Спектральные разложения операторов дифференцирования в пространстве векторнозначных функций в сингулярном случае тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение

1. Спектральные разложения плотно заданных операторов дифференцирования в пространстве векторнозначных функций

§1. Определение цепочки плотно заданных операторов дифференцирования в пространстве £2((0, оо), Сп).

§2. Обобщенные спектральные меры операторов цепочки

§3. Обобщенные спектральные разложения операторов цепочки

2. Спектральные разложения неплотно заданных операторов дифференцирования в пространстве векторнозначных функций

§1. Определение цепочки неплотно заданных операторов дифференцирования в пространстве С2((0, оо), Сп)

§2. Обобщенные спектральные меры операторов цепочки

§3. Обобщенные спектральные разложения операторов цепочки

3. Примеры описания спектральных разложений некоторых операторов дифференцирования на полуоси

§1. Описание спектральных разложений плотно заданных операторов дифференцирования в пространстве £2(0, оо)

§2. Описание спектральных разложений неплотно заданного сужения интегро-дифференциального оператора в пространстве £2(0,оо)

В диссертации рассматриваются вопросы, связанные со спектральной теорией симметрических операторов дифференцирования в пространстве векторнозначных функций.

Основы общей теории симметрических операторов в гильбертовом пространстве были заложены Дж. фон Нейманом [31], М. Стоуном [33] и получили свое дальнейшее развитие в работах М. А. Наймарка [27] [29], М. Г. Крейна [18]—[20], М. А. Красносельского [16]-[17], А. В. Штрауса [42], [48]—[50] и других авторов.

Ими были описаны совокупности всех обобщенных резольвент и спектральных функций для различных классов симметрических операторов.

Для формулировки некоторых результатов работ [42], [50], [53], [54], [57], использованных в диссертации, напомним основные понятия и предложения теории линейных операторов в гильбертовом пространстве.

Через Sj обозначим абстрактное гильбертово пространство со скалярным произведением (•,•) и нормой || • ||.

Линейный оператор А, действующий в f), называется симметрическим, если для любых элементов f,g £ Dom А справедливо равенство (А/, д) = (/, Ад). В общем случае область определения оператора не обязательно плотна в f). Для ограниченного оператора понятие симметрического оператора совпадает с самосопряженным.

Как обычно, оператор В называется расширением оператора А (А С В), если DomA С Dom В и Bf = Af для любого / £ DomA. Оператор А в этом случае называют сужением оператора В на Dom А и обозначают А = В\^отА •

Теория расширений симметрических операторов развита Дж. фон

Нейманом, который свел ее к задаче расширения изометрического оператора с помощью преобразования Кэли. При этом существенную роль играет теория дефектных подпространств.

Пусть Л — произвольное невещественное число. Через Ш1д обозначим область значений оператора А — XI:

ШХ(А) = Ran (А - XI) или 9Яд(А) = (А- XI) Dom А.

Ортогональное дополнение к области значений оператора А —XI называется дефектным подпространством оператора А и обозначается 9Тд(А): тх(А) = ъет{А).

В дальнейшем, если известно о каком операторе идет речь, будем обозначать их просто 9Яд и ЭДд .

Размерность дефектного подпространства 91д одинакова для всех Л, принадлежащих нижней полуплоскости С или верхней полуплоскости С+ и называется дефектным числом оператора в данной полуплоскости. Упорядоченная пара (dimO^-j, dimO^) называется индексом дефекта оператора (или просто дефектными числами). Дефектные подпространства 91д и 91д являются собственными подпространствами оператора А* (или отношения А*, если оператор неплотно задан), отвечающими собственным значениям Л и Л. Каждый симметрический оператор имеет два дефектных числа. У максимального симметрического оператора, не имеющего симметрических расширений в данном пространстве, одно из дефектных чисел равно нулю.

Замкнутый симметрический оператор обладает самосопряженными расширениями в данном пространстве тогда и только и тогда, когда его дефектные числа равны. Для произвольных дефектных чисел, как показано М. А. Наймарком [27] для плотно заданного оператора и М. А. Красносельским [17] в общем случае, оператор обладает самосопряженными расширениями с выходом из данного пространства.

Комплексное число Л называется точкой регулярного типа замкнутого оператора А, если оператор (А — Л/)-1 существует и ограничен. Если при этом Оот(А— Л/)-1 = 5о, то Л называется регулярной точкой. Множество всех точек регулярного типа оператора А называют полем регулярности. Будем обозначать его А(А). Для симметрического опе,-ратора Л(А) Э С+ и С. Множество всех регулярных точек образует резольвентное множество р(А) оператора А. Ясно, что резольвентное множество есть часть поля регулярности (р(А) С Л(Л)). Дополнение резольвентного множества до всей комплексной плоскости называется спектром оператора и обозначается сг (А): <т(А) = С \ р(А). В дальнейшем, если не указано о каком операторе идет речь, поле регулярности оператора и его резольвентное множество будем обозначать просто Л и Р

Симметрический оператор А называется регулярным, если Л = С. Очевидно, что для этого достаточно, чтобы К С А. В случае максимального симметрического несамосопряженного оператора резольвентное множество р совпадает с одной из полуплоскостей (С+ или С). В случае самосопряженного оператора р Э С+ и С .

Операторнозначная функция (А — Л/)-1 (А Е Л), называется резольвентой оператора А и обозначается Я(А).

Одним из основных результатов спектральной теории самосопряженных операторов является теорема о спектральном разложении, котог рая описывает это разложение в терминах так называемого разложения единицы.

Ортогональным разложением единицы называется операторнозначная функция Е{€) (£ Е К), значениями которой являются ортопроекторы в Sj, обладающая следующими свойствами:

1) EfajEfo) = E(t) (t = min{ii,i2});

2) E(t - 0) = E(t);

3) E(—oo) = 0, E(+oo) = / (см., например, [2]).

Ортогональное разложение E(t) однозначно определяет самосопряженный оператор А, который определяется по формуле оо

Af=j tdE(t)f оо и имеет область определения оо

Dom A = {feS)| / t2d(E(t)f, /) < оо}. оо

Все интегралы здесь и в дальнейшем понимаются в смысле сильной сходимости.

Обобщенным разложением единицы называется всякое однопараме-трическое семейство операторов E(t), удовлетворяющих условиям:

1) при ¿2 > t\ разность E(t2) — E{t\) является ограниченным положительным оператором;

2) E(t - 0) = E(t);

3) Е(-оо) — 0, Е(+00) = I (см., например, [2]).

М. А. Наймарком [28] установлено, что операторнозначная функция E(t) (t G R), является обобщенным разложением единицы в пространстве fj тогда и только тогда, когда она допускает представление вида E(t) = PE(t)\fi, где E{t) — ортогональное разложение единицы в более широком пространстве f) Э fj, Р — ортопроектор в на fj.

Пусть А — самосопряженное расширение оператора А, действующее в пространстве Э ft. Пусть E(t) (t £ R) — ортогональное разложение единицы, отвечающее оператору А. Обобщенной спектральной функцией оператора А (или просто спектральной функцией), определяемой оператором А, называют операторнозначную функцию E(t) (t G R), заданную формулой

E(t) = PE(t)\ где jP — ортопроектор в Sj на S).

Симметрический оператор с ненулевыми дефектными числами обладает бесконечным числом спектральных функций. Максимальный симметрический и самосопряженный — единственной спектральной функцией. Эта единственная спектральная функция является ортогональной тогда и только тогда, когда оператор самосопряженный.

С понятием спектральной функции тесно связано понятие обобщенной резольвенты. Обобщенной резольвентой замкнутого симметрического оператора А называется операторнозначная функция jR(A) = Р(А- \I)-\ (ImA ф 0), где А — некоторое самосопряженное расширение оператора А, действующее в более широком пространстве 9) Э 9), Р — ортопроектор в f) на

Я.

Обобщенная резольвента и спектральная функция оператора А, определяемые одним и тем же расширением А, связаны равенством

ЖА) = 7 73Г (0Л) оо

Если E(t) и R(А) связаны равенством (0.1), то спектральная функция E{t) однозначно восстанавливается по обобщенной резольвенте с помощью формулы обращения Стилтьеса t

7г г—»0+

1 t

E(t) = - lim f lmR(a + ir)da, (0.2)

7Г T—>0+ J поэтому задача об описании всех спектральных функций оператора А может быть сведена к задаче описания совокупности всех его обобщенных резольвент.

В работах М. А. Наймарка [29] и М. Г. Крейна [18] независимо друг от друга была решена задача описания всех обобщенных резольвент симметрического плотно заданного оператора с дефектными числами (1,1). Результаты М. Г. Крейна были обобщены в работе [20] на случай равных и конечных дефектных чисел, а затем и на случай равных бесконечных дефектных чисел в работе М. Г. Крейна и Ш. Н. Саакяна [22].

А. В. Штраусом было дано описание совокупности всех обобщенных резольвент симметрического оператора с произвольными дефектными числами в терминах семейств расширений этого оператора в рамках исходного пространства fj сначала для плотно заданного оператора [42], а затем для произвольного оператора [50].

Пусть А — замкнутый симметрический оператор (необязательно плотно заданный). Зафиксируем произвольное невещественное число (.

Если и £ , v £ Щ и и — v G Dom А, то ||w|| = ||г>||. Рассмотрим изометрический оператор X, полагая v = Xu для любых таких и и v. Оператор X называется "запретным" (см. [27]).

Обозначим через Т класс всех голоморфных в полуплоскости П = {Л <Е С | Im Л Im С > 0} операторнозначных функций F(А) таких, что для любого Л G П F(А) : —> ОТ^ есть линейный оператор с нормой < 15 удовлетворяющий следующим условиям: если для некоторого и е %; lim qF(X)u = Xu и ^imJAl (||к|| - \\F(X)u\\)) < +оо, то и = 0. Здесь П Э А —У оо означает, что А —» оо и для некоторого $ G (0, |) £ < \ arg А| < тт — £. Такие классы были введены А. В. Штраусом.

Согласно [50], формула

R(\) = (Ат - xi)~l (Л е п), где

Dom Af{x) = Dom А + (F(А) - 1)У1(,

Af{x )(/ + F(A)u - и) = Af + (F{X)u -(и (/ E Dom А, и E определяет взаимно однозначное соответствие между множеством всех обобщенных резольвент оператора А и множеством всех операторно-значных функций F(А) (А £ П) класса Т.

Заметим, что если оператор А плотно задан, то DomX = 0, т. е. класс Т состоит из всех голоморфных в П операторнозначных функций F(Л) таких, что для любого Л Е П F(X) : —у есть линейный оператор с нормой ||.F(A)|| < 1.

Введем теперь важное понятие масштабного подпространства оператора. Подпространство С fj называется масштабным подпространством оператора А, если непустым является множество fi(grt) = {А Е Л(А)|5э = Шх(А) + <п}.

А. В. Штраусом впервые было указано на возможность выбора дефектного подпространства в качестве масштабного.

Обозначим через П множество всех точек комплексной плоскости таких, что при любом А Е П пространство fi представимо в виде прямой суммы: э = аяЛ 4- тс- (о.з)

Как показано А. В. Штраусом [48], [52] П Э П, П D AUR и П — открытое множество. Для любого А Е П обозначим через Q(A) : f) —> проектор соответствующий данному разложению пространства fj.

Если R(А) (ImЛ ф 0) — обобщенная резольвента оператора А, то операторнозначная функция R<n((X), определяемая формулой

Rm({X) = PmcR(X)\mc (ImA^O), где РЩ( — ортопроектор в S) на , называется -резольвентой оператора А. Будем говорить, что она отвечает обобщенной резольвенте

Д(А).

Пусть с обобщенной резольвентой R(X) оператора А равенством (0.1) связана спектральная функция E(t). Введем ^(--спектральную функцию S(t) (t G R) оператора А, полагая

S(t) = P^E(t) К (te R), при этом оо и для функций S(t) и i?^c(A) справедлива формула обращения Стилтьеса аналогичная (0.2):

1 . }

S(t) = — lim / ImRyxc (er + ir)da.

CO

Как установлено А. В. Штраусом [53], [57] совокупность всех резольвент оператора А в полуплоскости П задается формулой

Rm((X) = (K(X)F(X)-I)((C-X)K(X)F(X)-((-X)I)-1 (X е П), (0.4) где К(X) = Q(A)|<nf, а F(X) — произвольная функция класса Т.

Формула (0.4) в сочетании с формулой обращения Стилтьеса описывает совокупность всех -спектральных функций оператора А.

В [53] А. В. Штраусом получена формула, описывающая спектральные разложения регулярного оператора: оо

Af= J Q*(X)dS(X)Q(X)f, (0.5) где С<}(\) — проектор, соответствующий разложению (0.3), а ¿>(А) — произвольная -спектральная функция оператора А.

В [54] А. В. Штраусом в рамках теории проективных пределов получена формула, аналогичная (0.5), для абстрактного симметрического оператора (не являющегося в общем случае регулярным), обладающего цепочкой инвариантных подпространств, в каждом из которых им индуцируется регулярный оператор. При этом в качестве масштабного подпространства при описании таких разложений выбирается дефектное подпространство первого оператора в цепочке.

Отметим, что данные результаты тесно связаны с теорией представления симметрических операторов, развитой в фундаментальной работе М. Г. Крейна [21]. Важные результаты, относящиеся к спектральным представлениям самосопряженных операторов в рамках проективных пределов изложены в монографии К. Морена [26].

Целью настоящей работы является построение спектральных разложений (имеются в виду обобщенные спектральные разложения, порождаемые самосопряженными расширениями с выходом в более широкое пространство) плотно и неплотно заданных операторов дифференцирования в пространстве векторнозначных функций с использованием методов масштабных подпространств и проективных пределов. Как это обычно бывает при использовании предельного перехода (см., например, [1], [6], [24]), самостоятельный интерес представляет сходимость последовательностей различных возникающих при этом вспомогательных функций. Такими функциями будут являться голоморфные линейные сжатия, параметризующие совокупности 91-резольвент и -спектральных функций (по-иному — обобщенных спектральных мер) рассматриваемых операторов.

Диссертация состоит из введения и трех глав, разбитых на пара

1. Аткинсон Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи. — М.: Мир, 1968.

2. Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. — М.: Наука, 1966.

3. Березанский Ю. М. О разложении по собственным функциям общих самосопряженных дифференциальных операторов // ДАН СССР. 1956. Т. 108. N 3. С. 379-382.

4. Березанский Ю. М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов // Матем. сб. 1957. Т. 43. N 1. С. 75-126.

5. Березанский Ю. М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. — Киев: Наук, думка, 1965.

6. Weyl Н. Uber gewöhnliche Differentialgleichungen mit Singularitäten und die zugehörigen Entwicklungen willkürlicher Funktionen // Math. Ann. 1910. Bd. 68. S. 220-269.

7. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1967.

8. Горбачук В. И., Горбачук М. Л., Кочубей А. Н. Теория расширений симметрических операторов и граничные задачи для дифференциальных уравнений // Укр. матем. журн. 1989. Т. 41. N 10. С. 1299 1313.

9. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Спектральная теория. Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве. — М.: Мир, 1966. 1063 с.

10. Dijksma A., Snoo H. S. V. de. Eigenfunction Expansions for nondensely defined differential operators // J. Different. Equat. 1975. 17. N 1. P. 198219.

11. Dijksma A., Snoo П. S. V. de, Sabbagh A. Selfadjoint extensions of regular canonical systems with Stieltjes boundary conditions // Journ. of Math. Analysis and Applications. 152. 1990. P. 546-583.

12. Като. Т. Теория возмущений линейных операторов. — М.: Мир, 1972.

13. Catchpole Е. A. An integro-differential operator // J. London Math. Soc. 1973. 6. P. 513-523.

14. Kim T. Investigation of a differential boundary operator of the second order with an integral boundary conditions on a semiaxes // J. Math. Anal. Appl. 1973. 44. P. 434-441.

15. Coddington E. A. Spectral theory of ordinary differential operators // Lect. Notes Math. 1975. 448. P. 1-23

16. Красносельский M. А. О расширениях эрмитовых операторов с неплотной областью определения // ДАН СССР. 1948. Т. LIX. N 1. С. 13-16.

17. Красносельский М. А. О самосопряженных расширениях эрмитовых операторов // Укр. матем. журнал. 1949. N 1. С. 21-38.

18. Крейн М. Г. Об эрмитовых операторах с дефект-индексами, равными единице // ДАН СССР. 1944. Т. 43. N 8. С. 339-342.

19. Крейн М. Г. Об эрмитовых операторах с дефект-индексами, равными единице II // ДАН СССР. 1944. Т. 44. N 4. С. 143 146.

20. Крейн М. Г. О резольвентах эрмитова оператора с индексом дефекта (т,т) // ДАН СССР. 1946. Т. 52. N 8. С. 657^660.

21. Крейн М. Г. Основные положения теории представления эрмитовых операторов с индексом дефекта (га, га) // Укр. матем. ж. 1949. Т. 1. N 2. С. 3-66.

22. Крейн М. Г., Саакян Ш. Н. О некоторых новых результатах в теории резольвент эрмитовых операторов // ДАН СССР. 1966. Т. 169. N 6. С. 1269-1272.

23. Кругликова О. П. Обобщенные резольвенты и спектральные функции интегро-дифференциального оператора первого порядка в пространстве векторнозначных функций // Функц. анализ. Ульяновск. 1997. Вып. 36. С. 24-30.

24. Левитан Б. М., Саргсян И. С. Операторы Штурма-Лиувилля и Диг рака. — М.: Наука, 1988.

25. Маркус М., Минк X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. — М.: Наука, 1972.

26. Морен К. Методы гильбертова пространства. — М.: Мир, 1965.

27. Наймарк М. А. О самосопряженных расширениях второго рода симметрического оператора // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1940. Т. 4. N 1. С. 53-104.

28. Наймарк М. А. Спектральные функции симметрического оператора // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1940. Т. 4. N 3. С. 277-318.

29. Наймарк М. А. О спектральных функциях симметрического оператора // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1943. Т. 7. N 6. С. 285-296.

30. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. — М.: Наука, 1969. 528 С.

31. Neumann J. von. Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren // Math. Annalen. 1929. Bd. 102. S. 49-131.

32. Орлов С. А. Гнездящиеся матричные круги, аналитически зависящие от параметра и теоремы об инвариантности рангов радиусов предельных кругов // Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1976. Т. 40, N 3. С. 593-644.

33. Stone М. Н. Linear transformations on Hilbert space and their applications to analysis. — New York, 1932.

34. Треногин В. А. Функциональный анализ. — M.: Наука, 1980. 496 С.

35. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ — М.: Мир, 1989.

36. Цыганов А. В. О спектральных разложениях операторов дифференцирования // Функц. анализ. 1999. Вып. 37. С. 53-63.

37. Tsyganov A. V. On Spectral Decompositions of a Restriction of a Differential Operator // Proceedings of the International Conference on Operator Theory and its Applications to Scientific and Industrial Problems. 1999. (To appear)

38. Шефер. X. Топологические векторные пространства. — М.: Мир, 1971.

39. Штраус А. В. К теории обобщенных резольвент симметрического оператора // Докл. АН СССР. 1951. Т. 78. N 2. С. 217-220.

40. Штраус А. В. Обобщенные резольвенты симметрических операторов // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1954. Т. 18. N 1. С. 51-86.

41. Штраус А. В. О спектральных функциях дифференциальных операторов // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1955. Т. 19. С. 201-220.

42. Штраус А. В. Обобщенные резольвенты симметрических операторов и разложение по собственным функциям одного класса краевых задач // Успехи мат. наук. 1957. Т. 12. Вып. 1, С. 251-253.

43. Штраус А. В. Об обобщенных резольвентах и спектральных функциях дифференциальных операторов четного порядка // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1957. Т. 21. N 6. С. 785-803.

44. Штраус А. В. О спектральных функциях оператора дифференцирования // Успехи мат. наук. 1958. Т. 13. Вып. 6, С. 185-191.

45. Штраус А. В. Характеристические функции линейных операторов // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1960. Т. 24. N 1. С. 43-74.

46. Штраус А. В. О расширениях и характеристической функции симметрического оператора // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1968. Т. 32. N 1. С. 186-207.

47. Штраус А. В. Докторская диссертация.

48. Штраус А. В. Расширения и обобщенные резольвенты неплотно заданного симметрического оператора // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1970. Т. 34. N 1. С. 175-202.

49. Штраус А. В. О спектральных разложениях регулярного симметрического оператора // ДАН СССР. 1972. Т. 204. N 1. С. 52-55.

50. Штраус А. В. О резольвентах расширений симметрического оператора // Функц. анализ. Ульяновск. 1977. Вып. 8. С. 162-173.

51. Штраус А. В. К спектральной теории регулярных симметрических операторов // Функц. анализ. Ульяновск. 1978. Вып. 10, С. 145-153.

52. Штраус А. В. О спектральном представлении симметрического оператора // Функц. анализ. Ульяновск. 1979. Вып. 12, С. 159-166.

53. Штраус А. В. Спектральные представления линейных операторов // Функц. анализ. Ульяновск. 1993. Вып. 34. С. 80-93.

54. Strauss А. V. Spectral representations and spectral functions of symmetric operators // Operator Theory. Advances and Applications. 1996. V. 87. P. 399-412.

55. Штраус А. В. Функциональные модели и обобщенные спектральные функции симметрических операторов // Алгебра и анализ. 1998. Т. 10. N 5, С. 1-76.

56. Эткин А. Е. О краевой задаче первого порядка со спектральным параметром в краевом условии // Функц. анализ. Ульяновск, 1982. Вып. 19. С. 177-190.