Оптимальное проектирование слоистых оболочек из вязкоупругих материалов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Будугаееа Валентина Афанасьевна

УДК 539.3

ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ СЛОИСТЫХ ОБОЛОЧЕК ИЗ ВЯЗКОУПРУГИХ МАТЕРИАЛОВ

Специальность 01.02.06 - динамика, прочность машин,

приборов и аппаратуры

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Якутск 2000

Работа выполнена в Институте Физико-технических проблем Севера (ИФТПС) Сибирского отделения Российской Академии наук

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Б. Е. Победря

Ведущая организация: Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН

Защита диссертации состоится "/ т' апреля 2000 г. в ДА асов на заседании диссертационного совета К 003.43.01 при Институте физико-технических поблем Севера СО РАН по адресу: 677891, г .Якутск, ул. Октябрьская, 1. Отзывы на автореферат, заверенные гербовой печатью организации, просим присылать в двух экземплярах по указанному адресу.

С диссертацией можно ознакомиться в научно- технической библиотеке

кандидат физико-математических наук В. 3. Борисов.

ИФТПС СО РАН.

Автореферат разослан «__> марта 2000 г

Ученый секретарь Диссертационного совета К003.43.01,

Кандидат технических наук

Общая характеристика работы

Актуальность темы диссертации определяется, прежде всего, общими тенденциями развития механики деформируемого твердого тела. В 50-е годы в этой области исследований появилось новое направление исследований, которое позднее получило название "теория вязкоупругости". Это направление интенсивно развилось и в нашей стране, и за рубежом, особенно в США, что вначале было вызвано чисто утилитарными потребностями использования новых полимерных материалов в различных технических устройствах. При последующем углублении в проблему начала развиваться теория вязкоупругости и вычислительные методы решения соответствующих задач. Однако лишь в последние годы в этой области механики появились работы, из которых следовали возможности улучшения служебных характеристик конструкций из таких материалов за счет использования их различных сочетаний. Наибольшие перспективы виделись для тех конструкций, которые работают в условиях динамических нагрузок. Очевидная практическая значимость этой проблемы, наряду с возникающими новыми задачами теоретического характера, определяет актуальность этих задач. В тоже время имеющиеся к настоящему времени результаты по оптимальному проектированию слоистых конструкций из дискретного набора материалов с использованием методов оптимального управления, основанные на принципе максимума Понтрягина, относятся только к упругим материалам. Однако, эти результаты не снимают как проблемы адекватной математической постановки задач оптимального проектирования конструкций из вяз-коупругих материалов, так и необходимости создания новых и развития известных методов их решения. Все это в конечно итоге определяет актуальность темы диссертации и позволяет сформулировать

цель работы: исследовать возможность и дать количественную оценку повышения демпфирующих характеристик многослойных оболочек из дискретного набора вязкоупругих материалов при различных ограничениях на их конструктивные параметры.

Используемые методы исследования. Для описания динамического поведения конструкций в диссертации использовались математические модели линейной теории вязкоупругости Больцмана - Вольтерра с ядром релаксации Ржаницына - Колтунова, которое весьма удовлетворительно отражает квазистатическое и динамическое поведение материалов.

Для решения задач синтеза слоистых оболочек использовались методы теории оптимального управления, основанные на принципе максимума Понтря гина, преимуществом которого по сравнению с классическим вариационным исчислением является отсутствие требования непрерывности и гладкости управления.

Научная новизна. До настоящего времени задачи оптимального проектирования слоистых конструкций решались в рамках математических моделей теории упругости. Наличие демпфирующих свойств у композитных и полимер ных материалов, которые можно отнести к вязкоупругим, послужило стимулои

к постановке и решению задач синтеза слоистых конструкций именно из этих материалов. В работе рассмотрены вопросы улучшения служебных параметров вязкоупругих конструкций за счет эффектов отражения и преломления волн при их прохождении через границы раздела материалов с различными свойствами. Даны количественные оценки повышения демпфирующих характеристик многослойных оболочек из дискретного набора материалов при различных ограничениях на их конструктивные параметры.

Практическая значимость. Разработанная математическая модель оптимального проектирования слоистых конструкций из конечного набора вязко-упругих материалов и реализующие ее алгоритмы позволяют решать следующие практические проблемы: 1) для любого набора материалов с известными демпфирующими свойствами можно заранее отобрать только те из них, которые необходимы для реализации проектных требований; 2) аналогично решить обратную задачу подбора материалов; 3) обеспечить реализацию проектов при ограничениях на общую массу конструкции, на ее стоимость или габариты.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы были.обсуждены на 1-ой Международной конференции по математическому моделированию (Якутск, 1994), на конференции по вычислительным технологиям (Новосибирск, 1995), на 2-ой Международной конференции по математическому моделированию (Якутск, 1997), на Международной конференции по конечно-разностным методам (теория и приложения) (Минск, 1998), на 15-ой Международной школе - семинаре «Информационные технологии в задачах математического моделирования» (Новосибирск, 1998), на 5-ой научной конференции по современным методам математического моделирования природных и антропогенных катастроф (Красноярск, 1999), на конференции «Современные проблемы механики», посвященной 40-летию Института механики МГУ (Москва, 1999).

Основные материалы диссертации изложены в десяти публикациях, список которых приводится в конце автореферата.

Структура работы. Диссертация состоит из трех глав, первая из которых играет роль введения, заключения и списка использованных публикаций, насчитывающего 104 наименования, содержит 94 страницы сквозной нумерации, в том числе 5 таблиц, 17 рисунков.

Краткое содержание работы

В первой вводной главе отмечается актуальность темы, формулируется цель и методы исследования, дается общая характеристика диссертации и краткий анализ ее структуры и содержания.

Во второй главе рассматриваются методы описания динамического поведения вязкоупругих материалов и приводится краткий обзор работ, посвященных методам решения прямых задач в области динамики вязкоупругих деформируемых систем, состоящих из разнородных (в реологическом смысле) материалов. Особо выделены исследования, в которых речь идет о демпфировании колебаний конструкций в зависимости от различных факторов, и рас-

смотрены вопросы оптимизации необходимых параметров на стадии проектирования. В этой связи сделан обзор работ, посвященных методам решения задач оптимального проектирования из конечного набора материалов, и подчеркнута особенность таких задач.

Из обзора следует, что до настоящего времени задачи проектирования оптимальных многослойных конструкций решались только для упругих материалов. В то же время широкое применение в технике полимерных материалов привело к необходимости изучения задач оптимального проектирования неоднородных конструкций, обладающих вязкоупругими свойствами. В связи с этим представляет значительный интерес анализ особенностей задач оптимального проектирования вязкоупругих систем по отношению к аналогичным задачам для упругих конструкций. Такой анализ интересен и важен еще и потому, что наличие демпфирующих свойств вязкоупругих материалов может показаться достаточным, чтобы предпочесть их для создания соответствующих конструкций из какого-либо материала, обладающего требуемыми свойствами. Иными словами, возникает вопрос о возможности улучшения вязкоупругой конструкции за счет особенностей прохождения волн через границы различных материалов.

В третьей основной главе на примере задачи о собственных колебаниях многослойной полой сферы исследуется синтез вязкоупругих слоистых оболочек из заданного конечного набора вязкоупругих материалов при наличии различных ограничений на поведение конструкций. В результате оптимизации определяются структура и размеры слоистой оболочки в отсутствие априорных предположений о числе слоев, их относительной толщине и порядке чередования материалов. В силу дискретности области значений \У, очевидно, что для них не существует вариаций, малых в равномерной норме. Наиболее эффективными для решения таких задач являются методы оптимального управления, основанные на принципе максимума Понтрягина в его нелокальной формулировке, поэтому при выводе необходимых условий оптимальности и организации вычислительного алгоритма используются конечные вариации управления на множестве малой меры, иначе называемые игольчатыми.

В первом параграфе этой главы дается математическая формулировка задачи о свободных колебаниях, выделяющихся тем, что в них поведение объекта полностью определяется инерционными членами. Для этого необходимо, чтобы граничные условия соответствовали тождественному равенству нулю работы всех внешних сил. Кроме того, тождественно равными нулю должны считаться массовые силы.

Уравнение свободных колебаний вязкоупругой слоистой сферы с учетом принципа соответствия, имеет вид

дсг ог -сг _ . .д2и

1Г+2-^аМТТ, (1)

дг г дг 4 '

Здесь все величины зависят только от одной пространственной координаты г. Кроме того, будем считать, что сфера находится в условиях плоскодеформиро-

(4)

ванного состояния, то есть компоненты тензора деформаций ЕГ2 ■> , £г2 равны нулю. Граница тела должна быть свободна от нагрузок

<гг(Л,) = <гг(Л,) = 0, (2)

где Л, и - радиусы внутренней и внешней поверхностей, ограничивающих сферу. Отличные от нуля компоненты тензора напряжений аг (г,егДг,/) и радиальное смещение и(г, £) связаны между собой законом Гука

аг =(А. +2ДЯ)^ + 21Л-, сг = (2Ла + 2Дя)— + Лп ^ (3)

о г г г о г

В формулах (3) комплексные модули определены зависимостями

Д, = //„ [1 - Г^Ю - /ГД,Ол)]

где . ■

оо оо

ГХ, = /^(^собКгУг, ГХ, = ¡ЯъЮыпф^т;

о о

г;„ г; =Кй(г)зт (д>Лг)Лг

о о

При этом «.= 1,2,..., А^, и каждый из Л' объемов слоистой сферы заполнен вязкоупругой средой, а р„ - плотность материала N - го объема. /?„ - ядра

релаксации N -го материала, 0)к - действительная часть частоты свободных колебаний сферы.

Уравнения (1) - (4) в рамках постановки задачи оптимального управления будут играть роль управляемой системы. В качестве управления рассмотрим пару {в(х),1}, где в{х) - распределение некоторого характерного свойства вяз-коупругого материала вдоль координаты, перпендикулярной границам раздела слоев, /- общая толщина сферы. Так как оптимальное проектирование осуществляется из конечного набора вязкоупругих материалов, то управление в{х) принадлежит классу кусочно-постоянных функций

в(х) = {&,\ х,<х<дг5+1,л = 1 ,...,5}, (5)

область значений которых является конечным множеством №.

Вж е)¥ = {ш\,..,ЦГк} (6)

где к - количество вязкоупругих материалов в исходном наборе. IV' - значение для / -того материала его свойства, выбранного в качестве управления. Если в постановке задачи присутствуют величины, которые характеризуют другие свойства материала, то .они являются функциями управления, ибо выбор конкретного материала в качестве управления определяет все его свойства. Уже

отмечалось, что для управления, определяемого выражениями (5) и (6), нельзя построить вариации малой в равномерной норме, поэтому возмущенное управление {¡9* (х), / +■ 3 /} берется в виде

Щх),х€М

[R„R2]

(7)

где M - некоторое подмножество интервала [/?, ,/?2], мера которого ц = mes M

мала. Таким образом, вариация управления определяется парой {г,м}..р. П. Федоренко доказано, что соответствующее возмущение фазовой траектории также мало, т.е. |<? x(i)|| = O(jj). Функционалы, служащие критерием качества и ограничениями на управляющие фазовые переменные, в зависимости от требований задачи будут заданы соотношениями:

F(9,l) = |Ф [0(x),x]dx F{9,1) = \<b[r(x,a),6{x{)\da x, e[Ä„Ä2].

a

Окончательно задача оптимального проектирования слоистой сферы из вязкоупругих материалов формулируется следующим образом. На решениях системы ( 1 )-{4) требуется среди кусочно-постоянных функций, заданных выражениями (5), (б), найти управление{^(х),/}, минимизирующее функционал F {9, I) —> min при заданных ограничениях F¡{9,1) =0 (<0) i = \,...,m.

Во втором параграфе анализируется влияние плотности и вязкоупругих параметров на демпфирующие свойства оболочки. Вначале рассмотрена однослойная оболочка, поведение которой описывается математической моделью (1) - (5). Для уравнения свободных колебаний однородной сферы решение для перемещения u{r,t) ищется в виде

u{r,t) = w(/-)exp(z£»i), где co~ûjr + iû)j - комплексная собственная частота, u{r) - непрерывная амплитуда радиального перемещения. Полученное характеристическое уравнение для определения частоты однородной вязкоупругой сферы записывается в следующей форме

cosCK^-*,)) +sin(;K*2 -Ä,))

R,

ад

Aß 2

-у-/>йГ

yRi 2

^ MX

4£ v*>2

R2 Y

Л,

+

pa>

„J

\K2

= 0

(8)

j

ра>

Здесь х ~-. а черта над р,Ц,л и индекс п, который в данном случае

равен единице, для удобства изложения опущены. При Л, = 0 уравнение (8) совпадает с характеристическим уравнением для сплошной сферы, полученное Д. Блендом. Показано, что в случае упругих материалов, безразмерные характеристики которых приведены в табл. 1, значения собственных частот совпадают с результатами В. В. Алехина с точностью до третьего знака после запятой.

Таблица 1

Частоты собственных колебаний однородной упругой сферы

№ материала Р Я М со

1 1 6 6 7.04

2 2 16 16 8.04

3 4 34 34 8.39

При исследовании вязкоупругого поведения конструкции за ядро релаксации принимается формула

В вычислительном эксперименте изучалось влияние параметров А и а на декремент затухания собственных колебаний однородной сферической оболочки из вязкоупругого материала. При этом бралось во внимание незначительное влияние у? при изменении его значения от 0.05 до 1.0 на величину декремента затухания. В дальнейших исследованиях параметр /? фиксировался и был равен 0.05. Кроме того, фиксировались наружный и внутренний радиусы /?, = 0.8 /?2 = 1.0. Результаты расчетов приведены на рисунке 1, причем их порядок (а,б,в) соответствует значениям упругих констант для первого, второго и третьего материалов из табл. 1. Сплошными кривыми изображены действительные части а>к комплексной частоты, пунктирными-мнимые части со 1. Цифры у кривых соответствуют значениям параметра а.

Анализ представленных результатов позволяет сделать следующие выводы. Несмотря на существенные различия упругих констант, для всех трех материалов характерны общие тенденции по отношению к изменениям реологических параметров. 1)Ддя а = 0.9 действительная часть комплексной частоты практически не зависит от параметра А и равна собственной частоте упругих колебаний. Аналогичная тенденция прослеживается и при а — 0.5, если А < 10-2, после чего начинает незначительно убывать. 2) При малых а

поведение 0)к становится сложнее: до тех пор, пока А < 10~3 величина а)к остается постоянной, после чего резко убывает. 3) Мнимая часть комплексной частоты при всех а растет с ростом этого параметра, причем при а > 0.4 этот рост происходит по линейному закону.

Рис.1.

Далее исследована поведение неоднородной, полой сферы, состоящей из двух различных материалов (г - г, - координата границы раздела слоев), на которой выполняются условия непрерывности перемещений и напряжений: ы(г, - 0) = и(г{ + 0), - 0) = сг(/-( + 0)

Решение соответствующей задачи записывается в матричном виде

= Д,Д2

"2 00 <т2(г) я, (г) /6, (г) сх{г) /¿,(г) Здесь

а2(г) ;Ь2(г) с2(г) Ш2 (г)

-/с, (Л,) Ц(^)

■<*г{г\) ¿2(А)

г, <г<г2.

2 2 а, (г) = сов(^г) + ^-зт^г), Ъ, И = - ^-втС^г),

с,(г) =

4А

~Г-Р,а>

втС^г)

г

П-1 <г<гп1 = 1,2, А, гф.ад^-^^^))"'. д2 =(с2(г1)62(г|)-^(г[К(/-1))-',

, Я, - физические параметры материалов, имеющие вид (4); индекс / означает принадлежность параметров и констант к г -тому слою;

Соотношения, полученные для двух слоев, обобщены на случай многослойной сферы. Обозначим

л, = (с, ) К ) - а, (г,.!) ^ (гЛ_,))"',

Iе»к)

ыо 'Ч(^)!

-¿до

Тогда

"аг(»ЛГ)

= В

«.(Л)

где В - результирующая матрица, описываемая следующей формулой

В =

Ьи ьп

Ь2Х Ъп

При этом выполняются граничные условия:

с7ЛЛ2) = а,(Л,) = 0. Характеристическое уравнение для определения частоты имеет вид

Ь2Х= О

(9)

При его решении в качестве начального приближения брались собственные частоты упругих колебаний.

, Проверка полученных решений осуществлялась путем сравнения с результатами расчетов, выполненных В. В. Алехиным для сферы, состоящей из трех упругих материалов, физические характеристики которых приведены в табл. 1. Первый слой состоял из третьего материала, второй - из второго материала, а третий слой -из первого материала табл. 1. При этом Д, =0.7713;/-, =0.7901; г, = 0.82657; Л2 =1.0.

Полученные решения использовались для демонстрации возможностей управления демпфирующими характеристиками вязкоупругих конструкций за счет методов, используемых для синтеза упругих конструкций. Показано, что для сферы из двух вязкоупругих материалов можно подобрать такую координату границы раздела слоев (г* - 0.924), при которой двухслойная оболочка имеет наибольший декремент затухания, нежели однослойная сфера из любого из указанных материалов (рис. 2). Однако этот результат может измениться на прямо противоположный при другом сочетании материалов, что и демонстрирует рис. 3.

Полученные результаты свидетельствуют о том, что варьирование порядка расположения материалов в слоях, а также - их толщины позволяет управлять демпфирующими свойствами конструкции как в сторону их улучшения, так и ухудшения. Это означает, что априорный выбор материалов не может служить гарантией улучшения демпфирующих характеристик конструкции. Аналогичные результаты получены для сферы, состоящей из трех слоев.

На основании результатов вычислительного эксперимента сделан вывод о том, что многослойные вязкоупругие конструкции могут обладать более высокими демпфирующими свойствами, чем однослойные, что позволяет ставить

ю

задачи синтеза многослойных конструкций из конечного набора вязкоупругих материалов.

Рис.2. Рнс.З.

В третьем параграфе решена одна из таких задач, в которой в качестве целевой функции выбран максимум декремента затухания. Вводятся обозначения фазовых переменных

г,(г) = и(г), 22 =сгг(г) = (Л + 2/*)^ + 2А^-,

аг г

которые в безразмерном виде (р,, Л,, а, - характерные значения плотности, радиуса сферы и напряжения)

Я.

л

г, =

_ 2

Р =

Л. ' Л.

2. ео2Я2,р,

О) =—-

Р = —

Р_ Р.

СГ, <Т, £7,

описываются следующей системой уравнений

£& /1.1 /1 .1-4

г,

(Я + 2//)г 4//[ЗА + 2//]

г2(Я + 2А)

-рсо

(10)

= ЛМ)

(Д + 2//)г

г2(0) = г2(1) = 0 (11)

Здесь путем замены г = + х(Л2 ~ Л) вместо переменного отрезка [/?,, У?2 ] введен непрерывный - [0,1], /¡, /2 - правые части уравнений, в которых точкой обозначены независимая переменная и вектор фазовых переменных, в - обозначение характерных свойств материала.

Выбирая в качестве управляющих переменных функцию 0{х), характеризующую структуру материала, можно сформулировать задачу оптимизации следующим образом. Среди кусочно-постоянных функций в{х), область зна-

г

и

чений которых принадлежит заданному конечному дискретному множеству IV:

0(*)еЖ = {01,...Д,} (12)

где т - число различных материалов, найти управление 9(х), доставляющее максимум функционалу, имеющему смысл декремента затухания собственных колебаний

^ = 1т[й>(0)] (13)

Квадрат основной частоты найден из краевой задачи (10), (11) в виде: 1 1

й)1 = \Gfol \С2с1х (14)

где

а

1

г2(Я + 2ц) 2 (Я + 2//)

Для вывода необходимых условий оптимальности находится вариация функционала (13) дБ = 1т(£<а). Пусть - оптимальное управление из допустимого множества (12), максимизирующее функционал (13). Возмущенное управление {б?* определяется видом (7), при условии, что общая толщина сферы фиксирована. Используя стандартную технику по Р.П Федоренко получим главную часть приращения функционала (13) на основании выражения (14) в виде

Г\ у'

¡С2с1х ] §Н{х,1,в)~ Я(х,5,6>*)}/л

Ло

йР = 1т

1

2а

м

где

К2 - Л)

Поскольку управление {^(л)} является оптимальным, то для любых допустимых управлений (12) справедливо условие 5Р < 0, а так как множество малой меры М почти всюду плотно расположено на отрезке [0,1], то для всех х е [0,1] должно выполниться условие минимума функции Гамильтона #(...) по аргументу в:

н[х,2,е]=тжн (15)

в'еС/

Соотношение (15) есть необходимое условие оптимальности, сформулированное в форме принципа максимума. Отличительной особенностью рассматриваемой задачи является то, что гамильтониан не содержит сопряженных •переменных.

Основная идея прямого метода решения задачи заключается в построении последовательности управлений ($(*)}, I = 1,2,..дающих максимум целе-

вому функционалу (13). Для этого введением равномерной сетки (ху | отрезок [0,1] разбивается на п отрезков Му, моделирующих множества малой меры. Задается начальное управление {0(х)} из допустимой области (12). Очевидно, что функция в{х) является кусочно-постоянной с участками постоянства Mj = [х - -+1), на которых она принимает значения из множества IV. При заданном управлении из уравнения (9)находится собственная частота, затем решается система (10), (11). Считается, что значения вектора фазовых переменных на отрезке Л/у характеризуются его значениями в середине отрезка

л: = лСу -ь /г / 2. Параметр /г - длина малого отрезка М ■. Следующее приближение {#(*)} на некотором множестве Му- ищется в виде

\ \в{х)', х&М,в еИ^,тезМ <£ в \х)-< '

10(4 хеМ,

и определяется из линеаризованной оптимизационной задачи: на данном множестве такое найти допустимое возмущение которое обеспечивает максимум функционалу (13) и отвечает необходимому условию (15). Построенное таким образом новое управление [#*(х)| принимается за начальное и строится следующее приближение. Процесс считается законченным, если управление не изменяется ни на одном из малых отрезков Л/у. Если в результате решения задачи управление принимает одно и то же значение на двух или нескольких рядом стоящих отрезках Mj, то эти отрезки объединяются в один

макрослой. Полученное решение представляет собой локальный минимум для данной задачи.

Приведем примеры расчетов. Во всех вариантах требуется синтезировать сферическую оболочку с максимальным затуханием собственных колебаний. Задан набор из трех вязкоупругих материалов, характеристики которых ( в безразмерном виде) приведены а табл. 2. Внутренний и внешний радиусы оболочки фиксированы: = 0.8, Яг = 1.0.

_Таблица 2

№ материала Р Е V А а Р Лей) 1пи»-103

1 1 15 0.25 0.01 0.5 0.05 7.03 16.6

.2 2 40 0.25 0.01 0.5 0.05 8.12 17.9

3 4 85 0.25 0.01 0.5 0.05 8.37 18.1

В этом варианте реологические параметры всех материалов одинаковы. В двух последних колонках табл. 2 приведены действительная и мнимая части собственных частот соответствующих однослойных оболочек. Синтезированная с помощью описанного алгоритма трехслойная оболочка имеет следующие пара-

метры: Reí» = 8,46; 1т<У - 18,27 • 10_3. Ее конструкция показана на рис.4, где цифры внутри соответствуют номеру материала в табл. 2, а цифры, стоящие вне конструкции - значения безразмерного радиуса сферы на стыке слоев.

_3_|211

0,8 0,920 0,968 1,0

Рис.4

2) В данном примере все характеристики материалов такие же, как в табл. 2, за исключением параметра а, Его значения и соответствующие действительные и мнимые части комплексных частот содержатся в табл. 3

______Таблица 3

№ материала а Reí» Im<y • 103

1 0,10 7,720 44,9

2 = • 0,12 7,890 47,9

3 0,15 8,205 42,8

Наибольшее затухание собственных частот обеспечивает двухслойная сферическая оболочка (Кесо- 7,865; 1ш<У - 48,2-10 3), представленная на рис. 5.

2 [Т

0,8 0,988 1,0

Рис. 5

3) Даны три материала, параметры которых приведены в табл. 4. Из нее видно, что все материалы имеют не только различные ядра релаксации, но и различные параметры модуля Юнга (Е) и коэффициента Пуассона (V).

__Таблица 4

№ Материала Р Е У А а Р Reí» ImüílO3

1 1 15 0,25 0,01 0,7 0,05 7,03 10,38

2 А 48 0,20 0,01 0,6 0,05 6,06 12,09

3 8 42 0,15 0,01 0,5 0,05 3,89 12,21

Синтезируемая оболочка оказывается двухслойной (рис. 6) со следующими характеристиками: Reft) = 6,422 Im<B —12,31-10"3

0,8

0,912 Рис. 6

1,0

Анализ результатов вычислений позволяет, во-первых, положительно оценить возможность повышения уровня демпфирования за счет особенностей прохождения волн через границы различных материалов. Однако следует отметить, что во всех примерах это повышение по сравнению с однослойной оболочкой из самого «хорошего» материала (наибольшее значение Im (О табл. 2 -4) невелико. Во-вторых, во всех слоистых оболочках первый внутренний слой всегда состоит из этого «хорошего» материала, причем его толщина, как правило, много больше, чем у остальных слоев. Это особенно заметно во втором примере (см. рис.5).

В четвертом параграфе рассмотрена задача оптимизации многослойной вязкоупругой полой сферы, обеспечивающей максимальное демпфирование свободных колебаний и имеющей ограничение на общую массу. Для решения поставленной задачи будем исходить из постановки (1) - (4), Целевой функционал остается прежним, т.е.

F0 = \тсо ->шах, (16)

Ограничение по массе запишем в виде

I

Fl =Р. -rjP> 0, или Ft =Pt-tj\(R-l)p{x)dx>0 (17)

о

где Р„ - заданное значение плотности, ц - любое положительное число.

Будем считать, что внешний радиус сферы г = R фиксирован, а внутренний г — I, где

0,8 < / < R, (18!

находится в процессе решения задачи.

Для квадрата собственной частоты получаем

i I

а>2(0,1) = \Jx(x,z,G,l) dxi\J2{x,z,0,l) dx, (19

о о

где

JM^OJ) = |4^ЗЯ + J2(x,zAl) = pzy.

[ г (Л-+ 2//) Л + 2/л J

Пусть {e{x),l} оптимальное управление из допустимого множества (12), (18), максимизирующее функционал (16) и отвечающее ограничению (17). Рассмотрим возмущенное управление J/j

t(x) ~ {р (х), Л (л), р (.г)}, xeD, t е W, 0(х) = | / + <У/е[0,8,Л] (24

в(х) = {р(х),1(х),м(х)\ xzD (Dez [0,1]-множество малой меры). Тогда главные части приращений функционалов (16) и (17) получим в форме

SF0 = 5Im(&>) = Jim

2 со

dx

SP= ¡(R-lXp{x)-p{x))r2dx + BtSl

Здесь T(,e) = H(-,e)-~{R-l)r2p{x), гд ен[,в)= J^ey^J^e)-

dl dl

R-l 2

Г22

dl

dx

J а/ я;

Я. = jjc»(x)r[(r - /Х2 - 3jc)-/]dbc.

0

Т(-,<?) имеет аналогичный 9 ) вид (точкой обозначены пропущенные аргументы х, z, /).

Так как управление {9{x\l} является оптимальным управлением для любых допустимых управлений (20), то должно выполняться условие S F0 < 0. В то же время, множество малой меры D может быть всюду плотно расположено на отрезке [0,l], Тогда для всех X е [0,l] должно выполняться условие принципа максимума для функции Гамильтона Т(...) по аргументу 9. В рассматриваемой задаче гамильтониан Т(-, в) не содержит сопряженных переменных. С учетом этого вычислительный алгоритм строится подобно построенному в предыдущем параграфе, за исключением того, что вычисление 51 осуществляется из условия (17) (при допущении F, + 5 F, » 0) по формуле

8ы\р,- r]){R - l\l + x(R -1)]1 p{x)dx -

D J

Приведем пример расчета для набора из пяти вязкоупругих материалов, безразмерные характеристики которых приведены в табл. 5 (для всех материалов А = \,Р = 0.05, v = 0.25). Требуется спроектировать сферическую оболочку, максимально гасящую собственные колебания и имеющую массу в 3.5 раза меньше, чем однородная оболочка из самого плотного материала. Начальное приближение для управления выбиралось в виде [0 (х), /] = [l; 0,8], что со-

ответствовало однородной сфере с внутренним радиусом / = 0,8, состоящей из материала 1 (см. табл. 5). Такая сфера имеет массу 0.65 и собственную частоту 6.687+3,29/.

Таблица 5

Характеристики исходных материалов

Материал Р Е а

1 4,00 90 0,4

2 2,86 50 0,2

3 1,75 30 0,2

4 1,00 15 0,2

5 2,90 65 0,25

В результате оптимизации получается четырехслойная сфера, состоящая из чередующихся материалов 2 и 3 (см. таблицу), с внутренним радиусом / = 0,92587 и массой 0,1857. Последовательность слоев видна на рис. 7, где /?, =0,9718; = 0,9778; Л, =0,99703.

2 3 2 3

/ тг, я, л, 1

Рис. 7

Данная сфера имеет частоту 2,64+7,46/, т. е. ее демпфирующие свойства улучшились более чем в 2 раза.

Основные результаты и выводы

1. В вычислительном эксперименте показано, что демпфирующие характеристики конструкций из вязкоупругих материалов могут быть улучшены за счет явлений отражения и преломления волн на границах слоев с различными упругими и реологическими характеристиками.

2. На основе принципа максимума Понтрягина в нелокальной формулировке создан алгоритм построения минимизирующей последовательности, улучшающей служебные характеристики слоистых конструкций из дискретного набора вязкоупругих материалов.

3. С помощью этого алгоритма решена задача оптимального проектирования слоистой сферической оболочки, имеющей максимальный декремент затухания, а также аналогичная задача с ограничением на общую массу конструкции.

4. Полученные количественные оценки повышения демпфирующих характеристик многослойных оболочек из дискретного набора материалов при различны ограничениях на их конструктивные параметры свидетельствуют о том, что использование вязкоупругих материалов в оптимальных проектах наиболее целесообразно при наличии различных ограничений на служебные характеристики конструкций (общая масса, стоимость, габариты и др.).

Основные публикации по теме диссертации

1. Бондарев Э. А., Будугаева В. А., Гусев Е. Л. Оптимизация параметров вязкоупругих неоднородных оболочек из конечного набора материалов. Тез.докл. // 1-ая Международная конф.по математическому моделированию. Якутск, сент. 1994.С. 129.

2. Бондарев Э.А., Будугаева В.А., Гусев Е.Л. Оптимальное проектирование вязкоупругих слоистых оболочек из дискретного набора материалов.// Вычислительные технологии (Сборник научных трудов). Т.4, №13. Новосибирск, 1995. С. 127-137.

3. Бондарев Э. А., Будугаева В. А., Гусев Е. Л. О проектировании вязкоупругих слоистых оболочек из дискретного набора материалов.// Прикладная механика и теоретическая физика, т. 38, №2,1997. С. 147— 151.

4. Бондарев Э. А., Будугаева В. А., Гусев Е.Л. Синтез слоистых оболочек из конечного набора материалов. Тез. докл. // 2-ая Международная конференция по математическому моделированию. Якутск, июнь 1997. С. 126.

5. Бондарев Э. А., Будугаева В. А., Гусев Е. Л. Оптимальное проектирование слоистых оболочек из конечного набора вязкоупругих материалов.// Изв. РАН Механика твердого тела№3, 1998. С. 5 - 11.

6. Бондарев Э. А., Будугаева В. А., Гусев Е. Л. Оптимизация декремента затухания свободных колебаний вязкоупругой слоистой сферы.// Journal of the Australian Mathematical Society. 1998, Series В 40, part 4, p. 525 - 534.

7. Бондарев Э. А., Будугаева В. A. Optimal design of layered mass constrained sells from a finite set of viscoelastic materials. // 2 Intern. Conf. "Finite-Difference Methods: Theory and Application". Abstracts. - Minsk, 1998. P. 16 -17

8. Бондарев Э. А., Будугаева В. А. Влияние реологических характеристик на оптимальную конструкцию многослойной сферической оболочки. Тез. докл. // 15-я Международная школа - семинар «Информационные технологии в задачах математического моделирования». Новосибирск, 1998 (электронная версия).

9. Бондарев Э. А., Будугаева В. А. Оптимальное проектирование слоистой вязкоупругой сферы минимального веса. Тез. докл. // 5-ая научная конференция «Современные методы математического моделирования природных и антропогенных катастроф». Красноярск, 1999. С. 36 - 38.

Ю.Бондарев Э. А., Будугаева В. А. Оптимальное проектирование слоистой вязкоупругой конструкции из конечного набора материалов при ограничении на общую массу. Тез. докл. // Конференция «Современные проблемы механики», посвященная 40-летию Института механики МГУ. Москва, 22-26 нояб. 1999.С.214-215.