Экстремальные возмущения линейных операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

рГб од

2 6 Лир т

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК 93 УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЯ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

На правах рукописи

ИСЛАМОВ Галимзян Г'азизович

УДК 517.983+517,929

ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ ЛИНЕЙШХ ОПЕРАТОРОВ

на стыке специальностей:

01.01-01 - математический анализ ■ 01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени

доктора Аязико-чатематических наук

Г

I

Екатеринбург 1993

Работа выполнена в Удмуртском государственном университете.

Официальные оппоненты; доктор физико-математических наук,

профессор С.Т.Завалищин;

доктор физико-штематических наук,, профессор В.А.Треногин;

' доктор физико-математических наук, профессор А.П.Хромов.

Ведущее учревдение - Институт математики АН Украины.

Защита. состоится " * 1ЛА41Л. 1993 г. в * 11 * час. на заседании специализированного совета Д 002.07.01 по защите диссертаций на, соискание ученой степени доктора наук в Институте математики и механики УрО РАН (г.Екатеринбург, ул. С.Ковалевской, 16).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрОРМ1-

АвтореФерат разослан " 5~* ОПА^^ЛлА^ 199 3 г.

Ученый Секретарь • специализированного совета кандидат (¡из. -ца,т. наук

I

М.И.Гусев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теми. ■Линейные-ограниченные операторы о конечномерной областью значений (конечномерные операторы) широко используются в качестве инструмента приближения компактных операторов и возмущения спектральных свойств замкнутых операторов. Конечномерные возмущения оставляют без изменения существенный спектр оператора, но могут вызвать значительные изменения в дискретном спектре, что имеет важное прикладное значение.;

Минимальный ранг конечномерного оператора в задаче приближения компактного оператора с заданной точностью определяет для задачи дискретизации минимальную размерность, характеризующую степень сложности изучеяия дискретного аналога нопре- -рывной модели, В работах Дж.Э.Аллахвердиева, Г.йейля, А.Пича и др. была раскрыта важная роль сингулярных и аппроксимативных чисел в задаче определения минимального ранга конечномерных операторов, приближавших компактные операторы с заданной точностью. Знание асимптотики стремления к нулю аппроксимативных чисел компактных операторов не всегда позволяет получить эффективные оценки минимального ранга в задаче приближения. Поэтому'.разработка способов получения точных значений аппроксимативных чисел для специальных классов компактных операторов и методов получения двусторонних оценок аппроксимативных чисел для достаточно широких классов операторов представляется важной и является трудной проблемой I)-

Возможность изменения спектральных свойств компактных операторов посредством конечномерных возмущений используется, например, для ускорения сходимости итерационных процессов отыскания редений операторных уравнений 2). Величина минимального порядка алгебраической системы, к которой приводится

X) Прёсдорф 3- Линейные интегральные уравнения //Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 27. М.: ВИНИТИ, 1986. С. 5е-6-''. 2) Лучка А.Ю. Проекционно-итеративные алгоритмы реиения дифференциальных и интегральных уравнений. Киев: Наукова думка, ■■ 1980. 263 с.

- -

уравнение с конечномерным оператором, - важная характеристика "ускоренного" итерационного процесса. Она определяется минимальным рангом конечномерного возмущения, сдвигавшего определенные точки спектра исходного оператора в окрестность нуля.

Проблема управления дискретным спектром динамической системы с замкнутым оператором методом обратной связи общеизвестна 3). Вопрос о минимальном числе входов управляемых динами-' ческих систем,' допускающих требуемое изменение спектра методом обратной связи, сводится к минимизации ранга конечномерных возмущений замкнутого оператора системы, вызывавших ото изменение спектра.

Таким образом, представляется целесообразным изучение всего комплекса вопросов, возникающих при рассмотрении проблемы минимизации ранга конечномерных операторов, используемых в качестве инструмента приближения компактных операторов и возмущения спектральных свойств замкнутых операторов с дискретным спектром.

Цель работы:

1) описать классы замкнутых функционально-дифференциальных операторов с дискретным спектром, представляющие интерес для математического моделирования;

2) сформулировать основные задачи общей проблемы управления спектром замкнутых операторов посредством конечномерных возмущений минимального ранга ;

3) описать классы компактных операторов, для кот.орых могут быть получены двусторонние оценки скорости аппроксимации конечномерными операторами.

Методика исследования. При формализации исследуемых в диссертации проблем используется идеология теории "абстрактного функционально-дифференциального уравнения" 4) и применяется язык теории функций и функционального анализа. Это позволяет сформулировать результаты, степень общности которых огра-

3) Бутковскг.й А,Г., Самойленко Ю.И. Управление квантово-меха-шческимк процессами. М.: Неука, 1984. 256 с.

4) Аэбелев Н.Э., Максимов 3.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функциоьалько-гдифференциалышх уравнений. М.: Наука, 1991. 240 с. . >

■■" - 5 -

ничёна утверждениями теории линейных уравнений в банаховых пространствах, выпуклого анализа и теории функций. В диссертации используются методы теории краових задач для функцко-нально-дифференциальшх уравнений, теории функций, спектральной теории операторов в банахових пространствах и положительных операторов в банаховых решетках, теории приближения и теории, мери. ■

Научная новнзнй работы, теоретическое значение и практическая Ценность работ«:

1) получены утверждения о замкнутости и обобщенной сходимости (в смысле графика) операторов, порожденных краевыми задачами для функционально-дифференциальных (ф.д.) уравнений;

2) установлена критерии существования решений ф.д. уравнений, удовлетворяющих совместной системе краевых равенств и неравенств. Эти критерии'обобщают известные утверждения о нормальной,разрешимости -краевых. задач для ф.д.' уравнений и могут быть использованы при доказательстве дискретности спектра замкнутых. операторов.: краевых задач для ф.д. уравнений ;

3) сформулирована и доказана теорема об оценке спектрального радиуса слабо' компактного оператора в пространстве непрерывных функций,.определенных на компактном топологическом пространстве. Зта теорема служит источником эффективных утверждений об однозначной разрешимости краевых задач и сохранения знака функции Гркна 5) : •

;0 вычислен минимальный порядок алгебраической.системы, которую приходится решать многократно в итерационном процессе Х.„- О ' Г-к-Нх-к , сходящемся в

эквивалентной норме Ц ■ ц б)' к. решении системы алгебраических уравнений X = /\ X + f- со скоростью II X к - X ¡1, < < у/ 11хНг , где у С- (0,1) ;

5) Азбелев Н.В., ДомошницкиЙ А.И. К вопросу.о линейных. дифференциальных неравенствах.И//Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27, №6. С. 923-931. .■'•■".■

6) Самарский А>А.,- Гулин A.B. Численные методы. М.: Наука, 1.989. -'132 с. .

~ б -

5) -указано минимальное число входов динамических систем, допускающих путем введения обратной связи требуемое изменение спектра; .

6) предложена процедура построения факторизации

& = (Л + ЮР"1 (I)

нётерового оператора & ' : В * 0 индекса (- тх ) по заданной системе •тп. (т- Ж* ) базисных дефектных функционалов оператора б- и системе функционалов из сопряженного'пространства 8 . бнортогональной базису ядра оператора 0- ■ , . в случае пь>п- (случай пъ<п~ невозможен). Здесь (д подпространство банахова пространства В , изоморфное. Вх|у .

/I : В ■-* .¡Ь - ннъективиив опёратор с образом коиеЧноп:коразмерности, К : & -3) — конечномерный, а Р ; В-» В взпрериьио'.обратимый линейный опора-тор. Для операторов Сг с и;,-лепим ядром (-случай, тть » тг. ) предлагаемая -факторизация • оптимальна в тем смысле, что. оператор К с разделен;;» (I) икеет минимально-ъозмокний ранг. Получен' критерий-факторизация. На основе-разложения (I) доказаны необходимые и достаточные условия • принадлежности интегральных операторов, повышающих гладкость, классам Шэттепа (^/-(¿д^-) • • Кроме того, факто-

' т ■ '

рнзация (I). ка основе известных теорем М,В.Келдыша- и -А.С.Маркуса приводит к ряду новых утвержденай о полноте системи корневых векторов нЗторовых операторов С- : В 2) индекса С-«,). Наконец, факторизация (I) позволила получить "двусторонние оценки минимального-ранга конечномерных операторов, аппроксимирующих операторы Грина ф. д.--уравнений .о'заданной точностью ; . .

?)- наезодоьаи бесконечномерный случаи .задачи управления спектров посредством конечномерных- возмуцений.минимального . ранга. Доказан аналог соот.ношония'двойственности'-для замкну-•■¡»л операторов и исследованы свойства' оптимальных возмущений. Взяшж доиохнанием,- к теореме двойственности слукат оценки гейнетраческой кратности собственных значений, доказанные для Vр -суммг.рукаих операторов ( р ,"2-2, ), и конструкции емчг'ллмшх возмущений, полученные для' операторов Рисса .в "терт

милах "удаляемых" собственных значений и отвечавших им корневых векторов. Эти формулы позволяет оценить норму оптимальных возмущений и могут бить использованы з алгоритмах приближенного построения таких возмущений. Особо исследован случай управления периферическим спектром положительного неприводимого компактного оператора. Указана оценки норм одноранговых возму-деиий и установлен характер поведения их в зависимости от числа "удаляемых" собствешшх значений.

Апробация работ. Результаты диссертации докладывались на Ижевском и Пермском матем. семинарах /1986-1992 г.г./, на совместном заседали семинара им. Й.Г. Петровского и МЯО /Москва, МГУ, 1989 г./, на семинаре проф. Литвикчука Г.С. /Одесса, МГИ, 1989 г./, на семинаре проф. Ченцова Л.Г. и Субботина Ю.Н. /Екатеринбург, !Ш УрО РАН, 1989 г./, на семинаре чл.-корр. АН-Укр. Корнейчука Н.П. /Киев, КМЛНУкр., 1990 г./, на конференции "Зкстремалькна задачи теории приближения и их приложения" /Киев, 1990 г./, на семинаре "Прикладные аспекты теории операторов" /Ульяновск, К.кола по теории операторов в функциональных пространствах, 1990 г./, на семинаре "Теоретические основы и. конструирование алгоритмов решения задач'математической физики" /Москва, ИПМ им. М.З.Келдыша, 1990 г./, на семинаре чл.-корр. РАН Похоиаева С.И. /Москва, МЭИ, 1991 г./, па семинаре проф. Треногина 3.Л. /Москва, МИСиС, 1991 г./, на совместном семинаре проф. Кашина Б.С. и Тенлякова й.Н. /Матем. ин-т им. В.А.СтеклоБа, 1992 г./, на семинаре проф. Хромова А. П. /Саратов, СГУ, 1992 г./.

Публикации. Основные.результаты диссертации опубликована в работах [1-20]..

Структура и обгон работы. Диссертация состоят из'введения, трех глав и списка цитированной литературы. Объем - 255 страниц машинописного текста. Библиограф;!; содержит II'* наянеиова-

. СОДЕРЖАНИЕ И ССНОЗШЯ РЕЗУЛЬТАТУ ДИССЗРТАЦИИ

Во введении дан краткий обзор осногнзх идей, характеои-зушеих обяуо шпразлсшюсть диссертзцноиио?« работы.

- 8 - •

Первая глава "Свойства конечномерных возмущений" состоит из двух параграфов; Параграф I носит обзорный характер. В нем систематизированы те свойства конечномерных возмущений линейных операторов, которые имеют непосредственное отношение к задачам, рассматриваемым в диссертации. Приведена формула Вайнштойна-Ароншайна изменения алгебраической кратности изолированного собственного значения при конечномерном возмущении замкнутого оператора. Показано, что спектры операторов Д и А-К близки в определенном смысле, если К = 0.Л -возмущение Рэлея малого ранга ( -ортопроектор). Доказано, свойство оптимальности конструкции Шмидта-Треногина 7) конечномерного возмущения Фредгодьмова оператора. Для изолированного собственного значения доказан критерий совпадения геометрической и алгебраической кратностей. Приведены необходимые и достаточные условия совпадения спектров Браудера и Вейля. Указаны формулы для вычисления спектрального радиуса спектра Браудера. ' • • ■

В параграфе 2 дано обоснование необходимости изучения экстремальных задач вида - -

'ъшъсц, К ■—> tn.Cn., ъсигу. К —» , К -> тхп..

■ Л & ~ К II< 8. Ъ(в-К)<1 . ЛсР(А-К)

Первые две' задачи относятся к компактным операторам, действующим в банаховом пространстве В .В третьей задаче А -замкнутый оператор в В . Здесь ъсиху. К - сШп. КВ ]размерность образа конечномерного оператора, -КИ > норма, Ь(£ - К) - спектральный радиус, Р(Д-К) - резольвентное множество оператора, .(X - заданное собственное подмножество комплексной плоскости С • . Показано, что ..,.-..'

а) т±п.{галу,К:1№~К11 '< £ } представляет собой минимальную размерность подпространства, аппроксимирующего образ

единичного кара 5 гильбертова пространства 8 с точностью £ ; ; . "

б) пгиъ{юл^, К: %,(А - К)<!} есть минимально возможный порядок алгебраической системы,.которую приходится решать

7) Треногин Р.А. Функциональный анализ. М,; Наука, 1980. 496 с.

многократно в методе осреднения функциональных поправок 8) ; в) min. {tafuj, К С Р(Д- К )} - минимально возможное

число входов т. в задаче управления спектром д-лнамической

/гг

систомы ее (ЬУ ~ /\х (£). ■+;^¿ Ш . состоящей-в указании такой обратной связи (t) = - (oc(i)}^), i - i, т.,

tn.

при которой П С Р(А ~ С',^)).

¿=1

Для последней экстремальной задачи подробно разобран случай, когда 8 ость Ть -мерное комплексное пространство С В теореме 2.7 (с. 61 диссертации) указами условия, при которых имеет место соотношение двойственности

пил+ъсиурК-: Кб П.с~ Р(А~К)} -= пых. { dirn,Ксл~(А -XI): Я&.(!}.

Здесь алгебра квадратных матриц порядка п. с элемен-

тами из числового поля , Л 6 . I - единичная

матрица. Эти условия состоят в следующем:

1) существует элемент поля , kö.принадлежащий .0. ;

2)' найдется аннулирующий многочлен патрицы /\ , раэлага-еднйся в произведение таких двух многочленов .скоэффициентами из поля 5* , что все нули одного многочлена содержатся в IX , а все нули другого - в дополнении С \ jQ. .

При 3~ ~ €> эти условия выполнены при лвбых Л и £1 . Вели 5е" - поле вещественных чисел и множество Л симметрично относительно, вещественной оси, тс условно 2) выполнено для любой матрицы А с вещественными элементами. Это же условие пчеот место для матрица А , все собствешшэ значения которой лежат в поло \р , и произвольного IL .

Дополнением•в теорема 2.7 служит еяедувзее утверждение» Пусть i . Л,

■ Теорема 2,-'и Отображение ?t> , определяемое равенством

функцйскальаах поправок

является биекцией между множествами

(Н е ?пкп:.ъ«1~ННА-Н))<у}

и

Оно сохраняет ранг и обратное к нему отображение дается формулой • ■ -1-1

I ш = 1-а + ка-д) ).

Приведенное на с. 45-47 диссертации доказательство при Цг - 1. остается верным и в общем случае.

Из теорем 2.7 и 2.4 следует, что максимальная геометрическая кратность rn.cL.yi { сИт. К&ь (А ~Д1)-' Ш?-^} представляет собой минимальный порядок алгебраической системы, которую приходится решать многократно в итерационном процессе хв = О ,

Хк - Нхк ='(А ~ + ■£ , сходящемся в эквивален-

тной норме Ц • к решению системы алгебраических уравнений

х = л ЭС .+ ^. со. скоростьв ||хк - эс< ^КхИ, 9).

Глава 2 "Структурные свойства линейных операторов" состоит из трех параграфов. В параграфе I рассмотрены общие свойства нзтеровых операторов индекса- (-П,), действующих из банахова пространства В над полем (вещественных чисел К или комплексных чисел С ) в подпространство 3) С. В . изоморфное В * Уп ■ Интерес к таким операторам вызван тем, что для них могут быть получены двусторонние оценки аппроксимативных чисел

гоигд. К<£

В силу соотношения двойственности пихх. (£ •:■ > £ } =

= теп. {с : < £.}~>гшь{°ихщ }<: Ц £-К 11< £)= №&;£)

двусторонние оценки аппроксимативных чисел позволяют оценить

9) Исламов Г.Г. О границе применимости итерационного метода //Матем. моделиров. и информац. технологии: МежвуЗ.сб.науч.тр. /.Удм, ун-т. Ижевск, 1991. С. 14-15. , .

величину минимального ранга в экстремальной задаче.

В работе 10) Для произвольного класса операторов G с обратимым 1~ & доказано соотношение

Sup S;(G)/(2,(cL+L)Z) $ Ubf sup il (I - G-)L- .

Gtp * ■■

где ^/ч - совокупность методов-^, . сопоставляющих оператору. G- класса ^ конечномерный линейный оператор JM(G) ранга <1 с обратимым l-M(G),cC = Sup IIGïï,f}~ su/эli(I-G) 11.

Наличие двусторонних оценок чисел S-(G-) в этом случае-

О.

позволяет оценить величину погрешности в задаче дискретизации

уравнения X. = Gcc+ f методом JL(G) : х = M.(G)£ +4 •

Лэтеровы операторы' G : В индекса (- гь) представ-

ляют также интерес с точки зрения проблем, рассматриваемых в работе II).

Аппроксимативные числа - один из видов аддитивных S -чисел А'.Пича 12), играющих важную роль при исследовании аппроксимативных и спектральных свойств линейных операторов.

В пространстве ct(B) Всех линейных ограниченных операторов G : В6 введем отношение эквивалентности, разбивающее сССВ) на непересекающиеся классы так, что операторы одного класса принадлежат одним й тем же операторным идеалам и имеют одинаковые по порядку аддитивные л? -числа в смысле А.Пича. Пусть Gtj Gz è£(B) ' Скажем, что Gг:. эквивалентно (кратко G^ ~ ), если найдется такой линейный гомеоморфизм Р< банахова пространства В и линейный конечномерный оператор Kt : В -> б , что = + Kt)P± , где Pt t- обратный к Pt . оператор. : ■

10) HclivUcL S, On. iAt opiùncti (/Vtcrt of сЬситлллсЬг. »t^Wi 3nicg/c. iq/MCLt. ±985. V. 9, /V» 3 . P. ZÏI-Z6G.

11) Переверзев C.B., Солодкий С.Г. Об оптимизации методов приближенного рекения двумерных уравнений Фредгольма второго рода //УMl. 1990. T. KZ, » 8. С. 1077-1033.

• -12 ■ .' Для класса эквивалентности, порожденного инъективным отображением, можно предложить различные (эквивалентные) критерии принадлежности этому классу.

Пусть Л ииъективное отобраяе!ше банахова пространства В Выберем конечномерное подпространство б С. В » пересекавшееся с образом ЛВ только в нуле. Пусть & и , ... , и- ф'лксированний базис 5 . Для элемента X

прямой суммы' ~ А В © £ имеет место однозначное разлоги'

жение X = А Х- > Д , где г6 В и ¿ - € У .

¿ = -±,П, , Отображение и В и функционалы Х,^ :

ЗЬ ¿Р , определяемые соответственно равенствами .(/х = X и Ъ; (X) = <¿1 , и = 1, П. , будут линейными . С их помощью

я' ,*Г *

разложение а: . перепишем в виде ,

п.

х=А</Ъс(3)

В етом разложении инъекция А : 6 -> В и базис Цц ••<»

пространства (5 задаются,.а конструирование отображения сГ и" функционалов , ... , представляет собой специальную задачу. В примерах пространству 2> , приведенных на с. 6?, 68, 72 диссертации; указана.явные выражения для этих преобразований. Отметим определяющие соотношения

(Ги^ = о, <ГЛх = х, ^.¿(Ах)-о, О»

справедливые при всех В и. -1,7*- . Отсюда, в частности, следует, что и.^ , ... ', - .базис ядра оператора сГ , биортогональнив системе функционалов; ^, ... , . Линейное многообразие

2) = АВ© &

наделим нормой

, относительно которой оно.

станет банаховым пространством, изоморфным произведению В * 7 • В силу (Л) операторы Д Г В Ъ . (Г ' 8 й Фуик-

12) Пич А, Операторные идеалы. М.: Кир, 1982, 536 с.

ционалы t^ : db-* J- , i, п. , будут ограниченными, причем

Пусть В - сопряженное пространство непрерывных линейных функционалов У : В 3- . В диссертации показана (см. о. 77,89,97) равносильность следующих свойств линейного ограниченного оператора £г : В $ :

а) G ~ А , т. е» найдутся линейный гомеоморфизм Р банахова пространства В и конечномерный оператор К :В г* , такие, что :

G ~ (Л+К)Р~1; (5)

б) Z^GgB*. с - i,n. , (Г G - фредгольмов оператор ;

в) G I 8 oj) - нётерово отображение индекса (- гь) ;

г) G есть сумма некоторого оператора Грина 4) и конечномерного оператора Н : В 5Ь •

Оператор

, обладавший любым из этих свойств, называется -отображением.

Пр&дставленпо о широте класса "f/ -отображений даст примера, приведенные на с. 73,63,84,85 диссертации.

Размерность Ж = сШтъ{1е ¿(G() = О, VftB] подпространства дефектных функционалов Ц -отображения G : В 0 не меньше Ть и равна п. в том и только в том случае, когда ядро Кеъ. G ~ {6} .

В конце параграфа I пршзедена следующая процедура построения факторизации (5) по заданному базису , ... ,Z-m. 6 5)* подпространства дефектных функционалов и системе функционалов У-1 , ••• , В р биортогональной базису ядра операто-

ра G. Пользуясь разложением (3) базисные дефектные функцио-

л.

■;алы оператора (г приведем к виду -¿.(х.)= (<Гх,'р. НЗЕ0';; с..(х),

L ь >-1 <г i

где = В* , = ¿¿С*;) .€' У ,6 = 17^,^= ЦП.

Для случая т. = п. факторизация (5) строится следуе^им

--

образом. Если все = О , то можно взять К = 0 , Р = сГб .

В противном случае пусть .у .....Ук линейно независимы,

к • ' __

а = X ^¿5 ^ . ^ = К +1, п. . Матрица С с элементами 5 = 1 к '

ет ранг п-К .Пусть - ее подматрица ранга п.-К , С^-

дополнение ' С4. до • С . Пусть, далее, гй столбец матрицы

С4 С С, ) является /л-.-м (У. -м) столбцом матрицы С •

Через Д1 обозначим К х К-матрицу с общим элементом «¿¿у. >

- К х (п. - к)-матрица с общим элементом • Пусть

... ,- система элементов из В , биортогональная системе ^ , ... , .

Следувщее утверждение играет важную роль в обосновании разложения (5). -

Теорема 1.5 (с. 92 дисс.). Пусть X не есть собственное

значение матрицы Д£~ - Тогда уравнение

Ха X = (Гх'+ X £ р; Сх) = ^ с линейными связями (краевыми условиями)

^ (X) £ ((Гх, +'4 (X) = 0, ¿= Г^ь, <1

однозначно разрешимо в пространстве 3) при любом £ £ В и его решение имеет представление х = £ = (А + К0У-£ , где

конечномерный оператор К0 еффективно строится и

имеет ранг, не превосходящий К - ранга системы функционалов

Замечание I. Если для некоторого К : В система

линейно независимых функционалов' , . , .является дефектной для оператора Д + К , т. е. (Л + К) ~ О, I= 1, п, •то ранг системы функционалов = Д■'=-'-¿¿К', С ~ 1> п.,

не пресосходит ранга. Поэтому ({0 в теореме 1.5 является оператором минимального ранга. ;

- о -

Замечание 2. 'У -отображение & : В & с нулевым ядром (случай тп.= тг. ) называется оператором Грина.

Из теоремы 1.5 следует, что при т. = п. в разлояении (5)

МОЯНО ВЗЯТЬ К- Кв . Р = (<£<,£) .

В Спучзв, когда т. > п. возькем первые п. функционалов • ..... • Пусть , - Л+-К0- операторы из теоремы 1.5. Обозначим через ... . £ ^ систему элементов

из В , биортогональнув системе , ... , IV» -¿^ ,

Л л *

где : & -♦ В - оператор, сопряженный с оператором : В ¡Ь . Пусть , ... , - система Функционалов из

В* , баортогокальиал базису ядра оператора & . Тогда опе-

щ- п.

ратор /? $ = обратим в В ив раэлохо-

¿=1 т-п.

кии (5) иокно азять Р = V Кос = К.х. - 2 х- (Рх,Ч>/)

¿=1

параграф 2 посвяаон оценкам 5 -чисел Ц -отображений. В силу факторизации (5) при ^ > ьалс£ К = Ъ имеем

Поэтому двусторонние оценки мии/надьного ранга Я (£',£) в экстремальной задаче ъссп^. Н-*I Н !!< иокно получать, если известны:

а) величина ранга X. ~ г-шгд, К ;

б) оценки верхней и нижней нормы гомеоморфизма

tft=t

в) двусторонние оценки аппроксимативных чисел (Л) инъекции Д , порохдасщей пространство <2)

Различные инъекции А иогут задавать одно и то же пространство 2) • Зто обстоятельство было использовано при доказательстве слодуиЕвго критерия принадлежности операторов классу Ьттена = { & 5^)<оо} , где Ь^

M.

M.

- 16 - ^

пространство вектор-функций f T , компоненты ко-

торых при f> < oo суммируемы со степенью р , а при р =: «з иамериии к ограничены почти всьду на [«.,¿3 »

Теорема 2.2 (с. 104 дисс.). Пусть линапный оператор G :

^Р ^р йбдадает теп свойством, что для зсбого Lp вектор-Функция Gf принадлежит совокупности (irb-i) раз

непрерывно дифференцируемых слева вектор-Функций X : у которых допускаются разрывы первого рода самих вектор-Функций и их производных в фиксированных узлах "fc^ f a.< ti< ê, дефекта, не превосходящего фиксированного числа К , и которые на каждом интервала t,c*-.iL) . .

j-= i, V-i , и (tys-ê] имеют абсолютно непрерывную (m-i)-o

производную, а на всем интервале [cl, Пг -ю производную (тп.) , м-

почти всюду х £ Up • Пусть, далее, вектор-Функционалы

(¿¿kf-H*) , н

непрерывно зависят от ¿р и ~ G есть фредгольмов

¡м- ^

оператор а ^ Тогда при tnfy > L и только в атом случае

оператор G принадлежит классу Шэттена ('Zip") • . •

Для пространства вектор-функций 20

с абсолютно непрерывной (m -1 )-й производной и производной

(ta.) -¡М. .

X & шоор в качестве поро/кдавщей инъекции оператора

А : —s» ÏV/ . определенного равенством

д« i ^

(Af-)(t) = ijil^ J f(ï)cls * CU)(b), (m.-1)« a.

где

— - <-**

»4 F i>

V„(« =. Zocp (ZXKi (t -a.)/(^-ct) ) , К = 0,tt,tZ.....

-tf -t

ct

позволил получить оценки минимального ранга R(C;£) коиочно-нврних операторов, аппроксимирующих с точностыз Я О ~ Н II < £ оператор Грина О : В й) общоа хр.чявой задачи £ ,

¿¿(xj^O , ¿ =Г~5г . гдо В = . <Z)= § .

<? 2- Л ■ m

О - линейное многообразие вектор-сплайнов ¿_ ■■ (t-t

j-ni.-t V т

Эти оценки (см. с. 137 диссертация) имеет вид

.[^^WvW't-y* R(G;£)*.[*iSPii< + »,

где [А] - целая часть числа <L , V - ранг такого конечномерного оператора К : ^¿"Vt) ($ • что Сп.4*^ взаимно

I м.

однозначно отображает ьА на пересеченно ядер Функционалов , i - i, П. , dL , di - оценки сверху и снизу соответственно для верхней и ниянеп нормы гомеоморфизм« Р с <?-{Тп + К). Заметим, что Vi + 1 , где Ц - ранг систомч Функционале«

■1% А , ••• .¿ъЛ- '

В параграфе'2 также исодедуется вопрос о полноте свстемм корневых векторов j -отображений : 8—, гдв фС Q

изоморфно

8 * £п . ЦелоссоОразкссть изучения так ого ьопрооа определяется .потребностями главы 3, где возникает необходимость оценки геометрической кратности cii/nJ'e-t.fi-.i/}. Согласно результату статьи 13) величина ptlolx dlnt^e'c (cr - Д.£)

„ лесчо»

для компактного оператора Q. : (] _> g с полной системой корневых векторов совпадает с шкинадьной размерность» такого

подпространства Я. С В , что В ~ Span. [G- Я. '■ К ^О) , гдв %рал {...} есть замкнута;! линейная оболочка ниоаеотва (. ••• }

fiyNic&FskLL /У./И, VasJ,iuiin.V.l Oynitoi suispaf.es <r$-nxirtUruat dcmzrxsCon cmd xont Ь^с-Ьогз- ¡1 OvJc-y?,. tq,uat. n^vcL Optx. Ttervf ■ 13S3. V. o, Nil. ?. ZH-Hi.

-16 - ■■■■'

Действующий в о линейный оператор W с аевественним спектром называется Н -оператором с константой У" > О , воли его резольвонта допускает оценку

Оператор № : ß -* ß с плотным ь 8 образом 11Гб будем называть "ЬН -оператором, если он одновременно есть ■*/ -отоОражоние из ß в и Н -оператор в ß .

В приводимых ниже утверждениях предполагается, что инъекция Д . лороддывкая пространство JZ) , принадлежит классам Оэттена (b<^(ß) при всех ££ 1 •

Теорема 2.6 (с. Ill дисс.). Пусть W : ß 2) есть "jfH -оператор с константой <f" . Т : 8 ß " такой линейный ог-

-t

раничеиный оператор, что 8 Т- I й < (+ Ч • ■

Бели i -отображение G : 8 ЗЬ имеет то *о самые дефек-ные функционалы, что и W , а разность SG - 6WT есть компактный оперитор в пространстве ß , то G имеет полную в ß систему корновых векторов. Кроме того, суаествуот самое

малое V— max.

элементов f« , ... ,fy ß т к . ~

и» о таких, что линейная оболочка семейства Ivr

К О } плотна в 8 .

В следуьаом ниже следствии используются "каноничвекио" Функционалы , ... , %^ (см. разложение (3) элементов

пространства JD ). Эти функционалы образует Оазис подпространства дефектных функционалов инъекции Д , порождаскей пространство ID

Следствие 2.7 (с. IIb дисс.). Пусть А есть УН -оператор с константой у , и для линейного ограниченного оператора ¿С. : 2) В имеет место разложение «CA=■ I - F^ ,

где F : ß ß - такой линейный ограниченный оператор, п~ " JL

что Ii F II < ( ycosec — + Z) .я Fz : В В - компактный оператор. Вели краевая задача «Ex = £ . = = f

ß

ядер Ъ0 =Л'К€/£.-С- плотно в ß , v! найдется такой линей-ый опепатоп ; ~* В . что ev/seime = л

«»о

при f = О имеет линь тривиальное решение, то она однозначно разрешима в $ при любом f £ ß и оператор Грина этой задачи имеет полнуи в В систему корневых векторов.

' Следствие 2.8 (с. 118 дисс.). Пусть G : ß -» 3) есть инъективное ij -отображение с линейно независимыми дефектными функционалами , ... , . Пусть, далее,-пересечение п.

г'о

ный ограниченный оператор : <0 ~5' В , что сужение ¿ = есть Н -оператор в пространстве 8 . Если для некоторого регулярного вещественного значения Я разность

fG-fa-zi)

компактна в В , то оператор G имеет полнуе в В систему корневых векторов.

Для случая сепарабельного гильбертова пространства ß имеет место

Следствие 2.9 (с. 121 дисс.) Пусть

есть

инъективное \J -отображение с линейно независимыми дефектными функционалами ^ , ... , -tи • Пусть, далее, существует

такой линейный ограниченный оператор X, : 3) В , что су-

1Ъ

женив оС I 0s ( 3) = r\.K&L''Z- ) есть дискретный спектраль-

,с°о i-t ь

. ный оператор в В , собственные значения которого, за исключением конечного числа точек, являются простыми полосами резольвенты и лежат- в некоторой полосе | A.I ^const . Если

для некоторого регулярного значения Я разность SG~S(L~Xl) вполне непрерывна, то G имеет полнуи в ß . систему корневых векторов.

Дополнением к приведенным выше результатам является сла-дупцео утверждение о плотности в пространство 8' пересечения ядер функционалов из сопряженного пространства 5) . Теорема 2.10 (с. 124 дисс.). Пусть

"^i. * " * * * т.

(rnz-Tl)-

система линейно независимых функционалов из 3) * . Для того

7tl

чтобы пересечение ы)0 = П К<ус было плотно в ß необходи-. ' I-1

-х

' - 20 - -

мо и достаточно, чтобы нашелся такой конечномерный оператор

К : В 2) , что(Л+ЮВ=Л0 и ядро оператора (Л * К) •' Б 8 *

сопряженного с оператором (Д*К);8~^ 8 » состояло из одного нуля.

Параграф 3 посвящен .линейным ограниченным отображениям X. I действующим в йанахово пространство В из подпространства еО С В , изоморфного В* ? относительно разложения (3). Такие отображения называются абстрактными функционально-дифференциальными операторами.

В случае, когда !Р = К ( В - вещественное банахово пространство) доказана критерии разрешимости уравнений с краевыми неравенствами . Пусть Л ^"обозначает цонус векторов с неотрицательными компонентами координатного пространства Я ,

ал) . в в - оператор, сопрякешшй с оператором <£/1. :

8 8 « где А - инъекция, порождающая пространство

3) = АВ© б . 6 - линейная оболочка базиса и.*,-..,, ип,

Следующее утверждение представляет собой перефразировку в-други.. обозначениях теоремы 3.1 (с. 141 дисс.).

Теорема 3.1. Допустим, что линейный ограниченный оператор <£. : 5Ь —> В имеет замкнутую область значений и линейные функционалы : £) —> Й , С - 1,т., ограничены. Пусть далее, ^ € В и вещественные числа р^ , ¿ - 1, т. , таковы, что система неравенств

•¿¿(х) , ¿= (б)

совместна. Для таге чтобы существовало решение х € -уравнения {- , удовлетворяющее (6), необходимо и достаточно,

чтобы для либого ропения ; Д.1, 6 В однородной

системы уравнений,

<- - ^

т..

выполнялось неравенство (у.) 5. 1Е •

Эта теорема обобщает известное.утверждение о нормальной разрешимости краевых задач с равенствами 1')).

В случае, когда В изоморфно и изометрично пространству X. , сопряженному к некоторому банахову пространству ОС , условия разрешимости в теореме 3.1 формулируются в терминах второго сопряженного пространства X** • Природа элементов X** может оказаться весьма сложной. Пример классических пространств В = ¿¿Г&^'И.Х'т указывает на важность таких

утверждений о разрешимости уравнений, которые формулируются в терминах основного пространства X Следующее утверждение является перефразировкой теоремй 3.5 (с. 151 дисс.). Здесь

оператор (Г : <2> -* В и функционалы , . .. , £ & взяты из разложения (3).

Теорема 3.5. Пусть £А : В-> В есть фредгольмов оператор, сопряженный с оператором Т :X X относительно билинейной формы < Ц)> , приводящей X и В в двойственность. Для существования решения уравнения ос з £, удовлетворяющего совместной системе неравенств

'. • ^ . ' п. __

< ^ , сГх;> + X ¿Ц t • (х) > ^ , ¿= 1,лг, ¿.-I * . *

необходимо и достаточно,, чтобы для любого решения

М. ' ' . .

С? } А.!,..., гч+однородной система

= X Х;М

(.41

I' с.

< % ¿е и^- > = х я^ ¿¿^ з ^=1.Л,,

выполнялось неравенство < > "21 Я-б. •

¿¡5 £

В силу теор.етико-мнокествениого вклпчения ЗУС В линейный ограниченный оператор : <Й В индуцирует оператор в пространстве В . Если сИпг-Кел.< оо и образ ¿СьЬ замкнут в В ,то по теореме 3. б (с. 153 дисс.) аС является замкнутым оператором в В с область» определения 3>С 8 и его сужение ¿¿/'¡~ на'любое замкнутое по норме /1'//^ подпро-

I2») Максимов В.П. Нётерозость общей краевой задачи для линейного функционально-дифференциального уравнсния//диффер5нц. уравнения. 1974. Т. 10, й 12. С. 2288-2291.

- 22 - ' ; . странство Е 3) замкнуто.

Следствие 3.7 (с. 154 дисс.). Пусть <£: в& В - линейный ограниченный оператор, , ... , - система линейно

независимых функционалов из сопряженного пространства <2) и краевая задача о£. х = ^ , -¿¿X - С? . 6 = £, п. , однозначно разрешима в 3) при любом 6 В • Вели инъекция А в разложении (3) компактна в В . то сужение <£ на £ = П Кв^. ■£/

есть замкнутый оператор в В с компактной резольвентой.

Приведенные выше утверждения позволили (см. с. 156,158 диссертации) выделить классы замкнутых функционально-дифферен-циалышх операторов в случае, когда 3) есть

а) пространство скалярных функция, имеющих на Са}-в]. квазипроизводнае до порядка включительно ;

б) пространство )ть раз непрерывно дифференцируемых слева вектор-функций ос : -> С**» У которых допускаются разрывы первого рода самой вектор-функции и еег производных в заданных узлах Ь^ , 1, У , дефекта, не превосходящего фикт

сированного К (1^ т.+1), и которые на кавдом интервале

, , = и (¿у , имеют абсолютно но-

прерывнув т. -ю производную, а на всем интервале [а.,€] про-

(т+ц » Аг /,. изводную X £Ьр1(Х.х$} .

В заключение параграфа 3 рассмотрен вопрос о сходимости

-V-' п Р* ' в смысле графика замкнутых операторов. Пусть с- = П Кеъ,

, я* ' * 1=1-

где функционалы -С^ задастся равенством

¿/(х> р с(Гх, + £ (х),:=17^:.

Пусть, далее, ^В (¿>0 ) - линейные ограниченные

операторы, "главная часть" которых Л ВВ облада-

ет свойством сЮпКеъ и В замкнуто в В • Тогда

сужения ^будут замкнутыми операторами в В './• Результат теоремы 3.8 (с. 160 дисс.) состоит в следующем. Последовательность замкнутых операторов Т: сходится к Т0 в смысле

' - 23

графика, если при

Щ-воЯв+вГ*0'

■ С,3 = 1,п.

Приводимая ниже теорема об опенке сверху спектрального радиуса слабо компактного оператора доказана в параграфе 4 главы 3 диссертации. Упоминается она здесь в связи с тем, что позволяет получать утверждения об однозначной разрешимости возмущенных краевых задач. Пусть, например, модельная краевая задача ■= С-ос — О , С - ¿,71, всюду однозначно разрешима 'и &0 - ее оператор Грина. Тогда возмущенная краевая задача £0Х = УХ + £ > -¿¿Х=01=1,71. , сводятся к уравнению вто-. рого рода х = &0Ух + $.> где £ =■ (г^ . Если оператор 1У='б-0У действует в. пространство С(Т) непрерывных функций, определенных на компакте Т . причем и (т^О (>0) относительно конуса неотрицательных функций, то условие г.(руг)<1 гарантирует существование оператора Грина возмущенной задачи, наследующей свойство оператора : &о<0 (>())•

Положительный слабо компактный оператор ТУ . действующий в С(Т) » представим в виде (\'/зс)(Ь)= )х(5 ¡¿¿£(5), где

Т *

- такое семейство положительных мер Радона, что

а) функция Д ^ (€.) аргумента Ь &Т непрерывна для каждого борелевского подмножества е е Т ;

б) при каждом ЬёТ мера ^ абсолютно непрерывна относительно некоторой положительной меры Радона.

Точку ГбТ назовем "особой точкой" оператора ТУ , если функция £.£({'&}) аргумента £€ Т отлична от тождественного нуля. Множество особых точек слабо компактного оператора не более чем счетно. Особув точку X назовем "существенной", если мера - ненулевая.

Теорема 4.7 (с. 238 дисс.). Пусть существует непрерывная функция 1г(Ь)?/0 , удовлетворяющая при всех ЪбТ неравенству

, причем невядка положительна

в каждой существенной особой точке оператора ТУ и множество

- 2*'t -

ео нулей но более чан счетно, Тогда спектральный радиус Ъ{IV/ оператора W меньше .единицы.

D диссертации показано, что необходимую информации относительно особых точек оператора W можно извлечь из его структурных свойств. В качестве примера рассмотрены операторы вида 4 ^

I Kit,s) x(to)clcr(s) И J K(t,s) JK(u.)<t^.{s,u}ds.

7 O- CL

Третья глава "Управление спектром линейных операторов" состоит из четырех «spat-¡яфов. В параграфе I для замкнутого оператора /\ ., дэяеуауядего в комплексном банаховом пространстве ^ , доказано (теорема 1.1 на с. 167 дисс.), что

nun.{гап^К: Л.ср(А^Ю) = ^utx{4иа&й.(Д-А1}: Д €ЯЗ, (7)

»jo-Jiii пересечение SI 0 X (А) пусто или конечно и состоит лишь из изолированных собственннх значений оператора А конечной кратности. Здесь "2 (Д) - спектр оператора Д . Это соотношение двойственности акцентирует роль функционала геометрической кра-гности t4iXyA)x-dini'H&L,-(A-A.i) в задача управления сиектро.п посредством' конечномерных, возмущений ми¡г«мального ранга. Дополнением к теореме двойственности являются следующие . • факты (см. теоремы 1.3 и l.fi на с. 172 и 174 дисс.):

а) оптимально*) возмущенно К -в задаче

КiTLLt-L , Л с р (А - К) (6)

язлязтея дозмуценним Шмпдта-Трепогнна, отвечающим оптимальному значении X в двойственной задачеМ(А.;А)-*т<х:с , Д. 6. -Q. ;

б) пусть- J& - замкнутое подмножество комплексной плоскости С и А '-- ограниченный оператор-,' либо 'Л - компактное подмножество G и А - замкнутый оператор. Если К -

ревоние экстремальной задачи (8V и

— _ -t ъапа, К = rxaia,К , И К - КII < ШA j A -/Oil ,

-ч. -i

то К еотл также ранение задачи (8)- Здесь.R(X',V) ~ (V-AI) -pssosfeueBTa сператсра V - А ~К .

v ,• тсР.чйвость к возмудешям по норке оптимального решения

задачи (8) при условии сохранения ранга и соотношение двойственности (7) указывай? на необходимость разработки методов оценки геометрической кратности M (А;Л) и поиска точных формул вычисления этой кратности. Этому вопросу посвящен параграф 2, где рассмотрены примеры, иллюстрирующие случаи простых и кратных' собственных значений. Изложенная а 15) схема получения оценок сверху для М(А;/П распространяется на абсолвтно р -суммирующие операторы (рг-Z) и даже на операторы Рисса. Для операторов Г'ильберта-Шмидта эта схема позволяет получить точные формулы для геометрической кратности. Так, например, если В = Ьг(Э,0") ( S - пространство с положительной нарой б") и А есть интегральный оператор Гильберта-Шмидта

' (А х) (Ь) - ÎA (t,S)x (s) do(s)t то для Хф о • *

2.

М(Я;Л) = тиг f flHx(i,S)l dcr(S)dcr(6),

Qd,si s г

.где

Hxa,s) = IA (t,v)Q(v,s)dff(t) - 1Q(Î,S) + A(i>s)/X

v

и tni-tv берется по всем ядрам Гильберта-Шмидта, определенным на EXS . Отсюда в силу (7) имеем

min. tcuxçr, К = tnax. iriLn. J J jHx(t,S)|c&r(S)cioYt). acp(A-K) (l(t,S) S S

Здесь .Cï - собственное подмножество ¡С .замыкание которого не содержит нуля, РСА - К) - резольвентное множество оператора.

; В параграфе 3 главы 3 для операторов Рисса (ограниченных операторов G- :В В с dùiik<yi(l~)/G)<o° и coc¿lm(l-))GX8)<c*, при всех V é С ) указаны формулы для вычисления возмущений миткального ранга в задаче управления спектром в терминах собственных, значений и отвечающих им корневых векторов. В качестве иллюстрации- рассмотрен Я -ядерный оператор простой

15) SCedehtcf) h'ettiz. Х.Н. Зк'/nenstqrb ofc ct.(y.nipcu.tb ScArto-

cLmn&r* орм.а.Ыг$ - SoaxZ Birmajt - ScAivi\n~cj&t. H ЯгрЬ.ЛаЖ. Pfys. 193t,V. ll,S/ib. P. Mi-339.

структуры. Полученные формулы позволяют оценить норну оптимальных возмущений и могут бить, использованы в алгоритмах приближенного построения таких йозмудеций. Схема построения оптимальных возмущений переносится на замкнутые операторы с дискретным спектром.

Заключительный параграф 4 посвящен специальным вопросам теории-возмущений. •

Пусть В - сепарабельное гильбертово пространство со скалярным произведением (х, у.) , (Ук^Т - ортоноршрованный

базис В , (^к)" - сходящаяся к пул» последовательность попарно различных ненулевых чисел. Для компактного нормального оператора дано описание класса всех од-

кя „ ,

норанговых возиущсний Кпх = Щ:х:, V) , для которых

ста, (9)

где 2.р(&) - точечный споктр оператора & ...{•АСк1->

- заданное подмножество собственных значений оператора С- • Показано, что точная нижняя граница норм всех одноранговых врзмуг5ет;Я К^ , удовлетворяющих (9), равна величине

Р1Л) ¿=1 ь *

где «/п^ берется по всем многочленам р(Я) степени 7Ь со старшим коэффициентом, рапным единице, корда которых образуют подмножество Г! , дополненное нулем. Исследовано по-

ведение величины при п. оо что соответствует случаю удаления большого-.числа собственных значений из спектра .оператора О . В терминах убывающей последовательности полояш-тольних чисел x¿ = доказаны следующие утверждения.

Теорема 4.2 (с. 217 дисс.). Пусть х,- ссх> . существу-

¿=1

ют постоянная о! > О и дифференцируемая функция (¿>0 )

такая, что - г,

{(ХС) ,

а) ~ > с( ■ (с-1А, ■■■)■>

б) йт. in.fi) Ь > О , где т,(£) -число точек 1; О

- 27 -

в интервале (i, оо) ,-fc > О ;

в) -lim. -r(l) < i/2 , Äm. / Vi) t ùit = О. , i-> о . £ -> о

Тогда ô^ £ cxm.sb< оо для всех п. .

Теорема 4.3 (о. 219 дисс.). Пусть S и последователь-

кость {х^ навозрастает. Тогда ßK< lM-KJ3L?y3 •

Константу 2 в неравенстве S 5- 2. этой теоремы нельзя уменьшить: для любого S существует оператор £ , для

которого <?п 00 . :'".'"■

Для неразложимой матрицы Д с неотрицательными элементами и лрбого набора отличных от нуля чисел , ... , построено одноранговое возмущение К , "уменьшающее" спектральный радиус:Z(A-К) < 1(А) . Это возмущение, кроме того, "переводит" все точки периферического спектра t(A)) а-нуль-и оставляет без изменения все точки спектра из открытого хруга [ А. : j Al < г.(/1)} . Показано, что норма этого возмущения допускает оценку . '

/п. их. -х

ш I « г(-А)ШШ1 X Mxi 2Мк1 /т..

к-i к-1

Здесь Ъ(А) - спектральный радиус матрицы А , 1С и lr -собственные векторы матрицы А " транспонированной иптрчцц А , отвечавшие "L (Л) и нормированные условием (Ы,1г) - t m. -число точек периферического спектра. Этот результат- с помощью утверждения статьи 16)распространен на бесхойечнсиорний случай, :согда А потенциально компактный положительный оператор, деПствуянпЯ э комплексной, банаховой решетке g и обладаний следующим свойством: нз существует изтривкалышх А -нивариаитних- замкнутнх идеалов решетки . $

доказана тесрека об. оценке сверху спектрального радиуса положительного. с„«обо компактного оператора, действуешего в . пространстве . С(Т)' непрерывных на компакте Т Фуикиип. теорема иллострируется ка'примере интегральиих операторов с и/клоняйьпмся аргументом и Л. -я.тдргюго оператора.

J^rVziyTàr. Orb Ш UiOr^rnJ -

шх-d. J:co$ittUts i! pxoz. Хсп.^Ш- ■Mnd.-wte.tiscA-? • А 30, AP. 33i- 3VI.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Исламов Г.Г. К вопросу об интегральном уравнении с отклоняющимся аргумонтом//Дифференц. уравнения, 1974. Т. 10,

& 3. С. 521-530.

2. Азбелев Н.В., Исламов Г.Г. Об одном классе функционально-дифференциальных уравиений//Дкф'ференц. уравнения, 1976. Т. 12, ГЗ. С. 417-127. ■■

3. Исламов Г.Г. К вопросу о представлении решений функционально-дифференциальных уравнешй//Дифференц. уравнения, 1976. Т. 12, * 7. С. 1194-1203.

Исламов Г.Г. Об оценке спектрального радиуса линейного положительного вполне непрерывного оператора//<гункционально-дифференц. уравнения и краевые задачи математической физики: Межвуз.сб.науч.тр./Г1ерм. ун-т. Пермь, 1978. С, 119-122.

5. Исламов Г.Г,, Шнейберг И.Я. О существовании неотрицательных решений линейных дифферонц. уравнени.й//Дифференц. уравнения, 1980. Т. 16, » 3. С. 387-394.

6. Исламов Г.Г. О разрешимости уравнений с краевыми но-равенствами//Краевые задачи: Межвуз.сб.науч.тр./Перм.- поли-технич. ин-т. Пермь, 1981. С. 68-90. .

7. Исламов Г.Г. О мере сложности функционально-дифференц. уравненийУ/Дифференц. уравнения, 1983. Т. 19, № 12/ С. 21702172.

: 8. Исламов Г.Г. Сб упраэлошш спектром динамической сис-тема//Дифференц. уравнения, 1987. Т. 23, й 8. С. 1299-1302.

9. Исламов Г.Г. Двусторонние оценки 5 -чисел интегральных операторов, повышающих гдадко.сть//Дифференц. уравнения,. . 1988.' Т. 24, » 2. С. 353-356.

10. Исламов Г.Г. Оценки минимального ранга конечномерных возмущений операторов Гряна//Диффереяц. уравнения, 1989. Т. 25, № 9. С. 1496-1503. '.

11. Исламов Г.Г. Экстремальные возмущения замкнутых опо- : раторов//Известия вузов. Математика. 1989, № I. С. 35-41.

12. Исламов Г.Г. Свойства одноранговых возмущений//Изве-стия вузов. Математика. 1989, £ 4. С. 29-35. ■

13. Исламов Г.Г. О некоторых приложениях теории абстрактного функционально-днффоренц. уравнения.1//Дифф«ренц. уравнения, Г989. Т. 25, \Ь II. С. 1671-1881.

14, Исламов Г.Г. 0 некоторых приложениях теории абст-; рактного функционально-дифферонц. уравнения. Н//Дифференц.

уравнения, 1990. Т. 26,И 2. С. 224-232.

■ 15. Исламов Г.Г. О некоторых приложениях теории абстрактного функционально-дифференц. уравнения.Ш/'/Перм. политехнич. ин-т. Пермь, 1989. 17 с. Деп. в ВИНИТИ 07.06.89. - » 3771-В89.

16. Исламов Г.Г. О методе осреднения функциональных по-правок//Краэьие задачи: Межвуя.сб.науч.тр./Перм. политехнич. ин-т. Пермь, 1989. С. 79-84.

17. Исламов Г.Г. Экстремальные задачи теории возмущений линейных операторов//Функционадыю-дафференц. уравнения; Меквуз.сб.науч.тр./Перм. политехнич. ин-т. Пермь, 1990.

С. 58-74.

18. Исламов Г.Г. О границе применимости итерационного метода//Математич&ское моделирование и информационные технологии: Меявуэ.сй.науч.тр./Удн. ун-т. Ижевск, 1991. С. 14-18.

19. Исламов Г.Г. К вопросу ..об оценке сверху спектрального радкуса//Вестник Удмуртского ун-та. Ияевск, 1992. Вып. I. С. 82-86.

20. Исламов Г.Г. Об оценке сверху спектрального радиуса //Доклады АН. 1992. Т. 322, Я 5. С. 836-838.

Подписано в печать 1.03.93. Тираж 100 ока. Закас № 465. Объединение " Полиграфия "