Проявление наследственных свойств материала в динамических задачах линейной вязкоупругости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

□03053105

На правах рукописи

Старовская Мария Юрьевна

ПРОЯВЛЕНИЕ НАСЛЕДСТВЕННЫХ СВОЙСТВ МАТЕРИАЛА В ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ ЛИНЕЙНОЙ ВЯЗКОУПРУГОСТИ

Специальность 01.02.04 -г- механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2007

003053105

Работа выполнена на кафедре «Высшая математика» Московского государственного технического университета «МАМИ»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

Пшеничнов Сергей Геннадиевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Желтков Владимир Иванович

доктор физико-математических наук Нетребко Алексей Васильевич

Ведущая организация: Институт Проблем Механики РАН

/ г- /Л од

Защита состоится « О » СЪ/иу 2007 г. в у у часов на

заседании диссертационного-совета Д 212.271.02 при ГОУ ВПО «Тульский государственный университет» по адресу: 300600, г. Тула, ГСП, просп. Ленина, 92, 12-303.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Тульский государственный университет».

Автореферат разослан у> ЛЛС$г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Л.А. Толоконников

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Во многих отраслях современного производства широко используются конструкции, элементы которых выполнены из материалов, проявляющих ярко выраженные наследственные свойства, в том числе, линейно-вязкоупругих материалов. В процессе эксплуатации, а также в аварийных ситуациях такие элементы могут подвергаться разного рода динамическим воздействиям, поэтому исследования переходных волновых процессов в вязкоупругих телах приобретают все большую актуальность. Результаты подобных исследований играют важную роль при оценке прочности и надежности различных технических сооружений. Они находят широкое применение в машиностроении, авиационной промышленности, строительстве, а также в геофизике и сейсмологии.

Необходимость изучения процессов деформирования вязкоупругих твердых тел вызвала появление множества публикаций на эту тему. Фундаментальный вклад в решение проблем, касающихся построения математических моделей и разработки методов исследования напряженно-деформированного состояния вязкоупругих тел был внесен работами Вольтерра, Ю.Н. Работнова, A.A. Ильюшина, Б.Е. Победри , М.А. Колтунова, П.М. Огибалова, В.В. Москвитина, Н.Х. Арутюняна, Д.Л. Быкова, Д. Бленда, Р. Кристенсена, А.Р. Ржаницына, В.П. Майбороды, В.Г. Зубчанинова, и других авторов. Исследованиям волновых процессов в вязкоупругих телах посвящены работы В.Г. Гоголадзе, Е.И. Шемякина, М.И. Розовского, У.К. Нигула, И.Г. Филиппова, O.A. Егорычева, И.А. Кийко, Ф.Г. Максудова, М.Х. Ильясова, А..А. Локшина, Ю.В. Суворовой, Ф.Б. Бадалова, В.И. Желткова, И.М. Хайковича, С.И. Мешкова, В.Г. Чебана, A.B. Чигарева, П.Ф. Сабодаша, С.Г. Пшеничнова, Б.Р. Нуриева, Е. Мамедгасанова, М.Б. Расулова, В.И.Козлова, I. Abubakar, J.D. Achenbach,

R. Arens, D.S.Berry, S.C. Hunter, B.D. Coleman, M.E. Curtin, O.W. Dillon, H. Kolsky, L. Songnan, G. Ping и других ученых.

Помимо разработки новых моделей, постановки экспериментов и развития численных методов, одним из важных направлений в изучении динамических процессов в вязкоупругих телах являются аналитические исследования, результаты которых имеют не только самостоятельную ценность, но и могут служить основой эффективных вычислительных методик.

Несмотря на достигнутые успехи в области изучения динамики вязкоупругих тел, многие задачи даже в рамках малых деформаций до сих пор остаются не решенными или исследованными не полностью. К ним относятся, прежде всего, неодномерные начально-краевые задачи для линейно-вязкоупругих тел с переменным во времени коэффициентом Пуассона. Кроме того, даже для одномерных задач влияние ядер разных классов (как регулярных, так и сингулярных) на переходные процессы во всем диапазоне изменения времени от начального момента до полного затухания возмущений исследовано не достаточно. Так, например, по-прежнему вызывает интерес вопрос о том, в какой мере влияет на характер переходного процесса во всем его временном диапазоне принадлежность наследственных ядер тому или иному классу функций, а также о том, какие именно параметры наследственных ядер при этом наиболее существенно проявляются.

В рамках рассматриваемой проблемы представляет интерес вопрос о том, возможно ли в линейно-вязкоупругой динамической задаче так заменить ядра объемной или сдвиговой релаксации заданного типа на соответствующие ядра некоторого другого типа при сохранении всех прочих условий (формы тела, мгновенных модулей, граничных и начальных условий и т.д.), чтобы это не оказало существенного влияния на волновой процесс.

Цель работы. Основной целью предлагаемой работы является исследование влияния ядер релаксации разных типов на переходные волновые процессы в линейно-вязкоупругих телах. В рамках этой общей цели предполагается:

- с помощью определенных соотношений установить соответствие между ядрами, принадлежащими разным классам функций, но при этом проявляющими себя в вязкоупругих динамических задачах схожим образом.

- указанное соответствие продемонстрировать как на одномерных задачах с участием только поперечных или только продольных волн, так и на неодномерной начально-краевой задаче для тел цилиндрической формы.

- построить решение неодномерной осесимметричной динамической задачи для линейно-вязкоупругого цилиндра конечной длины и исследовать особенности переходных процессов в его характерных областях.

Научная новизна. Доказано существование и единственность ядра из класса двухпараметрических экспоненциальных ядер, которое является близким к изначально заданному ядру общего вида согласно предложенным условиям этой близости - соотношениям соответствия. Получено алгебраическое уравнение с одним неизвестным, решение которого определяет параметры указанного двухпараметрического экспоненциального ядра.

Путем исследования конкретных одномерных и неодномерных волновых вязкоупругих задач установлено, что в определенных границах изменения физических и геометрических параметров более сложные ядра можно заменить с помощью соотношений соответствия более простыми (в частности, двухпараметрическими экспоненциальными ядрами) при

сохранении всех прочих условий задачи без существенных изменений в ее решении.

Построено решение осесимметричной нестационарной вязкоупругой задачи для цилиндра конечной длины, находящегося под действием неравномерно распределенного вдоль образующей внутреннего давления. Решение не предъявляет специальных требований к виду наследственных ядер, кроме условия ограниченной ползучести. На основе этого решения подробно исследованы волновые процессы в различных областях цилиндра, начиная от начального момента до практически полного затухания возмущений. При этом варьировались геометрические и физические параметры, а также характер нагрузки. Практическая значимость работы. Проведенные теоретические исследования дают возможность упрощения динамических расчетов элементов конструкций из вязкоупругого материала путем замены соответствующих этому материалу ядер релаксации, найденных экспериментально, на более удобные для вычислений.

Построенное решение неодномерной динамической задачи для цилиндра конечной длины и проведенные с его помощью исследования волновых процессов могут быть использованы при расчетах трубопроводов, орудийных стволов, шахт, а также разнообразных элементов конструкций цилиндрической формы, работающих в нестационарных режимах или при аварийных ситуациях.

Построенные в данной работе решения можно использовать для тестирования алгоритмов численных методов или выбирать в качестве составной части сложных вычислительных процедур, предназначенных для динамических расчетов разного рода технических объектов. Обоснованность и достоверность, полученных результатов обеспечивается выбором известной математической модели, адекватно отражающей переходные процессы в линейно-вязкоупругих телах при

малых деформациях, использованием строгого математического аппарата на всех этапах исследования и сравнением отдельных полученных результатов с уже известными результатами других авторов.

Основные положения, выдвигаемые на защиту:

(1) Доказательство существования и единственности ядра из класса двухпараметрических экспоненциальных ядер, которое удовлетворяет предложенным соотношениям соответствия (близости) заданному ядру общего вида.

(2) Построение решения неодномерной осесимметричной динамической задачи для линейно-вязкоупругого цилиндра конечной длины при ядрах релаксации широкого класса и во всем диапазоне изменения времени.

(3) Исследование переходных волновых процессов в различных областях конечного цилиндра с помощью численной реализации построенного решения в широком диапазоне изменения времени при различных физических и геометрических параметрах.

(4) Подтверждение путем исследования конкретных одномерных и неодномерных динамических задач, что в определенных границах изменения исходных параметров в этих задачах при помощи соотношений соответствия возможна замена ядер релаксации одного типа на ядра другого типа без существенных изменений в решении.

Апробация. Результаты работы обсуждались:

1) на 49-ой Международной научно-технической конференции "Приоритеты развития отечественного автотракторостроения и подготовки инженерных и научных кадров" (МГТУ "МАМИ", 2005 г.);

2) на Международных конференциях "Современные проблемы математики, механики и информатики" (ТулГУ, 2005 г., 2006 г.);

s

3) на конференции "Ломоносовские чтения" (МГУ, 2005 г.);

4) на научных семинарах кафедры теории упругости МГУ (2003 - 2005 г.);

Публикации. Основное содержание диссертации изложено в 7 научных работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура И объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех разделов, заключения и списка литературы из 103 наименований. Она содержит 27 рисунков, а ее общий объем составляет 82 страницы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, дан краткий обзор известных публикаций в исследуемой области, сформулирована цель работы, определена ее научная новизна и практическая значимость, установлена ее обоснованность и достоверность, представлено краткое содержание диссертации.

В первом разделе дана общая математическая постановка динамической задачи исследуемого класса, описывающей нестационарные волновые процессы в линейно-вязкоупругом теле, занимающем область V с границей £. Приводятся уравнения динамики

дх +ft(x,t) = p t,j =1,2,3, x(xi,x2,x3)ev (1)

материальные уравнения:

S¡J(x,t) = 2GQ[e¡j(x,t)- '¡T^-^ix^l o

(

a(x,t) = 3B0[e(x,t)~ ¡Tv(t-4)s(x,£)d£], i,j = 1,2,3,

(2)

o

кинематические соотношения:

4 2 dXj дх,

(3)

а также граничные условия

ah Мст</ (х> t)nj 00 + Рь (Ф, (х> 0 = У к (*>0> t > О,

(4)

и начальные условия:

и,(*,0) = а,(х), —,-(x,0) = bi(x), xeV.

(5)

Здесь cr,j(x,t), £y (x,t) - компоненты тензоров напряжений и деформаций; u,(x,t) - компоненты вектора перемещений; t - время; x(xl>x2,x3), x¡ -координаты; р - плотность; G0, BQ - мгновенные'значения модулей сдвига и объемного сжатия; Ts(t),Tv{t)- ядра сдвиговой и объемной релаксации; /Дх, t), y/¡(x,f), а,(х), b¡(x) - компоненты заданных векторов объемных сил, внешних воздействий, начальных перемещений и скоростей; at](x), Д7(х) - заданные функции; rtj(х) компоненты вектора

единичной внешней нормали к границе тела; dtJ - символ Кронекера; по повторяющимся индексам предполагается суммирование.

Кратко излагается методика исследования задачи (1) - (5) с помощью интегрального преобразования Лапласа по времени и последующего обращения.

Рассматривается вопрос о возможности замены в задаче (1) - (5) ядер релаксации заданного типа на ядра некоторого другого типа (при сохранении всех прочих условий - формы тела, мгновенных модулей, граничных и начальных условий и т.д.) так, чтобы существенных

изменений в решении задачи не произошло. Изучение этого вопроса позволило бы упростить процедуру построения решения за счет замены более сложных ядер на более простые и, главное, глубже понять, какие именно характеристики наследственных ядер проявляют себя в нестационарных процессах наиболее ярко.

С.Г. Пшеничновым в качестве гипотезы были предложены соотношения, выражающие близость (соответствие) между ядрами релаксации разных типов по отношению к их влиянию на нестационарные волновые процессы. Приведем здесь эти соотношения, введя безразмерные ядра и время /4(г) = ?0ГДО» Мт) = '<Л(0> г = //?0, где ?0- некоторое характерное время волнового процесса.

Пусть задано ядро У\(т) объемной или сдвиговой релаксации (т.е. ух(т) = уу(т) или У\{г) = у!.{т)), и выбран класс ядер <2, определяющийся некоторой известной функцией у(81,81,...,8т,т) от т +1 переменной:

набора т неопределенных параметров {8Х,82.....8т)еОс.Ят и времени

т. Рассмотрим задачу об отыскании среди ядер выбранного класса £)

такого ядра у2(г) = у^0,.....8°, г), которое «достаточно близко» к

/¡(т), т.е. при замене в любом из материальных уравнений (2) ядра у^г) (соответствующего у5(т) или у„(г)) на ядро у2(т) из множества 0 решение динамической задачи при сохранении прочих условий изменится несущественно. Искомые значения 82,..предлагается находить из системы, содержащей два соотношения, первое из которых выражает равенство длительных модулей

00

со

о

о

а второе - условие минимума по параметрам 8, функционала

J(öuö2,...,Sm)= \[r{Sx,S2,...,Sm,r)-n{r)]2dr ^ S• >min, (7)

SS s

/\их,и2,...,ит,(.)-Г\ХЧ\ «' - '' aL 0

в предположении, что такой интеграл существует.

В настоящей работе с помощью соотношений (6), (7) заданному ядру /,(г) общего вида поставлено в соответствие двухпараметрическое экспоненциальное ядро /2(т) и доказано, что оно всегда существует и единственно. Утверждение.

Для всякого гладкого ядра у\(г), удовлетворяющего требованиям:

1) lim гу,(г) = 0, 2) lim тух(г) = 0, 3)—/,(г)<0, ге(0,оо) (8) т-ь+со г->0+ dx

00

4) 0< j/i {r)dt < 1 (ограниченная ползучесть),

о

5) У\ (г) - интегрируема на (0,оо)

существует единственное ядро у2(т) из класса функций вида y(a,ß, т) = ae~ßT, ß>a> 0, (9)

определяемое соотношениями соответствия (6), (7).

Приведено доказательство этого утверждения и показано, что условия (6), (7) связывают искомые константы а = а0 и ß = ß0 ядра (9) соотношением а0 = /?0Г, (0), причем ß0 является единственным положительным корнем уравнения

(0) — A[ß Г] (/?)]' = 0, (10)

где Г^Л1) - Лапласова трансформанта /\(т).

Рассмотрены частные случаи, когда У\(т) выбрано в конкретном виде. (1) Задано ядро Колтунова-Ржаницына

n(r) = Ae-btr-K, (11)

где ^ЕО.—<1> Л > 0,6 > 0; О < г < 0.5 (для интегрируемости у* (г) на Ьх~к

(О, оо)), Г - гамма-функция. Уравнение (10) в этом случае имеет вид

у2~к-4лу-4(1-*г) = 0, где у = 1 + Р/Ъ, у>1, (12)

причем его корень _у0 зависит только от к. После вычисления у0 параметры ог0 и /?0 искомого ядра ^2(г) вида (9) находятся из соотношений

^0=^0-1), а0=/}0АГ(1~к), (13)

Ъ

(2) Задано ядро в виде конечной суммы экспонент.

= (14)

(=1

п

где 0<£а,/Д <1, Д > 0. В этом случае уравнение (10) принимает вид 1=]

а параметр а0 искомого ядра /2(г) класса (9) находится из соотношения

«о = А> !>,/£• (16)

/=1

Во втором разделе для подтверждения правомерности выбора соотношений (6), (7) в качестве условий близости ядер по отношению к их влиянию на нестационарные волновые процессы были проведены расчеты перемещений и напряжений для одномерных тестовых задач о распространении только поперечных или только продольных волн. Рассмотрена задача о распространении плоской одномерной волны сдвига в поперечном сечении бесконечного однородного изотропного линейно-вязкоупругого цилиндра, внутренняя поверхность Я = Я0 которого жестко заделана, а внешняя /? = /?[ в момент г = 0 подвержена воздействию

равномерно распределенной вдоль образующей осесимметричной сдвигающей нагрузки = Р0/(г). Решение строилось при помощи преобразования Лапласа по времени с последующим обращением.

Сначала проводилась серия расчетов безразмерных перемещения и напряжения ¿т (г, г) как функций времени г = / / (^о ~ Щ! с2' с2 - скорость поперечной упругой волны) в различных точках г = Я/В.х поперечного сечения цилиндра при заданном сингулярном ядре у ¡(г) = ух(г) в форме Колтунова-Ржаницына (11). Далее для указанного ядра У\{т) строилось с помощью уравнения (12) соответствующее ему ядро у2 (г)> состоящее из одной экспоненты (9), и затем проводилась вторая серия расчетов тех же величин и(г,т), сг12(г,т) при тех же геометрических и физических условиях, но уже с ядром у2(г). Результаты расчетов второй серии сравнивались с соответствующими результатами первой. Точно так же проводилось сравнение величин и(г,т), ст12(г,г) при заданном регулярном исходном ядре ^(г) в виде конечной суммы экспонент (14) и при найденном с использованием уравнения (15) простейшем ядре /2(г) в виДе одной экспоненты. Обнаружено хорошее совпадение результатов в широком диапазоне изменения времени, при этом в процессе расчетов на1рузка выбиралась как в виде функции Хевисайда /(г) = й(г), так и в виде короткого импульса, кроме того, варьировались г0 - Щ и параметры исходного ядра. Весьма характерный рис. 1 иллюстрирует близость волновых процессов при исходном ядре у1(т) = 0Ле~1-6т +0.05е"°-8т +0.02е-°-4г (кривая 1) и найденном ядре /2(г)= 0.16е~° 91г (кривая 2); обе кривые практически не различимы. Штрихпунктирная кривая 3 дана для сравнения и соответствует расчетам при ядре /3(г) = 0.64 е~3 б4г, для которого выполнено только условие (6), но не выполнено условие (7). По оси

ординат - безразмерное напряжение, пронормированное на амплитуду внешней нагрузки. Кривые построены при /(г) = й(г) и г0=0.5 для точки г - г0.

¡¡4 К В 10 12 14 1В 1Н 20 £1 X Рис. 1 Зависимость напряжения от времени в точке г = г0.

Аналогичные исследования были выполнены для однородного изотропного линейно-вязкоупругого бесконечного цилиндра, на внутреннюю поверхность которого в момент ? = 0 действует равномерно распределенная вдоль образующей радиальная нагрузка = ^0/(г).

заданного ядра в виде суммы нескольких экспонент или сингулярного ядра Колтунова-Ржаницына можно с помощью условий соответствия (6), (7) подобрать простейшее ядро всего из одной экспоненты, которое будет оказывать на волновой процесс почти такое же влияние, что и исходное ядро. Для заданного ядра в виде суммы экспонент с разбросом времен релаксации в несколько порядков сказанное касается, главным образом, влияния на процесс изменения во времени напряжений.

В третьем разделе рассмотрена неодномерная осесимметричная начально-краевая задача для линейно-вязкоупругого цилиндра конечной

В результате проведенных исследований установлено, что для

длины. Внешняя поверхность й = Щ цилиндра свободна, а внутренняя Л = Я0, начиная с момента ^ = 0, подвержена воздействию неравномерно распределенного вдоль образующей и зависящего от времени внутреннего давления 6(2,0 = <7о/(*)р(2)> гДе Р(2) - четная функция. При этом оба торца 2 = ±Ь контактируют с абсолютно жесткими и одновременно абсолютно гладкими поверхностями. Решение построено с помощью разложения в ряд Фурье по осевой координате и интегрального преобразования Лапласа по времени с последующим обращением. На основе полученного решения исследованы переходные волновые процессы в разных точках цилиндра для разных вариантов исходных данных. Правомерность условий соответствия (6), (7) подтверждалась по той же методике, что и во втором разделе. Как и в одномерных случаях, здесь установлено, что в определенной области изменения исходных данных замена ядер в форме Колтунова-Ржаницына или в виде суммы нескольких экспонент на соответствующие им ядра, состоящие всего из одной экспоненты, не приводит к существенным изменениям волнового процесса.

Сказанное выше иллюстрирует рис.2, на котором представлены графики для случая уу = 0, у1=ук ПРИ трех различных ядрах релаксации (к = 1,2,3) и схематично изображено место расположения соответствующей точки. Сплошная кривая 1 относится к результатам при изначально заданном ядре ух =0Ле~°Атт~°3, а пунктирная кривая 2 - к аналогичным результатам при ядре у2 = 0.194е~°'788г, найденном по ух из условий (6), (7). Штрихпунктирная кривая 3 дана для сравнения и иллюстрирует результаты при ядре у3 = 0.8е_3245т, для которого выполнено лишь условие (6). Кривые построены при мгновенном значении коэффициента Пуассона =0.3, /(г) = й(г) и р(г) следующего вида:

р(г) = 0.5(1 + соз8г), если ¡г|<//8; р(г) = 0, если //8<ф|</,

остальные данные указаны на рисунке, причем С] - скорость продольной упругой волны.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

(1) Сформулировано и доказано утверждение о существовании и единственности ядра из класса простейших двухпараметрических экспоненциальных ядер, которое удовлетворяет двум условиям соответствия (близости) заданному ядру общего вида. Дан алгоритм построения указанного простейшего ядра с помощью решения нелинейного алгебраического уравнения с одним неизвестным.

(2) С использованием предложенного общего алгоритма в частных случаях проведено построение двухпараметрического ядра, состоящего из одной экспоненты, которое соответствует заданному исходному ядру

в форме Колтунова-Ржаницына. Проведено аналогичное построение в случае задания исходного ядра в виде суммы конечного числа экспонент.

(3) Правомерность условий соответствия (6), (7) между ядрами релаксации разных типов относительно их влияния на одномерные переходные волновые процессы подтверждена исследованиями одномерных задач с участием только поперечных или только продольных волн. Установлено, что для ядра, заданного в виде суммы нескольких экспонент или в форме Колтунова-Ржаницына, можно с помощью указанных условий подобрать ядро из одной экспоненты, которое будет влиять на волновой процесс почти так же, как и исходное ядро. Для ядра, заданного в виде суммы экспонент с разбросом времен релаксации в несколько порядков, сказанное касается, главным образом, влияния на процесс изменения во времени напряжений. Получены простые соотношения, связывающие коэффициенты двух различных ядер Колтунова-Ржаницына, каждому из которых соответствует одно и то же простейшее экспоненциальное ядро.

(4) Построено решение неодномерной осесимметричной динамической вязкоупругой задачи для цилиндра конечной длины при ядрах релаксации общего вида в рамках ограниченной ползучести материала. На основе этого решения проведены исследования переходных волновых процессов в различных точках конечного цилиндра в широком диапазоне изменения времени при различных вариантах исходных данных. Исследования подтвердили правомерность условий соответствия между ядрами разных типов относительно их влияния на неодномерные переходные процессы. Установлено, что для ядра в виде суммы экспонент или в форме Колтунова-Ржаницына можно подобрать ядро всего из одной экспоненты, которое будет

оказывать на неодномерный волновой процесс практически такое же

влияние, что и исходное ядро.

Публикации по теме диссертации

1. Пшеничнов С.Г., Старовская М.Ю. Проверка гипотезы об эквивалентности наследственных ядер для процесса распространения нестационарных волн сдвига в линейно-вязкоупругом теле // Сб. научн. тр. Искусственный интеллект в технических системах. Вып.25. - М.: Гос.ИФТП. 2005. С. 35 - 48.

2. Пшеничнов С.Г., Старовская М.Ю. Решение задачи о неосесимметричном нестационарном нагружении линейно-вязкоупругого цилиндра // Тр. Междунар. науч. симпозиума, посвященного 140-летию МГТУ «МАМИ». М.: МГТУ «МАМИ», 2005. С. 62-63.

3. Пшеничнов С.Г., Старовская М.Ю. Сравнительный анализ результатов исследования нестационарных волн сдвига в вязкоупругом цилиндрическом теле при разных типах наследственных ядер // Тр. Междунар. науч. симпозиума, посвященного 140-летию МГТУ «МАМИ». М.: МГТУ «МАМИ», 2005. С. 63.

4. Пшеничнов С.Г., Старовская М.Ю. Об условиях эквивалентности для наследственных ядер в нестационарных задачах линейной вязкоупругости // Изв. Тульского гос. ун-та. Серия Математика. Механика. Информатика. 2006. Т. 12, вып.2. С. 177 - 189.

5. Пшеничнов С.Г., Старовская М.Ю. Осесимметричная задача динамики для линейно-вязкоупругого полого цилиндра конечной длины // Изв. Тульского гос. ун-та. Серия Математика. Механика. Информатика. 2006. Т.12, вып.2. С. 165 - 176.

6. Старовская М.Ю. Нестационарная задача о действии внутреннего давления на вязкоупругий цилиндр конечной длины // Рук. деп. в ВИНИТИ.- М.: ВИНИТИ. № 670-В 2006.- 16 с.

7. Пшеничнов С.Г., Старовская М.Ю. О проявлении наследственных свойств материала в нестационарной динамике линейно-вязкоупругого цилиндра конечной длины // Международная научная конференция "Современные проблемы математики, механики, информатики", посвященная 10-летию мех.-мат. факультета ТулГу. Тезисы докладов. 2006. С. 179-180.

Изд. лиц. ЛР № 020300 от 12.02.97. Подписано в печать Формат бумаги 60x841/16. Бумага офсетная. Усл. печ. Уч.-изд. л. ¿А Тираж <£00экз. Заказ

Тульский государственный университет. 300600, г. Тула, просп. Ленина, 92.

Отпечатано в Издательстве ТулГУ ■ 300600, г. Тула, ул. Болдина, 151

Введение.

1. О соответствии между ядрами релаксации разных типов в динамических задачах линейной вязкоупругости.

1.1. Постановка динамической задачи для линейно-вязкоупругого тела и форма представления ее решения.

1.2. Соотношения, выражающие соответствие между ядрами релаксации разных типов.

1.3. Построение простейшего экспоненциального ядра по заданному ядру произвольного вида.

Основные результаты.

2. Проявление наследственных свойств материала в одномерных переходных процессах.

2.1. Задача о распространении волны сдвига в поперечном сечении бесконечного цилиндра.

2.2. Задача о распространении продольной волны в поперечном сечении бесконечного цилиндра.

Основные результаты.

3. Проявление наследственных свойств материала в неодномерной динамической задаче для цилиндра конечной длины.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Построение решения в пространстве изображений Лапласа.

3.3. Построение решения в оригиналах.

3.4. Результаты расчетов.

Основные результаты.

АКТУАЛЬНОСТЬ ПРОБЛЕМЫ. Во многих отраслях современного производства широко используются конструкции, элементы которых выполнены из материалов, проявляющих ярко выраженные наследственные свойства, в том числе, линейно-вязкоупругих материалов. В процессе эксплуатации, а также в аварийных ситуациях такие элементы могут подвергаться разного рода динамическим воздействиям, поэтому исследования переходных волновых процессов в вязкоупругих телах приобретают все большую актуальность. Результаты подобных исследований играют важную роль при оценке прочности и надежности различных технических сооружений. Они находят широкое применение в машиностроении, авиационной промышленности, строительстве, а также в геофизике и сейсмологии.

Необходимость изучения как динамических, так и квазистатических процессов деформирования вязкоупругих твердых тел вызвала появление в прошедшем столетии и в последние годы множества публикаций на эту тему. Фундаментальный вклад в решение проблем, касающихся построения математических моделей и разработки методов исследования напряженно-деформированного состояния вязкоупругих тел был внесен работами Вольтерра [102], Ю.Н. Работнова [58-60], А.А. Ильюшина, Б.Е. Победри [22], М.А. Колтунова [27], П.М. Огибалова [21], В.В. Москвитина [37], Н.Х. Арутюняна [4,5], Д. Бленда [9], Р. Кристенсена [29], А.Р. Ржаницына [62], В.П. Майбороды, В.Г. Зубчанинова [28], и других авторов.

Исследованиям волновых процессов в вязкоупругих телах посвящены работы В.Г. Гоголадзе [13, 14], Е.И. Шемякина [81, 82], М.И. Розовского [63-65], У.К. Нигула [39],И.Г. Филиппова, О.А. Егорычева[75], И.А. Кийко [25], Ф.Г. Максудова[34], М.Х. Ильясова [23,24], А.А.

Локшина, Ю.В. Суворовой [31],Ф.Б. Бадалова [6], В.И. Желткова [18, 19], И.М. Хайковича [80], С.И. Мешкова, В.Г. Чебана, А.В. Чигарева[10], П.Ф. Сабодаша [67], Б.Р. Нуриева [40], С.Г. Пшеничнова [44 ], Е. Мамедгасанова [24], М.Б. Расулова [61], В.И.Козлова, Н.К. Кучера [26], I. Abubakar [84], J.D. Achenbach [85], R. Arenz [86], D.S.Berry, S.C. Hunter [88], B.D. Coleman, M.E. Curtin [89,90], O.W. Dillon [91], H. Kolsky [94,95], L. Songnan, G. Ping [101] и других ученых.

Помимо разработки новых моделей, постановки экспериментов и развития численных методов, одним из важных направлений в изучении нестационарных процессов в вязкоупругих телах являются аналитические исследования, основанные на различных способах построения решений начально-краевых задач линейной вязкоупругости. Кроме самостоятельной ценности подобного рода исследований, последние могут служить основой эффективных вычислительных методик. Так, в работе [81] был предложен способ построения решения нестационарной задачи для вязкоупругого тела с одним наследственным ядром с помощью решения соответствующей нестационарной упругой задачи и решения некоторой одномерной вспомогательной задачи с таким же ядром. Этот метод был в дальнейшем развит в трудах [23, 25, 34] для неоднородных тел, наследственные свойства которых определяются двумя различными функциями времени.

Работы [63-65] посвящены распространению принципа Вольтерра на динамические линейно-вязкоупругие задачи.

В монографии [31] исследуются общие свойства интегро-дифференциальных уравнений наследственной теории упругости и асимптотическое поведение их решений с применением теории обобщенных функций и преобразования Фурье-Лапласа.

Одной из наиболее распространенных процедур при построении решений нестационарных вязкоупругих задач является применение к исходной системе уравнений и граничным условиям интегрального преобразования Лапласа по времени с последующим обращением изображений в пространство оригиналов. На сегодня известно множество работ, в которых обращение решения нестационарной задачи линейной вязкоупругости в изображениях проводится различными способами. Иногда возможно непосредственное табличное обращение после предварительного разложения изображений в ряды [25]. Во многих случаях оригиналы строятся приближенно с помощью асимптотического обращения либо при малой вязкости, либо в ограниченном диапазоне изменения времени [26,42,61,67,75,95]; используются также приемы численного обращения [6, 43]. В работах [44-48] на основе исследования свойств решений нестационарных задач линейной вязкоупругости в изображениях разработана методика построения их оригиналов с использованием приемов контурного интегрирования и теории вычетов, приводящая в случае регулярных экспоненциальных ядер к разложению нестационарного решения в ряд по собственным формам свободных колебаний рассматриваемого вязкоупругого тела.

Для исследования динамических задач линейной вязкоупругости весьма эффективен метод модального разложения, разработанный в трудах [18,19]. Его сущность заключается в разложении решения нестационарной задачи для вязкоупругого тела в ряд по собственным формам свободных колебаний соответствующего упругого тела. При этом отыскание зависящих от времени неизвестных модальных коэффициентов проводится с применением преобразования Фурье по времени и последующим обращением.

В рамках рассматриваемой проблемы изучения волновых процессов в линейно-вязкоупругих телах естественно возникает следующий вопрос: возможно ли в конкретной нестационарной задаче так заменить изначально заданные ядра объемной или сдвиговой релаксации одного типа на соответствующие ядра некоторого другого (выбранного) типа при сохранении всех прочих условий (формы тела, мгновенных модулей, граничных и начальных условий и т.д.), чтобы это не оказало существенного влияния на нестационарный процесс? И, если да, то как это сделать? В числе прочего, указанная замена ядер могла бы быть проведена, например, в целях упрощения предварительных динамических расчетов элементов конструкций с использованием наследственных ядер, наиболее удобных в вычислительном плане. В свете обсуждаемого вопроса в работах [49,50] были предложены в качестве гипотезы некоторые общие соотношения, устанавливающие соответствие между ядрами релаксации, принадлежащими разным классам функций. При этом предполагалось, что такие ядра при прочих равных условиях проявляют себя в нестационарных процессах схожим образом, что и подтвердилось в некоторых простейших задачах. Однако, предложенные соотношения требуют дальнейшей проверки и установления пределов их применимости как в одномерных задачах о распространении волн разных типов, так и в задачах неодномерных. Следует отметить, что вопрос о замене в нестационарных задачах одних ядер на другие, более удобные, поднимался также в работах [18, 51]. Там предлагалось заменить исходный материал с переменным коэффициентом Пуассона на материал, у которого он постоянен, а параметры нового ядра вычислять определенным образом через параметры исходных ядер объемной и сдвиговой релаксации. Кроме того, в работе [72] исследована задача о приближении слабосингулярного ядра конечной суммой функций типа Миттаг-Леффлера на конечном отрезке, левая граница которого находится как угодно близко к нулю.

Подводя итог краткому обзору известных работ, заметим, что, несмотря на достигнутые успехи в области исследования динамики вязкоупругих тел, многие задачи ввиду их математической сложности даже в рамках малых деформаций до сих пор остаются не решенными или решенными не полностью. К ним относятся, прежде всего, неодномерные начально-краевые задачи для линейно-вязкоупругих тел с переменным во времени коэффициентом Пуассона при ядрах разных типов в широком диапазоне изменения времени. Кроме того, даже для одномерных задач влияние ядер разных классов (как регулярных, так и сингулярных) на переходные процессы во всем диапазоне изменения времени от начального момента до полного затухания возмущений исследовано не достаточно. Так, например, по-прежнему вызывает интерес вопрос о том, в какой мере влияет на характер нестационарного процесса во всем его временном диапазоне принадлежность наследственных ядер тому или иному классу функций, а также о том, какие именно параметры наследственных ядер при этом наиболее существенно проявляются.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Основной целью предлагаемой работы является исследование влияния ядер релаксации разных типов (как регулярных, так и сингулярных) на переходные волновые процессы в линейно-вязкоупругих телах.

С помощью определенных соотношений предполагается установить соответствие между ядрами, принадлежащими разным классам функций, но при этом проявляющими себя в нестационарных вязкоупругих задачах схожим образом.

Указанное соответствие в определенных границах изменения физических и геометрических параметров предполагается продемонстрировать как на одномерных задачах с участием только поперечных или только продольных волн, так и на неодномерной начально-краевой задаче для тел цилиндрической формы.

Одновременно с этим ставится цель построить решение неодномерной осесимметричной нестационарной задачи для линейновязкоупругого цилиндра конечной длины и исследовать особенности переходных процессов в его характерных областях. НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Доказано существование и единственность ядра из класса двухпараметрических экспоненциальных ядер, которое является достаточно близким к изначально заданному ядру общего вида согласно предложенным условиям этой близости - соотношениям соответствия. Получено алгебраическое уравнение с одним неизвестным, решение которого определяет параметры указанного двухпараметрического экспоненциального ядра.

Путем исследования конкретных одномерных и неодномерных волновых вязкоупругих задач установлено, что в определенных границах изменения физических и геометрических параметров более сложные ядра можно заменить с помощью соотношений соответствия более простыми (в частности, двухпараметрическими экспоненциальными ядрами) при сохранении всех прочих условий задачи без существенных изменений в ее решении.

Проведено построение решения осесимметричной нестационарной вязкоупругой задачи для цилиндра конечной длины, находящегося под действием неравномерно распределенного вдоль образующей внутреннего давления. Решение не предъявляет специальных требований к виду наследственных ядер, кроме общепринятых и условия ограниченной ползучести. На основе этого решения подробно исследованы волновые процессы в различных областях цилиндра, начиная от начального момента до практически полного затухания возмущений. При этом варьировались геометрические и физические параметры, а также характер нагрузки. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ РАБОТЫ. Проведенные теоретические исследования во многих случаях дают возможность упрощения динамических расчетов элементов конструкций из вязкоупругого материала путем замены соответствующих этому материалу ядер релаксации, найденных экспериментально, на более удобные для вычислений.

Кроме того, построенное решение неодномерной динамической задачи для цилиндра конечной длины и проведенные с его помощью исследования волновых процессов могут быть использованы при расчетах трубопроводов, орудийных стволов, шахт, а также разнообразных элементов конструкций цилиндрической формы, работающих в нестационарных режимах или при аварийных ситуациях.

Построенные в данной работе решения можно использовать для тестирования алгоритмов каких-либо численных методов или в качестве составной части сложных вычислительных процедур, предназначенных для динамических расчетов разного рода технических объектов. ОБОСНОВАННОСТЬ И ДОСТОВЕРНОСТЬ полученных результатов обеспечивается выбором известной математической модели, адекватно отражающей переходные процессы в линейно-вязкоупругих телах при малых деформациях, использованием строгого математического аппарата на всех этапах исследования и сравнением отдельных полученных результатов с уже известными результатами других авторов. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

Основные результаты

1) Построено решение неодномерной осесимметричной нестационарной вязкоупругой задачи для цилиндра конечной длины при ядрах релаксации общего вида в рамках ограниченной ползучести материала во всем диапазоне изменения времени.

2) На основе построенного решения путем конкретных расчетов проведено исследование волновых процессов в различных точках конечного цилиндра в широком диапазоне изменения времени при различных вариантах исходных данных: менялся характер нагрузки, варьировались геометрические и физико-механические параметры, в том числе параметры наследственных ядер.

3) Проведенные исследования подтвердили правомерность выбора соотношений (1.2.1), (1.2.2) в качестве условий близости (соответствия) между ядрами разных типов по отношению к их влиянию на неодномерные нестационарные процессы. Установлено, что в рассмотренной двумерной динамической задаче для заданного ядра в виде суммы нескольких экспонент или сингулярного ядра Колтунова-Ржаницына можно с помощью указанных условий соответствия подобрать простейшее ядро всего из одной экспоненты, которое будет оказывать на волновой процесс почти такое же влияние, что и исходное ядро

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Выполненная работа была проведена с общей целью изучения влияния наследственных свойств материала на переходные волновые процессы в линейно-вязкоупругих телах, в том числе, получения более полного представления о том значении, которое имеет принадлежность ядер релаксации тому или иному классу. В этой связи с помощью определенных соотношений предполагалось установить соответствие между ядрами, принадлежащими разным классам функций, но при этом проявляющими себя в нестационарных вязкоупругих задачах схожим образом.

В рамках выбранной цели в настоящей работе получены следующие основные результаты, имеющие как научную, так и практическую ценность.

1) Сформулировано и доказано утверждение о существовании и единственности ядра из класса простейших двухпараметрических экспоненциальных ядер, которое удовлетворяет двум условиям соответствия (близости) заданному ядру общего вида. Дан алгоритм построения указанного простейшего ядра с помощью решения нелинейного алгебраического уравнения с одним неизвестным.

2) С использованием предложенного общего алгоритма в частных случаях проведено построение двухпараметрического ядра, состоящего из одной экспоненты, которое соответствует заданному исходному ядру в форме Колтунова-Ржаницына. Проведено аналогичное построение в случае задания исходного ядра в виде суммы конечного числа экспонент.

3) Правомерность условий соответствия между ядрами релаксации разных типов по отношению к их влиянию на одномерные переходные волновые процессы подтвердили исследования одномерных тестовых задач с участием только поперечных или только продольных волн.

Установлено, что для заданного ядра в виде суммы нескольких экспонент или сингулярного ядра Колтунова-Ржаницына можно с помощью указанных условий соответствия подобрать простейшее ядро всего из одной экспоненты, которое будет оказывать на волновой процесс почти такое же влияние, что и исходное ядро. Для заданного ядра в виде суммы экспонент с разбросом времен релаксации в несколько порядков сказанное касается, главным образом, влияния на процесс изменения во времени напряжений. Получены простые соотношения, связывающие коэффициенты двух различных ядер Колтунова-Ржаницына при условии, что каждому из этих ядер соответствует одно и то же простейшее экспоненциальное ядро.

4) Построено решение неодномерной осесимметричной динамической вязкоупругой задачи для цилиндра конечной длины при ядрах релаксации общего вида в рамках ограниченной ползучести материала. На основе этого решения проведены исследования переходных волновых процессов в различных точках конечного цилиндра в широком диапазоне изменения времени при различных вариантах исходных данных. Исследования подтвердили правомерность условий соответствия между ядрами разных типов по отношению к их влиянию на неодномерные переходные процессы. Как и в одномерном случае, здесь установлено, что для заданного ядра в виде суммы экспонент или ядра Колтунова-Ржаницына можно подобрать простейшее ядро всего из одной экспоненты, которое будет оказывать на неодномерный волновой процесс практически такое же влияние, что и исходное ядро.

1. Азеев К.В. Динамическая устойчивость пологах оболочек из вязкоупругих материалов.- Дисс. на соиск. уч. степ. канд. физ.-мат. наук,- Тула: Тульский гос. ун-т. 2005. 121 с.

2. Амиркулова Ф.А., Худойназаров Х.Х. Продольно-радиальные колебания цилиндрической термовязкоупругой оболочки // Вестн. Рос. Университета дружбы народов. Сер. Инж. исслед. 2002. № 1. -С. 66-70.

3. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. М.: Наука. 1984.-383 с.

4. Арутюнян Н.Х. Некоторые вопросы теории ползучести. М.-Л.:Гостехиздат. 1952. - 186 с.

5. Арутюнян Н.Х., Колмановский В.Б. Теория ползучести неоднородных тел. М.: Наука. 1983. - 336 с.

6. Бадалов Ф.Б. Методы решения интегральных и интегро-дифференциальных уравнений наследственной теории вязкоупругости. Ташкент: Мехмат. 1987. - 270 с.

7. Бажанова Н.С., Коссович Л.Ю. Погранслой в окрестности фронта волны расширения в вязкоупругих оболочках вращения // Прикл. пробл. прочн. и пласт. 2000. № 61. С. 22 - 26, 230,237.

8. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Т. 1. -М.: Наука. 1969.-343 с.

9. Бленд Д. Теория линейной вязко-упругости.- М.: Мир. 1965. 199 с. Ю.Блитштейн Ю.М., Мешков С.И., Чебан В.Г., Чигарев А.В.

10. Распространение волн в вязкоупругих средах. Кишинев: Штиинца. 1977.-205 с.

11. П.Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. 4.1. М.: Изд-во иностр. лит. 1949. - 799 с.

12. Володина Л.В., Зотов Е.В., Красовский Г.Б., Новиков С.А., Синицын В.А., Чеверикин A.M., Якупов М.М. Динамика вязкоупругих сферических оболочек при внутреннем взрывном нагружении. -Саров: Изд-во РФЯЦ-ВНИИЭФ. 2003. С. 208 215.

13. Гоголадзе В.Г. Некоторые задачи наследственной упругости. Поверхностные волны в среде с наследственной упругостью // Тр. Сейсмологического ин-та АН СССР. 1938. № 87. С. 1-39.

14. Гоголадзе В.Г. Упругие колебания в среде с упругим последействием (с наследственностью). Тр. Сейсмологического ин-та АН СССР. 1941. №109.- С. 1-23.

15. Деч Г. Руководство по практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования: Пер. с нем.-М.: Наука. 1971.- 288 с.

16. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление.-М.: Наука. 1974.- 542 с.

17. Егорычев О.О. Воздействие подвижной нагрузки на многослойную вязкоупругую пластину, лежащую на вязкоупругом основании // Сейсмостойк. стр-во. Безопасн. сооруж. 2002. № 4.- С. 24-27,65.

18. Желтков В.И. Экспериментально-теоретическое обеспечение динамических задач линейной вязкоупругости.-Дисс. на соискание уч. степени доктора физ.-мат. наук,- Тула: Тульский гос. ун-т. 2000.-262с.

19. Желтков В.И., Толоконников Л.А., Хромова Н.Г. Переходные функции в динамике вязкоупругих тел // Докл. РАН. 1993. Т. 329. № 6. С. 718-719.

20. Ильюшин А.А. Метод аппроксимации для расчета конструкций по линейной теории термовязкоупругости // Механика полимеров. 1968. №3.-С. 210-221.

21. Ильюшин А. А., Огибалов П.М. Квазилинейная теория вязкоупругости и метод малого параметра // Механика полимеров. 1962. № 2.-С. 170-189.

22. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости.-М.: Наука. 1970.-280 с.

23. Ильясов М.Х. О решениях неоднородных волновых уравнений линейной вязкоупругости // Докл. АН АзССР. 1980. № 12.-С. 13-17.

24. Ильясов М.Х., Мамедгасанов Е. Волны напряжений в составном полубесконечном наследственно-упругом стержне // В сб. докл. Междунар. науч.-тех. конф.: Актуальные проблемы фундаментальных наук. Т.8.- М.: Изд. МГТУ. 1991.- С. 82-85.

25. Кийко И.А., Ильясов М.Х. Динамическое кручение вязкоупругих цилиндрических стержней // Механика полимеров. 1975. № 3.- С. 482-492.

26. Козлов В.И., Кучер Н.К. Динамическое поведение многослойных цилиндрических конструкций при нестационарных нагрузках // Проблемы прочности. 1980. № 5.- С. 97-103.

27. Колтунов М.А. Ползучесть и релаксация.- М.: Высш. школа. 1976.277 с.

28. Колтунов М.А., Майборода В.П., Зубчанинов В.Г. Прочностные расчеты изделий из полимерных материалов. М.: Машиностроение. 1983.-336 с.

29. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости.- М.: Мир. 1974.338 с.

30. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного.- М.: Наука. 1987.- 688 с.

31. Локшин А. А., Суворова Ю.В. Математическая теория распространения волн в средах с памятью.- М.: Изд-во МГУ. 1982.151 с.

32. Лурье А.И. Операционное исчисление и его приложения к задачам механики.- M.-JL: Госиздат, техн.-теор. лит. 1950.- 432 с.

33. Лычев С.А., Сидоров Ю.В. Формализация процедуры построения математических моделей вязкоупругих оболочек: тез // Обозрение прикл. и пром. мат. 2001. № 1,- С. 261-262.

34. Максудов Ф.Г., Ильясов М.Х. Об одном методе решения динамических задач линейной вязкоупругости с регулярными наследственными ядрами // Докл. АН СССР. 1981. Т. 260. № 6.- С. 1332-1335.

35. Мальцев JI.E. Приближенное решение некоторых динамических задач вязкоупругости // Механика полимеров. 1978. № 2.- С. 210-218.

36. Молодцов И.Н. Об исследовании динамики многослойного неоднородного полого шара // Вестник Моск. ун-та. Сер. 1.Математика, механика. 1981. № 1.- С. 82-86.

37. Москвитин В.В. Сопротивление вязкоупругих материалов.- М.: Наука. 1972.-328 с.

38. Недорезов П.Ф. Вибрационный изгиб вязкоупругих пластин и оболочек в рамках модели Кирхгофа-Лява.- Саратов: Саратов, гос. техн. ун-т. 2000.-35 с.

39. Нигул У.К. Правильное применение метода деформирования контура интегрирования при обращении преобразования Лапласа в задачах распространения вязкоупругих волн // Докл. АН СССР. 1979. Т. 248. №1.-С. 56-59.

40. Нуриев Б.Р. Удар по вязкоупругому слоистому композиту // Изв. АН АзССР. Сер. физ.-техн. и мат. наук. 1985. № 4.- С. 35-41.

41. Овсянникова Е.И. Анализ затухающих колебаний линейных и нелинейных вязкоупругих пластин, свойства которых определяются дробными производными.- Автореф. дис. на соиск. уч. степ. канд. физ.-мат. наук.- Воронеж: Воронеж, гос. ун-т. 2002.16 с.

42. Перов М.А. Решение одномерных нестационарных задач динамики кусочно-однородных тел.- Дисс. на соиск. уч. степ. канд. физ.-мат. наук.- М.: МГУ. 2003.102 с.

43. Пряхина О.Д. Нестационарные колебания упругой балки на вязкоупругом основании //Изв. РАН. МТТ. 1992. № 1.- С. 164-169.

44. Пшеничнов С.Г. Распространение одномерных волн в кусочно-однородных вязкоупругих телах // Докл. АН СССР. 1990. Т. 315. № 3.- С. 566-570.

45. Пшеничнов С.Г. Особенности использования преобразования Лапласа при решении линейных начально-краевых задач механики деформируемого твердого тела // Сб. науч. тр. Исследование процессов в распределенных системах и средах.- М.: ИФТП. 1991.-С. 35-39.

46. Пшеничнов С.Г. Некоторые особенности использования преобразования Лапласа при решении линейных задач нестационарной динамики деформируемых твердых тел // Докл. РАН 1994. Т.339. N 1. С 48-51.

47. Пшеничнов С.Г. Построение оригинала для трансформанты Лапласа с помощью теории вычетов в задачах динамики линейно-вязкоупругих тел // Нелинейные явления в открытых системах: Сб. науч. тр. Вып.8. М.: Гос.ИФТП. 1997. С. 79 87.

48. Пшеничнов С.Г. Об одном свойстве решений нестационарных задач для линейно-вязкоупругих тел в пространстве изображений Лапласа // Искусственный интеллект в технических системах: Сб. науч. тр. М.: Гос.ИФТП, 1997. С. 132 142.

49. Пшеничнов С.Г. О влиянии параметров ядер релаксации на волновые процессы в линейно-вязкоупругих телах // Искусственный интеллект в технических системах: Сб. науч. тр. Вып. 23. М.: Гос.ИФТП, 2002. С. 60-73.

50. Пшеничнов С.Г. О некоторых соотношениях эквивалентности для вязкоупругих ядер // Тр. Междунар. научно-техн. конференции «Прогрессивные технологии и оборудование кузнечно-штамповочного производства». М.: МГТУ «МАМИ», 2003. С. 263 -268.

51. Пшеничное С.Г. К вопросу об исследовании нестационарных процессов в линейно-вязкоупругих телах при переменном коэффициенте Пуассона // Изв. Тульского гос. ун-та. Серия Математика. Механика. Информатика, 2005. Т.П. Вып.2. С. 116 126.

52. Пшеничнов С.Г., Старовская М.Ю. Решение задачи о неосесимметричном нестационарном нагружении линейно-вязкоупругого цилиндра // Тр. Междунар. науч. симпозиума, посвященного 140-летию МГТУ «МАМИ». М.: МГТУ «МАМИ», 2005. С. 62-63.

53. Пшеничнов С.Г., Старовская М.Ю. Об условиях эквивалентности для наследственных ядер в нестационарных задачах линейнойвязкоупругости // Изв. Тульского гос. ун-та. Серия Математика. Механика. Информатика. 2006. Т. 12, вып.2. С. 177 189.

54. Пшеничнов С.Г., Старовская М.Ю. Осесимметричная задача динамики для линейно-вязкоупругого полого цилиндра конечной длины // Изв. Тульского гос. ун-та. Серия Математика. Механика. Информатика. 2006. Т. 12, вып.2. С. 165 176.

55. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций.- М.: Наука. 1966.- 752 с.

56. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел.-М.: Наука. 1977.-384 с.

57. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела.- М.: Наука. 1988.- 712 с.

58. Расулов М.Б. Распространение продольных вязкоупругих волн в трехслойном полупространстве // Материалы 4-й Респ. конф. молодых ученых по математике и механике. Механика. Баку: Элм. 1983.- С. 239-243.

59. Ржаницын А.Р. Теория ползучести. М.: Госстройиздат. 1968. -186 с.

60. Розовский М.И. Об одном свойстве степени специального оператора и его приложения к решению упруго-наследственных динамических задач // В сб.: Ползучесть и длительная прочность.- Новосибирск: СО АН СССР. 1963.- С. 128-133.

61. Розовский М.И. Интегрально-операторный метод в наследственной теории ползучести // Докл. АН СССР. 1965. Т. 160. № 4.- С. 792-795.

62. Розовский М.И. Механика упруго-наследственных сред // В кн.: Итоги науки. Упругость и пластичность. 1965.- М.: ВИНИТИ. 1967.-С. 167-250.

63. Сабодаш П.Ф. Распространение продольных вязко-упругих волн в трехслойной среде // Механика полимеров. 1971. № 1.- С. 151-156.

64. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной.- М.: Наука. 1970.-304 с.

65. Сеймов В.М., Трофимчук А.Н., Савицкий О.А. Колебания и волны в слоистых средах.- Киев: Наук, думка. 1990.- 221 с.

66. Старовская М.Ю. Нестационарная задача о действии внутреннего давления на вязкоупругий цилиндр конечной длины // Рук. деп. в ВИНИТИ.- М.: ВИНИТИ. № 670-В 2006.- 16 с.

67. Суворова Ю.В. О применении интегральных преобразований в одномерных волновых задачах наследственной вязкоупругости // В сб.: Механика деформируемых тел и конструкций.- М.: Машиностроение. 1975.- С. 464-471.

68. Сургуладзе Т.А. Об одном применении дробной функции Грина // Изв. РАН (МП). №1.2001.- С. 53-60.

69. Сургуладзе Т.А. Об определяющих соотношениях вязкоупругости, содержащих дробные производные // Вестн. МГУ. Сер. 1. 2002. № 4.-С. 65-68.

70. Сургуладзе Т.А. О гиперболичности некоторых трехмерных уравнений движения вязкоупругости // Вестн. МГУ. Сер. 1. 2002. № 5.- С. 61-64.

71. Филиппов И.Г., Егорычев О.А. Волновые процессы в линейных вязкоупругих средах. М.: Машиностроение. 1983.- 269 с.

72. Филиппов И.Г., Кудайназаров К. Общие уравнения поперечных колебаний круговой цилиндрической вязкоупругой оболочки // Прикл. механика. 1990. Т. 26. № 4.- С. 41-49.

73. Филиппов И.Г., Скропкин С.А, Дмоховский А.В. Теоретико-экспериментальное исследование волн напряжений в вязкоупругих стержнях переменного сечения // Тр. МИСИ. 1977. Т. 138.- С. 116121.

74. Филиппов И.Г., Чебан В.Г. Математическая теория колебаний упругих и вязкоупругих пластин и стержней.- Кишинев: Штиинца.1988.- 190 с.

75. Филиппов И.Г., Ширинкулов Т.Ш., Мирзакабилов С.М. Нестационарные колебания линейных упругих и вязкоупругих сред.-Ташкент: Фан. 1979.-236 с.

76. Хайкович И.М. Некоторые вопросы распространения волн в среде с релаксацией напряжения // В сб.: Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн.- Л.: Изд-во Ленингр. гос. ун-та. 1959. Вып. 3.- С. 320-327.

77. Шемякин Е.И. Распространение нестационарных возмущений в вязкоупругой среде // Докл. АН СССР. 1955. Т. 104. № 1,- С. 34-37.

78. Шемякин Е.И. Динамические задачи теории упругости и пластичности.- Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та. 1968.- 337 с.

79. Яковлев Ю.С. Об обращении сложных трансформант-изображений по Ханкелю и Лапласу // В кн.: Прикладные проблемы прочности и пластичности.- Горький. 1976. Вып. 3.- С. 3-10.

80. Abubakar I. On the buried sourse in a viscoelastic halfspace // Pure and Appl. Geoph. 1969. V. 72. № l.- p. 51-54.

81. Achenbach J.D. Vibrations of a viscoelastic body // AIAA. 1967. V. 5.- P. 1213.

82. Arenz R.T. Two-dimensional wave propagation in realistic viscoelastic material//J. Appl. Mech. ASME. E. 1965. V. 32.№2.-P. 1311.

83. Barret K.E., Gotts A.C. Finite element analysis of a compressible dynamic viscoelastic sphere using FFT // Comput. and Struct. 2002. V. 80. №20-21.- P. 1615-1625.

84. Berry D.S., Hunter S.C. The propagation of dynamic stresses in viscoelastic rods // J. Mech. and Phys. Solids. 1956. V. 4. № 2.- P. 72-95.

85. Coleman B.D., Curtin M.E. Waves in materials with memory. 1 // Arch. Ration. Mech.Anal. 1965. V. 19. № 1.- P. 1-19.

86. Coleman B.D. , Curtin M.E. Waves in materials with memory. 2,3 // Arch. Ration. Mech.Anal. 1965. V. 19. № 4.- P. 17-298.

87. Dillon O.W. Transient stresses in non-gomogeneous viscoelastic (Maxwell) materials // J. Aerospace Sci. 1962. V. 29. № 3.- P. 284-288.

88. He Shi-ping, Tang Wei-lin, Fan Jun. Wave propagation and attenuation in a viscoelastic cylindrical tube with specific boundary // Chuanbo lixue = J. Ship. Mech. 2005. V. 9. № 3.- P. 126-136.

89. Kiyoshi I., Shotaro N. Transient stress waves in an axisymmetricaly Void-viscoelastic layered space subjected to concentrated normal loads // Добоку гаккай ромбунсю.= Proc. JSCE. 1990. № 422.- P. 275-284.

90. Kolsky H. Sress waves in solids/- Oxford. 1953.- 211 p. ( Рус. пер.: Кольский Г. Волны напряжений в твердых телах.- М.: ИЛ. 1953,192 с.)

91. Kolsky Н. Stress waves in anelastic solids // J. Geophys. Res. 1963. V. 68. №4.-P. 1193-1194.

92. Maue A.W. Die Beugung elastischer Wellen an der Halbebene // Z. Angew. Math. Und Mech. 1953. Bd. 33. H. 1/2.- S. 1-10.

93. Motomancea A., Bugaru M. Nonlinear response of double-wall cylindrical shell vibrations // Rev. roum. sci. techn. Ser. Mec. appl. 1999. V. 44. №5.-P. 575-589.

94. Papargyri-Beskou S., Beskos D.E. Response of gradient-viscoelastic bar to static and dynamic axial load // Acta mech. 2004. V. 170. № 3-4.- P. 199-212.

95. Romeo M. Interfacial viscoelastic SH waves // Int. J. Solids and Struct. 2003. V. 40. № 9.- P. 2057-2068.

96. Songnan L., Ping G. Dynamic response of layered viscoelastic half-space and its application to dynamic foundation problems // Hunan daxue xuebao. J. Hunan Univ. 1993. V. 20. № 1.- P. 57-64.

97. Volterra V. Sulle equasio dells electrodinamicca // Rend. Acc. Lincei. Ser. 5a. 1909. V. 28.- P. 203-211.

98. Yusifov Mekhrali O. The transverse vibration of a pile an viscoelastic medium // Trans. Nat. Acad. Sci. Azerb. Ser. Phys.-Techn. and Math. Sci. 2002. V. 22.№ 4.- P. 253-256.