Оптимальное проектирование слоистых оболочек из вязкоупругих материалов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

! I I л л ,/' ф

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ НЕФТИ И ГАЗА

На правах рукописи

БУДУГАЕВА Валентина Афанасьевна

ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ СЛОИСТЫХ ОБОЛОЧЕК ИЗ ВЯЗКОУПРУГИХ МАТЕРИАЛОВ

01.02.06 - динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата технических наук

ЯКУТСК - 2000

2

1. ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы диссертации определяется, прежде всего, общими тенденциями развития механики деформируемого твердого тела. В 50-е годы в этой области исследований появилось новое направление исследований, которое позднее получило название "теория вязкоупругости". Это направление интенсивно развилось и в нашей стране, и за рубежом, особенно в США, что вначале было вызвано чисто утилитарными потребностями использования новых полимерных материалов в различных технических устройствах. При последующем углублении в проблему начала развиваться теория вязкоупругости и вычислительные методы решения соответствующих задач. Однако лишь в последние годы в этой области механики появились работы, из которых следовали возможности улучшения служебных характеристик конструкций из таких материалов за счет использования их различных сочетаний. Наибольшие перспективы виделись для тех конструкций, которые работают в условиях динамических нагрузок. Очевидная практическая значимость этой проблемы, наряду с возникающими задачами теоретического характера, делает весьма актуальными эти задачи. В тоже время имеющиеся к настоящему времени соответствующие результаты относятся только к упругим материалам. В основном они сводятся к тому, что методы оптимального проектирования, основанные на принципе Понтрягина, можно использовать для разработки алгоритмов решения соответствующих задач из дискретного набора материалов. Тем не менее, эти результаты не снимают как проблемы адекватной математической постановки задач оптимального проектирования конструкций из вязкоупругих материалов, так и необходимости создания новых и развития известных методов их решения. Все это

3

в конечном итоге определяет актуальность темы диссертации и позволяет сформулировать

цель работы: исследовать возможность и дать количественную оценку повышения демпфирующих характеристик многослойных оболочек из дискретного набора вязкоупругих материалов при различных ограничениях на их конструктивные параметры.

Используемые методы исследования. Для описания динамического поведения конструкций в диссертации использовались математические модели линейной теории вязкоупругости Больцмана - Вольтерра с ядром релаксации Ржаницына - Колтунова которое весьма удовлетворительно отражает квазистатическое и динамическое поведение материалов.

Для решения задач синтеза слоистых оболочек использовались методы теории оптимального управления, основанные на принципе максимума Пон-трягина, преимуществом которого по сравнению с классическим вариационным исчислением является отсутствие требования непрерывности и гладкости управления.

Научная новизна. До настоящего времени задачи оптимального проектирования слоистых конструкций решались в рамках математических моделей теории упругости. Наличие демпфирующих свойств у композитных и полимерных материалов, которые можно отнести к вязкоупругим, послужило стимулом к постановке и решению задач синтеза слоистых конструкций именно из этих материалов. В работе рассмотрены вопросы улучшения служебных характеристик вязкоупругих конструкций за счет эффектов отражения и преломления волн при их прохождении через границы раздела материалов с различными свойствами. Даны количественные оценки повышения демпфирующих характеристик многослойных оболочек из дискретного набора материалов при различных ограничениях на их конструктивные параметры.

4

Практическая значимость: Разработанная математическая модель оптимального проектирования слоистых конструкций из конечного набора вязкоупругих материалов и реализующие ее алгоритмы позволяют решать следующие практические проблемы: 1) для любого набора материалов с известными демпфирующими свойствами можно заранее отобрать только те из них, которые необходимы для реализации проектных требований; 2) аналогично решается обратная задача подбора материалов; 3) обеспечить реализацию проектов при ограничениях на общую массу конструкции, на ее стоимость или габариты.

Основное содержание диссертации. Диссертация состоит из трех глав, заключения и списка литературы. В первой вводной главе дается общая характеристика диссертации.

Во второй главе рассматриваются методы описания динамического поведения вязкоупругих материалов и приводится краткий обзор работ, посвященных методам решения прямых задач в области динамики вязкоупругих деформируемых систем, состоящих из разнородных (в реологическом смысле) материалов. Особо выделены исследования, в которых речь идет о демпфировании колебаний конструкций в зависимости от различных факторов и рассмотрены вопросы оптимизации необходимых параметров на стадии проектирования. В этой связи сделан обзор работ, посвященных методам решения задач оптимального проектирования из конечного набора материалов и подчеркнута особенность таких задач.

В третьей главе диссертации на примере сферы рассматриваются вопросы синтеза вязкоупругих слоистых тел.

В первом параграфе приведена общая постановка задачи о свободных колебаниях вязкоупругой сферы. Выписаны соотношения вязкоупругих характеристик материала, полученные на основании линейной теории вязко-упругости Больцмана - Вольтерра. Дана формулировка задачи оптимального проектирования конструкций из конечного набора материалов.

5

Во втором параграфе для краевой задачи о свободных колебаниях однородной вязкоупругой сферы получено точное решение, которое затем обобщается на случай свободных колебаний многослойной сферы. Частотное характеристическое уравнение сферы, имеющей п слоев из различных материалов, решается численно. Демпфирование свободных колебаний сферы оценивалось по мнимой составляющей комплексной частоты {со — СО¡ Л- i(Oj). Рассмотрено влияние реологических свойств материалов и

толщины слоев на демпфирование и показано, что в зависимости от их сочетания демпфирующие свойства многослойной конструкции можно либо улучшить, либо ухудшить.

В третьем параграфе решена задача оптимального проектирования слоистой вязкоупругой сферы фиксированной толщины с максимальным декрементом затухания собственных колебаний. Вычислительный алгоритм строился на основании метода оптимального управления с использованием принципа максимума Л.С.Понтрягина, когда область изменения управления является ограниченным замкнутым множеством соответствующего функционального пространства в отличие от задач классического вариационного исчисления. В данной задаче в качестве управления выступают вязкоупру-гие характеристики материалов. В силу дискретности области значений данных характеристик при выводе необходимых условий оптимальности использовались игольчатые вариации управления. Необходимые условия оптимальности получены в виде гамильтониана, который объединяет в себе вариации целевого функционала, а также вариации фазовых переменных. Покагзано, что оптимальная конструкция будет обязательно состоять из конечного числа слоев. Их количество, размеры, порядок чередования в конструкции, а также материалы, из которых они состоят, находятся в процессе решения. С помощью построенного алгоритма найдено несколько вязкоуп-

6

ругих слоистых сфер с различными реологическими параметрами слоев, которые максимально гасят собственные колебания.

В четвертом параграфе решена задача синтеза оптимальной слоистой оболочки с максимальным декрементом затухания собственных колебаний и с ограничением по общей массе. В силу такой постановки один радиус сферы фиксирован, а другой находится в процессе решения задачи. В качестве управления выбираются не только физические характеристики вязкоупругих материалов, но и толщина оболочки. При этом оптимальное управление находится из необходимого условия оптимальности, которое также строится с использованием принципа максимума Л.С. Понтрягина в нелокальной формулировке. Создан вычислительный алгоритм, с помощью которого получено решение поставленной задачи и выполнен анализ полученных результатов.

В заключении изложены основные результаты и выводы, полученные в диссертации .

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы были обсуждены на 1-ой Международной конференции по математическому моделированию (Якутск, 1994), на конференции по вычислительным технологиям (Новосибирск, 1995), на 2-ой Международной конференции по математическому моделированию (Якутск, 1997), на Международной конференции по конечно-разностным методам (теория и приложения) (Минск, 1998), на 15-ой Международной школе - семинаре «Информационные технологии в задачах математического моделирования» (Новосибирск, 1998), на 5-ой научной конференции по современным методам математического моделирования природных и антропогенных катастроф (Красноярск, 1999), на конференции «Современные проблемы механики», посвященной 40-летию Института механики МГУ (Москва, 1999).

Основные материалы диссертации изложены в десяти публикациях, список которых приводится в конце автореферата.

7

Считаю своим приятным долгом выразить большую благодарность со трудникам Института физико-технических проблем Севера СО РАН, оказы-вамших мне помощь на разных этапах выполнения работы, и в первую очередь - Э. А. Бондареву и М. А. Каниболотскому, а также Б. Д. Аннину (Институт гидродинамики СО РАН) и Ю. С. Уржумцеву, чьи ценные советы во многом стимулировали мою работу.

8

2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ВЯЗКОУПРУГОСТИ И ОПТИМАЛЬНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ

В этом разделе приводятся результаты критического анализа публикаций, посвященных методам решения линейных задач динамической теории упругости и вязкоупругости задач теории оптимального управления. Основное внимание при этом уделяется существу методов, а не полученным результатам, если только они впрямую не соответствуют цели настоящего исследования.

2.1. Динамические задачи вязкоупругости

Проблема математического описания реологических свойств материалов возникла еще в конце прошлого века. Первые варианты решения этой проблемы были предложены Максвеллом, Фойгтом и Кельвиным. При этом реальная структура тела моделировалась набором соединенных между собой упругих и вязких линейных элементов. Указанные модели качественно отражают такие свойства механического поведения материалов, как ползучесть тел при постоянных нагрузках, релаксация напряжений при постоянных деформациях, затухание колебаний и конечность резонансных амплитуд при вынужденных колебаниях.

Математическая модель линейной вязкоупругости по [ 1 ] имеет вид

¿>(<т) = 0(<г)

9

где -сг(^) -изменение напряжений и д(0 —соответствующее изменение де-

формаций, а Р и © - линейные временные операторы, причем они могут быть дифференциальными операторами

В этих формулах рг и 9Г - константы материала. Число таких констант, соответствующих отдельному материалу, определяет особенности его вязко-упругого поведения. Вследствие линейности дифференциальных операторов к ним применим принцип наложения. На основе этого принципа вязкоупру-гие операторы могут быть получены в интегральной форме.

Самой общей линейной теорией, наиболее полно отражающей практически все особенности квазистатического и динамического поведения вяз-коупругих материалов, является теория Больцмана-Вольтерры, согласно которой зависимость между напряжениями и деформациями при одномерном деформировании имеет вид:

где ? - время наблюдения, Т - переменная интегрирования, Е - мгновенный модуль Юнга, Я - функция памяти или ядро релаксации. Вид ядра Я в существенной степени определяет как поведение материала, так и возможности применения тех или иных методов решения задач для материалов, моделируемых с помощью этого соотношения. Если функция Я имеет вид экспоненты или суммы экспонент, то соотношения (2.1.1) приводятся к диффе-

(2.1.1)

10

ренциальным соотношениям, порядок которых равен числу экспонент в указанной сумме. Однако часто встречающиеся в литературе функции влияния

в виде экспоненты или суммы ^Апе не описывают процесс в на-

чальный период, т. к. при t — 0 они имеют конечное значение.

Наиболее адекватно описывают поведение вязкоупругих материалов слабо сингулярные ядра наследственности, в частности, ядро А.Р. Ржаницы-на, М.А. Колтунова:

R(t-T) = Ae-/3{t~T)/(t-T)1-a

Оно по данным опытов на ползучесть и релаксацию [2] весьма удовлетворительно отражает квазистатическое состояние, а по данным работы [3] - динамическое поведение материалов.

Допустим, что две функции времени Фи (р имеют характер колебаний с медленно меняющимися амплитудами:

ф(0 = ) e~i<Bt, (pit) = y/(t) е~ш.

Пусть кроме этого они связаны наследственными соотношениями Больцма-на-Вольтерры

t

ф(0 = (pit) - (f - T)(p{r)dT (2.1.2)

о

Предполагая малость интегральных членов [4], и воспользовавшись методом «замораживания» [5], соотношение (2.1.2) можно заменить более простым алгебраическим. Тогда «заморозив» функцию 1//(т).из уравнения

11

получим

НО

у/(!)

1 -\Я{т)е'шЧт

-МЛ

Далее, преобразуя выражение под знаком интеграла при условии, что

Я(т) - А

,\-а

(2.1.3)

получим для амплитуд Ч1 и у/ зависимость

¥

(2.1.4)

где Гс(&>) и - косинус - и синус Фурье образы ядра (2.1.3), Г(<2) -

гамма функция.

Теперь, если предположить, что имеется некое составное тело, занимающее объем V = ^ Уп (п = 1,2, • • •, Ы), каждый из объемов Уп заполнен вязкоупругой средой, а на поверхности заданы нулевые напряжения и нулевые перемещения и массовые силы отсутствуют, то по [6] физические свойства материала п - го объема описываются соотношениями

= К$кк + 1!лпЯц 0', У» к = 1,2,3)

12

где сг,у, д^ - компоненты тензоров напряжений и деформаций, Лп, ¡лп - операторы Вольтерра вида

Здесь Хп, ¡лп, ЯХп, Я - параметры Ламе и ядра релаксации вязкоупругой

среды, занимающей объем ¥п, (р - произвольная функция времени, равная у/^) ехр(—16) ^). Предполагая малость интегральных членов в (2.1.5), можно получить такие же приближенные соотношения аналогичные (2.1.4)

где юк - действительная часть комплексной частоты колебаний системы, занимающей объем V. Действительная часть комплексной частоты колебаний определяет затухание колебаний, а мнимая часть - демпфирование собственных колебаний системы.

Таким образом, динамические задачи колебаний вязкоупругих тел сводятся к решению системы интегро-дифференциальных уравнений (ин-тегро-дифференциальных по времени и дифференциальных по координатам). Эти уравнения содержит обыкновенные производные в случае систем с конечным числом степеней свободы и частные — в случае систем с распределенными параметрами.

0

(2.1.5)

^ = 4.11 - Г1п ) - ЯХ, (щ)]

(2.1.6)

13

Динамические задачи с бесконечным числом степеней свободы могут быть сведены к системе с сосредоточенными параметрами с помощью различных приближенных методов, например, метода Бубнова-Галеркина или метода конечных элементов. Таким способом решены многие задачи линейной теории вязкоу пру гости. Основная трудность, которая возникает на этом пути, состоит в выборе базисных координатных функций, по которым разлагается искомое решение.

ки

Перейдем теперь к анализу публикаций, посвященных решенияфазно-образных прикладных задач динамики. Основное внимание будет уделено пластинам и оболочкам, так как, во-первых, они являются основными элементами любой конструкции, а во-вторых, используемые при этом методы с небольшими модификациями могут быть использованы для других геометрических форм.

При проектировании сложных конструкций наряду с традиционными металлическими материалами широкое применение нашли полимерные материалы и композиты на их основе. Использование этих материалов во всех отраслях народного хозяйства во многом обусловлено их демпфирующими и вибропоглощающими характеристиками, тепло- и звукоизоляционными свойствами и т.д. Механические системы, изготовленные из композиционных и других материалов с различной реологией и со сложной геометрией классифицируются в динамике как структурно-неоднородные. К структурно-неоднородным с полным правом можно отнести и слоистые конструкции из полимерных и композитных вязкоупругих материалов. Большая техническая сложность и высокая стоимость динамических экспериментов для таких конструкций, невозможность непосредственного измерения многих величин приводят к тому, что данные опытных измерений носят весьма ограниченный характер. В тоже время численный расчет правильно постав�