Об оптимальном граничном управлении процессом колебаний тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Московский Государственный Университет им. М.В.Ломоносова Факультет вычислительной математики и кибернетики

На правах рукописи

ЧАБАКАУРИ ГЕОРГИЙ ДЖОНИЕВИЧ

ОБ ОПТИМАЛЬНОМ ГРАНИЧНОМ УПРАВЛЕНИИ ПРОЦЕССОМ КОЛЕБАНИЙ

( 01.01.02 - Дифференциальные уравнения )

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2004

Работа выполнена на кафедре общей математики факультета Вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова

Научный руководитель

доктор физико-математических наук академик РАН, профессор В.А. Ильин

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук профессор Ф.П. Васильев доктор физико-математических наук А.П. Афанасьев

Ведущая организация

Институт программных систем РАН

Защита состоится................2004 г. в 14.30 на заседании диссертационного совета К

501.001.07 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, Москва, Ленинские горы, МГУ, факультет Вычислительной математики и кибернетики, ауд. 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМК МГУ.

Автореферат разослан..................2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

кандидат физ.-мат. наук, В.М. Говоров

доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одномерное волновое уравнение является математической моделью большого числа физических процессов, имеющих первостепенное значение. Оно описывает колебания струны, крыла самолета, стрелы подъемного крана и многие другие процессы интересные не только с теоретической, но и с практической точки зрения. В связи с этим, большую актуальность приобретают задачи о граничном управлении процессом колебаний, который описывается волновым уравнением. Особенно важную роль в практических приложениях играет задача об успокоении процесса колебаний, т.е. задача о переводе колебательной системы из некоторого начального состояния в состояние полного покоя с помощью граничного управления.

Исследованию задач граничного управления для волнового уравнения посвящены работы многих математиков. Особенно хорошо были изучены условия, при которых процесс колебаний струны может быть переведен из одного состояния, характеризуемого начальным смещением и начальной скоростью точек струны, в некоторое наперед заданное состояние. Разработанный Ж.-Л. Лионсом в работе [1] гильбертов метод единственности (Hilbert uniqueness method) позволил исследовать не только одномерное, но и многомерное волновое уравнение.

Предметом исследований Лионса является задача граничного управления для волнового уравнения, описывающего колебания струны с закрепленным правым концом и граничным управлением на левом конце.

обобщенным решением.

Задача заключается в нахождении такого € .^[0,Т], которое переводит процесс колебаний из начального состояния {<р(х),1р(х)} в наперед заданное конечное состояние {^1(1)1 ФЛХ)} за время Т. Таким образом, необходимо найти € Ь2[0,Т], для которого выполнялись бы равенства:

u(®,X;/i) = Vi(x),ut(x, Т\р) = ^i(s),

(4)

где ^(х) е Ь2[0Д *Мх) е я-чо.г].

В работе [1] было показано, что при Т >21 задача (4) разрешима для любого конечного состояния {VI(х), ^1(1)}.

В работе [2] гильбертов метод единственности был распространен на случай квазилинейного волнового уравнения с асимтотически линейной нелинейностью. Частным случа-

ем этой задачи является задача граничного

Таким образом, метод Лионса оказался достаточно удобным инструментом для доказательства существования решения задачи о граничном управлении процессом колебаний.

В работе [3] задача граничного управления исследуется с помощью метода Фурье и метода моментов, который применен для построения искомого граничного управления в виде ряда Фурье, а в работе [4] для конструктивного решения задачи используется метод падающих и отраженных волн.

Конструктивному решению задачи о граничном управлении процессом колебаний посвящены также работы [5] и [6], в которых построены эффективные численные алгоритмы построения искомого граничного управления. Работа [5] основана на использовании конечномерной аппроксимации задачи граничного управления, а работа [6] использует метод Фурье. Отметим однако, что обе эти работы существенно опираются на развитый Лионсом гильбертов метод единственности.

Исчерпывающее решение задачи о граничном управлении процессом колебаний струны с закрепленным правым концом было получено В.А. Ильиным в работе [7]. В более ранней работе [8] ВА. Ильиным и была также рассмотрена задача об управлении процессом колебаний струны на двух концах. Отметим, что в работе [7] показано, что задача (4) разрешима для любого конечного состояния {^(¿г) € И^О.^^С1) 6 -^[0)4} не только при Т > 21, но я при Т ~ 21. Кроме того, впервые был изучен случай, к о Т д а и получены конструктивно проверяемые необходимые и достаточные условия возможности перевода колебательного процесса из одного состояния в другое с помощью граничного управления ¿¿(1) € И21[0,Т]. В работе [7] В.А. Ильиным получены также явные аналитические формулы для искомого граничного управления Более того, в случае, когда установлено существование континуума граничных управлений, решающих задачу (4) и получено исчерпывающее их описание.

В свете работы [7] особую актуальность приобретают следующие задачи. Во-первых, важным представляется рассмотрение случая, когда невозможен переход из начального состояния системы в конечное состояние в силу нарушения необходимых и достаточных условий управляемости. В этом случае, необходимо найти оптимальное управление, переводящее процесс колебаний в некоторое состояние системы, которое наиболее близко (по норме некоторого гильбертова пространства) к потенциально недостижимому желаемому состоянию системы. Во-вторых, важной с практической точки зрения может оказаться проблема об управлении процессом колебаний с помощью малых по модулю управлений.

Эти и другие задачи рассматриваются в настоящей диссертационной работе на примере задачи о граничном управлении процессом колебаний струны на одном конце при свободном втором конце.

Цель работы.

(1) Доказательство теорем существования и единственности для начально-краевых и • нелокальных задач для волнового уравнения.

(2) Выяснение необходимых и достаточных условий, при выполнении которых существует граничное управление на левом конце, переводящее процесс колебаний струны со свободным правым концом из заданного начального состояния {<р{х) е И^М, ф[х) е 1<2[0,Щ в заданное конечное состояние {ф\{х) е И^О,

(3) Вывод явных аналитических формул для граничного управления процессом колебаний при выполнении необходимых и достаточных условий управляемости.

(4) В случае нарушения необходимых и достаточных условий управляемости вывод явной аналитической формулы для оптимального граничного управления, переводящего процесс колебаний из заданного начального состояния {<р(х) 6 1], ■ф(х) 6 ¿2[(М]} в такое состояние {<р,(х) 6 И^О,"ФЛХ) £ ¿г[0, /]}, которое наименее уклоняется от потенциально недостижимого состояния (х) 6 И^О, I],

^¡(х) 6 £2 [0,1]} в норме гильбертова пространства ^[0,/] х ^[О, /].

(5) Явное аналитическое представление малых по модулю граничных управлений

которые переводят процесс колебаний из одного заданного состояния в другое.

Методика исследований. Используются методы функционального анализа, дифференциальных уравнений и теории оптимизации.

Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие результаты:

(1) Доказаны теоремы существования и единственности обобщенного решения из класса ВА. Ильина \VMQt) решения начально-краевых и нелокальных задач для волнового уравнения.

(2) Установлены необходимые и достаточные условия управляемости процесса колебаний и получены явные аналитические формулы для искомых граничных управлений

(3) В явном аналитическом виде построено оптимальное управление, переводящее процесс колебаний из начального состояния в состояние, наименее отклоняющееся от желаемого, но недостижимого состояния по норме пространства ^[0,/] х

¿а[0 Л

(4) Изучена задача об процесса колебаний.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты могут найти приложение в математической физике и теории оптимизации. Разработанные методы могут быть использованы для решения аналогичных задач для более общих уравнений гиперболического типа. Например, изложенные в работе идеи могут оказаться полезными для решения задачи об оптимальном управлении процессом, описываемом телеграфным уравнением, которое описывает многие важные с практической точки зрения процессы.

Апробация работы. Основные результаты, полученные в данной диссертационной работе, докладывались на семинаре "Актуальные проблемы математической физики и

5

спектральной теории дифференциальных операторов"кафедры общей математики МГУ под руководством проф. В.А. Ильина, проф. Б.И. Моисеева и проф. А.А. Дезина, на международных конференциях студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов 2001"и "Ломоносов 2002", а также на ежегодной научной конференции "Тихоновские чтения"в 2002 и 2003 гг.

Публикации. Основные результаты, представленные в настоящей диссертации, опубликованы в работах, список которых представлен в конце автореферата.

Структура диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, разбитых на 12 параграфов и списка литературы (21 наименование). Общий объем диссертации 72 страницы машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Введение посвящено краткому обзору литературы и истории вопроса. Кроме того, во введении приводится краткое изложение полученных в диссертационной работе результатов.

Первая глава посвящена исследованию смешанных начально-краевых задач для волнового уравнения, задач с нелинейными нелокальными граничными условиями. Кроме того, в первой главе исследуется вопрос о единственности решения задачи граничного управления для волнового уравнения. Основными объектами исследования в первой главе являются смешанная задача с нелинейным нелокальным условием и задача граничного управления.

Смешанная задача с нелинейным нелокальным граничным условием

■Utt{x, t) - ихх(х, t) = F(x, t) в QT, (5)

u(x,0) = p(x),ut(x,0) = ф(х),0<x <1, (б)

(

u{0,t) = n(t),Uz(l,t) = J f(u(U)MS,t)MZ>t),Z,t)dt, 0

0 < t < T, (7)

где Qt = [0,/] x [0,21, € L2{QT), ф) g W2l[0,i], ф{х) e L2\0,l] и MO € W2l[0,T].

Задача граничного управления : (5), (6), и

и{х,Т) = <pi{x),ut{x,T) = ф^х) при 0 <х<1, (8)

где ^(х) 6 W2l[CU], фх(х) 6 ¿2[0,iJ.

В первой главе исследуются обобщенные решения этих задач из класса ВА Ильина WKQt)) введенного в работе [8]. Понятие обобщенного решения для смешанной задачи с нелинейным нелокальным граничным условием и для задачи граничного управления из класса W2(Qt) вводится по аналогии с работой В .А. Ильина [7]. Основным результатом первой главы является следующая Теорема 1.1

Пусть выполнены следующие условия:

(1) функция f(zi, z2, z3, х, t) непрерывна в Л5,

(2) № =

(3) выполнено условие Липшица для функции f(zi,z2,zi,x,t), т.е.

\f{zuz2,z3,x,t) - f{yuV2,V3,x,t)\< С(|г! - yi\ + \z2 - ¡ft| + - Ы)

для любых Zi, у, £ R, г = 1,2,3.

Тогда, для любого Т > 0 существует единственное решение задачи (5)—(7) из класса

Щ{Ят).

Всюду далее, в работе рассматривается случай, когда /(г = 0. Доказывается ряд утверждений, которые используются в последу-

ющих главах работы. Наиболее важные утверждения касаются представления решения начально-краевой задачи для волнового уравнения с однородными начальными условиями и условий единственности решения задачи граничного управления:

Утверждение

Единственное решение и(х, I) из класса \У];((2т) смешанной задачи (5)-(7), у которой /(¿1, г2,23, х, <) н 0 >р(х) н 0 на сегменте [0, /], тр(х) является нулевым элементом £г[0, а произвольная функция из класса Т], удовлетворяющая условию р;(0) = 0, в случае, когда Т - - 21к + 2/ (где к - натуральное число) определяется равенством

и(х, 0 =/£(г-г)+£(< + х-20 +

к

+ £(-1)' \ait-х- 2И) +£(г + х-21- 2Н)].

1=1

Утверждение Для любого Т,удовлетворяющегонеравенстважО <Т <21, может существовать только одно решение из класса И^ (Рт) задачи граничногоуправления.

• Вторая глава посвящена исследованию необходимых и достаточных условий управляемости процесса колебаний. Кроме того, в явном аналитическом виде предъявлено граничное управление, которое в случае выполнения указанных выше необходимых и достаточ-ньжусловий переводит процесс колебаний из начального состояния-{^(х) 6 И^О, 1],ф(х) 6 £г[0, в наперед заданное конечное состояние {^(х) 6 И^О,!], ф\{х) 6 £з[0, /]}. Кроме того показано, что решение задачи не будет единственным когда Т > 21. Ю этом случае, существует бесконечно много граничных управлений которые решают поставленную задачу. Во второй главе получено исчерпывающее описание всех таких управлений для случая, когда21 <Т< 31.

Основные результаты второй главы заключаются в приводимых ниже теоремах.

Теорема 2.1. Для любого Т, удовлетворяющегонеравенствам 0 <Т < 21,необходимыми условиями существования (единственного !) решения из класса И^фг) задачи граничного управления являются следующие три требования: -

1)принадлежность функций <р(х), т1>(х), ^¡{х), х) классам

Ф) е и2|рА*{*) е ЪМ.^*) е иЭДДтМ*) е ь2[0Д

2)удовлетворение функциями <р{х), 1р(х), <Р1(х), ф\.{х)

а) для случая 0 <Т <1 трем тождествам

& ~~

h

t-T

J*

б) для случая I <T <21 тождеству

+ <fi(t-T)=0 при Т < t < t;

Теорема 2.2. Для любого Т из 0 <Т< 2i требования 1), 2) теоремы 2.1являются нетольконеобходимыми,ноидостаточнымиусловиямисуществованияединственного решения из класса W^Qt) задачи граничногоуправления. При выполнении этих требо-ванийрешение u(x,t) указаннойзадачиравно

и(х, t) = F(t + x) + F(t-x + 21),

где функция F(t) определяется выражениями

I

[¡шж+т/ 2

I

21—t

Ч J №dS-V>(2l-t))/2 l

t-T

IJ №№+<pi(t-T)]/2

при 0 < t < I, при l<t<2l, при T<t<T + l,

2l+T-t

-[ J M€)<%-V>iW + T-t)]/2 при T + l<t<T + 2l, i

При этом граничноеупцавление u(0,t) — /i(t), переводящеепроцессколебанийизсосто-яния

имеет вид:

Kt) =

9

21-т+г

I I

при о <*<т-г,

» л —ь

I (

при т-1<г<1,

21-1 т-4

при 1<г<т, в) в случае Т = 21

#*(*) = -

I I

I I

при о < г < г, 21-1

при l<t<2l.

Теорема 2.3. Если Т удовлетворяет неравенствам 21 <Т < 31, то для произволь-ныхчетырехфункций !р\(х), фг{х), принадлежащих классам (1) , существует

решение и(х,4) из хШ^О^сазадачи граничного управления, т.е существует гранич-ноеуправление и(0,<) = переводящее процесс колебаний из состояния {и(:т,0) = у>(х),«1(х,0) =ф(х)} в состояние {«(х.Т) — ^х{х),щ[х,Т) — 1р1(х)}. Это решение и это граничноеуправление определяются неоднозначно и имеют вид и (г, 4) = и{х, <) + и(х, <),

/£(t)=

О

to(t)

21-T+t

при t < 0, при 0 < i < T — 21,

I J iI>(№i + ,Pi№-T + t)]/2npuT-21<t<T-l, i

T-t

-[ J -<Pi (T-1)\/2 npuT-l<t<2l, i

T-t

w(t -21)-I J -<Pi{T-1)]/2 при 21 < t < T, i

v(t) - произвольная функция из класса Wfyl,Т], удовлетворяющая условиям v(2l) — i

У V'K)^ + v(0)]/2, "(Г) = 0, w(t) - произвольная функция из класса [О,Т — 21], о

I

удовлетворяющая условиям w(Q) = 0, w(T- 21) = [- J ip(£)d£i + <pi(0)]/2,

о

й(х, t) = p(t + x) + Jl (t - x + 21) -Ji(t + x + 21),

u(x, t) = fi(t -x) + fx(t + x- 21) -/t(t-x- 21).

Третья глава посвящена задаче об оптимальном управлении процессом колебаний. Эта задача является актуальной в том случае, когда процесс колебаний невозможно перевести из начального состояния в желаемое конечное состояние в силу нарушения необходимых и достаточных условий, полученных во второй главе диссертационной работы. Задача заключается в нахождении граничного управления, которое переводит процесс колебаний из начального состояния в такое состояние, которое наименее уклоняется от желаемого, но недостижимого конечного состояния в норме пространства

Формально, описанная выше задача заключается в минимизации функционала

= ||«(х,Т; ц) - ViMII^M + ||u«(x,T; д) -где u(i, t] ¡j) — решение смешанной задачи (5)-(7) с f(zi,z2,z3,x,t) = 0, соответствующее граничному управлению fi{t), a tpi(x) и ^i(x) — две совершенно произвольные (но фиксированные!) функции из [0,1] и L2\Q, I] соответственно.

Заметим, что задача оптимального управления в нашей постановке имеет смысл лишь для случая, когда так как в силу результатов второй главы процесс колебаний

управляем при для любых конечных состояний.

Указанный выше функционал минимизируется на множестве всех допустимых управлений, т.е. на множестве управлений, для которых разрешима соответствующая смешап-ная задача (5)-(7) с f(zi,z2,z3,x,t) = 0. Основным результатом данной главы являются явные аналитические формулы для функций <р,(х) = и(х,Т; ц,) и ф,(х) = и(x,t; ft,),

11

где ¡¿, есть оптимальное управление. Зная эти функции легко можно восстановить само оптимальное управление ц, по формулам из теоремы 2.2, в которых вместо ^(х) и ф\(х) следует взять функции <р.[х) и ф,(х) соответственно.

Четвертая глава посвящена задаче об е- управляемости процесса колебаний. Будем говорить, что процесс колебаний е- управляем, если V е > О 37^ > 0 3/г£(<) 6 И^1 [0,ТС]: < е V I £ [О, Тс\ и выполнены условия:

и(х,Тг;^(г)) = Ч>\{х),и1{х,Тс\це{1)) = фх{х).

Основным результатом четвертой главы является

Теорема 4.3. Рассмотрим функции <р(х) е И^1 [0,ф(х) 6 ¿^[0,^(х) е 1У2'[0,1] и

является необходимым и достаточным для того, чтобы для любого е > 0 существовал промежуток времени Ти граничноеуправление € [0,Г] удовлетворяющеенера-венству < £> > р о е переводит процесс колебаний из начального состояния

{ф(х), ^(х)} при ¿ = 0 в конечноесостояние{1р1(х), ^(х)} при 1 — Т.

При этом само е - управление может получено в явном аналитическом виде.

Автор выражает глубокую благодарность академику РАН ВА. Ильину за постановку задач и постоянное внимание к работе..

Литература

1. Lions J.-L. Exact ControUability, Stabilization and Perturbations for Distributed Systems.// SIAM Review, Vol. 30,1988, pp. 1-68

2. Zuazua E. Exact Controllability for the Semilinear Wave Equation.// J. Math, pures et appl., 69, 1990, pp. 1-31

3. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. М., Наука, 1975

4. Егоров А.И. Управление упругими колебаниями.//Доклады АН УССР, серия физ.-мат. и техн. наук. 1986, N.5, с. 60-63

5. Васильев Ф.П., Куржанский М.А., Потапов ММ. Метод прямых в задачах граничного управления и наблюдения для уравнения колебаний струны.// Вестник МГУ, сер. 15, вычисл. матем. и киберн. 1993, N.3, с. 8-15

6. Васильев Ф.П., Куржанский М.А., Разгулин А.В. О методе Фурье для решения одной задачи управления колебанием струны.// Вестник МГУ, сер. 15, вычисл. матем. и киберн. 1993, N.2, с. 3-8

7. Ильин В.А. Граничное управление процессом колебаний на одном конце при закрепленном втором конце в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией// Дифференц. уравнения. 2000. Т.36, N 12.

8. Ильин В.А. Граничное управление процессом колебаний на двух концах в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией. // Дифференц. уравнения. 2000. Т.36, N 11. с. 1513-1528.

Публикации автора по теме диссертации

1. Рево Л.А., Чабакаури Т.Д. Волновое уравнение с граничным управлением на левом конце при свободном правом конце и задача о полном успокоении колебательного процесса.// Дифференц. уравн. 2000. Т. 36, N6. С. 806 - 815.

2. Рево П.А., Чабакаури Г.Д. Граничное управление процессом колебаний на одном конце при свободном втором конце в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией // Дифференц. уравн. 2001. Т. 37, N 8. С.1082-1095.

3. Рево П.А., Чабакаури Г.Д. Граничное управление процессом колебаний на левом конце при свободном правом конце в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией // ДАН. 2001. Т. 379, N 4. С. 459-462.

4. Чабакаури Г.Д. Оптимизация граничного управления процессом колебаний на одном конце при закрепленном правом конце.// Дифференц. уравн. 2OO1.T.37,N12.C. 1655-1663

5. Чабакаури Г.Д. Оптимизация граничного управления процессом колебаний на одном конце при закрепленном втором конце в случае ограниченной энергии.// Дифференц. уравн. 2002, Т. 38, N2, с. 277-284.

6. Чабакаури Г.Д. Оптимизация граничного управления процессом колебаний струны на одном ее конце при закрепленном втором конце// ДАН. 2001. Т. 379, N 3. С. 309-312.

7. Чабакаури Г.Д. О процессе колебаний струны со свободным правым концом и малым по модулю граничным управлением на левом конце.// Дифференц. уравн. 2003, Т. 39, N6, с. 820-828.

8. Чабакаури Г.Д. Существование и единственность обобщенного решения смешанной задачи для волнового уравнения с нелинейным нелокальным граничным условием // Диф-ференц. уравн. 2004, Т. 40, N 1, с. 77-81 UttBM>b, 2004)

Издательство ООО "МАКС Пресс". Лицензия ИД № 00510 от 01.12.99 г. Подписано к печати 12.04.2004 г. Формат 60x90 1/16. Усллеч.л. 1,0. Тираж 75 экз. Заказ 406. Тел. 939-3890, 939-3891,928-1042. Тел./факс 939-3891. 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.ВЛомоносова.

Р1101Ï

Введение

Глава 1. Теоремы существования и единственности

1. Смешанная задача для волнового уравнения с нелинейным нелокальным граничным условием.

2. Решение смешанной задачи для волнового уравнения в случае свободного правого конца.

Глава 2. Граничное управление процессом колебаний на одном конце при свободном втором конце

1. Формулировка основных результатов

2. Доказательство теоремы 2.

3. Доказательство теоремы 2.

4. Доказательство теоремы 2.

Глава 3. Оптимальное граничное управление процессом колебаний

1. Постановка задачи, основные определения и вспомогательные утверждения

2. Решение задачи о минимизации функционала J (/л) на множестве допустимых управлений

3. Рассмотрение случая 0 < Т < I

4. Рассмотрение случая I <Т <

Глава 4. Об управлении процессом колебаний с помощью малых по модулю граничных управлений

1. е-управляемость процесса колебаний

2. Устойчивость к малым возмущениям.

Одномерное волновое уравнение является математической моделью большого числа физических процессов, имеющих первостепенное значение. Оно описывает колебания струны, крыла самолета, стрелы подъемного крана и многие другие процессы интересные не только с теоретической, но и с практической точки зрения. В связи с этим, большую актуальность приобретают задачи о граничном управлении процессом колебаний, который описывается волновым уравнением. Особенно важную роль в практических приложениях играет задача об успокоении процесса колебаний, т.е. задача о переводе колебательной системы из некоторого начального состояния в состояние полного покоя с помощью граничного управления.

Исследованию задач граничного управления для волнового уравнения посвящены работы многих математиков. Особенно хорошо были изучены условия, при которых процесс колебаний струны может быть переведен из одного состояния, характеризуемого начальным смещением и начальной скоростью точек струны, в некоторое наперед заданное состояние. Разработанный Ж.-Л. Лионсом в работе [1] гильбертов метод единственности (Hilbert uniqueness method) позволил исследовать не только одномерное, но и многомерное волновое уравнение.

Предметом исследований Лионса является задача граничного управления для волнового уравнения, описывающего колебания струны с закрепленным правым концом и граничным управлением на левом конце.

Uu(x, t) — ихх(х, t) = О в QT, и(х,0) = <р(х), Ut(x, 0) = тр(х) при 0 < х < I, и(0, t) = v(t),u(l, t) = 0 при 0 < t < Г,

1) (2) (3) где QT = [0,1] х [0,Т\,ф) е Ь2[0,1], ф(х) € Я'ЧОД n(t) е L2[0,T], а и(х, t) является обобщенным решением.

Задача заключается в нахождении такого //(£) € ^[О, Т], которое переводит процесс колебаний из начального состояния {(/з(х), тр(х)} в наперед заданное конечное состояние {(pi(x),tl>i(x)} за время Т. Таким образом, необходимо найти //(£) € 1*2 [О, Т], для которого выполнялись бы равенства: и(х,Т\ц) = (pi(x),Ut(x,T;n) = ф\{х), (4) где <р\(х) 6 La[0, /], ^i(z) € Я"г[0, /].

В работе [1] было показано, что при Т >21 задача (4) разрешима для любого конечного состояния {</?i(x), ф\(х)}.

В работе [2] гильбертов метод единственности был распространен на случай квазилинейного волнового уравнения с асимтотиче-ски линейной нелинейностью. Частным случаем этой задачи является задача граничного управления для телеграфного уравнения.

Таким образом, метод Лионса оказался достаточно удобным инструментом для доказательства существования решения задачи о граничном управлении процессом колебаний.

В работе [3] задача граничного управления исследуется с помощью метода Фурье и метода моментов, который применен для построения искомого граничного управления в виде ряда Фурье, а в работе [4] для конструктивного решения задачи используется метод падающих и отраженных волн.

Конструктивному решению задачи о граничном управлении процессом колебаний посвящены также работы [5] и [6], в которых построены эффективные численные алгоритмы построения искомого граничного управления. Работа [5] основана на использовании конечномерной аппроксимации задачи граничного управления, а работа [6] использует метод Фурье. Отметим однако, что обе эти работы существенно опираются на развитый Лионсом гильбертов метод единственности.

Исчерпывающее решение задачи о граничном управлении процессом колебаний струны с закрепленным правым концом было получено В.А. Ильиным в работе [7]. В работе [8] В.А. Ильиным 4 была также рассмотрена задача об управлении процессом колебаний струны на двух концах. Отметим, что в работе [7] показано, что задача управления разрешима для любого конечного состояния {<pi(x) G И^з [О, Z],-01 (гс) € 1/2[О, Z]} не только при Т > 21, но и при Т = 21. Кроме того, впервые был изучен случай, когда Т <21 и получены конструктивно проверяемые необходимые и достаточные условия возможности перевода колебательного процесса из одного состояния в другое с помощью граничного управления n(t) € Wl[Q,T\. В работе [7] В.А. Ильиным получены также явные аналитические формулы для искомого граничного управления fj,(t). Более того, в случае, когда Т >21 установлено существование континуума граничных управлений, решающих задачу управления и получено исчерпывающее их описание.

В свете работы [7] особую актуальность приобретают следующие задачи. Во-первых, важным представляется рассмотрение случая, когда невозможен переход из начального состояния системы в конечное состояние в силу нарушения необходимых и достаточных условий управляемости. В этом случае, необходимо найти оптимальное управление, переводящее процесс колебаний в некоторое состояние системы, которое наиболее близко (по норме некоторого гильбертова пространства) к потенциально недостижимому желаемому состоянию системы. Во-вторых, важной с практической точки зрения может оказаться проблема об управлении процессом колебаний с помощью малых по модулю управлений.

Эти и другие задачи рассматриваются в настоящей диссертационной работе на примере задачи о граничном управлении процессом колебаний струны на одном конце при свободном втором конце.

Первая глава посвящена исследованию смешанных начально-краевых задач для волнового уравнения, задач с нелинейными нелокальными граничными условиями. Кроме того, в первой главе исследуется вопрос о единственности решения задачи граничного управления для волнового уравнения. Основными объектами исследования в первой главе являются смешанная задача с нелинейным нелокальным условием и задача граничного управления.

Смешанная ным условием задача с нелинейным нелокальным граничии(х, t) - ихх(х, t) = F{x, t) в QT, (5) u(x, 0) = (p(x),Ut(x, 0) = ф(х), 0 < x < I, (6) i

0, t) = n(t), ux(l, t) = J /(«(£, t), t), t), t)d4, 0

0<t<T, (7) где QT = [0,1] x [0,T), F(x,t) e L2{QT), Ф) e WftO.Z], ^(аг) e

Задача граничного управления : (5), (6), и и(х,Т) = ipi(x),ut(x,T) = i/>i(x) при 0 <х<1, (8) 0. при 0 < t < Т, (9) где Vl(x) € Z], фг{х) G L2[0, Z].

В первой главе исследуются обобщенные решения этих задач из класса В.А. Ильина W^iQr), введенного в работах [7], [8]. Понятие обобщенного решения для смешанной задачи с нелинейным нелокальным граничным условием и для задачи граничного управления из класса W^(Qt) вводится по аналогии с работой В.А. Ильина [7]. Основным результатом первой главы является следующая Теорема 1.1

Пусть выполнены следующие условия:

1) функция f{zi,z2,z3,x,t) непрерывна в R5,

2) /1(0) = ¥>(0),

3) выполнено условие Липшица для функции f{z\,z2,z3,x,t), т.е. f(zi,z2,z3,x,t)-f(y1,y2,y3,x,t)\ < С -yi\ + \z2-y2\ + \z3 -ya\) для любых Zi,yi € R, г = 1,2,3.

Тогда, для любого Т > 0 существует единственное решение задачи (5)—(7) из класса W%(Qt)

Всюду далее, в работе рассматривается случай, когда f(zi,z2,Z3,x,t) = 0. Доказывается ряд утверждений, которые используются в последующих главах работы. Наиболее важные утверждения касаются представления решения начально-краевой задачи для волнового уравнения с однородными начальными условиями и условий единственности решения задачи граничного управления.

Вторая глава посвящена исследованию необходимых и достаточных условий управляемости процесса колебаний. Кроме того, в явном аналитическом виде предъявлено граничное управление, которое в случае выполнения указанных выше необходимых и достаточных условий переводит процесс колебаний из начального состояния {<р{х) G ^[0, /], ■ф(х) е 1/2 [0, /]} в наперед заданное конечное состояние {ip\(x) € W^lO, 1},-ф\{х) 6 L2[0,/]}. Кроме того показано, что решение задачи не будет единственным когда Т > 21. В этом случае, существует бесконечно много граничных управлений которые решают поставленную задачу. Во второй главе получено исчерпывающее описание всех таких управлений для случая, когда 21 < Т < 31.

Третья глава посвящена задаче об оптимальном управлении процессом колебаний. Эта задача является актуальной в том случае, когда процесс колебаний невозможно перевести из начального состояния в желаемое конечное состояние в силу нарушения необходимых и достаточных условий, полученных во второй главе диссертационной работы. Задача заключается в нахождении граничного управления, которое переводит процесс колебаний из начального состояния в такое состояние, которое наименее уклоняется от желаемого, но недостижимого конечного состояния в норме пространства W-г [0, £] х L2[0,1].

Формально, описанная выше задача заключается в минимизации функционала

J(ji) = |\и(х,Т\ ц) - <Мх)||^1[ог] + |К(х,Г; fi) - ^i(x)|||2[0iq, где и(х, t; fi) — решение смешанной задачи (5)-(7) с /(zi, z2, z3,x, t) = О, соответствующее граничному управлению /x(i), a fpi(x) и ф\{х) 7 две совершенно произвольные (но фиксированные!) функции из WjpU] и Ь2[0,1] соответственно.

Заметим, что задача оптимального управления в нашей постановке имеет смысл лишь для случая, когда 0 < Т < 21, так как в силу результатов второй главы процесс колебаний управляем при Т >21 для любых конечных состояний.

Указанный выше функционал минимизируется на множестве всех допустимых управлений, т.е. на множестве управлений, для которых разрешима соответствующая смешанная задача (5)-(7) с f(z\, Z2,23, x,t) = 0. Основным результатом данной главы являются явные аналитические формулы для функций <р*(х) = и(х,Т\ /л») и ip*(x) = u(x,t-, fit), где fj,, есть оптимальное управление. Зная эти функции легко можно восстановить само оптимальное управление ц, по формулам из теоремы 2.2, в которых вместо <pi(x) и ф\(х) следует взять функции <р,(х) и тр*(х) соответственно.

Четвертая глава посвящена задаче об е - управляемости процесса колебаний. Будем говорить, что процесс колебаний е- управляем, если V е > 0 ЗТе > 0 3fie(t) € W£[0,Te) : |/ие(<)| <eVte [0,ТЕ] и выполнены условия: u(x,Te;fj,£(t)) = <Pi(x)tUt(x,Tt;nt(t)) = tpi(x).

Показано, что условие

0) = v>i(0)=0 является необходимым и достаточным для того, чтобы для любого е > 0 существовал промежуток времени Т и граничное управление /j,(t) € W}[0, Т] удовлетворяющее неравенству max < е, которое переводит процесс колебаний из начального состояния {(р(х),ф(х)} при t = 0 в конечное состояние {<Pi(x),tpi(x)} при t = T. При этом само е - управление может быть получено в явном виде.

1. Lions J.-L. Exact Controllability, Stabilization and Perturbations for Distributed Systems.// S1.M Review, Vol. 30, 1988, pp. 1-68

2. Zuazua E. Exact Controllability for the Semilinear Wave Equation.// J. Math, pures et appl., 69, 1990, pp. 1-31

3. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М., 1985

4. Егоров А.И. Управление упругими колебаниями.//Доклады АН УССР, серия физ.-мат. и техн. наук. 1986, N.5, с. 60-63

5. Васильев Ф.П., Куржанский М.А., Потапов М.М. Метод прямых в задачах граничного управления и наблюдения для уравнения колебаний струны.// Вестник МГУ, сер. 15, вычисл. матем. и киберн. 1993, N.3, с. 8-15

6. Васильев Ф.П., Куржанский М.А., Разгулин А.В. О методе Фурье для решения одной задачи управления колебанием струны.// Вестник МГУ, сер. 15, вычисл. матем. и киберн. 1993, N.2, с. 3-8

7. Ильин В.А. Граничное управление процессом колебаний на одном конце при закрепленном втором конце в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией// Дифференц. уравнения. 2000. Т.36, N 12.

8. Ильин В.А. Граничное управление процессом колебаний на двух концах в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией. // Дифференц. уравнения. 2000. Т.36, N И. с. 1513-1528.

9. Бобылев Н.А., Емельянов С.В., Коровин С.К. Геометрические методы в вариационных задачах. Издательство Магистр, Москва 1998г.

10. Садовничий В.А. Теория операторов. "Высшая школа", 1999

11. Ильин В.А., Моисеев Е.И. О единственности решения смешанной задачи для волнового уравнения с нелокальными граничными условиями// Дифференц. уравнения. 2000. Т.36, N 5. с. 656-661.

12. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Нелокальная краевая задача второго рода для оператора Штурма^Лиувилля// Дифференц. уравнения. 1987. Т.23, N 8. с. 1422-1431.

13. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М., Факториал Пресс, 2002г.Публикации автора по теме диссертации

14. Рево П.А., Чабакаури Г.Д. Волновое уравнение с граничным управлением на левом конце при свободном правом конце и задача о полном успокоении колебательного процесса.// Дифференц. уравн. 2000. Т. 36, N6. С. 806 815.

15. Рево П.А., Чабакаури Г.Д. Граничное управление процессом колебаний на одном конце при свободном втором конце в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией // Дифференц. уравн. 2001. Т. 37, N 8. С.1082-1095.

16. Рево П.А., Чабакаури Г.Д. Граничное управление процессом колебаний на левом конце при свободном правом конце в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией // ДАН. 2001. Т. 379, N 4. С. 459-462.

17. Чабакаури Г.Д. Оптимизация граничного управления процессом колебаний на одном конце при закрепленном правом конце.// Дифференц. уравн. 2001.T.37,N12.C. 1655-1663

18. Чабакаури Г.Д. Оптимизация граничного управления процессом колебаний на одном конце при закрепленном втором конце в случае ограниченной энергии.// Дифференц. уравн. 2002, Т. 38, N2, с. 277-284.

19. Чабакаури Г.Д. Оптимизация граничного управления процессом колебаний струны на одном ее конце при закрепленном втором конце// ДАН. 2001. Т. 379, N 3. С. 309-312.

20. Чабакаури Г.Д. О процессе колебаний струны со свободным правым концом и малым по модулю граничным управлением на левом конце.// Дифференц. уравн. 2003, Т. 39, N6, с. 820-828.

21. Чабакаури Г.Д. Существование и единственность обобщенного решения смешанной задачи для волнового уравнения с нелинейным нелокальным граничным условием // Дифференц. уравн. 2004, Т. 40, N,1 с. 77-81