Итерационные методы решения задач линейной и нелинейной вязкоупругости, термовязкоупругости, термоупругости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

I ВАРИАЦИОННАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОЙ ВЯЗКОУПРУГОСТИ. МЕТОД ВСПОМОГАТЕЛЬНОГО ФУНКЦИОНАЛА.

ТЕОРИЯ ЭФФЕКТИВНЫХ ПО ВРЕМЕНИ МОДУЛЕЙ

1.1 Вариационная постановка задачи линейной вязкоупругости

1.1.1 Основные уравнения линейной вязкоупругости

1.1.2 Условие эллиптичности для вязкоупругих тел.

Потенциал оператора краевой задачи

1.2 Формулировка метода вспомогательного функционала для задачи линейной вязкоупругости нестареющего тела

1.2.1 Формулировка алгоритма и теоремы о сходимости

1.2.2 Энергетические оценки сходимости итерационного алгоритма.

1.2.3 Дифференциальная формулировка метода вспомогательного функционала.

1.2.4 Определение длины шага при минимизации вспомогательного функционала

1.3 Различный формы вспомогательных функционалов.

Разделение переменных. Сравнение с методом Вольтерры

1.3.1 Разделение пространственных и временных переменных в методе вспомогательного функционала

1.3.2 Вспомогательный функционал упругого тела

1.3.3 Сравнение метода вспомогательного функционала с методом Вольтерры

1.4 Приближенные алгоритмы решения на основе теории эффективных модулей

1.4.1 Эффективные по времени упругие модули

1.4.2 Численные расчеты с упругими эффективными модулями

1.4.3 Оптимальные эффективные модули

4 4 Численные расчеты с оптимальными упругими модулями

1.4.5 Эффективные вязкоупругие модули

1.4.6 Оптимальные вязкоупругие модули

1. 4,7 Эффективные модули для разрывных траекторий натружения.

1.5 Двухсторонние неравенства для функционалов удельных потенциальных энергий

1.5.1 Представление функционалов удельных потенциальных энергий в положительно определенном виде

1.5.2 Вывод неравенств для функционалов удельных потенциальных энергий.

1.5.3 Численные примеры расчетов энергетических неравенств

1.5.4 Вывод неравенств, связывающих оптимальные и эффективные модули.

1.5.5 Двухсторонние неравенства для сверток напряжений и деформаций.

1.6 Определение эффективных характеристик неоднородных

1.6.1 Вывод выражений эффективных модулей неоднородных упругих тел.

1.6.2 Эффективные модули неоднородных вязкоупругих тел.

II АЛГОРИТМЫ И ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ

ВЯЗКОУПРУГОСТИ НЕСТАРЕЮЩЕГО ТЕЛА

2.1 Осесимметричная задача для линейно вязкоупругого цилиндра.

2.1.1 Постановка и алгоритм задачи

2.1.2 Численное исследование сходимости.

2.1.3 Численный анализ напряжений и деформаций .Ш

2.1.4 Численный пример для случая слабосингулярных ядер

2.2 Алгоритм реализации метода вспомогательного функционала на основе численного интегрирования по времени

2.3 Алгоритмы метода переменных параметров линейной вязкоупругости

2.3 Л Формулировки алгоритмов

2.3.2 Исследование сходимости метода переменных параметров

2.3.3 Численный анализ сходимости. Сравнение расчётов по методу переменных параметров и методу вспомогательного функционала.

2,. 4 Построение вязкоупругих решений по известным упругим на основе приближённого принципа соответствия.

2.4.1 Формулировка приближённого принципа соответствия

- 4

2.4.2 Численные примеры реализации

III АЛГОРИТМЫ И ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ АНИЗОТРОПНОГО ЛИНЕЙНОГО ВЯЗК0УПРУГ0Г0 ТЕЛА

3.1 Вариационная постановка краевых задач.

Формулировка итерационных алгоритмов

3.1.1 Постановка задачи линейной вязкоупругости анизотропного тела и выбор вспомогательного функционала

3.1.2 Приближённый принцип соответствия для задач анизотропного тела

3.1.3 Схемы реализации алгоритма переменных, параметров

3.2 Приближённые решения для некоторых задач анизотропного тела на основе принципа соответствия

3,2.1 Растяжение ортотропной пластинки с отверстием.

Сравнение с методом аппроксимаций

3.2,3 Приближённый расчёт напряженно-деформированного состояния вязкоупругого ортотропного покрытия

3.3 Эффективные по времени модули анизотропного тела

3.3.1 Вывод выражений для эффективных модулей

3.3.2 Оптимальные эффективные модули

3.3.3 Двухсторонние неравенства для функционалов удельных потенциальных энергий.

3.3, 4 Расчет тяжелого трансверсально-изотропного массива с полостью.,.

IV АЛГОРИТМЫ И ЧИСЛЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ СТАРЕЮЩЕГО, НЕОДНОРОДНОГО И НЕСЖИМАЕМОГО ТЕЛ

4. .1 Вариационная постановка и итерационные алгоритмы решения для задач однородно стареющих изотропных сред

4.3.1 Особенности постановки задачи стареющего линейно вязкоупругого тела. Выбор вспомогательного функционала

4.1.2 Эффективные и оптимальные модули

4.2 Приближенные расчеты с эффективными модулями

4.2.1 Кручение неоднородно-стареющего цилиндра —

4.2.2 Численный пример определения Функции связной ползучести

4.3 Алгоритм и численный расчёт двухслойного линейно вязкоупругого цилиндра с четырьмя независимыми ядрами

4.4 Контактная задача для цилиндра с упругой оболочкой

4.4.1 Упругий анализ оболочки с заполнителем.

4.4.1.1 Метод итерационного сопряжения контактных условий

4.4.1.2 Расчёт напряженно-деформированного состояния цилиндра.

4.4.1.3 Расчёт напряженно-деформированного состояния оболочки.

4.4.1.4 Влияние механических свойств заполнителя на напряженно-деформированное состояние оболочки

4.4.1.5 Влияние геометрических размеров заполнителя на напряженно-деформированное состояние оболочки

4.4.1.6 Влияние механических и геометрических характеристик оболочки на напряженно-деформированное состояние заполнителя.

4.4.2 Алгоритм и численный расчёт упругой оболочки с вязкоупругим заполнителем.

4.5 Вариационная постановка задач линейной вязкоупругости несжимаемого и слабосжимаемого тел

4.5.1 Вариационные уравнения задачи несжимаемого и слабосжимаемого тел.

4.5.2 Приближённый принцип соответствия

У ИТЕРАЦИОННЫЕ АЛГОРИТМЫ ДЛЯ ЗАДАЧ

НЕЛИНЕЙНО ВЯЗКОУПРУГОГО ТЕЛА.

5.1 Вариационная постановка и выбор вспомогательного функционала.

5.1.3 Основные уравнения главной квазилинейной теории вязкоупругости

5.1.2 Приближённые оценки условий норм-эквивалентности

5.2 Формулировка алгоритмов вспомогательного функционала и переменных параметров

5. 3 Приближённый принцип соответствия для задач нелинейной вязкоупругости

5.3.1 Формулировка принципа приближенного соответствия

5.3.2 Особенности применения приближенного принципа соответствия для нелинейных задач

5.3.3 Решение задачи о расширении сферической полости в нелинейно вязкоупругой среде

5. 4 Эффективные и оптимальные модули нелинейно вязкоупругого тела. Двухсторонние оценки функционалов потенциальных энергий

5.4.1 Эффективные модули нелинейно вязкоупругого тела

5.4.2 Оптимальные эффективные модули нелинейной вязкоупругости

5.4.3 Вывод линейных приближений для эффективных модулей . 268 5.4.4, Двухсторонние оценки функционалов удельных потенциальных энергий

5.4.5 Численный пример расчета с эффективными и оптимальными модулями

VI ИТЕРАЦИОННЫЕ АЛГОРИТМЫ В ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ ТЕРМ0ВЯЗК0УПРУГ0СТИ И ТЕРМОУПРУГОСТИ

6.1 Вариационная постановка задач термовязкоупругости. Эффективные модули для термореологически простых материалов.

6.1.1 Основные уравнения термовязкоупругости.

6Л.2 Эффективные по времени модули для термореологически простых материалов

6.2 Расчёт термоупругих температурных напряжений и деформаций приборного отсека космического аппарата 1 Краткое описание концепции математического обеспечения расчётов полей напряжений и деформаций космического аппарата

В.2.2 Математическая модель расчётов температурных напряжений и деформаций в приборном отсеке

6.2.3 Алгоритм расчёта напряженно- деформируемого состояния конструкции приборного отсека и анализ численных результатов

Задачи расчёта вязкоупругих конструкций являются составной частью механики деформируемого твёрдого тела наряду с задачами теории упругости и пластичности. Многообразие физических процессов деформирования реальных естественных и искусственных материалов и конструкций ( полимерных композиционных материалов, пластмасс, твёрдых ракетных топлив, бетонов, горных пород и др.) диктует необходимость поиска эффективных математических методов расчёта и конструирования определяющих уравнений вязкоупругих тел.

Основополагающие работы по наследственной упругости были сделаны ещё В.Вольтерра и Л.Больцманом /286/,/266/.

Интенсивное развитие математическая теория вязкоупругих тел получила в 60-х годах. Здесь прежде всего следует отметить основополагающие работы отечественных учёных А.А.Ильюшина, Б.Е.По-бедри, Н.Х Арутюняна, П.М. Огибалова, В. В. Москвитина, М. А.Колтуно-ва, Д.Л.Быкова, Ю.Н.Работнова /108/,/184/,/174/, /208/,/134/, /41/,/200/, а также фундаментальные исследования И. И. Буга-кова /38/, В.Г.Громова /68/, А.Б.Ефимова /91/, А.А.Зевина /101/, В.В.Колокольчикова /126/, /127/, А.С.Кравчука /140/, В.П.Майбороды /154/, В.И.Малого/157/,/159/,Л.Е.Мальцева /162/ -/165/, В.П.Матвеенко /170/, М.И.Розовского /215/-/218/, Н.А.Труфанова /240/,/243/, И.Е.Трояновского /236/.

Основополагающие исследования по вязкоупругости содержатся в работах зарубежных авторов: Т.Алфрея /4/,Д.Бленда /31/ , Р.Кристенсена /143/, Б.Колемана /268/, Т.Ферри /244/, Д.Фитцджеральда, А.Грина /272/, Б.Гросса /275/, М.Гуртина /276/,Р.Ривлина /273/,А.Редди, Р.Шепери /282/ и других.

Основными методами решения краевых задач ЛВУ являются следующие: - операторный метод; - метод интегральных преобразований (Лапласа или Лапласа-Карсона); - метод аппроксимаций А.А.Ильюшина. Кроме вышеперечисленных используются также метод непосредственного интегрирования квазистатических уравнений равновесия ЛВУ тела по времени (известна модификация с отбрасыванием части предыстории, влияние которой на процессы, близкие к исследуемому моменту t, пренебрежимо мало), метод квазиконстантных операторов В.И. Малого -Н.А. Труфанова и др. Операторный метод основан на свойстве коммутативности операций интегрирования по времени и дифференцирования по пространственным координатам. Основная проблема заключается в том,что после замены в упругом решении констант на материальные операторы ЛВУ необходимо расшифровать получающиеся при этом операторные функции. Методы расшифровки, основанные на алгебре резольвентных операторов, разработаны в /67/,/68/. Следует отметить, что применяемые методы расшифровки существенным образом зависят от вида материальных функций памяти. Применимость операторного метода требует условия неизменности типа граничных условий на поверхности тела по времени /207/.

В практических задачах часто имеет место ситуация, когда упругое решение является иррациональной функцией упругих констант. Методы расшифровки иррациональных функций предложены в работах Ю.Н. Работнова /208/, М.И.Розовского /216/, /217/, Я.В.Быкова /44/.Известен ряд подходов, в основу которых положена идея о представлении упругого решения в виде, удобном для последующей расшифровки по методу Вольтерры. Это работы В.П.Матвеенко /169/, /172/,Р.М.Раппопорта, Е.С.Екельчика /84/.В работах /90/, /91/ используется разложение упругого решения в ряд Тейлора по коэффициенту Пуассона. Основная трудность, возникающая при использовании данного подхода, - в необходимости численного дифференцирования упругого решения.

Несмотря на многообразие используемых подходов к решению ЛВУ задач в рамках операторного метода, к настоящему времени нельзя утверждать о наличии универсального, точного, экономичного и эффективного алгоритма. В частности, до последнего времени имелось сравнительно мало публикаций, содержащих примеры расчета конструкций, обладающих объёмной ползучестью и релаксацией /12/, /117/. Лишь в последние годы, благодаря работам В.П. Матвеенко /169/, /170/,Н.А.Труфанова /240/, Г.С.Цаплиной /172/ проблема учёта объёмных вязкоупругих свойств стала разрешимой. На основе данных работ выявлены новые закономерности изменения характера напряжённо-деформированного состояния конструкций во времени, в частности, возможность его немонотонного изменения во времени при монотонных внешних нагрузках. Так в работах В.П.Матвеен-ко/170/,/172/ разработан метод представления упругого решения в виде ряда по степеням параметра А. А.Ильюшина. Метод применим как для однородных ЛВУ тел, так и для кусочнооднородных тел.Метод квазиконстантных операторов разработан В. И. Малым, Н. А.Труфа-новым /157/, /159/, /161/. Его можно рассматривать как один из наиболее эффективных операторных методов. Н.А.Труфановым данный метод был впоследствии обобщён на задачи ЛВУ для стареющего, анизотропного и неоднородного тела /190/.

Метод интегральных преобразований основан на том, что формулировка задачи ЛВУ в изображениях совпадает с формулировкой соответствующей задачи теории упругости. Отсюда и совпадение решения в изображениях и упругого решения. В общем случае задача перехода от изображений к оригиналам встречает трудности.Подробно методы на основе интегральных преобразований (Лапласа или Лапла-са-Карсона) описаны в монографиях /184/,/207/,/215/, /143/. Применение интегральных преобразований чувствительно к форме, в которой задаются ядра ползучести и релаксации, в частности данный метод неприменим для задач с ядрами нерезольвентного типа, задач с переменными по времени граничными поверхностями, задач, не подчиняющихся принципу температурно-временной аналогии. Выполнение обратного преобразования легко достигается, если упругое решение представлено в виде произведения дроб-норациональной функции коэффициента Пуассона на функцию координат /108/, /136/, /145/. Однако в случае, когда рациональная зависимость упругого решения от коэффициента Пуассона отсутствует, приходится прибегать к приближенному обращению преобразования Лапласа. Наиболее известные методы - это метод Р.Шепери /262/ (но для этого метода нет оценки погрешности) и метод Коста /139/.

Метод аппроксимаций был разработан А.А.Ильюшиным /109/ с целью упрощения процедуры перехода от изображений к оригиналам для задач ЛВУ нестареющего тела с нерелаксирующим объёмом. В дальнейших работах /108/, /110/ первоначальный вариант метода аппроксимаций был обобщён на случаи более сложных задач. В /131/, /133/, /134/,/132/, /136/ была введена функция связной ползучести: с её помощью были получены многочисленные решения вязко-упругих задач в рамках метода аппроксимаций. В ряде монографий /136/, /137/ содержатся таблицы переходных функций метода аппроксимаций. В /99/ метод аппроксимаций был распространён на краевые задачи для стареющих ЛВУ материалов, в /202/ - на задачи неоднородного анизотропного тела, в /196/ метод аппроксимаций применён к задачам, у которых упругое решение может быть получено только в численным виде. Попытка распространить метод аппроксимаций на нелинейные вязкоупругие среды была сделана в работах В.В.Колокольчикова /128/,/129/.

Достоинства метода аппроксимаций - в использовании материальных функций, заданных в виде таблиц /84/,/196/. К числу достоинств метода аппроксимаций можно отнести возможность его использования в численных решениях, полученных на основе МКЭ /2/,/146/, /242/, /258/.

Собственный анализ наиболее распространённых методов решения задач позволяет сделать следующие выводы. Во-первых, в рассмотренных методах имеет место ограниченная универсальность использования. Так метод интегральных преобразований ориентирован на применение к резольвентным разностным операторам, операторный метод также находится в определённой зависимости от вида материальных функций и способа задания граничных условий во времени. Во-вторых, с точки зрения практической реализации алгоритмы решения вязкоупругих задач должны быть ориентированы на адаптацию к широко используемым в задачах прикладного анализа прочности и долговечности конструкций методам конечного элемента и конечных разностей, имеющим вариационную основу. В этой связи может возникнуть следующая постановка задачи построения алгоритма: исходить не из разнообразных приёмов представления упругого решения, а из постановки,удобной для реализации вязкоупругого решения с помощью какого-либо численного метода. Другими словами, поскольку получение упругого решения,от которого достаточно легко перейти к вязкоупругому, является лишь промежуточной целью (конечная цель- получить решение исходной задачи ЛВУ),то возможны способы достижения конечной цели, минуя этап построения достаточно "хорошего" упругого решения и используя при этом преимущества накопленного опыта решения континуальных склерономных задач упругости, какой предоставляют МКЭ и МКР в виде пакетов прикладных программ и интегрируемых систем.

Таким образом, задача адаптации к уравнениям ЛВУ, НВУ уже имеющегося аппарата решения континуальных упругих задач, содержащегося в пакетах МКЭ и МКР, является достаточно актуальной и не завершённой, несмотря на достаточное количество работ по данному вопросу. С этой точки зрения настоящую работу можно трактовать как одну из попыток реализации данной идеи.

В первой главе приведены основные уравнения линейного вязкоупругого тела.Рассмотрены основные формы потенциалов оператора краевой задачи ЛВУ. Приведена формулировка обобщённой задачи ЛВУ, которая эквивалентна задаче минимизации соответствующего функционала. Приведена формулировка итерационного метода вспомогательного функционала (МВФ) для задач нестареющего ЛВУ тела, сходимость которого установлена в работах Б.Е.Победря /200/-/202/.

В качестве первого примера использован вспомогательный функционал вязкоупругого тела с пропорциональными операторами сдвиговой и объёмной релаксации."Коэффициент подобия" может быть как константой, так и функцией времени. Произвол в назначении "коэффициента подобия" можно использовать для достижения оптимальной скорости сходимости итерационного процесса.

Скорость сходимости итерационного процесса зависит от соотношения показателей энергетической эквивалентности основного и вспомогательного функционалов. Для определения показателей норм-эквивалентности рассмотрена задача на безусловный экстремум функционала,равного разности удельных потенциалов исходного и вспомогательного физических соотношений. Производя варьирование полученного функционала, находим в качестве необходимых условий экстремума систему интегральных уравнений относительно координат экстремума и искомых коэффициентов условий эквивалентности норм.

Располагая системой уравнений относительно данных коэффициентов, можно найти такие значения "коэффициентов подобия" наследственных операторов, при которых энергии основного и вспомогательного функционалов становятся равными, независимо от координат рассматриеваемой точки, а неравенства норм-эквивалентности превращаются в равенства.

Рассмотрена дифференциальная формулировка алгоритма вспомогательного функционала. Отмечено, что по форме итерационная схема внешне не отличается от схемы метода упругих решений, сформулированной Б.Е.Победря для задач нелинейной вязкоупругости.Фактическое отличие состоит в способе задания вспомогательного функционала, с которым связан определенный вид физического закона связи напряжений с деформациями.

С точки зрения теории итерационных методов решения операторных уравнений МВФ представляет собой вариант неявной двухслойной схемы. Поэтому все практические приёмы, разработанные в теории численных методов, справедливы и в данном случае. В частности в МВФ может быть использована процедура определения длины шага по направлению градиента минимизируемого функционала. Приведены формулы определения длины шага, показано, что градиенты основного и вспомогательного функционалов в итерационной схеме МВФ совпадают на каждом шаге.

В третьем параграфе приведены условия, при которых имеет место разделение пространственных и временных переменных при построении итераций по МВФ. Подобная процедура позволяет легко адаптировать алгоритм решения вязкоупругих задач к численным алгоритмам МКЭ и МКР, разработанным для задач упругости.

При разделении переменных имеем полуаналитический метод решения ЛВУ-задач: аналитическое решение по времени, получаемое

• путём вычисления итерированных временных функций, и численное по координатам решение последовательности упругих задач с изменяющимися на каждой итерации объёмными и поверхностными нагрузками. Условия разделения переменных: а) представление внешних нагрузок (или граничных перемещений) в виде сумм произведений функций координат на функции времени; б) параметр подобия не зависит от

9 времени.

Приведены различные виды вспомогательных функционалов, которые могут быть использованы при построении процедур МВФ. В частности проанализированы случаи упругого вспомогательного функционала.

Приведено построение теории эффективных по времени модулей линейно вязкоупругого тела.Под эффективными по времени модулями

• в дальнейшем будем понимать некоторые функции времени, которые обеспечивают эквивалентность удельных потенциальных энергий напряжений и деформаций: с одной стороны- исходной вязкоупругой среды, механическое поведение которой определяется двумя независимыми материальными операторами, с другой стороны-упругой среды с модулями, являющимися функциями времени.

• В соответствии с вариационными формулировками краевой задачи в виде функционалов Лагранжа или Кастильяно данные эффективные по времени модули можно назвать эффективными модулями лаг-ранжиевого или кастильянового типов. Свойства найденных эффективных характеристик следующие: а) они имеют размерности соответствующих модулей сдвига и объёмного сжатия; б) положительно определены для t>0; в) при t-0 , t= они совпадают с соответствующими упруго-мгновенными и длительными модулями; г) не зависят от вида граничных условий; д) не зависят от вида аппроксимации опытных кривых релаксации или ползучести.

Наряду с формулировкой эффективных модулей, которые найдены как решения двух независимых задач ( равенства удельных потенциальных энергий лагранжианов и кастильнианов), получены и так на* зываемые "оптимальные" модули. Последние определены как решения, общие для функционалов удельных потенциальных энергий лагранжиана и кастильниана.

Приведены численные примеры построения приближённых решений с эффективными модулями.

Сформулированы двухсторонние энергетические оценки, которые дают решения с эффективными модулями. Установлено, что удельная потенциальная энергия вязкоупругого тела всегда больше, чем соответствующая потенциальная энергия упругого тела с эффективными модулями лагранжиевого типа, а удельная потенциальная энергия напряжений вязкоупругого тела всегда меньше, чем соответствующая потенциальная энергия упругого тела с эффективными модулями кас-тильянового типа. Неравенства справедливы для любых законов изменения граничных нагрузок во времени и любых способов аппроксимации материальных функций ползучести и релаксации, описывающих реологические процессы ограниченной ползучести и релаксации. Полученные теоретические неравенства и оценки проиллюстрированы на численных примерах.

Вторая глава посвящена итерационным алгоритмам и их численной реализации для задач нестареющего ЛВУ тела.

В первом параграфе даётся постановка и алгоритм решения двумерной задачи для ЛВУ цилиндра, физические свойства которого определяются двумя независимыми интегральными операторами. Для решения данной задачи реализован вариант итерационного алгоритма МВФ с разделяющимися переменными. Итерированные временные функции рассчитаны по рекуррентным формулам. Общее решение краевой задачи в перемещениях (при выполнении ограничений на вид граничных условий) представляется в виде ряда по итерированным временным функциям(которые могут быть рассчитаны для каждого момента времени заранее до проведения численного расчёта краевой задачи), а коэффициентами при них будут координатные функции, полученные путём решений двумерных задач теории упругости.

Численные расчёты показывают зависимость сходимости от "параметра подобия" материальных операторов наследственности. Показатель скорости сходимости рассчитывался в энергетической норме. Для анализа влияния параметра А$ на сходимость проведена серия расчетов при различных значениях Д$ и различных вариантах задания релаксационных свойств материальных операторов наследственности. Для расчётов первой группы значение параметра А 5 бралось приближённо близким к оптимальному. Экспериментальный показатель сходимости колебался в пределах 0,100:0,500. При этом показатель степени сжатия итерационного оператора достигал значения порядка 10 за 4-5 итераций. В расчётах второй группы использовались реологические параметры, соответствующие "несбалансированным" между собой скоростям процессов сдвиговой и объемной релаксации (например, когда скорость объёмной релаксации на порядок меньше, чем скорость затухания сдвиговых свойств). Здесь наблюдалась более умеренная (порядка 10'6 за 5-8 итераций) скорость сходимости, а для случая постоянного во времени коэффициента для некоторых времён имеем расходимость алгоритма. Максимальную сходимость дают итерационные процессы с ЛГ^). Здесь скорость сходимости достигает показателя 10 : 10 за 2-3 итерации.

Приведён численный анализ напряжений и деформаций во времени для различных вариантов задания наследственных объёмных и сдвиговых свойств. На его основе показано качественное перераспределение напряжённо-деформированного состояния во времени: для случая преобладания сдвиговой релаксации над объёмной имеем рост касательных напряжений с ростом времени и убывание нормальных напряжений по времени. В случае преобладания объёмной релаксации над сдвиговой имеем противоположную картину распределения напряжений. Перемещения в обоих случаях растут во времени, но с разной степенью интенсивности.

Алгоритм МВФ может быть реализован не только в виде с разделяющимися по времени и координатам переменными. В некоторых случаях более экономичным является использование процедур численного интегрирования по времени. Данные процедуры описаны и применены во втором параграфе. Одним из преимуществ их использования является уменьшение количества правых частей в алгоритме. Недостатки - повышенные требования к точности аппроксимации решения по времени, вследствие чего увеличивается и общее время расчётов.

Построение процедуры коррекции функционала левой части итерационного уравнения в соответствии с найденными для каждой итерации приближениями приводит к формулировке метода переменных параметров (МПП) для задач ЛВУ.

Данный подход широко применяется для решения нелинейной теории упругости и теории пластичности /106/, /29/ и является одной из модификаций метода упругих решений, предложенного А. А. Ильюшиным.

Следует отметить, что, во-первых, неизвестны примеры его использования в задачах линейной и нелинейной вязкоупругости, во-вторых, теоретически сходимость алгоритма МПП до сих пор не исследована, хотя примеры практического применения говорят о сходимости последовательных приближений к точному /89/.

Исследованы условия сходимости алгоритма МПП, доказана теорема о сходимости получаемых последовательных приближений к точному решению краевой задачи ЛВУ.

Приведено сравнение численных расчетов краевой задачи для цилиндра, получаемых по методу переменных параметров и по методу вспомогательного функционала.

Рассмотрено построение вязкоупругих решений по известным упругим на основе приближённого принципа соответствия (ППС). Данный приближённый принцип вытекает в качестве следствия из общего алгоритма МПП. Сущность данного приближённого алгоритма в том, что после двух специальным образом организованных итераций по МПП получается вариационное уравнение, в левой части которого стоит вариация удельной потенциальной энергии упругого тела с модулями, зависящими от времени, а в правой части работа внешних сил. Условиями, при которых данное приближённое. соответствие становится возможным, является, во-первых, представление внешних нагрузок в виде сумм произведений заданных функций координат на заданные функции времени, во-вторых, независимость граничных перемещений от времени. Погрешность получаемых приближенных решений может быть оценена в энергетической норме.

В качестве примера приведено приближённое определение функции связной ползучести, через которую выражаются многочисленные решения задач вязкоупругости по методу аппроксимаций. Рассмотрено сравнение получаемого приближённо найденного значения с точным в случаях задания вязкоупругих свойств с помощью экспоненциальных и слабосингулярных ядер. Максимальное расхождение не превышает 10%, что позволяет рекомендовать полученный ППС для экспресс-анализа НДС вязкоупругих конструкций.

Третья глава посвящена приложению алгоритмов МВФ и МПП к решению задач ЛВУ анизотропного тела. Краевые задачи для анизотропных сред являются более сложными, чем для случая изотропии, поскольку количество независимых материальных операторов становится большим двух. Известны различные подходы к решению задач вязкоупругости анизотропного ЛВУ тела: метод аппроксимаций Ильюшина /108/, /109/, метод квазиконстантных операторов /160/, а также методы, основанные на интегральных преобразованиях. Известен подход /3/, основанный на принципе соответствия для случая, когда все материальные операторы пропорциональны.

Особенности применения алгоритмов МВФ и МПП к задачам анизотропии вытекают из представления определяющих уравнений. В первом параграфе рассмотрено два варианта выбора вспомогательного функционала. Первый вариант использует вспомогательный функционал анизотропного тела с пропорциональными материальными операторами. Во втором варианте вспомогательный функционал соответствует изотропному ЛВУ телу (в частном случае - изотропному упругому телу). Использование того или иного типа вспомогательного функционала диктуется особенностями краевой задачи (характером материальных функций, зависимостью изменения во времени внешних нагрузок). Ввиду большого количества правых частей, возникающих в качестве невязок итерационного процесса МВФ, для уменьшения количества итераций, необходимых для достижения требуемой точности, целесообразно исследование условий сходимости и определение оптимальных "коэффициентов подобия". Получены замкнутые системы интегральных уравнений, содержащие .помимо других переменных функции времени, входящие в условия эквивалентности норм. Аналитическое исследование данных систем затруднительно (в отличие от случая изотропных ЛВУ задач), однако данные системы могут быть решены численно для заданного способа аппроксимации опытных кривых во времени.

Сформулирован ППС для задач анизотропного тела. Рассмотрен пример ортотропной среды.

В качестве первого примера рассмотрено приложение ППС к задаче о растяжении ортотропной пластинки с отверстием. Решение задачи получено методом аппроксимаций. В данной задаче выражение для коэффициента концентрации напряжений содержит иррациональные функции упругих констант. Проведено сравнение результатов расчётов по методу аппроксимаций и по ППС. Максимальное расхождение до 20% наблюдается при достаточно больших временах. В области времён, где известно точное вязкоупругое решение- при t=0,t= -расчёт по ППС адекватно воспроизводит физическую картину, тогда как в расчёте по методу аппроксимаций имеет место некоторое отклонение от точного значения. Данное отклонение следует отнести к погрешности метода аппроксимаций.

В качестве второго примера рассмотрена задача о нагружении ортотропного вязкоупругого покрытия сосредоточенной силой. Аналитическое решение этой задачи содержит комбинации тригонометрических и трансцендентных функций упругих констант. Расшифровка упругого решения найдена согласно ППС и с помощью метода аппроксимаций.

Наряду с принципом приближенного соответствия для приближенных расчетов анизотропных вязкоупругих тел можно использовать и теорию эффективных по времени модулей, а также аппарат двухсторонних интегральных оценок функционалов удельных потенциальных энергий напряжений и деформаций. Проанализирована специфика, ко" торая имеет место при выводе выражений эффективных по времени модулей в случае анизотропных тел. Построены приближенные решения по теории эффективных и оптимальных модулей для задачи о равновесии тяжелого ортотропного массива с вертикальной полостью, проведен расчет интегральных неравенств.

Четвёртая глава посвящена приложению алгоритма МВФ для за-I дач стареющего ЛВУ тела, а также решениям некоторых задач для неоднородных тел.

В качестве вспомогательных могут быть использованы функционал нестареющего тела с подобными материальными операторами, а также функционал стареющего тела с подобными операторами сдвиговой и объемной релаксации.

Для первого случая аргументом в пользу подобного выбора служит то обстоятельство, что материальные операторы стареющего тела могут не иметь обратных (что характерно, т.к. в литературе известно лишь ограниченное число резольвент).

Использование легкообратимого разностного оператора во вспомогательном функционале снимает проблему обращения, поскольку при вычислении невязок требуются только положительные целые

• степени материальных операторов стареющего тела.

Приведены основные уравнения стареющего ЛВУ тела, ограничения, налагаемые на закон ползучести, формулировка алгоритма МВФ. Дан пример определения показателей норм-эквивалентности функционалов стареющего и нестареющего тел.

Приведены выражения эффективных модулей лагранжиевого и кастильянового типов для задач стареющего тела, найдены двухсторонние энергетические оценки.

Приведён алгоритм и численный расчёт неоднородного двухслойного цилиндра. Свойства каждого из слоёв определяются с помощью двух независимых материальных операторов вязкоупругости. Здесь возможны несколько вариантов введения вспомогательного функционала: а) функционал однородного по всему объёму тела с пропорциональными материальными операторами; б) функционал кусочно-однородного тела с упрощенными физическими зависимостями в каждом из слоев. Поскольку заранее нельзя рекомендовать тот или иной тип построения итераций, был проведён упругий анализ задачи. В качестве вспомогательной была взята задача с физическими свойствами одного из слоёв. Из упругого анализа следует, что наиболее благоприятен для сходимости случай, когда вспомогательный функционал соответствует физическим свойствам нижнего слоя и когда данный слой является более жёстким.

Наряду с МВФ в форме метода простой итерации, использовался и метод наискорейшего спуска в форме Канторовича. Физические свойства каждого из слоёв задавались двумя парами независимых слабосингулярных ядер в форме М.А.Колтунова-А. Р. Ржаницина. Алгоритм наискорейшего спуска с выбором шага показал для данной задачи наилучшую сходимость. Здесь следует отметить, что для двухслойного тела уже нельзя выбрать вспомогательный функционал с оптимальным "коэффициентом пропорциональности", поскольку имея оптимальный коэффициент для одного слоя, мы получим далеко не оптимальный вспомогательный функционал для второго слоя.

Рассматриваемая задача интересна как с теоретической, так и с практической точек зрения. Её численное решение получено В.П.Матвеенко и Г. С.Цаплиной /172/. Данная работа является одной из первых, где исследован "эффект немонотонности" кривых релаксации при монотонной внешней нагрузке - следствие различия скоростей релаксационных процессов в разных слоях конструкции. Сравнение результатов расчётов по МВФ (схема Канторовича) и результатов В.П.Матвеенко, Г.С.Цаплиной показывает удовлетворительное совпадение (в пределах 10%).

В четвёртом параграфе приведено решение контактной задачи для оболочки с заполнителем. Как в случае упругого, так и вязко-упругого заполнителя задача решалась методом итерационного сопряжения контактных условий. При расчёте заполнителя берутся контактные граничные условия в перемещениях, взятые из расчёта оболочки на предыдущей итерации, при расчёте оболочки используются усилия, найденные из расчёта НДС заполнителя. Итерационный процесс продолжается до удовлетворения контактных условий с наперёд заданной точностью. Численный эксперимент показал, что при условии, когда модуль Юнга оболочки на три порядка превышает соответствующий модуль заполнителя, итерационный процесс сходится за 3-5 итераций.

В упругом расчёте рассмотрено влияние механических свойств и геометрических размеров оболочки на НДС заполнителя и наоборот.

В вязкоупругом анализе представляет практический интерес исследование зависимости меры относительной ползучести от жёсткости оболочки. Для материала, обладающего объёмной ползучестью, имеет место прямая пропорциональная зависимость меры относительной ползучести от жёсткости оболочки. В случае же объёмного упругого поведения с увеличением жёсткости оболочки относительная ползучесть падает. Это объясняется преобладанием объемной ползучести над сдвиговой в несколько раз по мере увеличения жесткости оболочки. Численный анализ контактной задачи показывает разнообразие возможных режимов ползучести заполнителя и упругих свойств оболочки.

В пятом параграфе главы рассмотрена вариационная постановка линейной задачи несжимаемого и слабосжимаемого материала. Определяющие уравнения в этом случае содержат три независимых интегральных оператора. Процедуру итерационного метода "переменных параметров вязкоупругого слабосжимаемого тела" можно построить, если ввести три вспомогательных функционала задачи. В итоге приходим к приближённому принципу соответствия для слабосжимаемых вязкоупругих тел с тремя модулями упругости, являющимися функциями времени.

В пятой главе приведены постановка задач и алгоритмы решения для нелинейно вязкоупругих тел.

Исследование механического поведения полимеров и других вязкоупругих материалов с позиций нелинейной теории было начато 60-70-х годах. Основополагающими являются работы зарубежных авторов: /283/, /272/, /273/, /268/, /284/, /143/ и отечественных, развитых в работах А.А.Ильюшина /108/,/112/, Б.Е.Победри /200/,/199/, В.В. Москвитина /175, /177/, Ю. Н. Работнова /209/, М.И.Розовского /215/, Д.Л.Быкова /42/. Нелинейное вязкоупругое поведение проявляется при исследовании механических свойств материалов, когда нарушается хотя бы одна из гипотез, присущая линейному поведению: а) гипотеза аддитивности откликов, согласно которой суммарная реакция от двух воздействий не равна сумме реакций от каждого воздействия в отдельности; б) гипотеза пропорциональности, согласно которой изменение воздействия в N раз не приводит к пропорциональному изменению отклика. В то же время нелинейное вязкоупругое поведение как и линейное подчиняется гипотезе затухающей памяти /82/.

Спектр предлагаемых математических моделей описания НВУ свойств весьма широк. Простейшие однопараметрические модели представляют физический закон связи напряжений с деформациями в виде интегрального оператора упругой наследственности, содержащего некоторую нелинейную функцию инвариантов. Наиболее общие соотношения базируются на кратно-интегральном ряде Фреше-Воль-терра. В общем случае степень применимости тех или иных моделей ограничена чисто экспериментальными возможностями определения материальных функций и констант.

Основным методом решения краевых задач НВУ является метод упругих решений, разработанный Б.Е.Победря /199/, /200/. Известен также подход к решению на основе степенных рядов /18/, /19/. В.В.Колокольчиковым /126/, /129/ предложено решать краевые задачи, применяя интегральные преобразования определяющих уравнений и используя на базе этих преобразований принцип соответствия нелинейно упругих и нелинейно вязкоупругих задач.

В первом параграфе приведены основные уравнения для главной квазилинейной теории НВУ. Приведены формулировки итерационных алгоритмов МВФ и МПП. Отмечено, что сама идея итерационного удовлетворения физическим уравнениям краевой задачи в большей степени присуща нелинейным задачам, чем линейным. Поэтому распространение на нелинейные задачи итерационного подхода, апробированного в ЛВУ, не представляет особых затруднений.

Как и для линейных задач из итерационного алгоритма МПП в качестве следствия можно получить приближённый принцип соответствия между задачами нелинейной упругости и соответствующими задачами НВУ. Область применимости полученного ППС более ограничена, чем в линейном случае - он справедлив для простых по времени нагружений. В то же время предлагаемый ППС не требует аналитического представления нелинейно-упругого решения, в частности его зависимости от упругих модулей. Нелинейно-упругое решение может быть задано в численном виде, тогда НВУ-решение можно получить путём замены упругих модулей на соответствующие функции времени. В отличие от линейных задач погрешность ППС не оценена.

Приведен вывод выражений эффективных и оптимальных модулей нелинейной вязкоупругости.

Получены также двухсторонние оценки для энергетических функционалов точных решений на основе функционалов, которые можно рассчитать с помощью решений задач нелинейной упругости с эффективными по времени модулями.

В шестой главе приведено теоретическое обоснование применимости итерационных алгоритмов типа МВФ и МПП для задач линейной теории термовязкоупругости (ТМВУ).

Показано, что в случае, когда выполняется принцип темпера-турновременной аналогии, можно получить формулировки теории эффективных по времени модулей и построить двухсторонние неравенства для функционалов удельных потенциальных энергий. При этом все отличие от изотермического случая заключается в использовании другого масштаба шкалы физического времени, учитывающего влияние температуры на процессы ползучести и релаксации.

Приведены математическая модель, алгоритм и результаты численных расчётов температурных термоупругих деформаций приборного отсека космического аппарата негерметичного исполнения. Данная работа была выполнена в рамках работ по проектированию интегрированной системы "ГРАДИЕНТ" /314/, в которой подсистема расчёта температурных напряжений и деформаций входит в качестве одной из основных функциональных подсистем, наряду с подсистемой расчёта температурных полей в конструкции приборного отсека.

В заключение автор выражает благодарность научным руководителям отдела математической физики НИИ Прикладной математики и механики профессорам И.М.Васенину и А.А.Глазунову .заведующему кафедрой проектирования и прочности Томского университета Т.М.Платовой за внимание,помощь и поддержку данной работы, а также профессору Красноярской инженерно-строительной Академии А.П.Деруге за полезные обсуждения результатов и высказанные замечания.

Автор считает своим долгом отметить вклад в данную работу безвременно ушедшего друга, ученика и коллеги С.М.Павлова, совместно с которым был решён ряд задач по теме диссертации.

I ВАРИАЦИОННАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОЙ ВЯЗКОУПРУГОСТИ. МЕТОД ВСПОМОГАТЕЛЬНОГО ФУНКЦИОНАЛА. ТЕОРИЯ ЭФФЕКТИВНЫХ ПО ВРЕМЕНИ МОДУЛЕЙ

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1. Разработаны итерационные алгоритмы расчета задач квазистатического деформирования конструкций из вязкоупругих нестареющих, стареющих, анизотропных и физически нелинейных материалов (метод вспомогательного функционала, метод переменных параметров).

2. Найдены теоретические оценки скорости сходимости предлагаемых итерационных алгоритмов, а также методика определения оценок сходимости для широкого класса задач квазистатического деформирования вязкоупругих тел. Найденные теоретические оценки позволяют получать быстросходящиеся итерационные процедуры, что подтверждено практическими расчетами.

3. На основе анализа условий энергетической эквивалентности функционалов удельных потенциальных энергий напряжений и деформаций получены приближенные алгоритмы решения указанных задач с помощью: а) эффективных по времени модулей; б) оптимальных эффективных модулей.

На основе построения нескольких итерационных процедур с различными функционалами левой части вариационного уравнения при условии простого нагружения получены формулировки приближенного принципа соответствия упругих и вязкоупругих задач для различных типов вязкоупругих сред.

4. Сформулированная процедура определения эффективных по времени модулей для различных типов вязкоупругих сред позволяет сделать следующие выводы: а) для каждого типа вязкоупругой среды существует два набора эффективных по времени модулей, первый из которых находится из условий эквивалентности функционалов удельных потенциальных энергий напряжений исходной среды и среды сравнения с модулями, зависящими от времени, второй- из сопоставления соответствующих функционалов удельных потенциальных энергий деформаций; б) определение эффективных по времени модулей можно осуществлять формальным способом, минуя этап математического обоснования, базирующийся на исследовании условий энергетической эквивалентности соответствующих функционалов; в) полученная процедура получения эффективных по времени характеристик может быть обобщена на случай неоднородных по объему вязкоупругих тел (показано на примере линейных задач вязкоупругости неоднородного тела).

5. Получены неравенства, выражающие двухсторонние оценки для функционалов потенциальных энергий напряжений и деформаций точных решений задач вязкоупругости и соответствующих функционалов приближенных решений, рассчитанных на основе эффективных по времени модулей. Найденные двухсторонние оценки можно рассматривать в качестве аналога для вязкоупругих тел известной "вилки" Фойгта-Рейсса. Теоретические выводы о справедливости двухсторонних неравенств проиллюстрированы на ряде тестовых ■ задач.

6. Получены решения ряда важных в практических приложениях задач вязкоупругости, на примере которых проиллюстрировано разнообразие временных режимов поведения конструкций при монотонных внешних нагрузках в случае задания нескольких независимых интегральных операторов наследственности.

7. Построены математическая модель, алгоритм и численная реализация расчета температурных деформаций приборного отсека космического аппарата негерметичного исполнения.

ПРИНЯТЫЕ СОКРАЩЕНИЯ

ДАН СССР - Доклады АН СССР ДАН АрмССР - Доклады Армянской АН

ЖВМиМФ-Журнал вычислительной математики и математической физики

МГУ - Московский государетвенный университет

ТГУ - Томский государственный университет

УНЦ АН СССР - Уральский научный центр АН СССР

ОТН - Отделение технических наук

ПММ - Прикладная математика и механика

ПМ - Прикладная механика

МП - Механика полимеров

Н/Д - Наукова Думка

МКМ - Механика композиционных материалов

РТиК - Ракетная техника и космонавтика

ПМТФ - Прикладная механика и техническая физика

МТТ - Механика твердого тела

ЖТФ - Журнал технической физики

1. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. М.: Наука, 1978.- 287 с.

2. Адамов А.А., Кожевникова Л.Л., Кузнецов Г.В., Матвеенко В.П. Метод конечных элементов в задачах линейной теории вязкоупругости // НДС конструкций из упругих и вязкоупругих материалов. Свердловск, 1977. - С.25-30.

3. Аллам М.Н.М., Победря Б.Е. К решению квазистатических задач анизтропной вязкоупругости // Известия АН АрмССР, Механика. 1978. N 2. - С.19-27.

4. Алфрей Т. Механические свойства высокополимеров ИЛ.- М., 1952.

5. Алфутов Н.А., Зиновьев П.А., Попов Б.Г. Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1984.- 446 с.

6. Аннин Б.Д. Асимптотическое разложение экспоненциальной функции дробного порядка // ПММ. 1961.- Т.25, вып.4. -С.796-798.

7. Аоки М. Введение в методы оптимизации. М.-.Наука, 1977.- 343 с.

8. Арутюнян Н.Х. Ползучесть стареющих материалов // В сб.: Механика в СССР за 50 лет.- Т 3.- М.: Наука, 1972.- С.155-202.

9. Арутюнян Н.Х. Некоторые вопросы теории ползучести.- М.-Л.: Гостехиздат, 1952. 324 с.

10. Арутюнян Н.Х. О теории ползучести для неоднородно наследственно-стареющих сред // ДАН СССР, 1976.- Т.229. N 3.- С.569-571.

11. И. Арутгонян Н.Х. О принципе соответствия в теории ползучести при конечных деформациях // Изв. АН СССР. МТТ, 1980.- N 5. С.100-105.

12. Арутюнян Н.Х., Колмановский В.Б. Теория ползучести неоднородных сред. М.: Наука, 1983. - 336 с.

13. Арутюнян Н.X., Зевин А.А. Расчет строительных конструкций с учетом ползучести. Стройиздат, 1988. 250 с.

14. Арутюнян Н.Х., Зевин А.А. Об одном классе ядер для описанияползучести стареющих сред // ДАН СССР, 1981. Т. 258.- N 3.- С.559-561.

15. Арутюнян Н.Х., Зевин А.А. О принципе соответствия в нелинейной теории ползучести стареющих сред // Изв. АН СССР, МТТ, 1979. N 6. - С.51-55.

16. Арутюнян Н.Х., Дроздов А.Д., Наумов В.Э. Механика растущих вязкоупругопластических тел. М.: Наука, 1987. -472 с.

17. Арутюнян Н.Х., Манжиров А. В., Наумов В.Э. Контактные задачи механики растущих тел. М.: Наука, 1991. - 176 с.

18. Бадалов Ф.Б. Метод степенных рядов в нелинейной наследственной теории вязкоупругости. Ташкент: ФАН, 1980. - 221 с.

19. Бадалов Ф.Б.Долматов Т. Об одном методе решения нелинейных динамических задач вязкоупругости // МП,1973. N 3.- С. 554-558.

20. Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы. М.: Мир, 1982. - 583 с.

21. Бахвалов Н. С. Численные методы. М.: Наука, 1973.- T.I. 632 с.

22. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука, 1984. - 352 с.

23. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976.- 352 с.

24. Бердичевский В. Л. Вариационные принципы механики сплошной среды М.: Наука, 1983.

25. Береэин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т.1,2. -Физматгиз, 1959.

26. Бердакчиев А. В. Вязкоупругий цилиндр, армированный тонкой упругой оболочкой, в неоднородном температурном поле // МП 1975, N 2. - С. 294-299.

27. Бидерман В.Л. Механика тонкостенных конструкций. М.; Кашиностроение, 1977. - 488 с.

28. Бидерман В.Л., Мартынова Г.З. Вариационный метод расчета деталей из несжимаемого материала // Расчеты на прочность.- М., 1977. Вып. 18. - С. 3-27.

29. Биргер И.А. Общие алгоритмы решения задач теорий упругости, пластичности и ползучести.// В кн.; Успехи механики деформируемых сред. М.: Наука, 1975. - С.51-73.

30. Биргер И.А. Метод дополнительных деформаций в задачах теории пластичности // Изв. АН СССР. Механика машин. -1963.- N I.- С. 47-56.

31. Бленд. Теория линейной вязкоупругости.- М.: Мир,1965.199 С.

32. Бобров B.C. Вопросы теории и расчета полимерных конструкций на прочность и деформируемоеть. Л: Иэд-во ЛГУ, 1978,— 128 с.

33. Боли Б., Уэйнер Дж. Теория температурных напряжений.- М.: Мир. 1964. 517 с.

34. Болотин В.В., Новичков Ю.Н.Механика многослойных конструкций.- М.: Машиностроение, 1980. 355 с.

35. Большаков А.Ю., Елтышев В.А. НДС трехмерного цилиндра //

36. В сб.: НДС и прочность конструкций. Свердловск, УНЦ АН СССР , 1982. - С.3-7.

37. Бородулин A.M. Равновесие двухслойного вязкоупругого полупространства при действии поверхностных сил // Изв. ВНИИГ им. Б.В.Веденеева: Сб.научн.трудов, 1978. Т. 122. - С.92-96.

38. Бронский А.П. Явления последействия в твердом теле // ПММ.- Т.5. N I. - 1941.

39. Бугаков И.И. Ползучесть полимерных материалов. М.: Наука, 1973. - 287 с.

40. Бугрим О.В., Синайский R.С. К расчету наследственно--старещей балки на упругом основании // Изв. АН АрмССР. Механика. 1974. - Т.27. и 3. - С.64-69.

41. Быков Д.Л. Об одном методе определения напряжений в ЛВУ телах // Изв. АН СССР, МТТ. 1968. - N 2. - С.100-103.

42. Быков Д.Л., Ильюшин А.А., Огибалов П.М., Победря Б.Е. Некоторые основные проблемы теории термовязкоупругости // МП.- 1971. N I. - С.41-58.

43. Быков Д.Л. О некоторых соотношениях между инвариантами напряжений и деформаций в физически нелинейных средах // В сб.: Упругость и неупругость. МГУ, 1971. Вып.2. -C.II4-I28.

44. Быков Д. Л. Основные уравнения и теоремы для одной модели физически нелинейной среды // Инженерный журнал МТТ- 1966. -N 4.

45. Быков Я.В. О некоторых методах построения решений интегральных и дифференциальных уравнений. Фрунзе: Изд-во АН Криг.ССР, 1961. 110 с.

46. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов. М.: Наука, 1972. - 416 с.

47. Валанис Е., Лайанис Г. Термические напряжения в вязкоупру-гом цилиндре, свойства которого зависят от температуры // РТиК- N10.' С. 139-144.

48. Германн Л.Р., Томе P.M. Преобразование уравнений поля упругой среды к новой форме, пригодной для всех допустимыхзначений коэффициента Пуассона // ПМ. Труды Американского общества инженеров механиков. 1964. - N I. - С.166-167.

49. Глушко В.Т., Зорин А.Н, Розовский М.И. О функциях специальных операторов и их приложениях в теории ползучести анизотропных тел // Изв. АН АрмСССР, Мех. 1967. - Т.20. N 3.- С.14-22.

50. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1977. - 440 с.

51. Гольдман А.Я. Прочность конструкционных пластмасс. -Л.: Машиностроение. Ленинг.отд., 1979. 320 с.

52. Гольденблатт И. И., Копнов В.А. Критерии прочности и пластичности конструкционных материалов. М.: Машиностроение, 1968. - 191 с.

53. Григоренко Я.М. Изотропные и анизотропные слоистые оболочки вращения переменной жесткости. Киев. Н/Д, 1973. - 228 с.

54. Григолюк Э.И., Чулков П.П. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек. М.: Машиностроение, 1968. - 191 с.

55. Громов В.Г. О математическом содержании принципа Вольтерра в граничных задачах вязкоупругости // ПММ.- 1971.- Т.35, вып.5.- С.869-878.

56. Громов В.Г. Алгебра операторов Вольтерра и ее применение в задачах вязкоупругости // ДАН СССР. -1963. Т. 182. -N I.1. С.56-60.

57. Гузь А.Н., Макаренков А.Г., Чернышенко И.С. Прочность конструкций РДТТ. М.: Машиностроение, 1980. - 244 с.

58. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: Наука, 1970. - 224 с.

59. Демидович Б.П., Марон И. А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. М.: Наука, 1967. - 368 с.

60. Деруга А.П. Вариационные формулировки некоторых итерационных методов //В сб.: Пространственные конструкции в Красноярском крае. Красноярск. КПИ, 1979. - С.34-46.

61. Дзене И.Я. Изменение коэффициента Пуассона при полном цикле одномерной ползучести // МП. 1968. -N 2. - С. 227-231.

62. Докторов Я.Я. К численному решению квазистатической задачи теории вязкоупругосги // Упругость и неупругость.М: 1973, вып.З.- с.187-199.

63. Долгов А.В., Малинин Н.И. О ползучести полимеров в стеклообразном состоянии. ЖТФ. 1964. -N 5. -С.75-82.

64. Долинина Н.Н. О функциях специальных операторов теорииупруго-наследственных сред // ДАН СССР. 1966. - 170. -N 1.- С.64-66.

65. Дымников С.И. Вариант линеаризации уравнений состояния в решении статических задач нелинейной упругости несжимаемого тела // В сб.: Структурная механика неоднородных сред. Свердловск. УНЦ АН СССР, 1982. - С.35-40.

66. Дымников С.И., Лавендел Э.Э. и др. Прикладные методы расчета изделий из высокоэластических материалов. Рига; Зинатне, 1980.- 238 с.

67. Дьяконов Е.Г. О применении эквивалентных по спектру операторов для решения разностных аналогов сильноэллиптических систем // ДАН СССР. 1965. - Т.163, 6. - С.I3I4-I3I7.

68. Дьяконов Е.Г. Минимизация вычислительной работы. М.: Наука, 1982. - 272 с.

69. Дьяконов Е.Г. О построении итерационных методов на основе использования операторов эквивалентных по спектру // ЖВМиМФ.- 1966. Т.6. - N 1 - С.12-34.

70. Дай У. А. Термодинамика простых сред с памятью. М.: Мир, 1974. - 190 с.

71. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике.- М.: Наука, 1980. 384 с.

72. Екельчик B.C. О методе аппроксимаций в линейной вязкоупругости // Труды ЦНИИ технологии судостроения. Л., 1970. - . Вып.104. - С.56-60.

73. Екельчик B.C., Рябов В.М. Об использовании одного класса наследственных ядер в линейных уравнениях вязкоупругости // МКМ.- 1981. N 3. - С.393-404.

74. Елтышев В. А. НДС оболочечных конструкций с наполнителем. -М.: Наука, 1981. 120 с.

75. Елтышев В.А. Упругое и вязкоупругое поведение системы орто-тропная оболочка-наполнитель при действии массовых сил //МКМ. -1979. N 6. - С.I036-I04I.

76. Ендогур А.И., Вайнберг М.В., Иерусалимский К.М. Сотовые конструкции. М.: Машиностроение, 1986. - 200 с.

77. Еджиевский Л. В. Нелинейные деформации ребристых оболочек.- Красноярск: Изд-во Краен, ун-та, 1982,- 296 с.

78. Ефимов А.Б. Осесимметричная контактная задача для линейно вязкоупругих тел // Вест. МГУ, Сер.матем. и мех. 1966. - N3.- С.84-89.

79. Ефимов А.Б., Малый В.И. О приближенном решении 'задач линейной вязкоупругости // ПММ. 1971. - Т.35, вып.1. - С.185-189.

80. Ефимов А.Б., Малый В.И. Метод аналитического продолжения в задачах ЛВУ стареющих материалов // Изв. АН СССР, МТТ. 1974.- N 1 С. 5-13.

81. Ефимов А.Б., Малый В.И. О принципе Вольтерра и методе аналитического продолжения в ЛВУ // ДАН СССР. 1974. - Т. 218 -15.- С.1039-1043.

82. Ефимов А.Б. О простом нагружении ЛВУ тел // Изв. АН СССР, МТТ.- 1967. N 2. - С.I5I-I52.

83. Ермаков Б.В., Калиткин Н.Н. Двухступенчатый градиентный спуск // ШВМФ. 1980. - N 4. - С.1040-1045.

84. Задоян М.А. Вариационное уравнение Кастильяно в наследственной теории ползучести // Изв. АН СССР,МТТ 1972. N 5 С.54-61.

85. Задоян М.А. О вариационных уравнениях теории ползучести // ДАН АрМССР. 1958, 26, 5, С.263-267.

86. Звонов Е.Н., Калинин Н.И., Паперник Л.Х., Цейтлин Б.Н. Определение характеристик ползучести линейных упруго-наследственных материалов с использованием ЭЦВМ // Инж. журнал МТТ.- 1968. N 5. - С.76-82.

87. Зевин А.А. Аппроксимация функций интегральных операторов в наследственных теориях упругости и старения // ПМ. — 1971. -Т. 7, вып. II. С. 90-96.

88. Зевин А.А. Напряжения и деформации неоднородной наследственной среды // ПМ. 1973. - Т. 9, ВЫП.З. -С. 38-42.

89. Зевин А.А. Приближения функций вольтерровых операторов в задачах теории ползучести стареющих материалов // Изв. АН Арм. ССР. Механика. 1979. - Т.32. - N 6. - С.41-53.

90. Зезин Ю.П., Малинин Н.И. О методах описания деформационных и прочностных свойств высоконаполненных полимерных систем // МКМ. 1980. - N 4. - С.592-601.

91. Зенкевич М. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. - 542 с.

92. Ильгамов М.А., Иванов В.А., Гулин Б.В. Расчет оболочек с упругим заполнителем. М.: Наука, 1987. - 260 с. 105.

93. Ильин В.П, Мальцев Л.Е., Соколов В.Г. Расчет строительных конструкций из вязкоупругих материалов. Л.: Стройиздат. Ленинград. отд., 1991. - 190 с.

94. Ильюшин А.А. Пластичность. М. - Л., ГИТТЛ, 1948.- 376 с.

95. Ильюшин А.А. Пластичность. (Основы общей математическойтеории). , М.: Изд-во АН СССР, 1963. 271 с.

96. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термо-вязко-упругости. М.: Наука, 1970. - 280 с.

97. Ильюшин А.А. Метод аппроксимаций для расчета конструкций по линейной теории термовязкоупругости // МП.- 1968 N 2.- С.210-221.

98. Ильюшин А.А. Экспериментальный метод решения одного интегрального уравнения теории вязкоупругости // МП. 1969.- N 4. С.584-587.

99. Ильюиин А.А., Москвитин В.В., Победря Б.Е. Исследования по термовязкоупругости // МП 1975. - N. I, - С. 63-65.

100. Ильюшин А.А., Огибалов П.М. Квазилинейная теория вязкоупругости и метод малого параметра // МП. 1966. - N2 - С. 170-189. ИЗ. Ильюшин А.А., Огибалов П.М. Некоторые основные вопросы механики полимеров // МП. - 1965. - N 3-С.123-130.

101. Ильюшин А.А., Ларионов Г.С., Филатов А.Н. К усреднению в системах интегро-дифференциальных уравнений // ДАН СССР.- 1969. Т.188. - N I.

102. Ильясов М.Х. О методах решения линейных нестационарных задач о распространении возмущений в изотропных и анизотропных неоднородных ■ вязкоупругих средах // Изв. АН АзССР. Сер.физ. -техн. - 1983. - N- 6. - С.130-135.

103. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. - 512 с.

104. Каминский А.А. Механика разрушения полимеров. Киев.: Н/Д, 1988. - 224 С.

105. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. -М.: Наука, 1977. 744 с.

106. Канторович Л.В. Функциональный анализ и прикладная математика // УМН 1948, 3, С. 89-185.

107. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.: Наука, 1975. - 272 с.

108. Кармишин А.Б., Мяченков В.И., Мясковец В.А., Фролов А.Н. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций.- М.: Машиностроение, 1975. 375 с.

109. Карнаухов В.Г. Связанные задачи термовязкоупругости.- Киев: Н/Д, 1982. 258 с.

110. Карнаухов В.Г., Сеченков И.К., Гумешок Б.П. Термомеханическое поведение вязкоупругих тел при гармоническом нагружении.- Киев: Н/Д, 1985. 288 с.

111. Клюшников В.Д. Математическая теория пластичности.

112. М.: Изд-во МГУ. 1979. 208 с.

113. Коваленко А.Д., Кильчинский А.А. О методе переменных модулей в задачах линейной наследственной упругости. ПМ. - 1970.- N 6, вып.12. С.27-34.

114. Колокольчиков В. В. Принцип соответствия и метод аппроксимаций для нелинейных наследственных сред //МП. -1971. N I.1. С.66-73.

115. Колокольчиков В. В. Точное решение некоторых одномерных задач физически нелинейной квадратичной теории упругости // ПМ -1970. вып.9.

116. Колокольчиков В. В. Смешанные сверточно-суперпозиционные ряды при решении интегральных уравнений нестабильной вязкоупругости // ДАН СССР. 1980. - Т.252. - N 4. - С.829-831.

117. Колокольчиков В. В. Решение задач о коническом стержне, плоском клине, пористой трубе для нелинейно вязкоупругих материалов при помощи обобщенного принципа соответствия // МП.- 1978, 6. С.I07I-I078.

118. Колтунов М.А., Матвеенко В.П., Трояновский Н.Е. Оптимизационный, квазистатический и динамический расчет вязкоупру- • гого осесимметричного тела // В кн.: Механика эластомеров. -Краснодар, Изд-во Краснод. политехи, инст-та, 1980, вып.З. -С. 5-12.

119. Колтунов А.А. Определяющие функции метода аппроксимаций // МП 1970. - N 4.- С. 622-633.

120. Колтунов А. А. Некоторые зависимости между определяющими функциями и константами вязкоулругих сред // МП. 1973.1. N 5 С.810-814.

121. Колтунов А.А., Колтунов М.А. Переходные функции метода аппроксимаций Ильюшина // МП. 1973. - N 3. -С. 405-428.

122. Колтунов М.А. Ползучесть и релаксация. М.: Высш. школа, 1976. - 277 с.

123. Колтунов М.А., Васильев Ю.Н., Черных В.А. Упругость и прочность цилиндрических тел. М.: Высш. школа,1975. - 526 с.

124. Колтунов М.А., Майборода В.П., Зубчанинов В.Г. Прочностные расчеты изделий из полимерных материалов. -М.: Машиностроение, 1983. 239 с.

125. Колтунов М.А., Кравчук А.С., Майборода В.П. Прикладная механика деформируемого твердого тела. М.: Высш.школа, 1983.- 349 с.

126. Колтунов М.А., Трояновский И.Е. Метод упругих решений задачтермовязкоупругости //МП. 1970. -N 4. - С. 603-614.

127. Кост Т. Приближенное обращение преобразования Лапласа при анализе вязкоупругих напряжений // РТиК. -1964, 12.- С. 175-187.

128. Кравчук А. С., Майборода В.П., Уржумцев Ю. С. Механика полимерных и композиционных материалов. М.:Наука, 1985.- 304 с.

129. Красносельский М. А., Забрейко П.П. и др. Приближенные решения операторных уравнений. М.: Наука, 1969. -456 с.

130. Крауч С., Старфильд А. Методы граничных элементов в механике твердого тела. М.: Мир, 1987. - 328 с.

131. Кристинсен Р. Введение в теорию вязкоупругости.- М.: Мир, 1974. 338 с.

132. Кристинсен Р. Введение в механику композитов. М.: Мир, 1982. - 334 с.

133. Крылов В.И., Скобля Н.С. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа. М.: Наука, 1971.- 224 с.

134. Кузнецов Г.Б. Упругость, вязкоупругость и длительная прочность цилиндрических и сферических тел. М.-.Наука, 1979.-112 с.

135. Кутрунов В.Н., Мальцев Л.Е. Приближенное решение операторных уравнений с помощью полиномов наилучшего приближения // Проблемы прикладной механики и строительных конструкций.- Тюмень, ТюмГУ. 1979, вып. 1.

136. Лавендел Э.Э. Расчет резинотехнических изделий. -М.: Машиностроение. 1976. 232 с.

137. Ларионов Г.С. Исследование: колебаний релаксирующих систем методом усреднения // МП. 1969. - N 4.

138. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела.- М.: Наука, 1977. 416 с.

139. Локощенко A.M., Шестериков С.А. Релаксация труб и выпучивание стержней из вязкопластического материала // ПМТФ.- 1966. N. 4. - С.154-159.

140. Ломакин В.А. Теория упругости неоднородных тел. М.: Изд-во МГУ, 1976. - 368 с.

141. Ляв А. Математическая теория упругости. М. Л., 0НТИ, НКТП СССР, 1935.

142. Майборода В.П., Колтунов М.А., Моргунов Б.И. О колебаниях амортизирующего объекта на нелинейно вязкоупругом основании // МП- 1972. N 4. - С. 730-737.

143. Малинин Н.И. Прикладная теория пластичности и ползучести.- М.: Машиностроение, 1975. 400 с.

144. Малмейстер А. К., ТамужВ. П., Тетере Г. А. Сопротивление жестких полимерных материалов. Рига: Зинатне, 197-2. - 498с.

145. Малый В.И. Об одном приближенном методе решения задач вязкоупругости // Проблемы прочности. -1976. N 8. - С.33-35.

146. Малый В.И., Ефимов А.Б. Об экспериментальном определении вязкоупругих свойств стареющих материалов // Труды ВНИИ физ.--техн. и радиотехн. измерений. 1976, вып. 26. - С.3-7.

147. Малый В.И., Труфанов Н.А. Метод квазиконстантных операторов в теории вязкоупругости кусочно-линейных материалов // В сб.: Деформирование и разрушение структурно-неоднородных материалови конструкций. УНЦ АН СССР. С.78-85.

148. Малый В.И. Квазиконстантные операторы в теории вязкоупругости нестареющих материалов // Изв. АН СССР. МТТ. 1980.1. N I. С. 77-86.

149. Малый В. И.,Труфанов Н.А. Метод квазиконстантных операторов в теории вязкоупругости анизотропных нестареющих материалов. // Изв. АН СССР, МТТ. 1987. - J 6. -С.148-154.

150. Мальцев Л.Е. Приближенное операционное исчисление для уравнений Вольтерры в задачах механики полимеров // МП. 1977.- N 5. С.804-811.

151. Мальцев Л.Е. Обобщение метода аппроксимаций Ильюшина на общий случай анизотропного неоднородного тела // МКМ 1984.- N 5 . С.417-425.

152. Мальцев Л.Е., Кренкин В.И. Метод непосредственного решения задач вязкоупругости // МП 1977. - N 4. -С. 606-613.

153. Мальцев Л.Е. Применение полиномов почти наилучшего приближения к решению задач вязкоупругости // МП 1977, N 6 - С.967- 971.

154. Марчук Г.И. Методы расщепления. М.: Наука, 1988.- 264 с.

155. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989. - 608 с.

156. Маслов Г.Н. Термическое напряженное состояние бетонных массивов при учете ползучести бетона. Л.:Изв. НИИГ - 1941. - Т. 28 - С.175-188.

157. Матвеенко В. П. О методе решения задач вязкоупругости с учетом объемных релаксационных свойств //В сб.: Напряжения и деформации в конструкциях и материалах. УНЦ АН СССР. Свердловск, 1985. - С.64-68.

158. Матвеенко В.П. ,Цаплина Г.С. О методе и результатах решения задачи вязкоупругости с учетом объемных релаксационных свойств. // Тезисы докл. IV науч. конф. Методы расчета изделий из высокоэластичных материалов. -Рига, 1986. -С.130-131.

159. Михлин С.Г. Вариационные методы математической физики,- М.: Наука, 1970.

160. Москвитин В. В. Сопротивление вязкоупругих материалов. М.: Наука, 1972. - 328 с.

161. Москвитин В. В. Об одном методе решения задач нелинейной термовязкоупругости // В сб.: Упругость и неупругость. Изд-во МГУ, вып. 2. 1971.

162. Москвитин В. В. Циклические нагружения элементов конструкций.- М.: Наука, 1981. 344 с.

163. Москвитин В.В., Колокольчиков В.В. К вопросу квазилинейной теории вязкоупругости // МП. N 4, -1969.

164. Моисеев Н.Н., Иванилов Ю.П., Столяров Е.М. Методы оптимизации. М.: Наука, 1978.- 352 с.

165. Немец Я.К., Серенсен С.В., Стреляев B.C. Прочность пластмасс.- М.: Машиностроение, 1970. 333 с.

166. Нетребко В.П., Лучников М.А. Метод последовательных приближений в задачах нелинейной вязкоупругости // ПМ 1981. - Т.17 -N 3 - С.23-30.

167. Никитенко А.Ф., Цвелодуб И.Ю. О ползучести анизотропных материалов с разными свойствами на растяжение и сжатие // В кн.: Динамика сплошной среды, вып.43. Новосибирск. Инст.гидродинамики.- 1979- С.69-78.

168. Никитенко А.Ф. О влиянии третьего инварианта девиатора напряжений на ползучесть неупрочняющихся материалов.// ПМТФ -1969.1. N 5.

169. Образцов И.Ф. Вариационные методы расчета тонкостенных авиационных пространственных конструкций. М.: Машиностроение, 1966. - 392 с.

170. Огибалов П.М., Колтунов М.А. Основные теории и методы механики полимеров // МП 1969. - N I. -С.3-13.

171. Огибалов П.М., Колтунов М.А., Солдатов М.М. О решении краевых задач механики полимеров // МП -1969. -N I С.- 54-62.

172. Огибалов П.М., Ломакин В.А., Кишкин Б.П. Механика полимеров. М.: МГУ, 1975. - 528 с.

173. Огибалов П.М., Суворова Ю.В. Механика армированных пластиков.- М.: МГУ, 1965. 479 с.

174. Огибалов П.М., Победря Б.Е. О нелинейной механике полимеров. //МП 1972. - N 1. - С.12-23. .

175. Олейник 0.А., Иосифьян Г.А., Шамаев А.С. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. М.: МГУ, 1990. -311 с.

176. Ортега Д., Рейнболт В. Итерационные метода решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.:Мир, 1975.- 558 с.

177. Панин В.Ф., Глазков Ю.А. Конструкции с заполнителем. М.: Машиностроение, 1991. - 272 с.

178. Панин В.Ф. Конструкции с сотовым заполнителем. М.: Машиностроение, 1982. - 152 с.

179. Партон В.З., Перлин П.И. Основы математической теории упругости. М.: Наука, 1981. - 688 с.

180. Петров В. В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластин и оболочек. Саратов: Изд-во Саратов, ун-та, 1975. - 120 с.

181. Победря Б.Е. О численных методах решения некоторых задач упругих и вязкоупругих композитов // В сб.: Численные методы решения задач теории упругости и пластичности. Новосибирск, 1982. - С.8-17.

182. Победря Б.Е. Расчет вязкоупругих систем по численной упругой реализации // Проблемы прочности. -1973. -N 4.

183. Победря Б.Е. О зависимости решения задачи теории упругости от упругих постоянных // Проблемы прочности. 1972. - N- 3.- С.63-66.

184. Победря Б.Е. О решении задач термовязкоупругости с неоднородным полем температур //В сб.: Упругость и неупругость. Изд-во МГУ. 1971.

185. Победря Б.Е. О сходимости метода упругих решений в нелинейной вязкоупругости // ДАН СССР. 1970.- Т.195. - N 2.

186. Победря Б.Е. Математическая теория нелинейной вязкоупругости // В кн.: Упругость и неупругость. М. ;МГУ. - 1973,вып.з. С. 95-173.

187. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: МГУ, 1995. - 366 с.

188. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. -М.: МГУ, 1984. 336 с.

189. Победря Б.Е. К теории вязкоупругости композиционных материалов // МКМ 1979. -N3. - С. 414-423.

190. Победря Б.Е. Некоторые проблемы вычислительной механики деформируемого твердого тела // В сб.:Численные методы решения задач теории упругости и пластичности. Материалы IX Всес.конф.- С.3-9.

191. Прокопович И.Е., Зедгенизде В. А. Прикладная теория ползучести. М.: Стройиздат, 1980. - 240 с.

192. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник, в 3 т./ Под ред. И.А.Биргера, Я.Г.Пановко. М.:Машиностроение, 1968.- Т. I. 831 е., - Т.2. - 463 с. - Т.З. - 567 с.

193. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1966. - 752 с.

194. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел.- М.: Наука, 1977. 383 с.

195. Работнов Ю.Н. Равновесие упругой среды с последствием. // ПММ. Т.XII - N I. - 1948.

196. Реология. Теория и приложения. М.: ИЛ, 1962. - 824 с.

197. Ржаницын А.Р. Теория ползучести. М.: Стройиздат, 1968.- 416 с.

198. Ржаницын А.Р. Некоторые вопросы механики систем, деформирующихся во времени. М.: Гостехиздат, 1949. - 252 с.

199. Роджерс Г., Ли Э. Цилиндрическая задача анализа вязко-упругих напряжений // (Сб. переводов).Механика. N 6. - 1964.

200. Розин Л.А. Задачи теории упругости и численные методы их решения. Санкт-Петербург.: Изд-во СПбГТУ, 1998.-532 с.

201. Розовский М.И. Механика упруго-наследственных сред. Упругость и пластичность. М.: ВИНИТИ, 1967. -С.165-250.

202. Розовский М.И. Полусимволический способ решения некоторых задач теории ползучести // Изв. АН АрмССР. Механика. 1956.- Т.9. N 5. - С. 43-60.

203. Розовский М.И. Некоторые свойства специальных операторов, применяемых в теории ползучести // ПММ. 1959. - Т.23, вып.5.- С.978-983.

204. Розовский М.И., Долинина Н.Н. Операторный метод в теорииползучести ортотропных тел. Прочность и пластичность. М.: 1971. - С.215-223.

205. Савин Г.Н., Рущицкий Я.Я. О применимости принципа Вольтерра // В сб.: Механика деформируемых тел и конструкций. М.: Машиностроение, 1975. - С. 431-436.

206. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. - 592 с.

207. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989. - 432 с.

208. Симеонов С.В. О некоторых методах решения задач механики деформируемого твердого тела // В сб.: Упругость и неупругость. МГУ. 1971, ВЫП. 2. - С.206-114.

209. Симеонов С.В. Об одном процессе последовательных приближений и его применении для решения функциональных уравнений с нелинейными операторами монотонного типа // ДАН СССР. 1961.- Т.138. С.1033-1034.

210. Синайский Е.С. Об асимптотическом представлении оператора для описания поведения упруго-наследственных сред, воздействующего на степенную функцию // Изв. АН СССР. Механика. 1965.- N I. С.128—131.

211. Слонимский Г.Л. О законах деформации реальных материалов // ЖТФ. 1939. - Т.9,вып.20. - C.I79I-I807.

212. Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения. М.: Мир, 1980. - 454 с.

213. Стренг Г., Фикс Д. Теория метода конечных элементов.- М.: Мир, 1977.

214. Супрун А.Н. Некоторые пути расширения класса операторов теории вязкоупругости // ДАН СССР. 1977. - Т.236. - N 6.-С.1323-1326.

215. Сьярле Ф. Математическая теория упругости. М.: Мир, 1992.- 472 с.

216. Сьярле Ф. Метод конечного элемента для эллиптических задач.- М: Мир, 1980. 512 с.

217. Тимошенко С.П. Курс теории упругости. Киев: Н/Д, 1972.- 507 с.

218. Толоконников Л.А. Механика твердого деформируемого тела.- М.: Высш. школа, 1979. 318 с.

219. Трикоми Ф. Интегральные уравнения. ИЛ, I960.

220. Трояновский И.Е. Вынужденные колебания вязкоупругой системы // МП. 1973. - N 5. - С.927-1929.

221. Трояновский И.Е. О построении периодических решений интег-родифференциальных уравнений вязкоупругости // МП. 1974.-N3.- С.529-531.

222. Трояновский И.Е., Колтунов М. А. О методе разделения переменных решения смешанных краевых задач вязкоупругости // МП. -1969. N 4. -• С. 588-596.

223. Трояновский И.Е., Колтунов М. А. Об одном методе решения квазистатических краевых задач вязкоупругости для сред с изменяющимися во времени свойствами // МП.-.1969. N 6. С. 987-993.

224. Труфанов Н.А. Физические соотношения для оболочек вращения из композитных материалов с учетом вязкоупругих свойств компонентов // Структурная механика неоднородных сред. Свердловск. УНЦ АН СССР, 1982. - С.41-46.

225. Труфанов Н.А., Шардаков И.Н. Численное решение пространственных задач термовязкоупругости с неразностными ядрами // Численная реализация физико-механических задач прочности: Тезисы докл. II Всесоюзной конф. Горький, 1987. - C.I8I-T82.

226. Труфанов Н.А. Пространственная задача вязкоупругости для конструкции из термонестабильного материала с объемной релаксацией // Механика и прикладная математика. Тула; При-окское книж. изд-во, 1988. - С.57-61.

227. Труфанов Н.А. О квазиконстантности вязкоупругих операторов полимерных композиционных материалов // Реологическое поведение деформируемых сплошных сред. Свердловск: УРО АН СССР, 1990.- С.14- 22.

228. Труфанов Н.А., Шардаков И.Н. Применение метода геометрического погружения для численного расчета пространственных конструкций // Расчеты на прочность. М.: Машиностроение, 1990, ВЫП.31,- С.127-134.

229. Труфанов Н.А. Итерационный метод решения краевых задач теории вязкоупругости для анизотропных неоднородных тел // Вестник Пермского государственного техн. ун-та. Математика и прикладная математика, 1994. -N. 1. С.55-60.

230. Ферри Дж. Бязкоупрутие свойства полимеров. М.: Изд-во ИЛ, 1963. - 536 с.

231. Филатов А.Н. Методы усреднения в дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений. Ташкент, ФАН, 1967. - 132 с.

232. Филиппов В.М. Вариационные принципы для непотенциальных операторов. М.: Изд-во ун-та Дружбы народов, 1985. — 206 с.

233. Филин А.П. Прикладная механика твердого деформируемоготела, том II. М.; Наука, 1978. - 616 с.

234. Форсайт Д., Молер К. Численное решение систем .линейных алгебраических уравнений. М.: Мир, 1969.- 167 с.

235. Хазанович л. С. Использование свойства эквивалентности вольтерровых операторов при решении задач ползучести //В сб.: Вопросы механики строительных конструкций и материалов. Л. , • 1987. - С. 89-94.

236. Харлаб В.Д. Распространение принципа Вольтерра на случай некоммутирущих операторов // В сб.: Труды Ленинградского инж. -строит, инст-та. 1968, вып.57. - С.89-100.

237. Хейгеман Л., Янг Д. Прикладные итерационные методы.- М.: Мир, 1986. 448 с.

238. Хуторянский Н.М. Об одном варианте принципа соответствия для нестационарных динамических задач вязкоупругости // Прикладные проблемы прочности и пластичности. 1987. - Т.36. -С.58-63.

239. Хуторянский Н.М. Метод гранично-временных интегральных уравнений в нестационарных динамических задачах вязкоупругости // Прикладные проблемы прочности и пластичности. 1979. -N 12. - С. 11—17.

240. Цаплина Г.С. Вычисление степенных функций операторов Вольтерра в задачах для неоднородных вязкоулругих сред // Напряжения и деформации в конструкциях и материалах. Свердловск, 1985.- С.59-63.

241. Цаплина Г.С. Численное исследование сходимости решения в виде ряда по степеням оператора Вольтерра // Краевые задачи упругих и неупругих систем. Свердловск, 1985. - С. II2-II4.

242. Шардаков И.Н., Трояновский И.Е., Труфанов Н.А. Метод геометрического погружения для решения краевых задач теории упругости. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1984. - 66 с.

243. Шардаков И.Н., Труфанов Н.А. Обоснование метода геометрического погружения и его численная реализация для задач теории упругости // VIII Всесоюзная конференция по прочности и пластичности: Тезисы докл. Пермь, 1983.- С.194-195.

244. Шардаков И.Н., Труфанов Н.А. Метод геометрического погружения для расчета НДС вязкоупругих пространственных конструкций // Методы расчета изделий из высокоэластических материалов; Тезисы докл. Всесоюзной конференции. Рига, 1989. - С 183.

245. Шварцман Б.С. Двухсторонний метод уточнения численных решений // Инженерно-физический сборник. Изд-во ТГУ.1. Томск, 1988. С.42-45.

246. Шемякин Е.И. Об одном методе интегрирования нестационарных линейных задач о распределении возмущений в неидеально-упругой среде // ПММ. 1958. - N 3. - С.289-300.

247. Шенгелая A.M., Трояновский И.Е., Колтунов М.А. Приближенные формулы вычисления интегральных операторов ползучести // МП. -1972. -N 6. С.1118—1137.

248. Шепери Р.А. Термомеханическое поведение вязкоупругих сред с переменными свойствами при'циклическом нагружении // Труды Амер. общ-ва инж.-мех-в. Сер.Е. Прикладная механика. 1965. - N 3. -С.150—161.

249. Шермергор Т.Д., Долинина В.И. Реологические характеристики ортотропно армированных полимерных материалов // МП. 1972.- N 2. С.276-283.

250. Шестериков С.А. Об одном вариационном принципе в теории ползучести // Изв. АН СССР. ОТН. 1957. - N 2. -С. 122—123.

251. Шешенин С.В., Кузь И.С. Применение вариационно-разностных методов к осесимметричным задачам теории упругости // Упругость и неупругость. 1987. - С. 39-44.

252. Шешенин С.В., Кузь И. С. О прикладных итерационных методах // Вычислительная механика деформируемого твердого тела. 1990. вып. 1 С.63-74.

253. Шешенин С.В. Об одном типе итерационных методов для решения некоторых краевых задач механики деформируемого твердого тела. Изв.РАН Механика твердого тела N2 .1997-С. 21-26.

254. Шешенин С.В., Киселев Ф.Б. Разностная схема для задачи нестационарной фильтрации в слоистых грунтах // Изв РАН Механика твердого тела.N4.1996-С. 129-135.

255. Boltzmann. Zur Teorle der elastischen nachwirlceng // An Phys mid Chem. 1976. Erg-Bd 7. - P.624-655.

256. Bychawski Z,Fox A. Some fundamental concepts of the theory of nonlinear viscoelasticity //Arch mech.StosowaneJ, 1966, 18.-N6.

257. Coleman B.D., Noll W. Poundations of linear visooelastici-ty //Rev. Modern. Phys, 1962, 33, 2.

258. Coleaman B.D. Thermodynamics of materials with memory // Arch. Rat. Mech. Anal, 1964, 17. -N 1,- P.1-46.

259. Christensen R.M. Variational and minimum theorems for the linear theory of viscoelasticity //Z. Angew. Math. (Phys. 19,233), 1968.

260. Eringen A.C. Non-linear theory of continuous media.-1962. N 4.

261. Green A.E., Rivlln R.S. The Mechanics of non-linear materials with memory. Par I // Arch. Ration Mech.Anal, 1957, I, 1.

262. Green A.E., Rivlin R.S., Spenser A.J.M. The mechanics nonlinear materials with memory. Part II //Arch. Rat. Mech. Anal. 1959, 3, 1.

263. Green A.E., Rivlin R.S. The mechanics of non-linear materials with memory. Part III //Arch. Rat. Mech.Anal, 1966, 4, 5.

264. Gross B. Mathematical structure of theories of visco-elasticity. Paris, Herman, 1953.

265. Gurtin. M.E. Variational principles in the linear theory of viscoelasticity /Arch. Rat. Mech. Anal, 13 (1963).1. N3 P.179-191.

266. Gurtin M.E.,Sternberg E. On the linear theory of viscoelasticity //Arch. Rat. Mech. Anal. 11(1962). N 4. -P.292.

267. Lockett F.J. Hon-linear viscoelastics solids. London, N-Y. Acad. Press, 1972. 196 p.

268. Lee E.H., Radok J.R.M. The contact problem for visco-elasUc bodies //J. Appl. Mech, 27, 438 (1960).

269. Leaderman H. Elastic creep properties of Bilamentous • materials and other highpolymers. Washington, Textil Foundation, 1944. - 289 p.

270. Noll W. A mathematical theory of the mechanical behaviour of continuous media//Arch. Rat.Mech. Anal, 1958, 2. -P.197.

271. Schapery R.A. Approeximate methods of transform inversion for visooelaetic strees analysis // Pros 4 Nath Cong. Appl. Mech. 1075(1962). P.1075-1085.

272. Schapery R.A. A.method of viscoelastic stress analisis using elastic solutions //J.Franklin. Inst. 1965, 279. N 4 - P.268-289.

273. Truesdell C., Noll W. The non-linear field theories of mechanics. Handbuch der Physik / Ed S.Flugse. Berlin et 1965. Ill 13. 602 p.

274. Young R.W, Thermomecbanical response of viacoelastic rod driven by a sinusoidal displacement // Int J. Sol.Struct. 1977, 13. N 10. - P.925-936.

275. Volterra V.Lecons sur les fonctions de lignes. Paris,1913.1. СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ АВТОРА

276. Абовский Н.П. ДеругаА.П., Енджиевский Л. В., Светашков А. А. Один общий подход к задачам теории оболочек с переменными параметрами и его численная реализация // Пространственные конструкции в Красноярском крае. Красноярск, КПИ. 1978.-е.

277. Григорьев Ю.П., Светашков А.А. Расчет контактного взаимодействия упругого кольца и оболочки, скрепленной по внутренней поверхности с упругим заполнителем // Механика сплошных сред.- Томск: ТГУ, 1983. С.79-87.

278. Григорьев Ю.П., Светашков А.А. Расчет контактного взаимодействия упругого кольца, оболочки и скрепленного с ней вязко-упругого цилиндра У/ I межотраслевая школа по проблемам проектирования конструкций: Тезисы докладов. Харьков, 1980.- С. 23-24.

279. Кузнецов А.В., Светашков А.А. Расчет контактного взаимодействия упругого штампа и оболочки с вязкоупругим заполнителем // Ползучесть в конструкциях: Матер. Всесоюз. симп., тезисы докладов. Днепропетровск, 1982.

280. Павлов С.М., Светашков А.А. Об одной схеме решения задач вязкоупругости // В сб.: Математическое моделирование в науке и технике: Тезисы докладов. Пермь, 1985. - С.230-231.

281. Павлов С.М. Светашков А.А. Расчет НДС конструкций из наполненных эластомеров // В сб.: Методы расчета изделий из высокоэластичных материалов. Научно-техническая конференция. Тезисы докладов. Рига, 1989. - С.152.

282. Павлов С.М., Светашков А.А. Расчет линейной и нелинейной ползучести неоднородных тел // В сб.: Сибирская школа по современным проблемам механики деформируемого твердого тела. -Якутск, 1990. С.133-134.

283. Павлов С.М., Светашков А.А. Алгоритмы и численная реализация двумерных задач нелинейной вязкоупругости // IX зимняя школа по механике сплошных сред: Тезисы докладов Пермь, 1991.- С.136-137.

284. Павлов С.М.,Светашков А.А. Решение трехмерной -задачи вязкоупругости методом физико-геометрического погружения // Механика деформируемого твердого тела. Томск, 1992. С.

285. Павлов С.М., Светашков А.А. Решение осесимметричной задачи вязкоупругости для двухслойного цилиндра с четырьмя независимыми ядрами // Исследования по строительной механике и строительным конструкциям. Томск, изд-во ТТУ, 1992. - - С. 120-125.

286. Павлов С.М., Светашков А.А. Контактная задача для упругой оболочки с вязкоупругим заполнителем. -Томск, изд-во ТГУ, 1992.- С.120-125.

287. Павлов С.М., Светашков А.А. Итерационный метод решения задач линейной вязкоупругости // Изв. ВУЗов. Физика. -1993. Т. 36. вып.4. - С.129-136.

288. Светашков А.А., Сабиров Р.А. Расчет нелинейно-упругого цилиндра из наполненного эластомера // Всесоюзная научно-техническая конференция по методам расчета изделий из высокоэластичных материалов. Изд-во Рижского политех, инст-та.- Рига, 1980.

289. Светашков А. А. Выбор вспомогательного функционала при решении задач линейной и нелинейной вязкоупругости итерационным методом // Ред. журн. "Изв. ВУЗов. Физика".- Томск, 1984.- Деп. в ВИНИТИ 12.12.84, N 7950, 39 с.

290. Светашков А.А., Обухов Н.А., Чашечников В.В., Долгов В.В., Шишкин В.С. Программный комплекс расчета НДС заряда и корпуса РДТТ // Тезисы докладов V отраслевой конференции по САПР.- Миасс. ЦНТИ, 1986.

291. Светашков А.А. Об одном методе решения задач вязкоупругости, не использующем принцип соответствия // В сб.: Механика твердого деформируемого тела Томск. Изд-во ТГУ, 1990. - С.129-137.

292. Светашков А.А. Использование регулязирующего функционала и метод физико-геометрического погружения в задачах упругостии вязкоупругости // В сб.: Механика деформируемого твердого тела.- Томск. Изд-во ТГУ, 1988. С.107-111.

293. Светашков А.А. Применение методов оптимизации в решении краевых задач вязкоупругости. Томск: ТГУ, 1988. - С.II5-I22.

294. Светашков А.А. Динамическое воздействие подвижной нагрузки на поверхность упругого композита // В сб.: Механика твердого деформируемого тела. Томск. Изд-во ТГУ, 1991. - - С. 107-112.

295. Светашков А.А. Об одном методе решения задач ползучести стареющих наследственно-упругих тел //В сб.: II Всесоюзная конференция "Ползучесть в конструкциях". Новосибирск, 1984.- С.158.

296. Светашков А.А. К вариационной постановке краевых задач нелинейной вязкоупругости // В сб.: Механика деформируемого твердого тела. Томск. Изд-во ТГУ, 1992. - С. 134-139.

297. Светашков А.А., Резниченко М.Н. Математическая модель расширения сферической полости в нелинейно вязкоупругой среде //В сб.: Международ, конф. "Фундаментальные и прикладные проблемы охраны окружающей среды": Тезисы докладов. Томск, 1995.- С.148.

298. Светашков А.А. О методе переменных параметров в задачах вязкоупругости //В сб.: X Зимняя школа (I международная) по механике сплошных сред: Тезисы докладов. Екатеринбург.1. УрО РАН, 1995. С.222.

299. Кожухов В.П., Львов В.И., Светашков А.А., Халимов С.Б. Температурные деформации приборного отсека космического аппарата // Труды конференции СИБКОНВЕРС-95, Томск, 2-4 октября 1995, Том 2, С.251-252.

300. Светашков А.А. К обоснованию итерационного подхода решения краевых задач вязкоупругости // 11th. International Winter School of Cotinuous Media Mechanics. Book of Abstracts 2. Perm-1997 p.246.

301. Светашков А.А., Резниченко M.H. К обоснованию приближенного принципа соответствия для краевых задач нелинейной вязкоупругости // 11th. International Winter School of Cotinuous Media Mechanics. Book of Abstracts 2.Perm-1997.-p.247.

302. Светашков А.А. Эффективные по времени модули линейной вязкоупругости."Механика композитных материалов". N 1.Рига 2000. -С.96-107.

303. Светашков А.А. Эффективные модули неоднородных и вязкоупругих тел // "Вычислительные Технологии", Изд-во Института вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск (принята к печати ).