Нестационарные задачи динамики для трехслойных сферических оболочек тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение

Краткий исторический обзор развития методов исследования сферических оболочек

Цель исследования

Глава I. Уравнения движения трехслойных сферических оболочек с несимметричной структурой слоев

1.1 Основные допущения гипотезы

1.2 Геометрические и физические соотношения

1.3 Потенциальная энергия деформации оболочки

1.4 Уравнения движения оболочки

1.5 Случай осесимметричного воздействия

1.6 Расчетные формулы для усилий

1.7 Выводы

Глава II. Построение общего решения

2.1 Постановка начально-краевой задачи

2.2 Класс динамических нагрузок:

2.3 Алгоритмическая процедура метода конечных интегральных преобразований

2.4 Формулировка матричного конечного интегрального преобразования

2.5 Построение решения задачи методом матричного КИП

2.6 Определение ядра матричного КИП

2.7 Вычисление нормирующей матрицы

2.8 Определение матрицы весовых функций

2.9 Вариант формул обращения

2.10 Анализ структуры уравнений движения оболочки

2.11 Построение фундаментальной матрицы

2.12 Случай кратных значений корней определяющего уравнения

2.13 Собственные значения

2.14 Внутренние резонансы

2.15 Общее представление решения

2.16 Выводы

Глава III. Проблемы вычислений компонентов разложений

3.1 Вычисление функций Лежандра и их производных

3.2 Асимптотика фундаментальных решений для больших значений X

3.3 Улучшение сходимости спектральных разложений

3.4 Интегралы нагрузки

3.5 Выводы

Глава IV. Численный анализ

4.1 Вычислительная программа

4.2 Физико-геометрические параметры оболочек

4.3 Определение частотного спектра

4.4 Формы собственных колебаний

4.5 Кратные собственные частоты и формы

4.6 Асимптотические представления частотного уравнения

4.7 Динамическая реакция

4.8 Оболочка наибольшей жесткости

4.9 Оценки точности вычислений"

4.10 Примеры практических расчетов

4.11 Выводы

Глава V. Локальное ударное воздействие оболочки с массивным телом конечной жесткости

5.1 Моделирование тела конечной жесткости

5.2 Моделирование ударного взаимодействия:

5.3 Построение решения. Алгоритм расчета

5.4 Анализ численных результатов. Оценка несущей способности оболочки

5.5 Выводы

Выводы по диссертации

В настоящее время во многих отраслях техники широко применяются трехслойные оболочки, состоящие из несущих тонких внешних слоев и среднего слоя (заполнителя) значительно большей толщины. Они используются в защитных сооружениях реакторных отделений атомных электростанций [146], в качестве металлополимерных корпусов резервуаров химической промышленности [67], в авиационной и космической технике [60], судостроении [97] и т. д. В процессе эксплуатации в аварийных режимах такие конструкции подвергаются интенсивным динамическим воздействиям, поэтому для обеспечения их надежности и экономичности возникает необходимость в проведении сложных динамических расчетов. Все отмеченное выше относится и к расчету оболочек на локальные, в том числе ударные воздействия, для которых отсутствуют сформировавшиеся методики расчета. Вместе с тем, исследование подобных взаимодействий имеет большое практическое значение, в частности, при расчете защитных оболочек реакторных отделений АЭС на аварийное падение самолета [16].

Следует отметить, что существующие, как правило, приближенные методы расчёта часто не позволяют адекватно описать высокоскоростные процессы деформирования конструкций и правильно определить их напряжённо-деформированное состояние. Таким образом, развитие строгих методов динамического расчета трехслойных сферических оболочек при различных нестационарных воздействиях, на основе точных математических моделей и их реализация в форме эффективных вычислительных алгоритмов представляют актуальные задачи современной прикладной механики деформируемого твёрдого тела.

Одной из таких задач, а именно, разработке эффективной точной методики расчета непологих трехслойных сферических оболочек на нестационарные (нелокальные и локальные) осесимметричные воздействия в волновой постановке и посвящена настоящая диссертация.

Приведенные в работе исследования выполнены в рамках одного из научных направлений Самарской архитектурно-строительной академии, развиваемого на кафедре сопротивления материалов и строительной механики, а также по межвузовской научно-технической программе "Долговечность". 6

На протяжении последних десятилетий теория оболочек и методы их расчета получила широкое развитие благодаря фундаментальным исследованиям следующих авторов: Л.Я. Айнолы [2], A.B. Александрова [4], H.A. Алумяэ [5], H.A. Алфутова [6], С.А. Амбрацумяна [7], В.В. Болотина [17], П.М. Варва-ка [20], Н.Д. Векслера [21], И.Н. Векуа [22], В.З. Власова [23], A.C. Вольми-ра [25], Н.К. Галимова [26], A.JI. Гольденвейзера [33], А.Г. Горшкова [36], Э.И. Григолюка [39], Я.М. Григоренко [42], H.A. Кильчевского [54], А.Д. Коваленко [58], В.И. Королева [60], В.А. Крысько [63], Б.Я. Лащеникова [4], В.Е. Лид-ского [34], А.Д. Лизарева [67], О.В. Лужина [69], А.И. Лурье [70], Х.М. Муш-тари [79], Ю. В. Немировского [81], У.К. Нигула [82], В.В. Новожилова [85], О.Д. Ониашвили [87], И.Г. Овчинникова [90], Б.Л. Пелеха [88], Г.И. Петраше-ня [89], В.В. Петрова [90], В.Г. Пискунова [94], В.В. Пикуля [93], Г.Н. Пшенич-нова [98], Ю.Н. Работнова [99], O.A. Рассказова [100], В.Г. Рекача [101], А.Р. Ржаницина [103], И.Т. Селезова [40], Ю.Э. Сеницкого [105], Л.И. Слепя-на [141], А.Ф. Смирнова [142], H. Н. Столярова [145], С.П. Тимошенко [147], П.Е. Товстика [34], А.Ф. Улитко [151], Я.С. Уфлянда [152], А.П. Филина [154], А.П. Филиппова [155], А.И. Цейтлина [159], К.Ф. Черных [160], П.П. Чулко-ва [41], H.H. Шапошникова [142], В.П. Шмакова [162], и др.

За рубежом такого рода исследованиями занимались: С. Войновский-Кригер [148],

A. Гулта [171], А. Калнинс [173], Б. Коплик [175], С. Мирза [180], П.М. Нагди [182],

B. Новацкий [84], К. Прасад [184], X. Райзман [168], К. Рамкришхан [189], Э. Рейс-снер [185], А. Синх [190], Дж. Уилкинсон [191], К. Федергофер [170], В. Флюг-ге [156], П. Цулковский [168], Г. Чинелли [167], А. Шах [189], Ю.Ви Юань [194] и др.

Ниже приведен краткий исторический обзор методов исследования динамики однородных и трехслойных сферических оболочек, а также анализ литературы, посвященной этому вопросу. Представленный обзор затрагивает лишь те исследования, которые близки к настоящему по постановке и методам решения. В частности, в обзор не включены публикации, посвященные решению краевых задач численными методами. Подробное изложение истории развития общей теории и методов расчёта оболочек можно найти, например, в работах [29], [40], [75]. 7

Краткий исторический обзор развития методов исследования сферических оболочек

Первые исследования оболочек имели своей целью построение теории акустических колебаний и осуществлялись по аналогии с технической теорией пластин, разработанной Г. Кирхгоффом в 1850 г.

В 1874 г. Г. Арон (H. Агоп), опираясь на исследования Г. Кирхгоффа и А. Клебша о конечных деформациях тонких стержней и пластинок [57], вывел выражение для потенциальной энергии, уравнения равновесия и деформаций оболочек в криволинейных координатах срединной поверхности [29]. Свободные колебания сферических оболочек впервые были исследованы лордом Релеем (Rayleight) в 1881 г. [102]. Релей, используя энергетический метод и полагая, что срединная поверхность нерастяжима, рассмотрел чисто изгибные колебания без учета граничных условий.

Э. Матье (Е. Mathieu) изучал оболочки, симметричные относительно оси вращения с помощью видоизмененного метода, примененного ранее Д. Пуассоном для пластинок (1882 г.) [29]. Полученное им уравнение движения соответствовало формулам Г. Арона, если принимались в расчет только те члены, которые являлись функциями удлинений срединной поверхности.

В работах А. Бассета (A. Basset) [165] и Г. Лемба (Н. Lamb) [178] уравнения движения были получены на основе кинематических гипотез деформирования сечения оболочки (1882г.). Кроме того, Г. Лемб, используя безмоментную теорию, установил, что колебания замкнутой сферической оболочки распадаются на два класса. По его терминологии, колебания, при которых отсутствуют перемещения в радиальном направлении, относятся к первому классу, а колебания, характеризующиеся перемещениями, как в радиальном, так и в тангенциальном направлениях - ко второму.

Первая попытка разработки общей теории моментных колебаний тонких оболочек была предпринята А. Лявом (A. Love) и имела целью исследование колебаний колоколов [75]. Распространяя теорию пластин Г. Кирхгоффа на оболочки, А. Ляв, подобно Г. Арону, допускал одновременно изгиб, и растяжение срединной поверхности, причем, пользуясь принципом возможных перемещений, он 8 получил в 1888 г. как уравнения движения, так и граничные условия. Результаты А. Лява частично совпали с результатами Г. Арона, а частично уточнили их [29].

Теория А. Лява включала как частные случаи теорию чисто изгибных колебаний, развитую Релеем, и безмоментную теорию Г. Лемба. При исследовании колебаний незамкнутой сферической оболочки А. Ляв также применил безмоментную теорию и подробно рассмотрел крутильные и чисто изгибные осесимметрич-ные колебания. Однако при выводе уравнения частот несимметричных колебаний сферической оболочки А. Ляв допустил ошибку, обнаруженную только через шестьдесят лет П. Нагди (Р. Naghdi) и А. Калнинсом (A. Kalnins) [183].

Дальнейшее развитие теория малых осесимметричных деформаций оболочек получила в работах X. Рейснера (Н. Reissner) и Э. Мейснера (Е. Meissner) [179]. X. Рейснеру удалось получить два симметричных дифференциальных уравнения второго порядка для замкнутой сферической оболочки, имеющей постоянную толщину и загруженную симметричной нагрузкой [187]. Эту систему X. Рейснер решил при помощи предложенного Отто фон Блюменталем (О. Blumenthal) способа асимптотического интегрирования. Э. Шверин (Е. Scwerin) развил эти результаты и затем численно исследовал замкнутые сферические оболочки, несимметрично нагруженные внешним давлением [29]. В дальнейшем Э. Мейснер показал, что симметрия основных уравнений достигается тогда, когда меридиан имеет постоянную кривизну, причем эту систему можно свести к одному дифференциальному уравнению второго порядка. Далее Э. Мейснер доказал, что подобное сведение к одному уравнению возможно для оболочки любой формы, если сделать допущение, что толщина оболочки надлежащим образом меняется вдоль меридиана.

Задача о деформации сферической оболочки при воздействии разных нагрузок была впервые решена Э. Мейснером в 1913г. [29]. Разрешающее дифференциальное уравнение четвертого порядка допускало разложение на два сопряженных уравнения второго порядка, интегралы которых представлялись в форме гипергеометрических рядов. Применительно к замкнутой сферической оболочке Л. Болле (L. Bolle) довел эту задачу до численных результатов.

Асимптотические методы интегрирования уравнений оболочек вращения также получили развитие в трудах С. П. Тимошенко. Он на численных примерах показал, что для тонких оболочек асимптотический метод обеспечивает хорошую точность (1915 г) [148]. 9

В 1937 г. К. Федергофер в рамках технической теории (теории Кирхгофа-Лява) впервые получил систему дифференциальных уравнений колебаний непологой сферической оболочки в перемещениях [170]. Не приводя замкнутого решения, он указал, что решение этой системы может быть найдено в присоединенных функциях Лежандра комплексной степени. Однако детально свойства этих функций не были изучены, а вычислительная техника того времени не позволяла довести решение до численных результатов. Поэтому К. Федергофер привел только приближенное решение для случая осесимметричных колебаний защемленной пологой оболочки и вычислил первые собственные частоты в зависимости ее от толщины. Впоследствии (1946 г.) Э. Рейснер, анализируя уравнения К. Федергофера, показал, что в случае пологих сферических оболочек часть инерционных слагаемых (соответствующих продольным силам инерции) практически не оказывают влияние на получаемые решения.

В Советском Союзе в 30-60 годах теория оболочек развивалась преимущественно по двум направлениям. Одно из них, представленное в работах А. Л. Гольденвейзера [33], Н. А. Кильчевского [54], А. И. Лурье [70], X. М. Муштари [79], В. В. Новожилова [85], Ю. Н. Работнова [99], И. Н. Векуа [22], характеризуется установлением степени погрешности гипотез, лежащих в основе мо-ментной теории оболочек, и разработкой альтернативных теорий. Другое направление составляет техническая теория оболочек, включающую как частный случай общую теорию тонкостенных стержней. Это направление, представленное главным образом работами В. 3. Власова [23], а также его учеников и последователей, связано с введением В. 3. Власовым ряда новых физических гипотез в теорию оболочек и построением на их основе общей моментной и без-моментной теорий тонкостенных пространственных систем (1947 г). В рамках этих теорий В. Г. Рекач исследовал свободные колебания сферических оболочек, упруго закрепленных на контуре (1957 г) [101].

Впоследствии Ю. Э. Сеницким, с помощью разработанного им структурного алгоритма конечных интегральных преобразований (КИП), были решены нестационарные динамические задачи для сферы и полусферы, рассматриваемых на основе безмоментной теории Власова [108]. Решения построены в форме спектральных разложений по функциям Лежандра. Выделены два спектра час

10 тот, соответствующие нормальным и тангенциальным осесимметричным колебаниям открытых оболочек.

Основываясь на гипотезе Кирхгофа-Лява, О. В. Лужин вывел уравнения колебаний сферической оболочки с учетом уточнений, внесенных в общую мо-ментную теорию оболочек В. 3. Власовым, и показал, что система трех обыкновенных дифференциальных уравнений, соответствующая п-й форме свободных колебаний, распадается на отдельное уравнение, описывающее колебания без смещения по нормали, и два совместных уравнения, в которые входит это смещение. Последние уравнение приводятся к одному уравнению шестого порядка, решение которого получено в функциях Лежандра.

Использование ЭВМ [50] позволило в 60-х годах выполнить численный анализ влияния различных факторов на собственные частоты колебаний сферических оболочек. А. Калнинс установил, что частотный спектр непологой сферической оболочки состоит из двух последовательностей частот, соответствующих связанным между собой изгибным и безмоментным формам колебаний [173]. Принадлежность формы колебаний к одному из этих типов определялась путем сравнения энергии деформации изгиба и энергии деформации растяжения. При этом безмоментные формы почти не зависят от толщины оболочки, а изгибные существенно изменяются с изменением ее толщины.

На основе уравнений технической теории в смешанной форме Власова-Донелла, Ю. Э. Сеницким и его учениками методом КИП получен комплекс аналитических решений для пологих сферических оболочек в случае осесим-метричного [109], [121], [122] и неосесимметричного [110], [127] динамического загружения. Рассмотрены различные случаи нестационарных воздействий и достаточно общие (упругие и идеализированные) условия закрепления на контуре. Построено также замкнутое решение аналогичной осесимметричной динамической задачи на основе разрешающей системы уравнений в перемещениях [129]. Был произведен анализ круговых частот, а также напряженно-деформированное состояние оболочки. Установлено взаимное влияние мо-ментного и мембранного напряженно-деформированного состояния.

Следует отметить, что исследование сферических оболочек стимулировало развитие методов вычисления функций Лежандра. Так, О. В. Лужин получил новые представления функций Лежандра произвольной комплексной степени в

11 форме интегралов и асимптотических выражений. С помощью этих представлений им были изучено влияние меридиональных сил инерции на собственные частоты безмоментного сферического купола (1961 г.) [69]. Однако оказалось, что вычисление присоединенных функций Лежандра высоких степеней, соответствующих тонким оболочкам, сопряжено со значительными трудностями, поскольку их аналитические и интегральные представления обладают плохой сходимостью. По этой причине неоднократно высказывалось мнение, что точные решения в случае тонких сферических оболочек неэффективны [12], [162]. Для решения подобных вычислительных проблем А. Д. Лизаревым и его учениками были развита оригинальная методика вычисления логарифмических производных от функций Лежандра, позволяющая перейти к быстро сходящимся асимптотическим выражениям [65]. Ими также было показано, что при определении собственных частот колебаний непологих сферических оболочек достаточно вычислять не сами функции Лежандра и их производные, а только логарифмические производные [67]. На основе построенной методики А. Д. Лиза-рев исследовал асимптотическое поведение точных решений задачи о свободных колебаниях тонкой непологой сферической оболочки [66].

В то же время, вычислительные трудности, возникающие при реализации точных решений в функциях Лежандра, явились причиной развития многих приближенных, в том числе асимптотических методов. Так, в работе [34] предлагается метод расчленения напряженно-деформированного состояния, В соответствии с этим методом частотное уравнение асимптотически расщепляется на два независимых, одно из которых определяет частоты безмоментных колебаний, а второе - изгибных.

Техническая теория оболочек, основанная на гипотезах Кирхгоффа-Лява, обеспечивает достаточную точность лишь при определении низкочастотной части спектра колебаний и решении динамических задач для тонких оболочек при воздействии нагрузок с малым показателем изменяемости [83]. Применение уравнений уточненной теории, учитывающей деформацию поперечного сдвига (поправка С. П. Тимошенко) и инерцию поворота (поправка Рэлея) существенно расширяет возможности приближенных моделей и позволяет на их основе определять высокочастотную часть спектра, а также моделировать переходные волновые процессы. Подробный обзор исследований (до 1973г.) по ди

12 намике оболочек на основе уточненной теории с анализом методов решения и численных результатов приведен Э. И. Григолюком И. Т. Селезовым [40].

Дифференциальные уравнения теории пологих сферических оболочек, учитывающие деформации сдвига и инерцию вращения, были сформулированы П. На-гди [182] и А. Калнинсом [174], а соответствующие уравнения движения непологой сферической оболочки - К. Прасадом (С. Prasad) [184]. Введением вспомогательных функций, связанных с перемещениями срединной поверхности и углами поворотов нормалей к ней, уравнения движения приводились к системе дифференциальных уравнений, интегрируемых в функциях Лежандра. В дальнейшем выяснилось, что в уравнениях К. Прасада учитываются не все инерционные члены. Эти уравнения впоследствии были уточнены А. Калнинсом [173].

Точное решение осесимметричной задачи о собственных и вынужденных колебаниях жестко защемленной пологой сферической оболочки в уточненной постановке без учета тангенциальных сил инерции приведено П. Цулковским (Р. М. Culkowski) и Г. Райзманом (Н. Reismaim) [168]. Авторы этой работы применили метод разложения по собственным функциям. Приведен численный анализ круговых частот, прогибов, усилий в центре оболочки по классической и уточненным теориям.

Дж. Вилкинсон и А. Калнинс исследовали неосесимметричные колебания сферической оболочки на основе уравнений, приведенных К. Прасадом, с учетом всех инерционных членов [193]. Показано, что поперечный сдвиг и инерция поворота в области низких частот вносят небольшие поправки.

Общее решение методом КИП неосесимметричной динамической задачи для пологих сферических оболочек в постановке теории типа Тимошенко построено Ю. Э. Сеницким [117], а подробный численный анализ результатов при различных нестационарных воздействиях проведен Э. Я. Еленицким [48]. Ю. Э. Сеницким исследована также динамическая реакция непологой сферической оболочки в частных случаях упругого закрепления на контуре (контур с одной упругой характеристикой) [121]. Для этой цели применялся разработанный им метод многокомпонентных конечных интегральных преобразований [112]. Показано влияние упругости закрепления конструкции на низшие частоты собственных колебаний и динамическую реакцию оболочки.

Для анализа динамики сферических оболочек, наряду с теорией типа Тимошенко, использовалась неклассическая теория колебаний, не связанная с приме

13 нением кинематических гипотез и основанная на разложении уравнений теории упругости в степенные ряды по толщине [54], [22]. Здесь следует отметить работы С. Г Шлаковой [163]. Полученные решения использованы для оценки пределов применимости различных приближенных теорий. При этом появление в разрешающих уравнениях членов, не присутствующих в классических уравнениях, рассматривалось как результат влияния напряжений сдвига и инерции вращения.

Колебания толстостенных сферических оболочек исследовались и в постановке теории упругости. Здесь следует отметить задачу о распространении волн в упругой сфере Г. Лемба (1882 г.) [177], для которой, вследствие вычислительных трудностей, подробные численные результаты удалось получить лишь спустя 80 лет. Точные решения динамической задачи теории упругости для полой сферы были получены в 1965 г. Г. Чинелли (G. Cinelli) [167], в 1969 г. А. Шахом (A. Shall), К. Рамкришнаном (С. Ramkrishnan) и С. Даттой (S. Datta) [189], в 1971г. Ю. Э. Сениц-ким [106] и несколько позже А. Ф. Улитко [151]. При этом авторами использовались различные варианты интегральных преобразований, а частные решения уравнений свободных колебаний выражались через произведения сферических функций Бесселя и функций Лежандра. Было показано, что до относительной толщины оболочки h/R = 0.1 значения первой собственной частоты, найденные по теории типа Тимошенко, классической и по уравнениям теории упругости, практически совпадают. Осесимметричные колебания незамкнутой толстой сферической оболочки исследованы методами теории упругости Е. М. Щипициной [161] (1973 г.). Следует также отметить точные решения для полой толстостенной замкнутой сферы из неоднородного анизотропного материала при действии нестационарной осесиммет-ричной нагрузки, полученные методом КИП Ю. Э. Сеницким [113], [119], [120].

Исследования по динамике трехслойных сферических оболочек весьма немногочисленны. Первые приближенные решения задачи о колебаниях трехслойных сферических оболочек относились к пологим оболочкам с полигональным контуром и были построены Галимовым Н. К. и Саченковым А. В. в 1965г [26]. При этом авторы использовали аналогию между уравнениями, описывающими собственные колебания свободно опертых оболочек и плоских однородных мембран. Аналогии подобного рода исследовались в работе [27], и впоследствии были распространены на задачи о колебаниях многослойных сферических оболочек [20], [94].

14

Б. Копликом (В. Koplik) и Ю Ви Юанем (Yu Yi-Yuan) (1967г.) были изучены несимметричные колебания трехслойной сферической оболочки симметричного строения на основе полной системы дифференциальных уравнений движения в напряжениях [176]. Учитывались сдвиги и инерции вращения внутреннего слоя, изменением длины нормали и изгибной жесткостью наружных слоев пренебре-галось. Замкнутая система уравнений в перемещениях получена только для осе-симметричных колебаний пологих трехслойных сферических оболочек. Решение этой системы получено в функциях Бесселя. Показано существенное влияние сдвиговых деформаций на частотный спектр оболочки [175]. На основе полной системы уравнений, представленной в [176], в работе [192] сформулированы уравнения крутильных колебаний пологих трехслойных сферических оболочек. Осесимметричные и крутильные колебания исследовались также в [194].

Уравнения осесимметричного движения в перемещениях для непологой трехслойной сферической оболочки симметричной структуры были получены П. Цулковским (Р. М. Culkowski) и X. Райзманом (Н. Reismann) на основе принципа Остроградского-Гамильтона [168] (1971г.). Было построено точное решение задачи о вынужденных колебаниях оболочки под действием внешнего давления, внезапно приложенного на малой площадке в полюсе оболочки в форме разложения по собственным формам колебаний оболочки.

С. Мирза (S. Mirza) и А. Синх (A. Singh) исследовали свободные колебания непологих сферических оболочек с легким заполнителем и мембранными симметричными внешними слоями [180], [181], [190]. Точные решения уравнений движения были получены в функциях Лежандра произвольной комплексной степени; числовые результаты для осесимметричных форм колебаний и для оболочек с, различными углами раствора приведены в [181]. Авторами [189] также произведен анализ влияния изгибной жесткости среднего слоя на собственные частоты.

Неосесимметричные колебания трехслойных сферических оболочек симметричной структуры рассматривались А. Гупта (A. Gupta) [171] с учетом деформаций сдвига и инерции вращения всех трех слоев. Разрешающая система дифференциальных уравнений имела 14 порядок. В работе [171] указана возможность интегрирования полученной системы в присоединенных функциях Лежандра, однако в явном виде эти решения не приведены.

15

Уравнения движения непологой трехслойной сферической оболочки с орто-тропными несущими слоями и жестким заполнителем были сформулированы А. Д. Лизаревым [67], [68]. Им же в [67] указано на невозможность их точного интегрирования в общем случае. Для изотропных несущих слоев эти уравнения интегрировались в присоединенных функциях Лежандра. На основе построенного решения разработан алгоритм вычисления собственных частот и форм колебаний, а также реализована программа на языке ФОРТРАН [78]. Кроме того, в [67] с помощью метода асимптотического разделения частотного спектра определялось влияние физических и геометрических параметров слоев оболочки на плотность распределения собственных частот. Плотность собственных частот пологих сферических оболочек также исследовалась в [191].

Вынужденные колебания непологой трехслойной сферической оболочки при нестационарных динамических воздействиях изучались Ю. Э Сеницким [114], [108]. Точное решение задачи было построено методом КИП в форме спектрального разложения по функциям Лежандра.

Одной из практически важных задач, возникающих при проектировании особо ответственных тонкостенных сооружений (таких, как защитные оболочки реакторных отделений АЭС) является их расчет на ударные высокоинтенсивные воздействия, возникающие, в частности, при аварийном падении самолета. Учет этого воздействия предусматривается как отечественными нормами [86], так и нормами МАГАТЭ [153]. При этом необходимо отметить, что в комплексе особых динамических воздействий, рассматриваемых при расчетах конструкций атомных станций, процесс соударения летящего тела с сооружением наименее изучен [16].

Помимо классических работ, посвященных удару [35], [45], [52], [55], задача о соударении тела конечной жесткости с пластинами и оболочками в различных постановках рассматривались Дж. Хаммелем (J. Hammel) [172], Дж. Риерой (J. Riera) [188], К. Дриттером (К. Drittler) и П. Грюнером (Р. Gruner) [169], А. П. Кирилловым и А. Е. Саргсяном [56]. В связи со сложностью рассматриваемого взаимодействия ими были получены лишь верхние оценки несущей способности защитных конструкций. Вероятностное обоснование необходимости учета подобного воздействия приведено в статье К. Челапати (С. Chelapati) [166]. Кроме теоретических, были произведены экспериментальные исследования, в том числе натурные испытания (Япония).

16

Задача об ударном взаимодействии тела конечной жесткости с тонкостенной железобетонной преградой (пологой сферической оболочкой) на протяжении ряда лет разрабатывалась на кафедре Строительной механики и сопротивления материалов Самарской архитектурно-строительной академии под руководством д.т.н., проф. Се-ницкого Ю. Э. Им, совместно с Еленицким Э. Я. и Шляхиным Д. А. [47], [124], [125], [126], [140] были разработаны уточненные модели ударного взаимодействия, учитывающие взаимное влияние (податливости) ударника и преграды. Полученные верхние оценки несущей способности защитной конструкции оказались на 10-15% ниже соответствующих результатов предьщущих исследователей. Вместе с тем, вопрос о влиянии трехслойности защитной оболочки не рассматривался.

Анализируя все эти результаты можно сделать следующий вывод: круг исследований по динамике непологих трехслойных сферических оболочек даже в осе-симметричном случае загружения весьма ограничен1. Все исследования производились только для оболочек с симметричной структурой слоев. Не рассматривались реальные (упругие относительно всех возможных перемещений) условия закрепления на контуре, двухсвязные поверхности открытых сферических оболочек, а также трехслойная замкнутая сфера. При анализе динамической реакции учитывались лишь некоторые частные случаи осесимметричных воздействий. Недостаточно исследован вопрос о влиянии на локальную реакцию механической системы "падающее тело конечной жесткости - трехслойная железобетонная оболочка" податливости преграды и ударника при их контактном взаимодействии.

Цель исследования

Из приведенного обзора также следует, что наряду с асимптотическими методами исключительно удобный аппарат построения замкнутых решений динамических задач для сферических оболочек в постановке моментной технической теории и теории типа Тимошенко представляет метод разложения по собственным вектор-функциям [151], [152], [159], [114], [122]. Компоненты вектора перемещений при этом представляются в виде спектральных разложений по соответствующим формам колебаний оболочки, основанной на хорошо разработанной теории ортогональных рядов в гильбертовом пространстве [11], [80].

Имеются ввиду замкнутые решения соответствующей динамической задачи

17

Наиболее удобный прием построения подобных разложений в рамках указанного способа представляет структурный алгоритм метода конечных интегральных преобразований, разработанный Ю. Э. Сеницким [107]. В процедуре этого метода определяются все компоненты получаемой структуры решения без какой-либо априорной информации (трансформанта, ядро преобразования, весовая функция, обобщенное соотношение ортогональности). При этом для трехслойных сферических оболочек с недиагональной матрицей инерционных членов в работах [112], [123] было специально построено и математически обосновано многокомпонентное конечное интегральное преобразование.

Вместе с тем, численный анализ результатов частотного спектра трехслойных сферических оболочек показал, что при некоторых относительных толщинах конструкции возможны внутренние резонансы, которым соответствуют кратные собственные значения [44] ядровой краевой задачи кратные круговые частоты колебаний. Этот непростой вопрос связан с определением присоединенных векторов ядра интегрального преобразования, причем до сих пор отсутствуют соответствующие формулы обращения КИП.

Решение рассматриваемых задач строится в виде спектральных разложений по базисной системе линейных комбинаций из присоединенных функций Ле-жандра. При этом отсутствует процедура точного вычисления квадрата их нормы, входящей в формулу обращения. Кроме того, для широкого класса динамических нагрузок скорость сходимости получающихся разложений оказывается недостаточной, что затрудняет практическое применение спектральных разложений для вычисления внутренних усилий и ускорений.

Все это и определило окончательно цель настоящего исследования: разработка новой методики и реализация на её основе эффективных алгоритмов точного расчета непологих трехслойных сферических оболочек несимметричной структуры в волновой постановке для широкого класса нестационарных осе-симметричных, в том числе локальных, динамических воздействий при наиболее общем упругом закреплении на контуре.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- на основе уточнённой теории с учётом инерции вращения, деформации поперечного сдвига и гипотезы ломаной нормали, а также вариационного принципа Остроградского-Гамильтона получены новые волновые уравнения

18 движения для непологих трехслойных сферических оболочек несимметричной структуры, а также сформулированы краевые условия, соответствующие наиболее общему случаю закрепления на контуре; получены уточненные дифференциальные уравнения, учитывающие обжатие по толщине среднего слоя, сдвиговые деформации и инерцию вращения всех слоев пакета;

- введены конечные интегральные преобразования с матричными ядрами для исследования краевых задач с кратным спектром, учитывающие внутренние резонансы;

- разработана методика точного вычисления квадрата нормы ядра преобразования;

- предложена методика улучшения сходимости разрешающих спектральных разложений, позволяющая более точно вычислять усилия и ускорения для широкого класса внешних динамических воздействий;

- в рамках метода КИП построено новые точные решения нестационарных динамических задач для непологих упруго закрепленных трехслойных сферических оболочек (открытых сплошной и кольцевой оболочки, замкнутой сферы) с несимметричной структурой пакета слоев при действии произвольной осесимметричной нагрузки;

- получены асимптотические представления компонентов решения для высокочастотной части спектра;

- построены новые рекурсивные алгоритмы вычисления функций Лежандра и их производных по степени;

- произведен численный анализ на ЭВМ динамической реакции, собственных частот и форм колебаний исследуемых оболочек при различных соотношениях толщин слоев, условиях закрепления и динамических нагружений;

- предложена уточненная нелинейная модель локального ударного взаимодействия массивного тела конечной жесткости с железобетонной оболочкой; на ее основе построены инженерные методики расчёта и итерационный алгоритм для определения контактных усилий и перемещений в зоне соударения; произведен численный анализ влияния характеристик оболочки и падающего тела на процесс ударного взаимодействия.

Достоверность проведенных исследований (в рамках допущений уточненной теории оболочек) обеспечивается строгостью постановки и построением точных

19 решений соответствующих начально-краевых задач, качественным соответствием полученных результатов физической картине исследуемых процессов, а также подтверждена сравнениями в частных случаях с известными замкнутыми решениями других авторов. На основе двухмодовой теории получены оценки допустимых геометрических параметров конструкций и соответствующих воздействий, определяющей пределы принятой математической модели.

Практическая ценность и внедрение результатов. На основе разработанных методик разработаны:

- аналитические программы (в системе компьютерной алгебры Mathematica 3.0), которые позволяют в символьном виде получать расчетные соотношения для перемещений и усилий, возникающих в трехслойных непологих сферических оболочках при воздействии нелокальных осесимметричных динамических нагрузок различных типов;

- прикладные программы (на объектно-ориентированном языке С++), осуществляющие инженерный расчет указанных оболочек на различные осесим-метричные локальные и нелокальные динамические воздействия;

- интерфейс пользователя для расчетных программ в среде Windows 95, обеспечивающий удобный ввод исходных данных и вывод результатов в табличной и графической формах.

Описания наиболее важных расчетных модулей программ, а также инструкция к их использованию приведены в приложении к диссертации.

С помощью разработанного программного комплекса осуществлен практический расчет защитной оболочки реакторного отделения АЭС (с реакторами типа ВВЭР-1000) на специальные аварийные, в том числе высокоинтенсивные локальные динамические воздействия (падения на оболочку самолета типа "Фантом"). Вычислительные программы могут быть использованы научно-исследовательскими и проектными организациями при проведении расчетов сферических оболочек на различные динамические воздействия.

Результаты исследований были использованы в проекте научно-технической межвузовской программе "Динамика" (шифр П. Т. 109) направления "Прочность и долговечность конструкций при нетрадиционных воздействиях, нарушающих внутренние связи материала" (Долговечность).

На защиту выносятся:

20

- новые динамические уравнения для непологих трехслойных сферических оболочек с несимметричной структурой пакета слоев, а также краевые условия, соответствующие наиболее общему их закреплению на контуре;

- развитие алгоритмической процедуры метода конечных интегральных преобразований для краевых задач с кратным спектром, позволяющий учитывать эффекты внутренних резонансов, точно вычислять норму ядра преобразования, управлять скоростью сходимости получаемых спектральных разложений;

- точные решения нестационарных динамических задач для открытой оболочки, двухсвязной (кольцевой) области, замкнутой сферы при действии произвольной осесимметричной нагрузки; асимптотические представления компонентов решения в случае высокочастотных воздействий;

- уточненная нелинейная модель локального ударного взаимодействия массивного тела конечной жесткости с железобетонной оболочкой; инженерная методика и алгоритм для определения усилий и перемещений в зоне соударения;

- эффективные аналитические и вычислительные программы для ПЭВМ; численный анализ динамической реакции, собственных частот и форм колебаний исследуемых оболочек при различных соотношениях толщины слоев, условиях закрепления и динамических нагружениях; влияния характеристик железобетонной оболочки и взаимодействующего с ней падающего тела на контактные усилия и перемещения в локальной зоне соударения.

Апробация работы и публикации.

Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на:

- координационных совещаниях межвузовской программы "Долговечность" в 1993,1994г.г. в Саратовском ГТУ;

- пятой научной межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи", (Самара, 1995г.);

- научно-технической конференции "Автоматизированные информационные системы при строительстве и эксплуатации зданий, сооружений и объектов жизнеобеспечения", (Самара, 1996);

- международной научно-технической конференции "Современные проблемы совершенствования и развития металлических, деревянных и пластмассовых конструкций", (Самара, 1996г.);

21

- международной научно-технической конференции "Надежность строительных элементов и систем", (Самара, 1997г.);

- международной научно-технической конференции, посвященной 90-летию со дня рождения проф. С. П. Пулькина "Дифференциальные уравнения. Интегральные уравнения. Специальные функции", (Самара, 1997г.);

- XXVIII международной конференции по "Теории оболочек и пластин", (Саратов, 1997г.);

- международной научно-технической конференции "Численные и аналитические методы расчета конструкций", (Самара, 1998г.);

- ежегодных научных конференциях СамГАСА (1993-1999 г.).

Вцелом диссертационная работа докладывалась на научных семинарах кафедры математической физики Самарского государственного университета под руководством д.ф.-м.н., проф. О. П. Филатова, кафедры сопротивления материалов и строительной механики Самарской государственной архитектурно-строительной академии под руководством Заслуженного деятеля науки РФ, д.т.н., проф. Ю. Э. Сеницко-го, на кафедре механики сплошных сред Самарского государственного университета под руководством д.ф.-м.н., проф. В. И. Астафьева.

Основные результаты диссертации опубликованы в 13 печатных работах [71], [72], [73], [130], [131], [132], [133], [134], [135], [136], [137], [138], [139].

Структура и содержание работы.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка используемой литературы. Отдельные вспомогательные вопросы и доказательства, не относящиеся к основному содержанию, а также часть результатов численных расчетов приведены в приложении, сброшюрованном в отдельном томе.

Выводы по диссертации

В работе, основываясь на кинематических гипотезах конечно-сдвиговой модели для среднего и мембранной теории для внешних слоев, впервые получены дифференциальные уравнения движения, краевые и начальные условия для трехслойных непологих сферических оболочек с несимметричной структурой пакета при наиболее общих условиях загружения и способов закрепления опорного контура. Построены обобщения указанных уравнений на основе двухмодовой аналитической теории для среднего слоя, учитывающей эффект обжатия волокон и конечно-сдвиговой модели для всех слоев пакета.

1. Введен новый класс конечных интегральных преобразований с матричным ядром, представляющих спектральные разложения по полной системе собственных и присоединенных вектор-функций в £й2(е,,Э2) и разработана алгоритмическая процедура решения начально-краевых задач с учетом внутренних ре-зонансов (кратных собственных частот). Получены критериальные соотношения, позволяющие подобрать матрицу весовых функций преобразования по виду коэффициентов исходной начально-краевой задачи. Предложен аналитический способ вычисления нормирующей матрицы.

2. В рамках сформулированного матричного КИП впервые построены решения нестационарных осесимметричных задач динамики для различного вида открытых и замкнутых трехслойных сферических оболочек с несимметричной структурой слоев при наиболее общих условиях закрепления на опорном контуре.

3. Разработаны методы эффективного вычисления компонентов, входящих в формулу обращения КИП с матричным ядром, включающие быстрые рекурсивные алгоритмы определения значений функций Лежандра произвольной комплексной степени, асимптотические представления, позволяющие определять высокочастотные спектральные характеристики построенных разложений с высокой точностью; процедура улучшения сходимости спектральных разложений, представляющих перемещения усилия и ускорения. Построены рекурсивные алгоритмы нахождения интегралов нагрузки для широкого набора внешних воздействий.

4. Разработано прикладное программное обеспечение, для расчета трехслойных непологих сферических оболочек с несимметричной структурой пакета слоев с возможными кратными значениями в спектре колебаний на действие произвольной осесимметричной нестационарной нагрузки и произведено тестирование программ на известных частных задачах.

На основании численного эксперимента установлено, что появление кратных собственных частот в низкочастотной части спектра колебаний непологих сферических

145 оболочек происходит при различных соотношениях жесткостных и упругих характеристик конструкций и не является исключительным явлением. При этом неустранимые погрешности в решениях, построенных без учета возможных крагностей в спектре и соответствующих им присоединенных форм колебаний, достигают 15%. Произведен численный анализ зависимости спектральных характеристик трехслойных сферических оболочек с несимметричной структурой слоев от физико-геометрических параметров конструкции. Исследовано влияние несимметричной структуры пакета, способов опирания и формы импульса нагрузки на динамическую реакцию оболочки. Показана концентрация внутренних усилий в окрестности опорного контура (краевой эффект), а также при локальных ударных нагружениях - в зоне контакта.

5. Показано, что непологие трехслойные оболочки постоянного веса с несимметричной структурой слоев представляют собой наиболее жесткие конструкции и могут рассматриваться в этом смысле как оптимальные. Применение разработанной методики по определению оптимального соотношения толщин слоев в металлополимерных оболочках позволяет при постоянной массе конструкции снизить перемещения на 10-20%.

6. Получены оценки геометрических характеристик трехслойных сферических оболочек (И,/И <1/10, Ь23/Ь, <1/7), обеспечивающие в рамках конечносдвиговой модели для среднего слоя и мембранной для внешних слоев погрешность определения НДС не более 1 % .

Произведен практический расчет трехслойной сталебетонной защитной оболочки реакторного отделения АЭС на ударное воздействие, вызванное падением самолета. Установлено, что в результате взаимодействия в среднем слое образуются магистральные трещины и происходит выбивание конуса обрушения. Интенсивность напряженно-деформированного состояния вне локальной зоны на порядок ниже, чем в области взаимодействия, и практически не оказывает влияния на процесс разрушения защитной конструкции.

7. Разработана методика, алгоритм расчета и программное обеспечение, предназначенное для анализа НДС локальной зоны тонкостенной железобетонной преграды при ударном взаимодействии падающего тела конечной жёсткости.

В результате расчета локальной зоны защитной сталебетонной оболочки реакторного отделения АЭС ВВЭР-1000 установлено, что вследствие податливости железобетонной преграды происходит снижение максимальной интенсивности ударного импульса в зоне пятна контакта до 20%, а сквозного пробивания преграды не происходит. Расчёт сталебетонной защитной оболочки АЭС по уточнённому ударному импульсу приводит к экономии арматуры.

146

1., Стиган И. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. - М.: Наука, 1979. - 830с.

2. Айнола Л. Я. Вариационные принципы динамики теории оболочек // Докл. АН СССР, 1967,172, № 6. С. 1296-1298.

3. Айне Э. Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Харьков: ОНТИ, 1939.-717с.

4. Александров А. В., Лащеников Б. Я., Шапошников Н. Н. Строительная механика. Тонкостенные пространственные системы. М.: Стройиздат, 1983. - 488 с.

5. Алумяэ Н. А. Разрывы в ускорениях упругой сферической оболочки, создаваемых плоской волной давления // Тр. VI Всес. Конференции по теории оболочек и пластин. М.: Наука, 1966. С. 44-47.

6. Алфутов Н. А., Зиновьев П. А., Попов Б. Г. Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1984. - 263с.

7. Амбрацумян С. А. Общая теория анизотропных оболочек. -М.: Наука, 1974. -446с.

8. Андреев А. А., Килбас А. А. О решениях неоднородного гипергеометрического уравнения и вычисления интегралов. //ДАН БССР. 1983. т. 27. №6. С. 493-496.

9. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1974. - 432 с.

10. Агкинсон Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи. -М.: Мир, 1968. -749 с.

11. Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1966. - 543с.

12. Базилевский С. В. Асимптотические приближения для решений уравнений колебаний сферической оболочки. Изв. АН АрмССР, Механика, 1980, т. 33, № 6, С. 54-64.

13. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976. - 352с.

14. Бердичевский В. Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Главная редакция физико-математической литературы, 1983. - 447с.

15. Бестужева Л. М. Определение расчетных параметров сцепления арматуры и бетона. Тезисы докладов IV всесоюзной конференции по проблемам "Надежность в строительной механике". М.: Стройиздат, 1975. С. 25.

16. Бирбраер А. Н., Шульман С. Г. Прочность и надежность конструкций АЭС при особых динамических воздействиях. М.: Энергоатомиздат, 1989. - 419с.

17. Болотин В. В. О плотности частот собственных колебаний тонких упругих оболо147чек // Прикладная матем. и механика, 1963. т. 27, вып. 2. С. 362-364.

18. Болотин В. В., Новичков Ю. Н. Механика многослойных конструкций. М.: Машиностроение, 1978. С. 166-177.

19. Бутковский А. Г. Характеристики систем с распределеннными параметрами. М.: Наука, 1979.-224с.

20. Варвак П. М., Пискунов В. Г., Рябов А. Ф. Колебания многослойных оболочек. В кн.: Тр. VIII Всесоюз. Конференции по теории оболочек и пластин (Росгов-на-Дону, 1971). - М.: Наука, 1973. С. 415-420

21. Векслер Н. Д., Нигул У. К. К теории волновых процессов при осесимметричной деформации сферической оболочки // Инженерный журнал, Механ. тверд, тела, № 1. С. 74-80.

22. Векуа И. Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек. М.: Наука, 1982. - 286с.

23. Власов В. 3. Общая теория оболочек. М.-Л.: ГИТТЛ, 1949. - 784с.

24. Волков И. К., Канатников А. Н. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Изд. МГТУ им. Н. Э. Баумана, 1996. - 225 с.

25. Вольмир А. С. Гибкие пластинки и оболочки. М.: Гостехиздат, 1956. - 461с.

26. Галимов Н. К., Саченков А. В. Определение частот свободных колебаний и устойчивость пологих трехслойных сферических оболочек и плоских пластин. В кн.: Исследования по теории пластин и оболочек, вып. 6-7, Казань: КГУ, 1965. С. 148-156.

27. Галинып А. К., Гурьянов Н. Г. О математических аналогиях в теории пологих сферических оболочек и пластин, учитывающей поперечные сдвиги // Механика полимеров, 1972, № 2. С. 338-345.

28. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. - 548 с.

29. Геккелер И. В. Статика упругого тела. М.: ОНТИ ГТТИ, 1934. - 287с.

30. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщённые функции.Вып.2. М.: Физматгиз, 1958. -310с.

31. Гобсон Е. В. Теория сферических и эллипсоидальных функций. М.: ИЛ, 1952. -476 с.

32. Гольдберг А. А Островский И. В. Распределение значений мероморфных функций. М.: Наука, 1970. -591с.

33. Гольденвейзер А. Л. Теория тонких упругих оболочек. М.: Наука, 1976. - 510с.

34. Гольденвейзер А. Л., Лидский В. Е., Товстик П. Е. Свободные колебания тонких148упругих оболочек. М.: Наука, 1979. - 383 с.

35. Гольдсмит В. Удар. Теория и физические свойства соударяемых тел. М.: Строй-издат, 1965. - 448 с.

36. Горшков А. Г. Взаимодействие ударных волн с деформируемыми преградами // Итоги науки и техники. Сер. Мех. Деформ. тверд, тела. Т. 13. М.: ВИНИТИ, 1980. С. 105-186.

37. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Теория вольтерровых операторов в гильбертовом пространстве и ее приложения. М.: Наука, 1967. - 508 с.

38. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. -М.: Физматгиз, 1963. -1100 с.

39. Григолюк Э. И., Корнев В. М. Обоснование уравнений трехслойных пластин несимметричной структуры с жестким заполнителем. // Изв. АН СССР, Механика твердого тела, 1966, № 6. С. 89-97.

40. Григолюк Э. И., Селезов И. Т. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек (Механика твердых деформируемых тел, т. 5), М.: ВИНИТИ, 1973. -272с.

41. Григолюк Э. И., Чулков П. П. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек. -- М.: Машиностроение, 1973. 170 с.

42. Григоренко Я. М. Изотропные и анизотропные слоистые оболочки вращения переменной жесткости. Киев : Наукова думка, 1973. - 228 с.

43. Гродский Г. Д. Теория гармонических функций (в частности потенциальных) и приложение их к интегрированию уравнений теории упругости. Диссертация на звание штатного преподавателя Михайловской артиллерийской академии, 1902. 602 с.

44. Дайн Е. А., Луковенко С. А., Харькова Н. В. К проблеме внутренних резонансов в теории колебаний тонких оболочек. М., 1977, 51 а (Препринт № 97 / Ин-т проблем механики АН СССР). - 25с.

45. Динник А. Н. Удар и сжатие упругих тел. Избранные труды. Т. 1. Киев : Изд-во АН УССР, 1952.-489 с.

46. Еленицкий Э. Я. Динамический анализ частот и перемещений упруго закрепленной пологой сферической оболочки типа Тимошенко // Сб. "Расчет пространственных строительных конструкций" КуИСИ, Куйбышев, вып. ХП, 1987. С. 31-39.

47. Еленицкий Э. Я. Нестационарная задача динамики для пологой сферической оболочки с конечной сдвиговой жесткостью. Дис. . канд. техн. наук. - Куйбышев, 1990. - 220 с.

48. Журина М. И., Карамзина JL Н. Таблицы функций Лежандра P™/2+iT(z). М.: Издво АН СССР, 1960.-319 с.

49. Земанян А. Г. Интегральные преобразования обобщенных функций. М.: Наука, 1974. - 395 с.

50. Зукас Дж., Николас Т. и др. Динамика удара. М.: Мир, 1985. - 381 с.

51. Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984. - 750с.

52. Кильчевский Н. А. Основы аналитической механики оболочек. Киев: Изд. АН УССР, 1963.-253с.

53. Кильчевский Н. А. Теория соударения твердых тел. Киев : Изд-во АН УССР, 1969.-245 с.

54. Кириллов А. П., Саргсян А. Е. Напряженно-деформированное состояние железобетонной оболочки под действием локальной кратковременной нагрузки. М.: Информэнерго, 1984. - 72 с.

55. Кирхгофф Г. Механика (Лекции по математической физике), М.: Изд. АН СССР, 1962. -214с.

56. Коваленко А. Д. Избранные труды. Киев: Наукова думка, 1976. - 762 с.

57. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989. - 623 с.

58. Королев В. И. Слоистые анизотропные пластинки и оболочки из армированных пластмасс. М.: Машиностроение, 1965 - 272 с.

59. Круглов Ю. А, Туманов Ю. А. Ударовиброзащита машин, оборудования и аппаратуры. Ленинград, "Машиностроение", 1986. - 221с.

60. Крылов А. Н. О некоторых дифференциальных уравнениях. С.-Петербург. Типография Императорской академии наук. 1914. 364 с.

61. Крысько В. А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1976. - 216 с.150

62. Левитан Б. М. Разложение по собственным функциям. М.: ГИТТЛ, 1950. - 159 с.

63. Лизарев А. Д. О вычислении логарифмической производной присоединенных функций Лежандра/УЖурнал вычислительной математики и математической физики, 1973, т. 13, №6. С. 1588-1591.

64. Лизарев А. Д. О низших частотах собственных осесимметричных колебаний непологих сферических оболочек//Инж. журн. Механика твердого тела, 1967, № 3. С. 66-72.

65. Лизарев А. Д., Ростанина Н. Б. Колебания металлополимерных и однородных сферических оболочек. Минск: Наука и техника, 1984. -192 с.

66. Лизарев А. Д., Ростанина Н. Б. Уравнения свободных колебаний непологих трехслойных сферических оболочек // Изв. АН СССР, Механика твердого тела, 1978, №4. С. 142-148.

67. Лужин О. В. К определению частот колебаний безмоментного сферического купола. В кн.: Исследования по теории сооружений, вып. X. М.: Госстройиздат, 1962. С. 3-9.

68. Лурье А. И. Статика тонкостенных упругих оболочек. -М.: Гостехиздат, 1947. -350с.

69. Лычев С. А. Расчёт трёхслойной непологой сферической оболочки на воздействие нестационарной динамической нагрузки//Сб. Математическое моделирование и краевые задачи. Пятая научная межвузовская конференция. Самара, 1995. С.75-76

70. Лычев С. А. К вычислению усилий и ускорений в задачах динамической теории оболочек//Сб.Исследования в области архитектуры и строительства. Самара, 1996. С.31

71. Лычев С. А. Сидоров Ю. А. Формализация процедуры вывода уравнений многослойных оболочек в системе компьютерной алгебры "MATHEMATICA7/C6. Численные и аналитические методы расчёта конструкций. Труды международной конференции. Самара, 1998. С.279-284.

72. Люк И. Специальные математические функции и их аппроксимации. М.: Мир, 1980.-608с.

73. Ляв А. Математическая теория упругости. М.-Л.: ОНТИ, 1935. - 647с.

74. Маричев О. И. Метод вычисления интегралов от специальных функций (теория и таблицы формул). Минск: Наука и техника, 1978. - 310 с.

75. Мартыненко Н.А, Пустыльников Л.М. Конечные интегральные преобразования и их применение к исследованию систем с распределёнными параметрами. М.: Наука. 1986. -303с.151

76. Методические рекомендации МР 34-82. Расчеты и испытания на прочность. Метод расчета собственных частот и форм колебаний трехслойных и однородных сферических оболочек. М.: Госстандарт СССР, ВНИИНМАШ, 1982. - 43 с.

77. Мупггари X. М., Галимов К. 3. Нелинейная теория упругих оболочек, Таткниго-издат, 1957. 510с.

78. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука,1969. -526.

79. Немировский Ю. В. Андреев А. Н. К теории упругих многослойных анизотропных оболочек // Изв. АН СССР, МТТ, 1977, № 5. С. 87-96.

80. Нигул У. К. Волновые процессы деформации оболочек и пластин // Тр. VI Всес. конференции по теории оболочек и пластин. М.: Наука, 1966. С. 846-883.

81. Нигул У. К. Сопоставление результатов анализа переходных волновых процессов в оболочках и пластинах по теории упругости и приближенным теориям // Прикладная матем. и механика, 1969, т. 33, вып. 2. С. 308-322.

82. Новацкий В. Динамика сооружений. М.: Госстройиздат, 1963. - 376 с.

83. Новожилов В. В. Теория тонких оболочек. М.: Судпромгиз, 1951. - 470с.

84. Общие положения обеспечения безопасности атомных станций при проектировании, сооружении и эксплуатации (ОПБ 82) // Сборник нормативных материалов по безопасности АЭС. М.: Энергоатомиздат, 1984. С. 5-29.

85. Ониашвили О. Д. Некоторые динамические задачи теории оболочек. М.: Изд. АН СССР, 1957.- 194с.

86. Пелех Б. Л. Теория оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. Киев "Наукова думка", 1973. - 248с.

87. Петрашень Г. И., Молотков Л. А. О колебаниях однородных и слоистых пластин // Теория оболочек и пластин: Сб. научн. тр. / АН Арм. ССР, Ереван, 1964. С. 788794.

88. Петров В. В., Овчинников И. Г., Ярославский В. И. Расчет пластин и оболочек из нелинейно-упругого материала / Под ред. В. В. Петрова. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1975. - 133 с.

89. Петровский И. Г. Лекции по теории интегральных уравнений. М.: Наука, 1965. -128 с.

90. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1970. - 279 с.

91. Пикуль В. В. Теория и расчет оболочек вращения.-М.: Наука, 1982,- 158с.

92. Пискунов В. Г. Мембранная аналогия для задачи колебаний многослойной сфе152рической оболочки // Прикл. механика, 1976, т. 12, № 11. С. 40-44.

93. Плеснер А.И. Спектральная теория линейных операторов. -М.: Наука, 1965. -624с.

94. Попов Н.Н., Расторгуев Б.С. Расчёт железобетонных конструкций на действие кратковременных динамических нагрузок. М.: Стройиздат, 1984. -150с.

95. Прохоров Б. Ф., Кобелев В. Н. Трехслойные конструкции в судостроении. JL: Судостроение, 1972. - 344 с.

96. Пшеничнов Г. И. Теория тонких упругих сетчатых оболочек и пластин. М.: Наука, 1982. - 352 с.

97. Работнов Ю. Н. Уравнения пограничной зоны в теории оболочек//ДАН СССР, 1945, т 47, №5. С. 45-52.

98. Рассказов О. А., Соколовская Н. И., Шульга Н. А. Теория и расчет слоистых орто-тропных пластин и оболочек. Киев: Вища школа, 1986. - 191 с.

99. Рекач В. Г. Руководство к решению задач прикладной теории упругости. М.: Высшая школа, 1973. -302 с.

100. Релей. Теория звука, т. 1. -М.: Гостехиздат, 1955. 503с.

101. Ржаницын А. Р. Пологие оболочки и волнистые настилы. М.: Госстройиздат, 1960. - 128 с.

102. Сеницкий Ю. Э. Биортогональные многокомпонентные конечные интегральные преобразования и его приложения к краевым задачам механики // Известия вузов. Математика. 1996. №8. С. 71 -80.

103. Сеницкий Ю. Э. Динамическая задача для пологой сферической оболочки в постановке теории типа Тимошенко // Сб. "Вопросы прочности и долговечнотси элементов авиационных конструкций", КуАИ, Куйбышев, 1983. С. 64-74.

104. Сеницкий Ю. Э. Динамическая задача для цилиндра и сферы//Сб. "Расчет пространственных строительных конструкций" КуИСИ, Куйбышев, вып. П, 1971. С. 138-170.

105. Сеницкий Ю. Э. Исследование упругого деформирования элементов конструкций при динамических воздействиях методом конечных интегральных преобразований. Саратов. Изд-во СГУ, 1985, - 176с.

106. Сеницкий Ю. Э. К исследованию динамики непологой сферической оболочки // Известия вузов. Строительство и архитектура, №7,1981. С. 37-43.

107. Сеницкий Ю. Э. К решению динамической задачи для пологой сферической обо-лочки/ЯГрикладная механика, т.2, № 3,1966. С. 15-20.

108. Сеницкий Ю. Э. Метод конечных интегральных преобразований в расчетах пологих сферических оболочек на действие импульсных и подвижных нагрузок//Сб.153

109. Расчет пространственных строительных конструкций", КуИСИ, Куйбышев, вып. Ш, 1973. С.7-35.

110. Сеницкий Ю. Э. Метод конечных интегральных преобразований и его перспектива в решении краевых задач прикладной теории упругости (обзор) //Тр. Международной конференции «Численные и аналитические методы расчтеа конструкций» Самара, 1998. С.10-41.

111. Сеницкий Ю. Э. Многокомпонентное обобщенное конечное интегральное преобразование и его приложение к нестационарным задачам механики // Известия вузов. Математика, 1991., №4. С. 57-63.

112. Сеницкий Ю. Э. Нестационарная динамическая для неоднородных анизотропных толстостенных цилиндрических и сферических оболочек// Сб. "Прикладные проблемы прочности и пластичности", вып. 49, Ниж. Новгород, ГГУ, 1991. С.63-72.

113. Сеницкий Ю. Э. Нестационарная задача динамики для трехслойной непологой сферической оболочки//Строительная механика и расчет сооружений, № 6, 1990. С. 55-61.

114. Сеницкий Ю. Э. О вычислении некоторых квадратур, содержащих цилиндрические функции. // Межвуз. сб. научн. тр. "Расчет пространственных строительных конструкций". Куйбышев. Куйбыш. инж.-строиг. ин-т. 1974. Вып. IV. С. 102-104.

115. Сеницкий Ю. Э. О некоторых тождествах, используемых при решении краевых задач методом конечных интегральных преобразований // Дифференциальные уравнения, т. XIX, № 9,1983, с. 1636-1638.

116. Сеницкий Ю. Э. О построении общего решения неосесимметричной динамической задачи для пологой сферической оболочки с конечной сдвиговой жестко-стью//Прикладная механика, т. 25, № 7,1989. С.57-66.

117. Сеницкий Ю. Э. Обобщенные биортогональных конечные интегральные преобразования и их приложение к нестационарным задачам механики //Доклады РАН 1995. Т.341.№4. С.474-477.

118. Сеницкий Ю. Э. Обратные задачи динамики для неоднородных анизотропных цилиндра, сферы и стержня//Сб. "Сопротивление материалов и теория сооружений", Киев, Будивельник, 1984, вып. 45. С. 27-32.

119. Сеницкий Ю. Э. Расчет неоднородных анизотропных цилиндра и сферы при действии произвольной радиально-симметричной нагрузки//Прикладная механика, т. 14, №5,1978. С. 9-15.

120. Сеницкий Ю. Э. Расчет непологой сферической оболочки конечно-сдвиговой жесткости на действие произвольной осесимметричной динамической нагрузки//154

121. Известия вузов. Строительство и архитектура, №2,1990. С. 46-51.

122. Сеиицкий Ю. Э. Расчет пологой сферической оболочки на действие произвольной динамической нагрузки//Прикладная механика, т.4, № 4,1968. С. 66-74.

123. Сеницкий Ю. Э. Сходимость и единственность представлений, определяемых формулой обращения многокомпонентного обобщенного интегрального преобразования // Известия вузов. Математика, 1991, №9. С. 53-56.

124. Сеницкий Ю. Э. Удар вязкоупругого тела по пологой сферической оболочке // Известия АН СССР, МТТ, № 2,1982. С.138-143.

125. Сеницкий Ю. Э., Еленицкий Э. Я. Исследование локального ударного взаимодействия материального тела с пологой сферической оболочкой // Изв. вузов. Строительство и архитектура, 1983, № 12. С. 32-36.

126. Сеницкий Ю. Э., Еленицкий Э. Я. К анализу модели упругого удара в динамике сооружений // Изв. вузов. Строительство и архитектура, 1988, № 4. С. 39-43.

127. Сеницкий Ю. Э., Коновалова JI. М. Нестационарная неосесимметричная задача динамики для пологой сферической оболочки // Сб. "Расчет пространственных строительных конструкций", КуАСИ, Куйбышев, вып. ХШ, 1990. С.139-150.

128. Сеницкий Ю. Э., Коновалова JI. М. Об учете тангенциальных сил инерции при анализе динамической реакции пологой сферической оболочки// Известия вузов. Строительство и архитектура, №1, 1985. С. 48-53.

129. Сеницкий Ю. Э., Коновалова JI. М. Решение осесимметричной динамической задачи в перемещениях для круговой в плане пологой сферической оболочки//Сб. "Расчет пространственных строительных конструкций", КуИСИ, Куйбышев, вып. Ш, 1973. С.7-35.

130. Сеницкий Ю. Э., Лычев С. А. Нормирование собственных и присоединённых век-тор-функций//Сб. Дифференциальные уравнения. Интегральные уравнения. Специальные функции, Самара, 1997. С.127-129.

131. Сеницкий Ю. Э., Лычев С. А. Динамика трёхслойных сферических оболочек с несимметричной структурой слоев// Надёжность строительных элементов и систем. Труды международной научно-технической конференции. Самара, 1997. С.67-71.

132. Сеницкий Ю. Э., Лычев С. А. Динамика трёхслойных сферических оболочек несимметричной структуры/ЛГруды XVIII международной конференции по теории оболочек и пластин. Саратов, 1997, т. 1. С.47-52.

133. Сеницкий Ю. Э., Лычев С. А Определение нормы ядер конечных интегральных преобразований и их приложение//Изв. вузов. Математика, 1999, №8. С. 59-69.

134. Сеницкий Ю. Э., Лычев С. А. Расчет тонкостенных железобетонных защитных конструкций на локальные динамические воздействия // Изв. вузов. Строительство, 1995, №3. С. 3-8.

135. Сеницкий Ю. Э., Шляхин Д. А. Ударное взаимодействие тел конечной жесткости с тонкостенной преградой // Изв. вузов. Строительство, 1993, № 1. С. 36-41.

136. Слепян Л. И., Яковлев Ю. С. Интегральные преобразования в нестационарных задачах механики. Л.: Судостроение, 1980. - 344 с.

137. Смирнов А. Ф., Александров А. В., Шапошников H. Н. Лащеников Б. Я. Строительная механика. М.: Стройиздат, 1981. - 512 с.

138. Сокольников И. С. Тензорный анализ. М.: Наука, 1982. -382 с.

139. Столяров H. Н., Дедов Н. И., Симаков А. Н. Оптимизация цилиндрических оболочек при термосиловом нагружении // Вестник СамГУ, 1998, №2(8). С. 122-127.

140. Столяров H. Н. Об одном эффективном методе решения геометрически и физиче156ски нелинейных задач теории оболочек // Прикладная механика АН УССР, т. 13, вып. 11. С. 126-129.

141. Строительство атомных электростанций. Под ред. Дубровского В. Б. М.: Энер-гоатомиздат, 1987. - 245с.

142. Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле. М.: Наука, 1967. - 444с.

143. Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.:ГИФМЛ, 1963.-630с.

144. Титчмарш Э. Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. М.: Иностранная литература, 1960. -276с.

145. Уитгекер Э. Т., Ватсон Д. Н. Курс современного анализа. Трансцендентные функции. М.: Физматгиз, 1963. - 515 с.

146. Улитко А. Ф. Метод собственных векторных функций в пространственных задачах теории упругости. Киев, "Наукова Думка", 1979. - 264 с.

147. Уфлянд Я. С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. M.-JI: Изд-во АН СССР, 1963. - 367 с.

148. Учет чрезвычайных ситуаций, возникающих в результате деятельности человека, при выборе площадок для атомных электростанций. Руководство по безопасности. № 50-SG-S5. Вена: МАГАТЭ, 1983.

149. Филин А. П. Элементы теории оболочек. JL: Стройиздат, 1987. - 384 с.

150. Филлипов А. П. Колебания деформируемых систем. М.:Машиностроение, 1970. -734 с.

151. Флюгге В. Статика и динамика оболочек, М.: Госстройиздат, 1961. - 354 с.

152. Хан X. Теория упругости. М. : Мир, 1988, - 343 с.

153. Хатсон В, Пим Дж. Приложения функционального анализа и теории операторов. -М.: Мир, 1983.-431с.

154. Цейтлин А. И. Прикладные методы решения краевых задач строительной механики. М.: Стройиздат, 1984. - 334 с.

155. Черных К. Ф. Линейная теория оболочек. Л.: Изд-во ЛГУ, 1962, Т. 1. - 247 с.

156. Шипицина Е. М. Осесимметричные собственные колебания незамкнутого шарового слоя. Изв. АН СССР, Механика твердого тела, 1973, № 1. С. 152-156.

157. Шмаков В. П. О колебаниях непологих сферических оболочек. Изв. АН СССР, Механика твердого тела, 1973, №5. С. 129-136.

158. Шпакова С. Г. О погрешностях двумерных теорий оболочек в задачах о собствен157ных колебаниях сферической оболочки. Докл. АН УССР, сер. А, 1976, №8. С.736-738.

159. Эдварде. Ряды Фурье в современном изложении. -М.: Мир, 1985. Т. 1 .-400с.

160. Basset А. В. A Treasure on the geometry of surfaces. Cambridge. Deighton Bell. 1910. -340 p.

161. Chelapati С. V. Probabilistic assessment of aircraft hazard for nuclear structures // Nucl. Engng. AndDes., 1972, v. 19. P. 75-102.

162. Cinnelli G. Dynamic vibrations and stresses in elastic cylinders and spheres // Trans. ASME, 1966, ser. E, № 4. P. 825-830.

163. Culkovski P. M., Reismann H. The spherical sandwich shell under axisymmetric static and dynamic loading. // J. of Sound and Vibration, 1971, v. 14, № 2. P. 229-240.

164. Drittler K., Gruner P. The force resulting from impact of fast-flying military aircraft upon a rigid wall // Nucl. Engng. and Des., 1976, v. 37. P. 245-248.

165. Federhofer K. Zur Berechnung der Eigenscwingungen der Kugelshale // Sitzungsber. Akad. der Wissenschaften Wien, 1937,B. 146,№2A.P. 57-69, 505-514.

166. Gupta A. P. On free vibration of sandwich spherical shells. Indian J. of Pure and Appl. Mathematics, 1970, v. 1, № 4. p. 524-536.

167. Hammel J. Aircraft impact on a spherical shell // Nucl. Engin. and Des., 1976, v.37, № 2. P. 205-223.

168. Kalnins A. Effect of bending on vibrations of spherical shell // J. Acoust. Soc. America, 1964, v. 36, №1. P. 74-81.

169. Kalnins A. On vibration of shallow spherical shells // J. Acoust. Soc. America, 1961, v. 33. P. 1102-1107.

170. Koplik В., Yu Yi-Yuan. Approximate solution for frequencies of axisymmetric vibration of spherical caps. // Trans. ASME, J. Appl. Mech., 1967, v. E34, № 3. P. 785-787.

171. Koplik В., Yu Yi-Yuan. Axisymmetric vibration of homogenious and sandwich spherical caps. // Trans. ASME, J. Appl. Mech., 1967, v. E34, № 3. P. 667-673.

172. Lamb H. On the vibration of an elastic sphere // Proseedings of London Mathematical society, 1882, v. 13. P. 189-212.

173. Lamb H. On the vibration of spherical shell // Proseedings of London Mathematical society, 1883, v. 14. P. 50-56.

174. Meissner E. Mechanic. Basel. Birkhauser Verlah, 1920. -540 p.

175. Mirza S., Singh A. V. Free vibrations of deep spherical shells // J. Eng. Math., 1974, v. 8, №1. P. 71-79.

176. Mirza S., Singh A. V. On non-symmetric vibration of deep spherical sandwich shells // J.of Engineering Mathematics., 1975, v. 9, № 4. P. 333-341.

177. Naghdi P. M., Kalnins A. Axisymmetric vibration of shallow spherical shell // J. Acoust. Soc. America, 1960, v. 32, № 3. P. 342-347.

178. Naghdi P. M., Kalnins A. On vibrations of elastic spherical shells // Trans. ASME, J. Appl. Mechanics, 1962, v. E29, № 1. p. 65-72.

179. Prasad C. On vibration of spherical shells // J. Acoust. Soc. America, 1964, v. 36, № 3. P. 489-494.

180. Reissner E. On the foundations of the theory of elastic shells // XI Intern. Congr. of Appl. Mech. Munich, 1964. Berlin, Heidelberg, New York: Springer Verlag, 1966. P. 20-30.

181. Reissner E. On vibration of shallow spherical shells // Journal of Applied Physics, v. 17, 1946, P. 1038-1042.

182. Reissner H. Graphical statics. Providence, R. 1.1942. -450 p.

183. Riera J. D. On the stress analysis of structures subjected to aircraft impact forces // Nucl. Engng. AndDes., 1968, v. 8. P. 415-426.

184. Shah A. H., Ramkrishnan C. V., Datta S. K. Three-dimensional and shell-theory analysis of elastic wawes in a hollow sphere. 1. Analytical foundation. 2. Numerical results. // Trans. ASME, J. Appl. Mech., 1969, v. E36, № 3. P. 431-444.

185. Singh A. V., Mirza S. Axisymmetric vibration of deep sandwich spherical shells. Proceedings 3rd Canadian Congress on Appl. Mechanics, Calgary, 1971. P. 281-282.

186. Wilkinson J. P. Modal densities of certain shallow structural elements // J. Acoustical Soc. America, 1968, v. 43, № 2. P. 245-251.

187. Wilkinson J. P. The oscillation of sandwich sphere // Trans. ASME, J. Appl. Mech., 1965, v. E32, №3.P. 525-532.

188. Wilkinson J. P., Kalnins A On nonsymmetric dynamic problems of elastic spherical shells // Trans. ASME, J. Appl. Mechanics, 1967, v. E34, № 3. P. 787-789.

189. Yu Yi-Yuan, Koplik B. Torsional vibration of homogenious and sandwich spherical caps and circular plates. // Trans. ASME, J. Appl. Mech., 1967, v. E34, № 3. P. 787-789.61: ои 1 / -Л ¡¿7

190. САМАРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНАЯ1. АКАДЕМИЯ1. На правах рукописи

191. Лычев Сергей Александрович

192. УДК 539.3:517.956.3(043.3)

193. Нестационарные задачи динамики для трехслойных сферических оболочек0102.04-Механика деформируемого твердого тела Приложение к диссертации

194. Научный руководитель доктор технических наук, профессор, Заслуженный деятель науки РФ Ю. Э. Сеницкий1. Самара -199921. Оглавление

195. П 1. Физические компоненты тензора малых деформаций в географическойсистеме координат3

196. П 2. Краевые условия, соответствующие частным способам опиранияоболочки 6

197. П 3 Расчетные формулы для усилий8

198. П 4. Формализация процедуры вывода уравнений динамики для трехслойныхоболочек в системе компьютерной алгебры "МАТНЕМАТ1СА" 10

199. П5. Уравнения движения трехслойных сферических оболочек приразличных уточненных кинематических гипотезах 19

200. П 6. Доказательство сходимости и полноты представлений решений,построенных методом матричных КИП25

201. П 7. Доказательство теоремы о вычислении нормирующей матрицы68

202. П 8. Доказательство теоремы об априорных оценках70

203. П 9. Предельные соотношения для функции Лежандра72

204. П10. Коэффициенты частотного уравнения при частных случаяхзакрепления оболочки на контуре73

205. П 11. Асимптотические представление частотного уравнения77

206. П 12. Оценка скорости сходимости спектральных разложений79

207. П 13. Интегралы нагрузки81

208. П 14. Вычислительная программа 81те11Ехре11;85

209. П 15. Результаты численных расчетов91

210. П 1. Физические компоненты тензора малых деформаций в географической системе координат

211. Рассмотрим географическую систему координат {г,9,ф}, связанную с декартовой координатной системой {x, у, г} следующими соотношениями:

212. X = (К. + г) эт. 9 этф, У= г) БтЭ совф, г=(К+г)со8б. (П 1.1)

213. Из равенства нулю недиагональных элементов етп следует ортогональность географической системы координат.

214. Для вычисления ковариантных производных вначале определим символы Кристоффеля:Гр,шп ~ 2дт дптп1. Поскольку gmn = 0, тоГр,тпо- г = г • гр,тп-Гт,рп

215. Здесь и в дальнейшем символами т, п, р будем обозначать любую из географических координат {г,6,ф}.

216. Учитывая ортогональность координатной системы, определим символы Кристоффеля 2-го рода:9 е re,z9 1

217. ГеФ = гф9 = —— = ctge, ё(рф1. Г\1 уОТ0z ~ 1 z0 ~ „ ~ Т> , „ ' 1 фф ~г1. Z 2>фф1. Аффг,0,ффg0e R + z' = sin 29, Г* = Г* = '-sin2 9 (R + z),ф,гф1gee 2-—' «>z gфф1. R + z'

218. Ковариантные компоненты тензора малых деформаций (Коши-Грина) егemn =7(tom,n+i|,n,in) = ^1. Зшпл1. Зп Зтув географической системе координат имеют следующий вид:1. ZZ