Импульсное управление показателями Ляпунова тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

С Л; \

^ Оленчиков Дмитрий Моисеевич

ИМПУЛЬСНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЯМИ

ЛЯПУНОВА

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ижевск — 1998

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений Удмуртского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Тонков Е.Л.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Розов Н.Х.

доктор физико-математических наук, профессор Дерр В.Я.

Ведущая организация: Институт математики и

механики УрО РАН.

Защита состоится 3 июня 1998г. в 14 часов 00 минут на заседании специализированного совета К 064.47.01 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Удмуртском государственном университете по адресу: 426034, ул. Университетская, 1, 4 корпус, ауд. №216.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Удмуртскогс государственного университета.

Автореферат разослан 20 апреля 1998г.

Ученый секретарь специализированного совета К 064.47.01, кандидат физико-математических наук^-дбцент Петров H.H.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задачи управления показателями Ляпунова имеют приложения к задачам стабилизации и задачам обеспечения структурной устойчивости. В случае классического управления они привлекают внимание исследователей с начала 60-х годов. Бруновским получены результаты об управлении показателями Ляпунова стационарных и периодических систем. В работах М.И Ра-химбердиева, Н.Х. Розова и И.Н. Сергеева получены результаты о подвижности показателей Ляпунова при малых возмущениях системы.

В последние годы эта теория получила существенное развитие в работах С.Н. Поповой и Е.Л. Тонкова. В их работах введено понятие равномерной согласованности. Свойство равномерной согласованности является достаточным для распространения метода поворотов В.М. Миллионщикова на линейные управляемые системы с наблюдателем На основе этого метода получены теоремы о локальной управляемости показателями Ляпунова и центральными показателями, о достижимости центральных показателей.

Представляется актуальным распространить эти результаты на случай импульсного управления, поскольку задачи управления динамическими объектами с помощью импульсных управлений имеют многочисленные приложения, примеры которых приведены в работах С.Т. Завалищина, Д. Лоудена, Б.М. Миллера, А.Н. Сесекина, П.Е. Эльясберга.

Цель работы. Исследование условий управляемости показателей Ляпунова линейных импульсных управляемых систем с наблюдателем. Построение эффективных способов импульсного управления показателями Ляпунова.

Общие методы исследования. В диссертации активно используются методы нестандартного анализа, классического анализа, современной теории управления и аналог метода поворотов В.М. Миллионщикова.

Научная новизна. С помощью методов нестандартного анализа введено понятие решения импульсной системы. Показано, что

основные утверждения теории показателей Ляпунова сохраняют силу для импульсных систем. Для равномерно согласованных линейных импульсных управляемых систем с наблюдателем получен аналог метода поворотов В.М. Миллионщикова . Доказаны теоремы о локальной управляемости показателей Ляпунова и центральных показателей.

Практическая ценность. Результаты работы могут найти применение в задачах стабилизации, задачах обеспечения структурной устойчивости, задачах автоматического регулирования.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались

— на XXXIII Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск 1995г.);

— на Городском семинаре по дифференциальным уравнениям и теории управления (Ижевск 1996, 1997г.);

— на 3-й Российской университетско-академической научно-практической конференции (Ижевск 1997г.);

— на семинаре кафедры дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ (Москва 1997г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4 работах.

Состав и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Объем диссертации 103 страницы. Библиография содержит 49 наименований.

Содержание диссертации

Первая глава носит вспомогательный характер и содержит изложение основных идей и результатов нестандартного анализа, используемых в последующих главах.

Вторая глава посвящена исследованию линейных систем с коэффициентами, содержащими дельта-функции. В пятом разделе дано нестандартное определение дельта-функции.

Определение 1. Функция 5(£) называется 8-фунщией, если она одновременно удовлетворяет следующим условиям:

1. 5(t) > 0 для всех t € R;

2. supp{5) С /х(0) ,тпо есть носитель функции состоит из бесконечно малых чисел;

-f-oo

3. J S(t) dt = 1;

— оо

4- ¿(£) — непрерывна на (—оо, +оо).

Существует целое семейство ¿-функций, причем каждую из них южно умножать на любые другие функции.

Определение 2. Функция 8c(t) называется 5е-функцией, где е — бесконечно малое положительное число, если одновременно выпол-1яются условия 1), 3) и 4) определения S-функции, а условие 2) шеет вид supp(Sc) С (—£,£■).

Справедлива следующая лемма.

Темма 1. Всякая 8-функция S(t) является 8е-функцией (при неко-пором положительном бесконечно малом е).

В шестом разделе рассматривается задача к

х = (Ло(0 + ~ *»-М<(0)*. ХЫ = хо. (1)

<=1

де ti — стандартные попарно различные числа, Л,- — матрицы со тандартными непрерывными элементами, х0 — стандартный век-ор начальных условий.

Обозначим через К множество всех нестандартных задач Koni, которые можно получить из формальной записи (1) с помощью ыбора ¿-функций 5{.

)пределение 3. Функции fug назовем эквивалентными f ~ д, ели

Vi— конечно (jyi е {1,... ЬфЦ) =>■ /(<) и g(t)J, de t{ — точки сосредоточения 5-функций задачи (1).

(Запись а « Ь означает, что а — Ь есть бесконечно малое число.)

Определение 4. Функция х(-) называется решением задачи (1), если она эквивалентна решению некоторой задачи Коши из множества К.

Данное определение идейно схоже с определением У-решения1.

Определение 5. Стандартным решением задачи (1) называется стандартная непрерывная слева функция х{Ь), являющаяся решением задачи (1).

В седьмом разделе получена теорема существования и единственности.

Теорема 1. Стандартное решение задачи (1) существует г единственно. В случае ¿о < ¿1 < ■ • • < ^ вид решения х(<) определя ется следующими условиями

1. При Ь <Е (—оо, ¿1] функция х(Ь) есть решение задачи х = Ло(0х а:(£о) = х0.

2. При Ь 6 где г < к, или при Ь € ((*,+ со) функция х(< есть решение задачи х = Ао(1)х, х(£,) = у,(1), где yi(t) -решение задачи у = А{{и)у, у(0) =

В восьмом разделе рассмотрена система

к

х= {А0(1) + ^А<(1)8(1-и))х, (2

«=1

где и — стандартные попарно различные числа, А{ — матрицы с стандартными непрерывными элементами.

Определение 6. Стандартная непрерывная слева функция х( называется стандартным решением системы (2), если существу ют такие начальные условия 47710 х{') есть решение заде

чи (1).

'Сесекин А.Н. Динамические системы с нелинейной импульсной стру! турой // Дис. д.ф.-м.н. ИММ УрО РАН, Екатеринбург, 1997.

Получен аналог формулы Остроградского-Лиувилля.

Теорема 2. Пусть х^-), ..., Яп(-) — стандартные решения системы (2), где п — размерность системы (2). Обозначим через \¥(£) матрицу со столбцами 11 (£), ..., хп((). Тогда для любого ф при всех г > 0, справедлива формула Остроградского - Лиувилля

4 к detW{t) =detW(t0) ■exp(J ^ Л0(т) ¿г + ¿х.(0) > где

<о

Xi (0 =

О , если ti > io и t < t{

О , если ti < t0 и t > ti

tr Ai(ti) , если ti > t0 и t > ti

— trAi(ti) , если ti < t0 и t < ti

Девятый раздел посвящен доказательству существования фундаментальной матрицы. В десятом разделе рассмотрена задача

к

X = Ao(t)x + fo(t) + £ (Ai(t)x + fi{t)) • 5(t - ti), (3)

x(£0) = zo,

где ti — стандартные попарно различные числа, Л,- — матрицы со стандартными непрерывными элементами, fi — стандартные непрерывные функции, xq — стандартный вектор начальных условий. Получен аналог формулы Коши.

Теорема 3. Стандартное решение x(t) задачи (3) имеет вид:

Г к

i(i)= Ф(Мо)*о + / Ф(М)/оЖ*+53х."(0 '

/ ¿=1 'о

где

О , если ti > <0 ut <ti

, , _ . 0 , если (U <t0 ut>ti

' ~ » Ф(«,t,)/.'(«¿) , если t{>t0 ut >ti '

-Ф(£, ti)fi(ti) , если U < t0 ut < ti

В одиннадцатом разделе изучена сопряженная система. В двенадцатом разделе приведены следствия для линейного уравнения n-го порядка.

Основные результаты диссертации сосредоточены в третьей главе. В тринадцатом разделе введено множество допустимых упра-

оо

влений Им — это множество функций вида S(t — ti)U{ таких, что

¿=1

ti < h < • ■ ■ < tn < ..., матрицы Ui ограничены в совокупности, и существует константа 7 такая, что на любом отрезке единичной длины количество точек i,-, принадлежащих этому отрезку, не превосходит 7.

Сложение функций из UQ0 и умножение на число определяются поточечно. Норма в Woo определяется следующим образом

ИОН = sup у; ||t/,-II, и = {»: и € [о, а + 1)}.

Пусть u(0 € Woo- Рассмотрим систему со счетным числом точек сосредоточения ¿-функций

¿ = (Ло(0+ «(*))». *>*о, (4)

где матрица Ло(£) непрерывна и ограничена.

В четырнадцатом разделе показано, что основные утверждения теории показателей Ляпунова сохраняют силу для системы (4).

Теорема 4. Каждое нетривиальное решение г(0 системы (4) имеет конечный характеристический показатель.

"Утверждение 1. Количество различных показателей Ляпунова решений системы (4) не превосходит размерности этой системы.

В пятнадцатом разделе введены основные обозначения. Через >т обозначим пространство матриц размерности п х т (если п = тп, то пишем М„), через Mfi7lim - множество (внешнее) конечных матриц размерности п X тп, RJJ. — множество (внешнее) конечных векторов. Обозначим через Vect: Мп -4 R"3 функцию, которая "разворачивает" матрицу по столбцам в вектор. Запись А* будет обозначать транспонированную матрицу.

Рассмотрим линейную управляемую систему с наблюдателем

х = A(t)x + B(t)u, у = C*(t)x, (х, и, у) € Rn+m+r. (5)

Всюду в дальнейшем предполагаем, что матрицы А, В л С стандартны, ограничены и непрерывно зависят от t. Систему (5) обозначим через (А,В,С). Обозначим через X(t,s) матрицу Коши системы х = A(t)x.

Через будем обозначать множество импульсных управлений, имеющих вид:

к

U{t) = ^ Ui5{t - t¡), где а < Ц < ■ ■ ■ < tk < Ь, U¡ £ Mm,r. t=i

Число к будем называть количеством импульсов и обозначать его через Лf(U). Управления вида U(t) = Ui5(t — ti) назовем элементарными управлениями. Сумма импульсных управлений и произведение импульсного управления на число определяются поточечно.

к

Норма определяется следующим образом ||С/(-)|| = ll^ll- Обозна-

i=i

чим (внешнее) множество импульсных управлений с конечной нормой и конечным числом импульсов на отрезке [а, Ь] через

В шестнадцатом разделе дано определение согласованности линейных импульсных управляемых систем с наблюдателем.

Определение 7. Система (А,В,С) называется согласованной на а, 6], если существуют точки а < t\ < • • • < tni < b и матрицы U{ такие, что система векторов

ничейно независима.

1олучен ряд результатов о свойстве согласованности.

Георема 5. Система (А,В,С) согласованна на [а, 6] тогда и толь-го тогда, когда существует функция V: [а, 6] —> Mm<r такая, что ыементы матрицы X(b,t)B(t)V(t)C*(t)X(t,b) линейно независимы на [а, Ь].

Введем линейный оператор, действующий из Ща<\,\ в Мп, определяемый равенством

к «=1

где £/(•) € Ц0,ь] и £7(0 = £ !/,•$(« -

¿=1

Теорема 6. Система (А,В,С) согласованна на [а, Ь] тогда и только тогда, когда Ща,ь]{Ща,Ь]) = Мп.

Оказалось, что определение согласованности 7 эквивалентно следующему определению 8.

Определение 8. Система (А,В,С) называется согласованной на отрезке [а, Ь], если существует I > 0 такое, что для всякой С £ Мп найдется импульсное управление V £ Ща,ь\ такое, что ||(/(-)|| < /||С|| и краевая задача

г = Л(t)Z + 6), г {а) = О, Я(Ь) = в

разрешима относительно /?(•).

Определение 8 отличается от классического определения2 только множеством допустимых управлений. Интересен вопрос о том, как это влияет на свойство согласованности.

Теорема 7. Согласованность системы (А,В,С) эквивалентна ее согласованности в классическом смысле.

Эта теорема позволяет перенести на импульсные системы утвер ждения о согласованности полученные в работах С.Н. Поповой I Е.Л. Тонкова3

2Попова С.Н., Тонков Е.Л. Управление показателями Ляпунова согла сованных систем. I // Дифференц. уравнения. — 1994. — Т. 30, №10. — С.1687-1696.

3Попова С.Н., Тонков Е.Л. Согласованные системы и управление по казателями Ляпунова // Дифференц. уравнения. 1997. — Т. 33, №2. -С.246-235.

Семнадцатый раздел посвящен описанию одного способа проверки согласованности, рассмотрены примеры. Восемнадцатый раздел содержит нестандартные формулировки вспомогательных результатов об абсолютной линейной независимости нестандартных векторов.

В девятнадцатом разделе введено понятие равномерно согласованной линейной управляемой импульсной системы с наблюдателем.

Определение 9. Система (А,В,С) называется I-равномерно согласованной, если существует константа 7, такая что для любого г существуют точки т < < • • • < ¿„2 < т + I и матрицы такие, что ||{/,|| = 1 и норма матрицы . •. , ./п2)-1|| < 7, где

Ь = Уес1(Х(г +1,1{)В(иЩСт(и)Х(и, г + /)). (6)

Нетрудно показать, что данное определение эквивалентно следующему определению 10

Определение 10. Система (А,В,С) называется 1-равномерно согласованной, если существует £ > 0, такое что для любого т существуют точки г < Ь1 < • • • < 2 < т + / и матрицы {/,• такие, что || 1/{|| = 1 и | Ле^х,... , </п2)| > е, где J¡ определяются формулой (6).

Теорема 8. Система (А,В,С) 1-равномерно согласованна тогда и только тогда, когда для любого нестандартного т (в том числе и бесконечно большого) Н[Г т+(\(14р{Т<Т+(\) = Мр,п-

Доказана теорема о преобразовании Ляпунова.

Теорема 9. Преобразование Ляпунова переводит 1-равномерно согласованную систему в 1-равномерно согласованную систему.

Определение 11. Система (А,В, С) называется равномерно согласованной, если она 1-равномерно согласованна при некотором I.

Дано эквивалентное определение равномерной согласованности в терминах разрешимости краевой задачи.

Определение 12. Система (А,В,С) называется I-равномерно согласованной, если

з7 зм Чт 40 емпзи е и1т>т+1) щи) < м, ||£/(.)|| < 7||С||

и краевая задача

¿ = А{г)2 + в{1)и(г)с*(1)Х(г,т + 1), г{т) = о, + /) = <?

разрешима относительно

В двадцатом разделе получен аналог метода поворота В.М. Мил-лионщикова. Обозначим матрицу Коши системы

х = (А(е) + в(0С/(0С*(е))х (7)

через «).

Теорема 10. Если система (А,В,С) согласованна на [0,1?], то для любого е > 0 найдется г] > 0 такое, что для любой матрицы Н 6 Мп такой, что ||Н — /|| < г) найдется импульсное управление [/(•) € < £ такое, что справедливо равенство Хи{0,О) = НХ{Ф,0).

Теорема 11. Если система (А,В, С) 1-равномерно согласованна, то для любого е > 0 найдется Т] > 0 такое, что для произвольной матрицы Н € Мп такой, что \\Н — /|| < т/, и любого г £ К найдется импульсное управление (/(•), ||С/(-)|| < е такое, что справедливо равенство Хи(т + 1,т) = НХ(т+ 1,т).

В двадцать первом разделе доказаны теоремы о локальной управляемости показателями Ляпунова и центральными показателями. Обозначим через Х(А + ВИС*) множество показателей Ляпунова системы (7).

Определение 13. Показатели системы (А, В, С) называются локально управляемыми, если отображение {/ А(Л + В11С*) открыто при и = 0 как отображение во множество

рассматриваемое с топологией подпространства, индуцируемой из К".

Определение 14. Система х = A(t)x называется диагонализиру-емой, если существует такое преобразование Ляпунова х = L(t)z, что система z — P(t)z, где

P(t) = Ь-^АфЩ - Ь-г{1Щ1),

диагональная.

Теорема 12. Если система х = A{t)x диагонализируема, а {А,В, С) равномерно согласованна, то система (А,В, С) обладает свойством локальной управляемости показателями Ляпунова.

Верхним центральным показателем системы х — A(t)x называется величина

— 1 Л ЩА)=М-lim — Х)1пТОТ,(У-1)П

1 >и k-t-oo K1 j=l

4

нижним центральным показателем называется величина^

_ 1 *

и(А) = sup lim — Vln \X(jT, (j - ljrp1.

T>0 fc—Юо кГ

Определение 15. Система (А,В,С) обладает свойством локальной управляемости верхним центральным показателем, если для любого е > 0 найдется такое 6 > 0, что для любого ц € К, < 5, существует функция U € И^, ||£/|| < е, обеспечивающая равенство П{А + ВиСт) = П(А) + р.

Аналогично вводится понятие локальной управляемости жижним центральным показателем.

Теорема 13. Если система (А,В, С) равномерно согласованна, то она обладает свойством локальной управляемости верхним и нижним центральными показателями.

В двадцать втором разделе полученные результаты применяются для решения задачи о стабилизации стержня. Приведепы результаты численных расчетов и графические иллюстрации.

4Былов Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. — М., 1966.

РЕЗЮМЕ

Оленчиков Дмитрий Моисеевич Импульсное управление показателями Ляпунова

Ключевые слова. Импульсное управление, показатели Ляпунова, нестандартный анализ, согласованность.

Объект исследования. Линейные импульсные управляемые системы с наблюдателем.

Цель работы. Исследование условий управляемости показателей Ляпунова линейных импульсных управляемых систем с наблюдателем. Построение эффективных способов импульсного управления показателями Ляпунова.

Методы исследования. В работе активно используются методы »стандартного анализа, классического анализа, современной теории: управления и аналог метода поворотов В.М. Миллионщико-ва.

Полученные результаты и их новизна. С помощью методов нестандартного анализа введено понятие решения импульсной системы. Показано, что основные утверждения теории показателей Ляпунова сохраняют силу для импульсных систем. Получен аналог метода поворотов В.М. Миллионщикова для равномерно согласованных линейных импульсных управляемых систем с наблюдателем. Доказаны теоремы о локальной управляемости показателей Ляпунова и центральных показателей. Проведено численное моделирование задач импульсного управления колебательными процессами для систем на плоскости.

Степень использования и области применения. Результаты работы могут найти применение в задачах стабилизации, задачах юбеспечения структурной устойчивости, задачах автоматического регулирования.

Список опубликованных работ

1] Оленчиков Д.М. Нестандартный анализ дифференциальных уравнений с обобщенными коэффициентами // Известия института математики и информатики. Ижевск, 1995. — Вып. 1. — С.3-50.

2] Оленчиков Д.М. Показатели Ляпунова импульсных систем // Известия института математики и информатики. Ижевск, 1996.— Вып. 2. — С.69-84.

3] Оленчиков Д.М. Импульсное управление показателями Ляпунова // Тезисы докладов 3-й Российской университетско-академической научно-практической конференции. Часть 5 / Изд-во Удм. ун-та, 1997.

[4] Оленчиков Д.М. Импульсное управление показателями Ляпунова // Дифференц. уравнения. — 1997. — Т. 33, №11. С. 1576.

Подписано в печать 06.04.1998г. Формат 60x84/16. Тираж 100 экз. Заказ №472.

Типография УдГУ г. Ижевск, ул. Университетская, 1.