Кощеева // Доклады РАН. -2006. Т. 406, №5. - С. 593-597.

18. Жегалов, В. И. Трёхмерные характеристические задачи с нормальными производными в граничных условиях / В. И. Жегалов, А. Н. Миронов // Дифференц. уравнения. 2000. - Т. 36, №6. - С. 833—836.

19. Жегалов, В. И. Трёхмерный аналог задачи Гурса / В. И. Жегалов // Неклассические уравнения и уравнения смешанного типа. Новосибирск: Ин-т матем. СО АН СССР, 1990. - С. 94-98.

20. Жегалов, В. И. Трёхмерный вариант каскадного метода / В. И. Жега-лов. Материалы VI междунар. конф. им. акад. М. Кравчука. - Киев, 1997. - С. 165.

21. Жибер, А. В. Алгоритм построения общего решения n-компонентной гиперболической системы уравнений с нулевыми инвариантами Лапласа и краевые задачи / А. В. Жибер, Ю. Г. Михайлова // Уфимский матем. журнал. 2009. - Т. '1, №3. - С. 28-45.

22. Жибер, А. В. Интегралы, решения и существование преобразований Лапласа линейной гиперболической системы уравнений / А. В. Жибер, С. Я. Старцев // Мат. заметки. 2008. - Т. 74, вып. 6. - С. 848—857.

23. Жибер, А. В. Нелинейные гиперболические системы уравнений лиувил-левского типа / А. В. Жибер, В. В. Соколов, С. Я. Старцев // Тезисы докладов международной конференции «Тихонов и современная математика». М.: МГУ, 2006. - С. 305-306.

24. Жибер, А. В. О гиперболических системах уравнений с нулевыми обобщёнными инвариантами Лапласа / А. В. Жибер, Ю. Г. Михайлова // Тр. Ин-та математики и механики. Т. 13, вып. 4. - Екатеринбург, 2007. -С. 74-83.

25. Жибер, А. В. О нелинейных гиперболических уравнениях, интегрируемых по Дарбу / А. В. Жибер, В. В. Соколов // Доклады РАН. 1995. -Т. 343, №6. - С. 746-748.

26. Жибер, А. В. Точно интегрируемые гиперболические уравнения лиувил-левского типа / А. В. Жибер, В. В. Соколов // УМН. 2001. - Т. 56, вып. 1. - С. 63-106.

27. Зайцев, В. Ф. Справочник по нелинейным дифференциальным уравнениям / В. Ф. Зайцев, А. В. Полянин. М.: Наука, 1993. - 462 с.г г

28. Зайцев, В. Ф. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / В. Ф. Зайцев, А. В. Полянин. М.: Физматлит, 2001. - 576 с.

29. Ибрагимов, Н. X. Практический курс дифференциальных уравнений иматематического моделирования / Н. X. Ибрагимов. Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета им. Н. И. Лобачевского,2007. 421 с.

30. Камке, Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э. Камке. М.: Наука, 1976. - 576 с.

31. Кощеева, О. А. 0.: построении функции Римана для уравнения.1 Бианки в n-мерном пространстве / О. А. Кощеева // Изв. вузов. Математика.2008. т. - С. 40-46.

32. Кощеева, О. А. Об условиях понижения порядка линейных уравнений со старшими частными производными / О. А. Кощеева // Изв. вузов. Математика. 2007. - №6. - С. 45-54.

33. Кощеева, О. А. Один случай построения функции Римана для уравнения Бианки / О. А. Кощеева // Тез. докл. конф. «Дифференциальные уравнения и их приложения». Самара: Изд-во «Универс. группа», 2007. -С. 68-71.

34. Кузнецова, М. Н. Преобразование Лапласа и нелинейные гиперболические уравнения / М. Н. Кузнецова // Уфимский матем. журнал. 2009. -Т. 1, №3. - С. 87-96.

35. Нахушев, А. М. Уравнения математической биологии / А. М. Нахушев. -М.: Высш. школа, 1995. 301 с.

36. Севастьянов, В. А. Об одном случае задачи Коши / В. А. Севастьянов // Дифференц. уравнения. 1998. - Т. 34, №12. - С. 1706—1707.

37. Солдатов, А. П. Краевые задачи с общим нелокальным условием А. А. Самарского для псевдопараболических уравнений высокого порядка / А. П. Солдатов, М. X. Шхануков // ДАН СССР. 1987. - Т. 297, №3. -С. 547-552.

38. Старцев, С. Я. Метод каскадного интегрирования Лапласа для линейных гиперболических систем уравнений / С. Я. Старцев // Мат. заметки. -2008. Т. 83, вып. 1. - С. 107-118.

39. Степанов, В. В. Курс дифференциальных уравнений / В. В. Степанов. -М.: ГИФМЛ, 1959. 468 с.

40. Трикоми, Ф. Лекции по уравнениям в частных производных / Ф. Трико-ми. М., 1957. - 443 с. Переиздано (стереотип) в 2007 г.: М.: Комкнига.

41. Уткина, Е. А. К задачам с условиями на характеристиках для общего псевдопараболического уравнения / Е. А. Уткина // Вестник Самарского гос. технического ун-та. Серия математическая. - 2003. - №2. -С. 217-223.

42. Уткина, Е. А. К развитию метода Лапласа для одного общего трёхмерного уравнения / Е. А. Уткина // Тр. междунар. научн. конф. «Современные методы физико-математ. наук». Орел, 2006. - С. 126—129.

43. Уткина, Е. А. Об одном применении метода каскадного интегрирования / Е. А. Уткина // Дифференц. уравнения. 2007. - Т. 43, №4. - С. 566—569.

44. Фаге, М. К. Задача Коши для уравнения Бианки / М. К. Фаге // Матем. сб. 1976. - Т. 151, №3. - С. 281-322.

45. Фаге, М. К. Операторно-аналитические функции одной независимой переменной / М. К. Фаге // Тр. Моск. матем. об-ва. 1958. - Т. 7. -С. 227-268.

46. Фаге, М. К. Проблема эквивалентности обыкновенных дифференциальных операторов / М. К. Фаге, Н. И. Нагнибида. Новосибирск: Наука, 1987. - 290 с.

47. Чудновский, А. Ф. Теплофизика почв / А. Ф. Чудновский. М.: Наука, 1976. - 352 с.

48. Шхануков, М. X. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах / М. X. Шхануков // Дифференц. уравнения. 1982. -Т. 18, №4. - С. 689-699.

49. Шхануков, М. X. Об одном методе решения краевых задач для уравнения третьего порядка / М. X. Шхануков // ДАН СССР. -1982. Т. 265, №6. -С. 1327-1330.I

50. Anderson, J. М., Kamran N. The variational bicomplex for second order scalar partial differential equations in the plane / J. M. Anderson, N. Kamran // Duke. Math. J. 1997. - Vol. 87, №2. - P. 265-319.

51. Bateman, H. Logarithmic solutions of Bianchi's equation / H. Bateman // Proc. USA Acad. 1933. - Vol. 19. - P. 852-854.

52. Bianchi, L. Sulla estensione del metodo di Riemann alle equiazioni lineari alle derivate parziali d'ordine superiore / L. Bianchi // Atti R. Accad. Lincei. Rend. CI. Sc. fis., mat. e natur. 1895. - Vol. IV, 1 sem. - P. 89-99, 133-142.

53. Colton, D. Pseudoparabolic equations in one space variable / D. Colton // J. Different. Equat. 1972. - Vol. 12, №3. - P. 559-565.

54. Copson, E. T. On the Riemann-Green fonction / E. T. Copson // Jorn. Rat. Mech. Anal. 1958. - Vol. 1. - P. 324-348.

55. Ibragimov, N. H. Laplace Type Invariants for Parabolic Equations / N. H. Ibragimov // Nonlinear Dynamics. 2002. - Vol. 28, №2. - P. 125-133.

56. Lahaye, E.La metode de Riemann appliquee a la resolution d'une categorie d'equation lineards de troisifeme ordre / E. Lahaye // Bull. cl. sci. Acad. Roy. de Belg. 1946. - 5 serie. - Vol. 31. - P. 479-494.

57. Niccoletti, 0. Sull' estensione del metodo di Riemann alle equiazioni lineari a derivate parziali d'ordine superiore / O. Niccoletti // Atti R. Accad. Lincei. Rend. Cl. Sc. fis., mat. e natur. 1895. - 1 sem. - P. 330-337.

58. Rundell, W. Remarks concerning the supports of solution of pseudoparabolic equation / W. Rundell, M. Stecher // Proc. Amer. Math. Soc. 1977. -Vol. 63, №. - P. 77-81.

59. Rundell, W. The uniqueness class for the Cauchy problem for pseudoparabolic equation / W. Rundell, M. Stecher // Proc. Amer. Math. Soc. 1979. - Vol. 76, №. - P. 253-257.