Обратная спектральная задача для дифференциальных операторов с неинтегрируемыми особенностями внутри интервала тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

м

I

Федосеев Алексей Евгеньевич

Обратная спектральная задача для дифференциальных операторов с неинтегрируемыми особенностями внутри интервала

Специальность 01.01.01 — Вещественный, комплексный и функциональный анализ

5 ДЕК 2013

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Саратов — 2013

005541650

005541650

Работа выполнена на кафедре математической физики и вычислительной математики Саратовского государственного университета имени Н.Г. Чернышевского

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Юрко Вячеслав Анатольевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Султанаев Яудат Талгатович кандидат физико-математических наук, доцент Рыхлов Виктор Сергеевич

Ведущая организация: Воронежский Государственный Университет

Защита состоится 20 декабря 2013 г. в 1600 часов на заседании диссертационного совета Д 002.057.01 при Институте математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН, по адресу: Россия, 450077, г. Уфа, ул. Чернышевского, 112.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН.

Автореферат разослан «/^ » ноября 2013 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 002.057.01

кандидат физико-математических наук

Попенов С.В.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена исследованию обратных задач спектрального анализа для обыкновенных дифференциальных операторов с неитегрируемой особенностью лежащей внутри интервала. Исследуются дифференциальные операторы как второго так и высших порядков на полуоси и конечном интервале.

Обратные задачи спектрального анализа являются задачами восстановления операторов по их заданным спектральным характеристикам. Подобные задачи возникают в различных областях естественных наук и имеют множество приложений в механике, физике, электронике, геофизике, метеорологии и других областях естествознания и техники.

Значительный вклад в историю развития теории обратных спектральных задач внесли В.А. Амбарцумян, Р. Биле, Г. Борг, Н. Левинсон, Б.М. Левитан, З.Л. Лейбензон, В.А. Марченко, В.А. Юрко и другие математики. В настоящее время теория обратных задач интенсивно развивается благодаря возникновению новых приложений в различных областях естественных и технических наук. Отметим, что сложность решения обратных задач связана во многом с тем, что эти задачи являются существенно нелинейными и в связи с этим в теории обратных задач все еще остается много нерешенных проблем.

В диссертационной работе изучается случай неинтегрируемой особенности лежащей внутри интервала, а также наличия произвольных условий склейки решений. Наличие особенности внутри интервала вносит существенных качественные изменения при исследовании обратных задач. Для исследования этого класса обратных задач в диссертационной работе используется подход, связанный с развитием идей метода спектральных отображений*. При этом важную роль играют специальные фундаментальные системы решений дифференциального уравнения с особенностью, а также асимптотическое поведение соответствующих множителей Стокса.

Целью данной диссертационной работы является решение обратной спектральной задачи для дифференциальных уравнений с неинтегрируемой особенностью типа Бесселя внутри интервала, решения которого подчиняются некоторому дополнительному условию склейки около особой точки. Под решением обратной задачи будем понимать исследование трех основных этапов

1. Доказать теорему единственности решения обратной задачи;

2. Получить алгоритм решения обратной задачи;

* Юрко В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач. М.: Физматлит, 2007, 384с.

3. Получить необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи.

Класс дифференциальных уравнений с неинтегрируемыми особенностями является важным в математике и приложениях. Широкий класс дифференциальных уравнений с точками поворота может быть сведен к дифференциальным уравнениям с неинтегрируемыми особенностями, при этом особая точка будет лежать внутри интервала. Обратные задачи для таких уравнений и для уравнений с точками поворота также используются при исследовании разрывных решений нелинейных интегрируемых эволюционных уравнений математической физики. Уравнения с особенностью также возникают при применении преобразования Дарбу.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Построить фундаментальные системы решений дифференциальных уравнений с неинтегрируемыми особенностями и исследовать их асимптотические и аналитические свойства;

2. Доказать теорему единственности решения обратной задачи;

3. Получить основное уравнение решения обратной задачи;

4. Получить алгоритм решения обратной задачи;

5. Получить необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи.

Методы исследования. Основным методом исследования обратных спектральных задач в диссертационной работе является метод спектральных отображений, в основе которого лежит метод контурного интегрирования Коши-Пуанкаре. В работе преодолены трудности, связанные с применением метода спектральных отображений к исследованию уравнений с неинтегрируемыми особенностями и позволяющие развить его. В работе также используются асимптотические методы, спектральная теория дифференциальных операторов, теория операторов в банаховых пространствах и другие методы вещественного, комплексного и функционального анализа.

Научная новизна: Все результаты диссертации являются новыми. В работе получены следующие основные результаты:

1. Решена обратная задача для уравнений Штурма-Лиувилля с неинтегриру-емой особенностью внутри интервала, заданных на конечном отрезке при условиях Дирихле у(0) = у(Т) = 0.

2. Решена обратная задача для уравнений Штурма-Лиувилля с неинтегриру-емой особенностью внутри интервала, заданных на полуоси при условии Дирихле 2/(0) = 0.

3. Решена обратная задача для уравнений Штурма-Лиувилля с неинтегриру-емой особенностью внутри интервала, заданных на полуоси при условии Робина у'{0) - ку(0) = 0.

4. Получена теорема единственности решения обратная задача для дифференциальных уравнений высших порядков с неинтегрируемой особенностью внутри интервала, заданных на полуоси.

Все полученные результаты справедливы при произвольном поведении спектра исследуемых объектов.

Теоретическая и практическая значимость работы. Результаты диссертационной работы носят теоретический характер и могут быть использованы в теории дифференциальных уравнений, теории упругости, геофизике, оптике, а также в технике. Развитые в работе методы исследования, могут быть использованы при изучении других сингулярных дифференциальных операторов. Также результаты диссертационной работы могут быть применены в учебном процессе при чтении специальных курсов для студентов и аспирантов.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на: 16-ой Саратовской зимней школе «Современные проблемы теории функций и их приложения» (Россия, Саратов, 2012), Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения - XXIV» (Россия, Воронеж, 2013), конференциях «Актуальные проблемы математики и механики» (Россия, Саратов, 2011, 2012, 2013), студенческой научной конференции Саратовского Государственного Университета (Россия, Саратов, 2011), научных семинарах кафедры математической физики и вычислительной математики Саратовского Государственного Университета под руководством д.ф.-м.н., профессора В.А. Юрко (Россия, Саратов, 2011, 2012, 2013), кафедры уравнений в частных производных и теории вероятностей Воронежского Государственного Университета под руководством д.ф.-м.н., профессора В.В. Провоторова (Россия, Воронеж, 2013), кафедры дифференциальных уравнений и дифференциальной геометрии Университета Дуйсбург-Эссен под руководством профессора Г. Фрайлинга (Германия, Дуйсбург, 2011).

Публикации. Результаты диссертационной работы опубликованы в 10 печатных работах. Статьи [1—4] опубликованы в журналах, включенных в список ВАК РФ.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 153 наименования. Полный объем диссертации 126 страниц текста.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность исследований проводимых в рамках данной диссертационной работы, приводится список научной литературы по изучаемой проблеме, вводится объект исследования, формулируется цель, ставятся задачи работы, сформулированы научная новизна, а также кратко описывается содержание разделов диссертационной работы.

Первая глава посвящена исследованию обратной задачи для краевой задача £ = C(q(x)) для дифференциального уравнения

+ = (1)

заданном на конечном отрезке х £ (О , Т) с граничными условиями Дирихле у(0) = у(Т) = 0 при произвольном поведении спектра и с дополнительным условие склейки решений около особой точки х = a G (0, Т). При этом рассматриваются произвольные в некотором смысле условия склейки, порождаемые матрицей перехода А = [ajk]j,k=1,2» которая связывает решения уравнения (1) в окрестности особой точки (см. стр. 5). Будем предполагать, что q(x) - ком-плекснозначная функция, щ - комплексное число. Положим щ = и2 — 1/4 и, для определенности, Rei^ > 0, и ^ 1,2,... (остальные случаи вносят незначительные изменения). Предположим, ЧТО q(x)\х — о,|min(0,1—2Reг^) g

В главе строятся специальные фундаментальные системы решений дифференциального уравнения (1) и исследуется их асимптотическое поведение. Для построения фундаментальных систем решений для уравнения с особенностью используются функции, являющиеся обобщением функций Бесселя. Получены асимптотические и аналитические свойства множителей Стокса для построения фундаментальных систем решений. Существенную роль в исследовании прямой и обратной задачи играют обобщения классического решения Вейля и функции Вейля.

В главе доказана теорема единственности решения обратной задачи. Для того чтобы найти решение обратной задачи 1.1 построено основное уравнение, являющееся линейным уравнением в соответствующем банаховом пространстве ограниченных последовательностей. Доказана его однозначная разрешимость. Используя решение основного уравнения обратной задачи, построена конструктивная процедура решения обратной задачи 1.1 и найдены необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи.

Для того, чтобы сформулировать постановку обратной задачи введем вспомогательные объекты.

б

Пусть Л = р2, Im р > 0. Рассмотрим функции

Cj(x, X) = (х - ар Yl СМХ ~ а))2к' 3 = 2

к=0

где

^• = (-1)^ + 1/2, с10с20 = {2и)-\ к

Cjk = (—JJ((2s + Pj)(2s + ßj - 1) — I>b))

-l

-l

Здесь и в дальнейшем zß = exp(/x(ln \z\ + i&rgz)), arg z € (—7г,7г]. При x > а и x < а функции Cj(x, А) являются решениями уравнения (1) при q(x) = 0. Пусть функции Sj(x, А), j = 1,2 являются решениями следующих интегральных уравнений при х > аи х < а:

где д(х, А) = С^, Х)С2{х, А) — С\(х, Х)С2А). При каждом фиксированном х функции Sj(x, А) являются целыми по А порядка 1/2 и образуют фундаментальную систему решений уравнения (1).

Пусть задана матрица А = [0,7;]^=1,2, <1еЬ Л ^ 0 с комплексными ад.. Введем функции {сг^(х, Л)х ф а

Фундаментальная система решений {ст^(х, А)} будет использоваться для склейки решений в окрестности особой точки х = а.

Определение 1.1. Будем говорить, что решение у(х, А) уравнения (1) удовлетворяет условию склейки порожденному матрицей перехода А, если у(х. А) может быть представлено в виде

где коэффициенты Х]{А) не зависят от х.

Введем функцию Б(х, А) являющуюся решением дифференциального уравнения (1) при х < а, х > а и удовлетворяющую начальным условиям

Sj(x, А) = Cj(x, А) + g(x,t, X)q(t)sj(t, А) dt,

(2)

2

А) = ^^ Xj(X)o'j(x.l А) для всех х ф а, з=1

S'(0, А) = 1, 5(0, А) = 0. Обозначим Д(А) = S(T, А).

Теорема 1.1. Функция Д(А) является целой по X и ее нули совпадают с собственными значениями {Ап}п>1 краевой задачи С.

Введем числа ]. к — 1,2 по формуле

(3)

1

Ы &22 2 эт 7гг/

-апе2™ + а22е~~2™ -¿(аце"" - а22е~ __ -г(апе™ - а22е~™) аи - а22

Пусть

До(А) = -62 + Ые*ра + Ые21рТ - Ые2'р{Т~а)

Потребуем, чтобы £12 ф 0, что равносильно

аие2™ ф а22. (4)

Мы будем называть (4) условием регулярности для склейки решений. Пусть {А°} нули функции До(А), а \/А° = ¡Рп, тогда собственные значения имеют вид

\Г\п = Рп = Р°п + 0(\\ гг-юо. (5)

Обозначим через тпп кратность собственного значения Ап (Ап = Ап+1 = ... = А„+тп_!) и положим § = {п : п — 1 £ М, Ап_! ф Ап} и {1}, а также

Пусть Ф(ж, А) — решение уравнения (1) при условиях Ф(0, А) = 1, Ф(Т, А) = 0. Обозначим М{А) = Ф'(0, А). Функции Ф(ж, А) и М(А) называются решением Вейля и функцией Вейля для С соответственно.

Теорема 1.4. Зафиксируем п Е 3. В окрестности точки А = Ап функция Вейля М(А) имеет представление

тп—1 д ,

где тп кратность \п, М*(А) регулярна при А = Ап. и справедливы следующие оценки

\Мп+и\<С\рп\1,+2, п > п*, V = 0, тп — 1. (6)

Определение 1.2. Последовательность {Мп}„> 1 называется последовательностью Вейля, а набор Т> := {А„, Мп}п> 1 называется спектральными данными.

Обратная задача ставится следующим образом.

Обратная задача 1.1. По заданным спектральным данным Т> := {Ап, Мп}п>1 построить потенциал д(х).

В главе доказана теорема единственности решения обратной задачи.

Теорема 1.7. Спектральные данные Т> однозначно определяют краевую задачу С.

Далее наряду с С будем рассматривать краевую задачу С того же вида, но с другими потенциалом д. Если некоторый символ 7 обозначает объект, относящийся к задаче С, то соответствующий символ 7 с волной наверху будет обозначать аналогичный объект, относящийся к задаче С, а 7 := 7 — 7. Обозначим

:= ^п, А„д := Хп, М„А '■= Мп, МпЛ := Мп, §о = §1 = гпПА := тп, тпд := тп,

Sn+v,i(x) '■— Sv{x, , Sn+Ui(x) :— Syix, \n,i), и £ §j, с - 0, — 1, г — 0,1,

1 (S(x,X),S(x^))

D(x,X,n) :=

rj(x) X — ¡1

1 di+j

тп.{—1

Л/Г .1 ¿= q. », — rTT^ . _ ,

Tl,l

Otn+V,i ■■= lM»+P.'l' n € V = °> "4* ~ 1

p—v

^ m„—1

£n+v '■= \Pnfi — Pn,l\ H--X \Mn+pfl — Mn+pд|,

an+v,0 ^

при n G So П Si, mn = fhn, v = 0, mn — 1 и := 1 для остальных п. При i,j = 0,1, п £ §г

тп { — 1

- ^ QV ,

An+v,i[x,X) := ^^ Mn+ptiD^p-v(x,X,Xnj), = — —— Akj(x, Л)

V. £/Л I А—А>

р—и

Bn+v,i(x,X) := ^ ^ A'ln+pjSn+p-Vti(x), (7)

где k > 1, v = 0,mnii — 1. Аналогично обозначим D(x, A,/i), Dij(x, А,/л), Ап+^{х, А), Вп+^(х, А) и Pn+l/j.kJ(x), n>l,k>l,i,j = 0,1, заменяя S'(x, А) на S(x, А) в веденных обозначениях.

Пусть заданы спектральные данные V := {Ап, Мп}п> 1 краевой задачи С = £(д(х)). Выберем задачу С — £(д(х)) так, чтобы и0 = щ, А = А и

оо

Ыак,0 + 01к,\) <00. (8)

к=\

Пусть ги - множество индексов и = (п, г), п > 1, г = 0,1. Для каждого фиксированного х £ [0, а) и (о, Т] определим вектор

1р(х) = ("Фи(х))1еп, = (^,о(2)Ж,1(я))п>1 (где Т обозначает транспозицию) по формуле

(х)1 Мо 1 ад 1 Хп \о, & = 0.

Если 'фпд, г6'„д даны, то 5„.о и 5„д можно найти по формуле

/Ч,о(х)\ = 1 (ь Л

\SnAx)) рЦо 1){фпЛ(х))-Введем также блочную матрицу

(9)

Н{х) = (Я„;„(ж))и,„еи; = • ' „ ) , и = (тг,г), V = (к,]),

Х-Пп^кАуХ) Пп\.к,\[х)} \ / п,к> 1

где

Рп (Хп Хп

Нп,1-,кЛх) НпЛы(х)) рОДо 1 ) \Рп,1-Ао(х) Рп,1;к,і(х))\0 -і)'

Аналогично определяются ф(х), Н{х) заменой в предыдущих определениях 5„,і(ж) на 5Піі(ж) и Рп,г-,ко{х) на РпАк^(х).

Рассмотрим банахово пространство В ограниченных последовательностей вида V = [Уу\иеи1 с нормой ||и||в = эир 1^1- Операторы Н(х) и Н{х),

действующие кз В в В, являются линейными ограниченными операторами.

Теорема 1.10. При каждом фиксированном х Є [0, а) и (а, Т] вектор ф(х) Є В удовлетворяет уравнению

ф(х) = (I - Н(х))ф(х) (10)

в банаховом пространстве В, где I - единичный оператор.

ю

При каждом фиксированном х G [0, a) U (а, Т] соотношение (10) можно рассматривать как линейное уравнение относительно ф(х). Это уравнение называется основным уравнением обратной задачи. Таким образом, нелинейная обратная задача сводится к решению линейного уравнения.

Теорема 1.11. При каждом фиксированном х G [0, a) U (а, Т] оператор I — Н(х) имеет ограниченный обратный оператор 1+Н(х), то есть основное уравнение (10) однозначно разрешимо.

Обозначим

00

£0(а:) := (Bkfi(x)Skfi(x) - 5M(x)SM(:г)), е{х) := 2е'0{х). (11) Таким образом, мы получили следующий алгоритм решения обратной

задачи.

Алгоритм 1.1. Заданы спектральные данные Т> = {\п,Мп}.

(i) Выбираем L так, чтобы было справедливо (8) и щ = v{), А = А, и строим ф(х), Н(х).

(ii) Находим ф(х) из уравнения (10) и вычисляем Snj(x), тг > 1, j = 0,1 по формуле (9)

(iii) строим q{x) по формулам (7), (11) и q(x) = q(x) + е(х).

Перейдем непосредственно к необходимым и достаточным условия разрешимости обратной задачи.

Теорема 1.12. Для того, чтобы комплексные числа {A„, Мп} были спектральными данными для некоторой краевой задачи C(q(x)) с q{x)\x — а|тт(°Д-2Ке1У) (= L(0, Т), необходимо и достаточно, чтобы

1) существовала такая задача С, что щ = Uq, А = А и были справедливы

(5), (6), (8);

2) (Условие Р) при каждом фиксированном х G [0, a) U (а, Г] линейный ограниченный оператор I — Н{х), действующий из В в В имеет ограниченный обратный.

3) е(х)\х - a|min(0-1-2R*") е L(0,T), где е{х) строится по формуле (11).

Результаты первой главы опубликованы в работах [1,5,8].

Вторая глава посвящена исследованию краевой задачи С = C{q{x)) для

дифференциального уравнения (1) на полуоси с краевым условием Дирихле

и

у(0) = 0 и с дополнительным условием склейки решений около особой точки х = а. Как и в первой главе условие склейки порождается матрицей перехода А = lüjk]j,k=i:>, связывающей решения уравнения (1) в окрестности точки х = а. Условие склейки вводится аналогично тому, как это сделано в первой главе.

По-прежнему будем полагать, что Л = р2, щ = v1 — 1 /4 и, для

определенности, Imp > 0, Re!/ > О, и ф 1,2,____ Предположим, что

при некотором Т > а и q(x) G L(T, оо). Обозначим класс таких функций q{x) через W.

В главе доказана теорема единственности решения обратной задачи 2.1. Для нахождения решения обратной задачи построено основное уравнение, являющееся интегральным уравнением в соответствующем банаховом пространстве непрерывных ограниченных функций. С помощью решения основного уравнения получен алгоритм восстановления потенциала q{x) и найдены необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи.

Введем числа j,k = 1, 2 по формуле (3). Поведение спектра краевой задачи £ зависит от величин Для определенности в дальнейшем будем рассматривать наиболее важный частный случай, когда > ^121 > 0 и an = 0. В этом случае, в отличии от классических операторов Штурма-Лиувилля, дискретный спектр является неограниченным, и возникают новые качественные эффекты при исследовании прямых и обратных задач спектрального анализа.

Через П+ обозначим А - плоскость с двухсторонним разрезом По вдоль луча Л+ := {Л : Л > 0} и положим П := П+ \ {0}. При отображении р —> (г = Л множествам П+, По и П соответствуют множества Г2+ = {р : Imp > 0}, Q0 = {р : Imp = 0} и fi = {р : Imp > 0,р ф 0} соответственно.

Введем так называемое разрывное решение Йоста е(х, р), х > 0, Im р > 0 уравнения (1), которое может быть записано в виде

2

е{х,р) = ^Ak{p)ak(x,\), хфа, (12)

k=1

(функции сг/;(.т. Л) строятся по формуле (2)) и удовлетворяет условию

lim е(х, р) ехр(—ipx) = 1. (13)

х—>оа

Обозначим Sko = {р: arg ре , к0 = и

Д(р) = е(0,р), Imp > 0. (14)

Функция Д(р) называется характеристической функцией краевой задачи С.

Для достаточно большого \р\ функция Д(р) имеет счетное множество нулей вида

Рк = Рк + Oik'1), к ±оо, где числа = ~(к + в±) являются нулями функций

Л^Р) = 62 - ехр(2ipa), р € S2-j, j = 1,2

и

д ¿ , 62 , 1 /£i2\

(" — " соответствует j = 1 и " + " соответствует j = 2).

Для определенности, будем предполагать что arg (f12) G [0,2тг). Положим Л = {Л = р2 : р е ÍÍ, А (р) = 0}, Л' = {Л = р2 : ре П+, А(р) = 0}, Л" = {Л = р2 : ре РФ О, А (р) = 0}. Множество Л = Л'иЛ", Л' - является счетным неограниченным множество и Л" есть ограниченное множество.

Пусть функция Ф(х. А) является решением уравнения (1) и удовлетворяет условию Ф(0, Л) = 1, а также удовлетворяет условию склейки. Функция Ф(гг, Л) называется решением Вейля для С. Обозначим М(Х) := Ф'(0, Л). Функция М(А) называется функцией Вейля для С.

Теорема 2.1. Функция Вейля М{А) является аналитической в П+ \ Л' и непрерывной в П \ Л. Множество особенностей М(А) (как аналитической функции) совпадает с множеством Ло := Л+ U Л.

Положим

Gs := {р : Imp >0, \р - рк\ > 5, рк е Л}. При |А| ->■ оо, р е Gs П S2-j, j = 1,2

М(А)=гр(м0±(А) + оф), (15)

М±(Х) = ^2 + ^" exP(2iPa}

где " — " соответствует j = 1 и " + " соответствует j = 2.

Пусть заданы матрица А и число щ. Обратная задача ставится следующим образом.

Обратная задача 2.1. Восстановить q(x) по заданной функции Вейля М{А).

В главе доказана теорема единственности решения обратной задачи 2.1

Теорема 2.4. Функция Вейля М(А) однозначно определяет краевую задачу С.

13

Наряду с С рассмотрим модельную задачу С, того же вида, но с другими потенциалом q. По-прежнему считаем, что если некоторый символ 7 обозначает объект, относящийся к задаче £, то соответствующий символ 7 с волной наверху будет обозначать аналогичный объект, относящийся к задаче £, а 7 := 7 — 7.

Будем считать, что задача С = C(q) выбрана так, что М{\) = 0{ 1), |А| ->■ оо.

Пусть ср(х, Л) решение уравнения (1) при х < а, х > а соответствующее условиям ip(0, А) = 0, <р'(0, А) = 1. Обозначим

D(x, A. р) = г{Х} Aj = щХг А) (16)

где г](х) = 1, х < а и т](х) = det А, х > а.

Выберем h > 0 так, чтобы Im pi; < h, Irn pk < h для каждого pi- £ A, Pk G Л. Пусть 7={A= и + iv : и = (2 h)~2v2 — h2} есть образ множества Imp = h при отображении A = p2.

Теорема 2.5. Справедливы следующие соотношения

¡р(х, А) = ip{x, А) - J г(х, А, ц)<р(х, ц) dp,. (17)

7

При каждом фиксированном х > 0, х j-а соотношение (17) можно рассматривать как линейное уравнение относительно ip(x, А). Будем называть (17) основным уравнением обратной задачи.

Рассмотрим банахово пространство С(7) непрерывных ограниченных

функций г(А), А е 7 с нормой ||z|| = sup|z(A)|.

Лб7

Теорема 2.6. При каждом фиксированном х > 0, х ф а основное уравнение (17) имеет единственное решение <р(х, А) € С(7).

Таким образом мы получили следующий алгоритм для решения обратной

задачи.

Алгоритм 2.1. Пусть задана функция М(А).

1) Выберем С.

2) Находим tp(x, А) из основного уравнения (17).

3) Строим q{x) по формуле

q(x) = А +

<р(х, А) (х — а)2'

В дальнейшем будем предполагать что модельная краевая задача С = С(д) выбрана так, что при |А| —> оо

М(А) = 0(1). (18)

Положим

11 Г ~

ео(х) = у М-)М(ц) <1ц, е(х) = -2е'0{х). (19)

7

Сформулируем теперь необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи. Обозначим через множество функций М(А) таких что (О М(А) является аналитической в П+ за исключением счетного множества полюсов Л' и непрерывной в П \ Л (Л и Л' свои для каждой функции М(А)), (н) справедливо (15) при |А| оо.

Теорема 2.8. Для того чтобы функция М(А) 6 являлась функцией Вейля для задачи С € V необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия

1) (асимптотика) существует С £ V такое, что выполняется (18);

2) (условие Р) при каждом фиксированном х > 0 уравнение (17) имеет единственное решение <р(х, А) € С(■у);

3) с(х) е IV, где функция е(х) определяется формулой (19).

При этих условиях функция д(х) строится по формуле (¡{х) = д(х) — е(х).

Также в главе исследуется краевая задача С = £(д(х)) для дифференциального уравнения (1) на полуоси с краевым условием Дирихле у'(0) —/гу(0) = О и с дополнительным условием склейки решений около особой точки х = а. Полностью решена обратная задача восстановления вида задачи £, по соответствующей функции Вейля.

Результаты второй главы опубликованы в работах [2,3,6,9]. Третья глава посвящена обобщению некоторых результатов полученных ранее в диссертационной работе на случай дифференциальных уравнений с неинтегрируемой особенностью высших порядков. В главе исследуется уравнение

+ Е + Як(х))у^(х) = Ау(х), (20)

к=о ^ а>

содержащее неинтегрируемую особенность во внутренней точке 0 < а < оо. Здесь (¡¿(х) комплекснозначные функции, а и3 комплексные числа. Дифференциальное уравнение (20) рассматривается при условиях склейки в особой точке

15

х = а. Мы рассмотрим общие условия склейки, заданные матрицей перехода /1 = {akj\k.j=TJii которая связывает решения уравнения (20) около особой точки.

Для определенности, пусть п = 2то, ¡ik — fij ф sn, s £ Z; Re^i < ...< Repn, рк ф 0,1,2,..., n — 3. Обозначим 9 = Re(pn — /ij), 6j = n — 1 — в — j. Будем предполагать, что qj(x)\x — а\в> £ L(0,T) и Qj(x) £ L(T, oo) при j = 0, n — 2, для некоторого T > а.

В данной главе исследованы спектральные свойства фундаментальных систем решений уравнения (20), получены асимптотические и аналитические свойства множителей Стокса. Доказана теорема единственности восстановления уравнения (20) по заданной матрице Вейля.

Пусть А = рп, Sj(x, А), j = 1, п решение следующей системы интегральных уравнений при х > а и х < а:

х п—2

sf)(x,X) = C^(x,X)- [ X)(j2%(t)sf\t,X))dt, и =

а Х Р=°

где д(х, t, А) - функция Грина следующей задачи Коши ('оу - Ау = f(x), уМ(а) = 0 ,v = 0,n- 1, £у0 = ¿у |%(x)=0j=ü^=2,

ОО ^ к

Cj{x, X) = (х - a)ßj ^cjk(p{x - а)) , Cjk = cj0(+ sn)j .

k=0 s=l

Здесь и далее считаем, что zß = е^(1п1г1+гаг52); arg2 £ (—7Г,7г].

Пусть задана матрица А = j=ni> det А ф 0, где ащ - комплексные числа. Обозначим

Sj{x, А), х < а,

А) = А ,

^akjsk{х,Х), х>а.

. к=1

Фундаментальная система решений {<Jj(x, А)} используется для склейки решений уравнения (20) в окрестности особой точки х = а. Будем говорить, что решение у(х, А) уравнения (20) удовлетворяет условию склейки, образованному матрицей А, если у(х, А) может быть представлено в виде

п

у(х, А) = ^ Xj(A)<Tj(x, А) для всех х ф а, з=1

где коэффициенты Xj(A) не зависят х.

Пусть Ska = [р : argр £ В каждом секторе Ska корни Rk,

k = 1,71 уравнения Rn — 1 = 0 могут быть занумерованы так, что

Re(pi?i) < Re(pR2) < • ■ ■ < Re(pRn), p £ Sko. 16

Рассмотрим случай, когда (/;,_,■ = 0, при к < j. Обозначим

—1 п

[djk^-n = , = Е assRZ'dsje-™»°.

5=1

Предположим, что

= det[^kj]k=-s.j=w=^ Ф 0, в = 1,71- 1. (21)

Условие (21) называется условием регулярности склейки.

Пусть 'I'jix, A), j = 1,п решения уравнения (20) при условиях

Ф5""1)(0,А) = 5vj, v=~j, ФДаг,А) = 0[efR'% х оо, j = р G Sko

и удовлетворяющие условиям склейки, образованными матрицей А.

Пусть М(А) = [Mjk(\)]jJc=Tj, Mjk(А) = Ф^-^СО, А), 1 < j < к < п, Mjk(X) := 5jk при j > к. Будем называть М{А) матрицей Вейля. Обратная задача ставится следующим образом.

Обратная задача 3.1. По заданной матрице Вейля М{А) нужно восстановить числа Uj и функции qj (ж) в уравнении (20).

По заданной матрице Вейля М(А) нужно восстановить числа Vj и функции qj(x) в уравнении (20).

Теорема 3.4. Задание матрицы Вейля М(А) однозначно определяет дифференциальное уравнение (20).

Результаты третьей главы опубликованы в работах [4,7,10]. Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Вячеславу Анатольевичу Юрко за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

Публикации автора по теме диссертации

1. Федосеев А.Е. Необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи для оператора Штурма-Лиувилля на конечном отрезке с неинтегри-руемой особенностью внутри интервала // Известия Саратовского университета (новая серия). Серия Математика. Механика. Информатика. 2013. т. 13. №3. С. 59-64.

2. Fedoseev A. An inverse problem for Sturm-Liouville operators on the half-line having Bessel-type singularity in an interior point // Central European Journal of Mathematics. 2013. vol. 11. no. 12. P. 2203-2214.

3. Федосеев А.Е. Обратная задача для оператора Штурма-Лиувилля на полуоси с неинтегрируемой особенностью внутри интервала // Известия Саратовского университета (новая серия). Серия Математика. Механика. Информатика.

2012. т. 12. №4. С.49-55.

4. Fedoseev A. Inverse problems for differential equations on the half-line having a singularity in an interior point // Tamkang Journal of Mathematics. 2011. vol. 42. no. 3. P. 343-354.

5. Федосеев А.Е. О восстановлении оператора Штурма-Лиувилля на конечном отрезке с неинтегрируемой особенностью // Современные методы теории краевых задач. Воронеж, изд-во ВГУ. 2013. С. 204-205.

6. Федосеев А.Е. О восстановлении оператора Штурма-Лиувилля на полуоси с неинтегрируемой особенностью // Современные методы теории краевых задач. Воронеж, изд-во ВГУ. 2012. С. 185.

7. Федосеев А.Е. Асимптотическое поведение собственных значений краевой задачи для дифференциального уравнения с особенностью // Научные исследования студентов Саратовского государственного университета. Саратов. изд-во Саратовского ун-та. 2011. С. 22-24.

8. Федосеев А.Е. О единственности решения обратной задачи на конечном отрезке для оператора Штурма-Лиувилля с неинтегрируемой особенностью // Сб. науч. тр. Математика. Механика. Саратов, изд-во Саратовского ун-та.

2013. т. 15 С. 47-50.

9. Федосеев А.Е. Единственность решения обратной задачи для оператора Штурма-Лиувилля на полуоси с неинтегрируемой особенностью // Сб. науч. тр. Математика. Механика. Саратов, изд-во Саратовского ун-та. 2012. т. 14. С. 76-79.

10. Федосеев А.Е. Единственность решения обратной задачи для дифференциального уравнения с особенностью // Сб. науч. тр. Математика. Механика. Саратов, изд-во Саратовского ун-та. 2011. т. 13. С. 103-106.

Подписано к печати 15.11.2013 года. Формат 60x108 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Печать цифровая. Усл. печ. л. 1,25 Тираж 100 экз. Заказ № 265-Т

Отпечатано в типографии СГУ Саратов, Большая Казачья 112-а Тел. (8452) 27-33-85

саратовским государственный университет имени н.г. чернышевского

На правах рукописи

04201 45^656

ФЕДОСЕЕВ АЛЕКСЕЙ ЕВГЕНЬЕВИЧ

ОБРАТНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С НЕИНТЕГРИРУЕМЫМИ ОСОБЕННОСТЯМИ ВНУТРИ

ИНТЕРВАЛА

Специальность 01.01.01 — «Вещественный, комплексный и функциональный анализ»

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Юрко В.А.

Саратов - 2013

Содержание

Введение 3

1 Обратная задача для оператора Штурма-Лиувилля на конечном отрезке с неинтегрируемой особенностью внутри интервала 13

1.1 Свойства спектральных характеристик............................14

1.2 Теорема единственности решения обратной задачи..............29

1.3 Алгоритм решения обратной задачи................................34

1.4 Необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи..................................................................50

2 Обратная задача для оператора Штурма-Лиувилля на полуоси с неинтегрируемой особенностью внутри интервала 65

2.1 Функция Вейля и ее свойства......................................66

2.2 Решение обратной задачи............................................72

2.3 Необходимые и достаточным условия разрешимости обратной задачи..................................................................78

2.4 Случай краевых условий Робина....................................84

3 Обратная задача для дифференциальных уравнений высших порядков с неинтегрируемой особенностью внутри интервала 96

3.1 Свойства спектральных характеристик............................97

3.2 Теорема единственности решения обратной задачи..............108

Литература 113

Введение

Диссертационная работа посвящена исследованию обратных задач спектрального анализа для обыкновенных дифференциальных операторов с неитегрируемой особенностью лежащей внутри интервала. Исследуются дифференциальные операторы как второго так и высших порядков на полуоси и конечном интервале.

Обратные задачи спектрального анализа являются задачами восстановления операторов по их заданным спектральным характеристикам. Подобные задачи возникают в различных областях естественных наук и имеют множество приложений в механике, физике, электронике, геофизике, метеорологии и других областях естествознания и техники. В 1967 г. был разработан [1] метод, связанный с использованием обратной задачи, позволяющий решать некоторые важные нелинейные уравнения математической физики, например, уравнение Кортевега-де Фриза, нелинейное уравнение Шредингера, уравнение Буссинеска и другие. Созданный метод обратной задачи вызвал дополнительный интерес к обратным задачам спектрального анализа и в дальнейшем этот метод был использован во многих работах (см. монографии [2-6] и литературу в них). На данный момент теория обратных задач интенсивно развивается благодаря возникновению новых приложений в различных областях естественных и технических наук. Отметим, что сложность решения обратных задач связана во многом с тем, что эти задачи являются существенно нелинейными и в связи с этим в теории обратных задач все еще остается много нерешенных проблем.

Первый результат в теории обратных спектральных задач принадлежит советскому ученому, основателю теоретической астрофизики В. А. Амбарцумяну [7]. Интересен вопрос о том, как он пришел к обратной задачи. В 1926 году Э. Шредингер опубликовал работы [8-12] по волновой

механике. Он показал, что вопрос исследования энергетических уровней системы приводит к решению задач нахождения собственных значений некоторых дифференциальных уравнений. В астрофизике спектральный анализ атомов является одним из основных методов исследования небесных объектов. В.А. Амбарцумян хотел выяснить можно ли по наблюдаемым спектрам атомов однозначно узнать о строении и состоянии атома, что и является "обратной" задачей. Оказалось, что решение этой нелинейной задачи в общем случае весьма трудно. Тогда он рассмотрел частный случай: можно ли утверждать, что система собственных частот, характерная для однородной струны, свойственна только ей и однозначно определяет ее среди всех струн? Ему удалось разрешить эту проблему и сформулировать следующий результат [7] для уравнения Штурма-Лиувилля

Здесь Л - спектральный параметр, х 6 (0,7г) - вещественная

интегрируемая функция. В.А. Амбарцумян показал, что если краевая задача для уравнения (1) с граничными условиями у'{0) = у'{тг) = 0 имеет собственные значения Ап = п2, п > 0, то д(х) = 0. Однако этот результат является исключительным - в общем случае задания одного спектра недостаточно для восстановления потенциала Впоследствии Г. Борг [13] показал, что потенциал однозначно определяется на конечном отрезке по двум спектрам двух разных краевых задач с общим дифференциальным уравнением и одним общим граничным условием. Н. Левинсон использовал другие спектральные характеристики - спектр и коэффициенты перехода (в настоящее время называющиеся коэффициентами Левинсона). В работе [14] им была доказана теорема единственности восстановления потенциала ¿/(ж) по этим спектральным характеристикам.

Важную роль в развитии спектральной теории операторов Штурма-Лиувилля сыграл оператор преобразования. Рассмотрим краевую задачу для уравнения (1) на интервале х е (0,7г) с граничными условиями

У" + ч{х)у = А у.

(1)

у\0) - ку{0) = 0, ^(тг) + Ну(тг) = 0.

(2)

Пусть (р(х, Л) - решение уравнения (1) при начальных условиях (р(О, А) = 1, (р'(О, Л) = h и пусть А = р2 (Imp > 0). Оператор преобразования связывает решения двух различных уравнений Штурма-Лиувилля при всех значениях спектрального параметра Л, а именно

где Сх(ж, - вещественная непрерывная функция, не зависящая от Л и являющаяся функцией Римана соответствующей задачи Коши для волнового уравнения [15]. В данном случае оператор преобразования отображает функцию соэрх, являющуюся решением уравнения —у" = Ху, в функцию ср(х, Л). Опираясь на технику оператора преобразования В.А. Марченко, Б.М. Левитан и другие построили теорию решения обратной задачи для оператора Штурма-Лиувилля. Так В.А. Марченко доказал [16-19], что самосопряженный оператор Штурма-Лиувилля на конечном отрезке или полуоси однозначно восстанавливается по заданной спектральной функции. В случае оператора Штурма-Лиувилля, рассматриваемого на конечном интервале, эта задача эквивалентна обратной задаче в следующей постановке [15,20].

Пусть ср(х, А) - введенное выше решение уравнения (1). Обозначим

где Хп - собственные значения краевой задачи (1)-(2). Набор чисел {Ап, ап}п>о будем называть спектральными данными. В этом случае обратная задача по спектральной функции эквивалентна задаче восстановлении потенциала и коэффициентов краевых условий Н, Н по заданному набору спектральных данных {Ап, ап}п>0.

Разработка конструктивной процедуры решения нелинейных обратных задач, и особенно задача описания необходимых и достаточных условий разрешимости являются существенно более сложными задачами по сравнению с доказательством единственности решения обратной задачи. В работе И.М. Гельфанда, Б.М. Левитана [21] при помощи метода оператора преобразования были получены необходимые и достаточные условия, а также

(р(х, А) = cos рх + / G{x, t) cos pi (it,

Jo

7Г

(3)

0

метод восстановления дифференциального оператора Штурма-Лиувилля по его спектральной функции. Для обратной задачи восстановления уравнения Штурма-Лиувилля на конечном интервале по двум спектрам аналогичные результаты были получены в [22]. М.Г. Крейн в работах [23,24] развил другой метод исследования обратных задач.

Помимо спектральных данных, важным объектом при исследовании обратных задач для оператора Штурма-Лиувилля является так называемая функция Вейля [25]. Задание функции Вейля в случае самосопряженного оператора Штурма-Лиувилля равносильно заданию спектральной функции. В большинстве случаев функция Вейля возникает естественным образом при исследовании как оператора Штурма-Лиувилля, так и других классов операторов. А.Н. Тихонов первым использовал функцию Вейля в качестве данных обратных задач. В работе [26] он доказал единственность решения обратной задачи Штурма-Лиувилля на полуоси по заданной функции Вейля в случае кусочно-аналитических потенциалов.

Много результатов в теории обратных задач относятся и к другим классам дифференциальных операторов второго порядка. Так краевые задачи с условиями разрыва внутри интервала связаны с разрывными свойствами среды. Например, в радиоэлектронике при синтезе параметров неоднородных линий передач с заданными техническими характеристикам возникают разрывные обратные задачи [27, 28]. Коэффициенты, характеризующие свойства одномерных разрывных сред также могут быть восстановлены при помощи спектральной информации [29,30]. При построении геофизических моделей земного шара возникают краевые задач с условиями разрыва во внутренней точке [31, 32]. Различные постановки разрывных обратных задач исследовались в [29, 30, 33-38]. Отметим также обратные задачи для сингулярного потенциала [39,40], для интегро-дифференциальных и интегральных операторов [41-47]. Большое количество приложений связано с дифференциальным уравнением вида

- (р(х)у'У + д(х)у = Аг(х)у, (4)

которое является обобщением уравнения (1). Если функции г и р достаточно гладкие, то уравнение (4) сводиться к уравнению (1) с помощью

преобразования Лиувилля [48]. Случай недостаточной гладкости у функций г и р исследовался в работах [49-56].

Обширную область применения имеет теория обратных задач для дифференциальных операторов высших порядков вида

71—2

у{п) + ^2рк(х)у{к], п> 2. (5)

к—О

Обратные задачи для оператора (5) являются существенно более сложными для исследования чем для оператора Штурма-Лиувилля. Метод оператора преобразования оказывается недостаточно эффективным для решения обратных задач для дифференциальных уравнений высших порядков, так как операторы преобразования в этом случае имеют более сложную структуру [57, 58]. Однако, в случае аналитических коэффициентов оператор преобразования имеет значительно более простую "треугольную" структуру, как и для операторов Штурма-Лиувилля. При помощи такого "треугольного" оператора преобразования Л.А. Сахнович [59-61] и И.Г. Хачатрян [62-64] исследовали обратную задачу восстановления самосопряженных дифференциальных операторов на полуоси с аналитическими коэффициентами по спектральной матрице-функции и обратную задачу рассеяния. В частности было доказано, что в случае аналитических коэффициентов задание спектральной матрицы-функции однозначно определяет оператор.

В связи с недостаточной эффективностью метода оператора преобразования при п > 2 возникла необходимость в разработке другого метода, позволяющего исследовать дифференциальные операторы высших порядков и другие классы операторов. Такой метод, связанный с развитием идей метода контурного интегрирования, был постепенно создан в трудах нескольких математиков. Н. Левинсон [14] впервые использовал метод контурного интегрирования для исследования обратной задачи Штурма-Лиувилля. З.Л. Лейбензон развил [65,66] идеи Н. Левинсона и предложил использовать вместо оператора преобразования специальные отображения пространств решений дифференциальных уравнений. Используя этот аппарат, В.А. Юрко разработал так называемый метод спектральных отображений,

который позволяет решать обратные задачи для широкого класса как сингулярных так и регулярных дифференциальных операторов [15,67-72].

Важным и нетривиальным является также вопрос о постановках обратных задач. Так при исследовании обратной задачи для дифференциальных операторов вида (5) с суммируемыми коэффициентами при п > 2 спектральная матрица-функция является неподходящим объектом, так как не определяет однозначно самосопряженный оператор, а для несамосопряженных операторов вида (5) она вообще не существует. В работах [67-72] В.А. Юрко ввел так называемую матрицу Вейля, в качестве основной спектральной характеристики для оператора (5). Оказалось, что матрица Вейля является удобным объектом для исследования, наиболее полно выражающим спектральные свойства дифференциального оператора (5). Постановка обратной задачи с использованием матрицы Вейля и использование метода спектральных отображений позволило разработать теорию решения обратной задачи для несамосопряженного дифференциального оператора (5) на полуоси и на конечном отрезке [15]. Обратная задача рассеяния на оси для операторов вида (5) в различных постановках исследовалась в [73-81] и других работах.

Множество работ посвящено обратным задачам для систем дифференциальных уравнений вида

<ЭоУ\х) + <2(х)У(х) = р¥(:г), (6)

где р - спектральный параметр, У — [Ук^^уй ~ вект0Р столбец, = <11а§[дл:]Я(х) — Матрица (¿(х) называется потенциалом,

д/г ф 0, к = 1,п - различные комплексные числа. Исследование некоторых систем вида (6), например, системы Дирака и ее обобщений, в случае если корни характеристического уравнения лежат на вещественной оси, аналогично исследованию оператора Штурма-Л иу вил ля. В этом случае метод оператора преобразования дает результаты схожие с результатами для оператора Штурма-Лиувилля. В общем случае, при произвольном расположении корней характеристического уравнения и произвольном поведении спектра (см. [15]), при решении обратных задач для систем дифференциальных уравнений возникают трудности, характерные для случая операторов высших порядков с интегрируемыми коэффициентами. Такие

системы исследовались в работах [82-93]. В случае исследования обратной задачи для системы (6) на полуоси и конечном отрезке вводится матрица Вейля, являющаяся аналогом матрицы Вейля, введенной для уравнения (5). С помощью метода спектральных отображений была решена обратная задача восстановления потенциала системы вида (6) по заданной матрице Вейля в общем случае [15,82-85,92,93].

Отметим также обратные спектральные задачи для дифференциальных операторов на пространственных сетях (геометрических графах) [94-99], для матричных операторов Штурма-Лиувилля [100-109], для пучков дифференциальных операторов [110-121] и других классов дифференциальных операторов.

Данная диссертационная работа посвящена исследованию обратной спектральной задачи для дифференциальных уравнений с неинтегрируемой особенностью типа Бесселя внутри интервала, решения которого подчиняются некоторому дополнительному условию склейки около особой точки. В работе исследуются дифференциальные уравнения как второго порядка

когда 0<сс<Т<оо,ае(0,Т), так и высших порядков

у^(х) + £ ( + Як(х))у^(х) = \у(х), (8)

где щ, к — 0, п — 2 комплексные числа, а > 0.

Класс дифференциальных уравнений с неинтегрируемыми особенностями является важным в математике и приложениях. К примеру, если в уравнении (4) функция г(х) имеет нуль внутри интервала, то уравнение (4) называется уравнением с точкой поворота. Такие уравнения возникают в различных разделах естественных наук таких как теория упругости, геофизика, оптика, а также в технике. Уравнения с точками поворота могут быть сведены к дифференциальным уравнениям с неинтегрируемыми особенностями вида (7), (8) при этом точка а будет лежать внутри интервала. Обратные задачи для таких уравнений и для уравнений с точками поворота также используются при исследовании разрывных решений нелинейных

интегрируемых эволюционных уравнений математической физики [122]. Уравнения с особенностью вида (7) также возникают при применении преобразования Дарбу [123].

В работах [124-129] довольно полно изучен случай когда особенность лежит на конце интервала (а = 0). Случай когда особенность лежит внутри интервала является существенно более трудным и мало исследованным. Некоторые частные случаи обратных задач для уравнений с особенностью (7), (8) и для уравнения с точками поворота (4) исследовались в работах [48,130-141].

В диссертационной работе изучается случай неинтегрируемой особенности лежащей внутри интервала а > 0, а также наличия произвольных условий склейки решений. Наличие особенности внутри интервала вносит существенных качественные изменения при исследовании обратных задач. Для исследования этого класса обратных задач в диссертационной работе используется подход, связанный с развитием идей метода спектральных отображений. При этом важную роль играют специальные фундаментальные системы решений дифференциального уравнения с особенностью, а также асимптотическое поведение соответствующих множителей Стокса.

Диссертационная работа состоит из трех глав. В Главе 1 рассматривается уравнение (7) заданное на конечном отрезке х £ (0 , Т) с граничными условиями Дирихле у(0) = у{Т) = 0 при произвольном поведении спектра. В Разделе 1.1 построены фундаментальные системы решений уравнения (7), исследованы их спектральные свойства. Для построения фундаментальных систем решений для уравнения с особенностью используются функции, являющиеся обобщением функций Бесселя. В разделе получ�