О дифференциальных уравнениях, порожденных коммутирующими линейными дифференциальными операторами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

1 Дробные степени некоторого класса дифференциальных операторов

1.1. Вычисление дробных степеней оператора

Штурма-Лиувилля.

1.2. Вычисление дробных степеней дифференциальных операторов на примере оператора Абеля.

2 Уравнения в частных производных, порожденные линейными дифференциальными операторами

2.1. Некоторые вспомогательные предложения.

2.2. Уравнения в частных производных, порожденные линейными дифференциальными операторами

2.3. Потенциальная функция от дифференциальных операторов

2.4. Аннулирующий многочлен для коммутирующих дифференциальных операторов.

3 О краевых задачах для уравнения гиперболического типа третьего порядка

3.1. Задача Коши для гиперболического уравнения третьего порядка

3.2. Смешанные задачи для гиперболического уравнения третьего порядка.

3.3. Связь нелокальных задач для некоторых классов дифференциальных уравнений с локальными задачами для нагруженных дифференциальных уравнений.

Диссертационная работа посвящена решению класса задач, связанных с дифференциальными уравнениями, порожденными коммутирующими линейными дифференциальными операторами.

Дифференциальные уравнения, порожденные коммутирующими линейными дифференциальными операторами образуют широкий класс уравнений, который включает в себя уравнения нулевой кривизны, тесно связанные с теорией солитонов [1], [10], [15], [43], [48], [49], [50]. Дифференциальные операторы и их дробные степени, вычисленные по методу И.М. Гельфанда и J1.A. Дикого [9], образуют кольцо, в коммутативном расширении которого строятся дробные степени дифференциальных операторов и соответствующие нелинейные дифференциальные уравнения, решением которых являются солитоны. Алгебраические аспекты этой теории изложены Ю.И. Маниным в работе [34] и его учениками (например, [55]).

Дифференциальные уравнения ненулевой кривизны изучались в работах С.П. Новикова и П.Л. Гриневича [8], которые обратили внимание на трудоемкость решения этих уравнений и на немногочисленность решений, имеющих физический смысл.

Дифференциальные уравнения, порожденные линейными дифференциальными операторами являются обобщением уравнений нулевой кривизны и ряда уравнений математической биологии, рассмотренных A.M. Нахушевым в работе [42]. Нетривиальным примером такой алге-браизации является известное дифференциальное уравнений Абеля, порожденное коммутирующими дифференциальными операторами и, связанное с нелинейным уравнением в частных производных третьего порядка, лежащего в основе математической модели явления переноса энергии гидролиза молекул в виде уединенных волн, то есть солитонов. Это дает возможность применить весь арсенал теории уравнений нулевой кривизны к еще мало изученным уравнениям математической биологии. Кроме того, существует возможность исследовать кольцо дифференциальных операторов, имеющее несколько образующих, что позволяет получать дифференциальные уравнения в частных производных. Даже в случае, когда рассматриваются дифференциальные операторы первого порядка, уравнениями нулевой кривизны получаются уравнения в частных производных второго порядка основных типов [35], [46].

Исследование кольца дифференциальных операторов второго порядка с двумя образующими приводит к дифференциальным уравнениям, среди которых такие уравнения как уравнение вынужденных колебаний [17. С. 491], уравнение Риккати, уравнение типа Эмдена-Фаулера.

Актуальность темы объясняется и еще тем, что локальные и нелокальные краевые условия, ассоциированные с уравнениями в частных производных, порожденными коммутирующими линейными дифференциальными операторами, требуют развития классических методов решения краевых задач.

Основной целью является исследование алгебраических аспектов, связанных с различными дифференциальными уравнениями, порожденными коммутирующими линейными дифференциальными операторами и локальных и нелокальных краевых задач для класса уравнений математической биологии.

Для решения поставленных задач были использованы метод И.М. Гель-фанда и Л.А. Дикого, элементы схемы метода преобразования рассеяния, осуществляемые дифференциальным уравнением, входящим в пару Лак-са, и алгебраические аспекты нелинейных дифференциальных уравнений.

Применялась формула Грина для дифференциальных операторов и модифицированный метод функций Римана-Адамара.

В ходе работы автором получена следующая совокупность новых научных результатов и положений.

1. Вычислены дробные степени дифференциальных операторов на примере дифференциального уравнения Абеля и его высших аналогов.

2. Построен общий вид коммутатора кольца дифференциальных операторов произвольного порядка с двумя образующими.

3. Решена задача составления уравнений, порожденных коммутирующими дифференциальными операторами второго порядка.

4. Установлена связь и найдены соотношения между решением уравнения типа Эмдена-Фаулера, порожденного коммутирующими операторами, и обыкновенным разрешимым в квадратурах линейным дифференциальным уравнением второго порядка.

5. Построены потенциальная функция и аннулирующий многочлен для высшего уравнения Кортевега-де Фриза и уравнения Абеля.

6. Обоснован аналог метода функции Римана решения задач типа задач Коши и Дарбу для линейного уравнения гиперболического типа третьего порядка с кратными характеристиками.

7. Предложена схема сведения нелокальных задач для уравнений теплопроводности и Аллера"к локальным задачам для нагруженных уравнений.

Диссертация имеет теоретический характер. Результаты, полученные в работе, могут быть использованы в математической биологии для дальнейшего построения теории коммутирующих дифференциальных операторов, алгебраических конструкций решения начальных и краевых задач для широкого класса нелинейных дифференциальных уравнений.

Основные результаты работы докладывались автором на научно-исследовательских семинарах и конференциях Майкопского государственного технологического института (1997 - 2001гг.), на научно-исследовательском семинаре в Адыгейском государственном университете (2001 г.), на семинаре в Научно-исследовательском институте прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН (2001 - 2002 гг.), на 2-й Международной конференции «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики» (г. Нальчик, 2001 г.), на Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения-ХШ» (г. Воронеж, 2002 г.).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [24] -[29], [47].

Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на 9 параграфов, списка литературы из 59 наименований. Объем работы составляет 98 страниц. Текст набран с использованием пакета ВД^Х.

1. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. - М.: Мир, 1987. - 89 с.

2. Айне Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Харьков: ГНТИУ, 1939. - 238 с.

3. Акижанов A.A., Кашлимбаев З.А., Акижанова АЛ. Уравнения Кор-тевега де Вриза // Изв. АН Каз. ССР. 1984. №3. С. 54-57.

4. Бицадзе A.B. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976. - 296 с.

5. Бородин A.B. О решении краевых задач для одного уравнения в частных производных третьего порядка / Дифференциальные и интегральные уравнения. Сб. научных трудов. Нальчик, 1977. С. 2635.

6. Водахова В.А. Краевая задача с нелокальным условием A.M. Наху-шева для одного псевдопараболического уравнения влагопереноса // Дифференц. уравнения. 1983. Т. 2. С. 280-282.

7. Водахова В.А. Задача Гурса для обобщенного уравнения влагопереноса / САПР и АСПР в мелиорации. Сб. научных трудов. Нальчик. 1983. С. 74-80.

8. Гриневич П.Г., Новиков С.П. Струнное уравнение II. Физическое решение // Алгебра и анализ. 1994. Т. 6. Вып. 3. С. 118-140.

9. Гелъфанд И.М., Дикий Я.А. Дробные степени операторов и гамиль-тоновы системы // Функц. анализ и его приложения. 1976. Т. 10. Вып. 4. С. 13-29.

10. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М.: Мир, 1988. - 154 с.

11. Жегалов В.И., Миронов А.Н. Дифференциальные уравнения со старшими частными производными // Казанское математическое общество. 2001. 226 с.

12. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по нелинейным дифференциальным уравнениям. Приложение к механике, точные решения. -М.: Физматлит, 1993. 315 с.

13. Зайцев В. Ф., Полянин А.Д. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными: Точные решения. М.: Международная программа образования, 1996. - 496 с.

14. Захаров Б.Е., Манаков C.B., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов: метод обратной задачи. М.: Наука, 1980. - 105 с.

15. Ионкин Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13, №2. С. 294-304.

16. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, М.: Наука, 1971. - 582 с.

17. Канчуков в В.З., Шхануков М.Х. Краевые задачи для модифицированного уравнения влагопереноса и сеточные методы их решения // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15, N^1. С. 68-63.

18. Канчукоев В.З. Краевая задача для уравнения третьего порядка смешанного гиперболо-параболического типа // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16, N-1. С. 177-178.

19. Канчукоев В.З. Об одной задаче для уравнения фильтрации третьего порядка / Методы математического моделирования и вычислительного эксперимента в системах автоматизированного проектирования и планирования. Сб. научных трудов. Нальчик. 1989. С. 119-123.

20. Камынин Л. И. Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими граничными условиями // ЖВМиМФ. 1964. Т. 4, N-6. С. 1006-1024.

21. Карсанова Ж. Т., Нахушева Ф.М. Об одной нелокальной краевой задаче для псевдопараболического уравнения тетьего порядка // Владикавказский математический журнал. Вып. 2. 2002. Т. 4. С. 31-37.

22. Кричевер И.М., Новиков С.П. Голоморфные расслоения над алгебраическими кривыми и нелинейные уравнения // Успехи мат. наук. 1980. Т. 35, N-6. С. 47-68.

23. Куижева С.К. О краевых задачах для уравнения Аллера // Труды Физического общества Республики Адыгея. 2000. N-5. С. 100-103.

24. Куижева С.К. Вычисление аннулирующих многочленов коммутирующих операторов // Доклады Адыгской (Черкесской) международной академии наук. Нальчик. 2001. Т. 5, №2. С. 31-33.

25. Куижева С.К. О дробных степенях некоторых дифференциальных операторов / Актуальные проблемы математики и методики ее преподавания. Межвузовский сб. научных трудов. Пенза: Изд-во Пензенского гос. пед. ун-та. 2001. С. 46-51.

26. Куижева С. К. О некоторых дифференциальных уравнениях в частных производных, порожденных коммутирующими дифференциальными операторами // Тезисы докладов. Понтрягинские чтения XIII «Современные методы в теории краевых задач». Воронеж. 2002. С. 89.

27. Куижева С.К. О некоторых дифференциальных уравнениях в частных производных, порожденных коммутирующими дифференциальными операторами // Известия КБНЦ РАН. 2002. №1(8). С. 30-34.

28. Куижева С.К. О краевых задачах для уравнения гиперболического типа третьего порядка // Известия КБНЦ РАН. 2002. Nal(8). С. 35-42.

29. Лебедев Д.Р. Формализм Захарова-Шабата дробных степеней дифференциальных уравнений. Препринт ИТЭФ-89. 1978. 17 с.

30. Лебедев Д.Р., Савостьянов М.В. Расслоение над кривыми с особенностями и солитонные решения некоторых волновых уравнений. Препринт ИТЭФ-13. 1979. 18 с.

31. Лукашевич H.A., Самодуров A.A. Интегрируемость уравнения Абеля общего вида через функции-решения линейных уравнений второго порядка. // Дифференц. уравн. 1977. Т. 13, Nfi5. С. 859-863.

32. Манжаловский В.П. К интегрированию некоторых однородных линейных дифференциальных уравнений. Харьков: Изд-во ХГУ, 1959.- 80 с.

33. Манин Ю.И. Алгебраические аспекты нелинейных дифференциальных уравнений // Современные проблемы математики. 1978. Т. 11. С. 5-152.

34. Мантуров О.В., Паланджлнц Л.Ж. Мультипликативный интеграл и некоторые классы дифференциальных уравнений в частных производных // Прикладные вопросы дифференциальной геометрии (Деп. в ВИНИТИ 11.10.83, .Ма5570-83Деп.). 1983. С 95-100.

35. Мантуров О.В., Паланджлнц Л.Ж. Мультипликативный интеграл и уравнения нулевой кривизны // Дифференц. геометрия и алгебры Ли. (Деп. в ВИНИТИ 17.04.84, №2384-84Деп.). 1983. С. 11-18.

36. Mumuduepu Э., Похожаев С.И. Априорные оценки и отсутствие решений нелинейных уравнений и неравенств в частных производных // Труды математического института им. В.А. Стеклова. Т. 234. -М.: Издательство "Наука" МАИК "Наука/Интерпериодика", 2001.- 383 с.

37. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Физматгиг, 1962. - 99 с.

38. Нахушев A.M. Нелокальная задача и задача Гурса для нагруженного уравнения гиперболического типа и их приложения к прогнозу почвенной влаги // ДАН СССР. 1978. Т. 242, №5. С. 1008-1011.

39. Нахушев A.M. Краевые задачи для нагруженных интегро-дифференциальных уравнений гиперболического типа и некоторые их приложения к прогнозу почвенной влаги // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15, №1. С. 96-105.

40. Нахушев A.M. Нагруженные дифференциальные уравнения и их приложения // Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19, №1.

41. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии: Учеб. пособие для университетов. М.: Высш. шк., 1995. - 301 с.

42. Нъюэлл А. Солитоны в математике и физике. М.: Мир, 1989. - 120 с.

43. Паланджянц Л.Ж. О дифференциальном уравнении Абеля второго рода // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 22, №12. С. 2187-2188.

44. Паланджянц Л.Ж. Геометрия мультипликативного интеграла. Учебное пособие по спецкурсу. Майкоп: Аякс, 1997. - 67 с.

45. Паланджянц Л.Ж. Мультипликативный интеграл и некоторые его приложения // Пространства над алгебрами и некоторые вопросы теории сетей. 1985. С. 160-163.

46. Паланджянц Л.Ж., Куижева С.К., Шевякова О.П. О дробных степенях дифференциальных операторов // Труды Физического общества Республики Адыгея. 1997. №2. С. 35-40.

47. Солитоны в действии. Сборник статей. М.: Мир, 1981. - 79 с.

48. Солитоны / Под ред. Р. Буллафа, Ф. Кодри. М.: Мир, 1983. - 110 с.

49. Тахтаджян Л.А., Фаддеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории соли-тонов. М.: Наука, 1986. - 151 с.

50. Шхануков М.Х. Об одном методе решения краевых задач для уравнений третьего порядка // ДАН СССР. 1982. Т. 265, С. 1327-1330.

51. Шхануков М.Х. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах // Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18, N- 4. С. 689-699.

52. Шхануков М.Х. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка и экстремальных свойствах его решений // Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19, Nfi 1. С. 145-152.

53. Шхануков М.Х. Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. Нальчик. 1995. 225 с.

54. Шубин М.А. Алгебраические аспекты теории псевдодифференциальных операторов и уравнений Лакса. (Деп в ВИНИТИ 10.11.78, №■ 157-78 Деп.). МГУ. 1977. 38 с.

55. Bryan А.Е., Miller J.F., Stuart A.E. The modified Korteweg-de Vries equation. Nuovo cimeto. 1988. V. 101B, P. 715-721.

56. Calogero F., Nucci M.C. Lax pairs gabor // J. Math. Phys. 1991. V. 32, Nûl. P. 72-74.

57. Golton D.-J. Different Equat. 1978. V. 27, №3. P. 99-115.

58. Hill J.M. Abel's differential equation // Math. Scientist. 1982. V. 7. P. 115-125.

59. Malickí A. O rownariu ruchu w szczelinie stozkowej // Folia Soccatatis scentiarum liblinensis. Biul LTN Mat. -fis. -ehem. 1978. V. 20. P. 207210.