Метод подобных операторов в спектральном анализе операторов Дирака и Штурма-Лиувилля

Щербаков, Александр Олегович

Метод подобных операторов в спектральном анализе операторов Дирака и Штурма-Лиувилля тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Щербаков, Александр Олегович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Воронеж МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Метод подобных операторов в спектральном анализе операторов Дирака и Штурма-Лиувилля»

Автореферат диссертации на тему "Метод подобных операторов в спектральном анализе операторов Дирака и Штурма-Лиувилля"

На правах рукописи

Щербаков Александр Олегович

МЕТОД ПОДОБНЫХ ОПЕРАТОРОВ В СПЕКТРАЛЬНОМ АНАЛИЗЕ ОПЕРАТОРОВ ДИРАКА И ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный

анализ

АВТОРЕФЕРАТ 2 1 Н0Я 2013

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж - 2013

005539592

Работа выполнена в Воронежском государственном университете.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Баскаков Анатолий Григорьевич. Официальные оппоненты: Перов Анатолий Иванович,

доктор физико-математических наук, профессор,

Воронежский государственный университет, кафедра нелинейных колебаний, профессор,

Бичегкуев Маирбек Сулейманович, доктор физико-математических наук, доцент,

Северо-Осетипский государственный университет,

кафедра функционального анализа и дифференциальных уравнений, зав. кафедрой. Ведущая организация: Южный федеральный университет.

Защита состоится 10 декабря 2013 года в 14 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 335. С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан ноября 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Гликлих Юрий Евгеньевич

Общая характеристика работы

Актуальность работы. В диссертации рассматриваются задачи дальнейшего развития метода подобных операторов и его применения к исследованию спектральных свойств некоторого класса дифференциальных операторов.

Спектральный анализ дифференциальных операторов является одним из ведущих направлений современного анализа и математической физики. Получение асимптотики спектра, оценок сходимости спектральных разложений, формулы регуляризованного следа дифференциальных операторов, а также асимптотики генерируемой оператором полугруппы является важной задачей как в абстрактной теории, так и в приложениях, диктуемых нуждами механики и физики.

В настоящей диссертации исследуются спектральные свойства двух дифференциальных операторов: одномерного несамосопряжеиного оператора Дирака с негладким комнлекснозначпым потенциалом, задаваемого на промежутке [0,7г] периодическими и антииериодическими краевыми условиями; иесамосопряженного оператора Штурма-Лиувилля с сингулярным комнлекснозначпым потенциалом, задаваемого на промежутке [0, о;] квазине-риодическнми краевыми условиями.

Метод подобных операторов можно использовать для исследования спектральных свойств широкого класса дифференциальных операторов. Приводимая в диссертации адаптация метода позволяет не только изучить спектральные свойства исследуемых операторов Дирака и Штурма-Лиувил-ля, но и открывает возможность его применения для других операторов, близких к рассматриваемым.

При попытке исследования операторов общими методами теории возмущений возникает несколько затруднений, связанных с наличием следую-

щих свойств: расстояние между собственными значениями невозмущепного оператора не уходит в бесконечность; возмущение не является ограниченным оператором. Метод подобных операторов позволяет успешно преодолеть трудности, возникающие при использовании классических методов.

Оператор Дирака важен в квантовой механике. Изучение оператора Дирака проводилось рядом авторов. Случай непрерывного потенциала рассмотрен в известной монографии Б.М. Левитана, И.С. Саргсяна. Особенно отметим статью П. Джакова, Б.С, Митягина

Оператор Штурма-Лиувилля с сингулярным потенциалом также возникает во многих физических задачах. Особенно востребованными в приложениях являются потенциалы, являющиеся ¿-функциями. Изучению оператора Штурма-Лиувилля с потенциалами ¿-типа посвящено множество работ, начиная с шестидесятых годов прошлого века. Большой вклад внесла статья A.A. Шкаликова и A.M. Савчука 2, в которой был разработан подход корректного определения оператора Штурма-Лиувилля с любым сингулярным потенциалом в терминах квазипроизводной. С тех пор стала активно развиваться спектральная теория операторов Штурма-Лиувилля с потенциалами-распределениями. В частности, заслуживают внимания исследования следующих авторов: A.A. Шкаликова, A.M. Савчука, П. Джакова, Б. Митягина, P.O. Гринива, Я.В. Микитюка, И.В. Садовничей, Т. Кап-пелера, С. Мора, В. Михайльца, В. Молибога.

Таким образом, тема диссертации является вполне актуальной.

Цель работы.

1. Дальнейшее развитие метода подобных операторов. В частности, по-

1Митяпш Б. С. Зоны неустойчивости одномерных периодических операторов Шрёдингера и Дирака / П. Джаков, Б. С. Митягин // Успехи математических наук. — 2006. — Т. 61. — № 4. — С. 77-182.

2Шкаликов А. А. Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами / А. М. Савчук, A.A. Шкаликов // Мат. заметки. - 1999. - Т. 66. - № 6. - С. 897-912.

строение абстрактной схемы применения метода подобных операторов для операторов, близких к рассматриваемым операторам.

2. Спектральный анализ нссамосоиряженного оператора Дирака с негладким комплекснозначным потенциалом, задаваемого на [0, тг] периодическими и антипериодическими краевыми условиями.

3. Спектральный анализ несамосопряженного оператора Штурма-Лиу-вилля с сингулярным комплекснозначным потенциалом, задаваемого на промежутке [0, и] квазипсриодическими краевыми условиями.

Методы исследования. Для исследования спектральных свойств рассматриваемых операторов используется метод подобных операторов, спектральная теория дифференциальных операторов, теория полугрупп.

Научная новизна. Основные результаты диссертационной работы являются новыми. Из них выделим следующие:

1. Дальнейшее развитие метода подобных операторов. В частности, разработаны абстрактные схемы применения метода подобных операторов для операторов, близких к рассматриваемому оператору Дирака и оператору Штурма-Лиувилля с сингулярным потенциалом.

2. Спектральный анализ нссамосоиряженного оператора Дирака с негладким комплекснозначным потенциалом, задаваемого на [0,7г] периодическими и антипериодическими краевыми условиями:

• асимптотика спектра (оценки собственных значений);

• обобщенная спектральность, т.е. безусловная сходимость ряда из спектральных проекторов на любом векторе х € ¿2 ([0,7г], С2);

• оценки отклонений спектральных проекторов возмущенного оператора от соответствующих спектральных проекторов невозму-

щеппого (в частности, оценки безусловной равносходимости спектральных разложений);

• формула рсгуляризованного следа как в общем случае, так и при наложении условий гладкости на потенциал;

• конкретные оценки длин зон неустойчивости (спектральных лакун) оператора Дирака, определенного на К, в зависимости от гладкости потенциала.

3. Спектральный анализ несамосопряженного оператора Штурма-Лиу-вилля с сингулярным комплекснозначпым потенциалом, задаваемого на промежутке [0, и>] квазипериодическими граничными условиями:

• асимптотика спектра (оценки собственных значений);

• оценки отклонений спектральных проекторов возмущенного оператора от соответствующих спектральных проекторов невозму-щеппого (в частности, оценки безусловной равносходимости спек-тральпых разложений);

• секториалыюсть оператора (взятого со знаком минус) и асимптотика аналитической полугруппы операторов, генератором которой он является.

Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер и может быть исиользовапа при дальнейшем развитии спектральной теории операторов и метода подобных операторов, а также применении метода подобных операторов для исследования спектральных свойств широкого круга дифференциальных операторов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Воронежских зимних математических школах С.Г. Крейна 2010, 2013, па весенней математической школе «Понтрягииские чтения XXI» 2010, на Крым-

ских осспних математических школах 2009, 2010, 2011, 2012, на Крымской международной математической конференции 2013, на математическом интернет-семинаре 18ЕМ-2011 (Германия, Блаубойрен), на семинарах А.Г. Баскакова, а также на научных сессиях ВГУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-13]. Работы [1],[6],[11] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнау-ки РФ. Из совместной публикации [6] в диссертацию включены результаты, принадлежащие лично автору.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разделенных на параграфы, и библиографии, содержащей 80 наименований. Общий объем диссертации - 145 страниц.

Краткое содержание диссертации

В первой главе диссертации приводятся основные понятия спектральной теории операторов и теории полугрупп, необходимые для изложения результатов диссертации, а также определения и теоремы метода подобных операторов.

Пусть И. — гильбертово пространство. Пусть &2(Н) идем операторов Гильберта-Шмидта, || • Цг — норма Гильберта-Шмидта, а ЕткШ. — банахова алгебра линейных ограниченных операторов. Пространства ¿2([0,о>],С2) и Ь2[0,и>] = ¿2([0,ш],С) будут отождествляться с гильбертовыми пространствами С2) и = Ь2м{Ш,С) периодических периода и> функций, определенных на Е и суммируемых с квадратом нормы на [0,ш]. При

этом будут использоваться ряды Фурье ц{Ь) = г/„е2г""', I € М, функции

пег

Во второй главе рассматриваются задачи дальнейшего развития метода подобных операторов и его применения к исследованию спектральных

свойств одномерного несамосопряженного оператора Дирака Ь\ю с негладким комплекснозначным потенциалом, периодическими и антинериодиче-скими краевыми условиями, задаваемого следующим образом:

Ььс : Б{ЬЪс) с Ь2 ([0, тг], С2) - Ь2 ([0, тг], <С2) 0 \ ¿у г .

где г;(£) =1 ч / I, £ е [0,7г], Р, <5 € ¿2[0,7г]. Область оиреде-

\<Э(*) О

ления О(Ььс) определяется одним из краевых условий Ьс: периодические (.Ьс ~ рег: ?/(0) = у{к))\ антипериодические (Ьс — ар: у(0) = —у(ж)), где у 6 ([0,7г], С2). А именно, полагается В(Ц]Г) = {у е ([0,7г], С2) : у е Ьс}. Если V = 0, то используется запись Ь®с. Оператор А — Ь®с будет играть роль невозмущенного оператора, а оператор В умножения на потенциал V — возмущения, т.е. Ь),с = А — В. Особо отметим, что не делаются ограничения на V, гарантирующие самосопряженность возмущения, и какие-либо дополнительные ограничения (типа гладкости), кроме условия иеЬ2({ 0,тг],С2).

Пусть р], qj, ] е Z, — коэффициенты Фурье функций Р, <3 6 Рассмотрим последовательности ш3 = P-jqj, = 3 £ Ъ.

Теорема 2.4.1. Существует число т е Ъ+ такое, что спектр оператора ЬЪс представим в виде

а(ЬЬс) = <7(га) и и ап\, (1)

\|п|>т+1 /

где сг(т) —конечное множество, а множества ап, |п| > т + 1, не более чем двухточечны и имеют вид

(Тп = {2П ± у/ш^г - ^Тшк+2п + }, |п| >771 + 1, Ьс = рвГ, к^ 0

ап = {2n - 1 ± у/ш^- + /?*}, \n\ >m + 1, bc = ap.

k^to

Последовательности (ß±) и (ß|ra| > m + 1, являются суммируемыми со степенью f. Араме того, lim |Л„ - Л„| = 0, где Х„, Л„, га G Z, -

|n|—»oo •

собственные значения операторов Ььс и соответственно.

Локализационныс оценки теоремы 2.4.1 являются новыми. Ранее даже не было установлено, что lim |Л„ - А„| = 0.

Пусть те Z+ - некоторое число. Пусть Р(т), Рп, \п\ > т + 1, — спектральные проекторы Рисса, построенные но оператору и множествам ат = {Л : Iii < пг}, {А„}, |га| > т+1, соответственно, где А„ - собственное значение невозмущенного оператора Щ.. Через Р(т}, Рп, \п\ > т+1, будем обозначать спектральные проекторы Рисса, построенные по оператору Lbc и множествам сг(то), ап, |n| > т+ 1, из теоремы 2.4.1 соответственно.

Теорема 2.5.1. Существует число те Z+ такое, что спектр оператора Lbc, Ьс G {per, ар}, представим в виде объединения взаимно непересекающихся множеств (1), и оператор Lbc, bc G {per, ар}, спектрален относительно разложения (1), а именно ряд Р(т)Х + ]Г|п|>т+1 Рпх безусловно сходится для любого вектора х G Ь2 ([0,7г],С2).

Утверждение теоремы 2.5.1 получено в работах Б. Митягина, П.Джакова при дополнительном условии па потенциал v.

Для любого оператора 0 ф X G 62(L2,7r(IR, С2)) рассмотрим двустороннюю последовательность (а„(Х)) вида

ап{Х) = ЦХЦз1 тах <

£ IIXPk\\l

u*i>M / V|fc|>|n|

^ Iixmi . E iiwis

n G Z. (2)

Отметим, что an(X) —» 0, n —> oo.

В следующих теоремах операторы ТВ, JB, ВГВ е 62(Ь2,7г(ХС2)) ссть

операторы, построенные по рассматриваемому возмущению В в ходе применения метода подобных операторов.

Для любого подмножества Q С Z \ а^ (не обязательно конечного) символом P(Q) обозначим спектральный проектор ^ Рк, а через Р{й) спск-

кеП

тральный проектор X) Рк- Для любого оператора X 6 62(^2,С2)) и кеп

любого подмножества Ü С Z через a(Q, X) обозначим величину тахап(л).

Теорема 2.6.1. Существует число т € Z+ такое, что для любого подмножества £1 С Z \ а°т имеют место оценки (безусловной равносходимости спектральных разложений операторов Ььс и L%c)

||P(Q) - P(fi)||2 < С(а(П, ТВ) + а(П, JB) + а{П, ВГВ)),

где С > О — постоянная, не зависящая от О..

Следствие 2.6.1. Имеет место равносходимость спектральных раз-__ « ~ "

ложений: lim ||P(m) + J2 Pk — P(m) ~ S -Pfclb = 0. rc-*00 |fc|=m+l |fc|=m+l

Теорема 2.6.3. Существует такое число т е Z+, что

£ jp\\Pn-Pn\\l<°0, M>m+1 "

где ßn = ап{ТВ) + an(JB) + ап(ВГВ) 0, n оо.

Следствие 2.6.2. Существует т G Z+, что 11-^« ~~ РЛ\ <

|п|>т+1

Отметим, что в работах Б.Митягина, П.Джакова получено лишь утверждение следствия 2.6.2.

Через А„ = Ьс е {per, ар}, п е Z, обозначим половину суммы собственных значений оператора Lbc, принадлежащих двухточечному множеству ап из формулы (1), то есть Л„ = \ ^А', + А2), где Л^,Л2 € ст„. Если множество ап одноточечно, т.е. А„ £ ап двухкратное собственное значение оператора Ььс, то Х„ = Л„.

Теорема 2.7.3. Справедливы следующие формулы регуляризованных следов:

nez \ кфо / пеz \ k^o )

В третьей главе рассматриваются задачи дальнейшего развития метода подобных операторов и его применения к исследованию спектральных свойств несамосопряженного оператора Штурма-Лиувилля Sß с сингулярным комплекснозначным потенциалом и квазипериодическими граничными условиями.

В известной работы A.M. Савчука и A.A. Шкалнкова было дано корректное определение оператора Штурма-Лиувилля в пространстве [0, ш\ в случае сингулярного комплекснозначного потенциала v € W2_1[0, to], пред-ставимого в виде v = q', q G L2[0,w], q^ — 0 (производная понимается в смысле распределений):

Sey = l(y), l(y) = "(Z1)' - qiß - q2y, yeD(Le), в€ [0,1], (3)

D{Le) = {у € L2[0,oj} : y,yW e 0,w],Z(y) € L2[0,w],

J/H=e"VO),!/[11H=eilV1l(0)},

Здесь т/М = у' — qy — квазипропзводная. Если v = 0, то соответствующий оператор обозначается символом Отмстим, что так как функция q'2 G Li [О, w], то она представнма в виде q2 = р' + С, р 6 Wf [0, ш]. Ввиду того, что сдвиг потенциала на постоянную сдвигает спектр на ту же постоянную, положим С = 0 и ро = 0.

Рассмотрим оператор Lg, в € [0,1]:

ЬвУ = ~у" ~ wy -иу, w = 2(q -р),и = (р2 - 2pq), у € D(Le), (4)

О(Ьв) = {у€ \¥2[0,ш] : 2/М = е™ву(0),у'(ш) = е"%'(0)}, ш,«£ ^[О.ы].

Теорема 3.1.1. Оператор Бе, в 6 [0,1], вида (3) подобен оператору Ьв, 9 е [0,1], вида (4).

Оператор Ьд будем рассматривать в виде Ьд = А — В, где 1Р0 = А — свободный оператор Штурма-Лиувилля (с пулевым потенциалом). В силу подобия операторов Бд и Ьд, возможно применение метода подобных операторов и проведение спектрального анализа для оператора Ьд, определенного с помощью классических производных, с перенесением результатов на исходный оператор Яд, задаваемый квазидифференциальным выражением.

Пусть $ = Ъ+, если 0 = 0 или в = 1, и 1 = Ъ для остальных в € (0,1).

Теорема 3.4.1. Существует такое число ш € что спектр оператора представим в виде объединения

где <7(т) — конечное множество, а элементы множества ап имеют вид

Здесь щ — нулевой коэффициент Фурье функции и = р2 — а (а„) 6 I2, то есть суммируема с квадратом. Множества ап двухточечны для в = 0, в = 1 и одноточечны для остальных в € (0,1). В первом случае

Пусть тб2+ — некоторое число. Пусть Р(т), Рп, п € Л, |п| > т + 1, — спектральные проекторы Рисса, построенные но оператору и множествам сг^ = {А_, : < ш} и {Ап} соответственно, где Ап — собственное значение невозмущенного оператора Через Р(т), Рп, п Е 1, |п| > ш + 1, обозначим спектральные проекторы Рисса, построенные по операторам Бд и множествам ап, п 6 Л, \п\ > т +1, из теоремы 3.4.1 соответственно.

пел

\|п|>?п+1 /

г € {1,2}, п е п>т + 1, а во втором А^ = АП, п € Ъ, \п\ > т + 1.

Теорема 3.5.1. Существует число т 6 Z+ такое, что спектр оператора Sg, в € [0,1], представим в виде объединения взаимно непересекающихся множеств (5), и оператор Sg, в € [0,1], спектрален относительно разложения (5), причем он спектрален по Данфорду, если в € (0,1). Таким образом, ряд Р(т)Х + 2|n|>m+i Рпх безусловно сходится для любого вектора х £ L2[О,о>].

В следующих теоремах будут использоваться операторы ТВ, В, построенные по рассматриваемому возмущению В в ходе применения метода подобных операторов. Отметим, что оператор ТВ представим в виде ТВ = (ТВ)НЗ+{ГВ)00, где (rß)HS € 62(L2,W(R)), (ТВ)Х е EndL2,u(R), а оператор В - в виде В = В2АиМФ + Ао-0, А0 € p{A1'2), 5M,/a е 62(L2jW(R)). Последовательность ап(Х), X е ©2(Ь2,Ш(М)), будет определяться формулой (2).

Для любого подмножества Q с Z \ сг®п (не обязательно конечного) символом Р(О) обозначим спектральный проектор ^ Pi-, а через P(Q) — сиск-

~ fceí2

тральные проекторы Y1 Рь Для любого оператора X е 62(^2,и лю-

ke Q

бого подмножества Q. с Z через a(íl,X) обозначим величину maxan(X).

neu

Теорема 3.6.1. Существует такое число т е Z+, что для любого подмножества П С Z \ ег,°п имеют место оценки (безусловной равносходимости спектральных разложений операторов Se и S®)

||Р(П) - Р(П)||2 < С (а(П, (ГБ)Я5) + а(П, Д,^)) ,

где С — постоянная, не зависящая от ÍI.

Следствие 3.6.1. Имеет место равносходимость спектральных раз__п __п

ложений: lim ||Р(т) + Y, pk~ Р(т) ~ J2 pkh =

|fc|=m+l \k\—m+l

Теорема 3.6.3. Существует такое число т € Z+, что

Y, ^\\Рп~Рп\\1<0О,

пеЗ Рп \п\>т+1

где (Зп = an({TB)HS) + ап{В2А 1/2) 0, п оо.

Отметим, что в работах Б.Митягииа, П.Джакова получено лишь утверждение следствия 3.6.2.

Следствие 3.6.2. Существует тп G Z+, что ll-^n ~~ Рп\\2 < оо.

пеЗ \п\>т+1

Теорема 3.7.1. Оператор —Se является секториалъньш и генерирует аналитическую полугруппу операторов Т : R —> End Ь2[0,и]. При этом существует такое число т € Z+, что эта полугруппа подобна полугруппе Т вида f(m)(t) ®f(m'(i), t е К, действующей в Ь2[0,со] = П[т) @П{т), где W(m) = /mP(m), 7= Im(I — Р(7П))- Более того, имеет место следующее представление полугруппы T^n\t):

f№(t>.г = e~~Xktpk*> ^€(0,1);

keZ \k\>m+l

T{m\t)x= Y, e-«Xk-~ku°)l2*2+kCk-2*2)tPkx, <9 = 0,0 = 1, ieLj[0,w].

kez+

k>m+1

Здесь Afc — собственные значения оператора Sg, определяемые теоремой 3-4-1, 12х2 — единичная матрица размерности два, а С^2х2 — двумерная матрица, такая что i|Cfc,2x21|2 < оо.

Список публикаций по теме диссертации

[1] Щербаков А. О. Метод подобных операторов и регуляризованный след одномерного несамосопряженного оператора Дирака / А. О. Щербаков // Вестник ВГУ. Сер. физика-математика. - 2010. - № 1. - С. 180-189.

[2] Щербаков А. О. Метод подобных операторов в оценке длин зон неустойчивости несамосопряжснного оператора Дирака / А. О. Щербаков // Вестник факультета ПММ. — 2010. — № 8. — С. 294-307.

[3] Щербаков А. О. К спектральному анализу несамосопряжснного оператора Дирака с периодическими граничными условиями / А. О. Щербаков // Труды ВЗМШ С.Г. Крейна. - 2010. - С. 172-174.

[4] Щербаков А. О. Регуляризованный след одномерного нссамосопряжен-ного оператора Дирака / А. О.'Щербаков // Современные методы теории краевых задач, материалы ВВМШ "Понтрягипские чтения -XXI". - 2010. - С. 273-275.

[5] Щербаков А. О. К спектральному анализу оператора Дирака и оператора Шредиигера с сингулярным потенциалом в периодическом случае / А. О. Щербаков // КРОМШ-2010. Сборник тезисов. - 2010. - С. 55.

[6] Щербаков А. О. Метод подобных операторов в спектральном анализе несамосоиряжешюго оператора Дирака с негладким потенциалом / А. Г. Баскаков, А. В. Дербушев, А. О. Щербаков // Известия РАН, Серия математическая. — 2011. — Т. 75. — № 3. — С. 3-28.

[7] Щербаков А. О. К спектральному анализу оператора Шредингера с сингулярным потенциалом / А. О. Щербаков // КРОМШ-2011. Сбор-пик тезисов. — 2011. — С. 58.

[8] Щербаков А. О. К спектральному анализу оператора Шредингера с сингулярным потенциалом / А. О. Щербаков // КРОМШ-2012. Сборник тезисов. — 2012. — С. 76.

[9] Щербаков А. О. К спектральному анализу оператора Шредингера с сингулярным потенциалом / А. О. Щербаков // Совр. методы теории функций и смежные проблемы, мат-лы ВЗМШ. — 2013. — С. 293-294.

[10] Щербаков А. О. Спектральный анализ несамосопряженного оператора Штурма-Лиувилля с сингулярным потенциалом / А. О. Щербаков // Научные ведомости БелГУ. Математика, физика. — 2013. — № 11(154). - Выи. 31. - С. 102-108.

[И] Щербаков А. О. Оператор Штурма-Лиувилля с сингулярным потенциалом как генератор аналитической полугруппы / А. О. Щербаков // КММК -2013. Сборник тезисов. Том 4. - 2013. - С. 8-9.

[12] Shcherbakov А. О. То the spectral analysis of the Sclirodinger operator with a singular potential / A. O. Shcherbakov // Intern. Scientific Journal "Spectral and Evolution Problems". - 2012. - Vol. 22. - P. 234-243.

[13] Shcherbakov A. O. To the spectral analysis of the Sturm-Liouville operator with a singular potential / A. O. Shcherbakov // Intern. Scientific Journal "Spectral and Evolution Problems". - 2013. - Vol. 23. - P. 188-191.

Работы [1],[6],[10] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых

научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.

Подписано в печать 31.10.13. Формат 60«84 '/,6. Усл. печ. л. 0,93. Тираж 100 экз. Заказ 1085.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Щербаков, Александр Олегович, Воронеж

ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

04201450337 Щербаков Александр Олегович

МЕТОД ПОДОБНЫХ ОПЕРАТОРОВ В СПЕКТРАЛЬНОМ АНАЛИЗЕ ОПЕРАТОРОВ ДИРАКА И ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ

01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель

доктор физико-математических наук

профессор А. Г. Баскаков

Воронеж - 2013

Содержание

Обозначения................................. 4

Введение ................................... 6

Глава 1. Некоторые сведения из теории операторов. Метод подобных операторов...........................21

1.1. Основные понятия теории операторов...............21

1.2. Основные понятия и теоремы метода подобных операторов . . 32

Глава 2. Метод подобных операторов в спектральном анализе оператора Дирака............................38

2.1. Постановка задачи..........................39

2.2. Метод подобных операторов для абстрактных операторов, близких к оператору Дирака......................42

2.3. Применение абстрактной схемы метода подобных операторов

для оператора Дирака........................58

2.4. Асимптотика спектра оператора Дирака.............64

2.5. Спектральность оператора Дирака................69

2.6. Оценки спектральных разложений оператора Дирака......70

2.7. Формула регуляризованного следа оператора Дирака......75

2.8. Оценка длин зон неустойчивости оператора Дирака.......81

Глава 3. Метод подобных операторов в спектральном анализе оператора Штурма-Лиувилля с сингулярным потенциалом . 91

3.1. Постановка задачи..........................92

3.2. Метод подобных операторов для абстрактных операторов, близких к оператору Штурма-Лиувилля с сингулярным потенциалом 99

3.3. Применение абстрактной схемы метода подобных операторов

для оператора Штурма-Лиувилля с сингулярным потенциалом 116

3.4. Асимптотика спектра оператора Штурма-Лиувилля с сингу-

лярным потенциалом........................127

3.5. Спектральность оператора Штурма-Лиувилля с сингулярным потенциалом.............................128

3.6. Оценки спектральных разложений оператора Штурма-Лиувилля с сингулярным потенциалом..................130

3.7. Асимптотика аналитической полугруппы операторов, генерируемой оператором Штурма-Лиувилля с сингулярным потенциалом ................................134

Литература..................................136

Обозначения

М — множество вещественных чисел;

Е+ = [0, оо) — множество неотрицательных вещественных чисел;

С — множество комплексных чисел;

N — множество натуральных чисел;

Z — множество целых чисел;

= N и{0} — множество неотрицательных целых чисел;

X — комплексное банахово пространство;

^ — комплексное гильбертово пространство;

ЕийТ-С — банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в гильбертовом пространстве

|[ • Ц2 — норма Гильберта-Шмидта;

~ идеал ядерных операторов, действующих в гильбертовом пространстве

— банахово пространство операторов, подчиненных оператору А, с нормой || • ||А',

Я—допустимое пространство возмущений с нормой || • ||*;

1Р — банахово пространство последовательностей, суммируемых со степенью

//2[0,о»] = ¿2([0,о;],С) —гильбертово пространство измеримых на [0,о;] со значениями в С и суммируемых с квадратом нормы функций;

¿2 ([0,7г], С2) — гильбертово пространство измеримых на [0,7г] со значениями в С2 и суммируемых с квадратом нормы функций;

£2,0;(К, С) — гильбертово пространство периодических периода из функций, определенных на К. и суммируемых с квадратом нормы на [0, о;].

1/2)7Г(К, С2) — гильбертово пространство периодических периода 7г функций, определенных на Е и суммируемых с квадратом нормы на [0,7г].

И^О, си] — гильбертово пространство абсолютно непрерывных комплекс-нозначных функций;

([0,тг],С2) — пространство Соболева {у € Ь2 ([0,7г],С2): у абсолютно непрерывна и у' € 1/2 ([0, С2)}.

И/2~1|Р'а;] — гильбертово пространство распределений вида V = д' + С, д е Ь2[0,о;], до = О, v £

ст(А) — спектр линейного оператора А;

р(А) — резольвентное множество линейного оператора А;

Л(-, А) — резольвента линейного оператора А;

Кег А — ядро оператора А;

1т А — образ оператора А;

Р(<то, А) — проектор Рисса, построенный по оператору А и спектральному множеству а"о из сг(Л);

I — тождественный оператор.

Введение

В диссертации рассматриваются задачи дальнейшего развития метода подобных операторов и его применения к исследованию спектральных свойств некоторого класса дифференциальных операторов.

В настоящей диссертации исследуются спектральные свойства двух дифференциальных операторов:

(a) одномерного несамосопряженного оператора Дирака с негладким комплекснозначным потенциалом, задаваемого на промежутке [0,7г] периодическими и антипериодическими краевыми условиями;

(b) несамосонряженного оператора Штурма-Лиувилля с сингулярным комплекснозначным потенциалом, задаваемого на промежутке [0, и] квазипериодическими краевыми условиями.

Оба оператора могут быть представлены как разность свободного (невозмущенного) оператора и возмущения (оператора умножения на потенциал).

Метод подобных операторов можно использовать для исследования спектральных свойств широкого класса дифференциальных операторов. Приводимая в диссертации адаптация метода позволяет не только изучить спектральные свойства исследуемых операторов Дирака и Штурма-Лиувилля, но и открывает возможность его применения для других операторов, близких к рассматриваемым.

При попытке исследования операторов общими методами теории возмущений [27],[24], [1], [32], [66] возникает несколько затруднений, связанных с наличием следующих свойств: расстояние между собственными значениями невозмущенного оператора не уходит в бесконечность; возмущение не является ограниченным оператором. Метод подобных операторов позволяет успешно преодолеть трудности, возникающие при использовании классических методов.

Оператор Дирака важен в квантовой механике. Например, при исследовании нелинейного уравнения Шредингера с помощью метода обратной задачи рассеяния [58]. Уравнение Шредингера возникает при рассмотрении различных физических задач. К нему приводит, например, теория слабо неидеального бозе—газа при Т = О [61]. Это же уравнение описывает двумерную самофокусировку интенсивного светового пучка в нелинейной среде и другие эффекты [25], [65]. Изучение оператора Дирака проводилось рядом авторов. Случай непрерывного потенциала рассмотрен в известной монографии Б.М. Левитана, И.С. Саргсяна [31]. Особенно отметим статью П. Джакова, B.C. Митягина [35].

Оператор Штурма-Лиувилля с сингулярным потенциалом также возникает во многих физических задачах [30], [59]. Особенно востребованными в приложениях являются потенциалы, являющиеся ¿-функциями или функциями вида 1/х. Изучению оператора Штурма-Лиувилля с потенциалами ¿-типа посвящено множество работ, начиная с шестидесятых годов прошлого века (здесь можно выделить работу [15]) и до середины двух тысячных (см. [59] и находящиеся там ссылки). Большой вклад внесла статья A.A. Шкаликова и A.M. Савчука [45], в которой был разработан подход корректного определения оператора Штурма-Лиувилля с любым сингулярным потенциалом в терминах квазипроизводной. С тех пор стала активно развиваться спектральная теория операторов Штурма-Лиувилля с потенциалами-распределе-

ниями. В частности, заслуживают внимания исследования следующих авторов: A.A. Шкаликова, A.M. Савчука [45], [46], [47], [38], П. Джакова, Б. Митя-гина [70], [71], [73], P.O. Гринива, Я.В. Микитюка [62],[63], И.В. Садовничей [39], Т. Каппелера, С. Мора [64], В. Михайльца, В. Молибога [68],[67]. Таким образом, тема диссертации является вполне актуальной. Цель работы.

1. Дальнейшее развитие метода подобных операторов. В частности, построение абстрактной схемы применения метода подобных операторов для операторов, близких к рассматриваемым операторам.

2. Спектральный анализ несамосопряженного оператора Дирака с негладким комплекснозначным потенциалом, задаваемого на промежутке [0,7г] периодическими и антипериодическими краевыми условиями.

3. Спектральный анализ несамосопряженного оператора Штурма-Лиувил-ля с сингулярным комплекснозначным потенциалом, задаваемого на промежутке [0, üj] квазипериодическими краевыми условиями.

Методы исследования. Для исследования спектральных свойств рассматриваемых операторов используется метод подобных операторов [3]—[14], спектральная теория дифференциальных операторов, теория полугрупп.

Научная новизна. Основные результаты диссертационной работы являются новыми. Из них выделим следующие:

1. Дальнейшее развитие метода подобных операторов. В частности, разработаны абстрактные схемы применения метода подобных операторов для операторов, близких к рассматриваемому оператору Дирака и оператору Штурма-Лиубилля с сингулярным потенциалом.

2. Спектральный анализ несамосопряженного оператора Дирака с негладким комплекснозначным потенциалом, задаваемого на промежутке [0,7г]

периодическими и антипериодическими краевыми условиями:

• асимптотика спектра (оценки собственных значений);

• обобщенная спектральность, то есть безусловная сходимость ряда из спектральных проекторов возмущенного оператора на любом

• оценки отклонений спектральных проекторов возмущенного оператора от соответствующих спектральных проекторов невозмущенного (в частности, оценки безусловной равносходимости спектральных разложений);

• формула регуляризованного следа как в общем случае, так и при наложении условий гладкости на потенциал;

• конкретные оценки длин зон неустойчивости (спектральных лакун) оператора Дирака, определенного на Е, в зависимости от гладкости потенциала.

3. Спектральный анализ несамосопряженного оператора Штурма-Лиувил-ля с сингулярным комплекснозначным потенциалом, задаваемого на промежутке [0, си] квазипериодическими граничными условиями:

• асимптотика спектра (оценки собственных значений);

• обобщенная спектральность, то есть безусловная сходимость ряда из спектральных проекторов возмущенного оператора на любом векторе х € [0, бс»];

• секториальность оператора (взятого со знаком минус) и асимптотика аналитической полугруппы операторов, генератором которой он является.

Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер и может быть использована при дальнейшем развитии спектральной теории операторов и метода подобных операторов, а также применении метода подобных операторов для исследования спектральных свойств широкого круга дифференциальных операторов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Воронежских зимних математических школах С.Г. Крейна 2010 [50], 2013 [55], на весенней математической школе «Понтрягинские чтения XXI» 2010 [51], на Крымских осенних математических школах 2009, 2010 [52], 2011 [53], 2012 [54], на Крымской международной математической конференции 2013 [57], на математическом интернет-семинаре 18ЕМ-2011 (Германия, Блаубойрен), на семинарах А.Г. Баскакова, а также на научных сессиях ВГУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [14],[48] -[56], [76],[77]. Работы [14], [48], [56] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ. Из совместной публикации [14] в диссертацию включены результаты, принадлежащие лично автору.

Содержание диссертации

Прежде чем перейти к изложению основных результатов, отметим, что в диссертационной работе используется тройная нумерация теорем, лемм,

следствий, замечаний, определений и формул. Причем первая цифра означает номер главы, вторая - номер параграфа, а третья - порядковый номер теоремы, леммы и т.д. в данном параграфе.

Пусть И — гильбертово пространство. Пусть — идеал операторов

Гильберта-Шмидта, || • Цг — норма Гильберта-Шмидта, а Еп4— банахова алгебра линейных ограниченных операторов. Пространства ^([0,0;], С2) и £/2[0, и] = Ь2{[0, о;], С) будут отождествляться с пространствами С2) и

¿2,0,(К) — -^2,0/С) периодических периода и функций, определенных на М. и суммируемых с квадратом нормы на [0,о;]. При этом будут использоваться ряды Фурье = £ дпе2^ы, г € К, функции д € ¿гДК, С).

Во второй главе рассматриваются задачи дальнейшего развития метода подобных операторов и его применения к исследованию спектральных свойств одномерного несамосопряженного оператора Дирака с негладким ком-плекснозначным потенциалом Ььс с периодическими и антипериодическими краевыми условиями, задаваемого следующим образом (первый параграф второй главы):

О(Ььс) определяется одним из краевых условий 6с: периодические (6с = рег: 2/(0) = 2/(тг)); антипериодические (6с = ар: у{0) = —у(7г)), у е И^1 ([0,7г],С2).

Область определения

А именно, полагается D(LbC) = {у Е W\ ([0,7г], С2) : у Е Ъс). Если v = 0, то используется запись L®c. Оператор А = L®c будет играть роль невозмущенного оператора, а оператор В умножения на потенциал v — возмущения, т.е. Ььс = А — В. Особо отметим, что не делаются ограничения на v, гарантирующие самосопряженность возмущения, и какие-либо дополнительные ограничения (типа гладкости), кроме условия v Е L2 ([0,7г], С2).

Во втором параграфе второй главы строится абстрактная схема применения метода подобных операторов для операторов, близких к рассматриваемому оператору Дирака. Применение данной схемы для исследуемого оператора Дирака приводится в третьем параграфе. Главным результатом данных параграфов является основная теорема о подобии 2.2.2, в которой установлено, что каждый из рассматриваемых операторов Дирака Ььс, Ъс Е {per, ар}, подобен оператору, являющемуся прямой суммой операторов конечного ранга. Такой результат служит основой для последующего спектрального анализа оператора

В четвертом параграфе на основе теоремы 2.2.2 получена теорема 2.4.1, содержащая оценки собственных значений рассматриваемого оператора. Ло-кализационные оценки теоремы 2.4.1 являются новыми. Ранее даже не было установлено, что lim |Än — Ап| =0 для собственных значений An, An, п Е Z,

|п|—>оо

возмущенного и невозмущенного операторов Ььс и L®c соответственно (см. [69]). Оценки собственных значений важны, например, при оценках длин зон неустойчивости соответствующего оператора Дирака в С2) (см. [35]).

Пусть pj, qj, j Е Z, — коэффициенты Фурье функций P,Q £ L2;7r(®0-Рассмотрим последовательности cuj = P-jQj, — P-j+iQj-i, j £ Z.

Теорема 2.4.1. Существует число m E Z+ такое, что спектр опера-

тора ЪЪе представим в виде

a{Lbc) = <J(m) U U СТп), (1)

\|n|>m+l /

где <j{jn) — конечное множество, а множества оп, \п\ > т-j- 1, не более чем двухточечны и имеют вид

ап = {2п± +ß*}, |ra|>m + l, bc = per,

кф О

О'п = {2п - 1 ± у/Щп- + ßn}, |n|>m+l, Ъс = ар.

кф О

Последовательности (ß„) и (/?„), \п\ >т + 1, являются суммируемыми со степенью |. Кроме того, lim |Лга—Лп| = О, где Ап, Хп, п G Ъ, — собственные

\п\-±оо

значения операторов Lic и L®c соответственно.

В пятом параграфе доказана теорема 2.5.1 об обобщенной спектральности. Утверждения теоремы 2.5.1 получены в [35] при дополнительном условии на потенциал v.

Пусть т G Z+ — некоторое число. Пусть P(m), Рп, \п\ > т + 1, —спектральные проекторы Рисса, построенные по оператору LPbc и множествам ат = (Л? : \д\ — m}> {An}, \п\>т + 1, соответственно, где Лп — собственное значение невозмущенного оператора L\c. Через P(m), Рп, \п\ > т + 1, будем обозначать спектральные проекторы Рисса, построенные но оператору Ьъс и множествам сг(т), сгп, |n| > т + 1, из теоремы 2.4.1 соответственно.

Теорема 2.5.1. Существует число т е Z+ такое, что спектр оператора ЬЪс, Ъс € {per, ар}, представим в виде объединения взаимно непересекающихся множеств (1), и оператор Ььс, Ьс 6 {per, ар}, спектрален относительно разложения (1), а именно ряд Р(т)Х + £|n|>m+1 РпХ безусловно сходится для любого вектора х G Ь2 ([0,7г], С2).

В шестом параграфе получены теоремы 2.6.1-2.6.3 об оценках отклонений спектральных проекторов оператора Ььс от соответствующих спектральных проекторов оператора Ь®с. В частности, получены оценки безусловной равносходимости спектральных разложений для операторов Ьъс и Отметим, что �