Управление спектром периодических систем возмущениями минимального ранга тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Удмуртский государственный университет

На правах рукописи

Сивков Дмитрий Анатольевич

УДК 517.984

УПРАВЛЕНИЕ СПЕКТРОМ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМ ВОЗМУЩЕНИЯМИ МИНИМАЛЬНОГО РАНГА

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ижевск - 2005

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики Удмуртского государственного университета.

Научный руководитель — доктор физико-математических наук,

профессор Г. Г. Исламов Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор П. М. Симонов, доктор физико-математических наук, доцент С. Н. Попова Ведущая организация Нижегородский государственный

университет им. НИ. Лобачевского

Защита состоится « » декабря 2005 г. в часов на заседании

специализированного совета К.212.275.04 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Удмуртском государственном университете (426034, Ижевск, ул. Университетская, (корпус) 4, аудитория 222).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Удмуртского государственного университета.

Автореферат разослан «О*» » I\Ла{Л 2006г. Ученый секретарь специализированного совета^ кандидат физико-математических наук

Н. Н. Петров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность

Классической задачей управления динамическим объектом является задача о нахождении для системы

х = Ах + Ви, х е К™, иёКт, Ь е К

такого управления и — 11х, что спектр матрицы А + В11 совпадает с заданным множеством. Здесь управление и = IIх называется обратной связью.

В 1987 г.1 Г. Г. Исламовым была впервые поставлена и решена задача о минимальном ранге линейной обратной связи для случая управления спектром линейных операторов в конечномерных пространствах. В 1989 г.2 получено обобщение на случай автономных систем с бесконечным числом степеней свободы, а в 1999 г.3 Г. Г. Исламов распространил результаты о минимальном ранге на случай периодических систем с конечным числом степеней свободы.

Была поставлена задача переноса результатов на случай периодических по времени систем с бесконечным числом степеней свободы, так как разработанная техника исследования задачи о минимальном ранге обратной связи позволяет это сделать.

1 Исламов Г Г Об управлении спектром динамической с ш темы / / Дифференц уравнения 1987 Т 23, №8 С 1299-1302

2Исламов Г Г Экстремальные возмущения замкнутых операюров//Изв вузов Математика 1989 №1 С 35-41

3Ис ламой Г Г Об одно*.! свойстве м ;Д"ьт и I й I и кат о (и ж линейных периодических систем / / Изв вузов Математика 1999 №2 С 57-59

НОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА СПете^ О

Ч|| »I» у*

Цель работы

Целью диссертационной работы является постановка задачи о назначении дискретного спектра для системы

х = A{t)x + u{t), A(t) = A(t + w), t,ueR,

где конечномерное управление u(t) формируется в виде линейной обратной связи

u(t) = -B(t)F{t)~lx{t),

F(t) = X(t) exp(—tK), К = ¿lnX(a;), X{t) матрицант системы x — A(t)x, и w-периодическая оператор-функция B(t) имеет наименьший возможный ранг, и решение этой задачи для случаев, когда x(t) принадлежит бесконечномерному гильбертовому или банаховому пространству.

Общие методы исследования

В работе использовались методы теории периодических систем и теории показателей Ляпунова. При построении примеров производился численный расчет и визуализация результатов с использованием пакета Wolfram Research Mathematica 5.1.

Научная новизна

Все основные результаты диссертационной работы являются новыми и получены автором самостоятельно. 1. Для радиотехнических схем, состоящих из нескольких связанных электрических колебательных контуров, получен математический вид обратной связи минимального ранга, меняющей спектр собственных колебаний заданным образом, и рассчитаны конструктивные эле-

менты схемы, соответствующие полученному виду возмущений Рассмотрены случаи простого и кратного спектра.

2. Приведен вид возмущения минимального ранга, переводящего собственные значения Л^ конечной кратности самосопряженного оператора из заданного множества П в заданное множество 0. Для нормы возмущения дана неулучшаемая оценка снизу.

3. Для стационарного оператора Гамильтона с потенциалом вида

, х\ х^О и(х)= _

+оо, х < О

построены простые возмущения минимального ранга, изменяющие спектр оператора заданным образом.

4. Доказана теорема о минимальном ранге возмущения конечномерной периодической системы с ¿¿-периодическим по времени Ь оператором А({), при каждом Ь действующем в банаховом пространстве 53.

5. Для неавтономной системы с ^-периодическим по времени оператором А{Ь), действующем в сепарабельном гильбертовом пространстве и компактном при каждом £, приведен вид возмущения минимального ранга, переводящего дискретные собственные значения оператора мо-нодромии данной системы из заданного множества О, в заданное множество в Рассмотрены случаи как простого, так и кратного спектра. Получены оценки снизу нормы возмущения.

6. Для уравнения в частных производных вида

]и(г) + а(г)£>и(0 = 0, а(г= а(£), * е И,

где И линейный оператор из в имеющий компактную резольвенту Я(А), найден вид возмущения, переводящего заданное подмножество О. спектра оператора монодромии в заданное множество в

7. Для задачи распространения тепла в тонком стержне с периодическим по времени коэффициентом температуропроводности найден вид возмущения, переводящего заданное подмножество О спектра оператора монодромии в заданное множество ©.

Теоретическая и практическая ценность

Диссертация носит как теоретический, так и прикладной характер. Её результаты могут быть использованы при решении задач управления периодическими динамическими системами, динамическими системами, описываемыми уравнениями математической физики.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на:

• Научном семинаре кафедры вычислительной математики УдГУ (Ижевск, 2000-2005),

• Ижевском городском семинаре по дифференциальным уравнениям и теории управления (2004, 2005);

• Научном семинаре кафедры численного и функционального анализа ННГУ (Нижний Новгород, 2005);

• Воронежской зимней математической школе. Современные методы теории функций и смежные проблемы (Воронеж, 2001, 2005),

• Воронежской весенней математической школе. Современные методы теории краевых задач (Воронеж, 2004, 2005),

• Пятой Российской университетско-акадсмической научно-практической конференции (Ижевск, 2001);

Публикации

По результатам выполненных исследований опубликовано 9 работ

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы и приложения. Общий объем диссертации — 108 страниц, список литературы содержит 39 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении отмечено место данной диссертационной работы в современных исследованиях, кратко изложены результаты, полученные диссертантом и другими исследователями в этой области.

Глава 1 носит обзорный характер.

В первом параграфе главы 1 подробно рассмотрены результаты Е. JI Тонкова и С. Н. Поповой, относящиеся к вопросам управляемости линейных систем.

Параграф 2 главы 1 посвящен управлению энергетическим спектром квантовомеханичсской системы (оператор Гамильтона) с помощью возмущения потенциала Построен численный пример возмущения потенциала, меняющего дискретный спектр заданным образом.

В главе 2 для автономной системы рассмотрена задача о минимальном ранге линейной обратной связи

х = Ах — Кх,

rank К —+ min, (1)

a(A- K)nfl = 0, в С <т(А- К),

где Q, Q - заданные множества, о {А — К) - спектр А — К. Таким обра-

зом, добавлением линейной обратной связи осуществляется перевод точек дискретного спектра из множества О в множество ©

В первом параграфе главы 2 для случая, когда — элемент множества п-мерных векторов Т11 для каждого Ь е К, А — элемент множества их п матриц а Т некоторое числовое поле, доказана следующая

теорема, устанавливающая минимальное значение ранга возмущения К. Теорема 1. Минимальный ранг допустимого возмущения равен максимальной геометрической кратности чисел Л € П

шах сНт кег(А.Е — А) — тт гапк К,

Лео

(2)

где минимум берется по всем допустимым возмущениям К.

Во втором параграфе главы 2 для радиотехнических схем, состоящих из нескольких связанных электрических колебательных контуров, получен математический вид обратной связи минимального ранга, меняющей спектр собственных колебаний заданным образом.

1*=Ь

а Простой спектр

Р,

б Кратный спектр

Значения параметров системы были выбраны близкими к критическим, значениям, за которыми в системе становятся невозможными собственные колебания.

Были рассчитаны конструктивные элементы схемы, соответствующие математическому виду возмущения, повышающего добротность колебательной системы.

В третьем параграфе главы 2 рассмотрено обобщение теоремы 1 на случай целенаправленного перевода точек спектра из множества П в заданное множество © для замкнутого оператора А, действующего в сепарабельном гильбертовом пространстве.

Доказана следующая теорема, дающая оценку изменения спектра оператора А - К при его приближенном построении.

Теорема 2. Для любого ограниченного К справедливо сг(А — К + К) с [¡¿(а(А — К)), где 5 такое, что

11*11 <

дЩ(<т(У)) - граница 6-окрестноети множества сг(А — К).

В параграфе 4 главы 2 для самосопряженного оператора А, не зависящего от времени £, действующего в сепарабельном гильбертовом пространстве 5), построен вид возмущения минимального ранга, переводящего простой спектр из заданного множества О в заданное множество в.

Пусть возмущаемый самосопряженный оператор А действует в сепарабельном гильбертовом пространстве 9) по закону

п

Аи = ^2Фк)Фк, чей, (з)

к=1

где {Фк}к=1 ~~ ортонормированная система элементов из й и {А;,}}'=1 однократные собственные значения, образующие точечный спектр сг,,(А) оператора А, п — ранг оператора А, п < оо.

Рассмотрим одноранговое возмущение К :$)—> в виде

Ки = (и, Ь)а, и € 5э, 9

где

П П

а = Ь = (5)

— квадратично суммируемые последовательности комплексных чисел. Возмущения (4) должны переводить собственные значения оператора Л из П в некоторое заданное множество 0 так, чтобы выполнялось равенство

ар(А-К) = еи(стр(А)\П). (6)

Для возмущений вида (4) справедлива теорема, дополняющая работу4. Теорема 3. Для того чтобы мооюно было перевести заданное подмножество О, = {А*,,..., А*т} изолированных собственных значений оператора (3) в произвольно заданное подмножество © = {«],..., кт} (©ПП = 0) с помощью однорангового возмущения вида (4) необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

а) Уу/Зу = 0 для индексов ], не принадлежащих множеству А = {&!,..., кт};

р/» \ _

б) щ 0к = -^-, г — 1 ,т, где Р(А) — многочлен степени т

П (А*,-А* )

со старшим коэффициентом, равным единице, корни которого образуют подмножество множества © и (сгр( А) \ П), причем множество © \ <тр(А) целиком лежит в множестве корней Р(А).

Дана оценка погрешности перевода собственных значений из О в заданное множество ©. Для

т

П(ч -

= —^-=Л(А,к)

П (Ч-А0

4 Исламов Г Г Свойства одноранговых возмущений //Изв вузов Математика 1989 N'4 С 29-35

справедливо

где А — вектор (А*,,..., А^т)т, /с — вектор (ки ..., кт)т, /(А, к) = (Л(А, к),..., /т(А, к))Т, ^ — матрица Якоби преобразования / по переменным к.

Для якобиана получено его выражение через значения А и к:

т—1 т

О/

Бк

П П (к, - /С,)

1=1 7=1+1

т г—1

ПП^-ч)

г=2 7=1

В параграфе 5 главы 2 приведен вид возмущения минимального ранга, переводящего собственные значения Л/^ конечной кратности из заданного множества П в заданное множество Э для следующей задачи.

Пусть А — самосопряженный оператор, действующий в сепарабельном гильбертовом пространстве имеющий ортонормированную систему собственных функций А, — собственные значения оператора А геометрической кратности тпг, причем 1 ^ тщ ^ т2.... В данном случае для оператора А имеет место спектральное разложение

эо т, 1=1 7=1

Пусть задано некоторое П = {А;п ..., А/т} — непустое подмножество спектра сг(А). Необходимо, возмущая оператор А конечномерным возмущением минимального ранга К, перевести все собственные значения А¡к оператора А из множества О в произвольное множество © = {01,..., #,„}, являющееся подмножеством спектра о{А — К), комплексной плоскости С.

Для возмущения К вида

т

К = Ь,)ая, as €f), bs<= fi,

где

оо min(mi,,m,)

= X XI

i=\+l,-\ j=i+m,_.

ос min(rri(,,m,)

X X ^

{^1']'}, {А'/}> = 1,00,7' = 1, "V — квадратично суммируемые последовательности комплексных чисел, причем будем полагать ¿о = 0, гщ = О, сформулирована и доказана следующая теорема, дополняющая работу 4). Теорема 4. Для того чтобы молено было перевести заданное подмножество = {А/,,.. •, А/т } изолированных собственных значений оператора (7) в произвольно заданное подмножество © = {0\,... ,вт комплексной плоскости С с помощью возмущения вида (), необходимо и достаточно существования двух квадратично суммируемых последовательностей {уц}, [Ръ]}, г ~ 1, оо, ^ = 1, т, таких, что выполнены следующие условия.

а) г/уД^ = 0 для всех индексов г, не принадлежащих множеству индексов удаляемых собственных чисел Л = {/1,..., /,„};

к=\,кфг

тп со старшим коэффициентом, равным единице, корни которого совпадают со значениями из в.

где P{ß) = П (/х — вк) многочлен степени к=1

771

Для нормы возмущения дана неулучшаемая оценка снизу

m m

1=1 *=i

кфг

В параграфе 6 главы 2 для стационарного оператора Гамильтона с потенциалом вида

<дх) = Р'

I +оо, х < О

построены простые возмущения минимального ранга, изменяющие спектр оператора заданным образом.

Глава 3 посвящена управлению спектром оператора монодромии периодических систем. Она содержит бблыпую часть основных результатов диссертационной работы.

Параграф 1 главы 3 посвящен построению вида возмущения, переводящего собственные значения из заданного множества Q в заданное множество 0 для произвольной приводимой неавтономной системы в банаховом пространстве *В. Этот параграф содержит обоснование подхода, развитого в главе 3.

Пусть задана управляемая система

х = A(t)x + u(t), (8)

где управление u(t) для каждого t принадлежит ЯЗ и строится по принципу обратной связи

u(t) = -K(t)x(t). (9)

Пусть система (8) асимптотически эквивалентна системе

у = Ву + v{t), v(t) G <В (10)

с преобразованием Ляпунова

у = L(t)x, у G 53, L{t) ■ В »,

(H)

и оператор Я имеет компактную резольвенту.

Для этого случая сформулирована и доказана следующая теорема. Теорема 5. Для системы (8) такой, что существуют В и Ь{1), для которых выполнено

и произвольного О такого, что пересечение множества характеристических показателей х(А(Ь)) решений однородной системы х = А(Ь)х с О, пусто или состоит лишь из конечного числа точек, с управлением

где S — возмущение, переводящее точки спектра ар(В)Г\0. в произвольное заданное множество © (© Г) Q = 0), пересечение Î2 П х(А ~ К) пусто.

В том случае, когда оператор A(t) — ш-периодический по времени t, преобразование Ляпунова L(t) известно и может быть получено из представления Флоке

В параграфе 3 главы 3 поставлена и разрешена задача о минимальном ранге обратной связи для периодической системы с компактной при каждом t € R оператор-функцией A(t).

В банаховом пространстве 55 рассмотрена управляемая система

где при каждом t линейный оператор A(t), действующий из 33 в 03, ком-

A(t) = L~1(t)BL(t) - L'\t)L(t),

u(t) = -L~l(t)SL(t)x,

x = A(t)x + u(t), t G M,

(12)

пактен, a x(t) и u(t) являются элементами 93. Кроме того, пусть A(t) -^-периодический по времени t, сильно измеримый и интегрируемый по Бохнеру на отрезке [0, ш\ оператор.

Для оператора Коши X(t) соответствующей невозмущенной однородной системы следует существование представления Флоке

X(t) = F(t)exp{tQ) (13)

в виде произведения периодической дифференцируемой оператор-функции F(t), имеющей ограниченный обратный оператор F-1(f), на операторную экспоненту exp(tQ) с постоянным оператором Q. Рассмотрено возмущение u(t) следующего вида

u(t) = -K(t)x(t) = -B{t)F~\t)x{t).

Наложено требование, чтобы возмущение, привносимое в систему, имело минимально возможный ранг, понимаемый в следующем смысле. Определение 1. Если оператор В из множества [55], то его рангом назовем число rank В = Aim{Bz\z €

Данная задача носит экстремальный характер и может быть записана в виде

rank В —> min,

(14)

о(Х(ш)) П П = 0.

Сформулирована и доказана следующая теорема. Теорема 6. Пусть П — произвольное подмножество С такое, что его замыкание Q не содержит единицу. Тогда

maxdimker(X(k;) — pi) = min rank В, рей

где минимум берется по всем ш-периодическим операторам B(t), для ко-

торых спектр оператора монодромии возмущенной системы (12) не пересекается с множеством Q.

В следующей теореме дана оценка погрешности приближенного построения возмущения.

Теорема 7. Пусть Q — замкнутое подмножество комплексной плоскости и Q — ограниченный оператор, определенный на всем пространстве 55, либо П — компактное подмножество и Q — замкнутый оператор. Тогда всякий конечномерный оператор K(t) = F(t)SF~l(t) такой, что rankS = rank 5, \\S - 5|| < ттдеп ||/?(A;Q — S)||-1, также будет решением задачи (14)-

Параграф 4 главы 3 посвящен построению вида возмущения, изменяющего спектр оператора монодромии заданным образом.

Для сепарабельного гильбертова пространства Sj рассмотрена управляемая система (12). В спектре ct(X(w)) задано подмножество собственных значений, не содержащее единицы, О = {рА,,. такое, что любое собственное значение р из О имеет конечную геометрическую кратность. Кроме того, задано множество 0 = {А,..., 0/} такое, что в П О. = 0.

Для возмущения u(t) справедлива теорема. Теорема 8. Пусть Г2 = ... ,Pk,} заданное подмножество спек-mpacr(X{w)), © = {<91,... ,0;} — заданное множество такое, что Qfl© = 0. Тогда возмущение вида u(t) = — F(t)SF~1(i)x(i) переводит fl в ©, где вид S определен теоремой 4-

Для изучения асимптотического поведения решения дана оценка нормы возмущения K(t) при t = и>:

Отсюда автоматически следует оценка

™*\тт > Ъ П|ехрМО-ехрМ^)|' 1—1__1

.7=1

В параграфе 5 главы 3 для уравнения вида

Р4и(г) + а(*)£>и(*) = 0, (15)

где и(Ь) для каждого £ € К является элементом

Рг = а& + 0<*,/?€ С, а^О,

а(£) — ^-периодическая непрерывная функция,

£> — линейный оператор из 9) в 55, имеющий компактную резольвенту Я(Л) = — Л/)""1, 5} — некоторое гильбертово пространство, найден вид возмущения, переводящего заданное подмножество = {/>*,,..., р^} спектра сг(Х(и>)) в заданное множество ©.

Пусть оператор И имеет в 9) полную ортонормированную систему собственных функций {ф„} таких, что они являются решениями спектральной задачи

= КФп-

Уравнение (15) представимо в виде нормальной системы уравнений первого порядка:

и — ю,

(16)

и, = -£ц} - ¿а(£)£>к. Для данной системы эволюционный оператор Х(Ь) представим в виде:

Х(£) = Р(£)ехр(£<2), (17)

где

т = Е

00

^ г«

а JО

1

о

{■,Фт,)Фп,

1-Е

СЮ

пи)

(■,Фп)Фп, М= /

Jo

Возмущение, переводящее заданное подмножество П = {р^,...,р^} спектра а(Х(и)) в заданное множество в, имеет вид

где вид 5 определен теоремой 4(стр. 12)

В параграфе 6 главы 3 для однородной задачи распространения тепла в тонком стержне построено возмущение, переводящее заданные собственные значения в единицу.

Публикации по теме диссертации

1 Сивков Д.А. К вопросу об управлении спектром периодических систем // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Тезисы докладов. Воронеж, ВГУ, 2001. С 241-242.

2. Сивков Д.А. К вопросу об управлении спектром периодических систем // Пятая Российская университетско-академическая научно-практическая конференция Ижевск, 2001. Т. 10. С 10-11.

3 Сивков Д.А. Задача управления спектром уравнения теплопроводности на пространственной сетке // Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели. Тезисы докладов. Челябинск, ЧелГУ, 2002. С. 97-98.

4. Сивков Д.А Управление спектром оператора монодромии периодической системы с компактной оператор-функцией возмущениями ми-

нимального ранга // Вестн. Удм. Ун-та. 2002 Сер. Математика. №1.

5. Сивков Д.А. Управление спектром оператора монодромии одноранговыми возмущениями // Современные методы теории краевых задач Тезисы докладов. Воронеж, ВГУ, 2004. С. 206-207.

6. Сивков Д.А. Управление спектром оператора монодромии уравнения в частных производных // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материалы конференции. - Воронеж, ВГУ, 2005. С. 207-208.

7. Сивков Д.А. Об управлении спектром оператора монодромии одноранговым возмущениям // Вестн. Удм. ун-та. 2005. Сер. Математика №1. С. 167-176.

8. Сивков Д.А. Управление спектром периодических систем возмущениями минимального ранга // Известия Ин-та матем. и информ. / УдГУ. Ижевск. 2005. Вып. 3(33). С.З 94.

9. Сивков Д.А. О допустимом управлении спектром оператора монодромии уравнения в частных производных // Современные методы теории краевых задач. Тезисы докладов. Воронеж, ВГУ, 2005. С. 144.

С.92-95.

<Ш>6А 9V6

Г ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. «Современное состояние проблемы»

1.1. Задачи управления показателями Ляпунова.

1.2. Построение возмущений потенциала в уравнении Шредингера

ГЛАВА 2. «Управление спектром постоянного оператора»

2.1. Конечномерная система.

2.2. Связанные электрические колебательные контуры.

2.3. Система с постоянным оператором.

2.4. Вид возмущения в случае простого спектра.

2.5. Оператор с кратным спектром.

2.6. Построение возмущений.

ГЛАВА 3. «Управление спектром оператора монодромии»

3.1. Неавтономная система. ф 3.2. Конечномерная система с периодической матрицей

3.3. Ганг возмущения.

3.4. Вид возмущения.

3.5. Управление спектром оператора монодромии уравнения в частных производных.

3.6. Управление спектром оператора монодромии уравнения теплопроводности.

Классической задачей управления динамическим объектом является задача о нахождении для системы х — Ах -f Ви, жеГ, ueRm: teR, где А и В — постоянные вещественные матрицы соответственно размерностей п х п и п х т, такого управления и = Ux, U G Mmxn, для которого спектр матрицы А + BU совпадает с заданным множеством. Эта задача назначения спектра называется задачей модального управления.

Здесь управление и = Ux строится на основе информации о текущем состоянии объекта и называется обратной связью.

Разрешимость задачи о назначении спектра исследовалась многими авторами. Обзор результатов, относящихся к этой области, дан, например, в [1].

В 1987-89 гг. Г. Г. Исламовым [2-5] была впервые поставлена и решена задача о минимальном ранге линейной обратной связи х = Ах ~ Кх, rankfT-^min, (1) где Q — заданное множество, <j(A — К) — спектр матрицы А — К.

В работе [3] доказана следующая теорема, определяющая минимальный ранг матрицы К, задающей линейную обратную связь в задаче (1). Теорема 0.1. Минимальный ранг допустимого возмущения равен максимальной геометрической кратности чисел X € Г2 max dim kerf Л Е — А) = min rank К, АеП где минимум берется по всем допустимым возмущениям К.

Впоследствии в работе [4] данный результат был обобщен на случай замкнутого оператора А, действующего в банаховом пространстве Теорема 0.2. Пусть множество Q П (т{А) пусто или конечно и состоит лишь из изолированных собственных значений оператора А конечной алгебраической кратности. Тогда min rank if = maxdimker(A — XI), Aen где минимум берется по всем конечномерным К таким, что выполнено а{А-К) ПП = 0,

I — тождественный оператор в $).

Г. Г. Исламовым построены конструкции минимальных по рангу возмущений и изучены их свойства [2]. Отметим результат статьи [5], где в случае нормального компактного оператора А с простым спектром, действующего в гильбертовом пространстве, дано описание всех одноранговых возмущений с требуемым свойством.

Теорема 0.3. Пусть Ах = ipk)ipk = • • где k^i ki < < • • ■ < kn, оператор А имеет полную систему ортопормировап-ных собственных функций (р\, с/?2> • • •• Пусть, далее, Кпх = и(х, v), причем для К = К„ выполнено соотношение ар(А-К) = {0}иар(А)\П.

2)

Тогда найдутся такие две квадратично суммируемые последовательности комплексных чисел {с^} и что: а) и = ^^ aj!-Pj) v — PjVj (Pj ~ комплексно-сопряженное с j3j число); т j>i б) otjPj = 0 для индексов j, не принадлежащих мноо/сеству Л = {ki, k2,., kn}; п в) a hi (3hi — P(l^ki)/ JJ (fj-ki - fj>kj)} i = l,n, где P( А) — некоторый мно

3=1,j^i гочлен степени п со старшим коэффициентом, равным единице, корпи которого образуют подмножество сгр(А) \ Q, дополненное нулем.

Обратно, если и и v заданы в виде рядов а), сходящихся в $), и выполнены условия б) и в), то для оператора Кпх — u(x,v) выполнено соотношение (2), где К = Кп.

Позднее, в 2004г., М. А. Клочков [6] рассмотрел вопрос о виде обратной связи в задаче о назначении спектра для неограниченного самосопряженного оператора А rank К —min, а(А-К)Г\П = 0, 9 С а (А — К), где © — заданное множество, не пересекающееся с Q.

В [6] получен вид минимальной по рангу обратной связи для задачи о назначении спектра. Приведен вид минимальной по рангу линейной обратной связи и для случая кратного спектра.

Теорема 0.4. Для того чтобы можно было перевести заданное подмножество О = {Лкг, ■ ■ ■, Ajtm} изолированных собственных значений опера

00 ГГЦ тора Аи = i(u,(fi}i)cpi}i, где {(рц} — полная система ортопорми

1=1 г=1 рованных собственных функций оператора А в S), в произвольно заданное подмножество 9 = {к^,., K,im} (© ГШ = 0) с помощью многорангового возмущения вида а. т mis-mi^

Ku = J2 asi{u,bsi), mi0 = 0, asi е fi, bsi £ Sj, s=1 i=1

CO 00 si — ^ ^ Vsij(Pj,i+ms-i' bsi = ^ ^ Psij^Pj,i+m3-i j=s j=s mk < rrii2 < . < rnim, где {vSij}, {fisijs — l,m, i = 1 ,nriis — mis1} j = s, oo — квадратично суммируемые последовательности комплексных чисел, необходимо и достаточно выполнения следующих условий: a) vsijPsij = 0 для всех индексов j, не принадлежащих множеству Л = Ob • • • 5 1-т}> У] VsiijPsiij = —т---; j = l,m, где Р(Л) - некото

8=1 i=1 П (4--A/J рый многочлен степени т со старшим коэффициентом, равным единице, корни которого совпадают со значениями из 0.

В работе [7] Д. А. Сивков уточняет и дополняет этот результат.

При обобщении приведенных выше результатов на нестационарные управляемые системы х = A(t)x + B{t)u (3) возникают вопросы об управлении асимптотическими характеристиками этих систем. В работах П. Бруновского, Е. JI. Тонкова, С. Н. Поповой и других авторов рассмотрены условия полной управляемости асимптотических характеристик данных систем. Подробный обзор полученных в этой области результатов сделан в диссертации С. Н. Поповой [8].

В том случае, когда оператор A(t) — (^-периодический по времени система (3) с помощью представления Флоке может быть приведена к стационарной системе. В 1999 г. Г. Г. Исламов [9] поставил и решил задачу об «удалении» собственных значений матрицы монодромии из заданного множества П для нестационарной динамической системы (3) с ^-периодической по времени t функциональной матрицей A(t) методом минимальной обратной связи.

Пусть для линейной управляемой системы х = A{t)x + u{t), (4) где A{t) есть си-периодическая матрица с комплекснозначными локально суммируемыми элементами, управление u(t) формируется по методу обратной связи u(t) = -B(t)F(t)-lx(t), где F(t) = X{t) exp(~tK), К = ^lnX(w), X(t) — матрицант невозмущенной системы х — Aijjjx.j a B{t) есть ш-периодическая матрица с комплекснозначными локально суммируемыми элементами.

Тогда справедлива следующая Теорема 0.5. Пусть Г2 — произвольное собственное подмпооюество С. Тогда ттгапкБ = maxdimker(X(o;) — рЕ), pssi где минимум берется по всем ш-периодическим п х п-матрицам B(t) с комплекснозначными локально суммируемыми компонентами, для которых система (4) не имеет мультипликаторов из Q.

В 2002 г. Д. А. Сивков [10] обобщил результаты работы [9] на случай uj~ периодического по времени t оператора A(t), компактного при каждом t, действующего в бесконечномерном банаховом пространстве 23.

В 2005 г. [7,11] был найден вид линейной обратной связи минимального ранга для задачи (3) в сепарабельном гильбертовом пространстве S), изменяющей точечный спектр оператора монодромии заданным образом.

В том же году полученные результаты были обобщены на случай уравнений в частных производных (операторов с компактной резольвентой) вида

Ptu(t) + a(t)Du(t) = 0, где u(t) — для каждого £ £ К. является элементом ft, + а,Ре С, a(t) — w-периодическая непрерывная функция,

D — линейный оператор из 5} в Sj, имеющий компактную резольвенту Д(А) = (D - XI)-1.

Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы и приложения.

1. Габасов Р., Кириллова Ф. М. Математическая теория оптимального управления // Итоги науки и техники. Мат. анализ. М. 1979. Т. 16. С. 55-97.

2. Исламов Г. Г. Экстремальные возмущения линейных операторов: Дис. . докт. физ.-мат. наук. Екатеринбург, 1993.

3. Исламов Г. Г. Об управлении спектром динамической системы // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23, № 8. С. 1299-1302.

4. Исламов Г. Г. Экстремальные возмущения замкнутых операторов // Изв. вузов. Математика. 1989. № 1. С. 35-41.

5. Исламов Г. Г. Свойства одноранговых возмущений // Изв. вузов. Математика. 1989. № 4. С. 29-35.

6. Клочков М. А. Управление дискретным спектром дифференциальных операторов возмущениями минимального ранга: Дис. . канд. физ.-мат. наук. Ижевск, 2004.

7. Сивков Д. А. Управление спектром периодических систем возмущениями минимального ранга // Известия Ин-та матем. и информ./ УдГУ. Ижевск. 2005. Вып. 3(33). С. 3-94.

8. Попова С. Н. Управление асимптотическими инвариантами линейных систем: Дис. . докт. физ.-мат. наук. Ижевск, 2004.

9. Исламов Г. Г. Об одном свойстве мультипликаторов линейных периодических систем // Изв. вузов. Математика. 1999. № 2. С. 57-59.

10. Сивков Д. А. Управление спектром оператора монодромии периодической системы с компактной оператор-функцией возмущениями минимального ранга // Вестн. Удм. ун-та. 2002. Сер. Математика. № 1. С. 92-95.

11. Сивков Д. А. Об управлении спектром оператора монодромии одноранговым возмущением // Вестн. Удм. ун-та. 2005. Сер. Математика. № 1. С. 167-176.

12. Abraham Р. В., Moses Н. F. Changes in potentials due to changes in the point spectrum: Anharmonic oscillators with exact solutions // Phys. Rev. 1980. Vol. A 22(4). P. 1333-1340.

13. Захарьев Б. H., Сузько А. А. Потенциалы и квантовое рассеяние. Прямая и обратная задачи. М.:Энергоатомиздат, 1985. 224 с.

14. Захарьев Б. Н., Чабанов В. М. Качественная теория управления спектрами, рассеянием, распадами // Физика элементарных частиц и атомного ядра. 1994. Т. 25, № 6. С. 1561-1597.

15. Попова С. Н., Тонков Е. JI. Управление показателями Ляпунова согласованных систем. I // Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30, № 1. С. 1687-1696.

16. Попова С. Н., Тонков Е. JI. Управление показателями Ляпунова согласованных систем. II // Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30, № 1. С. 1949-1957.

17. Попова С. Н., Тонков Е. Л. Управление показателями Ляпунова согласованных систем. III // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31, № 2. С. 228-238.

18. Попова С. Н., Тонков Е. Л. К вопросу о равномерной согласованности линейных систем // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31, № 4. С. 723724.

19. Тонков Е. Л. Задачи управления показателями Ляпунова // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31, № 10. С. 1682-1686.

20. Попова С. Н., Тонков Е. Л. Согласованные системы и управление показателями Ляпунова // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33, № 2. С. 226-235.

21. Ланкастер П. Теория матриц. М.:Наука, 1978. 280 с.

22. Красовский Н. Н. Теория управления движением. М.:Наука, 1968. 475 с.

23. Тонков Е. Л. Динамическая система сдвигов и вопросы равномерной управляемости линейной системы // Докл. АН СССР. 1981. Т. 256, № 2. С. 290-294.

24. Былов Б. Ф., Изобов Н. А. Необходимые и достаточные условия устойчивости характеристических показателей линейной системы // Дифферент уравнения. 1969. Т. 5, № 10. С. 1794-1803.

25. Попова С. Н. Глобальная приводимость линейных управляемых систем к системам скалярного типа // Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40, № 1. С. 41-46.

26. Попова С. Н. Глобальная управляемость полной совокупности ляпуновских инвариантов периодических систем // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39, № 12. С. 1627-1636.

27. Изобов Н. А. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Итоги науки и техники. Мат. анализ. М. 1974. Т. 12. С. 71-146.

28. Brunovsky P. Controllability and linear closed-loop controls in linear periodic systems // Journal of Differential Equations. 1969. Vol. 6. P. 296313.

29. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. М.:Физматгиз, 1963. 704 с.

30. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М.:Наука, 1971. 431 с.

31. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.:Мир, 1972.

32. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.:Наука, 1967. 472 с.

33. Далецкий Ю. JI., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.:Наука, 1970. 534 с.

34. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики: Т.4. Анализ операторов. М.:Мир, 1978. 428 с.

35. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.:Наука, 1967. 576 с.

36. Треногин В. А. Функциональный анализ. М.:Наука, 1980. 496 с.

37. Балакришнан А. В. Прикладной функциональный анализ. М.:Наука, 1980. 384 с.

38. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.:Наука, 1966. 724 с.

39. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.:Наука, 1976. 528 с.