Функциональные методы качественного анализа нелинейных систем управления тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.11 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК СССР

ВСЕСОЮЗНЫЙ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ СИСТЕМНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ СОВЕТ Д 003.63.02

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ КАЧЕСТВЕННОГО АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Специальность 01.01,11 - Системный анализ и автоматическое управление

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

На правах рукописи

ПОКРОВСКИЙ Алексей Вадимович

УДК 681.511.4

АВТОРЕФЕР АТ

У.

Москва 1988

Работа выполнена а Институте проблем управления (автоматики и телемеханики) Минприбора СССР и АН СССР

Официальные оппоненты - член-корреспондент АН ТаджССР, доктор физико-математических наук, профессор В.Я.СТЕЦЕНКС доктор физико-математических наук, профессор Б.С.РАЗУМИ-ХИН; доктор физико-математических наук, профессор А.Д.МЫШ КИС

Ведущая организация - Ленинградский государственный университет имени А.А.Жданова

Защита состоится *_* 198 г. в

_часов на заседании Специализированного совета

Д 003.63.02 при Всесоюзном научно-исследовательском институте системных исследований (117312, Москва, В-312, Проспект 60-летия Октября, 9).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ВНИИСИ

Автореферат разослан *_" 198 г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-математических наук

В.С,Левченков

. ? -и^жр ^ 1

: Л П^ГК

ОБЩАЯ ПРЛКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. К классическим проблемам теории управления относятся та каш аспекты качественного исследования дифференциальных уравнений, описыващих динамику систем управления, как анализ устойчивости состояния равновесия или периодического режима, анализ грубости системы по отношению к возмущению различных, параметров и т.п. В последние годы возрос интерес к анализу указанных проблем для существенно нелинейных систем. Это обстоятельство связано ¡сак о внутренней логикой научного развития, так и с внешними для теории управления факторами. Повышение требований к качеству функционирования систем потребовало учета сложных нели-нейнрстеи, присущих 2сак управляемым объектам, так и управляющим устройствам; при этом развитие элементной базы и широкое внедрение ЭВМ позволило реализовать сложные нелинейные рецепты регулирования, у

Задачи об устойчивости, диссипативности и грубости систем дифференциальных и дифференциально-операторных уравнений, возникающих при анализе систем регулирования, имеют ярко выраженную специфику по сравнению с аналогичными задачами других областей техники и естествознания, .связанную, в частности, с необходимостью, использования особых операторов, моделирующих наиболее распространенные звенья регулируемых систем. К таким операторам (кроме операторов линейного звена) относятся нелинейности типа идеальных и певдеальшгх реле, более славные разрывные звенья; характерны звенья с зоной нечувствительности типа люфта и звенья с насыщением типа упора; приходится учитывать гистерезискне свойства распространенных ферромагнитных элементов (магнитных сердечников); разнообразные пластические эффекты и др. Необходимо исследование общих свойств, присущих системам из достаточно обширных совокупнос-1-1

тей. Такая постановка задачи связана как о зашумленностью управляющие устройств, так и о задачей выбора из широкой совокупности систем той, которая является наилучшей (или приемлемой) по соответствующему критерию. При анализе устойчивости и диссипативноо-ти моделей управляющих систем часто не играют роли наводящие "энергетические" соображения, столь важные при анализе систем, имеющих чисто физическое или механическое происхождение. Важно, чтобы результаты исследования допускали интерпретацию в терцинах просто определяемых и общеупотребительных характеристик звеньев . системы (в частности, для линейных звеньев роль таких характеристик играют передаточная функция и частотные характеристики).

В настоящее время развиты эффективные методы качественного, анализа ряда задач, связанных с исследованием режимов в нелинейных системах управления (задачи теории абсолютной устойчивости, теории инвариантности и др.). В последние годы обрисовался новый круг вопросов, тесно связанных с классическими задачами теории .:: управления, плохо поддающихся исследованию при помощи традиционных методов. Укажем три такие вопроса. ■

- Использование традиционной техники оказалось затруднительным при изучении колебательных режимов в системах, содержащих од-., повременно функциональные нелинейности и гистерезисные нелинейноо-ти (особенно сложные гистерезисные нелинейности типа описываемых моделями Ишлинского, Беооелинга, Прейзаха - Гилтая и т.п.).

- Проблема абсолютной устойчивости является частным случаем более общей задачи об эффективных оценках выходных сигналов систем, при гарантированных оценках отклонения от нуля входных сиг-., налов. Получение на основе традиционных методов. таких оценок, согласованных с классическими критериями абсолютной устойчивости упи рается в необходимость эффективного построения соответствующих фу-

/

шашй Ляпунова или оценок геометрических .характеристик их поверхностей уровня. Такую информацию пока, по-видимому, удается получать лишь численно. >

- При изучении систем о сильными нелинейностями типична ситуация, коша изучаемая система имеет не один, а несколько колебательных режимов. В связи о этим возникает вопрос о нахождении ограничений на линейную часть рассматриваемой системы и класс не-линейностей, гарантирующих наличие по крайней мере одного асимптотически устойчивого режима. Нужны и приспособленные для рассматриваемой ситуации методы расчета устойчивых режимов.

Трудности, возникайте при рассмотрении указанных задач и других родственных проблем теории управления имеют общую природу» Для их преодоления нужны методы конструктивного учета такой информация о входных сигналах, как их оценки по равномерной норме; таких обнаруженных в последнее время свойств гистерезисных звеньев (люфтов,.упоров и более сложных) как их корректность по отношению к щумам малой амплитуды, специальных свойств монотонности операторов гиотерезисных преобразователей.

Актуальна задача разработки нового направления в методах исследования качества нелинейных управляемых систем, учитывавшего специфику возникающих в теории управления задач и использующего указанную в предыдущем абзаце информацию.

Цель работы. Р&зработка методов качественного анализа управляемых систем, основанных на операторной трактовке звеньев системы и применимых для исследования систем с гистерезисными и разрывными нелинейностями.

Методы исследования. Методологическая оонова настоящей работы заключается в комбинированном использовании традиционных методов 1-2

теории управления и теории обыкновенных дифференциальных уравнений с одной стороны и современных методов линейного и нелинейного,, функционального анализа (в первую очередь, методов теории полуупорядоченных пространств) с другой стороны.

Связь с плановыми работами. Дизсертационная работа выполня--лаоь в соответствии с планом научно-исследовательских работ Института проблем управления в рамках тем "Гкзработка математического аппарата исследования динамики непрерывных и дискретных систем управления" (Л гос. регистрации 76083303), "Разработка новых методов исследования динамики систем управления со сложными нелинейно-стями" (Я гоо. регистрации 81073445), утвержденных Мшприбором СССР.. .

Научная новизна. Развитый в диссертации подход к качественному анализу нелинейных систем управления, основан на трех ноъвх конструкциях. Во-первых, введена и изучена новая характеристика линейного звена (его предельная норма), роль которой в ряде задач теории нелинейных сиотем аналогична роли спектрального радиуса в соответствующих линейных задачах. Во-вторых, предложен новый под-, ход к задаче о нахождении областей диссипативности нелинейных оио-тем, основанный на принципе оценки ограниченных режимов. В-третьих, предложена новая схема использования методов теории полуупо-.. рядоченных пространств для наховдения корректных режимов в системах с разрывными или быстро меняющимися нелинейноетями.

Совместное использование указанных конструкций позволило, в.. частности, установить следующие результаты. Найдены частотные условия, гарантирующие наличие устойчивых периодических режимов в системах с гистерезисными звеньями. Указаны частотные оценки выходных сигналов нелинейных систем при заданном уровне помех. Получены признаки наличия асимптотически устойчивых колебательных режимов

в системах о релейными нелинейностями; разработаны соответствующие численные алгоритмы. ' . ,.

Научная значимость работы. Методы, разработанные в диссертации, применимы для исследования нелинейных оистем управления (одноконтурных и многоконтурных, систем о разрывными и гистерезис-ными нелинейностями), к задачам механики упруго-пластических тел, к ряду задач математической физики. Результаты работы позволяют получать гарантированные оценки выходных оигналов при заданном ,. уровне возмущений, изучать динамику оистем о гиотерезисными звея ньями, находить устойчивые режимы в сиотемах о сильными нелинейностями.

Личный вклад. Все основные результаты получены лично автором.

. Апробация работы. Результаты работы докладывались на 8-м и. 10-м Всемирных конгрессах ШАК, на 7-й„и 9-й Международных конференциях по нелинейным колебаниям, на 8-м, 9-м и 10-м Всесоюзных., совещаниях по проблемам управления» на семинарах Института проблем управления, Всесоюзного научно-исследовательского института системных исследований, Московского государственного университета им. М.ВЛомоиооова, Ленинградского государственного университета,. Вычислительного центра АН СССР, Московского энергетического института, Ииотитута проблем механики АН СОСЯ? и др.

Публшсации. Результаты диссертации излажены в работах [1-14] .

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 2X8 наименований. Объем диссертации 280 стр., 5 рис.

1-3

- 6 -

СОДЕШНИЕ РАБОТЫ

Общая схема работы. Предлагаемый в дисоертации подход к исследованию нелинейных систем основан на трех базовых конструкциях: вычислении предельной нормы операторов линейного звена; ио- . пользовании принципа оценки ограниченных режимов в задачах устойчивости и диссипативнооти; применении итерационной процедур«, названной методом челночных, итераций. Детальному изложению названных конструкций поовящены, соответственно, первая, вторая и третья главы работы. Методика комбинированного применения предельной нормы и принципа оценки ограниченных режимов для решения конкрет-г ных задач теории управления изложена и проиллюстрирована примерами в конце гл. 2 (§ 7). В заключительной части главы 3 (конец § 9 и § 10) изложена методика комбинированного применения принципа . оценки ограниченных режимов, метода челночных итераций и некоторых идей гл. I к анализу систем управления о разрывными нелиней-ностями.

В приводимом ниже изложении теоремы имеют самостоятельную нумерацию (отличную от принятой в полном тексте). В ряде формулировок' опущены некоторые менее важные дополнительные утверждения.

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, обсуждена специфика задач качественного анализа дифференциальных уравнений, возникавших при изучении динамики нелинейных регулируемых систем; определены цель и задачи работы; кратко описано ее содержание.

Первая глава, посвященная теории предельной нормы операторов линейного звена, состоит из четырех параграфов.

В § I считается фиксированным пространство Е скалярных функций , заданных на некотором множестве <7е

Считается, что пространство Е является векторной решеткой и удовлетворяет естественным дополнительным требованиям, выполненным, в частности, для пространства С непрерывных и ограниченных функций с нормой Цс^СОИс — бир | , пространств Ьр (1^= р^ 00 ) суммируемых о р -степенью измеримых функций с обычными нормами и др. Символом Е С О ~ натуральное число) обозначается банахово пространство вектор-функций и($) -= { и1^) , ... , } , каждая координата которых принадлежит Е .наделенное нормой

II "С*>- \\Ш)г+ ... - ипФг)!г\\Е .

Изучается линейный оператор \\/ , действующий из пространства в пространство Е(£Й) • Простейшими и наиболее важными характеристиками оператора IV являются его норма || = €ир |{ V/ и0)\\а и,

в случав £г , спектральный радиус

б'Си&'-г&т {МЛ^. (I)

Эти характеристики традиционно используются в раде вопросов теории управления и общего нелинейного анализа (проблемы устойчивости и абсолютной устойчивости, условия сходимости итерационных процедур, колебания в системах со сложными нелинейностями и др.). Оказалось, что более полные и более простые ответы на указанные вопросы можно получить, если в9опользоваться новой характеристикой линейного оператора V/ - его предельной нормой. Приведем определение предельной нормы. Сопоставим каллой скалярной функции £ Е множество

1-4

- 8 -

Ры&)-{и(Ъ*Е(ел: (ЫЯ)}.

Сопоставим затем каадой функции е Е(^) функцию

РХ({) = . Определим последовательность множеств О. (IV; Е)

рекуррентными формулами

а\У\ Е) = рцРОГ'Хи: £) (п-из,...)

и введем числа

гп№,Е)= \е (*(£)* <2Я(Ы;ЕТ). (2)

Как показано в первой главе, существует конечный предел

5Г(№;£)= йт (з)

Определение. Предельной нормой оператора V/ называется предел (3).

В первом параграфе изучены свойства предельной нормы. Васс-мотрена модификация этого понятия, приспособленная для изучения систем, содержащих несколько линейных и несколько нелинейных звеньев. Приведены иллюстративные примеры. Установлен ряд технических утверждений, используемых в дальнейших построениях. Сформулируем лишь один факт, представляющий самостоятельный интерес. Норма ||«К в пространстве Е называется монотонной, если

из соотношения < |Т^бО! С) следует неравенст-

ВО ¡1/^)11».

Лемма об эквивалентной норме. Предельная норма линейного оператора является точной нижней гранью его норм по отношению ко воем монотонным перенормировкам пространства £ .

§ 2 посвящен изложению общих схем использования предельной нормы для анализа нелинейных уравнений. Важную роль в параграфе играет вспомогательная функция

Щ)=^ {(^ -{т'^м с/*« е)<1), (4)

где а Функцш! У^/Э) определяется равен-

ством .

^ 71-0

Приведем формулировку основного результата, полученного во втором-параграфе. х

Обозначим через ближайшую к ¿/ точ-

ку из шара пространства радиуса ^ о центром в нуле.

Действующий из в Е(£г) оператор Г назовем

-Липшицев, еоли при любых ) е. £верна

оценка

5 Наддай 3^) -Липшицев оператор удовлетворяет обычному усло-

вию Липшица о постоянной /V ¿В ; существенно, что число 36 1-5 0

может быть меньше, чем конотанта Липшица оператора Г . Рассмотрим уравнение

+ £ СО, (5)

где IV - действующий из Ei.ii) в Е(6£) линейный оператор; оператор Г является <Я?) -лшхшицевым, а £(4) -

'фиксированная функция.

Теорема I. Цуоть верны оценки.^уСИ/; Е) <7 и ЗбН}(^')< 1. 1%е Уф - функция (4). Тоща уравнение (5) имеет единственное решение и при каждом начальном условии ХаСО е

последовательные приближения " М Г(¿)

( ) сходятся к <2?#СО не медленнее некоторой убы-

вающей геометрической прогрессии.

В качестве примера рассмотрено уравнение

+ (6)

гае V/ действует из Ь^СЬ) в ¿«*> С4) » функция /о^Я?) непрерывна и удовлетворяет по £С условию Липшица с постоянной ^ ; Г - нелинейный оператор общей природы, удовлетворяющий как оператор из Е(£г) в

условию Липшица о постоянной й? . В рассматриваемом случае из теоремы 1 вытекает

Следствие. Цусть верны оценки^(у/-, )<1 ъ £В1. Тогда уравнение (6) имеет единственное решение »

которое может быть найдено методом последовательных приближений, сходящимся не медленнее некоторой убываюцей геометрической прогрессии.

Во втором параграфе.указан ряд модификаций и следствий теоре-

ми I полезных при рассмотрении различных вопросов нелинейного анализа (нахождение априорных оценок решений нелинейных уравнений; анализ уравнений о малым параметром; изучение систем о несколькими скалярными нелинейностями и др.).

Центральное место в главе занимают результаты § 3. Конкретные приложения предельной нормы требуют способов фактического вычисления (или, по крайней мере, получения эффективных оценок) предельной нормы линейных операторов, встречающихся в теории управления. Получению результатов в атом направлении и посвящен третий параграф.

В ооновной части параграфа очятаотся фиксированными матрица /I размера . матрица В размера £х и

матрица С размера (первый сомножитель соответст-

вует числу столбцов матрицы). Классическим объектом в теории регулирования является линейное звено С) динамика которого описывается уравнениями

-¡¡г т +в ись),

(7)

Функция и(£) трактуется как вход звена М . Функция - как выход, а функция - как переменное состояние. Пере-

даточной функцией звена (7) называется матрично-значная функция комплексного аргумента \/^(р)= С(р1~/1) В . Особую роль играет сужение функции \М(р) на мнимую ось, называемое частотной характеристикой звена М .

Со звеном СД В, С) связан ряд операторов, сопоста-вляюцих некоторым входам допустимые при этих входах выходы. В ра-1-6

боте решанцую роль играют два такие оператора, обладающие овойо-твом линейности. Ниже через и ¿г обозначаются простра-

нства скалярных функций, суммируемых с квадратом, соответственно, на промежутках (-<>о,0] и [О,. Аналогично определяются пространства и .

(а) Сопоставим каждому локально суммируемому на [О, оо) входу и(£) допустимый при этом входе выход Х({~)=С £(£) , те £(■£) является решением уравнения (7) при нулевом начальном условии. Оператор М » осуществляющий »то соответствие называется оператором вхсдо-выходных соответствий при нулевом начальном состоянии; он описывается явной формулой

5) , (8)

о

гае С езср (/!■£) В - импульсная реакция звена V/ .

(б) Пусть матрица /} хурвицева. Рассмотрим оператор

» сопоотавляпций входу 11(6) (-«хэ, О]) функцию £ ■

Миф-

(9)

Сужение оператора (9) на пространство - это оператор

"ограниченный на (*-оо,О] вход - ограниченная реакция".

Свойства операторов (8) и (9) в пространствах и,

соответственно, Ьг , хорошо известны. В то же время, в широком классе случаев основной интерес представляют именно свойства операторов (8) и (9) в пространствах с равномерной метрикой. Это связано с различными причинами. Во-первых, если имеется лишь информация об амплитудах (наибольших отклонениях от нуля) входных сигналов, а требуется установить гарантированные оценки амплитуд выход-

ных сигналов, то естественными являются именно пространства о равномерной метрикой. Во-вторых, операторы многих звеньев гисте-резисной природы невозможно трактовать как операторы в пространствах типа Ьл , а их свойства в пространствах типа просты и хорошо изучены.

Как оказалось - »то и еоть центральное наблюдение главы -предельные нормы операторов линейного эвена в пространствах типа ¿^ , как правило, существенно меньше нормы этих операторов и допускают простую оценку в частотных терминах.

Теорема 2. Пуоть /7 - гурвицева матрица. Тогда верны соотношения

« ГСН-Х?)- ТА) « тах | №<7аУ)| .

и}> О

Сформулированное утверждение позволяет в ряде важных случаев

определить точное значение величины . являющейся

общим значением величин ¿ГС^/лх») и ; ¿0<1) . Например,

еоли ¿¿=¿¿ = 1 , т.е. входы и выходы звена являются скалярными функциями, то верно равенство

/.«,)- щах \ WCiiff) 1.

йЗЪО

Если _/ , но компоненты импульсной реакции &(£) нео-

трицательны, то из теоремы 2 следует равенство = •

Для использования в полной форме аппарата, развитого в § 2

теорему 2 необходимо дополнить эффективными оценками соответствующих величин ; ¿„) » являющихся общим значением чисел

(2), отвечапцим операторам а V/ , рассматриваемым, со-

1-7

ответственно в пространствах и .

Введем обозначения

г#в » тазе \^/([(£Г)\ , из» о

гкф =иГ~Х масс IЩ1а>)\ (X<2< О) ,

и)»0

где Х0 - вещественная часть самого правого собственного числа матрицы Д .

Теорема 3. Цуоть Д - гурвицева матрица и О .

Тогда верны оценки

■где

Из теоремы 3 вытекает простая оценка функции (4):

гае

Ла<2<о Ц1

В § 3 приведены аналогичные результаты, относящиеся к линейным звеньям, порожденным негурвицевыми матрицами // ; к зве- ' ньям, описываемым скалярными дифференциальными уравнениями вида

результаты, относящиеся к модификациям предельной нормы, полезным рри изучении систем о несколькими нелинейными звеньями. Рассмотренные иллюстративные примеры показывают, что уже в простейших рлучаях предельная норма операторов линейного звена в пространствах о равномерной метрикой строго меньше их норм.

В § 4 вынесены доказательства некоторых утверждений из § I, § 2 и § 3.

Вторая глава поовящена принципу оценки ограниченных режимов в задачах устойчивости и диссипативности и схемам совместного использования этого принципа и результатов первой главы для изучения динамики нелинейных систем управления. Глава состоит из чата-рех параграфов (§§ 5-8).

Центральным в главе является параграф 5, в котором установлен общий принцип оценки ограниченных режимов и обоуждены границы его Применимости при анализе конкретных систем.

Некоторая совокупность обыкновенных дифференциальных уравне-

В

ний о фазовым пространством $ называется 1 -дисоипатив-ной, если при каждом % каждое решение любой оиотемы из

рассматриваемой совокупности втекает в шар (<33| < Ъ^ фазового прострапотва и не выходит в дальнейшем аз этого шара. Принцип оценка ограниченных режимов основал на оледуацем наблюдении. В самых различных (но, конечно, не во всех) ситуациях 'Х-дисси-пативность совокупности систем равносильна отсутствию у каждой сиотемы из рассматриваемой совокупности решения, ограниченного на отрицательной полуоси, по не лежащего в шаре радиуса ^ .

1-8

Это наблюдение позволяет сводить вопрос об оценках решений в сторону возрастания времени к вопросу об оценках решений в пространстве типа . Для получения последних оценок во многих случаях могут быть применены конструкции, основанные на вычислении предельных норм- вспомогательных линейных операторов.

Перейдем к точным формулировкам. Пусть Z - оемейотво непрерывных вектор-функций &(£) ( t 5s О ) оо значениями в R , а С - матрица размера £АХ & . Функции SQL) трактуются как переменные состояния некоторых динамических сиотем, а отображение С - как единое для всех систем соответствие "состояние - выход". Положим

ZCf) SCO)«f}.

Семейотво Z назовем Ъ -диссиоативным по выходу, если при каждом J»0 множество Z(JD) равномерно ограничено и верно соотношение

йт sup {|Cj?#)|} « г.

Семейство Z называют О-нормальным, если выполнены следующие четыре условия.

(а) Из соотношений . О^о6< 1 следует вклю-' чение с/ е Z .

(б) Существует такая непрерывная функция ^ Ci) ( t^O ), что из следует оценка J2C0N ( t>0 ).

(в) Существует такая непрерывная функция ( О ), что при %(£)e.Z верна оценка

п Сбир [садI).

Ь^о с ¿«о

(г) Из равномерной ограниченности при О последовательности

8„&+н,„) ' си)

следует относительная компактность последовательности (II) в смысле равномерной сходимбсти на кадцом конечном.промежутке отрицательной полуоси.

Через Х° будем обозначать множество функций вида С£(£) , гае - один из пределов последовательностей вида (II).

Теорема 4. С -нормальное семейство обладает свойством X -диссипативности по выходу в том.и только том случае, когда справедлива оценка

Пар | 1

Особую роль в работе играет частный случай теоремы 4, относящийся к важным в теории автоматического управления совокупностям систем вида

I [> £

где р - некоторый класс отображений из $ х $ * в Ц1 Звено (Д,В, С ) назовем 1 -диссяпативным относительно а класса нелинейностей р , если решения уравнений (12) нелока-1-9

льно продолжимы вправо и совокупность ^^ 2Г С^» воех оп-

ределенных на (О,00] решений всех уравнений из рассматриваемого класса обладает свойством % -диссипативности по выходу.

Свойство ^-диссипативнооти совокупности систем означает по существу равномерную Ц -диосипативность воех одноконтурных систем, состоящих из линейного звена б, С) , охваче-

нного обратной связью с характеристикой из класса Р .В частности, О -диссипативность звена М в классе р означает абсолютную устойчивость семейства уравнений (12).

Многие распространенные классы Р нелинейностей могут быть ввделены с помощью описанной ниже специальной процедуры. Напомним, что хаусдорфовым расстоянием между множествами М/, называется чиоло_

' ХСММ-мах^МЮЖММ],

где

@(Mj,M¿)= éup ittf\u-ir\.

ueMj гГеМг

£

йссмотрим отображение tP¿(X) , сопоставляоцее кажцому X&R £ замкнутое и ограниченное множество пространства ¡R . Отображение <j¡Pl(OL?) называется правильным, если оно непрерывно по метрике Хаусдорфа, если каждое множество ^¿(йО) выпукло и, наконец, если справедливо включение

Каждому правильному-отображению сопоставим класс РОЭДО , состоящий из всех измеримых по Ь и непрерывных по X функций

- 19 -

¿С) i для которых верно включение <f(i, <Я?) е ffli (¿С) .

Из теоремы 4 о помощью классических результатов А.Ф.Филиппова о свойствах решений дифференциальных уравнений с многозначной правой чаотыо может быть получено

Следствие. Пусть Д - гурвицева матрица, а - пра-

вильное отображение. Тогда для % чщссипативности звена W(/I,B,C) в классе нелинейностей Fem) необходимо и достаточно, чтобы каждое решение ( t^ О ) каждого уравнения £(t) ~ W(t, X(tj) удовлетворяло оценке % .

формулированное утверждение являетоя мостом, который позволяет применить для изучения диссииативности систем вида (12) и для рассмотрения родственных задач теорию предельной нормы линейных операторов, развитую в гл. I.

В § 5 рассмотрены также частные случаи теоремы 5 и следствия из этой теоремы, относящиеся к конкретным классам множеств а также к дифференциально операторным уравнениям, описываыцим динамику регулируемых систем с нефункциональными преобразователями в цепи обратной связи.

В § 6, носящем обзорный характер, рассматриваются свойства некоторых гистерезисных нелинейностей.

Нелинейные зависимости гистерезисного типа повсеместно встречаются при описании физических, механических, биологических и др. явлений. При изучении гистерезисных объектов необходимо различать две принципиально разные ситуации. В первой из них речь вдет об определении по заданным внешним воздействиям - входам соответствующее реакций - выходов. В этой, наиболее исследованной ситуации, основной интерес представляют удобные алгоритмы численного или аналитического построения соответствий вход-выход. При этом можно

ограничиться входами простейшей структуры, например, кусочно ли-1-10

нейными.

Вторая - основная для теории регулирования - ситуация возникает, когда изучаемый объект с гистерезисом нельзя рассматривать изолированно, так как он является лишь одним из звеньев более сложной замкнутой системы. В этом случае удобно, а часто и необходимо, уметь трактовать гистерезисную нелинейность как оператор или совокупность операторов, определенных на достаточно богатом функциональном пространстве, например, на множестве всех непрерывных входов. Соответствующие операторы должны обладать возможно более широким арсеналом свойств типа ограниченности, непрерывности, монотонности и др. , - ,

Единый подход к описанию гистерезисных нелинейностей, удобный в описанной выше второй ситуации, развит в монографии М.А. Красносельского и'автора [ ^ ] . Он позволяет достаточно полно изучить системы, содержащие гистерезисные нелинейности, описываемые известными феноменологическими.моделями. Подход оонован на выделении элементарных носителей гистерезиса и трактовке более сложных гистерезисных нелинейностей как специальных (в том числе и континуальных) блок-схем, составленных из элементарных нелинейностей:

В § 6 рассмотрены с позиций монографии [ ] нелинейности типа люфтов и упоров (скалярных и многомерных), типа моделей Бесселинга, Ишлинского, Кадашевича - Новожилова упруго-пластических зависимостей, типа модели Прейзаха - Гилтая, используемой в теории магнетизма (в частности, при описании магнитных серпечни- . ков), модели некоторых тирристорных преобразователей. Установлено, что указанные нелинейности можно трактовать как операторы в пространстве С • непрерывных и ограниченных на полуоси функций (скалярных или векторнозначных), причем эти операторы облада-

йт естественными свойствами ограниченности и удовлетворяют условию Липшица. Приведены значения соответствующих кянстант. Уста-' новлены также некоторые общие утверждения о возможности .описания входо-выходных соответствий абстрактных многозначных преобразователей о помощь» семейств однозначных операторов, обладающих свойствами причинности (вояьтерровости).

В § ? изложены основные схемы комбинированного использования принципа оценки ограниченных режимов и оценок предельной нормы операторов линейных звеньев при анализе качества нелинейных регулируемых систем.

В начале параграф рассматривается стандартная одноконтурная система, динамика которой описывается уравнениями

Широкий круг задач теории регулирования приводит к вопросу об оценке отклонений от пуля выходного сигнала в ситуации, когда известны лишь некоторые оценки характеристики 27) нели-

нейного звена. Ниже предлагается новая методология получения таких оценок.

Через ( ^ и Н/ - положительные числа) обо-

значим класс всех звеньев £ , характеристики которых удовлетворяют оценке + ¡Ь . В § 7 из оледствия теоремы I и следствия теоремы 4 выведена.

Теорема 5. Пусть верна оценка ^¿ГС^; ¿к,) < I * ТоГ71° ' звено V/ обладает свойством (/с, -диссипативности

в классе , где Ч^(^) - функция (4).

Теорема 5 и ее аналоги шесте с "оценками предельной корлы,

полученными в § 3 позволяют получать простые достаточные признаки -z-диссипативности систем управления. В частности, из теоремы 4 вытекает

Следствие. Пусть верна оценка 1 • Tonna звено

W обладает свойством (Ji -диссипативности в классе

FC/i/O , гае фф -функция (10). Рассмотрены системы, содержащие несколько линейных и несколько нелинейных звеньев. Пусть ( ¿,"? - ..., & ) скалярные линейные звенья с передаточными функциями W6)> (/0 =

11 (р) • причем многочлены . ¿£V> (р) гурвицевы. Пусть заданы набор ^ положительных чисел • ■

и набор Д положительных чисел h?, h? . . • , hf • Обо' — — в & £ значим через FQ^,/&) совокупность отображений IR —¡R ,

определенных равенствами C/¿t?)(jí)~/, где (^X'fii) -j) -я координата функции , а ^(¿,¿0) непре-

рывная скалярная функция, удовлетворяющая неравенству <

Введем обозначения .

irti-f* тая jWlt(iiû)\t

и>>0

и iS>>0

где Д, - наименьшая по модулю вещественная часть корней многочленов ¿^ (р) _ (рассматриваются лишь многочлены, отвечающие ненулевым звеньям ). Ограничимся случаем, когда матрица

неразложима (например, все ее элементы положительны).

(—>

Через ~ обозначим величину

/ £

пае ^ - собственный вектор с положительными компонентами матрицы . Пусть <30 - спектральный радиус матрицы

• Положим

и введем в рассмотрение функцию

те

Справедлива •

Теорема 6. Цусть верна оценка С>0 < 1 . Тогда звено IV обладает свойством Ь) -диссипативности в классе ¡ь ) .

Центральное место в параграфе 7 занимают результаты, относящиеся к системам с гистерезисными нелинейностями.

Оператор Г назовем ' ¿^-правильным, если он определен на

всех непрерывных входах (¿.^ О) обладает свойством физи-

■ »

ческой реализуемости, переводит предельно 7*-периодические входы в предельно Т-периодические выходы и, наконец, если его выходы равномерно ограничены й, наконец, если верно условие Липшица

| Ги(Я - Г&С?)| « 36 тах \и(ау .

Из результатов § 6 вытекает 2Е -правильность при соответствующие явно указанных X операторов, описывавцих распространенные мсдели гистерезиса (люфты, упоры, диодные преобразователи, пластические элементы, ферромагнетики и др.).

Вассмотрим систему, динамика которой описывается уравнениями

-^-хъ-Дха)* вит;

. , (14)

л?С*> = С гсб) .

Здесь Й - гурвицева матрица; В я. С - матрицы соответствующего размера; £ - функциональное звено с непрерывной и Т -периодической по Ь характеристикой; Г - оператор гистерезисной нелинейности.

*) функция ¿/(¿) называется предельно периодической, если существует так&я периодическая функция . что вер-

но соотношение ¿¿т вир г^)!-

- 25 -

Теорема 7. Пусть функция ^X) удовлетворяет по X условию Липшица о конотантой ^ , причем верно неравенство

1 • Пусть оператор Г является <2?-правильным, причем выполнено неравенство 36 < Ч^С^У* , где Ч^(^) -функция (4). Тогда каэдое решение уравнения (14)

является предельно Т-пзриодической функцией и обладает свойством устойчивости по Ляпунову.

Сформулируем следствие теоремы 7, относящееся к уравнениям о малым параметром £ вида

и(£)-еГо:(Ц) + $(ихЩ, (15)

Плвпптвие. Пусть функция X) удовлетворяет по пере-

менной <2? условию Липшица о конотантой ^ , причем

,*'/»«,)< 1 • Пусть оператор Г является й?-правильным при каком-либо 36 . Тогда при достаточно малых £ каждое решение уравнения (15) является предельно Т -периодическим и обладает свойством устойчивости по Ляпунову.

В § 8 вынесены доказательства некоторых утверадений из § 5, § 6 и § 7. •

Третья глава посвящена методу челночных итераций, позволяющему находить режимы функционирования сильно нелинейных систем, обладающие дополнительными.свойствами корректности. Глава включает § 9, § 1С и § II. .

Дифференциальные и интегральные уравнения с сильными в том числе разрывными и гистерезисными нелинейностями часто встреча-

ются в теории управления. В качестве примеров доотаточно упомянуть системы с релейными нелинейноотями и системы переменной структуры. К решениям таких уравнений, описывающим желаемые процессы функционирования реальных систем, естественно предъявить дополнительные требования корректности. Указанные требования могут содержать, в частности следующие свойства.

Желательно, чтобы интересущие нас решения являлись точ1сами непрерывности соответствуицих разрывных операторов - в отом случае оправдано,например, применение приближенных и качественных методов исследования, основанных на анализе невязок.

Важно, чтобы слабо возмущенные уравнения (полученные о учетом малых шумов, возможного дрейфа различных параметров и т.п.) имели решения, близкие к изучаемому решению невозмущенного уравнения.

Если речь идет о решениях эволюционных задач, то корректные реяения должны обладать свойством устойчивости по Ляпунову или свойством асимптотической устойчивости.

Наконец, желательно иметь удобные для реализации на ЭВМ методы построения решений, обладающих перечисленными выше свойствами. -

Достаточно полную методику исследования корректных решений удалось построить для широкого круга задач с монотонными нелиней-•ностями. Эта методика опирается на развитые в первых двух главах идеи специальные модификации принципа оценки ограниченных режимов и детальное изучение итераций операторов, участвующих в задаче.

Основным рабочим инструментом в главе является специальная итерационная процедура, названная челночным алгоритмом. Челночный алгоритм позволил в. ряде ситуаций установить существование решений, обладающих указанными вше свойствами корректности; он же

является, по-видимому,. удобной основой для разработки численных алгоритмов их расчета.

В § 9 обсуждается челночный алгоритм, трактуемый как метод нахождения решений абстрактных операторных уравнений.

Изучается нелинейный (может быть, разрывный), компактный оператор 2 , действущяй в банаховом пространотве Е , полуупорядоченном конусом К (например, в пространстве ,

полуупорядоченном конусом функций о неотрицательными значениями). Включение Х^К как обычно записывается в виде ¿¡О О Конус К предполагается телесным и нормальным (т.е. для любых € Е из 30 ^ у следует ограниченность множества

у>«={££/; : ).

Пусть фиксирована убыващая к нулю последовательность положительных чиоел

<э2,<з£,...,<эп , ... (16)

и элемент И0 , прякадлежавдп! внутренности конуса К . Элемент ^ Е называется допустимым (относительно последовательности (16)); еолп верно неравенство

Определим последовательность ЬТ^ (7= 0,1,... ) равенствами

Если .в последовательности (17) найдутся олементы, удовлетворяющие неравенству

(18)

то выберем первый такой элемент и положим .

Еоли же в последовательности (17) нет элементов, для которых справедливо неравенство (18), то построение элемента будем

считать невозможным.'

Пусть уцалооь построить элементы . . . , • Тогда

определим 1Тп как первый элемент в последовательности ,

определенной соотношениями

(И)

для которого верно неравенство < dntS Ua

Последовательность 1Тп (п<* 1,2,... ) (если ее элементы могут быть построены при всех П ) называется челночной последовательностью с параметрами (16) и начальным приближением 1У0 .

Как показано в § 9, для реализуемости челночного алгоритма достаточно, чтобы существовали элементы и удовлет-

воряющие неравенствам

t^^- (Э/Ua . Еоли челночный алгоритм реализуем, то

и существуют пределы

Х¥-йт #г„ , &т 1Уга+1 . (го)

В естественных ситуациях пределы (20) челночной последовательности являются неподвижными точками оператора 0 , обладающими дополнительными свойствами корректности. Сформулируем утверждение, являющееся основой результатов в этом направлении. Опера-

- 29 -

тор называют строго монотонным, если из , <2?=^

следует, что cDij - принадлежит внутренности А"

конуса К . Конус /Г называют миниэдральным, если каждое конечное множество элементов пространства Е имеет точную верхнюю грань.

Теорема 8. Пусть телесный конус К нормален и миниэдра-лен, а оператор Я) компактен и строго монотонен. Цуоть челночный алгоритм с параметрами (16) и начальным приближением 1У0 реализуем. Тогда точки (20) неподвижны для оператора Я) . Бели при этом Х^ сХ¥1(. , то существуют неподвижные точки ССВ ( 0 $ Q I ) оператора ¿д , непрерывно зависящие от параметра О и удовлетворяющие соотношениям Х0-»<2^ "<2?**. Хв^< (0**&j<). Оператор g> не имеет других неподвижных точек до , удовлетворяющих неравенствам з» OD <

^ X** *

Неподвижную точкустрого монотонного оператора од называют? корректной, если для каждого £>0 найдутся элементы

, Х+ , удовлетворяюще соотношениям

\Х<.-Хт\<& , х+>х«, « 0С+ .

Каждая корректная неподвижная точка оператора Я) является его точкой непрерывности. В случае, когда £ - это функциональное пространство, а - интегральный оператор, каждое решение,

являющееся корректной неподвижной точкой при естественных допол-

нительных ограничениях пересекает поверхности разрывов участвующих в описании оператора $) нелинейноотей по ненулевым углом. Из теоремы 8 вытекает

Следствие. Пусть конуо К телесен, нормален и миниадра-лен, а оператор S) строго монотонен. Пусть существуют элементы U_ , U+ , удовлетворяющие соотношениям ^ U+ , - LL- , U.+-<3)U^ ¿titК . Тогда оператор 0 имеет в конусном отрезке корректные неподвижные точки, которые могут быть найдены с помощью челночного алгоритма.

В девятом параграфе обсуждаются модификации теоремы 8 и ее следствия, относящиеся к случаю нетелесного конуса К

В конце параграфа указаны приложения челночного алгоритма. Остановимся на одном из них.

Рассматривается краевая задача

Ли - , (21)

Здесь ,Х je ; А - оператор Лаплаоа. Задача

рассматривается в ограниченной области Q с гладкой границей Г . Функция О предполагается равномерно ограничен-

ной и удовлетворяпцей при некотором О одностороннему уЬловию Лишщца

но не считается непрерывной, функция называется реше-

нием задачи (21), если она является решением линейной задачи

л а + /(¿г, и* (¿с)) -О , и(х)\г = О.

Для функции X, W) при каждом фиксированном X обозначим через fl(X,(f) множество таких чиоел , что функция

f(X,U) имеет по переменной U. в точке U- if окачок величины не меньше . ê . Через /7£ обозначим £-ок-

рестность множества . Функция называется

трансверсальной разрывам ^(Х, И) в области если при некотором ^> О

(f тез fx^Qj : ¿4(Я?)е fl£(xj)j «/б .

В естественных случаях последнее неравенство означает, что график функции пересекает поверхности "больших" разрывов фу-

нкции £ {ОС,И") под ненулевым углом. Методы, развитые в § 9 позволили установить следующий факт.

Задача (21) имеет по крайней мере одно решение трановерсальное разрывам функции X, в каллой области

Q, , замыкание которой содержится в Q

формулированное утверждение применимо, в частности, при исследовании известной задачи М.А.Лаврентьева об отрывных течениях, описываемой соотношениями (21) при Зс^п U .

В § 10 изложена методология применения челночного алгоритма в сочетании со специальной модификацией принципа оценки ограниченных режимов для анализа колебаний в системах с релейными нели-нейностями.'

Неидеальное двухпозиционное реле с пороговыми числами oi,Ji ( oi<Ji ) (см. рис. 2) - это преобразователь с непрерывными входами I выход которого может принимать только два зна-

чения О или I . Выход XC't) допустим при входе U(i~) , если, во-первых, из неравенства U(f)< oC следует равенство X(i)"=0 » а из неравенства u(i)>Ji следует равенство <■и, во-вторых, из неравенств ot<U(¿)<Ji

-32 -

следует равенство . Через Р и(Ь)

( 0,1 ; ) обозначается допустимый при входе и(Ь)

( Ь>0 ) выход ввделяемый при Ы<и(0)<условием Х(0)-Х0 .

Я-

1 V 1

<* £

Рис. 2

Решающим в построениях параграфа является свойство монотонности операторов К [Хс: из соотношений Х0^Х0 ,

па) ( ) следует неравенство Д[Х0;с(1/3]и(1:)^

^ Й^о -.Ы,^]!!^ ¿у) , позволяющее применить

для исследования широких классов систем с релейными нелинейностя-ми технику, развитую в предыдущем параграфе.

Изучаются системы, описываемые соотношениями

хау-(с, ¿ау).

Здесь А - гурвицева матрица размера Ы^Ы ; 3 и С

N -мерные векторы} у/*, оСс, (С- ) веществен-

ные числа, причем оСс<уЗ6 ; двоичный вектор ^ = ...]

играет роль параметра. Функция УОО предполагается непреры-

вной и ^'-периодической; нелинейная функция <f(X) удовлетворяет локальному условию Липшица

f/№)-/№)|< 3(f)ЪI (Ш ,1^1«/)

и оценке

Соотношения (22) описывают динамику системы, состоящей из линейного звена W~W(/!,ß,C) и звена, являицегося параллельным соединением нескольких неидеальннх реле и функционального звена. При каждом начальном условии 2(0) =» %а и каждом двоичном векторе IJQ система (22) тлеет единственное решение £({") = = <Z(i,£0,lfo) ( 6> ). Естественным образом определяется устойчивость по Ляпунову и асиматотичеокая устойчивость периодического решения системы (22).

Как показывают примеры, даже простейшее уравнение вида

~ x(t) + cc(t) + xci)suit + R[xQ0^0 J

может не иметь ¿ЗГ -периодических решений. Сложен, в общем случае вопрос об устойчивости периодических'режимов. Ниже формулируются результаты, показывающие, что челночный алгоритм позволяет получать эффективные новые признаки существования в системе (22) асимптотически устойчивых периодических режимов.

Систему (22) называют позитивной, если, во-первых, импульсная', характеристика G-(t) = (t,eM 3) звена W (/}} 6, С) положительна; во-вторых, функция ^(д?) не убывает и удовлетворяет

(

оценка

в-третьих, числа (с неотрицательны.

Единственным нестандартным ограничением в определении класса позитивных систем является условие положительности импульсной реакции. В последние годы разработаны аффективные способы проверки этого условия. Например, если М(р) 1 , то достаточно (но далеко не необходимо), чтобы корни многочлена Ь(р) были вещественными.

Для каждой позитивной системы (22) введем оператор т

£>а оса) = Ц&г «2) ,

о

к с "Л

Здесь 6-^:2) - импульсно-частотная характеристик звена

С), йт -оператор, сопоставляиций • ^-периодическим входам иЦ) периодический при tЬO выход ХСк) определенный равенством (£) (№<£7).

а и - соответотвуюцим образом подобранный малый параметр. Зафиксируем последовательность убывающих к нулю положительных чисел

. . ,(Эп , . . . (23)

и функцию , удовлетворяющую неравенству 1Т0(Ь)-

- (5Л и0(6) . Из результатов § 9 вытекает, что челночный алгоритм, построенный по оператору Щ. , параметрам (23) и нача-

льному приближению пределы

йт 1ГЛпа) ,

Ооновлой результат § 10 заключается в следующем утверждении Теорема 9. Пусть система (22) позитивна, причем функции и /(X) аналитичны. Тогда верно равенство ¿С**^ ,

причем соответствующая функция <2* СО являетоя асимптоти-

чески устойчивым решением оистемы (22).

Следствие. Пусть система (22) позитивна, причем функции <Р(6) и /(Й?) аналитичны. Тогда сиотема (22) имеет асимптотически устойчивые Т -периодичеокие режимы.

Теорема 9 и ее следствие позволяют получить принципиально новые признаки существования асимптотичеоки устойчивых режимов даже для систем, опиоываемых проотейшями обыкновенными дифференциальными уравнениями с реле. Рассмотрим, например, уравнение

Ь(~) хф = Ц>(£) + +

где Ь(р) - гурвлцев многочлен, У 60 - аналитическая 7*-периодическая функция, /(X) - аналитическая неубывающая функция, удовлетворяющая оценке

Из теоремы 9 вытекает, что в сделанных предположениях система (24) имеет асимптотически устойчивое Т'-иериодическое ре-

- 35 -

реализуем; в частности существуют

шение.

В § 10 обсуадены модификации сформулированных утверждений, рассмотрены дополнительные свойства корректности, которыми обладают решения систем (22), конструируемые при помощи метода челночных итераций и т.д.

В § II вынесены доказательства некоторых утверждений из § 9 и § 10.

- 37 -

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Введена и изучена новая характеристика линейного звена . - его предельная норла; выявлена роль предельной нормы в различ-т них вопросах нелинейной теории управления; разработок« эффективные прием» вычисления предельной норм операторов стандартных звеньев.

2. Развит новый подход к исследованию диссипативнооти систем управления, ооновашшй на принципе оценки ограничешшх режимов.

3. Сконструирована итерационная процедура, позволяющая находить резкими в сильно нелинейных сиотемах, обладающие дополнительными свойствами корректности.

4. Найдены частотные уоловия нового типа, гарантирующие . наличие устойчивых периодических режимов в системах с гистерезис оч.

5. Предложена новая методика получения гарантированных оценок выходных сигналов нелинейных систем при известом уровне помех.

6. Предложен алгоритм нахождения асимптотичеоки устойчивых режимов в системах о релейными нелшгейносгями, приводящий к принципиально новым признака'! наличия асимптотически устойчивых колебательных режимов в нелинейных системах/управления.

- 38 -

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Покровский A.B. Правильные неподвижные точки монотопных операторов // Тезисы 7-й Международной конференции по нелинейным колебаниям. - Берлин, Иад-во АН ГДР, 1976.

2. Покровский A.B. Предельная норма линейного оператора и ее применения // Доклады АН СССР. - 1979. - Т. 249. - КЗ. - С. 548 - 551. /

3. Покровский A.B. Od общих системах и системах о пространством состояний // Автоматика и телемеханика. - 1979. - Л 4,-■ С. 36 - 41.

4. Покровский A.B. Об одном классе разривных систем // Автоматика и телемеханика. - 1981. - X 8. - С. 15 - 19.

5. Покровский A.B. О диссипативности одного класса оиотем // Автоматика а телемеханика. - 1981. й 4. - С. 14 - 19.

6. Покровский A.B. Корректные решения уравнений о сильными нелинейностями.// Доклады АН СССР. - 1984. - Т. 274. - К 5. -С. №37 1040.

7. Покровокий A.B. Предельная норма операторов линейного звена // Автоматика и телемеханика. - 1985. - К II. - С. 62 - 70.

8. Покровокий A.B. Гарантированные частотные оценки выходных сигналов систем управления // Тезисы докладов 10-го Всесоюзного совещания по проблемам управления. - Алма-Ата, Изд-во АН Каз.ССР, 1986. - С. 88 - 89.

9. Покровский A.B. Системы о сильными нелинейностями. В кн.: Математическая теория систем. - М.: Наука, 1986. - С. 96 -

* 112.

10. Покровский A.B. Существование и расчет устойчивых режимов в нелинейных системах // Автоматика и телемеханика. -1986. - Л 4. - С. 16 - 24.

- 39 -

11. Красносельский M.A., Покровский A.B. Метод блок-схем

в математнчеоком моделировании систем со сложными нелинейностя-ма // Труды 8-го Всемирного конгресса ЮАК. - Т. 6. - Киото, 1981. - С. 137 - 142.

12. Краснооельсзсий М.А., Покровский A.B. Абсолютная устойчивость систем с несколькими нелинейными звеньями // Доклады АН СССР. - Т. 271. - Н 6. - С. 1314 - 1317.

13. Краснооельокий М.А., Покровокий A.B. Принцип отсутствия ' ограниченных режимов в задаче об абсолютной устойчивости // Устойчивость движения, аналитическая механика, управление движением. - М.< Наука. - С. 156 - IS9.

14. Краопосельский М.А., Покровский A.B. Системы о гистерезисом. - М.: Наука, 1983. - 271 о.