Согласованность, достижимость и управление показателями Ляпунова тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

УДМУРТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УДК 517.977 На правах рукописи

РГБ ОД 1 9 l^iH 71П1

Зайдев Василий Александрович niuil tüliy

СОГЛАСОВАННОСТЬ, ДОСТИЖИМОСТЬ И УПРАВЛЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЯМИ ЛЯПУНОВА

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Ижевск — 2000 г.

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений Удмуртского государственного университета.

Научный руководитель — доктор физико-математических наук, профессор Е. Л. Тонков

Официальные оппоненты — доктор физико-математических наук,

профессор Н. X. Розов кандидат физико-математич. наук, доцент П. М. Симонов

Ведущая организация — Институт математики НАН Беларуси

Зашита состоится « » 2000 года в часов на заседании

диссертационного совета К 064.47.01 при Удмуртском государственном университете по адресу: г. Ижевск, ул. Университетская, 1 (корп. 4), Математический факультет, ауд. 216.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Удмуртского государственного университета.

Автореферат разослан «......».............................. 2000 г.

Учёный секретарь диссертационного совет.

к.ф.-м.н., доцент Н. Н. Петров

Актуальность темы. Изучаемые в этой работе задачи можно рассматривать как естественное развитие основной тематики классической теории регулирования, состоящей в построении линейной обратной связи, стабилизирующей исходный объект. В классической постановке обычно изучаются стационарные объекты, поведение которых моделируется линейными дифференциальными уравнениями или системами линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и тем самым вопрос сводится к перемещению в заданное множество (например, в левую полуплоскость) корней характеристического многочлена матрицы системы.

В другой терминологии эти задачи можно интерпретировать как задачи управления показателями Ляпунова. Это позволяет расширить класс изучаемых объектов, включив в него нестационарные системы дифференциальных уравнений. Таким образом, появляется возможность привлечения активно развивающейся теории показателей Ляпунова (существенный вклад в развитие которой в последние годы внесли Б.Ф. Былов, Р. Э. Виноград, Д. М. Гробман, В. М. Миллионщиков, Н.А. Изобов, М.И. Рахимбердиев, И.Н. Сергеев и др.) и абстрактной теории динамических систем к изучению чисто управленческих задач.

В более общей постановке задачи управления показателями можно изучать как задачи ляпуновской приводимости управляемых систем. Задачам управления показателями Ляпунова и вопросам ляпуновской приводимости управляемых систем посвящены работы П. Бруновско-го, Е.Л. Тонкова, Н.Х. Розова и М.И. Рахимбердиева, С.Н. Поповой, Е.К. Макарова, Д. М. Оленчикова, И. В. Гайшуна и др.

Рассмотрим систему

х = АУ)х + В(г)и, ((,г,и)£1хГхГ (1)

с ограниченными и кусочно непрерывными на Ж матрицами Л (■) и В(-). Управление в системе (1) строится по принципу линейной обратной связи и = 11 (2)ж. Это приводит к изучению замкнутой системы

х= (л(/) +В(г)и{1))х. (2)

Система (2) глобально приводима по Ляпунову, если для любой системы

У = 0{1)у (3)

с ограниченной и кусочно непрерывной на Ж матрицей £)(•) существует кусочно непрерывное и ограниченное управление 17 = £/(•), при котором система (2) асимптотически эквивалентна системе (3), т. е. существует преобразование Ляпунова х = Ь{1)у, связывающее эти системы.

В работе Е.К. Макарова и С. Н. Поповой1 доказано, что если п = 2, система (1) равномерно вполне управляема и матрица В{-) равномерно непрерывна, то система (2) глобально приводима по Ляпунову. Для произвольного п этот вопрос пока остается открытым.

Цель работы — изучение задач управления (в локальной и глобальной постановке) показателями Ляпунова и вопросов ляпуновской приводимости билинейных управляемых систем и, в частности, линейных управляемых систем с наблюдателем.

Научная новизна. В работе введено понятие локальной достижимости билинейной управляемой системы, тесно связанное с методом поворотов В. М. Миллионщикова. Доказана теорема о локальной ляпуновской приводимости равномерно локально достижимой системы. Показано, что для рекуррентных систем свойства локальной достижимости и равномерной локальной достижимости эквивалентны. Для динамической системы сдвигов получен ряд утверждений о локальной управляемости показателей Ляпунова. Изучено свойство согласованности, введенное в работе С.Н. Поповой и Е. Л. Тонкова2. Доказано, что в некритическом случае (нуль находится внутри множества значений допустимых управлений) из согласованности следует локальная достижимость. Получены различные критерии согласованности. Подробно исследованы стационарные согласованные системы. Получены необходимые и достаточные условия глобальной управляемости показателей Ляпунова для стационарной системы с неполной обратной связью. Доказана теорема о А-приводимости нестационарной равномерно вполне управляемой системы. Сформулированы следствия о глобальной управляемости центральных и особых показателей. Доказана теорема о глобальной управляемости показателей Ляпунова систем с кусочно постоянными матрицами в случае п = 2 и описана идея доказательства этой теоремы для произвольного п.

Теоретическая и практическая ценность. Доказанная в работе теорема об управлении показателями Ляпунова стационарной системы с наблюдателем является обобщением классического результата теории регулирования о существовании линейной обратной связи, стабилизирующей систему. Подробно исследовано свойство согласованности. Решен вопрос о глобальной управляемости центральных и особых пока-

1 Макаров Е. К., Попова С. Н. О глобальной управляемости полной совокупности ляпуновских инвариантов двумерных линейных систем / / Дифференц. уравнения. -1999. - Т. 35. - № 1. - С. 97-106.

2 Попова С. Н., Тонкое Е. Л. Управление показателями Ляпунова согласованных систем. I // Дифференц. уравнения. - 1994. - Т. 30. - № 10. - С. 1687-1696.

зателей системы (2) с ограниченными кусочно непрерывными матрицами. Некоторые идеи и методы, предложенные в работе (например, идеи, применяемые при доказательстве теоремы о глобальной управляемости показателей кусочно постоянных систем и др.) могут быть использованы при решении других задач, связанных с управленческой тематикой.

Апробация работы. Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (гранты 97-01-00413, 99-01-00454) и конкурсным центром фундаментального естествознания (грант 97-0-1.9).

Результаты диссертации докладывались на заседаниях Ижевского городского семинара по дифференциальным уравнениям и теории управления в 1997-2000 годах, на международной конференции 1РАС «Негладкие и разрывные задачи управления и оптимизации» ^БРСО-98, Челябинск, 1998 г.), на четвертой Российской университетско-акаде-мической научно-практической конференции (Ижевск, 1999 г.), на семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений (кафедра дифференциальных уравнений механико-математического ф-та МГУ, Москва, 2000 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в шести работах.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, одиннадцати параграфов (нумерация параграфов сквозная) и списка литературы. Объём диссертации 102 страницы. Библиографический список содержит 64 наименования.

Краткое содержание работы

Во введении приводится обзор основных работ на эту тему, описывается общая постановка задачи и излагается краткое содержание работы по параграфам.

В первом параграфе диссертации введены основные определения и понятия, используемые в работе. В диссертации изучаются билинейная управляемая система

х- А0а*ш)х + и1А1{?ы)х + --- + игАг(/*ш)х> (ж, и) <Е М" х Жг (4) и линейная управляемая система с наблюдателем

х = А{?ы)х + В{?и)и, у = С*{?и)х, (1,«,у)еГ+т+1, (5)

параметризованные при помощи топологической динамической системы (0,/е). В системе (5) управление формируется в виде и = Vу, где

матрица V = Vи) управляющих параметров выбирается из некоторого фиксированного множества. Полученную в результате замкнутую систему

х = (А(/< ы)х + В(?ы)УС* (/Ч) х (6)

будем отождествлять с парой (А, «), где А = (А, В, С) : Г2 —> Мп,п+т+к (Мп1т — пространство матриц размерности п х т, если т = п, то пишем Мп), а билинейную систему (4) отождествим с парой (18,0)), где ® = (Аь Ах,.. .,Аг) :П-+МпМг+1).

Всякую систему (6) можно записать в виде (4). Действительно, если В{ы) = Ът(ы)), С(и) = (сгИ,...,<*(«)), € К",

V = (г = 1,...,т]] = 1,...,к),то

В(и)УС*(и) = у11Ь1{и)с1{и) + ь12Ь1(ш)с1(и) + --- + у1кЬ1{ш)с*к{и;) + -- ■

+ ут1Ьт(и)с1(ш) +----уткЪт(ы)с*к(и>).

Поэтому, если положить г = тк,

А0(ы) = А(и), ^(ш) = б1(ш)с1(ш),...,Лк(ш) = Ь1(о;)4(ы),...,

Аг_к+1{и) = Ьт{и)с1(ш),...,Аг(ш) =Ьт(ы)с*к{и>),

то тем самым каждой системе (А, и) можно поставить в соответствие систему (В, ш). Здесь матричному управлению V = отвечает векторное управление и = («х,...,иг) = уесV, где уес — операция, разворачивающая матрицу по строкам в вектор-столбец. Таким образом, система (4) имеет более общий вид по сравнению с системой (6), поэтому все утверждения первой главы (справедливые как для системы (А,и), так и для системы (В,ш)) сформулированы и доказаны только для системы (В,и).

Пусть фиксированы произвольное множество II С Жг (0 € и) и инвариантное относительно потока /г множество Е С О. Совокупность Ы ограниченных па. Ш х Е функций —» и((,ш) со значениями в

и называется множеством допустимых управлений, если функция < —> и) измерима на М при каждом ш 6 Е. Через Хи (¿, б, ш) обозначается матрица Коши системы (4) при и = и(1,ш), соответственно —

матрица Коши системы х = А0(/1ш)х. Пусть Т>о(и>) С М„ — множество достижимости матричного уравнения, отвечающего уравнению (4), из точки Х(0) = 7 за время д, когда и(-) пробегает множество Ц.

Определение 1. Система (В, Wo) называется локально достижимой, если найдутся д > 0 и е > 0 такие, что выполнено включение Be(I)Xo(i3,0,u)o) С где Вс(1) С Мп — е-окрестность единичной матрицы. Система (В, о>о) называется равномерно локально достижимой, если найдутся д > 0 и е > 0 такие, что включение B£(I)Xo(i?,0,w) С выполнено для всех и G 7(wo), где 7(0^0) — замыкание траектории точки wq £ fi.

Непосредственно из определения 1 следует, что система (В, wo) локально достижима тогда и только тогда, когда существуют д > 0, £ > О такие, что для любой матрицы Я 6 В£ (I) найдется допустимое управление u(t,w0), t € М такое, что

Хи{й,0,ь>о) = НХо{й,0,ыо), (7)

и система (В,о>о) равномерно локально достижима в том и только том случае, если существуют т) > 0 и е > 0 такие, что для любой функции Я : 7 (w0) Ве(1) найдется допустимое управление и : Ж х 7(wo) —> U, обеспечивающее для всех w G 7(wo) равенства

Свойство локальной достижимости тесно связано с методом поворотов В. М. Миллионщикова. Наличие свойства'локальной достижимости предоставляет возможность (в силу (7)) «немного поворачивать» матрицу Коши системы (4) с помощью подходящего управления и тем самым локально влиять на поведение решений (если бы мы могли обеспечить равенство (7) для любой матрицы Я с det Я > 0, то мы могли бы глобально влиять на поведение решений). Не всякая система обладает этим свойством, но очевидно, что система х = A(t)x + V{t)x, где матрица A(t) ограничена, а элементы матрицы V(t) интерпретируются как управляющие функции (|V(i)| ^ е), равномерно локально достижима. Таким образом, выполнено (7), и это обстоятельство позволило В. М. Миллионщикову3, а вслед за ним и другим исследователям4 построить современную теорию показателей Ляпунова.

3 Миллионщиков В. М. Критерий малого изменения направлений решений линейной системы дифференциальных уравнений при малых возмущениях коэффициентов системы // Матем. заметки. - 1968. - Т. 4. - № 2. - С. 173-180.

Миллионщиков В. М. Грубые свойства линейных систем дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. - 1969. - Т. 5. - № 10. - С. 1775-1784.

Миллионщиков В. М. Доказательство достижимости центральных показателей линейных систем // Сиб. матем. журнал. - 1969. - Т. 10. - № 1. - С. 99-104.

4 Изобов Н. А. Линейные системы дифференциальных уравнений // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Матем. анализ. - 1974. - Т. 12. - С. 71-146.

Определение 2. Система (В, (¿о) обладает свойством локальной управляемости показателей Ляпунова, если существует 8 > 0 такое, что для любого вектора /х = ,..., |/л| ^ 6 найдется допустимое управление определенное на М, которое обеспечивает равен-

ства А,-(®,ыо,Ир) = А,-(1В,шо,0) + я»! г = 1,где А,(В, и>о, — показатели Ляпунова системы (В,с^о) при управлении и =

Во втором параграфе изучаются свойства достижимых систем. Предполагается, что II — выпуклый компакт. Доказано, что в случае, когда П — минимальное множество, свойства локальной достижимости и равномерной локальной достижимости эквивалентны.

В третьем параграфе доказано одно из основных утверждений работы — теорема о локальной ляпуновской приводимости, т. е. о приводимости к системе близкой к невозмущенной.

Теорема 1. Пусть система (В,а>о) равномерно локально достижима. Тогда существует 8 > 0 такое, что для любой матрицы Р : 7(и>о) -> Д*(0) С Мп найдется допустимое управление и : Ж х у(и>о) —> и, при котором система

х = (Л0(А>) + ы) + • • •+ иг{г,ы)Аг(/*и}))х

приводима ляпуновским преобразованием х = Ь{1,ш)у к системе У=(А0{?и)+Р(?Ы))у.

В четвертом параграфе получены следствия из теоремы 1 о локальной управляемости показателей Ляпунова. Для системы

¿= (Л0(<) + 1^1 (*) + ■■■+игАг(1))х, (1,г,11)е1хК"хГ, (8)

заданной функцией А — (у!о,>Ц, .. .,АГ) : Ж -» М„1П(г+1), построим динамическую систему сдвигов (£Н(.4), /'). Доказаны следующие утверждения.

Теорема 2. Пусть система (8) равномерно локально достижима. Если система

¿ = А0Ц)х (9)

правильная или диагонализируемая (т. е. приводится ляпуновским преобразованием к диагональной системе), то система (8) обладает свойством локальной управляемости показателей Ляпунова.

Теорема 3. Пусть система (8) равномерно локально дости-има. Если показатели системы (9) устойчивы, то система (8) обла-гт свойством локальной управляемости попарно различных показа-•лей Ляпунова.

Теорема 4. Пусть функция t —> A(t) рекуррентна и система

локально достижима. Тогда существует такое S > 0, что для лю-го вектора ц = (ц\,.. ,,цп) е 0) найдется допустимое управле-е uß при котором для почти всех А £ 9t(-4) (относительно

>бой инвариантной вероятностной меры р на iH(.4)) система

x=(Ä0{t) + uZ(t)Ä1{t) + --- + ui!(t)Är(t))x (10)

гяется правильной и ее показатели Ляпунова А,- (^4, гх^1) удовлетво-ют равенствам А,- (Л, иf) = А,- + //j, г = 1,... ,п, где А,- — показатели тунова системы х = Ao(t)x.

Теорема 5. Пусть функция t —> A(t) почти периодическая по ру, система (8) локально достижима и система х = Ao(t)x имеет, юкупность из п отделенных решений. Тогда система (8) обладает )йством локальной управляемости показателей Ляпунова для всех £ %K(A) и всякая система (10) является правильной.

В пятом параграфе изучается свойство согласованности для си-;м (А,ш) и (ЕВ, w). Доказано, что в случае, когда 0 € int U, из согласо-шости (равномерной согласованности) следует локальная (соответ-зенно равномерная локальная) достижимость. Показано, что обрат-з утверждение неверно.

В шестом параграфе получены различные критерии согласовании систем А и В для динамической системы сдвигов. Доказана те-эма, которая иллюстрирует связь между свойством согласованности зтемы А и свойствами управляемости и наблюдаемости5. Показано, э свойство согласованности эквивалентно свойству полной управля-ости «большой системы»6. Получены необходимые и достаточные товия согласованности, выраженные в терминах невырожденности гричной краевой задачи и в терминах существования матрицы V(t), эвлетворяющей некоторому дифференциальному неравенству7.

5 Попова С. П., Тонкое Е. Л. Управление показателями Ляпунова согласованных тем. I // Дифференц. уравнения. - 1994. - Т. 30. - № 10. - С. 1687-1696.

3 Попова С. Н., Тонкое Е. Л. Согласованные системы и управление показателями пунова // Дифференц. уравнения. - 1997. - Т. 33. - № 2. - С. 226-235.

7 Култышев С. Ю., Тонкое Е. Л. Управляемость линейной нестационарной симы // Дифференц. уравнения. - 1975. - Т. 11. - № 11. - С. 1206-1216.

В седьмом параграфе подробно исследовано свойство согласован ности для стационарных систем. Показано, что для систем с наблю дателем нельзя обобщить результат работы В. М. Попова8 об эквива лентности свойств глобальной управляемости показателей Ляпунов; стационарной системы (2) и вполне управляемости системы (1).

Восьмой параграф посвящен исследованию свойства глобально] управляемости показателей Ляпунова стационарных систем А и 1 Пусть А — сопровождающая матрица для многочлена <г(А) = А" Ч 01 Ап-1 +----Ь ап, т. е.

А =

ООО

—Ctn ——flfi-2

О

0

1

-ai

(И

Построим по матрице А матрицу G = J2 a;-i Jî-i £ M„, ao = 1, гд

JP = {a»j}"j=i, a,(1+p = l,i'=l.....п-риау=0 при j - i ф j

p € {0,..., n — 1},

G =

1 0 ... 0 аг 1 ... 0

(i:

a„_i ... ax 1

Рассмотрим произвольную матрицу D G M„, имеющую блочный вид

(i:

0 0

F 0

где F еМп+1-к,к, к e{l,...,n}.

Теорема 6. Пусть А имеет вид (11), D имеет вид (13) х{А + D, А) = An + 7iА"-1 + • • • + 7п — характеристический мног член матрицы А + D. Тогда 7,• = ai — Sp DJi~\G для всех г = 1,...,» Отсюда вытекает теорема о глобальной управляемости показателе Ляпунова системы А.

sPopov V.M. Hyperstabilitatea sistemelor automate. Editura Academiei Republi Socialiste Romania. 1966. (Перевод с румынского: Попов В. M. Гиперустойчивос автоматических систем. — М.: Наука, 1970. — 456 с.)

Теорема 7. Пусть А имеет вид (11) и C*e¿ey5 = 0 для всех ^ j < i ^ п. Тогда система А = (А, В, С) обладает свойством гло-альной управляемости показателей Ляпунова в том и только том луиае, если матрицы С* Ji-iGB, i — 1,.. ,,п линейно независимы.

Для системы В = (/lo, Ai,..., Аг) теорема о глобальной управля-мости показателей Ляпунова формулируется следующим образом. 1усть А0 имеет вид (11). Построим по матрице Aq матрицу G. Далее остроим матрицы

Q = [vec Jq , vec J*,. ,.,vec J*_x] € М„з)П, P = G ® Г G Mni, R = [vec Ai,..., vec AT] G Mn2¡r, S - Q'PR € Mn¡r.

Теорема 8. Пусть Ao имеет вид (11) и для некоторого к £ 1,..., п} все матрицы Ai, I = 1,..., г имеют вид (13). Тогда система ! обладает свойством глобальной управляемости показателей Ляпу-ова в том и только том случае, если rank S = п.

В девятом параграфе рассматривается линейное управляемое тационарное уравнение п-то порядка с наблюдателем

2(») + ai^"-1) + a2¿("-2) + ... + anz =

= f3plv?-p) + + --- + f3„iv1 + ...

+ + l^P^n, (14)

У1 = cnz + ■ ■ ■ + CpiZ^-1),

......................................................(15)

yk=clkz-]-----i-cpkZ(p

= (vi,..., vm) g Mm — вектор управления, у = {ух, -. - ,Ук) 6 — ектор наблюдения. Управление строится в виде v = Vy. По системе 14), (15) построим матрицы А £ Мп вида (11), G € Мп вида (12) и: гатрицы К € Mn¡m, С £ Мпу.

... Схк ... Срк

... О ' ... О

К =

о

/Зр1

о

Ррт

Рп\ ■•■ Рпт

С ■

сп

Ср 1

О

Показано, что уравнение с наблюдателем (14), (15) эквивалентно ст ционарной управляемой матричной системе с наблюдателем

i = Ax + Bu, у = С*х, (х,у,и)е Жп+к+т, (1

где В = G~lK. Для системы (16) выполнены условия теоремы 7 о гл бальной управляемости показателей. Отсюда получены условия пр водимости уравнения с наблюдателем (14), (15) к наперед заданно! линейному стационарному уравнению.

Теорема 9. Линейная независимость матриц С*Ji-\K, г 1,...,п является необходимым и достаточным условием того, 41 для любого 7 = (71 > • • • > 7n) £ найдется матрица V 6 Мт>к такс что замкнутая управлением v = Vy система (14), (15) имеет вид

z(n) + 7l^(«-i) + ... + 7nZ = 0.

Искомое управление выражается формулой

F=[vec -\Р{Р*Р)-\а-1))}\

где Р = [vecC*JqK, ..., vecC* Jn-iK] € Mmk,n, a = (ab ..., a„) 6 ®n.

В десятом параграфе изучается линейная система (1).

Определение 3. Система (1) называется А-приводимой, ее для любого A G M существует ограниченное кусочно непрерыв! управление U\ = U\(t), при котором замкнутая система х = (Ait) B(t)U\(t))x асимптотически эквивалентна системе х = (A(t) + XI)х

Т е о,р е м а 10. Если система (1) равномерно вполне ynpaвляeJ то она Х-приводима.

Эта теорема была сформулирована и доказана в работе Е. К. Mai рова и С.Н. Поповой9 в предположении, что функция Л(-) непрерыв а В(-) равномерно непрерывна на Ж. Здесь приведено более простое, казательство этой теоремы для произвольных ограниченных кусо^ непрерывных матриц -А(-), В(-).

Следствие 1. Если система (1) равномерно вполне управл ма, то для любого А 6 M найдется такое управление U = U(t), что казатели Ляпунова замкнутой системы удовлетворяют равенств Xj(A + BU) = \j(A) + А при всех j £{!,..., п}.

9Макаров Е.К., Попова С.Н. О глобальной управляемости центральных пс зателей линейных систем // Изв. ВУЗов. Матем. - 1999. 2 (441).- С. 60-67.

Следствие 2. Если система (1) равномерно вполне управля-ма, то она обладает свойством глобальной управляемости верхнего ентрального показателя10, т. е. для любого ц £ Ж найдется такое правление и = что верхний центральный показатель £1(А+В11)

амкнутой системы удовлетворяет равенству + ВЦ) = ц.

В случае равномерной полной управляемости системы (1) свойством побальной управляемости обладают нижний центральный о>, а также ерхний и нижний и!о особые показатели Результаты этого парагра->а уточняют соответствующие результаты работы Е. Л. Тонкова11, в оторой показано, что для любого а > 0 найдется управление 17 = и(1), акое что верхний особый показатель замкнутой системы удовлетворя-г неравенству + ВТ/) < —а (в действительности этот показатель ожно точно переместить в заданную точку).

В одиннадцатом параграфе доказана теорема о глобальной упра-ляемости показателей Ляпунова системы (1) с кусочно постоянными атрицами для п = 2, и описана идея доказательства этой теоремы ля произвольного п.

Пусть фиксировано разбиение Т = множества М+ = [0,оо),

акое что = 0, 0 < 6 ^ — ^ Ь для некоторых 5,Ь и всех € N. Обозначим Д,- — [¿¿-1, £,•). Пусть задан конечный набор сим-элов (или букв) сгр ] — I,N, где символ — это пара матриц з = (Aj,Bj) £ Мп х Мп<т. Множество Е = {<71,..., ст^г} назовем ал->авитом. Рассмотрим бесконечную последовательность букв — слово = (у>1,1р2,...), п е Е, т. е. <р{ = X е {1, • • Конечный набор

р{а+1,... ,(рг0+к) из к последовательно расположенных букв слова <р азовем слогом длины к. Будем предполагать, что существуют буква ]0 и число г € Н, такие что в каждом слоге длины г встречается бу-ва сг^0. Слово (р и разбиение Т задают функцию < —> = (А(1)В(Ь)), е М+, где = < € Аь г £ N. Таким образом, функция £ —> <р(1) пределяет систему

х = А(г)х + в(г)и, гег, «ег (17)

матрицами коэффициентов, которые принимают постоянные значе-ия (Aji,Bji) на промежутках [£,■_!,<,). Систему (17) с кусочно посто-нными матрицами коэффициентов будем отождествлять со словом <р

10 Былое Б. Ф., Виноград Р. Э., Гробман Д. М., Немыцкий В. В. Теория показате-ей Ляпунова. - М.: Наука, 1966. - 576 с.

11 Тонкое Е. Л. Критерий равномерной управляемости и стабилизация линейной екуррентной системы // Дифференц. уравнения. — 1979. — Т. 15. — № 10. — С. 1804313.

(зависимость от разбиения Т подчеркивать не будем, поскольку Т фик сировано). Будем предполагать, что каждая пара (AjíBj) £ Е вполн управляема, т. е. тarlk(Bj,AjBj,..., АГ-~1В^ = п для всех ; = 1,..., А;

Определение 4. Система <р обладает свойством глобально управляемости показателей Ляпунова, если для любых А1,...,А„ £ I найдется ограниченная кусочно непрерывная функция II : М+ —> Мт<г такая что показатели Ляпунова замкнутой системы

совпадают с числами А1,..., А„.

Теорема 11. Пусть п = 2. Для любых Ах, Аг € М найдете такое управление V = 11(1), что система (18) асимптотически же 1 валентна системе у = А у, где А = diag{Al, Аг}.

Доказательство этой теоремы опирается на следующее утвержде ние, представляющее самостоятельный интерес.

Теорема 12. Пусть

0 1 ... 0 0

) , 6 =

0 ... 0 1 0

0 , , , 0 1

Для любых чисел «х,..., ап >0 и для любого Т > 0 найдется ограш ченное кусочно непрерывное управление V : [0,Т] —> М\>п, такое чп для матрицы Коши системы х = (А + ЬУ{1))х выполнено р>

венство

Ак(Г)0)=(11а§{а1,...,а„}. (1!

Показано, что для построения управления, обеспечивающего р. венство (19) необходимо и достаточно построить функции д\,.. - ,дп КСп(\§, Т],Ж), так чтобы матрица Вронского \V\gi,..., для э'п функций удовлетворяла соотношениям

№[9ь .. .,дп]{0) = I, ¥/\ди...,дп]{Т) = сНа8{аь ..., ап}, В диссертации такие функции построены для п — 2.

Резюме. В работе доказаны:

а) теорема о локальной ляпуновской приводимости билинейной равляемой системы и вытекающие из нее следствия о локальной эавляемости показателей Ляпунова;

б) теорема о глобальной управляемости показателей Ляпунова ста-энарной системы с наблюдателем;

в) теорема о А-приводимости линейной управляемой системы и вы-:ающие из нее следствия о глобальной управляемости центральных собых показателей;

г) теорема о глобальной управляемости показателей Ляпунова дву-эных кусочно постоянных систем.

Публикация основных результатов

1. Зайцев В. А. Достижимость и локальная управляемость показате-t Ляпунова систем со случайными параметрами // Изв. Ин-та матем. нформ. УдГУ. - Ижевск, 1998. - Вып. 2(13). - С. 71-88.

2. Zaitsev V.A. On Controllability of Ergodic System Lyapunov Expo-its // Nonsmooth and Discontinuous Problems of Control and Optimiza-i / A Proceedeengs volume from the IFAC Workshop (Chelyabinsk, Rus-

17-20 June 1998). - 1999. - P. 223-226.

3. Зайцев В.А., Тонкое E.JI. Достижимость, согласованность и ме-; поворотов В.М. Миллионщикова // Изв. ВУЗов. Математика. -9. -№ 2 (441).-С. 45-56.

4. Зайцев В.А. Управление показателями Ляпунова стационарных тем с наблюдателем // Тезисы докладов четвертой Российской [верситетско-академической научно-практической конференции. — евск, 23-24 апреля 1999 г. - С. 33.

5. Зайцев В.А. Согласованность и управление показателями Ля-юва // Изв. Ин-та матем. и информ. УдГУ. - Ижевск, 1999. -и. 2(17). - С. 3-40.

6. Зайцев В. А. Об управлении показателями Ляпунова и о А-приво-юсти // Вестник Удмуртского университета. - Ижевск, 2000. - JV! 1. — 55-44.

Введение.

Глава 1. Достижимость и ляпуновская приводимость.

§ 1. Основные определения и вспомогательные утверждения.

§ 2. Достижимые системы.

§ 3. Ляпуновская приводимость.

§4. Локальная управляемость показателей Ляпунова.

Глава 2. Согласованные системы.

§ 5. О согласованности и достижимости.

§ 6. Критерии согласованности.

§ 7. Согласованность стационарных систем.

Глава 3. Глобальная управляемость показателей.

§ 8. Управляемость показателей стационарных систем.

§ 9. Линейное уравнение с наблюдателем.

§ 10. О А-приводимости.

§ 11. Управление показателями кусочно постоянных систем.

Изучаемые в этой работе задачи можно рассматривать как естественное развитие основной тематики классической теории регулирования, состоящей в построении линейной обратной связи, стабилизирующей исходный объект. В классической постановке обычно изучаются стационарные объекты, поведение которых моделируется линейными дифференциальными уравнениями или системами линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и тем самым вопрос сводится к перемещению в заданное множество (например, в левую полуплоскость) корней характеристического многочлена матрицы системы.

В другой терминологии эти задачи можно интерпретировать как задачи управления показателями Ляпунова. Это позволяет расширить класс изучаемых объектов, включив в него нестационарные системы дифференциальных уравнений. Таким образом, появляется возможность привлечения активно развивающейся теории показателей Ляпунова и абстрактной теории динамических систем к изучению чисто управленческих задач.

Здесь получены утверждения, относящиеся к задачам управления (в локальной и глобальной постановке) показателями Ляпунова линейной управляемой системы с наблюдателем и задачам ляпуновской приводимости билинейной управляемой системы дифференциальных уравнений. В частности, доказаны: а) теорема о локальной ляпуновской приводимости билинейной управляемой системы и вытекающие из нее следствия о локальной управляемости показателей Ляпунова; б) теорема о глобальной управляемости показателей Ляпунова стационарной системы с наблюдателем; в) теорема о А-приводимости линейной управляемой системы и вытекающие из нее следствия о глобальной управляемости центральных и особых показателей; г) теорема о глобальной управляемости показателей Ляпунова двумерных кусочно постоянных систем.

Рассмотрим линейную управляемую систему х = А{г)х + в(г)и, х е к™, «еГ (0.1) с ограниченными и кусочно непрерывными на М. матрицами Л(-) и В(-). Систему (0.1) будем отождествлять с функцией I —у (А(2), В{1)). Аргумент когда это не вызывает недоразумений, будем опускать. Управление в системе (0.1) строится по принципу линейной обратной связи в виде и = {/(¿)ж. Исследуется вопрос об управляемости (в локальной и глобальной постановке) показателей Ляпунова Аi(A + В11), г — 1,., п замкнутой системы

X = + В^)и(г))х. (0.2)

Определение 0.1. Система (А, В) обладает свойством глобальной управляемости показателей Ляпунова, если для любого ц = ¡хп) € К™ существует кусочно непрерывная функция {/(•) = II(•,/л), такая что показатели Ляпунова Аг(А + Ви),., АП(А + В11) системы (0.2) удовлетворяют равенствам

Ам + ви) = ^, 3 = \ (0.3)

Определение 0.2. Система (А,В) обладает свойством локальной управляемости показателей Ляпунова, если найдется 5 > 0 такое, что всякому ¡1 = (цг,., (мп) £ Кга отвечает функция [/(•) = £/(•, /¿) (из некоторого фиксированного класса допустимых управлений), обеспечивающая равенства

АДА + ВЩ = АДА) + н, з = 1,., п, здесь АДА) — показатели Ляпунова системы х = А(г)х. (0.4)

Хорошо известен следующий факт: если матрицы А и В постоянны, т = 1 и det[jB, АВ,., Ап~1В] ф 0 (т. е. система (А, В) равномерно вполне управляема [58]), то (А, В) обладает свойством глобальной управляемости показателей Ляпунова. Показатели Ляпунова стационарной системы х = Ах — это вещественные части собственных значений матрицы А. Поэтому под глобальной управляемостью показателей стационарной системы понимается возможность выбора постоянной матрицы U так, чтобы характеристический многочлен х(А + BU, А) матрицы А + BU совпадал с наперед заданным многочленом п-й степени сг(А) = А + 7iA™1 + • • • + 7„ с вещественными коэффициентами 71,., 7„. В 1964 году теорема о глобальной управляемости показателей Ляпунова была доказана для произвольной стационарной системы (V. Popov [61, 62]): показатели системы (А, В) глобально управляемы тогда и только тогда, когда система (А, В) вполне управляема (га. е. rank[B, АВ,., Ап~1В] = п).

Работа П. Бруновского [57] явилась одной из первых работ по теории управления асимптотическими характеристиками линейной нестационарной системы (0.2). В ней было доказано, что если система (0.1) равномерно вполне управляема, а функции А(-) и В(-) непрерывно дифференцируемы и периодичны с периодом Т > 0, то (А, В) обладает свойством глобальной управляемости показателей Ляпунова, при этом для любого ц Е Rn функция U(-,fJ,), обеспечивающая равенства (0.3), также непрерывно дифференцируема и Т-периодична.

Задача управления показателями Ляпунова системы (0.1) без предположения периодичности представляет существенные трудности в связи с тем, что в общем случае система х — A(t)x может быть неприводимой (ляпуновским преобразованием х = L(t)y к системе у = Fy с постоянной матрицей F), оказывается далее, что в непериодическом случае она может быть неправильной [3] (см. также [16]). В такой ситуации наибольший интерес представляет задача о выборе такого допустимого управления, при котором замкнутая система становится приводимой (или правильной) и, следовательно, обладает (локально) управляемыми показателями.

В работе Е.Л. Тонкова [53] была рассмотрена произвольная нестационарная система (0.1) с равномерно непрерывными на К. функциями А(-) и В(-). В этой работе была доказана эквивалентность условий равномерной полной управляемости и равномерной стабилизируемости системы (0.2). Равномерная стабилизируемость означает, что для любого А > 0 существует непрерывное управление {/(•) = U(-, А), при котором всякое решение x(t) системы (0.2) удовлетворяет неравенству

1 \x(t)\ lim -In . , . ^ —А. t-s-Юо t — S p(s)|

Отсюда следует, что если система (0.1) равномерно вполне управляема, то показатели Ляпунова системы (0.2) можно сделать меньше любого наперед заданного отрицательного числа, т. е. переместить на какое угодно расстояние влево.

К вопросам управления показателями Ляпунова примыкают вопросы о размещаемое™ показателей Ляпунова системы (0.4) при различных возмущениях матрицы А. В задачах такого вида фиксируется множество допустимых управлений и исследуется множество возможных значений вектора показателей Ляпунова системы (0.2) (при B(t) = I) относительно допустимых управлений. В работе С.А. Гришина, Н.Х. Розова [9] показано, что линейная стационарная система (0.4) стабилизируема поворотами решений тогда и только тогда, когда след матрицы А меньше нуля, т. е. условие Sp А < 0 является необходимым и достаточным условием того, что при помощи малых в среднем возмущений-поворотов можно переместить показатели Ляпунова в левую полуплоскость. Затем в работе С.А. Гришина [10] аналогичное утверждение было доказано для нестационарных систем: необходимым и достаточным условием стабилизируемости (и перемещаемости показателей Ляпунова в левую полуплоскость) при помощи малых в среднем возмущений-поворотов является условие

Sp A(t) = & —i— / SpA(sWs<0. t-т-Юо t - T JT

В работах [47, 48] показано, что при помощи периодических малых в среднем возмущений постоянной матрицы А спектр показателей Л1?., Хп стационарной системы х = Ах можно переместить в любую точку множества К(Х) С К™, которое строится следующим образом: каждой из п\ перестановок набора (Ац,., А„) ставится в соответствие точка в Мга и за К(А) берется выпуклая линейная оболочка этих точек. В работе [17] строится множество спектр К С R2 характеристических показателей двумерной линейной стационарной системы х = Ах, к которой в моменты времени {tk}kLii tk —> оо, к оо применяются преобразования поворота Uk = U(oik) на угол «it, при всевозможных последовательностях Uk и некоторых последовательностях {^¿JfcLi- В работе [50] И.Н. Сергеевым рассматривались вопросы о точных границах подвижности показателей Ляпунова линейных систем при малых в среднем возмущениях. В этой же работе автором обсуждаются вопросы стабилизируемости.

Большинство из вышеупомянутых утверждений опираются на метод поворотов В.М. Миллионщикова [31]—[34] (см. также [16, 49]), который, напомним, состоит в следующем. Рассмотрим систему (0.4) с ограниченной и кусочно непрерывной на

К функцией А(-). Пусть а = sup |A(t)|. Зафиксируем t0 € BL Предположим, что на teR отрезке [t0, £0 + 1] определена матричная функция t —)■ P(t) Е Мп, удовлетворяющая условиям:

1. Р(-) непрерывно дифференцируема на [i0, to + 1];

2. P(t0) = /;

3. Существует S < - такое, что max \P(t)\ ^ S.

2 ie[to,io+i]

Из условий 1 — 3 на функцию Р(-) вытекает, что \P(t) — /| ^ 5 для всех t € [¿о, to +1], следовательно, существует Р1(-), причем |P1(i)| ^ --- ^ 2, t £ [t0, t0+l]- Таким

1 — д образом, определена функция

Ш * ¿Мо + 1], г К ) \ P{t)A{t)P~\t) + P{t)P-\t), t G [io,io + !]•

При t £ [to, ¿o + 1] имеем 2<K (1 + 8)a- |P1(i)| • \I - P{t)\ + aS + 25 ^ 2(1 + 8)a8 + aS + 28 < 2i(2a + 1).

Следовательно, sup \F(t) — A(i)| ^ 2J(2a + 1). На R рассмотрим систему ¿ек

У = F(t)y. (0.5)

Пусть X{t, .s) и Y(t, 5) — матрицы Коши систем (0.4) и (0.5) соответственно. Нетрудно проверить, что если t £ [to,to + 1], то Y(t, t0) = P(t)X(t,t0), в частности,

Поэтому для t0^T Y(t,r) =

Y(t0 + 1, t0) = P{t0 + l)X(t0 + Mo). (0-6) f X(.t,r), te[r,t0),

P{t)X(t,T), te[t0,*o + i],

X(t, to + l)P(t0 + l)X(t0 + 1, r), t > to + 1.

Из (0.6) следует, что если х(-) — произвольное решение системы (0.4), то решение у(-) системы (0.5) с начальным условием у(т) = х(г) удовлетворяет соотношению о + 1) = Р(*0 + 1)х(^о + 1). Систему (0.5) называют возмущенной по отношению к системе (0.4), при этом говорят, что к системе (0.4) применен поворот Р(£) на отрезке [¿0, ¿о + 1]

Здесь необходимо отметить, что метод поворотов применяется для изучения асимптотических свойств решений системы (0.4), при этом важен результат поворота, а не то, как ведут себя решения возмущенной системы на отрезке, на котором производится поворот. Поэтому вместо фразы к системе (0.4) применен поворот Р(£) на отрезке + 1] можно говорить, что к системе (0.4) применен поворот Р{и + 1) в момент + 1- Итак, метод поворотов основан на следующем свойстве системы (0.4): для любого е > 0 существует 8 = ^^—^ •т111{£> 2а+1} такое, что любому ¿о ^ М. и любой матрице Н £ В¿(7) ( Н = Р{Ьо + 1) ) отвечает кусочно непрерывная функция ф : + Ве С Мп ( ](¿) = ), обеспечивающая для матрицы Коши Z(t,s) системы г = (А(^) + выполнение равенства Мо) = + Мо)- (0.7)

Оказывается, что метод поворотов можно перенести на линейные управляемые системы. В работе [39] (см. также [40]) было доказано следующее утверждение.

Теорема 0.1. Пусть система (0.1) равномерно вполне управляема. Тогда всякому е > 0 и всякому достаточно большому а\ > 0 отвечает 6 = 6(е, oi) > 0 такое, что для любой матрицы Н Е С Мп, любого cr ^ (j\ и любого to £ К существует кусочно непрерывная функция U : [io,io + сг] —у Мт,п, sup ^ £, такая что для матрицы Коши Xu(t,s) системы (0.2) справедливо равенство

Xu(t0 + <х, t0) = HX(t0 + <т, U). (0.8)

Ясно, что равенство (0.7) можно получить как следствие равенства (0.8), где а = 1, U(t) = Q(t), B(t) = I, поскольку система х = A{t)x 4- Iu является сг-равномерно вполне управляемой [39, 40] для любого а > 0 (в частности, для <т = 1). На основе теоремы 0.1 было доказано [39], что если система (А, В) равномерно вполне управляема, то показатели системы (А, В) локально управляемы, причем малым изменениям показателей отвечают малые изменения управления.

В работах [41]—[44] изучается управляемая система с наблюдателем х = A(t)x + B{t)u, у = C*(t)x, {t, 1,и)е1х Rn х Rm. (0.9)

Управление в системе (0.9) строится в виде и = U(t)y. Исследуется вопрос о локальной управляемости показателей Ляпунова замкнутой системы х = (A{t) + B(t)U(t)C*(t))x, (0.10) где А : К. —> Мп, В : К. —> Мщт, С : К. —> Мп,к — ограниченные интегрально непрерывные функции, а допустимые управления U = U(t) £ Мт,к удовлетворяют ограничению |{7(£)| ^ 1. В этих работах вводится понятие согласованности системы (0.9), обобщающее понятие вполне управляемости (при С = I эти понятия совпадают). Система (0.9) названа равномерно согласованной, если «большая система» z = F(t)z + G{t)v, (t, z)elx Rn2, ueEnr, (0.11) где F(t) — A(t) —1[g) A*(t), G(t) — B(t) ® C(t), ® — символ прямого произведения [24, c.235] матриц, равномерно вполне управляема. Показано, что если система (0.9) равномерно согласованна, а система х = A(t)x диагонализируема (т. е. приводима ляпуновским преобразованием к системе с диагональной матрицей) или ее показатели Ai(A),., А„(А) устойчивы [см. [16, с.72]), то показатели системы (0.10) локально управляемы, т. е. всякому е > 0 отвечает S > 0 такое, что для любого /j, = (yul5. ,/лп) € Rn, |/х| ^ 5 найдется управление \U^(t)\ ^ е, обеспечивающее для всех i = 1,., п равенства А ДА + BU^C*) = Аг- + щ, где А ¡(А + BU^C*) — показатели Ляпунова системы (0.10) при U = U^it).

Пусть А(А) — верхний центральный показатель (см. [3, с.116]) линейной системы х = A(t)x. По определению к где X(t,s) — матрица Коши системы х = A(t)x. Показатель Л(А) удовлетворяет неравенству х(А) ^ Л(А), где х(^) = max{Ai(A),., Ата(А)}, и полунепрерывен сверху (в пространстве линейных систем с топологией равномерной сходимости на прямой R). В [42] показано, что равномерно согласованная система (0.9) обладает свойством локальной управляемости показателя Л(А) (т.е. равенство А(А-\-Ви$С*) — Л(А) + <5 имеет место при каждом 6 близком к нулю и некотором допустимом управлении [/¿(¿)); кроме того, Л(А) обладает свойством достижимости (т.е. х(А + В11вС*) ^ Л(А) — 8 при всех 5 близких к нулю).

Попытки освободиться от условия диагонализируемости или устойчивости показателей системы х = А{Ь)х (или хотя бы ослабить эти условия) предприняты в работах [25, 26]. В [26] показано, в частности, что при п — 2 и различных показателях Ляпунова Ах (А), А2 (А) свойство равномерной согласованности достаточно для локальной управляемости показателей Ах(А + В11ЦС), Аг(А + Ви^С).

В работах [45, 46, 55] исследуется семейство систем х = (А(/и) + В(?ш)иС*(/*и))х, (*,ж)б1хГ, ш е П, (0.12) где (О, р) — топологическая динамическая система, \17\ ^ 1. Введено свойство равномерной локальной управляемости показателей Ляпунова А; (си, II) системы (0.12) (равенства Аг(си, 17^) = \i(u), 0) + |J■i выполнены при некотором допустимом управлении ГУд = си) для всех ш £ П и любых достаточно близких к нулю /хг ) и показано, что большинство результатов работ [41]—[44] распространяется и на системы вида (0.12). В частности, в [46] показано, что если С(/*ш) = I и невозмущенная система (т. е. система (0.12) при II = 0) является системой с интегральной раз-деленностью [16, с.87], то свойство равномерной согласованности (которое при С = I эквивалентно свойству равномерной полной управляемости) является не только достаточным, но и необходимым условием равномерной локальной управляемости показателей Ляпунова.

Работы Д.М. Оленчикова [36]—[38] посвящены задачам управления показателями Ляпунова импульсной системы оо х = (А(г) + в$)ис*(г))х, и = ^ и{5(г - и), (0.13) г=—оо где 5(1,) — ¿-функция, а управляющими параметрами являются матрицы Щ, |£/г-| = 1 и моменты времени 0 < ¿г+1 — II ^/д. Наличие ¿-функций в коэффициентах приводит к необходимости определения решения системы (0.13). В работах Д.М. Оленчикова это делается методами нестандартного анализа. Показано, что большинство результатов работ [41]—[44] распространяется на систему (0.13). Задачам управления спектром характеристических показателей системы (0.2) посвящены работы Г.Г. Исламова [19, 20], в которых изучаются соответственно стационарные и периодические системы.

Пока мало изучен вопрос о глобальной управляемости показателей Ляпунова нестационарных систем и глобальной ляпуновской приводимости линейной системы в отсутствии геометрических ограничений на управления. В [51, с. 35] для системы (0.2) с коэффициентами класса С2п~1 при некоторых дополнительных предположениях доказана глобальная управляемость характеристических показателей. В работе [28] для системы (0.2) с непрерывной матрицей А(-) и равномерно непрерывной матрицей В(-) показано, что если система (А, В) равномерно вполне управляема, то для любого ¡л € К. найдется кусочно непрерывное управление £/д(2) такое, что А;(А + Ви^) — А; + ¡л, г = 1,., п, т. е. вектор (Ах(А),., А„(А)) показателей Ляпунова системы (0.2) глобально управляем вдоль вектора (1,.,1), а верхний центральный показатель Л(А) можно переместить в любую точку ц Е Е. Этот результат дополняет результат Е.Л. Тонкова [53] о равномерной стабилизируемо-сти системы (0.2). В работе [29] доказано утверждение о глобальной ляпуновской приводимости системы (0.2) при п = 2: если система (А, В) равномерно вполне управляема, а функция В(-) равномерно непрерывна, то для любой системы

У = Щ)У (0-14) с ограниченной кусочно непрерывной матрицей В{-) существует кусочно непрерывное и ограниченное управление II = {/(•), такое что система (0.2) с этим управлением кинематически подобна системе (0.14), т. е. существует преобразование Ляпунова х = Ь(1:)у, связывающее эти системы.

В работах И.В. Гайшуна [5, 6, 7] получены результаты о приводимости системы (0.2) (при т = 1) относительно различных групп преобразований (группы Ляпунова, экспоненциальной группы и др.) к системам эквивалентным скалярному уравнению п-го порядка с переменными коэффициентами (см. также библиографию в [7]). В работе Е.Л. Тонкова [63] получены результаты, дополняющие исследования И.В. Гайшуна, в частности, показано, что для любой системы ас = А(/*ш)х + Ь((^ш,х)еЕх(1х ИГ, (0.15)

АИ =

Оц(ш) 0 0 0

21М &М ■ 0 0 Ь(а,) = * гг-мМ ап-1,2(и) • /?„м 0

ЯгаМ ап гМ • апп(и>) АН

0.16) где функции А(-), Ь(-) непрерывны на О. и для всех (ш, г) Е !7х{1,2,., п} выполнены неравенства > 0, и для любого ^ = (^х,. ,/лп) Е найдется управление

V = и

Чм) х

0.17) такое, что система (0.15) замкнутая управлением (0.17) приводима ляпуновским преобразованием г = 8(ри})х (не зависящим от ц) к системе г = Е^г с постоянной матрицей р

О 1

0 . Иг •• 0

0 1 цп

Сформулированы условия приводимости произвольной системы (0.15) к системе вида (0.15) с матрицами (0.16). Отсюда получены условия глобальной управляемости показателей Ляпунова.

В этой работе изучаются билинейная управляемая система х = А0(/*и)х + и1А1(/гш)х -\-----1- игАг(/*си)х, (ж, и) Е

1п х Г"

0.18) и линейная управляемая система с наблюдателем х = А(?и)х + В(?и)и, у = С*(?ш)х, (х, и, г/)еГхГх К*, (0.19) параметризованные при помощи топологической динамической системы ($7, /*). Ниже приведены формулировки основных результатов работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, одиннадцати параграфов (нумерация параграфов сквозная) и списка литературы. Объем диссертации 102 страницы.

1. Былое Б.Ф. О структуре решений системы линейных дифференциальных уравнений с почти периодическими коэффициентами // Мат. сб. - 1965. - 66. - № 2. -С. 215-229.

2. Былое Б.Ф. О приведении системы линейных уравнений к диагональному виду // Мат. сб. 1965. - 67. - № 3. - С. 338-344.

3. Былое Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова. М.: Наука, 1966. - 576 с.

4. Былое Б.Ф., Изобов H.A. Необходимые и достаточные условия устойчивости характеристических показателей линейных систем // Дифференц. уравнения. -1969. Т. 5. - № 10. - С. 1794-1803.

5. Гайшун И.В. Существование канонических форм линейных нестационарных систем управления относительно экспоненциальной группы // Дифференц. уравнения. 1998. - Т. 34. - №6. - С. 727-734.

6. Гайшун И.В. Управляемость характеристическими векторами линейных нестационарных систем // Дифференц. уравнения. 1999. - Т. 35. - № 1. - С. 24-29.

7. Гайшун И.В. Введение в теорию линейных нестационарных систем. Минск.: Ин-т математики HAH Беларуси, 1999. - 409 с.

8. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. - 576 с.

9. Гришин С.А., Розов Н.Х. Метод поворотов решений в задаче стабилизации неустойчивых положений равновесия линейных динамических систем / / Автоматика и телемеханика. 1975. - № 12. - С. 18-26.

10. Гришин С.А. Некоторые вопросы управления и устойчивости линейных систем // Дифференц. уравнения. 1982. - Т. 18. - № 11. - С. 1862-1868.

11. Зайцев В.А. Достижимость и локальная управляемость показателей Ляпунова систем со случайными параметрами // Изв. Ин-та матем. и информ. УдГУ. -Ижевск, 1998. Вып. 2(13). - С. 71-88.

12. Зайцев В.А., Тонкое E.JI. Достижимость, согласованность и метод поворотов В.М. Миллионщикова // Изв. вузов. Математика. 1999. 2 (441).- С. 45-56.

13. Зайцев В.А. Управление показателями Ляпунова стационарных систем с наблюдателем / / Тезисы докладов четвертой Российской университетско-академической научно-практической конференции, Ижевск, 23-24 апреля 1999 г. С. 33.

14. Зайцев В.А. Согласованность и управление показателями Ляпунова // Изв. Ин-та матем. и информ. УдГУ. Ижевск, 1999. - Вып. 2(17). - С. 3-40.

15. Зайцев В.А. Об управлении показателями Ляпунова и о А-приводимости // Вестник Удмуртского университета. Ижевск, 2000. - № 1. - С. 35-44.

16. Изобов H.A. Линейные системы дифференциальных уравнений // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Матем. анализ. 1974. - Т. 12. - С. 71-146.

17. Изобов H.A., Зверева Т.Е. Спектр характеристических показателей Ляпунова двухмерной стационарной системы при возмущениях-поворотах // Дифференц. уравнения. 1981. - Т. 17. - № 11. - С. 1964-1977.

18. Иванов А.Г., Тонкое Е.Л., Шнейберг И.Я. О мере множества глобально управляемых систем // Нелинейн. колебания и теор. управления. Ижевск, 1981. -№3. - С. 3-32.

19. Исламов Г.Г. Об управлении спектром динамической системы // Дифференц. уравнения. 1987. - Т. 23. - № 8. - С. 1299-1302.

20. Исламов Г.Г. Об одном свойстве мультипликаторов линейных периодических систем // Изв. ВУЗов. Математика. 1999. - № 2 (441).- С. 57-59.

21. Корнфелъд И.П., Синай Я.Г., Фомин С.В. Эргодическая теория. М.: Наука, 1980. - 384 с.

22. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968. - 476 с.

23. Култышев С.Ю., Тонкое Е.Л. Управляемость линейной нестационарной системы // Дифференц. уравнения. 1975. - Т. 11. - № 11. - С. 1206-1216.

24. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1978. - 280 с.

25. Макаров Е.К., Попова С.Н. О достаточных условиях локальной управляемости характеристических показателей Ляпунова двумерных систем с кратными показателями // Сб. статей поев. 60-летию со дня рождения проф. В.Г. Сприн-джука. 1997. - С. 75-77.

26. Макаров Е.К., Попова С.Н. О локальной управляемости характеристических показателей Ляпунова системы с некратными показателями // Дифференц. уравнения. 1997. - Т. 33. - №4. - С. 495-499.

27. Макаров Е.К., Попова С.Н. К методу поворотов для линейных управляемых систем // Доклады НАН Беларуси. 1998. - Т. 42. - № 6. - С. 13-16.

28. Макаров Е.К., Попова С.Н. О глобальной управляемости центральных показателей линейных систем // Изв. ВУЗов. Матем. 1999. -№ 2 (441).- С. 60-67.

29. Макаров Е.К., Попова С.Н. О глобальной управляемости полной совокупности ляпуновских инвариантов двумерных линейных систем // Дифференц. уравнения. 1999. - Т. 35. - № 1. - С. 97-106.

30. Миллионщиков В.М. О связи между устойчивостью характеристических показателей и почти приводимостью систем с почти периодическими коэффициентами // Дифференц. уравнения. 1967. - Т. 3. - № 12. - С. 2127-2134.

31. Миллионщиков В.М. Критерий малого изменения направлений решений линейной системы дифференциальных уравнений при малых возмущениях коэффициентов системы // Матем. заметки. 1968. - Т. 4. - № 2. - С. 173-180.

32. Миллионщиков В.М. Системы с интегральной разделенностью всюду плотны в множестве всех линейных систем дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1969. - Т. 5. - №7. - С. 1167-1170.

33. Миллионщиков В.М. Грубые свойства линейных систем дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1969. - Т. 5. - № 10. - С. 1775-1784.

34. Миллионщиков В.М. Доказательство достижимости центральных показателей линейных систем // Сиб. матем. журнал. 1969. - Т. 10. - № 1. - С. 99-104.

35. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.: ГИТТЛ, 1949. - 550 с.

36. Оленчиков Д.М. Нестандартный анализ дифференциальных уравнений с обобщенными коэффициентами. // Изв. Ин-та матем. и информ. УдГУ. Ижевск, 1995. - Вып. 1(5). - С. 3-50.

37. Оленчиков Д.М. Показатели Ляпунова импульсных систем. // Изв. Ин-та матем. и информ. УдГУ. Ижевск, 1996. - Вып. 2(8). - С. 69-84.

38. Оленчиков Д.М. Импульсное управление показателями Ляпунова. // Дифферент уравнения. 1997. - Т. 33. - № И. - С. 1576.

39. Попова С.Н. К вопросу об управлении показателями Ляпунова // Вестник Удмуртского Университета. Ижевск, 1992. - № 1. - С. 23-39.

40. Попова С.Н. Задачи управления показателями Ляпунова. Дис. . канд. физ.-мат. наук. Ижевск, 1992.

41. Попова С.Н., Тонкое Е.Л. Управление показателями Ляпунова согласованных систем. I // Дифференц. уравнения. 1994. - Т. 30. - № 10. - С. 1687-1696.

42. Попова С.Н., Тонкое Е.Л. Управление показателями Ляпунова согласованных систем. II // Дифференц. уравнения. 1994. - Т. 30. - № 11. - С. 1949-1957.

43. Попова С.Н., Тонкое Е.Л. Управление показателями Ляпунова согласованных систем. III // Дифференц. уравнения. 1995. - Т. 31. - № 2. - С. 228-238.

44. Попова С.Н., Тонкое Е.Л. К вопросу о равномерной согласованности линейных систем // Дифференц. уравнения. 1995. - Т. 31. - № 4. - С. 723-724.

45. Попова С.Н., Тонкое Е.Л. Равномерная управляемость показателей Ляпунова // Успехи матем. наук. 1995. - Т. 50. - Вып. 4 (302). - С. 108-109.

46. Попова С.Н., Тонкое Е.Л. Согласованные системы и управление показателями Ляпунова // Дифференц. уравнения. 1997. - Т. 33. - № 2. - С. 226-235.

47. Рахимбердиее М.И., Розов Н.Х. Распределение показателей Ляпунова линейных систем с периодическими коэффициентами, близкими в среднем к постоянным // Дифференц. уравнения. 1978. - Т. 14. - № 9. - С. 1710-1714.

48. Рахимбердиее М.И., Розов Н.Х. Поведение показателей Ляпунова линейных стационарных систем при малых в среднем периодических возмущениях коэффициентов // Дифференц. уравнения. 1978. - Т. 14. - № 10. - С. 1913-1914.

49. Сергеев И.П. К теории показателей Ляпунова линейных систем дифференциальных уравнений // Труды семинара им. И.Г. Петровского. 1983. Вып. 9. -С. 111-166.

50. Сергеев И.Н. Точные границы подвижности показателей Ляпунова линейных систем при малых в среднем возмущениях // Труды семинара им. И. Г. Петровского. 1986. Вып. 11. - С. 32-73.

51. Смирнов Е.Я. Некоторые задачи математической теории управления. Л.: ЛГУ, 1981. - 298 с.

52. Тонкое Е.Л. Управляемость нелинейной системы по линейному приближению // ПММ. 1974. - Т.38. - №4. - С.599-606.

53. Тонкое Е.Л. Критерий равномерной управляемости и стабилизация линейной рекуррентной системы // Дифференц. уравнения. 1979. - Т. 15. - №10. -С. 1804-1813.

54. Тонкое Е.Л. О множестве управляемости линейного уравнения // Дифференц. уравнения. 1983. - Т. 19. - № 2. - С. 269-278.

55. Тонкое Е.Л. Задачи управления показателями Ляпунова // Дифференц. уравнения. 1995. - Т. 31. - № 10. - С. 1682-1686.

56. Функциональный анализ / Под ред. С.Г. Крейна. М.: Наука, 1972. - 544 с.

57. Brunovsky P. Controllability and linear closed-loop controls in linear periodic systems // J. of Diff. Equations. 1969. - V. 6. - P. 296-313.

58. Kalman R.E. Contribution to the theory of optymal control // Bol. Soc. mathem. mexic. 1960. - V. 5. - № 1. - P. 102-119.

59. Lillo J.C. Perturbations of nonlinear systems // Acta math. 1960. - 103. - №12. - P. 123-128.

60. Lillo J.C. Approximate similarity and almost periodic matrices // Proc. Amer. Soc. -1961. 12. - № 3. - P. 400-407.

61. Popov V.M. Hyp erst ability and optimality of automatic systems with several control functions // Rev. Roumaine Sci. Techn., Electrotechn. et Energ. 1964. - 9. - № 4. -P. 629-690.

62. Popov V.M. Hyperstabilitatea sistemelor automate. Editura Academiei Republicii Socialiste Romania. 1966. (Перевод с румынского: Попов В.М. Гиперустойчивость автоматических систем. М.: Наука, 1970. - 456 с.)

63. Tonkov Е. L. Uniform attainability and Lyapunov reducibility of bilinear control system // Trudy Inst. Mat. i Mekh. (Ekaterinburg) — 2000. V. 6.

64. Zaitsev V.A. On Controllability of Ergodic System Lyapunov Exponents // Nons-mooth and Discontinuous Problems of Control and Optimization / A Proceedeengs volume from the IFAC Workshop (Chelyabinsk, Russia, 17-20 June 1998). 1999. -P. 223-226.