Метод нормализующих преобразований в теории возмущений линейных операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА. I. БАНАХОВЫ МОДУЛИ И ШКВАЗИАНАЛИТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ.

§ 1.1. Банаховы 1-^(1? ) - модули.

§ 1.2. Теоремы аппроксимации.

§ 1.3. Решение операторного уравнения АХ-ХА-В

ГЛАВА 2. ВОЗМУЩЕНИЯ ТРЕУГОЛЬНОГО ТИПА.

§ 2.1. Пространство треугольных возмущений.

§ 2.2. Возмущение диагональных операторов.

§ 2.3. Приводимость почти периодических систем.

§ 2.4. Спектральный анализ одного класса дифференциальных операторов.

§ 2.5. Примечания к главе 2.

ГЛАВА 3. СЛАБЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ ДИСКРЕТНЫХ СПЕКТРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ.

§ 3.1. Пространство слабых возмущений.

§ 3.2. Диагонализация и блочная диагонализация возмущенного спектрального оператора.

§ 3.3. Примечания к главе

ГЛАВА 4. ВОЛЬТЕРРОВЫ ВОЗМУЩЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ И РАЗНОСТНЫХ ОПЕРАТОРОВ.

§ 4.1. Метод ускоренной сходимости в задаче нормализации (абстрактная схема)

§ 4.2. Приведение интегро-дифференциального оператора с квазипериодическими коэффициентами к автономному виду.

§ 4.3. Возмущение оператора правых сдвигов в пространствах íp

§ 4.4. Спектральный анализ одного класса разностных операторов.

§ 4.5. Примечания к главе 4.

Один из наиболее известных способов изучения дифференциальных уравнений основан на преобразовании исследуемого уравнения к уравнению более специального вида, свойства которого считаются хорошо изученными. Среди многообразия используемых здесь методов важнейшее место занимает метод усреднения, используемый в небесной механике со времён Лагранжа и Лапласа для определения эволюции орбит планет под влиянием их взаимных возмущений.

Обоснование метода усреднения - трудная задача, решению которой до сих пор посвящены работы многих математиков. Принципиальную роль в её решении сыграли работы H.H. Боголюбова, основанные на замечательной идее преобразования (замены) Крылова - Боголюбова.

Основу метода усреднения составляют две теоремы H.H. Боголюбова, устанавливающие соответствие между решениями исходного и усреднённого дифференциального уравнения соответственно на конечном и бесконечном интервалах. Дальнейшие усилия математиков были сосредоточены на обосновании этих теорем для различных классов дифференциальных уравнений (интегро-дифференциальных, с частными производными и т.д. ; см. монографию Ю.А. Митропольского [46 ] где имеется подробный обзор работ до 1971 г.) . Естественным образом возникла необходимость создания соответствующей теории для абстрактных операторов в банаховом пространстве.

Созданию такой теории положили начало работы А.Г. Баскакова [б,7,9] . Проведённый им анализ классического метода усреднения показал, что этот метод включает три главных этапа Аналогичные этапы были выделены Ю.А. Митропольским и A.M. Самойленко [47] при рассмотрении нелинейных возмущений оператора дифференцирования

I) построение пространства 2/ возмущений для невозмущенного линейного оператора А •• Б(А)с 3й 1 ( 1 - комплексное банахово пространство) , 2) построение усреднённого оператора (выделение подпространства С операторов, просто устроенных относительно А ) , з) построение преобразования (замены) Крылова - Боголюбова, в абстрактной форме означающее некоторую операцию где Еп(1 $ - алгебра эндоморфизмов (линейных ограниченных операторов) пространства

Оказалось, что все эти этапы тесно связаны с оператором коммутирования и его спектральными свойствами, а замена Крылова - Боголюбова есть не что иное, как преобразование подобия исследуемого семейства операторов

А+ £ В (£

- малый параметр, В^ % ) в семейство операторов вида А+ £ В0+ £2 В/о , где и В^ (£) е . Последовательное применение преобразования

Крылова - Боголюбова к оператору А + £ В0 + £2 В/О ведет при условии сходимости получаемых рядов в ^Ц ) к подобию оператора оператору

А + с ВЛ(о где

Таким образом, небольшая модификация построения высших приближений позволяет сделать вывод о глубоком сходстве метода усреднений с методом подобных операторов ( "диагонализацией"

А+£ В в том же "базисе", в котором является "диагональным"

А ) и, в частности, с теорией Пуанкаре нормальных форм, методом Ляпунова кинематического подобия, методом Штокало, методом Фридрихса - Тёрнера подобных операторов.

Все перечисленные методы объединяет общий формальный аппарат, с помощью которого проводится нормализация возмущённого оператора. Но каждый из них приспособлен к изучению конкретного класса операторов и прямой возможности распространения его на другие классы операторов не даёт. Привлечение методов спектральной теории банаховых модулей ( методов абстрактного гармонического анализа) к изучению свойств оператора коммутирования А позволило в значительной мере решить этот вопрос и таким образом существенно продвинуться в развитии метода подобных операторов. Открылась возможность для пересмотра ряда результатов аналитической теории возмущений (см.[б-9]). В свете такого подхода актуальной задачей стало распространение метода подобных операторов на новые классы операторов, уточнение прежних границ его применения, выявление новых приложений.

Настоящая диссертация посвящена дальнейшему развитию метода подобных операторов. Основными методами исследования являются методы спектральной теории банаховых модулей ( методы абстрактного гармонического анализа) и спектральной теории операторов.

Материал диссертации изложен в четырёх главах. Каждая из них, за исключением первой, имеет следующую структуру. В начале для невозмущённого оператора А осуществляется аксиоматическое построение пространства возмущений % ; его свойства опре-* деляют метод доказательства абстрактной теоремы о подобии

А+ В „ А+ В„ (В* , В0е ) . Затем эта теорема применяется к исследованию конкретных классов операторов. Установленный нормальный вид возмущённого оператора используется в приложениях для изучения его спектральных свойств: геометрической структуры спектра, полноты системы собственных и присоединённых векторов, спектральности, структуры ядра. Глава заканчивается примечаниями, в которых даётся обзор ранее известных результатов, сравниваются различные методы исследования, указывается ряд возможных приложений.

Отметим, что смысл общепринятых обозначений, не указанный в тексте, приводится отдельно в специальном списке используемых обозначений.

Перейдём к подробному изложению основных результатов диссертации. В главе I, имеющей вспомогательный характер, сформулированы используемые в дальнейшем понятия и результаты из спектральной теории банаховых модулей и теории неквазианалитических операторов. Особо важным ( для изложения результатов последующих глав) служит вопрос о разрешимости операторного уравнения

А X = А X - X А = В 6 2/ , (1) рассматриваемого в пространстве возмущений 2/ » относительно оператора Xе Емс! $ . Равенство (I) понимается на векторах . Здесь п - неквазианалитический оператор, т.е. оператор, представимый в виде А = А. +1 А,

ЖАМШГВД , где ¡А„1 А2 - производящие операторы сильно непрерывных групп операторов коммутирующих между собой и удовлетворяющих условию неквазианалитичности (в терминологии авторов статьи [39] ) 9

- со

Так введённый класс неквазианалитических операторов является основным классом невозмущённых операторов, которые рассматриваются в диссертации.

Положим V Тд = Tj(U-f) TZ(UZ) . Введём представление

T(U) x - T> X TA(-u): T), Mnil и на банаховом пространстве End $ зададим структуру Lü)(ß модуля ( R ) " банахова алгебра суммируемых на R с весом со функций со свёрткой в качестве умножения) по формуле а X = \ fW Т(и) X du , oeLJt), Xе End 1 Г сходимость интеграла понимается в сильной операторной топологии). Задание этой модульной структуры позволяет ввести понятие спектра

Бёрлинга любого оператора

Xе End $ . А именно, через SPX обозначим дополнение в R к множеству 1R 3 ^ ^(ß )• fX=0 , . Понятие спектра Бёрлинга создаёт удобный понятийный аппарат, в терминах которого легко формулировать основные результаты диссертации. Так, используя это понятие, легко выделить треугольные возмущения неквазианалитического оператора А операторы диагонального вида и т.д. Однако более глубокое использование этого понятия связано с теоремами аппроксимации (§ 1.2) -аналогами известных теорем Бернштейна и Джексона, - на основе которых получены условия разрешимости уравнения (i) . Сформулируем некоторые из этих результатов (§ 1.3) . Мы будем предполагать, что группа Tj ("t) ограничена, а группа TÄ(t) имеет полиномиальный рост степени 171 II 1>»

VbR , m - некоторое натуральное число.

Достаточное условие разрешимости уравнения (I) заключается в возможности сильно сходящегося на

D(A) разложения

CXJ в - Ев, i-i

J i где Вj 6 End i , Sp Bjc Gj , множества Gj удовлетворяло ют условию ¡(j = dist({0} 0 и, кроме того, имеет место неравенство

L rJ-c,"t0IBJl-Z:r,'lIBJ,l<~. (з)

Теоремы I.3.1-2 устанавливают признаки существования такого разложения. Введём представление T^li) Х= T|(u) X ' Eftd I Xе Eftd J, IU R ) и для каждого X^ End 5E определим велиt чину (X , т) = 5Up \ T/S) X ds Теорема I.3.1. Оператор

BG End 1 допускает разложение (2-3) , если 6=A4Q , где OeD(A1) и при некотором У> { .

Для неограниченного оператора аналогичный признак сформулирован в теореме 1.3.2. В лемме I.3.I проводится дальнейший анализ условий выполнения асимптотических соотношений, указанных в теоремах 1.3.1-2.

Перед изложением результатов последующих глав напомним

Определение. Операторы

Acid)и в*га) с областями определения

D(A) „ ЖВ) соответственно называются подобными, если существует ограниченный вместе с обратным оператор U* Ы1 , отображающий

КА) на

5(B) такой, что UAIT=B.

Вторая глава посвящена изучению возмущений треугольного типа неквазианалитического оператора А . Пространство 2/+ таких возмущений состоит из операторов В« Д1) , в разложении которых (2) спектры Бёрлинга всех операторов В] лежат в правой полуплоскости из

Д1 > } , где = 2} j = . Кроме этого "алгебра0 ического" ограничения на О в бесконечномерном пространстве $ требуется ещё одно условие типа условия (з) : МЧЧВ,! <- , (4) где Ц^) = 5Ир, (0(Ги)/(д(и) \/у>0. ие Я2

На 21 + вводится норма 1*1 как ¿гф ПИШ суммы (4) по всевозможный разложениям (2) оператора + . Затем на основе квазинильпотентного варианта метода Фридрихса доказывается

Теорема 2.1.1. Пусть причем где - ограниченный оператор, а оператор удовлетворяет условиям:

1) М(ЕпЛ)1Вг1<< ;

2) при некотором лоер(А) ВгА)6 ЕаЛ, 1Вл1?(я0,А)1<1. Тогда операторы

А+В и Д подобны.

Число М(ЕаЛ) -в условии I) - это модульная константа (см. определение 1.1.1) .

В § 2.2-3 рассматриваются иллюстрирующие эту теорему примеры. Мы ограничимся указанием одного такого примера для случая, когда !£ - банахово пространство (р °°) двусторонних последовательностей £ = со стандартным базисом;

А = diacf {Лц,} £ X (tp) \/fl€ Z) - диагональный оператор, определённый формулами:

A {¿ft} ={\iri} \/{Cn}GD(A) , и возмущение В ограниченный оператор.

Теорема 2.2.1. Пусть ограниченный оператор

End Iр удовлетворяет условиям:

Ln = 0 ПРИ « 0 ;

2) матрица { ^Wm"^)} "Р14 некотором

VM представляет матрицу ограниченного оператора ZeElidtp . Тогда операторы

А + В и п подобны. В § 2.2 рассматривается также специальное пространство 2/+(С) треугольных возмущений с монотонной нормой Ы^ диагонального оператора keX(lp) Определение этого пространства связано с некоторой подалгеброй GzEJi р , которая является банаховой алгеброй со своей (монотонной) нормой II" II ^ ; свойство монотонности нормы IHI g. означает, что V X = G

V Y=b run} G Eltd lp I) матрица и mfi'i представляет матрицу ограниченного оператора X6 С ; 2) из условия пыг I ^ l^mnl \/т,П следует YG G и II YII^ ^ II X II ^ .

Спецификой возмущений

В * 2ЦС) является несколько иной характер подчинённости оператору А (утверждать, что он слабее или сильнее условия 2) , в общем случае нельзя) . Так, если в теореме 2.2.1 алгебру End ip всюду заменить алгеброй G f то можно взять V = 0 , но дополнительно потребовав, чтобы

Z-Ъ* Тг , где IIZJIe^ и o^a^-vz^o}.

В § 2.4 получены приложения этих результатов на случай одной специальной алгебры С к исследованию спектральных свойств оператора L , порождённого в пространстве L^-00'00) дифzm-i ференциальным выражением il^] =(-i) fy + ZZ Р5Й) , где

S - 0 оо у а1Г1Х

Рс W - % л -периодические функции с рядом Фурье /, Ри с ^

5 п=^ П5

Теорема 2.4.1. Спектр оператора L чисто непрерывный, заполняет полуось [0, , а на непрерывном спектре могут быть спектральные особенности первого порядка в точках j\n = (n/z)zm , п = 1, г, з,. .

При дополнительных ограничениях на коэффициенты р (X) типа гладкости это утверждение было доказано М.Г. Гасымовым [19] .

Возмущение компактных диагональных операторов

А е Ы L операторами с нижнетреугольным матричным представлением изучал О.И. Сойбельман [53] . Введённый им класс возмущений был близок к пространству с алгеброй Vj- одного специального вида.

В третьей главе диссертации изучаются возмущения дискретного спектрального оператора

А«1(1) скалярного типа. Относительно возмущения основным требованием является включение D(A)CD(B) и подчинённость его дробной степени А , О ¿V < \ , оператора А . Последнее означает, что при некотором оператор (А ~ 1) 6 (А~Л01) где Vj, > 0 фиксированы и V,, + = V ) допускает расширение с т до ограниченного оператора

В 6 En.d í.

Множество всех таких возмущений с фиксированным j? = V., выделяется в пространство слабых возмущений оператора

А о нормой = 1В1Г1В11 VB*^.

Показатель V определяется асимптотикой чисел sup Ш , dn= dist (6n 9 где 6R (tl = 1,2,3,.) - ограниченные непересекающиеся множества, объединение которых даёт о (А) (=б).

Пусть Е - разложение единицы оператора А . Теорема 3.2.1. Предположим, что спектр б (А) удовлетворяет условию а) lim /п С " С <

Выберем последовательность {^5j5=0 (Л0= так> чтобы при при некотором £6(0J-V) выполнялись неравенства

С "V, > KL 'fr,-г и ^-, ■ V

А,

-Г7- < 00

JV, И

Положим Е с = £ ( и ^ ) . Тогда можно указать такие константы 0< ¿^(А) < \ 0 < £ (А)<1 » что если б) Ве 21 г и .С |В1, <«,(А) ; в) при Р 0 3 Х0бр(А) такое, что IIВ й (Х„, А) II < ¿2(А) то оператор

А- В подобен оператору А+У , где оператор У€ представляется сильно сходящимся на

D(A) рядом со

Y- £ ESYES +QKYQK ,

S=fC4 к где К - некоторое натуральное число, = ZZ Ej • i = 1

Теорема 3.2.1 показывает, что при определённых условиях возмущенный оператор А+ В можно привести к блочно-диагональному виду в базисе, составленном из собственных векторов оператора А . Другой основной результат главы - теорема 3.2.2устанавливает подобие А + В оператору, который в случае одноточечных множеств 6п (для всех И , начиная с некоторого И0 ) имеет диагональный вид.

Первые результаты о приведение возмущенного оператора к диагональному виду были получены Р. Тёрнером [70] для случая, когда

А - самосопряженный компактный оператор в гильбертовом пространстве, dim Е(бтО J =1 \/п*По и А ' ВА ^(v^W^V)-достаточно малый оператор Гильберта - Шмидта. Затем эти результаты применялись Р. Тёрнером для изучения ограниченных возмущений дифференциальных операторов в гильбертовом пространстве.

А.Г. Баскаков [б] , используя методы абстрактного гармонического анализа, рассмотрел и случай неограниченного невозмущенного неквазианалитического оператора А с дискретным спектром б:(А) = {Лл} , не требуя каких-либо дополнительных ограничений на кратность собственных чисел 1 п .

Теорема 3.2.1 обобщает результаты А.Г. Баскакова в следующих направлениях: i) снято ограничение J3 = О ,2) для некоторых случаев увеличено значение показателя \) (т.е. ослаблена подчинённость возмущения В оператору А ) .

Полученные в главе результаты позволяют существенно усилить теорему Шварца - Краммера [25, гл. XIX, § 2] о спектральности возмущенного спектрального оператора А и теорему Шварца [25, гл. X I X, § 5] о полноте его корневых векторов.

Отметим, что наши результаты близки к теоремам В.Э. Кацнель-сона [29] , A.C. Маркуса и В.И. Мацаева [44]} в которых утверждалась сходимость (со скобками) спектральных разложений возмущенного самосопряженного оператора А в гильбертовом пространстве при условии, что спектр <5 (А) имеет некоторое "регулярное" распределение ( это распределение - частный случай условия а) теоремы 3.2.1В [44] свойства этого распределения позволили освободиться от условия малости возмущения, которое мы используем в виде условия б) теоремы 3.2.1. Справедлив ли аналогичный факт в нашей задаче - остаётся невыясненным.

Четвёртая глава диссертации посвящена изучению возмущений дифференциальных и разностных операторов, действующих в некоторых функциональных пространствах, операторами вольтеррова типа [62] .

В первых двух параграфах исследуется вопрос о приводимости уравнения dt оо г ds l|;(t,s)] X(i-s) =0 (5) с квазипериодической по "t функцией lp(t,S) к автономному уравнению

Iii? dt d<|;(5)] ytf-5) = 0 . (6)

Эта.приводимость аналогична приводимости по Ляпунову, но осуществляется не над всем пространством решений (оно в общем случае бесконечномерно) , а над подпространством тех из них, которые имеет конечный экспоненциальный рост j7 ) на - .

Условия на функцию по аргументу i стандартны: требуется, чтобы ljJ(i,5) имела вид ip (i, 5)= ^(^t, fi^t,., ünt; 5) 7 где ф , Tz,., Та; S) - Zf - периодическая по каждому аргументу 4)s(S=j,tl) функция, допускающая аналитическое продолжение в * область in Z-< 1Г (£^0) , и базис частот сд = (a)i,(Jz,.>ü)n)e R удовлетворяет условию нормальной несоизмеримости: |(а), > cvnsi lkI П i VfcZjfe0.no переменной S функция предполагается функцией ограниченной вариации на [0, , не содержащей сингулярной компоненты. И, наконец, при некоторых Ъ> 0 , ][> О

Z6

KS е ldsip(Z,s)| <~

Из доказанной в § 4.2 теоремы 4.2.1 вытекает , что, выбирая проз вольные 0<Z< Z , 0< ^ < Ц и требуя достаточную малость нормы ! УIIр , уравнение (5) с помощью обратимой замены

00 J

1 [ ds U(i,s)] X(i-S) где II U || - < , p=(f} f) f можно привести о к виду (б) , в котором IЦ ||-< 00 . Следствием этого является базисность решений Флоке уравнения (5) в указанном выше подпространстве, а в случае конечного запаздывания б и в предположении II У 1 (0 у) < ^ ~ следующее асимптотическое представление решений £(i) уравнения (5) на полуоси [0, с начальным условием

Xa)-X0(i) , t е [-6-.0] :

Xib-L I к & e о(е'^), (7) оо г р5 где - нули квазиполинома С(р) = р + е ^(Я , щ кратность нуля , 4^5 - квазипериодические функции с базисом частот О) , - произвольные постоянные.

Вопрос о приводимости систем дифференциально-функциональных уравнений с квазипериодическими коэффициентами и конечным запаздыванием в другой постановке (и в других предположениях) рассматривался М.С. Бортеем и В.И. Фодчуком [12] . Формула асимптотического представления решений, полученная в этом случае, оказывается менее точной, чем (7) .

В следующих параграфах главы изучаются возмущения разностных операторов. В § 4.3 продолжены исследования Фримэна [67] о возмущении оператора . 5 правого сдвига, действующего в пространстве (ир * 00) односторонних последовательностей операторами с нижнетреугольным матричным представлением. Наше обобщение состоит, главным образом, в нормализации возмущенного оператора на "всей оси", в пространстве 1р двусторонних последовательностей ^(прямое перенесение результата

Фримэна на этот случай с дополнительным условием малости возмущения осуществил О.И. Сойбельман [54]). Здесь имеет место почти приводимость и уже не к самому оператору 5 ( или ]) > ' см. (8) ) , а к оператору более сложной структуры.

В качестве невозмущенного мы рассматриваем оператор со н> г о (8) где { Сп})^- СтЧ У {Сг^^ ^р » коэффициенты й°к удовлетворяют условиям: I) К ,2) функция ^(а). (0,)= оо им к ' 1 1 + 1-1 И йк е 1 6 *: Ц-*- £ не обращается в

К=& 5=0 нуль и спектр функции 1 / f расположен в квадранте [0,°°) * [0,°°).

Пространство возмущений оператора D множество операторов B={$ij} , = 0 V i » ограниченно норме . Оператор преобразования строится i. j в алгебре ^^ = {8 = f^ij}e End ¿p : ^- = 0 V¿<j и IIBII,= Mf ( sup E lífjl , sup E \tij\ll~j) <°°} .

Обозначим через Pa :

-ooáfl^áoo) проектор на подпространство {р (aj) = { ÍCrt} е í? Cn = С Vne(-~>,a) U (í,oo)J Теорема 4.3.3. Пусть для некоторого 0<п< °°

Víс>п , 3/г+ и аы ¿м ie Z Тогда для любого наперёд заданного 6>0 можно построить оператор ^ осуществляющий подобие

--------со где V" £ об, С' . I "

На основе этой теоремы в § 4.4 исследуется геометрическая структура спектра разностного оператора н-.аю-ссю вида

И оо

Ня(М) + ]Г а°кх(Ьк1) + Е ак(1)Х({+к&), к = 2 км где 1<\1<схэ , ^ = < 0 ; коэффициенты ^ С удовлетворяют условию 2) ; а е ССК) V й (Ь не обращается в - 1

ОО со и при некотором %> \ ЕЕ max I fl tf+jA)|< Пусть Н0 - автономная часть оператора Н , б|(Н0) (вольтерров спектр оператора Н0 ) - множество тех

Де С , для которых оператор I не имеет вольтеррова обратного, бк(Н0) (кратный спектр оператора Н0 ) множество точек самопересечения кривой б(Н0)

Теорема 4.4.1. Спектр оператора Н состоит из спектра б(Н0) и, возможно, непрерывных кривых, расположенных в • Число кривых, лежащих внутри б^(Н0) и проходящих (целиком или частично) вне произвольно малой окрестности кратного спектра бк(Н0) , конечно.

Спектральные свойства оператора Н (более общего вида) , связанные с вольтерровой обратимостью, исследовал И.С. Фролов [64],

Из его результатов следует, в частности, что ( Н )

Настоящая диссертация написана под руководством проф. А.И. Перова и доц. А.Г. Баскакова, которым автор выражает глубокую благодарность .

1. Агранович М.С. Спектральные свойства задач дифракции. - Доп. к книге: Войтович Н.Н., Кацеленбаум Б.З., Сивов А.Н. Обобщенный метод собственных колебаний в теории дифракции. - М.: Наука, 1977, с. 289-416.

2. Антоневич А.Б. Об одной факторизации разностного оператора. -Изв. АН БССС. Сер. физ.-мат., 1978, № 3, с. 10-15.

3. Арнольд В.И. Лекции по дополнительным главам математического анализа. М.: Наука, 1975. - 382 с.

4. Арнольд В.И. Малые знаменатели и проблема устойчивости движения в классической и небесной механике. В кн.: Проблемы движения искусственных небесных тел: М., АН СССР, 1963, с. 7-13.

5. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. М.: Наука, 1965. - 407 с.

6. Баскаков А.Г. Абстрактный вариант замены Крылова-Боголюбова и некоторые вопросы теории нелинейных возмущений линейных операторов. Труды IX Международной конференции по нелинейным колебаниям: В 4-х. т. Киев, 1984, т. I, с. 74-79.

7. Баскаков А.Г. Замена Крылова-Боголюбова в теории нелинейных возмущений линейных операторов. Киев, 1980. - 44 с.Препринт/ Ин-т математики АН УССР, 80-19) .

8. Баскаков А.Г. Метод подобных операторов и формулы регуляри-зованных следов. Изв. высш. учебн. зав., Математика, 1984,№ 3, с, 3-12.

9. Баскаков А.Г. Методы абстрактного гармонического анализа в теории возмущений линейных операторов. Сиб. матем. ж., 1983, т. 24, Р I. с. 21-39.

10. Боголюбов Н.Н. О некоторых статистических методах в математической физике. Львов: Изд-во АН УССР, 1945. - 137 с.

11. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А., Самойленко А,М. Метод ускоренной сходимости в нелинейной механике. Киев: Наук, думка. 1969.244 с.

12. Бортей М.С., Фодчук В.И. О приводимости и построении решений систем линейных дифференциально-функциональных уравнений с квазипериодическими коэффициентами. Дифф. уравн., 1979,т. 15, № 5, с. 771-783.

13. Бредихина Е.А. Некоторые оценки наилучших приближений почти периодических функций. ДАН СССР, т. 103, с. 751-754.

14. Бредихина Е.А. О приближении почти периодических функций с ограниченным спектром. Матем. сб., т. 56, № I, с. 59-76.

15. Бреннер В.В. О спектральном радиусе оператора с локально независимыми сдвигами. Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат., 1981, № 3, с. 48-55.

16. Валеев К.Г. ЛшШн диференщальн р1вняння з квазшерсо-дичними коеф1Ц1ентами I пост1йним зашзнюванням аргументу. -ВIсник Ки1вськ. ун-ту. Сер. матем. та механ., 1969, № II,с. 16-24.

17. Варламов В.И. Метод мажорантных рядов для одного класса аналитических почти периодических систем. Дифф. уравн., 1979,т. 15, № 4, с. 579-588.

18. Велиев О.А. Одномерный оператор Шрёдингера с периодическим комплекснозначным потенциалом. ДШ СССР, 1980, т. 250,6, с. 1292-1296.

19. Гасымов М.Г. Спектральный анализ одного класса обыкновенных дифференциальных операторов с периодическими коэффициентами. ДАН СССР, 1980, т. 252, № 2, с. 277-280.

20. Гельфанд И.М., Райков Д.А., Шилов Г.Е. Коммутативные нормированные кольца. М.: Физматгиз, 1960. - 316 с.

21. Гольденгершель Э.И. О дискретном аналоге интегрального уравнения типа Вольтерра на полуоси. Успехи мат. наук., 1966, т. 21, вып. 2, с. 223-225.

22. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970. -534 с. .

23. Данфорд Н., Шварц Дк.Т. Линейные операторы: В 3-х т. М.: Мир, 1962-1974.Т. 2. Спектральная теория. Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве. 1966. 1063 с.

24. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы: В 3-х т. М.: Мир, 1962-1974. Т. 3. Спектральные операторы. 1974. 661 с.

25. Динабург ЕЛ., Синай О.Т. Об одномерном уравнении Шрёдингера с квазипериодическим потенциалом. Функц. анализ и его при-лож., 1975, т. 9, № 4, с. 8-21.

26. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. - 741 с.

27. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир,1972. 540 с.

28. Кацнельсон В.Э. О сходимости и суммируемости рядов по корневым векторам некоторых классов несамосопряженных операторов: Дис. . канд. физ.-мат. наук. Харьков, ХГУ, 1967. - 150 с.

29. Кахан Ж.П. Абсолютно сходящиеся ряды Фурье. М.: Мир, 19%. - 204 с.

30. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981. - 542 с.

31. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967. - 464 с.

32. Курбатов В.Г. Алгебра разностных операторов. Воронеж, 1982. - 49 с. - Рукопись представлена Воронеж, ун-том. Деп. в ВИНИТИ 11.02.82, Р 1017-82.

33. Курбатов В.Г. О дихотомии решений линейных уравнений нейтрального типа. Воронеж, 1976. - 26 с. - Рукопись представлена Воронеж, ун-том. Деп. в ВИНИТИ 29.04.76, Р 1443-76.

34. Кучмент П.А. Теория Флоке для дифференциальных уравнений в частных производных. Успехи мат. наук, 1982, т. 37, вып. 4, с. 3-52.

35. Левитан Б.М., Жиков В.В. Почти периодические функции и дифференциальные уравнения. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1978.204 с.

36. Лидский В.Б. Об одной оценке резольвенты обратного оператора. Функц. анализ и его прилож., 1976, т. 10, №4, с. 89-90.

37. Лыкова О.Б., Богатырёв Б.М. О приводимости некоторых дифференциальных уравнений в банаховом пространстве.Укр. матем. ж., 1968, т. 20, Р 5, с. 628-641.

38. Любич 10.И., Мацаев В.И. Об операторах с отделимым спектром.-Матем. сб., 1962, т. 56, №4, с. 433-468.

39. Любич Ю.И., Мацаев В.И., Фельдман Г.М. 0 представлениях с отделимым спектром. Функц. анализ и его прилож., 1973, т. 7, Р 2, с. 52-61.

40. Любич Ю.И., Ткаченко В.А. К теории Флоке для уравнений с запаздывающим аргументом. Дифф. уравн., 1969, т. 5, Р 4, с. 648-656.

41. Люмис Л. Введение в абстрактный гармонический анализ. М.: Госиноиздат, 1956. - 251 с.43,44,45,46