Разложения по собственным и присоединенным функциям конечномерных возмущений вольтерровых операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

В в е д е н и е

Глава I. Вольтерровы операторы с ядрами, однородными степени п - i

§ I. Приведение оператора с ядоом, однородным степени п -1 к простейшему виду

§ 2. Инвариантные подпространства.

§ 3. Интегральное представление одного класса целых функций.

Глава 2. Разложение по собственным и присоединенным функциям конечномерных возмущений вольтер-ровых операторов с ядрами, близкими к однородным

§ I. Приведение вольтеррова оператора к простейшему виду.

§ 2. Асимптотика ядра резольвенты.

§ 3. Вспомогательные оценки.

§ 4. Теорема о разложении.

Глава 3. Интегральные операторы с ядрами типа функции 1рина.

§ I. Приведение оператора с ядром типа функции

Грина к простейшему виду.

§ 2. Асимптотика резольвенты конечномерного возмущения оператора интегрирования.III

§ 3. Вольтерровы операторы с ядром типа функции

Грина.

§ 4. Теорема о разложении.

Л и т е р а т ур а

Спектральная теория линейных операторов играет фундаментальную роль в различных вопросах математики, механики и физики. При этом возникает много проблем, приводящих к несамосопряженным задачам. В отличии от классической спектральной теории самосопряженных операторов, теория несамосопряженных операторов еще далека от своего завершения и в настоящее время интенсивно развивается.

Первые работы, относящиеся к этому направлению, принадлежат В.А.Стеклову, Г.Биркгофу, Я.Д.Тамаркину, которые рассматривали разложения по собственным и присоединенным функциям (с.п.ф.) несамосопряженных дифференциальных операторов. Важное место в спектральной теории несамосопряженных операторов занимают результаты советских математиков. Принципиальное значение имеет здесь теорема М.В.Келдыша о п-кратной полноте с.п.ф. полиномиальных операторных пучков, стимулировавшая дальнейшее развитие данной теории.

Наиболее распространенные способы исследования несамосопряженных операторов связаны с оценкой резольвенты. Она, в частности, лежит в основе метода контурного интегрирования Коши. Еще одним естественным аппаратом исследования многих вопросов спектральной теории (обратные задачи, разложение по с.п.ф., асимптотика собственных значений и др.) оказался метод операторов преобразования. Впервые введенный Ж.Дельсартом, А.Я.Повзнером, он получил мощное развитие в работах И.М.Гельфанда, Б.М.Левитана, В.А.Марченко.

Наибольшее продвижение теория несамосопряженных операторов получила для обыкновенных дифференциальных операторов, где благодаря наличию асимптотики решений соответствующего дифференциального уравнения при больших значениях спектрального параметра, применяется метод контурного интегрирования Коши.

Поэтому при изучении задач спектрального анализа для интегральных операторов естественно прежде всего рассматривать операторы, обобщающие интегральные операторы, ядра которых являются функциями Грина всевозможных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Такими операторами являются конечномерные возмущения вольтерровых операторов, то есть операторы вида nv где

- системы линейно независимых функций, а М - вольтерров оператор. Данная работа посвящена исследованию разложений по с.п.ф. таких интегральных операторов.

Операторы (I) были подробно изучены А.П.Хромовым [2 - 3] при условии, что оператор М является возмущением ft-ой степени оператора интегрирования. Здесь мы будем предполагать, что М является возмущением и.-ой степени оператора обобщенного интегрирования А.О.Гельфонда - А.Ф.Леонтьева, действующего в пространствах суммируемых функций. (В этом случае оператор П также может быть цредставлен как возмущение n-ой степени оператора интегрирования, но возмущающий оператор имеет более общий вид, чем уже рассмотренный). Как и в указанных работах будем считать, что конечномерное слагаемое в операторе Л достаточно мало (2т<ц, 1г 3 ). Это означает, что при больших значениях параметра резольвента оператора Л ведет себя примерно как резольвента вольтеррова оператора, то есть для нее допускается экспоненциальный рост по любому направлению.

В данной работе рассмотрен также случай, когда вольтерров оператор М является оператором с разрывным ядром типа функции Грина. (То есть, оператор М является возмущением первой степени оператора интегрирования). Здесь влияние конечномерного слагаемого на рост резольвенты оператора Д оказывается существенным. На функции l,ftt> будут наложены условия, при которых резольвента оператора Л имеет степенной рост.

Основным методом исследования является приведение рассматриваемого оператора к простейшему виду с помощью оператора преобразования и изучение затем полученного оператора. При этом используется метод контурного интегр1фования.

Изложим более подробно содержание диссертации.

Мы будем изучать оператор (I), где вольтерров оператор имеет вид: я yf= U(t)di

- оператор интегрирования. Рассмотрим два случая.

I). 1Ь>39 о)

СИ

Jft = f(t)di ,

О ^

Я J = J ЯI f(i)di, функция непрерывна, P(l) =0.

Jfti&fi) непрерывна и имеет место оценка:

JVi(X,t) = 0((OC-i)V. (4)

В этом случае оператор М можно цредставить в виде:

И -и , где U - оператор с ядром, однородным степени ft -4. (в дальнейшем, я.о.с. н-I ). м = (5) о

Этот оператор является П -ой степенью оператора обобщенного интегрирования А.О.Гельфонда - А.Ф.Леонтьева в пространстве суммируемых (с некоторой степенью) функций, то есть линейным ограниченным оператором, определенным на системе степеней /к=о следующим образом:

S) ск/ц - некоторые постоянные. 2). =

JVl=5/f(*,t)tlh)cLi.

7) а

Здесь операторы Ми// являются операторами с ядрами типа функции Грина*. Наиболее подробно изучим важный случай лг<5*) = о.

Отметим, что слагаемое J\f , входящее в оператор М , явй В этом случае вполне непрерывный операторМ будем называть вольтерровым, если он имеет одноточечный спектр, (см. И.Ц.Гох-берг, М.Г.Крейн [I]). ляется существенным, поскольку для P(i)^0 , JV(CCti:) ft jL f ^ не имеет оценки вида 0(«z-t) ) f £ > О . Разложения по с.п.ф. конечномерного возмущения оператораМ ((2), (3)), когда P(i) = 0 , то есть рассматривались А.П.Хромовым в работах[2-3].

Первая глава посвящена исследованию операторов с я.о.с. ft- { . Здесь показано, что такой и только такой вид имеют интегральные операторы, которые являются ft-ми степенями операторов обобщенного интегрирования А.О.Гельфонда - А.Ф.Леонтьева в Lp[0,4],

Оператор обобщенного дифференцирования в пространствах аналитических функций был введен в работе А.О.Гельфонда, А.Ф.Леонтьева [4]. Этот оператор и обратный к нему оператор обобщенного интегрирования исследовались в пространствах аналитических функций и пространствах последовательностей в работах А.Ф.Леонтьева [53, Ю.Ф.Коробейника [6-9], К.М.Фишмана и Н.И.Нагнибиды [10], В.И.Шевцова [II,12J и др. Эти операторы изучались и как операторы взвешенного сдвига Н.К.Никольским [13], Ю.Ф.Коробейником [7-8]и др.

Операторы с я.о.с.-i (Yi-O) являются естественным обобщением оператора Чезаро: ~ J ((t)oit и исследовались в работах А.Брауна, П.Р.Хапмоша, А.Л.Шилдса [14], Л.Г.Михайлова [15-16] и ДР.

В данной работе рассматриваются операторы с я.о.с.М-4 для ft >• i . На функцию М (ОС) , вообще говоря комплекснозначную, входящую в ядро оператора (5), будем накладывать условие (I): функция Я (X) п раз непрерывно дифференцируема на полуинтерва-лe(0,i] ; существуют и конечны iim И 1 (ос)) , i~Orfi; существует неотрицательное число 5 , такое, что Н(&) имеет (It +1) -уго ограниченную производную на [S} { ] , и

U(l)=. =Н<п'г)и) = 0, U tn"\i) = ИГ1.

Таким образом, порядок нуля функции Я №) в единице равен n-i . Это условие однако не ограничивает общности рассмотрения (см. теорему I.I). Отметим, что если удовлетворяет условию (I), то соответствующий оператор И (5) имеет вид:

Основным результатом данной главы является теорема о приведении оператора с я.о.с. М-4 к простейшему виду. Пусть Т - оператор умножения на независимую переменную

T^llX)

ТЕОРЕМА I. Если оператор И имеет вид (5), функция И (эс) удовлетворяет условию (I), то существуют числа ИеМп>07 х, и оператор И с я.о.с. -I, функция, входящая в ядро которого, непрерывна, такие, что

Г ~Яаи ТЛо = (E+KrT'jrr^E+K).

Эта теорема по требованиям, налагаемым на функцию Н(&) , аналогична соответствующей теореме Л.А.Сахновича об операторах с ядром, зависящим от разности аргументов (теорема 2 § 3 в [18J). Однако, доказательство проводится другим методом. Во-первых, при доказательстве не используется операция извлечения корня Л-ой степени из оператораЯ , а оператор преобразования строится непосредственно. Во-вторых, при П={ частная производная по X ядра оператора (5) (который, как видно из теоремы I, будет корнем It-ой степени из исходного оператора Н) является неограниченной х Если функция И (&) вещественнозначная, то

Л и Я а неотрицательные числа. функцией, а смешанная частная производная по«£ и h не суммируема в области jO4- { } , и поэтому он не удовлетворяет условиям теоремы I § I из [18] , устанавливающей линейную эквивалентность вольтеррова оператора и оператора интегрирования.

Во втором параграфе получены теорема о порождающих функциях и описание инвариантных подпространств оператора М . Отметим, что инвариантные подпространства операторов обобщенного дифференцирования и обобщенного интегрирования в пространствах аналитических функций изучались в работах Ю.А.Казьмина [19] , Н.К.Никольского [13] , К.М. Фишмана [20], Н.И.Нагнибиды [21] и др.

Третий параграф посвящен приложению полученных теорем к нахождению интегральных представлений целых функций, коэффициенты которых являются произведениями моментов некоторой функции. Такой класс функций встречался в работе В.С.Зюзина [22]. Приведем одно следствие данного результата.

ТЕОРЕМА 2. Пусть р £ О, , а „ г £ (Qi>g. (dp)i *f обобщенная вырожденная гипергеометрическая функция. Тогда, если R,Q > 0 7 , то существует натуральное число S и непрерывная функция V ( , такие, что п DO V (аГк ^

1=0 i где l S) V(i) у (<q, -P) % 'i) cLt,

J a * f2) ify-p+i / = i ~ корни 1 -Ой степени из 1 .

Это представление является обобщением известного интегрального представления вырожденной гипергеометрической функции (см. Г.Бейтман, А.Эрдейи[23] ).

Во второй главе получена теорема о разложении по с.п.ф. операторов (I), (2), (3).

ТЕОРЕМА 3. Пусть оператор Л имеет вид (I), (2), (3), оператор Я имеет вид (5), функция Я (&) удовлетворяет условию (I), функция , V* (•%-) , H = i,itL' непрерывны, и it)к*j- системы неотрицательных чисел, и никакие два из них не отличаются на целое, кратное It , ОСХи- t являются порождающими функциями оператора Л в Тогда, если функция fweLpEa,*] при некотором p>j , на [0,й) то ряд Фурье по с.п.ф. оператора А сходится к функции равномерно на всяком отрезке ? h<CL .

Доказательство этой теоремы основано на приведении оператора М к простейшему оператору

Мо=Т'лТТл где п я

MJ =oi Mi(JC,±)f(i)di, функция непрерывна и имеет оценку (4). Этот оператор исследуется с помощью метода, предложенного А.П.Хромовым в

2-3] и развитого затем в работе Л.Б.Манцева и А.П.Хромова [24]. В рассматриваемой ситуации возникают дополнительные трудности, связанные с оценкой ядра резольвенты оператора Ма в окрестности нуля. При получении этой оценки существенную роль играют свойства функций типа Миттаг - Лефлера. Эти функции подробно изучены М.М.Джрбашяном [25].

В третьей главе исследуются, в основном, операторы с разрывным ядром типа функции Грина. Это операторы, которые можно представить в виде:

8) где А

Jil = №(M,bl(k)dt, о и функция непрерывно дифференцируема. Такие операторы изучались в работе А.П.Хромова [26] . Разложения по собственным функциям некоторых классов таких операторов рассматривались также В.П.Курдюмовым [27] , Л.Г.Назаровым [28] . Первый параграф данной главы посвящен приведению оператора с ядром типа функции Грина к простейшему виду.

ТЕОРЕМА 4. Пусть А - оператор вида (8), D = О^СК^

O^t^l] , J$(X,t) имеет непрерывные смешанные производные по .X и £ : . . дхЧУ Л(Х,±) (i-M-'j"0'*) в Л

Тогда существуют непрерывная в D функция Ц (ос, £), натуральное число пь и непрерывные функции ^, V* такие, что оператор Л линейно эквивалентен m-мерному возмущению оператора интегрирования Я0 : k(X.i)t(l)di, т. 1

CAl) = S )hx)dx. 0

В основе доказательства этого факта лежит общий метод обращения дифференциального уравнения в частных производных, которому удовлетворяет ядро оператора преобразования, использовавшийся для дифференциальных операторов (см., например, Б.М.Левитан[29]). Некоторый аналог этого метода был затем распространен М.М.Мала-мудом, Э.Р.Цекановским в [30] на вольтерровы операторы о

Из теоремы 4 следует, что задачи спектрального анализа для оператора (8) сводятся к соответствующим задачам дои оператора (9).

В § 4 данной главы получены теоремы о разложении по с.п.ф. конечномерного возмущения оператора интегрирования в случае степенного роста резольвенты. Приведем характерный результат.

ТЕОРЕМА 5. Пусть оператор Л о имеет вид (9), функции (&), V* (ОС.), И-1,НЬ абсолютно непрерывны, С [Oyd] r

V^X)gLs[ 0,4],

As = detlSK,j +■ tS(3-S)Vk(0)и выполнено условие О f А* ф Л2 . Тогда, если функция

I (X) абсолютно непрерывна, 4 (Л) G [0, i] и on m, ^nucJ) = /(0M° fa(O) A"4 =0, где A - алгебраическое дополнение -го элемента в

Д° , то функция -Р(ас) разлагается в равномерно сходящийся на [0,1] ряд по с.п.ф. оператора Д0.

Теорема 5 соответствует регулярному случаю, так как при выполнении условий теоремы резольвента оператора -^ограничена.

Если А° ф 0 , то обратным к оператору J}. является оператор L , порожденный интегро-дифференциальным выражением t(lj) = (Е + (?,) ^' » где /2 - конечномерный оператор, и интегральным краевым условием. Разложение по с.п.ф. конечномерного возмущения дифференциально-граничного оператора, порожденного регулярными краевыми условиями, рассматривались 0.Г.Сторожем [3132], который распространил на такие операторы известный результат, приведенный в книге М.А.Наймарка [33]. Заметим, что если порядок дифференциального выражения, порождающего этот оператор, равен единице, то он совпадает с оператором L . Однако, требование не вытекает из условий теоремы 5. Таким образом, даже в регулярном случае переход от оператора Л0 к обратному оператору L сужает класс рассматриваемых операторов. Поэтому в § 2 мы получаем асимптотическое представление компонент резольвенты непосредственно оператора (9), которые затем используются для получения теорем о разложении.

В заключении § 4 результаты, касающиеся коночномерного возмущения оператора интегрирования, переносятся на операторы вида (I), (2), (7).

Отметим, что используя методы работы А.П.Хромова [26], можно получить теорему о разложении по с.п.ф. оператора с ядром типа функции Грина при условии регулярности по Биркгофу краевых условий обратного к нему интегро-дифференциального оператора. Однако эти условия сложно выражаются через ядро оператора и их трудно выписать. Предположим, что оператор Л с разрывным ядром типа функции Грина имеет вид (I), (2), (7). Возможность такого представления для операторов, удовлетворяющих условиям теоремы 4, следует из результатов § 3, в котором найдено характеристическое свойство вольтерровых операторов (2), (7). В этом случае можно явно выписать условия регулярности оператора А и разложения в ряд по с.п.ф. Л некоторых классов функций, имеющих специальное представление типа истокообразного.

В тексте диссертации используются следующие обозначения: R-(Л ) = ( Е ~ j)il ) * - резольвента оператора Л ;

Л = ( Е - Л Л А ~ резольвента Фредгольма оператора А ;

2) если оператор Л действует в банаховом пространстве В , то IIЛII £ - норма оператора; б (А) - спектр оператора Д ;

Uet(A)=\}-.Us>, MU0); Um, Чей}-,

3) если S±e Sg - некоторые множества, то 5i\ их разность; 4) если

MU$M(x,i)!(t)di, то о л

M*f = § М (L,x.)f(t) di; О I

5) = ; 17

6) Л (Л) - л п ^ - функция Хевисайда; и ) X и символ Кронеккера;

4=1,п > * * • • • • fTL 4 j • • .

• • •

Л . „ -матрица пь х п., если иг = /г , то detllAu,

- ее определитель;

9) Сг С п , С , D , U. - различные константы;

10)

Кл*) = dxHte'U* Hi = &Гя № 5

Теоремы и формулы введения нумеруются с помощью одного, а теоремы, леммы и формулы в остальном тексте с помощью двух чисел. Первая означает номер главы, вторая - номер формулы. При ссылках на теоремы и формулы введения первое число равно нулю.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [44-47] и докладывались на научном семинаре кафедры дифференциальных уравнении и прикладной математики (под руководством доктора физ.-мат. наук, профессора А.П.Хромова), на объединенном семинаре по теории функций и дифференциальных уравнений Саратовского государственного университета им. Н.Г.Чернышевского (под руководством доктора физ.-мат. наук, профессора Н.П.Купцова, на научном семинаре кафедры математического анализа Ростовского государственного университета им. М.А.Суслова (под руководством доктора физ.-мат. наук, профессора Ю.Ф.Коробейника), на Всесоюзх Это обозначение применяется только в третьей главе для сокращения записи в формулах. ном симпозиуме по теории аппроксимации функций в комплексной области в г. Уфе в мае 1980 г., на II конференции молодых ученых в г. Уфе в ацреле 1981 г., на конференции " у - теория В.П.Потапова и связанные с ней вопросы" в г. Одессе в ацреле 1981 г., на Саратовской зимней школе по теории функций и приближений в г. Саратове в январе 1982 г., на Всесоюзной школе по теории функций, посвященной 100-летию со дня рождения академика Н.Н.Лузина в г. Кемерово в сентябре 1983 г.

1. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Теория вольтерровых операторов в гильбертовом щ>остранстве и ее приложения. - М.: Наука, 1967. - 508 с.

2. Хромов А.П. Конечномерные возмущения вольтерровых операторов в банаховом пространстве. В кн.: Дифференциальные уравнения и вычислительная математика. Саратов: Изд-во Сарат.ун-та, 1973, вып. 3, с. 3-23.

3. Хромов А.П. Конечномерные возмущения вольтерровых операторов.- Дис. . докт. физ.-мат. наук. Новосибирск, 1973.- 242 с.

4. Гельфоцд А.О., Леонтьев А.Ф. Об одном обобщении ряда Фурье.-Матем. сборник, 1951, т.29 (71), .№ 3, с.477-500.

5. Леонтьев А.Ф. Обобщение радов экспонент. М.: Наука, 1981.- 320 с.

6. Коробейник Ю.Ф. Об операторах обобщенного дифференцирования, применимых к любой аналитической функции. Изв. АН СССР. Сер. матем., 1964, т. 28, №4, с. 833-854.

7. Коробейник Ю.Ф. Операторы обобщенного дифференцирования в пространствах последовательностей. Изв. Сев.-Кавказ.научного центра высш. школы. Естеств. науки, 1977, № 3, с.3-8.

8. Коробейник Ю.Ф. Операторы сдвига на числовых семействах. -Ростов: Изд-во Ростов, ун-та, 1983. 156 с.

9. Коробейник Ю.Ф., Кирютенко Ю.А. Операторы, коммутирующие с оператором обобщенного интегрирования. В кн.: Дифференциальные и интегральные уравнения. Горький, 1979, с.101-107.

10. Фишман К.М., Нагнибида Н.И. 0 базисе из обобщенных первообразных. Сиб. матем. журнал, 1965, т.6, .№ 4, с. 944-946.

11. Шевцов В.И. О представлении целых функций некоторыми общими рядами. Изв. АН Арм. ССР. Матем., 1968, т. 3, №2, с.101-125.

12. Шевцов В.И. Об одном классе аналитических функций. В кн.: Дифференциальные уравнения и теория функций. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1980, вып. 3, с. 57-63.

13. Никольский Н.К. Инвариантные подпространства некоторых вполне непрерывных операторов. Вестник ЛГУ, 1965, $ 7, с.68-77.и. BzclwhJI., ttcLdmosP.И., Shields M.L. Свзazo opezatozs.-Acta Stint.Maih.Skeyed, 1965, т. 2, я 1-2, с. 125-137.

14. Михайлов Л. Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применения к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами. Душанбе: Изд-во АН Тадж. ССР, 1963. -183 с.

15. Михайлов Л.Г. Интегральные уравнения с ядром, однородным степени I. - Душанбе: "Дониш", 1966. - 49 с.

16. Кожкарь-Гончар М.Т., Фельдман И.А. Интегральные операторы с однородными ядрами в пространствах вектор-функций. В кн.: Матем. исследования. Кишинев: "Штиинца", 1977, вып. 45, с. 58-66.

17. Сахнович Л.А. Спектральный анализ вольтерровых оператороввида Изв. АН СССР. Сер. маотем., 1958, т. 22, Ш 2, с. 299-308.

18. Казьмин Ю.А. Полнота некоторых типов последовательностей аналитических функций. Сиб. матем. журнал, 1966, т. 7, Jfe'l, с. 70-82.

19. Фишман К.М. Об эквивалентности некоторых линейных операторов в аналитическом пространстве. Матем. сборник, 1965, т. 68 (ПО), № I, с. 63-74.

20. Нигнибида Н.И. О некоторых свойствах операторов обобщенного интегрирования в аналитическом пространстве. Сиб. матем. журнал, 1966, т. 7, В 6, с. I306-I3I8.

21. Зюзин B.C. О приближении одного класса функций алгебраическими многочленами, близкими к наилучшим. В кн.: Вычислительные методы и программирование. Интерполирование функций и наилучшие приближения. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1981, с. 20-25.

22. Бейтман Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука, 1965. - 294 с.

23. Манцев Л.Б., Хромов А.П. Асимптотика резольвентного ядра вольтеррова оператора в недифференцируемом случае и ее применение. В кн.: Дифференциальные уравнения и теория функций. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1977, вып. I, с. 36-65.

24. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука, 1966. - 672 с.

25. Хромов А.П. Теоремы равносходимости для интегро-дифференци-альных и интегральных операторов. Матем. сборник, 1981, т. 114 (156), В 3, с. 378-405.

26. Курдюмов В.П. Интегральные операторы с разрывным ядром. В кн.: Исследования по дифференциальным уравнениям и теории функций. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1974, вып. 4, с.104-110.

27. Назаров Л. Г. Разложение по собственным функциям одного класса интегральных операторов. Саратов, 1976. - 23 с. - Рукопись представлена Сарат. ун-том. Деп. в ВИНИТИ 14 апр. 1976, В 1239-76.

28. Левитан Б.М. Операторы обобщенного сдвига и некоторые их применения. М.: Гос. изд. физ.-мат. лит-ры. - 324 с.

29. Маламуд М.М., Цекановский Э.Р. Критерии линейной эквивалентности вольтерровых операторов в шкале Ьр 0,1. f ( { <.р 6 е*) . Изв. АН СССР. Сер. матем., 1977, т. 41, 4, с.768-793.

30. Сторож О.Г. Некоторые спектральные свойства оператора, родственного дифференциальному. Дифференц. уравнения, 1975, т. II, й 6, с. II4I-II43.

31. Сторож О.Г. Асимптотические формулы для собственных значений оператора, родственного дифференциальному, нечетного порядка. Дифференц. уравнения, 1981, т. 17, №4, с.744-746.

32. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969. - 528 с.

33. Коробейник Ю.Ф. Об одном интегральном операторе. Литовский матем. сборник, 1965, т. 5, $ I, с. 97-115.

34. Кирютенко Ю.А. Об операторах обобщенного интегрирования,аналитически продолжимых из нуля. Изв. вузов. Матем., 1975,4, с. 47-53.

35. Сахнович Л.А. 0 приведении вольтерровых операторов к простейшему виду и обратных задачах. Изв. АН СССР. Сер. матем., 1957, т. 21, & 2, с. 235-262.

36. Харди Г.Г., Литтльвуд Дж.Е., Полиа Г. Неравенства. М.: Гос. изд. иностр. лит-ры, 1948. - 456 с.

37. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1964. - 372 с.

38. Сахнович Л.А. Обратная задача для дифференциальных операторов порядка ft>2, с аналитическими коэффициентами. Матем. сборник., 1958, т. 46 (88), й I, с. 61-76.

39. Лившиц М.С. О спектральном разложении линейных несамосопряженных операторов. Матем. сборник, 1954, т. 34 (76), № I, с. 145-199.

40. Сахнович Л.А. О диссипативных вольтерровых операторах. Матем. сборник, 1968, т. 76 (118), № 3, с. 323-343.

41. Кальмушевский И.И. Об инвариантных подпространствах недисси-пативных вольтерровых операторов. -Dono&i^i АН УССР, 1972, ^ 7, с. 601-604.

42. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. - 744 с.

43. Седин О.В. Разложение по собственным функциям одного оператора типа дифференциального. В кн.: Дифференциальные уравнения и теория функций. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1980, вып. 2, с. II4-II5.

44. Седин О.В. Разложение по собственным функциям некоторых интегральных операторов. В кн.: Исследования по математике, физике и их приложениям: Тез. докл. Уфа, 1981, с. 38-40.

45. Седин О.В. Разложение по собственным функциям одного интегрального оператора. В кн.: Теория функций и приближений. Труды Саратовской зимней школы. 24 января - 5 февраля 1982г. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1983, часть 2, с. 137-140.