О некоторых классах расширений эрмитовых операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение.

Глава I» Правильные расширения эрмитовых операторов.

§ I. Правильные расширения и их свойства.

§ 2. Аналог формул фон Неймана.

§ 3. Спектр и его классификация.

Глава П. Правильные расширения полуограниченных эрмито вых операторов с сохранением грани.

§ I. Самосопряженные расширения полуограниченных симметрических операторов с сохранением^ грани.

§ 2. Самосопряженные расширения полуограниченных эрмитовых операторов с сохранением грани.

§ 3. Правильные расширения полуограниченных эрмитовых операторов "с сохранением грани".

§ 4. Аккретивные расширения неотрицательных эрмитовых операторов.

Глава Ш. Расширения с сохранением нормы и аккретивные расширения эрмитовых операторов.

§ I. Правильные расширения эрмитовых сжатий с сохранением нормы.

§ 2. Нормальные расширения эрмитовых сжатий с сохранением нормы.

§ 3. Нормальные аккретивные расширения эрмитовых операторов.

Настоящая работа посвящена изучению аккретивных расширений неотрицательных замкнутых эрмитовых (вообще говоря, неплотно заданных) операторов, а также изучению нормальных расширений эрмитовых сжатий с сохранением нормы.

Известное предложение Дж.фон Неймана о самосопряженных расширениях полуограниченных симметрических (плотно заданных) операторов с сохранением грани послужило толчком к большой серии работ в этом направлении. В частности, как известно, предложение Неймана различными методами (представляющими и самостоятельный интерес) было обосновано М.Стоуном [29] , К.Фридрих-сом [31] , Л.Фрейденталем [30] , М.Г.Крейном [8] , У.Килпи [32] и Р.Филлипсом [33] . Таким образом, рассматриваемая проблема была решена полностью и в положительном смысле. А именно, бьшо показано, что для произвольного полуограниченного симметрического оператора Н , который действует в гильбертовом пространстве , в этом же пространстве существует самосопряженное расширение с той же гранью, что и у оператора Н

В дальнейшем указанная задача рассматривалась при некоторых дополнительных ограничениях. Так, например, в работе 14] М.Л.Горбочук и В.А.Михайлец получили описание всех полуограниченных снизу самосопряженных расширений симметрического оператора L0 , расширение по Фридрихсу которого имеет дискретный спектр.

В случае же полуограниченных неплотно заданных эрмитовых операторов, как показали Т.Андо и К.Нишио Г2Т] , аналогичная задача уже не всегда разрешима. А именно, справедлива следующая

ТЕОРЕМА (Т.Андо, К.Нишио). Замкнутый положительный эрмитов оператор Н допускает самосопряженное расширение тогда и только тогда, когда он положительно замкнут (positively closable ).

При этом оператор Н называется положительно замкнутым,если из того, что

Несколько позже, независимо и другими методами вопрос о самосопряженных расширениях полуограниченных эрмитовых операторов с сохранением нормы изучался в ряде работ А.В.Штрауса [23-26]. В частности, как показано в работе [26] , имеет место следую -щая

ТЕОРЕМА. (А.В.Штраус). Для того, чтобы эрмитов оператор А обладал ограниченным снизу самосопряженным рас -ширением с сохранением нижней грани, необходимо и достаточно, чтобы операторнозначная функция Л—* АЛ в промежутке ]-оо } m [ мажорировалась полуограниченным снизу самосопряженным оператором. В этом случае А^, - наименьший элемент в множестве всех таких расширений.

При этом в предыдущей теореме m - нижняя грань оператора А , а оператор Ад (Л< т) определяется на ^D(A^) = СЕХА)+ Tlx ( - дефектное пространство оператора А ) равенством

AA(f + g) = Aj +Лд д е Щл ) . (I)

Одна из последних работ в этом направлении принадлежит Код-дингтону и Сноо [28] . В этой работе результаты М.Г.Крейна о существовании двух "крайних" положительных самосопряженных расширений у положительного плотно заданного симметрического .операследует, что h=0 . тора обобщаются не только на случай эрмитовых (неплотно заданных) операторов, но также и на случай положительных линейных отношений. При этом указанные "крайние" расширения необязательно являются операторами (могут быть и линейными отношениями).

В 1959 году Р. Фи л лип с [33] несколько усилил предложение Дж. Неймана и показал, что всякий плотно заданный аккретивный one -ратор Т ( 51е(Тх,х)^0 ) допускает максимальное аккретив -ное расширение. Такая постановка вопроса оказалась продуктивной как в теоретическом плане (изучение различных классов аккретив-ных расширений неотрицательных эрмитовых операторов), так и в практическом (в связи с исследованиями, например, пассивных систем [3] , [17] ). В связи с этим Э.Р.Цекановский [20] изучал вопрос о существовании максимальных несамосопряженных расшире -ний положительного плотно заданного оператора А . Полученные при этом критерии оказались тесно связанными с поведением "жесткого" и "мягкого" расширений (в терминологии М.Г.Крейна).

В процессе обоснования предложения Дж.Неймана М.Г.Крейн [8] вопрос о существовании самосопряженных расширений полуограниченного симметрического оператора Н с сохранением грани свел к вопросу о существовании самосопряженных расширений эрмитова сжатия S с сохранением нормы. В связи с этим возникла самостоятельная задача: изучение самосопряженных и несамосопряженных расширений эрмитовых сжатий с сохранением нормы. Так, например, Э.Р.Цекановский [20] рассматривал вопрос о существовании несамосопряженных сжатий, являющихся расширениями эрмитовых сжатий. Необходимость изучения таких расширений объясняется их тесной связью с аккретивными расширениями неотрицательных эрмитовых операторов.

Упоминавшиеся ранее различные расширения эрмитовых операторов являются правильными расширениями в смысле работы А.В.Кужеля [10]. Отметим, что, как показали А.В.Кужель и Л.И.Г^денко [15, 16], для правильных расширений эрмитовых операторов имеет место аналог формул Дж.Неймана, который существенно используется в дальнейшем.

Настоящая работа посвящена дальнейшему изучению правильных расширений эрмитовых шераторов: выяснению условий существования правильных аккретивных (и, в частности, неотрицательных самосопряженных) расширений неотрицательных эрмитовых операторов; описанию широкого класса неотрицательных эрмитовых операторов, для которых аккретивные расширения с плотной областью определения (в том числе и неотрицательные самосопряженные расширения) не существуют; обобщению результатов М.Г.Крейна о самосопряженных расширениях эрмитовых сжатий с сохранением нормы на случай правильных нормальных расширений эрмитовых сжатий; описанию как аккретивных расширений, так и нормальных расширений с сохранением нормы соответствующих классов эрмитовых операторов; выяснению условий, при которых не существует несамосопряженных нормальных расширений (с сохранением нормы) эрмитовых сжатий, а также несамосопряженных нормальных аккретивных расширений неотрицательных эрмитовых операторов.

Остановимся подробнее на содержании работы.

В главе I, которая в основном носит вспомогательный харак -тер, рассматриваются общие свойства правильных расширений эрмитовых операторов. При этом в § I вводится понятие правильного расширения эрмитова оператора. А именно, в соответствии с работой [Ю] оператор Т называется правильным расширением эрмитова оператора А , если А с Т0 , где това часть оператора Т , а

V {fe©mi(Tf,gWf,Tg) (Vge^fT))} область эрмитовости оператора Т . Множество всех правильных расширений эрмитова оператора А в дальнейшем обозначаются через .

Здесь же вводится понятие правильного расширения изометрического оператора и устанавливаются некоторые предложения, кото -рые используются в дальнейшем.

В § 2 формулируется и обосновывается используемая в дальнейшем следующая

ТЕОРЕМА 2.1. (А.В.Кужель, Л.И.^уденко). Пусть В ^ 9(A) , Л €= Gp(B) и ЗтЛ + 0 . Тогда произвольный вектор f из Ш) представим в виде f = <р+ дЛ+ , (2) где ср е^СА) , дд^-Э(Ф) , а ф - некоторый линейный оператор, действующий из Т1Л в 71^ и такой, что ^ &р(Ф) • При этом оператор В действует по формуле

В(сР + дЛ+Фдд)= Аср +Л9л+Лфдд , (3) и, кроме того, многообразия линейно независимы.

В § 3 приведена классификация спектра линейных операторов, рассмотрены некоторые предложения, связанные с введенной классификацией, а также устанавливаются общие свойства спектра правильных расширений эрмитовых операторов (относящиеся, в основ -ном, к тому случаю, когда заданный эрмитов оператор А имеет конечные дефектные числа).

Во второй главе рассматриваются правильные (в частности, самосопряженные) расширения полуограниченных эрмитовых операторов с сохранением грани. Так в первых двух параграфах рассматриваются самосопряженные расширения полуограниченных эрмитовых (как плотно заданных, так и неплотно заданных) операторов.

Пусть ТТ (И) - поле регулярности эрмитова оператора Н , ий- ортопроектор в на 5)(Н) . Справедлива следующая

ТЕОРЕМА 2.2. Пусть Н - замкнутый полуограниченный эрмитов оператор и с - его нижняя грань. Если при этом с «= ТТ(Н) и с ё6р(ШЛ , то оператор Н допускает полуограниченное самосопряженное расширение с сохранением грани.

Здесь же (§ 2) рассмотрены частные случаи, когда самосопряженное расширение с сохранением грани заведомо существует или заведомо не существует. Так, например, если = ^ и Н - замкнутый линейный неотрицательный эрмитов оператор, действующий из \ в Э? , причем то самосопряженные неотрицательные расширения оператора Н не существуют. В то же время для любого £ > 0 существует полуограниченное снизу самосопряженное расширение А оператора Н с нижней гранью С = - £

В § 3 рассматриваются правильные расширения А полуограниченного снизу эрмитова оператора И (с нижней гранью С ), удовлетворяющие условию fte(Af,f) s c(f,f) (Vfe<DM). (4)

В частности, если оператор А самосопряженный, то неравенство (4) перепишется в виде (Af}f) и , таким образом, мы приходим к задаче о самосопряженных расширениях с сохранением грани.

Если же Н - неотрицательный эрмитов оператор, то неравенство (4) перепишется в виде StcCAfj-p ^ О и, следовательно, в этом случае приходим к задаче об аккретивных расширениях неотрицательных эрмитовых операторов.

Пусть GL - ортопроектор в ^ на 5ХЮ и Ле£р((1Н) . В таком случае линеалы и Т1Л линейно независимы лемма 2.1). Рассмотрим оператор, определяемый на 55(H) + равенством

A(q? + g)= Hcp+Kg (ср ефОП, gе Щл) } (5) где

К. : % - некоторый ограниченный оператор.

Оказывается, что оператор А является правильным расширением оператора Н тогда и только тогда, когда оператор К представим в виде

Kg = Лд + Sg ( g£ Лл) ) (6) где оператор

Пусть m - нижняя грань оператора Н . Тогда при С ^ m и фиксированном Л оператор А , определяемый равенствами (5) и (6), удовлетворяет неравенству (4), если п ^ (т~ос)(а.-с)- fbZ . ~

IISII ^ -FnT^c-L (а-йеЛ^-ЭтА) .

Если же в (6) оператор S фиксированный, то оператор А удовлетворяет неравенству (4) для всех Л из круга радиуса

R ~ 1 I ГПгС ) ~ (m-c)llSll с центром в точке (, 0 )

- 10

В последнем параграфе рассматриваются аккретивные расширения неотрицательных эрмитовых операторов. G использованием теоремы 2.1 (гл. I) устанавливается следующая

ТЕОРЕМА 4.1. Пусть Н>0 . Оператор А из 9(H) является аккретивным тогда и только тогда, когда:

1) оператор ~Ф - диссипативный;

2) для любого ф и любого

1«1-ф)д.1)ср)|г^.2(Н1р>«р)Ы-Фд1,д1) .

В частности, если Н - неотрицательный эрмитов оператор, действующий в гильбертовом пространстве где , то оператор Ае fp(H) является аккретивным тогда и только тогда, когда оператор ~ Ф - диссипативный.

Итак, в рассматриваемом случае аккретивные (и, в частности, самосопряженные) расширения оператора Н существуют.

Если же ^ = © ^ ^ иН - замкнутый линейный оператор, действующий из ^ в » причем ©(H) — ^ ,

Н) + {0} ,то произвольный аккретивный оператор А из не может быть плотно определенным

Ш) с Цент.

В частности, мы снова приходим к утверждению, о котором уже шла речь: в рассматриваемом случае не существуют неотрицательные самосопряженные расширения оператора Н

В первом параграфе Ш главы рассматриваются правильные расширения эрмитовых сжатий с сохранением нормы и связь таких расширений с аккретивными расширениями неотрицательных эрмитовых операторов. Так справедливы следующие утверждения.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.3. Пусть аккретивный оператор А является правильным расширением неотрицательного оператора Н . Тогда оператор Т , определяемый равенством

Т= (I-AMI+A)"1 (^TWI+AVSXA^ (7) является правильным расширением с сохранением нормы эрмитова оператора S , который определяется равенством s-a-ш+нг (a)(5)»(1+нхэ(нп. (в)

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.5. Пусть Т - правильное расширение оператора S (IISN1) с сохранением нормы и . Тогда оператор А , определяемый равенством

-А

А-П-ТХ1 + ТГ (<0(А)-(1+"ПФ(Т)) О) является правильным аккретивным расширением оператора Н = (I-S)(I+Sfd.

ТЕОРЕМА 1.7. Оператор Т является правильным расширением с сохранением нормы эрмитова сжатия S тогда и только тогда, когда оператор Ф аккретивный и для любых ср ^ ©(S) и gLe Hi ka+$)gL)cp)U Olcpll2-IScpI2) Же(Фд^ g-L).

При этом в теореме 1.7 оператор Ф определяется теоремой 2.1 (гл. I), а - дефектное подпространство оператора S .

Здесь же теорема 1.7 применяется для описания расширений в некоторых частных случаях.

В § 2 рассматриваются нормальные расширения эрмитовых сжатий с сохранением нормы. Множество всех правильных нормальных расти 12 рений Т эрмитова сжатия 5 и таких, что Т= R + iK, R = К= JmT ) , ИТ II = 1151! , обозначим через В частности, - совокупность всех самосопряженных расширений оператора S с сохранением нормы (именно такие расширения и изучались М.Г.Крейном). Оказывается, что при условии s) v ws^ = ъ несамосопряженных правильных нормальных расширений оператора 5 не существует (т.е. fP(S j Ю = 0 - теорема 2,1). Однако при переходе от аккретивных расширений к расширениям с сохранением нормы равенство ©(S'JVJR.CS') — не всегда выполняется и, следовательно, возникает необходимость исследовать расширения оператора S в общем случае.

Пусть Т'= R'+ IK, - некоторый фиксированный оператор

12- 2. из Так как

R + К « I , то можем рассмотреть оператор В = (1~ К ) ,а также операторы

B+=B+R' , В= В- R' , (Ю) которые являются неотрицательными. Обозначим через 0.1 и Q^ ортопроекторы соответственно на подпространства

SeffiEOXS)), <5 © (1ВГ 3XS)) , и рассмотрим операторы с помощью которых определим самосопряженные операторы

R4 = R.'-C4 . R2= R'+C;, . (И)

Имеют место следующие предложения.

- 13

ТЕОРЕМА 2.3. Пусть нормальный оператор T-H + UC является правильным расширением эрмитова сжатия 5 с сохранением нормы. Тогда

Rd ^ R * Ra . (12)

ТЕОРЕМА 2.5. Пусть Т- R+lK. нормальный оператор и такой, что оператор R удовлетворяет условию (12). Тогда

Те S>(S-,K,).

Оказывается, что операторы Rd и R2 , определяемые равенствами (II), не зависят от выбора оператора Т'= R'+lK в 94 S; К) (следствие 2.7), причем операторы Т1= R^lK, и Тг= R2+lK, также являются правильными нормальными расшире -ниями оператора S с сохранением нормы (и, таким образом,, lTd Jel с 9(5] К) - теорема 2.6).

Пусть T=R+iFCe5>(S*7K) ,а оператор В+ определяется аналогично предыдущему:

В+= B + R (В = (1-К2)4).

Рассмотрим В+ - скалярное произведение и В+ - норму, определяемые равенствами

На примере показано, что определенное так В+ -скалярное произведение может оказаться вырожденным. В связи с этим выясняются условия, при которых

Diet В+ = Ю S .

ТЕОРЕМА 2.8. Пусть i ё 6р(Т*Т) . Тогда ХесВ+={0} .

ТЕОРЕМА 2.9. Пусть Т= R.+ 1К. е 54S К) и -leffp(R) . Тогда Xez В+* 10}

Следующая теорема является обобщением известного предложения М.Г.Крейна на случай правильных расширений эрмитовых сжатий.

ТЕОРЕМА 2.11. Пусть Т = R + 1К ^ JPCSjM и

В+ = {0} . Тогда для того, чтобы оператор R совпадал с нижней гранью Rd в (12), необходимо и достаточно, чтобы линеал 5) был всюду плотным в по В+ -норме.

В последнем параграфе рассматриваются нормальные аккретивные расширения эрмитовых операторов. При этом неограниченный оператор А называется нормальным, если в некоторой точке д е (1\) резольвента этого оператора является нормальным оператором.

ТЕОРЕМА 3.1. Пусть Н - замкнутый неотрицательный симметрический (плотно заданный) оператор. Тогда произвольное макси -мальное правильное аккретивное расширение А оператора Н является самосопряженным оператором.

В случае же неплотно заданных неотрицательных эрмитовых операторов могут существовать и несамосопряженные аккретивные расширения. С другой стороны, возможны случаи, когда плотно заданные аккретивные расширения эрмитова оператора Н вообще не существуют (о чем уже шла речь).

Пусть оператор S определяется равенством (8). Обозначим через ff^ (S) множество нормальных расширений Т эрмитова сжатия S с сохранением нормы. Предположим, что нормальные операторы J = R4+"lK и Тм = R£+lK (операторы R4 и R2 определяются равенствами (II)) принадлежат множеству Тогда операторы

Ам= (I-у«+Т/\ Ам= (I-TJd+TJ1, являются нормальными аккретивными расширениями оператора Н . Следуя соответствующей терминологии в случае самосопряженных расширений симметрического оператора Н операторы А^ и Ам будем называть соответственно жестким и мягким расширением оператора Н

Определим на ©(H) , где п - неотрицательный эрмитов оператор, Н - скалярное произведение и Н -норму равенствами: f,g)H- (f,g) + (Hf,g) ( If,9} с ®(Н)) , llfll„ = ШЖ ■

Линеал с метрикой, порождаемой И -нормой, является предгильбертовым пространством. Пополняя (в случае необходимости) обычным способом это пространство и повторяя известные построения Фридрихса, получим гильбертово пространство ^о » которое будем обозначать через и такое, что <D(H)c ■$„<= ^с $ (V®[H]), где

- замыкание линеала в исходной метрике. При этом линеал ©(И) всюду плотен в (как в Н -метрике, так и в исходной метрике) и замыкание линеала 2)(Н) в Н -метрике совпадает с .

Пусть оператор S связан с Н равенством (8) и оператор Тогда оператор А , определяемый равенством (9), является аккретивным расширением оператора Н .

Рассмотрим операторы В+ и В , определяемые равенствами (10). Предполагаем, что Jtet- В+ = {0} (кроме рассмот -реиных ранее условий устанавливаются еще следующие достаточные условия для выполнения указанного равенства: I) линеалы 71(H) линейно независимы; 2) оператор п - симметрический) .

Рассмотрим (неотрицательный симметрический) оператор

Х = В В4- • Предполагаем, кроме того, что IIК 11^ 1 . Тогz z да оператор В= (I- К. ) непрерывно обратим и, следовательно, можем рассмотреть оператор В (I +Х) , который является неотрицательным симметрическим оператором. По аналогии с В+ -метрикой и Н -метрикой рассматриваются X -скалярное произведение и X-норма: f,g)x=(B*1(I + X)f)q) Uf,gl

Шх= ШЖ ■

Определенное так X -скалярное произведение является невырожденным. При этом если рассматриваются самосопряженные расширения операторов Н и S , то К= 0 , В-1 , Т= R, и, следовательно , Х= (1-Т)(1+Т) = А . Но тогда f,g)x = (f,g> + (Af,g) = (f,g)A , т.е. мы приходим к А -метрике, которая в свое время рассматривалась М.Г.Крейном.

Пусть, как и прежде, Н - замкнутый неотрицательный оператор. Обозначим через множество всех нормальных аккретивных расширений А оператора Н и таких, что оператор

- 17

Т , определяемый равенством (7), представим в виде Т = R+lK, .В частности, (HjO) - множество всех самосопряженных расширений оператора Н . Пусть тм= fviK , A^-d-vd+v"1,

X>t= (B-Ri)(B + RJ1 (В=(1-Кг)М.

Следующая теорема также является обобщением известного предложения М.Г.Крейна на случай нормальных аккретивных расширений неотрицательных эрмитовых операторов.

ТЕОРЕМА 3.5. Пусть fPd'(H;K)+ ф . Тогда в множестве существует единственный оператор /Л , для которого Этим оператором является оператор А^ (жесткое расширение оператора Н ) и для него ф (Х^ ) =

-<ЭШ] .

В данной работе внутри глав принята сквозная нумерация теорем, предложений, лемм, примеров и формул с помощью пары чисел, в которой первое число указывает номер параграфа, а второе ~ номер соответствующего утвервдения в этом параграфе. При ссылках на утверждения предыдущих глав номер той главы, в которой находится соответствующее утверждение, указывается в скобках.

Настоящая работа выполнена в Симферопольском государственном университете имени М.В.Фрунзе.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [12-14, 18, 19] и докладывались на семинарах по функциональному анализу Симферопольского госуниверситета (руководитель -проф. А.В.Кужель) и Ульяновского госпединститута (руководитель -проф. А.В.Штраус).

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЕ, ВЫНЕСЕННЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Характеристика спектра правильных расширений эрмитовых операторов (гл. I).

2. Самосопряженные расширения полуограниченных эрмитовых операторов с сохранением грани (гл. П).

3. Правильные расширения А ограниченного снизу оператора Н (с нижней гранью с ), удовлетворяющие условию

5fe(Af,f) > c(f,f) (Vf«<D(A"0. (гл. П)

4. Критерий существования правильных аккретивных расширений неотрицательных эрмитовых операторов (гл. П).

5. Критерий существования правильных расширений эрмитовых сжатий с сохранением нормы (гл. Ш).

6. Описание нормальных расширений эрмитовых сжатий с сохране -нием нормы (гл. Ш).

7. Свойства нормальных аккретивных расширений неотрицательных эрмитовых операторов (гл. Ш).

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю А.В.Кужелю за постоянное внимание к работе.

1. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. - М.: Наука, 1966. - 543 с.

2. Бирман М.Ш. К теории самосопряженных расширений положительно определенных операторов. Мат.сб., 1956,т.38(80):4, с. 431-450.

3. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1979. - 318 с.

4. Горбачук М.Л., Михайлец В.А. Полуограниченные самосопряженные расширения симметрических операторов. Докл. АН СССР, 1976, 226, № 4, с. 765-767.

5. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: И.Л., 1954. - 488 с.

6. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 2. М.: Мир, 1978. - 395 с.

7. Колманович В.Ю. Некоторые свойства самосопряженных расширений эрмитовых операторов. Рукопись деп. в ВИНИТИ3192-83. Деп. от 9.06.83. 9 с.

8. Крейн М.Г. Теория самосопряженных расширений полуограниченных эрмитовых операторов и ее приложения. I. Мат.сб., 1947, т. 20(63), с. 431-495.

9. Крейн М.Г., Овчаренко М.Е. О GL-функциях и SC -резольвен -тах неплотно заданных эрмитовых сжатий. Сиб.мат.ж., 1977, ХУШ, № 5, с. I032-1056.

10. Кужель А.В. Правильные расширения эрмитовых операторов. -Докл. АН GCGP, 1980, 251, № I, с. 30-33.

11. Кужель А.В. Классификация спектра в алгебрах. Докл. АН УССР, 1983, сер. А, № 10, с. 11-14.

12. Кужель А.В., Роткевич Э.С. Аккретивные расширения неотрицательных эрмитовых операторов. Функц.анализ. Линейные операторы. Ульяновск, 1983, с. 94-99.

13. Кужель А#В., Роткевич 3.G. Нормальные расширения эрмитовых операторов с сохранением нормы. Функц.анализ. Линейные операторы. Ульяновск, 1983, с. 100-107.

14. Кужель А.В., Роткевич Э. Общие свойства спектра правильных расширений эрмитовых операторов. Динам.системы, 1984, вып. 3, с. 90-94.

15. Кужель А.В., ГУденко Л.И. Описание правильных расширений эрмитовых операторов. Функц.анализ и его прилож., 1982, 16, № I, с. 74-75.

16. Кужель А.В., Руденко Л,И. Правильные расширения эрмитовыхи изометрических операторов. Укр.матем.ж., 1981, 33, № 6, с. 810-814.

17. Лившиц M.G. Операторы, колебания, волны (открытые системы). М.: Наука, 1966. - 298 с.

18. Роткевич Э. Самосопряженные и правильные расширения полуограниченных симметрических операторов с сохранением нижней грани. Discussiones Math., 1983, t. VI, 167-172.

19. Роткевич Э.С. Условие существования правильных расширений эрмитовых сжатий с сохранением нормы. Функц.анализ. Спектральная теория. Ульяновск, 1984, с.89-94.

20. Цекановский Э.Р, Несамосопряженные аккретивные расширения положительных операторов и теоремы Фридрихса-Крейна-Филлип-са. Функц.анализ, 1980, т.14, вып.2, с.87-88.

21. Цекановский Э.Р. Обобщенные расширения несимметрических операторов. -Матем.сб., 1965, т.68(110) :4, с.527-548.

22. Арлинский Ю.М., Цекановский Э.Р. Обобщенные резольвентыквазисамосопряженных сжимающих расширений эрмитова сжатия.-Укр.матем.ж., 1983, т.35, № 5, с.601«603.

23. Штраус А.В. О расширениях полуограниченных операторов. « Докл. АН GGGP, 1973 , 211, № 3, с. 543-546.

24. Штраус А.В. Об одном семействе расширений полуограниченного оператора. Функц.анализ. Ульяновск, 1976, вып.6, с.155-«164.

25. Штраус А.В. О расширениях ограниченного симметрического оператора с сохранением грани. Функц.анализ. Ульяновск, 1976, вып.6, с. 165-173.

26. Штраус А.В. К теории расширений полуограниченного оператора. Функц.анализ. Ульяновск, 1977, вш. 9, с. 167-173.

27. Ando 2)*» Nishio К. Positive self ad joint extensions of positive symmetric operators. lohoku Math.I., 1970» 22,m 1, p. 65-75.

28. Coddington E.A., Snoo H.V. Positive selfadjoint extensions of positive symmetrie subspaces. Math. I., 1978, 159» Ш 3» p. 203-214.

29. Stone M. Linear Transformations in Hilbert Spaces. -Math. Soc. Coll. Piibl., 1932, V. 15.

30. Freundental H. tfber die Fridrichsche Fortsetzung halbbe-schrarikter Operatoren. Akad. van Wetenschappen te Amsterdam, 1936, XXXIX, N2 7*

31. Fridrichs K. Spektraltheorie nalbbeschraankter Operatoren und Anwendung auf die Spektralz erlegung von Differential-operatoren.- Math. Ann., 1934, V., Ю9, p. 465-48?.

32. Дапфорд Н., Шварц Дж.Г. Линейные операторы. Спектральная теория, т.2. М.: Мир, 1966; - 1063 с.