Ляпуновская приводимость линейной системы с последействием тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 517.917

БЫКОВА ТАТЬЯНА СЕРГЕЕВНА

ЛЯПУНОВСКАЯ ПРИВОДИМОСТЬ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ижевск - 2005

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Ижевский государственный технический университет».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Тонкое Евгений Леонидович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Долгий Юрий Филиппович

доктор физико-математических наук, доцент Попова Светлана Николаевна

Ведущая организация: Институт математики Национальной

Академии наук Беларуси

Защита состоится « 24 » <Д 2005 г. в

14оо

на заседании

диссертационного совета К 212.275.04 в ГОУ ВПО «Удмуртский государственный университет» по адресу: 426034, г. Ижевск, ул. Университетская, 1 (корп. 4), ауд. 222. E-mail: imi@uni.udm.ru

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Удмуртского государственного университета.

Автореферат разослан «. [1 » 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета к.ф.-м.н., доцент

Петров Н.Н.

ffidL umov

Актуальность темы. Линейная система с последействием

x(t) = J dA(t,s)x{t + s), i € R = (-00,00), (1)

может иметь решения x(t), обращающиеся в нуль (с возрастанием <) по истечении конечного промежутка времени, либо не обращающиеся в нуль, но стремящиеся к нулю быстрее любой экспоненциальной функции (см. монографию Дж. Хейла1'). Это означает, что показа-

_ w \ • т.-lüM^I

тель Ляпунова А(х) = lim-этого решения равен —оо.

t—»00 t

Игнорируя такие решения, мы можем задаться следующим вопросом: будет ли система (1), рассматриваемая только на множестве нетривиальных решений x(t) с конечными показателями Ляпунова А(а;), асимптотически подобна некоторой системе обыкновенных дифференциальных уравнений? Правда, может оказаться, что пространство решений с конечными показателями Ляпунова (дополненное, конечно, тривиальным решением, показатель Ляпунова которого заведомо равен —оо) бесконечномерно, а количество различных показателей таких решений по меньшей мере счетно.

Одной из актуальных задач асимптотической теории систем вида (1) является задача выяснения условий, при которых сужение системы (1) на любое конечномерное подпространство решений с конечными показателями Ляпунова, асимптотически подобно некоторой системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Это важное свойство подобия обыкновенной системе полезно при изучении асимптотических инвариантов систем с последействием. Неявно оно отмечалось для систем с периодической по t матрицей A(t,s)2^4\ но в общей ситуации не исследовалось.

Отметим, кроме того, что вопросам асимптотического поведения решений периодических систем с последействием и более общих периодических систем нейтрального типа посвящены работы

^Хейа Док. Теория функционально-дифферешщальных уравнений. — М • Мир, 1984. 421 с.

Stokes A. Floquet theory for functional-differential equations // Proc. Nat. Ac. of Sci., 48:8, 1962. PP. 1330-1334.

3) Шиманов С. H. Некоторые вопросы теории колебаний систем с запаздыванием // В сб. «Пятая летняя матем. школа», Киев, 1968. С. 473-549.

4)Мъаикис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. — М.: Наука, 1972. 352 с. ! рОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ !

Л^Ш пп/» |

БИБЛИОТЕКА I СПете^^

lerepfcpr ( 09 Ш/ -j

Ю. Ф. Долгого и С. Н. Шиманова51 Ю. Ф. Долгого6)7), и Ю. Ф. Долгого и В. С. Тарасяна8^.

Цель данной работы. Основной целью работы является выяснение условий, при которых сужение системы (1) на всякое конечномерное подпространство существенных (то есть имеющих конечные показатели А.М.Ляпунова) решений асимптотически подобно системе обыкновенных дифференциальных уравнений с ограниченной матрицей коэффициентов. Кроме того, в работе изучаются условия, при которых пространство существенных решений системы (1) конечномерно и исследуется вопрос о равномерной экспоненциальной устойчивости системы (1) и грубости свойства равномерной экспоненциальной устойчивости.

Научная новизна. Построены основы теории асимптотического подобия систем с последействием и систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты работы могут быть в дальнейшем применены при исследовании задач управления асимптотическими инвариантами управляемых систем с последействием.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на городском семинаре по дифференциальным уравнениям и теории управления (Ижевск, 2002 - 2005 годы), на конференции «Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения», посвященной 80-летию профессора Н. В. Азбелева (Ижевск, 2002), на Международной конференции, посвященной 100-летию А. Н. Колмогорова (Тамбов, ОПУ — 2003), на Воронежской весенней математической школе «Современные методы теории краевых задач «Понтря-

Долгий Ю. Ф., Шиманов С. Н. Устойчивость периодической системы дифференциальных уравнений нейтрального типа // Устойчивость и нелинейные колебания. Свердловск. 1982 С.32-39.

Долгий Ю. Ф. Асимптотика собственных чисел оператора монодромии для периодических уравнений с запаздыванием // Изв. ВУЗ-ов. Математика. 1994. № 11. С.64-72.

Долгий Ю. Ф- Устойчивость периодических дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Дис. на соискание степени доктора физ.-мат. наук. Екатеринбург — 1994. 296 с.

8)Долгий Ю. Ф., Тарасян В. С. Конечномерные операторы монодромии для периодических систем дифференциальных уравнений с последействием / / Изв УрГУ. Математика. 2000. 18 С. 1^-27.

гинские чтения — XV», посвященной 65-летию академика В. А. Садо-вничего (Воронеж, 2004).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в шести работах, в том числе в журналах «Дифференциальные уравнения» и «Труды Института математики и механики УрО РАН».

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, восьми параграфов (нумерация параграфов сквозная) и списка литературы. Объем диссертации 108 страниц. Библиографический список содержит 34 наименования.

Краткое содержание работы

Во введении описывается общая постановка задачи и излагается краткое содержание работы.

Основная часть диссертации посвящена изучению вопроса об асимптотическом подобии сужений системы (1) на конечномерные подпространства существенных решений, системам обыкновенных дифференциальных уравнений.

На протяжении этой работы предполагается, что интеграл Стил-тьеса в (1) рассматривается по переменной з, хг(з) — х(£ + в), функция (£, з) —у з) ограничена в полосе К х [—г, 0], равномерно непрерывна по имеет ограниченную вариацию по з, А(Ь, —г) = 0 и для любого е > 0 найдется такое 5 > 0, что для всех |т| ^ 6 и всех

Г°

< € М выполнено неравенство / \А(Ь + т,з) - й)| ¿в < е. Подробно эти условия, которые далее будем называть естественными, описаны в первом параграфе. В дальнейшем систему (1) будем отождествлять с задающей ее функцией А, а пространство всех систем А, удовлетворяющих естественным условиям, обозначать 21.

В качестве пространства начальных функций рассматривается пространство & всех непрерывных функций и : [—г, 0] —> К" либо

с ¿2-нормой ||и(-)||2 = |и(в)|2^ , либо с равномерной нормой

Н|о = тах |ы(*)| (в последнем случае 6 становится банаховым 0]

пространством и совпадает с пространством С([—г,0],Ип)).

Для каждого момента времени ¿о и любой непрерывной функции

и € & решением t —* x(t,to,u) задачи Коши

i{t) = j dA(t,s)xt(s) при t>t0, (2)

x(t) = u(t -t0) при t 6 [t0 - r, t0], (3)

будем называть непрерывную на [to — Л оо) функцию, совпадающую с функцией u{t — to) при t € [to — r,to] и обращающую систему (2) в тождество при t ^ to (здесь xt{s) = x(t + s), s S [—r, 0]).

Всякое решение t —» x(t,to,u) задачи (2), (3) порождает движение t —> Xt(-, to, u) = xt(to, и) в пространстве t ^ to (для краткости при to = 0 вместо xt{-, 0, и) пишем xt(u)).

В этой работе мы придерживаемся концепции, предложенной H.H. Красовским9\ состоящей в том, что системе x(t) — v(xt), обладающей свойством непрерывной зависимости и глобальной правосторонней единственности решения задачи Коши, отвечает некоторая динамическая система с фазовым пространством С([—г, 0], Rn) и потоком на нем t —> xt, порожденным решениями этой системы. Эта Концепция оказалась естественной и очень плодотворной при изучении асимптотического поведения решений системы (1).

Во втором параграфе описана методика преобразования задачи

x(t)=j dA(t,s)xt(s), t е (0,оо), (4)

x(t)=u(t), t е [-r, 0], (5)

к системе

хк+1&) = С(е, кг)хк(кг)+

+ [ С(Ь,т)д(т,хк(-№т, ее(*г,(* + 1)г], (6)

./Ь-

где к = 0,1,..., функция х°(Ь) совпадает при í 6 [—г, 0] с функцией

гкт

и(г), а д^я^-)) = / йС2Ц,т)хк(т) при 4 £ + 1)г]. Таким

Л- г

9^Красовский Н Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения (линейные системы) — М . Гос. издат. физ.-матем. лит 1959 211 с.

образом, при каждом к = 0,1,... и всех Ь £ [кг, (к + 1)г] имеет место равенство х(4,и(-)) = Х(Л+х)г(5), где я € [—г,0], t=s + (k + 1)г.

Показано, что эта методика не позволяет «улавливать» негрубые свойства системы (4), а также свойства устойчивости, равномерные относительно сдвигов системы. Однако, равенство (6) можно применять при получении оценок экспоненциального роста решений системы (4)10\ Действительно, обозначим

Ця*11 = И^гНо = тах |хкг(«)|,

тогда найдется константа а такая, что при всех Ь € [кг, (к + 1)г] выполнено неравенство |д(4, хк(-))| ^ аЦя^Ц. Пусть далее,

0к = шах |С(г, г)|, где Ак = Ш, т) : Ах < т ^ £ < + 1 )г}. («,т)еДк

Из (б) следует неравенство

< 0к\хк{кг)\ + рка\\х% 1 )г,

из которого, в свою очередь, получаем (при каждом к) неравенства

к-1

к = 1,2,.... (7)

В частности, если |С(£,г)| < ЛГехрА(£ — т) для всех < ^ г > 0 и некоторых констант N и А, то < ЛГехр(Аг). Поэтому непосредственно из (7) для всех к = 1,2,... получаем неравенства

|[х*|| < |М|о(1 + ехр(Хкг).

Таким образом, имеет место следующее утверждение:

для любого е > 0 найдется такая константа что для всякой на^шлъной функции и € & и всех £ > 0 решение х(£, и) задачи (4), (5) допускает экспоненциальную оценку

|х(4,и)| < ЛГг||и||о ехр(А + е)Ь.

Аябелев Н.В., Максимов В. П., Рахмагпуллина Л.Ф. Введение в теорию функщганально-дифференциальных уравнений — М.: Наука, 1991. 280 с.

Поэтому, если А < О, то тривиальное решение системы (А) экспоненциально устойчиво.

В третьем параграфе исследуется вопрос о равномерной экспоненциальной устойчивости системы (1). Этот вопрос для систем, не обладающих свойством периодичности, не исследован.

Определение. Будем говорить, что система (1) удовлетворяющая естественным условиям, С-равномерно экспоненциально устойчива, если найдутся такие константы А > 0 и М > 0, что для всякого движения t —> xt(-), порожденного системой (1), для любого io ^ 0 и всех t > to выполнено неравенство

IMOIIo ^ М|К(-)||о exp[-A(t - to)} -

Теорема 1. Система (1), удовлетворяющая естественным условиям, С-равномерно экспоненциально устойчива в том и только в том случае, если показатель Боля

«В0(л) = 1ЙГ 6 = с({ 0] ИЯ)

t—T-*oo t — Т

системы (1) удовлетворяет неравенству ®о(Л) < 0.

Аналогичным образом вводится понятие L-2-равномерной экспоненциальной устойчивости.

Далее, пусть 2to — подпространство всех систем из 21, обладающих свойством «продолжаемости влево» (см. утверждение в) формулируемой ниже теоремы 4).

Теорема 2. Свойство С-равномерной экспоненциальной устойчивости на пространстве 2to с метрикой

в{А, в) = шр(|л(г, о) - B(t, о)| + у \A(t, s) - B(t, 5)| dsj I

является грубым свойством. 1

Доказательство этой теоремы использует формулируемую ниже лемму, представляющую самостоятельный интерес.

Л е м м а 1. Показатель Боля 25о(^4) системы А €21 устойчив вверх, то есть каснсдому е > 0 отвечает такое 6 > 0, что для

любой системы А + В £ 21о, где В удовлетворяет естественным

,о

условиям и неравенству sup(|B(i,0)| + / \B(t, s)|ds) ^ 5, имеет

t^o J-г

место неравенство

Ъ0{А + В) ^<В0{А) + е. (8)

Если на пространстве 21 всех систем вида (1) определить метрику р равенством

p(A,B) = sup(\A(t,0)-B(t,Q)\+ yar \A(t,s) - B(t,s)\), (9)

tee \ ве[-г,о] 1

то утверждения аналогичные выше сформулированным, останутся справедливыми без условия «продолжаемости влево», то есть на всем пространстве 21. Приведем эти утверждения.

JI е м м а 2. Показатель Боля Ъо{А) системы А € 31 устойчив вверх, то есть каждому е > 0 отвечает такое 5 > 0, что для любого возмущения B(t,s), удовлетворяющего естественным условиям и неравенству sup var \B(t, s)| < 5, имеет место неравен-

t^o se[-r,o]

стпво (8).

Теорема 3. В пространстве 21 с метрикой р, определенной ;равенством (9), свойство С-равномерной экспоненциальной устойчивости, является грубым свойством.

В четвертом параграфе введено понятие Ьг-показателя Ляпунова решения системы (1) и сформулировано основное утверждение диссертации.

Пусть fo = 0. Для xt(u) = xt(-,0,u) определим L2-показатель Ляпунова

x(w) = lim —"— , >d0) = -00.

v ' t-+00 t

Тогда множество 6~ == {u € 6 : x{u) = —00} образует линейное подпространство в 6. Пусть — прямое дополнение подпространства б- до пространства 6, то есть в = 6+ ф Тогда для всех ненулевых функций и € б+ выполнено неравенство я(и) > —оо.

Пусть и1( ),..., ир(-) — фиксированный набор р линейно независимых функций из ©+. Линейное подпространство в ©+, порожденное этим набором, обозначим и всякой начальной функции и € §□ поставим в соответствие движение Ь —+ хг(гг), отвечающее решению задачи (2), (3) при ¿о = 0. Таким образом, построено движение Ь —> ^ пространства Мы будем говорить, что это движение порождено сужением системы А на подпространство Такое сужение обозначим (А,§о).

Наряду с системой (А, §£) рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений

у = В$)у, « > 0, у£Жр (10)

с непрерывной на полуоси матричной функцией Ь —> В{Ь). Будем далее отождествлять систему (10) с задающей ее матрицей В и называть системой В. По аналогии с подпространством §£, введем в рассмотрение линейное пространство размерности р с базисом у1{Ь),..., 2/р(£), образующем столбцы матрицы Кодш У(£, г) системы В при т = 0.

Пусть £(§;, К^) — пространство линейных операторов, действующих из в с нормой || • ||ьа-+ИР-

Функцию t —» Ь(Ь) € £(§£,5^) будем называть обобщенным ля-пуновским преобразованием систем (А, 8д) и В, если: 1) функция £ —> Ь{{) непрерывна на = [0, оо); 2) при < ^ 0 оператор £(*) является гомеоморфизмом пространств и и 3) выполнено неравенство 8ир(||£(£)||ь2-,к>> + ||^~1(^)||кр-»ь2) < оо- Будем говорить также,

что система (Л,§д) приводима обобщенным ляпуновским преобразованием Ь к системе В, или что системы {А, §ц) и В асимптотически подобны.

В диссертации показано, что система (А, §ц) имеет не более р различных 1,2-показателей Ляпунова Ах (Л),..., АР(А) и что асимптотически подобные системы (Л, §о) и В сохраняют показатели Ляпунова: для всякого показателя А ¿(Л) системы (А, §%) найдется такое решение Уг^) системы В, что Аг(А) = Ит где | ■ | — евклидова

£—»оо t

норма в Мр. Верно и обратное утверждение.

Основным утверждением диссертации является следующая теорема.

Теорема 4. Пусть (A, Sq) сужение системы А на подпространство Sq и Sq С <5+. Тогда:

а) найдутся система В с непрерывной {р х р)-матрицей B{t) и обобщенное ляпуновское преобразование L, приводящее систему (A,Sq) к системе В;

б) в множестве {В} всех систем, асимптотически подобных системе (A,Sq), найдется система с непрерывной на R+, верхней треугольной матрицей B{t)\

в) если, в дополнение к сказанному, всякое решение системы (A, §q) «продолжаемо влево», то есть найдется константа а > О такая, что для каждого и 6 §д, любого т £ [—г, Oj и всех t € М+ выполнено неравенство ||£t+T(-, и)||г < a\\xt(-,u)\\2, то в множестве {В} всех систем, асимптотически подобных системе (Л,§д), найдется система В с ограниченной на полуоси К+ матрицей B(t) (и следовательно, с огрниченной на К+ верхней треугольной матрицей

вт

г) если A(t + T,s) = A(t,s) для всех (t,s) € Rx[—г,0], то найдутся система В с веществепнозначной непрерывной Т-периодической матрицей B(t) и Т-периодическое по t обобщенное ляпуновское преобразование L, приводящее систему (A,Sq) к системе В.

д) в множестве обобщенных ляпуновских преобразований, приводящих систему (A, Sq) к системе В с непрерывной на R+, верхней треугольной матрицей B(t), найдется ортогональное (L*(t)L(t)=Ip) обобщенное ляпуновское преобразование.

В диссертации описан алгоритм построения обобщенного ляпу-новского преобразования, приводящего сужение (j4,Sq) системы А к системе В с треугольной матрицей В. Из этого алгоритма следует, что увеличение размерности треугольной системы обыкновенных дифференциальных уравнений на единицу за счет пополнения пространства началиых условий не влечет за собой больших вычислительных затрат, так как при этом «новая» система содержит «старую» в качестве подсистемы.

Отметим, что без дополнительных условий не удается доказать ограниченность матрицы B(t) системы В, асимптотически подобной системе (A, Sq) (весьма важное условие при исследовании асимптотического поведения решений системы В). Однако, матрица B(t) будет ограниченной, если выполнено, так называемое, условие продолжаемости влево (см. утверждение в) теоремы 4). Условие продолжа-

емости влево трудно проверяемо, но например, для периодических систем это условие и не требуется (см. утверждение г)).

Вероятно, этот факт имеет место и для более широкого класса систем, а именно для систем с рекуррентной по £ матрицей А. В диссертации не доказан факт продолжаемости влево решений рекуррентных систем, но показано, что при некотором дополнительном условии, более слабом, чем условие продолжаемости влево, утверждение об ограниченности матрицы остается верным и для случая рекуррентных систем.

В пятом параграфе приводится доказательство теоремы 4.

В шестом параграфе выделен некоторый класс систем вида (1), имеющих бесконечномерное пространство решений, но подпространство решений ©+ которых конечномерно и подсчитана размерность подпространства 6+.

Рассмотрим систему

y{t) = D(t)y(t).

Здесь x(t) G Ж", y{t) G Жт, функции A : Ж M(n), В : К -» M(n, m), D : Ж —» M(m) непрерывны и ограничены на прямой M, а функция С : Rx [—г,0] —> M(n,т) удовлетворяет естественным условиям.

Теорема 5. Для любой системы вида (11) размерность пространства &+ равна п + тп.

Далее получен ряд следствий теоремы 5, касающихся асимптотического поведения решений системы

Здесь ж(£), у(г) € Ж, скалярные функции а(г), /?(£) и 7(£) непрерывны и ограничены на Ж, а функция д : К х [-г, 0] —> Ж удовлетворяет естественным условиям.

x(t) = A(t)x(t) -(- B(t)y(t) + dC(t, s)yt(s),

(И)

x(t) = a(t)x(t) + 7(t)v(t) + yt(s)dg(t, s),

Ш = ß(t)y(t).

\

В седьмом параграфе введено определение рекуррентрой системы с последействием и исследуютя некоторые свойства рекурент-ных систем.

Функцию я) —> А{1,5) (или, что эквивалентно, систему А 6 21), удовлетворяющую естественным условиям, будем называть рекуррентной (по переменной Ь), если для любых е > 0 и Т > 0 множество

9А(е,Т) = {& € К : тах(|Л(г + г?, 0) - Л(г,0)|+

+ ! IА{г +в) - < е}

относительно плотно на прямой М (то есть найдется такая константа I > 0, что [*,< + 1]09А(е,Т) Ф 0 для всех £ е К).

В восьмом параграфе получен аналог теоремы В. М. Милли-онщикова11) для линейных систем уравнений с последействием.

При каждом фиксированном в е [—г, 0] сдвиг функции £ —» Л(£, з) на константу г обозначим Лг (£, л) = Л(£ + т, з). Пусть далее, — замьпсание множества {Лт(£, й) : т € М} сдвигов функции А в локально открытой топологии. Это означает, что /4 е в том и только в том случае, если для некоторой последовательности и любых е > 0 и Т > 0 найдется такой номер го, что для всех г ^ «о выполнено неравенство

шах (|ЛГ, (4,0) - Щ 0)| + / |Аг. («, в) - Л(* > «)| <

У_г /

Зафиксируем подпространство С 6+ и для каждой А € 7£(Л) полный набор Ег-показатель Ляпунова системы (А, §д) обозначим Д1(А),..., АР(А). Будем считать, что Ах(Л) ^ ... < АР(Л).

Формулируемую ниже теорему можно рассматривать, как частичное распространение теоремы В. М. Миллионщикова на линейные системы уравнений с последействием.

Теорема 6. Пусть С 6+, система Л е 21 рекуррентпа и для всех А е ЩА) и некоторой константы х > — оо выполнено

11' Миллионщиков В.М. О связи между устойчивостью характеристических показателей и почти приводимостью систем с почти периодическими коэффициентами // Дифференц. уравнения 1967. Т. 3, X» 12. С. 2127-2134.

неравенство АДА) > к. Тогда найдутся система В с непрерывной и ограниченной на М верхней треугольной матрицей и обобщенное ляпуновское преобразование Ь, приводящее сужение (Л,§о) системы А на подпространство к системе В.

Публикации по теме диссертации

1. Быкова Т. С., Тонкое Е. Л. О ляпуновской приводимости системы с последействием // Известия Института математики и информатики УдГУ. Ижевск, 2002. Вып. 2(25). С. 27-30.

2. Быкова Т. С., Тонкое Е. Л. Ляпуновская приводимость линейной системы с последействием // Дифференциальные уравнения. 2003. Т. 39, № 6. С. 731-737.

3. Быкова Т. С. Ляпуновская приводимость системы с последействием // Вестник Тамбовского университета. Тамбов, 2003. Т. 8, вып. 3. С. 355-356.

4. Быкова Т. С., Тонкое Е. Л. Распространение теоремы Перрона-Миллионщикова о триангуляции на линейные системы с последействием // Вестник Удмуртского университета. Серия Математика. Ижевск, 2004. № 1. С. 51-665. Быкова Т. С. О ляпуновской приводимости систем с последействием // Современные методы теории краевых задач. Материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягин-ские чтения — XV». Воронеж, 2004. С. 41-42.

6. Быкова Т. С., Тонкое Е. Л. Приводимость линейной системы с последействием / / Труды Института математики и механики УрО РАН. Екатеринбург, 2005. Т. 11, Л» 1. С. 53-64.

Отпечатано с оригинал-макета заказчика

Подписано в печать 9.11. 2005. Формат 60x84/16. Тираж 100 экз. Заказ №1704. Типография ГОУВПО «Удмуртский государственный университет». 426034, Ижевск, ул. Университетская, 1, корп. 4.

Н2 2 2 4 5

РЫБ Русский фонд

2006-4 17323

Введение.

Глава 1. Линейные системы с последействием и показатель Боля.

§ 1. Описание системы.

§ 2. Об одном элементарном преобразовании системы (1.1) и негрубой экспоненциальной устойчивости.

§ 3. Показатель Боля и равномерная экспоненциальная устойчивость системы (1.1)

Глава 2. Системы с последействием, асимптотически подобные на конечномерных подпространствах системам обыкновенных дифференциальных уравнений.

§ 4. Распространение теоремы Перрона на линейные системы с последействием.

J, § 5. Доказательство теоремы 4.4.

§ б. Пример системы с конечномерным существенным пространством решений.

Глава 3. Рекуррентные системы с последействием и их приводимость.

§ 7. Рекуррентные системы с последействием.

§ 8. Распространение теоремы Перрона-Миллионщикова о триангуляции на системы с последействием

Линейная система с последействием x(t) = j dA(t,s)xt(s), t e R = (-00,00), (0.1) может иметь решения x(t), обращающиеся в нуль (с возрастанием t) по истечение конечного промежутка времени, либо не обращающиеся в нуль, но стремящиеся к нулю быстрее любой экспоненциальной функции (Дж. Хейл, lnh(£)|

29, с. 87]). Это означает, что показатель Ляпунова Х(х) = lim——— этого t—>00 t решения равен — оо.

Игнорируя такие решения, мы можем задаться следующим вопросом: будет ли система (0.1), рассматриваемая только на множестве нетривиальных решений x(t) с конечными показателями Ляпунова \(х), асимптотически подобна некоторой системе обыкновенных дифференциальных уравнений? Правда, может оказаться, что пространство решений с конечными показателями Ляпунова (дополненное, конечно, тривиальным решением, показатель Ляпунова которого заведомо равен — оо) бесконечномерно, а количество различных показателей таких решений по меньшей мере счетно. Оказывается, однако, что при естественных предположениях относительно A(t,s), сужение системы (0.1) на любое конечномерное подпространство решений с конечными показателями Ляпунова, асимптотически подобно некоторой системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Это важное свойство подобия обыкновенной системе полезно при изучении асимптотических инвариантов систем с последействием. Неявно оно отмечалось для систем с периодической по t матрицей A(t, s) (А. Стоке [34], С. Н. Шиманов [31], А. Д. Мышкис [22, § 17]), но в общей ситуации не исследовалось. Вопросам асимптотического поведения решений периодических систем с последействием и более общих периодических систем нейтрального типа посвящены работы Ю. Ф. Долгого [14, 15], Ю. Ф. Долгого и С. Н. Шиманова [13] и Ю. Ф. Долгого и В. С. Тарасяна [16].

Основная часть диссертации посвящена изучению вопроса об асимптотическом подобии системы (0.1) на конечномерных подпространствах решений, системам обыкновенных дифференциальных уравнений.

Хорошо известно и общепризнано, что системе (0.1) отвечает некоторая динамическая система с фазовым пространством С([—г, 0],Rn) и потоком на нем t —> xt, порожденным решениями системы (0.1). Такая концепция, предложенная Н. Н. Красовским [18] в конце 50-х годов прошлого столетия, оказалась естественной и очень плодотворной при изучении асимптотического поведения решений системы (0.1) и здесь мы придерживаемся этой концепции Н. Н. Красовского.

На протяжении этой работы мы предполагаем, что интеграл Стил-тьеса в (0.1) рассматривается по переменной 5, xt(s) = x(t + s), функция (t, s) —► A(t, s) ограничена в полосе R x [—r, 0], равномерно непрерывна по имеет ограниченную вариацию по s, A(t: —г) = 0 и для любого е > 0 найдется такое 5 > 0, что для всех |т| ^ 5 и всех t G R выполнено неравенство | A(t + г, s) — A(t, s)| ds ^ s (подробно эти условия описаны в первом параграфе).

Пусть & — пространство непрерывных функций и : [—г, 0] —> Шп. Решению t x(t,to,u) задачи где и G поставим в соответствие функцию t —► xt{-,to,u) € 6, которую будем называть движением (в пространстве (5). Если £0 = 0, то будем писать xt(-,u) или xt(и). Для xt(u) определим Ьг-показатель Ляпунова щи) = lim —-— , щО) = —оо. t—>00 t

Здесь ||^(w)||2 = fj (^(5, u)\2ds. Тогда для каждого x£R множество н = {и е& : я(и) < х} образует линейное подпространство в в и если щ < то С вХ2. В частности, множество {и G 6 : н(и) = —оо} также является линейным подпространством в (5. Пусть (5+ — линейное подпространство в 6, являющееся прямым дополнением подпространства 6~ до пространства в, то есть 6 = в+ ф в-. Тогда для всех ненулевых функций и (Е <5+ выполнено неравенство к{и) > —оо.

Пусть и1 (•),.,ир(') — фиксированный набор р линейно независимых функций из б+. Линейное подпространство в (5+, порожденное этим набором, обозначим sq и всякой начальной функции и g Sq поставим в соответствие движение t —» xt(u), отвечающее решению задачи (0.2) при to = 0. Таким образом, построено движение t —> = пространства

Sq. Мы будем говорить, что это движение порождено сужением системы А £ 21 на подпространство §q. Такое сужение обозначим (A, Sq)

Наряду с системой (A, §q) рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений y = B(t)y, 0, увЕр (0.3) с непрерывной на полуоси R+ матричной функцией t —► B(t). Будем далее отождествлять систему (0.3) с задающей ее матрицей В и называть системой В. По аналогии с подпространством введем в рассмотрение линейное пространство Щ размерности р с базисом ., yp(t), образующем столбцы матрицы Коши Y(t,r) системы В при т — 0.

Пусть £(§£, Mf) — пространство линейных операторов, действующих из в Щ с нормой || • ||l2-»mp

Определение. Функцию t L(t) £ £(§?, Щ) будем называть обобщенным ляпуновским преобразованием систем (A, §д) и В, если: 1) функция t —► L(t) непрерывна на R+ = [0, оо); 2) при t ^ 0 оператор L(t) является гомеоморфизмом пространств и R^ и 3) выполнено неравенство sup(||L(£)||l2->rp + ||L-1(t)||RP»L2) < оо. Будем говорить также, что о система (A, §д) приводима обобщенным ляпуновским преобразованием L к системе В, или что системы (A, §д) и В асимптотически подобны.

В диссертации показано, что система (А, Sg) имеет не более р различных 1Ь2-показателей Ляпунова Ai(A),., Ар(А) и что асимптотически подобные системы (A, §д) и В сохраняют показатели Ляпунова: для всякого показателя A*(А) системы (А, §д) найдется такое решение yz(t) системы что Ai(A) = Нт^П , где | • | — евклидова норма в Мр. Верно и t—>00 t обратное утверждение.

В работах Е. К. Макарова [19, 20] введено понятие абстрактной линейной системы и построена теория приводимости для абстрактных линейных систем. Абстрактная линейная система определяется функцией двух переменных X(t, £g), которая совпадает с матрицей Коши в случае классических систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Система (Д§о), изучаемая в диссертации, может рассматриваться как некоторая обобщенная (по отношению к абстрактной линейной системе в смысле Макарова) абстрактная линейная система. Такое обобщение вызвано тем, что сужение оператора Коши на пространство начальных условий §д не обладает свойством группы, как это требуется в аксиоматике Макарова, но обладает свойством полугруппы. Поэтому теорией Е. К. Макарова в случае систем с последействием не удалось воспользоваться.

Основным утверждением диссертации является следующая теорема.

Теорема 1 (теорема 4.4 на стр. 51). Пусть (A, §q) сужение системы А на подпространство Sq и §q С б+. Тогда: а) найдутся система В с непрерывной (рхр)-матрицей B(t) и обобщенное ляпуновское преобразование L, приводящее систему (А, §g) к системе В; б) в множестве {В} всех систем, асимптотически подобных системе (А, §о), найдется система с непрерывной на М+, верхней треугольной матрицей B(t); в) если, в дополнение к сказанному, всякое решение системы (А, §q) «продолжаемо влево», то есть найдется константа а > 0 такая, что для каждого и G §д, любого г € [—г, 0] и всех t €Е выполнено неравенство \\xt+T(-, и) ||2 ^ a||a:t(-,w)||2, то в множестве {£?} всех систем, асимптотически подобных системе (A, §q), найдется система В с ограниченной на полуоси М+ матрицей B(t) (и следовательно, с огрниченной на М+ верхней треугольной матрицей B(t)); г) если A(t + Т, s) = A(t, s) для всех (t, s) € Rx [—г, 0], то найдутся система В с вещественнозначной непрерывной Т-периодической матрицей B(t) и Т-периодическое по t обобщенное ляпуновское преобразование L, приводящее систему (A, Sg) к системе В. д) в множестве обобщенных ляпуновских преобразований, приводящих систему (А, §q) к системе В с непрерывной на верхней треугольной матрицей B(t), найдется ортогональное (L*(t)L(t) = Ip) обобщенное ляпуновское преобразование.

Перед доказательством этой теоремы описан алгоритм построения соответствующего обобщенного ляпуновского преобразования (см. стр. 52), приводящего сужение (A, §q) системы А е 21 к системе В с треугольной матрицей В. Из этого алгоритма следует, что увеличение размерности системы обыкновенных дифференциальных уравнений на единицу за-счет пополнения пространства началных условий не влечет за собой больших вычислительных затрат, так как при этом «новая» система содержит «старую» в качестве подсистемы. Поясним это более подробно. Зафиксируем в пространстве 6+ совокупность р + 1 линейно независимых функций и1,., up, up+1 и рассмотрим сужения системы А на подпространства Sj = lin('U1,., up) и §q+1 = lin(w1,., up, up+1). Оказывается тогда (см. стр. 61), что если система обыкновенных дифференциальных уравнений у — Bp(t)y асимптотически подобна сужению (A, §q), то найдутся такие вектор-функция t —> b(t) G Rp и скалярная функция t —► bp+i(t), что система

У = Bp(t)y 4- b(t)yp+1, Ур+i = bp+i(t)yp+1, асимптотически подобна сужению (A, §q+1).

Отметим теперь одно важное обстоятельство, связанное с теоремой 1. Теорема 1 утверждает, что сужения системы А на конечномерные подпространства начальных функций ведут себя подобно системам обыкновенных дифференциальных уравнений, если только такие сужения не содержат решений, L2-показатели Ляпунова которых равны —оо (тривиальное решение, которое всегда присутствует и И^-показатель которого равен —оо, мы игнорируем). Правда, при этом не удается доказать (без дополнительных условий) ограниченность матрицы B(t) системы В, асимптотически подобной системе (А, §q) (весьма важное условие при исследовании асимптотического поведения решений системы В). Однако, матрица B(t) будет ограниченной, если выполнено, так называемое, условие продолжаемости влево (см. утверждение в) теоремы 1). Условие продолжаемости влево трудно проверяемо, но например, для периодических систем это условие и не требуется (см. утверждение г)). Вероятно, этот факт имеет место и для более широкого класса систем, а именно для рекуррентных систем. В диссертации не доказан факт продолжаемости влево решений рекуррентных систем, но показано, что при некотором дополнительном условии, более слабом, чем условие продолжаемости влево, утверждение об ограниченности матрицы B(t) остается верным и для случая рекуррентных систем.

Определение. Функцию (t, s) —► A(t, s) (или, что эквивалентно, систему А), удовлетворяющую естественным условиям, будем называть рекуррентной (по переменной t), если для любых е > 0 и Т > 0 множество относительно плотно на Ш. (то есть найдется такая константа / > 0, что [t, t + l] П 0А(е, для всех t G К).

При каждом фиксированном s G [—г, 0] сдвиг функции t A(t, s) на константу т обозначим AT(t, 5) == A{t + r, s). Пусть далее, *R-(A) — замыкание множества {AT(t, s) : т G 1} сдвигов функции А в локально открытой топологии. Это означает, что А €Е в том и только в том случае, если для некоторой последовательности {ъ}^ и любых е > 0 и Т > 0 найдется такой номер io, что для всех г ^ го выполнено неравенство

ATi(t, 0) - A(t, 0)| + f IAn(t, s) - A(t, e)| <&) < г. о max

I Ц<т

J —r

Зафиксируем подпространство Sg С в+ и для каждой системы А из И(А) полный набор Ьг-показатель Ляпунова системы (А, Sg) обозначим Ai(А),., Ар(А). Будем считать, что Ai(A) < . < АР(А).

Формулируемую ниже теорему можно рассматривать, как частичное распространение теоремы В. М. Миллионщикова [21] на системы уравнений с последействием.

Теорема 2 (теорема 8.6 на стр. 92). Пусть §д С ©+, система А € 21 рекуррентна и для всех А € 7Z(A) и некоторой константы к > — со выполнено неравенство Ai(A) ^ я. Тогда найдутся система В с непрерывной и ограниченной на R верхней треугольной матрицей B(t) и обобщенное ляпуновское преобразование L, приводящее сужение (A, §д) системы А на подпространство §g к системе В.

Доказательство теоремы 2 опирается на формулируемые ниже леммы, представляющие самостоятельный интерес.

Лемма 1 (лемма 8.9 на стр. 92). Если функция t —» A(t,s) рекуррентна, то для любых е > О, Т > г, То > 0 и всякой непрерывно дифференцируемой на [—г, 0] начальной функции и € 6, множество

Еи(е,Т,Т0) = max + < e}, o)€Ai(T,2o) где

Ai(T, T0) = {(*, t0) €R2 : to + r ^ t < + T, |*0| ^ T0}, ||u||i = max{||i/||o, ||n||0}, относительно плотно на прямой R.

Зафиксируем в пространстве §д ортонормированный базис и1,., ир, то есть, если U(s) = (u1(s),., up(s))— функциональная матрица, столбцами которой являются функции и1 : [—г, 0] Rn, то постоянная квадратная f° матрица / U*(s)U(s) ds порядка р совпадает с единичной матрицей.

Далее, для каждого to € R, любого t ^ to и всех s € [—г, 0] построим (пхр)-матрицу

Vt(s,tQ) = (xl(s,t 0),.,xpt(s,t0)), (0.4) где rr^(s, ^о) = xt{s, to,ul), и постоянную (рхр)-матрицу r(t, t0) = J V7(s, t0)Vt(s, t0) ds, t > to.

В силу линейной независимости столбцов матрицы (0.4) для всех t^ to (см. лемму 4.5), при каждом фиксированном t ^ to матрица r(t,to) положительно определена. Кроме того, Г (to, to) = Ip, где Ip— единичная матрица порядка р.

Лемма 2 (лемма 8.10 на стр. 96). Для любых £>0, Т > г иТо > 0 множество

Ег(е, Т, Т0) = € R : шах (|Г(* + tf, t0 + tf) - r(t, *0)|+ \f(t + #,to + #)-f{t,to)\) где Ai(T, To) == {(i,£o) : to + r ^ t ^ to + T, |£o| ^ 7o}; относительно плотно на прямой R.

Лемма 3 (лемма 8.11 на стр. 97). Если функция t —> A(t,s) рекур-рентна, то для каждого Т > г найдется такая константа Го, что при всех (t,t0) е Аг(Т) = {(t, t0) G R2 : to + r ^ t < t0 + T} имеет место неравенство

Г(*,«о)|<Л>. (0-5)

Если, в дополнение к сказанному, для каждой системы A £ 7£(А) и некоторой константы н > —оо выполнено неравенство Ai (А) ^ х, где Ai(A) — наименьший L2-показатель Ляпунова системы (A, Sg); то для каждого Т > г найдется такая константа 70 > 0, что при всех (t,to) € Д2(Т) == {{t,to) ЕМ.2 : to + г ^ t ^ to + Т} имеет место неравенство r(t,to)\>Tb- (0-6)

Лемма 4 (лемма 8.12 на стр. 100). Для всех t^ to существует единственная верхняя треугольная (рхр) - матрица Z(t, to) с положительными диагональными элементами za(t,to), являющаяся решением матричного уравнения

Z*Z = r(t,to) (0.7) и удовлетворяющая условию Z(to, to) — Ip. Это решение непрерывно дифференцируемо по t при всех t ^ to + г.

Лемма 5 (лемма 8.13 на стр. 100). Пусть Z(t, to) — решение уравнения (0.7), существование которого утверждается в лемме 4. Тогда для любых е> О, Т > г иТо > 0 множества z{e, Т, Т0) = {д € R : max (|Z{t + to + tf) - Z(t, t0) |+ lZ(t + i9,t0 + i9)~Z(t,t0)l) z-i(e,T,T0) = max (\Z~\t + +0) - Z~%to)\+ t,t0)eAi(T,T0) \ IZ~\t + 0,to + 0) - Z"1^,*o)|) < e}, где Ai(T, To) = {(t, to) : ^o + г ^ t < + T, |£o| ^ To}, относительно плотны на прямой R.

При фиксированном to построим матрицу B(t) = Z(t, to)Z~l(t, to), t ^ tо. Тогда B(t) — верхняя треугольная матрица, непрерывная и, в силу леммы 5, ограниченная при t ^ to + г, а, система у = B(t)y: у € Rp асимптотически подобна сужению {A, §q) системы А.

Для систем обыкновенных дифференциальных уравнений в теореме Миллионщикова утверждается, что и треугольная матрица B(t) и соответствующее ляпуновское преобразование L(t) тоже рекуррентны, но для систем с последействием это пока не удалось доказать.

В связи с теоремами 1 и 2, возникает естественный вопрос: существуют ли системы вида (0.1), для которых пространство 6+ конечномерно и какова в этом случае его размерность? В диссертации выделен некоторый простой класс систем вида (0.1), имеющих бесконечномерное пространство решений, но подпространство решений 6+ которых конечномерно и подсчитана размерность подпространства 6+.

Рассмотрим систему x(t) = A(t)x(t) + B(t)y(t) + [ dC{t, з)ф),

J-r (0.8) y(t) = D(t)y(t).

Здесь x(t) <E Rn, y(t) <E Rm, функции A: R M(n), В : R M(n,m), D : R —► M(m) непрерывны и ограничены на прямой R, а функция С : Rx [—г, 0] —> М(п, т) удовлетворяет естественным условиям.

Теорема 3 (теорема 6.5 на стр. 74). Для любой системы вида (0.8) размерность пространства б+ равна п + т.

Из этой теоремы следует, в частности, что система x{t) = a(t)x(t) + 7(t)y(t) + J yt(s)dg{t, s), y(t) = p(t)y(t). асимптотически подобна системе p = Mb + ^iiw ^w^UiWy 77 = где

1/2

0.9)

0.10) f°

Zn(t) = \\xl\\2, Z12(t) = IkJllay ajJW^tW^5» (||s?|g + \\y2t\\l ~ \\xl\\;\j\l(s)xKs)ds)^ x\t) = exp(jf a(r)dr), </2(t) = exp(jf /3(r)dr), x2(t) = J exp(^J a(r)drSjip(s)ds, ¥>(*) = 7(f)exp(jf /3(r)dr) + /xexp(^ /?(r)dr)dp(t,e).

Следствие 1 (следствие 6.1 на стр. 82). Пусть существуют пределы

Um bifSlW, ит t—>+оо f t--*+oo t тогда система (0.10) правильная и, следовательно, конечные L.2-показатели Ляпунова системы с последействием (0.9) исчерпываются значениями

Al = цт ЬзМ, Л2 = lim bfsW, t—> + 00 t t—>+oo t если при этом Х\ < О, Л2 < О, то нулевое решение системы (0.9) экспоненциально устойчиво.

Следствие 2 (следствие 6.2 на стр. 83). Если система (0.10) не предполагается правильной, то: а) нулевое решение системы с последействием (0.9) устойчиво тогда и только тогда, когда функции t zu(t) и t (4W + 4W) ограничены на полуоси К+; б) нулевое решение системы (0.9) асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда iim (4№ + 4№ + 4W) = o.

00 '

В диссертации исследуется также вопрос о равномерной экспоненциальной устойчивости системы (0.1). Этот вопрос для систем, не обладающих свойством периодичности, не исследован. Для периодических и стационарных систем свойство равномерной экспоненциальной устойчивости автоматически следует из экспоненциальной устойчивости, для произвольных систем это неверно.

Вопросам экспоненциальной (но не равномерной экспоненциальной устойчивости) систем с последействием, пространство начальных функций для которых совпадает с конечномерным пространством, посвящена монография Н.В.Азбелева и П.М.Симонова [3] (см. также [32]). В условиях этой монографии пространство решений изучаемой системы конечномерно и, следовательно, такая система всегда подобна системе обыкновенных дифференциальных уравнений.

Определение. Будем говорить, что система (0.1) удовлетворяющая естественным условиям, С-равномерно экспоненциально устойчива, если найдутся такие константы Л > 0 и М > 0, что для всякого движения t —> Xt(-), порожденного системой (0.1), для любого to ^ 0 и всех t ^ to выполнено неравенство

Аналогичным образом можно ввести понятие L/2-равномерной экспоненциальной устойчивости. В этом случае неравенство (0.11) заменяется неравенством

Теорема 4. (теорема 3.1 на стр. 37). Система (0.1), удовлетворяющая естественным условиям, С-равномерно экспоненциально устойчива в том и только в том случае, если показатель Боля системы (0.1) удовлетворяет неравенству %$о(А) < 0.

Аналогичным образом доказывается, что необходимым и достаточным условием 1,2-равномерной экспоненциальной устойчивости системы (0.1) является отрицательность показателя (А).

Далее, рассмотрим подпространство 2t0 всех систем из 21, удовлетворяющих естественным условиям и обладающих свойством «продолжаемости влево» каждого существенного решения (см. стр. 38).

Теорема 5 (теорема 3.2 на стр. 39). Свойство С-равномерной экспоненциальной устойчивости на пространстве 21о с метрикой

0.11)

К(.)||2<МК(-)||2ехр[-Л(^-^0)]. д(А, В) = sup , 0) - B(t, 0) I + IA(t, s) - B(t, s)| ds feR является грубым свойством.

Доказательство этой теоремы использует следующую лемму.

Лемма 6 (лемма 3.1 на стр. 39). Показатель Боля системы

A G 21о устойчив вверх, то есть каждому е > 0 отвечает такое 8 > О, что для любой системы А-\-В € 21о, где В удовлетворяет естественным условиям и неравенству

Если на пространстве 21 всех систем вида (0.1) определить метрику р равенством то утверждения аналогичные выше сформулированным, останутся справедливыми без условия «продолжаемости влево», то есть на всем пространстве 21. Приведем эти утверждения.

Лемма 7 (лемма 3.2 на стр. 42). Показатель Боля системы

А £ 21, удовлетворяющей естественным условиям, устойчив вверх, то есть каждому г > 0 отвечает такое 5 > 0, что для любого возмущения B(t,s), удовлетворяющего естественным условиям и неравенству имеет место неравенство (0.12).

Теорема 6 (теорема 3.3 на стр. 44). В пространстве 21 с метрикой р, определенной равенством (0.13) свойство С-равномерной экспоненциальной устойчивости, является грубым свойством. имеет место неравенство о{А + В)^ЪО{А)+£.

0.12) sup var \B(t, s)| ^ t^o яе[-г,о]

Вопросы приводимости играют существенную роль в задачах управления асимптотическими характеристиками линейных управляемых систем [24, 25]. Рассмотренные в диссертации задачи найдут свое применение при исследовании вопросов управления асимптотическими характеристиками систем с последействием.

Основные результаты диссертации опубликованы в [4-9].

1. Адрианова J1. Я. Введение в теорию линейных систем дифференциальных уравнений. — СПб.: Издательство С.-Петербургского университета. 1992. 240 с.

2. Азбелев Н.В., Максимов В. П., Рахматуллина JI. Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. — М.: Наука. 1991. 280 с.

3. Азбелев Н. В., Симонов П. М. Устойчивость решений уравнений с обыкновенными производными. Пермь. Изд. Пермского ун-та. 2001. 230 с.

4. Быкова Т. С., Тонков Е. J1. О ляпуновской приводимости системы с последействием // Известия ИМИ. № 2(25). 2002. Ижевск: Изд-во УдГУ. С. 27-30.

5. Быкова Т.С., Тонков Е. JI. Ляпуновская приводимость линейной системы с последействием // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39. № 6. С. 731-737.

6. Быкова Т. С. Ляпуновская приводимость системы с последействием // Вестник Тамбовского Университета. Тамбов. 2003. Том 8, вып. 3. С. 355356.

7. Быкова Т.С., Тонков Е. Л. Распространение теоремы Перрона-Миллионщикова о триангуляции на линейные системы с последействием // Вестник Удмуртского университета. Математика. Ижевск. 2004. № 1. С. 51-66.

8. Быкова Т. С. О ляпуновской приводимости систем с последействием // Современные методы теории краевых задач. Материалы ВВМШ «Понтрягинские чтения — XV». Воронеж. 2004. С. 41-42.

9. Быкова Т.С., Тонков Е. J1. Приводимость линейной системы с последействием // Труды Института математики и механики УрО РАН — 2005. Т. 11. № 1. С. 53-64.

10. Былов Б.Ю., Виноград Р. Э., Гробман Д. М., Немыцкий В. В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. — М.: Наука. 1966. 576 с.

11. Виноград Р. Э. Неустойчивость характеристических показателей правильных систем // ДАН СССР, 91, 1953, 999-1002.

12. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. — М.: Наука. 1967. 472 с.

13. Долгий Ю. Ф., Шиманов С. Н. Устойчивость периодической системы дифференциальных уравнений нейтрального типа // Устойчивость и нелинейные колебания. Свердловск. 1982. С.32-39.

14. Долгий Ю. Ф. Асимптотика собственных чисел оператора монодромии для периодических уравнений с запаздыванием // Изв. ВУЗ-ов. Математика. 1994. № 11. С.64-72.

15. Долгий Ю. Ф. Устойчивость периодических дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Дис. на соискание степени доктора физ.-мат. наук. Екатеринбург — 1994. 296 с.

16. Долгий Ю.Ф., Тарасян B.C. Конечномерные операторы монодромии для периодических систем дифференциальных уравнений с последействием // Изв. УрГУ. Математика. 2000. № 18. С. 18-27.

17. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука. 1981. 544 с.

18. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения (линейные системы). — М.: Гос. издат. физ.-матем. лит. 1959. 211 с.

19. Макаров Е. К. Об асимптотической классификации абстрактных линейных систем // Тр. Ин-та матем. НАН Беларуси. 1999. Т. 3, С. 79-88.

20. Макаров Е. К. Асимптотические инварианты линейных дифференциальных систем. Дисс. на соискание степени д. ф.-м. н. Минск. 2001.218 с.

21. Миллионщиков В. М. О связи между устойчивостью характеристических показателей и почти приводимостью систем спочти периодическими коэффициентами. // Дифференц. уравнения. 1967. Т. 3, № 12. С. 2127-2134.

22. Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. — М.: Наука. 1972. 352 с.

23. Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.: ГИТТЛ. 1949. 550 с.

24. Попова С. Н., Тонков Е. Л. Согласованные системы и управление показателями Ляпунова // Дифференц. уравнения. 1997, Т.ЗЗ, № 2, С.226 -235.

25. Попова С. Н. Управление асимптотическими инвариантами линейных систем. Дисс. на соискание степени доктора физ.-матем наук. Екатеринбург 2004, 264 с.

26. Тонков Е. Л. Динамические задачи выживания // Вестник Пермского гос. технич. ун-та. Функционално-дифференциальные уравнения (специальный выпуск). 1997. № 4. С. 138-148.

27. Тонков Е. J1. Канонический представитель линейной управляемой системы // Вестник Удмуртского университета. Математика. Ижевск. 2003. С. 113-128.

28. Тонков Е. JI. Показатели Ляпунова и ляпуновская приводимость линейной системы с последействием // Вестник Удмуртского университета. Математика. Ижевск. 2001. № 3. С. 13-30.

29. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. — М.: Мир. 1984. 421 с.

30. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. — М.: Мир, 1989. 655 с.

31. Шиманов С. Н. Некоторые вопросы теории колебаний систем с запаздыванием // В сб. «Пятая летняя матем. школа», Киев. 1968. С. 473-549.

32. Azbelev N.V., Simonov P.M. Stability of differential equations wihs aftereffect. London and Ney York, Taylor and Francis. 2002. 222 p.

33. Perron O. Uber lineare Differentialgleichunder, bei denen die unabhangige Variable reell ist //J. reine u. angel. Math., 142, 1913, p. 254-270.

34. Stokes A. Floquet theory for functional-differential equations // Proc. Nat. Ac. of Sci., 48:8, 1962, p. 1330-1334.