Теория рассеивания и формулы следов для диссипативных операторов и сжатий тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ .

ГЛАВА I. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ ДЛЯ СЖАТИЙ . . . . ^

§1, Описание класса исследуемых сжатий

§2» Характеристическая функция сжатия класса ©р и спектральное представление унитарной дилатации

§3. Сравнительный анализ дилатации сжатия класса

§4. Инвариантнорть■блочной структуры

§5» Волновые операторы и оператор рассеяния для сжатия и унитарного. Общие свойства

§6» Рассеяние для сжатий класса (В^ ►►►•♦•►►►►

§7. Рассеяние для слабых: сжатий .».•••.»

§8. Существование расширенного волнового оператора в случае сжатия, не имеющего спектральных, особенностей

ГЛАВА II. ФОРМУЛЫ СЛЕДОВ И ФУНКЦИЯ. СПЕКТРАЛЬНОГО СДВИГА ДЛЯ

СЖИМАЩЕГО И УНИТАРНОГО ОПЕРАТОРОВ

§1. Редукция к более простым объектам

§2. Формула следов и функция спектрального сдвига.

Случай сжатия без внутренней компоненты

§3. Включение дискретного спектра. Структура функции спектрального сдвига в общем случае .*•••

§Д. Связь функции спектрального сдвига с определителем матрицы рассеяния • ».•*.

ГЛАВА III. ШЖТРАЛЬНЫЕ ТОЖДЕСТВА ДЛЯ ДИССИПАТИВНОГО ОПЕРАТОРА, ВОЗНИКАЮЩЕГО В ЗАДАЧЕ О РЕЗОНАНСНОМ РАССЕЯНИИ

ПЛОСКИХ ВОЛН НА ОДНОМЕРНОМ КРИСТАЛЛЕ.8?

§ I» Диссипативный дифференциальный оператор в теории резонансного рассеяния на одномерном полубесконечном кристалле

§2» Высокоэнергетическая асимптотика характеристической функции.

§ 3. Спектральные тождества для реаонансов. Случай

§ 4. Спектральные тождества для резонансов. Случай пары (&, 4). Теорема Левинсона.

К настоящему времени теория возмущений непрерывного спектра самосопряженные операторов получила уже глубокое развитие. Теория рассеяния превратилась в обширную и разветвленную науку, давно стали привычным аппаратом сравнительного анализа операторов формулы следов и спектральные тождества.

Иная ситуация наблюдается для несамосопряженных операторов. Если в соответствующей теории рассеяния уже имеется рад важных результатов, то аппарат формул следов в сущности не разработав. В то же время многие задачи резонансной теории рассеяния треб|уют исследования формул следов и спектральных тождеств диссшативных дифференциальных операторов.

В диссертации получена абстрактная формула следов для пары, состоящей из сжимающего и унитарного операторов и построена для этого случая теория функции спектрального сдвига. Методы работы позволяют попутно получить некоторые новые результаты по теории рассеяния для сжатий. На основе разработанных методов выведены спектральные тождества для конкретного диссипативного дифференциального оператора, возникающего в задаче о резонансном рассеянии плоских волн на одномерном полу бесконечном кристалле.

Перейдем к описанию содержания работы. Диссертация содержит три главы, причем, каждая предшествующая глава является базой для последующей. Основным аппаратом первых двух глав служит гармонический анализ операторов, развитый Б.С.-Надем и Ч.Фояшом. Третья глава в существенном опирается на асимптотические методы.

В главе I получены подготовительные результаты. С их помощью во второй главе удается быстро получить ооновной результат. Глава имеет теоретико-операторный характер.

Основным объектом работы является вполне неунитарное сжатие Т в гильбертовом пространстве , выделенные тем условием, что 2 — Т*Т (SjoПредполагается, что внутри единичного круга у оператора ~Г нет остаточного спектра. Этот класс операторов, который мы будем обозначать через

ЯВЛЯ9Т0Я проотни обо*мш,ви маооа олавшокатий ср=1) исследованного в книге [ I ]. Важным для теории рассеяния свойством сжатия Т G. Qyp является то, что существует унитарный оператор Vj отличающийся от Т на оператор из Описанию класса посвящается §1. В §2 вводится в рассмотрение характеристическая функция (х.ф.) ST(^) охатия (gh.II]) из (Щ^ и произведена удобная для дальнейшего нормировка, выбранная с тем расчетом, чтобы нормированная х.ф. Sfi:) была в точке 2=0 положительна! оператором. При этом ) оказываетоя представимой внутри круга в виде 1 + оператор из В этом же параграфе описано симметричное спектральное представление минимальной унитарной дилатации 17 сжатия Т (см.[2]). Пространство дилатации будем обозначать через сд , В §3 доказано основное утверждение.

Теорема 3.2. Пуоть и v=v такой, что

Т— V €2 (Щр Тогда существует в - унитарный оператор такой, что TJ-V0&V Причем, выбором оператора это включение невозможно улучшить.

Доказательство этой теоремы опирается на теорию унитарных сцеплений полуунитарных операторов, развитую В.М.Дцамяном и Д.З.Аровым в [з]. В соответствии с этой теорией подпространство X) © можно представить в виде ортогональной суммы приходящего и уходящего каналов, в которых действуют соответственно полуунитарные операторы такие, 4что U 1

Ч. - V±

Иначе говоря, Т/ является унитарным оцеплением .

Оказывается, это сцепление минимально, то есть о) = V , да знаком V обозначена замкнутая линейная оболочка подпространств и"' 1 • Сцепление U произведено с выходом из сЭ о •> однако у операторов Vf существует целое семейотво так называемых специальных сцеплений без выхода из пространств . Для теоремы 3.2 подходит лишь одно из них.

В процессе доказательства теоремы 3.2 найдена важная для дальнейших построений блочная структура возмущения <Q — — \j уо ф v в разложение пространства

J^ Ф . оказывается, что о о о чЛ о. О о о где Q

В §4 выяснено, что блочная структура (о.*.} инвариантна относительно функций ъ) аналитических внутри круга и имеющих на окружности непрерывную вторую производную. Иными словами, блочная структура возмущения <РСи) - <KV0© у)

- ? имеет вид (а О и утверждение о принадлежности её элементов I соответствующим классам остается справедливым. Как следствие этого, для всякого сцепления и V t имеет место формула

Теорема 3.2 и вид блочной структуры Co.-i) потребовались нам для доказательства формулы следов. Однако эти утверждения оказываются весьма полезными и для теории рассеяния о потерями. Последующие четыре параграфа главы посвящены указанным вопросам.

В §4 определяются модифицированные волновые операторы и оператор рассеяния для пары сt,v) = т*н v^p л

Кг-* Оо

Го. О у-) =г к/*Стуу) S(t9V) - W*CT, и) к/ С 7J I/) , где - ортопроектор на абсолютно непрерывное подпространство оператора

В несамосопряженном случае, как и в самосопряженном, волновые операторы являются основными объектами теории рассеяния.

Первое исследование волновых операторов было проведено Л.А.Сах-новичем J4 J в рамках треугольной модели. Класс диссипативных операторов для которых справедлива построенная в [4] теория, весьма узок (ограниченные дисоипативннв операторы с абсолютно непрерывным спектром). Несколько позхе этим же автором в [5] было доказано существование волновых операторов для некоторого класса операторов, подобных унитарным, диссипативность ухе не предполагалась. Однако, накладываемые условия оказалиоь, все» таки, слишком жесткими для реальной ситуации. Причина этого в том, что в работах Л.А.Сахновича не использовались тонкие результаты гармонического анализа Б. С.-Надя и Ч.Фоеша. Форма функциональной модели сжатий в интересующем нас виде возникла, вероятно, впервые у Б.С.Павлова в [б] . Несколько позже, основываясь на идее явного аналитического представления одновременно двух операторов в паре (r>lO используемой в работе [б] , С.Н.Набоко построил теорию рассеяния уже для целого класса несамосопряженных операторов (этот класс содержит, в частности, диссипативные операторы с ядерной мнимой компонентой) (см., например, [7] ).

Определение (о, г) волновых операторов отличается от тех, которые давались в вышеперечисленных работах. Однако, нетрудно показать, что наше определение (о, г ) переходит в общепринятое в самосопряженной теории рассеяния, когда оба оператора Т и V унитарны. В §5 доказываются основные свой» ства волновых операторов, необходимые нам в дальнейшем* В частности установлено, что

W+ Ст; I/) - Р W+CV, v09\f)P - ' где Pjq - ортопроектор в на подпространство

Теорема 3.2 и равенства (о,.s) позволяют дать прозрачное построение теории рассеяния для сжатий класса С&Уг. (то есть, сжатий с ядерным дефектом 2) — ]// - т* т' ) В том числе удается доказать существование всех четырех волновых операторов Со. О и представимость в виде " 1 ■+ ядерный" матрицы рассеяния пары С Т, и) .

Новым является то, что разработанным методом доказывается принцип инвариантности волновых операторов для указанной пары. Для ограниченных диссшативных операторов с ядерной мнимой компонентой и абсолютно непрерывная спектром он возник впервые у Л.А.Сахновича в работе [4].

В коротком §7 приведены необходимые для главы Q результаты из работы Б.С.Павлова [б].

Заключительный §8 посвящен задаче об учете потерь в теории рассеяния, суть которой заключается в следующем. Пусть полугруппа сжатий ^ о описывает эволюцию открытой системы и ЛГ^, ^ ъ о - полугруппа унитарных операторов такая, что асимптотические состояния 7"*" и V*~ сравнимы (иными словами, существуют волновые операторы W+ С Ю ) Оператор рассеяния SСт, И") этой пары будет сжатием. Возникает вопрос: можно ли расширить нащу открытую систему & до замкнутой гЗ , а вместе с ней сжатие Т до унитарного оператора I/ в так, чтобы оператор рассеяния ^С V, 1>0 , где V0 - специальное сцепление, был бы уже унитарным. Задача эта содержательна, поскольку уже в

- ю случае, когда Т — V в 5 разность может быть из и ни один признак не гарантирует существование волновых операторов для пары (* vy У0Ф • Однако, они все-таки существуют и это следует из результатов работы £6] Доказательство, данное в [6], однако надо счесть трудным. При некоторых дополнительных ограничениях на сжатие Т (правда, довольно обременительных) мы можем предложить простое прямое доказательство разрешимости задачи учета потерь.

В главе И выводится формула следов и строится теория функции спектрального сдвига для пары операторов, один из которых -сжатие.

Формулы следов для самосопряженных операторов относятся к одному из наиболее старых аппаратов теории возмущения. Потребности в них возникли у физиков при ре пении некоторых задач квантовой статистики. Формализм теории был построен И.М.Лившицем в 1952 г. (см.[8] ). Строгие математические обоснования были даны М.Г.Крейном в [9], [12]. Для унитарных операторов была получена следующая

Теорема 0.1.Пусть Ut и - два унитарных оператора, причем С . Тогда с точностью до постоянного слагаемого существует единственная вещественная функция ОСч^С L Со, 2йЛ такая, что

С 1 2Т { ) - Фсих — fpw'&Ce*) , о где ^PCz^Cflf - t) - любая функция,допускающая разложение ч> п - ч9в

Функция уМ может быть получена по формуле

9<>) - - Лт> Г*е ^ ^ (почти всюду)

2-Я

J /гМ/cff < )!v//± , о функция j? f <fO была названа функцией спектрального сдвига.

М.Ш.Бирманом и Н.Г.Крейном в 1ю] была найдена связь функции ^ С^ с матрицей рассеяния. А именно € . (почти всюду) е1т

Формула следов для на самосопряжен ник операторов возникла впервые у Л.А.Сахновича в [4] , где теорема 0.1 была доказана для пары, состоящей из ограниченного диссипативного и сопряженного с ним операторов. На случай произвольного диссипативного оператора такого, что

Формула следов была получена В.М.Адамяном и Б.С.Павловым в [II] с помощью функциональной модели.

В §1 главы П задача о вычислении следа

SF /ллст) -г/*)} где Т - сжатие класса (Byz , а у •= у* ~л *

Т- У © ± о сводится к изучению уже известных объектов. Рассуждения в существенном опираются на теорему 3.2. Отметим, что метод, которым доказывалась формула следов в самосопряженном случае, для пары Ст^ КЗ 00 эффективен.

В §2 изучается случай, когда спектр сжатия 7~ чисто абсолютно непрерывен. Формула следов для такого типа сжатий имеет вид соответствующей формулы для пары унитарных операторов.Однако функция спектрального сдвига уже, вообще говоря,не суммируемая по Лебегу. Но оказывается, что если интеграл понимать в более широком смысле, то она будет уже суммируемой.Естественное для напвго случая обобщение интеграла известно в анализе как В-интеграл. В § 2 доказана следующая

Теорема 2.2. Пусть Т-сжатия класса (§ у с абсолютно непрерывным спектром э V - унитарный оператор такой, что 7-VC<3i. . Тогда существует комплекснозначная функция со(<еО с положительной мнимой частью такая, что для достаточно широкого класса функций С12-i = ± ") справедлива фохь мула следов

Функция со (у) - В-интегрируема, причем её мнимая часть JynOd принадлежит L^o^n) , а вещественная - лишь

Ljj, Со, 2-zr) при всяком о <^и < d . Функция г) при почти всех о^: у> < 2тг допускает представление где рМ - функция спектрального сдвига пары (Г^Л Is) -§ 3 посвящен включению дискретного спектра сжатия 7~ . Формула следов для пары приобретает здеоь следующий вид : 2jt sf> { фст3 - s4v) 5 « го3 с/фсе <*) . о соС<е) = пСч>) ч- 3 с i

2Ы о где jj , ~ соответственно собственные значения и их проекции на единичную окружность, - обобщенная функция, которую будем также называть функцией спектрального сдвига упорядоченной пары Ct^vJ .

В § 4 установлена связь функции спектрального сдвига пары (Т,\/) с определителем матрицы рассеяния ebtS С7; Is) - г (почти всюду) .

Основные результаты этой главы опубликованы в [13].

В главе Ш полученные в предыдущих главах абстрактные результаты применяются для анализа конкретного диссипативного оператора,возникающего в задаче резонансного рассеяния. Мы рассмотрим представительный случай - рассеяние на одномерном полубеоконечном кристалле. Дифференциальный оператор, описывающий возникающую с этой задачей открытую систему, выглядит следующим образом: f"A ( О -\\(\ л

VMi у где , ^ ) - вектор-функция в пространстве данных Коши J^ i>0

•Я : J fOW+f&>/«./*+/«</')в/к <0°

- »о

Цо =■ Соих£ э ^ аг о , * < О j э усх + л1) rr ^ос) s f € c££o,<f j t x<0

Оператор & — дате сипа тивннй J>v, & ^ о и имеет одномерный дефект несамооопряхепвости. поэтому к нему применимы все результаты предыдущих глав. Исследованию оператора ^ посвящено ряд работ (см.например,[14 , 15 , 16] ). Все сведения об операторе /Ь приведены в § I.

Конечной целью главы является описание спектральных тождеств для оператора А (в литературе чаще, однако, их называют формулами следов).

Спектральные тождества для некоторого оператора Н это регуляризованные относительные следы Sjo С ц Н^ ) где Но - невозмущенный оператор, а ж - целые неотрицательные числа. В эти тождества явно входят собственные значения операторов Н9И0 и регуляризованные моменты функции спектрального сдвига этой пары — с одной стороны и характеристики оператора Н — с другой. Отметим, что доказательства спектральных тождеств основано на знании асимптотики следа разности резольвент операторов A, tt0 .

Спектральным тождеством для различного типа самосопряженных операторов Штурма-Лиувиля посвящена обширная литература. Так, в работе В.С.Буслаева и Л.Д.Фаддеева [17] получены опектральные тождества для одномерного оператора Шредингера на полуоси с конечным первым моментом потенциала и нулевым граничным условием в нуле. Позже В.С.Буслаевым {18} были выведены спектральные тождества уже для трехмерного оператора Шредингера.

Для нашего оператора & в качестве невозмущенного оператора естественно брать э коль скоро для пары С^,^) есть формула следов (см. [il] ). Существенной особенностью, сказывающейся на регуляризации следов SpC&b* - *) является сложный вид соответствующих асимптотических формул, который, в свою очередь, связан со сложностью спектра оператора £> . § 2 посвящен получению нужной асимптотики х.ф. SC\) оператора & s по которой асимптотика следа iyo / СЭ - С^ )] получается уже легко.

В §3 получено первое спектральное тождество, то есть произведена ре 1уляризация следа -Sy® - Л/^") . Замечено, что все четные формулы будут тривиальными.

В задачах резонансного рассеяния в качестве невозмущенного оператора, однако, удобнее брать не ^ 3 а оператор А который является уже самосопряженным (см. [14] ). На основании вычисления следов Sp (- Л ) , в §4 получена уже иная серия спектральных тождеств для оператора & , При = о — это аналог теоремы Левинсона. Оказывается, что спектральные тождества, отвечающие паре С & , ) при четных -ы. уже не являются тривиальными, при нечетных же ** совпадают с тождествами, отвечающими паре ) . Как и в §3, явно приведено лишь первое тождество, поскольку следующие чрезмерно громоздки.

Результаты главы опубликованы в [l3 , 1э]. вида I с

1. Секефальви-Надь Б., Фояш Ч. Гармонический анализ операторов в гильбертовом пространстве.-М.1970, 431 с.

2. Павлов Б.С. Об условиях отделимости спектральных компонент диссипативного оператора,-Известия АН СССР, серия математическая, 39, 1975, ЖС, с.123-148.

3. Адамян В.М., Аров Д.З. Об унитарных сцеплениях полуунитарных операторов.-Математические исследования, Кишинев, I, 1966, вып.2, с.3-64.

4. Павлов Б.С. Учет потерь в задачах рассеяния.-Матем.сб., 97 (139), 1975, Ж, с.77-94.

5. Набоко С.Н. Функциональная модель теории возмущений и её приложения к теории рассеяния.-В кн.: Труды МИАН, 147, 1980, с. 86114.

6. Лившиц И.М. Об одной задаче теории возмущений, связанной с. квантовой статистикой.-Успехи матем.наук, УП, 1952, вып.1 (47), с.171-180.

7. Крейн М.Г. Обопределителях возмущения и формуле следов для унитарных и самосопряженных операторов.-Доклады АН СССР, 144, 1962, J§2, с.268-271.

8. Рыбкин А.В. Формула следов для диссипативного и самосопряженного операторов и спектральные тождества для резонаноов.-Вестн.Ленингр.ун-та, сер.математика, механика, Л 19, 1984,с.97-99.

9. Павлов Б.С. О непрерывном спектре резонансов на нефизическом листе.-Доклада АН СССР, 206, 1972, №6, с.1301-1304.

10. Павлов Б.С. Теория дилатаций и спектральный анализ несамосопряженных дифференциальных операторов.-В кн.: Тр. 7-й зимней школы по математическому программированию и смежным вэ-прооам.М.: ЦЭМЙ АН СССР, 1976, 3-70.

11. Павлов Б.С., Смирнов Н.В. Резонансное рассеяние на одномерном кристалле и тонкой пленке.-Вестн.Ленингр.ун-та, сер.математика, механика, 1977, №13, с.71-80.

12. Буслаев B.C., Фаддеев Л.Д. 0 формулах следов для дифференциального сингулярного оператора Штурма-Лиувиля. -Доклады АН СССР, 132, I960, ЖЕ, с. 13-16.

13. Буслаев B.C. Формулы следов для оператора Шредингера в трехмерном пространстве.-Доклады АН СССР, 143, 1962, №5,с.1067-1071.

14. Рыбкин А.В. Формулы следов для резонансов.-Теоретическая и математическая физика, 56, 1983, №3, с.439-447.

15. Гохберг Й.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов.-М.:"Наука", 1965, 448 с.

16. Крейн М.Г. О некоторых новых исследованиях по теории возмущений самосопряженных операторов.-В кн.: Первая летняя математическая школа, часть I, Киев:"Наукова Думка", 1964, с.103-187.

17. Рщщ М., Саймон Б. Методы современной математической физики.-М.: "Мир", т.З, 1982, 443 с.

18. Аткенсон Ф.Дискретные и непрерывные граничные задачи.-М. :"Мир", 1968, 749 с.

19. Гофман К. Банаховы пространства аналитических функций. М.: ИЛ, 1963, 311 с.

20. Бирман М.Ш. Локальный критерий существования волновых операторов. Известия АН СССР, серия математическая, 32, 1968, с.914-842.

21. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Об одном описании операторов сжатий, подобных унитарным. Функциональный анализ и его приложение, I, 1967, вып.1, с.38-60.

22. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Теория вольтерровых операторовв гильбертовом пространстве и ее приложения.-М.: "Наука", 1967, 508 с.

23. Зигмунд А. Тригонометрические ряды.-М.: "Мир", т.1, 1965, 615 с.

24. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции. Вып.2. Пространства основных и обобщенных функций.-М.: 1958, 307 с.

25. Лаке П., Филипс Р. Теория рассеяния.-М.: "Иир", 1971, 312 с.

26. Павлов Б.С. Об одномерном рассеянии плоских волн на произвольном потенциале.- Теоретическая и математическая физика, 16, 1973, № I, с.105-115.

27. Дэвисон С., Левин Д.Ж. Поверхностные (таммовские) состояния.-М.: "Мир", 1973, 163 с.

28. Титчмарш Э.И. Разложение по собственным функциям, связанным с дифференциальными уравнениями второго порядка.-М.: "Мир" т.2, I960.

29. Фирсова Н.Е. Риманова поверхность квазиимпульса и теория рассеяния для возмущенного оператора Хилла.-Тр.семинаров ЛОМИ, 51, 1975, с.183-196.