Треугольные представления операторов с унитарным спектром тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение . *.2

Основные положения, выносящиеся на защиту . 14

§ I. Операторы с унитарным спектром .15

§ 2. Операторы класса 0[ ( ^р ) .28

§ 3. Треугольные представления операторов класса аст)."8

§ 4. Треугольные представления операторов класса а0(?) .59

§ 5. Треугольные прелставления операторов класса ее

§ 6. Вещественные унитарные узлы и их характеристические функции.71

§ 7. Мультипликативные представления характеристических функций вещественных унитарных узлов .87

Начиная с 50 - х годов появились работы, в которых теорема Шура о приведении квадратной матрицы к треугольной форме переносилась на некоторые классы линейных операторов, действующих в бесконечномерных пространствах £1 - I8J. В диссертации осуществлён ещё один шаг в этом направлении: получена спектральная характеристика операторов, допускающих треугольные представления вида где и - оператор с

Как известно, треугольное представление основного оператора Т унитарного узла А влечёт за собой мультипликативное представление функции . В качестве приложения в диссертации получены мультипликативные представления вещественных характеристических оператор - функций для случая, когда основной оператор узла А допускает одно из указанных выше треугольных представлений.

Постановка задачи о приведении бесконечномерных операторов к треугольному виду принадлежит М.С.Лившицу £ б] ( см. также [^18] ). М.С.Лившиц показал, что любой ограниченный оператор Д с ядерной мнимой компонентой унитарноэквивалентен с точностью до дополнительной компоненты оператору треугольного вида, действующему в функциональном пространстве. Доказательство отого факта опирается на мультипликативное представление характеристической матрицы - функции оператора А полученное впервые В.П.Потаповым.

Л.А.Сахнович ^7, 8] обобщил результаты М.С.Лившица на тот случай, когда мнимая компонента оператора А вполне непрерывна и имеет сходящуюся сумму квадратов собственных чисел.

В дальнейшем, благодаря исследованиям А.В.Кужеля [*9, К)] В.Т.Поляцкого [II] и других, были построены треугольные функциональные модели операторов, принадлежащих иным классам.

При всей значимости перечисленных выше результатов, проблема треугольных представлений операторов не исчерпывалась ими до конца. Очередной шаг в теории треугольных представлений заключался в отыскании абстрактного треугольного представления, не содержащего дополнительной компоненты, которое могло бы играть роль, аналогичную той, которую диагональное представление А. - Бх^ЕС*') играет в теории самосопряжённых операторов.

СиЭта задача была решена М.С.Бродским сначала для вольтерровых£1*] а затем.3*] для операторов более широкого класса. Теория абстрактных треугольных представлений, одновременно, развивалась в работах И.Ц.Гохберга, М.Г.Крейна [[12*] и В.И.Мацае-ва [13].

Дальнейшее формирование теории абстрактных треугольных представлений происходило в работах Ю.И.Любича, В.И.Мацаева£ И.Ц.Гохберга, М.Г.Крейна ^15*] В.М.Бродского, М.С. Бродского £16] М.С.Бродского [17].

Во всех вышеприведённых работах ограничения накладывались на мнимую компоненту приводимого к треугольному виду оператора. Таким образом, исследуемый оператор был в том или ином смысле "близким" к самосопряжённым.

Более трудная задача об абстрактных треугольных представлениях операторов "близких" к унитарным, рассматривалась в работах И.Ц.Гохберга, М.Г.Крейна [4"] и В.М.Бродского, И.Ц.Гохберга, М.Г.Крейна ["з]. М.С.Бродским было замечено, что часть утверждений этих статей С достаточные части теоремы I в ([4"] и теоремы 3.4 в [[5] ) ошибочны.

В диссертации доказано, что при некотором сужении класса рассматриваемых операторов упомянутые теоремы из [4] и ["5]становятся верными.

Вещественные операторные узлы и их характеристические оператор-функции - второй круг вопросов настоящей диссертации, рассматривались в работах М.С.Бродского [21] Д. Хелтона[223 В.И.Годича [23,24] Д.З.Арова [25] Ш.Асади, И.Е.Луценко [26, 27] для тех или иных видов операторных узлов.

Переходим к краткому описанию содержания диссертации.

Диссертация состоит из семи параграфов.§ I носит вспомагательный характер. В нём изучаются операторы с унитарным спектром ' и вводится определение операторного интеграла в смысле С.О.Шатуновского.

В § 2 вводится класс операторов 01 ( - основнойобъект исследований диссертации.

Приведённые в диссертации доказательства частично опираются на идее статьи £ 5"]. Вместе с тем, использован новый метод, позволяющий проводить прямые рассуждения, не опирающиеся на теорию факторизаций операторов.

Для того чтобы оператор Т 7R.) допускал треугольное представление Г — U. (j + U) где V (€ 'R ) оператор с собственной максимальной цепочкой ^ и диагональю вдоль неё, равной нулю, а Ц. - унитарный оператор, описание которого дано в приведённой выше теореме, необходимо и достаточно, чтобы и S dP (l - Р Н PV"1 Н d Р ==о(н=ьт*т).

Цепочка ортопроекторов называется 0 - вещественной, если каждый ортопроектор Р ^ ^ 3 - вещественный.

3 - вещественный оператор Т ^ 01 будем относить к классу 01 ^ I] ) если ПР = РЛ (Р^ ). Операторы класса 01 3 ) допускаютследующие треугольные представления.

В случае, когда оператор Н—1Т Т вполне непрерывен, теорема о треугольном представлении операторов класса (ХС^т^) упрощается.

Основные положения, выносящиеся на защиту.

2. Вещественные операторные унитарные узлы и их характеристические оператор-функции.

3. Мультипликативные представления характеристических оператор-функций вещественных унитарных узлов, основной оператор которых допускает, отмеченные в пункте I, треугольные представления.§ I. Операторы с унитарным спектром

1. Бродский М.С. О треугольном представлении вполне непрерывных операторов с одной точкой спектра. - Успехи мат. наук, 1961, т. 16, № 1. с. 135-141.

2. Бродский М.С. О треугольном представлении некоторых операторов с вполне непрерывной мнимой частью. Докл. АН СССР, 1960, т. 133, ® 6, с. 1271-1274.

3. Бродский М.С. Об интегральном представлении ограниченных несамосопряжённых операторов с вещественным спектром. -Докл. АН СССР, 1959, т. 126, № 6, с. 1166-1169.

4. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. О мультипликативном представлении характеристических функций операторов, близких к унитарным. Докл. АН СССР, 1965, т. 164, № 4, с. 731-735.

5. Бродский В.М., Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Общие теоремы о треугольных представлениях операторов и мультипликативных представлениях их характеристических функций. Функц. анализ и его прил., 1969, т. 3, вып. 4, с. 1-27.

6. Лившиц М.С. О спектральном разложении линейных несамосопряжённых операторов. Мат. сб., 1954, т. 34, К I, с. 145-198.

7. Сахнович Л.А. О приведении несамосопряжённых операторов к треугольному виду. Изв. вузов. Математика, 1959, № I, с. 180-186.

8. Сахнович Л.А. Исследование треугольной модели несамосопряжённых операторов. Изв. вузов. Математика, 1959, К 4,с. 141-149.

9. Кужель A.B. О приведении неограниченных несамосопряжённых операторов к треугольному виду. Докл. АН СССР, 1958, т. 119, № 5, с. 868-871.

10. Кужель A.B. Спектральный анализ неограниченных несамосопряжённых операторов. Докл. АН СССР, 1959, т. 125, № I, с. 35-37.

11. Поляцкий В.Т. О приведении к треугольному виду квазиунитарных операторов. Докл. АН СССР, 1957, т. ИЗ, №4, с. 756-7 59.

12. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. О вполне непрерывных операторах со спектром сосредоточенным в нуле. Докл. АН СССР, 1959, т. 128, № 2, с. 227-230.

13. Мацаев В.И. Об одном классе вполне непрерывных операторов.- Докл. АН СССР, 1961, т. 139, ¡Ь 3, с. 548-552.

14. Любич Ю.И., Мацаев В.И. Об операторах с отделимым спектром.- Мат. сб., 1962, т. 56, № 4, с. 433-468.

15. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. О треугольных представлениях линейных операторов и мультипликативных представлениях их характеристических функций. Докл. АН СССР, 1967, т. 175, № 2, с. 272-275.

16. Бродский В.М., Бродский М.С. Об абстрактном треугольном придставлении линейных ограниченных операторов и мультипликативном разложении соответствующих им характеристических функций. Докл. АН СССР, 1968, т. 191, № 3, с. 5II-5I4.

17. Бродский М.С. Треугольные и жордановы представления линейных операторов. М.: Наука, 1969. 288 с.

18. Бродский М.С., Лившиц М.С. Спектральный анализ несамосопряжённых операторов и промежуточные системы. Успехи мат. наук, 1958, т. 13, № I, с. 3-85.

19. Бродский М.С. Унитарные операторные узлы и их характеристические функции. Успехи мат. наук, 1978, т. 33, № 4, с. I4X-I68.

20. Потапов В.П. Мультипликативная структура J нерастя-гивающих матриц-функций. - Труды Моск. мат. о-ва, 1955,т. 4, с. 125-236.

21. Бродский М.С. Об одноклеточности вещественных вольтерровых операторов. Докл. АН СССР, 1962, т. 147, № 5, с. 10101012.

22. Helton J.W. The characteristic functions of operator theory and electrical network realizations. Indiana Univ. Math. J., 1972, v. 22, n. P. 403-414.

23. Годич B.I. Критер1й (Э^Э^) 0дн0КЛ1ТК0В0С11 (^Uг) . бгсиметричйих оператор!в. - Доп. АН УРСР, серия А, 1969,JE 12, с. 1066-1069.

24. Годич В.И. Бисимметричные матричные узлы. Сиб. мат. журн., 1982, т. 23, № 5, с. 52-62.2 5. Аров Д.З. Пасивные линейные стацио.нарные динамические системы. Сиб. мат. журн., 1979, т. 20, 1Ь 2, с. 211-228.

25. Асади Ш., Луценко И.Е. Антиунитарные преобразования операторных узлов. Вестн. Харьк. ун-та. Математика и механика, 1972, вып. 37, с. 21-27.

26. Луценко И.Е., Асади Ш. Антиунитарные преобразования метрических узлов. Теория функций, функц, анализ и их прил., 1976, вып. 26, с. 72-79.

27. Рисс С.Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979. 592 с.

28. С.Надь Б., Фояш Ч. Гармонический анализ операторов в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1970. 432 с.

29. Stone М.Н. Linear transformations in Hilbert space and their applications to analysis, A.M.S. Colloquium, 1932.

30. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Теория вольтерровых операторов в гильбертовом пространстве и её приложения. М.: Наука, 1967. 508 с.

31. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1965. 448 с.

32. Баранов Н.И., Бродский М.С. Треугольные представления операторов с унитарным спектром. Функц. анализ и его прил. 1982, т. 16, вып. I, с. 58-59.

33. Баранов Н.И. К задаче о треугольном представлении операторов с'унитарным спектром. Новосибирск: Ред. "Сиб. мат. журн.", 1982. -7с,- Рукопись деп. в ВИНИТИ, № 373-83 Деп.

34. Баранов Н.И., Бродский М.С. Треугольные представления операторов с унитарным спектром. Одесса: Одес. гос. ун-т, 1982. - 21 с. - Рукопись деп. в ВИНИТИ, № 637-83 Деп.