Устойчивость и стабилизация нелинейных импульсных систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

Санкт-Петербургский государственный университет

На правах рукописи

Кабриц Мария Сергеевна

УСТОЙЧИВОСТЬ И СТАБИЛИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ

специальность 01.01.09 - Дискретная математика и математическая

кибернетика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург

2004 г.

Работа выполнена на кафедре теоретической кибернетики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Гелиг Аркадий Хаимович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Чурилов Александр Николаевич

доктор физико-математических наук, профессор Смирнова Вера Борисовна

Ведущая организация:

Институт проблем машиноведения РАН

Защита состоится часов

на заседании диссертационного совета Д 212.232.29 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: Санкт-Петербург, наб. реки Фонтанки д. 27, зал 311.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан < >........

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.232.29 доктор физ.-мат. наук, профессор

2004г.

В. М. Нежинский

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Импульсные модуляции широко применяются в системах обработки информации и управления. Поэтому исследования их динамических свойств привлекли внимание многочисленных исследователей в России и за рубежом (Я.З. Цыпкин и Ю.С. Попков, В.М. Кунцевич и Ю.Н. Чеховой, Э. Джури, П. Видаль, А. Халанай, Т. Павлидис, А.Х. Гелиг, А.Н. Чурилов и д.р.) Наибольшее число работ относится к системам, математическое описание которых сводится к разностным уравнениям. Однако, имеется широкий класс импульсных систем описываемых функционально-дифференциальными уравнениями, которые изучены значительно меньше. Задачам устойчивости и стабилизации таких систем и посвящена диссертационная работа. Если в импульсной системе импульсный модулятор заменить его статической характеристикой, то получается система обыкновенных дифференциальных уравнений, которую называют "эквивалентной". Представляла интерес гипотеза о том, что из устойчивости эквивалентной системы следует при достаточно высокой частоте импульсации устойчивость импульсной системы. Если речь идет об устойчивости в целом, то эта гипотеза была опровергнута М.М. Кипнисом. В диссертационной работе показано, что эта гипотеза справедлива в случае устойчивости в малом.

Актуальной является задача построения управления стабилизирующего нелинейную импульсную систему. В диссертации осуществлен синтез такого управления на основе модального подхода, второго метода Ляпунова и метода усреднения.

Цель работы. Диссертационная работа посвящена получению условий асимптотической устойчивости нелинейных импульсных систем, описываемых функционально-дифференциальными уравнениями и синтезу стабилизирующих управлений, при которых состояние равновесия нелинейной импульсной системы устойчиво в целом.

Методы исследований. Для получения результатов применялись второй метод Ляпунова и метод усреднения, разработанный А.Н. Чуриловым.

Научная новизна. Полученные в диссертации результаты по асимптотической

устойчивости импульсных систем являются новыми и фактически распространяют на функционально-дифференциальные уравнения с разрывными операторами результаты A.M. Ляпунова, полученные им для обыкновенных дифференциальных уравнений с голоморфными правыми частями.

Впервые для нелинейных импульсных систем получен аналитический вид управления в том числе и робастного, при котором состояние равновесия становится устойчивым в целом.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Получено математическое обоснование метода эквивалентных площадей при исследовании асимптотической устойчивости нелинейных импульсных систем.

Преимущества построенных в диссертации стабилизирующих управлений заключаются как в их явной форме, так и в их робастности.

Апробация работы. Полученные результаты докладывались на VII Международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва, ИПУ РАН 2002), II Международной конференции по проблемам управления (Москва 2003), на Четвертой международной конференции "Tools For mathematical modeling" (Санкт-Петербург 2003) и на VIII Международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва, ИПУ РАН 2004), а также на семинарах кафедры теоретической кибернетики СПбГУ, кафедры прикладной математики ПГУПС и в Институте проблем машиноведения РАН.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [1-5] и в тезисах международных конференций и семинаров [6-9]. В совместных работах диссертанту принадлежат доказательства теорем и численное моделирование, а соавтору — постановки задач и выбор методов решения.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из трех глав разбитых на параграфы, заключения, приложения и списка литературы, содержащего 51 наименование.

Содержание диссертации

В диссертационной работе исследуются вопросы устойчивости и стабилизации нелинейных импульсных систем.

В первой главе вводятся основные понятия и свойства импульсных систем, произведен обзор методов исследования систем с импульсной модуляцией, а также изложено краткое содержание работы.

Вторая глава диссертации посвящена асимптотической устойчивости нелинейных импульсных систем.

В параграфе 2.1 рассматривается нелинейная импульсная система, описываемая при t > t0 функционально-дифференциальными уравнениями

где д(х),Ь(х),с(х) — непрерывные m-мерные вектор-функции, все величины вещественны, * — знак транспонирования. М — нелинейный, вообще говоря разрывный оператор, описывающий функционирование импульсного модулятора, который каждой непрерывной на [i0,+oo) функции a(t) (сигнал на входе импульсного модулятора) ставит в соответствие функцию £(t) (сигнал на выходе импульсного модулятора) и последовательность {i„} (п = 0,1,2,..'.), такие что

1) существуют такие положительные постоянные что для всех верна оценка

2) функция кусочно непрерывна и знакопостоянна на каждом промежутке ['п.^п+О;

3) t„ зависит только от значений ст(т) при т < tn, f (4) зависит только от значений сг(т) при г < t;

4) существует такая непрерывно-дифференцируемая функция что при каждом п найдется t„ € [imin+i). при котором среднее значение n-го импульса

U+i

удовлетворяет соотношению

5) Если bi fé 0, то существуют такие а, >0, > 0, что если |<7(i)| < с. при всех t > 0, то |£(t)| < при всех t > 0.

Функция является статической характеристикой импульсного модулятора.

Описанными свойствами обладает большинство из известных видов модуляций (широтная модуляция первого и второго рода, частотная, амплитудная, комбинированная и др.)

Вопрос о существовании решений функционально-дифференциальных уравнений с разрывным оператором в данной работе не рассматривается.

Определение 1. Решение х = 0 системы (1) устойчиво по Ляпунову, если для любого числа е > 0 существует ч и >а0к о е , что для всех хо,

удовлетворяющих неравенству выполняется соотношение

(е) Vt > i0.

Определение 2. Если решение х = 0 устойчиво по Ляпунову и существует такое число что для всех удовлетворяющих неравенству выполнено

соотношение

tUmJx(i,f0>x0)| = 0, (3)

то говорят, что решение асимптотически устойчиво.

Определение 3. Решение х = 0 устойчиво в целом, если оно устойчиво по Ляпунову и для любого решения выполнено соотношение (3).

Если импульсный модулятор в импульсной системе заменить его статической характеристикой, то импульсная система превратится в непрерывную нелинейную систему, которая называется эквивалентной системой. Поскольку устойчивость непрерывных нелинейных систем изучена значительно лучше, чем устойчивость импульсных систем, то интерес представляет гипотеза о том, что при достаточно высокой частоте импульсации устойчивость импульсной системы вытекает из устойчивости эквивалентной системы. Для устойчивости в целом эта гипотеза была опровергнута М.М. Кипнисом.

В параграфе 2.1 с помощью метода усреднения и второго метода Ляпунова

доказано, что эта гипотеза справедлива, если речь идет об асимптотической устойчивости, а именно, что если эквивалентная нелинейная система устойчива по первому приближению, то при достаточно высокой частоте импульсации состояние равновесия нелинейной импульсной системы асимптотически устойчиво.

Пусть имеет следующий вид

д(х) = Ах + а{х),

(5)

где А - постоянная тхт матрица, а вектор функци^довлетворяет условию

Ца(х)||

Ьт

= 0

(б)

1М|-ю ||ж||

Предположим, что постоянные векторы,

а вектор-функции удовлетворяют условиям:

(7)

(8)

Предположим также, что и в некоторой окрестности точки выполнены

неравенства

Введем обозначения: к = В = А + ¿ЬоСо — матрица коэффициентов

линеаризованной эквивалентной системы, эг = — Сд&о, ав1>= С5Л601 I — единичная т у. т-матрица, Л_ и А+ — минимальное и максимальное собственное число матрицы являющейся решением уравнения Ляпунова

Теорема. 2.1 Предположим, что выполнены условия (б)-(9), матрица В гурвицева и Т столь мало, что справедливы неравенства

8J*rV + 2£(|œ| + |ai|T)1 + 8TV] < 1,

'1№(|М + II^HT) ехр(||Л||Г) + i|®|T < 1.

Тогда состояние равновесия x = 0 системы (3) асимптотически устойчиво.

В параграфе 2.2 рассматривается задача асимптотической устойчивости импульсных систем в критическом случае наличия одного нулевого корня у характеристического уравнения линеаризованной эквивалентной системы.

Рассматривается нелинейная импульсная система, описываемая функционально-дифференциальными уравнениями

х = Ах + [Ьо + h (х, сг)]( + а(х, а), (|())

(11)=с*х-рС, Ç = Ma, где А 6 Rmxm — гурвицева матрица, 6i,a — непрерывные m-мерные вектор-функции, а — скалярная непрерывная функция, Ьо,с 6 Rm — постоянные векторы, р — постоянная величина. М. — нелинейный оператор, описывающий работу импульсного модулятора, обладающий теми же свойствами что и в предыдущем параграфе.

Функция ф(<т), описывающая статическую характеристику импульсного модулятора, в отличие от случая, рассмотренного ранее, обладает следующими свойствами: ^(0) = ^(О) = 0; при |<т| < а, <р(о) = A(|o-|)ff, где fc(|cr|) > 0 при а ф 0, А(0) = 0, Jf {\а\)а 0 при о-* 0.

Эквивалентная непрерывная система для системы (10) имеет вид: х = Ах + [6о + ii (х, o)\ip(o) + а(х, а),

И характеристический полином системы первого приближения

обладает одним нулевым корнем.

Предположим выполнение условий

IU.IV

(12)

(13)

(14)

С помощью функции Ляпунова и метода усреднения было доказано следующее утверждение

Теорема. 2.2 Пусть матрица А — гурвицева, выполнены свойства 1)-5), условия (12) - (14) и выполнено неравенство

Тогда состояние равновесия х = О, С = О системы (10),(11) асимптотически устойчиво.

В третьей главе рассматривается задача стабилизации импульсной системы описываемой функционально-дифференциальным уравнением п—го порядка с помощью двух подходов. В первом случае с помощью модального подхода и метода усреднения были найдены коэффициенты стабилизирующей обратной связи в виде нелинейных функций и получена нижняя оценка на частоту импульсации гарантирующая устойчивость в целом состояния равновесия.

Во втором случае для решения этой задачи была построена функция Ляпунова в виде трехполосной матрицы. Путем ее анализа с помощью метода усреднения были найдены постоянные коэффициенты стабилизирующей обратной связи, а также нижняя оценка на частоту импульсации.

Рассматривается импульсная система, описываемая функционально-дифференциальными уравнениями:

(15)

(16)

где у* — (<7-,</,...,ст^""1'). £(() — сигнал на выходе импульсного модулятора, £(4) — сигнал на его входе. М — нелинейный оператор, описывающий работу импульсного модулятора, обладающий первыми четырьмя свойствами из описанных во второй главе, при этом относительно функции уз(£) предполагается, что она монотонна и непрерывна на промежутке (—оо,+оо), причем ¥>(0) = 0, у>(+оо) = -4-00, оо) = —оо .

Предполагается, что функции а!,...,^ — заданы, непрерывно-дифференцируемы и ограничены вместе со своими производными в

Требуется определить такие функции <4(1/), » = 1,т и функцию ф, чтобы при

С = ФЫу)° + ст-1(у)а' +... + еМсгС-Ч

(17)

система (15), (16) была устойчива в целом

Выберем в качестве функции ф функцию <р~1, обратную к функции <р. Тогда уравнения (16) и (17) примут вид

где с'{у) ~ (ст(!/),...,с1(у)), а оператор обладает теми же свойствами, что и М с той лишь разницей, что среднее значение п—го импульса (4) связано с сигналом С на входе импульсного модулятора соотношением

Желая воспользоваться модальным подходом, фиксируем произвольный гурвицев полином

И рассмотрим матрицу

Ат + р1Ат"1 + ... + АЛ.

Введем обозначения I — единичная т х т-матрица, А_ и А+ минимальное и максимальное собственное число положительно определенной матрицы удовлетворяющей уравнению Ляпунова

Пусть — максимальное собственное значение матрицы

1 КРб?

С помощью второго метода Ляпунова и метода усреднения был получен следующий результат:

Теорема. 3.1 Пусть в уравнении (17) вектор c(j/) выбран по формуле и выполнено условие

Тогда решение системы (15), (16) <г = 0 устойчиво в целом,

В параграфе 3.2 рассматривается система с теми же свойствами, что и в параграфе 3.1, кроме предположения дифференцируемости коэффициентов а,(у).

Задача состоит в построении такого постоянного вектора с0 и скалярной функции \!>, чтобы при

решение уравнения (15) у = 0 было устойчиво в целом, если частота импульсации удовлетворяет некоторой нижней оценке.

Также как и в предыдущем случае выберем в качестве функции функцию

обратную к функции кр тогда уравнения (16) и (18) примут вид

Чтобы решить поставленную задачу запишем уравнение (15) в следующем виде

У = Ао(у)у + ет€,

где

Найдем посто

О О

О

янн

, МУ) ■■

ую положит

1ьйо определенную» матрицу

постоянную

строку с5, при которых справедливо неравенство

где Б{у) = Ай(у) + р — положительное число.

Пользуясь методом разработанным И.Е. Зубер выбирается Н~1 в следующем виде

вде Н,} = /ц — положительные числа. В качестве Со берем постоянный

вектор со = АЯвщ. Причем Лц,..., Лт и А выбираем так, чтобы при & > 0 матрица

была отрицательно определена. Обозначим через А+ и А_ максимальное и минимальное число м а т р и Цы и введем величины следующим образом

С помощью второго метода Ляпунова и метода усреднения было получено следующее утверждение

Теорема. 3.2 Пусть в уравнении (18) ф = ф'1, вектор Со выбран по формуле Пусть также выполнены неравенства

т<т!п{^ ¡ь

Тогда решение уравнения (15) устойчиво в целом.

Приложение содержит пример применения Теорем 3.1 и 3.2 для стабилизации

односвязного манипулятора с упругим соединением без учета трения, описываемого уравнениями динамики:

/?1 + МдЬвшчх + - й) = О

где — угол поворота манипулятора, — угол поворота ротора электропривода, I я J — моменты инерции, к — коэффициент жесткости, М — общая масса, X — длина, — вращающий момент.

Управление осуществляется с помощью широтно-амплитудного импульсного модулятора

«0 =

Оп, при пТ<г<пТ+т„ 0, при пТ + тп < I < (п + 1)Г

где

а» =

(

Мдп^пТ), при |С(пГ)|<1 С(пГ), при |С(пТ)| > 1

/г|С(пТ)|, при |С(пГ)|<1

тп — \

Произведен согласно теоремам 3.1ту 3.2 |айалитическ?й 1синтез сигнала на входе импульсного модулятора и найдены нижние теоретические оценки на частоту

импульсации, гарантирующие стабилизацию системы. Синтезирован следующий стабилизирующий сигнал

(по теореме 3.1) и сигнал

С = 0 834Aff + L^Aff1 + О 559А(Т" + 0.0695Аст"'

(по теореме 3.2), где А: А < —3 * 105.

Произведено моделирование этой системы на ЭВМ с помощью пакета Maple 9.0 с целью выяснения, на сколько теоретическая оценка на частоту импульсации, полученная для класса систем, оказываются завышенной для данного конкретного примера.

В первом случае расчеты показали, что за время t = 200 сек стабилизация наблюдается при увеличении Т от Т = 0.007 до Т = 0.1, а начиная сГ = 0.1275 в окрестности начала координат возникает аттрактор и состояние равновесия перестает быть асимптотически устойчивым. (Теоретическая оценка Т < 0.008)

Во втором случае при моделировании на ЭВМ стабилизация наблюдается при Г < 0.000008, а при Г = 0.0000083 решение неограниченно возрастает. (Теоретическая оценка: Т < 0.0000033)

В заключении сформулированы основные выводы и перечислены результаты, выносимые на защиту.

Основные результаты

1. Рассмотрена асимптотическая устойчивость состояния равновесия нелинейной импульсной системы, описываемой системой функционально-дифференциальных уравнений с разрывным нелинейным оператором в правой части. Получена нижняя оценка на частоту импульсации при которой асимптотическая устойчивость состояния равновесия импульсной системы вытекает из устойчивости по первому приближению эквивалентной нелинейной системы. Тем самым доказана

справедливость гипотезы о том, что при достаточно высокой частоте импульсации асимптотическая устойчивость нелинейной импульсной системы вытекает из устойчивости по первому приближению эквивалентной нелинейной системы.

2. Получены- условия асимптотической устойчивости состояния равновесия нелинейной импульсной системы в критическом случае наличия одного нулевого корня характеристического уравнения линеаризованной эквивалентной системы.

3. Для импульсной системы, описываемой функционально-дифференциальным уравнением п-го порядка осуществлен аналитический синтез стабилизирующей обратной связи (сигнал на входе импульсного модулятора), при которой состояние равновесия устойчиво в целом, если частота импульсации удовлетворяет полученной нижней оценке.

4. Для импульсной системы, описываемой функционально-дифференциальным уравнением п-го порядка построено робастное стабилизирующее управление, которое обеспечивает устойчивость в целом замкнутой системы при выполнении найденной нижней оценки на частоту импульсации.

Работы автора по теме диссертации

1. Гелиг А. X., Кабриц М. С. Асимптотическая устойчивость нелинейных импулъсньх систем. //Вестник С.-Петербург. ун-та, Сер. 1. 2003. Вып. 2.

2. Гелиг А. X., Кабриц М. С. Стабилизация нелинейных импульсных систем // Вестник С.-Петербург, ун-та, Сер.1. 2004. Вып. 1.

3. Кабриц М. С. Синтез стабилизирующих управлений для нелинейных импульсных систем // Дифференциальные уравнения и процессы управления 2003,№, стр. 26 -37.

4. Кабриц М. С. Асимптотическая устойчивость нелинейных импульсных систем в критическом случае одного нулевого корня // Дифференциальные уравнения и процессы управления 2004, N2, стр. 68-81.

5. Кабриц М. С. Устойчивость астатических импульсных систем // Депонирование в ВИНИТИ.

6. Гелиг А. X., Кабриц М. С. Асимптотическая устойчивость нелинейных импульсных систем. //тезисы докладов VII Международного семинара "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления", Москва, 2002, стр. 37

7. Gelig, A. Kh., Kabrits M.S. "Stabilization of nonlinear pulse-modulated systems". //тезизы докладов II Международной конференции по проблемам управления, Москва, 2003, ИПУ РАН, стр. 6.

8 Кабриц М. С. "Синтез стабилизирующих управлений для нелинейных импульсных систем", // тезисы докладов Четвертой международной конференции 'Tools for mathematical modeling", С.-Петербургский государственный политехнический университет, 2003, стр. 195.

9. Кабриц М. С. Асимптотическая устойчивость нелинейных импульсных систем в критическом случае одного нулевого корня // тезисы докладов VIII Международного семинара "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления", Москва, 2004, стр. 39 .

Подписано 8 печать 12.08.2004 г. Формат 60X84 1/16. Бумага офсетная. Печать ризографическая. Объем 1 усл. п. л. Тираж 100 экз. Заказ 3316. Отпечатано в отделе оперативной полиграфии НИИХ СПбГУ с оригинал-макета заказчика. 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26.

»16530

Глава

Введение.

1.1. Импульсные системы и методы их исследования.

1.2. Основные результаты диссертации.

Глава

Устойчивость нелинейных импульсных систем.

2.1. Устойчивость по первому приближению.

2.2. Устойчивость в критическом случае.

Глава

Стабилизация нелинейных импульсных систем.

3.1. Синтез стабилизирующего управления на основе модального подхода

3.2. Синтез робастного стабилизирующего управления на основе второго метода Ляпунова

1.1. Импульсные системы и методы их исследования

Интерес к динамике систем с импульсной модуляцией стимулируется двумя обстоятельствами. Во-первых, импульсные системы широко применяются в современной технике при обработке информации и управлении благодаря простоте их реализации, высокой точности и надежности, а также малой энергоемкости. Во-вторых, некоторые модели нейронных сетей описываются импульсными системами. С математической точки зрения системы с импульсной модуляцией представляют собой особый класс функционально-дифференциальных или функционально-интегральных уравнений.

Основным элементом импульсной системы является импульсный модулятор, который описывается нелинейым оператором, отображающим входной сигнал сг(£) в выходной сигнал £(£) (обе функции определены при £ > 0). Конкретный вид оператора заивисит от типа модуляции и принятой математической модели. Наиболее общее свойство модулятора состоит в том, что он генерирует возрастающую последовательность моментов импульсации = 0 < *х < *2 < . Интервал [Ь ти 1) называется п-м тактовым интервалом.

Для описания импульсного модулятора используют две основные математические модели. В случае первой из них оператор, описывающий импульсный модулятор, определен на множестве непрерывных входных функций <т(£), каждой из которых он сопоставляет кусочно-непрерывную функцию £(£). При ¿п < Ь < ¿га+1 функция £(£) описывает форму п-го импульса (обычно £(£) не меняет знак на тактовом интервале). Чаще всего встречаются импульсы прямоугольной формы, когда

Здесь Ь'п, тп, \п — некоторые числа, < < + тп < £п+1. Числа Ап и тп называются амплитудой и шириной импульса соответственно. Встречаются случаи, когда форма импульса является существенно более сложной. Например, импульсы на выходе тиристорного преобразователя обычно ограничены кусками синусоиды [34]. Некоторый из параметров функции £(£) считаются известными и постоянными, в то время как другие являются функционалами от функции сг(£). Последние параметры называются модулированными. Например, если является функционалом от <т(£), то имеем частотно-импульсную модуляцию (ЧИМ). Если ¿га не модулируется, то £„ = пТ, где Т — заданное положительное число (период импульсации). Аналогично можно рассмотреть амплитудно-импульсную модуляцию (АИМ), широтно-импульсную модуляцию (ШИМ) и фазо-импульсную модуляцию (ФИМ). Иногда несколько параметров импульсного сигнала модулируются одновременно. Такая модуляция называется комбинированной.

Во второй модели модулятора входной сигнал преобразуется в последовательность мгновенных импульсов, которые описываются с помощью ^-функций Дирака:

00 п=О где моменты импульсации £п и коэффициенты Ап могут быть функционалами от сг(£). Таким образом, эту модель используют для описания частотно-импульсной и амплитудно-импульсной модуляции. В этом случае входные функции обычно предполагают кусочно-непрерывными.

В диссертации будут рассматриваться модели импульсных модуляторов первого типа при этом в случае частотно-импульсной модуляции (ЧИМ) вместо формулы (1.1.1) будем полагать оо (1-1-2)

71=0 где

-, при 0 < £ < е о, при t < о, г > е причем 0 < е < тт(£п+1 — £п) п

Опишем наиболее часто встречающиеся виды импульсной модуляции [4, 29, 38].

Широтно-импульсная модуляция первого рода (ШИМ-1)

Она описывается уравнениями

Isigna(nT), пТ < t < пТ + тп,

1.1.3)

О, nT + rn<t<(n + 1 )Т, тп = Тф(\а(пТ) I). (1.1.4)

В этом случае tn — пТ, п = 0,1,2,., где Т — положительное постоянное число, sign 0 = 0, ф(сг) — непрерывная функция, определенная при а е [0, +оо), 0(0) = 0, 0 < ф(а) < 1.

Широтно-импульсная модуляция второго рода (ШИМ-2)

Здесь £(£) определяется формулой (1.1.3), а тп — минимальный неотрицательный корень уравнения тп = Тф(\о(пТ + тп)\), (1.1.5) если таковой найдется на интервале [0,Т), и тп = Т в противном случае. Здесь функция ф(а) — такая же, что и при ШИМ-1.

Если рассмотреть оператор Л4 отображающий сигнал a(t) е С[0, Р) в £{t) е L[0, Р), то очевидно, что в случае ШИМ-1 он будет непрерывным, ввиду непрерывности функции ф в равенстве (1.1.4). В случае же ШИМ-2 этот оператор будет вообще говоря разрывным, поскольку корень уравнения (1.1.5) не является непрерывным функционалом от функции a{t), сколь бы гладкой она не была. Амплитудно-импульсная модуляция (АИМ)

В этом случае ос = ^An4(*-nT), (1.1.6) п=0 где Ап = ф(а(пТ — 0)). Функция ф(а) — непрерывная, монотонно возрастающая и ограниченная при а Е (—сю, +оо), </>(0) = 0.

Частотно-импульсная модуляция первого рода (ЧИМ-1)

Здесь £(£) задается с помощью (1.1.1),

1згдпа{1п — 0) при |сг(£п — 0)| > А,

1.1.7)

0 при \сг(Ьп — 0)| < Д,

1 = + Тп, Тп = а(гп - 0)|). (1.1.8)

Функция Р{а) непрерывна и монотонно убывает при а Е [0, +оо), ^(+оо) = Т* > 0, Д — некоторая неотрицательная константа (порог нечувствительности).

Частотно-импульсная модуляция второго рода (ЧИМ-2)

Здесь £(£), Хп и -Р(сг) — такие же, как в в случае ЧИМ-1, Тп — минимальный положительный корень уравнения

Тп = ^(|<г(*п+Т„-0)|).

Комбинированная модуляция

Например, широтно-амплитудная модуляция, при которой = пТ, где ап = тп = ап, при пТ < £ < пТ + тп 0, при пТ + тп<Ь <{п+ 1 )Т з1дпа(пТ), при \а(пТ)\ < 1 <т(пТ), при \а(пТ)\ > 1

7\Р|<т(пТ)|, при \сг(пТ)\ < 1 Т, при \(т(пТ)\ > 1

Среди систем с импульсной модуляцией лучше всего изучены системы с АИМ. Это объясняется тем фактом, что в случае стационарной непрерывной линейной части они легко могут быть сведены к дискретным системам с постоянными коэффициентами (разностным схемам).

Методы исследования дискретных систем хорошо известны (см., например, [4, 20, 23, 28, 36, 37, 38]).

Изучение поведения системы между тактами в большинстве случаев также не встречает серьезных трудностей.

Если применить описанную выше схему к системам с ШИМ или ЧИМ, то также получаем дискретные уравнения, но уже не с постоянными, а с переменными коэффициентами (которые, к тому же, являются функционалами от вектора состояний х(£)). Единственное исключение представляют системы с ШИМ-1, для которых в работе [45] был предложен оригинальный метод сведения к дискретному случаю со многими нелинейностями.

Для исследования устойчивости дискретных систем с нелинейными коэффициентами В.М. Кунчевичем и Ю.Н. Чехавым в [29, 49] был предложен вариант второго метода Ляпунова, который приводит к трансцендентным неравенствам, зависящим от коэффициентов квадратичной формы, выбранной в качестве функции Ляпунова.

Для исследования устойчивости импульсных систем описываемых функционально-интегральными уравнениями использовался метод, основанный на свойствах положительных ядер интегральных операторов [5], метод прямых интегральных оценок [47] и предложенный В.А. Якубовичем метод интегрально-квадратичных связей [40, 41, 42]. Несколько иной подход, также основанный на втором методе Ляпунова, был развит в работе [19].

В работе [43, 44] было предложено при теоретическом исследовании широтно-импульсной системы заменить ее на амплитудно-импульсную с теми же площадями импульсов. При этом эвристически предполагалось, что если частота импульсации лежит вне полосы пропускания линейного фильтра, то такая замена оправдана. Этот способ получил название принцип "эквивалентных площадей" и долгое время применялся при расчете динамики импульсных систем без строгого математического обоснования.

В работе А.Х. Гелига [46] этот же принцип был применен для систем у которых модулироваться может и частота импульсации. С помощью метода усреднения и априорных интегральных оценок были получены частотные условия устойчивости в целом, которые при стремлении частоты импульсации к бесконечности превращались в известные частотные условия абсолютной устойчивости непрерывных нелинейных систем. Таким образом, в рамках использованного метода было получено теоретическое обоснование принципа эквивалентных площадей для широкого класса законов модуляции.

Другой подход к обоснованию принципа эквивалентных площадей был предложен А.Н. Чуриловым в [39]. Он был основан на методе усреднения и новых интегральных квадратичных связях, с помощью которых удалось для исследования устойчивости импульсной системы в целом непосредственно применить второй метод Ляпунова и частотную теорему В. А. Якубовича. Полученные на этом пути частотные критерии оказались менее ограничительными, чем критерии, полученные в [46].

В дальнейшем эти интегральные квадратичные связи использовались и при исследовании устойчивости импульсных систем с помощью метода априорных интегральных оценок [3], а также при решении других задач: исследовании автоколебательности нелинейных импульсных систем (в смысле В. А. Якубовича) [6, 7, 17], исследовании широтно-импульсных систем фазовой синхронизации [18], исследовании устойчивости нелинейных импульсных систем, при стохастических возмущениях коэффициентов [10, 11, 16, 22], стабилизация импульсных систем периодическим внешним воздействием [21], при синтезе стабилизирующего управления в нестационарных импульсных системах [9, 12, 13].

Заключение

В диссертации получены следующие результаты:

1. Рассмотрена асимптотическая устойчивость состояния равновесия нелинейной импульсной системы, описываемой системой функционально-дифференциальных уравнений с разрывным нелинейным оператором в правой части. Получена нижняя оценка на частоту импульсации при которой асимптотическая устойчивость состояния равновесия импульсной системы вытекает из устойчивости по первому приближению эквивалентной нелинейной системы. Тем самым доказана справедливость гипотезы о том, что при достаточно высокой частоте импульсации асимптотическая устойчивость нелинейной импульсной системы вытекает из устойчивости по первому приближению эквивалентной нелинейной системы.

2. Получены условия асимптотической устойчивости состояния равновесия нелинейной импульсной системы в критическом случае наличия одного нулевого корня характеристического уравнения линеаризованной эквивалентной системы.

3. Для импульсной системы, описываемой функционально-дифференциальным уравнением п-го порядка осуществлен аналитический синтез стабилизирующей обратной связи (сигнал на входе импульсного модулятора), при которой состояние равновесия устойчиво в целом, если частота импульсации удовлетворяет полученной нижней оценке.

4. Для импульсной системы, описываемой функционально-дифференциальным уравнением п-го порядка построено робастное стабилизирующее управление, которое обеспечивает устойчивость в целом замкнутой системы при выполнении найденной нижней оценки на частоту импульсации.

1. Айзерман М.А., Гантмахер Ф.Р. Устойчивость по линейному приближению периодических решений системы диффернциальных уравнений с разрывными правыми частями // ДАН СССР, 1957, Т 116, N 4.

2. Айзерман М.А., Гантмахер Ф.Р. Устойчивость по линейному приближению периодического решения системы диффернциальных уравнений с разрывными правыми частями / / Прикладная математика и механика, Т XXI, 1957, с. 658-669.

3. Айвазян Э.Ю., Гелиг А.Х. Устойчивость асимхронных импульсных систем с комбинированной модуляцией// Автоматика и Телемеханика, 1993. N 4, с. 108-114

4. Видаль П. Нелинейные импульсные системы. М: Энергия, 1974. 336 с.

5. Гелиг А.X. Динамика импульсных систем и нейронных сетей Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1982. 192 с.

6. Гелиг А.Х. Автоколебания в нелинейных импульсных системах // Вестник Ленингр. ун-та, Сер.1, 1983. Вып. 13.

7. Гелиг А.Х. Автоколебания в импульсных системах с высокой тактовой частотой// Автоматика и Телемеханика, 1984. N 10.

8. Гелиг А.Х. Устойчивость нелинейных импульсных систем по первому приближению. // Прикладная математика и механика, Том 67. Вып.2, 2003

9. Гелиг А.Х. Аналитический синтез стабилизирующего управления по выходу для нестационарных импульсных систем.// Вестник С.Петербург. ун-та, Сер.1, 2004. Вып. 2.

10. Гелиг А.Х., Елхимова Ю.В. Устойчивость функционально-дифференциального уравнения Ито с монотонной нелинейной характеристикой// Вестник С.-Петербург, ун-та, Сер.1, 1995. Вып. 4.

11. Гелиг А.Х., Елхимова Ю.В. Устойчивость нелинейных импульсных систем при случайных возмущениях параметров// Автоматика и Телемеханика, 1995. N 11.

12. Гелиг А.Х., Зубер И.Е. Стабилизация импульсных систем с нестационарной линейной частью.// Вестник С.-Петербург. ун-та, Сер.1, вып.1(Ш), 2003.

13. Гелиг А.Х., Зубер И.Е. Стабилизация нестационарных импульсных систем.// Автоматика и Телемеханика, 2004. N 5.

14. Гелиг А.Х., Кабриц М.С. Асимптотическая устойчивость нелинейных импульсных систем. //Вестник С.-Петербург, ун-та, Сер. 1. 2003. Вып. 2.

15. Гелиг А.Х., Кабриц М.С. Стабилизация нелинейных импульсных систем // Вестник С.-Петербург, ун-та, Сер.1. 2004. Вып. 1.

16. Гелиг А.Х., Санкина Н.А. Устойчивость первого класса функционально-дифференциальных уравнений Ито в критическом случае одного нулевого корня// Вестник С.-Петербург, ун-та, Сер.1, 1998. Вып. 2, с. 19-23.

17. Гелиг А.Х., Чурилов А.Н. Условия автоколебательности нелинейных систем// Вестник Ленингр. ун-та, Сер.1, 1985. Вып. 1.

18. Гелиг А.Х., Чурилов А.Н. Колебания и устойчивость нелинейных импульсных систем. СПб: Изд-во С.-Петербург, ун-та, 1993. 266 с.

19. Гелиг А.Х., Чурилов А.Н. Об устойчивости в целом систем с импульсным воздействием.// Дифференциальные уравнения (Минск),1997, N6, С. 748-753.

20. Гелиг А.Х., Чурилов А.Н. Динамика систем с импульсной модуляцией.// С.-Петербург, ун-та, Cep.l), Bbin.l(Nl), 2003.

21. Гелиг А.Х., Чурилова М.Ю. Стабилизация импульсных систем периодическим внешним воздействием// Сборник "Анализ и управление нелинейными колебательными системами" С.-Петербург: Наука, 1998, с. 5-21.

22. Гелиг А.Х., Елхимова Ю.В., Чурилов А.Н. Устойчивость одного класса функционально-дифференциальных уравнений Ито// Вестник С.-Петербург, ун-та, Сер.1, 1994. Вып. 2. с. 3-9.

23. ДжуриЭ. Импульсные системы автоматического регулирования. М.: ГИФМЛ, 1963. 456 с.

24. Кабриц М.С. Синтез стабилизирующих управлений для нелинейных импульсных систем // Дифференциальные уравнения и процессы управления 2003,N4, стр. 26 -37.

25. Кабриц М.С. Асимптотическая устойчивость нелинейных импульсных систем в критическом случае одного нулевого корня / / Дифференциальные уравнения и процессы управления 2004, N2, стр. 68 -81.

26. Кабриц М.С. Устойчивость астатических импульсных систем // Депонирование в ВИНИТИ.

27. Кипнис М.М. Символическая и хаотическая динамика широтно-импульсных систем управления // ДАН, Т 324, N2, 1992.

28. Косякин A.A., Шамриков Б.М. Колебания в цифровых автоматических системах. М: Наука, 1983, 334с.

29. Кунцевич В.М., Чеховой Ю.Н. Нелинейные системы управления счастотно- и широтно-импульсной модуляцией. Киев: Наука, 1970, 340с.

30. Леонов Г. А. О неустойчивости по первому приближению для нестационарных систем. // Прикладная математика и механика, Том 66. Вып.2, М: Наука, 2002, с. 330-333

31. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М., 1950, 472 с.

32. Ляпунов A.M. Исследование первого из особенных случаев задачи об устойчивости движения. JL: ЛГУ, 1963, 116 с.

33. Макаров И.М. (ред.) Время-импульсные системы автоматического управления. М.: Наука, 1997. 221 с.

34. Моргоновский Ю.Я. Импульсные системы управляемой стру- ктуры с тиристорными преобразователями. М.: Энергия, 1976. 248 с.

35. Попков Ю.С., Ашимов A.A., Асаубаев К.Ш. Статистическая теория автоматических систем с динамической частотно-импульсной модуляцией. М.: Наука, 1988. 254 с.

36. Ту Ю. Цифровые и импульсные системы автоматического управления. М.: Машиностроение, 1964, 703 с.

37. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. М.: Мир, 1971. 310 с.

38. Цыпкин Я.З., Попков Ю.С. Теория нелинейных импульсных систем. М.: Наука, 1973. 414 с.

39. Чурилов А.Н. Частотный критерий устойчивости нелинейных импульсных систем// Автоматика и Телемеханика, 1991. N 6, с. 95-194

40. Шепелявый А.И. Частотные условия абсолютной устойчивости и неустойчивости широтно-импульсных систем управления/ / Вестник Ленингр. ун-та, Сер. мат., мех., астр. 1972. Вып. 3.N 13. С. 77-85.

41. Якубович В. А. Об импульсных системах управления с широтной модуляцией // Докл. АН СССР. 1968. Т. 180 N2, С. 290-293.

42. Якубович В.А. Методы теории абсолютной устойчивости (специальные случаи) В кн.: Нелепин Р.А. (ред.) Методы исследования нелинейных систем автоматического управления. М.: Наука, 1975. С. 120-180.

43. Andeen R.E. Analysis of pulse duration sampled-data system with linear elements// IRE Trans. Autom. Control. 1960. Vol. 5, N4, P. 306-313.

44. Andeen R.E. The principle of equivalent areas. Trans. AIEE (Applications and Industry). 1960. Vol. 79. P. 332-336.

45. Delfeld F.R., Murphy G.J. Analysis of pulse-width-modulated control systems// IRE Trans. Autom. Control. 1961. Vol. 6, N3, P. 35-44.

46. Gelig A.Ch. Frequency criteria for nonlinear pulse systems stability// Systems and Control Letters, 1982. Vol. 1, N 6

47. Gulcur И.О., Meyer A.U. Finit-pulse stability of interconnected systems with complete-reset pulse frequency modulators// IEEE Trans. Autom. Control. 1973. Vol. 18, N4, P. 387-392.

48. Khalil H Nonlinear systems.// Prentice Hall. New Jersey. 1996.

49. Kuntsevich V.M., Chekhovoi Yu.N. Fundamentals of non-linear control systems with pulse-frequency and pulse-width modulation. Automatica (IFAC journal), (7): 7-81, 1971.

50. Ling H., Michel A. Stability analysis of pulse-width-modulated feedback systems.// Automatica 37 (2001) p. 1335-1349.

51. Perron O. Uber eine Matrixtransformation// Math.Z., 1930. Bd. 32. s. 465-473