Пространственные задачи термовязкоупругости структурно-неоднородных эластомеров тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

003474401 На правах рукописи

Старостенко Игорь Николаевич

Пространственные задачи термовязкоупругости структурно-неоднородных эластомеров

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

г илгуп ЯДО

Воронеж-2009

003474401

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Краснодарский университет Министерства внутренних дел Российской Федерации» на кафедре информатики и математики

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор

Фролов Николай Николаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Сумин Александр Иванович

кандидат физико-математических наук, доцент

Чеботарев Андрей Сергеевич

Ведущая организация - ГОУ ВПО «Кубанский государственный

университет»

Защита состоится 6 июля 2009 г. в 13 часов на заседании диссертационного совета Д 212.038.24 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, г.Воронеж, Университетская пл. 1, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан « <%.» июня 2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.038.24 кандидат физико-математических наук

С.Д. Махортов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Резины (эластомеры) благодаря своим уникальным свойствам незаменимы в технике и медицине. Такие оригинальные качества, как предрасположенность к формоизменению, малая объемная сжимаемость, способность претерпевать деформации до нескольких сот процентов в сочетании с коррозионной стойкостью и долговечностью, определяют современную номенклатуру и расширяют рынок изделий из высокоэластичных материалов. Неоценим вклад эластомеров в современной технике, гражданской, космической и военной промышленности. Детали из эластомеров в сочетании с традиционными материалами позволяют создавать новые механические системы, обладающие наперед заданными свойствами.

Для гашения колебаний в промышленности используются рези-нометаллические амортизаторы. Как правило, эти детали претерпевают предварительные статические деформации от веса устанавливаемых на них механизмов, после чего испытывают малоамплитудные колебания, сопровождающиеся саморазогревом. Сильный саморазогрев недопустим, так как он приводит к тепловой деструкции материала, нарушению механических свойств системы, частичной или полной потере работоспособности. Данная проблема и обусловила актуальность изучения теплообразования в резинотехнических амортизаторах.

Предмет исследования и цель работы. Предмет исследования -связанные задачи термовязкоупругости для предварительно деформированных тел из эластомеров.

В настоящей работе учитываются следующие факторы:

наличие вязкоупругих свойств и предварительных конечных деформаций;

малая объемная сжимаемость;

наложение малых моногармонических движений на равновесные конечные деформации и связанный с ними саморазогрев;

трехмерный характер деформирования.

Цель работы - получение определяющих соотношений и разработка метода решения связанных задач термовязкоупругости для предварительно деформированных тел из эластомеров и резиноме-таллических конструкций, построение решений новых пространственных задач термовязкоупругости.

Все исследования в настоящей работе основаны на статистической теории термовязкоупругости структурно-неоднородных эласто-

3

меров, предложенной в трудах И.М. Дунаева и получившей дальнейшее развитие в работах H.H. Фролова. Из этих работ взяты общие соотношения, задающие физическую сторону задачи.

Научная новизна. Получены определяющие соотношения тер-мовязкоупругости для структурно-неоднородных слабосжимаемых эластомеров при наложении малых деформаций на конечные, разработан и реализован на ЭВМ метод решения связанных задач термо-вязкоупругости для предварительно деформированных тел, получены решения новых пространственных задач о колебаниях и саморазогреве резинового куба, цилиндра и слоистого резинометаллического амортизатора.

Достоверность исследований. Достоверность результатов обеспечивается строгой математической постановкой задачи и корректным применением современных приближенных методов математического анализа.

Практическая значимость. Полученные определяющие соотношения термовязкоупругости в совокупности с разработанным методом решения связанных задач позволяют выполнять расчеты сложных резинометаллических деталей, работающих в условиях неоднородных и нестационарных температур, с учетом внутренней диссипации. Программы могут быть использованы при проектировании резинометаллических изделий и конструкций.

На защиту выносятся следующие основные положения: определяющие соотношения термовязкоупругости структурно-неоднородных эластомеров при наложении малоамплитудных колебаний на предварительные конечные деформации;

метод и алгоритм решения связанных задач термовязкоупругости для предварительно нагруженных тел;

результаты решений новых трехмерных задач термовязкоупругости для однородных резиновых тел и тонкослойного резинометаллического амортизатора.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры строительной механики и сопротивления материалов (СМиСМ) факультета строительства и управления недвижимостью (ФСУН) КубГТУ, на заседаниях научно-исследовательской секции «Естественно-научное направление» Краснодарского университета МВД России, на I, III, IV Всероссийских конференциях «Математические методы и информационно-технические средства» (Краснодар, 2005, 2007, 2008).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 8 работах.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, шести разделов, заключения и списка литературы. Объем работы - 107 страниц, включая 98 рисунков, 4 таблицы и список литературы из 108 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении даны описание технической постановки задачи и обоснование ее актуальности как задачи механики деформируемого твердого тела, перечислены проблемы, которые возникают при решении задач подобного класса.

Общим теоретическим вопросам построения физико-механических моделей материалов посвящены работы A.A. Ильюшина, А.И. Лурье, И.И. Гольденблатта, В.В. Новожилова, А.Н. Гузя, Ю.Н. Работнова, Л.А. Толоконникова, В.Г. Карнаухова, К.Ф. Черныха, Грина и Адкинса, Локетта, Дэя, Трусделла, Хаазе, Кристенсена и др.

Основы статистической теории термоупругости были заложены в работах Джемса и Гута, Куна и Трелоара, Флори, Волькенштейна и Нагаи. Дальнейшее развитие этой теории пошло по пути усложнения модели микроструктуры, базирующейся на очередных достижениях химии и технологии, а также изучении микросостава резин. Соответствующие исследования были произведены И.М. Дунаевым применительно к механически не сжимаемым материалам. Учет зависимости механических характеристик элементов структуры от температуры и объемной сжимаемости выполнен в работах H.H. Фролова. Важным моментом в работах последних авторов является явная зависимость физико-механических параметров от температуры.

Методы решения статических и динамических задач механики деформируемого твердого тела разработаны в трудах В.М. Александрова, В.А. Бабешко, И.И. Воровича, В.Т. Гринченко, В.З. Партона, П.И. Перлина, Н.Ф. Морозова, О.Д. Пряхиной, A.C. Кравчука, Б.Е. Победри, В.Г. Карнаухова, И.К. Сенченкова, И.Е. Трояновского, В.П. Майбороды, В.Г. Громова, Э.Э. Лавендела, С.И. Дымни-кова, В.Л. Бидермана, И.Н. Шардакова, Л.М. Зубова, Одена, Арги-риса, Гловински, Ля Толлека, Кикучи и др.

Связанные задачи термовязкоупругости образуют особый, сложный класс задач механики деформируемого твердого тела. По-

этому количество публикаций с решениями более или менее сложных задач невелико. Этим задачам свойственно термомеханическое сопряжение - зависимость механических характеристик от текущей температуры и, в свою очередь, зависимость температуры от истории механических переменных.

Введение завершает краткая аннотация работы по разделам.

Первый раздел содержит основные обозначения и определения. Основные геометрические, силовые и энергетические функции приняты из известной монографии A.A. Ильюшина. Даны уравнения движения в лагранжевых координатах и основное термодинамическое равенство.

Второй раздел посвящен физической стороне задачи для структурно-неоднородных слабосжимаемых эластомеров. Определяющие соотношения для напряжений, энтропии и диссипации имеют вид:

[ 2[ДГ) + я0Г] -\W,T){gij(T)~IgX{T))dT

с /СО

3 [f(T) + a{T]

S = -

dfm

dT

_0,5G„A 1 + 7-— (/г1 +

c2f(T)

<

g,j - \R(t,T)g„(T)dT

0

I

Igl-¡R(t,T)Igl(T)dT

дТ p 4 [f(T) + a0T\

< - \R(uv)Sij(v)dn

¡R(t,t})Igl(t})drj

(1)

с2ЯТ)

3 [f(T) + aiT]

^-3 г[Чт)

+ a(Ig3-F2)-

-0,5j2/?02

1-1-

2{cr-Xl)

ßoXi

~\хг ßl

1-. 1

2 (v-Zi)

ßoZi

(2)

0 8[/(Г)+а0Г]Гуа

t

¡R(t,r)g,j(T)dT-

Л

+¡R{t,t})glJ(t})di} -—J¡Ritsm^g^gyWdîdn -

о J о о

_1/ A

3 gl 3/

1 Я ' '

+--\jR{t,T)R{t,i1)lgl{r)lgy{V)drdr1\. (3)

В формулах (l)-(3):

/g3 - первый и третий инварианты метрического тензора g;

G0 - количество активных молекулярных цепей в единице объема эластомера;

к - постоянная Больцмана;

Т - абсолютная температура;

с2 - параметр неоднородности, численно равный среднему квадрату отношения линейного размера элементов неоднородности к расстоянию между ними;

f(T) - известная функция температуры

f(T) = Тэ+Ь1(Т-Тя) + Ъг{Т- Т3? + ЬЪ(Т - Тэ)3 ;

Тэ - некоторая эталонная температура;

è,, b2, b3 - константы;

ад, а, - структурно-механические параметры элементов неоднородности

Gnkc2 Gnkc2

за:0

//0, A'() - соответственно модуль сдвига и объемный модуль элементов неоднородности;

R(î,t),R{î,ii) - ядра релаксации;

(г, - предшествующее время; t - текущее время;

/[1] - температурный коэффициент линейного расширения элементов неоднородности;

а - функция типа гидростатического давления;

/Х{Т) - известная функция температуры

т т

ЧЕ(Т) + с0а(Т) Г '

■сГГ;

Тс, Т0

щЕ - начальная свободная энергия эластичной матрицы; $0Е — начальная энтропия эластичной матрицы;

~ начальная свободная энергия и начальная энтропия элементов неоднородности соответственно;

с0Е - удельная теплоемкость матрицы в отсутствии деформаций; с0а - удельная теплоемкость элементов неоднородности в отсутствии напряжений;

F(7,) - кратность изменения объема при свободном тепловом расширении

/2, - параметры, определяющие сжимаемость эластомера;

В третьем разделе дана дифференциальная и вариационная постановка задачи для двух практически важных случаев:

1) одно деформируемое тело из резины;

2) составное деформируемое тело в виде слоистого резиноме-таллического пакета.

Случай одного деформируемого тела из резины (эластомера). Пусть Г0 е й3 - область, занимаемая телом в естественном состоянии.

Граница тела 2 = 2о-иХн. состоит из двух кусков: на части Е<т задан

вектор плотности поверхностных сил Р, на части 2И задан вектор перемещения и0.

Дифференциальная постановка задачи включает: уравнения движения

Р(Т) = 1+Зу(Т);

Ро=~Хг1Хз-

0 0 о

о

о

(4)

связь между деформациями и перемещениями

(5)

«закон сжимаемости»

определяющие уравнения (1}-(3);

граничные условия в перемещениях

и(Х) = и0(Х),Хе к; (7)

граничные условия в усилиях

¿/V" „ . _ _ о

'Ч- к(Х)Р'(х(Х)),Х е ; (8)

ал0

начальное условие по положению

= (9)

начальное условие по скорости

П(Х,0) = ?2(Х); (10)

связанное уравнение теплопроводности

(П)

а* аГ'Г55 дх")у у 7

где Л - коэффициент теплопроводности;

считаем, что в задаче теплопроводности внешняя поверхность

тела делится на две части, на одной из которых тело теплоизолирова-

о

но, а на другой Еф осуществляется конвективный теплообмен по закону Ньютона

ду = кт(Т-Тф), (12)

где кт - коэффициент теплоотдачи; Тф - температура внешнего тела;

начальное условие по температуре

Т(Х,0) = То(Х). (13)

В вариационной постановке вместо уравнений движения (4) и статических граничных условий (8) используем принцип возможных перемещений

Ил 0

= 1КА{и,а)\йм) + (р011би) = 0,ХеУ0, (14)

а вместо уравнения теплопроводности (11) с условием (12) применяем уравнение притока тепла

к')с& + ^А8т"Т„Ют]с(У0 +

+ ^kWkrt?-Тф)ШЪф =(е(й,<г,0)|£,<5©) = О. (15)

Тф

В формулах (14), (15): (...) - операторные скобки, 0 - приращение температуры

T(X,t) = T0(X) + Q(X,t).

Решением задачи должны быть найдены вектор-функция й{X,t) и скалярные функции cr(X,t), T(X,t), XeV0; решение разыскиваем на конечном временном промежутке t е[0, t"].

Случай составного деформируемого тела в виде слоистого ре-зинометаллического пакета (вариационная постановка задачи). Область V0 = K0(l) и К0(2) разбиваем на две подобласти по материалам, далее индекс 1 обозначает принадлежность металлу, 2 - резине. Для каждой подобласти записываем уравнения принципа возможных перемещений

I [tyUj i + (p^iij - F^)Suj]dV0 - } k(u)P'8UjdLo> =

v 0

Sail)

= (^(ulSu) + (p№,Sil) = 0,Xe F0(1), (16)

J [tyUj i + (p^Uj - F^SujWo - J k{u)PJ5ujdlam =

v 0

= (42)(5,ff)|U«) + (^2)5,<®) = 0Je Vm (17)

и геометрические уравнения (5). Определяющие соотношения для резины задаем формулами (1)-(3) и (6), а для металла строим на основании функционала для термоупругого тела

¥ = щ -SvT + nsfy +0.5Л4-ЪамК©екк + С1,0-С„7'1п~, (18)

'о

здесь См, ам, К - удельная теплоемкость, температурный коэффициент линейного расширения и объемный модуль металла.

Уравнения притока тепла имеют вид

J (ту(1)да+»с, +

'■»о»

о

I к(й)кУ(т-тф)Ш1Ф{ 1)=(е(1)(м,0),да)=о, (19)

/ [(га(2) - *{2))лэ+]^о(2) + ^0,2,

+ | - =(е(2)(й,о-,0)|^ = О. (20)

о

2)

Должны быть выполнены условия непрерывности температуры и нормальной составляющей вектора теплового потока на границе стыковки резины и металла X е

Т{1)(Х) = Т{2)(Х), (21)

= °> (22)

а также равенства

дх" ига;0) дх" ,(2)

Р(1)(Х) = Р(2){Х),Хе1$\ (23)

й(1)(Л = й(2)(1),1е4А>, (24)

означающие непрерывность напряжений и перемещений. Функция сг(Х,1) разыскивается на подмножестве X еУ0(2).

В четвертом разделе конкретизирован режим нагружения. Процесс деформирования тела разделяем на два этапа, в течение первого из которых /е[0,/дг] в области К0 генерируем предварительные (в том числе и конечные) деформации, помечаемые в дальнейшем индексом (0). Второй этап е[0,оо) - это догружение в виде суперпозиции малых медленно изменяющихся и моногармонических составляющих с частотой со и медленно изменяющимися амплитудами

[н(0)СГ,О.

й0{Х,1)= _ _ _ _ (25)

[ит(Х,0 + и,0(Х,^) + йс0(Х,^005(0^иш^ >0,

Р(.ХА= - . . - - . - - (26)

[Р(0)(Л\?) +ДоСад + ^о^Осоз^,Г, >0, где й(0),Рф) _ медленные функции времени, задающие процесс предварительного нагружения;

й.0, йс0, üs0, Р,0, Рс0, Ps0 - малые амплитуды догружающих воздействий; tx=t-tN.

Далее производим линеаризацию основных соотношений (напряжений, диссипации, скорости изменения энтропии) в окрестности равновесного состояния предварительной конечной деформации.

В пятом разделе разработан алгоритм решения связанной задачи термовязкоупругости для случая наложения малых моногармонических колебаний на состояние с предварительными конечными деформациями. Приближенное решение задачи о предварительном статическом нагружении, дополнительном статическом догружении, моногармонических колебаниях и вибрационном разогреве ищем в виде

\u{"\X,t), t<tN;

u(X,t) = \ _ _ (27)

'(0) _

<r(X,t) = \ (28)

(0) _

<j(X,i) + c*(X,ti) + crc(X,t{)oosa}tx -а^Х^'тЩ,^ >0,

0 = 0(1,0- (29)

Подстановка выражений (27)-(29) в исходные уравнения с учетом дополнительных условий

üjc{X J^coscot, -üjs(X,t{)smwt^ =0, (30)

«,,(*,/,) = 0, м,(0)(*,0 = 0 (31)

приводит к интегро-дифференциальным уравнениям движения, притока тепла и сжимаемости. Далее производим переход к задаче относительно «медленных» (амплитудных) переменных и температуры по

методу усреднения, для чего вычисляем пределы .

lim

^¡m j /{(^(й),^} + (/^¿Um)}dt, = 0, (32)

1 о

T]

lim - Д(/((2)(г7,Ст)|;,ж) + (42)г7,ж)}^1 =0, (33)

7'_>ю 1 о

1 'г Г im (0)

lim — Г Г B(ü{0\Aü,ar,Aa,Q)

7,->ю Т, J 1 J0

А=0, (34)

lim у ]{Qw(üm,An,Q),dQ)dtl = 0 , (35)

* 1 п

s\ncot{\

1г;

Ит уг ¡^0(2)(ит,Ли,а,Д<7,0)|'0,ДЭ^й, = 0.

(36)

После перехода к конечномерной задаче по методу конечных элементов для (е)-го элемента получаем систему уравнений

4Ш + И>мас + в1т и» + с£ш й» = , = 0,

|Л) (>> <\> Л'т11 ¡1 + V^ícrs + Щ(ы11 а + С'т "а = ^у >

¿V

АХ

а(0Ч=0,

' Л

+ ||О||©(е) + ||£||0(') = В(е)-^(е),

(37)

(38)

(39)

(40)

где уравнения (37) - задача статики относительно узловых перемещений дополнительного статического догружения и теплового расширения; (38), (39) - система дифференциальных уравнений первого порядка относительно узловых значений синус- и косинус-амплитуд перемещений; (40) - система дифференциальных уравнений первого порядка относительно узловых значений приращения температуры; ]]С||, ¡0|, ¡[Е| - соответственно матрицы теплоемкости, теплопроводности и теплоотдачи, В(е) - вектор обобщенной диссипации, -вектор, обусловленный разницей начальных температур тела и окружающей среды. Коэффициенты матричных уравнений (37)—(40) зависят от параметров предварительной деформации и текущей температуры. Вязкоупругие свойства учитываем вычислением интегральных операторов на бесконечности.

Для интегрирования уравнений движения и энергии выполняем шаговую процедуру

н.

м

+ £

(41)

(42)

На (т +1) -ом временном «слое» алгоритм имеет вид:

1) по известному распределению температуры Т(Х,1т) в момент времени < = 1т решаем задачу механики, находим амплитуды перемещений м,(Х,/т), мс(!,/т), и амплитудные значения функции типа гидростатического давления а,(Х,1т), <гс(Х,ет), ах(Х,гт);

2) формируем и решаем систему уравнений притока тепла, в результате имеем распределение температуры Т{Х,1т+х)\

3) переходим к первому пункту алгоритма и замыкаем процесс.

Изучено влияние температуры на основные механические характеристики: модуль сдвига /и(Т), тангенс угла механических потерь

и параметры сжимаемости 2С0кТ%2(Т), Д,(Г). Расчеты были выполнены для резины ИРП-2090 в интервале температур от 245— 43 5К. Найденные зависимости характеризуются как «слабые», поэтому итерации по температуре можно проводить внутри циклов механической задачи.

В шестом разделе даны решения конкретных задач.

6.1. Расчет температуры в предварительно деформированном резиновом цилиндре при гармоническом догружении. Исследуемое тело - цилиндр £> = Я = а. Основания цилиндра контактируют с абсолютно жесткими плоскостями, наделенными теплофизическими свойствами стали, которые передают ему одинаковые встречные перемещения; боковая поверхность цилиндра свободна от нагрузки. Осесимметричную задачу решаем как пространственную. Рассматриваем два варианта нагружения - колебания без предварительного поджатая, колебания с предварительным поджатием 20% от начальной высоты, и два варианта контакта - полное проскальзывание (идеальный контакт) и полное сцепление. Амплитуды догружающих воздействий в формуле (25) и»0 = и]0 = и]а = 0,05а (10% от начальной высоты). Начальные условия однородные. Расчеты выполняем для материала А (резина ИРП-2090) и материала Б (резина ИРП-3012). Для дискретизации по пространственным переменным используем метод конечных элементов. В качестве конечного элемента принимаем прямую треугольную призму с билинейной аппроксимацией перемещений и температуры и кусочно постоянной аппроксимацией функции типа гидростатического давления. Задачу о предварительном поджа-тии решаем шаговым методом.

На рис. 1, 2 показаны распределения температуры по срединным сечениям цилиндров а = 6 см из материалов А и Б соответственно, предварительно сжатых на 20% от первоначальной высоты без тре-

ния. Частота вынужденных колебаний 40 Гц. Видно, что найденные функции являются поверхностями вращения (осесимметричная задача решена как пространственная). Рисунок 3 дает рост температуры в центре тела из материала А во времени. Графики на рис. 4 построены для а-6 см; а=9 см и а = 12 см. Виден масштабный эффект: в теле больших размеров температура значительно выше.

6.2. Расчет температуры в предварительно деформированном резиновом кубе при гармоническом догружении. Исследуемое тело -куб с ребром а из материалов А и Б. Грани х3 =±0,5а контактируют с жесткими (стальными) пластинами и испытывают встречные перемещения вдоль оси х3, остальные четыре грани свободны от поверхностных нагрузок и находятся в условиях конвективного теплообмена с воздухом. Рассматриваем два варианта нагружения: колебания без предварительного поджатая и колебания, наложенные на предварительное поджатие 20% от начальной высоты. Исследуем два варианта контакта на гранях х3 =±0,5а: полное проскальзывание и полное сцепление. Амплитуды догружающих воздействий в формуле (25) -10% от первоначальной высоты, начальные условия - однородные. Задачу о предварительном поджатии решаем шаговым методом.

На рис. 5, 6 даны распределения температуры по срединным сечениям кубов а= 6 см из материалов А и Б соответственно, поджатых предварительно на 20% без трения. Максимумы температуры наблюдаем в центрах тел, минимумы - на концах диагоналей. График на рис. 7 демонстрирует влияние частоты - с увеличением частоты разогрев растет, причем зависимость близка к линейной. График на рис. 8 построен для куба без предварительного поджатия, но со сцеплением на границах контакта, когда формы колебаний носят «бочкообразный» характер.

6.3. Определение температурного поля и напряжений в слоистом резинометаллическом амортизаторе. Рассматриваем слоистый резинометаллический амортизатор (пакет), имеющий форму параллелепипеда 0,5х0,5х0,204(/г) м. Пакет состоит из 7 резиновых пластин (материалы А и Б) толщиной 24 мм и 6 стальных пластин по 6 мм, скрепленных приклеиванием или вулканизацией. Считаем, что квадратными основаниями амортизатор жестко связан с недеформируе-мыми плоскостями, наделенными теплофизическими свойствами стали, нижнее основание неподвижно. На верхнем основании заданы перемещения: предварительное поджатие 4 мм с последующими коле-

баниями вдоль горизонтальной оси х1 по закону синуса и косинуса с амплитудами 12 мм.

Задачу о предварительном статическом нагружении решаем шаговым методом. На рис. 9-11 построены функции истинных напряжений от предварительного поджатая в амортизаторе с резиновыми слоями из материала А. На рис. 12 построена функция напряжения <j¡q) в верхней половине третьего стального слоя. Армирующая пластина испытывает растяжение, максимум растяжения - 30 МПа. На рис. 13 дано распределение температуры по срединной плоскости четвертого (считая от основания) резинового слоя. Видно, что глобальный максимум достигается на оси симметрии ближе к боковой поверхности тела, чего не наблюдается в теле из однородного материала. Рисунок 14 показывает распределение температуры по вертикальной оси пакета. Стальным слоям отвечают почти «горизонтальные» участки, где температура распределена по толщине практически равномерно из-за высокой теплопроводности материала. В резиновых слоях (наклонные участки) теплопроводность обеспечена повышенным градиентом температуры. Анализ роста температуры во времени в центре тела показывает, что, несмотря на значительные размеры детали, температура стабилизируется благодаря наличию теплопрово-дящих стальных пластин. На рис. 15-18 построены графики температурных напряжений. Сопоставляя их с графиками на рис. 9-12, заключаем, что температурные напряжения того же порядка, что и от полезной нагрузки, пренебрегать ими нельзя.

В заключении представлены результаты и выводы, полученные в ходе выполнения диссертации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Получены определяющие соотношения термовязкоупругости для структурно-неоднородных слабосжимаемых эластомеров при наложении малых деформаций на конечные.

2. Разработан метод решения связанных задач термовязкоупругости для предварительно деформированных тел.

3. На основании нелинейной теории термовязкоупругости структурно-неоднородных слабосжимаемых эластомеров разработан алгоритм численного решения нестационарных связанных задач термовязкоупругости, основанный на применении метода конечных эле-

ментов по пространственным координатам и метода усреднения по времени.

4. Решены связанные задачи для цилиндров из резин ИРП-2090 и ИРП-3012. Проанализировано влияние предварительной деформации, условий закрепления на торцах, размеров цилиндров на температуру саморазогрева. Построены кривые роста температуры во времени. Получен масштабный эффект.

5. Построены численные решения связанных задач для кубов из резин вышеуказанных марок. Оценено влияние предварительного поджатая, граничных условий (проскальзывание или полное сцепление), частоты колебаний и размеров кубов на температуру разогрева. Получен масштабный эффект.

6. Для пригруженного слоистого резинометаллического амортизатора произведен расчет температуры саморазогрева и связанных с ним температурных напряжений. Показано, что температурные напряжения сравнимы с напряжениями от полезной нагрузки. Изучен рост температуры во времени. Установлено, что распределение температуры по слоям в этом изделии немонотонное, максимумы температуры сдвинуты к боковым границам.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

Научные статьи, опубликованные в изданиях, рекомендованных ВАК Минобрнауки России:

1. Старостенко, И.Н. Расчет теплообразования в предварительно деформированном резиновом кубе при гармоническом нагружении / И.Н. Старостенко, H.H. Фролов // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. - Краснодар, 2007.-№3.-С. 64-68.

2. Старостенко, И.Н. Решение задачи о вынужденных моногармонических колебаниях и разогреве слоистого резинометаллического параллелепипеда / И.Н. Старостенко, H.H. Фролов // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2008. — Т. 15. - Вып. 2. -С.373.

3. Старостенко, И.Н. Особенности конечноэлементной реализации нелинейных краевых задач для тел из слабосжимаемых высокоэластичных материалов / И.Н. Старостенко, H.H. Фролов // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2009. - Т. 16. - Вып. 1. -С. 182-183.

Научные статьи, опубликованные в иных изданиях:

4. Старостенко, И.Н. Влияние деформативности металла и условий нагружения на компрессионную жесткость слоистых резиноме-таллических пакетов / И.Н. Старостенко // Математические методы и информационно-технические средства: тр. Всерос. науч.-практ. конф. -Краснодар: Краснодар, академия МВД России, 2005. - С. 47-49.

5. Старостенко, И.Н. Построение определяющих уравнений нелинейной теории термоупругости эластомеров / И.Н. Старостенко, Е.В. Михайленко // Математические методы и информационно-технические средства: тр. 3-й Всерос. науч.-практ. конф. - Краснодар: Краснодар, ун-т МВД России, 2007. - С. 75-77.

6. Старостенко, И.Н. Расчет теплообразования в предварительно деформированном резиновом цилиндре при гармоническом нагруже-нии / И.Н. Старостенко // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета. - Краснодар, 2007. - № 27(3). - Режим доступа: http://www.ej.kubagro.ru

7. Старостенко, И.Н. Основные гипотезы теории построения определяющих соотношений структурно-неоднородных слабосжимае-мых эластомеров / И.Н. Старостенко // Математические методы и информационно-технические средства: тр. 4-й Всерос. науч.-практ. конф. - Краснодар: Краснодар, ун-т МВД России, 2008. - С. 187-192.

8. Старостенко, И.Н. Расчет напряженно-деформированного состояния многослойного резинометаллического цилиндра в режиме заданных перемещений / И.Н. Старостенко, Е.В. Михайленко // Математические методы и информационно-технические средства: тр. 4-й Всерос. науч.-практ. конф. - Краснодар: Краснодар, ун-т МВД России, 2008.-С. 154-159.

Диссипативный разогрев цилиндра

Рис. 1. Распределение температуры по сечению X3 = 0 (резина ИРП-2090)

Рис. 3. Рост температуры во времени Рис 4. Влияние размеров цилиндров в центре цилиндра на температуру саморазогрева

Диссипативный разогрев куба

Рис. 2. Распределение температуры по сечению X3 = 0 (резина ИРП-3012)

-♦»•Цилиндр а=6 см Цилиндр з=9 см —л—Цилиндр а« 12 см

Рис. 5. Распределение температуры Рис. 6. Распределение температуры по сечению X3 = 0 (резина ИРП-2090) по сечению X3 = О (резина ИРП-3012)

Рис 7. Зависимость температуры Рис. 8. График роста температуры

в центре тела от частоты в центре куба (сцепление на контакте)

Расчет температурных напряжений в слоистом резинометаллическом амортизаторе

Рис. 9. Напряжения сг(0) в верхней половине седьмого резинового слоя

Рис. 10. Напряжения <х(0) в верхней половине седьмого резинового слоя

Рис 11. Напряжения сг(0) в верхней половине седьмого резинового слоя

Рис. 12. Напряжения сг(0, в верхней половине третьего стального слоя

Рис. 13. Распределение температуры в четвертом резиновом слое

33

Рис 15. Напряжения сг„ в верхней половине седьмого резинового слоя

73

Рис. 17. Напряжения сг4" в верхней половине седьмого резинового слоя

Рис. 14. Распределение температуры на вертикальной оси пакета

Рис. 16. Напряжения (т\' в верхней половине седьмого резинового слоя

Рис. 18. Напряжения ci1 в верхней половине третьего стального слоя

Подписано в печать 28.05.2009. Усл.-печ. л. 1,2. Тираж 100 экз. Заказ 204.

Краснодарский университет МВД России. 350005, Краснодар, ул. Ярославская, 128.

1. Основные определения и обозначения Ю

2. Определяющие соотношения для структурно-неоднородных слабосжимаемых эластомеров

3. Дифференциальная и вариационная постановка задачи

4. Линеаризация определяющих соотношений для случая наложения малых деформаций на установившиеся конечные деформации

5. Метод и алгоритм решения связанной задачи термовязкоупругости

6. Моногармонические колебания предварительно деформированных вязкоупругих тел

6.1. Расчет температуры в предварительно деформированном резиновом цилиндре при гармоническом догружении

6.2. Расчет температуры в предварительно деформированном резиновом кубе при гармоническом догружении

6.3. Определение температурного поля и напряжений в слоистом резинометаллическом амортизаторе

Резины (эластомеры), благодаря своим уникальным свойствам, незаменимы в технике и медицине. Такие оригинальные качества, как предрасположенность к формоизменению, малая объемная сжимаемость, способность претерпевать деформации до нескольких сот процентов в сочетании с коррозионной стойкостью и долговечностью определяют современную номенклатуру и расширяют рынок изделий из высокоэластичных материалов. Например, такие изделия как автошины, выпускаются миллиардами штук, постоянно модернизируются и совершенствуются. Неоценим вклад эластомеров в современной технике, гражданской, космической и военной промышленности. Детали из эластомеров в сочетании с традиционными материалами позволяют создавать новые механические системы, обладающие наперед заданными свойствами.Из всего многообразия условий эксплуатации резинотехнических изделий можно выделить общие признаки: 1) Изделия из эластомеров имеют сложную геометрическую форму и подвержены сложным термомеханическим воздействиям; 2) Детали из эластомеров, как правило, работают в условиях больших деформаций, где их применение наиболее эффективно и где другие, более высокомодульные материалы, работать не могут; 3) Изделия из эластомеров работают в контакте с другими материалами (металлами, пластмассами, жидкостями и др.), причем зоны передачи механических воздействий от одной среды к другой в большинстве случаев заранее неизвестны; 4) Резины являются вязкоупругими материалами, обладающими внутренней диссипацией, поэтому при длительных повторно-переменных нагрузках они подвержены саморазогреву; 5) При стесненных деформациях эластомеры проявляют высокую жесткость, сопоставимую с реакцией технических пластмасс и металлов, т.е. необходим учет сжимаемости.Все это говорит о том, что анализ напряженно-деформированного состояния резинотехнических изделий представляет собой сложную и актуальную задачу механики деформируемого твердого тела.Для обоснования темы настоящей работы рассмотрим механическую систему, изображенную на рис. 1.Агрегат с эксцентриком Амортизатор Рис. 1. Механическая система с возбудителем колебаний и амортизаторами Система состоит из массивного агрегата весом G, который вырабатывает колебания P(t) = Р0еш . Агрегат установлен через резиновые амортизаторы на фундамент.Будем считать, что после установки агрегата G амортизаторы получат предварительную конечную статическую деформацию, на которую после пуска агрегата накладываются гармонические колебания. Будем считать также, что амплитуды этих колебаний малы.Если механические свойства амортизаторов стабильны, движение системы будет стационарным. На самом деле резина является вязкоупругим материалом и обладает внутренней диссипацией. Механическая энергия при колебаниях частично переходит в тепловую, поэтому температура амортизаторов со временем будет расти. Как показывают исследования, дальнейшая судьба сиетемы зависит от многих факторов: насколько удачно сконструированы амортизаторы, предусмотрен ли отвод тепла, достаточно ли термостойка резина и т.д.Конструкторов интересует, способна ли система выходить на стационарный режим, а если способна, то каковы параметры этого режима? Очевидно, что при больших размерах амортизатора и недостаточном отводе тепла температура в центре детали может неограниченно возрастать, вызывая тепловую деструкцию, разрушение амортизатора и всей системы в целом. Открытым остается вопрос о влиянии предварительной деформации на температуру саморазогрева.Поэтому изучение теплообразования в резинотехнических изделиях, испытывающих предварительные конечные деформации, актуально.В настоящей работе учитываются следующие факторы: наличие вязкоупругих свойств и предварительных конечных деформаций; малая объемная сжимаемость; наложение малых моногармонических движений на равновесные конечные деформации и связанный с ними саморазогрев; трехмерный характер деформирования.Именно в таких условиях работают большинство промышленных амортизаторов, служащих для снижения колебаний в ответственных машинах и приборах.Принятые в настоящем исследовании обозначения отвечают фундаментальной работе [1].Общим теоретическим вопросам построения физико-механических моделей материалов посвящены работы [1—11]. Созданные в этих работах модели характеризуются максимальной общностью и подлежат поэтапной конкретизации. Принципиальным моментом является учет зависимости механических параметров от температуры, где используется принцип температурно-временнои аналогии [12]. Как отмечается в работе [13], разработанные в вышеуказанных публикациях модели на практике трудно применимы, т.к. доведение их до числа представляет собой достаточно сложную задачу. Поэтому механика эластомеров, как самостоятельная ветвь, развивалась параллельно, при этом поведение материала предполагалось термо- или гиперупругим, деформации изохорическими [14]. Обобщению на случай вязкоупругого поведения посвящены работы [15-19], где упругие постоянные заменяли интегральными операторами. В публикациях [20-25] разработаны подходы по учету сжимаемости резины.Основы статистической теории термоупругости были заложены в работах Джемса и Гута [26-28], Куна и Трелоара [29], Флори, Волькенштейна и Нагаи [30]. Дальнейшее развитие этой теории пошло по пути усложнения модели микроструктуры, базирующейся на очередных достижениях химии и технологии, а также изучении микросостава резин под электронным микроскопом [31,32]. Соответствующие исследования были произведены И.М.Дунаевым [33-36] применительно к механически несжимаемым материалам. Учет зависимости механических характеристик элементов структуры от температуры и объемной сжимаемости выполнен в работах Н.Н. Фролова [37,38]. Важным моментом в работах [33-38] является явная зависимость физико-механических параметров от температуры.С точки зрения инженерных расчетов определяющей характеристикой модели является ее параметрическая идентификация. Чем больше параметров и функций содержит модель, тем сложнее доводить ее до конкретного результата.Вопросам параметрической идентификации посвящены работы [39-43]. В работах [41,42] подчеркивается необходимость учета механических потерь при стационарных гармонических колебаниях совместно с медленными экспериментами на ползучесть и релаксацию. Во всех работах указывается, что решение коэффициентных задач не является единственным, проблема неединственности растет с увеличением числа искомых параметров.Методы решения статических и динамических задач механики деформируемого твердого тела в геометрически линейной постановке разработаны в трудах [44-57] и многих других. К сожалению, реализованные в этих работах оригинальные идеи и аналитический аппарат не удается до конца применить в задачах с конечными деформациями. Отметим, что большинство резинотехнических изделий работают именно в области конечных деформаций, поэтому ставка в настоящей работе делается на приближенные методы, в частности метод конечных элементов (МКЭ).Основы МКЭ применительно к геометрически нелинейным задачам были заложены в работах [58-67] и многочисленных других. Общим в указанных работах является переход к конечномерной задаче и последующее ее решение удобным методом [68].В настоящее время в машиностроении и строительстве широкое применение получили макрокомпозиты — слоистые резинометаллические элементы.Применительно к этому классу изделий отметим работы [69-75], выполненные с учетом сжимаемости резины.Связанные задачи термовязкоупругости образуют особый, сложный класс задач механики деформируемого твердого тела. Поэтому количество публикаций с решениями более или менее сложных задач невелико [76-97]. Этим задачам свойственно термомеханическое сопряжение - зависимость механических характеристик от текущей температуры и, в свою очередь, — зависимость температуры от истории механических переменных.В объеме настоящей работы сформулированы и решены следующие задачи.Во введении приведена техническая постановка задачи, рассмотрение которой послужило толчком для выполнения настоящей работы.В первом разделе даны основные обозначения и определения, заимствованные из монографии [1].Второй раздел содержит определяющие соотношения для структурнонеоднородных слабосжимаемых эластомеров. Приведенные формулы заимствованы из работы [37] для многокомпонентной и однокомпонентной системы.В третьем разделе изложена общая математическая постановка задачи: сначала дифференциальная с использованием уравнений движения, затем вариационная, — с применением принципа возможных перемещений.В четвертом разделе проведена линеаризация основных соотношений задачи применительно к случаю наложения малых деформаций на конечные. Получены приближенные формулы для вычисления напряжений, энтропии, скорости изменения энтропии, диссипативной функции и уравнения притока тепла.В пятом разделе изложен алгоритм решения связанной задачи, основанный на МКЭ в сочетании с методом усреднения и шаговой процедурой по времени. Проанализированы зависимости механических характеристик от температуры и намечены возможные упрощения численной реализации.В шестом разделе получены решения трех связанных задач: 1) Колебания и разогрев предварительно нагруженного резинового цилиндра при кинематическом возбуждении двух противоположных торцов. Исследования выполнены для цилиндров из резин ИРП-2090 и ИРП-3012. Решена задача о предварительном статическом нагружении. Проанализировано влияние материала, предварительного поджатия и условий на контакте (полное сцепление или идеальное проскальзывание на торцах) на разогрев цилиндров. Получен масштабный эффект, изучен рост температуры во времени; 2) Колебания и разогрев предварительно нагруженного резинового куба при кинематическом возбуждении двух противоположных торцов. Решена тестовая задача о предварительном статическом нагружении. Найдены распределения температуры в деталях из вышеуказанных марок резин, получен график роста температуры во времени. Проанализировано влияние частоты, размеров куба и закреплений на контакте на температуру саморазогрева; 3) Изучение теплообразования и температурных напряжений в предварительно сжатом слоистом резинометаллическом амортизаторе. Решена задача о предварительном статическом нагружении, получены контактные напряжения и напряжения в слоях резины и металла. Найдены распределения температуры по слоям для двух марок резин, получено распределение температуры по высоте амортизатора и рост температуры во времени. Подробно изучены температурные напряжения. Установлено, что температурные напряжения в амортизаторе сопоставимы с напряжениями от предварительного нагружения.Решения вышеуказанных задач получены по оригинальным программам, разработанным в среде MS FORTRAN.Совокупность результатов по изучению температурных и механических полей в предварительно деформированных телах из структурно-неоднородных слабосжимаемых эластомеров представляет решение новой, сложной задачи механики деформируемого твердого тела, имеющей важное техническое приложение. Это положение выносится на защиту.Представленные в диссертации результаты опубликованы в работах [98— 105], где автору принадлежит разработка программы и особенности численной реализации на ЭВМ, а также участие в интерпретации решений.Автор выражает признательность и благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Н.Н. Фролову и научному консультанту доктору физико-математических наук, профессору И.М. Дунаеву за оказанное внимание и постоянную поддержку при выполнении работы.

Основные результаты и выводы

1) Получены определяющие соотношения термовязкоупругости для структурно-неоднородных слабо сжимаемых эластомеров при наложении малых деформаций на конечные.

2) Разработан метод решения связанных задач термовязкоупругости для предварительно деформированных тел.

3) На основании нелинейной теории термовязкоупругости структурно-неоднородных слабо сжимаемых эластомеров разработан алгоритм численного решения нестационарных связанных задач термовязкоупругости, основанный на применении метода конечных элементов по пространственным координатам и метода усреднения по времени;

4) Решены связанные задачи для цилиндров из резин ИРП—2090 и ИРП-3012. Проанализировано влияние предварительной деформации, условий закрепления на торцах, размеров цилиндров на температуру саморазогрева. Построены кривые роста температуры во времени. Получен масштабный эффект;

5) Построены численные решения связанных задач для кубов из резин вышеуказанных марок. Оценено влияние предварительного поджатия, граничных условий (проскальзывание или полное сцепление), частоты колебаний и размеров кубов на температуру разогрева. Получен масштабный эффект;

6) Для пригруженного слоистого резинометаллического амортизатора произведен расчет температуры саморазогрева и связанных с ним температурных напряжений. Показано, что температурные напряжения сравнимы с напряжениями от полезной нагрузки. Изучен рост температуры во времени. Установлено, что распределение температуры по слоям в этом изделии немонотонное, максимумы температуры сдвинуты к боковым границам.

1. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды / А.А. Ильюшин. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1978. - 287 с.

2. Лурье А.И. Теория упругости / А.И. Лурье. М.: Наука, 1970. - 940 с.

3. Новожилов В.В. Теория упругости / В.В. Новожилов. Л.: Судпромгиз, 1958.-370 с.

4. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел / Ю.Н. Работнов. М.: Наука, 1977. - 384 с.

5. Грин А. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды / А. Грин, Д. Адкинс. М.: Мир, 1965. - 455 с.

6. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред / К. Трусделл. М.: Мир, 1975. - 592 с.

7. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости / Р. Кристенсен. М.: Мир, 1974.-340 с.

8. Седов Л.И. Механика сплошной среды / Л.И. Седов. М.: Наука, 1969. т.1.492 е.; 1970. т.2. 568 с.

9. Карнаухов В.Г. Связанные задачи термовязкоупругости / В.Г. Карнаухов. Киев: Наукова думка, 1982. - 247 с.

10. Ильюшин А.А. Основы математической теории термовязкоупругости / А.А. Ильюшин, Б.Е. Победря. М.: Наука, 1970. — 28 с.

11. Победря Б.Е. Математическая теория нелинейной вязкоупругости / Б.Е. Победря. В кн.: Упругость и неупругость, вып. 3. Изд-во МГУ, 1973, с. 417-428.

12. LeadermanH. Elastic and Greep Properties of Filamentons Materials and Other Higt Polymers / H. Leaderman. Washington, 1943, p. 175.

13. Дымников С.И. Прикладные методы расчета изделий из высокоэластичных материалов / С.И. Дымников, Э.Э. Лавендел, А.-М.-А. Павловские. -Рига: Зинанте, 1980. 238 с.

14. Черных К.Ф. Законы упругости для изотропных несжимаемых материалов / К.Ф. Черных, И.М. Шубина // Науч. тр. Краснодар, политехи, ин-т.- 1977. Вып. 242. - С. 54-64.

15. КанцансМ.В. Запись закона состояния для несжимаемой вязкоупругой среды при конечных деформациях / М.В. Канцанс, Э.Э. Лавендел // Вопросы динамики и прочности. Рига, 1981. - Вып. 38. - С. 39-48.

16. Колтунов М.А. Постановка задачи нелинейной теории вязкоупругости / М.А. Колтунов, И.Е. Трояновский // Механика полимеров. 1975. - № 2.- С. 234-240.

17. Колтунов М.А. Геометрически нелинейная задача теории вязкоупругости / М.А. Колтунов, И.Е. Трояновский // Науч. тр. Краснодар, политехи, ин-т. 1977. - Вып. 242. - С. 36-47.

18. Кравчук А.С. Вынужденные нелинейные колебания вязкоупругого тела / А.С. Кравчук, Б.И Моргунов, И.Е. Трояновский // Механика полимеров.- 1974.-№ 4.- С. 689-694.

19. Адамов А.А. К выбору функционала для описания поведения вязкоупругого материала при конечных деформациях / А.А. Адамов // Науч. тр. Краснодар, политехи, ин-т. 1980. - Вып. 101. - С. 56-59.

20. Sharda S.C. A strain energy density function for compressible rubberlice materials / S.C. Sharda, N.W. Tschoegl // Trans. Soc. Rheology. 1976. P. 361372.

21. Черных К.Ф. Об учете сжимаемости резины / К.Ф. Черных, И.М. Шубина // Науч. тр. Краснодар, политехи, ин-т. 1978. - Вып. 268.- С. 56-62.

22. Дымников С.И. Упругие потенциалы для слабосжимаемых эластомер-ных материалов / С.И. Дымников, И.Р. Мейерс, А.Г. Эрдманис // Вопр. динамики и прочности. 1982. - Вып. 40. - С. 98-108.

23. Эрдманис А.Г. Расчет нелинейных механических характеристик пакетов тонкослойных эластомерных упругих элементов / А.Г. Эрдманис // Ав-тореф. дис. канд. техн. наук. Рига, 1986. - 20 с.

24. Cescotto S. A finite element approach for large strain of nearly incompressible rubberlice materials / S. Cescotto, C.A. Fonder // Int. J. Solids and Structures. 1979.-V. 15. P. 589-605.

25. Роговой А.А. Уравнения состояния и функционал для слабосжимаемых и несжимаемых материалов при конечных деформациях / А.А. Роговой // Науч. тр. Краснодар, политехи, ин-т. 1988. - Вып. 211. С. 72-88.

26. James Н.М. Statistical Properties of Networks of Flexible Chains / H.M. James // J. Chem. Phys. 1947. -№ 9. - P. 651-668.

27. James H.M. Theoty of the Increase in Rigidity of Rubber during Cure / H.M. James, E. Guth // J. Chem. Phys. 1947. - № 9. - P. 669-683.

28. James H.M. Simple Presentation of Network Theory of Rubber with a Discussion of Other Theories / H.M. James, E. Guth // J. Polymer Sci. 1949. -№4.-P. 153-182.

29. Трелоар JI. Физика упругости каучука / Л. Трелоар. М.: Ил., 1953. — 240 с.

30. Флори П. Статистическая механика цепных молекул / П. Флори. — М.: Мир, 1971.-440 с.

31. Догадкин Б.А. Химия эластомеров / Б.А. Догадкин. М.: Химия, 1972.390 с.

32. Бартенев Г.М. Физика и механика полимеров / Г.М. Бартенев, Ю.В. Зеленев. М.: Высшая школа, 1983. - 390 с.

33. Дунаев И.М. Обобщенный упругий потенциал для расчета конструкции из эластичных полимеров / И.М. Дунаев // Изв. высш. учеб. заведении, Строительство и архитектура. 1975. — № 10. - С. 30-37.

34. Дунаев И.М. Определяющие соотношения вязкоупругости эластомеров с учетом элементов структуры / И.М. Дунаев // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. - 1978. -№ 3. - С. 184-185.

35. Дунаев И.М. Об одном варианте нелинейной теории термовязкоупруго-сти эластомеров / И.М. Дунаев // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. - 1985.-Т. 1.-С. 110-117.

36. DunaevI.M. A continuum model of microheterogeneous elastomers / I.M. Dunaev // Cont. Mod. and Disc. Sys. / Edited by G.A.Maugin New York: Longman Scientific & Technical, 1991. - V.2. - P. 30-37.

37. Фролов H.H. Нелинейная теория термовязкоупругости структурно-неоднородных слабосжимаемых эластомеров / Н.Н. Фролов, И.М. Дунаев // Изв. вузов. Сев. Кавк. регион. Естеств. науки. - 1999. -Вып. 1.-С. 57-61.

38. Фролов Н.Н. Трехмерные задачи теории колебаний для предварительно деформированных вязкоупругих тел из высокоэластичных материалов /. Н.Н. Фролов // Изв. вузов. Сев. Кавк. регион. Естеств. науки. - 1999. -Вып. 3.-С. 36-41.

39. Карнаухов В.Г. О точности представления Грина-Ривлина в теории вязкоупругости / В.Г. Карнаухов, И.К. Сенченков // Докл. АН СССР, серия матем. и мех. 1978. - № 6. - С. 1314-1317.

40. Колтунов М.А. Ползучесть и релаксация / М.А. Колтунов. М.: Высшая школа, 1976.-277 с.

41. Уржумцев Ю.С. О паспортизации вязкоупругих характеристик полимерных материалов / Ю.С. Уржумцев, Ю.О. Янсон // Механика композиционных материалов. 1979. - № 5. - С. 900-906.

42. Адамов А.А. Описание вязкоупругого поведения несжимаемых и слабо-сжимаемых материалов при конечных деформациях / А.А. Адамов // Ав-тореф. дис. канд. физ.-мат. наук. М., 1979. - 21 с.

43. Капоровский В.М. Сжимаемость эластомеров при гидростатическом давлении до 40 МПа / В.М. Капоровский, М.З. Азарх, Н.Н. Юрцев // Высокомолекулярные соединения. 1985. - Т. 27. - № 10. - С. 2308-2309.

44. Александров В.М. Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями / В.М. Александров, Е.В. Коваленко. М.: Наука, 1986.-336 с.

45. Александров В.М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками / В.М. Александров, С.М. Мхитарян. М.: Наука, 1983. -487 с.

46. Бабешко В.А. Обобщенный метод факторизации в пространственных динамических смешанных задачах теории упругости / В.А. Бабешко. -М.: Наука, 1984.-256 с.

47. Бабешко В.А. Динамика нерднородных линейно-упругих сред /

48. B.А. Бабешко, Е.В. Глушков, Ж.В. Зинченко. М.: Наука, 1989. - 344 с.

49. Бреховских JI.M. Волны в слоистых средах / JI.M. Бреховских. М.: Наука, 1973.-338 с.

50. ВатульянА.О. Фундаментальные решения в нестационарных задачах электроупругости / А.О. Ватульян // ПММ. 1996. - Т. 60. - Вып. 2.1. C. 309-312.

51. ВоровичИ.И. Неклассические смешанные задачи теории упругости / И.И. Ворович, В.М.Александров, В.А. Бабешко. М.: Наука, 1974. -455 с.

52. ВоровичИ.И. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей / И.И. Ворович, В.А. Бабешко. М.: Наука, 1979.-320 с.

53. Гринченко В.Т. Гармонические колебания и волны в упругих телах / В.Т. Гринченко, В.В. Мелешко. Киев: Наукова Думка, 1981. — 284 с.

54. НовацкийВ. Динамика сооружений / В. Новацкий. М.: Гостройиздат, 1968.-376 с.

55. Пряхина О.Д. Динамика массивных тел, взаимодействующих с многослойными полуограниченными средами со сложными физико-механическими свойствами / О.Д. Пряхина // Автореф. дисс. докт. физ.-мат. наук. Ростов-на-Дону. - 1997. - 36 с.

56. Слепян Л.И. Нестационарные упругие волны / Л.И. Слепян. Л.: Судостроение, 1972. - 371 с.

57. Улитко А.Ф. Метод собственных векторных функций в пространственных задачах теории упругости / А.Ф. Улитко. Киев: Наукова Думка, 1979.-261с.

58. Ворович И.И. Динамика массивных тел и резонансные явления в деформируемых средах / И.И. Ворович, В.А. Бабешко, О.Д. Пряхина. М.: Научный мир, 1999. - 246 с.

59. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред / Дж. Оден. М.: Мир, 1976.- 464 с.

60. Лавендел Э.Э. Методы и алгоритмы решения прикладных задач связанной теории вязкоупругости для высокоэластичного материала (резины) / Э.Э. Лавендел // Механика эластомеров. Сб. науч. тр. / Краснодар, политехи. ин-т, 1977. с. 65-74.

61. Бидерман В.Л. Числовой расчет нелинейных упругих характеристик ре-зино-металлических упругих элементов / В.Л. Бидерман, А.Я. Жислин. — В кн.: Междунар. конгр. по каучуку и резине: тез. докл., Киев. 1978. — С. 38-46.

62. Хархурим И .Я. Метод конечных элементов в нелинейной механике эластомеров / И.Я. Хархурим // Науч. тр. Краснодар, политехи, ин-т, 1980. — вып. 101.-С. 13-23.

63. Гозман Е.А. Применение метода конечных элементов к расчету РТИ при больших деформациях / Е.А. Гозман, В.А. Дружинин, С.И. Дымников // Вопр. динамики и прочности, Рига. — 1980. — Вып. 36. — С. 147-156.

64. Кравчук А.С. Численное решение геометрически нелинейных контактных задач / А.С. Кравчук, В.А. Сурсяков // Докл. АН СССР. 1981. -№6.-С. 1327-1329.

65. Кравчук А.С. Численное решение геометрически нелтнейных контактных задач / А.С. Кравчук, В.А. Сурсяков // Науч. тр. Краснодар, политехи. ин-т, 1983. Т. 1. - С. 27-32.

66. Кравчук А.С. Вариационные и квазивариационные неравенства в механике / А.С. Кравчук. М.: МГАПИ, 1997. - 340 с.

67. Шешенин С.В., Кузь И.С., Савельев И.А. О методе пошаговой линеаризации в задачах нелинейной теории упругости / С.В. Шешенин, И.С. Кузь, И.А. Савельев // Упругость и неупругость: сб. науч. тр. М.: МГУ, 1993.-4.1. - С. 88-94.

68. Ортега Дж. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными / Дж. Ортега, В. Рейнболт. М.: Мир, 1975.-558 с.

69. Карнаухов В.Г. Расчет жесткостных характеристик цилиндрических и призматических амортизаторов при сжатии и сдвиге / В.Г. Карнаухов, И.К. Сенченков. Машиноведение, 1976. -№ 3. - С. 74-77.

70. МиляковаЛ.В. Общая линейная теория статики тонкослойных резино-металлических элементов / JI.B. Милякова // Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук. Л., 1984. - 14 с.

71. Малый В.И. Асимптотическое решение задачи о сжатии слоя слабосжи-маемого материала / В.И. Малый // Научн. тр. Краснодар, политехи, ин-т, 1981.-Вып. 104.-С. 38-44.

72. Дымников С.И. Вариант модели физически нелинейной среды для статических расчетов тонкослойных резинометаллических элементов / С.И. Дымников // Каучук и резина. 1981. - № 4. - С. 46-50.

73. Мальков В.М. Теория и методы расчета многослойных резиноармиро-ванных конструкций / В.М. Мальков, В.И. Круглякова, И.Г. Титаренко // Тез докл. Всесоюзн. конф. по нелинейной теории упругости. — Сыктывкар, 1989.-С. 115-117.

74. Дымников С.И. Статический расчет тонкослойных эластомерных упругих элементов МКЭ / С.И. Дымников, А.Г. Эрдманис // Всесоюз. науч. техн. конф. по методам расчета изделий из высокоэластич. материалов. -Рига, 1986.-С. 75-76.

75. Эрдманис А.Г. Расчет нелинейных механических характеристик пакетов тонкослойных эластомерных упругих элементов / А.Г. Эрдманис // Ав-тореф. дис. канд. техн. наук. Рига, 1986. - 20 с.

76. Шепери Р.А. Термомеханическое поведение вязкоупругих сред с переменными свойствами при циклическом нагружении / Р.А. Шепери // Тр. амер. общ-ва инженеров-механиков. Прикл. механика. 1965. - Т.32. -№3. - С. 150-161.

77. Хуань Н. Термомеханическое взаимосвязанное поведение вязкоупругих стержней при циклическом нагружении / Н. Хуань, Е. Ли // Тр. амер. общ-ва инженеров-механиков. Прикл. механика. 1967. - Т.34. - № 3. -С. 57-62.

78. Лавендел Э.Э. Расчет температурного поля при кинематическом возбуждении амортизатора / Э.Э. Лавендел, В.А. Санкин // Вопр. динамики и прочности. 1969. -№ 19. - С. 259-275.

79. Победря Б.Е. Связанные задачи термовязкоупругости / Б.Е. Победря // Механика полимеров. 1969. — № 3. — С. 415-421.

80. Победря Б.Е. Математическая теория нелинейной вязкоупругости / Б.Е. Победря // Упругость и неупругость. — 1973. — Вып. 3. — С. 95—173.

81. Победря Б.Е. О связанных задачах механики сплошной среды. Б.Е. Победря // Упругость и неупругость. 1971. - Вып. 2. - С. 224-253.

82. Победря Б.Е. О решении задач термовязкоупругости с неоднородным полем температур / Б.Е. Победря // Упругость и неупругость. 1971. — Вып. 2.-С. 172-201.

83. Победря Б.Е. Численный метод решения связанных задач термовязкоупругости / Б.Е. Победря // Механика твердого тела, 1974. № 3 - С. 88-94.

84. Победря Б.Е. О методах решения связанных задач термовязкоупругости / Б.Е. Победря // Сб. науч. тр. Механика эластомеров. Краснодар: политехи. ин-т. - 1983. - Вып. 1. - С. 45-49.

85. Горелик Б.М. Экспериментально-теоретическое исследование теплообразования в коротком вязкоупругом цилиндре при циклическом сжатии / Б.М. Горелик, Л.П. Гончаров, В.Г. Карнаухов // Проблемы прочности, 1977.-№ 1.-С. 68-70.

86. CostT.L., Finite-element analysis of coupled thermoviscoelastic structures undergoing sustained periodic vibrations / T.L. Cost, M. Heard // AIAA Journal, 1978. №> 8. - P. 795-799.

87. Громов В.Г. Об одном точном решении динамической связанной задачи термовязкоупругости / В.Г. Громов, В.П. Мирошников // Прикл. механика, 1977. -№ 6. С. 86-89.

88. Демченко В.П. Приближенный метод расчета температурных полей в ре-зинометаллических амортизаторах / В.П. Демченко // Сб. науч. тр. Краснодар. политехи, ин-т. 1980. - Вып. 3. - С. 116-119.

89. Потураев В.Н. Исследование вибрационного разогрева прямоугольной вязко упругой призмы при циклическом сдвиге / В.Н. Потураев, В.И. Дырда, В.Г. Карнаухов // Прикл. механика, 1976. № 11. - С. 57-61.

90. Гринченко В.Т. Напряженно-деформированное состояние и разогрев вяз-коупругого цилиндра с ограничениями по торцам / В.Т. Гринченко, В.Г. Карнаухов // Прикл. механика, 1975. — № 4 С. 27-36.

91. Карнаухов В.Г. Приближенный метод расчета критических тепловых состояний / В.Г.Карнаухов, И.К. Сенченков // Прикл. механика, 1976 -№4.-С. 18-25.

92. Карнаухов В.Г. Термомеханическое поведение прямоугольной вязкоуп-ругой призмы при циклическом растяжении-сжатии / В.Г. Карнаухов, И.К.Сенченков // Журн. прикл. механики и техн. физики, 1976. № 1. — С. 149-156.

93. Дырда В.И. Расчет теплообразования в цилиндрическом амортизаторе при циклическом нагружении / В.И. Дырда, В.Г. Карнаухов, А.В. Мазне-цова // Каучук и резина, 1976. № 10. - С 40-42.

94. Гуменюк Б.П. О тепловой неустойчивости в связанных динамических задачах термовязкоупругости / Б.П. Гуменюк, В.Г. Карнаухов // Докл. АН УССР. Сер. А, 1978. № 7. - С. 609-613.

95. Сенченков И.К. Термомеханическое поведение вязкоупругой пружины-стержня с амплитудно-зависимым комплексным модулем / И.К. Сенченков, Б.П. Гуменюк // Прикл. механика, 1980 №5 - С. 107— 112.

96. Сенченков И.К. О влиянии вибрационного разогрева на механическую устойчивость вязкоупругого стержня / И.К. Сенченков, В.Г. Карнаухов, Б.П. Гуменюк // Динамика и прочность машин, 1981. № 34. - С. 109113.

97. Карнаухов В.Г. Термомеханическое поведение вязкоупругих тел при гармоническом нагружении / В.Г. Карнаухов, И.К. Сенченков, Б.П. Гуменюк. Киев: Наукова думка, 1985. - 288 с.

98. Старостенко И.Н. Решение задачи о вынужденных моногармонических колебаниях и разогреве слоистого резинометаллического параллелепипеда / И.Н. Старостенко, Н.Н. Фролов // Обозрение прикладной и промышленной математики, 2008. Т. 15. - Вып.2. - С.373.

99. Старостенко И.Н. Влияние деформативности металла и условий нагру-жения на компрессионную жесткость слоистых резинометаллических пакетов / И.Н. Старостенко // Математические методы и информационно-технические средства, 2005. №1 - С. 47-49.

100. И.Н. Старостенко Построение определяющих уравнений нелинейной теории термоупругости эластомеров / И.Н. Старостенко, Е.В. Михайленко // Математические методы и информационно-технические средства, 2007. №3 - С. 75-77.

101. Старостенко И.Н. Основные гипотезы теории построения определяющих соотношений структурно-неоднородных слабосжимаемых эластомеров / И.Н. Старостенко // Математические методы и информационно-технические средства, 2008, №4 - С. 187-192.

102. Филатов А.Н. Метод усреднения в дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнениях / А.Н. Филатов. Ташкент: ФАН, 1971. — 277 с.

103. Новицкий JI. А. Тепло физические свойства материалов при низких температурах / JI.A. Новицкий, И.Г. Кожевников. М.: Изд-во «Машиностроение», 1975. -216 с.

104. КоздобаЛ.А. Методы решения нелинейных задач теплопроводности / Л.А. Коздоба. М.: Наука, 1975. - 228 с.