Спектральный анализ нормальных операторов, возмущенных относительно конечномерными тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

^ И V ч» ,'- < / Ч^ (

»

\

ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

УЛЬЯНОВА ЕЛЕНА ЛЕОНИДОВНА

СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ НОРМАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ, ВОЗМУЩЕННЫХ ОТНОСИТЕЛЬНО КОНЕЧНОМЕРНЫМИ

01.01.01 — математический анализ

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор А.Г.Баскаков

Воронеж 1998

\

Оглавление

Список обозначений.............................| .3

Введение . ............................. 4

I. Метод подобных операторов в спектральном анализе возмущений нормальных операторов 16

1. Метод подобных операторов и теорема о расщеплении 16

2. Блочная диагонализация по изолированному спектральному множеству....... ....................27

3. Блочная диагонализация и равносходимость спектральных разложений ............ . . . ........ 44

II. О спектральных свойствах некоторых краевых задач 52

1. Метод подобных операторов для дискретных самосопряженных операторов . ............................52

2. Приложение к краевым задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений..................................66

3. Приложение к интегро-дифференциальным операторам 80

4. Метод подобных операторо^ в задаче Дирихле..........85

Литература ........................................................93

Список обозначений

N — множество натуральных чисел

7L — множество целых чисел

М — множество действительных чисел

С — множество комплексных чисел

R.(A) — множество значений линейного оператора А

сг (А) — спектр линейного оператора А

р(А) — резольвента оператора А

А | Но — сужение оператора А на подпространство Hq

Р(<7, А) проектор Рисса оператора А, построенный по спектральному множеству а из с (А)

Н — комплексное гильбертово пространство

EndH — банахова алгебра ограниченных операторов, действующих в Н

Са(Н) — банахово пространство операторов, подчиненных А, с нормой || • \\а

<72(Н) — идеал операторов Гильберта-Шмидта, действующих в Н, с нормой || • Ц2

¿2 — гильбертово пространство последовательностей, суммируемых с квадратом

L2[0, 7г] — гильбертово пространство функций, суммируемых с квадратом на отрезке [0,7г]

и — банахово пространство возмущений, которому принадлежит оператор В, с нормой || • ||*

Введение

В диссертационной работе исследуются спектральные свойства нормальных операторов, возмущенных относительно конечномерными операторами (относительно вырожденными по терминологии [23]. Этот класс операторов естественным образом возникает при сведении исследования дифференциальных операторов с нелокальными краевыми условиями к исследованию интегро-дифференциальных операторов, определяемых обычными двухточечными краевыми условиями [5], [60], [25].

Относительно конечномерные возмущения играют важную роль в теории управления [63] (в [63] рассматривался широкий круг вопросов для таких операторов: обратная задача спектрального анализа, базисность Рисса собственных векторов и т.д.). Формулы регуляри-зованных следов относительно конечномерных возмущении самосопряженных операторов с компактной резольвентой были получены в [39], [40]. В работах [57], [58] изучался вопрос равносходимости спектральных разложений.

Конкретные классы операторов, которые можно отнести к относительно конечномерным возмущениям, рассматривались в работах [28]-[30], [21], [32].

Одним из самых распространенных методов исследования в теории возмущений является резольвентный метод [16], [27], [37], [38]. В данной диссертационной работе в качестве метода исследования выбран метод подобных операторов, который берет свое начало с метода Пуанкаре нормальных форм для обыкновенных дифференциальных уравнений [2] и тесно связан с методом Ляпунова кинематического подобия дифференциальных операторов [15], абстрактным вариантом замены Крылова-Боголюбова [4], [7].

Основная идея метода подобных операторов состоит в преобразовании исследуемого оператора А — В к другому, подобному ему

оператору А —Во, где Bq имеет несложную по отношению к А структуру.

Впервые метод подобных операторов был изложен Фридрихсом К.О. [55] для возмущенных самосопряженных операторов с абсолютно непрерывным спектром. Р. Тернером [65] для возмущенных нормальных вполне непрерывных операторов была получена теоремы о возможности их преобразования к диагональному оператору в ба-зибе невозмущенного оператора. Дальнейшее свое развитие метод подобных операторов получил в работах А. Г. Баскакова и его учеников [4] - [12], которые стали использовать технику абстрактного гармонического анализа линейных операторов.

Прежде чем перейти к изложению основных результатов, отметим, что в диссертационной работе используется тройная нумерация теорем, лемм, следствий, замечаний, определений, формул. Причем первая цифра означает номер главы, вторая — номер параграфа, третья — порядковый номер теоремы, леммы и т.д. в данном параграфе.

В данной диссертации методом подобных операторов исследуется класс возмущений нормального оператора А : D(A) С Н Н, спектр которого представим в виде

оо

ег(А) = (J crn, П <jj = 0, гф j,

П=1

где а,; — компактное множество, % > 1, причем без ограничения общности можно считать, что <х(/4)П{0} = 0. Относительно возмущения В предполагается, что этот оператор представим в виде

Вх = В0Ах, х G D(A)y

где Во £ СГ2(£Т). Кроме того,

\\PiB0Pj\\ < const аф^ i,j > 1,

Pi = P{(Ti,A), последовательности неотрицательных чисел {с^}-*^, {(3j}jLi принадлежат пространству t2.

В первой главе диссертации для рассматриваемого класса операторов доказаны теоремы о локализации спектра возмущенного оператора, получены оценки разности проекторов возмущенного и невозмущенного операторов, а также условие равносходимости спектральных разложений этих операторов.

В первом параграфе приводится абстрактная схема метода подобных операторов. В спектре оператора выделяются две непересекающиеся части: Д1 — компактное множество и Дг — замкнутое множество, причем & (А) — Д1 и Аг. Любой оператор из пространства воз-

2

мущений XI представим в виде X = где Х^ = QiXQj, —

1,2, — операторные блоки, я = Р(Д1} А) —- проектор Рисса, построенный по спектральному множеству Д1, (¿2 — I ~ Яъ Основное уравнение метода расщепляется на систему уравнений для операторных блоков Хц, i,j = 1,2.

Хц ~ X^ -}- Вц

= = 2) V (г = 2, = 1) Х-ч = ^¿¿(-Ху),

где ^ : Цу Ну,

^{Х) = ВиТХ - (ГХ)В» - (ТХ)(В^ТХ) + Вц,

Г : XI —> СГ2(Н) — непрерывный трансформатор, причем ||Г|| < 71, а ||ХГУ||, < 72||Х||, ||У||„.

Приводится условие, при котором данная система имеет решение и оператор А — В подобен оператору более простой структуры, с теми же инвариантными подпространствами, что и оператор А.

Теорема 1.1.1. Пусть (,11, ¿Г, Г) допустимая расщепляющая тройка и выполнено условие

27 тах{&12,621} + 716ц + 72622 < 1,

7 = тах{71,72}.

Тогда оператор А — В подобен оператору А — СТХ*, где

V"* _ V* I V* 1 V* I V*

Л — л11 -+- Л12 "г + Лоо.

ЬЗ — 1,2, лвллет'ся решением системы уравнений для операторных блоков.

Отметим, что Ь^ есть оценки норм операторных блоков В^, г, ] = 1,2, в пространстве возмущении.

Во втором параграфе первой главы строится допустимая расщепляющая тройка (XI, ¿ГП,Г„) (п — некоторое натуральное число) для оператора А, позволяющая получать оценки спектра возмущенного оператора. В качестве Дх выбирается множество <тп — одно из тех, объединение которых составляет спектр оператора А.

Теорема 1.2.1. Пусть п — натуральное число, такое, что выполнены условия

71 (п) =

Е

1П>1

\mjin

*п №<*2т + К12/з2т**п

ч 1/2

< оо,

72 (п) = шах

\On\anP,

|С1'пРп _I

¿х л:

*>1 (ИЗ^(Тк, (Тп)

¡М4

> < ОО.

Тогда тройка (XI, является допустимой расщепляющей

тройкой для оператора А.

Теорема 1.2.2. Пусть п — такое натуральное число, что выполнены условия теоремы 1.2.1. Тогда для любого оператора В 6 XI, удовлетворяющего условию

27(п) тах{&12,621} + ъ(п)Ьи + ъ(п)Ь22 < 1,

где 7(п) = тах{71(п),7г(^)}> оператор А — В подобен оператору А — JX*(n), Х*(п) е XI имеет вид

Х*(п) = Х^п) + Х*2(п) + Х^п) + Х*2(п),

(

= 1,2) есть соответствующее решение системы уравнений (для операторных блоков), для которого справедлива оценка

\т

Здесь (г = 1 ^ = 2) V (г = 2,з = 1), = В1},

Б{п) = (1 - 71(п)6ц - ъ(п)Ь22)2 - 471(71)72(71)612621.

Данная теорема позволяет получить разнообразные спектральные свойства оператора А — В.

Теорема 1.2.3. Для всех натуральных п, таких, что выполнены условия теоремы 1.2.2., имеет место оценка

тп) < ап(Зп\ап\ |6ц + }

V у/Щп) )

где оп = <т((А - &Х*(п)) \ Рпи).

Теорема 1.2.4. Для всех натуральных п, таких, что выполнены условия теоремы 1.2.2., имеет место оценка

271(71) тах{б12,621}

\\Рп - Рп\\ <

у/Щп) + 1 - 71 (п)Ьц - 72(71)622 - 271(71) тах{б12,621}'

где Рп есть проектор Рисса, построенный по спектральному множеству ап оператора А — В.

Кроме того, во втором параграфе показано, что оператор В : £)(А) СЯ-4Я, определяемый соотношением

N _

Вх= {Ах> ак)Ьк, ак} Ьк ен, к = 1, ЛГ,

принадлежит рассматриваемому пространству возмущении, причем

oci

N \!/2

ЕР«2 *=1 / / Я \ 1/2

/%= ЕР>*112

и=1

а Ь^ = 1 (г,^ = 1,2).

Вопросами равносходимости для различных классов операторов занимались Дж. Биркгоф [61], [62], Я. Д. Тамаркин [43], В. А. Стс-клов [42], М. Стоун [64]. В настоящее время эти исследования продолжены в работах А. Д. Хромова [59], [57], [58], В. С. Рыхлова [35], [36], В. А. Ильина и его учеников [17]-[20].

В третьем параграфе диссертации этот вопрос рассматривается для нормальных операторов, возмущенных относительно конечномерными операторами. Строится допустимая расщепляющая тройка (-11, Зпч Гп) (п — некоторое натуральное число) для оператора, позволяющая оценить норму разности спектральных разложений возмущенного и исходного операторов. В качестве А\ выбирается мно-

п и

жество и о",;, которое в дальнейшем обозначается Ап.

1=1

Теорема 1.3.1. Пусть п — натуральное число, такое, что выполнены условия

\т=1 *>п+1 \ОЛ8г{ат1(Гк)Г /

72(п) = тах{ max ( Е "4

1 3-п U>n+1<&

0k\<*kPk

dist{aj, (Тк)

If KW \\^

SUP 1 E -ч \\ < oo.

j>n+1 [k=i dtst((Tj,ak) J J

Тогда тройка (iJt, Jn, Гп) является допустимой расщепляющей для оператора А.

Теорема 1.3.2. Пусть п — натуральное число, такое, что выполнены условия теоремы 1.3.1. Тогда для любого оператора В G ХС,

удовлетворяющего условию

27(га) max{bi2, b21} + 72 W&22 + 7iW&n < 1>

где 7(га) = max{7i(n),72(n)}; а величины 71(71), 72(71) определяются в условиях теоремы 1.3.1., оператор А —В подобен оператору А — JnX*{n), где оператор Х*(п) G iX имеет вид

х*(п) = х;2(п) + х;2(п) + Х2\(п) + Х2*2(п).

Здесь X*j(n) = QiX*(n)Qj = 1,2) — решенце системы уравнений, определяющей подобие операторов. Qi = Р(А„, А) — проектор Рисса, построенный по спектральному множеству Ап,

Q2 = I~Qi-

Теорема 1.3.3. Для всех натуральных п, таких, что выполнены условия теоремы 1.3.2., имеет место оценка

dist(AnÄn) < ¿>f Е ßjWil2 (6н + З?!^^1 где Дп = о-(Д - JnX*(n) | Qi#).

Теорема 1.3.4. Пусть допустимая расщепляющая тройка (iX, ¿Гт Г„) для оператора А и оператор В Е iX таковы, что выполнено условие

lim 7i(n) = 0, lim 72(71) = 0.

п—>оо / 7 п—кэо ' 4 '

Тогда начиная с некоторого натурального щ оператор А — В подобен оператору А — ¿fnX*(n), п > по, и

||P(A„, Л) - Р(Ап, А - Б)|| - 0, 71 ► оо,

где Р(Ап, А—В) — проектор Рисса, построенный по спектральному множеству Дп оператора А — В.

Следствие 1.3.1. Пусть выполнены условия теоремы 1.3.4- Тогда для любого фиксированного х из Н имеет место предельное соотношение

£ PiX-(l-P(An,A-B))x

г>п+1

О, 71 —► ОО.

— и —

Во второй главе изучаются спектральные свойства самосопряженных положительно определенных дискретных операторов, возмущенных относительно конечномерными. Показывается, что в этом случае значение трансформатора Г на элементе X € XI задается формулой. С использованием этой формулы получены оценки собственных значений и собственных векторов возмущенного оператора. Полученные результаты применяются для исследования некоторых интегро-дифференциальных и функционально-дифференциальных операторов.

В первом параграфе доказаны следующие теоремы.

Теорема 2.1.1. Пусть п — натуральное число, такое, что выполнены условия теоремы 1.2.2. Тогда для \{Ап) — взвешенного среднего собственных значений оператора

Ап = (А-В)\РпН,

где

?п = (1 + г пХ\п))Рп{1 + ГпХ*(п))-\

имеет место оценка

<

- ш$гщ*г(АРп -Вп- В12Г„Б21)

< \<7пЬ2(п)а„Р»Ъ12Ъ21

Далее рассматривается случай, когда множество ап состоит из одного простого собственного значения.

Теорема 2.1.2. Пусть собственные значения оператора А — простые и перенумерованы в порядке возрастания 0 < А1 < А2 < ...; е\,е2, ... ... — ортонормированный базис из собственных векторов оператора А, соответствующих этим собственным значениям. Если для некоторого натурального п выполнены условия теоремы 1.2.2., то ёп = (/+ГпХ*)еп является собственным вектором

(А — В), соответствующим собственному значению \п, и имеют место оценки

(Веп,ек)(Век,еп)

оо

А„ - А„ - (Веп, еп) + £

*=1 (А„ - Л,)

кфп

<

< Къ(п)апРпЬ12Ь21/^/£>{п);

оо

(Веп,ек)

еп - е„ + -—1Ч

(

<

А=1 А п —

кфп

о X1/2

<

й |Ап - А*|2

Следствие 2.1.2. Если, выполнены условия ^Ит^ 71(71) = 0 и гНш) 72(71) = 0, то существует натуральное число щ, такое, что для всех п > 71о выполнены утверждения теоремы 2.1.2.

Во втором параграфе проводится исследование спектральных свойств функционально-дифференциального оператора, действующего в гильбертовом пространстве Ь2[0,7г], задаваемого выражением

7Г

Ьх = —х — q(t)x — х(—)

¿л

и краевыми условиями ж(0) = ж(7г) = 0.

Спектральные свойства этого оператора изучались в работах ряда авторов. Во всех этих работах от функции д требовалась некоторая гладкость. Так, М. Мартиновичем была получена асимптотика собственных значений данного оператора в предположении дважды непрерывной дифференцируемости функции q. В диссертационной работе оценки собственных значений получены для функции q 6 Ь2[0,7г]. Отсутствие гладкости при рассмотрении оценок собственных значений приводит к необходимости выделения апроксими-рующего слагаемого, учитывающего коэффициенты Фурье функции Я-

/

Показывается, что данный оператор при любой функции q Е 1г2[0,7г] принадлежит рассматриваемому классу операторов, и для собственных функций и собственных значений этого оператора получены оценки.

Теорема 2.2.1. Для любой функции q 6 Ь2[0,7г] существует такое натуральное щ, что для всех п>71о функция

ё'пМ

^

2

вт пЬ —

7г

2 "о

\ ~ Е 2 п 2ьтЫ + ш(п)(г),

\ 7г к=1 пг — кг

кфп

где

}пк — сп-к сп+к Н~ ~ " к к 2 ' — 1)2, . . .

о){п) € D(A) и 5; сопэЬ

<4

оо

£ \п2 - к2)2

\

1/2

П,

Ск — коэффициенты Фурье функции д на промежутке [—7г,7г] по системе функций е~ггй, является собственной функцией оператора А— В. Для собственного значения Хп, соответствующего этой собственной функции, имеет место оценка

оо

А „ - п2 - /пп + £

$пк

п2 — к2

< сопвЬ • 7г(п)о:пп.

Теорема 2.2.2. Начиная с щ = 2 Лял собственных значений Хп и собственных функций фп{€) оператора С : £>(£) С Ь2[0,7г] —> Ь2[0,7г], задаваемого выражением

,7г\

Сх = —х — сс(—)

и краевыми условиями ж(0) = ж(7г) = 0, имеют место соотношения А = п2, фп{1) — п — четное,

д 2_4!ш1п ^

" ТГП ' п*

< coтlst ( —4-

^ тг2«1 ) ■»

/I /

оо

вт(2/ + 1)«

21+17*1

< сопв^ • 4г тори п — нечетнс^м.

2 \ 1/2

<

В третьем параграфе доказано, что интегро-дифференциальный оператор, задаваемый выражением

Сх =-х- <?(*), /,9 е Х2[0,тг],

принадлежит классу относительно конечномерных возмущений самосопряженных операторов, и справедлива следующая теорема.

Теорема 2.3.1. Для любых функций /, д £ Ь2[0,тг] существует такое натуральное число щ, что при всех п > щ имеют место оценки,

к - п2 - п/гс

8111

оо

С08

то J т

1-Е

ш=1 (п2 - т2)

\ т^п

<

< сопз1Ъ{п)п\КГ№п1

71 /

оо

т^п

8Ш ЗШ втт£

(■п2 — т2)

< согъзЬ •

£ 1С1!2

».=1 |га — га|

\ та^п

\ 1/2

2 \ Л

1/2

<

где Хп — собственное значение оператора (А — В)\РпН, а ёп{1) — соответствующая этому собственному значению функция. Проектор Рп определяется формулой

Рп = (1 + ГпХ*(п))Р(\п, А)(1 + Г«*»)-1.

/

В четвертом параграфе метод подобных операторов применяется для оценки асимптотику собственных значений относительно конечномерного возмущения оператора задачи Дирихле для уравнения Лапласа на параллелепипеде. Для такого класса операторов в [39], [40] были получены формулы регуляризованных следов. В данном параграфе рассматривается вопрос, как изменится часть спектра оператора Лапласа при относительно конечномерном возмущении.

Теорема 2.4.1. Пусть функции h,b € L2(П) таковы, что для разбие-

оо

ния спектра сг(А) = U огп оператора А, соответствующего некоим

торому положительному р, имеют место неравенства \\РпЬ\\ = (е Е KWI2) < constп-",

ИЗД|=( Е Т2 Е |(М*)|2| < const n~V, \A¿€<t» Áj (k,k)a=Xj J

где n = 1,2, ... ,2u-l> p(l — (ra > 2). Тогда существует такое натуральное число щ, что для всех п> п о оператор А — В подобен оператору А — JnX*(n), где

Х\п) = X* (n) + XUn) + Xí(п) + Х*2(п),

X¿j(n) (i,j = 1,2) — решение системы уравнений для операторных блоков, и имеет место оценка

dist(on,on) < const n~2v{n + 1)™,

где = <r ((А - JnX*(n)) \ РпН).

Глава I

Метод подобных операторов в спектральном анализе возмущений нормальных операторов

1. Метод подобных операторов и теорема о расщеплении

Изучение спектральных свойств рассматриваемого класса операторов основано на использовании метода подобных операторов (см. [55], [7]). Суть метода подобных операторов состоит в преобразовании исследуемого оператора А — В к (подобному) оператору более простой структуры.

В этом параграфе приведено основное (нелинейное) уравнение метода подобных операторов и па его основе получеп специальный, удобный для применения вариант метода подобных (так называемая теорема о расщеплении линейного оператора). Именно эта теорема служит отправным пунктом для детального спектрального анализа изучаемых операторов.

Пусть Н — бесконечномерно�