Спектральный анализ некоторых классов дифференциальных операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Долгих Ирина Николаевна

Спектральный анализ некоторых классов дифференциальных операторов

01.01.01 - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2006

Работа выполнена на кафедре математического анализа Поморского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель — доктор физико - математических наук,

профессор

Мирзоев Карахан Агахан оглы

Официальные оппоненты: доктор физико - математических наук,

профессор

Горин Евгений Алексеевич

доктор физико ■■ математических наук, профессор

Ломов Игорь Сергеевич

Ведущая организация — Владимирский государственный

педагогический университет

Защита диссертации состоится 19.12.2006 г. в 16:00 на заседании диссертационного совета К 212.133.01 в Московском государственном институте электроники и математики по адресу: 109028, г. Москва, Б.Трехсвяти-тельский пер., д.1-3/12, стр.8, ауд. 411

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного института электроники и математики

Автореферат разослан а ноября 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, к.ф-м.н.

Хаки мул лин Е.Р.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Исследование спектральных свойств сингулярных дифференциальных операторов является одной из важных задач математического анализа. Постепенно выясняется, что для подробного изучения этого круга вопросов следует рассматривать отдельные классы дифференциальных операторов, выделенных по тем или иным признакам. Исследованиям в данной области посвящены работы многих авторов. Например, вопросам нахождения индекса дефекта и спектра дифференциальных операторов в зависимости от поведения их коэффициентов большое внимание уделено в книгах Н.И.Ахиезера и И.М.Глазмана1, М.А.Наймарка2, Н.Данфорда и Дж.Т.Шварца3.

В 1953 году С.А.Орлов опубликовал работу4 , в которой определил класс дифференциальных операторов, порожденных дифференциальными выражениями четного порядка ¿2т ("г = 1,2,...) с аналитическими коэффициентами на множестве [0;+оо), дефектные числа которых можно определить как количество нулей с отрицательной вещественной частью некоторого многочлена и), и исследовал характер спектра самосопряженных расширений этих операторов. При этом существенным предположением являлось то, что старшие коэффициенты дифференциальных выражений не обращаются в нуль во внутренних точках этого множества.

Работу в этой области продолжила Ф.А.Неймарк5, отказавшись от аналитичности коэффициентов дифференциального выражения, но предполагая при этом, что все нули многочлена v) являются различными.

'Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве.— 2-е изд., перераб. и доп.— М.: Наука, 1966.— 544 с.

2Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы.— 2-е изд., перераб. и доп.— М.:Наука, 1969,— 526 с.

3Даифорд Н. Шварц Дж. Т. Линейные операторы: Спектральная теория: Пер. с анг.— М.: Мир, 1966.— 1063 с.

4Орлов С.А. Об индексе дефекта линейных дифференциальных операторов // ДАН СССР- 1953 — Т.92, №3 - С. 483—486.

5Неймарк Ф.А. Об индексе дефекта дифференциального оператора // УМН.— 1962.— Т.17, Вып.4 - С. 157—163.

В данном направлении проводились исследования и за рубежом. Так, например, в работе R.B.Paris и A.D.Wood6 заново открыта основная теорема работы С.А.Орлова для одного мастного случая коэффициентов дифференциального выражения Ьт и подробно изучен полином fomiz, v). В книге R.B.Paris и A.D.Wood7 рассматриваются также некоторые дифференциальные выражения нечетного порядка частного вида и исследуются соответствующие им полиномы.

В 2001 году К.А.Мирзоев8 рассмотрел задачи об индексе дефекта и характере спектра дифференциального оператора, порожденного квазидифференциальным выражением 1п произвольного (чётного или нечетного) порядка с комплекснозначными коэффициентами на множестве [0;+оо). Полученные в этой работе результаты аналогичны утверждениям работы С.А. Орлова.

В книге Н.Данфорда и Дж.Т.Шварца3 вводится также понятие иррегулярного дифференциального выражения. Существенным отличием этих дифференциальных выражений от рассматриваемых в работах, приведённых выше, является то, что их старшие коэффициенты обращаются в нуль в некоторых точках внутри множества задания.

Дифференциальные операторы, порожденные иррегулярными дифференциальными выражениями, возникают во многих областях современного анализа; таковыми являются, например, обобщенные операторы Лежандра9 из теории квазиклассических ортогональных многочленов. Однако вопросы спектрального анализа этих операторов изучены удивительно мало. В част-

6Paris R.B., Wood A.D. On the £2(/) nature of solutions of n— th order symmetric differential operator and McLeod's conjecture // Proc. Roy. Soc. Edinburg.— 1981,— V.90A.— P.209—236.

7Paris R.B., Wood A.D. Asymptotics of high order differential equations // Pitman Res.Notes in Math.Ser.— 1986.— V.129.

8Мирзоев К.А. О теореме Орлова об индексе дефекта дифференциальных операторов // ДАН - 2001 — Т.380, JW5.— С.591—595.

9Трибель X. Теория интерполяции, Функциональные пространства, Дифференциальные операторы.— М.: Мир, 1980.— 664 с.

ности, лишь сравнительно недавно стали появляться работы Ю.В.Орочко1Ч,П. посвященные определению дефектных чисел операторов, порожденных одночленными иррегулярными дифференциальными выражениями с вещественными коэффициентами.

Цель работы. Целью работы является исследование структуры решений одного класса дифференциальных уравнений произвольного (чётного или нечётного) порядка с комплекснозначными коэффициентами в правосторонней окрестности нуля, определение индекса дефекта соответствующих минимальных замкнутых, симметрических дифференциальных операторов и характера спектра самосопряженных расширений этих операторов, а также определение дефектных чисел некоторых классов дифференциальных операторов, порожденных иррегулярными дифференциальными выражениями с вещественными коэффициентами.

Методы исследования. В диссертации используются методы теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений и методы теории линейных дифференциальных операторов.

Научная новизна. Основные результаты диссертационной работы, выносимые на защиту, являются новыми. Из них выделим следующие.

1. Получены асимптотические формулы решений одного класса дифференциальных уравнений 1пу — Ху в окрестности нуля, где 1п - квазидифференциальные симметрические выражения произвольного порядка с комплекснозначными коэффициентами.

2. Исследованы индекс дефекта минимальных симметрических дифференциальных операторов и характер спектра самосопряженных расширений этих операторов, порожденных квазидифференциальными

10Орочко Ю.Б. Индексы дефекта симметрического обыкновенного дифференциального оператора с бесконечным числом точек вырождения // Функциональный анализ и его приложения - 2004.— Т.38, Вьга 2 — С.55—64.

11Орочко Ю.Б. Индексы дефекта одночленного симметрического дифференциального оператора четного порядка, вырождающегося внутри интервала // Математический сборник,— 2005 — Т.196,№5.— С. 53—82.

выражениями ln с аналитическими и неаналитическими коэффициентами специального вида.

3- Определены дефектные числа некоторых классов операторов, порожденных иррегулярным одночленным дифференциальным выражением с вещественными коэффициентами.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Результаты работы могут быть использованы специалистами, работающими в области спектральной теории дифференциальных операторов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2004 г.), Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные пробле-мы"(Воронеж, 2005 г.), Всероссийской конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения"(Самара, 2005 г.), 13-й Саратовской зимней школе "Современные проблемы теории функций и их приложения" (Саратов, 2006 г.), а также на научных конференциях профессорско-преподавательского состава Поморского государственного университета имени М.В. Ломоносова (2003-2006 гг.). Результаты диссертации обсуждались на научных семинарах по дифференциальным уравнениям (2005 г., руководитель -проф. В.В.Жиков) во Владимирском государственном педагогическом университете, по спектральной теории дифференциальных операторов (20052006 гг., руководители - проф. А.Г.Костюченко, проф. В.В.Власов, проф. К.А.Мирзоев) и по операторным моделям в математической физике (2006 г., руководители - проф. A.A.Шкаликов, доц. И.А.Шейпак) в Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[7].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, содержащих 9 параграфов, и списка литературы из 31 наимено-

вания, включая работы автора. Общий объём диссертации составляет 110 страниц машинописного текста.

Содержание работы

Во введении проводится обзор исследований, связанных с темой диссертации, и даётся общая характеристика результатов диссертации.

В первой главе исследуется задача о структуре решений уравнения 1пу — А у произвольного порядка (чётного или нечётного) с комплекснознач-ными коэффициентами в правосторонней окрестности нуля, и полученные результаты применяются к задаче об определении индекса дефекта соответствующих минимальных симметрических дифференциальных операторов и к задаче о характере спектра самосопряженных расширений этих операторов.

В параграфе 1.1 приводятся основные определения и факты, которые используются в дальнейшем, в частности, даётся традиционное определение симметрического (формально самосопряженного) дифференциального выражения, вводится понятие квазипроизводной и симметрического квазидифференциального выражения, минимального и максимального операторов, рассматриваются некоторые вопросы, связанные с понятиями регулярных и иррегулярных точек линейных дифференциальных уравнений и систем линейных дифференциальных уравнений.

Пусть комплекснозначные функции /у (г, = 1,2 ..., п; п > 1) - элементы матрицы - функции F (Д,) - измеримы на множестве I (а; Ь), (—оо < а <Ь < +оо) и суммируемы на каждом замкнутом конечном интервале (/у 6 £}ос(1)). Пусть далее Д,- = 0 почти всюду на I при 2 < г + 1 < 3 < п, /к,к+1 Ф 0 ПРИ 1<(:<я-1иГ = —где Р* - сопряжённая матрица к матрице Р, J := ((—- символ Кронекера. Перечисленные условия позволяют определить квазипроизводные заданной функции у посредством матрицы Р, полагая

УЫ := у> „и := (Д,^)-1^-11)' - £ (к = 1,2,..., п - 1),

^=1

уМ := (у1п-11)' — и скалярное формально - самосопряженное

з=1

квазидифференциальное выражение 1п, полагая 1пу •.— гпу^. Выражение 1п известным образом определяет минимальный замкнутый симметрический оператор Ьо в гильбертовом пространстве.

Известно, что вообще говоря при любом невещественном А уравнение

1пУ = Ау (1)

имеет решения из £2(1), причём максимальное число п+(п_) линейно независимых решений из С) ПРИ ЭА > О (ЭА < 0) не зависит от А и называется дефектным числом, а пара чисел (хг+, п_) - индексом дефекта оператора Ь0.

Отметим, что это уравнение равносильно системе линейных дифференциальных уравнений первого порядка

у' = (Г + Л)у, (2)

где у := со/оп(у'°1, г/'1', • • •, у'п_1')>

а элементы числовой матрицы А : = (А^-) определяются равенствами АП1 х~"А и А<3- := 0 для остальных значений г и 3-

Параграф 1.2 носит в основном вспомогательный характер. Он посвящен вопросу задания дифференциального выражения 1п в дивергентной форме посредством матрицы Г в чётном и нечётном случаях и преобразованию системы (2) к системе дифференциальных уравнений с единственной регулярной особой точкой при х = 0.

Рассмотрим случай п = 2тп. Пусть I :— (0; 1] и предположим, что выполняется условие

(•Л) Ра,Р1> ■ ■ ■ ,Рт,до,<11, - • • -.Ят-1 ("г = 2,3,...) — вещественные функции на I и все функции

"т := (-1 ГР™1, ат-1 := (~1)т+1(Рт-1 + а» == (-1 Г+1Рь '

Ая-1 := -вт-гРт1, Рк ■= (-1 )т+11к, (к = 0,1,... ,т - 2)

принадлежат С}ос(1).

Определим матрицу := Р следующим образом: ¡2т-к,к+1 — (к = 0, 1,. . . ,гп); ¡2т-к,к = /2т+1-*,к+1 = 1 (А = 1, 2, . . . ,т); /к,к+1 — 1

(к = 1,2,..., тп — 1,?п+1,..., 2т — 1) и /у = 0 при всех остальных значениях г и

Предположим также, что выполнено соотношение (Ф) функции Ро,Р1,... ,рт, <7о, 91,-••,Зт-1 имеют вид рк(х) := +гк(®)); Як{х) ~ х2к^+1(Ьк + 8к(х)) (к = 0,1,... ,т - 1);

Рт(х).= при всех х е I, где г; < 0,ао,аи ... .. ,Ьт-1 -

действительные числа, ат Ф 0, а То,гх,... ,гто, во, «1, • • • ,«т-1 - вещественные функции на I

В случая п — 2т + 1 матрица р2т+1 и коэффициенты соответствующего квазидифференциального выражения определяются аналогично предыдущему с некоторыми изменениями.

Основным результатом данного параграфа является преобразование системы (2) с. заданной матрицей Р к системе дифференциальных уравнений

х^~ = (А + В(х))\,

с единственной регулярной особой точкой при х — 0.

В параграфах 1.3 и 1.4 более точно формулируются условия на поведе-

ние коэффициентов дифференциального выражения 1п в окрестности нуля, а именно, в параграфе 1.3 предполагается выполнение условия

(С) функции гк(г) и з/с(г) из соотношения (Ъ) представляются в виде

сходящихся при < хо(< 1) степенных рядов

+оо . . .

гк(г) := ^ аУ 'г3 (к = 0,1,... ,т, если п = 2т или п = 2т + 1);

3=1

+оо

:= г3 (к = 0,1,... ,т — 1, если п = 2т и к — 0,1,... ,т,

3 = 1

если п = 2т + 1).

Определяющий многочлен Зп(2> уравнения (1) с заданными коэффициентами имеет вид:

т к — 1

5п(-г, V) := а0 + ак ]~[ ]=0

/ 2 /и + 1 У

+

+2 г

если п = 2тп и

V " у 2 (I/1 \

Ыг>») + + Д (г + 0 + Л

т-1

7=0

2

если п = 2т + 1.

Справедлива следующая Теорема 1.3.1 Пусть элементы матрицы Еп удовлетворяют условиям (Л) и (С) и пусть 1п - квазидифференциальное выражение, порождённое матрицей ,РП. Тогда максимальное число линейно - независимых решений уравнений (1), принадлежащих пространству £2{.I), равно:

1) >при V < 0 •числу корней полинома 5лежащих в области Кг > О, и не зависит от Л;

2) при V = 0 числу корней полинома Зп(2,0)—А, лежащих в области > О, и если п = 2т, то п+ = п_ = т, если же п = 2т + 1, то п'+ ~ т,п- = т+1.

При этом в случае и < 0 спектр любого самосопряженного расширения оператора Ь0 дискретный.

В параграфе 1.4 мы отказываемся от аналитичности функций Го, П,...,гт, зо, 51,..., 8т и предполагаем лишь, что выполняется условие (33) если п = 2т, то

о

если п ~ 2т 4- 1, то функции го, г\,... гт,5о, «1, • • • такие же, как и в случае п = 2т, а для функции

о

Справедливы следующие теоремы.

Теорема 1.4.1 Пусть и < 0 и элементы матрицы Fn удовлетворяют

условиям (Л) и (D) в этом случае. Предположим, что z\, 22,..., zq, ...,

zq - все различные характеристические корни матрицы А, причём z\, 22,...,

zq - однократные корни, кратность корня zq+p при 1 < р < j равна тр, )

Z) гр + Я — п> и> кроме того, max rp = г + 1, тогда уравнение (1) имеет Р=1 i<p<i

фундаментальную систему решений Ук(х) такую, что при х —> +0

yk{x) = cx-'fc-i(l + o(l)), к = 1,2,..., 9; У*-и(ж) = схг"+"-2 1п\т(1 +о(1)), fc^g + rx + .-. + rp-i; г = 0,1,...,гр - 1. Теорема 1.4.2 Пусть выполняются условия теоремы 1.4.1, тогда справедливы все утверждения теоремы 1.3.1.

В заключительном параграфе 1.5 главы 1 рассматривается пример применения полученных результатов к одночленному симметрическому дифференциальному выражению четного порядка. А именно, мы находим асимптотические формулы для решений уравнения hmlv] — Ay, где hmlv] — а[х)у^Ут\ р 6 [1;2т) и о(х) - вещественная функция на отрезке [0; 1], |а(л;)[ > 0 для всех х е [0; 1], и определяем дефектные числа соответствующего минимального замкнутого симметрического оператора, порожденного дифференциальным выражением ¿2m[у]-

Во второй главе рассматриваются одночленные иррегулярные дифференциальные выражения чётного порядка и определяются дефектные числа минимальных симметрических операторов, порожденных такими дифференциальными выражениями.

В параграфе 2.1 приводятся основные определения и факты, которые используются в дальнейшем, в частности, вводятся понятие иррегулярного дифференциального выражения и минимального замкнутого симметрического оператора, порожденного таким выражением. Рассматриваются вопросы, связанные с конкретными иррегулярными дифференциальными выражениями вида hm[y}(x) = (-l)m(c(x)2/(m>(x))<m>, х € I := (а,Ь), где с{х) -вещественная, достаточное число раз дифференцируемая функция и обра-

щающаяся в нуль в некоторых точках множества I.

В параграфе 2.2 предполагается, что коэффициент с(х) дифференциального выражения ¿2m представляется в виде с(х) = хра(х), множество I := [—1; 1] и уточняются формулы для решений уравнения Ьт,+ Ы = Лу, х 6 (0,1], полученные в параграфе 1.5 для более общего случая, а именно, предполагается, что функция а (г) - аналитическая функция при |z| < хо < 1,

ТОО

a(z)' := оо + ajzi> ао Ф 0 и р 6 {то + 1, т + 2,... 2m — 1}. Поэтому в дан-i=i

ном случае применимы методы аналитической теории дифференциальных уравнений, а именно, метод Фробениуса.

Обозначим пр := n+iP(n_iP) - дефектное число минимального симметрического оператора Lg, порожденного дифференциальным выражением m> в верхней (нижней) открытой комплексной полуплоскости и [/, д] (ж) - билинейную форму, возникающую в известном тождестве Лагранжа для дифференциального выражения Отважным промежуточным результатом является Теорема 2.2.1 При р 6 {т + 1,т + 2,... ,2т — 1} уравнение ¿2т,+ М = Ay имеет фундаментальную систему решений у^ (к — 1,2,..., 2т); Zrn—p элементов ух, у2,..., ут, Ур+i, Ур+2, ■ ■ • j У2т> которой принадлежат пространству £2(0,1) и для которых значения [/, j/fc](+0) вычисляются по формулам

!t í^/,2m"4(0), если k = р + 1,р + 2,..., 2т;

[/,!/*](+0) = <

10, во всех остальных случаях,

где ctk — числа, отличные от нуля.

Основным результатом этого параграфа является теорема, доказывающая гипотезу, сформулированную в работе Ю.Б.Орочко11, а именно, справедлива следующая

Теорема 2.2.4 При р = т 4- 1, т + 2,... ,2m — 1 справедлива формула пр = 4т — р.

В параграфе 2.3 рассматриваются дифференциальные выражения От» где вещественная функция с(х) представляется в виде

I xpa(x), если x € [0; ll; c{x) = t

[|х|«Ь(х), если x G [— 1;0], и |a(x)| > 0 для всех x £ [0; 1], |Ь(:г)| > 0 для всех х е [—1;0]. Знак с(х) при х G [—1; 0) и х е (0; 1] может быть любым.

Пусть р, q е {1,2,..., 2т — 1}, функции a(z) и b{z) - аналитические функции при |г| < то < 1. Предположим далее, что при \z\ < io < 1

+оо +оо

a(z) := a0 + £ aizi. ao Ф 0 и b(z) := b0 + £ bjzj, bQ Ф 0.

J=1 3 = 1

Для дефектных чисел минимального замкнутого дифференциального оператора, порожденного дифференциальным выражением вида 1.2т со Вделанными выше предположениями относительно коэффициента с(х), справедливы следующие теоремы.

Теорема 2.3.2 При р, q е {т + 1,т + 2,..., 2тп — 1} справедлива формула ripq — 4m — шах{р, g}.

Теорема 2.3.3 При p,q е {1,2,..., тп} справедлива формула npq = 2m + шт{р, q}.

Теорема 2.3.4 При р е {1,2,... ,т}, q е {т + 1,т + 2,... ,2т — 1} справедлива формула пря = Зт + р — q.

В параграфе 2.4 рассматривается возможность обобщения результатов, полученных в параграфах 2.2 и 2.3, на случай, когда функции а(ж) и Ь(х) в определении коэффициента с(х) не являются аналитическими на соответствующих множествах, а принадлежат классу достаточное число раз непрерывно дифференцируемых функций.

В заключение, автор выражает глубокую благодарность научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Карахану Агахановичу Мирзоеву за постановку задач, руководство и постоянное внимание к работе.

Публикации автора по теме диссертации

[1] Долгих И.Н., Мирзоев К.А. Спектральный анализ одного класса операторов, связанных с дифференциальными уравнениями произвольно-

го порядка // Тезисы докладов Международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы". Москва, 16-22 мая 2004 г.— Москва: МГУ, 2004 — С. 54. ( 0,06 п.л., вклад соискателя — 50%).

[2] Долгих И.Н. Об индексе дефекта одного класса операторов, связанных с дифференциальными уравнениями произвольного порядка // Тезисы докладов Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Суздаль, 5-10 июля 2004 г.- Владимир: ВлГУ, 2004,- С. 80-82. ( 0,18 п.л.).

[3] Долгих И.Н. Об индексе дефекта одного класса дифференциальных операторов // Современная математика и её приложения. "Труды международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, 2004".— Тбилиси: Институт кибернетики АН Грузии.- 2005 - Т.ЗЗ- С. 105-112. ( 0,48 п.л.).

[4] Долгих И.Н. Спектральный анализ одного класса дифференциальных операторов // Материалы Воронежской зимней математической школы "Современные методы теории функций и смежные проблемы". Воронеж, 27 января- 2 февраля 2005 г.— Воронеж: ВГУ, 2005.— С. 84. (0,06 п.л.).

[5] Долгих И.Н. Индексы дефекта одного класса дифференциальных операторов // Вестник математического факультета: Межвузовский сборник научных трудов.— Архангельск: Поморский университет.— 2006.— Вып. 8.— С. 4 — 10. ( 0,42 п.л.).

[6] Долгих И.Н. Дефектные числа одночленного симметрического дифференциального оператора чётного порядка // Тезисы докладов 13-й Саратовской зимней школы "Современные проблемы теории функций и их приложения". Саратов, 27 января— 3 февраля 2006 г.— Саратов: Научная школа, 2006 — С. 61. ( 0,06 п.л.).

[7] Долгих И.Н., Мирзоев К.А. Индексы дефекта и спектр самосопряженных расширений некоторых классов дифференциальных операторов // Математический сборник,— 2006.— Т. 127, №4.— С. 53—74. ( 1,3 п.л., вклад соискателя — 50%).

Подписано в печать 07.11.2006. Формат 60x84 1/16. Бумага офисная. Печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 416.

Типография ООО «КИРА» 163061, г. Архангельск, ул. Поморская, 34, тел. 65-47-11

Введение

1 Спектральные свойства дифференциальных операторов, порожденных квазидифференциальными выражениями произвольного порядка

1.1 Основные понятия и факты.

1.1.1 Симметрические дифференциальные выражения

1.1.2 Квазипроизводные и симметрические квазидифференциальные выражения

1.1.3 Операторы Lq и Li. Индексы дефекта оператора L

1.1.4 Регулярные и иррегулярные точки линейных дифференциальных уравнений и систем линейных дифференциальных уравнений.

1.2 Преобразование основного уравнения.

1.3 Случай аналитических коэффициентов.

1.4 Случай неаналитических коэффициентов.

1.5 Пример

2 Дефектные числа одночленного иррегулярного дифференциального оператора четного порядка

2.1 Основные понятия и факты.

2.2 Случай аналитического коэффициента с одинаковым порядком нуля.

2.2.1 Фундаментальная система решений дифференциального уравнения 12Щ+[у) = Ху

2.2.2 Определение значения выражения [f,g](+0)

2.2.3 Основная теорема об индексе дефекта.

2.3 Случай аналитического коэффициента с разными порядками нуля.

Исследование спектральных свойств сингулярных дифференциальных операторов является одной из важных задач математического анализа. Постепенно выясняется, что для подробного изучения этого круга вопросов следует рассматривать отдельные классы дифференциальных операторов, выделенных по тем или иным признакам. Исследованиям в данной области посвящены работы многих авторов. Например, вопросам нахождения индекса дефекта и спектра дифференциальных операторов в зависимости от поведения их коэффициентов большое внимание уделено в книгах Н.И.Ахиезера и И.М.Глазмана [2], Н.Данфорда и Дж.Т.Шварца [5], М.А.Наймарка [15].

В данной работе рассматриваются дифференциальные операторы, порожденные квазидифференциальными выражениями 1п произвольного (чётного или нечётного) порядка. При этом предполагается, что коэффициенты квазидифференциалыюго выражения 1п такие, что если уравнение 1пу = \у свести к системе дифференциальных уравнений первого порядка, то полученную систему удаётся преобразовать к системе дифференциальных уравнений с единственной регулярной особой точкой при х — 0. Кроме того, мы рассматриваем дифференциальные операторы, порожденные некоторыми иррегулярными дифференциальными выражениями.

Целыо работы является исследование структуры решений одного класса дифференциальных уравнений произвольного (чётного или нечётного) порядка с комплекснозначными коэффициентами в окрестности нуля, определение индекса дефекта соответствующих минимальных замкнутых симметрических дифференциальных операторов и характера спектра самосопряженных расширений этих операторов, а также определение дефектных чисел некоторых классов дифференциальных операторов, порожденных иррегулярными дифференциальными выражениями с вещественными коэффициентами.

Основные результаты данной работы являются новыми. Из них выделим следующие.

1. Получены асимптотические формулы решений одного класса дифференциальных уравнений 1пу = Ху в окрестности нуля, где 1п - квазидифференциальные симметрические выражения произвольного порядка с комплекснозначными коэффициентами.

2. Исследованы индекс дефекта минимальных симметрических дифференциальных операторов и характер спектра самосопряженных расширений этих операторов, порожденных квазидифференциальными выражениями 1п с аналитическими и неаналитическими коэффициентами специального вида.

3. Определены дефектные числа некоторых классов операторов, порожденных иррегулярным одночленным дифференциальным выражением с вещественными коэффициентами.

Перейдем теперь к более точным определениям и фактам.

Пусть комилекснозначные функции Д,- (i,j = 1,2.,n;n > 1) - элементы матрицы - функции F := (/у) - измеримы на множестве / := (а;Ь), (—оо < а < b < +оо) и суммируемы на каждом замкнутом конечном интервале (Д;- 6 Cjoc(I)). Пусть далее = 0 почти всюду на / при 2 < г + 1 < j < п, fk,k+1 0 "ри l<Kn-lnF = -J~lF*J, где F* - сопряжённая матрица к матрице F, J := ((—1)г5г>-н-Д - символ Кроиекера. Перечисленные условия позволяют определить квазипроизводные заданной функции у посредством матрицы F, полагая У, к у[к] := (fkMirV'^Y - Е^'"11]' = 1,2,. ,п - 1), j'=1

М := (уМу-Е/^-11, и скалярное формально - самосопряженное квазидифференциальное выражение 1п, полагая

1пУ := t"j/W.

Выражение 1п известным образом определяет минимальный замкнутый симметрический оператор Lq в гильбертовом пространстве £г(-0 (более подробно см. [гл. 1, ii. 1.1.3]).

Известно, что вообще говоря при любом невещественном А уравнение ку = А у (1) имеет решения из причём максимальное число п+(п) линейно независимых решений из Л ПРИ 9А > О (SA < 0) не зависит от А и называется дефектным числом, а пара чисел (п+, п) - индексом дефекта оператора L0.

Отметим, что уравнение (1) равносильно системе линейных дифференциальных уравнений первого порядка у' = (F + Л)у,

2) где у := colon(y№, ., у^п !1), а элементы числовой матрицы Л := (Ау) определяются равенствами Хп\ := г~пХ и := 0 для остальных значений г и j.

В работе С.А. Орлова [17] рассмотрен один частный случай выражения 1п. А именно, предполагается, что:

I) функции ра(х),pi(x),.,рт(х) измеримы, принимают вещественные значения при х £ [0; +оо) и при любом 0 < b < +оо ь ь

J \Pm\~l < +°°>У Ы < +00 (А; = 0,1,. ,m — 1); о о

II) po{z),pi(z),. ,pm(z) - аналитические функции при \z\ > xq > 0 и

00

Ik '

Pk(z) := z

2 k+v E4 j=i к = 0,1,., m; \z\ >x$> 0), где am ф 0, a v > 0 - целое число.

Условие (I) позволяет определить выражение ln порядка п — 2т формулой ктУ •'= Ро(х)у + ^ ^Р\{х)у' + ^ \Р2{х)у" + . а из условия (II) следует, что выражение /2,п при х > хц имеет вид т. кш[у) = (3) к=0

При этих предположениях справедлива следующая теорема, принадлежащая С.А. Орлову (см. [17]). Здесь и далее эту теорему будем называть теоремой Орлова.

Теорема Орлова. Если функции po(x),pi(x),. ,рт(х) удовлетворяют условиям (I) и (II), то максимальное число линейно - независимых решений уравнения (1), принадлежащих /^[О-, +сю); равно: 1) при и > 0 числу корней полинома т k-1 к=1 j=0

I/\2 (v+\ 4 2

Z + 2> - — ао, лео/еащих в области Шг < 0, и не зависит от А;

2) при и = 0 числу корней полинома fom^O) — Д; леэюащих в области Кг < 0, и при невещественном А равно т.

При этом в случае и > 0 спектр любого самосопряженного расширения оператора Lq дискретный.

В работе [18] С.А. Орлов исследовал одномерную регулярную краевую задачу в конечном интервале [0; 6] (Ь < Ч-оо) , порожденную линейным самосопряженным квазидифференциальным выражением 12т. В работе [19] с помощью предельного перехода от конечного интервала [0; Ь] к иол у бесконечному [0; оо) даётся описание всех самосопряженных граничных условий при любом заданном индексе дефекта (п, п), (га < п < 2га) оператора Lo и устанавливаются формулы для резольвент и спектральных матриц-функций, определенных этими граничными условиями.

В работе Ф.А. Неймарк [1С] предполагается, что коэффициенты Po,Pi,. ,рт выражения fam представляются в виде pk{x) = x2k+v{ak + rk(x)) (fc = 0,l,.,m-l), pm(x) = где v - неотрицательное (необязательно целое) число, ад, «ь . •, ат вещественные числа, ат ф 0, а го, п,., гт вещественные функции па [0, +оо). Пусть далее выполняются условия: a) при некотором жо(> 0) 00 dx \гк{х)\~ < +оо (к = 0,1,. ,т);

Хо b) все корпи полинома при и > О И полинома $2m(z, 0) — Л при и — 0 различны.

При этих предположениях в [1G] найдены асимптотические формулы для фундаментальной системы решений уравнения (1). В частности, в этой работе доказано, что утверждения 1) и 2) теоремы Орлова остаются справедливыми, если в ней условие (II) заменить условиями а) и Ь).

Отмстим, что в книге М.А. Наймарка [15] в общих чертах изложены содержания работ [17] и [16] (см. [15, гл.У, §17, с.207]). Работа [17] включена также в библиографию книги Н. Данфорда и Дж.Т. Шварца [5, с.1006]. Однако в гл.XIII книги [5], посвященной обыкновенным дифференциальным операторам, нет ссылки на [17]. В работе R.B. Paris и A.D. Wood [29], вошедшей позже в книгу [30], заново открыта теорема Орлова для частного случая Рк{х) = ai;x2k+v (к = 0,1,. ,т) и подробно изучен полином $2m{z,i/). Таким образом, по-видимому, работы [17] и [16] так и остались незамеченными авторами книги [30]. В книге [30] рассматриваются также и некоторые дифференциальные выражения нечетного порядка частного вида и исследуются соответствующие им полипомы.

В работе К.А. Мирзоева [14] исследуются задачи об индексе дефекта и характере спектра оператора Lq, порожденного квазидифференциальным выражением ln произвольного (чётного или нечётного) порядка с комплекс-позначными коэффициентами на множестве / := [0; +оо). Полученные результаты аналогичны утвеждениям теоремы Орлова, при этом условия, налагаемые на коэффициенты выражения 1п того же характера, что и (/), а условие а) видоизменено так, что выполнение условия b) не требуется.

Отметим, что в области задач об определении индекса дефекта минимального замкнутого симметрического дифференциального оператора Lq интересную историю имеют операторы, порожденные дифференциальными выражениями вида т кт[у] := 5> 1)кЫх)у{к}){к] к=0 на / [а; оо), a G R с коэффициентами рт € Ст(1),рт > 0, pkeCk(I),pk>0(k = 0,l,.,m-l).

В частности, в 1961 году W.N. Everitt высказал гипотезу, что в этом случае возможен только случай п+ = п = т. Эту гипотезу в 1976 году опроверг R.M. Kanffmaii [28]. Он показал, что для выражений вида

Щ = -(*V3))(3) + (4) существуют положительные числа а и К такие, что п+ = п > 3.

После публикации работы Кауффмапа появилась новая гипотеза. В 1976 году J.B. McLeod сформулировал предположение о том, что дефектные числа оператора Lq, порожденного дифференциальным выражением l2m, могут принимать любые натуральные значения только из отрезка [т; 2 т — 1].

В 1981 году R.B. Paris и A.D. Wood показали, что индекс дефекта примера Кауффмана (Kauffman) есть (5,5) и, таким образом, максимальные значения гипотезы Маклеода (MeLeod) уже получены в данном случае. Они также вычислили границы постоянных в этом примере: си > 25 и для а = 25 примерный интервал для К - это 1, б • 106 < К < 1,77 • 10°.

Более подробно о дифференциальных выражениях этого типа можно посмотреть, например, в работе В. Schultze [31] и в литературе, на которую там имеются ссылки.

Покажем, что этот нашумевший пример Кауффмана (Kanffmaii) является примером применения теоремы Орлова.

В выражении (4) произведём замену а — G + v, полученное выражение

Щ = -(х^'у^ + Кх'у, (5) является выражением 6 порядка вида (3) с коэффициентами/^ = £G+I/, Pi — Pi = 0, Ръ = К хи. Составим полином ^g (z, v) для уравнения 1§[у] = А у. j=о

2 /и+1 г+г) - —+ J

Таким образом, задача о нахождении индекса дефекта преобразовалась в задачу о нахождении количества решений уравнения = 0, для которых Шг < 0 в зависимости от значений параметров К и и.

В первой главе данной работы исследуется задача о структуре решений уравнения (1) произвольного порядка (чётного или нечётного) с комплекснозначными коэффициентами в правосторонней окрестности нуля, т.е. мы рассматриваем случай / := (0; 1], и полученные результаты применяются к задаче об определении индекса дефекта соответствующих минимальных симметрических дифференциальных операторов и к задаче о характере спектра самосопряженных расширений этих операторов. При этом предполагается, что коэффициенты квазидифференциалыюго выражения ln и, следовательно, элементы матрицы F, удовлетворяют условиям, аналогичным либо (/) и (II), либо (/), а) в правосторонней окрестности нуля.

В параграфе 1.1 приводятся основные определения и факты, которые используются в дальнейшем, в частности, даётся традиционное определение симметрического (формально самосопряженного) дифференциального выражения, вводится понятие квазипроизводной и симметрического квазидифференциального выражения, минимального и максимального операторов, рассматриваются некоторые вопросы, связанные с понятиями регулярных и иррегулярных точек линейных дифференциальных уравнений и систем линейных дифференциальных уравнений.

Параграф 1.2 дайной работы носит в основном вспомогательный характер. Он посвящен вопросу задания дифференциального выражения 1п в дивергентной форме посредством матрицы F в чётном и нечётном случаях и преобразованию системы (2) к системе дифференциальных уравнений с единственной регулярной особой точкой при х = 0.

Рассмотрим случай п = 2т. Пусть выполняется условие

Л) pu,pi,.,pm,q(),qi,.,qm-i (т = 2,3,.) - вещественные функции на I и все функции ат := (-1 )тр-}, ami := (-1 )m+1(pmi + ), ** := ИГ+1Р*, Д„1 := -qm~\P'm\ Pk := (-1 )m+V, {k = 0,1,., т - 2) принадлежат С\ос(1).

Определим матрицу i*2W := F следующим образом: fhn-kjk+l — Oik] {к = 0, 1, . , ш); f2m-k,k = hm+l-k,k+i = Wk-1 fc = 1,2, .,m); = 1 (А; = 1,2,., т - 1, ш + 1,., 2т - 1) и fij — 0 при всех остальных значениях г и j.

Предположим также, что выполнено соотношение (23) функции po,pi,. ,рт, до, ft,., дт-i имеют вид pk{x) :=х2к+1/{ак + гк{х))-, qk(x) := хш'/+\Ък + sk(x)) (к = 0,1,., m - 1); х2т,+ у при всех х Е I, где и < 0, ац, а\,., ат, bo, ., Ьт-\ - действительные числа, ат ф О, а tq, г\,., rm, sq, si, ., sm-\ - вещественные функции на I

В случае п = 2га + 1 матрица F2m+1 и коэффициенты соответствующего квазидифференциального выражения определяются аналогично предыдущему с некоторыми изменениями.

Отметим, что квазидифференциальное выражение порожденное матрицей Fn, где п - любое (чётное или нечётное) натуральное число, обладает тем свойством, что если

Pk е сМ{1) (к = о, 1,., [n/2]), qk е (к = о, 1,., 1(п - 1)/2]) б) и коэффициент при старшей производной отличен от нуля для всех х 6 /, то оно совпадает с классическим дифференциальным выражением п/2] [(н-1)/2] к=0 fc=О где [а] обозначает наибольшее целое число, не превосходящее числа а.

Основным результатом данного параграфа является преобразование системы (2) с заданной матрицей F к системе дифференциальных уравнений dY х— = (Л + B(x))Y, ах с единственной регулярной особой точкой при х = 0.

В параграфах 1.3 и 1.4 мы более точно формулируем условия на поведение коэффициентов дифференциального выражения 1п в окрестности нуля, а именно, в параграфе 1.3 предполагаем, что выполняется

С) функции r/,:{z) и Sk(z) из соотношения (Ъ) представляются в виде сходящихся при \z\ < :r0(< 1) степенных рядов rk{z) '= Y1 а) zJ {k = 0,1,., m, если n = 2m или n = 2m + 1); 3=1 00 „Л . sk{z) := Y! Щ z3 (fc = 0,1,. — 1, если n — 2m и k = 0,1,. , m, з=i если n = 2m 4- 1).

Определим многочлен $n(z,v) : если n = 2m -f 1.

Справедлива следующая Теорема 1.3.1 Пусть элементы матрицы Fn удовлетворяют условиям (Л) и (С) и пусть 1п - квазидифференциальное выражение, порождённое матрицей Fn. Тогда максимальное число линейно - независимых решений уравнений (1.3), прииадлеэ/сащих пространству €2(1), равно:

1) при v < О числу корней полинома $n(z, и), лежащих в области Шг > 0; и не зависит от А;

2) при и = 0 числу корней полипома #„(2,0) — А, лежащих в области z > 0, и если п — 2т, то п+ — п = т, если Dice п = 2т 4- 1, то п+ — т, П- = т + 1.

При этом в случае v < О спектр любого самосопряженного расширения оператора Lq дискретный.

В параграфе 1.4 мы отказываемся от аналитичности функций го, и,., rm, so, si,., sm и предполагаем лишь, что выполняется условие (V) если п — 2т, то о если п = 2т + 1, то функции го, п,. rm, So, Si,. sTOi такие же, как и в случае п = 2т, а для функции sm х0

Справедливы следующие теоремы.

Теорема 1.4.1 Пусть и < 0 и элементы матрицы, Fn удовлетворяют условиям {Л) и (D) в этом случае. Предположим, что z\, Z2,. ■ ■, zq, zq+\,., zq+j - все различные характеристические корпи матрицы А, причём zi,z2,., zq - однократные корни, при 1 < р < j кратность корня zq+p равна гр и i гр + Я. — ni тах г„ = г 1, тогда уравнение (1.3) имеет фундамен-Р=1 1<P<J тальиую систему решений ук{х) такую, что при х —* +0 о о ук{х) = схгк~*{1 + о{1)), A;=l,2,.,g; yk+i(x) = схг*+> 51пга:(1 + о(1)), k = g + n +. + грц г = 0,1,. ,rp- 1.

Теорема 1.4.2 Пусть выполняются условия теоремы 1-4-1, тогда справедливы все утверэ/сдепия теоремы 1.3.1.

В заключительном параграфе 1.5 главы 1 рассматривается пример применения полученных результатов к одночленному симметрическому дифференциальному выражению четного порядка. Пусть

1ъп[у] = №а(х)уМ)М, где р € [1; 2т), а(х) - вещественная функция па отрезке [0; 1] и |а(ж)| > 0 для всех х € [0; 1].

Справедливы следующие утверждения. Утверждение 1.5.1 1) если р не целое число и функция а(х) удовлетворяет условию 1 |а(х) -а\ / -1 dx < оо,

J X о где а - некоторое ненулевое число, то уравнение ктУ = Ау (7) имеет фундаментальную систему решений у^(х) такую, что при х +0 f^-1(l + o(l)), к — 1,2,. ,т;

У к = хк'р'1{1 + о(1)), к = т + 1, т + 2,., 2т.

2) если о/ее р целое число, а функция а(х) удовлетворяет условию 1 f \а(х) -а\ -L 1п(я) cfcc < 00,

J X где а - некоторое ненулевое число, то уравнение (7) имеет фундаментальную систему решений ук(х) такую, что при р € [1,т] и х —> +0 хк-\1 + о{1)), к = 1,2,. ,т; Ук= хк-р-[\пх{\ + о(1)), к = га + 1,т + 2,. ,т + р; Д-р-i(i + к = т + р+1,т + р + 2,.,2т; а при р 6 [m + 1,2га — 1] и х —> 4-0 хА;-1(1-1-о(1)), к = 1,2,., ш; a?fc"p1(l 4- о(1)), к = 7п + 1, га + 2,. zfc-P-1lna;(l + o(l)), = p + 1,р + 2,.,2га. аг

У к =

Утверждение 1.5.2 Дефектное число п+(= nJ) оператора Lq, порожденного дифференциальным выраоюением km, определяется по формуле

2 га, если ре [1 ,т + }>);

71+

Зга-[р+4], если р G [га + L 2т).

До сих пор мы рассматривали дифференциальные выражения 1п, старшие коэффициенты которых (т.е. функция при п — 2га, или функция qrn при п = 2га + 1) не обращаются в нуль в точках множества I.

Предположим теперь, что коэффициенты выражения 1п удовлетворяют условию (б), но старший коэффициент этого выражения обращается в нуль в некоторых точках внутри множества I (а; Ь), (—оо < а <Ь < +оо). И в этом случае, так же, как было сделано выше, можно построить матрицу F и определить квазипроизводные заданной функции. Однако при этом для матрицы F нарушается условие суммируемости коэффициентов на каждом замкнутом конечном интервале (е С\ос{1)). Тем не менее, множество бесконечно дифференцируемых финитных функций является всюду плотным линейным многообразием в пространстве £2(-0 и 1пу 6 £2(-0> если У ~ из этого множества. Далее, исходя из этого, известным образом определяется минимальный замкнутый симметрический оператор Lq в гильбертовом пространстве £г(/), порожденный выражением /п [5, гл.XIII, §2].

В данной работе, следуя книге Н. Даифорда и Дж. Т. Шварца [5, гл.ХШ, §1, с. 447], будем называть дифференциальное выражение 1п иррегулярным дифференциальным выражением, если коэффициенты этого выражения удовлетворяют условию (6) и его старший коэффициент обращается в нуль в некоторых точках множества I.

Дифференциальные операторы, порожденные иррегулярными дифференциальными выражениями, возникают во многих областях современного анализа; таковыми являются, например, обобщенные операторы Лежандра (см. [24, гл.7]) из теории квазиклассических ортогональных многочленов. Однако вопросы спектрального анализа этих операторов изучены удивительно мало. В частности, лишь сравнительно недавно стали появляться работы, посвященные определению дефектных чисел операторов, порожденных одночленными иррегулярными дифференциальными выражениями с вещественными коэффициентами (см. [20] и работы, на которые там имеются ссылки).

В работе [22] Ю.Б. Орочко рассматривает иррегулярное дифференциальное выражение spq[f}(x), х £ I := [—h, h], которое строится путём склеивания в точке х = 0 дифференциальных выражений s-q\m = и )%хЧ{х)у^т\х) произвольного чётного порядка2т > 2, гдеа(х) 6 С°°[0, h], b(x) £ C°°[—h, 0], h > 0, - действительные функции, не имеющие нулей па рассматриваемых отрезках, р > 0, q > 0.

Пусть Lq'+ и Lq'~ симметрические минимальные операторы, порожденные выражениями s+[/] и s~[f] соответственно в гильбертовых пространствах £2(0;Д) и £2(—

При определенных ограничениях пар и q дифференциальное выражение spq[f] порождает симметрический минимальный оператор Щ1, действующий в C<2(—h]h) и являющийся симметрическим расширением ортогональной суммы операторов L|J'+ $ Lq~.

Основной результат работы [22] заключается в следующей теореме. Теорема. Для любой пары значений параметров р, q > 2п — | моэюпо найти комплексное число z, isz ф 0, такое, что дефектные пространства , Мр , Mpq симметрических операторов Lq'+, Ц}~ и Lq1 обладают свойствами

М;® я; = ЯрЧ) dimj\fq ~ dimMp = m, dimMpq = dimj\f~ + dimMp — 2m.

В работе [20] рассматривается минимальный симметрический дифференциальный оператор Lq, порожденный иррегулярным дифференциальным выражением вида

12т[у](х) := (-1 )т(с(х)у^(х))^\ X е (-Л, К), (8) а именно, предполагается, что с(х) = хра(х), а(х) - бесконечно дифференцируемая действительная функция и а(х) ф 0 для любого х 6 [—h,h], h > 0, р € {1,2,. .,2т — 1}. В ней доказано, что для верхнего дефектного числа п+(— п) оператора Lq справедлива формула п+ = 2т + р, если р € {1,2,. ,т}. Кроме того, в этой работе Ю.Б. Орочко сформулировал гипотезу о справедливости равенства п+ = 4m — р в случае р£ {т+1,т + 2, .,2т- 1}.

Во второй главе рассматриваются дифференциальные выражения вида (8). Исследуется структура решений дифференциального уравнения hт,+[у] — Ау, х 6 (0,1], и определяются дефектные числа минимального симметрического оператора, порожденного иррегулярным дифференциальным выражением вида (8).

В параграфе 2.1 приводятся основные определения и факты, которые используются в дальнейшем, в частности, вводятся понятия иррегулярного дифференциального выражения и минимального замкнутого симметрического оператора, порожденного таким выражением.

В параграфе 2.2 мы уточняем формулы для решений уравнения hm+[y] — Ау, х Е (0,1], полученные в параграфе 1.5 для более общего случая, а именно, мы предполагаем, что функция a(z) - аналитическая функция при \z\ <Xq<\, и р 6 {т+1, тЧ-2,. 2т—1}. Поэтому в данном случае применимы методы аналитической теории дифференциальных уравнений (см. [1, гл. XVI], [13,

Обозначим пр := n+iP(njP) - дефектное число минимального симметгл. IV, §8]). рического оператора Ly, порожденного дифференциальным выражением (8), в верхней (нижней) открытой комплексной полуплоскости и [f,g](x) - билинейную форму, возникающую в известном тождестве Лаграпжа для дифференциального выражения '

Важным промежуточным результатом является Теорема 2.2.1 При р Е {т + 1, т + 2,., 2т — 1} уравнение (2.3) имеет фундаментальную систему решений ук, к = 1,2,., 2т; 3т — р элементов ?/i,7/2,., ут, yp+iiVp+2, • • •, Vim, которой принадлежат пространству £2(0,1) и для которых значения [/, |/а:](+0) выч'исляются по формулам где ак — числа, отличные от нуля.

Основным результатом этого параграфа является теорема, доказывающая гипотезу, сформулированную в работе [20], а именно, справедлива следующая

Теорема 2.2.4 При р = т + 1, т f 2,., 2m — 1 справедлива формула пр = Ат — р.

В параграфе 2.3 мы рассматриваем дифференциальные выражения вида (8), где вещественная функция с(х) представляется в виде где |а(х)| > 0 для всех х Е [0; 1], \Ь(х)\ > 0 для всех х Е [—1; 0]. Знак с(х) при х Е [— 1; 0) иж€ (0; 1] может быть любым. а*/[2т~А,(0)» если k = р + 1, р + 2,., 2т; во всех остальных случаях, хра(х), если ж € [0; 1]; |х|чЬ(х), если х Е [-1;0]

9)

Пусть p,q £ {1,2, .,2m — 1}, функции a(z) и b(z) - аналитические функции при \z\ < xq < 1. Предположим далее, что при \z\ < xq < 1 +00 i +00 a(z) := ao + X] ao 0 и b(z) := + £ bo 7^ 0. j=i j=i

Для дефектных чисел минимального замкнутого симметрического дифференциального оператора, порожденного дифференциальным выражением вида (8) со сделанными выше предположениями относительно коэффициента с(х), справедливы следующие теоремы.

Теорема 2.3.2 При p,q е {т + 1,т + 2,. ,2т — 1} справедлива формула npq = 4т — maxjp, q}.

Теорема 2.3.3 При p,q е {1,2,., т} справедлива формула пп = 2т + min{p, q}.

Теорема 2.3.4 При ре {1,2,., т), q € {т 4- 1, т + 2,., 2т - 1} справедлива формула npq — 3т + р — q.

В заключении, в параграфе 2.4, мы рассматриваем возможность обобщения результатов, полученных в параграфах 2.2 и 2.3, на случай, когда функции а(х) и Ь(х) в определении коэффициента с(х) не являются аналитическими на соответствующих множествах, а принадлежат классу достаточное число раз непрерывно дифференцируемых функций.

2.4 Заключение

В параграфах 2.2 и 2.3 мы рассматривали дифференциальные выражения вида (2.1) с коэффициентом с(:г), который представляется аналитическими функциями в правосторонней и левосторонней окрестности пуля (\х\ < 1).

Предположим, что в дифференциальном уравнении ( 2.3) функция а(х) € Ст[0; 1]. В данном случае, используя процесс преобразования дифференциального уравнения к системе дифференциальных уравнений, изложенный в параграфе 1.2 главы 1, мы можем привести это уравнение к системе вида (2.3) dY х— = (А + В(х)) Y, (2.19) где матрицы А и В(х) определяются следующим образом: а-кМ 1 = 1» (£= l,2,.m- l,m+l,.2m- 1); (!)»«

От,т+1 = -; Ьт,т+1{х) = (-1 )тг(х); X

1 1 a>k,k = k-~, (к = 1,2, .m); ак,к = к---р, (к = т + 1,т + 2,. .2т); ww = (-i)'"^

Остальные элементы обеих матриц А и В равны нулю. Собственными значениями матрицы А являются числа:

1 1

Zk = k—~, А; =1,2, .m; zk — k — -—p, к = т -f 1, т + 2,. 2т.

При m + 1 < р < 2т — 1, р Е N, среди 2т собственных значений -р различных , среди них однократных собственных значений 2р - 2т и двукратных - 2т — р штук.

Рассмотрим матрицу перехода С := (с^) матрицы Л к её жордаповой форме, столбцами которой являются линейно независимые векторы Координаты 2т — р собственных векторов, соответствующих двукратным собственным значениям, имеют следующий вид: cf-l = 1; с2к~1 = (к — l)(k — 2).(k — (j — 1)), 2 < j < к; cf'1 = О, А; + 1 < j < 2m, при 1<к<2т- р.

Координаты 2т — р векторов, присоединённых к собственным векторам, соответствующих двукратным собственным значениям, имеют вид: с\к = 0; cf~l = ик ф 0, 2 < j < р + к] cf = 0,р + к + 1 < j < 2m, при 1 < к < 2т — р.

Точные значения ненулевых элементов ик не играют существенной роли. Координаты р — т собственных векторов, соответствующих первой группе однократных собственных значений (zk > 0), имеют вид: c2m-p+fe = 1; сь»-р+ь = (к-Щк-2). .{к-и-1)), 2 < j < к; с2 т-р+к = о, А; + 1 < j < 2 m, при 2т-р+1<к<т.

Координаты р — т собственных векторов, соответствующих второй группе однократных собственных значений (zk < 0), имеют вид: ъп-р+к с2 ^ = {kpmp2).(k-p-(j-l)), 2 < j < m; c2m~p+k = t^l(k-p-l).{k-p-m){k-m-l).{k-j + l), m + 2< j < k; c),n-p+k = 0, к + 1 < j < 2m, при m + 1 < к < p.

В системе (2.19) сначала сделаем замену х = е~г, тогда t —> +оо при х —> 0 , а затем Y = CZ , тогда эта система преобразуется к виду = (-J + R(t))Z, (2.20) где J - жорданова форма матрицы А.

Решая систему дифференциальных уравнений ^ = — JZ и применяя лемму 1.4.1 (см. параграф 1.4), мы получаем главный член асимптотики решений системы (2.20). Далее, применяя в точности метод последовательных приближений, используемый при доказательстве леммы 1.4.1, определяем асимптотическое решение системы (2.20) с необходимой для нас точностью.

Возвращаясь к переменной ж, мы получаем не только асимптотику решений дифференциального уравнения ( 2.3), но и всех их квазипроизводных, необходимых нам для определения пределов соответствующих квадратичных форм (более подробно см. параграф 2.2 ).

Таким образом, все результаты параграфов 2.2 и 2.3 и в данном случае остаются справедливыми.

1. Айпс Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Пер. с анг.— Харьков: 01ГГИ, Государственное научно-техническое издательство Украины, 1939.— 719 с.

2. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве.— 2-е изд., перераб. и доп.— М.: Наука, 1966.— 544 с.

3. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений: Пер. с аиг.— М.: Мир, 1968.— 464 с.

4. Гаптмахер Ф.Р. Теория матриц.—2-е изд., доп.— М.: Наука, 1966.— 576 с.

5. Данфорд Н. Шварц Дж. Т. Линейные операторы: Спектральная теория: Пер. с анг- М.: Мир, 1966.- 1063 с.

6. Долгих И.Н. Спектральный анализ одного класса дифференциальных операторов // Материалы Воронежской зимней математической школы "Современные методы теории функций и смежные проблемы". Воронеж, 27 января- 2 февраля 2005 г.— Воронеж: ВГУ, 2005.— С. 84.

7. Долгих И.Н. Индексы дефекта одного класса дифференциальных операторов // Вестник математического факультета: Межвузовский сборник научных трудов,— Архангельск: Поморский университет.— 2006.— Вып. 8,- С. 4 10.

8. Долгих И.Н., Мирзоев К.А. Индексы дефекта и спектр самосопряженных расширений некоторых классов дифференциальных операторов // Математический сборник.- 2006.— Т. 127, №4 С. 53—74.

9. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных операторов: Пер. с англ. — М.: Издательство иностранной литературы, 1958. — 475 с.

10. Мирзоев К.А. О теореме Орлова об индексе дефекта дифференциальных операторов // ДАН.- 2001,- Т.380, №5.- С.591-595.

11. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы.— 2-е изд., перераб. и доп.—М.:11аука, 1969,— 526 с.

12. Неймарк Ф.А. Об индексе дефекта дифференциального оператора // УМН.- 1962,- Т.17, Вып.4 — С. 157-163.

13. Орлов С.А. Об индексе дефекта линейных дифференциальных операторов // ДАН СССР,- 1953.- Т.92, №3,- С. 483-486.

14. Орлов С.А. К теории резольвенты одномерной регулярной краевой задачи // ДАН СССР.- 1956.- Т.111, т.- С. 538-541.

15. Орлов С.А. Конструкция резольвент и спектральных функций одномерных линейных самосопряженных сингулярных дифференциальных операторов 2-го порядка // ДАН СССР.- 1956.- Т.111, №6.- С. 11751177.

16. Орочко Ю.Б. Индексы дефекта одночленного симметрического дифференциального оператора четного порядка, вырождающегося внутри интервала // Математический сборник.— 2005.— Т.196,.№5.— С. 53—82.

17. Орочко Ю.Б. Индексы дефекта симметрического обыкновенного дифференциального оператора с бесконечным числом точек вырождения // Функциональный анализ и его приложения — 2004.— Т.38, Вып 2,— С.55—64.

18. Орочко Ю.Б. Условие непроницаемости точки вырождения одночленного симметрического дифференциального оператора чётного порядка // Математический сборник 2003.- Т.194, №5.- С.109-138.

19. Орочко Ю.Б. Примеры симметрических дифференциальных операторов на прямой с бесконечными индексами дефекта // Функциональный анализ и его приложения.— 1994,— 28:2.— С.69—72.

20. Трибель X. Теория интерполяции, Функциональные пространства, Дифференциальные операторы.— М.: Мир, 1980.— 664 с.

21. Л.Чезари Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений: Пер. с англ. — М.:Мир, 1961- 447 с.

22. Everitt W.N., Zettl A. Generalized symmetric ordinary differential expressions I: The general theory // Nieuw archief voor wiskunde, Ser. 3,- 1979,- XXVII.- P. 363-397.

23. Everitt W.N., Marcus L. Boudary Value Problems and Symplectic Algebra for Ordinary Diffrrential and Quasi-Differential Operators.—Math. Surveys and Monofraphs, 1999.- 560 p.

24. Kauffman R.M. On the limit n classification of ordinary differential operators with positive coefficients // Proc.London Math.Soc.— 1977.— (3), 35.- P. 496-52G,

25. Paris R.B., Wood A.D. On the £2(1) nature of solutions of n— th order symmetric differential operator and McLcod's conjecture // Proc. Roy. Soc. Edinburg.- 1981.- V.90A- P.2G9-23G.

26. Paris R.B., Wood A.D. Asymptotics of high order differential equations // Pitman Res.Notes in Math.Ser 1986 - V.129.

27. Schultzc B. On singular differential operators with positive coefficients // Proceedings of the Royal Society of Edinburgh 1992.- 120A - P. 361— 365.