Характеристические и корреляционные оператор-функции семейств линейных операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

харьковсклл госуд,\рсгшпк;1 университет

Hi правах рукописи

ахмлд бл;слдо

ХЛРАКГЕШШЧЕСХЕ и НЗРРЕЛЯДОКЕМБ 0ПЕРАТСГ-5УШС{7.'

се:;гПств jsirieirm операторов

01.01.01 - Матс''1тичсски1 анализ

Автореферат диссертации на соискание учоноЯ стеной:: кандидата физико-иаточатических наук

о

Работа гыполнена в Харьковском государственном университете

Научит! руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент Кацнельсон Виктор Эмгануилович

Научный консультант: кандидат физико-математических наук, доцент Кнцевич Артем Артемович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Веду'цэя организация - Донецкий государственный университет.

■ ...... ~ —■ ~ ■ .....* ■ ———

Защита состоится 30 июня 19Э2 Г. в 15час.15 кин. на заседании специализированного Совета К 053.06.02 Харьковского государственного университета (310077,г.Харьков,пл.Свободы 4,

С диссертацией можно ознакомиться в Центральной научной библиотеке ХГУ. . .

профессор Руткас Анатолий Георгиевич (ХГУ, г.Харьков)

кандидат физико-математических наук, научный сотрудник $ТШГ АН Украины Голинский Леонид Борисович (г.Харьков)

*уд

Автореферат разослан

Ученый секретарь гнециплизированного

/

А.С.Сохин

■л

аций

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность тстм. .Диссертационная работа посвящена исследовании систем операторов с помощью характеристической и корреляционной оператор-функций. За последние 10-15 лет достигнут значительный прогресс в теории систем операторов. После появления теоремы 1.1.С.Лившица и А.А.Янцевича об унитарной эквивалентности двух систем коммутирующих операторов ряд фундаментальных результатов был получен в работах М.С.Лившица, В.А.Золотарева, Л.Л.Ваксмана, В.И.Ломоносова и др. на основе методов теории характеристических оператор-функций, теории операторных узлов, треугольных моделей систем операторов, теории открытых систем.

Следует отметить, что основные результаты получены для систем коммутирующих операторов специального типа. Так, Золотаревым В.А. построены треугольные модели систем дважды перестановочных операторов и операторов, близких к ним.

Несколько иной подход, предлот.енный в работах М.С.Лившица и В.А.Золотарева для исследования систем коммутирующих операторов, позволил дать ответ на ряд принципиальных вопросов теории («самосопряженных операторов, построить треугольные модели при помощи специального нелинейного матричного уравнения, получить операторный аналог теоремы Гамильтона-Кэли.

Ватную роль в исследованиях систем ьоммутгруюцих операторов играет специальное операторное тождество для характеристической оператор-функции, на которое впервые обратил внимание Л.Л.ипкемзн и которое можно рассматривать как условие сплетаемо ети, что дает возможность классификации ппт операторов в случае двумерного внетнего пространства и приводит к неожидч"-

3

дам связям с теорией алгебраических кривых.

Теория открытых систем, ассоциированных с операторными узлами, позволяет изучать внутренние связи между множеством линейных коммутирующих операторов в гильбертогом пространстве и связанных с ними системами дифференциальных уравнений. Именно при таком подходе к исследованию систем коммутирующих операторов М.С.Лигуяиц прн'пей к понятию операторной волны, обобщающей понятие плоской волны и играющей важную роль в спектральной теории систем коммутирующих несамосопрякенных операторов.

Л.Л.Ваксманом построено функциональное исчисление систем коммутирующих операторов, что позволило, в свою очередь, развить гармонический анализ многопараметрических полугрупп стати й.

Таким образом, к настоящему времени достигнут значительный прогресс в теории систем коммутирующих операторов. Системы некоммутирующих операторов, а также специальные классы таких операторов мало изучены. Здесь следует обратить внимание на исследования В.А.Золотарева, который предложил метод "расширения'-систем некоммутативных операторов до системы коммутирующих операторов, что позволяет построить треугольные и универсальные подели некоторых классов систем некоммутирующих операторов. ЛЛ.Ваксманом доказана теорема об унитарной эквивалентности для систем некоммутирующих операторов, образующих алгебру Ли.

Следует отметить, что при доказательстве теоремы об унитарной эквивалентности двух систем коммутирующих операторов неожиданно важную роль сыграла инфинитеземальная корреляционная

функция, введенная М.С.Ливийцем и А.А.ЯнцеЕИчем для Исследования нестационарных случайных процессов с помощью спектральной теории несамосопряженных операторов, что лишний раз подт-взрздлет тесную сеязь и взаимообогащаечость таких разделов как ' функциональный анализ и корреляционная теория случайных функций. Все перечисленное подтвор-кдает актуальность теш диссертации .

Целью диссертации является изучение некоторых классов не-кошлутиругацих операторов методами характеристической и корреляционной оператор-функций, а также построение универсальной модели для систем коммутирующих неограниченных операторов и рассмотрение ее приложений в корреляционной теории случайных полей, порождаемых многопараметрическими полугруппам!.

Общая методика выполнения исследования. Основным методом исследования являются характеристические оператор-функции систем операторов, модельные представления операторов, .универсальные модели операторов.

Научная новизна.- В работе установлена связь между характеристической и корреляционной оператор-функциями для систем! операторов, образующих алгебру Ли, дано модельное представление системы диссипативннх операторов, п такте построекн универсальные модели системы неограниченных коммутирующих операторов.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Она представляет интерес для спектральной теор и конкретных систем операторов (например, интегральных или

5

дифференциальных), для теории линейных динамических систем в пространствах состояний, а такте для прикладное задач статис-. тики случайных процессов к полей.

Аггоо^ация работе. Основные результаты диссертации докка-днвались на научных сечпнарах по теории линейных операторов при ■ ка{едре шмюЯ математики и инфорчтгики Харьковского государственного университета.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитированной литературы. Общи объем диссертации 101 стр., в том числа-основного текста 96стр., литературн 3 стр. Библиография содержит 28 названий.

Основные положения, отиоскунз на зач;нту.

1. Установление связи между характеристической и корреляционной оператор-функциями для систем) операторов, образуящих алгебру Га с заданники стру'ггурдаки постошннми.

2. Гидэление класса оператор-функциЗ,, являщихся корреляционными.

3. Получение модельного представления систе:*н коммутирующих операторов.

4. Наделение класса оператор-функций, являющихся характеристическим для системы операторов с коммутирующими реальными частями.

Ь. Построение универсальной модели для системы неограниченных коммутирующих операторов.

'6

ОЭД^ГЛИИЕ РАБОТЫ

Во введении кратко излагается история вопроса и приводится развернутая формулировка исследуемой в диссертации задачи. ' Лается описание диссертации по главам.

Пусть - гильбертово пространство, в котором действу-

ют ограниченные линейные операторы Як ( п) • Относи-

тельно се?^ейства ШГ будем предполагать:

[А, /}; ] в Сгу А (- < •••/ "Л

т.е. операторы Л образуят базис алгебры Ли со структурными константами С{у ,

Ватной характеристике! семейства ш 1 является введенная М.С.Лявлицеч характеристическая оператор-функция (х. о.-ф.).

2. £(*, чк^-уцу'кс^е^,

где .У» ( У^ У,« - гильбертово пространство,

в котором действуют ограниченные. линейные операторы :

з ¿Г- ('уг ..., л ,) . ^ - ограниченный линейный

оператор} ¡С • -*» (у и

¿у*» = д**^. А: Г/-- -с....

Оппситуп пы-ме конструтпу.го принято называть лскяльнга узлом и обозначать:

пара ( J ) называется внешней частью узла Л .

у у» у

Характеристическая оператор^ункция S(/,X) является основным инструментом при речении целого ряда вопросов теории носамосопряженных и неунитарных операторов. Одним из ключевых в теории характеристических оператор-функций является следующий вопрос: каким необходимым и достаточным условиям доллна удовлетворять оператор-функция S>Cx, У) , чтобы она являлась х.о.-ф. некоторого семейства операторов • Ответу на

этот вопрос и посвящена в основном первая глава. Наряду с х.о.-ф. «? (х, важную роль играет тесно связанная с ней корреляционная оператор-функция (к.о.-ф.) , которая

определяется следующим образом:

VA у)-ктЪ)Т(х)к:\ г^

Если внешнее пространство Q конечномерно, то от х.о.-ф. S(x, Д) и к.о.-ф. V(x, УJ удобно перейти к характеристической матрице-функции

1//V 1/1 _ // I/ (х 'у)и

и корреляционной матрице-функции '(,'•'*/ ~ " Ыр "

шбрав базис в Gt :

8

где ^ = /С - каналовке гзле'»ентн, т условие опе-

раторного узла переходит в

3 первой главе диссертации устанавливается свпг. меду

харякт с р и ст и че с коЧ опепаточ-

функция"и в случае, когда система {А.- } образует алгебру «Ч

к ''

СО структур^-"'!! ПОСТОПННИ'-Ч С;^ (коррП.П1'Ч11'Ч',.Р задт'-П .

Если шеткее пространство 0} конечномерно, т"* достаточно установить связь -элементами матриц (А'^/л

^ <>, Я).

Исходными данными для рт^чия гт"Г: задачи явчястся полученная в первой главе система (1.0) д:;'>^е|пн1!кллын.:х урагмо-гл": в частных производных для у:

9

о

= - (« £ С'."-), ^ Си

гДв (КК) - -я строка матрицы,

а \/ у) - уЗ ~й столбец этой матрицы.

Анализ этой систем,! позволяет доказать теорему Теорема 1.1. В классе аналитических функций корреляционная задача имеет единственное решение.

Если . — О , то исходя из системы (1.8), мотаю доказать, что в случае, если начальные данные явли>тсп сужением на вещественное многообразие целой функции экспоненциального типа (ц.ф.э.т.), то система (1.0) имеет решение [X, V) ,

которое является ц.ф.э.т. Ли перомсшгых.

В § 2 нерпой главы получены необходимые и достаточные условия того, что оператор-функция

была корреляционной опорлтор-фупкцией семейства комк^утируюцих ограниченных операторов (тоорона 1.3).

В 4 3 псптчЧ главы введено определение характеристической функции, ряепндяющейел по лучам, и получено нео^хсди'-еп и до ста-

10

точное условие для того, чтобы i и Г: 1 /я рэ ртери стич° с-

коЛ функцией некоторого узла с коммутирующими ограниченним-л операторами (теорема 1.4).

Осногиое содержание диссертации представлено по второй главе, в которой скачапа изучаются диссипатирные вполне непрерывные операторы {_ и исследуются полугруппы гида

еА*л-' (к-ы..., *).-

При некоторых предположениях докапнпаотеп существование

Твх) - О

{. ол

(теорема 2,1).

Далее строится модельное гильбертово прострпнстяо, я (••'>•• тором операторы А^ реализуются кок опероторн '■асттт ди1>-

ференцирерання \ I /. Подробно пееледорпн гл"")1 /I* / .

4 7Х*. )

В § 2 этороЯ глпвч изучается сссЯстга операторов о г.о--мутиругг1;и">'п реальнк^и част0"!!, при этсм, кок и в п^у"0''' - / , мо"Ло ввести функции

= КСЬШ-мУ'к', Мх)*л„>

А С 'Л , , / < ^ ВД (Ь <2 I/(х,А)</А-/Се К ,

Г

п

где у охватывает спектр оператора /2е /0(*)•

Вводится класс оператор-функций, для которых

получено интегральное представление типа Бохнера-Хинчина (теорема 2.5).

Ото представление позволит получить необходимые и достаточные условия для -того, чтобы

SfcA) была характеристической оператор-функцией некоторого узла Л , внутренние операторы которого инеот коммутирующие реальные части (теорема 2.7.).

В третьей главе изучаются системы коммутирующих неограниченных операторов, для которых коммутируемость определяется как

перестановочность соответствующих резольвент.

í

Построена универсальная модель двух два яда перестановочных неограниченных операторов Д и , на инвариантном подпространстве которой индуцируются операторы, и.чометрично эквивалентные исходным, причем оператор, осуществляющий иэомотрию, один и тот же как для 4, , так и для . Универсальная модель строится как в случае дискретного, спектра У операторов и Ах., расположенных в верхней полуплоскости, так и в случае отсутствия споктра в конечной части комплексной плоскости (теорема 3.1, леммц 3.1).

, Построенный универсальные модули позволяют поучать неоднородные случайные поля при помощи спектральной теории систем неограниченных дважды перестановочных операторов и построить корреляционную теорию таких полей, иозволта1ук> п частности, восстановить по корреляционной (¡унцции операторы Д и с точностью

12

до иэометрии (теоре?,я 3.4, 3.6).

В заключении обсу:кдаются возможности более широкого' применения теории несамосопряжнных операторов для изучения некоторых классов неоднородных полей, порождаемых ►яогопараметрическими полугруппами.