Вынужденные устойчивые периодические режимы в системах управления с монотонными нелинейностями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.11 ВАК РФ

Институт проблем управления

На правах рукописи

Семенов Михаил Евгеньевич

ВЫНУЖДЕННЫЕ УСТОЙЧИВЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕЖИМЫ В СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ С МОНОТОННЫМИ НЕЛИНЕЙНОСТЯШ

Специальность 01.01.II - системный анализ и

автоматическое управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1992

'Работа выполнена в ордена Ленина Институте проблем управления.

Научные руководители: доктор физико-математических

наук, профессор М.А.Красносельский, доктор физико.-математических наук А.В.Покровский.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор А.Д.Мышкис, кандидат физико-математических наук А.А.Кравченко.

Ведущее предприятие - Воронежский политехнический инотитут.

Защита состоится и_и_1993 г.в_

часов на заседании специализированного совета Д.002.68,03. Института проблем управления /1X7806, Москва, ул. Профсоюзная, д. 65/.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИПУ.

Автореферат разослан "_и_1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета

кандидат технических наук О,А.Власов

1 -3- -1

I 1 '

I I 1

Актуальность работы. К числу классических проблем теории управления относится задача изучения вынувденных периодических режимов в системах управления. Особый интерес представляет задача об устойчивости нынузденных периодических режимов в системах управления. В случае, когда периодический режим известен, для анализа его устойчивости применимы классические методы Ляпунова и развитые в последние десятилетия методы абсолютной устойчивости. Менее изучена ситуация, когда периодический режим заведомо с/цеств/ет но неизвестен в явном виде.

К настоящему времени, большинство результатов, относящихся к проблеме существования устойчивых периодических режимов в системах управления, относятся к системам, динамика которых описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями. Необходимость учета сложных нелинейностей требует перехода к уравнениям качественно друзой природы. В частности, представляет интерес системы управления, содержащие, помимо функциональных-нелинейностей, нелинейности гистерезис-ного типа. Возможность изучения таких систем основывается на развитой в последние годы М. А. Красносельским и А. В. Покровским операторной тра товке нелинейностей гистерезисной природы. X

^ М.А.Красносельский, А.В.Локр:>:зский. Системы с гистерезисом// М.. "Наука". 1983, 2'Л с.

Задача о существовании устойчивых периодических режимов в системах управления с гистерезисными нелинейностями имеет ряд специфических особенностей. К их числу относятся "необычность" фазовых пространств систем с гистерезисными нелинейностями, включабщих в себя пространства состояний соотве-вствующих гистерезисных преобразователей, негладкость операторов, являющихся математическими моделями гистерезисных не-линейностей и некоторые другие.

В связи с этим актуальна проблема выделения достаточно широкого класса систем управления с функциональными и гистерезисными нелинейностями, в которых заведомо реализуются устойчивые периодические колебания.

Цель работы. Нахождение достаточных условий, при выполнении которых у систем управления с функциональными и гистерезисными нелинейностями существуют устойчивые периодические режимы. Выяснить возможность приближенного построения таких режимов.

Методы исследования. Общая теория управления, качественная теория дифференциальных уравнений, функциональный анализ, операторная теория гистерезиса.

Научная новизна результатов: :

- получены достаточные условия существования вынужденных устойчивых периодических режимов для одноконтурных систем упра-

I

вления с гистерезисными нелинейностями;

- установлена применимость итерационной процедуры /модификации челночного алгоритма/ для приближенного построения ycтoйч^

периодических режимов в системах с гистерезясными колинейностями. в

Теоретическая и практическая ттанность. Работа теоретическая. Найдены условия существования устойчивых периодических режимов в системах управления с функциональными и гистерезисными нелиней-ностями. Исследована сходимость специальной итерационной процедуры.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах Института проблем управления /1989 г., 1991 г./ и Института Проблем передачи информации /1991 г./, на воронежских зимних математических школах /1988 г., 1990 г./, на 14-ой школе по теории операторов в функциональных пространствах /1990 г., г.Новгород/, на 10 конгрессе ИФАК /1990 г., г.Таллинн/.

_Публика1цга. По теме диссертации опубликованы четыре работы.

Личный вклад. Результаты работы получены автором самостоятельно .

Объем и структура работы. Диссертация изложена на 99 страницах машинописного текста, состоит из введения, пяти параграфов, 7 рисунков .. списка литературы, включающего 56 наименований.

Содержание диссертаттии.

0.1. Первые два параграфа носят вспомогательный характер. В § 1 излагаются в основном известные факты. Здесь, в удобной для дальнейших построений форме приводятся описания таких гистерезис-ных нелянейностей как обобщенный люфт, неидеальное реле, преобразователь Прейзаха-Гилтая. Затем вводится понятие абстрактного ги-стерезисного преобразователя. Все гистерезисные нелинейности трактуются в смысле Красносельского-Покровского /12/ как преобразователи с пространствами возможных состояний и соотношениями вход-состояние и состояние-выход. В заключительном разделе § 1 обсуждается понятие грубого входа для абстрактного гистерезисного

преобра&ователя.

§ 2 посвящен уравнениям динамики управляемых систем с функциональными и гистерезисными нелинейностями и понятию устойчивого решения этих систем.

. Пусть W - линейное звено с дробно-рациональной передаточной функцией

(0.1)

ш/ 1 М(р)

= Т7рГ~

где И(р) и L(p) - многочлены степеней m . и (Л. соответственно с постоянными вещественными коэффициентами:

M(p>-Vof>m+ -: * У« , (0-2>

Lip) = pn*aip"'i+ . . . + {0-3)

где т < п.

При гладком вхрде U. (t) выход X (t) линейного звена W связан с ним дифференциальным уравнением

(0.4)

Уравнение(0.4Х как известно /см., например, /20//, эквивалентно системе

г = /)г ♦ 6и Ш. ю.5)

Здесь гП), - вектор-функция со значениями в ¡¡ч.'* , переменное состояние линейного звена \Д/ . Наиболее прост переход от уравнения(0.4)к системе (0.5), в которой постоянная матрица Д размерности п х а и фиксированный вектор . в из имеют вид

{ О 1 О

1

% О О I

о 1

о

Г*

А =

\ о о о

- а -а -о.

"л Л-1 "л-1

где

п-т-1

-I

- О

3, = &г -- ...

* . . . + С« а,* = .

Выход X Ш линейного звена \А/ определяется по его переменному состоянию 2 И) равенством

£ (О = (х Ц), с ) , ',0.6)

т\це п -мерный вектор С = ( * , О, , . , 0 ) ,

Обозначим через { Г, € ) гистерезисный преобразователь, зходно-выходные соответствия которого определяются уравнениями '

* со = е сои ю

* »

(0.7) (0.8)

ши) = Г1ю01 ха) .

Здесь С - Функционал, определенный на пространстве возможных состояний преобразователя ( Г, ^ ) . ГСиОв) - одно-

значный оператор, зависящий от начального состояния су„ £ Л как от параметра и ставящий в соответствие калщому допустимому

входу хИ) переменное состояние м(1) с Предполагается, что пространство возможных состояний гисте-

резисного преобразователя не зависит от времени £ . Будем считать, что преобразователь- (Г,о обладает следующими свойствами:

1. Допустимыми для преобразователя ( Г, , находящегося в начальном состоянии и)в £ й являются все непрерывные входы I (4) , заданные на любом конечном промежутке

£ Р,Т ] (Т>0) и удовлетворяющие включению

х(о) е г (<е(ц>в)),

где ^ - фиксированный непрерывный функционал, определенный на множестве Л , а г - фиксированное полунепрерывное сверхотображение Г-К1 .

2. Пространство возможных состояний £1 снабжено метрикой р и оператор Р при каждом фиксированном начальном состоянии О!о удовлетворяет условию Липшица по входам

(ое^о)

равномерно относительно и)0 & • Здесь

пространство непрерывных на [ О,Ь ] функций и

Их Сс)|| = шах I зс (т)| . ссо,1] та

3. Ддя любого непрерывного входа Ы-Н) (.12 0) переменное состояние IX» Ш ("1»о) преобразователя (Г,■С) непрерывно зависит от времени Ь .

•5. Зункицонал С удовлетворяет условию Липшица

| - * и^ш,) ( , д21> О),

Вернемся к системе (0.5)-(О.бХ Пусть управление и (О формируется по закону

и ГО = { и>х(051г(0) , (0.9) ;

где | ('Цх,^) - скалярная гладкая функция трех независимых аргументов. X (1) - выход линейного звена V/ , а ^ ({) - выход гистерезисного преоОразователя (Г,{) .на вход которого поступает сигнал X (О . Уравнения (0.5) - (0.% в дальнейшем, будем трактовать как систему операторно-дифферен-циальных уравнений.

Решением системы (0.5) - (0.9) является удовлетворяющая ей непрерывная вектор-функция {х И), иО И)) со значениями в ¡Я*4 * . первая компонента которой абсолютно непрерывна.

В сделанных предположениях относительно свойств преобразователя (Г, О и гладкости функции индивидуальное решение {:г(0?бо(0) системы(0.5)-(0.9) выделяется заданием начальных условий:

{г(о),ш(С>) 3 -{г0, ш9) , (ГСг0,с) £ {*„«,„} еИ^Л).

Следуя классическому определению, решение С (О)

системы(0.5)-(0.9) назовем устойчивым по Ляпунову, эслн-любоыу

£ > 0 соответствует такое В > 0 , что из соот-

ношений

¡¡¿¿¿¡-г,^,, <8 , р (ц>ц(0) ,и>а) <8-

вытекают неравенства

е , f(LuJí)}caU))<e С 1>о),

где { 2 (О , а)(О } - решение системы(0.':)-(0.9), отгь-

чающее начальным условиям С Z (0),и>(0)} - ÎZ, ,и>0)

0.2. В § 3 вводится новое понятие - понятие регулярного линейного звена. Линейное звено W , входно-выходные соответствия описываются уравнениями(0.5)-(0,6)назовем регулярным, если его импульсная характеристика h ({)

¿(0= (€АЧС) (UO) (0>10)

положительна при t > 0 , система (0.5)-(0.6) управляема, „ матрица А гурвицева, а ее самое правое собственное число является простым и вещественным и отвечающий ему собственный вектор неортогонален вектору С .

В § 3 условия регулярности линейного звена детально обсуждаются, приводятся известные признаки положительности импульсной характеристики линейного звена. .

Важную роль при доказательстве основных теорем диссертации играет формулируемая и доказываемая в § 3 теорема 1.

Теорема 1.* Пусть линейное звено \Д/ регулярно, тогда множество

К, S соCz : z = A eAtê ; fc.u)

образует телесный конус в ÎR.* .

Центральное место в диссертации занимает § 4. Здесь формируются основные теоремы о наличии в системах вида(0.5)- fc).9) устойчивых Т -периодических режимов, в случае, когда правая часть уравнения (0.9) Т -периодична по первому аргументу. Основная конструкция доказательств также приведена в § 4. Однако, требусцае громоздких выкладок леммы, вынесены в § 5. В заключи-.

* Во введении принята самостоятельная нумерация теорем.

тельном разделе § 4 приводится теорема о существовании в системах управления с функциональными нелинейностями вынужденных устойчивых периодических режимов.

Перейдем к изложению содержания § 4. Пусть пространство возможных состояний рассматриваемой гистерезисной нелинейности (Г,е) является частью банахова пространства £ , полуупорядоченного нормальным конусом К0 .

Неравенство и)г > о01 (ш^О), € Е ) означает,

что со, - Ц>( £ К0 . Через < Шг} и)1> обозначает-

ся конусный отрезок

<шишх> = (со : « и> < с^з .

Преобразователь назовем }(„-правильным, если

он удовлетворяет условиям 1-4 из § 2 и выполнены следующие требования:

-"множество й является выпуклым компактом в некотором конусном отрезке < ? а)* > и си_) € Л ;

- допустимы™ для преобразователя (Г, -2 ) , находящегося в начальном состоянии С ио0 * ио. и)+ ) являются все непрерывные входы X (О (^0) , удовлетворяющие равенству

где ^ - линейный, непрерывный, положительный на конусе Функционал. Если же преобразователь находится в начальном соотоя-нии Со.( ) , то допустимыми для него являются все непрерывные входы и О-) (1^0) , удовлетворяющие соотношению и(0)< 1р(ш.) , (и (о) 9 ¥ (и>*)) ;

- преобразователь (Г, О монотонен по входам у. начальник состояниям, т.е. аз соотношений

ъ u>L} ига)» ш с е Q ; t>o)

вытекает неравенство

Г fccj иг<1) I rfwj и., (О

по конусу Кв , а функционал £ принадлежит сопряженному к

к°нусу К * с Е * ;

- для любого допустимого монотонного на [0,Т ] входа и. (t) верно неравенство

($(*»)-$<OKuitJ-ttCtJ)»0 (Of t^i^T) ,

где ? (t) - выход преобразователя ( Г) О ;

- существуют такие, числа d. , d+ , что из соотношений

uM)=dA + (i-t)d< , ut(t)* dA1-t)+d.t itetOtilt ct.*<e(ou„), et**y(u)t))

вытекают равенства

ГСю-]и.(1)* tt>+) Г[ш>3и~ CO *u>. .

Вход (t < T ) назовем грубым для Ко

правильного гистерезисного преобразователя ( Г, €) , если найдутся такие значения tm,tM€iO,TJ , что

«Л* и .где cf_ и числа,

фигурирующие в описании Kj, - правильного гистерезисного преобразователя.

Рассмотрим систему

* = Az 4 futt),

u (t) = f (t.ift), ^ (t) ), '0ЛЗ)

хсъ, (*(t)f с (°-14)

? (и -- е (ша)),

^ 3 (0.15)

' о

и>а) =■ г [ъи_ ] х ш.

Эта система описывает динамику одноконтурной системы управления с К0 -правильным гистерезисным преобразователем. Здесь сохранены обозначения из § 2. Функция ^ (Ь,1, ^ ) предполагается Т -периодической по первому аргументу.

Решение системы (0.12)-(0. ^назо-

вем грубым, если функция X И) - (х (I), с) Г О 4 4 « Т ) является грубым входом для гистерезисного преобразователя (0.15)-(0.16).

Пусть I) множество пар { 2, си 5 £ ЛГЛ удовлетворяющих одному из соотношений

(г,с)=Р(со) (г,с)*

и,О* Ч>(сиЛ.

Обозначим через VТ действующий в X) оператор сдвига за время Т по траекториям системы(0.12)-(0.16), По определению, оператор Цт ставит в соответствие элементу !( €*В

значение вектор-функции {¿((¡^сиГО) в момент

времени I =Т , где ( 2 (0,а>(^)} - решение систе-

кы(0.12)-(0.1ф, отвечающее начальному условию

Предположим, что линейная система(0,13, (0.1 '0регулярна, тогда пространство 1ЯП * £ иэжко полуупорядочить конусом К= К4Х К0 , где К4 - кзь-ус(0.111

Тогда неравенство { ( си1 } ^удет

означать, что

д

{ -Cz„wtl е К ; (o.i7)

строгое неравенство

{z.,^} > lz,,u)ty

означает, что дополнительно к(0.^выполняется соотношение

. z, - zf е Lnt j<1

где Int Ki - множество внутренних точек конуса . (\{ .

Обозначим через И. - множество тех ( z.fuo) € "D для которых верно неравенство

UTiz,U)b > lz,U>) (0.18)

и через М + множество тех {z , си 1 £ D , для которых

Теорема 2. Пусть система(0.12), (0.14) регулярна, а функция

•j- монотонно возрастает по второму, не убывает по третьему аргументам и удовлетворяет неравенству

.Sup sap dm l*",f(t,i4e)l< ((0.20) OiiiT

Пусть во множествах М- и М+ найдутся такие элементы и (.Z+^CU^J , связанные неравенством

iz.tu).} < X 1+ ,uM ,

что отвечающие им решения системы(0.12)-(0.16)являются грубыми. Тогда система®. 12)-(0.16)имеет по крайней мере одно устойчивое по Ляпунову Т -периодическое решение.

Через С U <■ fi>) обозначим •двухпозидионное

реле ¿'пороговыми числами и ß /см., например, /21//. Пространство состояний

преобразователя Rtrf^J

состоит из двух чисел {0, 1} . Допустимыми для преобразователя Ясй,^] являются все непрерывные входы, iA.it-) (1>0) Начальное состояние и)0 преобразователя Яи,^] на вход которого поступает сигнал и. (О (¿>0)^ должно удовлетворять следующему условию:

О, если ц(0) * сС \ ш0 = ■ 1, если и. (о) р ;

,0 или 1, если оС < и (О) <р . Выход сиИ) преобразователя . совпадающий с

его переменным состоянием, определяется правилом:

0, если и({)<«(

1, если «Ш» $ , если и. СС) е ) при всех I £ [ 0,И

и>Ц)= "{ если найдется такое 1, £ , что (0.21)

(¿(О** и иП)<£ при ТеЦ,^] 1, если найдется та::ое £ £ 0, £ J , что

£ и и.(т)>* при Ъе1ЬиН

Обозначим через Н^ класс непрерывных, ограниченных функций ^ СяЛ , заданных на неотрицательной полуоси и удовлетворяющих условию Липшица с коэффициентом равным единице.

Через обозначим множество скалярных Функций

О! Ц^е) , заданных на полуплоскости - «

и таких, что

' 1, если Ы + ^ < ^ ( -л) _ 0, если г. у ( р )

из (.*,$>) = где у (V) £ У

(0.22)

Множество й,,

- пространство еозио.чных состояний пре-

образователя Прейзаха-Гилтая. На множестве Л ^ ?/-этрггг:у введем соотношением:

где и)г , ) и ,

связаны соотношением(0.221 Допустимыми для преобразователя Прей-заха-Гилтая находящегося в начальном состоянии шв(иф) & являются все непрерывные входы и(1) ({%■&) , удовлетворяющие соотношению и. ( О) - (р 0 (0) , где функции 0 (и ) и СОс ) связаны соотношением(0.22). Соотношение вход -переменн.-з состояние преобразователя Прейзаха-Гилтая устанавливается оператором Г

* Г1ш0(а)р1иИ).= Ягш^),^] иИ). (0.24)

Пусть на определена положительная абсолютно не-

прерывная, интегрируемая на всей полуплоскости функция

Х = \(й,р) . На введем меру

Соотношение состояние - выход преобразователя Прейзаха -Гилтая определяется равенством

5 СО» л (0.26)]

Определим функцию ^(у ) (1>*0) соотношением:

= л«,;) ( (0-27)

Пусть функция ^( и) удовлетворяет неравенству

V < • (0.28)

о

Преобразователь Прейзаха-Гилтая удовлетворяет всем условиям, указанным в § 2.

Рассмотрим систец/ уравнений:

а р ... ' ' (0.29))

г 5 А т * 6u.it)}

u it) =f it,I it), §(*>>, CO.30)

jrt):fz(0,C), (0.3fi

0

^^luiKjs.i)^, V'- i0-32>

• Cv(t>ci>fi) = iiuj0^,p Ix (t) . °-33)

З^зсь сохранены обозначения из § 2. Функция ^ ( t,I , предполагается Т -периодичной по первое аргументу.

Теорема 3. Пусть система (0.2Э, СО.3D регулярна, а функция ■f (i, X , ^ ) монотонно возрастает по второму и третьему аргументу. Пусть выполнено неравенство

SUp 5 Up ¿"L^'f^M^ (0.34)

О tit J

Тогда система (0.26) -(0.32)имеет бесконечное число устойчивых Т -периодических решений.

Существенную роль в теореме 3 играет тот факт, что при рассматриваемых мерах J^ р ни олин Допустимый для преобразователя Прейзаха-Гилтая вход не является грубым.

0.3. Ниже приводится понятие устойчивой неподвижной ючки оператора сдвига U" по траекториям системы (0.12)-Ю.16) и излагается метод приближенного построения устойчивых периодических режимов в системе (0.12) - (0.1бХ в ситуации когда выполнен» условия тео'реш 2. Положим

St = { (z.oji £ Р ; llZ-Zj^fi, liaj-wji <6

Неподвижная точка i оператора сдвига V7 по траекто-

риям систем; 0.12)-(0.16) называется устойчивой, если для любого 6. > о можно указать такое S > О , что при есех натуральных

п верно включение

Если (1 сих } - устойчивая неподвижная точка оператора сдвига 1/т , то решение системы (0.12)-(0.16), отвечающее начальному значению 2 и ,а)Л ) , Т -периодично и устойчиво по Ляпунову.

Для доказательства теоремы 2 устанавливается наличие по крайней мере одной устойчивой неподвижной точки у оператора сдвига, т.е. доказывается

Теорема 4. Пусть выполнены условия теоремы 2, тогда оператор сдвига 1/Т по траекториям системы 0.12)-0.16) имеет устойчивую неподвижную точки.

Пусть выполнены условия теоремы 2. Зафиксируем элементы {¡5. сиЛвМ. и . связанные соотношением

{ < С , Ш*}

которым отвечают грубые решения системы (0.12)-(0.16). По элементам 1и определим такой вектор и0 е ,

что

Зафиксируем убывающую к нулю последовательность положительных чисел

0Г4 > <Уг > . . . > 6-п . . . ,

где ^ < i .

Определим последовательность

(«=',2, ...) <0.36)

следующим образом. Положим

, Г (°-37)

Предположим, что элементы > • • • С г<»-< > ^

последовательности(0.36)уже построены. Определим вспомогательную

последовательность ( "Чт^ ' равенствами

{¡/.Л.* Мгп.„ш„.,} ,

, п .я ^ . ггТ < (0.39)

где

Ят = '

I о 0) .

Если найдется такой номер /л, , что элемент { , } последовательности (0.38), (0.39) удовлетворяет неравенству

^то положим { 2П э СО„ } а 1ут^'Хггн^ • В противном

случае построение элемента [г „ ,Ш„ ) будем считать невозможным.

Теорема 5. Пусть выполнены условия теоремы 2. Тогда при любом натуральном а элементы последовательности (0.36) могут быть построены. При этом выполняются неравенства

И < . . . < <г„,,и>а„) < • . •

< и,,««, 3 ,

где С и - единственные предельные

точки последовательности С гп,ШпУ , являющиеся устойчивыми неподвижными точкам; оператора сдвига и ' .

Если выполнено неравенство ( „ « ) * )

то в условиях теоремы 5 существует одно парата триче с кое семейство ( 0), ш (Б)) ( о (, & 4 \ ) устойчивых неподвижных

точек оператора сдвига , монотонно по конусу К и непре-

рывно по норме зависящее от параметра 9 , причем

Описанный алгоритм построения устойчивых неподвижных точек оператора сдвига VТ является модификацией челночного алгоритма - метода отыскания корректных неподвижных точек у монотонного оператора, действующего в банаховом пространстве с конусом. Челночный алгоритм был впервые предложен М.А.Красносельским и А.В.Покровским.

0.4. Ниже дается понятие устойчивой неподвижной точки оператора сдвига 1/ по траекториям системы (0.29)-(0.3& устанавливается связь мевду ее существованием и наличием в "системе (0.23) -(0.33) устойчивых Т- периодических режимов и приводится схема доказательства теоремы 3.

Положим

£г„,ш*) = Г»Ь .

Неподвижная точка lzЯ)l^O)^) оператора сдвига иТ по траекториям системы (0.29)-(0.33)называется устойчивой если для любого В>0 можно указать такое <Ь>0 , что верно включение:

Каждой устойчивой неподвижной точке оператора I/ Т отвечает устойчивое Т -периодическое решение системы (Ь. 29)-(0.331

Теорема 6. В условиях теоремы 3 у оператора сдвига I/ по траекториям системы (0.29) - (0.33) существует бесконечное число устойчивых неподвижных точек.

Для доказательства теоремы 6 рассматривается' фазовое прост' ранство * * систеш (0.29) -(0.33)1 полуупорядоченное конусом К. = * К+ , где конус - определяется равенством

-2 I -

(0.11), а К + 1 - конус ограниченных неотрицательных Тункций в ^

| с ! . ! пространство непрерывных .'ункнлп, заданных на лолу-

оск с о, ) .3 адлънейшек неравенство означает, что

еК^ е К+ (и* о) <0.41)

где функции иогЫгр, оО,(о(,р ) и (г>) , ^ (и)

связаны соотношением (0.22). Строгое неравенство

Сг„и>,) < Сз.^&г.У (0.42)

означает, что

~21 6 ^ + . (0.43)

В условиях теоремы 3 у оператора сдвига V Т по траекториям систег/ы (0.29)-(0.32) существуеют неподвижные точки и > , связанные соотношением

(0_44)

В дальнейшем предполагается, что Ь - множество пар неподвижных точек оператора 1/Т , связанных неравенством(0.44Х

Б условиях теорег.и 3 каждой паре С из и отвечает, по крайней г/.ере, одна неподвижная точка (х 1 оператора сдвига [/Т , удо&четворяяигая неравен- • сгваг.:

<( 2, шУ < {®ль) ;

Обозначим через Ср оператор, определенный на Ь и ставший в соответствие каждой паре ({^.^Ш-!), }) ::з *-Р не-

подвижную точку [2 ,со} оператора сдвига иГ , удовлетво-

ряккую нэравекства1.,(0.45Х ^

ЗаГ'.-лсируе:.. ва!-:то;;; Л :з внутр.;;:.;ост:: сопряженного :с К<

■-•онуса К,* С К" . Определи?.: последовательность 1

следую"»:--.' образо;.. Полокир.:

[2иа>,)-{;г_,и>-} , --{ 2,( * ,

где Ш.} Cz+/U)■^ } неподв»1:-Д1ые точки оператора

сдв;;га Ц* Т удовлетворяюще соотношению (0.44). Положи.:

11ус гь гкаол1:зио неравенство

тогда третий :■: четвертый члены последовательности (0.46) определи?, равенства!.'"/;

Если же выполнено неравенство

С с/,у-г,) * ,

то и определж соотношениям!

Пусть элементы (г,, 1^,3 ; ..( 2г„.1

К {

последовательности(0.46)у;ге построены. Определив элемент равенство!.:

/у, ^ 3 -- Ф Н2гь.исогп.,Ь, ).

Если выполняется неравенство <

то элементы { И * , ¿¿Ч* Зг

о предел::." со;г:П'')шзы:я;.;,1

l ,ш1»*< л ^гп.г i * ^У, I 3J h

ели же выполнено неравенство <>

У£ -у)

о

Теорема 7. Последовательность Cz„fiO„i сходится к элементу Cz* , . являющемуся устойчивой неподвижной точкой опера-'ора сдвига U Г по траекториям системы (0.29 - (0.331

Примеры, иллюстрирующие теоремы 2 и 3 также приведены в 5 4. В завершающем разделе § 4 рассматриваются одноконтурные системы управления с одной функциональной нелинейностью. Как пзвест-ю, динамика таких систем описывается системой

¿- Az. iQA7)

u.(t) - f et ,x cm, <p-48)

x(t) = (z(t),c ). ША9]

Здесь сохранена обозначении из § 2. Функция | (~i,z) предполагается гладкой и Т -периодической по первому аргументу.

Теорема 8. Пусть линейная система 0.4?, 0.49 регулярна. Пусть функция | (t ) монотонно возрастает па второму аргументу и удовлетворяет неравенству

5«р Lu-'lli.iJHi^.f), OitiT Ix)-**"»

Тогда система(0.47)-(0.49)имеет по крайней «юре одно устоЛтааоо по Ляпунову Т -периодическое ревоние.

В § 5 вынесены доказательства ль.мпы из § 4, тгоЗу* uuvt громоздких внкладох.

Основные результаты.

1. Получены достаточные условие существования вынужденных устойчивых периодических режимов для одноконтурных систем управления с гистерезисными нелинейностями различных типов: теоремы 2 и 3.

2. Установлена применимость итерационной процедуры /модификации челночного алгоритма/ для приближенного построения устойчивых периодических режимов в системах с гистерезисными не-линейностями: теорема 5.

Публикации по теме диссертации.

1. Семенов Н.Е. Об одном классе функций Ляпунова.//В кн. Тезисы докладов R школы по теории операторов в функциональных пространствах. Новгород, 1989, ч. 3, с. 67.

2. Семенов U.E. Устойчивые перяоди<еские решения систем с абстрактным гистерезисным преобразователем. Деп. в ВИНИТИ, ¡i I062-B-92 от 27,03.92.

1 3. Покровский A.B., Семенов Ю. Устойчивые периодические режимы в системах с монотонными нелинейностями.// Автоматика и телемеханика, 1990, В 2, с. 31-37.

4. iircLShoseCsktj И. A., Pe к Го V s Цу A. U , ine po\j М. Е-vSiaSEe periodic osci íi clLÍ ohS insyilems wiiß, inonöLcnßui 'faiilereiis pon L'l nearily.// IWec/ín^S ot ¿/U <Lo»Urtnce t\U'cl /^"«j Gerthes V'trlaysytsliscÜApí, ' Leipzig, I990t j>p.92-$

„ЮСеег*-—

Подл, в печать I2.0I.S3r. Формат бумаги BOj.94 1/lú У.ПЛ. 1,0 Бумага оберт- заказ 28. Тира,« 100

394017, Бороне«, пр. Резолюции, 1J УйП ВТИ