Динамика трехслойной вязкоупругой сферической оболочки тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Сайфутдинов Юсуп Назипович

Динамика трехслойной вязкоупругой сферической оболочки

01 02 04 — механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ООЗ1Ьо(

Чебоксары - 2007

003158778

Работа выполнена в ГОУ ВПО "Самарский государственный университет"

Научный руководитель. доктор физико-математических наук, профессор

Радаев Юрий Николаевич

Официальные оппоненты, доктор физико-математических наук, профессор

Максимова Людмила Анатольевна доктор физико-матемагических наук, профессор Гришин Сергей Анатольевич

Ведущая организация. ГОУ ВПО "Самарский государственный

архитектурно-строительный университет"

уе?

Залцгга состоится " "/У " октября 2007 г в 10" час на заседании диссертационного совета Д 212 271 02 при ГОУ ВПО "Чувашский государственный педагогический университет им И Я Яковлева" 428000, г Чебоксары, ул К Маркса, 38

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО "Чувашский государственный педагогический университет им И Я Яковлева "

Автореферат разослан "

сентября 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета, ' С Ю Рада<ев

канд физ -мат наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы

Исследования собственных и вынужденных колебаний трехслойных оболочек имеют как теоретическое, так и прикладное значение, поскольку подобные конструкции широко применяются в строительстве атомных электростанций, авиации и ракетной технике, энергетическом и химическом машиностроении Это связано, в частности, с тем, что трехслойные оболочки, образуемые тонкими несущими внешними слоями и средним слоем (заполнителем) значительно большей толщины, имеют меньший вес при равной жесткости в сравнении с однородными конструкциями Кроме того, средний слой может выполнять дополнительные конструктивные функции, не связанные с обеспечением жесткости, например теплоизоляционные

При проектировании ответственных сооружений необходимо производить динамические расчеты на сейсмические, аварийные (взрывная волна), природные воздействия (пульсация ветра, ураган), которые основаны на соотношениях для частот и форм собственных колебаний, а также для перемещений и усилий, вызванных неста»-ционарными нагружениями Важной является задача об ударном взаимодействии тела конечной жесткости (самолета, ракеты) и защитной оболочки реакторных отделений АЭС1, которая в ряде существующих проектных решений представляет собой сферическую трехслойную сталебетонную оболочку

Вместе с тем существующие методы расчета даже в рамках известных математических моделей не позволяют достаточно точно описать высокоскоростные процессы деформирования конструкции Методы учета неупругих сил, в частности сил внутреннего вязкого сопротивления (использующие гипотезу частотно-независимого трения), не являются строго обоснованными Таким образом, развитие аналитических методов динамического расчета трехслойных оболочек на основе уточненных математических моделей и их реализация в форме вычислительных алгоритмов представляют актуальные проблемы и задачи прикладной механики деформируемого твердого тела

Целью работы является построение замкнутого решения динамической задачи для сферической оболочки с несимметричной структурой пакета слоев с учетом вяз-коупругих свойств среднего слоя при действии нестационарных, в том числе ударных, нагрузок Эта цель предполагает решение следующих задач

— Вывод новых уравнений движения оболочки и соответствующих краевых условий для наиболее общего (упругого) закрепления на опорном контуре, учитывающих несимметричность пакета слоев и неупругое деформирование среднего слоя

— Построение замкнутого решения соответствующей начально-краевой задачи в форме разложения по собственным и присоединенным функциям несамосопряженных дифференциальных операторов, порождаемых полученным уравнением движения

— Осуществление вычислительного эксперимента для оценки влияния несимметричности пакета слоев и вязкоупругих свойств среднего слоя на распределение

1гГакой расчет, согласно действующим международным нормам МАГАТЭ, является обязательным при проектировании защитных оболочек реакторных отделений АЭС

собственных значений, собственных форм и перемещений оболочки при различных динамических воздействиях

На защиту выносятся следующие положения

— Уравнения движения На основании вариационого принципа Онзагера получены новые уравнения движения трехслойной сферической оболочки с несимметричной структурой пакета слоев и вязкоупругим средним слоем, а также краевые условия, соответствующие наиболее общим (упругим) способам закрепления оболочки на контуре

— Несимметричные конечные интегральные преобразования Построен новый класс несимметричных конечных интегральных преобразований, ядра которых определяются полной системой собственных и присоединенных функций пучка несамосопряженных дифференциальных операторов

— Спектральные представления решения С помощью несимметричных конечных интегральных преобразований получено замкнутое решение начально-краевой задачи о вынужденных колебаниях трехслойной сферической оболочки с вязкоупругим средним слоем

— Численный анализ собственных колебаний На основе построенного решения разработаны и реализованы вычислительные алгоритмы, осуществлен численный анализ влияния асимметрии пакета слоев и вязкоупругих свойств среднего слоя на распределение собственных частот колебаний, а также на собственные формы и перемещения при различных нестационарных нагрузках

Научная новизна диссертационной работы состоит в следующем

— Получены новые уравнения движения и краевые условия для трехслойной сферической оболочки, новизна которых состоит в учете несимметричности структуры пакета слоев и неупругого деформирования среднего слоя

— Введен новый класс несимметричных интегральных преобразований, позволяющий представлять решения несамосопряженных начально-краевых задач в форме спектральных разложений по полной биортогональной системе функций

— Построены новые замкнутые решения нестационарных динамических задач для упругозакрепленных трехслойных сферических оболочек с вязкоупругим средним слоем

— В результате вычислительного эксперимента установлено, что гипотеза о независимости собственных форм от параметров внутреннего трения нарушается в случаях, когда период п-го собственного колебания приближается к величине времени релаксации материала среднего слоя

— Установлено, что первые собственные частоты достигают наибольшего значения для определенных соотношений толщин слоев при фиксированной удельной массе всего пакета слоев Тккие оболочки обладают наибольшей жесткостью при фиксированной массе и в этом смысле могут рассматриваться как оптимальные конструкции

Достоверность обусловлена строгостью постановки задач, построением точных решений в рамках сформулированной модели, а также сравнением частных случаев с известными результатами, полученными другими авторами

Практическая значимость результатов.

— Решена задача оптимального выбора толщин слоев трехслойной сферической вязкоупругой оболочки, обладающей наибольшей жесткостью при фиксированной массе

— Осуществлен расчет защитной оболочки реакторного отделения АЭС ВВЭР -1000 на специальные аварийные воздействия В задаче рассматривается удар тела конечной жесткости (самолета, ракеты) о защитную оболочку реактора Усилия в контактной зоне принимаются в соответствии с экспериментальной диаграммой МАГАТЭ

Апробация работы Основные положения и работа в целом докладывались и обсуждались на следующих конференциях, семинарах и школах

— Научный семинар "Современные проблемы математики и механики " под руководством д-ра физ -мат наук, проф Ю Н Радаева Самара, Самарский государственный университет, 2005-2007 гг

— Научный семинар "Ашировские чтения", Самара, Самарский государственный технический университет, 23-26 октября 2006 г ,

— XXXI—XXXIII Summer School — Conference Advanced Problems m Mechanics St Petersburg, 2003—2005,

- 14-я и 15-я зимние школы по механике сплошных сред Пермь, УрО РАН, 20062007 гг

— Международная молодежная научная конференция "XXXII Гагаринские чтения" Москва, Институт проблем механики РАН, 4-8 апреля 2006 г

— Ежегодные научные конференции преподавателей и молодых ученых Самарского государственного университета Самара, Самарский государственный университет, 2003—2007 гг

— IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике Нижний Новгород, Нижегородский государственный университет им Н И Лобачевского, 22-28 августа 2006 г,

— Семинар по механике деформируемого твердого тела под руководством доктора физико-математических наук, профессора Д Д Ивлева Чебоксары, Чувашский государственный педагогический университет имени И Я Яковлева, июнь 2007г

Публикации По теме диссертационной работы опубликовано 9 печатных работ Все работы выполнены с соавторами на паритетных началах

Структура и объем работы Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы Объем работы —160 страниц, включая 15 рисунков и графиков, 2 таблицы и список литературы из 126 наименований

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении кратко излагается история развития аналитических методов исследования однородных и трехслойных сферических оболочек, приведен обзор литературы по теме диссертации (работы Н А Алтфутова, С А Абрамцумяна, В В Болотина, И Н Векуа, В 3 Власова, А С Вольмира, Н К Галимова, А Л Гольденвейзера, А Г Горшкова, Э И Григолюка, С А Гришин, В И Королева, А И Лурье, С А Лычева, Ю В Немировского, В В Новожилова, В В Петрова, В Г Писку-нова, В В Пикуля, Ю Н Работнова, В Г Рекача, А Р Ржаницина, И Т Селезова, ГО Э Сеницкого, Л И Слепяна, А Ф Смирнова, С П Тимошенко, А П Филина, А И Цейтлина, Н Н Шапашникова, С Войновского-Кригера, А Гупта, А Калнин-са, Б Коплика, С Мирза, П М Нагди, В Новацкого, X Райзмана, Э Рейсснера, А Синха, Дж Уилкинсона, К Федергофера, В Флюгге, П Цулковского, Г Чинелли, Ю В Юаня и др )

Отмечается актуальность темы диссертации, а также формулируются цель и задачи исследования

В первой главе получены новые уравнения движения трехслойных оболочек с вязкоупругим средним слоем и краевые условия, соответствующие наиболее общим способам упругого опирания

Рассматривается сферическая оболочка радиуса Я, образованная двумя тонкими наружными слоями с различными толщинами /13 и средним слоем толщиной ^Э/^^з Внешние слои рассматриваются в постановке мембранной теории, а средний слой - в постановке теории оболочек с конечной сдвиговой жесткостью Предполагается, что в среднем слое развиваются неупругие деформации, в то время как внешние слои деформируются упруго, а способы соединения слоев в единый пакет гарантируют отсутствие их смещения относительно друг друга (проскальзывания) При этих предположениях перемещения и* точек к-то слоя оболочки ограничиваются кинематическими гипотезами

и1 = и+гу, и2 = и-/г_у, и3 = и+Л+у, Л++/г_ = /гь и = (и, V, ш), у = (ф, 7,0) (1)

Здесь верхний индекс "1" относится к среднему слою, индексы "2" и "3" — соответственно к внутреннему и внешнему слоям оболочки, /г+, /г_ — расстояния от нейтральной поверхности П до внешней и внутренней лицевых поверхностей и, V, ю — перемещения точки на поверхности осреднения, -ф, 7 — углы поворота нормалей к ней

Вывод дифференциальных уравнений движения и краевых условий осуществляется на основании вариационного принципа Онзагера (принципа наименьшего рассеяния энергии), который эквивалентен принципу максимальной скорости производства энтропии и может быть сформулирован в виде

где Т — производство энтропии, V — диссипация (потенциал рассеяния), X — термодинамические силы, J — соответствующие им потоки Варьирование осуществляется по потокам Л при фиксированных термодинамических силах X Роль потоков играют скорости изменения "механических" переменных и, V, ги, ф, 7 и скорости изменения

(2)

скрытых переменных состояния щ, , выбор которых согласован с принятыми кинематическими гипотезами

Производство энтропии может быть представлено следующим выражением

Т = ртл-)С-У», = Ркпклхкйь, и/= (3)

к=4=1 ук

где — мощность внешних сил, К. — кинетическая, >У — свободная энергии, рд, — плотность материала к-то слоя, тк — плотность свободной энергии в слое к Поскольку средний слой рассматривается в рамках теории оболочек с конечной сдвиговой жесткостью, то выражение для ги1 может быть сформулировано в следующем специальном виде, позволяющем учесть поправку к распределению касательных ("поперечных") напряжений по толщине оболочки посредством коэффициента поперечного сдвига х

V1 = [(4 - О' + 4 (еу 2] + [4 + +

+ [(4)2 + (4,)2] + [(4» - - + 4 (4, - ^)2] +

+ \к\ [4+4, -%]2 + [(4, -%)2 + - %)2] (4)

Здесь — упругие модули сдвига и всестороннего расширения, а /л", К°—

модули сдвиговой и дилатационной вязкости материала среднего слоя Плотности свободной энергии в упругих внешних (мембранных) слоях определяются выражениями

о <» 1

ш • = 2^2,3

(4Г - 2+4 (4Г>)2] + [42/>+2. (5)

где Ц2,з, — соответственно модули сдвига и всестороннего расширения материалов внешних слоев Компоненты тензоров деформаций в слоях оболочки вычисляются с учетом кинематических гипотез

Ем_ Л + г

4*= 1

{еее+гхю),

1

"у 2(Д+г)

(евр+гхв».),

2(Д+г) 1 ,

Л г (е<«> + -г:Х<№) >

Д + г

(еда Т ГкгХм),

1

43=°. 4=о, 45=о,

ду} , О I

1 ди> _

=-¡V- + Щ-v,

„

2(Я+г)

9...Ч 1 /

1

вш 9 д<р

' Я + г + ctg 6и + и>,

[<Р'Р -Р ^^Х'-р-р) 1

ди

е«в = +

(6)

ду 1 ди

г дв вывду?

1 ду

хвв = -зг (7)

Диссипация V в квадратичном приближении представлена следующей формой

V = I д. ау, а = (т,2 + + к\тI + (т?| + %2) (8)

Здесь Т! — время релаксации при сдвиге в касательной плоскости, — время релаксации при всестороннем расширении, тз — время релаксации при поперечном сдвиге Использование модулей ¡м,К в соотношениях (4), (5) и (8) приводит к наиболее простым зависимостям и представляются автору наиболее естественным, однако в целях сопоставления полученных в диссертации результатов с известными результатами других авторов далее используются технические модули Положение поверхности осреднения П выбирается из условия

-т I,1 + Чм 1 -; V + вли-,1) + ЕМ1 -4)) '

(9)

которое обеспечивает наиболее компактную форму уравнений движения (часть коэффициентов получаемых далее уравнений обращаются в ноль)

Осреднение по толщине осуществляется за счет интегрирования по координате г выражений (3), (8), после чего варьируемый функционал (2) оказывается зависимым только от поверхностных координат в, ¡р, определяющих положение точки на поверхности осреднения П Соответствующие уравнения Эйлера представляют собой уравнения движения и уравнения эволюции скрытых переменных состояния, которые в совокупности с естественными краевыми условиями могут быть представлены в следующей безразмерной операторной форме

Лу 4- ЛгУ + Л>У = *, у| = Уо, у| =У1, У€£> = {у|Ву = 0}, (Ю) 1г=о 1г=о

где у = ,%) — искомая вектор-функция, уо, У1 ~ начальные пе-

ремещения и скорости, f = —Ру, —Рх, —Мф, — Му, 0, , — заданная вектор-

функция, Лг, Аз — операторные коэффициенты, имеющие блочную форму

1-)' г)'• :)

Здесь 6 — единичный оператор, Ац — оператор, определяющий упругое деформирование оболочки, А\2 — оператор, определяющий влияние скрытых переменных на движение оболочки, Ац — оператор, определяющий связь скрытых и кинематических переменных, "Я — матрица безразмерных времен релаксаций, X — матрица инерционных характеристик Явные выражения этих операторов приведены в диссертации В случае осесимметричного деформирования (т е все поля не зависят от угловой координаты ¡р) они принимают вид

(В + К)& К-Н \

Ап = —(В + К)Аи К А -2 В (К- Я) А

\ К-Н (Н-Щ ВА-^ + Р-К)

/ 2£сР^ Я \

-4.12 = 1 о -2Р ,

Ли =

скв-й

1

■Я--

X =

л д2 пд

A = W + cteeTe

В уравнениях введены безразмерное время t = ty/Bl{R\/pi(1 — г/2)), безразмерные линейные перемещения « = u/Ä, v = d/H, гй = w/R, безразмерные тангенциальные, нормальные и моментные нагрузки, приведенные к поверхности осреднения = я вХ' ' = д'-еГЙ ' ^ = ^Epif Последние могут быть вычислены при известных интенсивностях тангенциальных /е-ь, /в— и нормальных fz+,fz- нагрузок, приложенных к внешним (+) и внутренним (—) лицевым поверхностям оболочки по следующим формулам Fe = + /„_, Д = +

> Мв = _ iS=h^Lh_U_

Явный вид оператора краевых условий 25 для границы Г произвольной формы приведен в тексте диссертации В осесимметричном случае границы проходят вдоль параллелей (на разрезе по меридиану указываются условия периодичности, а в особых точках — условия ограниченности), и оператор краевых условий определяется следующим образом

(В п-ßo

ßjl J У

где матрица Во определяет упругие характеристики опорного контура, операторные матрицы Вп, Bi2 определяют опорные усилия (соответственно обратимые и необратимые) и задаются выражениями /(A-Octge+Л^ 2В

Яц=(

\ Holge

а операторные матрицы В21, ®22 определяют согласование кинематических и скрытых переменных на границе Постоянные безразмерные коэффициенты А, В, С, D, F, характеризующие жесткость оболочки, могут быть вычислены по следующим формулам

1-

Ву

-е

(П)

н ctg»

(^ = 44?)' (12)

■1-1/2

В = (1+i/x)

1+.Е,

-¡/j

1—1/2

Д-г/i

1-г/з

£> =

1

4 Я*2 l-^-i 4Д*2

1+г/2

И-г/sJ ,/2

Ч'-Ч'чО-Ч+'йг»

1-ff 1+1/1J

1 1 —г/? 1

А 1-z/f

(13)

Здесь Е. = В* = Коэффициент К характеризует распределение касательных напряжений по толщине

i безразмерный коэффициент Н ■

Я =

— асимметрию структуры пакета слоев ,2

(14)

(15)

Инерционные характеристики элементарного объема определяются безразмерными коэффициентами Iд

2 "

Л

2

2

к

(16)

Неупругие свойства среднего слоя определяются безразмерными коэффициентами

а также безразмерными временами релаксации п, Тг, т3

Следует отметить, что если полагать времена релаксации Г1,т2,тз сколь угодно большими, а соответственно скрытые переменные щ, щ тождественно равными нулю, то уравнения (10) приводятся к уравнениям упругого движения оболочки с несимметричной структурой пакета слоев, исследованых в работах С А Лычева, а если считать толщины и механические характеристики внешних слоев равными, то уравнения (10) сводятся к хорошо известным уравнениям движения трехслойных сферических оболочек с симметричной структурой слоев, исследованных в работах П Цулковского, Б Коплика, Ю Э Сеницкого Поскольку скрытые переменные состояния выражаются через перемещения путем интегрирования дифференциальных уравнений (по времени) первого порядка, то построенная модель может быть классифицирована как обобщенная модель Максвелла В этом состоит преимущество предлагаемой модели перед известными моделями, основанными на законах состояния типа Фойхта, не способных описывать начальную фазу высокоскоростных и ударных воздействий

Во второй главе для решения несамосопряженных начально-краевых задач построен новый класс несимметричных конечных интегральных преобразований, ядра которых определяются полной биортогональной системой собственных и присоединенных функций пучка несамосопряженных дифференциальных операторов Прямое интегральное преобразование трансформирует несамосопряженную начально-краевую задачу в последовательность задач Коши, допускающих решение элементарными методами, а обратное преобразование позволяет представить искомое решение в форме разложения по системе собственных и присоединенных функций операторного пучка Метод построения решения является обобщением метода биортогональ-

Е,

ных интегральных преобразований, введенных Ю Э Сеницким и С А Лычевым, и излагается в общем виде

На множестве комплекснозначных п-мерных вектор-функций, интегрируемых с квадратом на интервале (а, 6), вводится гильбертово пространство Iсо скалярным произведением

ь

(V,™) = I (18)

а

где V, w € Ь^, ц — симметричная невырожденная матрица весовых функций, Т — знак транспонирования, т^ — вектор, комплексно-сопряженный к V/ Симметричность и невырожденность ц обеспечивают положительную определенность метрики Щ,

В области (3 = {(о, Ь) х [0, ¿1 < оо рассматривается задача Коши с операторными коэффициентами

г=0

= у?)(*)> у(М)е®, (19)

¡=о

причем операторы А1 имеют общую область определения 33*, задаваемую оператором краевых условий Ъ

® = {у|у е£'л®(у) = 0}, Ъу{х) = Ъау{х) + Ъъу{х) (20)

Операторные коэффициенты в выражениях (19), (20) могут быть представлены в следующем виде

3=о з=о *=а 3=о

(21)

Задача (10) является частным случаем задачи (19)

Задаче Коши (19) соответствует полиномиальный пучок дифференциальных операторов

т

£Л = ]ГА\А„ (22)

8=0

где А - комплексный параметр Операторному пучку ставится в соответствие сопряженный пучок

т

= (23) 1=0

Его коэффициенты А* и область определения ® находятся из условия

Уи Уу (и 6 В Л V е 1>1) & ((йди, V) - (и, ИXV) = 0) (24)

В диссертации получены явные выражения для операторов А* через операторные коэффициенты пучка (22)

Собственные функции пучка отыскиваются как решения обобщенной задачи Штурма-Лиувилля

= 0, = 0, (25)

а присоединенные - из решений последовательности неоднородных краевых задач

®С,_, = 0 (26)

з=1 3

В диссертации разработана процедура определения алгебраической и геометрической кратностей собственных значений, позволяющая определить максимальную длину в цепочки присоединенных функций и, следовательно, количество итераций в (26) Собственные и присоединенные функции сопряженного пучка определяются из решений следующих краевых задач

= згс; = о, = ъа;_, = о (г?)

1=1 3

Система собственных и присоединенных функций сопряженных пучков определяет конечные интегральные преобразования Эг, 3

1 00 ¥> = У*и = --(ЭС*,Л0и), и = Зр = ^ЗС,0,<р, (28)

где ЗС,, ЗС* — матричные ядра

X = , ОС* = (в* С*_!

С)г — нормирующая матрица, А, (г = 1, , оо) — собственные значения операторного пучка

В диссертационной работе доказывается взаимность прямого и обратного преобразований (I, I' — соответственно тождественные операторы в пространствах оригиналов и изображений)

Э*Г = Г, ¡ГУ = I (29)

Доказательство основано на свойствах полноты и базисности биортогональной системы собственных и присоединенных функций пучка дифференциальных операторов, которые вытекают из асимптотической оценки нормы резольвенты пучка Кроме того, доказывается операционное свойство

т

ЗГрТзх-о, (3°)

«=0

позволяющее преобразовать исходную начально-краевую задачу к счетной последовательности задач Коши

Построение спектрального представления решения начально-краевой задачи (19) вначале осуществляется для линейного операторного пучка, т е для начально-краевой задачи, в которой присутствуют производные по времени только первого порядка

Ах *) + Аоу(х, ¿) = £(ж, г), у(х, г)

= Уо(®), у(М)е® (31)

Действуя на левую часть (31) и краевые условия прямым преобразованием Эг*, получаем в пространстве изображений равенство

УАоу + ГА&у^ЭЧ (32)

Поскольку операторы У и А\ не зависят явно от переменной 4, то допустима коммутация операторов с^ и УАь те

ГАоУ + йГА^ЭТ (33)

Воспользовавшись операционным свойством (30)

т г

[ЛТ] ЭХА, = 0 ТАау + ЛТУЛ1у = 0, (34)

1=0

приведем уравнение (33) к виду

(аД-Лт)^ = Ф, (35)

где 99 = ЭАу, Ф = ЭТ, Л — блочно-диагональная жорданова матрица, блоки которой в-мерны Обращая оператор (3(1 — Л ), приходим к выражению

Ч>= (аД-ЛТ)_1Ф (36)

Если теперь принять во внимание обратимость интегрального преобразования (29), то решение задачи (31) можно представить в виде

у = 5-(Э(1-ЛТ)_1ЭТ (37)

Формулируя оператор (бД—ЛТ) 1 в терминах матричной экспоненты и учитывая начальные условия для у>о = 3**-Ауо, окончательно получим следующее представление решения

Г г*

ехр(ЛТ^УЛ1у0 + / ехр [ЛТ(4 — т)]Эг*Г(г) йт

Л

В общем случае задача (19) может быть сведена к (31), если положить ух = у и сформулировать расширенную систему операторных уравнений и определить начальные условия следующим образом

У = *

(38)

АоУ\ + = д1Уг-1 ~ Уг = 1 = 2' т' у'

_ д'-1

4=0

-У Г}

(39)

Начально-краевой задаче (39) соответствует линейный пучок, действующий в расширенном пространстве вектор-функций Щ = (Щ)"1

+ Л^! = 0, (40)

где операторы 9€од образуются из блоков Л, полиномиального пучка

Ла —

(Ай О О -I

\ О О

(А\ Л2 I О

\ О О

♦^•771 — 1 ^Г7г\

0 о

1 о /

Сопряженный к (40) пучок определяется операторными коэффициентами сопряженного пучка

К; + Ла<* = 0, (42)

Мо 0 0

Я? = 0 -I 0

и 0 -I

( А\

Щ =

0\

0

1

О/

(43)

V Кь О

Повторяя построения, приведенные выше для линейного пучка, получим представление решения в виде

У = 3"

III- III

г=1 з=г •/о

С?Т

(44)

Следует отметить, что полученные спектральные представления в классе вектор-функций, интегрируемых с квадратом, по своей структуре подобны разложениям по системам скалярных собственных и присоединенных функций, введенных М В Келдышем

С помощью определенных выше интегральных преобразований получено замкнутое решение начально-краевой задачи о вынужденных колебаниях трехслойной сферической оболочки с вязкоупругим средним слоем в форме квадратично сходящегося разложения При этом собственные функции определяются из решений системы дифференциальных уравнений, которая получается из системы уравнений обобщенной задачи Штурма—Лиувилля после исключения компонент, соответствующих скрытым переменным состояния, и имеет следующий вид

М1К - (# + А^^Мз^К - А2^К = 0, К = (Ки, Кш, Кф) (45)

Эта система в результате введения потенциалов П = Ф = преобразуется к системе линейных уравнений с постоянными коэффициентами относительно оператора Лежандра

д2

ЬоДя + (Ьг — г = 0, Д = ^ +

<90'

Ъо = В + К

л

л~ ТТл^Г

2 Р2+£2

1+Л-П2 ЬМ+РЯ Я(1+Лтз)

к-

З2 1+Л72

РО+ЬМ ¿(1+Лп)

X — Н — ^-ЗР2

о

Р(1+Лт2) п _ Мг+Р<3 " г(1+Ат3) /

ъ,=

О 2В - 4-57=4-, О

\K-H-

в2+21М 5(1+Лт3)

1Р(1+Лт2)

н-к-

Я(1+Лтз)

Р-К-

2 М2-Я2 ' 5(1+Лгз)/

(46)

(47)

(48)

что позволяет свести задачу интегрирования системы (45) к интегрированию порождающего скалярного уравнения

ДЦ0)+ С(С + 1)Ц9) = О,

(49)

решения которого представляют собой известные (и реализованные в пакетах программирования) функции Лежандра (P^costf), Qe(cosí?)) В результате решения, системы могут быть представлены в виде(выписаны только решения, определяемые функциями Лежандра первого рода)

К„

Кт

Í К-Н+

Щ1+Щт

2B+hx

p\

_1(cos 9),

C-K-hX -A(--¿(I+Лп) H+K+ P(1+S,T2)

p т i n i

5 K-H+

S1+2PQ

41+»n)

p?

_j(cos0),

h\2+C-K+A(-í K+B-

f€-2 )L2+S2+P2g

¿(riA+l) S2+2P2 ' Р(1+Лт2)

-Plyra.iícosÉ

(50)

(51)

где £ = £ь£2,£з — корни характеристического уравнения

(Ь0£ + (Ь! - = 0

Частные решения (50) образуют фундаментальную матрицу У В результате подстановки У в краевые условия получается однородная система линейных алгебраических уравнений относительно постоянных интегрирования, которые и определяют искомые собственные функции Собственные значения Л, находятся как корни определителя этой системы (спектрального уравнения пучка) В диссертации разработана специальная методика определения кратности собственных значений и анализа "ква-зикратностей"(близкое расположение собственных значений), согласованная с заданной степенью погрешности вычислений В случаях кратных собственных значений и наличия присоединенных функций последние также могут быть выражены через функции Лежандра Таким образом, все компоненты представления решения (44) определяются в аналитической форме, что позволяет назвать построенное решение замкнутым

В третьей главе осуществляется численный анализ полученных частот и форм собственных колебаний в зависимости от физических и геометрических параметров конструкции Исследовано влияние вязкостных характеристик среднего слоя на собственные формы колебаний

Заметим хорошее совпадение результатов частного случая (упругая сферическая оболочка с симметричной структурой пакета слоев) автора с известными результатами П М Цулковского, А Д Лизарева и Ю Э Сеницкого

Обратим внимание, что гипотеза о независимости собственных форм и параметров внутреннего трения нарушается в случаях, когда период п-го собственного колебания приближается к величине времени релаксации материала среднего слоя

В автореферате приведен пример внешней нагрузки - скачок давления, равномерно распределенный по всей поверхности оболочки, остальные виды нагрузок приведены в диссертации

Динамическая нагрузка задается следующими выражениями для вектор-функции f (в) при нулевых начальных условиях

ífe(e,t)\ ( 0 \ /0\

f (М) = /ДМ) = hH(t) , У (б, t) |t=o = У (б, t) lt=o = I О I , (52)

\M,{0,t)J \ о / w

где q - интенсивность скачка давления, ií(í) - единичная функция Хевисайда Тангенциальные u(e,t), нормальные w{6,t) перемещения и углы поворота ф(9,1) нормали могут быть определены в форме разложений, которые для конкретных значений f(6, t), u(e,t), u(0,t) приобретают вид

tt(í,t)=?E {[! -cos(A^i w + В,рд (в) + CJ>1 (в))}, t=l oo

w(d,t) = qY,{{ 1 - eos (u;,í)e-^] (ДРа1 (0) + ДРд (0) + (0)) }, !=1

№ *) = 9 £ {[1 - COS (G,P¿ (<?) + H,Pl (в) + J,P¿ (в)) }

»=1

Здесь w, - частота г-го тона колебаний, 7, - показатель затухания, A,,B„ J„ «,,/?„ 5,-постоянные коэффициенты, определяемые физико-геометрическими характеристиками оболочки

Исследовалась защитная оболочка ядерного реактора в модели защитная сталебетонная оболочка представлена в виде трехслойной сферической вязкоупругой оболочки, а внешняя нагрузка прикладывается в соответствии с диаграммой МАГАТЭ На рис 1 приведены осциллограммы перемещений характерных сечений оболочки (окрестности опорного контура, середины меридиана и окрестности полюса) во временных интервалах, соответствующих ~ 4 и ~ 16 периодам колебаний первого тона оболочки ({0 0,1 с}, {0 0,8 с}) Рядом изображены эпюры перемещений меридиана в моменты времени 0,005 с, 0,05 с и 0,1 с Пространственно-временные рельефы функций u(6,t), w(9,t), ip(e,t) объединяют осциллограммы перемещений всех точек меридиана для периода "раскачки", т е начала движения оболочки ({0 0,08 с})

Установлено, что частотные кривые, построенные в зависимости от соотношения толщин слоев при фиксированной удельной массе пакета, имеют экстремум

В качестве примера рассмотрена металлополимерная оболочка с характеристиками Е2/Е1 = Eg/Ei = 60, Р2/Р1 = 25 Фиксированная удельная масса пакета составляет 0,1125 т /м3, что соответствует следующему начальному симметричному распределению слоев hi = 1,5м, h2 = 0,001м, h3 = 0,01м Первая частота оболочки с симметричным пакетом составила 105 с-1 В результате поиска оптимального решения (градиентным методом) определено такое оптимальное соотношение толщин слоев hi = 1,05м, /12 = 0,03м, h3 = 0,06м При этом первая собственная частота конструкции составила 145 с-1 > 105 с-1 Конструкцией наибольшей жесткости оказалась оболочка с несимметричным пакетом слоев

Выла выполнена серия подобных расчетов для металлополимерных оболочек различной кривизны Результаты расчетов приведены на рис 2 Там же показана зависимость соотношения толщин крайних слоев от кривизны при постоянном пролете конструкции Для непологих оболочек оптимальные толщины внешних слоев отличаются примерно в два раза, тогда как для пологих оболочек они почти равны В предельном случае пластины оптимальной является симметричная структура В этой

связи следует отметить актуальность применения трехслойных непологих обо почек с несимметричной структурой пакета слоев На рис 2 приведены зависимости первых трех собственных частот от соотношения толщин внешних слоев Отметим, что все три поверхности имеют экстремум приблизительно в одной области Таким образом, оптимизируя трехслойную конструкцию по первой частоте, получим оптимум и по следующим частотам Сравнительный анализ динамической реакции трехслойных оболочек с оптимизированной и симметричной структурой пакета слоев показал, что в оболочке наибольшей жесткости максимальные перемещения меньше на 10-20%

В заключении сформулированы основные выводы и результаты, полученные в диссертационной работе

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1 Из вариационного принципа Онзагера получены уравнения движения и краевые условия для трехслойной сферической оболочки, новизна которых состоит в учете несимметричности структуры пакета слоев и неупругого деформирования среднего слоя

2 Построен новый класс несимметричных интегральных преобразований, ядра которых определяются полной системой собственных и присоединенных функций пучка несамосопряженных дифференциальных операторов Преобразования позволяют представлять решения несамосопряженных начально-краевых задач в форме спектральных разложений по полной биортогональной системе вектор-функций

3 Построены новые замкнутые решения нестационарных динамических задач для упругозакрепленных трехслойных сферических оболочек с вязкоупругим средним слоем

4 На основе построенного решения разработаны и реализованы вычислительные алгоритмы, осуществлен численный анализ влияния асимметрии пакета слоев и вязкоупругих свойств среднего слоя на распределение собственных частот колебаний, а также на собственные формы и перемещения при различных нестационарных нагрузках

5 В результате вычислительного эксперимента установлено, что гипотеза о независимости собственных форм от параметров внутреннего трения нарушается в случаях, когда период п-го собственного колебания приближается к величине времени релаксации материала среднего слоя

6 Установлено, что первые собственные частоты достигают наибольшего значения для определенных соотношений толщин слоев при фиксированной удельной массе всего пакета слоев Такие оболочки обладают наибольшей жесткостью при фиксированной массе и в этом смысле могут рассматриваться как оптимальные конструкции Сравнительный анализ динамической реакции трехслойных оболочек с оптимизированной и симметричной структурой пакета слоев показал, что в оболочке наибольшей жесткости максимальные перемещения меньше на 10-20%

7 Осуществлен расчет защитной оболочки реакторного отделения АЭС ВВЭР-1000 на специальные аварийные воздействия, определяемые экспериментальной диаграммой МАГАТЭ

Осциллограмма перемещений оболочки я сечениях:

- д = 0.02И(!- (}-0.5-0 *> 0.55 гас

Диаграммы перемещения мериЭиана

в моменты времени - с - 0.005 г- I 1 0.14 с -[ Щ Об с

Пространственно-временной

рйпьеф колебательного процесса

/| 1 1 1

Г 1 У\ 1 \ 1 \г - т\т

м

- + - +

3.2 0.4 д.С 0.9

Рис I. Перемгщелия трехслойной сфсричесиой ф&олачЯХ) с сиынегпричнпй структурой слове Эейсглзием экспоненциального импульса (аэрызной аолньО

Схема оболочки

Результат оптимизации

Зависимость первой частоты от толщин иненших слоев

изолинии

Н=15 L=30

Ь2 = 3,1В4СМ Ьл^е.не™ hä

тпг

- = 1515

h!=3,öÜ9cM h3=5,225cn

=0 63(1

■1С 60 вО Н'У iS5

™ т-,^-1 >4,1

8=100 L=30

h2=3,443см 1,345см

hs

т— - LI? 41

ha

R=250 L=3<1

hi=2,350cM Ьз=2,747см h2

TS

= 11.86

ТТпГТго"-1

ф Положение оптимума

R/h

0 50 100 150 200 250 Зависимость оптимального соотношения толщин внешних слоён оболочки от ее радиуса кривизны j при постоянном пролети tVi - полная толщина оболочки1? |

Зависимость первых трех собственных ■^.^частот от толщин Л внешних слоев J оболочки

I

Рис. 2. Оптимальные соотношения толщин внешних слоев трехслойных сферических оболочек

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

1 Lychev, S A Non-stationary vibration of viscoelastic rod /SA Lychev, Y N Say-futdmov // XXXII Summer School - Conference "Advanced problems in mechanics" Book of Abstracts, SPb , June 24-July1, 2004 - SPb , 2004 - P 89

2 Lychev, S A The dynamical reaction of 3-layered viscoelastic shell /SA Lychev, Y N Sayfutdinov // XXXIII Summer School - Conference "Advanced problems m mechanics" Book of Abstracts, SPb , June 24-July 1, 2005 - SPb , 2005 - P 80

3 Лычев, С А Уравнения движения трехслойной вязкоупругой сферической оболочки / С А Лычев , Ю H Сайфутдинов // Вестник Самарского гос университета - Естественнонаучная сер - 2005 - № 6(40) С 70-88

4 Лычев, С А Уравнение движения трехслойной вязкоупругой оболочки / С А Лычев, Ю H Сайфутдинов // Зимняя школа по механике сплошных сред (четырнадцатая) тез докл - Екатеринбург УрО РАН, 2005

5 Лычев, С А Трехслойные сферические оболочки наибольшей жесткости /

С А Лычев, Ю H Сайфутдинов // Зимняя школа по механике сплошных сред (пятнадцатая) тез докл - Екатеринбург УрО РАН, 2007

6 Лычев, С А Вынужденные колебания трехслойной с феричес кой вязкоупругой оболочки / С А Лычев, Ю H Сайфутдинов //IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике аннот докл - Т III (Нижний Новгород, 22-28 августа 2006 г ) - Нижний Новгород Издательство Нижегородского государственного университета им НИ Лобачевского, 2006 - С 112

7 Лычев, С А Оптимизация структуры пакетов слоев трехслойной сферической оболочки / С А Лычев , Ю H Сайфутдинов // Материалы III Международной конференции "Ашировские чтения", Самара, 23-24 октября 2006 г - Самара, 2006 - С 271-275

8 Сайфутдинов, Ю H Уравнение движения трехслойной вязкоупругой оболочки / Ю H Сайфутдинов // XXXII Гагаринские чтения научные труды Международной молодежной научной конференции в 8 т, Москва, 4-8 апреля 2006 г -M МАТИ, 2006 - Т 1 - С 94-95

9 Лычев, С А Динамика трехслойной непологой сферической оболочки / С А Лычев, Ю H Сайфутдинов // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им И А Яковлева - Сер Механика предельного состояния - 2007 - № 2 - С 55-90

Подписано в печать 20 июня 2007 г Формат 60x84/16 Бумага офсетная Печать оперативная Объем 1 п л Тираж 100 экз Заказ iAOS 443011, г Самара, ул Академика Павлова, 1 Отпечатано УОП СамГУ

Введение

Глава I. Вывод уравнений движения

1.1 Кинематические гипотезы.

1.2 Геометрические уравнения

1.3 Вариационная формулировка задачи.

1.4 Выражение для свободной энергии.

1.5 Редукция выражения для свободной энергии.

1.6 Выбор поверхности осреднения.

1.7 Диссипация.

1.8 Кинетическая энергия.

1.9 Мощность внешних сил.

1.10 Работа реактивных усилий

1.11 Выражение для производства энтропии.

1.12 Уравнения движения и краевые условия

1.13 Уравнения движения в безразмерной форме.

1.14 Уравнение движения упругой оболочки.

1.15 Уравнение осесимметричного движения.

1.16 Уравнение движения осесимметричной упругой оболочки .'.

1.17 Внутренние усилия.

Глава II Спектральное представление решения

2.1 Спектральные представления решений. Случай самосопряженной задачи.

2.1.1 Симметричные конечные интегральные преобразования

2.1.2 Формальное построение решения начально-краевой задачи.

2.1.3 Ядра интегрального преобразования. Регулярный случай.

2.1.4 Ядра интегральных преобразований. Сингулярный случай.

2.1.5 Случай ненулевого ядра.

2.1.6 Вычисление нормирующей матрицы.

2.1.7 Условия самосопряженности

2.1.8 Вариант формул обращения.

2.2 Спектральные представления решений. Случай несамосопряженной задачи.

2.2.1 Полиномиальный операторный пучок.

2.2.2 Сопряженный пучок.

2.2.3 Резольвента пучка.

2.2.4 Главная часть резольвенты.

2.2.5 Формулировка интегральных преобразований

2.2.6 Решение начально краевой задачи.

Глава III. Численный анализ

3.1 Определение матрицы весовых функций.

3.2 Построение фундаментальной матрицы.

3.2.1 Собственные значения самосопряженных операторов порождаемых уравнением движения упругой оболочки.

3.2.2 Кратные собственным значения

3.2.3 Перемещение упругой оболочки

3.3 Спектральные представления осесимметричных перемещений неупругой оболочки.

3.3.1 Построение фундаментальной матрицы

3.4 Анализ распределения собственных значений.

3.4.1 Зависимость собственных значений от кривизны

3.4.2 Зависимость собственных значений от значений времени релаксации

3.5 Перемещения и усилия при нестационарных воздействиях

3.5.1 Скачок давления, равномерно распределенный по всей поверхности оболочки.

3.5.2 Треугольный импульс, равномерно распределенный по всей поверхности оболочки.

3.5.3 Прямоугольный импульс, равномерно распределенный по всей поверхности оболочки.

3.5.4 Импульс, изменяющийся по экспоненциальному закону, равномерно распределенный по всей поверхности оболочки.

3.5.5 Гармоническое воздействие, равномерно распределенный по всей поверхности оболочки.

3.5.6 Внезапно приложенная в полюсе оболочки сосредоточенная сила.

3.6 Оптимизация структуры пакета слоев.

3.7 Расчет защитной оболочки реакторного отделения АЭС на аварийное ударное воздействием (по диаграммам МАГАТЭ).

Выводы

Исследования собственных и вынужденных колебаний трехслойных оболочек имеют как теоретическое, так и прикладное значение, поскольку подобные конструкции широко применяются в строительстве атомных электростанций, авиации и ракетной технике[43], судостроении [77], резервуаростроении [43], энергетическом и химическом машиностроении. Это связано, в частности, с тем, что трехслойные оболочки, образуемые тонкими несущими внешними слоями и средним слоем (заполнителем) значительно большей толщины, имеют меньший вес при равной жесткости в сравнении с однородными конструкциями. Кроме того, средний слой может выполнять дополнительные конструктивные функции, не связанные с обеспечением жесткости, например теплоизоляционные.

При проектировании ответственных сооружений необходимо производить динамические расчеты на сейсмические, аварийные (взрывная волна), природные воздействия (пульсация ветра, ураган), которые основаны на соотношениях для частот и форм собственных колебаний, а также для перемещений и усилий, вызванных нестационарными нагружениями. Важной является задача об ударном взаимодействии тела конечной жесткости (самолета, ракеты) и защитной оболочки реакторных отделений АЭС1, которая в ряде существующих проектных решений представляет собой сферическую трехслойную сталебетонную оболочку.

Вместе с тем существующие методы расчета даже в рамках известных математических моделей не позволяют достаточно точно описать высокоскоростные процессы деформирования конструкции. Методы учета неупругих сил, в частности сил внутреннего вязкого сопротивления (использующие гипотезу частотно-независимого трения), не являются строго обоснованными. Таким образом, развитие аналитических методов динамического расчета трехслойных оболочек на основе уточненных математических моделей и их реализация в форме вычислительных алгоритмов представляют актуальные проблемы и задачи прикладной механики деформируемого твердого тела.

1 Такой расчет, согласно действующим международным нормам МАГАТЭ, является обязательным при проектировании защитных оболочек реакторных отделений АЭС[11].

Апробация работы:

- Научный семинар "Современные проблемы математики и механики " под руководством д-ра физ.-мат. наук, проф. Ю.Н. Радаева. Самара, Самарский государственный университет, 2005-2007 гг.

- Научный семинар "Ашировские чтения", Самара, Самарский государственный технический университет,

23-26 октября 2006 гг.

- XXXI-XXXIII Summer School — Conference. Advanced Problems in Mechanics. St. Petersburg, 2003-2005 гг.

- 14-я и 15-я зимние школы по механике сплошных сред. Пермь, УрО РАН, 2006-2007 гг.

- Международная молодежная научная конференция "XXXII Гагаринские чтения". Москва, Институт проблем механики РАН, 4-8 апреля 2006 г.

- Ежегодные научные конференции преподавателей и молодых ученых Самарского государственного университета. Самара, Самарский государственный университет, 2003—2007 гг.

- IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Нижний Новгород, Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского, 22-28 августа 2006 г.

- Семинар по механике деформируемого твердого тела под руководством доктора физико-математических наук, профессора Д.Д. Ивлева Чебоксары, Чувашский государственный педагогический университет имени И. Я. Яковлева, июнь 2007г.

Основное содержание диссертационной работы отражено в следующих публикациях:

1. Lychev, S.A. Non-stationary vibration of viscoelastic rod / S.A. Lychev, Y. N. Sayfutdinov // XXXII Summer School - Conference "Advanced problems in mechanics": Book of Abstracts, SPb., June 24-July1, 2004. - SPb., 2004. - P. 89.

2. Lychev, S.A. The dynamical reaction of 3-layered viscoelastic shell / S. A. Lychev, Y. N. Sayfutdinov // XXXIII Summer School

- Conference "Advanced problems in mechanics": Book of Abstracts, SPb., June 24-July 1, 2005. - SPb., 2005. - P. 80.

3. Лычев, С. А. Уравнения движения трехслойной вязкоупругой сферической оболочки / С. А. Лычев , Ю. Н. Сайфутдинов // Вестник Самарского гос. университета. - Естественнонаучная сер. - 2005. - № 6(40). С. 70-88.

4. Лычев, С. А. Уравнение движения трехслойной вязкоупругой оболочки / С. А. Лычев, Ю.Н. Сайфутдинов // Зимняя школа по механике сплошных сред (четырнадцатая): тез. докл. - Екатеринбург: УрО РАН, 2005.

5. Лычев, С. А. Трехслойные сферические оболочки наибольшей жесткости / С. А. Лычев, Ю.Н. Сайфутдинов// Зимняя школа по механике сплошных сред (пятнадцатая): тез. докл. - Екатеринбург: УрО РАН, 2007.

6. Лычев, С. А. Вынужденные колебания трехслойной сферической вязкоупругой оболочки / С. А. Лычев, Ю. Н. Сайфутдинов //IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике: аннот. докл. - Т. III (Нижний Новгород, 22-28 августа 2006 г.). - Нижний Новгород: Издательство Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского, 2006. - С. 112.

7. Лычев, С. А. Оптимизация структуры пакетов слоев трехслойной сферической оболочки / С. А. Лычев , Ю.Н. Сайфутдинов // Материалы III Международной конференции "Ашировские чтения", Самара, 23-24 октября 2006 г. - Самара, 2006. - С. 271-275.

8. Сайфутдинов, Ю.Н. Уравнение движения трехслойной вязко-упругой оболочки / Ю.Н. Сайфутдинов // XXXII Гагарин-ские чтения: научные труды Международной молодежной научной конференции: в 8 т., Москва, 4-8 апреля 2006 г. - М.: МАТИ, 2006. - Т. 1. - С. 94-95.

9. Лычев, С. А. Динамика трехслойной непологой сферической оболочки/ С.А. Лычев, Ю.Н. Сайфутдинов // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. А. Яковлева. - Сер. Механика предельного состояния. - 2007. - № 2. - С. 55-90.

Целью работы является построение замкнутого решения динамической задачи для сферической оболочки с несимметричной структурой пакета слоев с учетом вязкоупругих свойств среднего слоя при действии нестационарных, в том числе ударных, нагрузок. Эта цель предполагает решение следующих задач:

Вывод новых уравнений движения оболочки и соответствующих краевых условий для наиболее общего (упругого) закрепления на опорном контуре, учитывающих несимметричность пакета слоев и неупругое деформирование среднего слоя.

Построение замкнутого решения соответствующей начально-краевой задачи в форме разложения по собственным и присоединенным функциям несамосопряженных дифференциальных операторов, порождаемых полученным уравнением движения.

Осуществление вычислительного эксперимента для оценки влияния несимметричности пакета слоев и вязкоупругих свойств среднего слоя на распределение собственных значений, собственных форм и перемещений оболочки при различных динамических воздействиях.

На защиту выносятся следующие положения:

Уравнения движения. На основании вариационого принципа Онзагера получены новые уравнения движения трехслойной сферической оболочки с несимметричной структурой пакета слоев и вязкоупругим средним слоем, а также краевые условия, соответствующие наиболее общим (упругим) способам закрепления оболочки на контуре.

Несимметричные конечные интегральные преобразования. Построен новый класс несимметричных конечных интегральных преобразований, ядра которых определяются полной системой собственных и присоединенных функций пучка несамосопряженных дифференциальных операторов.

Спектральные представления решения. С помощью несимметричных конечных интегральных преобразований получено замкнутое решение начально-краевой задачи о вынужденных колебаниях трехслойной сферической оболочки с вязкоупругим средним слоем.

Численный анализ собственных колебаний. На основе построенного решения разработаны и реализованы вычислительные алгоритмы, осуществлен численный анализ влияния асимметрии пакета слоев и вязкоупругих свойств среднего слоя на распределение собственных частот колебаний, а также на собственные формы и перемещения при различных нестационарных нагрузках.

Научная новизна работы состоит в следующем:

Получены новые уравнения движения и краевые условия для трехслойной сферической оболочки, новизна которых состоит в учете несимметричности структуры пакета слоев и неупругого деформирования среднего слоя.

Введен новый класс несимметричных интегральных преобразований, позволяющий представлять решения несамосопряженных начально-краевых задач в форме спектральных разложений по полной биортогональной системе функций.

Построены новые замкнутые решения нестационарных динамических задач для упругозакрепленных трехслойных сферических оболочек с вязкоупругим средним слоем.

В результате вычислительного эксперимента установлено, что гипотеза о независимости собственных форм от параметров внутреннего трения нарушается в случаях, когда период tiro собственного колебания приближается к величине времени релаксации материала среднего слоя.

Установлено, что первые собственные частоты достигают наибольшего значения для определенных соотношений толщин слоев при фиксированной удельной массе всего пакета слоев. Такие оболочки обладают наибольшей жесткостью при фиксированной массе и в этом смысле могут рассматриваться как оптимальные конструкции.

Достоверность обусловлена строгостью постановки задач, построением точных решений в рамках сформулированной модели, а также сравнением частных случаев с известными результатами, полученными другими авторами.

Практическая значимость результатов:

Решена задача оптимального выбора толщин слоев трехслойной сферической вязкоупругой оболочки, обладающей наибольшей жесткостью при фиксированной массе.

Осуществлен расчет защитной оболочки реакторного отделения АЭС ВВЭР - 1000 на специальные аварийные воздействия. В задаче рассматривается удар тела конечной жесткости (самолета, ракеты) о защитную оболочку реактора. Усилия в контактной зоне принимаются в соответствии с экспериментальной диаграммой МАГАТЭ.

Исторический обзор развития моделей и методов расчета трехслойных оболочек с вязкоупругим средним слоем

В 1850 г. Г. Кирхгофф (G. Kirchhoff) произвел первые исследования оболочек, которые имели своей целью построение теории акустических колебаний. Расчеты осуществлялись по аналогии с технической теорией пластин. В 1874 г. Г. Арон (H. Агоп) опираясь на исследования Г. Кирхгоффа и А. Клебша (A. Klebsh) о конечных деформациях тонких стержней и пластинок, получил выражение для потенциальной энергии, уравнения равновесия и деформаций оболочек в криволинейных координатах срединной поверхности. В 1881 г. Лорд Релей (Rayleigh) осуществил первые исследования свободных колебаний сферической оболочки, а несколько позже в 1882 г. Э. Матье (Е. Mathieu) рассмотрел оболочки, симметричные относительно оси вращения с помощью видоизмененного метода, примененного ранее Д. Пуассоном для пластинок. Наконец, в 1882 г. Г. Лэмбом (Н. Lamb) были построены построены уравнения движения сферических оболочек на основе кинематических гипотез Кирхгофа. В 1888 г. А. Ляв ( A.E.H.Love ) предпринял попытку построения общей теории моментных колебаний тонких оболочек. Лявом была построена модель земного шара, которая представляла собой упругий шар покрытый сферическим вязкоупругим слоем. В 1913 г: Э. Мейснером (Е. Meissner) была впервые решена задача о деформации сферической оболочки при воздействии различных нагрузок. В 1915 г. С. П. Тимошенко разработал асимптотические методы интегрирования уравнений оболочек вращения. Он на численных примерах показал, что для тонких оболочек асимптотический метод обеспечивает хорошую точность. В 1930-е г. X. Рейснер (Y Н. Reisner), Э. Мейснер развили теорию малых осесимметричных деформаций оболочек и решили ряд прикладных задач. В 1937 г. К. Федергофером (К. Federgoffer) на основе вариационного принципа Остроградского-Гауса была построена система дифференциальных уравнений колебаний непологих сферических оболочек в перемещениях [108].

В СССР 30-60 годы развитие теории оболочек происходило в двух направлниях. Первое направление представлено в работах: А.Л. Гольденвейзера [28], H.A. Кильчевского [42], А. И. Лурье [65],

Х.М. Муштари [69], В.В. Новожилова [72] , Ю.Н. Работнова [80], И. Н. Векуа [17], характеризуется установлением степени погрешности гипотез, лежащих в основе моментной теории оболочек, и разработкой альтернативных теорий.

Другое направление составляет техническая теория оболочек, включающая как частный случай общую теорию тонкостенных стержней. Это направление, представленное главным образом работами В. 3. Власова [19], а также его учеников и последователей, связано с введением В. 3. Власовым ряда новых физических гипотез в теорию оболочек и построением на их основе общей моментной и безмоментной теорий тонкостенных пространственных систем (1947 г.) В рамках этих теорий В. Г. Рекач исследовал свободные колебания сферических оболочек, упруго закрепленных на контуре (1957 г.) [78].

В 1960 г. П. Нагди, А.Калнисом [109] получены дифференциальные уравнения теории пологих трехслойных сферических оболочек. В 1967 г. Б. Коплик, Ю. Ви Юань [126] исследовали неосесим-метричные колебания пологой трехслойной сферической оболочки с симметричной структурой пакета слоев.

В 1968 г. Ю. Э. Сеницким решена нестационарная динамическая задачи для сферы и полусферы, рассматриваемая на основе безмоментной теории Власова, с помощью разработанного автором структурного алгоритма конечных интегральных преобразований (КИП). Впоследствии, на основе уравнений технической теории в смешанной форме Власова-Донелла, Ю. Э. Сеницким и его учениками методом КИП получен замкнутые2 решений для пологих сферических оболочек в случае осесимметричного [83], [84], [90] и неосесимметричного [91], [92] динамического воздействия. Рассмотрены различные случаи нестационарных воздействий и достаточно общие (упругие и идеализированные) условия закрепления на опорах. Построено замкнутое решение аналогичной осесимметрич-ной динамической задачи на основе разрешающей системы уравнений в перемещениях [92]. Был произведен анализ круговых частот, а также напряженно-деформированного состояния оболочки. Установлено взаимное влияние моментного и мембранного напряженно

2Под замкнутыми решением здесь и далее понимается решения представлены в рядах, все члены которого могут быть вычислены точно деформированного состояния.

В 1971 г, П. Цулковский, X. Райзман [102] построили замкнутое решение осесимметричной задачи о собственных и вынужденных колебаниях жестко защемленной пологой сферической трехслойной оболочки в уточненной постановке без учета тангенциальных сил инерции. Авторы этой работы применили метод разложения по собственным функциям. Приведен численный анализ частот собственных колебаний, прогибов и усилий в центре оболочки по классической и уточненной теориям.

С. Мирза (S. Mirza) и А. Синх (A. Singh) исследовали свободные колебания непологих сферических оболочек с легким заполнителем и мембранными симметричными внешними слоями [115], [116], [117]. Точные решения уравнений движения были получены в функциях Лежандра произвольной комплексной степени; числовые результаты для осесимметричных форм колебаний и для оболочек с различными углами раствора приведены в [104].

Исследованием собственных и вынужденных колебаний многослойных оболочек занимались многие ученые : H.A. Алфутов[5],

A. Н. Андреев [6], В. В. Болотин [12], П. М. Варвака[16], А. Т. Векслер [18], К.З. Галимов [21], Э.И. Григолюк[30, 31], Я.М. Григоренко [32], Г. Д. Гродский [34], С. А. Гришин [33], А. Г. Горшков [29], Э.Я. Еленицкий [38], H.A. Кильчевский [42], В.И. Королев [43],

B. А. Крысько [45], А.Д. Лизарев [47, 49], С. А. Лычев ([51]- [52]), Ю. В. Немировский [70], О. Д. Ониашвили [73], Б. Л. Пелех [74] ,В.В. Пикуль [75], Ю.Э. Сеницкий ([82]-[92]) др.

Отметим ряд прикладых задач, рассмотренные зарубежными авторами: El Hassan Boutyour, El Mostafa Daya, Michel Potier-Ferry [105]; Ravish S. Mastia, M.G. Sainsbory [121]; Laetitia Duigou, Michel Potier-Ferry [112]; Yuh-Chun Hu, Shyh-Chin Huang [125];

C. Saravanan, N. Ganesan, V. Ramamurti [123]; Karnal N. Kharti [110].

Проведенный обзор литературы показывает широту исследования динамических задач для слоистых оболочек, однако остаются неясными вопросы влияния асимметрии структуры пакета слоев и влияния неупругих свойств слоя на динамическую реакцию конструкции.

Выводы

1. Из вариационного принципа Онзагера получены уравнения движения и краевые условия для трехслойной сферической оболочки, новизна которых состоит в учете несимметричности структуры пакета слоев и неупругого деформирования среднего слоя.

2. Построен новый класс несимметричных интегральных преобразований, ядра которых определяются полной системой собственных и присоединенных функций пучка несамосопряженных дифференциальных операторов. Преобразования позволяют представлять решения несамосопряженных начально-краевых задач в форме спектральных разложений по полной биортогональной системе вектор-функций.

3. Построены новые замкнутые решения нестационарных динамических задач для упругозакрепленных трехслойных сферических оболочек с вязкоупругим средним слоем.

4. На основе построенного решения разработаны и реализованы вычислительные алгоритмы, осуществлен численный анализ влияния асимметрии пакета слоев и вязкоупругих свойств среднего слоя на распределение собственных частот колебаний, а также на собственные формы и перемещения при различных нестационарных нагрузках.

5. В результате вычислительного эксперимента установлено, что гипотеза о независимости собственных форм от параметров внутреннего трения нарушается в случаях, когда период tiro собственного колебания приближается к величине времени релаксации материала среднего слоя.

6. Установлено, что первые собственные частоты достигают наибольшего значения для определенных соотношений толщин слоев при фиксированной удельной массе всего пакета слоев. Такие оболочки обладают наибольшей жесткостью при фиксированной массе и в этом смысле могут рассматриваться как оптимальные конструкции. Сравнительный анализ динамической реакции трехслойных оболочек с оптимизированной и симметричной структурой пакета слоев показал, что в оболочке наибольшей жесткости максимальные перемещения меньше на 10-20%.

7. Осуществлен расчет защитной оболочки реакторного отделения АЭС ВВЭР-1000 на специальные аварийные воздействия, определяемые экспериментальной диаграммой МАГАТЭ.

1. Абрамовиц М. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами./М. Абрамовиц ,И. Стиган / М.: Наука, 1979.-С.830.

2. Амбрацумян, С. А. Общая теория анизотропных оболочек./С. А. Амбра-цумян //М.: Наука, 1974.-С. 446.

3. Арнольд, В. И. Математические методы классической механики./В. И. Арнольд // М.: Наука, 1974.-С. 432

4. Айне, Э. JI. Обыкновенные дифференциальные уравнения./Э. JI. Айне / Харьков: ОНТИ, 1939.-С.7175J Алфутов, H.A. Расчет многослойных пластин и оболочек /H.A. Алфутов, H.A. Зиновьев, Б.Г. Попов // -М.: Машиностроение, 1984.-С.264

5. Андреев, А.Н. Многослойные анизотропные оболочки и пластины /А.Н. Андреев, Ю.В. Немировский // -Новосибирск.: Наука, 2001.-С.288.

6. Аткинсон, Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи./Ф. М. Ат-кинсон /: Мир, 1968.-С749.

7. Ахиезер, Н. И. Теория линейных операторов в гильбертовом проетран-стве/Н. И. Ахиезер, И. М. Глазман // М.:Наука, 1966. -С.543.

8. Бахарева, И.Ф. Нелинейная неравновесная термодинамика/И.Ф. Бахарева //Саратов: Изд. Саратовского университета, 1976.

9. Био, М. Вариационные принципы в теории теплообмена/М. Био //:Пер. с англ. М.: Энергия, 1975.

10. Бирбраер А. Н. Прочность и надежность конструкций АЭС при особых динамических воздействиях./А. Н. Бирбраер, С. Г. Шульман /-М.: Энер-гоатомиздат, 1989.-С.302

11. Болотин, В.В. Механика многослойных конструкций /В.В. Болотин, Ю.Н. Новичков/ -М.: Машиностроение, 1980.-С.375

12. Болотин, В. В. О плотности частот собственных колебаний тонких упругих оболочек /Болотин В. В. // Прикладная матем. и механика, 1963. т. 27, вып. 2.-С.362-364.

13. Болотин, В. В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. /В. В. Болотин // М.: Физматгиз, 1961.-С.339.

14. Бродский, М. С. Треугольные и жордановы представления линейных операторов/Болотин В. В. // М.: Наука, 1969.-С.287 с.

15. Варвак, П. М. Колебания многослойных оболочек./П. М. Варвак, В. Г. Пискунов, А. Ф. Рябов // В кн.: Тр. VIII Всесоюз. Конференции по теории оболочек и пластин (Ростов-на-Дону, 1971). М.: Наука, 1973.-С.415-42017 1819 20 [2122 23 [2425