Управление асимптотическими инвариантами линейных систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

На правах рукописи

Попова Светлана Николаевна

УПРАВЛЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИМИ ИНВАРИАНТАМИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Екатеринбург - 2004

Работа выполнена в Удмуртском государственном университете.

Научный консультант: доктор физико-математических наук,

профессор Тонкое Евгений Леонидович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Долгий Юрий Филиппович

доктор физико-математических наук, профессор Сергеев Игорь Николаевич

доктор физико-математических наук, профессор Сумин Владимир Иосифович

Ведущая организация: Институт математики Национальной

Академии наук Беларуси

Защита состоится "_1б_" уиЛр^-ля 2005 года в ^¡_3_2"часов на заседании диссертационного совета Д 004.006.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Институте математики и механики Уральского отделения Российской Академии наук по адресу: 620219, г. Екатеринбург, ГСП-384, ул. С. Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики Уральского отделения РАН.

Автореферат разослан " 14" у^счГря 200 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук, старший научный сотрудник

'А-

А. А. Успенский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одной из важнейших задач классической теории автоматического регулирования является задача о стабилизации управляемого объекта, поведение которого описывается стационарной линейной системой

где А и В — постоянные вещественные матрицы размеров пхп и пУ.т соответственно. Под стабилизацией этого объекта (или, что то же самое, системы (1)) понимается построение такой линейной обратной связи и = 1!х с постоянной т х п матрицей и, что всякое решение замкнутой этим управлением стационарной системы

по норме стремится к нулю при < —» +оо быстрее функции е~а<, где неотрицательная величина а заранее задана. Поскольку указанное поведение решений системы (2) полностью определяется вещественными частями собственных значений матрицы А + Ви, задача стабилизации сводится к перемещению в область ком-

плексной плоскости всех собственных значений матрицы

А + Ви под воздействием стационарного матричного управления и.

Непосредственным развитием этой задачи стабилизации является задача о назначении спектра, в которой требуется обеспечить точные равенства для произвольного наперед

заданного набора комплексных чисел

Хорошо известно, что в случае скалярного управления задача о назначении спектра разрешима в том и только том случае, когда п X п матрица [Ь, АЬ, А2Ь,..., Ап~1Ь] обратима (здесь Ь = В € К"). В начале 60-х годов В. М. Попов показал1, что необходимое и достаточное условие разрешимости задачи о назначении спектра при произвольном совпадает с условием

полной управляемости (Р. Калман2) системы (1). Позднее М. Уонэм

1 Popov V. М. Hyperstability and optimality of automatic systems with several control functions // Rev. Roumaine. Sci. Techn., Electrotechn. et Energ.— 1964. — Vol.9, №4.— P. 629-690.

J Kaiman R. E. Contribution to the theory of optimal control // Boletin de la Sociedad Matematika Mexicana.- 1960. - Vol. 5, lft-1 — P, 1Q2-119.

x - Ax + Bu, x e 1", u G Rm, t G R,

(1)

X = (A + BU)x, X G R", t G R,

(2)

rank[£, AB,An~lB) = n

(3)

установил3, что если числа образуют спектр вещественно-

го типа, т.е. такой, каким может обладать вещественная матрица, то матрица обратной связи и может быть выбрана вещественной.

Первые попытки распространить эти результаты на линейные нестационарные системы

х = A(t)x + B(t)u, х G R", и € Rm, t 6 К,

(4)

были предприняты еще в 60-е годы XX века. Одной из первых работ в этом направлении была статья П. Бруновского4, в которой доказано, что для и-периодических систем (4) с непрерывно дифференцируемыми коэффициентами разрешимость задачи о назначении спектра при всяком наборе предписанных значений образующих

спектр вещественного типа, эквивалентна полной управляемости рассматриваемой системы. Под спектром здесь понимается совокупность мультипликаторов замкнутой периодическим матричным

управлением системы

х = (A(t) + B(t)U)x, х € R", t e R,

(5)

т.е. собственных значений матрицы Л(/(а;,0), где Xv(t,s) — матрица Коши системы (5) при [/ = [/(■).

В случае непериодических нестационарных систем самым естественным обобщением понятия спектра является понятие полного спектра характеристических показателей Ляпунова.

Определение 0.1 (A.M. Ляпунов5). Набор чисел образует полный спектр характеристических показателей Ляпунова линейной однородной системы

х = 4(f)x, х 6 R", t € R,

(6)

если выполнены следующие условия:

1) показатель Ляпунова A[i] := (lim i-1 In ||z(i)|| всякого нетривиального решения х(-) этой системы принадлежит множеству чисел

3Wonham W. M. On pole assignment in multi-input controllable linear systems // IEEE Trans, on Automat. Control.— 1967. — Vol. AC-12, № 6.— P. 660-665.

4Brunovsky P. Controllability and linear closed-loop controls in linear periodic systems // J. of Different. Equat.- 1969. - Vol. 6, № 3,- P. 296-313.

•Ляпунов A. M. Собр, соч.'-B-fi.x^~М^Л.: Изд-во АН СССР, 1956.-Т.2.-473с. •J tfW.H'l

ШИК','-.

ся /»"•

2) для произвольной фундаментальной системы решений (ФСР) xj(-),

п п

X'2(-),...,i„(-) системы (6) имеет место неравенство Х)А[х,] ^

;=i ¿=1

3) для некоторой ФСР £i(-),...,2„(-) системы (6) справедливо равен-

п п

ство X] = -V Эта ФСР называется нормальной.

¡=1 ¡=1

Если линейная однородная система (6) стационарна, то ее полный спектр показателей Ляпунова состоит из набора вещественных частей собственных значений матрицы коэффициентов А. Если же матрица коэффициентов Л(-) системы (6) имеет периодто ее мультипликаторы и характеристические показатели Ляпунова связаны равенствами

Следуя традиции асимптотической теории линейных систем, мы будем рассматривать однородные системы вида (6) с кусочно непрерывными и ограниченными на М коэффициентами. Совокупность всех таких систем обозначим Мп . Чтобы замкнутая управлением

и = U(t)x (7)

система (4) принадлежала тому же классу Мп , потребуем кусочной непрерывности и ограниченности матрицы , и само матричное управление будем выбирать из множества кусочно непрерывных и ограниченных на числовой прямой матриц.

Возникает вопрос: как понимать условие (3) полной управляемости стационарных систем в случае нестационарных линейных управляемых систем? Оказывается, что коэффициентное обобщение критерия полной управляемости (3) на произвольные нестационарные системы справедливо только в случае систем с аналитическими коэффициентами (А. Чанг6). Для систем с гладкими неаналитическими коэффициентами имеет место лишь достаточное условие полной управляемости (Н.Н. Красовский7), которое состоит в том, что ранг матрицы управляемости Q{t) := [Qi((), • • • гДе QUO :=#(0i Qi(t):= = A(t)Qi^i(t) — Qi^i(t), i = 2,..., n, должен достигать в некоторой точке рассматриваемого промежутка наибольшего возможного значения, равного размерности системы п. Если условие rank Q{t) = п для матрицы управляемости выполнено при всех то система (4)

6Chang A. An algebraic characterization of controllability // IEEE Trans, on Automat. Control.- 1965. — Vol. AC-1O,№1.—P. 112-113.

7Красовский Н.Н. Теория управления движением.— М.: Наука, 1968.— 476с.

является дифференциально управляемой, и по матрице управляемости можно построить нестационарное преобразование фазового пространства, приводящее эту систему к канонической форме, которая в случае т = 1 эквивалентна скалярному уравнению n-го порядка, а в случае т > 1 — системе нескольких независимых скалярных уравнений (Е.Я. Смирнов8, И. В. Гайшун9). Поскольку задача управления характеристическими показателями Ляпунова скалярного уравнения решается просто (добавлением к коэффициентам этого уравнения подходящих функций), для систем, у которых это приводящее преобразование оказывается ляпуновским или обобщенным ляпуновским преобразованием, могут быть получены достаточные условия управляемости полного спектра характеристических показателей. Такие условия были получены в работах Е. Я. Смирнова8 и В. А. Воловича10 для систем (4) с матрицей Л(-) класса C2n-2(R) и матрицей В(-) к л а С^-ЦК) В работах И. В. Гайшуна9 и Е. Л. Тонкова11 для случая т = 1 было достигнуто существенное снижение требований к порядку гладкости коэффициентов системы (4), что позволило значительно расширить класс систем, охватываемых достаточными условиями управляемости показателей, которые основаны на приведении системы (4) к виду, эквивалентному скалярному уравнению.

Для произвольных систем вида (4) указанный подход, по-видимому, реализовать невозможно. Один из альтернативных подходов был в свое время предложен Е. Л. Тонковым12, доказавшим эквивалентность условий равномерной полной управляемости в смысле Р. Калмана2 исходной системы (4) и равномерной стабилизируемости замкнутой системы (5) в предположении равномерной непрерывности коэффициентов (близкие по смыслу результаты содержатся в работе японских математиков М. Икеды, X. Маеды и Ш.Кодамы13). Из этой теоремы следу-

•Смирнов Е.Я. Стабилизация программных движений.— С.-Петербург: Изд-во С.-Петербургского ун-та, 1997,— 308 с.

•Гайшун И. В. Введение в теорию линейных нестационарных систем.— Минск: Ин-т математики НАН Беларуси, 1999.— 409 с.

'"Wolovich W. A. On the stabilization of controllable system // IEEE Trans, on Automatic Control.- 1968. - Vol. AC-13, № 5,- P. 569-572.

"Tonkov E. L. Uniform attainability and Lyapunov reducibility of bilinear control system // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. Suppl. 1. — 2000. — P. S228-S253.

" Тонкое Е. Л. Критерий равномерной управляемости и стабилизация линейной рекуррентной системы // Дифференц. уравнения.— 1979. — Т. 15, № 10.— С. 1804-1813.

"Ikeda M., Maeda H., Kodama S. Stabilization of linear systems // SIAM J. Contr. — 1972. —Vol. 10, №4. — P. 716-729.

ет, что если система (4) с равномерно непрерывными коэффициентами равномерно вполне управляема, то за счет выбора линейной обратной связи (7) характеристические показатели Ляпунова A¡(A + BU), i = 1,...,п, замкнутой системы (5) можно сделать меньшими любого наперед заданного отрицательного числа.

В связи с этим результатом Е. Л. Тонковым была поставлена задача о построении для равномерно вполне управляемой системы (4) обратной связи вида (7), которая бы обеспечила совпадение совокупности характеристических показателей Ляпунова системы (5) с заранее заданным набором вещественных чисел.

Первые результаты для задачи управления спектром в такой постановке были получены автором в работе14, в которой доказаны некоторые достаточные условия локальной управляемости показателей Ляпунова. Кроме того, в этой работе рассматривались вопросы об управлении другими ляпуновскими инвариантами, в частности, центральными показателями Р. Э. Винограда и интегральной разделенностью решений. Позднее локальная управляемость показателей Ляпунова изучалась в работах Е. Л. Тонкова и его учеников Д. М. Оленчикова и В. А. Зайцева.

Свойство локальной управляемости характеристических показателей Ляпунова системы (5) эквивалентно открытости в точке U(t) = О отображения, которое каждому допустимому управляющему воздействию U(-) ставит в соответствие совокупность характеристических показателей Ляпунова системы (5) с таким С(-). Некоторые результаты о свойствах этого отображения содержатся в статье П. Колониуса и В. Климана15.

В связи с результатами об управлении центральными показателями и интегральной разделенностью решений, полученными в работе14, возникает вопрос о локальной и глобальной управляемости не только полного спектра показателей Ляпунова, но и других инвариантов преобразований Ляпунова (иначе называемых ляпуновскими, или асимптотическими инвариантами).

14 Попова С. Н. К вопросу об управлении показателями Ляпунова // Вестник Удмуртского ун-та.— 1992. — К' 1.— С. 23-39.

15 Colonius P., Kliemann W. Lyapunov exponents of control flows // Lyapunov exponents / Ed. L. Arnold, H. Crauel, J.-P. Eckmann.— Berlin: Springer-Verlag, 1991.— P. 331-365.— (Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1486).

Определение 0.4 (A.M. Ляпунов5). Линейное преобразование

У = L(t)x (8)

называется преобразованием Ляпунова, если его матрица L(-) удовлетворяет условиям:

1) sup||L(t)|| < оо;

(ек

2) при каждом i € К матрица L(t) обратима и sup||L_1(t)|| < оо;

teR

3) функция L(-) кусочно непрерывно дифференцируема на IR, причем

sup||i(i)|| < оо. <eR

Матрица L{•) преобразования Ляпунова (8) называется матрицей Ляпунова. Применение преобразования (8) к системе (6) переводит ее в линейную однородную систему у — D(t)y, у € R", t € К, где

D(t) = L(t)v4(i)L_1(i) + L{t)L~\t), t 6 R. (9)

Матрицы •A(-) и £)(•), связанные равенством (9), называются кинематически подобными, а соответствующие им системы называются асимптотически эквивалентными (по Богданову16). Хорошо известно16, что преобразования Ляпунова образуют группу, а формула (9) задает действие этой группы на множестве М.п линейных однородных систем с ограниченными и кусочно непрерывными коэффициентами. Величины и свойства, сохраняющиеся под действием группы ляпуновских преобразований, называются ляпуновскими (асимптотическими) инвариантами. К асимптотическим инвариантам относятся такие величины (свойства), как полный спектр показателей Ляпунова, свойства приводимости и правильности, коэффициенты неправильности, нижний показатель О. Перрона, нижний и верхний равномерные показатели П. Боля, нижний и верхний центральные показатели Р. Э. Винограда, младший центральный показатель В. М. Миллионщикова, верхний особый показатель П. Боля, экспоненциальные показатели Н. А. Изобо-ва, свойство интегральной разделенности решений линейной однородной системы, и другие (подробная информация содержится в обзоре Н. А. Изобова17). Большое разнообразие асимптотических инвариантов

"Богданов Ю.С. Асимптотические характеристики решений линейных дифференциальных систем // Тр. 4-го Всесоюз. матем. съезда, 1961: В 2 т. / АН СССР.— М.-Л.: Ичд-во АН СССР, 1964.— Т. 2.— С. 424-432.

17Изобов Н. А. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Итоги науки и техн. Мат. анализ.—М.: ВИНИТИ, 1974.—Т. 12. — С. 71-146.

линейных систем приводит к задаче об управлении не только отдельными инвариантами преобразований Ляпунова, а сразу всей их совокупностью.

Определение 0.8 [10]. Система (5) обладает свойством глобальной ляпуновской приводимости, если для любой системы

(10)

принадлежащей множеству Мп систем с ограниченными и кусочно непрерывными коэффициентами, существует такое кусочно непрерывное и ограниченное управление [/(•), что система (5) с этим управлением асимптотически эквивалентна системе (10).

Ясно, что если система (5) обладает свойством глобальной ляпу-новской приводимости, то всякий ее асимптотический инвариант выбором матричного управления [/(•) можно сделать совпадающим с любым допустимым наперед заданным значением (т. е. эта система обладает свойством глобальной управляемости каждого ляпуновского инварианта). Для дискретных систем вопрос о достаточных условиях глобальной ляпуновской приводимости рассматривался В. А. Лунько-вым18. Некоторые результаты для систем с непрерывным временем были получены В. А. Зайцевым.

Из результатов о локальной управляемости показателей Ляпунова, т.е. об открытости в точке U(t) = О € Mmn отображения U И- (А](Л+ +BU),..., А„(А + BU)), вытекает открытость при Q(t) = 0 G М„ отображения Q н-> (Aj(Л + Q),...,An(A + Q)), ставящее в соответствие всякой кусочно непрерывной и ограниченной матричной функции Q(-) полный спектр показателей Ляпунова возмущенной системы

х = (A(t) + Q(t))x, х е R", i <Е R. (И)

С этими результатами тесную связь имеют результаты исследований

в задаче об отыскании достижимых границ подвижности показателей

системы (11), т.е. величин 7*(/l):=inf At(,4+Q), Г*(Л):=зирА*(.4+(?),

Q Q

где Q(-) предполагается принадлежащим какому-либо классу малости. Наиболее полно изучены границы подвижности вверх старшего показателя А„. Несколько менее — границы подвижности вниз младшего

18 Луньков В. А. О полной приводимости линейной системы управления // Известия Ин-та математики и информатики УдГУ. Ижевск.— 1996. — Вып. 2(8).— С. 15-25.

показателя Ai. Ранее всего был вычислен верхний центральный показатель ЩА), введенный Р. Э. Виноградом19 как оценка сверху для старшего показателя системы (11) с малыми возмущениями. Достижимость этой оценки в классе малых возмущений доказана В. М. Мил-лионщиковым20. В этой же работе В. М. Миллионщиковым получена формула для вычисления младшего центрального показателя, совпадающего с достижимой нижней границей младшего показателя системы (И) в классе малых возмущений. И. Н. Сергеевым показано21, что оба центральных показателя достижимы также в классе бесконечно малых возмущений. Старший сигма-показатель V„(A), соответствующий классу -возмущений, т. е. возмущений, удовлетворяющих неравенству ||Q(i)|| S^ NQe~at, t ^ 0, в котором Nq — положительная константа, зависящая от Q(-), вычислен Н. А. Изобовым22. Старший экспоненциальный показатель , соответствующий предельному классу всех экспоненциально убывающих возмущений и играющий важную роль в . решении задач Ляпунова об устойчивости по линейному приближению, вычислен Н. А. Изобовым23.

И.Н. Сергеевым21 построены достижимые границы подвижности вверх для всех промежуточных показателей при малых и бесконечно малых возмущениях. Н. А. Изобовым введено понятие минимального показателя линейной дифференциальной системы, представляющего собой достижимую границу подвижности вниз старшего показателя при малых возмущениях, дана формула для его вычисления в случае двумерной системы24, а также оценка снизу в общем случае25. В работе И. Н. Сергеева26 вычислен минимальный показатель трехмерной си-

19 Виноград Р. Э. О центральном характеристическом показателе системы дифференциальных уравнений // Матем. сборник.— 1957. — Т.42, J¥> 2.— С. 207-222.

20 Миллионщиков В. М. Критерий малого изменения направлений решений линейной системы дифференциальных уравнений при малых возмущениях коэффициентов системы // Матем. заметки.— 1968. — Т. 4, вып. 2.— С. 173-180.

21 Сергеев И. Н. К теории показателей Ляпунова линейных систем дифференциальных уравнений // Труды сем. им. И. Г. Петровского.— 1983. — Вып. 9.— С. 111 -166.

22 Изобов Н. А. О старшем показателе линейной системы с экспоненциальными возмущениями // Дифференц. уравнения.— 1969. — Т. 5, № 7.— С. 1186-1192.

21 Изобов Н. А. Экспоненциальные показатели линейной системы и их вычисление // Докл. АН БССР.— 1982. — Т. 26, Л* 1.-С. 5-8.

24 Изобов Н. А. Минимальный показатель двумерной линейной дифференциальной системы // Дифференц. уравнения.— 1977. — Т. 13, № 5.— С. 848-858.

"Изобов Н.А. Оценка снизу для минимального показателя линейной системы// Дифференц. уравнения.— 1978. — Т. 14, № 9.— С. 1576-1588.

26 Сергеев И. Н. Формула для вычисления минимального показателя трехмерной системы // Дифференц. уравнения.— 2000. — Т.36, № 3.— С. 345-354.

стемы. Ранее И.Н. Сергеевым27 были полностью вычислены границы подвижности всех показателей линейной дифференциальной системы для возмущений, малых в среднем.

Обобщением задачи о вычислении достижимых границ подвижно -сти показателей является задача о построении спектрального множества линейной дифференциальной системы, т. е. совокупности значений спектрального вектора , принимаемых им

на всем множестве систем (11) с возмущениями из рассматриваемого класса. Впервые спектральное множество было полностью вычислено в работе М. И. Рахимбердиева и Н. X. Розова28 для стационарной системы с малыми в среднем периодическими возмущениями. Спектральные множества систем с гробмановскими возмущениями вычислялись Н. А. Изобовым. Ряд результатов о спектральных множествах линейных сингулярных систем с экспоненциальными возмущениями получен в работах Н. А. Изобова и С. Г. Красовского. Для случая малых возмущений весьма серьезные продвижения достигнуты в работах М. И. Ра-химбердиева. Вычисление точных границ характеристических показателей и построение спектральных множеств линейных дифференциальных систем с ограниченными возмущениями, не являющимися малыми, но удовлетворяющими некоторым дополнительным ограничениям, производилось в работах С. А. Гришина, Н. А. Изобова, Н. А. Изобова и Т. Е. Зверевой, А. Г. Суркова.

Отметим также, что задачами стабилизации различных систем при различных предположениях в разное время занимались Э. Г. Альбрехт, С. А. Гришин, Ю.Ф. Долгий, Л.Е. Забелло, В. А. Зайцев, Н. Н. Красовский, В. Н. Лаптинский, Г. А. Леонов, В. А. Луньков, С. А. Нефедов, Ю. С. Осипов, Н. X. Розов, И. Н. Сергеев, Е. Я. Смирнов, Е.Л. Тонкое, Ф. А. Шолохович, R. Brockett, P. Brunovsky, C.E. Lan-genhop, V. M. Popov и другие авторы. Некоторые утверждения об управлении мультипликаторами периодических систем были получены В. Н. Лаптинским. Задачи управления приводимостью и правильностью решались Е. Я. Смирновым8 и И. В. Гайшуном9.

27Сергеев И.Н. Точные границы подвижности показателей Ляпунова линейных систем при малых в среднем возмущениях // Труды сем. им. И. Г. Петровского.— 1986. — Вып. 11.— С. 32-73.

28 Рахимбердиев М.И., Розов Н. X. Распределение показателей Ляпунова линейных систем с периодическими коэффициентами, близкими в среднем к постоянным // Диффсренц. уравнения.—1978. — Т. 14, № 9. — С. 1710-17i4.

Цель работы. Целью диссертации является постановка задачи управления ляпуновскими инвариантами систем вида (4), замкнутых линейным по наблюдателю у = С*(4)х, у € К.1", управлением и = 1/(()у, т. е. систем

х = (А(4) + вщищсчфх, х е и\ г е к,

в которых роль управления играет матричная функция и = [/(•), и решение этой задачи как в локальном, так и в глобальном смысле.

Методы исследования. На основе классического в теории показателей Ляпунова метода поворотов В. М. Миллионщикова в диссертации была разработана методика управления ляпуновскими инвариантами систем вида . В работе использовались методы асимптотической теории линейных систем, методы классического и современного анализа, а также методы теории динамических систем.

Научная новизна. Все полученные в работе результаты являются новыми. Основные результаты состоят в следующем.

1. Введены понятия и исследованы свойства равномерной локальной и равномерной глобальной достижимости линейных управляемых систем, позволяющие перенести на такие системы метод поворотов В. М. Миллионщикова.

2. Доказана эквивалентность равномерной полной управляемости и равномерной локальной достижимости линейных управляемых систем без наблюдателя и получены эффективные достаточные условия равномерной локальной достижимости линейных управляемых систем с наблюдателем.

3. Введены понятия и исследованы свойства локальной и глобальной управляемости асимптотических инвариантов линейных систем, а также глобальной ляпуновской приводимости линейных управляемых систем.

4. Получены достаточные условия локальной управляемости полного спектра показателей Ляпунова и выяснен вопрос о необходимости условия равномерной полной управляемости для локальной управляемости показателей.

5. Доказана глобальная скаляризуемость равномерно вполне управляемых систем, на основе которой установлена глобальная управля-

емость коэффициентов неправильности, свойств правильности, приводимости и устойчивости показателей Ляпунова.

6. Доказана глобальная управляемость центральных, особых и экспоненциальных показателей для равномерно вполне управляемых систем.

7. Установлена глобальная управляемость полного спектра показателей Ляпунова и выяснен вопрос о необходимости условия равномерной полной управляемости для глобальной управляемости показателей Ляпунова.

8. Доказана глобальная ляпуновская приводимость двумерных равномерно вполне управляемых систем.

9. Установлена эквивалентность полной управляемости и равномерной глобальной достижимости периодических систем.

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Ее результаты и примененные методы могут быть использованы при проведении исследований по математической теории управления, по теории устойчивости и по теории асимптотических инвариантов линейных дифференциальных систем в Институте математики и механики Уральского отделения Российской Академии наук, в Институтах математики НАН Беларуси и НАН Украины, в Институте математики Министерства образования и науки Республики Казахстан, в Московском, Санкт-Петербургском, Белорусском и Удмуртском государственных университетах, а также при чтении спецкурсов в Белорусском и Удмуртском госуниверситетах.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на Международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной 103-летию со дня рождения И. Г. Петровского (21 сессия совместных заседаний семинара имени И. Г. Петровского и Московского математического общества, Москва, 2004 г.), на 16 и 17 сессиях совместных заседаний семинара имени И. Г. Петровского и Московского математического общества (Москва, 1994,1995 гг.); на семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений в Московском государственном университете (руководители семинара — профессор В. А. Кондратьев, профессор В. М. Миллионщиков, профессор Н.Х. Розов; 2001-2004 гг.); на семинаре по проблемам нелинейной динамики и управления в Московском государственном университете (руководители семинара — академик РАН С. В. Еме-

льянов, академик РАН С. К. Коровин; 2001 г.); на семинаре отдела дифференциальных уравнений Института математики Национальной Академии наук Беларуси (руководитель — академик НАН Беларуси Н. А. Изобов; 2003 г.); на семинаре отдела динамических систем Института математики и механики Уральского отделения Российской Академии наук (руководитель — профессор В.Н. Ушаков;2004 г.); на семинаре по оптимальному управлению в Нижегородском государственном университете (руководители — профессор В. И. Сумин, профессор М. И. Сумин; 2003 г.); на семинаре по оптимальному управлению в Уральском государственном университете (руководитель — профессор Ю.Ф. Долгий; 2003 г.); на Межгосударственной научной конференции "Динамические системы: устойчивость, управление, оптимизация", посвященной 75-летию Е. А. Барбашина (Минск, 1993 г.); на III Международном семинаре "Негладкие и разрывные задачи управления. Оптимизация и их приложения" (Санкт-Петербург, 1995 г.); на . Вторых Белорусских республиканских научных чтениях по обыкновенным дифференциальным уравнениям, посвященных 75-летию Ю. С. Богданова (Минск, 1995 г.); на Белорусской республиканской научно-методической конференции, посвященной 25-летию факультета прикладной математики и информатики БГУ (Минск, 1995 г.); на VII Белорусской математической конференции (Минск, 1996 г.); на Международной конференции "Динамические системы: устойчивость, управление, оптимизация", посвященной 80-летию Е. А. Барбашина (Минск, 1998 г.); на Международной конференции "Третьи научные чтения по обыкновенным дифференциальным уравнениям, посвященные 80-летию Ю.С. Богданова" (Минск, 2001 г.) и на Ижевском городском семинаре по дифференциальным уравнениям и теории управления (руководители — доцент Н. Н. Петров, профессор Е. Л. Тонкое; 19932004 гг.).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [1-30], в том числе основные результаты — в работах [1-21]. Теорема 8.1 из совместной работы [28], теорема 17.2 из совместной работы [16] и теорема 25.1 из совместной работы [9] принадлежат диссертанту и соавтору Е. К. Макарову в равной мере. Результаты главы I, носящей предварительный характер, получены в равной степени диссертантом и научным консультантом Е. Л. Тонковым. Остальные результаты, опубликованные в совместных работах и включенные в диссертацию, получены автором.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, включающих в себя 27 параграфов, и списка использова-ных источников. Общий объем диссертации 264 страницы, библиографический список включает 199 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе введены и исследованы свойства согласованности и равномерой согласованности линейной управляемой системы с наблюдателем

х = A{t)x + B[t)u, у = C*(t)x, х 6 R", « € Rm, у 6 Rr, t e R, (12)

с кусочно непрерывными и ограниченными на матричными коэффициентами (звездочкой обозначена операция транспонирования). Эти понятия являются непосредственным обобщением на такие системы понятий полной и равномерной полной управляемости линейных управляемых систем без наблюдателя. Напомним, что система (4) называется:

вполне управляемой (Р. Калман2, H.H. Красовский7), если для каждого ¿о 6 R найдется д > 0 такое, что для произвольного начального состояния хо 6 R" существует управление (измеримая ограниченная функция) и : [(о, io + -» Rm, переводящая состояние хо в нуль на промежутке времени [fo,io + т.е. гарантирующая для решения х(-) решения задачи Коши х = A(t)x + B(t)u(t), x(to) = хо, выполнение равенства x(io +1?) = 0;

равномерно вполне управляемой (Р. Калман2), если найдутся такие положительные числа а и д, что при каждых <о £ R. и £ € R" для ма-

<0+0

трицы Калмана W(t0,ta + tf) := J X(t0,s)B(s)B,{s)X'{t0,s)ds систе-

io

мы (4) выполнено неравенство + здесь A'(f, s) —

матрица Коши однородной системы (6).

В первом параграфе приведен обзор известных результатов об управляемости линейных систем.

Основной объект исследований второго параграфа — семейство линейных управляемых систем

х = A(fltx)x + B(fla)u, х б R", u G Rra, f 6 R, (13)

с наблюдателем

у = C*(f'a)x, у б Rr, t 6 R, (14)

заданных топологической динамической системой (£,/') (здесь (Е,р) — полное метрическое пространство со счетной базой, /' — поток на Е) и функцией <р:= (А, В, С): £ М„|П+т+г. Предполагается, что для каждого а о £ Е функция t И- ||y(/icro)|| измерима по Лебегу, ограничена на R и для любых е > 0 и N > 0 найдется такое

(+1

6 > 0, что выполнено неравенство max J \\ip(f'a) — ip(fao)\\ds < е,

как только р(<7, ста) < Система (13), (14) отождествляется с функцией

Определение 2.1. Система <р{}1<?) называется: согласованной на отрезке [0, , если существует I > 0 такое, что для всякой матрицы G £ М„ найдется измеримое управление Uq : [0,

Mmr, удовлетворяющее оценке sup ||{7g(0II и обеспечиваю-

i£[0,i>]

щее разрешимость (относительно Z(•)) матричной задачи управления Z = A{fa)Z + В(1'а)иС*(ра)Х(1,0, о); (15)

Z( 0) = 0, Z(t?) = G; (16)

согласованной, если найдется такое t? > 0, что ^(/<<то) согласованна на отрезке [0,1?].

Пусть 7((7р) := {сг £ Е : а = /'а0. t € R} — траектория движения t /'<т0, 7(сто) — замыкание (в метрике р) траектории 7(<7о) ■

Определение 2.2. Система (p(f'cro) называется равномерно согласованной (на 7(ст0)), если существуют д > 0 и I > 0 такие, что для всякой непрерывной матричной функции G : Е М„ найдется измеримое по f и непрерывное по а управление [¡с '■ [0,r5] х 7(00) —» Мтг, удовлетворяющее оценке Hi/c^i^ll ^ /||С((7)||, 0 ^ t ^ и обеспечивающее свойство: для каждого а £ 7(00) матричная задача управления (15), (16) при G = G(<t), U = i/c(i,<r) разрешима.

По системе ip(f(cr) строится постоянная симметрическая n2 х п2-матрица Г(г?, а) (так называемая матрица согласования — аналог матрицы Калмана), и доказывается, что согласованность системы у(/'ст) эквивалентна положительной определенности матрицы согласования (теорема 2.1).

В § 3 результаты предыдущего параграфа переносятся на случай, когда в качестве пространства рассматривается динамическая

система сдвигов, порожденная фиксированной линейной управляемой

системой с наблюдателем (12). Показано, что в случае линейной управляемой системы без наблюдателя введенное понятие согласованности эквивалентно понятию полной управляемости (теорема 3.1). Установлена инвариантность свойства равномерной согласованности относительно ляпуновских преобразований (следствие 3.2) и грубость этого свойства (следствие 3.3).

В четвертом параграфе по линейной управляемой системе с наблюдателем строится линейная управляемая система без наблюдателя большей размерности — так называемая "большая" система. Показано (теорема 4.1), что согласованность исходной системы эквивалентна полной управляемости большой системы. В следующем параграфе на основании результатов § 4 получены коэффициентные признаки согласованности (и несогласованности) линейных управляемых систем с наблюдателем.

В последнем параграфе главы установлена возможность применения метода поворотов В. М. Миллионщикова20 (об этом методе см. также обзор Н. А. Изобова17) к системе (4), замкнутой линейной по наблюдателю обратной связью , т. е. к системе

х = {А^) + ВЦ)иС'Ц))х, хег, «€К. (17)

Во второй главе исследовано свойство локальной достижимости замкнутой системы (17).

Определение 10.1 (В.А. Зайцев, Е.Л. Тонкое29). Пусть Ш С С Мтг — некоторое множество, д > 0 — фиксированное число. Система (17) называется ^-равномерно локально достижимой (относительно множества и), если существует 5 > 0 такое, что для каждого Ц 6 М и для любой матрицы Я 6 М„, ||Я - ^ 8, найдется кусочно непрерывное управление и : {¿о, ¿о + —> О, гарантирующее для матрицы Коши Хц{Ь, в) системы (17) с {/ = [/(•) выполнение равенства

Хи{к + 0, «о) = А'(<0 +1?, да. (18)

Определение 10.2. Система (17) называется ^-равномерно локально достижимой, если эта система ^-равномерно локально достижима относительно множества и := {II 6 Мтг : ||(У|| ^ е} при каждом е>0.

29Зайцев В. А., Тонкое Е. Л. Достижимость, согласованность и метод поворотов В. М. Миллионщикова // Известия вузов. Математика.—1999. —К» 2(441). — С. 60-67.

Отметим, что именно свойство равномерной локальной достижимости системы (17) позволяет перенести метод поворотов В. М. Милли-онщикова на линейные управляемые системы с наблюдателем.

В §8 рассмотрен частный случай системы (12) — линейная управляемая система (4) без наблюдателя. Этому случаю отвечают значения г = п, С(Ь) = Е

Теорема 8.2. Система (4) д-равномерно вполне управляема в том и только том случае, когда замкнутая система (5) #равномерно локально достижима.

В десятом параграфе исследовано соотношение между свойствами равномерной согласованности линейной управляемой системы с наблюдателем и равномерной локальной достижимости соответствующей замкнутой системы.

Теорема 10.1. Если система (12) д-равномерно согласованна, то соответствующая ей замкнутая система (17) д -равномернолокально достижима.

Теорема 10.2. Свойство д -равномерной согласованности системы (12) не является необходимым для $-равномерной локальной достижимости соответствующей замкнутой системы (17).

Таким образом, свойство равномерной согласованности системы (12) "с запасом" обеспечивает возможность применения метода поворотов Миллионщикова к линейным управляемым системам с наблюдателем. Заметим, что проверка свойства равномерной локальной достижимости затруднена тем, что это понятие содержит в себе информацию о поведении решений целого класса систем, а именно класса возмущенных систем вида (17). Поэтому легко проверяемые достаточные условия самой достижимости получить весьма непросто. С другой стороны, критерий равномерной согласованности системы (12), выраженный в терминах матрицы согласования, позволяет при проверке свойства равномерной согласованности не обращаться ни к каким возмущениям, а работать только с коэффициентами системы (12) и с матрицей Коши Х^, в) невозмущенной системы (6). В частности, при проверке свойства согласованности можно воспользоваться результатами четвертого и пятого параграфов диссертации. Отсюда следует ценность полученных в главе I результатов о равномерной согласованности линейных управляемых систем с наблюдателем.

В § 11 выясняется, как соотносятся между собой множество замкнутых систем вида (17) и множество возмущенных систем вида (11).

Для произвольного е > 0 обозначим через 91£(А) множество всех замкнутых систем вида (17) с кусочно непрерывными на R матрицами [/(■), удовлетворяющими оценке ||í/||c ^ £, а через Ш£(А) — совокупность всех возмущенных систем вида (11) с кусочно непрерывными и ограниченными на R матрицами Q(-),

Следствие 11.1. Если система (17) равномерно локально достижима, vio для каждого е > 0 существует 5 > О такое, что для любой системы вида (И) из множества Ш({А) найдется кусочно непрерывное управление £/(•) 6 КСтг{К), \\U\\c ^ £, обеспечивающее асимптотическую эквивалентность системы (11) и системы (17) с U = U(-).

Доказательство этого результата основано на том, что свойство асимптотической эквивалентности систем дискретизуемо в следующем смысле30: если матрицы Коши X(t,s) и Z(t,s) двух линейных однородных систем (6) и (10), принадлежащих множеству М„, при некотором д > 0 и всех k £ Z удовлетворяют равенствам

Z({k + 1)0, кд) = Х((к +1)0, Щ,

то эти системы асимптотически эквивалентны. Заметим, что дискре-тизуемость (т. е. возможность вычисления на фиксированной последовательности моментов времени) отдельных ляпуновских инвариантов впервые была замечена, вероятно, Н. А. Изобовым31, установившим вычислимость на произвольной возрастающей арифметической прогрессии моментов времени полного спектра показателей Ляпунова. В работе Р. А. Прохоровой32 отмечено, что не только характеристические показатели, но и многие другие ляпуновские инварианты, такие, как центральные, особые и экспоненциальные показатели, коэффициенты неправильности и т. п., имеют дискретный характер, т. е. их вычисление также можно проводить по последовательности , с произволь-

ным фиксированным

На основании следствия 11.1 и теорем В. М. Миллионщикова о плотности систем с интегральной разделенностью во множестве

30 Макаров Е.К. О дискретности асимптотических инвариантов линейных дифференциальных систем // Дифференц. уравнения.— 1998. — Т. 34, № 10.— С. 1322-1331.

31 Изобов Н. А. О множестве нижних показателей линейной дифференциальной системы // Дифференц. уравнения.— 1965. — Т. 1, № 4.— С. 469-477.

32 Прохорова Р. А. О сведении линейных конечно-разностных уравнений к дифференциальным // Дифференц. уравнения.— 1989. —Т.25, №5. —С.780-785.

чч

всех систем и о достижимости верхнего центрального показателя в классе малых возмущений34 получены следующие результаты о свойствах асимптотических инвариантов при возмущениях из класса

ЩА) :=иЯ.(А).

£>0

Теорема 11.2. Если система (17) равномерно локально достижима, то для каждого е > 0 существует управление {/(•) £ КСтг(Ш), такое, что система (17) при {/ = !/(•) является системой с интегральной разделенностью.

Теорема 11.3. Если система (17) равномерно локально достижима, то для каждого е > 0 существует управление {/(•) £ КСтг(Ш), || [% ^ £, такое, что старший показатель Ляпунова Д„(Л + В1/С*) системы (17) при V = 17(-) удовлетворяет неравенству

\п{А + ВиС*)>П(А)-е, где П(Л) — верхний центральный показатель системы (6).

Теорема 11.4. Если система (17) равномерно локально достижима, то устойчивость показателей Ляпунова однородной системы (6) эквивалентна их устойчивости относительно возмущений из класса

ЩА).

Девятый параграф посвящен исследованию свойства равномерной локальной достижимости замкнутой системы (5) относительно множества и С Мт„.

Теорема 9.2. Пусть О С Мт„ —'ограниченное множество. Если система (5) д-равномерно локально достижима относительно множества О, то соответствующая система (4) д-равномерно вполне управляема.

Условие ограниченности множества и в теореме 9.2 существенно (см. пример 9.1).

Как правило, когда говорят о достижимости системы (5) относительно множества Б С Мтв, требуют, чтобы 0 € и, или 0 £ сопуО, или 0 € т1сопуи. В §8 приведен пример 8.1 скалярного управляемого уравнения вида х = Ь(Ь)их, I 6 К,и € М, равномерно локально

"Миллионщиков В.М. Системы с интегральной разделенностью всюду плотны в множестве всех линейных систем дифференциальных уравнений // Дифференц. урав-нрния.— 1969. — Т. 5, № 7.— С. 1167-1170.

" Миллионщиков В. М. Доказательство достижимости центральных показателей линейных систем // Сиб. матем. журн.— 1969. — Т. 10, № 1.— С. 99 -104.

достижимого относительно множества ИГ = [а,/3] при произвольных а < /3. Этот эффект является следствием того, что коэффициент Ь(<) при управлении подходящим образом меняет знак. В десятом параграфе, в свою очередь, построен пример 10.1 двумерной системы вида х — В (1)11 х, х € К2, и € Мг, которая является равномерно локально достижимой относительно множества и С Мг, не содержащего нуль во внутренности выпуклой оболочки, при этом все элементы матрицы коэффициентов В(£) неотрицательны.

В третьей главе доказаны основные результаты диссертации, касающиеся локальной управляемости асимптотических инвариантов.

В двенадцатом параграфе введены ключевые понятия работы — локальной и глобальной управляемости асимптотических инвариантов замкнутой системы (17), а также пропорциональной локальной и пропорциональной глобальной управляемости ляпуновских инвариантов. Система (17) при выборе произвольного управления {/ = 1/(-) € ЛГСтг(К) принадлежит множеству , поэтому для нее определены всевозможные инварианты преобразований Ляпунова. Пусть I — некоторый ля-пуновский инвариант, 1(Мп) — множество значений инварианта ¿, т. е. 1{М„) 31>(-) € Мп : = о}. Определим отображение

<р1 : КСтт(Щ —> 1(Мп), которое ставит в соответствие произвольной функции [/(■) € КСтг(Е) значение ¿(А + В11С') инварианта ь системы (17) при и = Щ-).

Определение 12.1. Ляпуновский инвариант I называется глобально управляемым относительно тройки (А,В,С), если отображение ¡р1 : КСтт(Ш.) —У 1(М„) сюръективно, т.е. для любого значения а 6 1(Мп) найдется управление !/(•) £ КСтг(Ш), гарантирующее выполнение равенства у,((7) = а.

Допуская некоторую вольность речи, будем говорить, что система (17) обладает свойством глобальной управляемости ляпуновского инварианта I.

В случае, когда множество значений ляпуновского инварианта I содержится в некотором метрическом пространстве , введены понятия локальной, а также пропорциональной локальной и пропорциональной глобальной управляемости этого инварианта.

Определение 12.2. Ляпуновский инвариант I называется локально управляемым относительно тройки (А,В,С), если отображение : А'С„1Г(К) —► 1{Мп) открыто при (7(() = 0, т.е. для любого е > 0

найдется 5 > 0 такое, что для каждого а 6 ¿(Л4П), удовлетворяющего неравенству р(1(А),а) ^ 5, существует управление [/(•) £ А'СтР(К) , ||£ТЦс ^ £ , гарантирующее выполнение равенства <рк{и) = а.

Понятия пропорциональной локальной (и пропорциональной глобальной) управляемости инварианта дополнительно включают в себя липшицеву оценку нормы управления в зависимости от величины смещения />(¿(.¿4),а) инварианта (определение 12.2).

В § 13 получены достаточные условия локальной и пропорциональной локальной управляемости полного спектра показателей Ляпунова. Предварительно доказаны две леммы, представляющие самостоятельный интерес.

Лемма 13.2. Если замкнутая система (17) равномерно локально достижима, то из пропорциональной глобальной управляемости произвольной конечной совокупности ляпуновских инвариантов относительно тройки (А, Е, Е) вытекает их локальная управляемость относительно тройки (А, В, С).

В случае отсутствия наблюдателя имеет место более сильное утверждение (здесь тройку (А,В,Е) отождествляем с парой (А,В), а тройку (А,Е,Е) —с парой (A,E)).

Лемма 13.1. Если система (4) равномерно вполне управляема, то из пропорциональной глобальной управляемости произвольной конечной совокупности ляпуновских инвариантов относительно пары (А,Е) следует их пропорциональная локальная управляемость относительно пары (А, В).

На основании этих результатов получены достаточные условия локальной и пропорциональной локальной управляемости полного спектра показателей Ляпунова систем (17) и (5) соответственно.

Теорема 13.4. Если система (4) равномерно вполне управляема и выполнено хотя бы одно из трех условий:

а) система (6) имеет устойчивые показатели Ляпунова,

б) система (6) правильна,

в) система (6) диагонализируема,

то полный спектр показателей Ляпунова системы (5) пропорционально локально управляем.

Теорема 13.5. Если система (17) равномерно локально достижима и выполнено хотя бы одно из условий а) -в) теоремы 13.4, то полный спектр показателей Ляпунова системы (17) локально управляем.

Для доказательства этих теорем предварительно получены достаточные условия пропорциональной глобальной управляемости полного спектра показателей Ляпунова системы х = (A(f) + U)x, х 6 R." . Установлено, в частности, что такими достаточными условиями являются устойчивость показателей Ляпунова однородной системы (б) (теорема 13.1), ее правильность (теорема 13.2) и диагонализируемость (теорема 13.3).

В четырнадцатом параграфе установлено, что в случае правильности однородной системы (6) в действительности можно локально управлять не только полным спектром показателей Ляпунова, но одновременно с ним и коэффициентом неправильности Ляпунова.

Теорема 14.1. Если система (4) равномерно вполне управляема, а однородная система (б) правильна, то система (5[ обладает свойством одновременной пропорциональной локальной управляемости полного спектра показателей Ляпунова и коэффициента неправильности Ляпунова, т. е. •найдутся такие ß > 0 и I > 0, что для любого набора чисел ццп> удовлетворяющего неравенству тах|/г,- —А,(А)| ^ ß, и любого числа a g [0,/3] существует управление [/(■) € A'Cmn(R), \\U\\c^l max{<7,—А,(А)| : t = l,...,n}, такое, что

А,-(А + BU) = m, i = 1,..., п, ал[А + BU) = а.

В следующем параграфе введено и исследовано понятие расчлененности линейной однородной системы (б), которое играет важную роль в получении достаточных условий локальной управляемости полного спектра показателей Ляпунова. Расчлененность системы (б) означает существование расчлененной нормальной ФСР этой системы (определение 15.3). В свою очередь (теорема 15.2), ФСР xi(-),.. .,£„(•) расчленена, если для всякого входящего в нее решения х,(-) найдутся число а € ]0, 7г/2] и монотонно возрастающая к +оо последовательность моментов времени > такие, что

АИ = lim lin ||х;(«*)||, lim meSff(t*} > О,

со tic СО tt

где G°(T) := {t G [0,T] : 9,(t) ^ a}, a <p,(t) — угол между вектором x,(t) и линейной оболочкой векторов xj(t), j = 1,...,п, j ф г.

Следствие 15.2. Свойство расчлененности системы сохраняется при всяком ляпуновском преобразовании, при этом расчлененная ФСР переходит в расчлененную.

В § 16 введено понятие некратной пропорциональной локальной управляемости полного спектра показателей Ляпунова системы (5).

Определение 16.1. Будем говорить, что показатели системы (5) некратно пропорционально локально управляемы, если при некоторых Р > 0 и / > 0 для любых чисел < цг < •■■ < таких, что \[Ч — А;(.А)| ^ Р, » = 1,...,п, найдется управление 17 € /ССтп(К), удовлетворяющее оценке ||У||с ^ I - А,(А)| и обеспечивающее

выполнение равенств А,(А + В1}) — щ, г — 1,..., п.

Следствие 16.2. Пусть система (4) равномерно вполне управляема. Если свободная система (6) расчленена, то показатели системы (5) некратно пропорционально локально управляемы.

Следствие 16.3. Пусть система (4) равномерно вполне управляема. Если свободная система (6) расчленена и все ее показатели А;(А), г = 1,...,п, различны, то показатели системы (5) пропорционально локально управляемы.

В семнадцатом параграфе на основе этих результатов исследован вопрос о локальной управляемости показателей Ляпунова двумерной системы.

Теорема 17.2. Пусть п = 2. Если система (4) равномерно вполне управляема, а показатели системы (6) А] < А2 различны, то показатели системы (5) пропорционально локально управляемы.

На основании понятия расчлененности в § 18 получено необходимое условие устойчивости показателей Ляпунова системы (б).

Следствие 18.1. Если показатели Ляпунова системы (б) устойчивы, то всякая ее расчлененная ФСР нормальна.

В этом же параграфе рассмотрен пример 18.1 двумерной системы, имеющей расчлененную не нормальную ФСР.

Все достаточные условия локальной управляемости ляпуновских инвариантов получены при условии равномерной локальной достижимости системы (17) (либо, в случае г = п, С{Ь) = Е, при условии равномерной полной управляемости системы (4)). В §19 выясняется вопрос о необходимости этого условия для локальной управляемости полного спектра показателей Ляпунова. В этом параграфе введено понятие равномерной (относительно локальной управляемо-

сти показателей Ляпунова системы

X = (Л(Ао) + В(?<70)ис'(?о0))х. (19)

Пусть U : R+ х £ МтР — ограниченная измеримая функция. Обозначим через АДсго,(/)<...< А„(<т0,U) полный спектр показателей Ляпунова замкнутой системы (19) при U = U{t,ffо)- Полный спектр свободной системы

X = А(?о0)х, X е R", (20)

отвечающей U(<, сг0) = 0, будем обозначать Ai{сг0) < ... < Ап(сг0).

Определение 19.1. Система (19) обладает свойством равномерной (относительно а) локальной управляемости показателей Ляпунова, если для любого е > 0 существует S > 0 такое, что для каждой точки а € 7+(ао) и всяких /¿i ^ ... < /хп, удовлетворяющих условиям max|A,(a)-/i,|<<J, найдется управление U : R+X7+(ffa) -4 В£(0) С Mmr, обеспечивающее выполнение равенств А,(<7,1У) = , t = 1,..., п.

Теорема 19.3. Предположим, что множество 7+(со) компактно и (20) — система с интегральнойразделенностъю. Система (19) обладает свойствомравномернойлокальнойуправляемости показателей Ляпунова в том и только том случае, когда система

х = А(/с0)х + B(/V0)u

равномерно вполне управляема.

В последнем параграфе третьей главы для скалярного уравнения п-го порядка

zw + иа{ (i)*(n_1) + • • • + uan{t)z = 0, х G R, и £ R, i € R,

с почти периодическими по Бору и линейно независимыми на R коэффициентами £Г|(■),... ,ап(') установлена равномерная локальная управляемость показателей Ляпунова (теорема 20.1).

В главе IV получены основные результаты диссертации, касающиеся глобальной достижимости, глобальной ляпуновской приводимости и глобальной управляемости отдельных асимптотических инвариантов замкнутой системы (5).

В §21 введено понятие глобальной достижимости системы (5). Согласно определениям 21.1 и 21.2, эта система называется

равномерно глобально достижимой относительно неограниченного множества U С Mmn , если для п р о и з в о жЪнСЪихна (йдется такое

положительное число /, что для любой матрицы ЯбМ„, удовлетворяющей неравенствам ||Я|| ^а и с!еЬ Я ^/3, и для любого ^ 6 К существует кусочно непрерывное управление II: + и, ||£/||с ^/, гарантирующее выполнение равенства (18);

^-равномерно глобально достижимой, если она ^-равномерно глобально достижима относительно множествагЦ = Мтп.

Пример 21.1 показывает, что из ^-равномерной полной управляемости системы (4) не следует ^-равномерная глобальная достижимость системы (5). В то же время, имеет место

Теорема 21.2. Пусть и С Мтп — неограниченное множество. Если система (5) 1?-равномерно глобально достижима относительно множества О, то соответствующая система (4) 1?-равномерно вполне управляема.

Далее в этом параграфе введено определение 21.3 глобальной ляпу-новской приводимости системы (5) относительно неограниченного множества О С Мтп. Это свойство означает, что для любой матрицы .Р(-) € КС„(Щ найдется кусочно непрерывное ограниченное управление I/ : М -> О, обеспечивающее асимптотическую эквивалентность системы (10) и системы (5) при С/ = £/(•).

Теорема 21.3. Если система (5)равномерно глобально достижима относительномножества Ш, то (5) обладает свойствомглобаль-нойляпуновской приводимости относительно О.

Обратное утверждение неверно (см. пример 21.2). В заключение параграфа установлено (теорема 21.4), что из глобальной ляпуновской приводимости системы (5) вытекает глобальная управляемость всякой ее конечной совокупности ляпуновских инвариантов.

Основные результаты главы IV доказаны при условии равномерной полной управляемости системы (4) и кусочной равномерной непрерывности матричной функции В(-). В §22 получены критерии равномерной полной управляемости системы (4) в предположении кусочной равномерной непрерывности В(-). Ведущую роль в построениях главы играет

Теорема 22.2. Если матричная функция В(•) кусочно равномерно непрерывна, то система (4) д-равномерно вполне управляема в том и только том случае, когда существуют такие а > 0 и 5 > 0, что для каждого <о € Ш найдутся векторы единичной д л и мо-

менты времени t, € ['о+<5,U—U-i^S, i = 1,...,«, такие, что B(-) непрерывна на каждом из интервалов ]t,—ó/2,t,+ó/2[, а матрица F{to):=[X(to,t1)B{tl)vl,...,X{ta,tn)B(tn)vn} обратима и ЦГ-'^Ц^о.

Базис пространства R", имеющий своей матрицей F(ío), назван базисом чистых движений системы (4) на отрезке [í0, • Это понятие обсуждено в конце § 22.

В §23 выясняется, для каких матриц Н £ М„ с положительным определителем выбором кусочно непрерывного ограниченного управления U(-) можно добиться выполнения равенства (18), если свободная система (4) ^-равномерно вполне управляема. Как вытекает из примера 21.1, для произвольной матрицы Н с положительным определителем такого управления в общем случае не существует.

Следствие 23.1. Если система (4) ú-равномерно вполне управляема, а матричная функция В(-) кусочно равномерно непрерывна, то для каждого t<¡ £ R и для произвольных матриц с положительными диагональными элементами, нижней треугольной L и верхней треугольной G, найдется управление U £ A'Cmn([ío,ío + обеспечивающее выполнение равенства X¡j(to +1?, ío) = X(t¡¡ +1?, ta)FLGF~l, где F = F(to) — матрица базиса чистых движений системы (4) на отрезке [¿о,£о + сг].

Следствие 23.2. Если система (4) д-равномерно вполне управляема, а матричная функция В(') кусочно равномерно непрерывна, то существуют такие обратимые матрицы Fk £ М„, к £ Z, что для любых последовательностей п х п матриц с положительными диагональными элементами, нижних треугольных {Ltjtez и верхних треугольных {G¿}*ez, таких, что sup{||Ljt||, ЦХ^'Ц, ||G*||, ||G¡"4|} < оо,

найдется управление U £ A"Cmn(R), для которого

Xu{kú, (к - 1)0) = Х(Ы, (к - l)d)FkLkGkF¡\ к £ Z.

В качестве первой иллюстрации применения этих результатов в конце параграфа установлена пропорциональная глобальная управляемость верхнего особого показателя системы (5).

Теорема 23.4. Если система (4) равномерно вполне управляема, а матричная функция В(-) кусочно равномерно непрерывна, то верхний особый показатель системы (5) пропорционально глобальноуправляем на множестве {/í £ R: |/t| ^ /¿о} пРи каждом цц > 0, т. е. для всякого

Но > 0 существует I = /(/<о) > О такое, что для любого ц £ R, |/<| ^ ;<о, найдется управление 1/Д-) € Л'Ст„(К), удовлетворяющее оценке ЦУрЦс ^ /|/(| и гарантирующее для верхнего особого показателя П°(Л + В1/м) системы (5) с С/ = С^(-) выполнение равенства П\А + Ви11) = П<>(А)+ц.

Определение 23.2 (Е.Л. Тонкое12). Система (5) называется равномерно стабилизируемой, если для каждого а > О найдется такое управление [/(•) £ КСтп (К), что верхний особый показатель П°(Л+Л?[/) системы (5) при и = [/(•) удовлетворяет неравенству И°(А+Ви) < -а.

Следствие 23.3. Если система (4) равномерно вполне управляема, а матричная функция .В(-) кусочно равномерно непрерывна, то система (5)равномерно стабилизируема.

Отметим, что утверждения, аналогичные теореме 23.4 и следствию 23.3, были получены В. А. Зайцевым35 без предположения кусочной равномерной непрерывности матрицы В(•) (достаточна кусочная непрерывность этой матрицы).

В § 24 рассмотрен вопрос о глобальной ляпуновской приводимости периодической системы.

Теорема 24.1. Пусть (4) — система с кусочно непрерывными и-периодическими коэффициентами. Для того чтобы система (4) была вполнеуправляема, необходимо и достаточно, чтобы соответствующая замкнутая система (5) обладала свойством глобальной ляпуновской приводимости.

Из этой теоремы следует, в частности, что если ш-периодическая система (4) вполне управляема, то мультипликаторы соответствующей замкнутой системы (5) глобально управляемы в следующем смысле: для любой матрицы с положительным определителем найдутся управление (/(•) 6 А'Стп(К) и ляпуновское преобразование , такие, что система (5) с управлением приводится этим преобразованием к и-периодической системе (10), имеющей своими мультипликаторами собственные значения матрицы . Таким образом, достигнуто существенное снижение требований к порядку гладкости коэффициентов системы по сравнению с результатом П. Бруновского4. Отметим, что метод доказательства глобальной управляемости муль-

35 Зайцев В. А. Об управлении показателями Ляпунова и о А-приводимости // Вест-инк Удмуртского ун-та.— 2000. — № 1.— С. 35-44.

типликаторов, примененный Бруновским, не позволяет снизить гладкость коэффициентов.

В двадцать пятом параграфе доказана глобальная достижимость двумерной (п = 2) замкнутой системы вида (5).

Теорема 25.1. Пусть п = 2. Если система (4) 0-равномерно вполне управляема, а матричная функция В : R —> Мг,т кусочно равномерно непрерывна, то соответствующая замкнутая система (5) является 40-равномерно глобально достижимой.

Из этой теоремы вытекает глобальная ляпуновская приводимость двумерной системы (5), и, следовательно, глобальная управляемость всякой конечной совокупности ляпуновских инвариантов этой системы.

В § 26 исследован вопрос о глобальной скаляризуемости замкнутой системы (5).

Определение 26.1. Будем говорить, что система (5) глобально скаляризуема, если для произвольной кусочно непрерывной и ограниченной на R скалярной функции р(-) существует такое управление {/(•) € A'Cmn(R), что система (5) с этим управлением асимптотически эквивалентна системе i = p(t)z, z € Rn, i 6 R.

Теорема 26.1. Если система (4) равномерно вполне управляема, а матричная функция В(-) кусочно равномерно непрерывна, то система (5) глобально скаляризуема.

На основании этого результата установлена глобальная управляемость ряда ляпуновских инвариантов системы (5).

Теорема 26.2. Если система (4) равномерно вполне управляема, а матричная функция В(-) кусочноравномерно непрерывна, то система (5) обладает свойствомглобальнойуправляемостикоэффициентов неправильности Ляпунова, Перрона и Гробмана.

Следствие 26.2. Если система (4) равномерно вполне управляема, В[•) кусочно равномерно непрерывна, то система (5) обладает свойством глобальной управляемости правильности.

Следствие 26.3. Если система (4) равномерно вполне управляема, В(-) кусочно равномерно непрерывна, то система (5) обладает свойством глобальной управляемости приводимости.

Теорема 26.3. Если система (4) равномерно вполне управляема, а матричная функция В(-) кусочноравномерно непрерывна, то систе-

ма (5) обладает свойством глобальной управляемости устойчивости показателейЛяпунова.

В § 27 установлена глобальная управляемость полного спектра показателей Ляпунова, а также тех ляпуновских инвариантов, которые для треугольных систем определяются системами их диагонального приближения. К этим инвариантам относятся, в частности, центральные показатели Р. Э. Винограда и В. М. Миллионщикова, особые показатели П. Боля и экспоненциальные показатели Н. А. Изобова. Доказательство этих результатов основано на следующем утверждении.

Лемма 27.1. Если система (4) равномерно вполне управляема, а матричная функция В(-) кусочно равномерно непрерывна, то для любых непрерывных и ограниченных функций p¡ : К —> К, г = 1,...,п, существует управление !/(•) € КСтп{Ш) такое, что замкнутая система (5) при и = [/(•) асимптотически эквивалентна системе с верхней треугольной кусочно непрерывной и ограниченной на К. матрицей, диагональ которой совпадает с (рД*),.. • >Рп(')) •

Теорема 27.1. Если система (4) равномерно вполне управляема, а матричная функция кусочно равномерно непрерывна, то центральные показатели системы (5) одновременно глобально управляемы.

Теорема 27.2. Если система (4) равномерно вполне управляема, аматричная функция В(-) кусочноравномерно непрерывна, то особые показатели системы (5) одновременно глобально управляемы.

Теорема 27.3. Если система (4) равномерно вполне управляема, а матричная функция кусочно равномерно непрерывна, то экс-

поненциальные показатели системы (5) одновременно глобально управляемы.

Теорема 27.4. Если система (4) равномерно вполне управляема, а матричная функция .В(-) кусочно равномерно непрерывна, тодлялю-быхчисел . .<А„ существует управление {/(•) € КСтп(Щ такое, что система (5) при I/ = (?(■) правильна и имеет своим полным спектром показателейЛяпунова набор А],..., А„ .

В заключение работы выяснен вопрос о необходимости условия равномерной полной управляемости для глобальной управляемости показателей Ляпунова. Пример 27.1 показывает, что условие равномерной полной управляемости "индивидуальной" системы (4) не является необходимым для глобальной управляемости показателей Ляпуно-

ва соответствующей замкнутой системы (5). Но оказывается, что если рассматривать динамическую систему сдвигов, порожденную линейной управляемой системой, то условие равномерной полной управляемо -сти необходимо для глобальной управляемости показателей Ляпунова. Действительно, рассмотрим линейную управляемую систему

х = ЛоМ* + А>(<)и, ^ е « е < е к,

с равномерно непрерывными и ограниченными на К. коэффициентами. Эту систему отождествим с отображением £ н» сто(£) := (Ло(£),Во(<)) 6 6М„ „+т. Обозначим стг(£) :=сто(£ + т) —сдвиг сто на г и рассмотрим множество ЭЧ(о'о) — замыкание (в топологии равномерной сходимости на отрезках) множества {ат : т € .

Теорема 27.5. Система сто равномерно вполне управляема в том и только том случае, когда для каждой системы ст(-) = (А(-),В(-)) £ € 5Н(сго) соответствующая ей замкнутая система х = (А(£)+В(£)С/)х обладает свойством глобальной управляемости полного спектра показателей Ляпунова.

Автор выражает искреннюю признательность научному консультанту профессору Е. Л. Тонкову за постоянное внимание к работе и полезные обсуждения.

Работа поддержана программой "Университеты России" по направлению "Фундаментальные проблемы математики и механики" (проект 1.5.22), Российским фондом фундаментальных исследований (гранты 94-01-00843-а, 97-01-00413,99-01-00454,03-01-00014), Конкурсным центром фундаментального естествознания (гранты 93-1-46-18, 97-0-1.9, Е00-1.0-5, Е02-1.0-100) и Конкурсным центром Удмуртского государственного университета (грант 97-04).

Публикации по теме диссертации

А) Основные публикации.

1. Попова С.Н. Управление показателями Ляпунова //Успехи матем. наук.— 1994. — Т. 49, № 4 (298).— С. 140.

2. Попова С. Н., Тонков Е. Л. Управление показателями Ляпунова согласованных систем. !//Дифференц. уравнения.— 1994. — Т. 30, №10. — С. 1687-1696.

3. Попова С.Н., Тонкое Е. Л. Управление показателями Ляпунова согласованных систем. II // Дифференц. уравнения.— 1994. — Т. 30, № П.— С. 1949-1957.

4. Попова С.Н., Тонкое Е. Л. Управление показателями Ляпунова согласованный систем. III // Дифференц. уравнения.— 1995. — Т. 31, № 2.— С. 228-238. .

5. Попова С.Н., Тонкое Е. Л. К вопросу о равномерной согласованности линейнык систем // Дифференц. уравнения.— 1995. — Т. 31, №4.—С. 723-724.

6. Попова С. Нм Тонкое Е. Л. Равномерная управлемость показателей Ляпунова // Успехи матем. наук.— 1995. — Т. 50, № 4 (302). — С. 108-109.

7. Попова С. Н., Тонкое Е. Л. Согласованные системы и управление показателями Ляпунова // Дифференц. уравнения.— 1997. — Т. 33, №2. — С. 226-235.

8. Макаров Е. К., Попова С. Н. О локальной управляемости характеристических показателей Ляпунова систем с некратными показателями // Дифференц. уравнения.— 1997. — Т. 33, № 4.— С. 495499.

9. Макаров Е. К., Попова С.Н. О глобальной управляемости полной совокупности ляпуновских инвариантов двумерных линейнык систем // Дифференц. уравнения.— 1999. — Т. 35, № 1.— С. 97-106.

10. Макаров Е.К., Попова С.Н. О глобальной управляемости центральный показателей линейнык: систем // Известия вузов. Математика. — 1999.—№2(441).—С. 60-67.

11. Попова С.Н. О связи между различными видами управляемости асимптотических характеристик линейных систем // Диффе-ренц. уравнения.— 2001. — Т.37, № 6.— С. 850-851.

12. Макаров Е.К., Попова С.Н. Управляемость ляпунов-ских инвариантов линейных дифференциальных систем // Диффе-ренц. уравнения.— 2001. — Т. 37, № 8.— С. 1146.

13. Попова С. Н. Об эквивалентности локальной достижимости и полной управляемости линейных систем // Известия вузов. Математика.— 2002. — № 6(481).— С. 50-53.

14. Макаров Е.К., Попова С.Н. О нормальности расчлененных ФСР линейнык дифференциальнык систем с устойчивыми показателями // Дифференц. уравнения.— 2002. — Т. 38, № 11.— С. 15761577.

15. Попова С. Н. К свойству локальной достижимости линейных управляемых систем //Дифференц. уравнения.— 2003. — Т. 39, № 1.

— С.50-56.

16. Макаров Е.К., Попова С.Н. О достаточных условиях локальной пропорциональной управляемости показателей Ляпунова линейных сисхем//Дифференц. уравнения.— 2003. —Т. 39, №2.— С. 217-226.

17. Попова С.Н. Об управлении коэффициентами неправильности линейных систем // Дифференц. уравнения.— 2003. — Т. 39, № 6.

— С. 858-859.

18. Попова С. Н. К свойству пропорциональной управляемости ляпуновских инвариантов линейных систем // Дифференц. уравнения.

— 2003. — Т. 39, № П.— С. 1578-1579.

19. Попова С. Н. Глобальная управляемость полной совокупности ляпуновских инвариантов периодических систем // Дифференц. уравнения.— 2003. — Т. 39, № 12.— С. 1627-1636.

20. Попова С. Н. Глобальная приводимость линейных управляемых систем к системам скалярного типа // Дифференц. уравнения.— 2004. — Т. 40, № 1.— С. 41-46.

21. Попова С. Н. Одновременная локальная управляемость спектра и коэффициента неправильности Ляпунова правильных систем // Дифференц. уравнения. — 2004. — Т. 40, №3.— С. 425-428.

Б) Прочие публикации.

22. Попова С. Н. Равномерная согласованность систем и задачи управления показателями Ляпунова // Межгосударственная научная конференция "Динамические системы: устойчивость, управление, оптимизация". Минск. Беларусь. 7-9 декабря 1993 г.: Тезисы докладов. / Бел. гос. ун-т.— Минск, 1993.— С. 69-70.

23. Макаров Е. К., Попова С. Н. Об открытости отображения, порождаемого показателем возмущенной системы // Материалы респ. научно-метод. конф., посвящ. 25-летию фак-та прикл. математики и информатики, Минск, 10-14 апр. 1995 г.: В 2 ч. /Бел. гос. ун-т.— Минск, 1995.—Ч. 2. — С. 102-105.

24. Попова С. Н. Критерий управляемости показателями Ляпунова // III Междунар. семинар "Негладкие и разрывные задачи управления, оптимизации и их приложения": Тез. докл. международн. се-

гас. НАЦИОНАЛЬНАЯ i ММИОТЕКХ | Cflitcpfjff 1

< о» mm t

минара, Санкт-Петербург, 1995 г.: В 2 ч./СПбГУ.— Санкт-Петербург, 1995.— 4.1. — С. 125-126.

25. Макаров Е.К., Попова С.Н. О локальной управляемости характеристических показателей Ляпунова двумерных систем с кратными показателями // VII-ая Белорусская математическая конференция: Тез. докллмеждународн. конф., Минск, 18-22 ноября 1996 г.: В 2 ч. /Ин-т математики НАН Беларуси.— Минск, 1996.— Ч. 2.— С. 70-71.

26. Макаров Е. К., Попова С. Н. О достаточных условиях локальной управляемости характеристических показателей Ляпунова двумерных систем с кратными показателями // Сб. ст., посвящ. 60-летию со дня рождения проф. В. Г. Спринджука (1936 — 1987) / Ин-т математики АН Беларуси.— Минск, 1997.— С. 75-77.

27. Макаров Е. К., Попова С. Н. О некоторых случаях глобальной управляемости ляпуновских инвариантов линейных систем // "Dynamical systems: stability, control, optimization" (DSSCO'98). Dedicated to the 80th anniversary Ye. A. Barbashin: Материалы международн. конф. / Ин-т математики НАН Беларуси.— Минск, 1998.— Ч. 2.— С. 181 -184.

28. Макаров Е. К., Попова С. Н. К методу поворотов для линейных управляемых систем // Докл. НАН Беларуси.—1998. — Т. 42, №6. — С. 13-16.

29. Попова С. Н. О глобальной управляемости полной совокупности ляпуновских инвариантов периодических систем // Известия Инта математики и информатики УдГУ. Ижевск.— 2002. — Вып. 2 (25).— С. 79-80.

30. Попова С.Н. Глобальная управляемость показателей Ляпунова // Международная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященная 103-летию со дня рождения И. Г. Петровского (XXI совместное заседание Московского математического общества и семинара им. И. Г. Петровского): Тезисы докладов. — М.: Изд-во МГУ, 2004.— С. 169.

* } I ■«;»;-,!•,."-) {

f '»» ¡г: еt

Отпечатано с оригинал-макета заказчика.

Подписано в печать 29.11.2004 г. Формат 60 х 841/и. Усл. печ. л. 1,95. Заказ № 1968. Тираж 100 экз.

Типография Удмуртского государа пенного университета. 420034, Ижевск, ул. Университетская, 1, кори. 4.

122 7 0 3 7

Список основных обозначений.

Введение

Глава I. Управляемость и согласованность

§1. Управляемость и равномерная полная управляемость.

§2. Согласованность.

§3. Следствия для динамической системы сдвигов

§4. Согласованность и управляемость

§5. Коэффициентные признаки согласованности

§6. Метод поворотов Миллионщикова для согласованных систем

Глава II. Локальная достижимость линейных управляемых систем

§7. Метод поворотов и локальная достижимость линейных однородных систем

§8. Управляемость и достижимость.

§9. Локальная достижимость относительно множества.

§ 10. Согласованность и достижимость

§11. Некоторые следствия из свойства достижимости

Глава III. Локальная управляемость асимптотических инвариантов

§ 12. Локальная и глобальная управляемость асимптотических инвариантов.

§ 13. Пропорциональная управляемость полного спектра показателей Ляпунова

§ 14. Одновременная локальная управляемость спектра и коэффициента неправильности Ляпунова правильных систем.

§15. Расчлененные линейные однородные системы

§16. Локальная управляемость показателей Ляпунова расчлененных систем

§17. Пропорциональная локальная управляемость показателей Ляпунова двумерных систем

§18. Необходимое условие устойчивости показателей линейной однородной системы

§19. Необходимость условия равномерной полной управляемости для локальной управляемости показателей Ляпунова

§ 20. Управление показателями Ляпунова почти периодического уравнения

Глава IV. Глобальная управляемость асимптотических инвариантов

§21. Глобальная достижимость, глобальная ляпуновская приводимость и глобальная управляемость асимптотических инвариантов

§22. Критерии равномерной полной управляемости

§23. Теорема о глобальной достижимости

§ 24. Глобальная ляпуновская приводимость периодических систем.

§25. Глобальная достижимость двумерных систем

§ 26. Глобальная приводимость линейных управляемых систем к системам скалярного типа. Управление свойствами правильности, приводимости и устойчивости показателей Ляпунова

§ 27. Глобальная управляемость полного спектра показателей Ляпунова, центральных, особых и экспоненциальных показателей

Одной из первых и наиболее важных задач классической теории автоматического регулирования была задача о стабилизации управляемого объекта, поведение которого описывается стационарной линейной системой х = Ах + Ви, х £ Rn, и G Rm, t е К, (0.1) где А и В — постоянные вещественные матрицы размеров п х п и пхт соответственно. Под стабилизацией этого объекта (или, что то же самое, системы (0.1)) понимается построение такой линейной обратной связи и — Ux с постоянной т х п матрицей U, что всякое решение замкнутой этим управлением стационарной системы x = {a + bu)x, жЕГ, ter, (0.2) по норме стремится к нулю при t —> +оо быстрее функции e~at, где неотрицательная величина а заранее задана. Поскольку обусловленное поведение решений системы (0.2) полностью определяется вещественными частями собственных значений матрицы а + bu, задача стабилизации сводится к перемещению в область са := {Л е С : Re Л < -а} комплексной плоскости всех собственных значений \i{A + BU) матрицы a+bu под воздействием стационарного матричного управления u.

Прямым развитием этой задачи стабилизации является задача о назначении спектра, в которой требуется обеспечить точные равенства

Лi(a + bu) = i = 1,., n, для произвольного наперед заданного набора комплексных чисел fi\, Ц2 fin.

В 1969 году в работе [181] П. Бруновский указал, что в течение длительного времени был известен следующий факт: в случае скалярного управления (т = 1) задача о назначении спектра разрешима в том и только том случае, когда п х п матрица ъ,аъ,а2ь,.,ап-1ь] обратима (здесь Ь:= В Е Мпд ). Отметим, что эта теорема может быть легко получена как следствие метода преобразования векового уравнения, предложенного в 1931 году великим русским механиком и кораблестроителем А.Н. Крыловым в работе [78] (см. также [32, с. 190-192]).

В начале 60-х годов В. М. Попов доказал [121,194], что необходимое и достаточное условие разрешимости задачи о назначении спектра при произвольном mE N совпадает с условием rank[£, АВ,., Ап~1В] = п (0.3) полной управляемости (Р. Калман, [189,190]) системы (0.1). Позднее М. Уонэм в своей работе [199] показал, что если числа ,., jin образуют спектр вещественного типа, т. е. такой, каким может обладать вещественная матрица, то матрица обратной связи U может быть выбрана вещественной.

Если мы ставим своей целью распространить этот результат на линейные нестационарные системы х = A{t)x + B(t)u, a;GRn, «GRm, t Е R, (0.4) то мы вынуждены сначала ответить на три вопроса: во-первых, из какого класса выбирать матрицу обратной связи U, во-вторых, что понимать под спектром замкнутой системы x = (A(t)+B(t)U)x, x€Rn,teR, (0.5) и, в-третьих, каким образом следует интерпретировать условие полной управляемости (0.3).

Наиболее просто эти вопросы решаются для периодических систем, в качестве спектра которых естественно рассматривать совокупность мультипликаторов т. е. собственных значений матрицы Х(и>,0) [39, с. 185]; здесь и — период системы (0.4), X(t,s) — матрица Коши свободной системы x = A(t)x, xeRn. (0.6)

Матричное управление U(-), вероятно, следует выбирать таким, чтобы замкнутая система (0.5) принадлежала тому же классу систем, что и свободная система (0.6).

В одной из первых работ по управлению асимптотическими характеристиками нестационарных систем [181] П. Бруновский показал, что для и-периодических систем (0.4) с непрерывно дифференцируемыми коэффициентами разрешимость задачи о назначении спектра при всяком наборе предписанных значений fij, i = 1,., п, образующих спектр вещественного типа, эквивалентна полной управляемости рассматриваемой системы. При этом матрица управляющего воздействия £/(•) может быть выбрана из множества w-периодических непрерывно дифференцируемых т х п матриц.

В случае нестационарных и непериодических систем самым естественным обобщением понятия спектра является понятие полного спектра показателей Ляпунова [88, с. 34] (см. также [57, с. 71-72]).

Определение 0.1 (A.M. Ляпунов, [88, с. 34]). Совокупность чисел Ai ^ . ^ А„ образует полный спектр показателей Ляпунова системы (0.6), если выполнены следующие условия:

1) показатель Ляпунова

А[ф=(Пт Jln||x(i)|| всякого нетривиального решения х(-) этой системы принадлежит множеству чисел {Ai,., An} ;

2) для произвольной фундаментальной системы решений (ФСР) ^i(-), Х2(-),. •. ,£п(') системы (0.6) имеет место неравенство п п

1=1 1=1

3) существует ФСР ., хп(-) системы (0.6) такая, что л

П П Х[хЦ = J2 i=l г=1

Эта ФСР называется нормальной.

Если система (0.6) стационарна, то ее полный спектр показателей Ляпунова состоит из набора вещественных частей собственных значений матрицы коэффициентов А [39, с. 138]. Если же матрица коэффициентов А(-) системы (0.6) имеет период о;, то ее мультипликаторы и характеристические показатели Ляпунова связаны равенствами

Xj = — In |/Xj|,- i = l,.,n.

L)

Следуя традиции асимптотической теории линейных систем, мы будем рассматривать однородные системы вида (0.6) с кусочно непрерывными и ограниченными на R коэффициентами. Совокупность всех таких систем обозначим Л4п. Чтобы замкнутая управлением и = U(t)x (0.7) система (0.4) принадлежала тому же классу Л4п, потребуем кусочной непрерывности и ограниченности матрицы В(-), и само матричное управление U(-) будем выбирать из множества КСтп(М.) кусочно непрерывных и ограниченных на числовой прямой т х п матриц.

Определение 0.2. Характеристические показатели линейной системы (0.5) называются глобально управляемыми, если для всякого набора вещественных чисел Ц\ ^ . ^ /in найдется кусочно непрерывная ограниченная матричная функция U(-) такая, что выполнены равенства i(A + BU) = т, i = 1,., п, где + BU) ^ . ^ \п(А + BU) — полный спектр показателей системы (0.5) при U = U(-).

Выясним теперь, как понимать условие (0.3) полной управляемости стационарных систем в случае произвольных линейных управляемых систем. Оказывается, что коэффициентное обобщение критерия полной управляемости (0.3) на произвольные нестационарные системы справедливо только в случае систем с аналитическими коэффициентами (А. Чанг, [182]). Для систем с гладкими неаналитическими коэффициентами имеет место лишь достаточное условие полной управляемости (Н. Н. Красовский, [76, с. 148]), которое состоит в том, что ранг матрицы управляемости

Q(t):= mt),Qi(t),.,Qn(t)}, где

Qo(t) := B{t), Qi(t) := A(t)Qi^(t) - Q^t), i = 1,., n, должен достигать в некоторой точке рассматриваемого промежутка наибольшего возможного значения, равного размерности системы п.

Различные эффективные условия полной управляемости линейной нестационарной системы (0.4) получали также В. Т. Борухов [15], JLE. Забелло [42], А. А. Леваков [84], С. А. Минюк [111], Л.И. Родина и Е. Л. Тонков [151] и другие авторы.

Если условие rankQ(t) = п для матрицы управляемости Q(t) выполнено при всех t G то система (0.4) является, во-первых, дифференциально управляемой [191,197] (см. также [30, с. 223]), и, во-вторых, по матрице управляемости можно построить нестационарное преобразование фазового пространства, приводящее эту систему к канонической форме, которая в случае га = 1 эквивалентна скалярному уравнению n-го порядка, а в случае га > 1 — системе нескольких независимых скалярных уравнений (Е.Я. Смирнов [165, с. 41-53],

И. В. Гайшун [30, с. 243-316]. Поскольку задача управления характеристическими показателями Ляпунова скалярного уравнения решается просто (добавлением к коэффициентам этого уравнения подходящих функций), для систем, у которых это приводящее преобразование оказывается ляпуновским или обобщенным ляпуновским преобразованием, могут быть получены достаточные условия управляемости полного спектра характеристических показателей.

Такие условия были получены в работах Е.Я. Смирнова [163-165] и В. А. Воловича [198] для систем (0.4) с матрицей А(-) класса и матрицей В(-) класса C2n~l(R). В работах И. В. Гайшуна [24-30] и Е. Л. Тонкова [195] для случая т = 1 было достигнуто существенное снижение требований к порядку гладкости коэффициентов системы (0.4), что позволило значительно расширить класс систем, охватываемых достаточными условиями управляемости показателей, которые основаны на приведении системы (0.4) к виду, эквивалентному скалярному уравнению.

Для произвольных систем вида (0.4) указанный подход, по-видимому, реализовать нельзя. Один из возможных альтернативных подходов был в свое время предложен Е. Л. Тонковым и оказался весьма плодотворным. Он основан на результатах его работы [171], где доказана эквивалентность условий равномерной полной управляемости в смысле Р. Калмана [189] исходной системы (0.4) и равномерной стабилизируемое™ замкнутой системы (0.5) в предположении равномерной непрерывности коэффициентов (близкие по смыслу результаты содержатся в работе [186] японских математиков М. Икеды, X. Маеды и Ш. Кодамы). Из этой теоремы следует, что если система (0.4) с равномерно непрерывными коэффициентами равномерно вполне управляема, то за счет выбора линейной обратной связи (0.7) характеристические показатели Ляпунова \{(А + BU), г — 1,., п, замкнутой системы (0.5) можно сделать меньшими любого наперед заданного отрицательного числа.

В связи с этим результатом Е. Л. Тонковым была поставлена задача о построении для равномерно вполне управляемой системы (0.4) обратной связи вида (0.7), которая бы обеспечила совпадение совокупности характеристических показателей Ляпунова системы (0.5) с заранее заданным набором вещественных чисел.

Напомним, что система (0.4) называется ^-равномерно вполне управляемой (Р. Калман, [189]), если существует такое число а > 0, что и матрица управляемости (матрица Калмана) to+tf

W(t0,t0 + #):= / X{t0,s)B(s)B*(s)X*(t0,s)ds to при всяком ^о ^ К- удовлетворяет неравенству

W(t0lt0 + d)2<xE, которое понимается в смысле квадратичных форм, т. е. для любого вектора выполнено неравенство

Первые результаты для задачи управления спектром в такой постановке были получены автором в работах [122,123], в которых рассматривался вопрос о локальной управляемости показателей.

Определение 0.3 [122]. Характеристические показатели Ляпунова системы (0.5) называются локально управляемыми, если для любого е > 0 найдется такое S = 6(e) > 0, что всякому набору вещественных чисел //1,., /2П, таких, что .max |/2,-| ^ S и А {(А) 4- /2г- ^ Аг-+1 (А) 4- /2г-+1 при всех г 6 {1,., п — 1}, отвечает кусочно непрерывная ограниченная матричная функция и^(-), удовлетворяющая условию ^ £ и обеспечивающая выполнение равенств

Ai(A + BU) = Ai(A) + //;, г = 1,., п; здесь А {(А) — показатели системы (0.6).

В [122,123] была доказана локальная управляемость характеристических показателей Ляпунова линейной системы (0.5) для равномерно вполне управляемой системы (0.4) при условии диагонализи-руемости свободной системы (0.6), а также локальная управляемость попарно различных значений показателей при условии приводимости системы (0.6) к некоторому блочно-треугольному виду (это условие выполнено, например, в случае устойчивости показателей Ляпунова системы (0.6)). Кроме того, в этих работах был рассмотрен вопрос об управлении некоторыми другими ляпуновскими инвариантами, в частности, центральными показателями Винограда и интегральной разде-ленностью решений.

Позднее локальная управляемость показателей Ляпунова изучалась в работах Е. Л. Тонкова и его учеников Д. М. Оленчикова и

В. А. Зайцева. В работах [115-118] Д. М. Олейниковым методами нестандартного анализа был осуществлен перенос ряда основных результатов о локальной управляемости показателей на системы с импульсной обратной связью оо u = U(t)y, 17(f) = £ Ui5(t-ti), г——оо где 5(t)— дельта-функция, а управляющими параметрами являются матрицы Ui и моменты времени fj. В статье Е. Л. Тонкова и В. А. Зайцева [48] рассмотрен вопрос об управлении показателями для билинейных систем х = (Aoifa) + щА^а) + . + urAr(fa))x, xGR", и = col(ub ., ur) e Rr, СГ G S, teR, параметризованных при помощи топологической динамической системы (Е, /*). В [175,195] Е. Л. Тонковым впервые поставлена задача о неупреждающем управлении показателями и получены первые результаты в этом направлении.

Свойство локальной управляемости характеристических показателей Ляпунова системы (0.5) эквивалентно открытости в точке U(t) = 0 отображения, которое каждому допустимому управляющему воздействию U(-) ставит в соответствие совокупность характеристических показателей Ляпунова системы (0.5) с таким U(-). Некоторые результаты о свойствах этого отображения содержатся в статьях П. Колониуса и В. Климана [183-185].

В связи с результатами об управлении центральными показателями и интегральной разделенностью решений, полученными в работах [122,123], был поставлен вопрос о локальной и глобальной управляемости не только полного спектра показателей Ляпунова, но и других инвариантов преобразований Ляпунова (иначе называемых ляпуновски-ми, или асимптотическими инвариантами).

Напомним некоторые понятия теории показателей Ляпунова.

Определение 0.4 (A.M. Ляпунов, [88, с. 42]). Линейное преобразование

У = Щх (0.8) называется преобразованием Ляпунова, если его матрица L(-) удовлетворяет условиям:

1) sup ПОДИ <00; ем

2) при каждом t £ R матрица L(t) обратима и sup ||L~1(i)|| < оо; tern

3) функция L(-) кусочно непрерывно дифференцируема на R, причем sup||L(i)|| < оо. ем

Матрица L(-) преобразования Ляпунова (0.8) называется матрицей Ляпунова.

Применение преобразования (0.8) к системе (0.6) переводит ее в систему у = D(t)y, у £ Rn, t £ R, (0.9) где

D(t) = L(t)A(t)L~l(t) + L(t)L~l(t), t £ R. (0.10)

Определение 0.5. Пусть (0.8) — преобразование Ляпунова. Матрицы А(-) и D(-), связанные соотношением (0.10), называются кинематически подобными, а соответствующие им системы (0.6) и (0.9) называются асимптотически эквивалентными (по Богданову) [13].

Замечание 0.1. В некоторых работах (см., например, [18, с. 12; 39, с. 159]) можно встретить иное определение асимптотической эквивалентности. На протяжении всей работы мы будем придерживаться определения Ю. С. Богданова.

Определение 0.6. Система (0.6) называется приводимой к системе (0.9), если она асимптотически эквивалентна этой системе. Система (0.6) называется приводимой, если она асимптотически эквивалентна некоторой автономной системе (0.9).

Определение 0.7. Система (0.6) называется правильной, если ее коэффициент неправильности Ляпунова

1 t ал{А) := Ai(A) + . + \п(А) - Иm - / SpA(s) ds оо t ^ равен нулю.

Хорошо известно, что преобразования Ляпунова образуют группу [1, с. 62; 12], а формула (0.10) задает действие этой группы на множестве Мп систем с ограниченными и кусочно непрерывными коэффициентами. Величины и свойства, сохраняющиеся под действием группы ляпуновских преобразований, называются ляпуновскими (асимптотическими) инвариантами.

К асимптотическим инвариантам относятся такие величины (свойства), как полный спектр показателей Ляпунова; свойства приводимости и правильности (A.M. Ляпунов, [88]); коэффициенты неправильности <7п О. Перрона [193] и <тг Д. М. Гробмана [36] (их определения приведены на с. 237), нижний показатель ф] := Ищ — In ||я(£)||

->■+00 t

О. Перрона [193]; нижний и верхний равномерные показатели

Шц LbM|,

- t—s—t+oo t — S i ,.1Ж11

B\x\ := lim -In . . ч.

П. Боля [179]; нижний и верхний центральные показатели rSSo J™ h £ln - ^ ™I" ■ ^ i J> ~

P. Э. Винограда [21]; верхний особый показатель

П\А) := lim —sup ln ||X((k + 1 )T, kT)||,

Т—Я-оо I к введенный впервые П. Бол ем [179], и, много позднее, но независимо от него, К. П. Персидским [120] (см. также [37]); экспоненциальные показатели

Н. А. Изобова [56,61,65]; свойство интегральной разделенности решений системы (0.6) (Б. Ф. Былов, [16]), заключающееся в существовании ФСР rci(-),. ,жп(-) этой системы, для которой при всех t ^ s выполняются неравенства

HWQII . IM0II - dcclt-s) к, . с некоторыми положительными постоянными с и d\ и многие-многие другие.

Огромное разнообразие асимптотических инвариантов линейных систем приводит к задаче об управлении не только отдельными инвариантами преобразований Ляпунова, а сразу всей их совокупностью.

Определение 0.8 [97]. Система (0.5) обладает свойством глобальной ляпуновской приводимости, если для любой системы z = F(t)z, z £ Rn, te R, (0.11) принадлежащей множеству J\4n систем с ограниченными и кусочно непрерывными коэффициентами, существует такое кусочно непрерывное и ограниченное управление £/(•), что система (0.5) с этим управлением асимптотически эквивалентна системе (0.11).

Ясно, что если система (0.5) обладает свойством глобальной ляпуновской приводимости, то всякий ее асимптотический инвариант выбором матричного управления £/(•) можно сделать совпадающим с любым допустимым наперед заданным значением (т. е. эта система обладает свойством глобальной управляемости каждого ляпуновского инварианта). Для дискретных систем вопрос о достаточных условиях глобальной ляпуновской приводимости рассматривался В. А. Луньковым в [87]. Некоторые результаты для систем с непрерывным временем были получены В. А. Зайцевым в [47,49-51].

Из результатов о локальной управляемости показателей Ляпунова, т. е. об открытости в точке U{t) = 0 £ Мгап отображения

U (Х\(А + BU),., Хп(А + BU)), вытекает открытость при Q(t) = 0 £ Мп отображения ставящее в соответствие всякой кусочно непрерывной и ограниченной матричной функции Q(-) полный спектр показателей Ляпунова возмущенной системы х = (A(t) + Q(t))x, х £ Rn, teR. (0.12)

С этими результатами тесную связь имеют результаты исследований в задаче об отыскании достижимых границ подвижности показателей системы (0.12), т.е. величин

7к(А) := inf A*(A + Q),

Г*(А) := sup + Q), Q где Q(-) предполагается принадлежащим какому-либо классу малости [18,57]. Наиболее полно изучены границы подвижности вверх старшего показателя Ап. Несколько менее — границы подвижности вниз младшего показателя Ai. Ранее всего был вычислен верхний центральный показатель введенный Р. Э. Виноградом в [21] как оценка сверху для старшего показателя системы (0.12) с малыми возмущениями. Достижимость этой оценки в классе малых возмущений доказана В.М. Миллионщиковым в [107]. Из этих двух работ вытекает, что

П(А) = lim sup{Aп{А + Q) : ||Q||C ^ е}.

S—Ш

В [107] В.М. Миллионщиковым получена также формула для вычисления младшего центрального показателя совпадающего с достижимой нижней границей младшего показателя системы (0.12) в классе малых возмущений. В [153] И. Н. Сергеевым показано, что оба центральных показателя достижимы также в классе бесконечно малых возмущений, т. е. справедливы равенства й(А) =Ы{\1(А + Я) : ^mJIQWII = 0},

Q(A) = sup{AB(A + Q) : Jim ||Q(t)|| = 0}.

Старший сигма-показатель , соответствующий классу сг-возмущений, т. е. возмущений, удовлетворяющих неравенству

IIQWH^iVoe-0*, 0, в котором Nq — положительная константа, зависящая от Q(-), вычислен Н. А. Изобовым в [56]. Старший экспоненциальный показатель Vo(A), соответствующий предельному классу всех экспоненциально убывающих возмущений и играющий важную роль в решении задач Ляпунова об устойчивости по линейному приближению, вычислен Н. А. Изобовым в [61], где получена также и формула для младшего экспоненциального показателя Aq(A).

В [153,156] И. Н. Сергеевым построены достижимые границы подвижности вверх для всех промежуточных показателей при малых и бесконечно малых возмущениях. В работах Н. А. Изобова [58-60] введено понятие минимального показателя линейной дифференциальной системы, представляющего собой достижимую границу подвижности вниз старшего показателя при малых возмущениях, дана формула для его вычисления в случае двумерной системы и оценка снизу в общем случае. В работах И.Н. Сергеева [158-162] вычислен минимальный показатель трехмерной системы, а также найдена достижимая граница подвижности вниз ее промежуточного показателя при малых возмущениях. Ранее в работе [157] И. Н. Сергеевым были полностью вычислены границы подвижности всех показателей линейной дифференциальной системы для возмущений, малых в среднем.

Обобщением задачи о вычислении достижимых границ подвижности показателей является задача о построении спектрального множества линейной дифференциальной системы, т. е. совокупности значений спектрального вектора (Ai(A + Q),., An(A + Q)), принимаемых им на всем множестве систем (0.12) с возмущениями из рассматриваемого класса. Впервые спектральное множество было полностью вычислено в работе М. И. Рахимбердиева и Н. X. Розова [150] для стационарной системы с малыми в среднем периодическими возмущениями. Спектральные множества систем с гробмановскими возмущениями вычислялись Н. А. Изобовым в [63,64]. Ряд результатов о спектральных множествах линейных сингулярных систем с экспоненциальными возмущениями получен в работах Н. А. Изобова и С. Г. Красовского [67,77,187]. Для случая малых возмущений весьма серьезные продвижения достигнуты в работах М. И. Рахимбердиева [144-149].

Вычисление точных границ характеристических показателей и построение спектральных множеств линейных дифференциальных систем с ограниченными возмущениями, не являющимися малыми, но удовлетворяющими некоторым дополнительным ограничениям, производилось в работах С. А. Гришина [34], Н. А. Изобова [62], Н. А. Изобова и Т.Е. Зверевой [66], А. Г. Суркова [166-169].

В заключение обзорной части введения отметим, что задачами стабилизации различных систем при различных предположениях в разное время занимались Э. Г. Альбрехт [2], П. Бруновский [20], С. А. Гришин и Н.Х. Розов [35], С. А. Гришин [34], Ю.Ф. Долгий [40], Л.Е. Забел-ло [43,45], В. А. Зайцев [49], Н. Н. Красовский [72-75], В.Н. Лаптин-ский [83], Г. А. Леонов [85], В. А. Луньков и Е. Л. Тонков [86], С. А. Нефедов и Ф. А. Шолохович [113], Ю. С. Осипов [73,119], И.Н. Сергеев [155] Е. Я. Смирнов [165], Е. Л. Тонков [175], Ф. А. Шолохович [178], R. Brockett [180], С. Е. Langenhop [192] и другие авторы. Некоторые утверждения об управлении мультипликаторами периодических систем получены В. Н. Лаптинским в работах [81,82]. Задачи управления приводимостью и правильностью решались Е. Я. Смирновым в [164, с. 33] и И. В. Гайшуном в [30, с. 310-311]. * *

Диссертация состоит из введения, четырех глав, включающих двадцать семь параграфов (нумерация параграфов сквозная), и списка литературы.

1. Адрианова Л. Я. Введение в теорию линейных систем дифференциальных уравнений: Учеб. пособие.— С.-Петербург: Изд-во С.-Петербургского ун-та, 1992.— 240 с.

2. Альбрехт Э. Г. Об оптимальной стабилизации нелинейных систем // Прикл. матем. и мех.— 1961. — Т. 25, вып. 5.— С. 836-844.

3. Андреев Ю.Н. Алгебраические методы пространства состояний в теории управления линейными объектами (Обзор зарубежной литературы) // Автоматика и телемеханика.— 1977. — № 3. — С. 5 50.

4. Аносов Д. В. Гладкие динамические системы. Исходные понятия // Итоги науки и техники. Динамические системы-1.— М.: ВИНИТИ, 1985.—Т. 1.—С. 151-178.

5. Астровский А. И., Гайшун И. В. Управляемость линейных нестационарных систем в классе обобщенных функций конечного по-" рядка // Изв. РАН. Теория и системы управления.— 1998. —№ 2.— С. 24-30.

6. Барабанов Б. А. О крайних показателях Ляпунова линейных систем при экспоненциальных и степенных возмущениях // Дифферент уравнения.— 1984. — Т. 20, № 2. — С. 357.

7. Барабанов Е. А. Точные границы крайних показателей Ляпунова линейных дифференциальных систем при экспоненциальных и степенных возмущениях: Автореферат дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.02. / Бел. гос. ун-т.— Минск, 1984.— 14 с.

8. Барабанов Е.А., Вишневская О. Г. Точные границы показателей Ляпунова линейной дифференциальной системы с интегрально ограниченными на полуоси возмущениями // Докл. АН Беларуси. — 1997. — Т. 41, № 5.— С. 29-34.

9. Беклемишев Д. В. Дополнительные главы линейной алгебры.— М.: Наука, 1983.— 336 с.

10. Богданов Ю. С. К теории систем линейных дифференциальных уравнений //Докл. АН СССР. —1955. — Т. 104, № 6. —С. 813-814.

11. Богданов Ю. С. Характеристические числа систем линейных дифференциальных уравнений//Матем. сборник.— 1957. — Т. 41, № 4.— С. 481-498.

12. Богданов Ю.С. Асимптотические характеристики решений линейных дифференциальных систем // Тр. 4-го Всесоюз. матем. съезда, 1961: В 2 т. / АН СССР.— М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1964.— Т. 2.— С. 424-432.

13. Богданов Ю. С. Об асимптотически эквивалентных линейных дифференциальных системах // Дифференц. уравнения.— 1965.Т. 1, №6 — С. 707-716.

14. Богданов Ю.С., Мазаник С. А. Преобразования Ляпунова линейных дифференциальных систем // Вопросы качественной теории дифференциальных уравнений: Сб. науч. тр.— Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1988.—С. 9-13.

15. Борухов В. Т. К вопросу о необходимых условиях управляемости для линейных нестационарных динамических систем // Весщ АН БССР. Сер. ф1з.-мат. навук.— 1979. — № 6.— С. 27-30.

16. Былов Б. Ф. О приведении системы линейных уравнений к диагональному виду // Матем. сборник.— 1965. — Т. 67(109), № 3.— С. 338-344.

17. Былов Б. Ф. Обобщение теоремы Перрона // Дифференц. уравнения.— 1965. — Т. 1, № 12.— С. 1597-1600.

18. Былов Б. Ф., Виноград Р. Э., Гробман Д. М., Немыцкий В. В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости.— М.: Наука, 1966.— 576 с.

19. Былов Б. Ф., Изобов Н. А. Необходимые и достаточные условия устойчивости характеристических показателей линейной системы // Дифференц. уравнения.— 1969. — Т. 5, № 10.—С. 1794-1803.

20. Бруновский П. О стабилизации линейных систем при определенном классе постоянно действующих возмущений // Дифференц. уравнения.— 1966. — Т. 2, № 6.— С. 769-777.

21. Виноград Р. Э. О центральном характеристическом показателе системы дифференциальных уравнений // Матем. сборник.— 1957.Т. 42, №2.—С. 207-222.

22. Виноград Р. Э., Изобов Н. А. Решение задачи Ляпунова об устойчивости по первому приближению // Дифференц. уравнения.— 1970. — Т. 6, № 2.— С. 230-242.

23. Габасов Р., Кириллова Ф. М. Качественная теория оптимальных процессов.— М.: Наука, 1971.— 508 с.

24. Гайшун И. В. Синтез Q -приводимых линейных нестационарных систем // Докл. НАН Беларуси. — 1998. — Т. 42, № 3. — С. 5-8.

25. Гайшун И. В. Существование канонических форм линейных нестационарных систем управления относительно экспоненциальнойгруппы // Дифференц. уравнения.— 1998. — Т. 34, № 6.— С. 727-734.

26. Гайшун И. В. Канонические формы, управление показателями Ляпунова и стабилизируемость линейных нестационарных систем // Изв. РАН. Теория и системы управления.— 1998. — № 6.— С. 2432.

27. Гайшун И. В. Управляемость характеристическими векторами линейных нестационарных систем // Дифференц. уравнения.— 1999. — Т. 35, № 1.— С. 24-29.

28. Гайшун И. В. О канонических формах линейных нестационарных систем управления // Труды Института математики НАН Беларуси. Минск.— 1999. — Т. 2. — С. 58-62.

29. Гайшун И. В. Канонические формы линейных нестационарных систем управления относительно различных групп преобразований // Автоматика и телемеханика.— 1999. — №2.— С.11-18.

30. Гайшун И. В. Введение в теорию линейных нестационарных систем.— Минск: Ин-т математики НАН Беларуси, 1999.— 409 с.

31. Гайшун И. В., Изобов Н. А. Исследования в Институте математики НАН Беларуси по дифференциальным и многопараметрическим системам // Весщ АН БССР. Сер. ф1з.-мат. навук.— 1998. — № 4.С.5-19.

32. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц.— М.: Наука, 1967.— 576 с.

33. Гомес X. А. Стабилизация неустойчивых положений равновесия линейных управляемых ситем // Дифференц. уравнения.— 1983.Т. 19, №9.— С. 1644-1645.

34. Гришин С. А. Некоторые вопросы управления и устойчивости линейных систем // Дифференц. уравнения.— 1982. — Т. 18, № 11.С.1862-1869.

35. Гришин С. А., Розов Н. X. Метод поворотов решений в задаче стабилизации неустойчивых положений равновесия // Автоматика и телемеханика.— 1975. — № 12.— С. 18-26.

36. Гробман Д. М. Характеристические показатели систем, близких к линейным // Матем. сборник.—1952. — Т. 30, № 1. —С. 121-166.

37. Далецкий Ю. Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве.— М.: Наука, 1970.—536 с.

38. Д'Анжело Г. Линейные системы с переменными параметрами. Анализ и синтез.— М.: Машиностроение, 1974.— 287 с.

39. Демидович В. П. Лекции по математической теории устойчивости.— М.: Наука, 1967.— 472 с.

40. Еругин Н. П. Приводимые системы//Труды матем. ин-та АН СССР— М., 1946.— Т. 13.— 96с.

41. Забелло Л.Е. Об управляемости линейных нестационарных систем // Автоматика и телемеханика.— 1973. — № 8.— С. 13-19.

42. Забелло Л. Е. К теории управляемости нестационарных систем // Докл. АН БССР.— 1980. — Т. 24, № 6.— С. 497-499.

43. Забелло Л. Е., Мамрилла Ю. К управляемости линейной нестационарной системы // Вестн. Белорус, ун-та. Сер. 1. Физика. Математика. Механика. — 1980. — № 2.— С. 30-33.

44. Забелло Л.Е. Об управлении показателями Ляпунова в линейных непрерывных системах // Вестн. Белорус, ун-та. Сер. 1. Физика. Математика. Механика.— 1985. — № 2.— С. 55-58.

45. Заде Л., Дезоер Ч. Теория линейных систем. Метод пространства состояний.— М.: Мир, 1970.— 703 с.

46. Зайдев В. А. Согласованность и управление показателями Ляпунова // Известия Института математики и информатики УдГУ. Ижевск.— 1999. — Вып. 2(17).— С. 3-40.

47. Зайдев В. А., Тонков Е. Л. Достижимость, согласованность и метод поворотов В. М. Миллионщикова // Известия вузов. Математика.—1999. — № 2(441).— С. 60-67.

48. Зайдев В. А. Об управлении показателями Ляпунова и о А-приводимости // Вестник Удмуртского ун-та.— 2000. — № 1.— С. 3544.

49. Зайдев В. А. Согласованность, достижимость и управление показателями Ляпунова: Дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.02.— Ижевск, 2000.— 102 с.

50. Зайдев В. А. Глобальная достижимость и глобальная ляпу-новская приводимость двумерных и трехмерных линейных управляемых систем с постоянными коэффициентами // Вестник Удмуртского ун-та. Серия "Математика". — 2003. — С. 31 -62.

51. Иванов А. Г. Линейные управляемые системы в пространстве Степанова.— Свердловск, 1985.— 32 с.— (Препринт / АН СССР.Уральский научный центр. Физико-технический институт).

52. Иванов А. Г., Тонков Е. JI. О равномерной локальной управляемости линейной системы // Дифференц. уравнения.— 1992. — Т. 28, № 9.— С. 1499-1507.

53. Иванов А. Г., Тонков Е. JT. Методы топологической динамики в задаче о равномерной локальной управляемости // Докл. РАН. — 1995. — Т. 340, № 4.— С. 467-469.

54. Изобов Н.А. О множестве нижних показателей линейной дифференциальной системы // Дифференц. уравнения.— 1965. —Т. 1, №4.—С. 469-477.

55. Изобов Н. А. О старшем показателе линейной системы с экспоненциальными возмущениями // Дифференц. уравнения.— 1969. — Т. 5, №7.—С. 1186-1192.

56. Изобов Н. А. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Итоги науки и техн. Мат. анализ. — М.: ВИНИТИ, 1974.— Т. 12. — С. 71-146.

57. Изобов Н. А. Минимальный показатель двумерной диагональной системы // Дифференц. уравнения.— 1976. — Т. 12, № 11.— С. 1954-1966.

58. Изобов Н. А. Минимальный показатель двумерной линейной дифференциальной системы // Дифференц. уравнения.— 1977. — Т. 13, № 5.— С. 848-858.

59. Изобов Н. А. Оценка снизу для минимального показателя линейной системы // Дифференц. уравнения.— 1978. — Т. 14, №9.— С. 1576-1588.

60. Изобов Н.А. Экспоненциальные показатели линейной системы и их вычисление // Докл. АН БССР.—1982. — Т. 26, № 1.— С. 5-8.

61. Изобов Н. А. Верхняя граница показателей Ляпунова дифференциальных систем с возмущениями высшего порядка // Докл. АН БССР. — 1982. — Т. 26, № 5.— С. 389-392.

62. Изобов Н. А. О характеристических показателях линейных систем с гробмановскими возмущениями // Дифференц. уравнения.— 1991. — Т. 27, №3.— С. 428-437.

63. Изобов Н. А. О существовании гробмановских спектральных множеств линейных систем положительной меры // Дифференц. уравнения.— 1991. — Т. 27, № 6.— С. 953-957.

64. Изобов Н. А. Исследования в Беларуси по теории характеристических показателей Ляпунова и ее приложениям // Дифференц.уравнения.— 1993. — Т. 29, № 12.— С. 2034-2055.

65. Изобов Н. А., Зверева Т. Е. Спектр характеристических показателей Ляпунова двухмерной стационарной системы при возмущениях-поворотах //Дифференц. уравнения.— 1981. — Т. 17, № 11.— С. 1964-1977.

66. Изобов Н. А., Красовский С. Г. О существовании линейной сингулярной системы с неограниченным по мере экспоненциальным характеристическим множеством // Дифференц. уравнения.— 1998. — Т. 34, №8.—С. 1049-1055.

67. Калман Р., Фал б П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем.— М.: Мир, 1971.— 400 с.

68. Кострикин А. И. Введение в алгебру.— М.: Наука, 1977.— 496 с.

69. Красносельский М. А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений.— М.: Гостехиздат, 1956.— 392 с.

70. Красовский Н.Н. К теории оптимального регулирования // Прикл. матем. и мех.— 1959. — Т. 23, вып. 4. — С. 625-639.

71. Красовский Н.Н. О стабилизации неустойчивых движений дополнительными силами при неполной обратной связи // Прикл. матем. и мех.— 1963. — Т. 27, вып. 4.— С. 641-663.

72. Красовский Н.Н., Осипов Ю. С. О стабилизации движений управляемого объекта с запаздыванием в системе регулирования // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика.— 1963, № 6. — С. 3-15.

73. Красовский Н. Н. Проблемы управляемости, наблюдаемости и стабилизируемости динамических систем // Тр. II Всесоюз. съезда по теор. и прикл. механике, 1964: Обз. докл. Вып. I.— М.: Наука, 1965.— С. 77-93.

74. Красовский Н. Н, Проблемы стабилизации управяемых движений: Дополнение IV // Малкин И. Г. Теория устойчивости движения — М.: Наука, 1966. — С. 475-514.

75. Красовский Н. Н. Теория управления движением.— М.: Наука, 1968.—476 с.

76. Красовский С. Г. О спектральном множестве линейной сингулярной системы с совпадающими показателями // Весщ АН БССР. Сер. ф1з.-мат. навук.— 1999. — № 3.— С. 10-15.

77. Крылов А. Н. О численном решении уравнения, которым в технических вопросах определяются частоты колебаний материальных систем // Изв. АН СССР. Серия физ.-мат.— 1931. — С. 491-539.

78. Култышев С.Ю., Тонкое Е. JI. Управляемость линейной нестационарной системы // Дифференц. уравнения.— 1975. — Т. 11, № 7.— С. 1206-1216.

79. Ланкастер П. Теория матриц.— М.: Наука, 1978.— 280 с.

80. Лаптинский В. Н. Об одном способе стабилизации линейных периодических систем управления // Весщ АН БССР. Сер. ф1з.-мат. на-вук.— 1988. — № 5.— С. 14-18.

81. Лаптинский В. Н. Проекционный метод решения задачи стабилизации периодической системы управления // Докл. АН БССР.— 1988. — Т. 32, №8.— С. 681-684.

82. Лаптинский В. Н. Оптимальная стабилизация периодических систем управления // Дифференц. уравнения.— 1988. — Т. 24, № 12.— С. 2075-2083.

83. Леваков А. А. К управляемости линейных нестационарных систем // Дифференц. уравнения.— 1987. — Т. 23, № 5.— С. 798-806.

84. Леонов Г. А. Проблема Брокетта в теории устойчивости линейных дифференциальных уравнений // Алгебра и анализ.— 2001. -— Т. 13, вып. 4.—С. 134-155.

85. Луньков В. А., Тонков Е. Л. О стабилизации нестационарной системы // Автоматика и телемеханика.— 1974. — № 12.— С. 19 — 23.

86. Луньков В. А. О полной приводимости линейной системы управления // Известия Института математики и информатики УдГУ. Ижевск.— 1996. — Вып. 2(8).—С. 15-25.

87. Ляпунов А. М. Собр. соч.: В 6 т.— М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1956.— Т. 2.— 473 с.

88. Мазаник С. А. Преобразования Ляпунова линейных дифференциальных систем: Дис. . докт. физ.-мат. наук: 01.01.02.— Минск, 1999.—216 с.

89. Макаров Е. К. О дискретности асимптотических инвариантов линейных дифференциальных систем // Дифференц. уравнения.— 1998. — Т. 34, №10.—С. 1322-1331.

90. Макаров Е. К., Попова С.Н. О локальной управляемости характеристических показателей Ляпунова систем с некратными показателями // Дифференц. уравнения.— 1997. — Т. 33, № 4.— С. 495499.

91. Макаров Е. К., Попова С.Н. К методу поворотов для линейных управляемых систем // Докл. НАН Беларуси.— 1998. — Т. 42, №6.—С. 13-16.

92. Макаров Е. К., Попова С.Н. О глобальной управляемости полной совокупности ляпуновских инвариантов двумерных линейных систем // Дифференц. уравнения.— 1999. — Т. 35, № 1.— С. 97-106.

93. Макаров Е. К., Попова С.Н. О глобальной управляемости центральных показателей линейных систем // Известия вузов. Математика.— 1999. — № 2(441).— С. 60-67.

94. Макаров Е. К., Попова С. Н. Управляемость ляпуновских инвариантов линейных дифференциальных систем // Дифференц. уравнения.— 2001. — Т. 37, № 8.— С. 1146.

95. Макаров Е. К., Попова С. Н. О нормальности расчлененных ФСР линейных дифференциальных систем с устойчивыми показателями // Дифференц. уравнения.— 2002. — Т. 38, № 11.— С. 15761577.

96. Макаров Е. К., Попова С.Н. О достаточных условиях локальной пропорциональной управляемости показателей Ляпунова линейных систем // Дифференц. уравнения.— 2003. — Т. 39, №2.— С. 217-226.

97. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения— 2-е изд.— М: Наука, 1966.—532 с.

98. Массера X. JT. К теории устойчивости // Математика. Пери-одич. сб. переводов иностр. статей.— 1957. — Т. 1, JV5 4.— С. 81-101.

99. Миллионщиков В. М. Асимптотика решений линейных систем с малыми возмущениями // Докл. АН СССР.— 1965. — Т. 162, №2.—С. 266-268.

100. Миллионщиков В. М. О связи между устойчивостью характеристических показателей и почти приводимостью систем с почти периодическими коэффициентами // Дифференц. уравнения.— 1967. — Т.З, №12.— С. 2127-2134.

101. Миллионщиков В. М. Метрическая теория линейных систем дифференциальных уравнений//Матем. сборник.— 1968. — Т. 77, №2.—С. 163-173.

102. Миллионщиков В. М. Критерий малого изменения направлений решений линейной системы дифференциальных уравнений при малых возмущениях коэффициентов системы // Матем. заметки.— 1968. — Т. 4, вып. 2.— С. 173-180.

103. Миллионщиков В. М. Системы с интегральной разделенно-стью всюду плотны в множестве всех линейных систем дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения.— 1969. — Т. 5, №7.— С. 1167-1170.

104. Миллионщиков В. М. Грубые свойства линейных систем дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения.— 1969. — Т. 5, №10.— С. 1775-1784.Письмо в редакцию // Дифференц. уравнения.— 1970. — Т. 6, №8.— С.1532.

105. Миллионщиков В. М. Доказательство достижимости центральных показателей линейных систем // Сиб. матем. журн.— 1969.Т. 10, № 1.— С. 99-104.

106. Минюк С. А. К теории полной управляемости линейных нестационарных систем // Дифференц. уравнения.— 1990. — Т. 26, № 3.С. 414-420.

107. Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений.— M.-JL: Гостехиздат, 1949.— 550 с.

108. Нефедов С. А., Шолохович Ф. А. Критерий стабилизируемое™ динамических систем с конечномерным входом // Дифференц. уравнения.— 1986. — Т. 22, № 2.— С. 223-228.

109. Нурматов А. М. Об экспоненциальных показателях треугольной системы и ее диагонального приближения // Дифференц. уравнения.— 1987. — Т. 23, № 5.— С. 814-818.

110. О ленчиков Д. М. Показатели Ляпунова импульсных систем // Известия Института математики и информатики УдГУ. Ижевск.— 1996. — Вып. 2(8).— С. 69-84.

111. Оленчиков Д. М. Импульсное управление показателями Ляпунова // Дифференц. уравнения.— 1997. — Т. 33, № 11.— С. 1576.

112. Оленчиков Д. М. Импульсное управление показателями Ляпунова. I // Фундам. и прикл. матем.— 2002. — Т. 8, № 1. — С. 151 -169.

113. Оленчиков Д. М. Импульсное управление показателями Ляпунова. II // Фундам. и прикл. матем.— 2002. — Т. 8, №2.— С. 171185.

114. Осипов Ю. С. О стабилизации управляемых систем с запаздыванием // Дифференц. уравнения.— 1965. —Т. 1, К2 5. — С. 605-618.

115. Персидский К. П. Об устойчивости движения по первому приближению // Матем. сборник. — 1933. — Т. 40, № 3.— С. 284-292.

116. Попов В. М. Гиперустойчивость автоматических систем.— М.: Наука, 1970.—335 с.

117. Попова С. Н. К вопросу об управлении показателями Ляпунова // Вестник Удмуртского ун-та.— 1992. — К21.— С. 23-39.

118. Попова С.Н. Задачи управления показателями Ляпунова: Дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.02.— Ижевск, 1992.— 103с.

119. Попова С. Н. Управление показателями Ляпунова // Успехи матем. наук.— 1994. — Т. 49, № 4 (298).— С. 140.

120. Попова С.Н., Тонков Е. Л. Управление показателями Ляпунова согласованных систем. I // Дифференц. уравнения.— 1994. — Т. 30, № 10.— С. 1687-1696.

121. Попова С.Н., Тонков Е. Л. Управление показателями Ляпунова согласованных систем. II // Дифференц. уравнения.— 1994. — Т. 30, № 11.— С. 1949-1957.

122. Попова С.Н., Тонков Е. Л. Управление показателями Ляпунова согласованных систем. III // Дифференц. уравнения.— 1995. —Т. 31, №2.—С. 228-238.

123. Попова С.Н., Тонкое Е. JI. К вопросу о равномерной согласованности линейных систем // Дифференц. уравнения.— 1995. — Т. 31, № 4.— С. 723-724.

124. Попова С.Н., Тонков Е. Л. Равномерная управлемость показателей Ляпунова // Успехи матем. наук.— 1995. — Т. 50, № 4 (302).С. 108-109.

125. Попова С. Н., Тонков Е. Л. Согласованные системы и управление показателями Ляпунова // Дифференц. уравнения.— 1997. — Т. 33, №2.—С. 226-235.

126. Попова С. Н. О связи между различными видами управляемости асимптотических характеристик линейных систем // Дифференц. уравнения.— 2001. — Т. 37, № 6.— С. 850-851.

127. Попова С.Н. О глобальной управляемости полной совокупности ляпуновских инвариантов периодических систем // Известия Института математики и информатики УдГУ. Ижевск.— 2002. — Вып. 2 (25).—С. 79-80.

128. Попова С.Н. Об эквивалентности локальной достижимости и полной управляемости линейных систем // Известия вузов. Математика.—2002. — №6(481).—С. 50-53.

129. Попова С. Н. К свойству локальной достижимости линейных управляемых систем // Дифференц. уравнения.— 2003. — Т. 39, № 1.С. 50-56.

130. Попова С.Н. Об управлении коэффициентами неправильности линейных систем // Дифференц. уравнения.— 2003. — Т. 39, № 6.С. 858-859.

131. Попова С.Н. К свойству пропорциональной управляемости ляпуновских инвариантов линейных систем // Дифференц. уравнения.2003. — Т. 39, № 11.— С. 1578-1579.

132. Попова С.Н. Глобальная управляемость полной совокупности ляпуновских инвариантов периодических систем // Дифференц. уравнения. — 2003. — Т. 39, № 12.— С. 1627-1636.

133. Попова С.Н. Глобальная приводимость линейных управлявмых систем к системам скалярного типа // Дифференц. уравнения.— 2004. — Т. 40, № 1.— С. 41-46.

134. Попова С. Н. Одновременная локальная управляемость спектра и коэффициента неправильности Ляпунова правильных систем // Дифференц. уравнения. — 2004. — Т. 40, № 3.— С. 425-428.

135. Прохорова Р. А. О сведении линейных конечно-разностных уравнений к дифференциальным // Дифференц. уравнения.— 1989. — Т. 25, №5.—С. 780-785.

136. Рахимбердиев М. И. О линейных системах, связанных отношением почти приводимости с системами скалярного типа // Дифференц. уравнения,— 1977. — Т. 13, № 4.— С. 616-625.

137. Рахимбердиев М. И. Об условиях непрерывности старшего показателя линейного расширения динамической системы // Дифференц. уравнения.— 1988. — Т. 24, № 4.— С. 591-600.

138. Рахимбердиев М. И. Критерий экспоненциальной разделен-ности линейной системы // Дифференц. уравнения.— 1994. — Т. 30, №7.—С. 1279-1281.

139. Рахимбердиев М. И. Положительность и экспоненциальная разделенность семейства автоморфизмов векторного расслоения // Дифференц. уравнения.— 1999. — Т. 35, № 1.— С. 121-124.

140. Рахимбердиев М. И. Применение теории положительных операторов в исследовании грубых свойств линейной дифференциальной системы // Труды Института математики НАН Беларуси. Минск. — 2000. — Т. 4.—С. 136-139.

141. Рахимбердиев М. И., Розов Н. X. Распределение показателей Ляпунова линейных систем с периодическими коэффициентами, близкими в среднем к постоянным // Дифференц. уравнения.— 1978.Т. 14, №9.— С. 1710-1714.

142. Родина Л. И., Тонков Е. Л. Условия полной управляемости нестационарной линейной системы в критическом случае // Кибернетика и системный анализ (в печати).

143. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ.— М.: Мир, 1973.— 469 с.

144. Сергеев И. Н. Точные верхние границы подвижности показателей Ляпунова системы дифференциальных уравнений и поведение показателей при возмущениях, стремящихся к нулю на бесконечности // Дифференц. уравнения.— 1980. — Т. 16, № 3.— С. 438-448.

145. Сергеев И. Н. Инвариантность центральных показателей относительно возмущений, стремящихся к нулю на бесконечности // Дифференц. уравнения.— 1980. — Т. 16, № 9.— С. 1719.

146. Сергеев И. Н. Вопросы стабилизируемости и дестабилизируемое™ линейных систем малыми в среднем линейными возмущениями // Дифференц. уравнения.— 1982. — Т. 18, № 11.— С. 2012-2013.

147. Сергеев И. Н. К теории показателей Ляпунова линейных систем дифференциальных уравнений // Труды семинара им. И. Г. Петровского.— 1983. — Вып. 9.— С. 111 -166.

148. Сергеев И. Н. Точные границы подвижности показателей Ляпунова линейных систем при малых в среднем возмущениях // Труды семинара им. И. Г. Петровского.— 1986. — Вып. 11.— С. 32-73.

149. Сергеев И. Н. Оценка снизу для минимального показателя трехмерной системы // Дифференц. уравнения.— 1999. — Т. 35, № 10.С. 1387-1397.

150. Сергеев И. Н. Формула для минимального показателя диагональной трехмерной системы // Дифференц. уравнения.— 1999. — Т. 35, № 11.— С. 1576.

151. Сергеев И. Н. Метод поворотов и сингулярные числа трехмерных систем//Дифференц. уравнения.— 1999. — Т. 35, №12.— С. 1630-1639.

152. Сергеев И.Н. Оценка сверху для минимального показателя трехмерной системы // Дифференц. уравнения.— 2000. — Т. 36, № 1.— С. 114-123.

153. Сергеев И. Н. Формула для вычисления минимального показателя трехмерной системы // Дифференц. уравнения.— 2000. — Т. 36, №3.—С. 345-354.

154. Смирнов Е. Я. О стабилизации нестационарных линейных управляемых систем // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика.— 1970. —5.—С. 182-190.

155. Смирнов Е. Я. Некоторые задачи математической теории управления.— JT.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1981.— 298 с.

156. Смирнов Е.Я. Стабилизация программных движений.— С.Петербург: Изд-во С.-Петербургского ун-та, 1997.— 308 с.

157. Сурков А. Г. Точные верхняя и нижняя границы характеристических показателей двумерной системы с ограниченными возмущениями // Дифференц. уравнения.—1983. — Т. 19, № 9. — С. 1534-1541.

158. Сурков А. Г. Точные нижняя и верхняя границы старшего и младшего характеристических показателей двумерной системы с ограниченными возмущениями // Дифференц. уравнения.— 1983. — Т. 19, № 12.— С. 2065-2071.

159. Сурков А. Г. Точные границы характеристических показателей линейных систем второго порядка с ограниченными возмущениями // Дифференц. уравнения. — 1984. — Т. 20, № 5.— С. 792-797.

160. Сурков А. Г. О спектральном множестве линейных систем второго порядка с ограниченными возмущениями.— Минск, 1984.— 43 е.— (Препринт / АН БССР. Ин-т математики; № 22(207)).

161. Тонков Е. Л. Замечание об управляемости линейной периодической системы //Дифференц. уравнения.— 1978. — Т. 14, №9.— С. 1715-1717.

162. Тонков Е. Л. Критерий равномерной управляемости и стабилизация линейной рекуррентной системы // Дифференц. уравнения.— 1979. — Т. 15, №10.—С. 1804-1813.

163. Тонков Е. Л. О множестве управляемости линейного уравнения // Дифференц. уравнения.— 1983. — Т. 19, № 2. — С. 269-278.

164. Тонков Е. Л. К теории линейных управляемых систем: Дис. . докт. физ.-мат. наук: 01.01.02.— Свердловск, 1983.— 267 с.

165. Тонков Е. Л. Задачи управления показателями Ляпунова // Дифференц. уравнения.— 1995. — Т. 31, № 10.— С. 1682-1686.

166. Тонков Е. Л. Ляпуновская приводимость линейной системы, стабилизация и управление показателями Изобова // Труды Института математики НАН Беларуси. Минск.— 2000. — Т. 4.— С. 146-155.

167. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ.— М.: Мир, 1989. — 655 с.

168. Шилов Г. Е. Математический анализ. Конечномерные линейные пространства.— М.: Наука, 1969.— 432 с.

169. Шолохович Ф. А. Об управляемости в гильбертовом пространстве // Дифференц. уравнения.— 1967. —Т. 3, № 3. — С. 479-484.

170. Bohl P. Uber Differentialgleichungen // J. reine und angew. Math.1913. — Bd. 144.— S. 284-318.

171. Brockett R. A stabilization problem // Open Problems in Mathematical Systems and Control Theory.— London: Springer, 1999.— P. 7578.

172. Brunovsky P. Controllability and linear closed-loop controls in linear periodic systems // J. of Different. Equat.— 1969. — Vol. 6, № 3.— P. 296-313.

173. Chang A. An algebraic characterization of controllability // IEEE Trans, on Automat. Control.— 1965. — Vol. AC-10, № 1.— P. 112-113.

174. Colonius P., Kliemann W. Minimal and maximal Lyapunov exponents of bilinear control systems // J. of Different. Equat.— 1993. — Vol. 101, №2.—P. 232-275.

175. Colonius P., Kliemann W. The Lyapunov spectrum of families of time-varying matrices // Trans. Amer. Math. Soc.— 1996. — Vol. 348.P. 1389-1408.

176. Colonius P., Kliemann W. Lyapunov exponents of control flows // Lyapunov exponents / Ed. L. Arnold, H. Crauel, J.-P. Eckmann.Berlin: Springer-Verlag, 1991.— P. 331-365.— (Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1486).

177. Ikeda M., Maeda H., Kodama S. Stabilization of linear systems // SIAM J. Contr.— 1972. — Vol. 10, № 4.— P. 716-729.

178. Izobov N.A., Krasovski S. G. On existence of a measure unbounded exponential spectral quantization on symplectic manifolds // Mem. Differential Equations Math. Phys.— 1998. — Vol. 13.— P. 140-144.

179. Kalman R. E. Contribution to the theory of optimal control // Boletin de la Sociedad Matematika Mexicana.— 1960. — Vol.5, №1.— P. 102-119.

180. Kalman R.E., Ho Y. C., Narendra K.S. Controllability of linear dynamical systems // Contr. Different. Equat.— 1963. — Vol. 1.— P. 189-213.

181. Kreindler E., Sarachik P. On the concepts of controllability and observability of linear systems // IEEE Trans, on Automatic Control.1964. — Vol. AC-9, № 2.— P. 129-136.

182. Langenhop C.E. On the stabilization of linear systems // Proc. Amer. Math. Soc.— 1964. — Vol. 15, № 5.— P. 735-742.

183. Perron O. Die Ordnungszahlen der Differentialgleichungssysteme // Math. Zeitschr.— 1929. — Bd. 31, h. 5.— S. 748-766.

184. Popov V. M. Hyperstability and optimality of automatic systems with several control functions // Rev. Roumaine. Sci. Techn., Electrotechn. et Energ.— 1964. — Vol. 9, № 4.— P. 629-690.

185. Tonkov E. L. Uniform attainability and Lyapunov reducibility of bilinear control system // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. Suppl. 1. — 2000. — P. S228-S253.

186. Vinograd R. E. Simultaneous attainability of central Lyapunov and Bohl exponents for ODE linear systems // Proc. Amer. Math. Soc.— 1983. — Vol. 88, № 4.— P. 595-601.

187. Weiss L. The concepts of differential controllability and differential observability // Journ. of Math. Anal, and Appl.— 1965. — Vol. 10, №2.—P. 442-449.

188. Wolovich W. A. On the stabilization of controllable system // IEEE Trans, on Automatic Control. — 1968. — Vol. AC-13, № 5. — P. 569572.

189. Wonham W. M. On pole assignment in multi-input controllable linear systems // IEEE Trans, on Automat. Control.— 1967. —Vol. AC-12, № 6.— P. 660-665.