Устойчивость и колебания решений дифференциальных уравнений с гистерезисными функциями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

Глава I. Описание систем с гистерезисными.функциями

§ I, Определение гистерезисной,функции.

§ 2. Классы R и L

§ 3. Системы с гистерезисными нелинейноетями. Существование, продолжимость решений

Глава П. Устойчивость систем с гистерезисными функциями

§ I. Абстрактная теорема о равномерной устойчивости.в. целом

§ 2. Достаточные условия устойчивости (Симметричный сектор). Дихотомия

§ 3. Достаточные условия устойчивости (Несимметричный сектор)

§ 4. Использование форм 4-й степени с целью построения функций Ляпунова для систем с гистерезисными нелинейностями

§ 5. Примеры.

Глава Ш. Неустойчивость и колебания систем с гистерезисными функциями

§ I. Условия слабой неустойчивости

§ 2. Условия существования периодических.решений

§ 3. Примеры

Диссертационная работа посвящена исследованию систем дифференциальных уравнений вида

X = Рх + ,

6" =г*х, Сол) где 1 -постоянная ft* П/ матрица; fy , % - постоянные - векторы, (•*) - транспонирование, - гистерезисная функция (см. гл. I).

Системы такого вида являются математическими моделями систем автоматического регулирования, в которых возникает сухое трение, люфт, некоторые приборы имеют зоны нечувствительности, происходит пространственное запаздывание управляющего сигнала и т.п. С I - б] .

Первые теоретические исследования систем с гистерезисными нелинейностями появились в 40-е годы в работах А.А.Андронова, А.А.Фельдбаума, КраутвигаС 7 - 9.3 . В указанных статьях использовались методы фазовой плоскости и точечных отображений для построения качественной картины поведения траекторий двумерных систем. Рассматриваемые там гистерезисные функции имели определенный, "стандартный" вид. Ряд важных результатов по исследованию двумерных систем с гистерезисом был получен также в более поздних работах Сб, 10 - 152 .

В перечисленных работах изучались системы лишь второго порядка потому, что применение метода точечных отображений к системам более высокой размерности сопряжено с большими техническими трудностями.

Необходимость исследования систем высокого порядка для решения важных инженерных задач привела к созданию ряда приближенных методов, среди которых особое место занимает метод гармонической линеаризации С4, б, 16 - 19] .

Приближенные методы отличаются сравнительной простотой и широко применяются в инженерной практике, однако их применение не является строго математически обоснованным и может приводить к ошибочным результатам [ 20, 21] .

Точные методы исследования систем вида (0.1) появились в начале 60-х годов, вслед за выходом работ В.М.Попова [ 5,22-27]. В последующие годы было получено множество эффективно проверяемых частотных критериев устойчивости, конвергенции, ограниченности, колебательности и т.п. С б, 28, 29, 32] .

Важную роль при установлении этих критериев сыграли результаты Р.Калмана и В.А.Якубовича [33,34] по решению специальных матричных неравенств.

Наряду с частотными появились также алгебраические методы исследования систем вида (0.1) такие, как, например, метод Я.З.Цыпкина [5, 30, 31, 35] . Эти методы основываются на специфических свойствах некоторых гистерезисных функций (в частности, релейных) и позволяют находить периодические решения, удовлетворяющие заранее оговоренным ограничениям.

В 60-х - 70-х годах были созданы различные виды строго математических определений и классификаций гистерезисных функций с целью выявления общих свойств систем с функциями из заданных классов Г24, 25, 36 - 41] .

Появившиеся к концу 70-х годов разнообразные частотные критерии, определяющие типы поведения решений системы (0.1) с различными гистерезисными функциями имеют общую черту.

Как правило, гистерезисная нелинейность выбирается из определенного класса, а на параметры линейной части накладываются условия, равносильные существованию функции Ляпунова заданного вида: "квадратичная форма" или "квадратичная форма плюс интеграл". Вследствие этого, частотные условия не могут быть улучшены в рамках рассматриваемых классов функций Ляпунова С42] .

В 70-е годы для систем с однозначными нелинейностями был разработан метод нелокального сведения Г.А.Леонова, позволяющий строить новые классы функций Ляпунова [42 - 45] . Основная особенность метода нелокального сведения заключается в том, что при построении функции Ляпунова используется информация о поведении траекторий некоторой двумерной системы, что позволяет распространить ряд результатов, полученных ранее для двумерных систем, на системы произвольной размерности.

Наряду с этим, в I97S году Р.У.Брокеттом было предложено использовать формы более высокой степени, чем вторая, с целью построения функций Ляпунова [46] . Воспользовавшись этой идеей, А.И.Баркин и А.Л.Зеленцовский получили новый критерий абсолютной устойчивости систем с однозначными нелинейностями, графики которых расположены в секторе Г 47] .

Указанные два метода получают дальнейшее развитие в настоящей диссертации и применяются к системам с гистерезисными функциями общего вида. С их помощью выведены новые эффективно проверяемые достаточные условия устойчивости в целом с гистерезисом, а также частотные условия слабой неустойчивости и критерии существования периодических решений. Приведены примеры, показывающие, что в некоторых случаях новые критерии улучшают известные ранее оценки и уточняют оценки, полученные с помощью метода гармонической линеаризации. Изложенные в диссертации результаты в основном опубликованы в работах Г 48 - 50] .

Диссертация состоит из введения, трех глав и приложения. В первой, вспомогательной, главе формулируется абстрактное определение гистерезисной функции и устанавливается, что все "стандартные" гистерезисные нелинейности, известные в инженерной практике, удовлетворяют этому определению. Особо выделяются классы гистерезисных функций, имеющие большое прикладное значение и обсуждаются проблемы существования и продолжимости решений.

1. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин C.3., Железцов H.A. Теория колебаний. M.:.Физматгиз, 1959.

2. Воронов А.А., Титов В.К., Новогранов Б.Н. Основы теории автоматического регулирования и управления. М.: Наука, 1979.

3. Фельдбаум А.А., Бутковский А.Г. Методы теории автоматического управления. М.: Наука, 1971.

4. Попов Е.П., Пальтов И.П. Приближенные методы исследования нелинейных автономных систем. М.: Физматгиз, I960.

5. Цыпкин Я.3.Релейные автоматические системы. М.: Наука, 1974.

6. Нелепин Р.А. (ред.) Методы исследования нелинейных систем автоматического.управления. М.: Наука, 1975.

7. Андронов А.А., Баутин Н.Н. Об одном вырожденном случае общей задачи прямого регулирования. Докл. АН СССР, 1945, т. 46, №7, с. 304 - 306.

8. Фельдбаум А.А. Простейшие релейные системы автоматического регулирования. Автоматика и телемеханика, 1949, т. 10, № 4, с. 249 - 260.

9. Kroiutwip. ihlbiXiic^SUJit^SALthuMQZ* (XYb h,1..friths oiew^z %~tMA сиъ hLcutcL inw -Ourchiv jur Uet£rottckrtKtv.ZS,fi/2, 194, P.

10. Казакевич В.В. Многократные системы и простейшие динамические модели часов. Докл. АН СССР, 1950, т. 74, № 4, с.666-668.

11. Казакевич В.В. К теории спусковых.регуляторов. Автоматика и телемеханика, 1951, № I, с. 41 - 60.

12. Петров В.В., Уланов Г.М. Теория двух простейших релейных систем регулирования. Автоматика и телемеханика, 1950, № 5, с. 289 - 299.

13. Петров В.В., Уланов Г.М. Использование жесткой и скоростной обратных связей для подавления автоколебаний двухкаскадного сервомеханизма с релейным управлением. Автоматика и телемеханика, 1952, № 2, с. 121 - 133; № б, с. 744 - 746.

14. F. tt-Getdawi, ???с*е cm f/ie phase. pictrxz, awEytiS of a rzZay control systems, Гк-t.^.ConW , rti /ЭWtf>.H9$-So4.

15. Брусин В.А. Динамика простейшей модели следящей системы с люфтом. Горький, Радиофизика, 1962, т. 5, № 4, с. 751 - 764.

16. Попов Е.П. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления. М.: Наука, 1979.

17. Т.£. Caugihey Sinusocda-d excr-fat'of\ wiU Sibnaout h^itmis.oi Ctppt. nuth.tr.2h»4jMoti>.

18. TX Cau^h-ey. p.a^cf<om zxaibbron of a syifari w;bhblihtar ^jsfer-cys.of Oppt 9vech. ,\л2?( И, 19*0,/>.

19. Айвен. Установившиеся колебания системы с ограниченным проскальзыванием. Прикладная механика, 1968, № 4, с. 278 - 283.

20. Наумов Б.Н. Теория нелинейных автоматических систем. М.: Наука, 1972.

21. Лурье А.И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования. М.: Гостехиздат, 1951.

22. Попов В.М. Об абсолютной устойчивости нелинейных систем автоматического регулирования. Автоматика и телемеханика, 1961, №8, с. 961 - 979. . .

23. Попов В.М. Гиперустойчивость автоматических систем. М.: Наука, 1970.

24. Якубович В.А. Частотные условия абсолютной устойчивости регулируемых систем с гистерезисными нелинейностями. Докл.АН СССР, 1963, т. 149, № 2, с. 288-291.

25. Якубович В.А. Метод матричных неравенств в теории устойчивости нелинейных регулируемых систем. III Абсолютная устойчи-. вость систем.с гистерезисными нелинейностями. Автоматика и телемеханика, 1965, № 5, с. 753 - 763.

26. Якубович В.А., Частотные условия устойчивости решений нелинейных интегральных уравнений автоматического управления. -Вестник ЛГУ, 1967, № 7, с. 109 125.

27. Гелиг А.Х. К расчету устойчивости систем регулирования с запаздыванием и люфтом. Знергомашиностроение, 1967, № 7, с.40 - 41. . .

28. Белова Д.А., Нетушил А.В. Об абсолютной устойчивости систем регулирования с неоднозначными нелинейностями типа "люфт" и. "упор". Автоматика и телемеханика, 1967, № 12, с. 58 - 64.

29. Брусин В.А. Об абсолютной устойчивости следящей системы с люфтом. Горький, Радиофизика, 1964, № 3, с. 17-29.

30. Зубов В.И. Колебания в нелинейных управляемых системах. Л.: Судпромгиз, 1962.

31. Зубов С.В. О периодических решениях системы с гистерезисом. Труды Мордовского гос. ун-та, Саранск, 1974, вып. 115, с.1-20.

32. Барабанов Н.Е., Якубович В.А. Абсолютная устойчивость систем регулирования с одной гистерезисной нелинейностью. Автоматика и телемеханика, 1979, № 12, с. I - 13.

33. Kciiman JLja.pur\ov~ ■FuKch'onS for pho^&rv-» бЦ Jluf-'e- Ск (Xubma't^ Сок^г-oZ .Peoc • 1ДГ2 ; vr 4 9, 7-So.

34. Якубович В.А. Решение некоторых матричных неравенств, встречающихся в теории автоматического регулирования. Докл. АН СССР, 1962, т. 143, № 6, с. 1071 - 1080.

35. OdJhzrtoY) D.P., СЬиьд. J.K. Ж* (ЫгггыпосЫоп oS$ ptrio-cUc. modish и QslLclq tU1.-fc.^.&nXa^t M66 ip.fos'-i26.

36. Красносельский M.A., Покровский А.В. Виброустойчивость решений дифференциальных уравнений. Докл. АН СССР, 1970, т. 195,3, с. 544 547. .

37. Красносельский М.А., Покровский.А.В. Системы гистеронов. -Докл. АН СССР, 1971, т. 200, № 2, с. 286 289.

38. Покровский А.В. Нелокальная продолжимость решений виброустойчивых уравнений. Докл. АН СССР, 1973, т. 208, № 6,с. 1286 1289. . .

39. Покровский А.В. К теории гистерезисных,функций. Докл. АН СССР, 1973, т. 210, № 6, с. 1284 - 1287.

40. Козякин B.C., Красносельский М.А., Покровский А.В. Виброустойчивые гистероны. Докл. АН СССР, 1972, т. 206, № 4, с.800-803.

41. Гелиг А.Х. Устойчивость нелинейных систем регулирования. Дисс. на соискание степ, доктора физ.-мат. наук, ЛГУ, библ. им. Горького.

42. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость.систем с неединственным состоянием равновесия. М.: Наука, 1978.

43. Леонов Г.А. Теорема сведения для.стационарных нединейностей. Вестник ЛГУ, 1977, № 7, с. 38 - 42. . .

44. Леонов Г.А. Об одном расширении.частотного критерия В.М.Попова для нестационарных нелинейностей. Автоматика и телемеханика, 1980, № II, с. 21 - 27.

45. Леонов Г.А. Необходимые частотные условия абсолютной устойчивости нестационарных систем. Автоматика и телемеханика, 1981, № I, е.,15 - 20.

46. Брокетт Р.У. Алгебры Ли и группы Ли в.теории управления. Сб. Математические методы в теории систем. М.: Мир, 1979.

47. Баркин А.И., Зеленцовкий А.Л. Критерий абсолютной устойчивости нелинейных систем управления. Автоматика и телемеханика, 1981, № 7, с. 5 - 10. . .

48. Леонов Г.А., Филина М.Ю. Необходимые условия устойчивости в целом дифференциальных систем с гистерезисной правой частью. В сб. Проблемы современной теории периодических движений. Ижевск, 1981, № 5, с. 39 44.

49. Леонов Г.А., Филина М.Ю. Неустойчивость и колебания систем с гистерезисными нелинейностями. Автоматика и телемеханика, 1983, № I, с. 44 - 49.

50. Филина М.Ю. Использование форм 4-й степени с $елью построения функций Ляпунова для систем с гистерезисными нелинейностями. Деп. ВИНИТИ от 20/Х - 1982, № 5218-82 Деп.

51. NolcfuS S.J- Со^ркЬаЬсоп of а Уомгг 4ош*о( of-попЬъеаг оampti-bi^dzi.au-Ьпла-Ьгах , \r. M, P. цъ4 кЪ^.

52. Филиппов А.Ф. Об условиях существования решений многозначных дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения, 1977, т.13, № б, е.1070 - 1079. .

53. Буркин И.М., Якубович В.А. Частотные условия существования двух почти периодических решений в нелинейной системе автомати-. чес ко го управления. Сибирский матжурнал, 1975, № 5, с.916-924.

54. Айзерман М.А., Гантмахер Ф.Р. Абсолютная устойчивость нелинейных регулируемых систем. М., Изд-во АН СССР, 1963.

55. Левин Л.Ю. Об устойчивости решений уравнения второго порядка. Докл. АН СССР, 1961, т. 141, № б, с. 1298 - 1301.

56. BrocK.-e.tt /2.U/. Optim*,ваЪоп theory wd "bUx. 0-f t/te сtiiwo* .Proc.NZC*, V.2i.,4?6S,f>. 637 57.,Каргу Л.И. Системы угловой стабилизации космических аппаратов. М.: Машиностроение, 1980.

57. Джекот, Лиска. Применение гиростабилизаторов в системах управления угловым движением космического аппарата. Вопросы ракетной техники, 1967, № 2, с. 73 -.75.

58. Леонов Г.А. Некоторые вопросы динамики нелинейных систем регулирования. Дисс. на соискание степ, кандидата физ.-мат.наук, ЛГУ, библиотека им. Горького. , . .

59. Леонов Г.А., Заварыкин В.М., Иоффе И.В. Частотные методы в теории колебаний. Курск, КГПИ, 1974.

60. Барбашин Е.А., Табуева В.А. Динамические системы с цилиндрическим фазовым пространством. М.: Наука, 1969.