Исследование качественными методами динамики дискретных систем с неоднозначными нелинейностями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

СТЕПАНОВ Александр Владимирович

ИССЛЕДОВАНИЕ КАЧЕСТВЕННЫМИ МЕТОДАМИ ДИНАМИКИ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ С НЕОДНОЗНАЧНЫМИ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ

(01.01.09 — дискретная математика и математическая кибернетика)

Автореферат диссертации на соиска.ние ученой етепеии кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург — 2006

Работа выполнена па кафедре высшей математики факультета, прикладной математики — процессов управления Санкт-Петербургского государственной) университета

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Камачкин Александр Михайлович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

п]х>фессор Бутырский Евгений Юрьевич

кандидат физико-математических наук, доцент Смирнов Николай Васильевич

Ведущая организация:

Военно-морская академия

им. Адмирала Флота Советского Союза

Н.Г. Кузнецова

~^2006 г. в ^ч.-^мин. на заседании

Защит состоится

диссертационного совета К-212 23^.07 по защитам диссертаций на соискание ученой стеленл кандидата фти ко м атемат и чес к их наук при Санкт-Петербургском г<юударствеином университете по адресу: 199004, Санкт-Печ-ербург, Средний пр., д. 41/-13, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. A.M. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

о?

Автореферат' разослан «_ »

C^t-iTS

М^оое г.

Ученый секретарь

диссертационного сонета.,

доктор фпз.-мат. наук, /** ?р

профессор C^J Гор ь кош ft В.Ф.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Импульсные системы широко применяются в современной технике благодаря простоте их реализации, высокой точности и надежности, а также малой энергоемкости; теория импульсных систем бурно развивается в последние десятилетня. Наиболее хорошо изучены импульсные системы, описываемые разностными уравнениями, -дискретные (цифровые) системы. Повышение требований к точности и быстродействию дискретных систем неизбежно приводит к необходимости учета нелинейности реальных элементов, входящих в состав системы, в связи с этим возникает необходимость развития теории нелинейных дискретных систем. Особенно актуальным данный вопрос является при исследовании существенно нелинейных дискретных систем, имеющих в своем составе неаналитические функции фазовых координат (существенные нелинейности). Линеаризация таких систем приводит к математическим моделям, описывающим процессы, не наблюдаемые в реальных физических объектах. Существенные нелинейности данного вида возникают, например, при математическом моделировании различных нелинейных фгаических эффектов (гистерезис в электро- н радиотехнике, трение и люфт в механике, и т.д.). Кроме того, используемые модели позволяют учитывать влияние внешних возмущающих воздействий, действующих на рассматриваемые системы.

Вопросы существования устойчивых колебательных режимов (собственных или вынужденных) в нелинейных системах, а также проблемы точного построения этих режимов, т.е. нахождения их параметров и конфигурации в фазовом пространстве, являются один ми из наиболее актуальных в теории нелинейных колебаний. В диссертационной работе данные задачи рассматриваются применительно к дискретным системам, содержащим нелинейности указанного типа. Исследуются асимптотические свойства собственных к вынужденных колебаний дискретных систем управления.

Другой, несомненно, актуальной проблемой является проблема стабилизации программных режимов автоматических систем управления, В работе изучен вопрос о дискретной стабилизации непрерывных систем управления (стационарных нлн подвергающихся непрерывному ограниченному внешнему воздействию), содержащих неоднозначные существенные нелинейности, которые описываются кусочно-линейными функциями фазовых координат.

Долью диссертационной работы является проведение исследований,

направленных на дальнейшее развитие теории устойчивости дискретных управляемых процессов.

Методы исследований. Прн написании диссертации активно использовались понятие пространства состояний дискретных систем, прямой метод Ляпунова, аппарат математического анализа.

Научная новизна и достоверность результатов. Результаты диссертациошюй работы носят теоретический характер и сформулированы в пиде лемм, теорем и следствий; их достоверность подтверждена доказательствами. Все существенные результаты, представленные в работе, с одной стороны, являются новыми, и, с другой стороны, тесно примыкают к уже известным результатам A.A. Косякина, А. Халаная, Д. Векслера, П. Видаля, В.И. Зубова н других исследователей.

Практическая и теоретическая значимость. Работа теоретическая. Полученные результаты вносят вклад в теорию дискретных систем управления и могут быть использованы при дальнейших теоретических исследованиях, а также прн конструировании дискретных (цифровых) автоматических систем.

Основные результаты, выносимые на защиту:

— Для дискретных систем с неоднозначными нелнпейностями обобщено понятие грубости решений. Для системы с устойчивым объектом обобщен ряд результатов, касающихся предельных свойств решений этой системы и числа установившихся устойчивых режимов.

— Прн рассмотрении дискретных систем с асимптотически устойчивым объектом и почти периодическим (в частности, периодическим) аддитивным возмущающим воздействием пмучены новые результаты, касающиеся асимптотических свойств решений дискретных систем. Показано, например, что грубые решения таких системы сходится с течением времени к асимптотически устойчивым почти периодическим режимам. Доказано также, что число различных установившихся устойчивых движений конечно.

— Аналогичные результаты доказаны для билинейных дискретных систем с почти периодическим аддитивным возмущающим воздействием, для систем с возмущающим воздействием и нелинейной аддитивной добавкой, для систем с нестационарным объектом. В отдельных частных случаях для систем с периодическим возмущающим воздействием приведены критерии существования вынужденных устойчивых режимов: с наперед заданным периодом и числом точек переключения управления.

— Для непрерывных автоматических систем, содержащих неоднозначные нелинейности, описываемые кусочно-линейными функциями фазовых координат, получены достаточные условия существования релейных стабилизирующих управлений как для стационарных систем, так и для систем, подвергающихся непрерывному ограниченному внешнему воздействию. Отдельно рассмотрены случаи непрерывной и дискретной релейной стабилизации.

— Для непрерывной системы с внешним периодическим воздействием и законом управления, описываемым кусочно-постоял ной двузначной релейной характеристикой, приведены критерии существования семейств (континуумов) устойчивых периодических вынужденных решений.

Апробация работы. Отдельные результаты по теме диссертации док лад ывалис ь:

— на Пятнадцатой научно-технической межвузовской конференции «Военная радиоэлектроника; опыт использования и проблемы, подготовка специалистов» (г. Санкт-Петербург, Петродворец, 23-24 марта 2004 г.),

— на IX Белорусской математической конференции {Беларусь, г. Гродно, 3-6 ноября 2004 г.),

— на семинаре Воронежской весенней математической школы «Понтряпшские чтения - XVI» (г. Воронеж, 3-9 мая 2005 г.),

— на международной математической конференции « Еру ги некие чтения - X» {Беларусь, г. Могилев, 24-26 мая 2005 г.),

— на международной конференции «Устойчивость и процессы управления» {г. Санкт-Петербург, 29 нюня - 1 июля 2005 г.),

— на семинаре Второй Международной научной школы «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» {г. Саранск, 1-13 июля 2005 г.),

— на Международной конференции «Дифференциальные уравнения и системы компьютерной алгебры^ (Беларусь, г. Брест, 6-10 октября 2005 г.),

— на IV Всероссийской конференции «Математика, информатика, управление» (г. Иркутск, 1-5 ноября 2005 г.),

— на Международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (г. Воронеж, 12-17 декабря 2005 г.),

— на семинаре Воронежской весенней математической школь: «Понтрягинскне чтении - XVII» (г, Воронеж, 3-9 мая 2006 г.),

— на 34-й, 36-й и 37-й ежегодных научных конференциях аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость«- {факультет ПМ-ПУ СИбГУ, 21-24 апреля 2003 г., 11-14 апреля 2005 г., 10-13 апреля 2006 г., соответствен! го).

Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовало 14 статей в математических журналах и текстов докладов в сборниках материалов конференций.

Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, заключения и списка литературы, включающего 05 наименований. Объем работы составляет 111 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится обзор литературы, примыкающей к содержанию диссертации, обосновывается целесообразность исследований, проводимых в диссертации и излагается краткое содержание диссертации.

В первой главе для дискретных систем с неоднозначными нея иней постам и обобщено понятие грубости решений, введенное A.A. Косякнным. На основе этого понятия проведено качественное исследование микроструктуры пространства состояний рассматривающихся стационарных систем. Для системы с устойчивым объектом обобщен ряд результатов, касающихся предельных свойств решений этой системы и числа установившихся устойчивых режимов.

Далее используем следующие обозначения: штрихом обозначим операцию транспонировання; Е — единичная матрица; Е" ■— п-мерное евклидово пространство; под нормой вектора х € Е" будем понимать евклидову норму \\х\\ = sjx'х; под нормой матрицы М понимается норма, согласованная с евклидовой нормой вектора.

Нелинейные дискретные автоматические системы в весьма общем виде могут быть описаны в Е" системой разностных уравнений вида

Xk+1 ~ F(k,Xk,Uk), к>ко. (1-1-1)

Здесь и далее; к — целый неотрицательный индекс; it G А' С Е"; значения x^.Uko считаем заданными; значение управляющего воздействия ujt-ц в к + 1-Й момент времени (к > fc0) вычисляется по правилу:

f — скалярная кусочно-постоянная функция своих аргументов, множество значений U которой конечно. Данному определению, например, удовлетворяют нелинейности релейного типа (идеальная релейная характеристика, релейная характеристика с пространственным запаздыванием (гистерезисом), релейная характеристика с зоной нечувствительности и пространственным запаздыванием и т.д.).

Решением (движением) системы (1.1.1), соответствующим при к = fco начальному состоянию х^ и начальному значению управляющего воздействия щп, назовем последовательность векторов Хк = х(к,ко, Хк0, щп) е Е", к > к$, где каждое последующее значение вычисляется, исходя из предыдущего значения я*, по формуле (1,1,1).

При исследовании свойств решений разностных систем, описывающих цифровые системы с устойчивым объектом, A.A. Косякиным было введено понятие грубости этих решений. При рассмотрении системы (1.1.1) это определение уточняется в связи с тем, что правая часть этой системы содержит нелинейности более общего вида.

Пусть Xk = х{к, ¿0)^*0. "к») — решение системы (1.1.1), отвечающее начальным данным ko,Xfo,Uka, — соответствующая последовательность управлений. Рассмотрим последовательность пар Zk — (жь "fc-i) £ X X V, к > ко + 1. Обозначим С X х U — множество точек сгущения

последовательности г*. Если X — компакт, то, очевидно, fi(A"o. Хкц, ф 0.

Определение 1.1.3. Решение Хк = х(к,ксистемы (1.1.1) назовем грубым, если существует такая константа S > 0 (называемая степенью грубости решения ж*), что для Vi = {£, и) е Щко, и^) функция /(ст, м) непрерывна, когда — ■у'х \ < S. Систему (1-1.1) назовем грубой, если все ее решения — грубые.

Введенное таким образом определение грубости решения зависит от конкретного вида нелинейности /. Пусть, например, функция / описывает неидеальную релейную характеристику с гистерезисной петлей:

Wfc+i = JWk+bUk), cr*+i = 7'xk+u 7 е Е", ||7|| ф 0, (1.1.2)

h < h, тгц < Ш2,

<7к > h,

(1.1.3)

переключение управления осуществляется по правилу

> II, <7 к < Ь, 1 < 'г.

Щ = 7711, если ик~ 1 — 7712, И ^

= ть н |

и* = Ш2> если ик-,. — »1

Ок <2

(обход петли происходит против часовой стрелки). В этом случае данное выше определение грубости можем переформулировать следующим образом. Определение 1.1.4. Решение системы (1.1.1), где значения управляющего воздействия в дискретные моменты времени вычисляются по правилу (1.1.3), назовем грубым, если для соответствующей последовательности Ок существует натуральный номер К и вещественное число 6 > 0, называемое степенью грубости решения хь> такие что к* — ¿11 > <5> ссл'1 = т^, и |егк — /г| > ¿> если гц^ = »щ, для

Ук > К.

Уточним вид системы (1.1.1). Пусть

= Мхк + дщ, (1.2.1)

М — квадратная п х п-матрица, д € Е", управление и — вида (1,1.2),

Теорема 1.2.1. Пусть собственные числа матрицы М расположены внутри круга единичного радиуса, тогда любое грубое решение системы (1.2.1) сходится при к —* +оо к асимптотически устойчивому периодическолщ решению этой сиспгемы.

Здесь и далее под устойчивостью (асимптотической устойчивостью) решений дискретной системы понимается свойство устойчивости (соответственно, асимптотической устойчивости) в смысле Ляпунова. Аналогичный результат получен для системы вида

Хк+1 = Мхк + Ц\П(хк, щ) + (? 4- №Г2{хк, ик)) ик, (1.2.2)

где п — »-мерные вектор-функцин, — малые вещественные параметры.

Теорема 1.2.2. Пусть собственные числа матрицы М расположены внутри круга единичного радиуса, вектор-функции г; — ограниченные и удовлетворяют условию Липшица по аргументу х в Ж":

31.1,а > 0 : - < и ||® -¡ГЦ,

Ух,уе Е", Уг>еи, г = 1,2,

тогда при достаточно малых значениях любое грубое решение

системы (1.2.2) сходится к асилттотически устойчивому периодическому решению этой системы.

Определение 1.3.1. (A.A. Косякин) Пусть Z € Е™, отображение Т : Z Z. Дискретная система, определяемая парой {Z, Т), называется кусочно-сжимающей, если

1) Z разбивается с помощью кусочно-гладких поверхностей на конечное

число непересекающихся областей Zi, таких, что [JZi = Z;

i

2) на каждой нз областей Z; отображение Т является кусочно-гладким сжимающим взаимно-однозначным отображением (гомеоморфизмом), т.е.

ЗА < 1: \\TzW-TzV>

< А L<1> - I, ViO.^ez,.

Лемма 1.3.1. Пусть вектор-функция Р в определении системы (1.1.1) не зависит явным образом от к, т.е.

х*+1 = ^Чжь«*), (1.3.1)

тогда, если

ЗА < 1: ||г (х(1), у) - Е (х™, и) || < А ||я(1> - я<2>||, Ух(1), € X, Уи е I/,

то формулы (1.3.1), (1.1.2) определяют кусочно-сжимающую систему наХ хи С~Еп+1.

Следствие 1.3.1. Если собственные числа матрицы М расположены внутри единичного круга на комплексной плоскости, то пространство состояний X грубой системы (1.2.1) разбивается на конечное число областей, каждая из которых принадлежит к одному из трех возможных типов: невозвратная, периодическая ы неподвижная. Все двиоюения из невозвратной области покидают ее за один шаг и более в нее не возвращаются. Все движения из р-периодической области (возможно, неодносвязной), где р — период установившегося решения, возвращаются в нее роемо за р шагов. Все решения из нсподвио^ной области не покидают ее с ростом к. Внутри каждой р-периодической области имеется единственная р-периодическая точка отображения Т, а внутри неподвижной области — единственная неподвижная точка отображения Т.

Следствие 1.3.2. Если собственные числа матрицы М расположены внутри единичного круга на комплексной плоскости, то грубость является типичным свойством системы (1.2.1).

Для системы (1,2.1), (1.1,3) приведены примеры построения отыскания собственных периодических режимов. Получен, в частности, следующий результат:

Лемма 1.3.2. Пусть собственные числа матрицы Л/ расположены внутри единичного круга на комплексной плоскости. Для того, чтобы грубая система (1.2.1), (1.1.3) «меда по крайней мерс одно периодическое решение, отличное от неподвижной точки, достаточно, чтобы были выполнены неравенства:

у (Е - Л/)-1 фП1 > к, 1 (Е - му1 Г/7712 < /1.

Во второй главе проводится дальнейшее исследование асимптотических свойств решений дискретных систем. При этом рассматриваются системы с периодическим и почти периодическим внешним воздействием.

Рассмотрим, например, систему

хк+1 = Мхк + фь + <№, (2.1.1)

где последовательность <рк £ Е" — почти периодическая, значения управляющего воздействия вычисляются по правилу (1,1,2).

Теорема 2.1.1. Пусть собственные числа матрицы М расположены внутри единичного круга на комплексной плоскости, тогда любое грубое решение системы (2.1.1) сходится при к+ оо к асилттотически устойчивому почти периодическому решению этой системы, которо.му соответствует периодическая последовательность значений управления и*.

Следствие 2.1.1. Пусть собственные числа матрицы Л/ расположены внутри единичного круга, и последовательность <рь — периодическая, тогда любое грубое решение системы (2.1.1) сходится при к —> +оо к асимптотически устойчивому периодическому решению этой системы.

Таким образом, т.к. грубость является необходимым и достаточным условием устойчивости вынужденных колебаний системы (2.1.1), то доказан следующий факт: любое устойчивое решение системы (2.1.1) будет периодическим или почти периодическим, в зависимости от вида последовательности

Если собственные числа матрицы М расположены внутри единичного круга, и последовательность — периодическая, то грубость является типичным свойством системы (2.1.1),

Приведенный результат легко распространяется на систему более общего,

чем (2.1.1), вида

Xk+\ = Л/xfc + tp(k,uk),

(2.1.2)

где вектор-функция <р е Е" — ограниченная и почти периодическая по к:

Теорема 2.1.2. Если собственные числа матрицы М расположены внутри единичного круга, то любое грубое решение системы (2.1.2) сходится при к —* +оо к асимптотически устойчивому почти периодическому решению этой системы, которому соответствует периодическая последовательность значений управляющего воздействия иь-Пусть собственные числа матрицы М расположены внутри единичного круга, и вектор-функция — периодическая по к, тогда любое грубое решение системы (3,1.2) сходится при к —* +оо к асимптотически устойчивому периодическому решению этой системы.

Теорема 2.1.5. Пусть система (2.1.1) (или (2.1.2)) — грубая, тогда ее пространство состояний X разбивается па конечное число областей не обязательно односвязных, так, что все решения, исходящие из при фиксированном к = ко, стремятся к определенному

асимптотически устойчивому почти периодическому (периодическому, если последовательность ¡рь - периодическая или функция 1р — периодическая по к) решению этой системы. Рассмотрим теперь систему вида

где А1к — почти периодическая последовательность матриц размерности п х п, последовательности (рк, Як £ Е" — почти периодические, значения управляющего воздействия щ вычисляются по правилу (1.1.2).

Наряду с системой (2.2.1) рассмотрим линейную однородную систему

Теорема 2.2.1. Пусть нулевое решение системы (2.2.2) обладает свойством равномерной асимптотической устойчивости, тогда любое грубое решение системы (2.2.1) сходится при к —► +оо к асимптотически устойчивому почти периодическому решению этой системы, которому соответствует периодическая последовательность значений управляющего воздействия и*.

Следствие 2.2.1. Пусть нулевое решение системы (2.2.2) равномерно асимптотически устойчиво, последовательности Alk, <Pk — периодические, тогда любое грубое решение системы (2.2.1) сходится к асимптотически устойчивому периодическому решению этой системы при к —► +оо.

Zfc+i = MkXk + <fik + QkV-к,

(2-2.1)

Xk+i — Л/*аг*.

(2.2.2)

Если последовательность Л/jt — периодическая, то для равномерной асимптотической устойчивости нулевого решения системы (2.2.2) достаточно, чтобы мультипликаторы этой системы находились внутри единичного круга.

Результат теоремы 2.2.1 распространяется на систему более общего, чем (2.2.1), вида

= M(.®jt + <р{к, ut), (2.2.4)

где вектор-функция ограниченная и почти периодическая по к, а

именно:

Теорема 2.2.2. Пусть пулевое решение системы (2.2.2) обладает свойством равномерной асимптотической устойчивости, тогда любое грубое решение системны (2.2.4) сходится при к —* +оо к асимптотически устойчивому почти периодическому решению этой системы, которому соответствует периодическая последовательность значений управляющего воздействия ик.

Следствие 2.2.2. Пусть последовательность Alk и вектор-функция tp периодичны по к, нулевое решение системы (2.2.2) обладает свойством равномерной асимптотической устойчивости, тогда любое грубое решение системы (2.2-4) сходится при к —> +оо к асимптотически устойчивому периодическому решению этой системы.

Усложним задачу. Рассмотрим систему:

Zfc+i = Мкхк + <fik + И\Т\{к, хк, ик) + (qk + Ц2Г2{к, хк, ик)}ик, (2.2.5)

последовательности Ait, qk — почти периодические; rif2 — ограниченные функции своих аргументов, почти периодические по к\ /¿i;? — малые вещественные параметры.

Теорема 2.2.3. Пусть нулевое решение системы (2.2.2) является равномерно асимптотически устойчивым, тогда, если величины |/ti|, l/ts] достаточно малы, и функции пд удовлетворяют условию Липшица по аргументу х, т.е.

31л* > о : < Li\\x~y]\,

i = 1,2, vjfc > ko, Ух, y e x, Vf e u,

то любое грубое решение системы (2.2.5) сходится при к —► +оо к почти периодическому решению этой систелш.

Следствие 2.2.3. Если последовательности Mkt <fik, Як ~ периодические, функции 1-1,2 — периодические по к, и выполнены условия теоремы 2.2.3, то при достаточно малых значениях /¿i,2 [ любое грубое решение системы (2.2.5) будет сходиться при к —» +оо к периодическому решению этой системы.

Заметим, что установившиеся грубые почти период! 14« кис (периодические) решения системы (2.2.5) будут экспоненциально устойчивыми, если величины достаточно малы.

Доказанный результат очевидным образом распространяется па случай системы вида

хк+1 = Мкхк + хк, ик), где функция 1р — ограниченная, периодическая или почти периодическая по к,

<р(к,Хк,ик) - <р(к,0,ик) = цт(к,хк,и*),

— малый вещественный параметр, функция г удовлетворяет условию Липшица по аргументу х.

Рассмотрим цифровую билинейную систему следующего вида:

£|Н-1 = Мхк + <Рк + (<2хк + Фк + я) ик, (2.3.1)

здесь последовательности <рк, фк € Е™ — почти периодические, (} € Е", Л/, С} — квадратные матрицы размерности п х п.

Теорема 2.3.1. Пусть выполнены неравенства:

р/ + »д||<1, Уве Е/, (2.3.2)

тогда любое грубое решение системы (2.3.1) сходится при к —* +оо к асимптотически устойчивому почти периодическому решению этой системы, которому соответствует периодическая последовательность значений управляющего воздействия ик.

Следствие 2.3.1. Если выполнены неравенства (2.3.2), и последовательности ц>к, фь ~ периодические, то любое грубое решение системы (2.3.1) сходится при к —► +оо к асимптотически устойчивому периодическо.му решению этой системы.

Показано, что результат теоремы 2.3.1 может Сыть использован при изучении вопроса об асимптотических свойствах решений системы с кусочно-линейным законом управления.

В более общем случае, когда билинейная система разностных уравнений имеет вид

х^+1 = Л1к%к + <Рк + (<Эк.Хк + Як) иь (2.3.3)

где Чк £ Е" — почти периодические последовательности, Л/ь, (¿к — почти периодические последовательности матриц размерности п х н, теорема 2.3.1 переформулируется следующим образом.

Рассмотрим вспомогательную линейную систему

аг*+1 = (Мк + хк, {и*}^ С и. (2.3.4)

Теорема 2.3.2. Пусть нулевое решение линейной системы (2.3.4) асимптотически устойчиво равномерно относительно выбора начальных данных ко, хо и последовательности {г'*} С U, тогда любое грубое решение системы (2.3.3) сходится при к —*■ +оо к асимптотически устойчивому почти периодическому решению этой системы, которому соответствует периодическая последовательность значений управляющего воздействия

Следствие 2.3.2. Если нулевое решение линейной системы (2.3.4) асимптотически устойчиво равномерно относительно ко, хо, {г>*} С U, и последовательности Alk, Qk, <Рк, Як — периодические, то любое грубое решение системы (2.3.3) сходится при к —> +оо к асимптотически устойчивому периодическому решению этой системы.

В третьей главе решается задача дискретной стабилизации непрерывных систем вида

х = Ах + си, (3.1.1)

х = Ах + c(tp(t) + и), (3.1.2)

где t > to, х, С € Е", А — квадратная матрица размерности в х п, <p{t) — скалярная функция, непрерывная и ограниченная при t > to (|v?(i)| < ф, ф > 0). Управление и определяется следующим образом: u(t) — f(<j(t)), a(t) = У x(t) (штрихом обозначили операцию транспонирования), 7 е Е",

М * 0.

В частности, рассматриваются следующие нелинейности:

/И*)) =

о,

0)) = 0,

к(а(Ь) — al)

здесь к > О, насыщения:

«(ff(i) 4- al)

l > 0,

/И«-о)) = о, /(ff(i-0))>0,

(3.1.3)

-I < o(t) < -al, f(cr(t —al < cr(t) < al, al < cr(t) < /, Ы < a(i) < /,

> I,

-l < a(t) < -al, f(a(t - 0)) < 0, a{t) < -l,

a G [0,1). В более общем случае учитывается эффект

/Иг)), <r{t)e[-ßl,ßl], /И0) = lK(ß-a)lt <r(t)>ßl, k к (ß + а) г, £Г(0 < -01, здесь ß > 1, нелинейность f — вида (3.1.3).

(3.1.4)

ГШ) -

r(f) < 1Щ/К+ li, "1ь ' < (T(t) - пц/к < 1-2, f{a(t - 0}) = mu

Mi) > гщ/к +12 ' \h < a(t)-m2/K < l2,

f{o{t - 0)) = mj,

K(<j(t) - il), î»i < k(ct(î)-iî) < m2, /(a(i-0)) > mi,

L «И0 - ia), mi < k{<t(î) - i2) < '»a, f(<r{t - 0)) < m2,

(3.1.5)

к > 0, ii < 0 < Î2, mi < 0 < Ш2, обход гпстерезисной петли происходит против часовой стрелки.

Напомним постановку задачи релейной стабилизации: для заданных констант S > 0, е > 0 построить релейные управления заданного вида таким образом, чтобы любое решение системы (3.1.1) пли (3.1,2), начинающееся при t = to в 5-окрестности начала координат Ss, попадало за конечный отрезок времени в е-окресность начала координат St, и оставалось бы в ней при t —* +оо.

Рассмотрим сначала задачу непрерывно/1 стабилизации. Теорема 3.2.1. Пусть для системы (3.1.1) существует линейное стабилизирующее управление û = ку'х, пусть V — положительно определенная матрица, удовлетворяющая уравнению Ляпунова

(A + KCrrf)'v + V(A + ксу ') = -Е, (3.2.1)

и константы Л^г ~ соответственно, минимальное и максимальное собственные числа матрицы V. Тогда, если для заданного е > 0 выполнено неравенство

то управление f(^'x(t)), где нелинейность f — вида (3.1.3), решает задачу релейной стабилизации системы (3.1.1), для любого 6 > £.

Если, кроме того, для заданного S > 0 выполнено неравенство

01 >5 у/МрСх Ш,

то управление /(у'х(1)), где нелинейность / — вида (3.1.4), решает задачу релейной стабилизации системы (3.1.1), для данных е,

Теорема 3.2.2. Пусть для системы (3.1.1) существует линейное стабилизирующее управление й = к-у'х, пусть V — положительно определенная матрица, удовлетворяющая уравнению Ляпунова (3.2,1),

и константы А 1,2 — соответственно, минимальное и максимальное собственные числа матрицы V.

Если для заданных б > 0, 5 > О выполнены неравенства

тах{|М, 1г} < е^ТЬг ^ЦсУЦ)"1,

Ш1п{|т1/к + , 1П2/К + ¿2} > 6у/\2/А1 ||7||,

то управление /(^х^)), где нелинейность / — вида (3.1.5), решает задачу релейной стабилизации системы (3.1.1), для данных е, 6.

Заметим, что построение релейного управления здесь не требует изменения коэффициентов обратной связи, т.е. если "идеальное" управление и решает задачу стабилизации системы {3.1.1), то и неидеальные" управления {3.1.3), (3.1.4) также будут решать эту задачу, при некоторых дополнительных ограничениях.

Теорема 3.2.5. Сохраняя определения, введенные для к, 7, й, V, А1, Аг ранее, положим 7 = 7 — (гс/У, где — положительная константа. Тогда, если для заданного £ > 0 выполнено неравенство

V > Л/А^7А7 + «011^11 - (2«')~1,

где V — минимальное собственное число матрицы Усс'У, то управление /(-у'х(Ь)) вида (3.1.3) решает задачу релейной стабилизации системы (3.1.2), для любого 5 > е.

Если, кроме того, для заданного 6 > 0 выполнено неравенство

^ < й-1/?/ — ц <л/ц-\

то управление /('у'х^)) вида (3.1.4) решает задачу релейной стабилизации системы (3.1.3), для данных е, 6.

Теорема 3.2.6. Сохраним, определения, введенные для к, 7, й, V, А1, Аг, и, ¡л, 7 ранее. Тогда, если для заданных £ > 0, 5 > 0 выполнены неравенства:

\Лг/А1 (К1/£}~1(Ф + к тах{|^1|, /2})||с'К|| - < ц <

< (^ДЦМ тт {К/к + , т2/к + /2} - ||71|) II с^Ц"1,

то управление /(7'х{()) вида (3.1.5) решает задачу релейной стабилизации системы (3.1.2), для данных е, 5.

Построены примеры, демонстрирующие, что для непрерывных систем, в отличие от дискретных, свойство устойчивости вынужденных решений, вообще говоря, не зависит от свойства устойчивости объекта.

Далее рассматривается задача дискретной стабилизации непрерывных автоматических систем.

Управления, стабилизирующие системы (3.1.1), (3.1.2), являются функциями фазовых координат. Эти величины япляюся выходными сигналами измерителей и могут поступать как непрерывно, так н с определенным шагом дискретности h > 0. Управления

«(i) = tt(io + kh), t — ta^ [kh,kh + h),

следуя В,И, Зубову, назовем дискретными. Далее будем записывать дискретное управление в виде u(t<) + kh), подразумевая, что рассматрнвает'ся временной интервал [io + fc/i, to+{k+ 1)Л)> и между моментами переключения управление постоянно.

Рассмотрим сначала систему (3.1.1). Система стационарна, следовательно, не умаляя общности, можем положить to = 0. Доказан следующий результат.

Теорема 3.3.1. Сохраним определения, введенные для к, 7, ü, V, Ai, Аг ■¡miee, Обозшчим

iP(h) = - 1 + /и^^ЦСУН) .

Тогда, если для заданного е > 0 выполнено неравенство

. . [М 1 - 2кф(к) (1 - i>(h))-1 ||7il \\dv\\ VA2 2k \\<?V\\

то дискретное управление /(7'x(kh)), где нелинейность f — вида (3.1.3), решает задачу релейной стабилизации системы (3.1.1), для любого S > е. Если, кроме того, для заданного 5 > 0 выполнено неравенство

01 >5 л/VÄT (1 -Ф(Ь))-1,

то уп1>авлепие J (Уx{kh)), где нелинейность f — вида (3.1.4), решает задачу релейной стабилизации системы (3.1.1), для данных е, 6.

Теорема 3.3.2. Сохраним определения, введенные для к, 7, й, V, Аь Аг, , il>(h) ранее. Тогда, если для заданного е > 0 выполнены неравенства

■т„,|,1П„ i-2«^(h)(i-ш))-' 11711 т та*ш 12}<Чм--

min {К/к + ii|, т2/к +12} > 6у/\2/Ху ||т|| (1 - ^W)"1.

то дискретное управление f(Yx(kh)) вида (3.1.5) решает задачу релейной стабилизации системы (3.1.1), для данных е, 5.

Теорема 3.3.3. Сохраняя определения, введенные для к, 7, й, V, Aj, А2, v, fi, f, ■ф(Н) ранее, обозначим

4>i(h) = h<p\\c\\ е2|№. Тогда, если для заданного е > 0 выполнено неравенство

2IWVW (ф + Ш + к ||7|| - еу/% (1 - 2*||сУ|| Щ

"> 2к (* - n^f - wt т)

то дискретное управление Ji^xito+kh)), где нелинейность f — вида (3.1.3), решает задачу релейной стабилизации системы (3.1.8), для любого 5 > е. Если, кроме того, для заданного 6 > 0 выполнено неравенство

то дискретное управление f ('/x(to+kh))f где нелинейность f — вида (3.1-4), решает задачу релейной стабилизации системны (3,1.2), для данных е, 6.

Теорема 3.3.4. Сохраним определения, введенные для к, 7, й, V, Ль Аг, v, (1, 7, ip(h), rf'iih) ранее. Тогда, если для заданных е > О, S > 0 выполнены неравенства

(«л/5 (* - ii^II2 - iW Ш) < " <

< ll^V'ir1 | min{|mi/K + Iii, т2/к + l2} (1 - ф{Н)) Л

то дискретное управление /(f'xiio+kh)), где нелинейность f — вида (3.1.5), решает задачу релейной стабилизации системы (3.1.2), для данных е, S.

Заметим, что в случае, когда существенная нелинейность содержит участки линейного роста, можно получить аналогичные результаты, рассматривая дискретные системы в качестве самостоятельных моделей.

Рассмотрим, например, систему (1.2.1), где иц = /(о,нелинейность

/ — следующего вида:

тп\/к + Ii,

/{(TbUfc-l) =

fcrfc < mi/i \h < 0k -(<Tk

- u

ml' I. - / ^ I

ffli/K < i2> «jfc-1 — »ilt

_ (Tjt > т2/к+ h Сч ч o^i

7П2, ^ (d-J-ÖJ

< ffjt - т2/к < h, m-i = ni2,

n(<Tk — ii), mi < tt(ak — ¿1) < »12> uk-i > mi,

, «(а* - i2), mi < к(<7к - h) < "12, 1U-1 < "12,

« > 0, ii < 0 < h, m\ < 0 < t»2, обход гистерезпсной петли — против часовой стрелки.

Обобщим результат теоремы 3.2,2:

Теорема 3.3.6. Пусть для системы (1.2.1) существует линейное стабилизирующее управление й = «7'х. Обозначим М = М + Kj'q. Пусть V — положительно определенная матрица, удоолеч пворяющ ал изменению Ляпунова

M'VM-V = -Е, и константы Л|;2 — соответственно, лшнималъное и максилха,гьиое собственные числа матрицы V. Тогда, если для заданных е > 0, 5 > 0 выполнены неравенства

max{j(i|, 12) < 2е^/Х\/А2 ^ai + \Ja\ + 4а-2^ ,

где сц = —2 ||</'VAf||, аз — —q'Vq, и

inin{|mi/K + /i|, »12/« + '2} > 5t/A2/Ai"||7||,

то управление /(■y'x(t)), где •нелинейность f — вида (3.3.8), решает задачу релейной стабилизации системы (3.3,9), для данных £, 6.

РАБОТЫ, ОПУБЛИКОВАННЫЕ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Статьи в журналах и материалы конференций:

1. Степанов A.D. Предельные периодические движения в цифровых автоматических системах с гистерезисом // Процессы управления н устойчивость: Труды 34-й научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. Н.В. Смирнова, В.Н. Старкова, СПб.: СПбГУ, 2003. С. 108-113.

2. Степанов A.B. Периодические решения одной дискретной системы с неоднозначной нелинейностью // Труды Средневолжского математического общества. 2004. Т. 6. № 1. С, 161-166.

3. Степанов A.B. Отыскание периодических решений одной дискретной системы с гистерезисом // Труды Второй Всероссийской научной конференции «Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB». М.: ИПУ РАН, 2004. С. 696-705.

4. Степанов A.B. О существовании субгармонического периодического решения одной дискретной системы с гистерезисом // Методы возмущения в гомологической алгебре и динамика систем: Межвузовский сборник научных трудов / Отв. ред. В.Н. Щеннпков, Саранск: Морд, ун-т, 2004. С. 121-124.

5. Степанов A.B. О предельных движениях одной дискретной нелинейной системы // Труды Средневолжского математического общества. 2005. Т. 7. № 1. С. 321-327.

6. Степанов A.B. О континуумах периодических решений одной дискретной системы управления // Процессы управления и устойчивость: Труды 36-й межвузовской научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. Н.В. Смирнова, В.Н, Старкова. СПб.: СПбГУ, 2005. С. 103-108.

7. Степанов A.B. О свойствах peuieinift одной дискретной системы с неоднозначной нелинейностью // Устойчивость и процессы управления: Труды между народ ной конференции (Санкт-Петербург, 29 июня — 1 июля 2005 г.) / Под ред. Д.А. Овсянникова, Л,А. Петросяна. Т. 3. СПб.: СПбГУ, 2005. С. 1475-1484.

8. Камачкин A.M., Евстафьева В.В., Каменская С.А., Степанов A.B. Задача В.И. Зубова о существовании и свойствах решений системы управления n-го порядка с неоднозначными нелипейностямн // Устойчивость и процессы управления. Труды международной конференции (Санкт-Петербург, 29 июня - 1 июля 2005 г.) / Под ред. Д.А. Овсянникова, Л.А, Петросяна. Т. 3, СПб.: СПбГУ, 2005. С, 1363-1372.

9. Степанов A.B. О периодических решениях одной дискретной билинейной системы // Материалы международной конференции «Дифференциальные уравнения и системы компьютерной алгебры^ (Брест, 6-10 октября 2005 г.). Минск: БГПУ, 2005. Т. 1. С. 332-336.

10. Степанов A.B. О континуумах периодических решений одной нелинейной системы управления / / Оптимизация, управление, интеллект. 2005. № 2(10). С. 100-108,

11. Степанов A.B. "Устойчивые колебания одной цифровой системы управления // Вестнпк Санкт-Петербургского государствен нот университета. 2006. Сер. 10. Вып. 1. С. 157-102.

12. Степанов A.B. О вынужденных колебаниях одной цифровой системы управления // Труды Средиеволжского математического общества. 2006. Т. 8, № 1. С. 294-301.

13. Степанов А.В, Об одной релейной системе с гнете резне ной характеристикой // Процессы управления и устойчивость: Труды 37-й международной научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. A.B. Платонова, Н.В. Смирнова. СПб.: С116ГУ, 2006. С. 80-8G.

14. Степанов A.B. Существование и расчет устойчивых режимов одной нелинейной цифровой системы управления // Процессы управления и устойчивость. Труды 37-й международной научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. A.B. Платонова, Н.В. Смирнова. СПб.: СПбГУ, 2006. С. 87-93.

Тезисы докладов:

15. Степанов A.B. Периодические решения одной дискретной системы с гистерезисом // Материалы Пятнадцатой межвузовской научно-технической конференции "Военная радиоэлектроника: опыт использования и подготовка специалистов". СПб., Петродворец: ВМИРЭ им. A.C. Попова, 2004. С. 372.

16. Степанов A.B. Предельные движения одной дискретной системы с гистерезисом // IX Белорусская математическая конференция: Тезисы докладов. Ч. 3. Гродно: ГрГУ, 2004. С. 139-140.

17. Степанов A.B. О континуумах периодических решений одной нелинейной системы управления // Еругинскне чтения - X. Меэкдународная математическая конференция: Тезисы докладов, Могилев: МГУ им. A.A. Кулешова, 2005. С. 138-139.

18. Камачкнн A.M., Каменская С.А., Степанов A.B. Строение фазового пространства ii-мерной днссипативной гистерезисной системы / / Еругинские чтения — X, Международная математическая конференция: Тезисы докладов, Могилев: МГУ им. A.A. Кулешова, 2005. С. 122-123.

19. Степанов A.B. О существовании почти периодических решений одной дискретной системы управления // Материалы Воронежской весенней математческой школы "Понтрягинские чтения - XVI". Воронеж: ВГУ, 2005. С. 148.

20. Степанов A.B. О свойствах решений одной цифровой системы управления // Материалы конференции "Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования". Воронеж: Воронежская государственная академия, 2005. С. 213.

21. Степанов A.B. Об одной системе управления с гистерезисной нелинейностью // Материалы Воронежской весенней математческой школы "Понтрягинские чтения - XVII". Воронеж: ОАО "ЦентральноЧерноземное книжное издательство", 2006. С. 175-176.

Подписано в печать 19.09,2006. Формат бумаги 60 х 84 1/16. Бумага офсетная. Печать ризографическая. Усл. печ. л, 1,0, Тираж 100 экз. Заказ 3851.

Отпечатано в отделе оперативной полиграфии НИИХ СПбГУ. 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр.26

Введение

1 Собственные колебания цифровой системы

1.1 Грубые: решения цифровой системы управления.С

1.2 Стационарная система.

1.3 Микроструктура пространства состояний грубой стационарной цифровой систем ы.

2 Вынужденные колебания цифровой системы

2.1 Асимптотические свойства вынужденных колебаний цифровой системы с устойчивым объектом

2.2 Система с нестационарным объектом

2.3 Билинейная система.

2.4 Случай нейтрально-устойчивого объекта.

3 Дискретное управление непрерывными системами

3.1 Задача релейной стабилизации.

3.2 Релейная стабилизация непрерывных систем.

3.3 Дискретная стабилизация непрерывных систем.

Теория импульсных систем достигла к настоящему времени высокого уровня развития. Импульсные системы широко применяются в современной технике благодаря простоте их реализации, высокой точности и надежности, а также малой энергоемкости.

Повышение требований к быстродействию и точности импульсных систем, увеличение их эффективности неизбежно приводит к необходимости учета нелинейности реальных элементов, которые входят в состав систем 1)1, либо г,ведения в нее дополнительных нелинейных элементов,. Наличие нелинейных элементов в импульсной технике придает ей качественно новые свойства, исследование которых на основе теории линейных систем непосредственно невозможно. В связи с этим возникает необходимость в разработке и развитии теории нелинейных импульсных систем. К настоящему моменту доступно большое количество специальной литературы, посвященной исследованию нелинейных импульсных систем (см., например, библиографию |1, 5|).

Наиболее хорошо изучены импульсные системы, описываемые разностными уравнениями (дискретные системы). Одной из первых монографий по динамике дискретных систем является книга Бромберга |2|, в которой исследование устойчивости и автоколебательное/™ импульсных систем проводилось при помощи методов матричного исчисления.

Динамика нелинейных дискретных систем рассматривалась в монографиях П. Видал я |4|, Я.З. Цыпкипа и 10.С. Попкова |5|, а также В.М. Купцевича и Ю.Н. Чехового |б|.

В работах |7, 12, 14, 15, 16, 17\ изучалась устойчивость импульсных систем, состояние которых изменяется лишь и дискретные моменты времени и остается постоянным между ними. Таковыми являются цифровые системы.

В диссертации рассматриваются цифровые (дискретные) системы, содержащие существенные неоднозначные нелинейности. Существенные нелинейности такого типа возникают, например, при математическом моделировании различных нелинейных физических эффектов (гистерезис электро- и радиотехнике, трение и люфт в механике, и т.д.)- Кроме того, используемые мо/щли позволяют учитывать влияние; внешних возмущающих воздействий, действующих на рассматриваемые системы.

Вопросы существования устойчивых колебательных режимов (собственных или вынужденных) в нелинейных системах, а также; проблемы точного построения этих режимов, т.е. нахождения их параметров и конфигурации в фазовом пространстве, являются одними из наиболее актуальных в теории нелинейных колебаний. В диссертационной работе; данные вопросы рассматриваются применительно к дискретным системам, содержащим нелинейности указанного типа. Получены новые; результаты, касающиеся асимптотических свойств собственных и вынужденных колебаний дискретных систем управления.

Другой, несомненно, актуальной проблемой является проблема стабилизации программных режимов автоматических систем управления. В работе изучен вопрос о дискретной стабилизации непрерывных е:и-ет<;м управления (стационарных или подвергающихся непрерывному ограниченному внешнему воздействию), содержащих неоднозначные существенные нелинейности, которые описываются куеочпо-липейпыми нечетными функциями своего аргумента.

Диссертация состой'!' из трех глав. Первые две развивают асимптотические методы, предложенные авторами \12. 14, 15, 16|. Опира.яеь па понятие; грубости дискретных систем, получены новые достаточные условия существования устойчивых периодических (почти периодических) решений этих систем. Первая плава посвящена собственным колебаниям дискретных систем, вторая вынужденным.

В последней рассматривается вопрос о релейной стабилизации (в том число и дискретной) систем, содержащей неоднозначные еущсс/гненпыо нелинейности. При этом развивается под,ход, предложенный В.И. Зубовым \21\. Получены достаточные условия существования релейных стабилизирующих управлений, в том число и дискретных, для стационарных систем, атак же систем, содержащих внешнее возмущающее; воздействие.

Во всех главах используется понятие пространства состояния.

Основные результаты, полученные в диссертации:

Для дискретных систем с неоднозначными нелинейностями обобщено понятие грубости решений. На основе этого понятия проведено качественное исследование микроструктуры пространства соето-я11ий рассматривакм1щхся стационарных сис:тем.

Для системы с устойчивым объектом обобщен ряд результатов, касающихся предельных свойств решений этой системы и числа уета-н о в и в и I ихся усто й ч и в ых реж и м о г.

При рассмотрении дискретных систем с асимптотически устойчивым объектом и почти периодическим (в частности, периодическим) аддитивным возмущающим воздействием получены новые результаты, касающиеся асимптотических свойств, решений дискретных систем. В частности, показано, что грубые решения таких системы сходится с течением времени к асимптотически устойчивым почти периодическим режимам. Показано также, что число различных установившихся устойчивых движений конечно.

Аналогичные результаты доказаны для билинейных дискретных систем с почти периодическим аддитивным возмущающим воздействием, для систем с: возмущающим воздействием и нелинейной аддитивной добавкой, для систем с нестационарным объектом. В отдельных частных случаях для систем с периодическим возмущающим воздействием приведены критерии существования вынужденных устойчивых режимов с наперед заданным периодом и числом точек переключения управления.

Для непрерывных автоматических систем, содержащих неоднозначные нелинейности, отличные от рассматривавшихся В.И. Зубовым и его последователями, получены достаточные условия существования релейных стабилизирующих управлений как для стационарных систем, так и для систем, подвергающихся непрерывному ограниченному внешнему воздействию. Отдельно рассмотрены случаи непрерывной и дискретной релейной стабилизации.

Для непрерывной системы с внешним периодическим воздействием и законом управления, описываемым кусочно-постоянной двузначной релейной характеристикой, приведены критерии существования семейств (континуумов) устойчивых периодических вынуждеп11ых решений.

Заключение