Граничное управление колебаниями сферического слоя за большие и малые времена тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова Факультет вычислительной математики и кибернетики

На правах рукописи

Сергеев Сергей Андреевич

/

Граничное управление колебаниями сферического слоя за большие и малые времена.

Специальность 01.01.02 - Дифференциальные уравнения, нелинейные системы и оптимальное управление.

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2010

□034Э2486

003492486

Работа выполенена на кафедре общей математики факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, академик РАН, профессор Ильин Владимир Александрович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор (РУДН) Арутюнов Арам Владимирович

кандидат физико-математических наук, доцент (ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова) Потапов Михаил Михайлович

Ведущая организация:

Институт программных систем РАН.

Защита состоится «10» марта 2010 года в 15 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.43 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, 2-й учебный корпус, факультет вычислительной математики и кибернетики, ауд. 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова. С текстом автореферата можно ознакомиться на официальном сайте факультета ВМК МГУ: http://cs.msu.su в разделе «Наука» — «Работа диссертационных советов» — «Д 501.001.43». Л

Автореферат разослан года.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 501.001.43 доктор физико-математических наук, профессор

Захаров Е.В.

Актуальность темы. Многие современнные технические устройства и системы, например самолеты и другие летательные аппараты, работают в экстремальных условиях, и поэтому в них могут возникать нежелательные и даже опасные колебания. В подобных устройствах такие колебания необходимо гасить как можно быстрее. С другой стороны, в некоторых объектах, наоборот, необходимо генерировать колебания заданной частоты. Таким образом возникает два сорта задач: задачи о гашении колебаний и задачи о возбуждлешш колебаний. Как правило, при этом возникает оптимизационная задача: успокоить или возбудить систему с минимальным затрачиванием ресурсов.

В чисто математическом плане подобные задачи формулируются в терминах граничных задач для различных уравнений гиперболического типа. А критерием оптимальности может быть, в общем случае, произвольное условие, но, как правило, выбирается условие минимизации функционала, в той или иной степени связанного с нормой функции.

Вопросы, связанные с колебаниями сферы и сферического осциллятора, тесно связаны с процессами и задачами, возникающими в акустических системах, а также в квантовой и электромагнитной механике.

В случае колебаний при радиальной симметрии потенциал скорости сферической волны удовлетворяет следующему уравнению:

где переменная г — есть пространственная координата, а ( - координата но времени. Если известен такой потенциал волны, то но нему можно вычислить скорость распространения волны, ее энергию и другие необходимые на практике величины.

Вопросы о генерации, гашении и управлении колебаниями сферического слоя являются на сегодняшний день актуальными и интересными с точки зрения их прикладной важности во многих разделах физики.

Помимо акустики подобные задачи возникают в физике плазмы, например при рассмотрении колебаний газо-электронного облака в плазме при условии радиальной симметрии.

Идеи возбуждения электромагнитных волн при помощи колебаний сферы были положены в разоаботку кристаллического осциллятора, применяющегося в радио и основанного на колебаниях сферы из пьезоэлемента для создания электрического сигнала заданной частоты. Уже в 1894 году Аугусто Ричи был предложен сферический генератор электромагнитных волн.

Цель работы. Целью диссертационной работы является изучение задач граничного управления колебаниями сферически-симметричного слоя, явное построение граничного управления, формулировка и решение задач оптимизации управления в тех случаях, когда это необходимо, а также выяснение необходимых и достаточных условий существования граничного управления.

Научная новизна, теоретическая и практическая значимость.

Ыи(г, Ь) - —[г2иг(г, г)]г = о,

1

1. Решены задачи управления колебаниями в случае смещения и силы. Найдено оптимальное управление, отвечающее общему виду критерия оптимальности в обоих случаях управления.

2. Получены необходимые и достаточные условия существования граничного управления колебаниями слоя при критических временах и меньших критических. Получены явные формулы для такого управления.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на семинарах В.А. Ильина, И.А. Шишмарева, Ф.П. Васильева и A.B. Арутюнова, конференции "ЛОМОНОСОВ-2009", и коференции, посвященной 70-летию академика В.А. Садовничего.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в четырех работах, две из них — в изданиях, рекомендованных ВАК, две — тезисы докладов конференций.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из шести глав (первая из которых вводная) и списка литературы. Текст изложен на 72 страницах, диссте-ратция содержит 3 рисунка. Список литературы включает в себя 2G наименований.

Содержание работы.

Во введении раскрывается актуальность темы работы, приводится краткое описание уже имеющихся на момент написания работы результатов и проблем, которые возникают при исследовании подобных задач. Приведен краткий обзор уже существующих методов и подходов решения задач граничного управления.

Во второй главе дается кртакая формулировка задач, кторые будут исследоваться в дальнейшем и объясняется метод их решения. Вводятся основные определения функциональных пространств и обощенных решений решаемых задач. Кратко формулируется метод решения задач и проводятся необходимые для этого построения, а также вводятся некоторые обозначения.

Параграф §2.1 посвящен формулировке основных задач.

Радиально-симметрические колебания описываются уравнением

Си = utt(r, t) - i)]r = 0, (г, t) е Вт (1)

Здесь Вт — это прямоугольник {0 < Ri < г < R2} х {0 < i < Г}, а Г - момент времени, за который осуществляется управление. Дадим определение функционального класса, в котором ищется решение этого уравнения.

Определение. Будем говорить, что функция u(r, t) принадлежит классу в области Вт, если она принадлежит на этом множестве классу Wj, а также имеет для любого r0 е [Ri, /?г] след u(r0, t) е W? [О, Т], и для любого f0 £ [0, 7] след u(r, t0) € Wl[Ru Я2].

Этот класс впервые был введен В.А. Ильиным в работе [1], и в ней же показана естественность этого класса по отношению к задачам граничного управления колебаниями, описывающимися волновым уравнением.

В каждый момент времени состояние колеблющейся системы описывается двумя функциями {</?(г), тр(г)} — смещением и скоростью соответственно. Известны начальное и финальное состояние:

и(г,0) = <р(г), щ(г,0 ) = ф(г), и(г. Г) = щ(г,Т) = Мг).

Функции <р{г), ^(г) 6 И^Яь Л2), ф(г), ф^г) в ¿2(Ль Л2).

Момент времени Т выбирается различным, п зависимости от задачи. Либо он строго больше ширины слоя I = Л2 — Л1, либо равен ей, либо строго меньше этого значения. В зависимости от этого соотношения граничное управление существует для произвольных начальных и финальных данных, либо на эти функции накладываеют-ся дополнительные условия.

Общая постановка задач управления ставится следуюющим образом: найти граничное управление, переводящее за момент времени Т систему из начального состояния в финальное. В зависимости от метода задания управления получаются различные задачи. В данной работе исследуются следующие задачи граничного управления для (1), (2):

1. Найти граничное управление заданное по формуле

и(льг) = Мг), «№,*) = «/(*). (з)

из класса 11^(0, Т), при условии, что момент времени Т определяется по формуле Т = 2гп1 + Д, где т б N11 {0}, а Д — произвольное число из интервала [0, 21], и Т > I.

В данном случае необходимо выполнение условия согласования следов, которые следуют из определения функциональных классов:

//(0) = /4Г) = (ло, «/(0) = V{T) = ^(Л2).

В дальнейшем, при рассмотрении задач управления смещением, мы считаем, что эти условия выполнены.

2. Во второй задаче требуется найти граничное управление

Н\ 1Ъ2

при таких же предположениях на значение момента времени Т, что и в первой задаче. Однако теперь функции граничного управления ищутся в классе Ь2(0, Г), и уже не требуется выполнение условия совпадения следов па границе.

3. Третья задача состоит в выяснении необходимых и достаточных условий существования граничных управлений (3), (4) в случае, когда момент времени Т меньше или равен критическому, т.е. Т <1.

Теперь дадим определения обобщенного решения для указанных задач. Если управление задано смещением, т.е. по правилу (3), то решение определяется следующим образом.

Определение. Решением из класса Вт) задачи (1), (2), (3) назовем фукн-цию'«(г, I), которая для любой пробной функции Ф(г, I) е С2(ВТ), удовлетворяющей условиям Ф(Л,, 1.) г Ф(/?2, <) н О для всех £ 6 [О, Г], Ф(г, Г) = ф((г, Г) г 0 для всех г е [Й1, /?г], обращает в тождество следующее интегральное соотношение:

т R2 й2

J J u(r, ()£Ф(г, t)r2drdt + J <p(r)<$t(r, 0)r2dr - J v(r)$(r, 0)r2dr+

0 Я, Я, Hl

т т

+ JГ(Я2, t)P%dt - J= о.

о о

Пусть теперь управление задается при помощи силы, т.е. по формуле (4), тогда определение решения будет следующим.

Определение. Решением из класса Wj (Вт) задачи (1), (2), (4) назовем фукицию u(r, t), которая для любой пробной функции Ф(г, t) € С2(Вт), удовлетворяющей условиям ФДЯъ t) + (1/Д1)Ф(Й1, t) = О, ФГ(Я2, t) 4- (1/Я2)Ф(Л2, ()н0 для всех t € [О, Т], Ф(г, Т) = Ф((г, Т) = О для всех г £ i?2], обращает в тождество следующее интегральное соотношение:

Т П-2 Iii Лг

J Ju(r, г)£Ф(г, t)r2drdt + J <^(г)Ф((г, 0)r2dr - J 1р(г)Ф(г, 0)r2dr-

0 Ri Hi flj

Г Т

- J v{t)t>{R2,t)I%dt + JМ<)Ф(Дъ *)Я? = 0.

о о

В задачах 1) и 2) граничное управление определяется неединственным образом, поэтому возникает задача оптимизации. В случае (3) критерием оптимальности выступает следующее условие

т

j {a2{RUt(t)}2 + h2[R2y'(t)f}dt min, (5)

а в случае (4):

j

J{a2[Rlfi(t)]2 + b2[R2v{t)]2}dt min. (6)

о

Здесь а и Ъ — произвольные константы, отличные от нуля.

Во всех трех задачах 1) — 3) также требуется выполспиие необходимого интегрального условия согласования начальных и финальных данных. В общем виде оно принимает следующую форму:

/Л.1щ(Яи = Л1ЫЯ1) - ¥>№)],

(7)

¡ПЫЪ, ¿)Л = Л2МЯ2) ~ <?№)]•

В §2.2 проводится построение функции й(г, которая позволяет свести исследуемые задачи к аналогичным, но с пулевыми начальными данными. Данная функция для каждой из задач своя, так как зависит от значения финального момента Т. Метод построения этой функции основан на методе Д'Аламбера. Приведем здесь эти функции для каждого случая изменения момента времени Т.

1. Пусть момент времени Т строго больше критического. Тогда функция й(г, ¿) определяется по формуле

' (г + г)(р(г + <) + (г - г)р(г - г)+ т-и

+ / рЦр¥р вДь

г+(

2г 1 %

+ (г - г - г) + / рФШр в д3,

т-1

В2<рШ + ЯМЛ1) + $ рф{р)<1р = Со в а4, Области Д^, г = 1, 2, 3, 4 показаны на рис. 1.

И v

д.

\ /

д\/ Да

/ д' \

Р. №

Рис.1

2. Пусть теперь момент времени меньше критическою. Здесь нам приходится рассматривать два случая:

(а) В случае, когда 1/2 <Т < I, функция й(г, 4) определяется по формуле

й(г, I) ■■

2т

(г + 4)уз(г + 4) + (г - 4)у?(г - г)+

г+1

+ / рФШр, (Г, Оед,,

г-(

(г+ <)?(»•+ <) + Я1¥>(Л,)+

г-Н

+ / РФШР, (Г, 4) е Д2,

Л1

Я2¥>(Й2) +(г-*)¥>(>•--*)+ «2

+ / рф{р№, (г, 4) е Д3,

Г—t

Л2

+ I Р4>ШР, (г, 4) € Д4. л.

Области Дь г = 1, 2, 3, 4 показаны на рис. 2. I

(Ь) Если же момент времени Т изменяется в интервале [0, //2), то тогда функция й(г, равна

' (г 4- 4)у>(г + 4) + (г - - *)+

г+(

+ / (г, 4) 6 Дь

г-1

(г + 4)¥!(г4-4) + Я1<р(Д1)+

г+t

+ / МРЖ (г, 4) 6 Д2,

+ / р?Кр)сгр, (п 4) е д3.

Области Д;, г = 1, 2, 3 показаны на рис. 3.

«(г, 0 = _

I

(4+1^=0

Т

о

г*.

№

Рис.3

После сведения исследуемой задачи к задаче с пулевыми начальными данными мы можем выписать решение полученной задачи через ее граничные функции. После этого, применив лемму о поточечном инфимуме, являющуюся обощением леммы В.А. Ильина и Е.И. Моисеева, которая была доказана ими в работе [2], мы сводим минимизацию целевого интеграла к минимизации суммы, которая строится на основе подынтегральной функции.

Определение. Будем говорить, что набор функций

принадлежит классу П, если эти функции принадлежат классу Ьг на соответствующих множествах и выполнены следующие равентсва:

где Аг(Ь), В^Ь) — известные функции из класса Ьч, г = 1, ./V, аы, /Зы — известные числа из Ж.

Введем следующие обозначения:

аскМ,.. ■, ал«(<), г = 1, Ы, г 6 [0, У,

= ЛГ, [<1, У

м

£ щтМ = г е [о, А],

к=0 М

(8)

£ = вм, г е [/„ /2],

11 N М

11 N Л/

1 = т(1.

5(4)

S(t)= inf S(t). te[o,ij]

Здесь S(t) понимается как поточечный инфимум суммы для функций из множества П иочти всюду на интервале [О, У- При минимизации строится конкретный набор функций, удовлетворяющих равенствам (8), которые определяют соответсвующие классы эквивалентности в Ьг и, как следствие, элемент множества П.

Лемма 2.1. При сделанных определениях и предположениях верно следующее равенство

: = J S(t)dt.

Из требования удовлетворения финальным значениям следуют те условия, при которых эта сумма и минимизируется. Полученная задача на условный экстремум решается методом множителей Лагранжа.

Третья глава посвящена нахождению оптимального граничного управления колебаниями при помощи смещения на обоих сферах. Предствлено аналитическое выражение для этого управления и доказана следующая теорема о существовании указанного управления.

Теорема 3.1. Рассмотрим задачу (1), (2), (3). Пусть начальные и финальные условия принадлежат следующим классам:

«(г, 0) = <р{г) е \VHRu Да], и(г, Т) = ^(г) £ И^Дь Д2],

щ{т, 0) = ф{г) е Ьх[11ъ Д2], Щ(г, Т) = ^(г) 6 Ь2[Дь Д2].

Пусть финальный момент Т равен 2тп1+Л., где тп — целое неотрицательное число, I — ширина слоя и равна Я2 — Л^ Д — произвольное число из интервала [0, 21], Я] > 0, Т>1.

Тогда существует оптимальное граничное управление

и(дь <) = 6 иЭД. и О = 6 \viio, Г],

переводящее сферический слой за промеж-уток времени, равный Т, из заданного начального состояния в задайте финальное и доставляющее минимум интегралу (5). Для этого управления выполенены условия согласования следов:

= 1/(0 ) = ¥>№) м(Т) = ^(Д,), и(Т) = ¥>!№)

1. В случае Д € [0, это управление определяется по формулам

= ¿1(0 + «,(*), «/(*) = £а(*) + «2(г), (9)

где

21 21

L^t) = + z[jfj Fi(r)dr, L2(t) = 9(Я2) + щ- j F2(r)dr.

о о

2. В случае A s [i, 2Zj это управление может быть получено из формул

//(*) = L3(t) + a3(i), ¡/(i) = La + o4(0. (10)

21 21 L3(t) = vto) + Ыт)<1т, U(t) = ^(Лг) + ¿-J F^dr.

о о

Функции ai(t) являются периодическими с периодом 21 и вычисляются по формулам:

а,(2 lp + t) = ± ai(2lp + t) = ±

21

J Fi(T)dr — YI S Fi(r)di

о 21

J Fi(r)dT — Yi I Fi(r)di

¿ = 1,3, i = 2, 4,

где р = 0, т — 1, если 4 € [0, 2/], и р = т, если < € [О, Д].

При этом функции г = 1, 2, 3, 4 определяются следующим образом:

F,(t) ■■

F2(t) =

AW =

cl-mt) + c1),^Jlm+1),te[o,A]

С: - (A(i - 0 - gO^J?)^, t е [U + Д] Ci - B2(t -1)^^, i 6 [/ + Д, 2/]

c1+(Al(t)-c1)aHm:;)+(fm,tei о,д]

С: + (£,(* - г) + C,)ttWg(ro+1)> i 6 [/, / + Д]

'c2-Mt)aHm+1)^(m+1),te[otA-i] C2-(C2 + B2(t))aim+${m+iyte[A-lJ] C2-B1(t-l).Hm+^bi{m+iyte[l,A] [C2 - (A2(t - I) - c2)a4m#H„m, t e [Д, 21}

c2 + Mt)aHm+1)a^im+ly te[0,A-i] c2 + (A2(t) - C2)d,(m^)+b,m, te[A-l, I] C2 + A1(t-l)a4m+l^mU),te[l,A] + (C2 + B2(t - l))abnJ(m+iy t 6 [Д, 21}

Константы Ci и С2 оперделяются по формулам

Cl = à m<Pi(Ri) - ¥>№)] + - ?№)]-

д

-^fep.Wdi - fe®х = 2(т+1) ШМЪ) - ¥>№)] + H2[Vl(R2) -

О

i, - X

х [2(Д - 0 + (21 - ^р^иет^,)]•

Функции Aj(i), v4j(i) и Bi(t), i = 1, 2 из теоремы 3.1 — известны и выражаются через функции начального и финального состояний.

В четвертой главе решается задача нахождения оптимального граничного управления колебаниями при помощи двух сил на обоих сферах. Также как и в предыдущей главе, получены явные аналитические формулы, выражающие данное оптимально« управление и сформулирована теорема существования этого управления.

Теорема 4.1. Рассмотрим задачу (1), (2), (i). Пусть для начальных и финальных условий выполнены следующие условия принадлеокиости к классам:

и(г, 0) s v(r) G WÏ\Rь Я2], u(r, Т) s Vl(r) € W}[Ru Да],

щ(г, 0) = -ф(г) е L2[RU R2], Щ(Г, T) s фх(г) е L2[Ru Я2].

Пусть финальный момент Т равен 2ml + Д, где m — целое неотрицательное число, I — ширина слоя и равна R2 — Ri, Д — произвольное число из интервала [0, 21], Ri > 0, Т>1.

Тогда существует граничное управление МЪ, t) + ^-u{Ri, t) s ti(t) € L2[0, T\, ur(R2, i) + -^-u(R2, t) s u(t) e L2[0, Tj,

Щ il2

переводящее сферический слой из заданного начального состояния в заданное финальное за время Т и доставляющее минимум целевому интегралу (6). 1. В случае, принадлежности Д интервалу [0, I] это управление определяется по

формулам

' тага-В!« + - 4к], I е [О, Д], В Г9! 7 _и Л - + £ 12т -4к ~1 " ' ^ 6 [А' Ч'

+ + 2/]

(- - * е [О, Д],

В2Ц) - § [2т - 4А: - 1 - . * £ [Д, '], -/) - - 4;-- 2], # е [г, Д +

+ я]

Если же I < Д < 21, то функции граничного управления определяются по форму-

лам

Пгц(2Ы + Г) =

Я21/(2Ы-М) = • Константы С\ и С;

+ ^ [2т - 4А- + 2 - , « € [О, Д - /], -Ях^В,® + §[2т. - 4^, 4 е [Д - /, /], а^+в+^+вад " О + & [2т - 4Л - ^ , * 6 [/, Д], -датть3^" О + - 4* - 2], * 6 [Д, 2/]

-^ТЩЩ^гА (О ~ ^ [2т - + 2 - , < е [О, Д - Ч,

- - 4к], 4 е [Д - I, I], ^г&Чп» г)М* [2т - 4* - , * е [I, Л],

" ') ~ - 4/= -2], г е [Д, 21]

«г равны следующим значениям: д

С2 = Л/1 + М - (2т + 1) /И! (г) -

о

-2т/[Л„(*) - - /ИяСО + х

• {(' - Д)т ^ - Ж (4т2 - 4т + 1)] -Дт^|(т2 +Зт-1)} \

м2 + N2- (2т + 1) / [Л2(<) - В2(фЙ-д-(

Д-1 _ . Д-1

X

-(2т + 3) У'Агт- ^ А (<)<*«) -

Д° I Д°!

~(2т + 1) ^ /'д.ДОА-^ /¿1(0<й)] X {2(Д - 1)(т +1)^ [(2т + 3) ($ + £) + 2(2т + !)] -_ (д _ г)^(т + цйайШшИа _ (21 - А)^т8т'-'32"'+28}"1.

Величины М\, М2, N1 и И2 являются известными и вычисляются по следующим правилам

Мх = Я!МЛ,) - ¥>№)] - 2т ЧрФШр - /[(Я, + ^(Я, + ЭДА-

о

д

-/(Д1-ИЖД1-И)сЙ,

о

М = Я2ЫЯ2) - ¥>№)] - 2т !рф{р)йр - /[(я2 - ШЯ2 -1)1(11-

Й1 о

- /(д2 - -

о

Л/2 = Д1ЫЛ1) - </>№)] - [Я2^(Я2) - Я^СЯО] - (2т + 1) / рф{р)йр-

Л1

- / (л, - *мяа -

о о

= Я^Яз) - ¥>№)! + [Й29(Д2) - ЯМД0] - (2т + 1) ¡рф(р)йр-

Ях

Д-1 Д-1

- / [(Я! + ¿МЯ! + г)К<й - / (ях + + ой.

о о

Функции /[¿(¿) и /?,(<), г = 1, 2, которые используются в теореме 4.1,

являются известными и вычисляются при помощи функций начального и финального состояний.

Пятая глава посвящена нахождению граничного управления и необходимых и достаточных условий его существования при временах, меньших критического. Исследовано оба случая задания управления: смещением на обоих сферах и при помощи двух сил, сосредоточенных на границе. Сформулируем основные теоремы существования управления.

Вначале приведем теоремы для случая управления двумя смещениями.

Теорема 5.1. Рассмотрим задачу управления (1), (2), (3). Пусть момент времени Т удовлетворяет неравенсту 1/2 <Т < I.

Тогда граничное управление определяется по формулам

ß(t) = й

2Ry

+

T+Ri

(T-t + R1)<p1(T-t + R1)-(T + Rl)<p1(T+R1) + f рФМЛр

T-t+Ri

Л1+1

(R1 + t)lp(R1 + t) + RMRi)+ f рФШр , t € [0, T],

Ri

2Л1

№ = 2Й

2Я2

¡+Л2-Г

(t + R2-T)lp1(t + R2-T)-(R2-T)<p1(R2-T) + f p^(p)dp

я,

л2

Я2¥>(Я2) - (Ri + T)<p(R! + T) + f pip(p)dp +

Ri+T

n2

R2v{R2) + (Ri - <МД2 - <) + / Ж/з)^ , t e (о, Т].

Ä2-i

1

Т2Я2

Для его существования необходимо выполнение трех условий:

ту,(г) - (Г - т>(г - Т) + ЯмШ - № + + Л-

г г-Т

- / рф1(р)ёр+ / ^(р)^ = о, Г е [/?! + г, я2].

Л,+Г Л,

г<л(г) - (г + 1>(г + Т) - (Л2 - ТЫЯ2 - Т) 4- Я2у?(П2)-

- 7 М(р)«*р + / = 0, г е [Л1г ль - Т].

г г+Г

Я2 Л1+Г Я2 Л1+Т

/ (гфг(р)йр+ / рфг(р)ёр+ ¡рф(р)ёр+ J рф(р)ёр =

= нт(Я1) - я^яо V я2¥31(я2) - я2¥з(я2) + (я2, + з>,(Я1 + т)-

-(Я, 4- +Т) + (Лг - ГМД, —Т)— (Яг - 7>(Я2 - Г).

(И)

(12)

(13)

Теорема 5.2. Рассмотрим задачу управления (1), (2), (3). Пусть момент времени Т удовлетворяет перавенсту 0 < Т < 1/2. Тогда граничное управление определяется по формулам

fi(t) =

1

2Я1

г+л,

(T-t + R1)Vx(T-t + RJ-(T + Rl)4>l(T + R1) + f рФх{р)<1р

T-t+Ri

Л,+( 1

№ + +1) + RMRi) + I рФШр , t е [о, г],

Ri

2 Яг

1

4Я2

{+Л2-Т я>

Л2

я29?(я2) + я,^) + / РФШР-

л,+т

(я.-гтмя.-гтэ-^ + гМА + т)- / ^Мр +

Л2-2Т

я2

яг<р(я2) + (я2 - *)<р(я2 - <) + / , < е [о, Г].

/г2-1

т2Я2

Для его существования необходимо выполнение условий (11), (12) и (13). Теперь приведем аналогичную теорему для управления двумя силами. Теорема 5.3. Рассмотрим задачу (1), (2), (4). Пусть момент времени Т изменяется в интервале [0, /].

Тогда у рассматриваемой задачи существует граничное управление, определяемое формулами

М*) = гк -1 + -t + R1)]'-(T-t + пшт - 4 + ДО) + +Ш (р» + + *)]' + (Ъ + + *)).* е 10, Г],

"(*) = щ +1 - + * - Т)У + № +«- Г)^(Я2 +«- г)) +

+2Ж - - 01' - № - тя2 - г)), г е [о, т].

Необходимые условия существования этого управления задаются формулами (11), (12) и (13).

Покажем, что условия (11) — (13) являются достаточными для существования граничного управления.

Теорема 5.4. Рассмотрим задачу (1), (2), (3) с нулевыми начальными данными. Пусть момент времени Т £ [О, I].

Тодга для существования граничного управления достаточно выполенения следующих условий:

Т+Й1

т(г)-{Т+Я1)<р1(Т + Я1) + / рф1(р)йр = й, г£[Г + ЯьЯ2],

г

г <р!(г) - я^Ляо + / рФхШр = о, г е [яь я2 - т].

Л1

Я2 Л1+Г

I РФ\ШР+ I М(Р)<*Р =

я2-г л,

= ЯтШ + Я2^(Я2) + (Яг + Т^Яг + Т) + (Я2 - Т)>^{Я2 - Т).

Аналогичная теорема справедлива и в случае управления силами на обоих сферах. Из этих результатов следует, что условия (11), (12) и (13) являются достаточными дли существования граничного управления в случае ненулевых начальных данных.

В случае равенства момента времени Т критическому моменту I справедливо следствие.

Следствие 5.5.1.. Рассмотрим задачу граничного управления Си = О,

и(г, 0) = tp(r), ut(r, 0) = ф{г),

ii(r,T) = yi(rWr, T)=Vi(r).

Пусть граничное управление ведется либо смещением (3), либо силой (4). Пусть момент времени Т равен I.

Тогда необходимым и достаточным условием существования граничного управления в данном случае является выполнение следующего равенства

Яг

Л2ЫЛ2) - </>№)] + йЫЛ,) - ?>(Л0] = Jр[ФЛр) + ФШр- (14)

л.

Плюс, в случае управления смещениями, к этому условию добавляется требование согласования следов

/í(0) = v>№), 1/(0) = <9(Дг) lt(t) = ^(д,), и[т) = vi (л2).

В заключение в шестой главе приведен пример, показывающий необходимость учета интегральных условий согласования (7). Данные условия вытекают из формулы Ньютона-Лейбница и требований согласования следов на границе.

Мы рассматриваем задачу возбуждения, т.е. задачу с нулевыми начальными данными, и управлением смещением на обоих сферах.

Си = иа - ^[r2tír(r, t)]r = 0, u{r, 0) = 0, ut(r, 0) = 0, и(Яь t) = n(t), «(Ля, t) = i/(i).

Финальные условия имеют вид:

и(г, Т) = eos г, ut(r, Т) = — sin г.

Считаем, что радиус R\ равен тг, а Л2 — равен 2тг. Момент времени Т выбирается равным 31, где / = Л2 — Ri- Таким образом, Т = 2п + к, и из общей формулы для Т, Т = 2mi + Д, видно, что m = 1, Д = 7г.

Как отмечалось выше, для указанной задачи должны быть выполнены условия совпадения следов на границе:

/1(0)= о, 1/(0) = 0, дСГ) = -1, ^(Г) = 1.

Интегральные условия согласования (7) переходят в следующие:

Зя Зя

J ß'{t)dt = -1, J i/{t)dt = 1.

о о

Целевой интеграл (5) принимает вид:

Зтг

/{[V(t)]2 + [27ri/(t)]2}dt. о

Мы решаем данную задачу двумя методами, основанными на результатах главы 3. Первый раз мы решаем оптимизационную задачу целевого интеграла без учета интегральных условий связи, т.е. минимизируем сам целевой интеграл. Второй раз интегральные условия учитываются, и минимизируется уже измененный интеграл:

Зя

/{[T^W - Ci]a + pirv'íí) - C,]a>Ä.

о

Решая задачу оптимального граничного управления первым способом, мы приходим к тому, что не выполнены условия совпадения следов на границе, поэтому полученное решение не будет принадлежать классу W? {Вт) ■

С учетом интегральных условий связи, получаем следующие формулы:

j4i(í) = Шпг - cosí + (тг + í)sinf],

Bih) ~ líeos i - siní + (2тг - í) sin ¿].

fСх - |B,(i), í € [0, тг], ÍC, + t G [0, 4

7r//(í) =lcx- | Aj(í -ir), te [тг, 2tt], 2tri/(í) = ¿ Cj + \Bx{t - тг), í 6 [тг, 2тг], (с, - ¡Biit - 2тс), t 6 [2?r, Зтг]. [с, + |.4i(í - 2тг), t G [2ir, Зтг].

Из полученных значений функции управления восстанавливаются явным образом по известным формулам. При этом непосредственно проверяется, что полученные функции удовлетворяют всем требованиям, которые возникают в данной задаче и полученное таким образом решение задачи принадлежит классу W^B?).

Автор выражает глубокую благодарность и признательность своему научному руководителю академику РАН В.А. Ильину за постановку задачи, ценные замечания и постоянное внимание к работе. Также автор выражает благодарность Ф.П. Васильеву, В.В. Тихомирову и A.A. Никитину за полезные комментарии и обсуждения.

Литература

1. Ильин В.А. Волновое уравнение с граничным управлением на одном конце при закрепленном втором конце.// Дифференциальные уравнения, 1999, т. 35, номер 12, с. 1640-1659.

2. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Минимизация за произвольный достаточно большой промежуток времени Т интеграла от модуля производной производимого смещением граничного управления, возведенного в произвольную степень р > 1. // Дифференциальные уравнения, 2006, т. 42, номер 11, с. 1558-1570.

3. Ильин В.А. Граничное управление сферически симметричными колебаниями трехмерного шара. // Труды МИАН, 2001, т. 232, с. 144-155.

4. Ильин В.А. Граничное управление сферически-симметричными колебаниями шара при условии существования конечной энергии. // ДАН, 2003, т. 392, номер 3, с. 309-312.

Публикации автора по теме диссертации

1. Сергеев, С.А. К задаче об оптимальном граничном управлении колебаниями сферического слоя. // Дифференциальные уравнения. 2009, том 45, номер 10, с. 14801491.

2. Сергеев С.А. К задаче об оптимальном граничном управлении специальным третьим краевым условием колебаниями сферического слоя. // Дифференциальные уравнения, 2010, том 46, номер 1, с. 129-138.

3. Сергеев, С.А. Задача граничного управления для уравнения колебаний сферического слоя. // Современные проблемы математики, механики и их приложений: материалы междунар. конф., посвященной 70-летию Ректора МГУ академика В.А. Садовннчего, Москва, 30 марта — 02 апреля 2009 г. - Москва: Изд-во "Университетская книга", 2009. с. 208-209.

4. Сергеев, С.А. Задачи граничного управления для уравнений колебаний сферического слоя. // Сборник тезисов XVI междунар. научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «ЛОМО1ГОСОВ-2009». секция «Вычислительная математика и кибернетика», Москва, 13-18 апреля 2009 г. - Москва: Изд-во Макс-Пресс, 2009. с. 73.

1 Введение

2 Построение вспомогательных соотношений

2.1 Определения и краткая формулировка задач

2.2 Построение вспомогательных функций.

3 Задача об управлении двумя смещениями

3.1 Формулировка задачи.

3.2 Построение вспомогательных соотношений.

3.3 Минимизация. Нахождение оптимального управления.

3.3.1 Случай А е [0, /].

3.3.2 Случай Де[1, 21]

3.3.3 Определение функций оптимального управления.

4 Задача управления третьим условием

4.1 Формулировка задачи.

4.2 Построение вспомогательных функций.

4.3 Минимизация. Нахождение оптимального управления.

4.3.1 Случай Д 6 [0, 1}.

4.3.2 Случай Дб[(, 21]

5 Управление при малых временах

5.1 Управление колебаниями двумя смещениями.

5.1.1 Постановка задачи.

5.1.2 Случай 1/2 <Т <

5.1.3 Случай 0 < Т < 1/2.

5.2 Управление двумя силами.

5.3 Достаточные условия существования граничного управления.

6 Пример необходимости интегральных условий 65 Литература

Глава 1 Введение

Многие современные технические устройства и системы работают в экстремальных условиях, поэтому в них могут возникать нежелательные и даже опасные колебания, которые надо погасить. К такому роду систем относятся высокоскоростные самолеты и другие летательные аппараты, мощные энергетические системы и т.п. С другой стороны, существуют объекты, в которых, наоборот, необходимо генерировать колебания заданных частот. Таким образом возникает два сорта задач. Первый — такой, где надо погасить колебания. Второй сорт задач связан с необходимостью возбуждения определенных колебаний. При этом часто возникает оптимизационная задача: успокоить или возбудить систему при условии минимизации затрат тех или иных ресурсов.

В чисто математическом плане такие задачи оптимизации формулируются в терминах теории краевых задач для уравнений гиперболического типа. Критерием оптимальности может быть, в общем случае, произвольный функционал, но, как правило, выбирается квадратичный, характеризующий энергию объекта, или связанный в той или иной форме с нормой функции.

Одним из первых, кто сформулировал задачи для гиперболических уравнений в терминах граничного управления, был Ж.-Л. Лионе, см. [2] и [3]. Он изучал задачу гашения колебаний для волнового уравнения в п-мерной области к моменту времени Т в зависимости от граничной функции Была показана неединственность существования таких граничных функций при моменте времени Т, большем, чем 2<Иат(0).

Лионсом был разработан метод, который позволяет изучать вопросы существования и единственности граничного управления для волнового уравнения не только в одномерном случае, но и в многомерном. В дальнейшем его ученики обобщили этот метод на другие виды гиперболических уравнений, например на квазиволновое, однородное транспортное уравнение, а также на автономные системы гиперболических уравнений.

Однако, для выяснения единственности управления в рассматриваемых нами задачах, мы будем опираться на результаты В.А. Ильина, опубликованные в [8], где доказывается единственность решения смешаной задачи для гиперболического уравнения в довольно широком классе областей при несильных требованиях на функции начальных состояний. В такой постановке единственность граничного управления является следствием результатов В.А. Ильина, полученных в указанной выше работе.

Вопросы, посвященные задачам управления, также исследовали Ф.П. Васильев и его ученики (см. [6]). В этой работе Ф.П. Васильев рассматривал вопросы двойственности в задачах управления и наблюдения. Вместе со своими учениками он подошел к конструктивному методу построения граничного управления, сначала при помощи вычислительных методов, а затем и при помощи методов рядов Фурье.

Большой цикл работ по данной теме выполнен В.А. Ильиным и его учениками. Они исследовали задачи существования граничного управления для волнового уравнения.

- В работе [9] Ильиным впервые был введен класс функций И^ЧФг), в терминах которого и решались задачи управления и оптимизации. Здесь область (5т представляет собой прямоугольник {[0 < х < х [0 < £ < Т]}, I — длина струны, а Т — финальный момент времени, опередляющий интервал, за который осуществляется управление.

Общая постановка задач нахождения оптимального управления формулируется следующим образом: найти граничное управление, которое переводит струну из заданного начального состояния в заданное финальное за указанный промежуток времени. Были получены необходимые и достаточные условия принадлежности решения указанному классу И^1, а также необходимые и достаточные условия разрешимости таких задач и существования граничного управления.

В работах [9]-[12] были получены необходимые и достаточные условия на функции, задающие начальное и финальное состояния, при которых удается решить задачу оптимального управления. При этом были представлены аналитические формулы, выражающие явный вид оптимального управления. Было показано, что при достаточно больших временах граничное управление определяется неединственным образом, и была поставлена задача выделения оптимального.

Критерий оптимальности выбирался в зависимости от типа граничного управления и пространства, в котором оно искалось. Самый естественный выбор — это минимизация в L2 интеграла энергии, например

I(И*)]2 + W{t)}2}dt min, 1/(10 € W*[О, Т].

Однако рассматривались, как будет показано ниже, и аналогичные функционалы не только в ¿2, но и в Lp.

Много работ было посвящено нахождению управления в классах Wp(Qr), когда решение волнового уравнения искалось уже в классе W^Qt), где р — натруальное число. В работе [16] В.А. Ильин и Е.И. Моисеев доказали лемму, которая позволила переходить от минимизации функционала к поточечной минимизации функции определенного вида, что значительно продвинуло вперед методы нахождения оптимального управления в таких классах. Также в этой работе была проанализирована единственность оптимального управления в классах W^. Было показано, что оптимальное управление единственно только при р > 1. При р = 1 была продемонстрирована неединственность такого управления.

Дальнейшие методы минимизации в пространствах W^ были развиты Е.И. Моисеевым и A.A. Холомеевой в их работах [4] и [22], где авторами рассматривались вопросы оптимизации уже в пространствах . В этих работах исследуются вопросы построения оптимального управления с нулевыми и ненулевыми начальными данными при больших временах. Авторами была предложена модификация метода оптимизации в таких пространствах. Была показана неединственность оптимального управления при р — 1. В явном виде найдено оптимальное управление при р = 2, а также рассмотрены важные частные случаи оптимального управления при различных иных значениях р. Показано, что в общем случае при р ф 2 в явном виде не удается выписать оптимальное управление.

Большая работа, посвященная граничному управлению, была проведена JT.H. Знаменской (см. [7]), которая исследовала вопросы существования и единственности решения задачи для волнового уравнения в классе L2(Qr), являющимся аналогом класса Щ, но только в данном случае базовым пространством является класс Li- Были рассмотрены вопросы существования оптимального управления в классе L2, найдено значение критического момента времени T^nt, которое является пограничным случаем: если Т < Ткгй, то существет единственное граничное управление, но не для любых начальных и финальных состояний. Если же Т > 21-rîf, то такое управление существует для произвольных состояний, но определяется уже неединственным образом. Исследован вопрос существования управления в зависимости от соотношения момента времени Т и Tfcrit и получены необходимые и достаточные уловия существования управления и решения задач для уравнения для обоих возможных случаев: Т < Tkrit и Т > Tknt

Также существенная работа была проведена Е.И. Моисеевым, В.В. Тихомировым и A.A. Никитиным по изучению вопросов, связанных с наличием на границе условий третьего рода (см. [21]), или граничным управлением, заданным третьим краевым условием (см. [23]). Однако в этой работе A.A. Никитин находит оптимальное управление не из условия минимума традиционного функционала, но из минимизации интеграла иного вида.

Опираясь на методы В.А. Ильина, Е.И. Моисеева и их учеников, A.A. Алексеевым и C.B. Лексиной в работе [5] были начаты исследования существования граничного управления для систем волновых уравнений в классе C2(Qt)- Авторами были получены формулы для решения системы, дающие явный вид решения через начальные и граничные функции. Определен минимально возможный момент времени Т^и, за который возможно перевести колебательную систему из произвольного первоначального состояния в произвольное финальное. Найдены оптимальные граничные управления из классов С2[О, Т], Т > Т^и- Найдены необходимые и достаточные условия существования управления при Т < Tknt

Предложенный В.А. Ильиным метод отыскания оптимального граничного управления для волнового уравнения с определенными изменениями можно применить и для отыскания оптимального управления, когда процесс колебаний системы описывается иными, отличными от волнового, гиперболическими уравнениями. В данной работе проведены исследования вопросов существования граничного управления колебаниями трехмерного радиально-симметричного сферического слоя или, иначе, сферического осциллятора.

Вопросы, возникающие в связи с колебаниями сферы, тесно связаны с процессами, протекающими во многих приложениях физики. Например, радиально-симметрические колебания сферы возникают во многих задачах акустики. Подобные задачи являются модельными и рассматриваются в различных акустических системах, например в [20] рассматривается подобная задача для распространения сферических звуковых волн в пространстве или в среде.

При условиях радиальной симметрии потенциал скорости сферической волны будет удовлетворять следующему уравнению колебаний uH(r, t) - \[r2ur(r, i)]r = 0.

Помимо акустики вопросы связанные с колебаниями сферы и сферического осциллятора возникают в физике плазмы. Например в [1] рассматриваются колебания газо-электронного облака в плазме при условии радиальной симметрии. Появляются подобные задачи и в электромагнетизме. Уже в 1894 Аугусто Риги (итал. Augusto Righi) разработал новый метод получения электромагнитных волн, основанный на колебаниях сферического осциллятора. Подобные идеи были положены в разработку кристаллического осциллятора, применяющегося в радиоэлектронике и основанного на колебаниях сферы из пьезоэлемента для создания электрического сигнала заданной частоты1.

Задаче на граничное управление колебаниями шара В.А. Ильин посвятил две работы, в которых исследовался вопрос о существовании управления и такого минимального интервала времени, за который возможно такое управление.

В работе [14] рассматривалось граничное управление колебаниями шара при малых временах, а именно при Т < 2R, где R — радиус шара, при условии существования конечной энергии решения. В этой работе управление искалось в классе W2(Bt), где Вт = {[О, R] х [О, Т]}, а Т обозначает финальный момент времени, к которому необходимо завершить управление. Было доказано, что если Т < 2R, то управление определяется единственным образом. Причем, если Т строго меньше 2R, то управление существует при выполнении дополнительных условий.

В более ранней работе В.А. Ильина [13] было получено необходимое условие принадлежности решения уравнения колебаний шара указанному классу W2, а именно: ограниченность интеграла энергии решения и выполнение следующего соотношения

Иш[г u(r, ¿)] = О i—> для почти всех моментов времени t £ [0, Т].

В настоящей работе рассматриваются колебания трехмерного сферического слоя в условиях радиальной симметрии, описывающиеся уже упоминавшимся уравнением ~2 [rV(r, t))r = в прямоугольнике Вт = {[0 < R\ < г < R2] х [0 < t < Т]}, где R\ и R2 — радиусы внутренней и внешней сфер соответственно, финальный момент времени Т равен 2ml + A (см. [25], [26]). Здесь Д — произвольное число из интервала [0, 21], I — R2 — R\ — ширина слоя, m G N U {0}.

Управление колебаниями такого слоя сосредоточено на сферах. На сфере с радиусом {г = ведется управление при помощи функции f¿(t), а на сфере с радиусом

1 Кристаллический осциллятор представляет собой электрическую цепь, в которой используются резонансные колебания сферы из пьезоэлемента для точного модулирования заданной частоты в цепи. Подобные устройства используются для создания точного часового сигнала в электронике и цифровых приборах и стабилизации частот в радиоприемниках и передатчиках. Наиболее распространенный пьезоэлемент, который используется в осцилляторе — кварц, откуда и идет название кристаллический осциллятор. г = R2} задано управление u(t). Традиционно рассматриваются задачи отыскания граничного оптимального управления {/¿(i), переводящего этот слой за время

Т из произвольного начального состояния {</?(г), в произвольное финальное r), ipi(r)}. В настоящей работе, в отличие от предыдущих, оптимальное управление находится из условия минимизации более общих видов функционалов, связанных с нормой функций.

Вторая

глава диссертации посвящена построению необходимых дополнительных функций. Также в ней формулируются основные исследуемые задачи и кратко формулируются методы их решения с основными моментами, использующимися в этих методах. Вводятся необходимые определения функционального класса, обощенных решений. •

В третьей главе данной работы рассматривается задача об управлении колебаниями при помощи смещения u(R1, t) = /i(i), u(R2, t) = u(t) при достаточно большом времени Т, таком, что управление определено неоднозначно.

В такой постановке функции управления ищутся в классе И^О, Т] и минимизируется функционал от производных этих функций:

J{a2[Rlß'(t)}2 + b2[R2u'(t)]2}dt, о где a и 6 — произвольные, отличные от нуля, константы.

При стандартных предположениях на начальные, финальные и граничные функции: <р(г), </?!(г) е R2], ф{г), ф^г) € L2[Ru R2], ц{0) = ip{Rx), ß(T) = cpx{R0, ¿'(О) = <p(R2), u(T) = <pi(R2), получены явные формулы, описывающие управление {/¿(¿), ^(i)}. Показано, что функции управления в данном случае представляют собой сумму линейной и периодической функций.

В четвертой главе рассматривается управление воздействием силами на обе сферы: uT{r 1, t) + ~u(Ri, t) = ß{t), ur(R2, t) + -^-u{R2, t) = u(t), li\ Л также при достаточно больших значениях Г, гарантирующих неединственное управление.

Задание управлений подобным образом дает возможность учитывать влияние силы в процессе управления и является наиболее актуальным в физических приложениях. Здесь функции ß(t) и v{t) ищутся уже в классе Ь2[0, Т] и при этом минимизируется функционал от самих этих функций:

J{a2[Rlfi(t)]2 + b2[R2u(t)}2}dt о где аи5 - также произвольные, отличные от нуля, константы.

В этом случае, также при стандартных предположениях на начальные и финальные функции: <р(г), <р1(г) е ИЩ, Ф(г), фг(г) € Ь2[Яи Я2], управление */(£)} выписывается в явном виде. Однако, в отличие от задачи, рассмотренной в главе 3, сами функции управления уже не будут представлять собой сумму линейной и периодической функции. Кроме того, сами эти функции также не являются периодическими, но таковой уже является их линейная комбинация, с^Ях/хф + Ь2^"^)» с периодом 21.

Отдельный практический интерес представляют собой задачи, связанные с управлением за малый временной интервал. В работах В.А. Ильина [11] и [12] были полностью исследованы вопросы существования граничного управления колебаниями струны смещением либо на одном конце, при условии закрепления второго, т.е. о, г) = ¿¿(г), г) = о, либо одновременнно на обоих концах струны, а именно и(о, г) = /х(г), и(1, г) =

Также в работе П.А. Рево и Г.Д. Чабакаури [24] были рассмотрены аналогичные вопросы сущестования граничного управления смещением на одном конце при свободном втором: о, г) = /х(г), их{1, г) = о, при малом выборе момента времени Т.

Для таких постановок задач граничного управления было определено критическое значение времени Т^ц- Кроме этого были получены необходимые и достаточные условия существования управления, которым должны подчиняться начальные и финальные условия, если Т < Т^и, и Для таких интервалов времени показана единственность искомого граничного управления.

В пятой главе проводится исследование аналогичного вопроса о существовании граничного управления при малых временах. Рассмотрено два варианта управления колебаниями сферического слоя: управление на двух сферах либо силой иг(Лг, г) + -¿-«(Ль г) = (¿{г), мг(я2, г) + *) = л-1 Щ либо смещением и(Яг, г) = /г(*), «(Да, = Кг).

В обоих задачах определения управления промежуток времени меньше или равен критического, который, в данном случае, равен /, т.е. ширине слоя. Для обоих случаев найдены необходимые и достаточные условия существования граничного управления, которые накладываются на начальные и финальные данные. Всего таких условий три.

Первое и второе условия задаются на отрезках: тч>\{т) - (г - тыг - т) + ЯтШ - № +2ХЯХ + Т)г т—Т

У ртр1(р)с1р+ ! рФШр = 0, г <= [Дх + Г, Я2].

Я1+Т Й гМг) - (Г + Т)<р(г + Т) - (Я2 - -Т) + Я2</>(Я2)

- I рФхШр+ I рФ{р)^р = о, г е [ль д2 - т]. г т+Т

Третье условие эквивалентно необходимому и достаточному условию, которое возникает при управлении за критический промежуток времени:

Я2 К-1+7 Д 2 Л1+7'

J рфх{р)йр+ J рфх(р)йр+ I рф{р)(1р-)г J рф(р)(1р = ИгМИг) - ЯМЯг) + Я2^(Я2) - Я2<^(Я2) + № + Т)^! + Т)

-(Ях + + Г) + (Я2 - Т)^(Я2 - Т) - (Я2 - 7>(Я2 - Т).

Видно, что чем меньше момент времени Т, тем жестче первые два условия по отношению к начальным и финальным функциям.

Отдельного упоминания заслуживает случай, когда момент времени Т строго равен критическому. В этом случае первое и второе условия существования граничного управления, указанные выше, вырождаются, и остается лишь одно необходимое и достаточное условие существования управления:

У рШр) + Ф(р)]4р = Я1ЫД1) - (^(Ях)] + я2ыя2) - *>№)]•

При этом необходимо заметить, что в случае управления смещением к этим условиям добавляется еще и условие совпадения следов на границе:

ОН^Ях), р(Т) = ^(Ях), ^(0) = ¥>(Я2), =

1. Dvornikov М., Dvornikov S. Electron gas oscillations in plasma. Theory and applications. //Advances in Plasma Physics Research, 2007, vol. 5, pp. 197-212

2. Lions J.-L. Exact controllability, stabilization and perturbations for distributed sustems. // SIAM Review, vol. 30, N 1, p. 1-68.

3. Lions J.-L. On the controllability of distributed systmes. //Proc. of National Academy of Science of USA, vol. 94, p. 4828-4835, May, Applied Mathematics.

4. Moiseev E.I., Kholomeeva A.A. Optimization of the boundary control of string vibrations in the excitation problem with a fixed endpoint in the class Wf. //Differential Equations, 2009, vol. 45, No 5, pp. 1-5

5. Андреев А.А., Лексина С.В. Система волновых уравнений с граничным управлением первого рода. //Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия, 2008, N 2(61), с. 10 21.

6. Васильев Ф.П. О двойственности в линейных задачах управления и наблюдения. //Дифференциальные уравнения, 1995, т. 31, N 11, с. 1893-1900

7. Знаменская JI.H. Управление упругими колебаниями. //Москва, ФИЗМАТЛИТ, 2004 г., 176 с.

8. Ильин В.А. О разрешимости смешанных задач для гиперболического и параболического уравнений. //Успехи математических наук, 1960, т. 15, вып. 2, с. 97-154

9. Ильин В.А. Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах за произвольный промежуток времени. //Дифференциальные уравнения, 1999, т. 35, N 11, с. 1517-1534

10. Ильин В.А. Волновое уравнение с граничным управлением на одном конце при закрепленном втором конце. //Дифференциальные уравнения, 1999, т. 35, N 12, с. 1640-1659

11. Ильин В.А. Граничное управление процессом колебаний на двух концах в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией. //Дифференциальные уравнения, 2000, т. 36, N 11, с. 1513-1528

12. Ильин В.А. Граничное управление процессом колебаний на одном конце при закрепленном втором конце в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией. //Дифференциальные уравнения, 2000, т. 36 N 12, с. 16701686

13. Ильин В.А. Граничное управление сферически симметричными колебаниями трехмерного шара. //Труды МИАН, 2001, т. 232, с. 144-155

14. Ильин В.А. Граничное управление сферически-симметричными колебаниями шара при условии существования конечной энергии. //ДАН 2003, т. 392, N 3, с. 309-312

15. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Минимизация интеграла от модуля производной граничного управления, возведенного в произвольную степень р > 1. //Дифференциальные уравнения, 2006, т. 42, N 11, с. 1633-1644

16. Ильин В.А. Оптимизация за произвольный достаточно большой промежуток времени граничных управлений смещениями на двух концах струны. // Дифференциальные уравнения, 2007, т. 43, N 11, с. 1528-1544

17. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Оптимизация управления на двух концах струны упругими граничными силами за любой достаточно большой промежуток времени. // Дифференциальные уравнения, 2008, т. 44, N 1, с. 89-110

18. Ильин В.А. О независимости оптимальных граничных управнений колебаниями струны от выбора точки согласования начальных и финальных условий. //Дифференциальные уравнения, 2008, т. 44, N 3, с. 383-389

19. Крендалл Ирвинг Б. Акустика. //Пер. с англ. 4-е издание, Москва, Издательство "Книжный дом "ЛИБРОКОМ", 2009 г., 168 с.

20. Моисеев Е.И., Тихомиров В.В. О волновом процессе с конечной энергией при заданном граничном режиме на одном конце и упругом закреплении на другом.// Нелинейная динамика и управление, 2005, вып. 5, с. 42-52

21. Моисеев Е.И., Холомеева A.A. Оптимизация граничного управления смещением на одном конце струны при закрепленном втором конце в классе W^ //Дифференциальные уравнения, 2009, т. 45, N 7, с. 941-946

22. Никитин A.A. О смешанной задаче для волнового уравнения с третьим и первым краевыми условиями. //Дифференциальные уравнения, 2007, т. 43, N 12, с. 16921700

23. Рево П.А., Чабакаури Г.Д. Граничное управление процессом колебаний на одном конце при свободном втором конце в терминах обощенного решения волнового уравнения с конечной энергией. //Дифференциальные уравнения, 2001, т.37, N 8, с. 1082-1095

24. Сергеев С.А. К задаче об оптимальном граничном управлении колебаниями сферического слоя. //Дифференциальные уравнения, 2009, т. 45, N 10, с. 1480-1491

25. Сергеев С.А. К задаче об оптимальном граничном управлении специальным третьим краевым условием колебаниями сферического слоя. // Дифференциальные уравнения, 2010, том 46, N 1, с. 129 138