Предельные обобщения резольвенты обыкновенного дифференциального симметрического оператора тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

на правах рукописи

УДК 517.9

СИБИРЕБЛ ЛИПА РУДОЛЬФОВНА

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ОБОБЩЕННЫЕ РЕЗОЛЬВЕНТЫ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО СИММЕТРИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА

01.01.01 — математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1996

Работа выполнена на кафедре математического анализа ордена "Знак Почета" Ульяновского государственного педагогического университета им.И.Н.Ульянова.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИШЬ: ДОКТОР ШЗИКО-МА.ТЕЖТИЧЕСКИХ НАУК,

ПРОФЕССОР А.В .ШТРАУС

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Г.А.Свиридюк, кандидат физико-математических наук, профессор А.И.Поволоцкий.

Ведущая организация - Московский государственный университет.

Защита состоится " М-О^И^ 1996 г- 5 часов

на заседании специализированного совета К 11-3.05.14 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в Российском государственном педагогическом университете им.А.И.Герцена (19П86, г.Санкт-Петербург, наб. р.Мойки, 48, кзрп.1, ауд. 209),

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке университета.

Автореферат разослан

1996 г.

Ученый секретарь специализированного совета

И.Б.Готская

ОЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Объект исследования.В работе рассмотрены некоторые вопросы, относящиеся к спектральной теории обыкновенных дифференциальных уравнений произвольного порядка. Изучение спектральных функций замкнутого симметрического оператора приводит к изучению обобщенных резольвент этого оператора.

В работе изучаются вопросы сходимости обобщенных резольвент замкнутых симметрических конечноразностных отношений, заданных в конечномерных пространствах с неотрицательным весом, к обобщенным резольвентам замкнутого симметрического обыкновенного дифференциального отношения, как регулярного, так и сингулярного заданного в весовом пространстве векторнозначных функций.

Актуальность теш исследования. Одними из первых работ,в которых наряду со спектральной теорией самосопряженных операторов рассматривались вопросы спектральной теории симметрических несамосопряженных операторов, были работы Карлемана (1923 г.) и Стоуна(1932 г.).

Общее определение спектрального разложения произвольного симметрического оператора в гильбертовом пространстве И было дано М.А.Наймарком (1940 г.). Вопросы спектральной теории замкнутого симметрического оператора изучались М.Г.Крейном. '

Каждому спектральному разложению £ 1 замкнутого

симметрического оператора А соответствует обобщенная резольвента , определенная формулой

В диссертации использовано описание совокупности всех обобщенных резольвент замкнутого симметрического оператора, данное А.В.Штраусом (1954г.).

Задача получения обобщенных резольвент ( спектральных функ-

ций) как предела последовательности обобщенных резольвент (спектральных функций) при предельном переходе от конечного промежутка вещественной оси к бесконечному, от дискретных задач к непрерывным, от конечномерных пространств к бесконечномерным - одна из актуальных задач спектрального анализа. Одной из первых работ, где неорггогональные спектральные функции произвольного замкнутого симметрического оператора /\ в гильбертовом пространст-

II с(<л)

ве п получены как предел спектральных функций С-^ аппроксимирующей последовательности самосопряженных операторов А^ * конечного ранга, была монография М.Стоуна (1932 г.).

Предельный переход от конечного интервала к

полубесконечному О для задачи Штурма-Лиувилля с

разделяющимися самосопряженными краевыми условиями изучался Г.Вейлем в классических работах 1909 - 1910 г. В отечественной монографической литературе вопрос о предельном переходе от дифференциального (разностного) уравнения на конечном интервале к дифференциальному (разностному) уравнению на полуоси исследовался Б.М.Левитаном, Ю.Ы.Березанскиы и др.

В работе американских математиков Е.Коддингтона и Р.Гилберта (1959 г.) любая обобщенная резольвента сингулярного дифференциального оператора аппроксимируется обобщенными резольвентами регулярных дифференциальных операторов.

Ряд классических задач, в частности, о продолжении эрмито-во-полокительной функции, проблема моментов и др., связанных с вейлевской альтернативоймпределъный кр^гг или предельная точка", привел к теории гнездящихся матричных кругов в работе С.А.Орлова (1976 г.).

Существует множество исследований, посвященных задаче аппроксимации решений обыкновенного дифференциального уравнения решениями систем конечноразностных уравнений. В 70-ые годы началось

развитие теории общих методов дискретизации, разрабатываемой М.К.Гавуриным, Р.Д.Григориевым, А.А.Самарским, В.А.Греногиным и ДР-

Постановка задачи диссертации - изучение предельных обобщенных резольвент замкнутого симметрического дифференциального отно-шения-обусловлена работами Р.Аренса, Е.Кодцингтона, А.Дейксма и Де Сноу, В.М.Брука, И.С.Каца и др., где, в частности, рассматривались дифференциальные отношения в пространствах с неотрицательным весом.

В диссертации используется аппарат теории характеристических функций. Впервые понятие характеристической функции было введено М.С.Лившицем (1946 г.). В дальнейшем оно получило развитие и модифицировалось в работах А.В.Штрауса,-Ю.Д.йыульяна, М.С.Бродского, А.В.Дужеля, Б.Сёкефальви-Надя и Ч.Фояша, Н.К.Никольского и В.Й.Ва-сюнина и др.

Идея применения аппарата теории характеристических функций к решению задачидиссертации восходит к работе М.С.Лившица (1954 г) в которой рассматривались конечномерные приближения характеристических функций линейных операторов.

Цель работы. Сформулировать в терминах сходимости характеристических функций достаточные условия сходимости обобщенных резольвент замкнутых симметрических конечнсразностных отношений, заданных в л/ -мерных пространствах весом & '&0 , к обобщенным резольвентам замкнутого симметрического обыкновенного дифференциального отношения второго порядка с минимальной областью определения, как регулярного, так и сингулярного, заданного в пространстве векторнозначных функций где О <4 , вес ) О •

Рассмотреть варианты построения последовательностей обобщен-

пых резольвент конечноразностных отношений, аппроксимирующих любую обобщенную резольвенту дифференциального отношения на поду-оси (О; <=-=>) .

Распространить полученные результаты на случай замкнутого симметрического обыкновенного дифференциального отношения произвольного порядка.

Методика исследования. В диссертации используются формула обобщенных резольвент А.В.Штрауса, теория расширений замкнутого симметрического линейного оператора, теория характеристических функций, метод гнездящихся матричных кругов, теория общих методов дискретизации.

Научная новизна. В диссертации описание совокупности всех обобщенных резольвент, данное А.В.Штраусом, применяется к изучению вопросов сходимости последовательности обобщенных резольвент симметрических конечноразностных отношений, заданных в весовых конечномерных пространствах, к обобщенным резольвентам замкнутого симметрического обыкновенного дифференциального отношения в пространстве векгорнозначных функций с неотрицательным весом.

При этом достаточные условия сходимости обобщенных резольвеш и спектральных функций конечноразностных отношений сформулированы в терминах сходимости характеристических функций, определенных в соответствии с работой А.ВЛЕтрауса (1968 г.).

Обобщен на случай конечноразностных приближений ряд результатов Е.Коддингтона и Р.Гилберта, которые аппроксимировали обобщенные резольвенты дифференциальных операторов обобщенными резольвентами дифференциальных же операторов.

Практическая значимость. Результаты диссертации могут быть использованы при изучении вопросов сходимости разностных схем, в

теории колебаний.

Аппробаиия результатов. Основные результаты диссертации докладывались автором на научно-исследовательском семинаре в Московском государственном университете(1996 г.), в Московском техническом университете (институт стали и сплавов) (1996 г.), на Герце-новских чтениях в РГПУ (1996 г.), в Челябинском государственном университете (1996 г.), на 5-ой научной межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" в Самарском государственном техническом университете (1995 г.), на научно-технических конференциях Ульяновского государственного технического университета (1995, 1996 гг.), на научно-исследовательском семинаре и на итоговых научных конференциях Ульяновского государственного педагогического университета (1992-1996 гг.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах - [5].

Структура и объём работы. Предлагаемая работа изложена на 98 страницах и состоит из введения, шести параграфов и списка литературы, содержащего 59 наименований.

СОДЕРЖА.Ш1Е ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

Введение содержит обоснование актуальности выбранного направления исследования, обзор результатов, полученных диссертантом, анализ связей этих результатов с известными работами других авторов.

В § I изучаются конечноразностные приближения обобщенных резольвент и спектральных функций регулярного дифференциального отношения второго порядка в пространстве векторнозначных функций.

Рассматриваются замкнутое симметрическое обыкновенное дифференциальное отношение . второго порядка с минимальной

областью определения, заданное в пространстве (пх1) векторно-значных функций Н - Ьд. (С", (а.; 6), > где вес >

а также последовательность симметрических конечноразностных отношений второго порядка Ь^и с индексом дефекта , заданных в конечномерных пространствах Н ^^(с, (о,

д (Л/!>Г> с весом /л и .

Пространства Н и Н ^ ^ , отношения Ь тСп и заранее не связаны друг с другом.

Пусть и (ос; Л) , 1С" (х) - базисы дефектных подпрост- ■ ранете^ (Ь ^¿ц ) , /Т£д (Ь соответственно, согласованные

нормировкой матрицы Вронского

\ / ^ = ( Н(х)

и ее конечноразностного аналога

/V

в начальной точке ( У (а ; А)=Х_, -I) • Обобщенным резольвен-

там , Ал отношений , 1-1 юс* отвечают: аналити-

ческие в верхней полуплоскости матрицы-функции 60 , М/^^а] , которые в базисах, подученных ортогонализацией столбцов матриц 1-1/ , при каждом

Д (3

мЛ>о) задают нерас-

тягивающие операторы такие, что

, (Л ^(а); матрицы-функции, входящие в крае-

вые условия; , N - функции Вейля; £t , - спек-

тральные функции. Обобщением

на случай конечноразностных приближений результатов Е.Кодцингтона и Р.Гилберта является

ТЕОРЕМА 1.1. Если при У^/С^ + УСЬ*) равно-

мерно относительно А на компактных подмножествах полуплоскости , то следующие утверждения эквивалентны:

1) \У М(х) — \Л/0) ;

2) (^Ч^В^)-^ (А(аЬВ(а>)

(под сходимостью- классов эквивалентных пар матриц-функций понимается сходимость их представителей, названных каноническими);

3)

4) \А.м(р)[АЧ") > где "З^м фО , У^^-ФО .

Сходимост ь равномерна на компактных подмножествзх полуплоскости Зм \ >о

Замкнутая линейная оболочка дефектных подпространств отношения 1_>куи;п т1М)-Н , линейная оболочка дефектных под-

I СЛЛ1 ? ^ ТС. (\\ и I е-

пространств отношения 'Ч» ) — п , где £

произвольное множество точек верхней полуплоскости, имеющее хотя

бы одну предельную точку в верхней полуплоскости. Это позволяет

определить оператор р ^ , действующий из Н в Н ^ так,

С использованием теоремы 1.1 получена

ТЕОРЕМА 1.2. Пусть выполнено одно из условий I) - 4) теоремы 1.1. Если при

равномерно относительно А на компактных подмножествах полуплоскости С^п-А^О, то для любых Н

Сходимость равномерна на компактных подмножествах полуплоскости

Эт ^ > о .

С использованием формулы обращения Стилтьеса доказана ТЕОРЕМА. 1.3. Пусть выполнено одно из условий I) - 4) теоремы 1.1. Если при ^лж М

¡/С«;*)

носительно щественных

Д <леС)

<=■*>- и

то

для любых

равномерно от-и любых ве-

где Et

- спектральные функции отношений Ь пп<1п

и

с^)

соответственно,

ь

Еа.

а. а.

Рассмотрен пример иллюстративного характера. В § 2 аппроксимирующая последовательность обобщенных резольвент описывается в терминах семейств максимальных аккумулятивных

I

расширений отношений и . При этом используются результаты

работ А.В.Штрауса. Исследуется связь между краевыми условиями, характеризующими максимальное аккумулятивное семейство расширений

М

и блочной структурой матрицы-функции,

отношения 1—' ш ¿м

и

порождающей это семейство отношений в весовом пространстве п С помощью указанных методов доказана

ТЕОРЕМА 2.1. Пусть обобщенной резольвенте дифферен-

циального отношения 1—1 и в пространстве Н отвечает пара матриц-функций

, фигурирующих в краевых условиях.

К (Л/)

х - обобщенная резольвента конечноразностного отноше-

I I( С")

ния , заданная в пространстве

где 4

н

с помощью матри-

П)=

Ао о , О

Ао и . 0 О

0 А-У 6а .. 0 0

ч.

О

О

о

о

о

Алла ^

О

О 0 /4/1/-/

Если при /1/ тельно Д

ад \ и,х(х) р„Сл) г инк)

—^ 3/ (^¿Л) равномерно относи-для любых ^ ¡¡-^ Н

равномерно относительно А на компактных подмножествах верхней полуплоскости.

В § 3 достаточное условие сходимости последовательности обобщенных резольвент конечноразностных отношений сформулировано в терминах сходимости соответствующей последовательности характе- " ристических функций.

Характеристической функцией замкнутого симметрического, не обязательно плотно заданного отношения /4 , согласно работе А.В.Штрауса (1968 г.) называется операторнозначная функция, зада-

ваемая формулой

С (л) = ( АЛ'Хо1)(Аа-Х01)"' (Зюа . 1тА0^о),

А ГЛ°

где Ал - расширение отношения А , заданное равенствами

^ I?,

Щ^) = Д + A(f (f <рС- =Kez(A*-Xl)).

Доказана

ТЕОРЕМА. 3.1. Пусть С ^Л) - характеристическая функция i

отношения L . Имеет место равенство

[с'%) и ""&)] = & (г£7 ЬЫ%\-IV

«(С 7-ч j w- з)"v "Т-ч

где

ИГ«),

матрица перехода от базиса Ц Ы (А о) к ортонормиро-ванному базису.

Аналогичная формула имеет место для характеристической функции ш дифференциального отношения Ь тСп ■ Из результатов § I и теоремы 3.1 следует ТЕОРЕМА 3.2. Сходимость при А/-*--»

[сиб] , и'^зу], - [ед им ¿ ufo)]

является условием, достаточным для эквивалентности утверждений I) - 4) теоремы I.I.

ТЕОРЕМА 3.3. Пусть выполнено одно из условий I) - 4) теоремы I.I. Сходимость при

[а%) и" cc.ju^h и(ха)]

есть достаточное условие сходимости

Г ~ /"л/1 Л ((/I л гч /Л/ I р п - -¡

для любых ^ , И . Сходимость равномерна относительно X на компактных подмножествах верхней полуплоскости.

§ 4 посвящен изучению приближений решений сингулярного дифференциального уравнения со спектральным параметром в краевых условиях решениями регулярных конечноразностных задач. При построениях использована формула обобщенных резольвент А.В.Штрауса, метод предельного перехода на полуось, предложенный для дифференциальных операторов Е.Коддингтоном и Р.Гилбертом, метод С.А.Орлова гнездящихся матричных кругов. Критерий сходимости сформулирован в терминах характеристических функций.

Рассматривается общая ситуация, когда индекс дефекта замкнутого симметрического дифференциального отношения второго порядка Ь инк 0 минимальной областью определения в пространстве (их*) -векторнозначных функций Н = Ь д, [{0>°°)) ^(х.) равен , где К $ т , Ь $ ■

Каждому промежутку £0; ставится в соответствие чис-

ло А/(6К) € /V . При ° , р/(1к)-9-<*=> . Рассмат-

„ , (МЫ)

ривается последовательность конечноразностных отношений и^ , определенных в конечномерных пространствах Н ^ /м'«^

Вводится оператор рС*1- } Где

ортопроектор из * № ¿я) в Н 1 Ья ф; И

0(ы) ,, „ и (в*)

оператор г , действующий из п в г/ , определен

соответственно - ортонормированию базисы дефектных подпространств отношения в пространстве И , отношения

странстве Н ^^, отношения Ь ^ Б пространстве Н Первые /я /&1 столбцов базиса

получены ортогонализа-

цией векторов г üp(í<.J, базис Ф¿^ i-Ч получен ортого-нализацией векторов

Пусть обобщенным резольвентам КА > отношений

Ь И1<:и » ^trun^ отвечают функции Вейля К (а) , ;

нерастягивающие, аналитические в верхней полуплоскости матрицы-функции \V¡hx¿(*) > "VV , задающие соответственно в ба-

зисах ф£±£] и ф '^^^(¿^семейства операторов

FW : Tí. (L J^J-í

Пусть С (а) , С д J -характеристические функ-

ции отношений , соответственно.

ТЕОРЕМА. 4.1. Пусть для любого Л/(€к)

Если

л. r.C'HiD^j. мпЛ| ■ п г

то

для любых , Н .

Сходимость равномерна относительно Д на компактных подмножествах верхней полуплоскости. ТЕОРЕМА 4.2. Пусть для любого

(j\ В{"(£к%))-

УМ=[ о о) ( ни Ф Wfrx)Г(НФ

Тогда условие (I) является достаточным для сходимости (2).

ТЕОРЕМА 4.3. Пусть для любого. ;/>

где К (л) - коэффициент Вейля, отвечающий резольвенте . Тогда из (I) следует сходимость (2).

ТЕОРЕМА 4.4. Пусть для лщбого )

где Ц(л) - коэффициент Вейля, отвечающий резольвенте ^ Тогда из (I) следует сходимость (2).

В § 5 результаты §§1-4 распространяются на случай как регулярного, так и сингулярного, дифференциального отношения произвольного порядка.

§ б содержит анализ связей результатов, полученных диссертантом , с некоторыми результатами общей теории дискретизации.

Основные результаты диссертации отражены в следующих публикациях:

1. Сибирева А.Р. Аппроксимация обобщенных резольвент сингулярного дифференциального оператора второго порядка // Шункциональ ный анализ: Межвуз.сб.науч, тр.- Ульяновск, 1992.- Вып.33. - С. 5564.

2. Сибирёва А.Р. Конечноразностные аппроксимации обобщенных резольвент дифференциального оператора Еторого порядка // функциональный анализ: Мешзуз.сб.науч. тр.- Ульяновск, 1993.- Вып.34. -С.66-75.

3. Сибирёва А.Р. Конечноразностные приближения обобщенных ре-

зольвент и характеристических функций дифференциального отношеш второго порядка в пространствах векторнозначных функций // Зункд нальный анализ: Ыежвуз.сб.науч.тр. - Ульяновск, 1994. - Вып.35. С.92-102.

4. Сибирёва А.Р. Аппроксимация обобщенных резольвент и cnei ральных функций дифференциального отношения в пространстве вектс нозначных функций // Математическое моделирование и краевые зад; Тез. докл.пятой науч.межвуз.конф. - Самара: Самар.ГЕУ, 1995. -С.87-88.

5. Сибирёва А.Р. Использование метода обобщенных резольвен1 А.В.Штрауса при численном решении задачи о продольно-изгибных плоских колебаниях вязоупругих стержней с параметром в краевом условии //Тез. докл. XXIX науч.-тех.конф. - Ульяновск: УлПУ, I1 С.103-104.

Подписано в печать 29.04.96. Формат 60*84/16 Бумага писчая. Печать офсетная .Усл.печ.л. 1,86. Уч.-издл. 1,70. Тираж 100 экз. Заказ рЫЙ

Ульяновский государственный технический университет, 432027, Ульяновск, Сев. Венец,32.

Типография УлГТУ, 432027, Ульяновск, Сев.Венец,32.