Обратная задача для операторов Дирака с неинтегрируемыми особенностями внутри интервала тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

УДК 517.984

На правах рукописи

ГОРБУНОВ Олег Борисович

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОПЕРАТОРОВ ДИРАКА

С НЕИНТЕГРИРУЕМЫМИ ОСОБЕННОСТЯМИ ВНУТРИ ИНТЕРВАЛА

01.01.01 - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов - 2003

Работа выполнена на кафедре математической физики и вычислительной математики механико-математического факультета Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского.

Защита диссертации состоится 11 декабря 2003 г. в 16 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета К 212.243.02 при Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чернышевского по адресу: 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, 83.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Саратовского государственного университета.

/О

Автореферат разослан __" ноября 2003 г.

Научный руководитель -

доктор физико-математических

наук, профессор

Юрко Вячеслав Анатольевич

Официальные оппоненты -

доктор физико-математических

наук, профессор

Султанаев Яудат Талгатович

кандидат физико-математических наук, доцент

Тихомиров Сергей Алексеевич

Ведущая организация -

Московский государственный университет

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент

Корнев В.В.

18224

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

3

Актуальность темы. Исторические сведения. Обратная задача спектрального анализа заключается в определении операторов по некоторым их спектральным характеристикам. Подобные задачи возникают в различных областях естествознания, например, в квантовой механике при определении внутриатомных сил по известным уровням энергии, » радиотехнике при синтезе параметров неоднородных линий передач, в теории упругости при определении размеров поперечных сечений балки по заданным частотам ее собственных колебаний, в геофизике, в метеорологии и т.д. Обратные задачи играют важную роль и при интегрировании нелинейных уравнений математической физики. Интерес к обратным задачам постоянно растет благодаря появлению новых важных приложений в естественных науках, и сейчас теория обратных задач интенсивно развивается во всем мире.

Наиболее полно обратные спектральные задачи изучены для дифференциального оператора Штурма-Лиувилля с суммируемым потенциалом

-у" + я(х) У-

Основные результаты в этом направлении принадлежат В.А.Амбарцумяну, Г.Боргу, Н.Левансону, В.А.Марченко, И.М.Гельфанду, Б.М.Левитану и другим. Наиболее полных результатов в этих исследованиях удалось добиться с помощью метода операторов преобразования, который впервые применил В.А.Марченко, что позволило получить конструктивную процедуру решения обратной задачи и сформулировать необходимые и достаточные условия разрешимости.

Среди систем дифференциальных уравнений важную роль в спектральной теории и ее приложениях играет система Дирака

У2(х) + Чи(х)У1(х) + 1п{х)у2{х) - Аух(х),

(1)

-З/Ня) + Чг\{х)у1{х) + я22(х)у2(х) - Ху2{х).

Систему (1) удобно рассматривать в одном из следующих канонических видов

+ Р1(х)у1{х) = Ху1(х), у^х) + д1(х)уг{х) + д2{х)у2(х) = Ху\{х),

или .

-у[(х) +Рг{х)у2{х) = Ху2(х), -2/1(2:) +д2(х)у1{х) - <ь(х)у2(х) = Ху2(х).

Систему Дирака в первой канонической форме чаще всего используют при исследовании прямых спектральных задач, а во-второй - при решении обратных.

В случае суммируемых коэффициентов краевая задача для системы Дирака изучалась многими авторами. Следует отметить работы М.Г.Гасымова,

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ I

БИБЛИОТЕКА С. Петербург < ОЭ

Б.М.Левитана, в которой рассматривается система Дирака на полуоси, в качестве спектральных данных выбрана спектральная функция, доказана теорема единственности, получена процедура решения, описаны необходимые и достаточные условия на спектральную функцию; И.С.Саргсяна (тоже полуось, но система в другом каноническом виде), Т.Н. Арутюняна, в которой доказана теорема единственности восстановления системы Дирака по двум спектрам, Асано Н., Като Я., Кокса С., Нобеля Р. Эти работы также основываются на идее оператора преобразования для системы Дирака.

Системы большей размерности также изучены достаточно полно в работах Шабата A.B., Билса Р., Коифмана P.P., Асано Н., Като Я., Баева A.B., Зоу К., Маламуда М.М.

Система Дирака с регулярной особенностью на конце интервала изучалась в работе Гасымова М.Г. для системы вида

у'2{х) + Pi{x)yi{x) + = \yi{x),

х € (0, оо),

-J/ifa) + ~Vi(x) +Мх)У2(х) =

X

задачи подобного типа возникают при решении методом Фурье систем дифференциальных уравнений в частных производных в полярных координатах.

Краевые задачи с регулярными особенностями внутри интервала играют важную роль в спектральной теории и имеют много приложений в различных областях естествознания. Кроме того, широкий класс дифференциальных уравнений с точками поворота сводятся к уравнениям с особенностями внутри интервала.

Операторы Дирака с регулярными неинтегрируемыми особенностями внутри интервала еще не изучались. Наличие особенностей внутри существенно осложняет исследование, при этом классический метод операторов преобразования оказывается неудобным, поэтому будем использовать другой метод, связанный с развитием идей метода контурного интеграла.

Цель работы. Основными целями диссертации являются следующие.

• Исследовать обратную задачу спектрального анализа для операторов Дирака с неинтегрируемыми особенностями внутри интервала.

• Найти спектральные характеристики, достаточные для однозначного решения обратной задачи.

• Построить конструктивную процедуру решения обратной задачи.

• Получить необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи, дающие описание спектральных характеристик.

Методика исследований. Используются методы теории функций действительного и комплексного переменных, дифференциальных уравнений, алгебры, функционального анализа. Используются также методы спектральной теории дифференциальных операторов и теории спектральных обратных задач.

Научная новизна. Основными результатами диссертации являются следующие.

• Указаны спектральные характеристики, обладающие достаточной информативностью для восстановления оператора, и доказана теорема единственности решения обратной задачи.

• Выявлены асимптотические и аналитические свойства спектральных характеристик.

• Построено конструктивное решение обратной задачи.

• Получены необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи, дающие описание спектральных данных.

Все результаты диссертации являются новыми и приводятся с полными доказательствами.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты могут найти применение в математической физике, спектральной теории дифференциальных операторов, при исследовании различных прикладных задач естествознания и техники, а также могут быть использованы в учебном процессе.

Апробация работы. Основные результаты, изложенные в диссертации, прошли апробацию на семинаре по спектральной теории кафедры математической физики и вычислительной математики СГУ (руководитель - проф. В.А. Юрко), на международных конференциях "Дифференциальные уравнения и асимптотики" (Россия, Уфа, 2002), "Inverse Problems and Nonlinear Equations "(Украина, Харьков, 2002), на научной конференциях "Математика, механика и их приложения "механико-математического факультета СГУ (Сара-тов, 2000, 2001, 2002, 2003), на объединенном семинаре кафедр теории функций и приближений, дифференциальных уравнений и прикладной математики, математической физики и вычислительной математики и кафедры математического анализа СГУ (руководитель - проф. А.П. Хромов).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах, список которых приводится в конце автореферата.

Структура диссертации. Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы (37 наименований). Общий объем диссертации 105 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Основным объектом изучения данной работы является следующая краевая задача L — l(qu(x), Q(x), a, flj для системы Дирака в каноническом виде на конечном интервале с N неинтегрируемыми особенностями внутри:

£У(х) := BY'(x) + (Яш(х) + Q(x)^Y{x) = АУ(®), 0 < ж < тг, (2) (cosa, sina)Y(O) = 0, (eos/?, sin/?)Y(*r) = 0, (3)

где

Здесь 0 < 7i < 72 < ... < тлг < т, = (ур, Tp+i), 7fc+i/2 = 0.5(7*+! + 7i), к = 1, ЛГ - 1, 7i/2 = 7о = 0, 7лг+1/2 = 7ív+i = т, яЛх) ~ комплекснознач-ные функции, а, ¡3, % - комплексные числа. Пусть, для определенности, а, 0, щ € [—7г/2,7г/2], Re.fiк >0, (ik + 1/2 ^ N, также будем предполагать, что qj(x) - абсолютно непрерывна внутри к = 0, N, qj{x) € £(0,тг) и

ПI® ~ € я").

fc=i

При изучении системы Дирака (2) существенную роль играет специальная система решений, которая позволяет склеить решения в особой точке, при этом наибольшие трудности вызывает построение и вычисление асимптотики фундаментальных систем около каждой особенности, дальнейшая их склейка между собой больших трудностей не вызывает. В связи с этим в первой главе исследуется система Дирака вида (2) с одной неинтегрируемой особенностью вида

BY'(x)+(Qo{x)+Q{x)}Y(x)=\Y{x), -оо < а; <+оо, (4)

где Qo{x) = ^ ^ J J ^ , Q(x) = ^ ) , здесь <ц(х) -комплекс- '

нозначные абсолютно непрерывные функции, <fj(x) € £(—оо, +оо), а также пусть I \x\~2Re*">\qj(x)\dx + I \q3{x)\dx < оо. Здесь, не нарушая общности, особенность помещена в точку нуль.

Решения (4) строятся методом возмущений из решений системы

BY'(x) + Q0{x)Y(x) = AY(x), -оо <х< +оо.

(5)

Для получения асимптотики специальной фундаментальной системы решений изучаются фундаментальная система экспоненциального типа, а затем множители Стокса, то есть коэффициенты переразложения. При вычислении множителей Стокса для решений системы (5), возникают существенные трудности, преодолеть которые позволяет модельная система с А = 1, но комплексным ж

ВУ'(х) + <Зо(®)У(*) = У (ж). (6)

Система (6) имеет решения С(х) = (с^я), С2(ж)^, С,(х) = х^'С^х), У = 1, 2,

а(х) = (ХС1-2т+1 С2'2т V с,2т = (-1)-—^-,

т=0 V 2^11(2^ + 1 + 2*)

«=о

С],2т+1 = с^2т/(2цоз + 1 + 2тп), Цо, = (-1)'>о, с10с20 = 1. Здесь и далее фиксируем следующую ветвь степенной функции ж** — ехр |ж| + гал^ж)^, ал^ж € (—тс,тс]. Фундаментальная система е(ж) экспоненциального типа для (б) является решением следующей системы интегральных уравнений

Ф) = ¿<?о(*))~>>(х) ^7 + - , (7)

где е^>(х) = ^ ^ ~ решение ВУ = У, а контур интегрирования

выбирается так, что бы не возрастали соответствующие экспоненты, например, = * + £>0}. Пусть ф) = е~я>*е5(х), г]0> = е'^хе{^(х) = (Щ, 1)т, 3 = 1,2, где = г", Л2 = —»".

Теорема 1.1.1. Уравнения (7) имеют решения, для которых справедливо:

1) (аг) - 210>| < т-т, при |ж| > х0, ^х € [-п + 50, тг],

\х\

,<о>. - с

2) |г2(х) - < щ, при |ж| > ж0, а^ж € [—тг, тг -

где константы С зависят только от Жо, ¿о, !М>-

Пусть С(х) = е(ж)/?<0>, где /?<°> - матрица множителей Стокса размерности 2x2, тогда

Из решений системы (6) легко строятся решения системы (5). Лемма 1.1.6. Если У(ж) — решение (6), то У(Ах) — решение (5).

Согласно этой лемме е(Аж) и А) = А"~Д0,'С^(Аж) — решения (5).

Сформулируем наследуемые свойства этих решений.

Теорема 1.1.3.

1) С^{х, А) — фундаментальная матрица системы (5), с^ С^(х, А) = 1, С^(х, А) — целая по А и |С^(жА)| < С для любого (Аж) из компакта.

2) е(х, А) — фундаментальная матрица системы (5), скЛ е(х, А) = 2г,

£

|е~ЛзАге,(Аа:) — < ггА-, при |Аж| > х0, axg(Ax) € [—тг + <И01 к] для j = 1, |Аж|

а^(Аж) € [—7Г, 7Г — ¿о] для 7 = 2, где Со зависит только от хо, ц, ¿о-

3) Пусть С^(х, А) = е(®,А)/3<°>(А), тогда /3$(А) = Кз = 1,2.

Выражение для множителей Стокса решений системы (5), полученное посредством модельной системы, вывести без нее достаточно сложно.

А) = ^¿^(ат, А), (ж, А)^ - специальную фундаментальную систему решений для (4) строим, как решение следующей системы интегральных уравнений

А) = А) + У С<0)(я, А) (с<0>(*, А)) В Я А)«Й, ¿ = 1,2,

о

а Е(х, X) = ^1(1, А), Ез(х, А)^ - фундаментальная система экспоненциального типа для .ГгоА > 0, х > ад := 2|д0|/|А( удовлетворяет

ЗД.А) = е^а.А) - |в5"1(®,А)д(х)Я1(®,А)+

(ал X

0 0А -¿/(2) I ХЩ1, А) Л + |/(1>е-1(вА, А)<?0~ ^л, А)(?(аА)^1(аА, А) ) ,

1 '

А) = е2(х, А) - -«¿"Ч®. Л)<2(х)Е2(х, А)+

Сад *

[ е\)В(№)Ез(Ь А)Л + |у е"1^, А)£(4, А) «й+

О ал

+^е-1(0А, А)0о'(«А, А)д(аА)Я2(аА, А)^,

где /<!> = ^ * о ) ' /<2> ^ ( 0 1 ) ' = ~ А/ И

Ц«, а) = (одч«, А) (д(«)ад)+д(«)в<г„(«, А)+д0(«, А)В<2(*)) .

В работе показано, что эти системы имеют решение, и получена асимптотику С

ка этих решений при 1т\ > 0, а: > од ]е~я'х*Е^()\х) — | < +

где г/о — тш{1,2Ледо}. Далее выявлено асимптотическое поведение соответствующих множителей Стокса, если (ж, Л) = Е(х, А)/?(А), то А) =

А-^^ + оаагч), ^- = 1,2.

Затем, используя свойство симметрии, результаты переносятся на все А и х. Окончательная асимптотика фундаментальной системы (ж, А) имеет вид

Теорема 1.2.4. Для 5<°>(а;,А) = ^^(х, А), А)^ при |жА| > 1 шие-ет место асимптотика:

5]0>(ж, А) = р^Х-^е^тт ^-¿Ах | » | .

<о>

где I

-и

а^(хА) £ (-тг/2,тг/2],

асе(хЛ) € (-я-/2,1г/2], т~

{1, ж < О, -1, х > О, О, в ост.

агёА е (тг/2,5г], > 0, а^А € (—эг, —яг/2], . случаях,

мерно по х из компакта.

Таким образом, около каждой особенности 7ь системы (2) существует фундаментальная система со степенной особенностью А). Во второй главе строится специальная фундаментальная система А) ^(ж, А)^ для (2) следующим образом:

Я" (я, А) := Щ А)) (>>(0, А))~\ (8)

\;=1

при х € и>к-1 и Шк, к — 1, N. Для этих решений справедлива асимптотика Лемма 2.1.1. При х 6 и |А(а: — 7*)| > 1

= ^ ( е'Хх

' г -1 ' + е~'Хх г 1 "

1 г (к) -1 г

+

+ ¿81x1

3=1

—г I I г

где | = ^¿7+С>^|А(:г-7*)| > и = тт{1, 2Нерь... ^Леду},

. Г 1, а^АбЕииЩ, „ Г.| ./ 5к-3 5к + 3л\ ,

Переходим к решению обратной задачи. С этой целью вводим в рассмотрение следующие функции

<р(х,Х) = (fPi(®,A), Уа(*.А)) = ¡Г(х, A)V(o),

v(a;,A), ф(х, А) образуют фундаментальные матрицы системы (2), и кро- г ме того <f2 (х, А) всегда удовлетворяет первому краевому условию в точке 0,

фз(х, А) - второму в точке я-. Матричную функцию Д(А) назовем матрицей (

характеристических функций. *

Лемма 2.1.2. Нули функции Ai2(A) совпадают с собственными значениями задачи (2)(3). Если Ао - собственное значение, то <р(х, Ао) и ф(х, Ао) -соответствующие собственные функции и ф(х,Хо) = Ь0(р(х, Ао).

Из этой леммы в частности следует, что задача (2)(3) имеет не более, чем счетное множество собственных значений с предельной точкой на бесконечно- 1

сти, поскольку Su(x,А), а с ней и Дгг(А) —целые по А. 1

Отметим также, что функции Д3*(А), j,k = 1,2, будут характеристическими функциями краевых задач Ljk для системы (2), с краевыми условиями ! V?_k(a)Y(0)=V?(ß)Y(*) = 0.

Введем в рассмотрение следующие функции

/ \ 1 1

Ф(я,А) =^(a;,A),#2(a;,A)J, где Ф^х.А) = —^~^ф2(х,Х),Ф2(х,Х) = <р2(х,Х). |

i

Поскольку det Ф(х, А) = 1, значит Ф(х, А) - фундаментальная матрица 1

системы (2). Функции $i(a;, А),Фг(а:, А) называются решениями Вейля краевой -1

задачи (2)(3).

Функцией Вейля задачи (2)(3) называется ЭЯ(А) = V5r(a)$i(0, А). ',

Функция Вейля будет мероморфной с полюсами в собственных значениях "

задачи (2)(3), обозначим а* - Res 9Л(А) - вычет функции Вейля в собственном

А=А*

значении.

Используя лемму 2.1.1 и определение, для характеристической функции задачи L можно получить следующую асимптотику

1 1 N Д12(А) = «д - +

z 1 * J

и

где ^(ау)^™^ = (а^ + О(|А[ к . ^ ПРИ |А| —> оо. Следовательно, собственные значения задачи Ь близки к нулям квазиполинома. Также из этой асимптотики можно извлечь некоторые свойство спектра задачи Ь.

Свойства характеристической функции и спектра краевой задачи Ь

Обозначим А*, к € собственные значения задачи Ь .

1. Д12(А) =

2. Все собственные значения лежат в полосе |1тА| < Л.

3. Пусть ЛГ„ - количество собственных значений в прямоугольнике |А|ДеА 6 [а,а + 1), |/гоА| < л|, тогда последовательность равномерно ограничена.

4. Пусть С, = {А : |А - Ац| > 6}, тогда |Ди(А)| > Сге^/тАI.

5. Для достаточно малых <$ существует последовательность Я„ —} оо такая, что Г„= |А : |А| = целиком лежат внутри

6. Пусть | А^ | - нули функции

з=1

тогда

А, = ЛГ + 0(|АГГ).

В дальнейшем наряду с задачей Ь б^дет рассматриваться задача Ь того же вида, но с другим потенциалом С}(х), <Зш(ж) и другими краевыми условиями с а, ¡3, также считается, что если некоторый символ и обозначает объект задачи Ь, то символ v - аналогичный объект задачи Ь.

Для простоты изложения далее рассматриваются задачи Ь только с простым спектром, то есть задачи, у которых характеристическая функция имеет только простые нули.

Постановка обратной задачи. По спектральным данным восстановить задачу Ь, то есть <3(а;), С}и(х), а, /?.

Далее формулируется теорема единственности решения обратной задачи по функции Вейля Ш(Х). Следствием этой теоремы будет единственность решения поставленной обратной задачи по дискретным данным.

Теорема 2.2.1. Если Ш(Х) = ЯЯ(А), то а - а = /3 - Д = щ - Щ, Цк = Мь 1к = 7ь К = и 0{х) = ${х)У2(а - а).

I

!

Следствие.

{"1 Г 1 +00 ( 1 +00 Г— 1 +оо __

ак > = 1 а* г > 1 А* > = { Аа: ? , а — а, то Ь = Ь. ) к=—оо > *=-оо > к=-оо у. ) к=—оо

Теорема 2.2.1 утверждает, что совпадение функций Вейля двух задач влечет совпадение задач с точностью до замены переменных У (ж) = У (5 — а)У(д;). Верно и обратное утверждение.

Как уже отмечалось, для решения рассматриваемой обратной задачи метод операторов преобразования не удобен из-за сложностей с построением оператора преобразования в данном случае. Поэтому применяется другой метод, так называемый метод спектральных отображений, связанный с развитием идей метода контурного интеграла. Применение этого метода дает возможность связать объекты задач Ь и Ь соотношением, которое впоследствии можно рассматривать как основное уравнение обратной задачи. Основное уравнение имеет вид

+оо

= *!?>(*) - £ (Д.дсоМФ^*) + Дч.иф*^)), (9)

к=—оо

где

^(х) = Хп(<Рт2,по(х) ~ <Рт2,щ(х))> Хг, = { ^ ^ ^ Ф^О*) = И,

& = |А* - Ад;I + \а^1ак - 1|, <р2,к](х) = <р2{х, А]у), 3 = 1,2, Ам - - Хк, Ан = А^, аы = о-к, ак1 = ак, = <р2гП{{х)В1р2<кз{х)а^/(Хы - А*.,-)

Нп0гк0{х) Нп0,к1(х) \ _ / Хп -Хп А [ Рп0,к0(х) РпОм(х) ) ( & 1 \ Нп1Мх) Нп1,к1(х) ) V 0 1 ) \ РП1,ко(х) Р**!(«) )\ 0 -1 ) ' При этом задачи Ь и Ь выбраны так, что — Яы{х) и

+00

л = Е N6 <0°' & = 1А* - + I2*1«» - (и)

к=—оо

При наличии задач Ь и Ь однозначная разрешимость основного уравнения в пространстве ш доказана в третьей главе. Опираясь на основное уравнение можно получить процедуру решения обратной задачи.

Теорема 2.4.1. Имеют место соотношения

С}(х) = <Э(з:) + Вгф) - х(х)В, (12)

где

+оо

Эф0= £ (а^,ко(Х)<Р2,ко(Х) -ак1<Р2,к1(Х)<Р2м(Х))> (13)

00

ряд сходится равномерно по х € := : х 6 (0,7г), \х — > к =

Отсюда вытекает следующая процедура решения обратной задами :

1) По заданным спектральным данным {л*, аЛ строим и Н(х).

у. ) к—-ос

2) Решая основное уравнение (10), находим Ф<т)(а;).

3) Восстанавливаем Q(x) по формуле (12), а = й = 0, ß = ß.

Третья глава посвящена наиболее трудной задаче поиску необходимых и достаточных условий разрешимости обратной задачи по заданным спектральным данным. Также в этой главе доказывается разрешимость основного уравнения обратной задачи (10).

Теорема 3.1.2. Оператор Е — Н(х), порождаемый правой частью (10), действующий из ш в т, является линейным ограниченным оператором, имеющим ограниченный обратный при каждом фиксированном х ф "¡к, к =

мг.

Сформулируем теорему о необходимых и достаточных условиях разрешимости обратной задачи.

Теорема 3.1.1 Для того чтобы числа {а*, ак\ , а* ф 0, Хк Ф А„,

V ' к~—оо

(к ф п) были спектральными данными задачи L, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия

1) (асимптотика) : существует задача L, что имеет место (11);

2) (условие разрешимости) : при каждом фиксированном хф^и k = 1,N линейный ограниченный оператор Е — Н(х), порождаемый формулой (10), имеет ограниченный обратный;

3) |Вэе(а;) — ге(х)В \х — lk\~2Reßk € Lfak+i/i), где ге(х) строится по формуле (13).

При выполнении этих условий Q{x) строится по формуле (12) и а = 5 = 0, ß = ß.

ПЕЧАТНЫЕ РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Горбунов О.Б. О системе Дирака с неинтегрируемой особенностью внут- | ри интервала // Математика. Механика, вып. 2, изд-во Саратовского ун-та, 1 Саратов, 2000, 21-25.

2. Горбунов О.Б. Спектральные свойства системы Дирака с неинтегрируемой особенностью внутри интервала // Математика. Механика, вып. 3, изд-во Саратовского ун-та, Саратов, 2001, 34-37.

3. Gorbunov О.В. About inverse problem for Dirac operators with non-integrable singularities inside the interval // International Conference "Inverse Problems and Nonlinear Equations",(August 12-16, 2002), Kharkiv, FTINT, 2002, pp. 31-33.

4. Горбунов О.Б. Об обратной задаче для системы Дирака с неинтегрируемой особенностью внутри интервала // Математика. Механика, вып. 4, изд-во Саратовского ун-та, Саратов, 2002, 37-39.

5. Горбунов О.Б. Необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи для системы Дирака с неинтегрируемой особенностью внутри ; интервала // Математика. Механика, вып. 5, изд-во Саратовского ун-та, Саратов, 2003, 22-25.

6. Горбунов О.Б. Необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи для операторов Дирака с неинтегрируемыми особенностями внутри интервала // Саратов. Гос. ун-т. - Саратов, 2003. - 57с. - Библиогр.: 15 назв. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ 16.09.03 №1690-В2003.

Подписано в печать 03.11.2003 Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура Times. Печать RISO. Объем 1,0 печ.л. Тираж 100 экз. Заказ № 332.

Отпечатано с готового оригинал-макета Центр полиграфических и копировальных услуг Предприниматель Серман Ю.Б. Свидетельство №3117 410600, Саратов, ул. Московская, д. 152, офис 19

1&22.4 11 » 1 8224

Введение

1 Асимптотические и аналитические свойства решений системы Дирака с неитегрируемой особенностью

1.1 Модельная система Дирака с особенностью внутри интервала.

1.2 Возмущенная система Дирака с особенностью внутри интервала

2 Решение обратной задачи

2.1 Свойства спектра.

2.2 Теорема единственности

2.3 Основное уравнение обратной задачи.

2.4 Процедура решения обратной задачи.

3 Необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи

3.1 Разрешимость основного уравнения.

3.2 Доказательство критерия разрешимости обратной задачи.

Обратная задача спектрального анализа заключается в определении операторов по некоторым их спектральным характеристикам. Подобные задачи возникают в различных областях естествознания, например, в квантовой механике при определении внутриатомных сил по известным уровням энергии, в радиотехнике при синтезе параметров неоднородных линий передач, в теории упругости при определении размеров поперечных сечений балки по заданным частотам ее собственных колебаний, в геофизике, в метеорологии и т.д. Обратные задачи играют важную роль и при интегрировании нелинейных уравнений математической физики. Интерес к обратным задачам постоянно растет благодаря появлению новых важных приложений в естественных науках, и сейчас теория обратных задач интенсивно развивается во всем мире.

Наиболее полно обратные спектральные задачи изучены для дифференциального оператора Штурма-Лиувилля с суммируемым потенциалом

-у" + я(х)у (0.1)

Основные результаты направлении принадлежат В.А.Амбарцумяну [1], Г.Бор-гу [2], Н.Левинсону [3], В.А.Марченко [4], [5], И.М.Гельфанду, Б.М.Левитану [б]. В этих исследованиях существенную роль сыграл метод операторов преобразования, который впервые применил В.А.Марченко [4], что позволило помимо теорем единственности получить конструктивную процедуру решения обратной задачи.

Среди систем дифференциальных уравнений важную роль в спектральной теории и ее приложениях играет система Дирака с интегрируемыми коэффициентами

У2(х) + Яи(я)уг(х) + д12(я)1/2(а0 = Ау1(х),

0.2)

-у[(х) + д21{х)ух{х) + Чта{х)у2(х) = Ху2(х), или в эквивалентной форме 1 z[{x) +pu(x)zi(x) + Pn(x)z2(x) — i\zi(x),

0.3) z'2(x) +P2l(x)zi(x) +P22(x)z2{x) = -iXzi(x).

Традиционно систему Дирака в виде (0.2) рассматривают для краевых задач на отрезке и полуоси, а (0.3) используют для задач рассеяния на всей оси. Отметим также, что систему (0.3) часто называют системой Захарова-Шабата (ZS)[7] или AKNS (M.Ablowitz, D.Kaup, A.Newell, H.Segur)[8],

Систему (0.2) удобно рассматривать в одном из следующих канонических видов у'2{х) +pi(x)yi(x) = Xyi(x), у2{х) + qi(x)yi(x) + q2(x)y2{x) = Xyi(x), или

-y[{x) + p2(x)ij2(x) = Лy2(x), -y{(x) + q2(x)yi(x) - qi(x)y2(x) = Xy2(x).

Систему Дирака в первой канонической форме чаще всего используют при исследовании прямых спектральных задач, а во-второй - при решении обратных.

Этот объект также изучался многими авторами. Следует отметить работы М.Г.Гасымова, Б.М.Левитана [9][10], в которой рассматривается система Дирака на полуоси, в качестве спектральных данных выбрана спектральная функция, доказана теорема единственности, получена процедура решения, описаны необходимые и достаточные условия на спектральную функцию; И.С.Саргсяна [11] (тоже полуось, но система в другом каноническом виде), Т.Н.Арутюняна [12], в которой доказана теорема единственности восстановления системы Дирака по двум спектрам, Асано Н., Като Я.[13], Кокса С., Нобеля Р.[14]. Эти работы также основываются на идее оператора преобразования для системы Дирака.

Системы большей размерности также изучены достаточно полно в работах Шабата А.Б.[15], Билса Р., Коифмана Р.Р.[16], Асано Н., Като Я.[17|, Баева A.B.[18], Зоу К.[19], Маламуда М.М.[20][21].

Много полезной информации по обратным задачам, методам их решения и приложениям можно найти в монографиях М.А.Наймарка [22], В.А.Марченко [23], Б.М.Левитана, И.С.Саргсяна [24][25], В.А.Юрко [26].

Задачи с особенностями на границе области или внутри имеют множество приложений в различных областях естествознания. В частности, широкий класс дифференциальных уравнений с точками поворота сводятся к уравнениям с особенностями.

Система Дирака с особенностью на конце интервала изучалась в работе Га-сымова М.Г. [10] для системы вида

У2И +Р1(х)уЛх) + -У2(х) = \yiix), сс а х & (0, (¿о), (0.4)

У\(х) + - У1(х) + рч{х)у2(х) = Ху2(х), х задачи подобного типа возникают при решении методом Фурье систем дифференциальных уравнений в частных производных в полярных координатах.

Хотя задачи с особенностями внутри для системы Дирака еще не изучались, для оператора Штурма-Лиувилля с особенностями внутри интервала обратная задача изучена в работах В.А.Юрко [28] [29], в которых доказана теорема единственности решения обратной задачи, приводится процедура решения и доказаны необходимые и достаточные условия разрешимости.

Основным объектом изучения данной работы является следующая краевая задача Ь = ь{с^ш{х), (¡}(х), а, ¡3^ для системы Дирака в каноническом виде на конечном интервале с N неинтегрируемыми особенностями внутри: еУ(х) := ВУ'[х) + (рш{х) + д(ж))у(х) - АУ(х), 0 < ж < 7г, (0.5) соэ а, зта)У(О) - 0, (соэ/З, зт/3)У(тг) = 0, (0.6) где

•>-(£$

Здесь 0 < ъ < 72 < . < 7уу < тг, шр = (чр, 7^+1), 7/с+1/2 = 0.5(7^+, +

7*), к = 1, N-1, 71/2 = 7о = 0, 7ДГ+1/2 = 7/У+1 = тг, ^(х) - комплексно-значные функции, ¡1к, а, /?, щ - комплексные числа. Пусть, для определенности, а, Р, щ £ [-7г/2,7г/2], Ые/^ >0, ¡Хк + 1/2 ^ М, также будем предполагать, что д^(х) - абсолютно непрерывна внутри к — 0, М, £ Д0,7г) и v к=1

Если (^^(х), д(х), а, /3 удовлетворяют заданным выше условиям, то будем говорить, что £ € УУ.

Цель данной работы решение обратной задачи для оператора Дирака (0.5)-(0.6). Отметим, что наличие особенности внутри интервала существенно усложняет исследования, в частности метод операторов преобразования оказывается неудобным, в основе данной работы лежит метод спектральных отображений, являющийся развитием метода контурного интеграла, предложенного Н.Левинсоном [3].

Работа состоит из трех глав. При изучении системы Дирака (0.5) существенную роль играет специальная система решений, которая позволяет склеить решения в особой точке, при этом наибольшие трудности вызывает построение фундаментальных систем около каждой особенности, дальнейшая их склейка между собой больших трудностей не вызывает. В связи с этим в первой главе исследуется система Дирака вида (0.5) с одной неинтегрируемой особенностью. Для этой системы построена фундаментальная система решений со степенной особенностью в особой точке и получена ее асимптотика. Основными результатами этой главы являются Теоремы 1.1.3, 1.2.3, 1.2.4.

Во второй главе, решается обратная задача для краевой задачи Ь. Одним из основных результатов второй главы является доказательство теоремы единственности восстановления задачи Ь. Получен также алгоритм решения обратной задачи по дискретным спектральным данным, которые являются обобщением известных данных для классической системы Дирака без особенности. Центральное место в этой конструктивной процедуре играет так называемое основное уравнение обратной задачи, которое является линейным в соответствующем банаховом пространстве. Таким образом, нелинейная обратная задача сводится к решению линейного уравнения.

Третья глава посвящена наиболее трудному вопросу : получению необходимых и достаточных условиях разрешимости обратной задачи для заданного набора спектральных данных. В пункте 3.1 доказывается разрешимость основного уравнения решения обратной задачи, а в пункте 3.2 доказывается достаточность заявленных условий. Основной результат третьей главы теорема 3.1.1.

Результаты, представленные в диссертации, опубликованы в работах [32]-[37].

Автор выражает искреннюю благодарность доктору физико-математических наук, профессору В.А.Юрко за постановку задачи и руководство ходом исследования.

1. Ambarzumian V.A. Ueber eine Frage der Eigenwerttheorie // Zs.f.Phys. 53 (1929), 690-695.

2. Borg G. Eine Umkehrung der Sturm-Liouvilleschen Eigenwertauf gäbe // Acta Math. 78 (1946), 1-96.

3. Levinson N. The inverse Sturm-Liouville problem // Math. Tidsskr. 13 (1949),25.30.

4. Марченко В.А. Некоторые вопросы теории дифференциального оператора второго порядка // ДАН СССР, 72 (1950) №3, 457-460.

5. Марченко В.А. Некоторые вопросы теории линейных дифференциальных операторов второго порядка // Труды Моск. матем. о-ва, 1 (1952), 327-420.

6. Гельфанд И.М., Левитан Б.М. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции // Известия АН СССР, сер. матем, 15 (1951), 309-360.

7. Шабат A.B., Захаров В.Е. Схема интегрирования нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи 1,11 // Функц. Анализ и При-лож. 8 (1974) №3, 43-53; 13 (1979) №3, 13-22.

8. Ablowitz М., Каир D., Newell A., Segur Н. The ISc transform-Fourier analysis for nonlinear problems // Studies in Appl. Math. 53 (1974), no.4, 249-315.

9. Гасымов М.Г., Левитан Б.М. Асимптотическое поведение спектральной матрицы одномерной системы Дирака // ДАН СССР 166(1966), 1058-1061.

10. Гасымов М.Г., Левитан Б.М. Обратная задача для системы Дирака // ДАН СССР 167 (1966), 967-970.

11. Саргсян И.С. Теорема единственности решения обратной задачи для одномерной системы Дирака. // Некоторые краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений , 3-13. Унив. Дружбы Народов, Москва, 1970.

12. Арутюнян Т.М. Обратная задача для канонической системы Дирака с дискретным спектром // Изв. Акад. Наук Арм. СССР, Матем. 20 (1985), №4, 245268.

13. Asano N., Kato Y. Nonselfadjoint Zakharov-Shabat operator with a potential of the finite asymptotic values, I, II // J.Math.Phys. 22 (1981), no.12, 2780-2793; J.Math.Phys. 25 (1984), no.3, 570-588.

14. Cox, Steven; Knobel, Roger. An inverse spectral problem for a non normal first order differential operator // Integral Equations Operator Theory 25 (1996), no. 2, 147-162.

15. Шабат А.Б. Обратная задача рассеяния // Дифф. Уравн. 15 (1979) №10, 1824-1834

16. Beals R., Coifman R.R. Scattering and ISc for first order systems // Comm. Pure Appl. Math. 37 (1984), 39-90.

17. Asano N.; Kato Y. Fredholm determinant solution for the ISc transform of the N*N Zakharov-Shabat equation // Progr. Theoret. Phys. 83 (1990), no. 6, 1090-1097.

18. Баев А.В. Решение обратных задач диссипативной теории рассеяния // ДАН СССР 315 (1990) №5, 1103-1104.

19. Zhou, Xin. Inverse scattering transform for system with rational spectral dependence // J. Differential Equations 115 (1995), no. 2, 277-303.

20. Маламуд M.M., Связь матричного потенциала системы Дирака и ее Вронскиана // ДАН СССР 344 (1995) №5, 601-604.

21. Маламуд М.М. О теоремах борговского типа для систем первого порядка на ограниченном интервале // Функц. Анализ и Приложения 33 (1999) №1, 75-80.

22. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы.-М.: Наука, 1969.

23. Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения.-Киев.: Наукова думка, 1977.

24. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Введение в спектральную теорию (самосопряженные обыкновенные дифференциальные операторы).-М.: Наука, 1970.

25. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака.-М.: Наука, 1988.

26. Юрко В.А. Обратные спектральные задачи и их приложения, Саратов, изд-во Саратовского пединститута, 2001, 499с.

27. Sakhnovich L.A. Spectral theory of canonical differential systems. Method of operator identities. Translated from the Russian. Operator Theory: Advances and Appl, 107. Birkhauser Verlag, Basel, 1999.

28. Юрко В.А. О восстановлении дифференциальных операторов Штурма-Лиувилля с особенностями внутри интервала // Матем. зам. Том 64 вып. 1, 1998.

29. Yurko V.A. Integral transforms connected with differential operators having singularities inside the interval // Integral Transforms and Special Functions, 5, no. 3-4(1997) 309-322.

30. Лаврентьев M.A., Шаббат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного.-М.: Наука, 1987.

31. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир,1967.

32. Горбунов О.Б. О системе Дирака с неинтегрируемой особенностью внутри интервала // Математика.Механика, вып. 2, изд-во Саратовского ун-та, Саратов, 2000, 21-25.

33. Горбунов О.Б. Спектральные свойства системы Дирака с неинтегрируемой особенностью внутри интервала // Математика. Механика, вып. 3, изд-во Саратовского ун-та, Саратов, 2001, 34-37.

34. Gorbunov О.В. About inverse problem for Dirac operators with non-integrable singularities inside the interval // International Conference "Inverse Problems and Nonlinear Equations",(August 12-16, 2002), Kharkiv, FTINT, 2002, pp. 31-33.

35. Горбунов О.Б. Об обратной задаче для системы Дирака с неинтегрируемой особенностью внутри интервала // Математика. Механика, вып. 4, изд-во Саратовского ун-та, Саратов, 2002, 37-39.

36. Горбунов О.Б. Необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи для системы Дирака с неинтегрируемой особенностью внутри интервала // Математика. Механика, вып. 5, изд-во Саратовского ун-та, Саратов, 2003, 22-25.