Решение задачи нелинейной оптимизации тепловых процессов при граничном управлении

Красниченко, Любовь Сергеевна

Решение задачи нелинейной оптимизации тепловых процессов при граничном управлении тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Красниченко, Любовь Сергеевна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Бишкек МЕСТО ЗАЩИТЫ

2012 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Решение задачи нелинейной оптимизации тепловых процессов при граничном управлении»

Автореферат диссертации на тему "Решение задачи нелинейной оптимизации тепловых процессов при граничном управлении"

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ ИНАУКИ РОССИЙСКОЙ

ФЕДЕРАЦИИ

КЫРГЫЗСКО-РОС лшский СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Дигертационный совет К 730.001.02

на правах рукописи

КРАСНИЧЕНКО ЛЮБОВЬ СЕРГЕЕВНА

Решение зад.чи нелинейной оптимизации тепловых провесов при граничном управлении

Cii.01.02 - дифференциальные уравнения, динмические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

2 2 ['ЮН 2012

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Бишкек-2012

005046048

Работа выполнена в Кыргызско - Российском Славянском

Университет?

Научный руководитель: доктор ризико-математических наук

Защита состоится «30» мая 2012 г. в 14.00 часов на заседании диссертационного совета К 730.001.02 при Кыргызско-Российском Славянском Университете по адресу: Кыргызстан, 720000, г. Бишкек, ул. Киевская, 44.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Кыргызско-Российского Славянского Университета по адресу: Кыргызстан, 720000, г. Бишкек, ул. Киевская 44.

Автореферат разослан «27» апреля 2012г.

Керимбек»в А. К.

Ведущая организация:

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Скляр СЛ.

Кандидат технических наук Миркин Е.Л.

Иркутский государственный университет.

Ученый секретарь диссертационного совета к.ф.-м.н., доцент

С. Н. Землянский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами, основы которой были заложены в 60-е годы прошлого столетия в работах А.Г. Бутковского, А.И. Егорова, Т.К. Сиразетдинова и др., в настоящее время, является одним из интенсивно развивающихся научных направлений. Теория получила широкое развитие в исследованиях А.Г. Бутковского, А.И. Егорова, Т.К. Сиразетдинова, К.А. Лурье, В.И. Плотникова, Ж.Л. Лионса, их учеников и последователей.

На практике встречаются множество задач прикладного характера, где действие функции внешнего воздействия сосредоточено в одной точке, которая может быть как фиксированной, так и подвижной. В случаях, когда точка приложения внешних воздействий сосредоточена на границе появляется задача оптимизации с граничными управлениями. Примеры подобного рода задач для тепловых процессов приведены в монографиях А.Г. Бутковского 1) Оптимальное управление системами с распределенными параметрами. - М.: Наука, 1965; 2) Методы управления системами с распределенными параметрами. -М:.Наука, 1975. В природе реальные процессы обычно протекают нелинейно. Поэтому многие задачи прикладного характера, в частности задачи оптимизации, по своей сущности являются нелинейными. Однако нелинейные задачи оптимизации из-за сложности их исследования и недостаточной разработанности методов их решения относятся к мало изученной области теории оптимального управления. В диссертации основное внимание уделено исследованию задачи нелинейной оптимизации, где

граничное управление является нелинейной функцией от управляющих параметров, например, задача оптимального нагрева стержня при тепловом лучистом обмене на концах стержня, происходящего по закону Стефана-Больцмана, приводит к задаче с нелинейным граничным управлением.

Исследование разрешимости нелинейных задач оптимизации и разработка конструктивных методов их решения является одной из актуальных задач теории оптимального управления системами с распределенными параметрами.

Цель работы Исследовать разрешимость задачи нелинейной оптимизации тепловых процессов при нелинейных граничных управлениях в случае, когда

1) функция граничного воздействия (теплового потока) нелинейно зависит от скалярной функции управления;

2) функция граничного воздействия (теплового потока) нелинейно зависит от векторной функции управления;

и разработать алгоритм построения приближенного решения, доказать их сходимость к точному решению задачи нелинейной оптимизации по оптимальному управлению, оптимальному процессу и функционалу.

Методика исследования. В процессе исследования использованы методы теории оптимального управления системами с распределенными параметрами, теории дифференциальных уравнений в частных производных, теории интегральных уравнений, функционального анализа, а также метод решения нелинейных интегральных уравнений с дополнительным условием в виде неравенства, разработанный проф. А. Керимбековым.

Научная новизна работы. Впервые, на примере управления тепловыми процессами, происходящими в стержне конечной длины, разработан алгоритм построения приближенного решения нелинейной задачи оптимизации тепловых процессов в случае,

1) когда функция граничного воздействия (теплового потока) нелинейно зависит от скалярной функции управления (управление с одного конца);

2) когда функций граничных воздействий (тепловых потоков) нелинейно зависят от векторной функции управления (векторное управление с двух концов).

Полученные результаты являются новыми в теории оптимального управления системами с распределенными параметрами, в частности

— установлено, что оптимальное управление определяется как решение нелинейного интегрального уравнения и удовлетворяет дополнительному условию в виде неравенства;

— найдено достаточное условие разрешимости задачи нелинейной оптимизации с нелинейным граничным управлением и результаты обобщены на векторный случай;

— разработан алгоритм построения приближенного решения задачи нелинейной оптимизации (как в случае скалярного, так и в случае векторного управлений) и доказана их сходимость к точному решению.

Основные положения, выносимые на защиту:

— найдены достаточные условия разрешимости задачи нелинейной оптимизации теплового процесса, происходящих в стержне, в случае минимизации квадратичного функционала и управления с одного конца;

— найдены достаточные условия разрешимости задачи нелинейной оптимизации теплового процесса, происходящих в стержне, в случае минимизации квадратичного функционала и векторного управления с двух концов;

— разработан алгоритм построения приближенного решения задачи нелинейной оптимизации тепловых процессов при нелинейных граничных скалярных и векторных управлений и доказана его сходимость;

— теоретические выводы подтверждены численными расчетами которые проводились на модельных задачах управления тепловыми процессами.

Теоретическая и практическая ценность. Разработанный алгоритм построения приближенного решения задачи нелинейной оптимизации при нелинейных граничных управлений может быть использован на практике в прикладных задачах связанных с управлением тепловых процессов. Полученные теоретические выводы представляют интерес в теории оптимального управления системами с распределенными параметрами, ибо они могут быть использованы для развития методов исследования и при разработке конструктивных методов решения нелинейных задач оптимизации.

Апробация результатов. Основные результаты диссертации были доложены на

1. Ежегодной конференции молодых ученых и студентов: «Современные техника и технологии в научных исследованиях» МНИЦГП научная станция РАН (Бишкек, 2009-2011)

2. международной научной конференции «Асимптотические, топологические и компьютерные методы в математике», посвященной 80-летию члена-корр. РАН Иманалиева М.И. (Бишкек, 2011)

3. научном семинаре «Оптимальное управление системами с распределенными параметрами» кафедры «Прикладная математика и информатика» Кыргызско-Российского Славянского Университета (научн. рук. д.ф.-м.н., проф. Керимбеков А.)

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, 3 глав, заключения, списка литературы из 69 наименований и приложений. Общий объем работы содержит 105 страниц машинописного текста, 9 таблиц и 13 рисунков. Нумерация математических соотношений и формул производится по главам и параграфам в виде (а.Ь.с), где а - номер главы, b - номер параграфа в данной главе, с - номер формулы в данном параграфе.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении изложена актуальность исследования задач оптимизации с нелинейными граничными условиями и разработки конструктивных методов решения нелинейной задачи оптимизации систем с распределенными параметрами.

В первой главе приведены примеры задач оптимизации с граничными управлениями для тепловых процессов, сделан краткий обзор исследований, примыкающих к теме диссертации и изложено краткое содержание диссертации.

квадратичный функционал. Установлено, что оптимальное управление удовлетворяет нелинейному интегральному уравнению и дополнительному условию в виде неравенства. Найдено достаточное условие однозначной разрешимости задачи нелинейной оптимизации.

В §2.1 рассматривается краевая задача управляемого процесса Vt = Vxx+f(.t,xl (1,х)е(}, (1)

-У(О.х)=0(*). хе(ОД), (2)

№0) = 0, £(г,1) + а7(Ы) = р[Ьи(0], О <Ь<Т, (3)

где заданная функция f{t,x) е Я((?), р[С,и({)] е Я(0,Т) нелинейно зависящая от функции управления и(Ь) е Я (О, Г), описывает изменения граничного теплового потока; гр(х) 6 Я(ОД) Т-фиксированный момент времени; Н - пространство Гильберта.

Построено слабо обобщенное решение краевой задачи (1) -(3)

в виде

со £

Ук.х) = £ е-Ыфп +1 е-А»у-^(/„(т) + гп(1)р[г,и(г)])|*г П=1 о

где {гп(х)} - полная ортонормированная система собственных функций краевой задачи.

В §2.2 сформулирована задача оптимального управления, где требуется найти управление и°(£) 6 Я (О, Г), которое вместе с соответствующим ему решением V0 (£, *) краевой задачи (1-3)

минимизирует интегральный квадратичный функционал

1 г

/["(О] = ¡[У(Т,х) - ?(х)]2 ах + р | и2 (£Ж /?>0,

о о

где £(х) е Я (ОД) заданная функция.

Согласно принципа максимума для систем с распределенными

параметрами получены условия оптимальности

П„(-,и) = ри(ь, и)ы{ь, 1) - 20и = О,

ПииО. и) = рии&, и)ш(ь, 1) - 2/? < О,

где х) — решение краевой задачи сопряженной (1)-(3)

Щ + сохх = 0, (С,х) е (}, (4)

со(Т,х) + 2{У(Т,х) - £(*)] = 0, х 6 (0,1), (5)

ых(г, о) = о, а)х(г, 1) + аш{ь, 1) = о, о < г < т. (6)

Решение сопряженной краевой задачей (4) - (6) найдено по формуле оо Г с

В §2.3 согласно условиям оптимальности установлено что, оптимальное управление удовлетворяет нелинейному интегральному уравнению

оо Г 00

0и(ОрЛь«(О] + (с, 1) | Сп(т, 1) р[т.и(г)]Л = ^ С„ а 1)/1„ (7)

71=1 о 71=1

и дополнительному условию

т.е. оптимальное управление определяется как решение задачи (7)-(8) при известной функции р[с,и(£)]- Заметим, что задача (7)-(8) представляет интерес и в теории интегрального уравнения, как самостоятельная задача.

Далее рассматривается вопрос однозначной разрешимости интегрального уравнения (7). Согласно методике, разработанной проф. Керимбековым А., положим

/МОРИМО] = 0(0. Отсюда, согласно (8), функция и(£) определяется однозначно т.е. существует функция ф (•) такая, что

и(О-<р[С,0(£),/?]. (9)

Относительно новой неизвестной функции 0(С) нелинейное интегральное уравнение (7) приводится к виду

со Т оо

еад + Л Сп а. 1) | С„(г, 1) р[т,<р[т,в(т),р]](1т = Л Сп (е, 1)/1„,

П=1 о п=1

которое далее исследуется в операторной форме

в = С(в), (10)

где оператор 6(0) действует по формуле

ССв) = сп (г, 1) -1 Сп(т, 1) р[т,<р[т, вСт1р]]^1 = + С (в)

Теорема: Пусть функция р[С,и(С)] удовлетворяет условиям др [г, и (01 г ,

1) ди «ерл,

2) || р[*,и(С)] - р[^ВД||н < р0||и(0 -й(0||я, р0 > О, а функция 0(0,/?] - условию

3) || 9>М&).0] - <рМ(0,/?] ||„ < - 0(О||Н, <р0(/?) > 0. Тогда при выполнении условия

У = М1Ро^о03) -2+- <1

(И)

операторное уравнение (10) в пространстве Н(0,Т) имеет единственное решение 0(t) е Н(0, Т).

Это решение найдено методом последовательных приближений по схеме

0n(t) = Gle^Ct)], п = 1,2,3,..., 0(0 = lim 0n(t) ,

где 90(t) произвольный элемент пространства Н(0,Т) , и удовлетворяет оценке

- 0„(О||Н < £||С[0о(О] - 0о(О||н_ (И)

Найденное решение 0(f) подставляя в формулу (9) находим решение нелинейного интегрального уравнения (7)

«°(0 = <p[t,e{t),0\.

Управление u°(t) может претендовать на «оптимальность» лишь тогда, когда на этом управлении выполняется второе условие оптимальности (8). Это обстоятельство может повлиять на существование оптимального управления, т.е. если найденное управление u°(t) не удовлетворяет условию (8), то решение задачи нелинейной оптимизации может не существовать. Однако можно указать класс функций {p[t, u(t)], 0 < t < Т} , для которых условие (8) выполняется для любых функций u(t), в частности и для функций u°(t).

В §2.4 построено решение задачи нелинейной оптимизации виде тройки (u0(t),K0(t,x),/[u°(t)]), где u°(t)-оптимальное управление, V°(t,x) - оптимальный процесс, /[u°(í)] — минимальное значение функционала.

Поскольку на практике найти точное решение нелинейного интегрального уравнения (10) не всегда удается, то строится приближенное решение, удовлетворяющее желаемой точности. Дальнейшие выводы получены при условии, что в0(t) = h(t). В этом случае оценка (11) приводится к виду

рад-^соня^^исгбосоли.

Оптимальное управление, его приближение определяются формулами u°(t) = <p[t,e{t),p], uk{t) = <p[t,ek(t),p] и удовлетворяют оценке

II u°(o - ufc(t)nH < <р0т\\т - 0k(t)iiH-

Оптимальный процесс, его приближение определяются формулами

00 t

е-Ъг4>п + J e"An(t-r)Zn(l)p[T,u°(T)]dT

n=1 0

00 Г t

Kk(t,x) = ]Г + I e-x-^zn{l)p[T,uk(z)]dT

n=l

и удовлетворяют оценке

ZnW-

||70(t,x) — Vk(t,x)||H <

р„||и°(0-и,(ОИ„

Минимальное значение функционала, его приближение определяются формулами

1 Т

1[и°ш = |[ПГ,х)-£(х)]2Лс + /?|(и°(£))2^, Р> 0.

о О

1 Т

/[и*(0] = I[ПТ,х) - £(*)]2 <** + /?/ и2к р > О,

и удовлетворяют оценке

№(t)] - /[ufc(t)]| < C||u°(t) - Ufc(t)||w.

... ,iV2

С = ^(2||К(Г,ж)||н + 2||?(х)||н)

р0+2рытн

В §2.5 рассчитан модельный пример, подтверждающий теоретические результаты.

В третьей главе исследованы вопросы однозначной разрешимости задачи нелинейной оптимизации в случае двухстороннего управления процессом распространения тепла по стержню, причем функции граничного управления нелинейно зависят от векторного управления. Установлено, что оптимальное векторное управление удовлетворяет системе нелинейных интегральных уравнений и дополнительным условиям в виде системы неравенств. Разработан алгоритм построения приближенного решения задачи нелинейной оптимизации и доказана его сходимость к точному решению по управлению, по оптимальному процессу и по функционалу.

В §3.1 рассматривается краевая задача управляемого процесса в

случае векторного нелинейного граничного управления Vt = Vxx + fit, х), Сt, х)е Q (12)

К(0,х) =t//(x), х 6 (ОД) (13)

Hc(t.O) =p1[t,G(t)], 0<t<T,

Hr(t,l) + =p2[t,4t)], 0 <t<T, (14)

где u(t) = {UiCO.UzCt)}, u(t) e Я2(0,7) - вектор- функция управления, p1[t,u(t)],p2[t,u(t)] 6 H(Q,T) функции нелинейно зависящие от вектор - функции управления, Н2 = Н х Я- декартово произведение пространств Н, остальные параметры имеют те же характеристики, и в краевой задача (1)-(3).

Построено слабо обобщенное решения краевой задачи (12)-(14) в виде

со С

уЦ.х) = ]Г[е-А»Ч1 + I [—гп(0)рг[г,й(т)] + гп(1)р2[г,й(т)] +

п=1 о

+ШШт] гп(х),

где фп, /„(т) - коэффициенты Фурье соответственно функций гр(х)

В §3.2 сформулирована задача оптимального управления, где требуется минимизировать квадратичный интегральный функционал

1 г

Пи(О] = | [У(Т, х) - ах)]2 йх + р |(и? (О + и|(0)Л, Р > О, о О

е //(ОД) заданная функция, на множестве решений краевой

задачи (12)-(14).

Установлено, что компоненты вектор-функции «СОопределяются как решение системы нелинейных интегральных уравнений вида

(т> и\ со. щ со)"1

п=1 О

=ж«к

| \Оп(с, I)/

П=1

где = -ех1{т''\п(0), Оп0,1) = -еХ"{Т''^п(1) ;

(15)

о(?Щ =

дР1 др±

дщ ди2

дуг др2

дщ ди2

VI е [О,Т],

и удовлетворяет дополнительным условиям

Пи1и1(-."1,и2) < О,

П^иД-,"!,^) П^С-.и^иг)! /

Пи1и20,и1(и2) Пигиг(.,и1(и2)| = (П^О.ик^ЗП^С-,^,^) -

-(п„2и1(-,"1,и2))2)>0,

где

Пи1и1("'и1'И2) =

У_„ дР2\д2Р1^[ Зрг дрЛд2р2] 1

V + + ¡ЬШЩГ1''

I кщ.щЛ

= \(-и + и дрЛ д2р1 [V 2 Зиг 1 ди2) ди1ди2

+ (и дрг и дрЛ д2р2

\2 диг и± ди2) дщди-

Пи2и1(-,и2,щ) =

~ [Г-Ц дРг I и ^ д2?1 (и дР1 дрЛ д2р2 1

IV 2ди1 1 ди2) дщди2 V2диг и1ди2)ди1ди2\\0(РиР2^;

п„2и1С-,и2,и1) =

£^4.« Э2Р1 , ( дР1 дР1} д2р2

[V и2дщ+и1ди2)д^дГ2 +

иъ-Р*)\ = др1 Эр2 ар1 др2 Ф о

I Чи1(и2Л дщди2 дщдщ

\0(ЕиЩ\ I чи^иг/!

Далее система (15) приводится к виду

0(0 = С[0(О] + й(с),

где

^©вд-О-8®

~Г* ЙГУЛ «1 _ ^i[t.0i(O,e2(t),/?]\

= = U2[t,e1Ct),02CO,/3]>

Теорема. Пусть выполнены условия:

1. p[t,ü(t)] 6 H2(0,Tl Vü(t) е H2(0,T),

2. 0, Vt е [О, Г].

3. || p[t,ü(t)] - p[t,ü(t)]\\Н2 < Pollü(t) - ü(t)||„2, Ро > О,

4. ||ф[г.т,р] - vit.m.p] \\Н2 < <р0т\\ш -т\\„2,

Тогда при выполнении условия

Г = М1Р0<р0т(д + ^< 1- м1>°- _

операторное уравнение (16) имеет единственное решение в(t) 6 Я2 (О, Г). Далее построены решение задачи нелинейной оптимизации в виде тройки (ü°(t)>ff0(t,x)J/(ü°(t))) и его приближения (ük(t), Vk(t,x),I (ük(t))). Установлены следующие оценки

Песо - 0к(О||я1 < - 0о(О||я..

I|fi(t) - йкт\н* Z <Po(/?)p(t) - Ш\\Н2.

Iint.x) - Vk{t,x) 11^2 < 2ТМ1 (д + p02l|ü(t) - ükm2H2,

№(0]-/[ük(t)]| < C||ü(t) + ük(t)||H2, из которых следует сходимость приближенного решения задачи нелинейной оптимизации к точному при fc -» ОО.

В конце главы приведены численные расчеты подтверждающие теоретические выводы.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах

1. Керимбеков А.К, Красниченко Л.С. Решение задачи нелинейной оптимизации тепловых процессов при минимизации кусочно-линейного функционала, в случае граничного управления. // Ежегодная конференция молодых ученых и студентов. Современные техника и технологии в научных исследованиях. Бишкек: МНИЦГП Научная станция РАН, 2011.45 с.

2. Керимбеков А.К., Красниченко Л.С. О разрешимости задачи нелинейной оптимизации тепловых процессов при граничном управлении // Вестник КНУ им. Ж. Баласагына. Асимптотические, топологические и компьютерные методы в математике. Бишкек, 2011. С.76-79.

3. Керимбеков А.К., Красниченко Л.С. Приближенное решение задачи нелинейной оптимизации // Вестник КРСУ. Бишкек: 2012. Т. 12. №4. С. 168—172.

4. Красниченко Л.С. Приближенное решение задачи нелинейной оптимизации тепловых процессов при векторном граничном управлении // Вестник КРСУ. Бишкек: 2012. Т.12. №4. С. 172-175.

РЕЗЮМЕ

Красниченко Любовь Сергеевна

«Решение задачи нелинейной оптимизации тепловых процессов при граничном управлении»

Ключевые слова: тепловой процесс, слабо обобщенное решение, квадратичный функционал, нелинейное интегральное уравнение, оптимальное управление.

В диссертации исследованы вопросы однозначной разрешимости задачи нелинейной оптимизации теплового процесса в случае, когда скалярное (или векторное) управление нелинейно входит в граничное условие и минимизируется квадратичный функционал. Установлено, что оптимальное управление удовлетворяет нелинейному интегральному уравнению (или системе уравнений) и дополнительному условию в виде неравенства (или системы неравенств). Найдено достаточное условие однозначной разрешимости задачи нелинейной оптимизации и разработан алгоритм построения решения со сколь угодной точностью.

Подписано в печать 25.04.12. Формат 60*84"16 Офсетная печать. Объем 1,25 п.л. Тираж 100 экз. Заказ 308.

Отпечатано в типографии КРСУ 720048, г. Бишкек, ул. Горького, 2

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Красниченко, Любовь Сергеевна

Введение.

Глава 1 Задачи оптимизации с граничными управлениями (обзор исследований).

1.1 Краевые задачи теплового процесса с нелинейными граничными условиями.

1.2 Краткий обзор по исследованиям задач оптимизации тепловых и волновых процессов с граничными управлениями.

Вывод.

Глава 2 Приближенное решение задач нелинейной оптимизации с граничным управлением.

2.1 Слабо обобщенное решение краевой задачи управляемого процесса

2.2 Задача оптимального управления и условия оптимальности.

2.3 Нелинейное интегральное уравнение оптимального управления.

2.4 Построение решения задачи нелинейной оптимизации и сходимость приближенных решений.

2.5 Пример.

Вывод.

Глава 3 Приближенное решение задач нелинейной оптимизации с векторным граничным управлением.

3.1 Слабо обобщенное решение краевой задачи управляемого процесса

3.2 Задача оптимального управления и условия оптимальности.

3.3 Система нелинейных интегральных уравнений оптимального управления.

3.4 Решение задачи нелинейной оптимизации и сходимость приближенных решений.

3.5 Пример.

Вывод.

Введение диссертация по математике, на тему "Решение задачи нелинейной оптимизации тепловых процессов при граничном управлении"

Актуальность темы. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами, основы, которой были заложены в 60-е годы прошлого столетия в работах А.Г. Бутковского, А.И. Егорова, Т.К. Сиразетдинова и др., в настоящее время, является одним из интенсивно развивающихся научных направлений. Теория получила широкое развитие в исследованиях А.Г. Бутковского, А.И. Егорова, Т.К. Сиразетдинова, К.А. Лурье, В.И.Плотникова, Ж.Л. Лионса, их учеников и последователей.

На практике встречаются множество задач прикладного характера, где действие функции внешнего воздействия сосредоточено в одной точке, которая может быть как фиксированной, так и подвижной. В случаях, когда точка приложения внешних воздействий сосредоточена на границе появляется задача оптимизации с граничными управлениями. Примеры подобного рода задач для тепловых процессов приведены в монографиях [14,15]. В природе реальные процессы обычно протекают нелинейно. Поэтому многие задачи прикладного характера, в частности задачи оптимизации, по своей сущности являются нелинейными. Однако нелинейные задачи оптимизации из-за сложности их исследования и недостаточной разработанности методов их решения относятся к мало изученной области теории оптимального управления. В диссертации основное внимание уделено исследованию задачи нелинейной оптимизации, где граничное управление является нелинейной функцией от управляющих параметров. Задачи с нелинейными граничными условиями часто встречаются в приложениях, например, задача оптимального нагрева стержня при тепловом лучистом обмене на концах стержня, происходящего по закону Стефана-Больцмана, приводит к задаче с нелинейным граничным управлением.

2) когда функции граничных воздействий (тепловых потоков) нелинейно зависят от векторной функции управления (векторное управление с двух концов).

Полученные результаты являются новыми в теории оптимального управления системами с распределенными параметрами, в частности,

- установлено, что оптимальное управление определяется как решение нелинейного интегрального уравнения и удовлетворяет дополнительному условию в виде неравенства;

-найдено достаточное условие разрешимости задачи нелинейной оптимизации с нелинейным граничным управлением и результаты обобщены на векторный случай;

- разработан алгоритм построения приближенного решения задачи нелинейной оптимизации (как в случае скалярного, так и в случае векторного управлений) и доказана их сходимость к точному решению.

При изложении материала были использованы следующие обозначения:

1. (О, 1)- интервал оси ох\

2. (О, Т) - интервал оси о/;

3. 0 = (0,1) х (О, Г) - область плоскости охг;

4. У/^,х),Ух^,х) - частная производная первого порядка функции по временной переменной /■ и по координатной переменной х;

5. Кх(?>х) ~ частная производная второго порядка функции по координатной переменной х;

6. Н{П) - гильбертово пространство функций, определенных на множестве О;

7. |С|| - норма элемента гильбертова пространства Н;

8. Н2 = Н(О,Г) х Н(О,Г) - декартово произведение пространств;

9. (',')- скалярное произведение.

В первой главе приведены примеры задач оптимизации с граничными управлениями для тепловых процессов, сделан краткий обзор исследований, примыкающих к теме диссертации, и изложено краткое содержание диссертации.

Во второй главе исследованы вопросы однозначной разрешимости задачи нелинейной оптимизации теплового процесса в случае, когда управление нелинейно входит в граничное условие и минимизируется квадратичный функционал. Установлено, что оптимальное управление удовлетворяет нелинейному интегральному уравнению и дополнительному условию в виде неравенства. Найдено достаточное условие однозначной разрешимости задачи нелинейной оптимизации.

В §2.1 рассматривается краевая задача управляемого процесса

Ус = Ухх+Г(!,х1 &х)е(1, (1)

1/(0, х) =</>(*), же (ОД), (2)

Ух&, 0) = 0, Ух(ы) + аУ(Ь,1) = 0<кт, (3) где заданная функция, гг(£)] £ #(0, Т) описывает изменения граничного теплового потока, нелинейно зависит от функции управления гг(£) £ Н(0, Г) ; начальная функция 1р(х) £ Я (ОД) ; Т фиксированный момент времени; Н - пространство Гильберта.

Аналогично [56] дано определение слабо обобщенного решения.

Определение 2.1. Слабо обобщенным решением краевой задачи (1)-(3) называется любая функция !/(£:, х) £ Н(ф) , которая удовлетворяет интегральному тождеству 1

1(У(1,х)Ф^,х))[ух = о

С21

При произвольных моментах времени // И /2 (0 < ^ < £ < < Г) и для любой функции Ф(£, х) £ С1,2[(?], а также начальному условию (2) в слабом смысле, т.е. соотношение

Дт I [У^,х) - хр(х)]Ф0(х) (1х — 0 о выполняется для любой функции Ф0(Х) £ Н(ОД).

Построено слабо обобщенное решение краевой задачи (1) -(3) в виде

СО I е-^1рп + I е-лп^(/п(т) + гп(1)р[т,и(т)])с1т п=1 О

4) где [гп(х)} - полная ортонормированная система собственных функций краевой задачи

1\х) + Л2г(х) = 0, £'(0) = 0, 7 '(1) + аг{ 1) = 0, т.е. zn(x) = yncosAnx, n = 1,2,3,.,

Л1

2(4 + a2)

2 + а2 + а a {Яп} - собственные значения, которые определяются как решение трансцендентного уравнения tgX = - и обладают следующими свойствами: я тс lim Хп — со, Лп < Лп+1, (п + 1)л < Лп < — (2п - 1), п - 1,2,3,.

->оо 2

В §2.2 сформулирована задача оптимального управления, где требуется найти управление u°(t) 6 //(О, Г) , которое вместе с соответствующим ему решением V°(t, х) краевой задачи (1-3) минимизирует интегральный квадратичный функционал 1 г l[u(t)] = J [V(T, X) - ((х)]2 dx + ßj и2 (t)dt, ß > О, о о где <f(x) е Я (ОД) заданная функция.

Согласно принципа максимума для систем с распределенными параметрами [14, 17, 22] получены условия оптимальности П„0, и) = Pu(t, u)a)(t, 1) - 2ßu = О, П„ub) = Puu(t,uMt, 1) - 2ß < О, где cü(t, х) — решение краевой задачи (¿t + Mxx = Q. (t,x)EQ, о)(Т,х) + 2[V(T,x) - S(x)} =0, х е (ОД), ü)x(t, 0) = 0, о>x(t, 1) + aa)(t, 1) = 0, 0 < t <Т, сопряженной (1)-(3).

Решение сопряженной краевой задачи найдено по формуле оо t a)(t,х) = —2 ^ + I e-A"(t"T)(/n(T) + zn(l)p[T,u(T)])dTn=l о

-ш e-Wr-t)Zn(x)

В §2.3 согласно условиям оптимальности установлено что, оптимальное управление удовлетворяет нелинейному интегральному уравнению с» Г оо

ВДрйЧ^мСО] + ^Г вп (С, 1) I Сп(т, 1)р[т,и(т)]с1т = ^ вп (Х, 1)кп (5) п=1 о П~1 и дополнительному условию

6) т.е. оптимальное управление определяется как решение задачи (5)-(6) при известной функции р[£,

Далее рассматривается вопрос однозначной разрешимости интегрального уравнения (5). Согласно методике, разработанной проф. Керимбековым А., положим

МОрЛ^СО] = 0(0- (7)

Отсюда, согласно (6), функция определяется однозначно т.е. существует функция <£>(■) такая, что и(0 = <рМ(0,/?]. (8)

Относительно новой неизвестной функции нелинейное интегральное уравнение (5) приводится к виду оо т со

6(0 + ^ Сп 1) | сп(т, 1) р[т, <р[т, б(т),/?]]е*т = ^ (<:, 1)^. (9) п=1 о п=1

Далее это уравнение исследуется в операторной форме в = 6(0), (9') где оператор в(9) действует по формуле С(0) = ^ Сп {г, 1) /гп - I Сп(т, 1) р[т,<р[т, в{т),р]]йт = ВД + С(0). п=1 V о /

Теорема 2.1 Пусть функция p[t, u(t)] удовлетворяет условиям dp[t,u(t) ] г п

1) FL WJ Ф о, Vte[0,T], du

2) || p[t,u(t)] - p[t,ü(0]IIh ^ PoIMO -ü{t)\\H, p0 > 0, а функция (p[t, 0(0,/?] - условию

3)|| <p[t,6(tlß] - <p[tMtlß]\\H<(p0(ß)\\e(t)-m\\Hl (p0iß)>0, тогда при выполнении условия

У = MiPoVoiß) + ^ операторное уравнение (9') в пространстве Н(0,Т) имеет единственное решение 0(t) е//(0,7).

Это решение найдено методом последовательных приближений по схеме

0n(O = G[0n-i(OL п = 1,2,3.

0(0 = lim 0П(О,

П-» СО где 0о(О произвольный элемент пространства Н(0,Т), и удовлетворяет оценке

71 р(0 - 0„(O||W ^ Y^1№о(0] - o0(t)\\H (10)

Найденное решение, 0(0 подставляя в формулу (8) находим решение нелинейного интегрального уравнения (5) u°(0 = <p[t,e(t),ß].

Управление u°(t) может претендовать на «оптимальность» лишь тогда, когда на этом управлении выполняется второе условие оптимальности (6). Это обстоятельство может повлиять на существование оптимального управления, т.е. если найденное управление и°(0 не удовлетворяет условию (6), то решение задачи нелинейной оптимизации может не существовать. Однако можно указать класс функций {p[t,u(0],0 < t < 7} , для которых условие (6) выполняется для любых функций и(О, в частности и для функций и0 (О

В §2.4 построено решение задачи нелинейной оптимизации виде тройки ( и0 (О, х), /[и°(0] ), где гг°(0 - оптимальное управление, оптимальный процесс, /[и°(0] — минимальное значение функционала.

Поскольку на практике найти точное решение нелинейного интегрального уравнения (9) не всегда удается, то строится приближенное решение, удовлетворяющее желаемой точности. Дальнейшие выводы получены при условии, что 0о(О — В этом случае оценка (10) приводится к виду к

И) т-вк(г)\\н<^\\с[в0т\н.

Оптимальное управление, его приближение определяются формулами и0СО = «Рв6(0.0], ^(0 = и удовлетворяют оценке

1|И°(0 - и*(011н < <Ро(Р)\\Ш - 0к(О||н- (12)

Оптимальный процесс, его приближение определяются формулами

00 I

1/°(^х) = ^ рп + I е-^-^гп(1)р[т,и°(т)]с1т п= 1 п

Уг ии

-Я^,/. I I Р-А„(С-т) п=1 и удовлетворяют оценке О е п*-фп + J е о гп(1)р[т, и^тДОт

Ро1|и°(0-%(011н- (13)

Минимальное значение функционала, его приближение определяются формулами

1 I и°(0] = 1[У(Т,х)-$(х)]2с1х + (] 1(и0Ю)2сН, /? > О, о о

1 т

1ЫМ] = |[К(7\х) - (О)]2 с1х + (3 I и2к /? > о, о о и удовлетворяют оценке и(0] - /К(0]| < С||и°(0 - ^(011/-/ (14)

С = {(2\\У(Т,х)\\н + 2\\ах)\\н) гм4Л

У2

Ро+2р\Ш\\нУ

В §2.5 рассчитан модельный пример, подтверждающий теоретические результаты.

В §3.1 рассматривается краевая задача управляемого процесса в случае векторного нелинейного граничного управления = Ис* +/(*, *), (15)

У(0,х)=ф{х1 х 6 (ОД), (16)

1^0:, 0) = рЛ^-ВД], О < С < т,

Ух(1,1) + аУ(С, 1) = р2вй(0], о < I < Т, (17) где = {1*1 (0,1*2(0)' й(0 £ Я2(0,Г) - вектор - функция управления, £ Н(0,Т) функции нелинейно зависящие от вектор - функции управления , Н2 = Н х Н - декартово произведение пространств Н, остальные параметры имеют те же характеристики, и в краевой задача (1)-(3).

Построено слабо обобщенное решения краевой задачи (15)-(17) в виде с» £

УЬ,Х) = + I е[—гп(0)р1 [т,й(т)] + гп(1)р2[т,й(т)] + п=1 О т)]йт] гп(х), где 1рп, /п(т) - коэффициенты Фурье соответственно функций ~ф{х) и

В §3.2 сформулирована задача оптимального управления, где требуется минимизировать квадратичный интегральный функционал 1 т и(0] = I\У(Т, х) - (О)]2 (IX + /? I(и1 (0 + /? > О, о о е Я (ОД) заданная функция, на множестве решений краевой задачи (15)

17).

Установлено, что компоненты вектор - функции и(£)определяются как решение системы нелинейных интегральных уравнений вида их,и2)\и2(г)) оо Т , .

1=1 о оо 1

71 — 1

0) 1),/1п

1П,

18) где (?„(*,0) = -еХ"{1''\п(0), Спа 1) = -е11{Т'1\п(1) ; Э

Уг.Уг дра ди2 др2 др2 О, 6 [О, Г], ди2 и удовлетворяет дополнительным условиям

Пп1и1(->и1>и2) <

19) щ,и2) Пи2г11(-, щ, и2) ихи2 (пи1и1(-,и1|и2)Пи2и;!(-,и1,и2) и2и2'

-(Пи^Мциг > О,

20) где П и

1иг

•,и1,и2) = идр2 др2\д2р1 / дрл др1\д2р2 + Щ -— „ 0 + [и щ дщ ' дщ) ди2 ' V"2 дщ 1 ди2) ди2

Рг.Р 2\ Ущ, и2)

-1; п и

1 и2

-Щ дрг+и др2\ д2рг | / дщ Пх ди2) дщди2 V 2 дрг дщ Пх дщ) дщ ди д2р2

1ии.2 О щ,и2) П и2иг

•,и2 ,щ) =

-щ др2 дщ щ др2\ д2Рг | / дР^\ д2Рг дщ) ди гди2 щ дщ ди2) дщдщ щ,щ) п и2иг и2,щ) =

-щ др дщ

2 +и др2\ д2рг 1 ди2) дщдщ

V2 дщ Пх дщ) дщди дРЛ д2Р2

Р1,Р2\

Р1.Р2 щ,щ дрг др2 дрг др2 0. дщ ди2 ди2 дщ Далее система (34) приводится к виду

0(О = С[0 (0] + Л(0, где

20) и

Теорема 3.1 Пусть выполнены условия:

1. р[£,ВД] £ Н2(0,Т), УВД е я2(о,г);

2. \/С Е [О, Г];

3. ||р[£,ЭД]- р[^й(0]||Н2 < р0||й(0 — й(0||Н2, Ро > 0; (22)

4. II №,0(0,/?] - №,0(О,Д ||н2 <^о(Ю||ВД-ВД||н2- (23) Тогда при выполнении условия

У = МгРо<Ро(Р)(д + \ операторное уравнение (20) имеет единственное решение 0(0 £ Я2(0,Г).

Далее построены решение задачи нелинейной оптимизации в виде тройки х),1 (й°(0)) и его приближения к(0, У/с / (#/с(0))- Установлены следующие оценки р(0 - бк(0||Н2 ^ ^||С[0О(О] - 0о(О||Н2.

ВД - йкШ\Н2 < - 0*(О||н2.

УЦ,х)-Ук{1,х)\\2Н2<2ТМ1 + ^

ВД] - /[й*(0]| < С||й(0 + г£ЛсоIIн*> из которых следует сходимость приближенного решения задачи нелинейной оптимизации к точному при к оо.

В конце главы приведены численные расчеты, подтверждающие теоретические выводы.

1, Мх > 0,

24)

Ь2 ||й(0-йк(011н"

Заключение диссертации по теме "Дифференциальные уравнения"

Выводы

Во третьей главе получены следующие результаты:

1. исследованы вопросы однозначной разрешимости задачи нелинейной оптимизации в случае двухстороннем векторном управлении; установлено, что оптимальное векторное управление удовлетворяет системе нелинейных интегральных уравнений и дополнительным условиям в виде неравенств;

2. разработан алгоритм построения приближенного решения задачи нелинейной оптимизации и доказана его сходимость к точному решению по управлению, по оптимальному процессу и по функционалу

3. На модельном примере показана численная реализация полученных результатов.

4. Проведено исследование зависимости сходимости приближенных решений интегрального уравнения , оптимального управления, оптимального процесса и значения функционала от коэффициента /3

Заключение

В диссертации исследована задача нелинейной оптимизации тепловых процессов в случаях нелинейных граничных управлений и получены следующие результаты:

- найдены достаточные условия разрешимости задачи нелинейной оптимизации теплового процесса, происходящих в стержне, в случае минимизации квадратичного функционала и управления с одного конца;

- найдены достаточные условия разрешимости задачи нелинейной оптимизации теплового процесса, происходящих в стержне, в случае минимизации квадратичного функционала и векторного управления с двух концов;

- разработан алгоритм построения приближенного решения задачи нелинейной оптимизации тепловых процессов при нелинейных граничных скалярных и векторных управлений и доказана его сходимость;

- теоретические выводы подтверждены численными расчетами которые проводились на модельных задачах управления тепловыми процессами.

- Проведено исследование зависимости сходимости приближенных решений интегрального уравнения , оптимального управления, оптимального процесса и значения функционала от коэффициента . Обнаружено, что изменение значения постоянной влияет на скорость сходимости приближенных решений задач нелинейной оптимизации, при уменьшении значения /?, скорость сходимости замедляется.

Отметим, что полученные результаты могут быть использованы в приложениях, а так же при разработке новых конструктивных методов решения задач нелинейной оптимизации систем с распределенными параметрами.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Красниченко, Любовь Сергеевна, Бишкек

1. Авдонин С.А., Иванов С.А. Управляемость систем с распределенными параметрами и семейства экспонент. Киев: УМК ВО, 1989. 244 с.

2. Алексеев Г.В., Смышляев А.Б., Терешко Д.А. Разрешимость краевой задачи для стационарных уравнений тепломассопереноса при смешанных краевых условий // Журнал вычислительной математики и математической физики.- 2007. № 1. С. 66-80.

3. Алиферов, В.В. О приближенном решении задачи с точечными и граничными управлениями. / В.В. Алиферов, Ы. Каимкулов. //Математические методы оптимизации систем с распределенными параметрами. -Фрунзе: Илим, 1975. -С. 32-48.

4. Аргучинцев А. В. К поиску оптимальных граничных управлений в двумерных полулинейных гиперболических уравнениях // Модели и методы исследования операций. — Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1988. — С. 50

5. Аргучинцев А. В. Оптимизация гиперболических систем с интегральными ограничениями на граничные управления // Изв. вузов. Математика. — 2004. № 1. - С. 10-17.

6. Аргучинцев А. В. Решение задачи оптимального управления начально-краевыми условиями гиперболической системы на основе точных формул приращения // Изв. вузов. Математика. — 2002. — № 12. — С. 23-29.

7. Аргучинцев А. В., Крутикова О. А. Оптимизация полулинейных гиперболических систем с гладкими граничными управлениями // Изв. вузов. Математика. 2001. - №2. - С. 3-12.

8. Аргучинцев A.B. Оптимальное управление начально-краевыми условиями гиперболических систем первого порядка // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2004. — № 5. — С. 42-48.

9. Аргучинцев A.B. Оптимизация гиперболических систем с управляемыми начально-краевыми условиями в виде дифференциальных связей// Журнал вычислительной математики и математической физики. -2004. № 2. С. 287-296.

10. Асанова, Ж.К. Нелинейное точечное оптимальное управление процессом теплопередачи при минимизации кусочно-линейного функционала//Вестник. КГУ им. И.Арабаева. Сер. Естественные науки. -Бишкек, 2008. -Вып.11. -С. 18-22.

11. Асанова, Ж.К. Точечное подвижное нелинейное оптимальное управление тепловыми процессами при минимизации кусочно-линейного функционала. //Вестник. КГУ им. И.Арабаева. Сер. Естественные науки. -Бишкек, 2008. -Вып. 11. -С.23-27.

12. Бабат Г.И. Индукционный нагрев металлов и его промышленное применение. 2-е изд. М.; Л.: Энергия, 1965. 552 с.

13. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1965. 474 с.

14. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1975. 568 с.

15. Бутковский А.Г. Управление системами с распределенными параметрами (обзор) // Автоматика и телемеханика. 1979. №11. С. 16-65.

16. Васильев О. В. Принцип максимума JI.C. Понгрягина в теории оптимальных систем с распределенными параметрами // Прикладная математика. — Новосибирск, 1978. — С. 109-138.

17. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. Изд. 2-е, перераб. и доп. М.: Наука, 1988. 552 с.

18. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981.-512 с.

19. Гантмахср Ф.Р. Теория матриц. М.: Госуд. изд-во техн.-теоретич. лит., 1957. 491 с.

20. Дженалиев М.Т., Сматов К.С. Последовательные приближения в задачах оптимизации параболическими уравнениями // Проблемы автоматики и управления. Бишкек: Илим, 1999.С. 102-108.

21. Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. М.: Наука, 1978. 464 с.

22. Егоров А.И. Оптимальное управление линейными системами. Киев: Выща школа, Головное изд-во, 1988. 278 с.

23. Егоров А.И. Основы теории управления. М.: Физматлит, 2004.504 с.

24. Егоров А.И., Знаменская J1.H. Управление колебаниями связанных объектов с распределенными и сосредоточенными параметрами// Журнал вычислительной математики и математической физики,- 2005. № 10.-С. 1766-1784.

25. Ильин В.А. Независимость оптимальных граничных управлений колебаниями струны от выбора точки согласования начальных и финальных условий//Доклады AIT.-2008., Т420. №1.-С18-.

26. Ильин В.А. Теоремы о единственности обобщенных решений четырех смешанных задач для волнового уравнения с нелокальными граничными условиями//Доклады АН. -2008., Т420. №2.-С162-.

27. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Оптимизация граничного управления упругой силой на двух концах струны//Доклады АН.-2005., Т402. №2.-С163-169.

28. Квитко А.Н. Об одном методе решения граничной задачи для нелинейной управляемой системы //Журнал вычислительной математики и математической физики. 2004. № 7. - С. 1241-1250.

29. Керимбеков А. Нелинейное оптимальное управление тепловыми процессами //Наука и новые технологии. 2000. Бишкек. №2. С. 30-35.

30. Керимбеков А. О разрешимости задачи нелинейного оптимального управления процессом теплопередачи. //Тезисы докладов II-международной научной конференции «Асимптотические, топологические и компьютерные методы в математике». Бишкек, 2006. С. 72.

31. Керимбеков А. О разрешимости одной нелинейной задачи оптимизации тепловых процессов //Проблемы автоматики и управления. Бишкек: Илим, 2000. С. 151-158.

32. Керимбеков А. Приближенное решение нелинейной задачи оптимизации тепловых процессов // Проблемы автоматики и управления. Бишкек: Илим, 2001. С. 58-65.

33. Керимбеков А., Джээнбаева Г., Шаршенова И. О разрешимости нелинейной задачи оптимизации тепловых процессов при граничном управлении // Вестник КГНУ, серия 3. Естественно-технические науки. Бишкек, 2001. Вып. 7. С. 30-34.

34. Керимбеков А., Урывская Т.Ю. О разрешимости нелинейной задачи оптимального управления процессами, описываемыми полулинейными параболическими уравнениями //Вестник КРСУ. Бишкек. 2010. Т.Ю. №9. С.47-52.

35. Керимбеков А., Урывская Т.Ю. Оптимальное управление процессом теплопередачи, описываемое уравнениями с разрывными коэффициентами. // Исследования по интегрально-дифференциальным уравнениям. Выпуск 40. Бишкек: Илим, 2009. 302 с.

36. Керимбеков А., Урывская Т.Ю. Слабо-обобщенное решение уравнения теплопередачи с разрывными коэффициентами. //Вестник КРСУ. Бишкек, 2010. Т.Ю. №5. С.140-142.

37. Керимбеков А.К., Красниченко Л.С. О разрешимости задачи нелинейной оптимизации тепловых процессов при граничном управлении // Вестник КНУ им. Ж. Баласагына. Асимптотические, топологические и компьютерные методы в математике. Бишкек, 2011. С.76-79.

38. Керимбеков А.К., Красниченко Л.С. Приближенное решение задачи нелинейной оптимизации // Вестник КРСУ. Бишкек: 2012. Т.12. №4. С.183-186.

39. Керимбеков, А. Нелинейное оптимальное управление линейными системами с распределенными параметрами: Дисс. докт. физ.-мат. наук. Институт математики НАН КР. /А.Керимбеков -Бишкек, 2003. -224 с.

40. Керимбеков, А. Асанова, Ж Нелинейное оптимальное управление тепловыми процесссами при точечных подвижных источников. //Поиск. Научное приложение международного журнала «Высшая школа Казахстана»

41. Министерства образования и науки Республики Казахстан. Сер. Естественных и технических наук. -Алмата, 2009. -Вып.№1. -С.201- 205.

42. Керимбеков, А. Приближенное решение задачи нелинейной оптимизации процессов теплопередачи при подвижных точечных источниках //Исследования по интегро дифференциальным уравнениям. -Бишкек: Илим, 2008. -Вып. 39. -С. 113-117.

43. Красниченко JI.C. Приближенное решение задачи нелинейной оптимизации тепловых процессов при векторном граничном управлении // Вестник КРСУ. Бишкек: 2012. Т.12. №4. С.179-182.

44. Краснов М.В. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1975. 303 с.

45. Крылов Н.В. Управляемые процессы диффузионного типа. М.: Наука, 1977.400 с.

46. Ладыженская O.A. Краевые задачи математический физики. М.:Наука, 1973. 408 с.

47. Лионе Ж.Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972. 414 с.

48. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965.520 с.

49. Маслов В.П., Данилов В.Г., Волосов К.А. Математическое моделирование процессов тепломассопереноса. Эволюция диссипагивных структур. М.: Наука, 1987. 352 с.

50. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. 2-е изд., перераб. и доп. М: Наука, 1983. 424 с.

51. Плотников В.И. Энергетические неравенство и свойства переопределенности системы собственных функций // Изв. АН СССР, сериямат. 1968. Т. 32. №4. С. 743-755.

52. Потапов М.М. Приближенное решение задач граничного управления и наблюдения для уравнения поперечных колебаний стержня // Журнал вычислительной математики и математической физики,- 2005. № 6. -С. 1015-1032.

53. Пузырев В.А. Оптимальное управление системами с распределенными параметрами (обзор) // Зарубежная радиоэлектроника. 1975. №7. С. 38-57.

54. Садовничий В.А. Теория операторов. 2-е изд-е. М.: Изд-во МГУ, 1986. 368 с.

55. Сиразетдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1977. 497 с.

56. Смышляев П.П., Лыкосов В.М., Осипков Л.П. Управление технологическими процессами. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1989. 284 с.

57. Тихомиров В. В. Волновое уравнение с граничным управлением при упругом закреплении. I //— 2002. — Т. 38, № 3. — С.393-403.

58. Тихомиров В. В. Волновое уравнение с граничным управлением при упругом закреплении. II // Дифференциальные уравнения.— 2002. — Т. 38, №4. — С. 529-537.

59. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. 735 с.

60. Урывская Т. 10. О разрешимости одной задачи оптимизации тепловых процессов при минимизации кусочно-линейного функционала // Вестник КРСУ. Бишкек: 2010. Т.10. №9. С.52-56.

61. Фельдбаум A.A., Бутковский А.Г. Методы теории автоматического управления. М.: Наука, 1971. 744 с.

62. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений / Пер. с англ. М.: Мир, 1985. 376 с.

63. Kerimbekov A., Asanova Zh. Dot Active Nonlinear Optimal Control Thermal Processes at Minimation Piecewise-Linear Functional. //Actual Problems of Control Theory, Topoloqy and Operator Equations.-Aachen: Shaker Verlaq, 2009.-P. 133- 138.