Управление дискретным спектром дифференциальных операторов возмущениями минимального ранга тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 517.984

КЛОЧКОВ МИХАИЛ АРАКАДЬЕВИЧ

УПРАВЛЕНИЕ ДИСКРЕТНЫМ СПЕКТРОМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ВОЗМУЩЕНИЯМИ МИНИМАЛЬНОГО РАНГА

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ижевск 2004

Работа выполнена в ГОУВПО "Удмуртский государственный университет".

Научный руководитель — доктор физико-математических наук,

профессор Исламов Галимзян Газизович Официальные оппоненты— доктор физико-математических наук,

Ведущая организация — ГОУВПО "Саратовский государственный

университет им. Н.Г. Чернышевского"

седании специализированного совета К 212.275.04 в ГОУВПО "Удмуртский государственный университет" (426034, Ижевск, ул. Университетская 1, корп. 4, аудитория 222).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Удмуртского государственного университета.

Автореферат разослан" " 2004 г.

профессор Покорный Юлий Витальевич доктор физико-математических наук, профессор Чубурин Юрий Павлович

2004 г. в

часов на за-

Ученый секретарь диссертационного совета к.ф.-м.н., доцент

Н.Н. Петров

22

ОБШДЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работа посвящена изучению задачи управления спектром дифференциальных операторов путём удаления заданного подмножества собственных значений.

Актуальность темы. Математическое описание многих физических процессов приводит к дифференциальным и интегральным уравнениям или даже к интегро-дифференциальным уравнениям. Широкий класс физических процессов описывается линейными дифференциальными уравнениями-уравнение колебаний, диффузии, Пуассона, Максвелла, Шредингера, уравнения газо-гидродинамики и т.д. Изучение свойств таких математических объектов является важной и интересной задачей, как с практической, так и с теоретической точки зрения.

Спектральные задачи для линейных операторов давно привлекают внимание исследователей. Особый интерес представляет задача управления дискретным спектром дифференциальных операторов. Дискретный спектр состоит из изолированных собственных значений конечной алгебраической кратности и описывает важные характеристики физических и химических объектов (квадраты частот собственных колебаний механических систем, энергетические уровни квантовых объектов и т.п.) Явления резонанса, энергетические сдвиги излучения и ряд других нежелательных явлений могут быть устранены путём введения блоков обратной связи, позволяющих изменить в заданном направлении спектральные характеристики операторов, описывающих динамику и статику изучаемых объектов.

Рассматриваемая в диссертации задача управления дискретным спектром касается изменения конечного числа точек дискретного спектра с помощью конечномерного возмущения, однако, преследует три важные цели, определяющие новизну исследования: исследуется

роль возмущений минимально возможного ранга, поведение их норм при удалении п собственных значений при п —оо, а также получение оценок погрешности, допустимой при приближённом построении возмущений.

Общий характер влияния на спектр конечномерных возмущений достаточно хорошо изучен А. Вайнштейном, Н. Ароншайном, Ю.Н. Андреевым, А.Г. Бутковским, Е.Я. Смирновым и рядом других авторов. В работах Г.Г. Исламова впервые поставлена задача изучения возмущений минимального ранга, поведения их норм при большом числе изменяемых собственных значений и при приближённом построении возмущений. Мы углубляем эти исследования применительно к самосопряжённым операторам с чисто точечным спектром, а также несамосопряжённым операторам, подобным самосопряжённым.

Цель работы. Построение конечномерных возмущений, заданным образом изменяющих как простой так и кратный точечный спектр для конкретных классов дифференциальных операторов. Оценка нормы возмущения, её асимптотическое поведение при неограниченном увеличении количества выводимых из спектра собственных значений. Управление частотами собственных колебаний струны и прямоугольной мембраны по методу обратной связи. Построение наглядных примеров, иллюстрирующих процесс управления спектром.

Общие методы исследования. Использовались методы спектральной теории линейных операторов с чисто точечным спектром. Для построенных примеров проводился численный расчёт при помощи прикладных пакетов программ Mathematica 4.0 и Maple 7.0.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и получены автором самостоятельно.

1) Решена задача управления дискретным спектром неограниченных самосопряжённых операторов с простым чисто точечным спектром. Доказано, что необходимые изменения можно достичь одноран-

говым возмущением. Получено описание всех одноранговых возмущений, изменяющих спектр надлежащим образом. Полученные результаты распространяются на несамосопряжённые операторы, подобные самосопряжённым.

2) Для задачи управления частотами собственных колебаний струны путём формирования внешнего воздействия по принципу обратной связи доказана теорема, описывающая все возможные виды одноранговых возмущений.

3) Найдена структура возмущённых решений в виде корней специального уравнения, рассмотрен пример, иллюстрирующий процесс сдвига и удаления пяти собственных значений, найдены собственные функции для добавленных в дискретный спектр собственных значений.

4) Описана область определения однорангового возмущения, для которой получена верхняя оценка нормы. Изучено её асимптотическое поведение при неограниченном увеличении количества выводимых из спектра собственных значений.

5) Получена оценка точности построения конечномерных возмущений для удаления из точечного спектра возмущаемых операторов заданного подмножества изолированных собственных значений единичной кратности. Эти результаты имеют большую ценность для решения практических задач, т.к. обычно на практике собственные значения и функции вычисляются с некоторой погрешностью.

6) Рассматривая задачу Трикоми для специального уравнения с вырождением порядка и типа, доказана теорема, описывающая все возможные виды одноранговых возмущений.

7) Построено одноранговое возмущение для частного случая уравнения Шрёдингера, приводится конкретный пример удаления из спектра "нежелательных" собственных значений.

8) Для неограниченных самосопряжённых операторов с кратным спектром доказана теорема построения всех возможных возмущений

минимального ранга.

9) Задана область определения, для которой получена верхняя оценка нормы многорангового возмущения.

10) Для задачи управления частотами собственных колебаний прямоугольной мембраны путём формирования внешнего воздействия по принципу обратной связи доказана теорема, описывающая все многоранговые возмущения.

И) Используя решение спектральной задачи для оператора Лапласа-Бельтрами на сфере, получена теорема, описывающая все возможные виды возмущений минимального ранга.

12) Построено большое количество примеров конечномерных возмущений дискретного спектра операторов математической физики, построены разнообразные графики функций, иллюстрирующие на примерах применение конечномерных возмущений.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит как теоретический, так и прикладной характер. Полученные в работе необходимые и достаточные условия существования конечномерных возмущений для самосопряжённых операторов с простым и кратным спектром могут быть использованы при решении задач управления линейными системами, задач реконструкции динамических систем. В технических устройствах для борьбы с явлением резонанса, удаления нежелательных свойств (частот, излучений).

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались:

- Четвёртая Российская университетско-академическая научно-практическая конференция. (Ижевск, 1999)

- На научном семинаре кафедры вычислительной математики. (Ижевск, УдГУ, 1999-2003)

- VII Международная конференция студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов-2000". (МГУ, 2000)

- "Понтрягинские чтения-Х^ХУ на Воронежской весенней математической школе. (Воронеж, 2000,2004)

- Всероссийская конференция "Общие проблемы управления и их приложения к математической экономике". (Тамбов, 2000)

- Современные методы теории функций на Воронежской зимней математической школе. (Воронеж, 2001,2003)

- Пятая Российская университетско-академическая научно-практическая конференция. (Ижевск, 2001)

- На семинаре проф. Хромова А.П. (Саратов, 2001)

- На семинаре проф. Покорного Ю.В. (Воронеж, 2001,2004)

- На Ижевском городском семинаре по дифференциальным уравнениям (2002).

Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано 10 работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, изложена на 105 страницах. Список литературы содержит 55 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведён краткий обзор имеющихся работ по теме диссертации, описана постановка задачи управления точечным спектром. Задачу о построении возмущений минимального ранга будем рассматривать в следующей постановке.

Ограниченный оператор К, действующий в комплексном банаховом пространстве X, называется конечномерным, если он представим в виде

где X*— сопряжённое пространство, (х, 6;)— значение функционала Ь{ на элементе х. Пусть замкнутый оператор А: X -Л X с областью определения имеет собственные значения в некоторой "запрещённой"

области П комплексной плоскости С (О ф С). Требуется указать такой конечномерный оператор при котором оператор

не будет иметь точек спектра

резольвентное множество оператора V. Ранг конечномерного возмущения должен быть равен максимальной геометрической кратности точек спектра

Сформулированная задача относится к классу задач управления спектром линейного оператора и возникает при анализе итерационных процессов решения уравнений, в управлении квантовыми объектами, исследовании колебательных систем и в ряде других проблем.

В первой главе диссертации рассматривается задача управления простым спектром линейных операторов одноранговыми возмущениями.

В п. 1.1.1 рассматривается произвольный самосопряжённый оператор Т с простым спектром, действующий в сепарабельном гильбертовом пространстве Н по закону

где —полная ортонормированная система элементов из Я,

{А^^—однократные собственные значения, образующие точечный спектр сгр(Т) оператора Т. Область определения такого оператора имеет вид

В форме (1) может быть записан самосопряжённый оператор с чисто точечным простым спектром. В силу известной теоремы Вейля-фон Неймана любой самосопряжённый оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве можно превратить в самосопряжённый оператор с чисто точечным спектром, добавив к нему подходящий "малый" оператор.

00

Ти = ^ Ь(и,Хк)Хк,

(1)

(2)

Одноранговое возмущение К : Н Н представимо в виде

Ки = а (и, Ь), а 6 Я, Ь е Н,

где

00

ои

(4)

¿=1 * 1=1

причём {^¿^ь {/3»}»>1—две квадратично суммируемые последовательности комплексных чисел. Приводимая ниже теорема даёт описание всех операторов вида (3), для которых имеет место равенство

Здесь сгр(Т)—точечный спектр оператора Т, который по предположению состоит из однократных собственных значений {А/ь}^1, П— заданное конечное подмножество изолированных собственных значений оператора Т, которое надлежит удалить с помощью однорангового возмущения (3), 0—заданное конечное подмножество точек, добавляемых в спектр оператора Г, или другими словами, точек, в которые переводятся собственные значения из

Теорема 1. Для того чтобы можно было перевести заданное подмножеств^ = {А*,,-..., А&га} изолированныхсобственныхзначений • оператора (1) в произвольно заданное подмножество 0 = {кх,..., кт} (0 П П = 0) с помощью однорангового возмущения вида (3) необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

а) и^^ = 0 для индексов > не принадлежащихмножеств^ = кт} ;

б) ик Рк — —т -,г = 1,т, где Р(А) некоторыймногочленсте-

' ' . п К-Ч)

пени т со старшим коэффициентом, равным единице, корни которого

совпадают со значениями из 0.

В п. 1.2.1 используя каноническую форму для одного класса несамосопряжённых дифференциальных операторов п-го порядка с прос-

<Гр(Т — Л") = 0 и (стр(Т) \ П).

(5)

тым спектром, действующих в £2(0,1):

где 1 = \/—I, А : Ь2(0,1) —Ь Ь2(0,1)—линейный гомеоморфизм, ак = 0(|£|5), >рк(х) = е2кж1Х, к = 0, ±1,.. .—собственные функции оператора Ии = и, и(0) = и(1), М—оператор, диагонализируемый в базисе Рк(х) = е2кпх, к = 0, ±1,... пространства £2(0,1). Собственные значения оператора (£) + М)" и, следовательно, подобного ему оператора Т, имеют вид

Собственными функциями оператора будут функции

±1,..., и, значит, собственными функциями оператора Т будут функ-

Эта форма представления позволяет распространить результат теоремы 1 на указанный класс несамосопряжённых операторов. В самом деле, Т подобен самосопряжённому оператору с простым

спектром. Описание класса всех одноранговых возмущений, изменяющих спектр оператора требуемым образом, дано в теореме 1. Для получения всех одноранговых возмущений, изменяющих спектр оператора Т надлежащим образом, достаточно применить преобразование подобия к одноранговым возмущениям оператора

Если элементы а = ^ ^кфк и 6 = ^ Ркфк порождают одного

ранговое возмущение для

к—~оа

* - 00 - ,

порождают одноранговое возмущение для

к=-оо

Т. Итак, имеет место

Теорема 2. Пусть Т—дифференциальный оператор п-го порядка с простым спектром, определенный на классе функций с абсолютно непрерывной (п—1)-й производной и п-й производной из Ь2 и имеющий регулярные по Биркгофу краевые условия. Для того чтобы задан-

ное подмножество собственных .значений = ¡¡^оператора

□о

Т с помощью однорангового возмущения вида (3), где а = ^ I'¡А^^,

¿=-00

00

Ь= Р] Р] > {^¿Ш-оо' {А}^-оо —двеквадратичносуммируе-

]=—00

мые последовательности комплексных чисел, переводилось в произвольно заданное подмножествод = {«1,..., кт} (0 П П = 0) необходимо и достаточно, чтобы эти последовательностиудовлетворяли следующим условиям:

а) = 0 для индексов], не принадлежащихмножеству Л = {к\,;

б) Ук-Рк- = —->] = 1>т> —некоторый многочлен сте-

; П .(Ч-Ч)

пени т со старшим коэффициентом, равным единице, корни которого

совпадают со значениями из в.

В п. 1.3.1 иллюстрируется применение теоремы 1 при изучении задачи управления частотой собственных колебаний конечной струны. Рассмотрим уравнение вынужденных колебаний закреплённой струны длины V.

где неизвестная функция и(х, 0 характеризует величину отклонения струны от положения равновесия, с—константа, свободный член ¥(х, I) выражает интенсивность внешнего возмущения, которое предлагается формировать по закону обратной связи

Известно решение невозмущённой спектральной задачи

где ш—собственная частота колебания закреплённой струны:

кжх

Т'

. (кжс\2 ¡2.1

h= ( — 1 , Xk{x) = ^-jsm-

к = 1,2,....

Система функций {Хк}к-^ 1 является полной, ортонормированной в Ь2(0, /) и образует полную систему собственных функций дифференци-

ального оператора Т

-

~ di?

краевыми условиями Х(0) = Х(1) = 0.

Дискретный характер спектра этого оператора позволяет записать спектральное разложение

00 -( ТХ{х) = Т\кХк(х) / X(s)Xk(s)ds. ы Jo

(9)

Область определения этого оператора допускает эквивалентное описание

Р(Т) = € L\{о, 0), £ Af | jT Х{а)Хк(а)<Ь

< оо

(10)

Теперь необходимая теорема об управлении частотами собственных колебаний струны получается в результате переформулировки теоремьй.

Теорема 3. Пусть Т = с областью определения (10). Чтобы перевести заданное подмножество квадратов собственных частот колебаний струны U = {А;,,...,A¡m} в произвольно заданное подмножество Q = {«i,..., кт} (0 П П = 0) с помощью однорангового

I 00 оо

возмущения вида КХ = а(х) f X(s)b(s)ds, а = ^ vjXj, Ь = PjXj,

о j=i м

где {uí}í^i, —две квадратично суммируемые последовательности

комплексных чисел, необходимо и достаточно выбрать эти последовательности так, чтобы выполнялись следующие условия:

а) Vj(3j = 0 для индексов j, не принадлежащих множеству А = {¡i,... ,/т};

б) 1ц Вi = -Л = 1т, где Р(А)—некоторый многочлен сте-

' ' пJ\-\)

пени т со старшим коэффициентом, равным единице, корни которого совпадают со значениями из Q.

с

В п.1.3.2 показано, что, если в теореме 3 длина струны I = 2л- и в качестве квадратично суммируемой последовательности {v/t} взято

В п. 1.4.1 в качестве примера удаляется из спектра колебаний струны первые N частот. Согласно формулировке теоремы 3 зададим Щ = с = 1,

ЛГ N

а(х) = £ -Хк(х), Ь(х) =

к=1 к=1

так как ^ = О, А = О для к > N. Из условия б) теоремы получим

кг

то

N

i = l,N,

П (А.--Л,-)

где Р(ц) можно определить как Р(ц) = - Xn+i)n Одноранговое возмущение выглядит так:

^^ 2 ¿7ГЗ/ ^^ 27Г5

Ku=z2kisin~r^131 Josin ~rds' ^

Данный пример показывает, что искомое возмущение можно построить самыми различными способами в рамках теоремы. С помощью пакета программ МаШешайса у.4.1 были получены графики функций из образа оператора

В соответствии с приведённым выше примером удалялось N = 5 первых частот. На рис. 1-2 видно, что построенные графики отличаются по форме от синусоиды. Таким образом, очевидно, что при в спектре оператора

Т — К отсутствует заданное количество частот согласно теореме 3.

Рис. 2. к = 5; ДГ5(х) = ип(5х); у = (Г - К)Хк

Дополнительно для данного примера вычислим детерминант Вайнште-

йна-Ароншайна

Рк

Построим график ш(^) На графике четко видны полюса, соответствующие удаленным из спектра первых пяти собственных значений.

В п. 1.4.2 также описывается структура множества решений возмущённой задачи. Существует следующий способ его описания. Рассмотрим спектральную задачу

Запишем её решение через функцию Грина—С(х,з,Х).

Теорема 4. Все собственные значения из П являются нулями

I 1

функции 5С(А) = 1 - / 6(т)о(т, А)йт, где а(х, А) = / г, А)а{т)<1т. о о

В п. 1.4.3 рассматривается следующая задача. Допустим, необходимо добавить к спектру колебаний струны следующее подмножество

собственных значений 0 = {5, 6, 7}. Для этого заменим подмножество П = {1, 4, 9} на 0. Таким образом, к\ = 5, К2 = 6,кз = 7,

А,, =1, А;2 = 4, А;3 = 9.

Рис. 4. из = ш(ц).

Согласно теореме 3 построим одноранговое возмущение вида

Ки = а(х) I и^Щв^в, Jo

3 3 I—

4д-

г

Тогда

*=1

П -А;,)

-, г = 1,3, Р(ц) = К1){(1 - к2){ц - к3).

х (-5 I + \ [ 8т(2в)ск + ^ [ иЫ 8т(3в)& ].

\ Уо 5 Л 5 Л )

В п.1.4.4 для рассмотренного выше примера найдём решение следующей спектральной задачи

-и - Са{х) = Аи(х), и(0) = и(я-) = 0, (13)

где

о(х) = Ь{х) = \llYj з -ш(кх),

* " у к=1 П (Ч-Ч)

3=

*=1

Р(р) = (/х- 5)(д-6)(^-7),

С= Гб(в)и(в)Л. Л

(14)

Запишем решение (13) в виде

(3(А - 9)(А - 1) сов(х) + 2(А - 4) (2(А - 7) + (А - 1) сов(2®))) И(Х) = 3(А - 9)(А - 4)(А — 1) :

X вш(а:).

Подставив и(х) в (14), получим уравнение

2(87 + А(2А - 29)) (А - 9)(А - 4)(А - 1)

его решения А = {5,6,7}. Таким образом, мы убедились, что в точечном спектре оператора Т присутствуют собственные значения из в.

Для каждого собственного значения из множества © можно найти собственную функцию. Подставив в (13) А £ 0, определим следующие • собственные функции

В п.1.5.1 получена оценка нормы однорангового возмущения и изучено её поведение при удалении бесконечно большого числа точек

спектра. Норма однорангового возмущения К : Н Н может неограниченно расти при удалении из спектра оператора Т бесконечно большого числа собственных значений, как в случае их сгущения в точке ноль, так и в случае их стремления к бесконечно удалённой точке. Поэтому, мы пробуем сузить область определения наших операторов с целью получения конечных оценок нормы оператора К и рассмотреть случаи, когда возможно достижение нашей цели.

Согласно теореме 1 рассмотрим одноранговое возмущение К для оператора Т в следующем виде

где m—число удаляемых собственных значений оператора Т, Х^— соответствующие удаляемым собственным значениям собственные функции. Пусть оператор Т действует из V = Х>(Т) = {и|и € Н, £ |А*|2| (и,Хк) |2 < оо| в Н. Выберем следующую норму для функций из

Если в спектре оператора Т имеется собственное значение А& = О, тогда поменяем местами, получим —собственная

функция, соответствующая нулевому собственному значению. В этом случае норму для функций из запишем в виде

Здесь Ах заменили на малое значение 0 < е < 1.. Норму (16) можно использовать, если оператор Т обратим, иначе необходимо брать норму (17). Тогда имеет место

Теорема 5. Пусть задано подмножество О, = {А^,...^^} удаляемыходнократных собственныхзначений оператора Т, конечное подмножествйЭ добавляемых точек к спектру оператора Ти норма (17). Пусть среди удаляемых собственных значений имеется А^ = О, Хк, = Х\. Тогда имеетместо следующая оценка нормы для возмущения (??) с условием, что = 1 для всех г = 1 ,т

где Р(А) —некоторый многочлен степени т со старшим коэффициентом,равным единице, корни которого совпадают со значениями из в.

При т->осв п.1.5.2 изучено асимптотическое поведение данной оценки, получены некоторые условия существования конечного предела. Возьмём А/ь, = г2. В качестве нормы, по аналогии с (16), выберем

\У=1

Имеет место новая оценка ||ЛГ||: ||й"|| < 2тХТ ■ Предел 2т^2 = ^—конечен.

Данный результат важен по той причине, что, выбрав определённым образом норму для функций из области определения оператора Т, имеем конечное значение верхней оценки нормы однорангового возмущения К при неограниченном увеличении количества выводимых из спектра собственных значений.

В п. 1.5.4 получены две теоремы, позволяющие оценить точность вычисления возмущений минимального ранга. В качестве возмущаемого рассматривается обратимый самосопряженный оператор Т вида (1), действующий в сепарабельном гильбертовом пространстве Я, заданное подмножество однократных собственных значений оператора Т.

Теорема 6. Всякий одноранговый оператор К, удовлетворяющий условию

«ъ 2 щ

А,- - А 1к А,- - \

■ , 2ЫЫ \

+

чА

+

2. V д

+

+

(19)

также будет вносить в точечный спектр возмущаемого оператора необходимые изменения, а именно ар(Т — К) = {0} и (сГр(Т') \ П).

Теорема 7. Пусть выполняются все условия предыдущей теоремы, содержит только т положительных однократных собственных значений. Пусть имеется пара одноранговых возмущений К и К,

т

определяющихся следующим образом К и = а{и,Ь), где а = Е Х^,

7=1

ь = ЕАД'я А, = , * - К

7=1 п (ч-\)

Ж - А = Ф-)

5 = цхи,ь= Ей!', А. -

;=1 7=1 . П (Ч-ло)

А'и = а(и,Щ, где , г = 1 ,т, где Р(ц) —

некоторый многочлен степени т со старшим коэффициентом, равным единице, корни которого образуют подмножество стр(Т) \ П, дополненное нулём, А^ = А^ + е. Если

М = шт -

1

' 00 Е

+ 3 Е ¿=1 А А

+

Итак, мы доказали две теоремы, позволяющие оценить точность построения конечномерных возмущений для удаления из точечного спектра возмущаемых операторов заданного подмножества собственных значений. Эти результаты полезны для решения практических задач, т.к. обычно на практике собственные значения и функции вычисляются с некоторой погрешностью.

В п.1.7.1 исследуется задача управления спектром уравнения Шрё-дингера для гармонического осциллятора вида

где и = ^х2, Шо—собственная частота осциллятора. Известно решение задачи отыскания стационарных состояний, т.е. спектра собственных значений энергии Е и соответствующих собственных функций ф из уравнения

где Нп(х)— полином Чебышева-Эрмита. Справедлива следующая теорема.

Теорема 8. Пусть имеется дифференциальный оператор вида Тф = —|~ф +^Х2ф сдополнительнымусловиемнормировкиf^

2/,*

= действующий впространстве1?(—<Х>,о6). Для того чтобы пере-вестизаданное подмножество собственныхзначений = ^.Е;,, Е\т

< Ь < ' " < 1т в произвольно заданное подмножеств& = {«1,..., кт} (0 П П = 0) с помощью однорангового возмущения вида (3), где

а(ж) = чФАх), Ь{х) = £ РзЬ(х)

3=0 3=О

(20)

здесь -две квадратично суммируемые последова- (21)

тельности комплексных чисел, необходимо и достаточно, чтобы последовательности (21) удовлетворяли следующимусловиям:

а) = 0 для индексовне принадлежащихмножеству Л = {?!,..., /„,} ;

б) ^1,01, = т —г = 1 ,т, где Р(А) —некоторый многочлен

степени т со старшим коэффициентом, равным единице, корни которого совпадаютсозначениямииз 0.

В п.2.1.1 для самосопряжённого оператора с кратным спектром, имеющего следующее спектральное представление в виде ряда:

где —собственные значения оператора Т кратности действующего из

ОО rill

V = V(T) = <h\he Я, £ £ А?| {h, Wii) I2 < 00

I ¿=i ¿=i J

(23)

в —сепарабельное гильбертово пространство, получена теорема, описывающая все многоранговые возмущения вида

где тп/, ^ Ш12 ^ ■■■ Ш1т, для которых выполнено соотношение

Здесь (Гр(Т)—точечный спектр оператора Т, П—заданное непустое подмножество собственных значений оператора Т, 0—заданное подмножество точек, добавляемых в спектр оператора Т, или другими словами, точек, в которые переводятся собственные значения из О.

Теорема 9. Для того чтобы можно было перевести заданное подмножеств^ = {А;,,..., А(т} изолированныхсобственныхзначений оператора (22) в произвольно заданное подмножество О = {к;,,..., к;га} (0ПГ2 = 0) с помощью многорангового возмущения вида (24) необходимо и достаточно выполнение следующихусловий:

а) УфРя] = 0 для индексов], не принадлежащихмножеству Л = 1т}

} "".-"".-1 рл\ _

б) £ £ ^иЛи, - т ) >'—-, = 1 ,т, где Р(А)— некоторый

«=1 ¿=1 „ п .(ч-ч)

многочлен степени т со старшим коэффициентом, равным единице, корни которого совпадают со значениями из ©.

В п.2.2.1 также, как в случае оценки нормы однорангового возмущения, получена оценка для многорангового возмущения. Согласно теореме 9 рассмотрим одноранговое возмущение К для оператора Т в следующем виде

ТП "Ч.1

И ' т'»=°> «=1 ¡=1

т т

«« = , = ^ +»».-1 >

3=а ]=з

3 т'.-т',-| А _

гДе £ Л = т 1-, = 1 ,т. Оценим норму оператора

»=1 «=1 П К-ч)

ЫМ 1

К, действующего из V в Я. Возьмём следующую норму для функций

из V = V[K)

1/2

2

, А, ^0, г = 1,00. (26)

Имеем следующее выражение для нормы

||Й'|Ь->я = вир \\Ки\\н = У] К«11я вир К«А»>1>

т т,,-т,,_, ^

1М1т>0

мьа

ющих работах:

1. Клочков М.А. Одноранговые возмущения одного класса дифференциальных операторов // Тезисы докладов 4-й Российской универси-тетско-академической научно-практической конференции. Часть 6. Ижевск: Изд-во Удм. Ун-та, 1999. С. 23.

2. Клочков МА Возмущения минимального ранга для оператора Бельтрами // "Понтрягинские чтения-ХЬ" Тезисы докладов. Воронеж, ВГУ, 2000. С.82.

3. Клочков М.А. Оценка нормы возмущений минимального ранга// Вестник Тамбовского университета. Т.5, вып.4, 2000. С.459.

4. Клочков МА Возмущения минимального ранга для обыкновенных дифференциальных уравнений // Удм. гос. ун-т.-Ижевск, 2001.-18с. Деп. в ВИНИТИ. 23.01.01, М196-В01.

5. Клочков М.А. Конструкции конечномерных возмущений // Вестник Удмуртского университета. Математика. 2001, №3. С.59-64.

6. Клочков М.А. Управление колебаниями прямоугольной мембраны // Пятая Российская университетско-академическая научно-практическая конференция. Ижевск, 2001. Т.10. С.11-13.

7. Клочков М.А. Управление колебаниями струны // Современные

методы теории функций и смежные проблемы. Тезисы докладов. Воронеж, ВГУ, 2001. С. 136-137.

8. Клочков МА Управление колебаниями струны // Вестник Удмуртского университета. Математика. 2002, № 1. С.33-42.

9. Клочков МА Оценка точности вычисления конечномерных возмущений// Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материалы конференции.—Воронеж, ВГУ, 2003. С. 125-126.

10. Клочков МА Описание класса всех одноранговых возмущений дискретного спектра // Современные методы теории краевых задач. Тезисы докладов. Воронеж, ВГУ, 2004. С. 111-112.

Лицензия № 046 от 03.12.98. Подписано в печать 06.07.04. Формат 60 х 84^. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,0. Уч.-изд.л. 1,0. Заказ №9. Тираж 100 экз. Издательство "Детектив-информ". 426034, Ижевск, Университетская 1, корп. 4.

120 6 7 А

РНБ Русский фонд

2005-4 22547

ВВЕДЕНИЕ

СОДЕРЖАНИЕ

Глава I. КОНСТРУКЦИИ ОДНОРАНГОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ.

§1. Построение однорангового возмущения для самосопряжённых операторов с чисто точечным спектром.

§2. Случай оператора, подобного самосопряжённому.

§3. Управление частотой собственных колебаний струны с помощью обратной связи.

§4. Структура решений возмущённой задачи.

§5. Оценка нормы однорангового возмущения.

§6. Задача Трикоми.

§7. Уравнение Шрёдингера.

Глава И. КОНСТРУКЦИИ КОНЕЧНОМЕРНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ МИНИМАЛЬНОГО РАНГА.

§1. Случай дифференциального оператора с кратным спектром.

§2. Оценка нормы многорангового возмущения.

§3. Управление частотой собственных колебаний прямоугольной мембраны с помощью обратной связи.

§4. Оператор Лапласа-Бельтрами на сфере.

1°. Спектральные задачи для линейных операторов давно привлекают внимание исследователей. Особый интерес представляет задача управления дискретным спектром дифференциальных операторов. Дискретный спектр состоит из изолированных собственных значений конечной алгебраической кратности и описывает важные характеристики физических и химических объектов (квадраты частот собственных колебаний механических систем, энергетические уровни квантовых объектов и т.п.) Явления резонанса, энергетические сдвиги излучения и ряд других нежелательных явлений могут быть устранены путём введения блоков обратной связи, позволяющих изменить в заданном направлении спектральные характеристики операторов, описывающих динамику и статику изучаемых объектов.

2°. Рассматриваемая в диссертации задача управления дискретным спектром касается изменения конечного числа точек дискретного спектра с помощью конечномерного возмущения, однако, преследует три важные цели, определяющие новизну исследования: исследуется роль возмущений минимально возможного ранга, поведение их норм при удалении п собственных значений при п —> оо, а также получение оценок погрешности, допустимой при приближённом построении возмущений.

Общий характер влияния на спектр конечномерных возмущений достаточно хорошо изучен в работах А. Вайнштейна и Н. Ароншайна [18, с. 307-310], Ю.Н. Андреева [1, 2], А.Г. Бутковского [6, 7], Е.Я. Смирнова [39] и ряд других авторов [8, 43, 45, 47, 49, 53]. В работах Г.Г. Исламо-ва [12]-[15] впервые поставлена задача изучения возмущений минимального ранга, поведения их норм при большом числе изменяемых собственных значений и при приближённом построении возмущений. Мы углубляем эти исследования применительно к самосопряжённым операторам с чисто точечным спектром, а также несамосопряжённым операторам, подобным самосопряжённым.

Следуя [13], перейдём к постановке задачи о построении возмущений минимального ранга для операторов. Ограниченный оператор К, действующий в комплексном банаховом пространстве X, называется конечномерным, если он представим в виде п

Кх = ^^ щ (х, Ъ^ , щ G X, bi £ X*{i = 1, п), i=1 где X*—сопряжённое пространство, (x,bi)—значение функционала 6г- на элементе х.

Пусть замкнутый оператор А : X —У X с областью определения D(A) имеет собственные значения в некоторой "запрещённой" области Q комплексной плоскости C(Q ф С). Требуется указать такой конечномерный оператор К : X —V X, при котором оператор V — А — К не будет иметь точек спектра a(V) вО, т.е.Пс ГДе P(V)—резольвентное множество оператора V. Сформулированная задача относится к классу задач управления спектром линейного оператора и возникает при анализе итерационных процессов решения уравнений, в управлении квантовыми объектами, исследовании колебательных систем и в ряде других проблем [1, 2, б, 7, 39].

Известно, что существенный спектр оператора А не может измениться при воздействии конечномерным оператором К [18]. Поэтому операторы

V = А — К и А имеют одинаковые существенные спектры. Однако дискретные спектры этих операторов могут сильно отличаться, что очень важно для приложений.

Переход от спектра а (А) к спектру сг{А — К) образно можно представить как "удаление" собственных значений оператора А из области Q и преобразование части спектра сг(А), лежащей вне Понятно, что конечномерными возмущениями можно удалить те, и только те, точки ц спектра сг(А), при которых оператор А — \±1 фредгольмов (индекса нуль). Более того, при определённых условиях такими точками могут быть лишь изолированные собственные значения конечной алгебраической кратности. Например, в случае гильбертова пространства X это верно для нормального оператора.

Приведём ещё одно из условий. Пусть существует такое разложение А = V + К, что Q С P(V) и rang if < оо, где rang if—размерность образа КХ. При фиксированном /i £ О уравнение Ах — цх = / эквивалентно уравнению x-\-R(/i; V)Kx = R(y,\ V)f, R(fi\ V) = (V — /i/)-1— резольвента оператора V, которое однозначно разрешимо при любом / е X в том и только том случае, когда детерминант Вайнштейна-Ароншайна [18, с. 307]: ш(\) = det(/ + R(A; V)K) = det(/ + KR(A; V)), A e P(V), в точке ц отличен от нуля. При выполнении условия Q П Р{А) ф 0 голоморфная функция и;(А) ф 0. Следовательно, нули функции о;(А) и только они являются точками спектра оператора А, лежащими в P(V). При этом в силу формулы Вайнштейна-Ароншайна [18, с. 310] алгебраическая кратность А £ fin сг(А) равна кратности А как нуля функции ш( А) и, следовательно, конечна, а само А будет изолированной точкой спектра сг(А).

Среди всех конечномерных операторов К, "исправляющих" спектр оператора А описанным выше способом, выделим те, которые имеют минимальный ранг. Такие возмущения мы назовём экстремальными: они являются решениями экстремальной задачи

Величина го минимального ранга в задаче (1) указывает на то, что оператором меньшего ранга уже нельзя исправить спектр требуемым образом.

При рассмотрении задачи (1) возникают две разные по трудности подзадачи: а) оценка минимального значения функционала rang К] б) отыскание возмущения К, доставляющего минимум функционалу rang К.

Изучение подзадачи а) естественно начать с поиска двойственного функционала. Возмущение К : X —> X назовём допустимым в задаче (1), если Q С Р(А — К) и rang if < оо. Пусть К—произвольное допустимое возмущение, А Е П. Тогда уравнения Ах = Хх и х = —(V — Л/)-1 Кх (V = А —К, I—тождественный оператор) эквивалентны. Отсюда rang if ^ М{Х\Л) для любого Л G и произвольного допустимого возмущения К. Здесь М(Х;А) = dimker(A — XI)—геометрическая кратность числа Л. Это означает, что целевая функция экстремальной задачи мажорируется сверху целевой функцией задачи (1). По аналогии с математическим программированием утверждение о совпадении экстремальных значений целевых функций задач (1) и (2) назовём теоремой двойственrangК —»■ min, О, С Р(А — К).

1)

М(А; А) ->■ max, Л 6 Q,

2) ности, а задачу (2)—двойственной к задаче (1).

Исламовым Г. Г. доказана следующая теорема двойственности.

Теорема 0.1. [13] Пусть множество Г2 П о-(А) пусто или конечно и состоит из изолированных собственных значений оператора А конечной алгебраической кратности. Тогда экстремальные значения целевых функций задач (1) и (2) совпадают.

Замечание 1. Из доказательства данной теоремы вытекает, что существует такое возмущение К минимального ранга, которое оставляет без изменения точки спектра сг(А), лежащие вне области О,, и переводит все изолированные собственные значения оператора А из области О, в одну и ту же наперёд заданную точку £ ^ О.

Замечание 2. Если нуль не принадлежит замыканию то условию теоремы 0.1 удовлетворяют потенциально-компактные операторы ( [35, с. 459]). Если же О,—ограниченное подмножество комплексной плоскости, то условию теоремы 0.1 удовлетворяют замкнутые операторы с компактной резольвентой.

3°. Кратко остановимся на содержании диссертации. Диссертация состоит из Введения, двух глав и Списка литературы. Нумерация определений, лемм, теорем, замечаний независимая: первое число обозначает номер главы, второе—порядковый номер внутри главы. В пределах глав используется сквозная нумерация формул.

1. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука, 1967.

2. Андреев Ю.Н. // Автоматика и телемеханика. 1977, №3, 5-50.

3. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1966.

4. Балакришнан А.В. Прикладной функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

5. Боголюбов А. Н., Кравцов В. В. Задачи по математической физике. М.: Изд-во Моск. ун-та,, 1998.

6. Бутковский А. Г. Структурная теория распределённых систем. М.: Наука, 1977.

7. Бутковский А. Г., Самойленко Р. И. Управление квантовомеханически-ми процессами. М.: Наука, 1984.

8. Веремей Е.И., Еремеев В.В. Синтез оптимальных систем с заданными модальными свойствами // Оптим. упр. мех. системами. JI. 1983, 3-12.

9. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1988.

10. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Т. 3. М.: Мир, 1974.

11. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967.

12. Исламов Г.Г. Об управлении спектром динамической системы // Дифференциальные уравнения. 1987, том 23, №8. 1299-1302.

13. Исламов Г.Г. Экстремальные возмущения замкнутых операторов // Известия вузов. Иатематика. 1989, №1. 35-41.

14. Исламов Г.Г. Свойства одноранговых возмущений // Известия вузов. Математика. 1989, №4. 29-35.

15. Исламов Г.Г. Об одном свойстве мультипликаторов линейных периодических систем // Известия вузов. Математика. 1999, №2. 57-59.

16. Калман Р.Е., Арбиб М., Фалб П. Очерки по математической теории систем М.: Мир, 1971.

17. Касти Дж. Большие системы. Связность, сложность и катастрофы. М.: Мир, 1982.

18. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.

19. Клочков М.А. Одноранговые возмущения одного класса дифференциальных операторов // Тезисы докладов 4-й Российской универ-ситетско-академической научно-практической конференции. Часть 6. Ижевск: Изд-во Удм. Ун-та, 1999. С. 23.

20. Клочков М.А. Возмущения минимального ранга для оператора Бельтрами // "Понтрягинские чтения-XI." Тезисы докладов. Воронеж, ВГУ, 2000. С.82.

21. Клочков М.А. Оценка нормы возмущений минимального ранга// Вестник Тамбовского университета. Т.5, вып.4, 2000. С.459.

22. Клочков М.А. Возмущения минимального ранга для обыкновенных дифференциальных уравнений // Удм. гос. ун-т.-Ижевск, 2001.-18с. Деп. в ВИНИТИ. 23.01.01, №196-В01.

23. Клочков М.А. Конструкции конечномерных возмущений // Вестник Удмуртского университета. Математика. 2001, №3. С.59-64.

24. Клочков М.А. Управление колебаниями прямоугольной мембраны // Пятая Российская университетско-академическая научно-практическая конференция. Ижевск, 2001. Т.10. С.11-13.

25. Клочков М.А. Управление колебаниями струны // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Тезисы докладов. Воронеж, ВГУ, 2001. С.136-137.

26. Клочков М.А. Управление колебаниями струны // Вестник Удмуртского университета. Математика. 2002, №1. С.33-42.

27. Клочков М.А. Оценка точности вычисления конечномерных возмущений// Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материалы конференции.—Воронеж, ВГУ, 2003. С. 125-126.

28. Клочков М.А. Описание класса всех одноранговых возмущений дискретного спектра // Современные методы теории краевых задач. Тезисы докладов. Воронеж, ВГУ, 2004. С.111-112.

29. Короткое В.Б. Интегральные операторы. Новосибирск: Наука, 1983.

30. Лаке и Филлипс. Теория рассеяния, М.: Мир, 1971.

31. Маслов В.П. Теория возмущений и асимптотические методы. М.: Наука, 1988.

32. Моисеев Е.И. О представлении решения задачи Трикоми в виде биор-тогонального ряда // Дифференциальные уравнения. 1991. Т. 27, №7. 1229-1237.

33. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969.

34. Найфэ А. Введение в методы возмущений. М.: Мир, 1984.

35. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979.

36. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики. T.l, М.: Мир, 1982.

37. Садовничий В. А. Теория операторов. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986.

38. Сигалов М.Г. Интегральные возмущения, Сибирский мат. ж., 7 (1966), №2, 375-408.

39. Смирнов Е.Я. Некоторые задачи математической теории управления. Л.: Изд-во ЛГУ, 1981.

40. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977.

41. Филлипс Ч., Харбор Р. Системы управления с обратной связью. М.: ЛБЗ, 2001.

42. Фок В.А. Начала квантовой механики. М.: Наука, 1976.

43. Якубович В.А., Якубович Е.Д. Эквивалентные обратные связи в линейных стационарных системах управления // Автоматика и телемеханика, 1984, №2. 54-65.

44. A. A. Abramov, A. Aslanyan, Е. В. Davies. Bounds on complex eigenvalues and resonances // http://front.math.ucdavis.edu/math.SP/9911238

45. Balas M.J. Математическая структура задачи управления линейными распределёнными системами с помощью конечномерной обратной связи // Lect. Notes and Contr. Inf. Sci. 1983, 54, 1-34.

46. Benzinger H.E. A canonical form for a class of ordinary differential operators // Trans. Amer. Math. Soc. Vol. 63 Number 2 (1977), 281-286.

47. Clarke B.M.N. Размещение собственных значений расширенных гиперболических систем с помощью обратной связи // J. Math. Anal, and Appl. 1983, 97, №2, 417-440.

48. Joyce R. McLaughlin and Arturo Portnoy. Perturbation expansions for eigenvalues and eigenvectors for a rectangular membrane subject to a restorative force // Electronic research announcements of the AMS. Volume 3, p. 72-77(August 19,1997)

49. Moroz A.I. Оптимальная обратная связь для линейных нестационарных систем // Int. J. Contr. 1984, 39, №5, 929-938.

50. Poltoratski A. G. Canonical systems and finite rank perturbations of spectra // http://front.math.ucdavis.edu/math.SP/9606214

51. Rakosevich V. Extremal perturbations of bounded operators // IX Conference on Applied Mathematics D. Herceg, Lj. Cvetkovich, eds. Institute of mathematics Novi Sad, 1995, 209-212

52. Rafael del Rio, B. Simon. Point spectrum and mixed spectral types for rank one perturbations // Proc. Amer. Math. Soc. 125 (1997), 3593-3599.

53. Reid Russel M. Управление с обратной связью собственными значениями осциллятора в гильбертовом пространстве // Int. J. Contr. 1983, 38, №1, 237-244.

54. Sakawa Y. Стабилизация линейных диффузионных систем с помощью обратной связи // SIAM J. Contr. and Optim. 1983, 21, №5, 667-676.

55. В. Simon. Spectral analysis of rank one perturbations and applications, in CRM Proc. and Lecture Notes, Vol. 8, pp. 109-149, Amer. Math. Society, Providence, RI, 1995.